高等数学等价替换公式泰勒公式资料讲解
高等数学上泰勒公式
高等数学上泰勒公式泰勒公式是高等数学中的一个重要公式，用于将一个函数在其中一点附近展开成无限级数的形式。
通过泰勒公式，我们可以用多项式逼近函数的行为。
设f(x)在其中一点x=a附近具有n+1阶导数，那么根据泰勒公式，我们可以将f(x)在a点附近展开成以下形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rₙ其中，Rₙ为泰勒公式的余项，它表示了多项式逼近与原函数之间的误差。
根据余项的具体形式，泰勒公式又可以分为拉格朗日余项形式和皮亚诺余项形式。
拉格朗日余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为拉格朗日中值点。
皮亚诺余项形式如下：Rₙ=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)ⁿ/n!其中，ξ是a和x之间的一些值，称为皮亚诺中值点。
泰勒公式的推导可以通过数学归纳法来进行。
首先，我们定义一个新函数g(t)，使得g(t)=f(t)-(f(a)+f'(a)(t-a)+f''(a)(t-a)²/2!+...+fⁿ(a)(t-a)ⁿ/n!)。
显然，g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0。
接下来，我们将g(t)在a点展开成一个幂级数。
g(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾/(n+1)!+g⁽ⁿ⁺²⁾(a)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...由于g(a)=g'(a)=g''(a)=...=gⁿ(a)=0，所以g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)在a点附近连续。
我们记r(t)=g⁽ⁿ⁺¹⁾(t)/(n+1)!，则有：g(t)=r(t)(t-a)⁽ⁿ⁺¹⁾+r²(t)(t-a)⁽ⁿ⁺²⁾/(n+2)!+...注意到，r(t)在a点附近连续，所以泰勒公式便可表述为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+(x-a)⁽ⁿ⁺¹⁾r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中，r⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是r(t)在a和x之间的一些值。
taylor公式(泰勒公式)通俗+本质详解
泰勒公式，也称为泰勒展开式，是微积分中非常重要的定理之一。
它是以17世纪英国数学家布饶·泰勒（Brook Taylor）的名字命名的，用于将一个函数在某一点附近用多项式逼近的方法。
泰勒公式可以说是微积分中的瑰宝，它不仅在数学领域有着重要的应用，而且在物理、工程等其他领域也有着广泛的应用。
让我们来深入了解泰勒公式的本质。
泰勒公式的本质是利用函数在某一点的导数来逼近函数的值。
具体来说，对于一个光滑的函数f(x)，在点a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...其中f'(a)、f''(a)等分别表示函数f(x)在点a处的一阶、二阶导数等。
这意味着，通过泰勒公式，我们可以用函数在某一点的导数来逼近函数在该点附近的取值。
泰勒公式的通俗理解可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们要计算sin(x)在x=0处的近似值，我们可以利用泰勒公式展开sin(x)：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...如果我们只取前面几项，就可以得到sin(x)在x=0处的近似值。
这就是泰勒公式在实际问题中的应用，通过泰勒公式，我们可以用多项式函数来近似表示复杂的函数，从而简化计算和分析。
对于泰勒公式的书写方式，我个人建议采用序号标注的方式，如下所示：1. 泰勒公式的本质是利用函数在某一点的导数来逼近函数的值。
2. 泰勒公式可以通过一个多项式来近似表示一个光滑的函数。
3. 通过泰勒公式，我们可以用函数在某一点的导数来逼近函数在该点附近的取值。
我想共享一下我的个人观点和理解。
泰勒公式的重要性不仅在于它可以简化复杂函数的计算和分析，还在于它揭示了光滑函数在某一点附近的局部性质。
泰勒公式高中数学应用
泰勒公式高中数学应用泰勒公式是数学中一种重要的数值逼近方法，常应用于高等数学、物理学等科学领域中。
它的基本思想是通过泰勒级数将一个函数在一些点处展开成无穷级数，从而在该点的邻域内用该级数来逼近原函数的值，从而简化计算或研究问题。
下面将介绍泰勒公式的原理以及在高中数学应用中的具体例子。
泰勒公式的原理：泰勒公式是将一个函数在其中一点的邻域内用无穷级数来表示的方法。
它利用函数在该点处的导数以及所有高阶导数来进行级数展开。
对于光滑函数f(x)，在特定点a处的泰勒级数展开可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...这里f(a)为函数在点a处的函数值，f'(a)为一阶导数在点a处的函数值，f''(a)为二阶导数在点a处的函数值，依此类推。
可以看出，泰勒级数展开的每一项都是原函数在a点的一些导数乘以(x-a)的幂和阶乘的商。
泰勒级数展开常常会被截断为有限项，这样就得到了泰勒公式：f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!这里n为截断的项数。
在高中数学中，泰勒公式主要应用于以下几个方面：1.函数逼近：在一些情况下，一些函数无法直接求出解析表达式，但是可以通过泰勒公式对其进行逼近计算。
比如，对指数函数exp(x)在x=0处进行泰勒级数展开：exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...然后，可以通过截断泰勒级数并选取合适的项数，来逼近计算exp(x)的值。
这种方法同样适用于对三角函数、对数函数等的逼近计算。
2.函数极值：在高中数学的最优化问题中，经常需要求取函数的极值点。
泰勒公式可以辅助求解函数的极值点。
大一高数知识点总结泰勒公式
大一高数知识点总结泰勒公式泰勒公式是大一高等数学中的一个重要知识点，它是利用函数在某一点的展开式来逼近函数在该点附近的近似值。
这个公式可以用于计算函数的导数、极限以及函数的近似值等。
下面将对泰勒公式的原理和应用进行详细的总结。
一、泰勒公式的原理泰勒公式是基于泰勒级数展开原理而得出的。
泰勒级数是将一个函数表示为无穷级数的形式，可用来逼近函数在某一点附近的值。
设函数f(x)在$x=x_0$处具有$n+1$阶连续导数，则函数f(x)在$x=x_0$处的泰勒展开式为：$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n$$其中，$R_n$为余项，表示泰勒展开式近似于原函数的误差。
泰勒展开式中的每一项都是函数在$x=x_0$处的导数与$(x-x_0)$的幂的乘积，这样的展开式可以用来计算函数在$x=x_0$处的近似值。
二、泰勒公式的应用1. 求函数的导数利用泰勒公式的展开式，可以计算函数在某一点处的导数。
例如，要求函数$f(x)$在$x=x_0$处的导数，可以根据泰勒公式展开$f(x)$，然后对展开式中的每一项求导。
最后，将$x=x_0$代入求得的导数表达式，即可得到函数在该点的导数值。
2. 计算函数的极限通过泰勒公式展开函数，可以用泰勒展开式逼近函数在某一点附近的近似值。
利用这个性质，可以计算一些复杂函数在某一点的极限。
将函数在该点处的展开式进行整理，并去除余项，可以得到函数在该点的近似极限。
3. 近似计算函数的值利用泰勒公式，可以通过计算泰勒展开式的有限项来逼近函数在某一点的值。
该方法在数值计算中经常使用。
通过增加泰勒展开式中的项数，可以提高逼近的精度。
4. 研究函数的性质泰勒公式可以用来研究函数的性质，例如函数的极值、拐点等。
通过分析泰勒展开式的各项系数，可以得到函数的一些重要信息。
高等数学等价替换公式
根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价无穷小。
x→0，时x→sinx ; x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1); [(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麦克劳林公式也是，那个符号不好写，你课本上或者习题里有.例1 limx →0tanx-sinxx3 给你举几个利用无穷小的例子例1 limx→0tanx-sinxx3 解：原式=limx →0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)=12 此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。
∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。
例 2 limx→0e2x-31+xx+sinx2 解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53 例3 limx→0(1x2-cot2x) 解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x =limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4 =limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵sinx～x) =limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2 =limx→012x2·(1+cosx)x2=1 解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x =limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4 =limx→02x(tanx-x)x44 (∵tanx～x) =limx→02(tanx-x)x3 =limx→02(sec2x-1)3x2 =23limx→0tan2xx2=23 (∵tanx～x) 例4［3］limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用罗比塔法则）=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分离非零极限乘积因子）=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零极限）=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用罗比塔法则）=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx) =limx→0+tan(sinx)sin(tanx) 出现循环，此时用罗比塔法则求不出结果。
泰勒公式变量代换
泰勒公式变量代换泰勒公式是一种用于近似计算函数值的方法，它通过将函数展开成一系列的多项式来逼近函数的值。
在实际应用中，泰勒公式常常被用来近似计算复杂函数的值，从而简化计算过程。
本文将介绍泰勒公式的原理和应用，并通过实例加以说明。
一、泰勒公式的原理泰勒公式是基于泰勒级数展开的，它将一个光滑函数在某一点的附近展开成一个无穷级数。
泰勒级数是一种无穷多项式的形式，它能够在某个点的附近用多项式来逼近函数的值。
泰勒公式的一般形式如下：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f(x)是要求近似值的函数，f(a)是函数在点a处的值，f'(a)是函数在点a处的导数，f''(a)是函数在点a处的二阶导数，以此类推。
二、泰勒公式的应用泰勒公式的应用非常广泛，特别是在数学、物理、工程等领域。
它可以用来近似计算各种函数的值，如三角函数、指数函数、对数函数等。
下面以计算指数函数e^x的值为例进行说明。
假设我们要计算e^x在x=0处的值，即e^0。
根据泰勒公式，我们可以将e^x在x=0处展开成一个无穷级数。
对于指数函数e^x，它的泰勒级数展开式为：e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...当我们只保留前面几项时，就可以得到一个近似值。
例如，当我们保留前两项时，即取x和x^2/2!，则可以得到e^x的近似值为：e^x ≈ 1 + x这样，我们就通过泰勒公式将复杂的指数函数e^x近似成了一个简单的一次多项式1+x，从而简化了计算过程。
三、泰勒公式的局限性虽然泰勒公式在近似计算中非常有用，但它也有一定的局限性。
首先，泰勒公式只在某个点的附近有效，如果要对整个函数进行近似，就需要在不同点处进行展开，并进行合理的组合。
其次，泰勒公式的近似精度随着保留项数的增加而提高，但同时也会增加计算的复杂度。
《高等数学》课程中泰勒公式的应用
《高等数学》课程中泰勒公式的应用泰勒公式是现代高等数学中一个重要的定理，它是处理各种复杂函数问题的基本工具之一。
泰勒公式根据函数在某一点处的各阶导数，将该函数在这一点的一个充分小的邻域内展开成幂级数的形式。
在实际应用中，泰勒公式可以被用于求函数的极值、函数在某一点的近似值以及对函数的插值和拟合等问题。
泰勒公式的一般形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$x=a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
这个公式的推导过程是比较复杂的，涉及到高等数学中的许多知识，比如幂级数、多项式等等。
在应用中，我们通常会采用一个或多个泰勒公式在某一点处的展开形式，来近似表达一个函数。
1. 求函数的极值和最值对于函数的极值和最值问题，泰勒展开提供了一个解决方案。
通过泰勒展开式，我们可以将函数的所求值点附近的导数值表示成一个幂级数的形式。
这样，当我们需要求函数在某一处的取值时，只需要计算出幂级数的前几项接近原函数即可。
例如，对于数学中比较常见的三角函数，如果我们需要求出$\sin x$的最大值和最小值，我们可以利用泰勒公式，在$x=0$附近展开$\sin x$：2. 计算函数的近似值对于一些复杂的函数，我们可能无法得到其精确的解析解，但是我们可以通过泰勒公式，将其在某一点附近展开，然后近似求解。
例如，在物理工程中，我们需要求解某些连续介质中的体积分和表面积分等问题，这些问题往往需要用到$\cos x$、$\sin x$等函数的积分。
但是，直接求解这些积分是极其困难的，这时我们可以利用泰勒公式将这些函数在某一点$0$附近展开：$$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +\cdots$$这样，我们就可以得到$\cos x$、$\sin x$的幂级数表达式，从而通过增加幂级数项数目得到越来越接近于原函数值的近似值。
常用的等价无穷小及泰勒公式
常用的等价无穷小及泰勒公式在高等数学的学习中，等价无穷小和泰勒公式是两个非常重要的概念和工具。
它们在极限的计算、函数的近似表达以及解决各种数学问题中都发挥着关键作用。
首先，我们来聊聊等价无穷小。
等价无穷小简单来说就是在某个极限过程中，两个函数的比值趋近于1 。
当我们遇到复杂的极限计算时，如果能够找到合适的等价无穷小进行替换，往往可以大大简化计算过程。
常见的等价无穷小有很多。
比如当 x 趋近于 0 时，sin x 等价于 x ，tan x 等价于 x ，arcsin x 等价于 x ，arctan x 等价于 x 。
还有 1 cos x 等价于 x²/2 ，ln(1 ＋ x) 等价于 x ，e^x 1 等价于 x 等等。
为了更好地理解和运用这些等价无穷小，我们来看几个例子。
假设要求极限lim(x→0) （sin x)／x ，由于 sin x 等价于 x （当 x 趋近于 0 时），所以这个极限就等于 1 。
再比如求极限lim(x→0) （tan x x)／（x³) ，这里我们可以将 tan x 展开为 x ＋ x³/3 ＋ o(x³) （o(x³) 表示 x³的高阶无穷小），然后代入原式进行计算。
接下来，我们说一说泰勒公式。
泰勒公式是用一个多项式函数来逼近一个给定的函数。
它可以将一个复杂的函数在某个点附近展开成一个无穷级数的形式。
对于一个在 x ＝ a 处具有 n 阶导数的函数 f(x) ，它在 x ＝ a 处的泰勒展开式为：f(x) ＝ f(a) ＋ f'（a)（x a) ＋ f'＇（a)（x a)²/2! ＋ f'＇＇（a)（x a)³/3! ＋＋ f⁽ⁿ⁾（a)（x a)ⁿ/n! ＋ Rₙ(x)其中 Rₙ(x) 是余项，表示展开式与原函数之间的误差。
常见函数的泰勒展开式也有很多。
比如 e^x 在 x ＝ 0 处的泰勒展开式为：e^x ＝ 1 ＋ x ＋ x²/2! ＋ x³/3! ＋＋xⁿ/n! ＋sin x 在 x ＝ 0 处的泰勒展开式为：sin x ＝ x x³/3! ＋ x⁵/5! x⁷/7! ＋cos x 在 x ＝ 0 处的泰勒展开式为：cos x ＝ 1 x²/2! ＋ x⁴/4! x⁶/6! ＋泰勒公式的应用非常广泛。
泰勒等价无穷小替换公式
泰勒等价无穷小替换公式好的，以下是为您生成的关于“泰勒等价无穷小替换公式”的文章：在我们学习数学的漫漫征途中，泰勒等价无穷小替换公式就像是一把神奇的钥匙，能为我们打开许多复杂问题的大门。
先来说说这泰勒等价无穷小替换公式到底是个啥。
简单来讲，它就是一种能把复杂的函数在某个点附近用简单的多项式来近似表达的工具。
比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 就可以用 x 来近似替代。
这就好比你要去远方旅行，不想带太多沉重的行李，就挑选了最实用轻便的几件。
我记得有一次给学生们讲这个公式的时候，有个小同学瞪大了眼睛问我：“老师，这东西有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
假设我们要计算一个极限：lim(x→0) (sin x - x) / x³。
如果直接去算，那可真是让人头疼。
但如果我们用泰勒等价无穷小替换公式，把 sin x替换成 x - (1/6)x³ + o(x³) ，式子就变成了lim(x→0) [ (x - (1/6)x³ + o(x³) - x) / x³ ] ，经过化简，答案一下子就清晰可见了。
那小同学听完，眼睛一下子亮了起来，仿佛找到了数学世界里的宝藏。
在实际应用中，泰勒等价无穷小替换公式的用处可大了去了。
比如说在求解一些复杂的极限问题时，它能让我们化繁为简，节省大量的计算时间。
又比如在研究函数的局部性质时，它能帮助我们更清晰地了解函数在某个点附近的变化情况。
不过，使用这个公式也得小心谨慎。
就像走钢丝一样，稍不留神就可能出错。
比如说，在替换的时候，一定要注意替换的条件和精度，不能盲目地替换。
否则，就可能得出错误的结果。
咱们再回过头来看看这个公式，它其实蕴含着一种深刻的数学思想，那就是用简单去逼近复杂，用已知去探索未知。
这就好像我们在生活中，面对一个巨大的困难，我们可以把它分解成一个个小的、容易解决的问题，逐步攻克。
总之，泰勒等价无穷小替换公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，多做练习，就能掌握它的精髓，让它成为我们解决数学问题的得力助手。
泰勒公式在用等价无穷小量替换求极限中的应用
泰勒公式在用等价无穷小量替换求极限中的应用泰勒公式是一个非常重要的数学工具，在求解极限问题时有着广泛的应用。
泰勒公式是由数学家泰勒在18世纪提出的，它可以将任意光滑函数表示为一个无穷级数的形式，从而可以用来近似计算函数的值或者求函数的极限。
泰勒公式的一般形式可以表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...+fⁿ(a)(x-a)ⁿ/n!+Rₙ(x)其中，f(x)是函数f在点x处的函数值，f'(x)是f的导数，a是近似点，n是展开的阶数，Rₙ(x)是多项式展开的余项。
当n足够大时，余项的大小可以忽略不计。
因此，我们可以通过泰勒公式，将原函数近似地表示为多项式的形式，从而方便地计算函数的极限值。
在极限值的计算中，我们常常会遇到无穷小量。
无穷小量是一种极其接近于零的量，但不等于零的数。
用无穷小量替换函数中的一些变量，可以简化极限的计算过程。
通过泰勒公式，我们可以将函数展开成一个多项式，然后用无穷小量来代替原来的变量，从而得到函数的极限值。
例如，考虑计算函数f(x) = sin(x)在x趋近于0时的极限值。
我们可以通过泰勒公式将sin(x)展开成一个无穷级数：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...可以看出，当x趋近于0时，xⁿ/n!的值可以看作是一个无穷小量，因为分子xⁿ在x趋向于0时趋于0，分母n!在任意情况下都大于0。
因此，我们可以将sin(x)近似为x，而x又是一个无穷小量，所以sin(x)也是一个无穷小量。
因此，当x趋近于0时，我们有lim(x→0)sin(x) = lim(x→0)x = 0。
这就是通过泰勒公式和无穷小量替换求极限的一种应用。
除了用无穷小量替换变量来求极限，泰勒公式还可以用来计算函数的近似值。
等价无穷小与泰勒公式
等价无穷小与泰勒公式1.等价无穷小：等价无穷小是指两个函数的极限之差在无穷远处趋于零。
设f(x)和g(x)是定义在一些区间上的两个函数，若当x趋于无穷时，有f(x)-g(x)趋于零，则称f(x)和g(x)在x趋于无穷时是等价的，记作f(x)~g(x)，也可称f(x)是g(x)的一个无穷小。
等价无穷小的概念在函数的极限和近似计算中非常有用。
2.泰勒公式：泰勒公式是将函数在其中一点展开成幂级数的表示形式。
设函数f(x)在区间[a,b]上有n+1阶导数，那么在[a,b]上，f(x)可以展开成以下形式的幂级数：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)是余项，表示泰勒展开的误差。
泰勒公式是函数逼近的重要工具，可以用来求解复杂函数的近似值。
泰勒公式有三种常见的形式：(1)当a=0时，称为麦克劳林级数展开：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x²/2!+...+f^(n)(0)x^n/n!+Rn(x)(2)若a=x0，称为泰勒级数展开：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)²/2!+...+f^(n)(x0)(x-x0)^n/n!+Rn(x)(3)当a=(a,b)之间的一些值时，称为拉格朗日型泰勒公式展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+...+f^(n-1)(a)(x-a)^(n-1)/(n-1)!+f^(n)(ξ)(x-a)^n/n!其中a<ξ<x。
根据泰勒公式，我们可以通过一阶导数、二阶导数等来近似计算函数在一些点的值。
当n趋于无穷时，泰勒公式可以得到函数的幂级数展开形式，逼近函数的精度越来越高。
高数等价替换公式
高数等价替换公式正如学生们所知，高数使用等价替换公式是一个能够替换另一个数学公式的有效的方法，这种替换可以有助于更容易理解和求解数学问题。
本文将主要介绍高数等价替换公式，以及等价替换如何来帮助学生解决复杂的数学问题。
首先，让我们来看看什么是等价替换公式。
等价替换公式实际上是把一个数学公式拆分成另一个具有相同性质和结果的数学公式，这样拆分出来的公式就是我们所说的等价替换公式。
举个例子，如果你要处理方程式：P(x)= ax2+bx+c你可以把它拆分成等价的替换公式：P(x)=a(x+b/2a)2+(c-b2/4a)可以看到，经过等价替换，原来复杂的方程式变得非常简单，易于理解和求解。
当然，不只有方程式可以拆分，函数也可以，比如有一个函数： f(x)=x3+bx2+cx也可以拆分成：f(x)=x2(x+b/2)+cx可以看到，经过等价替换，这个函数的计算也变得更加容易了。
接下来，让我们来说说等价替换公式会给学生带来什么好处。
首先，等价替换公式可以帮助学生更加容易理解复杂的数学公式。
拆分出来的公式总是比原来的要简单一些，这样学生们就可以更容易理解了。
其次，等价替换公式也可以帮助学生更高效地求解数学问题。
掌握等价替换技巧，可以让学生避免花费大量时间处理复杂的公式，而是用简单的公式解决复杂的问题，这将大大提高学生的效率。
最后，等价替换公式还能让学生更好地记忆数学公式。
由于拆分后的公式较为简单，学生可以更容易记住它。
这样，学生就可以在解决其他类似问题时，利用这些公式，从而避免重复计算，从而节约时间和精力。
从以上可以看出，等价替换公式是一种有效的数学工具。
它在数学计算中可以发挥重要作用，可以帮助学生更容易理解和求解复杂的数学问题，从而极大地提高学生的效率和学习成绩。
因此，学生应该熟悉等价替换技巧，以便在学习和解决数学问题时发挥它的优势。
常用等价无穷小_泰勒公式_三角函数
常用等价无穷小_泰勒公式_三角函数在微积分中，等价无穷小指的是当自变量趋于一些特定值时，函数取到的值非常接近于零的一类函数。
这些等价无穷小在各种数学中起到了重要的作用，其中包括泰勒公式和三角函数。
泰勒公式是一个重要的数学公式，它能够将一个函数表示成无穷项的多项式形式。
泰勒公式提供了一种通过近似来计算复杂函数值的方法。
在泰勒公式中，函数的近似多项式由函数在一些点处的导数确定。
泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+...其中，f(x)是要近似计算的函数，a是近似点，f'(a)是f(x)在a处的一阶导数，f''(a)是f(x)在a处的二阶导数，依此类推。
通过泰勒公式，我们可以得到许多常见函数的近似表达式。
例如，正弦函数的泰勒公式为：sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...这个公式能够通过近似计算正弦函数的值。
当x趋近于零时，只保留前面几项的和，就能够得到一个非常接近于实际值的近似结果。
类似地，对于余弦函数，泰勒公式为：cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...通过泰勒公式，我们也可以得到许多其他三角函数的近似表达式，如正切函数、余切函数等。
三角函数在数学中起到了非常重要的作用。
它们涉及到角度、周期性等概念，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
通过泰勒公式，我们可以将三角函数表示成多项式的形式，这样可以更方便地进行计算和近似。
以正弦函数为例，它在数学中具有很多重要的性质和公式。
正弦函数在数学中的应用非常广泛，例如在三角学、波动理论等方面的研究中。
通过泰勒公式，我们可以近似计算正弦函数的值，从而更好地理解和应用这个函数。
总之，泰勒公式和三角函数是微积分中常用的概念和工具。
常用等价无穷小_泰勒公式_三角函数
常用等价无穷小_泰勒公式_三角函数泰勒公式是数学中极为重要的公式之一，它可以将任意函数表示为多项式的形式。
在微积分中，泰勒公式经常被用来近似计算函数的值。
它是由17世纪英国数学家布鲁斯·泰勒发现的，被广泛地应用于物理、工程和计算机科学等领域。
泰勒公式的一般形式是：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(x)是要近似的函数，a是近似点，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点x=a处的二阶导数，以此类推。
f^(n)(a)表示函数f(x)在点x=a处的n阶导数，Rn(x)为拉格朗日余项。
三角函数在泰勒公式中的应用也非常广泛。
我们可以利用泰勒公式来近似计算正弦函数、余弦函数、正切函数等等。
以正弦函数为例，我们将其展开为带有无穷多项的泰勒级数。
正弦函数的泰勒级数展开为：sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...我们可以利用该级数来计算任意角度的正弦函数值。
例如，当x取0时，根据泰勒级数的定义，我们可以得到sin(0)=0。
当x取π/6时，根据泰勒级数的前几项，我们可以得到sin(π/6)≈π/6-π^3/6^3*3!≈0.5同样地cos(x)=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+...我们可以利用该级数来计算任意角度的余弦函数值。
例如，当x取0时，根据泰勒级数的定义，我们可以得到cos(0)=1、当x取π/4时，根据泰勒级数的前几项，我们可以得到cos(π/4)≈1-π^2/4^2*2!≈0.707在实际应用中，我们通常只需要计算泰勒级数的前几项，因为随着项数的增加，计算的复杂度会增加，并且前几项已经能够给出较为精确的近似值。
高等数学等价替换公式泰勒公式资料讲解
应用高等数学等价替换公式1、无穷小量：设0）x （g lim ）x （f lim 0x x x x ==→→*1）若0）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 高阶 无穷小*2）若∞=→）x （g ）x （f limx x ，f （x ）是g （x ）的 低阶 无穷小*3）若c ）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 同阶 无穷小*4）若1）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 等价 无穷小*5）若0）x （g ）x （f limkx x 0=→，f （x ）是g （x ）的 k 阶 无穷小 2、等价替换：若x →x 0，f （x ）~ f 1（x ），g （x ）~ g 1（x ）则=→）x （g ）x （f limx x ）x （g ）x （f lim 11x x 0→6、常用等价形式： 当f （x ）→0时*1）sinf （x ）~ f （x ） *2）arc sinf （x ）~ f （x ） *3）tanf （x ）~ f （x ）*4）arc tanf （x ）~ f （x ） *5）In （1+f （x ））~ f （x ） *6）e f （x ）-1~ f （x ）*7）1-cosf （x ）~ 2）x （f 2*8）（1+f （x ））α-1~ αf （x ） 二、函数的连续： 1、间断点：*1）第一类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）均 存在的 间断点 ⑴跳跃间断点： f -（x 0）≠f +（x 0） ⑵可去间断点： f -（x 0）=f +（x 0）*2）第二类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）至少有一个 不存在的 间断点 ⑴无穷间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个为 ∞ ⑵振荡间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个 振荡不存在 三、导数：1、定义：）x （f '= x△）x （f -）x △x （f lim 000x △+→2、导数的常见形式： *1） 00x x 0x -x ）x （f -）x （f lim）x （f 0→='*2） h）x （f -）h x （f lim）x （f 000h +='→*3） h）h x （f -）x （f lim）x （f 000h -='→3、切线方程：若曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））， 则 y-y 0=）x （f 0'（x-x 0） 注：*1）如果）x （f 0'=∞，则 x=x 0 *2）如果）x （f 0'=0，则 y=y 0 4、法线方程：若直线过点P （x 0，f （x 0））， 则 y-y 0=）x （f 10'-（x-x 0） 5、基本公式：*1）='）C （ 0 *2）1-a a ax ）x （=' *3）Ina a ）a （x x =' *4）x x e ）e （=' *5）xIna 1 ）x log （a ='*6）x 1 ）Inx （='*7）cosx ）sinx （='*8）sinx - ）cosx （=' *9）x sec ）tanx （2=' *10）x csc - ）cotx （2=' *11）tanx secx ）secx (⋅=' *12）cotx cscx - ）cscx （⋅=' *13）2x -11 ）sinx arc （=' *14）2x -11-）cosx arc （='*15）2x 11）tanx arc （+=' *16）2x11- ）cotx arc （+=' 6、四则运算：νμ和都有导数*1）νμνμ'±'='± ）( *2）μμ'='c ）c （ *3）νμνμνμ'+'='⋅ ）( *4）)0( )(2≠'-'='νννμνμνμ 推论：*1）μμ'='c ）c （ *2）w w w w '+'+'='μννμνμμν ）（ *3）s w s w ws ws ws '+'+'+'='μνμννμνμμν ）（ 7、反函数求导法则：设y=f （x ）与x=ϕ（y ）（ϕ'（y ）≠0）则）y （1）x （f ϕ'=' 或x y '= yx 1'8、n 次导的常见公式：*1））n （）sinx （= ）2nx （sin π+*2））2nx （cos ）cosx （）n （π+=*3）()()n [In 1x ]+= n1-n ）x 1（!）1-n （）1-（+ 9、参数方程求导：设函数）t （y ），t （x ），且b t a （）t （y ）t （x ψϕψϕ==≤≤⎩⎨⎧==都可导，其中x=）t （ϕ'≠0，则函数的导数）t （）t （dtdx dt dydx dy ϕψ''== 10、复合函数求导：若y=f （u ），u=ϕ（x ），且f （u ）及ϕ（x ）都可导，则复合函数y=f[ϕ（x ）]的导数）x （）x （f dxdyϕ'⋅'=11、隐函数求导：*1）方程F （x ，y ）=0两边求导，解出y 或dx dy'*2）公式法：由F （x ，y ）=0，则yxF F dx dy''-=*3）利用微分形式的不变性，方程两边求微分，然后解出dxdy注：y 是x 的函数 12、对数求导：将函数关系式两边取自然对数（成为隐函数形式），化简，然后两边两边求导，最后两边乘以y （x ）注：适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数（y=u （x ）v （x ）） 13、高阶导数：*1）二阶导数：x △）x （f -）x △x （f lim）x （f 0x △'+'=''→ *2）三阶导数：x △）x （f -）x △x （f lim）x （f 0x △''+''='''→*4）n 阶导数：x△）x （f -）x △x （f lim）x （f）1-n （）1-n （0x △）1-n （+=→ 14、中值定理：*1）拉格朗日定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得a-b ）a （f -）b （f）（f ='ξ推论1：如果函数f （x ）在区间（a ，b ）内任意一点的导数）x （f '都等于零，你们函数f （x ）在（a ，b ）内是一个常数推论2：如果函数f （x ）与g （x ）在区间（a ，b ）内每一点的导数）x （f '与）x （g '都相等，则这两个函数在区间（a ，b ）内至多相差一个常数，即：f （x ）= g （x ）+C ，x ∈（a ，b ）*2）罗尔定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，且f （a ）=f （b ），则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得='）（f ξ 0 *3）柯西定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，且0）x （g ≠'，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得）a （g -）b （g ）a （f -）b （f = ）（g ）（fξξ''&15、洛必达法则：*1）0型：设函数f （x ）、g （x ）满足： ⑴==→→）x （g lim ）x （f lim 0x x x x 0⑵在点x 0的某去心邻域内）x （g ）与x （f '' 都存在 ，且≠'）x （g 0⑶）x （g ）x （f limx x ''→ 存在或为无穷 有：）x （g ）x （f limx x →= ）x （g ）x （f lim0x x ''→*2）∞∞型： 设函数f （x ）、g （x ）满足： ⑴∞==→→ ）x （g lim ）x （f lim 0x x x x⑵在点x 0=的某去心邻域内）x （g ）与x （f '' 都存在 ，且≠'）x （g 0⑶）x （g ）x （f lim 0x x ''→ 存在或为无穷 有：）x （g ）x （f limx x →= ）x （g ）x （f lim0x x ''→*3）其他未定型：⑴0·∞型：f （x ）·g（x ）转化成）x （f 1）x （g 或 ）x （g 1）x （f ，一般将In 、arc 留在分子上⑵∞-∞型：通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为0型或∞∞型 ⑶0、0、1∞∞∞型：f （x ）g （x ）= eg （x ）Inf （x ）= ）x （g 1）x （Inf e16、函数单调性判定：设函数y=f （x ）在开区间（a ，b ）内可导*1）如果函数y=f （x ）在（a ，b ）内，0）x （f >'，则函数y=f （x ）在（a ，b ）内单调递 增 ；*2）如果函数y=f （x ）在（a ，b ）内，0）x （f <'，则函数y=f （x ）在（a ，b ）内单调递 减 ； 17、函数的极值：*1）如果函数y=f （x ）在点x 0及其左右近旁有定义，且对于x 0近旁的任何一点x （x ≠x 0）的函数值f （x ）均有：⑴f （x ）<f （x 0）,则f （x 0）称为函数y=f （x ）的 极大值 ，点x 0称为函数y=f （x ）的 极大值点⑵f （x ）>f （x 0）,则f （x 0）称为函数y=f （x ）的 极小值 ，点x 0称为函数y=f （x ）的 极小值点 *2）驻点：='）x （f 0 0 的点 *3）极值第一充分条件：设点x 0是f （x ）可能的极值点（0）x （f 0='或）x （f 0'不存在）⑴当0 ）x （f ）时，x ，-x （x 00>'∈δ；0 ）x （f ）时，x ，x （x 00<'+∈δ,则x 0为极大值点⑵当0 ）x （f ）时，x ，-x （x 00<'∈δ；0 ）x （f ）时，x ，x （x 00>'+∈δ,则x 0为极小值点⑶当⋃∈）x ，-x （x 00δ）x ，x （00δ+，）x （f ' 同号 ，则x 0不是极值点 *4）极值的第二充分条件：设y=f （x ）在点x 0处有一、二阶导数，且）x （f 0'= 0⑴如果）x （f 0'' > 0，则函数y=f （x ）在点x 0处取得最小值f （x 0） ⑵如果）x （f 0'' < 0，则函数y=f （x ）在点x 0处取得最大值f （x 0） 18、曲线凹凸性：*1）若对于x ∈（a ，b ）时，0）x （f >''，则曲线在（a ，b ）上为 凹 ，用符号“ ⋂ ” 表示*2）若对于x ∈（a ，b ）时，0）x （f <''，则曲线在（a ，b ）上为 凸 ，用符号“ ⋃ ” 表示 6、曲线拐点：设f （x ）在x 0的某个邻域内二阶可导，且=''）x （f 0 0 ，若x 0两侧）x （f 0'' 改变 符号，则 （x 0，f （x 0）） 为曲线的拐点19、曲线的渐近线：*1）水平渐近线：如果函数y=f （x ）的定义域是无穷区间，且b ）x （f lim x =∞→，则y= b*2）垂直渐近线：如果函数y=f （x ）在x=x 0处间断，且∞=→）x （f lim 0x x ，则x=x 0*3）斜渐近线：如果函数y=f （x ）定义在无穷区间，且a x）x （f limx =∞→，b ax]-）x （[f lim x =∞→，则y= ax+b20、经济学与导数：*1）利润：L （Q ）= R （Q ）-C(Q) *2）边际利润：）Q （C -）Q （R Q)（L ''='*3）函数弹性：）x （f ）x （f xEx Ey '=*4）需求弹性（供给函数）：）p （Q ）Q(p p ）p （0000'=η 注：⑴当|η| < 1时，为低弹性，此时需求变动幅度 小于 价格变动幅度。
泰勒公式中的替换原理
泰勒公式中的替换原理
泰勒公式是一种数学工具，用于将一个函数在某一点附近展开成无穷级数。
这个展开
式可以用来近似计算函数在给定点处的值，进一步分析函数的性质。
泰勒公式的基本原理
是通过不断迭代求导的方式，将函数转化为一系列的多项式。
泰勒公式的替换原理是指，在计算泰勒级数展开时，可以用函数在给定点处的值以及
其各阶导数的值来替代原函数本身。
这个原理基于函数在展开点附近的局部特征，利用函
数在该点的一阶导数、二阶导数等信息来逼近函数的形态。
通过这种方法，可以用多项式
函数来近似描述原函数，并且随着阶数的增加，逼近程度会不断提高。
为了实现泰勒公式的替换原理，需要计算函数在展开点附近的各阶导数的值。
这些导
数可以通过基本的微积分规则来计算，例如使用导数定义、链式法则、乘积法则等。
通过
求导并计算出对应的导数值，我们可以将原函数替换为一个多项式，而且这个多项式会在
展开点附近与原函数相似。
需要注意的是，泰勒公式的替换原理只在给定点附近有效，随着离开展开点的距离增加，逼近程度会逐渐减弱。
在实际应用中，需要选择合适的展开点，以确保泰勒级数的逼
近效果能够满足需求。
泰勒公式的替换原理是一种通过使用函数在给定点处的导数值来近似描述函数的方法。
它构建了一个与原函数在展开点附近相似的多项式，并通过选择合适的展开点来控制逼近
程度。
第15节 泰勒公式-解析版
第15节 泰勒公式知识与方法用简单函数逼近复杂函数是数学中的一种基本思想方法，泰勒公式就是利用多项式函数来逼近其他函数所得到的一个基本定理.1.泰勒公式：设函数()f x 在0x 处存在n 阶导数，则()()()()()()()()()00000020()2n nnf x f x f x f x x x x n x x x x x o ''=++-++-+--！！，其中，()()0n f x 是函数()f x 在0x 处的n 阶导数值，()()0no x x -是皮亚诺余项，它表示0x x →时，()0nx x -的高阶无穷小.2.麦克劳林公式：当0x =时，泰勒公式变成()()()()()()()2"00002!nnn f f f x f f x x x o x n '=+++++！，这个公式叫做麦克劳林公式，它是泰勒公式的特例.下面列出几个常见的麦克劳林公式：（1）23126xx x e x =++++； （2）()2311ln 123x x x x +=-+-；（3）356sin 120x x x x +=--； （4）242o 412c s x x x+=--；（5）3523tan 15x x x x =+++.3.泰勒公式在高中数学中的应用：（1）构造不等式用于放缩：例如，我们在上面的麦克劳林公式（1）中将右侧保留到一次项，其余全部丢掉，就可以得到一个常用的切线放缩不等式1x e x ≥+，若保留到二次项，则可以得到()20211xe x x x ≥+-<≤+；类似地，还可以得到()ln 1x x +≤，()()21ln 102x x x x +-≥≥，()()21ln 1102x x x x +≤--<≤，in 0()s x x x ≤≥，3in )0(s 6x x x x ≥-≥，2cos 12xx ≥-等不等式.（2）近似计算：泰勒公式展开的阶数越高，计算的精度越高，但计算复杂度也随之升高，我们可以通过选择恰当的展开阶数，来达到我们需要的计算精度.4.提醒：在高考数学中，我们放缩时使用的以泰勒公式为背景的不等式，绝大多数都是一阶的，也就是切线放缩；典型例题【例1】已知函数()()ln af x x a x=-+∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，证明：1x f x e ⎛⎫⎪⎭>- ⎝.【解析】33sin sinx 0x x ax x ax >-⇔--<，设()()3sin 0f x x ax x x =-->，则()213cos f x ax x '=--，()6f x ax sinx ''=-+，()6cos f x a x '''=-+，注意到()00f =，所以有端点效应，而()()000f f '''==，所以()0610f a '''=-+≤，故16a ≥，此时，()3sin 6x f x x x ≤--，设()()3sin 06x g x x x x =-->，则()21cos 2x g x x '=--，()sin g x x x ''=-+，()1cos 0g x x =-+''≤'，所以()g x ''在()0,+∞上，又()00g ''=，所以()0g x ''<，从而()g x '在()0,+∞上，因为()00g '=，所以()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上，易求得()00g =，所以()0g x <恒成立，因为()()f x g x ≤，所以()0f x <，即3sin 0x ax x --<，满足题意，故实数a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【例2】若当0x >时，3sin x x ax >-恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】根据泰勒展式，356120x x sinx x =-+-，，所以当0x >时，3sin 6x x x >-， 从而要使3sin x x ax >-，只需336x x x ax -≥-，故3106a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭->，所以16a ≥.【答案】16a ≥【例3】（2021·新课标Ⅰ卷）设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c ，则（ ） A.a b c << B.b c a << C.b a c << D.c a b <<【解析】解法1：根据泰勒展开式，()2311ln 123x x x x +=-+-，所以23311220.010.010.010.020.00010.01233a ⎛⎫⎪⎝≈⨯-⨯+⨯=-+⨯⎭，2331180.020.020.020.020.00020.01233b ≈-⨯+⨯=-+⨯，设()11f x x =+，则()()12112f x x -'=+，()()32114f x x ''=-+，()()52318f x x -'''=+，所以()00f =，()120f '=，()140f ''=-，()038f '''=，从而()()()()()()()()()2323230000111000026262816f f f f f x f f x x x f f x x x x x x ''''''''''''=++++≈+++=-+故()2331110.040.040.040.040.020.000240.012816c f =≈⨯-⨯+⨯=-+⨯，比较a 、b 、c 的近似表达式容易发现a c b >>.解法2：22ln1.01ln1.01ln1.0201ln1.02a b ===>=，所以选项A 、D 错误， 此时观察选项B 、C 知只需比较a 和c 的大小即可，设()()232ln 1134x f x x x +=-+<<，则21.0432ln1.01 1.0412ln1.041 1.044a c f+-===，()()()21303x x f x x --'=>+，所以()f x 在()1,3上，所以()1.0410f f >=，即0a c ->，故a c >，选B.解法3：22ln1.01ln1.01ln1.0201ln1.02a b ===>=，所以选项A 、D 错误， 此时观察选项B 、C 知只需比较a 和c 的大小即可，注意到()2ln1.01 1.0412ln 10.01140.011a c -==++⨯，设()()2ln 1141f x x x =++，[]0,0.01x ∈，则()()()214121214114x x f x x x x x ⎡⎤++⎣⎦'=++++，当[]0,0.01x ∈时， ()()2211420x xx x +-+=-≤，所以()22114x x≤++，从而114x x +≤+，故()0f x '≥，当且仅当0x =时取等号， 从而()f x 在[]0,0.01上，所以()()0.0100f f >=，即0a c ->，所以a c >，选B.解法4：设()()(2ln 100).01f x x x =+≤≤，()()(0ln 12)0.01g x x x =+≤≤，()()14100.01h x x x =+≤≤，则显然()f x 、()g x 、()h x 在[]0,0.01上都，且()()()0000f g h ===，()21f x x '=+，()212g x x '=+，()14h x x'=+00.01x <≤时，12141x x x +>+＋， 所以()()()f x h x g x '''>>，即三个函数在]0,0.01上的增长速率是()f x 最大，()h x 居中，()g x 最小，而()0.01a f =，()0.01b g =，()0.01c h =，所以必然有b c a <<. 【答案】B强化训练1.（★★★★）若关于x 的不等式11ln ln x ae x a --≥-恒成立，则正实数a 的取值范围是________. 【解析】解法1：1ln 1ln 11ln ln 1ln ln ln 1ln x a x x a e x a e e x a e a x a --+--≥-⇔⋅->-⇔+->, 两端同时加x 得：ln 1ln 1ln x a e a x x +-+-≥+，即ln 1ln ln 1ln x a x e x a x e +-++-≥+①， 设()()x f x e x x =+∈R ，则不等式①即为()()ln 1ln f x a f x +-≥， 显然()f x 在R 上，所以ln 1ln x a x +-≥，从而ln ln 1a x x ≥-+，注意到ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时取等号，所以ln 1110x x x x -+≤--+=，即()ln 10max x x -+=，因为ln ln 1a x x >-＋，所以ln 0a ≥，从而1a ≥.解法2：111ln ln 1ln ln 0x x ae x a ae x a --->-⇔--+≥，首先取1x =得到1ln 0a a -+≥，从而1a ≥，其次，当1a ≥时，因为1x e x ≥+，所以1x e x -≥，又ln 1x x ≤-，所以()()11ln ln 11ln ln 0x ae x a ax x a a x a ---+≥---+=-+≥，故a 的取值范围是[)1,+∞. 【答案】[)1,+∞2.（★★★★）若当0x >时，2210x ax ax e ++-<恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】解法1：()2222221101x x xe ax ax e a x x e a x x-++-<⇔+<-⇔<+，设()()2210x e f x x x x -=>+，则()a f x <恒成立，()()()22222121x x e x f x x x -++'=+， 设()()()2221210x g x x e x x =-++>，则()()224422x g x x x e '=+-+，()()22820xg x x e''=+>，所以()g x '在()0,+∞上，又()010g '=>，所以()0g x '>，故()g x 在()0,+∞上，因为()00g =，所以()0g x >恒成立，从而()0f x '>，故()f x 在()0,+∞上，由洛必达法则，()22200012lim lim lim 221x xx x x e e f x x x x +++→→→-===++，所以2a ≤. 解法2：2222101xxax ax e e ax ax ++-<⇔>++，由泰勒展开式，23126xx x e x =++++，所以当0x >时，212xx e x >++，故22122x e x x >++，从而要使221x e ax ax >++，只需221221x x ax ax +>++＋，所以2a ≤. 【答案】(],2-∞3.（★★★★★）若当0x ≥时，2cos x e ax x -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【解析】解法1：显然当0x =时，不等式2cos x e ax x ->-对任意的实数a 都成立，当0x >时，cos 22cos cos 2x x xe x e ax x ax e x a x+--≥-⇔≤+-⇔≤，设()()cos 20x e x f x x x+-=>，则()()()22sin cos 21sin cos 2x x x e x x e x x e x x x f x x x ---+---+'==，设()()()1sin cos 20x g x x e x x x x =---+>，则()()()sin cos sin cos 0x x g x xe x x x x x e x '=-++=->， 所以()g x 在()0,+∞上，又()00g =，所以()0g x >，故()0f x '>，从而()f x 在()0,+∞上，由洛必达法则，()000cos 2sin lim lim lim 11x x x x x e x e xf x x +++→→→+--===，因为()a f x ≤恒成立，所以1a ≤.解法2：2cos cos 2x x e ax x e x ax -≥-⇔+≥+，由泰勒公式，23126xx x e x =++++，24cos 124x xx =-+-，所以当0x ≥时，212xx e x ≥++，2cos 12x x ≥-，从而22cos 11222x x x e x x x ≥+++-=++，要使cos 2x x e ax ≥++，只需22x ax ≥+＋，从而()10a x -≤，故1a ≤. 【答案】(],1-∞。
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应用高等数学等价替换公式1、无穷小量：设0）x （g lim ）x （f lim 0x x x x ==→→*1）若0）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 高阶 无穷小*2）若∞=→）x （g ）x （f limx x ，f （x ）是g （x ）的 低阶 无穷小*3）若c ）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 同阶 无穷小*4）若1）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 等价 无穷小*5）若0）x （g ）x （f limkx x 0=→，f （x ）是g （x ）的 k 阶 无穷小 2、等价替换：若x →x 0，f （x ）~ f 1（x ），g （x ）~ g 1（x ）则=→）x （g ）x （f limx x ）x （g ）x （f lim 11x x 0→6、常用等价形式： 当f （x ）→0时*1）sinf （x ）~ f （x ） *2）arc sinf （x ）~ f （x ） *3）tanf （x ）~ f （x ）*4）arc tanf （x ）~ f （x ） *5）In （1+f （x ））~ f （x ） *6）e f （x ）-1~ f （x ）*7）1-cosf （x ）~ 2）x （f 2*8）（1+f （x ））α-1~ αf （x ） 二、函数的连续： 1、间断点：*1）第一类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）均 存在的 间断点 ⑴跳跃间断点： f -（x 0）≠f +（x 0） ⑵可去间断点： f -（x 0）=f +（x 0）*2）第二类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）至少有一个 不存在的 间断点 ⑴无穷间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个为 ∞ ⑵振荡间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个 振荡不存在 三、导数：1、定义：）x （f '= x△）x （f -）x △x （f lim 000x △+→2、导数的常见形式： *1） 00x x 0x -x ）x （f -）x （f lim）x （f 0→='*2） h）x （f -）h x （f lim）x （f 000h +='→*3） h）h x （f -）x （f lim）x （f 000h -='→3、切线方程：若曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））， 则 y-y 0=）x （f 0'（x-x 0） 注：*1）如果）x （f 0'=∞，则 x=x 0 *2）如果）x （f 0'=0，则 y=y 0 4、法线方程：若直线过点P （x 0，f （x 0））， 则 y-y 0=）x （f 10'-（x-x 0） 5、基本公式：*1）='）C （ 0 *2）1-a a ax ）x （=' *3）Ina a ）a （x x =' *4）x x e ）e （=' *5）xIna 1 ）x log （a ='*6）x 1 ）Inx （='*7）cosx ）sinx （='*8）sinx - ）cosx （=' *9）x sec ）tanx （2=' *10）x csc - ）cotx （2=' *11）tanx secx ）secx (⋅=' *12）cotx cscx - ）cscx （⋅=' *13）2x -11 ）sinx arc （=' *14）2x -11-）cosx arc （='*15）2x 11）tanx arc （+=' *16）2x11- ）cotx arc （+=' 6、四则运算：νμ和都有导数*1）νμνμ'±'='± ）( *2）μμ'='c ）c （ *3）νμνμνμ'+'='⋅ ）( *4）)0( )(2≠'-'='νννμνμνμ 推论：*1）μμ'='c ）c （ *2）w w w w '+'+'='μννμνμμν ）（ *3）s w s w ws ws ws '+'+'+'='μνμννμνμμν ）（ 7、反函数求导法则：设y=f （x ）与x=ϕ（y ）（ϕ'（y ）≠0）则）y （1）x （f ϕ'=' 或x y '= yx 1'8、n 次导的常见公式：*1））n （）sinx （= ）2nx （sin π+*2））2nx （cos ）cosx （）n （π+=*3）()()n [In 1x ]+= n1-n ）x 1（!）1-n （）1-（+ 9、参数方程求导：设函数）t （y ），t （x ），且b t a （）t （y ）t （x ψϕψϕ==≤≤⎩⎨⎧==都可导，其中x=）t （ϕ'≠0，则函数的导数）t （）t （dtdx dt dydx dy ϕψ''== 10、复合函数求导：若y=f （u ），u=ϕ（x ），且f （u ）及ϕ（x ）都可导，则复合函数y=f[ϕ（x ）]的导数）x （）x （f dxdyϕ'⋅'=11、隐函数求导：*1）方程F （x ，y ）=0两边求导，解出y 或dx dy'*2）公式法：由F （x ，y ）=0，则yxF F dx dy''-=*3）利用微分形式的不变性，方程两边求微分，然后解出dxdy注：y 是x 的函数 12、对数求导：将函数关系式两边取自然对数（成为隐函数形式），化简，然后两边两边求导，最后两边乘以y （x ）注：适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数（y=u （x ）v （x ）） 13、高阶导数：*1）二阶导数：x △）x （f -）x △x （f lim）x （f 0x △'+'=''→ *2）三阶导数：x △）x （f -）x △x （f lim）x （f 0x △''+''='''→*4）n 阶导数：x△）x （f -）x △x （f lim）x （f）1-n （）1-n （0x △）1-n （+=→ 14、中值定理：*1）拉格朗日定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得a-b ）a （f -）b （f）（f ='ξ推论1：如果函数f （x ）在区间（a ，b ）内任意一点的导数）x （f '都等于零，你们函数f （x ）在（a ，b ）内是一个常数推论2：如果函数f （x ）与g （x ）在区间（a ，b ）内每一点的导数）x （f '与）x （g '都相等，则这两个函数在区间（a ，b ）内至多相差一个常数，即：f （x ）= g （x ）+C ，x ∈（a ，b ）*2）罗尔定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，且f （a ）=f （b ），则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得='）（f ξ 0 *3）柯西定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，且0）x （g ≠'，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得）a （g -）b （g ）a （f -）b （f = ）（g ）（fξξ''&15、洛必达法则：*1）0型：设函数f （x ）、g （x ）满足： ⑴==→→）x （g lim ）x （f lim 0x x x x 0⑵在点x 0的某去心邻域内）x （g ）与x （f '' 都存在 ，且≠'）x （g 0⑶）x （g ）x （f limx x ''→ 存在或为无穷 有：）x （g ）x （f limx x →= ）x （g ）x （f lim0x x ''→*2）∞∞型： 设函数f （x ）、g （x ）满足： ⑴∞==→→ ）x （g lim ）x （f lim 0x x x x⑵在点x 0=的某去心邻域内）x （g ）与x （f '' 都存在 ，且≠'）x （g 0⑶）x （g ）x （f lim 0x x ''→ 存在或为无穷 有：）x （g ）x （f limx x →= ）x （g ）x （f lim0x x ''→*3）其他未定型：⑴0·∞型：f （x ）·g（x ）转化成）x （f 1）x （g 或 ）x （g 1）x （f ，一般将In 、arc 留在分子上⑵∞-∞型：通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为0型或∞∞型 ⑶0、0、1∞∞∞型：f （x ）g （x ）= eg （x ）Inf （x ）= ）x （g 1）x （Inf e16、函数单调性判定：设函数y=f （x ）在开区间（a ，b ）内可导*1）如果函数y=f （x ）在（a ，b ）内，0）x （f >'，则函数y=f （x ）在（a ，b ）内单调递 增 ；*2）如果函数y=f （x ）在（a ，b ）内，0）x （f <'，则函数y=f （x ）在（a ，b ）内单调递 减 ； 17、函数的极值：*1）如果函数y=f （x ）在点x 0及其左右近旁有定义，且对于x 0近旁的任何一点x （x ≠x 0）的函数值f （x ）均有：⑴f （x ）<f （x 0）,则f （x 0）称为函数y=f （x ）的 极大值 ，点x 0称为函数y=f （x ）的 极大值点⑵f （x ）>f （x 0）,则f （x 0）称为函数y=f （x ）的 极小值 ，点x 0称为函数y=f （x ）的 极小值点 *2）驻点：='）x （f 0 0 的点 *3）极值第一充分条件：设点x 0是f （x ）可能的极值点（0）x （f 0='或）x （f 0'不存在）⑴当0 ）x （f ）时，x ，-x （x 00>'∈δ；0 ）x （f ）时，x ，x （x 00<'+∈δ,则x 0为极大值点⑵当0 ）x （f ）时，x ，-x （x 00<'∈δ；0 ）x （f ）时，x ，x （x 00>'+∈δ,则x 0为极小值点⑶当⋃∈）x ，-x （x 00δ）x ，x （00δ+，）x （f ' 同号 ，则x 0不是极值点 *4）极值的第二充分条件：设y=f （x ）在点x 0处有一、二阶导数，且）x （f 0'= 0⑴如果）x （f 0'' > 0，则函数y=f （x ）在点x 0处取得最小值f （x 0） ⑵如果）x （f 0'' < 0，则函数y=f （x ）在点x 0处取得最大值f （x 0） 18、曲线凹凸性：*1）若对于x ∈（a ，b ）时，0）x （f >''，则曲线在（a ，b ）上为 凹 ，用符号“ ⋂ ” 表示*2）若对于x ∈（a ，b ）时，0）x （f <''，则曲线在（a ，b ）上为 凸 ，用符号“ ⋃ ” 表示 6、曲线拐点：设f （x ）在x 0的某个邻域内二阶可导，且=''）x （f 0 0 ，若x 0两侧）x （f 0'' 改变 符号，则 （x 0，f （x 0）） 为曲线的拐点19、曲线的渐近线：*1）水平渐近线：如果函数y=f （x ）的定义域是无穷区间，且b ）x （f lim x =∞→，则y= b*2）垂直渐近线：如果函数y=f （x ）在x=x 0处间断，且∞=→）x （f lim 0x x ，则x=x 0*3）斜渐近线：如果函数y=f （x ）定义在无穷区间，且a x）x （f limx =∞→，b ax]-）x （[f lim x =∞→，则y= ax+b20、经济学与导数：*1）利润：L （Q ）= R （Q ）-C(Q) *2）边际利润：）Q （C -）Q （R Q)（L ''='*3）函数弹性：）x （f ）x （f xEx Ey '=*4）需求弹性（供给函数）：）p （Q ）Q(p p ）p （0000'=η 注：⑴当|η| < 1时，为低弹性，此时需求变动幅度 小于 价格变动幅度。