双曲线焦点三角形的几个性质
双曲线中的焦点三角形性质整理.pdf
双曲线中的焦点三角形江苏省盱眙中学 赵福余1.设双曲线19422=−y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，若︒=∠6021PF F ，则21PF F ∆的面积为 .设双曲线为()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上， 性质1 ：若θ=∠21PF F ，则21PF F ∆的面积为 .性质2：通过以上求解过程，若θ=∠21PF F ，则=21PF PF ；21PF PF 的最小值是 .（1）设双曲线14422=−y x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，︒=∠9021PF F ，则21PF F ∆的周长为 .（2）若1F 、2F 分别是双曲线191622=−y x 的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点1F 的弦，且6=AB ，则2ABF ∆的周长是 .2.双曲线焦点三角形21PF F ∆的内切圆与21F F 相切于点A ，则=21.AF AF . 性质3：切点A 的位置为 .3.设双曲线()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线上，O 是中心，则OP PF PF t 21+=的范围是 .性质4：21.PF PF 与OP 的等式关系为 .4.设双曲线()0,012222>>=−b a by a x ，1F 、2F 是其两个焦点，点P 在双曲线右支上一点若离心率2=e ，则=2tan2tanβα .性质5：=2tan2tanβα .（用离心率e 表示） 5.双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF ∆的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，若4=BA ，2=AP ，则离心率=e . 性质6：=e .（用BA ，AP 表示）。
焦点三角形内心和旁心的若干性质
2014 年第 6 期 定理 3 y1 ） 是椭圆 设 P （ x1 ，
河北理科教学研究 x2 y2 + = a2 b2
问题讨论
PA 交 x 轴 证明： 不妨设点 P 在右分支上， 0） ， E （ － c， 0） ， F （ c， 0） ， 于 B （ x2 ， 双曲线的离 心率为 e． 则由双曲线右分支的焦半径公式 | PE | = 及三角形内角平分线性质定理得 | PF |
2
求轨迹为椭圆
x y 2 + eb c （ ） 1 +e
2
y） ， 对于椭圆和双曲线上的一点 P （ x， 焦 半径公式 R 椭圆 = a ± ex 和 R 双曲线 = | a ± ex | 是大家都知道的， 若已知焦点三角形内心或 旁心， 则有如下新的表达形式． 定理 7 P 是椭圆 x2 y2 = 1（ a ＞ b ＞ 2 + a b2
x1 y1 2 ． 故外角平分线 PA 的方程为 y － 0 = x2 1 － a x1 y1 a2 ） x1 y1 x + （ a2 － x2 1） y = 2（ x － x1 x －a
2 1 2 2 y1 a2 b2 x1 y1 x + （ a2 b2 － b2 x2 1 ） y = y1 a b ． 因
P （ x1 ， y1 ） 是双曲线
x2 y2 － = 1 上的点， 所以 a2 b2 x1 x － a2
2 2 2 a2 b2 － b2 x2 代入上式得 b x1 y1 x － 1 = － a y1 ， 2 2 2 a2 y2 b x1 x － a2 y1 y = a2 b2 1 y = y1 a b
e2 = 0 ． （ 2 ） 由（ 1 ） 的证明得 λ = BA = e， 故由定 AP
双曲线焦点三角形内心的性质及其应用
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复习
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备考
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焦点三角形的美妙性质
焦点三角形的美妙性质焦点三角形的性质，都和焦点三角形的内外角平分线有着紧密联系，同时，又都和圆锥曲线的定义密切相关。
由椭圆和双曲线的定义的相似，我们看出，他们的性质也异常相似！在焦点三角形的统一下，他们的性质和谐地完美着！1 定义椭圆或双曲线上任意一点和两个焦点的连线所形成的三角形，叫做焦点三角形。
2 性质焦点三角形有以下一系列美妙性质：2.1 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S= b2tan θ 2 ，双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1的焦点三角形的面积S=b2cot θ 2 ，其中，θ=∠F1PF2，P是椭圆或双曲线上任意一点，F1、F2是对应曲线的焦点。
以下同证明：由椭圆定义可知：|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，a2=b2＋c2，由余弦定理有：4c2=(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ=(|PF1|+|PF2|) 2 -2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ∴2|PF1||PF2|(1+cosθ)=4a2－4c2= 4(a2-c2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1+cosθ ，∴焦点三角形的面积S= 1 2 |PF1||PF2|sinθ= b 2 sinθ 1+cosθ =b2tan θ2 (∵sinθ1+cosθ =tan θ 2 )对双曲线，则有：|PF1|－|PF2|=±2a，|F1F 2 |=2c，a2＋b2=c2，由余弦定理有：4c 2 =(2c)2= |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ= (|PF1|－|PF2|) 2 ＋2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cosθ= (±2a) 2 ＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4a2＋2|PF1||PF2|(1－cosθ)∴2|PF1||PF2|(1－cosθ)=4c2－4a2=4(c2－a2)=4b 2∴|PF1||PF2|= 2b 2 1－cosθ ，∴焦点三角形的面积S=1 2 |PF1||PF2|sinθ=b 2 sinθ 1－cosθ =b2cot θ 2 (∵sinθ 1+cosθ =cot θ 2 )2.2 对椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1 ，设l是其焦点三角形的过点P的外角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆；对双曲线x 2 a 2 - y 2 b 2 =1，设l是其焦点三角形的过点P的内角平分线，过F1或F2作l的垂线，则垂足的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆。
双曲线焦点三角形面积公式推导
双曲线焦点三角形面积公式推导要推导出双曲线焦点三角形的面积公式，我们首先需要了解双曲线以及焦点的相关性质。
双曲线是平面上的一个曲线，其定义可以写为：对于给定的两个焦点F1和F2，对于平面上的任意一点P，其到两个焦点的距离之差的绝对值等于一个常数的比值，即，PF1-PF2，=e，其中e为双曲线的离心率。
那么，我们可以设双曲线的标准方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1，其中a和b为双曲线的两个参数。
现在我们考虑一个焦点三角形，即一个三角形的三个顶点分别为两个焦点和双曲线上的一点。
我们需要推导出这个三角形的面积公式。
我们可以选择双曲线的顶点为原点O，焦点F1为(0,c)，焦点F2为(0,-c)，其中c为距离顶点O的焦点到原点的距离。
双曲线上的一点P的坐标可以表示为(x,y)。
由焦点的定义可知，我们可以得到以下两个方程：1.PF1-PF2=e即(√(x^2+(y-c)^2))-(√(x^2+(y+c)^2))=e2.双曲线方程(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1通过这两个方程，我们可以解得x和y的值。
首先，将第一个方程平方，得到：(x^2+(y-c)^2)-2√((x^2+(y-c)^2)(x^2+(y+c)^2))+(x^2+(y+c)^2)=e^2我们将√((x^2+(y-c)^2)(x^2+(y+c)^2))看作一个新的变量t，则方程变为：(x^2+(y-c)^2)+(x^2+(y+c)^2)-2t=e^22x^2+2y^2+2c^2-2t=e^2x^2+y^2+c^2-t=e^2/2由双曲线方程可得：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1b^2(x^2/a^2)-a^2(y^2/b^2)=b^2将此方程乘以c^2，得到：c^2(x^2/a^2)-c^2(y^2/b^2)=c^2b^2将c^2b^2-c^2(y^2/b^2)代入前一个方程中，得到：c^2(x^2/a^2)+c^2b^2-c^2(y^2/b^2)-t=e^2/2c^2(x^2/a^2)+c^2b^2-t=e^2/2将t替换为c^2(x^2/a^2)+c^2b^2-e^2/2，我们得到：c^2(x^2/a^2)+c^2b^2-c^2(x^2/a^2)-c^2b^2+e^2/2=e^2/2c^2=e^2/2所以，我们得到焦点到原点的距离c为e/√2我们可以继续化简上面的方程，得到：x^2/a^2=e^2/(2c^2)将c替换为e/√2，我们得到：x^2/a^2=e^2/(2(e^2/2))化简后得到：x^2=a^2所以，顶点P的坐标为(a,y)。
椭圆与双曲线焦点三角形面积的两个性质
２
槡
２ ２ ２ ｂ ＋ ｃ ｔ ａ ｎ θ ＝ ． ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ 由圆锥曲线统一定义知
ｒ ｃ ｓ ａ， ｒ ｃ ｓ ａ， ｅ ｃ ｅ ｃ θ＋ θ－ １＝ ２＝ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ） 则ｒ ｒ ｃ（ ａ＝ ｂ＋ ｃ ｔ １＋ － ｔ ａ ｎθ ａ ｎ θ， １ ２＝ ｒｒ 所以 Ｒ＝ １ ２ ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ ｂ ｔ ａ ｎ θ） 由三角形内心坐标公式知Ｉ（ ａ， ． １＋ｓ ｅ ｃ θ
ｓ ｓ ｉ ｎ ｉ ｎ α α 故ｔ ＝ ａ ｎ α＝ ２ ｃ ｏ ｓ α 槡 １－ｓ ｉ ｎ α ＝
ｃ ｓ ｃ ｉ ｎ θ ＝ ｓ ｉ ｎ θ． ２ ２ ２ ２ ｂ ｂｃ ａｓ ｃｓ ｏ ｓ ｉ ｎθ－ ｉ ｎθ θ＋ 槡
２ ２
ｒ １＋ ｅ 由 ① 知ｔ ａ ｎ α＝ ｂ １－ ｅ
槡
④
槡 （
ｂ－ ｃｓ ｉ ｎθ ＝ ２ ｂ ｓ ｉ ｎ θ
２
２
２
）
２
最后分母用均值不等式得
２ ８ １＋ ｅ ｅ时取等 当ｒ ＝ １－ Ｒ Ｓ≤ ｒ． ． ｅ ｂ １＋ ｅ 性质 １ 证毕 ．
数学通报 ２ ０ １ ７年 第５ ６卷 第４期 ｔ ａ ｎ θ 得ｒ＝ ｂ １＋ｓ ｅ ｃ θ （ ｒ Ｒ １＋ｓ ｅ ｃ ｒ ⑤ 与 ⑥ 式相乘得ｒ θ） １ ２ ＝２ 由 ⑥ 两边平方整理得 ２ ２ ２ ２ （ ２＋２ ＝ ｒ ｂ ｔ ｓ ｅ ｃ ｔ ａ ｎ ａ ｎ θ＋ θ） θ， ⑥ ⑦
（
）
槡Байду номын сангаас
槡
ｂ ｃ－ ａ ｓ ｓ ｃ） ｅ ｃ ｅ ｃ θ（ ａ θ＋ ， ｘ－ ａ ｎ θ＝ ｙ－ ｔ ２ ｔ ２ ｂ ａ ｎ θ
２ ２ ２ ｃ ｔ ｂ ａ ｎ θ－ ） ， 故令 ｘ＝０ 知 Ｗ （ ０， ２ ｂ ｔ ａ ｎ θ ２ ２ ２ ２ ） （ ｃ ｔ ｂ ａ ｎ θ－ ２ 得 Ｒ ＝ ＷＦ２ ＝ ｃ ＋ ２ ２ ４ ｂｔ ａ ｎθ
秒杀题型 焦点三角形(椭圆与双曲线)
2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。
秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。
2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。
类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。
)。
1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 1323=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是()A.(][)+∞,91,0 B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 60ab≥= ,即≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。
1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =.【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。
〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：533。
双曲线焦点三角形的几何性质
双曲线焦点三角形的几何性质Revised as of 23 November 2020双曲线焦点三角形的几个性质 在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为12222=-by a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =∆特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =∆性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。
性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线12222=-by a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A||||||||||||||||||212121AF AF BF CF PF PF -=-=-a AF AF a PF PF 2||||||,2||||||2121=-∴=-所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22ba k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。
]arctan ,0[ba 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =|||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF当点P 在双曲线右支上时，有112cot 2tan +-=e e βα 当点P 在双曲线左支上时，有112tan 2cot +-=e e βα。
(完整版)双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
双曲线的全部知识和性质.doc
双曲线的全部知识和性质.双曲线和方程[知识分类]1.双曲线的定义(1)在平面上，点到两个固定点的距离之差的绝对值等于固定长度的点的轨迹称为双曲线，其中两个固定点称为双曲线的焦点，固定长度称为双曲线的实轴长，线段的长度称为双曲线的焦距。
这个定义是双曲线的第一个定义。
[笔记]在这种情况下，点的轨迹是两条光线。
(2)在平面上，点到固定点的距离和点到固定线的距离为固定值的点的轨迹称为双曲线，其中固定点称为双曲线的焦点，固定线称为双曲线的准线，固定值称为双曲线的偏心率。
这个定义是双曲线的第二个定义。
2.双曲线的简单性质标准方程顶点坐标焦点坐标左焦点，右焦点上焦点，下焦点虚轴和虚轴实轴长度，虚轴长度实轴长度，虚轴长度有界性，关于轴对称对称，关于轴对称对称，也关于原点对称。
双曲线的渐近线是，也就是，或。
[笔记](1)与双曲线具有相同渐近线的双曲方程可以设置为:(2)具有渐近线的双曲方程可以设置为:(3)共轭双曲线:已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。
共轭双曲线有相同的渐近线。
④等边双曲线: 实轴等于虚轴的双曲线叫做等边双曲线。
4.从焦点半径的双曲线上的任何一点到双曲线焦点的距离称为焦点半径。
如果双曲线上的任何一点是双曲线的左右焦点，那么，在哪里。
5.通过双曲线焦点的路径是一条垂直于虚轴的直线，在两点处与双曲线相交，该线段称为双曲线路径。
6.焦点三角形是双曲线上的任何一点，它是双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦点三角形。
如果是这样，焦三角的面积为:7.从双曲线焦点到渐近线的距离是(假想的半轴长度)。
8、双曲线焦三角内弹道是9.直线和双曲线之间的位置关系直线，双曲线:，并相交；与…相切。
与…分离。
10.与渐近线平行(不重合)的直线与双曲线只有一个交点。
[笔记]在平面的某一点，直线和双曲线之间只有一个交点。
这种直线可以是4、3、2或0.11.焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的移动点，是双曲线的焦点，是角平分线上的点，那么，移动点的点的轨迹是. 12.双曲线上任意两点的坐标性质是双曲线上的任意两点，如果。
双曲线中常考的十六条焦点性质及其证明
点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点（四）双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径MF 2为直径的圆的半径为r 1，圆心为O 1；以MF 1为直径的圆的半径为r 2，圆心为O 2，由双曲线定义知12||||||MF MF AB =+∴112111||||(||||)22OO F M M F AB r a ==+=+，∴圆O 1与圆O 外切又12||||||MF AB MF -=∴221211||||(||||)22OO F M M F AB r a ==-=-，∴圆O 2与圆O 内切（五）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b +=.证明：设交点0012(,),(,),(,)S x y P m n P m n -∵111P A A SK K =，222P A P S K K =，∴0220000222200000y n m a x ay y y n n n y m a m a x a x a a m x a n m a x a ⎧=⎪++-⎪⇒⋅=⋅⇒=⎨+-+----⎪=⎪--⎩又222222222222211m n n m n b a b b a a m a-=⇒=-⇒=--，∴22220002222201y x y b x a a a b =-⇒+=-即22221x y a b+=（六）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=.证明：求导可得：202220220'x b x y y y a b y a '⋅-=⇒=，切线方程2000002220()1x b x x y yy y x x y a a b-=-⇒-=（七）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.证明：设111222(,),(,)P x y P x y ，则过12P P 切线分别为11122:1x x y yl a b -=，22222:1x x y yl a b-=∵0P 在12l l 、上∴1010221x x y y a b +=，2020221x x y y a b+=∴过12P P 方程00221x x y y a b-=（八）AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=.证明：设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则()22A B A Bx x y y M ++⋅，2222A B A B A B OM ABA B A B A By y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+--又22222222222222A b A AB B A Bx x x y x y y y a b a b a b ---=-⇒=，∴22OM ABb K K a=（九）若000(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>内，则过P 0的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-.证明：设弦与双曲线交于111222(,),(,)P x y P x y ，中点(,)S m n 122222220112212222222012()()P P POS n y x y x y x x b mb K K m x a b a b y y a na -+-=-⇒====-+22222200m b mb x n a na y ⇒-=-22002222x m y ym n a b a b⇒+=-，即22002222x x y yx y a b a b-=-。
双曲线焦点三角形的面积
双曲线焦点三角形的面积双曲线焦点三角形是指由双曲线的两个焦点和一点组成的三角形。
在几何学中，双曲线焦点三角形是一个典型的例子，它结合了双曲线的形态和焦点的概念，是比较有挑战性的一个课题。
双曲线是一种有两个焦点的曲线，其定义为平面上各点到两个定点（焦点）之差的绝对值之差等于定常量的点集。
焦点三角形是一种三角形，其三个点分别位于双曲线的两个焦点和曲线上。
我们把双曲线的两个定点命名为F1和F2，将其连接成线段，并在线段上取一点P。
假设P到F1和F2的距离差为d，根据双曲线的定义，则有PA- PB = 2d。
现在我们构造P点的垂直平分线，将焦点线段的中点O作为垂直平分线的交点，连接PA, PB, PO三个线段，并在PO线段上垂直于PA和PB的两个点M, N。
若将三角形PFN旋转180度后恰好与自身重合，则我们称该三角形为双曲线焦点三角形。
双曲线焦点三角形的面积是一个比较困难的计算问题，它涉及到三角形垂心、欧拉线等概念，需要进行一系列的推导和计算。
在本文中，我们将介绍如何计算双曲线焦点三角形的面积。
首先，我们需要了解三角形垂心的概念。
三角形垂心是指三角形三条高线交汇的点，通常用H表示。
在双曲线焦点三角形中，H点位于垂直平分线的中点O上，为三角形PFN的重心。
其次，我们需要了解欧拉线的概念。
欧拉线是指三角形垂心、重心、外心三点之间的直线。
在双曲线焦点三角形中，欧拉线HG依然通过垂直平分线的中点O，且与双曲线的一条渐进线相切。
接下来，我们需要计算三角形古典几何学中的垂足公式。
在双曲线焦点三角形中，我们可以利用Hughes-Merrell公式或Yang-Palais公式，计算三角形PFH和PFN 的高线长，从而计算出三角形PFN的面积。
最后，我们需要确认双曲线碰线的位置，由于双曲线碰线的位置会影响双曲线焦点三角形的形态和面积，所以我们需要进行确认。
最常用的方法是计算碰线与垂直平分线交点的纵坐标和焦点的纵坐标之差的比值。
双曲线焦点三角形的面积公式推导
双曲线焦点三角形的面积公式推导双曲线焦点三角形是一种特殊的三角形，其三个顶点在双曲线的两个焦点和一条弦上。
在数学中，这种三角形在解决双曲线相关问题时经常出现。
本文将介绍如何推导双曲线焦点三角形面积公式。
1. 双曲线的定义首先，我们需要了解双曲线的定义。
双曲线是一个平面上的曲线，可以通过下列方式定义：点P到双曲线的两个焦点之间距离的差等于一个常数，该常数称为双曲线的离心率。
具有该性质的曲线被称为双曲线。
2. 双曲线的方程双曲线的常见方程有两种形式：标准方程和参数方程。
标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中，a和b分别是双曲线的长半轴和短半轴。
参数方程如下：$$x=a\sec(\theta)$$ $$y=b\tan(\theta)$$其中，$\theta$是双曲线上的参数。
3. 双曲线焦点在双曲线上任意一点P处，可以构造焦点F1和F2，使得PF1-PF2等于双曲线的离心率。
这是双曲线的一个基本性质。
4. 双曲线焦点三角形的定义假设双曲线的两个焦点为F1和F2，双曲线上任意一点P到焦点F1和F2的距离分别为d1和d2，焦点距离为2c，则可以构造三角形PFF1或PFF2，这被称为双曲线焦点三角形。
显然，这个三角形的三个顶点分别为P、F1和F2。
5. 双曲线焦点三角形的面积公式推导现在我们来推导双曲线焦点三角形的面积公式。
首先，我们可以通过双曲线的焦点定义得到：$$d1-d2=2c$$我们可以定义另一个量s，使得：$$s=\frac{d1+d2}{2}$$则可以解得：$$d1=s+c$$ $$d2=s-c$$又因为三角形PFF1或PFF2的高度为$c\sqrt{3}$，所以有：$$Area_{PFF1}=\frac{1}{2}d1\timesc\sqrt{3}=\frac{1}{2}(s+c)\times c\sqrt{3}$$同理，$$Area_{PFF2}=\frac{1}{2}(s-c)\timesc\sqrt{3}$$所以，双曲线焦点三角形的面积为：$$Area_{PFF1F2}=Area_{PFF1}+Area_{PFF2}=\frac{1 }{2}s\times c\sqrt{3}$$这就是双曲线焦点三角形的面积公式。
双曲线焦点三角形面积公式推导
双曲线焦点三角形面积公式推导在数学中，三角形是一个基础的几何图形，其面积是通过底边长和高来计算的。
然而，当三角形的顶点不在底边上时，计算起来就变得更加困难了。
本文将介绍一种称为“双曲线焦点三角形面积公式”的新方法，它可以用于计算这种类型的三角形的面积。
1. 双曲线双曲线是一种二次曲线，其形状类似于一个打开的口袋。
它由两个焦点和一条连接它们的直线定义。
双曲线有许多有趣的性质和应用，例如在物理学、经济学和工程学中的应用。
2. 双曲线焦点三角形双曲线焦点三角形是一种特殊的三角形，其顶点不在底边上，而是在双曲线的一条分支上。
如图所示，三角形ABC是双曲线焦点三角形，其中顶点A在双曲线的一条分支上，而底边BC则是双曲线的另一条分支。
双曲线焦点三角形的面积计算比较困难，因为我们无法使用传统的底边长和高来计算。
然而，我们可以利用双曲线的性质来推导出一个新的公式。
3. 推导双曲线焦点三角形面积公式首先，我们需要知道双曲线的一个重要性质：从焦点到双曲线上任意一点的距离之和是一个常数。
这个常数称为双曲线的焦距。
对于双曲线焦点三角形ABC，我们可以利用这个性质来推导出一个公式。
设焦距为f，顶点A到底边BC的距离为h，底边BC的长度为a，那么我们可以得到以下等式：f = AF + FBf = AG + GCf = BH + HCf = CI + IA其中，AF、AG、BH、CI分别表示从焦点到三角形顶点A、B、H、I的距离，FB、GC、HC、IA分别表示从底边上的点B、C、H、I到焦点的距离。
现在我们可以利用这些等式来推导出双曲线焦点三角形的面积公式。
首先，我们可以将三角形ABC分成两个三角形：ABF和ACG。
这两个三角形的面积分别为：S1 = 1/2 * a * AF * sin(BAC)S2 = 1/2 * a * AG * sin(BAC)因为AF + FB = AG + GC = a，所以我们可以将它们代入上面的公式中，得到：S1 = 1/2 * h * (a - FB) * sin(BAC)S2 = 1/2 * h * (a - GC) * sin(BAC)将这两个式子相加，得到整个三角形的面积：S = S1 + S2 = 1/2 * h * a * sin(BAC) = 1/2 * h * b 其中，b为顶点A到底边BC的垂线长度。
双曲线特殊三角形结论
双曲线特殊三角形结论
1. 奥布里三角形，在双曲线上取任意三点A、B、C，连接AB、AC、BC，然后将这三条线段的中垂线延长至双曲线上，所得的交点构成的三角形称为奥布里三角形。
奥布里三角形的外心位于双曲线的中心。
2. 费尔巴哈三角形，在双曲线上取任意一点P，连接P与双曲线上两个焦点的连线，然后将这两条线段的垂直平分线延长至双曲线上，所得的交点构成的三角形称为费尔巴哈三角形。
费尔巴哈三角形的内心位于双曲线的中心。
3. 埃尔米特三角形，在双曲线上取任意一点P，连接P与双曲线上两个焦点的连线，并延长至双曲线上的切线与双曲线的另一条切线的交点，所得的交点构成的三角形称为埃尔米特三角形。
埃尔米特三角形的外心位于双曲线的中心。
4. 帕斯卡三角形，在双曲线上取任意一点P，连接P与双曲线上两个焦点的连线，并延长至双曲线上的切线与双曲线的另一条切线的交点，所得的交点构成的三角形称为帕斯卡三角形。
帕斯卡三角形的重心位于双曲线的中心。
这些结论是基于双曲线的几何性质推导而来的，它们展示了双曲线与三角形之间的有趣关系。
这些特殊三角形的性质和关系在数学研究和应用中具有一定的重要性，可以帮助我们更深入地理解双曲线的性质和特点。
双曲线焦点三角形内心的性质与应用
设 犉１犇 ＝ 犉１犎 ＝犿， 犉２犇 ＝ 犉２犈 ＝狀， 犘犈 ＝ 犘犎 ＝狆，内切圆的半径为狉，结合双曲线的 定 义 及 圆 的 切 线 长 性 质，可 得 犘犉１ － 犘犉２ ＝
犉１犇 － 犉２犇 ＝犿 －狀＝２犪． 而 犉１犉２ ＝ 犉１犇 ＋ 犉２犇 ＝犿 ＋狀＝２犮，可求
得 犿 ＝犮＋犪，狀＝犮－犪．
教学
２０２０年２月 解法探究
参谋
双曲线焦点三角形内心的性质与应用
? 福建省平和第一中学 赖平民
众所周知，圆锥曲线一直是高中数学中的重点和 难点之一，备受关注．圆锥曲线中，往往交汇着代数与 几何，既有“数”又有“形”，既有“动”又有“静”，是各方 面知识融合与交汇的场所，要求有较强的综合能力与 应变能力，是 考 查 数 学 能 力，体 现 选 拔 功 能 的 主 阵 地 之一．下面结合一个双曲线焦点三角形内心的两个性 质加以展现、证明，并结合实际加以巧妙应用．
犉１、犉２ 分别为双曲线犆 的左、右焦点，△犘犉１犉２ 的内 切圆的圆心为犐，设直线犐犉１，犐犉２ 的斜率分别为犽１，
犽２，则犽犽１ ２ ＝
．
分析：结合题目条件中给出的双曲线 犆 的离心
率，直接根据性质２中双曲线的焦点三角形内心的性
一、性质展现
【性质１】已知犘
为双曲线犆：狓犪２２
狔２ －犫２
＝１（犪
＞０，
犫＞０）上的任意一点，犉１、犉２ 分别为双曲线犆 的左、右
焦点，△犘犉１犉２ 的内切圆的圆心为犐，则点犐必在直线
狓＝±犪 上．
图１
证明：根据对称性，不失一般性，假定犘 为双曲线 犆 右支上的任意一点，如图１所示，设 △犘犉１犉２ 的内切 圆的圆心犐 在对应三边上的投影分别为犇、犈、犎 ．
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双曲线焦点三角形的几个性质
文[1]给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质：
设若双曲线方程为2222x y 1a b
-=，F 1,F 2分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：
性质1、若12FPF ,∠=θ则122F PF S b cot 2θ=；特别地，当12FPF 90∠=时，有122F PF S b =。
222121212221212121222
1212221222
1222PF PF cos |PF ||PF ||FF |
2PF PF cos (|PF ||PF |)2|PF ||PF ||FF |
2PF PF cos (2a)2|PF ||PF |(2c)2PF PF (cos 1)4(a c )
b b PF PF 21cos sin 2
θ=+-θ=-+-θ=+-θ-=-==θ
-θ, 12F PF 121S |PF ||PF |sin 2∴=θ 22
b 2s i n
c o s 222sin 2
θθ=⋅θ2b c o t 2θ= 易得90θ=时，有122F PF S b =
性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。
证明：设双曲线2222x y 1a b
-=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2 121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=-
12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A
,A ∴在双曲线上，又在上，
是双曲线与轴的交点即点
性质3、双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长线于点B ，则|B A|e |A P|
=
证明：由角平分线性质得
12121212
|FB ||F B ||FB ||F B ||BA |2c e |AP ||FP ||F P ||FP ||F P |2a -=====- 性质4、双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β
当点P 在双曲线右支上时，有e 1tan cot ;22e 1
αβ-⋅=
+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1αβ-⋅=+
证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()
==αβα+β 由等比定理，上式转化为
2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β 2a 2c sin sin sin()
2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒
=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅- 分子分母同除以cos sin 22
α
β，得
tan
cot 1e 122e tan cot 22e 1tan cot 122αβ+αβ-=⇒=αβ++。