专题03 含绝对值的不等式及其应用-一本通之备战2019高考数学选做题

专题03 含绝对值的不等式及其应用知识通关1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集：不等式a>0a=0 a<0|x|<a {x|−a<x<a } ∅∅|x|>a{x|x>a 或x<−a }{x|x ∈R 且x ≠0}R(2)|ax+b|≤c (c>0)和|ax+b|≥c (c>0)型不等式的解法：|ax+b|≤c ⇔−c ≤ax+b ≤c ; |ax+b|≥c ⇔ax+b ≥c 或ax+b ≤−c.(3)|x −a|+|x −b|≥c 和|x −a|+|x −b|≤c 型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a,b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.(2)定理2：如果a,b,c 是实数，那么|a −c|≤|a −b|+|b −c|，当且仅当(a −b )(b −c )≥0时，等号成立. (3)推论1：||a|−|b||≤|a+b|. (4)推论2：||a|−|b||≤|a −b|.基础通关理解绝对值的几何意义，并会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：方法解读适合题型1 公式法利用公式()0x a a x a a <⇔-<<>和x a >x a ⇔>或()0x a a <->直接求解不等()()||f x g x >或()()||f x g x <式2 平方法利用不等式两边平方的技巧,去掉绝对值,需保证不等式两边同正或同负()()()()22||||f xg x f x g x≥⇔≥3零点分段法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解()()|,|f x g x a±≥()()||f xg x a±≤4 几何法利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解,x a x b c±±±≤||x a x b c±±±≥5 图象法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解或通过移项构造一个函数如()()||f xg x a+≥可构造()()||y f x g x a=+-或()()||y f x g x=+与y a=题组一绝对值不等式的解法用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．【例1】已知函数()123f x x x=+--.（1）画出()y f x=的图象；（2）求不等式()1f x>的解集．【解析】（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-≤<---≤-=.23,4,231,23,1,4)(x x x x x x x f )(x f y =的图象如图所示.题组二 绝对值不等式性质的应用（1）利用绝对值不等式性质定理时要注意等号成立的条件：当ab ≥0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |；当(a －b )(b －c )≥0时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.（2）对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题时利用绝对值三角不等式更方便． （3）对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏． 【例2】已知函数()|21|f x x =-，()||g x x a =+． （1）当1a =时，解不等式()()f x g x ≥；（2）若()2()1f x g x a ≤++恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）依题意，|21||1|x x -≥+，两边同时平方得2244121x x x x -+≥++，即2360x x -≥，解得0x ≤或2x ≥，故不等式()()f x g x ≥的解集为{|02}x x x ≤≥或．（2）由()2()1f x g x a ≤++恒成立，即|21||22|1x x a a --+≤+恒成立， ∵|21||22||(21)(22)||21|x x a x x a a --+≤--+=+， ∴max (|21||22|)|21|x x a a --+=+， ∴|21|1a a +≤+，解得203a -≤≤，即实数a 的取值范围为2[,0]3-.能力通关1．含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律：（1）根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决. （2）巧用“||a|−|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.①求|a|−|b|的范围:若a±b 为常数M,可利用||a|−|b||≤|a±b|⇔−|M|≤|a|−|b|≤|M|确定范围. ②求|a|+|b|的最小值:若a±b 为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值.（3）f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a,f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .即不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．2．含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法： （1）分离参数法运用“max min ()(),()(),f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题. 求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值. （2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法. （3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.不等式恒成立问题【例1】设函数()|1||2|f x x x =-+-.（1）解不等式x x f -≥5)(； （2）若11)(-≥ax f 对R ∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）因为32,1()1,1223,2x x f x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩,当1x ≤时，x x -≥-523，解得2-≤x ； 当12x <<时，x -≥51，无解； 当2x ≥时，x x -≥-532，解得38≥x . 所以不等式x x f -≥5)(的解集为),38[]2,(+∞--∞ . （2）依题意只需11)(min -≥ax f ， 而()|1||2||(1)(2)|1f x x x x x =-+-≥---=， 所以111a-≤， 所以0<a 或21≥a , 故实数a 的取值范围是),21[)0,(+∞-∞ . 【例2】已知函数()|26||1|f x x x =++-. （1）求不等式()8f x x <的解集；（2）若对任意的12,x x ，2221()2x f mx x -+≥恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）若3x <-，则原不等式可化为2618x x x --+-<，则511x >-，无解； 若31x -≤≤，则原不等式可化为2618x x x ++-<，则1x >，无解； 若1x >，则原不等式可化为2618x x x ++-<，则1x >. 综上所述，不等式()8f x x <的解集为()1,+∞.（2）令()22g x x mx =-+，依题意可知()()min max f x g x ≥.而()|26||1|3|1|4f x x x x x =++-≥++-≥，由()()2222g x x mx x m m =-+=--+，所以()2max g x m =.所以24m ≤，即22m -≤≤， 故m 的取值范围是[2,2]-.不等式存在性问题【例3】已知函数()22,f x x x a a =-++∈R ． （1）当1a =时,解不等式()5f x ≥;（2）若存在0x 满足()0023f x x +-<,求实数a 的取值范围．（2）()()22222422244,f x x x x a x x a x a x a +-=-++=-++≥+--=+ 原命题等价于()()min23,43,f x x a +-<+<即71a ∴-<<-.不等式中的最值问题【例4】设函数()12f x x x =++-，()32g x x x =-+-. （1）求函数()f x 的最小值；（2）若对任意的x ∈R ，不等式()()g a f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）()()()12123f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当()()120x x +-≤， 即[]1,2x ∈-时取等号，此时()min 3f x =.（2）对任意的x ∈R ，不等式()()g a f x ≤恒成立()()min 3g a f x ⇔≤=2323a a a ≤⎧⇔⎨-+-≤⎩，或23323a a a <<⎧⎨-+-≤⎩，或3323a a a ≥⎧⎨-+-≤⎩12a ⇔≤≤，或23a <<，或34a ≤≤14a ⇔≤≤.所以实数a 的取值范围为[]1,4.【例5】已知函数()|23||1|f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x >；（2）若正数,,a b c 满足123()3a b c f ++=，求123a b c++的最小值. 【解析】（1）①当1x ≤时，()32143f x x x x =-+-=-， 由()2f x >，即432x ->，解得23x <，显然21,3<所以23x <； ②当312x <<时，()3212f x x x x =-+-=-， 由()2f x >，即22x ->，解得0x <.又312x <<，所以此时不等式无解；③当32x ≥时，()23134f x x x x =-+-=-.由()2f x >，即342x ->，解得2x >.显然322>，所以2x >.综上，不等式()2f x >的解集为2(,)(2,)3-∞+∞.（2）由题意得17223()3333a b c f ++==+=.所以123233123()a b c a b b c a c ++=+++⨯+1223366[(149)]3b a c a c ba b a c b c=++++++++ 1223366(14222)3b a c a c b a b a c b c≥+⨯+⨯+⨯12=. 当且仅当12a b c ===时等号成立. 所以123a b c++的最小值为12. 不等式综合性问题【例6】已知函数()|2|||(f x x x m m =--+∈R ）． （1）若0m =，解不等式()1f x x ≥-；（2）若方程()f x x =-有三个不同的解，求实数m 的取值范围．（2）因为()|2|||f x x x m =--+，所以方程()f x x =-有三个不同的解等价于函数()|2|||g x x x =--的图象与直线y x m =--有三个不同的交点，作图可知，当直线y x m =--经过点(0,2)A 时，2m =-； 当直线y x m =--经过点(2,2)B -时，0m =. 所以实数m 的取值范围是(2,0)-.高考通关1．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.（1）当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；（2）若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．【解析】（1）当a ＝－3时，不等式f (x )≥3化为|x －3|＋|x －2|≥3.(*) 当x ≤2时，由(*)式，得5－2x ≥3，∴x ≤1. 当2＜x ＜3时，由(*)式知，解集为∅. 当x ≥3时，由(*)式，得2x －5≥3，∴x ≥4. 综上可知，f (x )≥3的解集是{x |x ≥4或x ≤1}. （2）原不等式等价于|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，(**)当1≤x ≤2时，(**)式化为4－x －(2－x )≥|x ＋a |，解得－2－a ≤x ≤2－a . 由条件，[1,2]是f (x )≤|x －4|的解集的子集， ∴－2－a ≤1且2≤2－a ，则－3≤a ≤0， 故满足条件的实数a 的取值范围是[－3,0]. 2．已知函数()2|||3|f x x x =+-. （1）解关于x 的不等式()4f x <.（2）若对于任意的x ∈R ，不等式2()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围.（2）由（1）知，33,0()3,0333,3x x f x x x x x -+≤⎧⎪=+<<⎨⎪-≥⎩.作出函数()f x 的图象，如图，显然()(0)3f x f ≥=.故由不等式2()2f x t t ≥-恒成立可得223t t -≤，解得13t -≤≤. 所以t 的取值范围为[1,3]-. 3．已知函数()|2|f x x m =+.（1）若1m =-，求不等式()|3|6f x x >++的解集；（2）若关于x 的不等式2()+|42|3f x x m -≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】（1）依题意，|21||3|6x x ->++，若3x <-，则原式化为1236x x ->--+，解得2x <-，故3x <-； 若132x -≤≤，则原式化为1236x x ->++，解得83x <-，故833x -≤<-； 若12x >，则原式化为2136x x ->++，解得10x >，故10x >. 综上所述，不等式()|3|6f x x >++的解集为8(,)(10)3-∞-+∞，. （2）依题意，关于x 的不等式2|2|+|42|3x m x m +-≥在R 上恒成立． 而|2x + m |+|4−2x|≥|m ＋4|，所以2||43m m +≥，即243m m +≥或243m m +≤-，解得413m -≤≤， 所以m 的取值范围是4[1,]3-．4．已知函数()||f x x m =-，()||g x x n =+，其中0,0m n >>.（1）若函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称，求不等式)()2(x f x f ≤+的解集； （2）若函数)()()(x g x f x h +=的最小值为1，求nm 11+的最小值及其相应的m 和n 的值. 【解析】（1） 函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称，2=∴m ，∴()|2|f x x =-，∴不等式)()2(x f x f ≤+可化为||x ≤|2|x -，即22)2(-≤x x ，化简得044≥+-x ，解得1≤x ， ∴不等式)()2(x f x f ≤+的解集为{|1}x x ≤.缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里 （2） ()||f x x m =-，()||g x x n =+，∴)(x h ||||x m x n =-++，由绝对值不等式的性质可得|||||()()|x m x n x m x n m n -++≥--+=+，∴函数)()()(x g x f x h +=的最小值为n m +，∴1=+n m ， 由mn n m 2≥+得41≤mn ， ∴4111≥=+=+mn mn n m n m ，当且仅当⎩⎨⎧=+=1n m n m ，即21==n m 时等号成立， ∴n m 11+的最小值为4，此时21==n m . 5．已知函数()|1|f x x =+．（1）若0x ∃∈R 使不等式(2)(3)f x f x t ---≥成立，求满足条件的实数t 的取值集合T ；（2）若二次函数223y x x =++与函数2()(2)y m f x f x =---的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由题意得1,1(2)(3)1223,121,2x f x f x x x x x x -≤⎧⎪---=---=-<<⎨⎪≥⎩，则()11f x -≤≤，由于0x ∃∈R 使不等式12x x t ---≥成立，则有1t ≤，即{}|1T t t =≤.【名师点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，存在性问题等基础知识，意在考查学生综合分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，逻辑思维能力，化归与转化思想．。