2.2.1椭圆的定义与标准方程
2.1,1椭圆的定义与标准方程
♦再认识！
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P
不 同 点
图
形
F1
F2
x
O
F1
x
焦点坐标 相 同 点 定 义
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
(2)当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为
y2 x 2 2 1 (a>b>0). 2 a b 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) a , 依题意,知 3 3 1, ⇒ 4 2 2 a b 1 2 b . 1 2 ( ) 5 2 1 2 a y2 x 2 1. 故所求椭圆的标准方程为 1 1 4 5
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25y 2 225 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 5 ) 3 x 2 y 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 1(6) 2 24 k 16 k m m 1
M xx x
O
M
O F2
x F1
x
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简洁”)
y
设P (x, y)是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)， 则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . P与F1和F2的距离的和为固定值 2a(2a>2c)
2.21椭圆及其标准方程：
,B ( 3, 5 )
例4：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是 焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。 解：由 4x2+ky2=1,可得
因为方程表示的曲线是焦点在y轴上 的椭圆，所以
x y 1 1 4 k
2
2
1
1 1 k 4
即：0<k<4
所以k的取值范围为0<k<4。
例5：动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离 之和为8，则动点P的轨迹为-------------（ B ）
变式题组二
1.如果方程x2 +ky 2 =1表示焦点在y轴上的椭圆， 那么实数k的取值范围是（ ） (A)（0，+¥ ） (B)（0，2） (C)（1，+¥ ） (D)（0，1） x2 y 2 2.椭圆 + =1的焦距是2，则实数m的值是（ m 4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 x2 y 2 3.已知F1、F2是椭圆 + = 1的两个焦点，过 25 49 F1的直线与椭圆交于A、B两点，则D ABF2的 周长为（ (A)8 6 ） (B)20 (C)24 (D)28 ）
O
F2 (c,0)
X
x2 y2 2 1 (a>b>0) 2 a b
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。
Y
Y
M
M
F2(0 , c) X O F1(0,-c)
2 2
F1 (-c,0)
2 2
O
F2 (c,0)
X
x y y x 2 1(a b 0) 2 1(a b 0) 2 2 a b a b 椭圆的标准方程的再认识：
2.2.1椭圆及其标准方程(二)2
2.2.1椭圆及其标准方程（二）【教学目标】1.理解椭圆的定义及标准方程；2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程；3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学科素养】数学抽象、逻辑推理，数学运算.【教学重点】椭圆的定义及标准方程的推导.【教学难点】理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.【学法指导】教师启发讲授，学生探究学习.复习回顾问题 1：椭圆的定义是什么？问题 2：椭圆的标准方程是怎样的？新知探究例2：如图，在圆422=+y x 上任意取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？ 点评：相关点法（代入法）（设计意图：利用直线中点坐标公式，探求动点轨迹）变式训练2：教材第50页B 组第一题例3：如图所示，设A ，B 的坐标分别是()()0,5,0,5-，直线BM AM ,相交于点M ，且它们的斜率之积是94-，求Ｍ点得轨迹方程。
（设计意图：把直线相关知识与椭圆结合到一起，加强知识之间的联系，以此培养学生 的知识串联能力）点评：参数法变式训练3：(教材第42页练习第4题)小结：求解与椭圆相关的轨迹问题的方法1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）1,4==b a ，焦点在x 轴上；（2）15,4==c a ，焦点在y 轴上；（3）52,10==+c b a2、椭圆2211625x y +=的焦点坐标为（ ）A (0, ±3)B (±3, 0)C (0, ±5)D (±4, 0)3、在方程22110064x y +=中，下列a, b, c 全部正确的一项是（ ） A a=100, b=64, c=36 B a=10, b=6, c=8C a=10, b=8, c=6D a=100, c=64, b=36 教材第42页练习第1题、第3题.课堂小结1.椭圆的概念及标准方程；2.求椭圆方程的方法.作业布置 习题2.2A 组5 、7板书设计椭圆及其标准方程1、椭圆的定义 例2： 例32、椭圆的标准方程课后感悟。
2.2.1 椭圆及其标准方程
椭圆2．2．1椭圆及其标准方程预习课本P38～42，思考并完成以下问题1．平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？2．椭圆的标准方程是什么？[新知初探]1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．[点睛]定义中的条件2a>|FF2|>0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边1得出来的．否则：①当2a＝|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；②当2a<|F1F2|时，其轨迹不存在．2．椭圆的标准方程[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆( )(2)已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹为圆( )(3)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)表示的曲线是椭圆( )答案：(1)× (2)√ (3)×2．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m 的值为( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案：C3．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是________．答案：(0，±12)[典例] 求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．[解] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．将点(5,0)代入上式解得a ＝5，又c ＝4， 所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9． 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1．确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．解：法一：(分类讨论法)若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16．设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16．①又点(3，－5)在椭圆上，所以(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1．② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 y 220＋x 24＝1．椭圆的定义及其应用[典例] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[解] 由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|．① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|．② 将②代入①解得|PF 1|＝65．所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是335．(1)椭圆定义的应用中，要实现两个焦点半径之间的相互转化，将两个焦半径之和看作个整体．(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF 1|，|PF 2|看作一个整体，运用|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求解．[活学活用]设F 1，F 2是椭圆x 216＋y 212＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝2．则△PF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝8． 又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3， 又|F 1F 2|＝2c ＝4，故△PF 1F 2为直角三角形．与椭圆有关的轨迹问题[典例] (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP 中点Q 的轨迹方程为________．(2)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．求C 的方程．[解析](1)设P (x P ，y P )，Q (x ，y )，由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝x P 2，y ＝yP2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝2x ，y P ＝2y ，又点P 在椭圆x 24＋y 28＝1上，所以(2x )24＋(2y )28＝1，即x 2＋y 22＝1．答案：x 2＋y 22＝1(2)解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3．设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R ．动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4．由椭圆定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．[活学活用]求过点P (3,0)且与圆x 2＋6x ＋y 2－91＝0相内切的动圆圆心的轨迹方程．解：圆方程配方整理得(x ＋3)2＋y 2＝102，圆心为C 1(－3，0)，半径为R ＝10．设所求动圆圆心为C (x ，y )，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧|PC |＝r ，|CC 1|＝R －r ，消去r 得R －|PC |＝|CC 1|⇒|PC |＋|CC 1|＝R ，即|PC |＋|CC 1|＝10．又P (3,0)，C 1(－3,0)，且|PC 1|＝6<10．可见C 点是以P ，C 1为两焦点的椭圆，且c ＝3,2a ＝10，所以a ＝5，从而b ＝4，故所求的动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1．层级一 学业水平达标1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D ．2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．12解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA |＋|BF |＝23，|CA |＋|CF |＝23，便可求得△ABC 的周长为43．3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)，∴甲是乙的必要条件．反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a >0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a >|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <－2C ．a >3或a <－2D ．a >3或－6<a <－2解析：选D 由a 2>a ＋6>0得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －6>0，a ＋6>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <－2或a >3，a >－6，所以a >3或－6<a <－2．5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A ．x 212＋y 29＝1B ．x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1C ．x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，∴c ＝3． ∵2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43， ∴a ＝23．∴b 2＝a 2－c 2＝9．故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1．6．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．解析：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1． ∴m －4＝1，m ＝5．当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ， ∴c 2＝4－m ＝1， ∴m ＝3． 答案：3或57．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为________________．解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12， 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1．法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16．所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1．答案：x 216＋y 212＝18．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大， ∴12×8b ＝12，∴b ＝3． 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25． ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．答案：x 225＋y 29＝19．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．解：由点⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆上，得(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1， 又2a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知椭圆C 与椭圆x 2＋37y 2＝37的焦点F 1，F 2相同，且椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫572，－6． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P ∈C ，且∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积．解：(1)因为椭圆x 237＋y 2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．所以设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－36＝1(a 2>36)．将点⎝⎛⎭⎫572，－6的坐标代入整理得4a 4－463a 2＋6 300＝0，解得a 2＝100或a 2＝634(舍去)，所以椭圆C 的标准方程为x 2100＋y 264＝1．(2)因为P 为椭圆C 上任一点， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20． 由(1)知c ＝6，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ＝12， 所以由余弦定理得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos π3，即122＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|．因为|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|， 所以122＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|． 所以122＝202－3|PF 1||PF 2|．所以|PF 1|·|PF 2|＝202－1223＝32×83＝2563．S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin π3＝12×2563×32＝6433．所以△F 1PF 2的面积为6433．层级二 应试能力达标1．下列说法中正确的是( )A ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B ．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆D ．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选C A 中，|F 1F 2|＝8，则平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A 错误；B 中，到F 1，F 2两点的距离之和等于6，小于|F 1F 2|，这样的轨迹不存在，所以B 错误；C 中，点M (5,3)到F 1，F 2两点的距离之和为(5＋4)2＋32＋(5－4)2＋32＝410>|F 1F 2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C 正确；D 中，轨迹应是线段F 1F 2的垂直平分线，所以D 错误．故选C ．2．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1 ·PF 2 ＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．9B ．12C ．10D ．8解析：选A ∵PF 1 ·PF 2 ＝0，∴PF 1⊥PF 2．∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64， ①|PF 1|＋|PF 2|＝10. ② ②2－①，得2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18， ∴△F 1PF 2的面积为 S ＝12·|PF 1|·|PF 2|＝9．3．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫π4，π2 B ．⎝⎛⎦⎤0，π4 C ．⎝⎛⎭⎫0，π4 D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1．因为椭圆的焦点在y 轴上，所以1cos α>1sin α>0，即sin α>cos α>0．又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4<α<π2． 4．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心：且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7．5．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________．解析：易知k ≠0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k ＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132． 答案：1326．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则 |AN |＋|BN |＝________．解析：取MN 的中点G ，G 在椭圆C 上，因为点M 关于C 的焦点F 1，F 2的对称点分别为A ，B ，故有|GF 1|＝12|AN |，|GF 2|＝12|BN |，所以|AN |＋|BN |＝2(|GF 1|＋|GF 2|)＝4a ＝12． 答案：127．已知点P 在椭圆上，且P 到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P 且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．解：法一：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5＋3，(2c )2＝52－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝12．于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1． 法二：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1，F 2．由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝3＋5＝8，所以a ＝4．在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a ； 在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a ． 依题意有b 2a ＝3，得b 2＝12．于是所求椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1或y 216＋x 212＝1．8．如图在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)．Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解：如图，连接MA ．由题意知点M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |．又点M 在AQ 的垂直平分线上，则|MA |＝|MQ |，故|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5．又A (1,0)，C (－1,0)，故点M 的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5，故a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214． 故点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1．。
课件14：2.2.1 椭圆及其标准方程
3
＝2×4× 2 ＝ 3.
1．本节课的重点是椭圆的定义、标准方程的求法，以及
与椭圆焦点有关的三角形问题．
2．对椭圆定义的理解易忽视“2a>2c”这一条件，是本节
课的易错点．
平面内到两定点F1，F2 的距离之和为常数，即|MF1|＋
|MF2|＝2a，当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
焦点在x轴上
标准方程
图形
2 2
＋ ＝1(a>b>0)
2 2
焦点在y轴上
2 2
＋ ＝1(a>b>0)
2 2
(2)椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点坐标
a，b，c的关系
焦点在y轴上
(－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a2＝b2＋c2
(2)观察教材.设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，且|MF1|
2 2 − 2
2．归纳总结，核心必记
(1)椭圆的定义
等于常数(大于|F1F2|)
平面内与两个定点F1，F2的距离的和___________________
的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点 .
两焦点间的距离
_____________________叫做椭圆的焦距．
(1)定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于
由椭圆的定义知，a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.
x2 y2
∴所求轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1.
讲一讲
x2 y2
4．如图所示，P 是椭圆 4 ＋ 3 ＝1 上的一点，F1，F2
为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2
2.2.1椭圆及其标准方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
P 是椭圆1x22 ＋y32＝1 上的一点，F1、F2为两个焦点，若∠F1PF2
＝60°，则△F1PF2 的面积为( )
Aபைடு நூலகம்2 3
B． 3
C．4
D．2
[答案] B
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
注意挖掘隐含条件 △ABC 的三边 a，b，c(a>b>c)成等差数列，A、
C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点 B 的轨迹． [错解] 设点 B 的坐标为(x，y)． ∵a、b、c 成等差数列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
椭圆的标准方程
根据下列条件，写出椭圆的标准方程． (1)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0，－5)，椭圆上一点 P 到 两焦点的距离和为 26，________. (2)经过点 P(1，32)，两焦点间的距离为 2，焦点在 x 轴上， ________. [答案] (1)1y629＋1x424＝1 (2)x42＋y32＝1
第二章 2.2 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
(2)设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1， ∵焦点在 x 轴上，2c＝2，∴a2＝b2＋1，
9 又椭圆经过点 P(1，32)，∴b2＋1 1＋b42＝1， 解之得 b2＝3，∴a2＝4. ∴椭圆的标准方程为x42＋y32＝1.
2.2.1椭圆及其标准方程(2)
y2 b2
1
b2
a2
c2
焦点坐标：F1 -c,0,F2 c,0 F1 0,-c,F2 0,c
a a、b、c的关系： 2 b2 c2
[1] 椭圆的标准方程有几个？
答：两个。焦点分别在 x 轴、y 轴。 [2]给出椭圆标准方程，怎样判断焦点在哪个轴上
答：在分母大的那个轴上。
[3] Ax 2 By 2 C 什么时候表示椭圆？
2.取过两个定点的直线做 x 轴，它的线段 垂直平分线做 y 轴，建立直角坐标系，从 而保证方程是标准方程。
3.根据已知求出a、c，再推出a、b
写出椭圆的标准方程。
例1 平面内两个定点的距离是8，写出到这两 个定点的距离的和是10的点的轨迹方程
解：因为动点到两定点的距离的和为10且大于两定点 的距离，由椭圆定义知，动点的轨迹为椭圆。
和是常数12，且12 6 O1O2 ,
所以点P的轨迹是焦点为-3,0、3,0的椭圆，
且方程为标准方程：x2 + y2 = 1 a2 b2
2c 6,2a 12, c 3, a 6
b2 a2 c2 36 9 27,
∴动圆圆心的轨迹方程为：x2 + y2 = 1 36 27
x2
y2
1.
25 16
例2、已知F1、F2是椭圆
x2 4
+
y2 3
=1的两个焦点，P是椭圆上一点，
且F1PF2 =60，求PF1F2的面积。
解：由已知a=2,c=1, 设 PF1 = d1,PF2 = d2,
由椭圆的定义得d1 + d2 = 2a = 4,
在F1PF2中，由余弦定理得cos60°= d12
课件3：2.2.1 椭圆的标准方程
•课 前 热身
1.回顾：我们是如何定义圆的呢？
圆就是平面内到一个定点的距离 等于定长的点的轨迹
平面内到两定点的距离之和等 于常数的点的轨迹是什么？
数学实验
同学们一起观察以下操作： 在图板上，将一根无弹性的长为2a的细绳的两端
（两端点距离为2c）用图钉固定在不同处，套上铅 笔，使笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？
做椭圆.
其中这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
数 学
MF1 MF2 =2a
语
F1
言
(2a> F1F2)
M F2
下面来求椭圆的标准方程. 怎样建立平面直角坐标系呢？
y
M (x, y)
F1
O
F2
x
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的
y
M (x, y)
垂直平分线为y轴，建立直角坐标系,如图所示。
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
哪个轴的分母大焦点就落在那个轴上
注意：
（1）、在两种方程中，总有 a b 0
（2）、 a, b, c 有关系式：
c2 a2 - b2 即a2 b2 c2, a最大
（3）、结构特征：左ห้องสมุดไป่ตู้是和，右边是1
（4）、 a 2在 x 2 的分母下，焦点在x轴上；
a 2在 y 2的分母下，焦点在y轴上。
判定下列椭圆的焦点在 轴，并指明a、 b，写出焦点坐标
x2 y2 1 答：在 x轴。（-3，0） 25 16 和（3，0）
2.2.1《椭圆及其标准方程(二)
x y 4
'2
'2
例 7 如图 2.1 6, 设点A, B 的坐标分别为 5,0, 5,0 . 直线 AM , BM 相交于点M , 4 且它们的斜率之积是 , 9 求点 M的轨迹方程.
A
y
M
B
O
x
图2.1 6
分析 设点M的坐标为 x, y , 那么直线AM , BM 的斜率就可以用含 x, y的式子表示 .由于直线AM , 4 BM 的斜率之积是 ,因此可以建立 x, y之间的 9 关系式, 得出点M的轨迹方程.
所以设它的标准方程为
x2 a
2
你还能用其 他方法求它 的方程吗？
y2 b
2
1(a b 0). 由椭圆的定义知
5 3 2 ( 2) ( 0) 2 2 10, 2 2
5 3 2 2 a ( 2) ( 0 ) 2 2 2
所以 a 10.
2 2 2 b a c 10 4 6. 又因为 c 2 ，所以
复习：
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的 动点的轨迹叫做椭圆。
1.椭圆的定义:
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a 2 b 2 y x 2 1(a b 0) 2 a b
B
x
x2 y2 化简, 得点 M的轨迹方程为 1 x 5 . 25 100/ 9
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 aLeabharlann =b +c例1.写出椭圆的标准方程
高中数学2.2.1椭圆及其标准方程优秀课件
二、新知探究
1、椭圆的定义 我们把平面内与两个定点F1、F2的距离之
和等于常数〔大于| F1F2 |〕的点的轨迹叫做椭 圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的 距离叫做椭圆的焦距.
假设常数不大于|F1F2|, 那么点的轨迹又是什么？
假设常数不大于|F1F2|, 那么点的轨迹又是什么？
〔1〕假设与两个定点F1、F2的距离之和等于 |F1F2|, 那么点的轨迹为线段F1F2； 〔2〕假设与两个定点F1、F2的距离之和小于| F1F2 |, 那么平面内不存在这样的点.
y
如图, 如果焦点F1, F2在
M
F2
y轴上，且F1, F2的坐标分别 为(0, c), (0, c)，a,b的意义
同上, 那么椭圆的方程是什么?
O
x
F1
y
如图, 如果焦点F1, F2在
M
F2
y轴上，且F1, F2的坐标分别 为(0, c), (0, c)，a,b的意义
同上, 那么椭圆的方程是什么?
【练习3】
如 果 M 点(x, y)在 运 动 过,程 总中 能 满 足 关 系 式 :
x2 (y3)2 x2 (y3)2 10, 点M的 轨 迹 是 什 么?为曲什线么 ?写 出 它 的 方 程.
【例3】已知ABC的顶点B,C在椭圆x2 y2 1上,
3 顶点A是椭圆的一个焦 ,且点椭圆的另一个焦点 在边BC上,则ABC的周长是 ( )
(a2 c2)x2 a2 y2 a2(a2 c2)
x2
y2
a2 a2 c2 1
（1）
观察下,你 图能从中找出a,表 c, 示 a2 c2的线段吗？
y
P
F1 O
F2 x
19-20版 第2章 2.2 2.2.1 椭圆及其标准方程
所以
S△PF1F2＝12|PF1||F1F2|sin∠PF1F2＝12×65×2×
23＝3
5
3 .]
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1．椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)， 则点 M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点 M 到两焦点的距离之和 必为 2a.
∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2， ∴cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|PF|P1F|·2|2|P－F|F2| 1F2|2＝－12，
∴∠F1PF2＝120°.
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(2)由x42＋y32＝1，可知 a＝2，b＝ 3，所以 c＝ a2－b2＝1，从而 |F1F2|＝2c＝2.
在 △PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 得 |PF2|2 ＝ |PF1|2 ＋ |F1F2|2 － 2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
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(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的 方程，并把所得方程化简即可．
所求点 M 的轨迹方程为x42＋y2＝1.
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【例 3】 (1)已知 P 是椭圆x42＋y82＝1 上一动点；O 为坐标原点， 则线段 OP 中点 Q 的轨迹方程为______________．
(2)一个动圆与圆 Q1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，与圆 Q2：(x－3)2＋ y2＝81 内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程．
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即 4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cos 30°， 即 4＝20－(2＋ 3)|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－ 3)． ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝12×16(2－ 3)×12＝8－ 4 3.]
§2.2.1 椭圆及其标准方程
b 2 a 2 c 2 10 4 6.
y2 x2 1. 所以所求椭圆的标准方程为 10 6
5、回顾小结 一种方法： 求椭圆标准方程的方法 二类方程:
x2 y2 y2 x2 2 1 2 2 1 a b 0 2 a b a b
三个意识： 求美意识， 求简意识，前瞻意识
M
立坐标系才能使 椭圆的方程简单?
y
M
y M
F1o
y
F2
x
F1 o
y
F2
x
F1 o
yF2xຫໍສະໝຸດ F2F2M
F2
M
o
M
x
F1
o
x
F1
o
x
F1
以 F1 , F2 的中点为坐标原点， F1 , F2 所在直线为 设M(x,y)是椭圆上任意一点 x轴建立直角坐标系，
F1F2 =2C,那么F1 ,F2的坐标分别是 -c,0 , c,0
圆的标准方程？哪些是椭圆的方程。
练习2比较椭圆的两种标准方程并填表
标准方程 不 同 点 图形
焦点坐标 定义 共 同 a、b、c 点 的关系
F1 c,0
F2 c,0
F1 0, c
F2 0, c
c 2 a 2 b2 (a b 0, c 0)
焦点位置 的判定
y A
F1 o F2
B
x
例1 已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16， 求顶点A的轨迹方程。
解： AB BC AC 16, BC 6
.
y
A
AB AC 10, 且10 BC 根据椭圆的定义知所求轨迹是椭圆， B o C 且B、C为焦点 以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直 角坐标系。 所以可设椭圆的标准方程为 ： x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
2.2.1椭圆及其标准方程
a ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c
2 2
2
c
F2
x
b2= a2 - c2 b a2 c2
a,b,c三者的关系
（1）b2= a2 c2
y M
（2）c2= a2 - b2 （3）a2= b2 + c2
F1
b
O
a
c F2
x
（a>b>0,a>c>0)
x y 例1.已知椭圆方程为 1 ,则 25 16
(1)a=____, c=_____ 4 3 5 b= ____, (-3,0),(3,0) (2)焦点在 x 轴上,焦点为__________, 焦距为____ 6
O
M
x
F1
椭圆的方程
x y 1.焦点在x轴: 2 2 1 (a b 0) a b
y x 2.焦点在y轴: 2 2 1 (a b 0) a b
焦点位置的判断: 分母哪个大，焦点就在 哪个轴上
2 2
2
2
x y 例2.已知椭圆方程为 1 ,则 16 25
(1)a=____, c=_____ 4 3 5 b= ____,
2
2
(2)焦点在 y 轴上,焦点为__________, (0,-3),(0,3) y
焦距为____ 6
F2
O
M
x
F1
椭圆的标准方程
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y M
2.2.1椭圆的定义与标准方程
x2 y2 (3)焦点三角形的面积公式：设P为椭圆 a 2 b2 1(a b 0)
上异于长轴端
点的任一点，F1、F2为其焦点，记 F1PF2 , 则
S PF1F2 b tan . 2
2
x2 y2 1, P为椭圆上一点，且 F1PF2 60, 例3 已知椭圆的方程为 4 3
数 学过程中，你能说出移动的笔尖 （动点）满足的几何条件吗？
P
F1
F2
平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫椭圆。两个定点 F1 、 F2 称为焦点， 两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设P为椭圆上的 任意一点，则|PF1|+|PF2|=2a
一.课题引入：
生 活 中 的 椭 圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
1.两点间的距离公式,若设A(x1,y1) B(x2,y2) 则:|AB|=?
| AB |
x2 x1 2 y2 y1 2
2．圆的定义是什么？我们是怎么画圆的？
在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹。
b a c 5 4 9
2 2 2 2 2
x y ∴ 所求的椭圆的标准方程为 1 25 9
2
2
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2）， 并且椭圆经过点 4, 3 2
解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，
y2 x2 ∴ 设它的标准方程为 2 2 1(a b 0) a b
求 PF 的面积. 1F 2
x2 y2 变式：已知椭圆的方程为 1, 点P为椭圆在第三象限上一点， 4 3
且 PF1F2 120, 求 PF 的面积. 1F 2
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（2） 8x 3 y 24
2 2
问题三：待定系数法求椭圆的标准方程
例题 1:求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆上一点 P 与两焦 点的距离的和等于 8;
用待定系数法求椭圆的 标准方程.分两步: ①定型(应注意焦点在 x 轴,还是在 y 轴上)设出 标准方程. ②定量(求 a,b,c)
x2 y2 y2 x2 2 1(a b 0) （2） 2 2 1(a b 0) a2 b a b
说明:①a,b,c 有何关系，这种关系与椭圆焦点在哪个轴上有关吗？ ②根据方程如何判断焦点所在坐标轴 练习：求下列方程表示的椭圆的焦点坐标： （1）
x2 y2 1 36 24
3
课堂小结 本节综述:本节主要学习了什么? 具体总结:（对照问题总结） 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 3.数学思想方法:数形结合思想,待定系数法
练习与巩固
练习 A 1.在课本上做 2.（1） （2）
（3）
（4）
（4）根据椭圆的定义，可先求 a
3.
3.根据椭圆的定义
4.
练习 B 1. 1.不局限一种答案 B,C 是两个定点,|BC|=8,且 ABC 的周长等于 18,求这个 三角形的顶点 A 的轨迹方程. 提示 :建立适当 直角坐 标系 (曲线的方 程依赖 于坐标系，曲线上同一 点在不同的坐标系中的 坐标不同，曲线的方程 也不同.因此，为了使方 程简便，必须注意坐标 系的选择).
A 两条直线 B 四条直线 C 一个圆 D 两条直线和一个圆 2. MA 和 MB 分别是动点 M(x,y)与两定点 A(-1,0),B(1,0)的连线,使 AMB 为直角的动点 M 的轨迹方程是( ) A.. x 2 y 2 1 C. x 2 y 2 1, ( x 1) B. x 2 y 2 1, ( x 1) D. x 2 y 2 1, ( x 1)
问题一:椭圆的定义
请同学们准备一根细绳，将其两端固定，用铅笔尖把绳拉紧，画出 轨迹,该轨迹为什么图形? 阅读课本，回答 (1)什么是椭圆? _________________________________________________________ （2）当距离之和等于| F1 F2 |时，轨迹是什么？ （3）当距离之和小于| F1 F2 |时，轨迹是什么？ 练习:1、已知 B,C 是两个定点,|BC|=6.以线段 BC 为一边画三角形,试问 满足条件“ ABC 的周长等于 20”的顶点 A 的轨迹是什么图形?为什 么?
概念中说明三点： 1.平面内 2.和为定 值 3.要注意定义中 对“距离之和”的限 定，即常数要大于 | F1 F2 |
2 、 方程
( x 2) 2 y 2 ( x 2) 2 y 2 4 表 示 的 图 形 为
______________
1
问题二：椭圆的标准方程
1、如何推导椭圆的标准方程？试推导:
思考 :①如何建 立适当 的直角坐标系？ ② 根据条件列式 ③代 入坐标化简 (方程 化简的方法： （1）方程 中只有一个根式时，需 将它单独留在方程的一 边，把其他各项移至另 一边； （2）方程中有两 个根式时，需将它们分 别放 在方程的两边 ,平 方两次.)
2、借助以下椭圆的两种标准方程画出其相应图形 （1）
高二数学导学案
教学课题 课标要求 2.2.1 椭圆的定义与标准方程 备课人
① 经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握椭圆的定义、 标
准方程 1、椭圆的定义 2、椭圆的标准方程 3、待定系数法求椭圆的标准方程 内容导学 反思与总结
)
主要问题
课前回顾：1.方程 ( x 2 4) 2 ( y 2 4) 2 0 表示的图形是(
2
（ 2 ） 两 个 焦 点 的 坐 标 分 别 是 (0,-4),(0,4), 并 且 椭 圆 经 过 点
( 3 , 5 ) .
第(2)小题提示: 方法①待定系数法 方法②根据定义求 a
练习:写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a 4, c 15 ,焦点在 y 轴上.
(2)长轴是短轴的 3 倍,椭圆经过点 P(3,0) .