2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(8)Word版含解析
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(1)Word版含解析
12＋4满分练 12＋4 满分练(1)1.复数4－2i 1＋i 等于( )A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i答案 B解析 4－2i 1＋i ＝(4－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－4i －2i ＋2i 21－i 2＝2－6i 2＝1－3i.2.(2018·河北省石家庄二中模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x 2－x ≥0，B ＝{－1,0,1,2,3}，则A ∩B 等于( ) A.{－1,0,3} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{0,2,3}答案 B解析 由题意得A ＝{x |0≤x <2}，所以A ∩B ＝{0,1}.3.如图，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污染，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.12B.35C.45D.710 答案 C解析 由茎叶图可知，甲的平均成绩为x甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，乙的平均成绩为x乙＝83＋83＋87＋99＋x5，因为x甲＞x 乙，即352＋x ＜450，得x ＜98，又由题意可知x≥90，且x 是整数，故基本事件为从90到99共10个，而满足条件的为从90到97共8个，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45，故选C.4.(2018·宁德模拟)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，则a 1a 7等于( )A.33B.16C.13D.12答案 C解析 由题意得a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，所以a 2＝3，a 6＝11或a 2＝11，a 6＝3. 当a 2＝3，a 6＝11时， d ＝11－36－2＝2，a 1＝1，a 7＝13，∴a 1a 7＝13；当a 2＝11，a 6＝3时， d ＝3－116－2＝－2，a 1＝13，a 7＝1，∴a 1a 7＝13.5.在△ABC 中，点D 满足＝3，则( ) A.＝13－23B.＝13＋23C.＝23－13D.＝23＋13答案 D解析 因为＝3，所以－＝3(－)，即＝23＋13.6.阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为( )A.k ≤3?B.k ≤4?C.k ≤5?D.k ≤6? 答案 B解析 第一次循环，S ＝12＝1，k ＝2； 第二次循环，S ＝2×1＋22＝6，k ＝3； 第三次循环，S ＝2×6＋32＝21，k ＝4； 第四次循环，S ＝2×21＋42＝58，k ＝5， 最后输出的数据为58，所以判断框中应填入k ≤4？，故选B. 7.已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则z ＝|x ＋y －1|的最小值为( )A.2B.22C. 2D.1 答案 D解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界)，因为z ＝2·|x ＋y －1|2，所以z 表示可行域内一点到直线x ＋y －1＝0距离的2倍.由可行域可知，点A (2,0)到直线x ＋y －1＝0的距离最短，故z min ＝1.8.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，且双曲线C 的离心率为22，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A.y ＝±2x B.y ＝±22xC.y ＝±77xD.y ＝±7x答案 D解析 依题意知，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，∴c ＝2，∵双曲线的离心率为22，∴c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝142， ∴渐近线方程为y ＝±bax ＝±7x .9.已知在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 答案 A解析 设AC ∩BD ＝O ，连接OC 1，过C 点作CH ⊥OC 1于点H ，连接DH .∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，AC ∩AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1，又CH ⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥CH ，又CH ⊥OC 1，BD ∩OC 1＝O ，BD ，OC 1⊂平面C 1BD ， ∴CH ⊥平面C 1BD ，则∠CDH 为CD 与平面BDC 1所成的角，设AA 1＝2AB ＝2， 则OC 1＝CC 21＋OC 2＝4＋⎝⎛⎭⎫222＝322，由等面积法得OC 1·CH ＝OC ·CC 1，代入得CH ＝23，∴sin ∠CDH ＝CH CD ＝23，故选A.10.(2018·西宁模拟)函数f (x )＝2x －ln x －1的图象大致为( )答案 A解析 由函数f (x )的定义域为{x |x >0且x ≠1}，可排除C ；又f ⎝⎛⎭⎫1e >0，可排除B ；当x →＋∞时，f (x )>0，可排除D ，故正确答案为A.11.为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A.()30＋303 mB.()30＋153 mC.()15＋303 mD.()15＋153 m答案 A解析 在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60， sin 15°＝sin ()45°－30°＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝6－24.由正弦定理，得AB sin ∠APB ＝PBsin ∠P AB ，即PB ＝AB ·sin 30°sin 15°＝30()6＋2，∴建筑物的高度h ＝PB sin 45°＝30()6＋2×22＝()30＋303 m. 12.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时， f (x )＝(x ＋1)e x ，则对任意m ∈R ，函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有( ) A.3个 B.4个 C.6个 D.9个答案 A解析 当x <0时， f ′(x )＝(x ＋2)e x ，由此可知f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增， f (－2)＝－e －2，f (－1)＝0，且f (x )<1.又f (x )是R 上的奇函数， f (0)＝0，而当x ∈(－∞，－1)时， f (x )<0，所以f (x )的图象如图所示.令t ＝f (x )，则当t ∈(－1,1)时，方程f (x )＝t 至多有3个根，当t ∉(－1,1)时，方程f (x )＝t 没有根，而对任意m ∈R ，方程f (t )＝m 至多有一个根t ∈(－1,1)，从而函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有3个，故选A.13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，cos(α－β)＝________.答案 －79解析 ∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sin α＝sin β＝13，cos α＝－cos β，∴cos ()α－β＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1＝29－1＝－79.14.下表是某工厂1—4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图(图略)可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x ＋，则＝________. 答案 5.25解析 因为x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5，所以点(2.5,3.5)在回归直线＝－0.7x ＋上， 即3.5＝－0.7×2.5＋， 解得＝5.25.15.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若＝2，则椭圆的离心率为________. 答案55解析 设C (x ，y )，由＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧|y |b 2a＝12，x ＝2c ，∴C ⎝⎛⎭⎫2c ，±b22a .又C 为椭圆上一点， ∴(2c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫±b 22a 2b 2＝1，解得e ＝55.16.(2018·河北省石家庄二中模拟)已知正四面体P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC 的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为________. 答案27π32a 2解析 设底面△ABC 的外接圆半径为r ， 则asin π3＝2r ，所以r ＝33a . 所以正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a ， 设正四面体的外接球半径为R ，则R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫63a －R 2，∴R ＝64a . 因为64∶63＝3∶4， 所以三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为 4π×⎝⎛⎭⎫64a 2×⎝⎛⎭⎫342＝27π32a 2.。
2019高考数学(文科)二轮专题小题提速练(四) Word版含解析
小题提速练(四)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x －4)}，B ＝{y |y ＝21－x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2] B ．(1，2] C ．[2，4)D ．(－4，0)解析：选B.∵A ＝{x |x 2＋3x －4＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－4}，B ＝{y |0＜y ≤2}，∴A ∩B ＝(1，2]，故选B.2．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.12 B ．22C. 2D ．1解析：选B.解法一：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B. 解法二：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋i （1－i ）2＝|1＋i||1－i|2＝22，故选B.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝ln|x | C ．y ＝cos xD ．y ＝2－|x |解析：选D.显然函数y ＝2－|x |是偶函数，当x ＞0时，y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝⎝⎛⎭⎫12x，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在区间(0，＋∞)上是减函数．故选D.4．命题“∀x ＞0，xx －1＞0”的否定是( )A ．∃x ＜0，xx －1≤0B ．∃x ＞0，0≤x ≤1C ．∀x ＞0，xx －1≤0D ．∀x ＜0，0≤x ≤1解析：选B.∵x x －1＞0，∴x ＜0或x ＞1，∴x x －1＞0的否定是0≤x ≤1，∴命题的否定是∃x ＞0，0≤x ≤1，故选B.5．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是( )A ．7，11，18B ．6，12，18C ．6，13，17D ．7，14，21解析：选D.因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且分别应抽取的人数是7、14、21，选D.6．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成的三棱锥C ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A.12 B ．22C.24D ．14解析：选D.由三棱锥C ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C ABD 的侧视图的面积为14，故选D.7．已知平面上的单位向量e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12 B ．3 C.32D ．34解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1，0)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎨⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎨⎧λ＝x －3y 3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为S ＝12×1×32＝34，故选D.8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，若方程f (x )＝a 在⎣⎡⎦⎤－π4，π2上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫22，2 B ．⎣⎡⎭⎫－22，2C.⎣⎡⎭⎫－62，2D ．⎣⎡⎭⎫62，2 解析：选B.由函数f (x )的部分图象可得，T 4＝7π12－π3＝π4，∴函数f (x )的最小正周期为π，最小值为－ 2，所以A ＝ 2，ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫7π12，－2的坐标代入得，sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，因为|φ|≤π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.若f (x )＝a 在⎣⎡⎦⎤－π4，π2上有两个不等的实根，即在⎣⎡⎦⎤－π4，π2函数f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，结合图象(略)，得－22≤a ＜ 2，故选B. 9．设{a n }是公比q ＞1的等比数列，若a 2 016和a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 018＋a 2 019＝( )A ．18B ．10C ．25D ．9解析：选A.∵a 2 016，a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＋a 2 017＝2，a 2 016·a 2 017＝34，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016（1＋q ）＝2，a 22 016q ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3或⎩⎨⎧a 2 016＝32，q ＝13，∵q ＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3，∴a 2 018＋a 2 019＝a 2 016(q 2＋q 3)＝18，故选A.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24 B ．22 C.28D ．216解析：选C.设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为 y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立，得⎩⎨⎧y ＝－ 2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C.11．在球O 内任取一点P ，则点P 在球O 的内接正四面体中的概率是( ) A.112π B ．312πC.2 39πD ．36π解析：选C.设球O 的半径为R ，球O 的内接正四面体的棱长为 2a ，所以正四面体的高为233a ，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫63a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 3－R 2，即3a ＝2R ，所以正四面体的棱长为26R 3，底面面积为12×26R 3×2R ＝233R 2，高为4R 3，所以正四面体的体积为8 327R 3，又球O 的体积为4π3R 3，所以P 点在球O 的内接正四面体中的概率为2 39π，故选C. 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2，a n ＝f (n )(n ∈N *)，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎦⎤－∞，138 D ．⎣⎡⎭⎫138，2解析：选B.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2，∴a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）n ，n ≥2，－12，n ＝1，∵数列{a n }是单调递减数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，－12＞2a －4，解得a ＜74，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________________________________________________________________________．解析：记题中圆的圆心为O ，则O (1，0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.答案：x －y －3＝014．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：解析：设该货运员运送甲种货物x 件，乙种货物y 件，获得的利润为z 元，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤110，10x ＋20y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤11，x ＋2y ≤10，x ∈N ，y ∈N ，z ＝8x ＋10y ，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，结合图象可知，当直线z ＝8x ＋10y 经过点A (4，3)时，目标函数z ＝8x ＋10y 取得最小值，z min ＝62，所以获得的最大利润为62元．答案：6215．已知0＜x ＜32，则y ＝2x ＋93－2x的最小值为________．解析：解法一：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x （3－2x ），设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x （3－2x ）＝25t－2t 2＋39t －162＝25－2⎝⎛⎭⎫t ＋81t ＋39⎝⎛⎭⎫6＜t ＜283，记f (t )＝t ＋81t ⎝⎛⎭⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6，9)上是减函数，在⎣⎡⎭⎫9，283上是增函数，∴当t＝9时函数f (t )＝t ＋81t 取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝⎛⎭⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法二：y ＝42x ＋93－2x ＝13[2x ＋(3－2x )]·⎝⎛⎭⎫42x ＋93－2x ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋18x 3－2x ＋4（3－2x ）2x ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋2 18x 3－2x ·4（3－2x ）2x ＝253(当且仅当18x 3－2x ＝4（3－2x ）2x 即x ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，32时取等号)．答案：25316．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x 1≠x 2，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2表示函数f (x )图象上任意两点的连线的斜率，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则f ′(x )＝x ＋ax ≥2(a＞0)对任意正实数x 恒成立，又x ＋ax≥2 a ，所以2 a ≥2，所以a ≥1.答案：a ≥1。
2019年高考文科数学二轮复习分专题解答题训练共八套 Word版附答案及解析
2019年高考文科数学（通用版）二轮复习解答题训练共八套PS ：答案及解析页码为：14～35页专题一：解三角形1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值.2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.3.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值.4.(2018·北京11中模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12，求角A 的大小.专题二：数 列1.在等差数列{a n }中， a 1＝－2，a 12＝20. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，求数列{3b n }的前n 项和S n .2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .4.(2018·大庆模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1. (1)求b 1，b 14，b 61； (2)求数列{b n }的前200项和.专题三：立体几何1.如图，在三棱柱ABF －DCE 中， ∠ABC ＝120°， BC ＝2CD, AD ＝AF , AF ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥EC ；(2)若AB ＝1，求四棱锥B －ADEF 的体积.2.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)是否存在实数λ，使得平面BEF ⊥平面ACD .3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若M 为线段P A 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高.4.(2018·乐山联考)如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值.专题四：解析几何1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且C 过点⎝⎛⎭⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.2.已知抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A ，B (点B 在点A 的左侧)两点，且|AB |＝43.(1)求抛物线Γ在A ，B 两点处的切线方程；(2)若直线l 与抛物线Γ交于M ，N 两点，且MN 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求△QMN 面积的最大值.3.已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积； (3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”. 若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n 2为定值.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △P AM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围.专题五：概率与统计1.(2018·安徽省六安一中适应性考试)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQⅠ)，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率.2.为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数.他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示.(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率.3.为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和利润Z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量约为多少时，年利润Z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .4.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生有21人.(1)求总人数N 和分数在110～115的人数n ；(2)现准备从分数在110～115的n 名学生⎝⎛⎭⎫女生占13中任选2人，求其中恰好有一名女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x (满分150分)，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .专题六：函数与导数1.已知函数f (x )＝2x 2＋x＋ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求证：f (x )>0.2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.3.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数). (1)当a ＝5时，求函数g (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，使方程g (x )＝2e x f (x )成立，求实数a 的取值范围.4.(2018·安徽省六安一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x (a 为实常数).(1)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围.专题七：坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝π6(ρ>0). (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.4.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).专题八：不等式选讲1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|.(1)若f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对∀x∈R, ∃a∈[－2,2]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围.2.(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.3.已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)＝|x－2m|－|x＋m|(m>0).(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.答案及解析专题一：解三角形1.解 (1)由题意得，a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22， ∵B ∈(0，π)， ∴B ＝π4. (2)∵m ·n ＝12cos A －5cos 2A ＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435， ∴当cos A ＝35时，m ·n 取最大值，此时sin A ＝45. 由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝522. 2.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ， 即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC， 故sin ∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1， 故f (A )的取值范围为(－1,2].(2)由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝22，∵A 为锐角，即A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12. 由正、余弦定理及三角形的面积公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.4.解 (1)由相邻两条对称轴的距离为π2，可得其周期为T ＝2π＝π，所以ω＝2，由图象过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12， 可得sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＋cos A ＝12， 则32sin A ＋12cos A ＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝12， 因为0<A <π，所以π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝5π6， 所以A ＝2π3. 专题二：数 列1.解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝n －3，令c n ＝3b n ，则c n ＝3n －3， 显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2，公比q ＝3，所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c 1()1－q n 1－q ＝3n －118(n ∈N *). 2.(1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故a n ＝12n(n ∈N *). (2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝⎛⎭⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n < 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝⎛⎭⎫2－1n <14×2＝12. 故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ，解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式，所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81，∴a 1＋4d ＝9.∵a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项；当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项；当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项；当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项.∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.专题三：立体几何1.(1)证明 已知ABF －DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ，∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD .∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD为平行四边形，∠ABC＝120°，故∠BCD＝60°，又BC＝2CD，故∠BDC＝90°，故BD⊥CD，∵ED∩CD＝D，ED，CD⊂平面ECD，∴BD⊥平面ECD，∵EC⊂平面ECD，故BD⊥EC.(2)解由BC＝2CD得AD＝2AB，∵AB＝1，故AD＝2，作BH⊥AD于点H，∵AF⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴AF⊥BH，又AD∩AF＝A，AD，AF⊂平面ADEF，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC＝120°，∴在△ABH中，∠BAH＝60°，又AB＝1，∴BH＝3 2，∴V B－ADEF＝13×(2×2)×32＝233.2.(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD. 由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，BE ⊂平面BEF ，∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ，∴AE ＝67， ∴λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD . 3.(1)证明 连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝(AB －CD )2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BC ，又AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面P AC ，故BC ⊥平面P AC .(2)解 N 为PB 的中点，连接MN ，CN .因为M 为P A 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2. 又因为AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面，所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点.因为BC ⊥平面P AC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面P AC 的距离d ＝12BC ＝ 2. 又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2， 所以V 三棱锥N —ACM ＝13×2×2＝23. 由题意可知，在Rt △PCA 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23， CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2. 设三棱锥A —CMN 的高为h ，V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23， 解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.4.(1)证明 在△AOC 中，因为OA ＝OC, D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .(2)解 因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1.又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1. 又因为三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13. (3)解 在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面C ′PB ，使之与平面ABP 共面，如图所示.当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值. 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ， 所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点. 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62，即CE ＋OE 的最小值为2＋62.专题四：解析几何1.(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， ∵直线l 与椭圆交于两点，∴Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. ∵直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴k 2＝y 2x 2·y 1x 1＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 又m ≠0，∴k 2＝14，结合图象(图略)可知k ＝－12，故直线l 的斜率为定值.2.解 (1)由x 2＝2py ，令y ＝2，得x ＝±2p ，所以4p ＝43，解得p ＝3，所以x 2＝6y ，由y ＝x 26，得y ′＝x 3，故y ′|x ＝23＝233. 所以在A 点的切线方程为y －2＝233(x －23)，即2x －3y －23＝0，同理可得在B 点的切线方程为2x ＋3y ＋23＝0.(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x 2＝6y 与y ＝kx ＋m 联立， 得x 2－6kx －6m ＝0，Δ＝36k 2＋24m >0， 所以x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－6m ， 故|MN |＝1＋k 2·36k 2＋24m ＝23·1＋k 2·3k 2＋2m .又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6k 2＋2m ＝4，所以m ＝2－3k 2，所以|MN |＝23·1＋k 2·4－3k 2， 由Δ＝36k 2＋24m >0，得－233<k <233且k ≠0.因为MN 的中点坐标为(3k,2)，所以MN 的垂直平分线方程为y －2＝－1k (x －3k )，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2，所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1<u <73，故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ).设f (u )＝u 2(7－3u )，则f ′(u )＝14u －9u 2，结合1<u <73，令f ′(u )>0，得1<u <149；令f ′(u )<0，得149<u <73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473. 3.(1)解 由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程， 得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a ，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0， 由0<e <1，解得e ＝12.(2)解 因为四边形AOPQ 是平行四边形， 所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ， 同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b2a 2－(－a )·3b2－a 2＝－b 2a 2，由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明 由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237. ①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)， 即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0.②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝⎛⎭⎫x 204＋y 203， 因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n 2＝49(为定值).4.解 (1)因为BF 1⊥x 轴，得到点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎨⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A ||PM |·sin ∠APM12|PB ||PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM →＝－λ2PN →.由(1)可知P (0，－1)，设MN 方程为y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0，Δ>0恒成立，即得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3，(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1<(2－λ)λ2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23).专题五：概率与统计1.解 (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100， ∴m ＝25，40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.(2)在空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为[150,200)的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种，所以事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率是P (A )＝610＝35.2.解 (1)设落在分组[10,12)中的频率为x ，则⎝⎛⎭⎫0.05＋0.075＋x2＋0.125×2＝1，得x ＝0.5， 所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示：老王该月每天健步走的平均步数约为(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步).(2)设评价级别是及格的2天分别为a ，b ，评价级别是良好的3天分别为x ，y ，z ， 则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果： ab ，ax ，ay ，az ，bx ，by ，bz ，xy ，xz ，yz ，所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab ，xy ，xz ，yz .所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率P ＝410＝25.3.解 (1)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15(7.0＋6.5＋5.5＋3.8＋2.2)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×7.0＋2×6.5＋3×5.5＋4×3.8＋5×2.2＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝62.7－5×3×555－5×32＝－1.23，a ^＝y －b ^x ＝5－(－1.23)×3＝8.69，∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝8.69－1.23x . (2)年利润Z ＝x (8.69－1.23x )－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ， ∴当年产量约为2.72吨时，年利润Z 最大.4.解 (1)分数在100～110内的学生的频率为P 1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数N ＝210.35＝60，分数在110～115内的学生的频率为P 2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1， 分数在110～115内的人数n ＝60×0.1＝6.(2)由(1)可知，分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，男生有4名， 设男生为A 1，A 2，A 3，A 4，女生为B 1，B 2，从6名学生中选出2人的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个.其中恰好有一名女生的基本事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个， 所以所求的概率为P ＝815.(3)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100.由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据公式得到b ^＝497994＝0.5，a ^＝100－0.5×100＝50，所以线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50，所以当x ＝130时，y ^＝115.所以他的物理成绩的估计值是115分.专题六：函数与导数1.(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3＋2x 2－3x －2(x 2＋x )2， 所以f ′(1)＝－12，又f (1)＝1，则切线方程为x ＋2y －3＝0. (2)证明 令h (x )＝x 3＋2x 2－3x －2， 则h ′(x )＝3x 2＋4x －3， 设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2， 由于x 1x 2＝－1<0， 不妨设x 1<0，x 2>0，则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )≥f (x 0)＝2x 20＋x 0＋ln x 0，因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2x 20＋x 0>0，所以f (x )>0.2.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得， g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x＝()2ax －1()x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x ，由g ′()x >0得0<x <1， 由g ′()x <0得x >1； 若0<12a <1，即a >12时，由g ′()x >0得x >1或0<x <12a ，由g ′()x <0得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12时， 由g ′()x >0得x >12a 或0<x <1，由g ′()x <0得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；当a >12时，函数g ()x 在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；在()1，＋∞上单调递增.3.解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ，g (1)＝e ，g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，故切线的斜率为g ′(1)＝4e ，所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x )＝ln x ＋1， 所以在(0，＋∞)上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，当0<t <1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上，f (x )为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . (3)由g (x )＝2e xf (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3， 则a ＝x ＋2ln x ＋3x ，令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x ，x >0，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：因为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (e)＝3e＋e ＋2，h (1)＝4，所以h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e<0， 所以h (e)<h ⎝⎛⎭⎫1e ，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，3e ＋e ＋2. 4.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x，f ′(1)＝0，所求切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x ＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x，x ∈[1，e]. 当a 2≤1，即a ≤2时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，此时f (x )在[1，e]上单调递增. 所以f (x )的最小值为f (1)＝－a －1，所以－1≤a ≤2；当1<a 2<e ，即2<a <2e ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，a 2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，e 上单调递增， 所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24－a ＋a ln a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1. 因为2<a <2e ，所以0<ln a 2<1， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1<0恒成立，所以2<a <2e ；当a 2≥e ，即a ≥2e 时，x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (e)＝e 2－(a ＋2)e ＋a ，因为a ≥2e>e 2－2e e －1，所以f (e)<0， 所以a ≥2e ，综上，a ≥－1.专题七：坐标系与参数方程1.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1， 由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0， 设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.解 (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0， 所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋4－3|2＝22<4， 所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为242－⎝⎛⎭⎫222＝62. 3.解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝33x (x >0). (2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6， ⎝⎛⎭⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23， 将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1， 所以||PQ ＝||ρ1－ρ2＝23－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝π6的距离为d ＝||OC 1sin π6＝1， 所以S △C 1PQ ＝12||PQ ·d ＝12()23－1＝3－12. 4.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，O 到AB 的距离为2，∴△OAB 的面积为S ＝12(22＋4)·2＝2＋2 2. 专题八：不等式选讲1.解 (1)|x －2a |＋|x －3a |≥|(x －2a )－(x －3a )|＝|a |，当且仅当x 取介于2a 和3a 之间的数时，等号成立，故f (x )的最小值为|a |,∴a ＝±2.(2)由(1)知f (x )的最小值为|a |，故∃a ∈[－2,2]，使m 2－|m |<|a |成立，即 m 2－|m |<2，∴(|m |＋1)(|m |－2)<0，∴－2<m <2.2.解 (1)∵|f (x )|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤f (x )≤3，∴f (x )min ＝－3，f (x )max ＝3.(2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R .又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4.∴a 的取值范围是[4，＋∞).3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧ －x －4，x <12，3x －6，x ≥12， 由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}.(2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2,2).4.解 (1)f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ，x ≥2m ，－2x ＋m ，－m <x <2m ，3m ，x ≤－m ，当m ＝2时，由－2x ＋2≥1得－2<x ≤12， 又当x ≤－2时，f (x )≥1恒成立，所以不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12. (2)不等式f (x )≤|t ＋3|＋|t －2|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )≤(|t ＋3|＋|t －2|)min 恒成立，即f (x )max ≤(|t ＋3|＋|t －2|)min ，∵f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |≤|(x ＋m )－(x －2m )|＝3m ，|t ＋3|＋|t －2|≥|(t ＋3)－(t －2)|＝5， ∴3m ≤5，又m >0，∴0<m ≤53.。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(4) Word版含解析
12＋4满分练(4)1.已知2＋a i 1－i为纯虚数，a ∈R ，则()a ＋i i 2 019的虚部为( ) A.－1 B.1 C.－2 D.2答案 C解析 ∵a ∈R ，且复数z ＝2＋a i 1－i ＝()1＋i ()2＋a i ()1＋i ()1－i＝2＋a i ＋2i ＋a i 22＝2－a 2＋a ＋22i 为纯虚数，∴a ＝2，∴()a ＋i i 2 019＝(2＋i)·(－i)＝1－2i ，∴(a ＋i)i 2 019的虚部为－2.2.(2018·安徽省六安一中适应性考试)若A ＝{}x ∈Z | 2≤22－x <8，B ＝{}x ∈R | log 2x <1，则A ∩(∁R B )中的元素有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B解析 ∵A ＝{}x ∈Z |2≤22－x <8＝{}x ∈Z |－1<x ≤1＝{}0，1，B ＝{}x ∈R |log 2x <1＝{}x |0<x <2，∴∁R B ＝{}x |x ≤0或x ≥2，∴A ∩()∁R B ＝{}0.则A ∩()∁R B 中的元素个数为1.3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 11＝a 9＋7，则S 25等于( )A.1452B.145C.1752D.175 答案 D解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵2a 11＝a 9＋7，∴2(a 1＋10d )＝a 1＋8d ＋7，化为a 1＋12d ＝7＝a 13.则S 25＝25()a 1＋a 252＝25a 13＝175.4.已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是( ) A.虚轴长为4B.焦距为25C.离心率为133 D.渐近线方程为2x ±3y ＝0 答案 D解析 对于D 选项，双曲线的方程为y 24－x 29＝1， 其中a ＝2，b ＝3，则渐近线方程为2x ±3y ＝0，正确.5.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β；②若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β；③若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 A解析 ①中，由条件可得γ∥β或β，γ相交，故①不正确；②中，由条件可得m ∥β或m ⊂β，故②不正确；③中，由条件可得n ∥α或n ⊂α，故③不正确.综上真命题的个数是0.6.甲、乙、丙、丁四个人聚在一起讨论各自的体重(每个人的体重都不一样).甲说：“我肯定最重”；乙说：“我肯定不是最轻”；丙说：“我虽然没有甲重，但也不是最轻”丁说：“那只有我是最轻的了”.为了确定谁轻谁重，现场称了体重，结果四人中仅有一人没有说对.根据上述对话判断四人中最重的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁答案 B解析 ①假设甲没说对，则乙、丙、丁说的正确.故最重的是乙，第二名是甲，第三名是丙，丁最轻；②假设乙没说对，则甲、丙、丁说的正确.故乙最轻，与丁最轻矛盾，故假设不成立；。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：解答题通关练6 Word版含解析
6.函数与导数1.已知函数f (x )＝2x 2＋x＋ln x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求证：f (x )>0.(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3＋2x 2－3x －2(x 2＋x )2， 所以f ′(1)＝－12，又f (1)＝1， 则切线方程为x ＋2y －3＝0.(2)证明 令h (x )＝x 3＋2x 2－3x －2，则h ′(x )＝3x 2＋4x －3，设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2，由于x 1x 2＝－1<0，不妨设x 1<0，x 2>0，则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增.所以f (x )≥f (x 0)＝2x 20＋x 0＋ln x 0， 因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2x 20＋x 0>0， 所以f (x )>0.2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ， 由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得， g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0，∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x＝()2ax －1()x －1x. ∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x， 由g ′()x >0得0<x <1，由g ′()x <0得x >1；若0<12a <1，即a >12时， 由g ′()x >0得x >1或0<x <12a， 由g ′()x <0得12a<x <1； 若12a >1，即0<a <12时， 由g ′()x >0得x >12a或0<x <1， 由g ′()x <0得1<x <12a； 若12a ＝1，即a ＝12时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(7)Word版含解析
12＋4满分练 (7)1.(2018·山东省实验中学模拟)已知a 是实数，a ＋i1－i 是纯虚数，则 a 等于( )A.－ 2B.－1C. 2D.1 答案 D 解析a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝(a －1)＋(a ＋1)i2，故⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1. 2.若集合A ＝{x |0<x <1}，B ＝{x |x 2－2x <0}, 则下列结论中正确的是( ) A.A ∩B ＝∅ B.A ∪B ＝R C.A ⊆B D.B ⊆A答案 C解析 B ＝{x |0<x <2}.所以A ∩B ＝{x |0<x <1}≠∅，选项A 错误； A ∪B ＝{x |0<x <2}，选项B 错误；集合A 是集合B 的子集，选项C 正确，选项D 错误. 3.若|a |＝|b |＝1，(a ＋2b )⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 C解析 ∵|a |＝1，|b |＝1，a ⊥(a ＋2b )， ∴a ·(a ＋2b )＝0， ∴a 2＋2a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－12a 2＝－12，∴cos 〈a ，b 〉＝－121×1＝－12，∵0°≤〈a ，b 〉≤180°，∴向量a 与b 的夹角是120°.4.若双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1与C 2：y 2a 2－x 2b 2＝1(b >a >0)的离心率分别为e 1和e 2，则下列说法正确的是( )A.e 21＝e 22B.1e 21＋1e 22＝1 C.C 1与C 2的渐近线相同 D.C 1与C 2有8个公共点答案 A解析 C 1的离心率为e 1＝c 1a＝a 2＋b 2a ；C 2的离心率为e 2＝c 2a ＝a 2＋b 2a， ∴e 1＝e 2，e 21＝e 22，∴A 对，B 错；∵C 1的渐近线方程为y ＝±b a x ，C 2的渐近线方程为y ＝±ab x ，∴C 错；C 1与C 2有4个公共点，D 错，故选A.5.(2018·山东省实验中学模拟)函数f (x )＝ln (x 2－4x ＋4)(x －2)3的图象可能是( )答案 A解析 当x ＝0时，f (x )＝f (0)＝－ln 48<0，则选项B ，C 错误；当x →＋∞时，f (x )>0，据此可排除D 选项.6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.36 答案 C解析 由三视图可知，该几何体为如图所示的多面体ABC －DEF ，它是由三棱柱ABC －DGF 截去三棱锥E －DGF 后所剩的几何体，所以其体积V ＝12×3×4×5－13×12×3×4×3＝24，故选C.7.(2018·辽宁省重点高中协作校模拟)下图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“中国剩余定理”.已知正整数n 被 3除余2, 被7除余4，被8除余5，求n 的最小值.执行该程序框图，则输出的n 等于( )A.62B.59C.53D.50 答案 C8.(2018·成都模拟)将f (x )＝2sin 2x －2cos 2x ＋1的图象向左平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，则下列关于函数y ＝g (x )的说法错误的是( ) A.函数y ＝g (x )的最小正周期是π B.函数y ＝g (x )的一条对称轴方程是x ＝π8C.函数y ＝g (x )的一个零点是3π8D.函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，5π8上单调递减 答案 D解析 由题意可知f (x )＝2sin 2x －2cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，则平移后， 得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＋1－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，5π8，则2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，3π2，则函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，5π8上不单调，D 选项说法错误.9.有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟 答案 C解析 根据题意，每秒细菌杀死的病毒数成等比数列， 设需要n 秒细菌将病毒全部杀死， 则1＋2＋22＋23＋…＋2n －1≥200， ∴1－2n1－2≥200， ∴2n ≥201，又n ∈N ，∴n ≥8，即至少需8秒钟细菌将病毒全部杀死，故选C.10.(2018·广州模拟)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1) ，且f (x )是偶函数，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有 4 个零点，则实数a 的取值范围是( )A.(1,5)B.(1,5]C.(5，＋∞)D.[5，＋∞) 答案 D解析 由题意可知函数f (x )是周期T ＝2的偶函数，结合当x ∈[－1,0] 时，f (x )＝x 2，绘制函数图象如图所示，函数g (x )有4个零点，则函数f (x )与函数y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－1,3]内有4个交点，结合函数图象可得，当x ＝3时，log a (3＋2)≤1，求解对数不等式可得a ≥5.11.已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，e 为双曲线的离心率，P是双曲线右支上的点，△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为B ，则|OB |等于( ) A.a B.b C.ea D.eb 答案 A解析 延长F 2B 交PF 1于点C ，由|PF 1|－|PF 2|＝2a 及圆的切线长定理知， |AF 1|－|AF 2|＝2a ，设内切圆的圆心I 的横坐标为x ，则(x ＋c )－(c －x )＝2a ，∴x ＝a ，在△PCF 2中，由题意得，它是一个等腰三角形，|PC |＝|PF 2|，B 为CF 2的中点， ∴在△F 1CF 2中，有|OB |＝12|CF 1|＝12(|PF 1|－|PC |)＝12(|PF 1|－|PF 2|)＝12×2a ＝a .12.设min{m ，n }表示m ，n 二者中较小的一个，已知函数f (x )＝x 2＋8x ＋14，g (x )＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫12x －2，log 24x (x >0).若∀x 1∈[－5，a ](a ≥－4)，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则a 的最大值为( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.0 答案 C解析 由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 24x ，0<x <1，⎝⎛⎭⎫12x －2，x ≥1，则g (x )max ＝g (1)＝2.在同一坐标系作出函数f (x )(－5≤x ≤a )和g (x )(x >0)的图象，如图所示.由f (x )＝2，得x ＝－6或－2，∵∀x 1∈[－5，a ]，∃x 2∈(0，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，∴－4≤a ≤－2，∴a 的最大值为－2.13.(2018·西安模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x ＋3y －9≥0，x －2y －1≤0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值是________. 答案 5解析 绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)， 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －9＝0，x －2y －1＝0，可得A ()3，1，据此可知z min ＝x ＋2y ＝3＋2×1＝5.14.函数f (x )＝⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋sin x ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin x 的最小正周期为____________，最大值为____________.答案 π 12解析 f (x )＝⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋sin x ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin x ＝12⎣⎡⎦⎤12cos 2x ＋32sin 2x ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为12.15.“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目，包含射击、击剑、游泳、马术和越野五项运动.规定每一项运动的前三名得分都分别为a ，b ，c (a >b >c ，且a ，b ，c ∈N *)，每位选手各项得分之和为最终得分.在一次比赛中，只有甲、乙、丙三人参加“现代五项”，甲最终得22分，乙和丙最终各得9分，且乙的马术比赛获得了第一名，则a ＝________，游泳比赛的第三名是________. 答案 5 乙解析 ∵5(a ＋b ＋c )＝22＋9＋9，故a ＋b ＋c ＝8，每个项目三个名次的分值情况只有两种：①5分、2分、1分；②4分、3分、1分， 对于情况②4分、3分、1分，五场比赛甲不可能得22分，不合题意； 只能情况①5分、2分、1分符合题意，所以a ＝5.因为乙的马术比赛获得第一名，5分，余下四个项目共得4分，只能是四个第三名； 余下四个第一名，若甲得三个第一名，15分，还有两个项目得7分，不可能，故甲必须得四个第一名，一个第二名，余下一个马术第三名，四个第二名，刚好符合丙得分，由此可得游泳比赛的第三名是乙.16.(2018·合肥模拟)已知半径为3 cm 的球内有一个内接四棱锥S －ABCD ，四棱锥S －ABCD 的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S －ABCD 的体积最大时，它的底面边长等于________cm. 答案 4解析 如图，设四棱锥S －ABCD 的侧棱长为x ，底面正方形的边长为a ，棱锥的高为h .由题意可得顶点S 在底面上的射影为底面正方形的中心O 1，则球心O 在高SO 1上. 在Rt △OO 1B 中， OO 1＝h －3，OB ＝3，O 1B ＝22a ， ∴32＝()h －32＋⎝⎛⎭⎫22a 2，整理得a 2＝12h －2h 2. 又在Rt △SO 1B 中，有x 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2＝h 2＋(6h －h 2)＝6h ， ∴h ＝x 26.∴a 2＝2x 2－x 418，∴V S －ABCD ＝13·a 2·h ＝13×⎝⎛⎭⎫2x 2－x 418×x 26＝1324(－x 6＋36x 4).设f ()x ＝－x 6＋36x 4(x >0)，则f ′()x ＝－6x 5＋144x 3＝－6x 3()x 2－24，∴当0<x <26时， f ′()x >0，f ()x 单调递增， 当x >26时， f ′()x <0，f ()x 单调递减.∴当x ＝26时f ()x 取得最大值，即四棱锥S －ABCD 的体积取得最大值， 此时a 2＝2×()262－()26418＝16，解得a ＝4.∴当四棱锥S －ABCD 的体积最大时，底面边长等于4 cm.。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：解答题通关练2+Word版含解析
当3≤n≤12时，5≤an≤23，bn＝[log5an]＝1，共10项；
当13≤n≤62时，25≤an≤123，bn＝[log5an]＝2，共50项；
当63≤n≤200时，125≤an≤399，bn＝[log5an]＝3，共138项.
(1)解由条件可知数1)×2＝2n，
故an＝ (n∈N*).
(2)证明依题意可知a ＝ 2＝ · < · · ＝ ，n≥2，n∈N*.
又因为a ＝ ，
所以a ＋a ＋a ＋…＋a <
＝
< ×2＝ .
故a ＋a ＋a ＋…＋a < .
3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝5,3a5＋a9＝S6.
bn＝ ＝n－3，令cn＝3bn，则cn＝3n－3，
显然数列{cn}是等比数列，且c1＝3－2，公比q＝3，
所以数列{3bn}的前n项和Sn＝ ＝ (n∈N*).
2.(2018·巩义模拟)已知数列{an}满足a1＝ ， ＝ ＋2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：a ＋a ＋a ＋…＋a < .
(1)求b1，b14，b61；
(2)求数列{bn}的前200项和.
解(1)设等差数列{an}的公差为d，
由已知S9＝81，根据等差数列的性质可知，S9＝9a5＝9(a1＋4d)＝81，
∴a1＋4d＝9.
∵a1＝1，∴d＝2，
∴an＝2n－1，
∴b1＝[log51]＝0，b14＝[log527]＝2，b61＝[log5121]＝2.
(2)由(1)得，b1＝a6＝2×6＋3＝15.
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：压轴小题组合练(A)Word版含解析
压轴小题组合练 压轴小题组合练(A)1.若f (x )＝ln xx ，e<a <b ，则( )A.f (a )>f (b )B.f (a )＝f (b )C.f (a )<f (b )D.f (a )f (b )>1答案 A解析 由f ′(x )＝1－ln xx 2<0，解得x >e ，∴f (x )在(e ，＋∞)上为减函数， ∵e<a <b ，∴f (a )>f (b ).2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x ＜0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0(a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x的方程|f (x )|＝2－x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，23 B.⎣⎡⎦⎤23，34 C.⎣⎡⎦⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34D.⎣⎡⎭⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34答案 C解析 由题设可得⎩⎨⎧0＜a ＜1，－4a －32≥0，3a ≥1，解得13≤a ≤34.结合图象(图略)可知方程|f (x )|＝2－x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别只有一个实数根.当3a ＞2，即a ＞23时，则x 2＋(4a －3)x ＋3a ＝2－x 只有一个解，则Δ＝(4a －2)2－4(3a －2)＝0，解得a ＝34或a ＝1(舍去)，经检验a ＝34，符合题意；当1≤3a ≤2，即13≤a ≤23时，符合题设条件.综上，所求实数a 的取值范围是13≤a ≤23或a ＝34.故选C. 3.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2f (x －2)，x ∈(1，＋∞)，1－|x |，x ∈[－1，1]，若关于x 的方程f (x )－log a (x ＋1)＝0(a ＞0，且a≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3) B.(45，＋∞) C.(3，＋∞) D.(45，3)答案 C解析 要使方程f (x )－log a (x ＋1)＝0(a ＞0且a ≠1)在区间[0,5]内恰有5个不同的根，只需函数y ＝f (x )与y ＝log a (x ＋1)的图象在区间[0,5]内恰有5个不同的交点，显然a >1，在同一坐标系内作出它们的图象如图：要使它们在区间[0,5]内恰有5个不同的交点，只需⎩⎪⎨⎪⎧log a 3＜2，log a 5＜4，得a ＞3，故选C.4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n (λ－n )－6，若数列{a n }为递减数列，则λ的取值范围是( ) A.(－∞，2) B.(－∞，3) C.(－∞，4) D.(－∞，5)答案 A解析 ∵S n ＝3n (λ－n )－6，① ∴S n －1＝3n －1(λ－n ＋1)－6，n ≥2，②由①－②，得a n ＝3n －1(2λ－2n －1)(n ≥2，n ∈N *). ∵数列{a n }为递减数列， ∴a n ＞a n ＋1，∴3n －1(2λ－2n －1)＞3n (2λ－2n －3)， 化为λ＜n ＋2(n ≥2)，∴λ＜4.又a 1＞a 2，∴λ＜2.综上，λ＜2.5.如果定义在R 上的函数f (x )，对任意m ≠n ，均有mf (m )＋nf (n )－mf (n )－nf (m )>0成立，则称函数f (x )为“H 函数”.给出下列函数： ①f (x )＝ln 2x －5；②f (x )＝－x 3＋4x ＋3； ③f (x )＝22x －2(sin x －cos x )；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.其中是“H 函数”的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 由题设，得(m －n )[f (m )－f (n )]>0(m ≠n ). ∴“H 函数”就是函数f (x )是R 上的增函数. 对于①，f (x )＝ln 2x －5，显然f (x )为R 上的增函数；对于②，当x ＝0和x ＝2时函数值相等，因此函数f (x )＝－x 3＋4x ＋3不可能是R 上的增函数；对于③，f ′(x )＝22－22cos ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0在R 上恒成立，则f (x )＝22x －2(sin x －cos x )是R 上的增函数；对于④，当x ＝0和x ＝1时函数值相等，因此函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0不可能为R 上的增函数，因此符合条件的函数个数为2.6.(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a ，对任意的x 1，x 2∈[0,1]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤a －2恒成立，则a 的取值范围为( ) A.[e 2，＋∞) B.[e ，＋∞) C.[2，e] D.[e ，e 2]答案 A解析 由题意可得|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (x )max －f (x )min ≤a －2，且a >2，由于f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝()a x－1ln a ＋2x ，所以当x >0时， f ′(x )>0，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 则f (x )max ＝f (1)＝a ＋1－ln a ，f (x )min ＝f (0)＝1， 所以f (x )max －f (x )min ＝a －ln a ，故a －2≥a －ln a ，即ln a ≥2，所以a ≥e 2，即a 的取值范围为[)e 2，＋∞.7.(2018·洛阳统考)在△ABC 中，点P 满足＝2，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若＝m ，＝n (m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A.3 B.4 C.83 D.103答案 A解析 ∵＝＋＝＋23＝13＋23＝13m ＋23n，∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n ＝1，∵m >0，n >0，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )·⎝⎛⎭⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22m 3n ·2n3m＝3， 当且仅当2m 3n ＝2n3m，即m ＝n ＝1时等号成立.8.(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝x 2＋e x (x <0)与g (x )＝x 2＋ln(x ＋a )的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，e) B.⎝⎛⎭⎫－∞，1e C.⎝⎛⎭⎫－1e ，e D.⎝⎛⎭⎫－e ，1e 答案 A解析 由已知得，方程f (x )＝g (－x )在x <0时有解， 即e x －ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解， 令m (x )＝e x －ln(－x ＋a )，则m (x )＝e x －ln(－x ＋a )在其定义域上是增函数，且x →－∞时，m (x )<0， 当a ≤0，x →a 时，m (x )>0， 故e x －ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解，当a >0时，则e x －ln(－x ＋a )＝0在(－∞，0)上有解可化为e 0－ln a >0，即ln a <1，故0<a <e ， 综上所述，a ∈(－∞，e)，故选A.9.若曲线y ＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C.(0，＋∞) D.[0，＋∞)答案 D解析 由题意得y ′＝1x ＋2ax ≥0在(0，＋∞)上恒成立，∴a ≥－12x2在(0，＋∞)上恒成立.令f (x )＝－12x 2，x ∈(0，＋∞)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )＝－12x 2<0，∴a ≥0.10.已知[x )表示大于x 的最小整数，例如[3)＝4，[－1.3)＝－1，下列命题中正确的是( ) ①函数f (x )＝[x )－x 的值域是(0,1]；②若{a n }是等差数列，则{[a n )}也是等差数列； ③若{a n }是等比数列，则{[a n )}也是等比数列； ④若x ∈(1,2 014)，则方程[x )－x ＝12有2 013个根.A.②④B.③④C.①③D.①④ 答案 D解析 当x ∈Z 时， [x )＝x ＋1，f (x )＝[x )－x ＝x ＋1－x ＝1; 当x ∉Z 时，令x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0,1)，则[x )＝n ＋1，f (x )＝[x )－x ＝1－a ∈(0,1)，因此f (x )＝[x )－x 的值域是(0,1]；0.9,1,1.1是等差数列，但[0.9)＝1，[1)＝2，[1.1)＝2不成等差数列； 0.5,1,2是等比数列，但[0.5)＝1，[1)＝2，[2)＝3不成等比数列；由前分析可得当x ∈Z 时， f (x )＝1；当x ∉Z ，x ＝n ＋a ，n ∈Z ，a ∈(0,1)时， f (x )＝1－a ＝1－(x －n )＝n ＋1－x ，所以f (x ＋1)＝f (x ) ，即f (x )＝[x )－x 是周期为1的函数，由于x ∈(1,2)时f (x )＝2－x ＝12，x ＝32，即一个周期内有一个根，所以若x ∈(1,2 014)，则方程[x )－x ＝12有2 013个根. ①④正确，故选D.11.已知等差数列{a n }的首项为1，a 1＋a 3＋a 5＝15，{a n }的前n 项和为S n ，若S 10，a 10＋1，k (其中k ∈R )成等比数列，则实数k 的值是( )A.7B.6C.5D.4答案 D解析 根据题意可得，a 1＝1,3a 3＝15，即a 3＝5，设等差数列{a n }的公差为d ，解得d ＝2，所以等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1，S 10＝10×1＋10×92×2＝100，a 10＝2×10－1＝19，又S 10，a 10＋1，k (其中k ∈R )成等比数列，所以(a 10＋1)2＝k ·S 10，k ＝(a 10＋1)2S 10＝4，故选D.12.已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S n ＝f (n )，则S n －4aa n －1的最小值为( )A.276B.358C.143D.378答案 D解析 由题意可得a 2－4＝2a －8或a 2－4＋2a －8＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋82，解得a ＝1或a ＝－4.当a ＝1时，f (x )＝x 2＋9x －10，数列{a n }不是等差数列； 当a ＝－4时，f (x )＝x 2＋4x ，S n ＝f (n )＝n 2＋4n ， ∴a 1＝5，a 2＝7，a n ＝5＋(7－5)(n －1)＝2n ＋3，∴S n －4a a n －1＝n 2＋4n ＋162n ＋2＝12×(n ＋1)2＋2(n ＋1)＋13n ＋1＝12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n ＋1)＋13n ＋1＋2≥12⎝⎛⎭⎪⎫2(n ＋1)×13n ＋1＋2＝13＋1，当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时取等号，∵n 为正整数，故当n ＝3时原式取最小值378，故选D.13.(2018·郑州外国语学校调研)已知实数x ，y 满足3x －y ≤ln(x ＋2y －3)＋ln(2x －3y ＋5)，则x ＋y ＝________.答案167解析 设f (t )＝ln t －t ＋1， 令f ′(t )＝1t－1＝0，得t ＝1，所以当0<t <1时，f ′(t )>0，当t >1时，f ′(t )<0，因此f (t )≤f (1)＝0，即ln t ≤t －1， 所以ln(x ＋2y －3)≤x ＋2y －3－1， ln(2x －3y ＋5)≤2x －3y ＋5－1，因此ln(x ＋2y －3)＋ln(2x －3y ＋5)≤x ＋2y －3－1＋2x －3y ＋5－1＝3x －y ， 因为3x －y ≤ln(x ＋2y －3)＋ln(2x －3y ＋5)，所以x ＋2y －3＝1,2x －3y ＋5＝1，所以x ＝47，y ＝127，所以x ＋y ＝167.14.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，log a |x －1|＋1，x ≠1且a >1，若函数g (x )＝f 2(x )＋bf (x )＋c 有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝________. 答案 2解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由图可得关于x 的方程f (x )＝t 的解有两个或三个(t ＝1时有三个，t ≠1时有两个)，所以关于t 的方程t 2＋bt ＋c ＝0只能有一个根t ＝1(若有两个根，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有四个或五个根)，由f (x )＝1，可得x 1，x 2，x 3的值分别为0,1,2，x 1x 2＋x 2x 3＋x 1x 3＝0×1＋1×2＋0×2＝2.15.在△ABC 中，AB ＝62，AC ＝6，∠BAC ＝π4，点D 满足＝23，点E 在线段AD 上运动，若＝λ＋μ，则3λ＋13μ取得最小值时，向量的模为________.答案 2 5解析 在△ABC 中，AB ＝62，AC ＝6，∠BAC ＝π4，可得BC ＝6 . ∵点D 满足＝23，∴CD ＝2.如图建立平面直角坐标系，则A (0,6)，B (6,0)，D (2,0)，设＝k ＝(2k ，－6k )，＝λ＋μ＝λ(6，－6)＋μ(0，－6)＝(6λ，－6λ－6μ)， ∴2k ＝6λ，－6k ＝－6λ－6μ，∴μ＝2λ， ∴3λ＋13μ＝3λ＋16λ≥212＝2， 当且仅当λ2＝118 时等号成立.此时＝(6λ，－18λ)，||＝36λ2＋324λ2＝2 5 .16.已知函数f (x )＝x e x ＋c 有两个零点，则c 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，1e 解析 ∵f ′(x )＝e x (x ＋1)，∴易知f (x )在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (－1)＝c －e －1，由题意得c －e －1<0，得c <e －1.。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(5) Word版含解析
12＋4满分练(5)1.i 是虚数单位，(1－i)z ＝2i ，则复数z 的模等于( )A.1B. 2C. 3D.2答案 B解析 由题意知z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则|z |＝(－1)2＋12＝ 2.2.已知集合P ＝{x |－1≤x <2}，集合Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x ≤52，则P ∩Q 等于( )A.⎣⎡⎦⎤－1，52B.(0,2)C.[－1,2)D.⎝⎛⎦⎤2，52答案 B解析 P ∩Q ＝(0,2)，故选B.3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a ＝3e 1－e 2，b ＝2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为() A.120° B.60°C.45°D.30°答案 C解析 ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量，∴||e 1||＝e 2＝1，e 1·e 2＝0，∴||a ＝()3e 1－e 22 ＝9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22 ＝10，||b ＝()2e 1＋e 22 ＝4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22 ＝5，a ·b ＝()3e 1－e 2·()2e 1＋e 2＝6||e 12－||e 22＝5，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ||a ||b ＝510×5＝22， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，故选C.4.已知整数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7≥0，x ＋2y －5>0，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.16B.17C.13D.14答案 A 解析 可行域如图所示，令z ＝3x ＋4y ，当动直线3x ＋4y －z ＝0过点A 时，z 有最小值.又由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)，但点(3,1)不在可行域内，故当直线过可行域内的整点(4,1)时，z 有最小值16.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.23B.223C. 2D.22 答案 B解析 题中三视图表示的几何体如图所示，其中△P AD 为等腰直角三角形，平面P AD ⊥平面。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(6) Word版含解析
12＋4 满分练(6)1.已知集合M ＝{x |y ＝x 2＋1}，N ＝{y |y ＝x ＋1}，则M ∩N 等于( ) A.{(0,1)} B.{x |x ≥－1} C.{x |x ≥0} D.{x |x ≥1}答案 C解析 由题意可得M ＝{x |x ∈R }，N ＝{y |y ≥0}，则M ∩N ＝{x |x ≥0}.2.欧拉(Leonhard Euler ，国籍瑞士)是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e －4i表示的复数在复平面中位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B解析 e －4i ＝cos(－4)＋isin(－4)，∵cos(－4)＝－cos(4－π)<0，sin(－4)＝sin(4－π)>0， ∴e －4i 表示的复数在复平面中位于第二象限.3.已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5等于( )A.132B.116 C.14 D.12答案 A解析 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12.令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列.因此a 5＝a 1q 4＝⎝⎛⎭⎫125＝132.4.中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为( )9 1 2 5 6 8 8 0 0 1 2 4 5 7 8 7 0 2 2 3 3 3 4 5 5 6 9 6 0 2 2 3 4 4 4 5 7 7 8 9 56689A.2B.4C.5D.6答案 A解析 由茎叶图可得，获得“诗词达人”称号的有8人，据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为8×1040＝2.5.已知圆O ：x 2＋y 2＝4(O为坐标原点)经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴端点和两个焦点，则椭圆C 的标准方程为( ) A.x 24＋y 22＝1 B.x 28＋y 24＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 232＋y 216＝1 答案 B解析 由题意得b ＝2，c ＝2，则a 2＝b 2＋c 2＝8. ∴椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1.6.(2018·济宁模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 2 018等于( ) A.22 016 B.22 017 C.22 018 D.22 019 答案 B解析 ∵S n ＝2a n －1(n ∈N *)，∴当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－(2a n －1－1), 化为a n ＝2a n －1.当n ＝1时， a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1， ∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2， ∴a n ＝2n －1.∴a 2 018＝22 018－1＝22 017.。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(8)+Word版含解析
2019高考数学（文）通用版二轮精准提分练12＋4 满分练(8)1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∩B 等于( )A.[－2，－1]B.[－1,2)C.[－1,1]D.[1,2)答案 A解析 因为A ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，B ＝[－2,2]，所以A ∩B ＝[－2，－1].2.设复数z ＝21－i ，则下列命题中错误的是( )A.|z |＝ 2B.z ＝1－iC.在复平面上对应的点在第一象限D.虚部为2答案 D解析 由z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，知复数z 的虚部为1.3.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值为() A.2 B.6C.7D.8答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，易知目标函数z ＝x ＋2y 中的值随直线x ＋2y ＝0向上平移而增大，当过点C (1,3)时，z max ＝1＋2×3＝7，故选C.4.若圆锥曲线C ：x 2＋my 2＝1的离心率为2，则m 等于( )A.－13B.－3C.－19D.13答案 A解析 ∵离心率e ＝2>1，∴该圆锥曲线为双曲线，又x 2＋my 2＝1可化为x 2－y 2－1m ＝1， 则e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1－1m ＝4， 解得m ＝－13，故选A. 5.从某高铁站至A 地上午发车时间分别为7：00,8：00,8：30，小明需在当天乘车到A 地参加一高校自主招生，他在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A.13B.12C.23D.34答案 B解析 设小明到达时间为x ，当x 在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P ＝2040＝12，故选B. 6.已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为MOD(n ，m )，其结果为n 除以m 的余数，例如：MOD(8,3)＝2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n 的值为( )A.16B.14C.12D.10 答案 A解析 分析题意可知，可输入的n 的值应为不能被3整除但能被4整除，故选A.。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(2)Word版含解析
12＋4满分练(2)1.已知复数z 满足1＋iz ＝2－2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 等于( )A.i 2B.1＋iC.－i 2D.－1－i答案 A解析 z ＝1＋i2(1－i )＝(1＋i )22(1－i )(1＋i )＝2i 4＝i2.2.设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )等于( ) A.(－3,0) B.(－3，－1) C.(－3，－1] D.(－3,3)答案 C解析 因为A ＝{x |－3<x <3}，∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}， 所以A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}. 3.已知cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3等于( ) A.－1114 B.3314 C.5314 D.1314答案 D解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝17×12＋437×32＝1314. 4.用0,1,2，…，299给300名学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若从第一组抽取的学生的编号为8，则从第三组抽取的学生编号为( ) A.20 B.28 C.40 D.48 答案 D解析 ∵从300名学生中抽取15个样本， ∴组距是20，∵从第一组抽取的学生的编号为8，∴从第三组抽取的学生编号为8＋40＝48.5.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是杨辉三角数阵，记a n 为图中第n 行各个数之和，则a 5＋a 11的值为( )A.528B.1 020C.1 038D.1 040答案 D解析 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4＝22，a 4＝8＝23，a 5＝16＝24，…， 所以a n ＝2n －1，所以a 5＋a 11＝24＋210＝1 040，故选D.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期为π2B.直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴C.函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π6上单调递增 D.将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin 2x答案 D解析 A ＝2, T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2, π2＋2π32＝7π12 ，当x ＝7π12时， 2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解得 φ＝－2π3，所以函数是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，函数的最小正周期为π；当x ＝－π12时， 2×⎝⎛⎭⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数的对称轴；当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以D 正确，故选D.7.(2018·青岛模拟)执行如图所示的程序框图，若输入t ∈[－1,3]，则输出s 的取值范围是( )A.[e －2,1] B.[1，e] C.[0,1] D.[e －2，e]答案 C解析 由题设有s ＝⎩⎪⎨⎪⎧e t －1，t <1，log 3t ，t ≥1，当－1≤t <1时，e －2≤s <1； 当1≤t ≤3时，0≤s ≤1，从而当－1≤t ≤3时，0≤s ≤1，故选C.8.如图1，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，该四棱锥的俯视图如图2所示，则AD 的长是( )A. 3B.2 3C. 2D.2 2答案 A解析 根据俯视图可知BD ＝2，CD ＝4，BC ＝23，所以△BCD 为直角三角形，且∠CDB ＝60°，由于AB ∥CD ，所以∠ABD ＝∠CDB ＝60°，所以AD ＝BD sin 60°＝ 3.故选A.9.(2018·德阳模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是5，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M ，若△OFM 的面积是1，则双曲线E 的实轴长是( ) A.1 B.2 C. 2 D.2 2 答案 B解析 由于双曲线焦点到渐近线的距离为b ，故|OF |＝c ，|OM |＝a ，|FM |＝b ，根据面积公式有12ab ＝1，ab ＝2.又ca ＝5，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝1，b ＝2，c ＝5，故实轴长2a ＝2，故选B.10.若曲线y ＝ln x ＋1的一条切线是y ＝ax ＋b ，则4a ＋e b 的最小值是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 答案 C解析 设切点为(m ，ln m ＋1)(m >0)，f ′(x )＝1x ，f ′(m )＝1m ，故切线方程为y －(ln m ＋1)＝1m (x－m )，即y ＝1m x ＋ln m ，所以a ＝1m ，b ＝ln m,4a ＋e b ＝4m ＋m ≥24m ·m ＝4，当且仅当4m＝m ，即m ＝2时取等号.故选C.11.(2018·成都模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝10，·＝25，点P 是△ABC 内(包括边界)的一动点，且＝35－25λ(λ∈R )，则||的最大值是( )A.332B.37C.39D.41答案 B解析 因为P 为△ABC 内(含边界)的动点，所以⎩⎨⎧－25λ≥0，35－25λ≤1，从而－1≤λ≤0.又2＝2＝16λ2－12λ＋9，因为－1≤λ≤0，所以2的最大值为37，故||max ＝37，故选B.12.已知函数f (x )＝120182018log ,01,log ,x x x x <<⎧⎪⎨⎪⎩≥1,若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则4a 2＋b 2＋2a ＋b 的取值范围是( ) A.(2＋22，＋∞)B.[2＋22，＋∞)C.(4＋22，＋∞)D.[4＋22，＋∞)答案 D解析 先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，0<a <1<b ，设f (a )＝f (b )＝t ，则120182018log ,log a t b t=⎧⎪⎨⎪=⎩ (t >0)，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2 018－t，b ＝2 018t ，所以ab ＝1,2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ， 而2 018t >0，所以2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t ＝2时等号成立. 令m ＝2a ＋b ，则m ≥22，故4a 2＋b 2＋2a ＋b ＝(2a ＋b )2＋(2a ＋b )－4＝m 2＋m －4＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174， 因为y ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174在[22，＋∞)上单调递增， 所以4a 2`＋b 2＋2a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174≥4＋2 2. 13.(2018·绵阳模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是________.答案 6解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y ＝32x －z2过点(2,0)时，z 取最小值6.14.在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个实数x ，则事件“－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤22”发生的概率是________. 答案512解析 因为－π2≤x ≤π2，所以－π3≤x ＋π6≤2π3，由于－12≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤22，所以－π6≤x ＋π6≤π4， 所以－π3≤x ≤π12，故概率为π12－⎝⎛⎭⎫－π3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝512.15.如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，则四边形ABCD 的面积为___________.答案610解析 如图所示，连接BD ，因为ABCD 为圆内接四边形，所以A ＋C ＝180°， cos A ＝－cos C ，利用余弦定理得cos A ＝62＋52－BD 22×6×5，cos C ＝32＋42－BD 22×3×4，解得BD 2＝2477，所以cos C ＝－37.由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝2107，因为A ＋C ＝180°，所以sin A ＝sin C ＝2107，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×5×6×2107＋12×3×4×2107＝610.16.已知圆锥的高为3，侧面积为20π，若此圆锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________. 答案256π81解析 设圆锥的母线长为l ，底面的半径为r ， 则πrl ＝20π，即rl ＝20， 又l 2－r 2＝9， 解得l ＝5，r ＝4.当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为R ，则 12(5＋5＋8)×R ＝12×3×8，故R ＝43， 所以V max ＝43π⎝⎛⎭⎫433＝256π81.。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：解答通关练7Word版含解析
7.坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1， 由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0， 设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.解 (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0， 所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋4－3|2＝22<4， 所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为242－⎝⎛⎭⎫222＝62. 3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝π6(ρ>0). (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0， 所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝33x (x >0). (2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6， ⎝⎛⎭⎫ρ2，π6， 将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23， 将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1， 所以||PQ ＝||ρ1－ρ2＝23－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝π6的距离为d ＝||OC 1sin π6＝1， 所以S △C 1PQ ＝12||PQ ·d ＝12()23－1＝3－12. 4.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ， 代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大， 此时|AB |＝22＋4，O 到AB 的距离为2，∴△OAB 的面积为S ＝12(22＋4)·2＝2＋2 2.。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练习：第一篇第5练数学文化Word版含解析
第5练 数学文化[明晰考情] 1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：中档难度.考点一 算法、数列中的数学文化方法技巧 (1)和算法结合的数学文化，要读懂程序框图，按程序框图依次执行. (2)数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型. 1.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的a 为( )A.4B.2C.0D.14 答案 B解析 由题意可知输出的a 是18,14的最大公约数2，故选B.2.(2018·石嘴山模拟)《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为( ) A.12 B.1629 C.1631 D.815答案 B解析 依题意设每天多织d 尺，依题意得S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629. 3.(2018·葫芦岛模拟)20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成3n ＋1；如果n 是个偶数，则下一步变成n2，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A.5B.16C.5或32D.4或5或32答案 C解析 当n ＝5时，执行程序框图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6； 当n ＝32时，执行程序框图，i ＝1，n ＝16，i ＝2，n ＝8，i ＝3，n ＝4，i ＝4，n ＝2，i ＝5， n ＝1，i ＝6，结束循环，输出i ＝6.易知当n ＝4时，不符合，故n ＝5或n ＝32，故选C.4.名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5,2，则输出的n 等于( )A.2B.3C.4D.5答案 C解析 当n ＝1时，a ＝152，b ＝4，满足进行循环的条件，当n ＝2时，a ＝454，b ＝8，满足进行循环的条件，当n ＝3时，a ＝1358，b ＝16，满足进行循环的条件，当n ＝4时，a ＝40516，b ＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n 值为4.5.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%.今共有粮m (m ＞0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为( ) A.20%,369 B.80%,369 C.40%,360 D.60%,365答案 A解析 设“衰分比”为a ，甲衰分得b 石，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b (1－a )2＝80，b (1－a )＋b (1－a )3＝164，b ＋80＋164＝m ，解得b ＝125，a ＝20%，m ＝369.6.(2018·浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝____________， y ＝________. 答案 8 11解析 方法一 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.方法二 100－81＝19(只)， 81÷3＝27(元)， 100－27＝73(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则 5×19＝95(元). 因为95－73＝22(元)， 所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)， 鸡翁：19－11＝8(只).考点二 三角函数与几何中的数学文化方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.7.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是( ) A.3步 B.6步 C.4步 D.8步 答案 B解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17， 设其内切圆半径为r ，则有8r 2＋15r 2＋17r 2＝12×8×15(等积法)，解得r ＝3，故其直径为6步.8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tan α等于( )A.34B.38C.5D.15 答案 A解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2， ∴2＝10cos α－10sin α， ∴cos α－sin α＝15，又α为锐角，易求得tan α＝34.9.(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.10.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A.4－π2B.8－4π3C.8－πD.8－2π答案 C解析 由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V正方体＝23＝8，V半圆柱＝12(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V′＝V＝8－π.11.(2018·蚌埠模拟)我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为()A.5尺B.9尺C.10.6尺D.21.2尺答案 D解析设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则2πr＝54，r≈9.粟米250斛，则体积为250×1.62＝13×π×92×h，h≈5.谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R尺.则R2＝(h－R)2＋r2，解得R≈10.6(尺).∴2R≈21.2(尺).12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1<c2a2；④c1a2>a1c2.其中正确的式子的序号是()A.①③B.①④C.②③D.②④答案 D解析 ①由题图知2a 1>2a 2,2c 1>2c 2，即a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，∴①不正确. ②∵a 1－c 1＝|PF |，a 2－c 2＝|PF |，∴a 1－c 1＝a 2－c 2，∴②正确.④∵a 1>a 2>0，c 1>c 2>0，∴a 21>a 22，c 21>c 22.又∵a 1－c 1＝a 2－c 2， 即a 1＋c 2＝a 2＋c 1，即a 21＋c 22＋2a 1c 2＝a 22＋c 21＋2a 2c 1，∴a 21－c 21＋c 22－a 22＋2a 1c 2＝2a 2c 1，即(a 1－c 1)(a 1＋c 1)－(a 2－c 2)(a 2＋c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1，整理得(a 1－c 1)(a 1－a 2＋c 1－c 2)＋2a 1c 2＝2a 2c 1. ∵a 1>c 1，a 1>a 2，c 1>c 2，∴2a 1c 2<2a 2c 1，即c 1a 2>a 1c 2， ∴④正确.③∵c 1a 2>a 1c 2，a 1>0，a 2>0，∴c 1a 2a 1a 2>a 1c 2a 1a 2，即c 1a 1>c 2a 2，∴③不正确.故选D.考点三 概率、统计与推理证明中的数学文化方法技巧 (1)概率、统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型. (2)推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论.13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石答案 B解析 由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为 28254×1 534≈169(石). 14.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343,12 521等，两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是( ) A.19 B.49 C.110 D.910 答案 B解析 三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B 1,2B 2,3B 3，…，B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…， 共有9×10＝90(个)；其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B 2,4B 4,6B 6,8B 8， B 共有0到9共10种可能，即A 0A ，A 1A ，A 2A ，A 3A ，…， 其有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率P ＝4090＝49.15.(2018·永州模拟)我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1,2,3，…， n 2填入n ×n 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为N n (如：在3阶幻方中，N 3＝15)，则N 10等于( )A.1 020B.1 010C.510D.505 答案 D解析 n 阶幻方共有n 2个数，其和为1＋2＋…＋n 2＝n2()n 2＋12，∵n 阶幻方共有n 行，∴每行的和为n 2(n 2＋1)2n ＝n (n 2＋1)2，即N n ＝n (n 2＋1)2，∴N 10＝10×(102＋1)2＝505.16.(2018·贵港市联考)《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为( )A.2129B.2329C.1112D.1213 答案 A解析 如图所示，设水深为x 尺，由题意得(x ＋2)2＝x 2＋52，求解关于实数x 的方程，可得x ＝214，即水深为214尺，又葭长为294尺，则所求问题的概率为P ＝2129.故选A.17.(2018·北京朝阳区模拟)庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或 “节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下： 甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案 A解析 由四人的预测可得下表：由分析可知，中奖者是甲.1.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？”( ) A.439 B.778 C.776 D.581答案 B解析 设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设公差为d ，则每一等人比下一等人多得d 斤金，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 8＋a 9＋a 10＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋24d ＝4，解得d ＝778，∴每一等人比下一等人多得778斤金.2.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少升大米？( )A.1 170B.1 380C.3 090D.3 300答案 D解析 设第n 天派出的人数为a n ，则{a n }是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n 天修筑堤坝的人数为S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝64n ＋n (n －1)2×7，所以前5天共分发的大米数为3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)×64＋(1＋3＋6＋10)×7]＝3 300(升).3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( ) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里 答案 B解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，由题意得a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里，故选B.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是( )(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； ②一尺等于十寸) A.1寸 B.2寸 C.3寸 D.4寸答案 C解析 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.∵积水深9寸，∴水面半径为12(14＋6)＝10(寸)，则盆中水的体积为13π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸).∴平地降雨量等于588ππ×142＝3(寸).故选C.5.(2018·吉林调研)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“ 李白街上走，提壶去买酒。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：解答题通关练6.doc
6.函数与导数21 .已知函数/(x)=尤2+尤+111 x.⑴求曲线y=/3)在点(1,犬1))处的切线方程；⑵求证：.… 2 . ,. > s, 1 h «. , —2(2JV+1) 1 x3+2x2—3x—2(1)解的定义域ze(O, +°°), f 3)= 仃+占 +[= (/+工)2 ，所以/■' (1)=-|,又犬1)=1,则切线方程为x+2y—3=0.(2)证明令 7Z(X)=X3+2X2—3x—2,则/z' (X)=3X2+4X-3,设h' (x) = 0的两根为Xi, x2,由于X\X2 =—I V O,不妨设 Xi<0, %2>0,则。
⑴在(0,尤2)上是单调递减的，在(尤2，+8)上是单调递增的.而 7z(0)<0, Zz⑴vO, /z(2)>0,所以力3)在(0, +8)上存在唯一零点;vo，且x0e(l,2),所以/(X)在(0,而)上单调递减，在(而，+8)上单调递增.2 所以fix)部鬲)=茶成+In而，2 因为为£(1,2), In x0>0, y(x)> 2 I —>0, 刀o十工0所以川)>0.2.已知函数/(x)=lnx, g(x)=J(x)+aX1+bx,函数g(x)的图象在点(1, g(l))处的切线平行于尤轴.(1)确定"与人的关系；(2)若"30,试讨论函数g(x)的单调性.解(1)依题意得 g(x) = In x~\~ax + bx, x>0,则g‘ 3)=?+2ax+/?,由函数g(x)的图象在点(1, g(l))处的切线平行于x轴得，g f (1)=1 + 2。
+»=0,—2a一 1., s lax—(2。
+1)式+1(2)由(1)得矿(x)= ------ 七~L—(2ox—l)(x—1)x，•:函数g(x)的定义域为(0, +°°),■X—］• .当"=0 时，g' (x)= — ~~~,由 g' O)>0 得 O<X<1,由矿(x)vO得Q1;若。
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12＋4 满分练(8)1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x ||x |≤2}，则A ∩B 等于( ) A.[－2，－1] B.[－1,2) C.[－1,1] D.[1,2)答案 A解析 因为A ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，B ＝[－2,2]， 所以A ∩B ＝[－2，－1]. 2.设复数z ＝21－i，则下列命题中错误的是( ) A.|z |＝ 2 B.z ＝1－iC.在复平面上对应的点在第一象限D.虚部为2 答案 D解析 由z ＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝1＋i ，知复数z 的虚部为1.3.若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A.2B.6C.7D.8答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，易知目标函数z ＝x ＋2y 中的值随直线x ＋2y ＝0向上平移而增大， 当过点C (1,3)时，z max ＝1＋2×3＝7，故选C.4.若圆锥曲线C ：x 2＋my 2＝1的离心率为2，则m 等于( )A.－13B.－3C.－19D.13答案 A解析 ∵离心率e ＝2>1， ∴该圆锥曲线为双曲线，又x 2＋my 2＝1可化为x 2－y 2－1m＝1，则e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1－1m＝4，解得m ＝－13，故选A.5.从某高铁站至A 地上午发车时间分别为7：00,8：00,8：30，小明需在当天乘车到A 地参加一高校自主招生，他在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34答案 B解析 设小明到达时间为x ，当x 在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟， 故P ＝2040＝12，故选B.6.已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为MOD(n ，m )，其结果为n 除以m 的余数，例如：MOD(8,3)＝2，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n 的值为( )A.16B.14C.12D.10答案 A解析 分析题意可知，可输入的n 的值应为不能被3整除但能被4整除，故选A.7.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )，且f (4)＝5，则f (2 018)的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5答案 D解析 由f (x ＋6)＝f (x )，知函数f (x )为周期函数，且周期T ＝6， 则f (2 018)＝f (6×337－4)＝f (－4)， 又函数f (x )为R 上的偶函数，所以f (2 018)＝f (－4)＝f (4)＝5，故选D.8.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A.56B.34 C.12 D.16答案 A解析 由三视图还原可知，原图形为一个棱长为1的正方体挖去了一个高为12的正四棱锥，所以体积为V ＝1－13×1×12＝56.9.已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0).将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数f (x )，下列命题正确的是( ) A.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上有最小值B.函数f (x )的一条对称轴为x ＝π12C.函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π6，π3上单调递增 D.函数f (x )的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0 答案 C解析 设将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到g (x )，则g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋φ， 因为g (x )为偶函数，且－π<φ<0，则2π3＋φ＝π2，即φ＝－π6 ，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 分别验证四个选项，只有C 正确，故选C.10.设x 1，x 2，x 3均为实数，且e －x 1＝log 2(x 1＋1)，e －x 2＝log 3x 2，e －x 3＝log 2x 3，则( ) A.x 3<x 2<x 1 B.x 1<x 3<x 2 C.x 3<x 1<x 2 D.x 2<x 1<x 3答案 B解析 在同一平面直角坐标系中，分别作出函数y ＝e －x ，y ＝log 3x ，y ＝log 2x ，y ＝log 2(x ＋1)的图象， 由图可知x 1<x 3<x 2，故选B.11.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (c,0).圆C ：(x －c )2＋y 2＝1上所有点都在椭圆E 的内部，过椭圆上任一点M 作圆C 的两条切线，A ，B 为切点，若∠AMB ＝θ，θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，则椭圆C 的离心率为( ) A.2－ 2 B.3－2 2 C.32－ 2 D.2－1答案 B解析 如图可知，当且仅当点M 为椭圆的左顶点时，∠AMB 最小，即∠AM 1B ＝π3，在Rt △AM 1C 中，|AC |＝1，∠AM 1C ＝30°，则|M 1C |＝a ＋c ＝2， 同理，当点M 为椭圆的右顶点时，∠AMB 最大， 可得|M 2C |＝a －c ＝2， 解得a ＝2＋22，c ＝2－22，离心率e ＝ca＝3－22，故选B.12.函数f (x )在定义域(0，＋∞)内恒满足：①f (x )＞0，②2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则( ) A.14＜f (1)f (2)＜12 B.116＜f (1)f (2)＜18 C.13＜f (1)f (2)＜12 D.18＜f (1)f (2)＜14答案 D解析 令g (x )＝f (x )x 2，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3， ∵∀x ∈(0，＋∞)，2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )恒成立， f (x )＞0，∴g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3＞0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (1)1＜f (2)4，∴f (1)f (2)＜14. 令h (x )＝f (x )x 3，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4，∵∀x ∈(0，＋∞)，2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )恒成立，∴h ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4＜0，∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∴f (1)1＞f (2)8，∴f (1)f (2)＞18. 综上可得18＜f (1)f (2)＜14，故选D.13.已知平面向量a ，b 满足(a ＋b )·(2a －b )＝－4，且|a |＝2，|b |＝4，则a 与b 的夹角为________. 答案 π3解析 由题意可得(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2－b 2＋a ·b ＝8－16＋a ·b ＝－4，解得a ·b ＝4， 设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝12，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.14.已知数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公差为1的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________. 答案 a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)解析 ∵ a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公差为1的等差数列， ∴当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝n (n ＋1)2， 又∵ a 1＝1满足上式， ∴ a n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *).15.在三棱锥D －ABC 中，AB ＝BC ＝DB ＝DC ＝1，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为________. 答案7π3解析 在三棱锥D －ABC 中，当且仅当AB ⊥平面BCD 时，三棱锥体积达到最大，此时，设外接球的半径为R ，外接球的球心为O ，点F 为△BCD 的中心， 则有R 2＝OB 2＝OF 2＋BF 2＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫332＝712，所以表面积S ＝4πR 2＝7π3.16.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝2B ，则b c ＋⎝⎛⎭⎫a b 2的最小值是________. 答案 3解析 由A ＝2B 及正弦定理可得， b c ＋⎝⎛⎭⎫a b 2＝sin Bsin (π－A －B )＋⎝⎛⎭⎫sin A sin B 2 ＝sin B sin (B ＋2B )＋⎝⎛⎭⎫2sin B cos B sin B 2＝sin B sin B cos 2B ＋cos B sin 2B ＋4cos 2B ＝1cos 2B ＋2cos 2B ＋4cos 2B ＝14cos 2B －1＋4cos 2B －1＋1≥3(∵A ＋B ＝3B <180°，则0°<B <60°，∴12<cos B <1，∴4cos 2B －1>0)，当且仅当14cos 2B －1＝4cos 2B －1， 即cos B ＝22， 即B ＝45°时取等号. 所以b c ＋⎝⎛⎭⎫a b 2的最小值为3.。