以椭圆和圆为背景的解析几何大题

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高中数学解析几何大题(附有答案及详解)

47．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．48．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.49．已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.50．已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S的取值范围.51．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：20x y ++=和圆O ：221x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标；（2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由.52．已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=，求m 的值. 53．已知圆()22:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线P A P 的坐标；（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）求线段AB 长度的最小值．54．已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当90AOB ∠=︒时，求实数k 的值；（2）若1,k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究：直CD 是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．55．在平面直角坐标系xOy中，(A，B ，C 是满足π3ACB ∠=的一个动点．（1）求ABC 垂心H 的轨迹方程；（2）记ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y kx m =+（0km ≠）与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2221x y +=交于P ，Q 两点，且||2||DE PQ =，求证：||k > 56．平面上一动点C的坐标为),sin θθ.（1）求点C 轨迹E 的方程；（2）过点()11,0F -的直线l 与曲线E 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线与直线l 相交于点P ，与直线2x =-相交于点Q .当MN PQ =时，求直线l 的方程.答案及解析47．（1）2212x y +=；（2）是定值，该定值为0．【分析】（1）依题意求得,a b ，进而可得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠，与椭圆E 方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12k k +的值. 【详解】（1）由题意可知：22b =，1b =，椭圆的离心率c e a ==a =①椭圆E 的标准方程：2212x y +=；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠．22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：()2222128820k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ，则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，()()()1212121212121212222211111k x k x y y x x k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+-+=+=+=-⎢⎥-----++⎢⎥⎣⎦222222228242122208282111212k k k k k k k k k k ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-+=-=-=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥-+⎢⎥++⎣⎦． ①120k k +=为定值．【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出()12121212221x x k k k x x x x ⎡⎤+-+=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦.48．（1）2214x y +=；（2）①14- ；①yy =+【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；①由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=，解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r ==整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，①因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+，设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+，令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +，则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+，所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++，整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =，因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以mm =，因为0B mx k=->，所以当k =m =k =时，m =；所以所求1l的方程为y =或y = 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.49．（1）2214x y +=；（2）最小值为2，0x =或0x +-=.【分析】(1)由椭圆定义结合已知求出a ，半焦距c 即可得解；(2)由直线2l 与圆O 相切得221m k =+，联立直线2l 与椭圆E 的方程消去y ，借助韦达定理表示出22MF NF +，利用函数思想方法即可作答. 【详解】（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，则有4a =8，即a =2，又椭圆的离心率为c e a =c =2221b a c =-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）因直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=1=，即221m k =+，设()()()112212,,,,2,2M x y N x y x x ≤≤，而点M 在椭圆E 上，则221114x y +=，即221114x y =-，又2F ，21|2|MF x =-=12x -，同理222NF x =，于是得)22124MF NF x x +=+，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=，显然Δ0>，则122814km x x k +=-+，又km <0，且221m k =+，因此得1228||14km x x k +=+令2411t k =+≥，则12x x +=113t =，即t =3时等号成立，于是得22MF NF +存在最小值，且)221242MF NF x x +=+≥，22MF NF +的最小值为2，由2221413m k k ⎧=+⎨+=⎩，且km <0，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以所求直线2l的方程为y x =y x =0x =或0x +=.【点睛】关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 50．（1）()2214x y ++=，曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）设出动点M 坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N 点轨迹，然后求出动点N 到定直线EF 的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q 、R 两点的切线方程，再代入点P 坐标，得到Q 、R 两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程. 【详解】解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=. 化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 故曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，DP .以线段DP 为直径的圆的方程为()22212p x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22230x y x py +---=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得. ) 又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=①上，由两圆方程作差即①-①得：40x py +=. 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)：设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)，即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.整理得()221111110x x y y x y x ++---=.又22111230x y x ++-=，整理得()111130x x y y x +++-=.同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=. 又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，所以()()11122231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨+=⎩. 显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程. 而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 则QR 恒过坐标原点()0,0O .由()2240,14x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()22168480p y py +--=. 设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122816py y p +=+.点N 纵坐标1224216N y y py p +==+. 因为0p ≠，显然0N y ≠，所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.) 因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径12r =.因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，52EF =.又圆心1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线3460x y +-=的距离32d ==. 设NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31122d r -=-=；点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31222d r +=+=(如图).则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】设00(,)P x y 是圆锥曲线外一点，过点P 作曲线的两条切线，切点为A 、B 两点，则 A 、B 两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论：圆222()()x a y b r -+-=的切点弦方程：200()()()()x a x a y b y b r --+--=，圆220x y Dx Ey F ++++=的切点弦方程： 0000022x x y yx x y y D E F ++++++= 椭圆22221x y a b+=的切点弦方程：00221x x y y a b +=；双曲线22221x y a b-=的切点弦方程：00221x x y y a b -=；抛物线22y px =的切点弦方程为：00()y y p x x =+.特别地，当00(,)P x y 为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A 、B 重合，以上切点弦方程即曲线在P 处的切线方程.51．（1）()1,1P --；（2）1；（3）存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.理由见解析.【分析】（1）依题意可得四边形PAOB 为正方形，设(),2P x x --，利用平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，计算可得；（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小，利用点到线的距离公式求出PO 的最小值，即可得解；（3）设()00,2P x x --，求出以OP 为直径的圆的方程，即可求出公共弦AB 所在直线方程，从而求出动点Q 的轨迹方程，即可得解；【详解】解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形，则P①P 在直线20x y ++=上，设(),2P x x --，则OP =，解得1x =-，故()1,1P --.（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小. 线段PO 长最小值即点O 到直线l的距离，故min PO ==所以min 1PA =.（3）设()00,2P x x --，则以OP 为直径的圆的方程为()2222000022224x x x x x y +----⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得()220020x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，可得AB 所在直线方程为()0021x x x y -+=，联立()002221,1,x x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得()222000002443024x x x x x x x ++----=， ①Q 的坐标为002200002,244244x x x x x x --++++⎛⎫⎪⎝⎭，可得Q 点轨迹为22111448x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径R =.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）.故存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、方程思想、数形结合方法、转化方法，考查运算求解能力和应用意识．52．（1；（2）m = 【分析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ .将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=，即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||MN == （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=，故()222481840,m m m ∆=--=->解得m < 12x x m +=-，2121,2m x x -=所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=，又22111x y +=故121212x x y y +=-，故()21212122x x m x x m +++=-，将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得m =又因为m <所以2m =± 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.53．（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 有最小【分析】（1）设()2,P b b -，由MP b ，得出结果；（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，化简为()()222220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，即可求得动圆所过的定点；（3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d ，则AB =.【详解】（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -，因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以2MP ==，解得0b =或45b =，所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，即()()222220x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）因为圆N 方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，即()222220x y bx b y b ++-++=①又圆22:430M x y y +-+=①①-①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为 ()22230bx b y b --+-=．点()0,2M 到直线AB的距离d =所以相交弦长AB == 所以当25b =时，AB【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 54．（1）k =（2）直线CD 过定点(1,1)- 【分析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ；（2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，求出两条切线方程，计算出直线CD 的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标. 【详解】（1）2AOB π∠=，∴点O 到l 的距离2d r =，k = （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，则圆在点C 处的切线方程为 1111()()0y y y x x x -+-=，所以221111x x y y x y +=+，即112x x y y +=同理，圆在点D 处的切线方程为222x x y y += 又点00(,)P x y 是两条切线的交点， 10102x x y y ∴+=，20202x x y y +=，所以点()11,C x y ，()22,D x y 的坐标都适合方程002x x y y +=，上述方程表示一条直线，而过C 、D 两点的直线是唯一的，所以直线CD 的方程为：002x x y y +=. 设(,2)P t t -，则直线CD 的方程为(2)2tx t y +-=，即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-.解法2：由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，设(,2)P t t -，则此圆的方程为：()(2)0x x t y y t -+-+=，即：22(2)0x tx y t y -+--=，又C 、D 在圆22:2O x y +=上，两圆方程相减得():220CD l tx t y +--=，即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查了直线与圆的相交问题，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线的距离，然后求得结果，在求直线恒过定点坐标时，一定要先表示出直线方程，然后在求解. 55．（1）22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）证明见解析．【分析】（1）由题可求出顶点C 的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H 的轨迹方程；（2）利用弦长公式可求||DE ，再利用韦达定理法求||PQ ，由||2||DE PQ =得出2221m k ≥+，然后结合判别式大于零即可证. 【详解】设ABC 的外心为1O ，半径为R ，则有22sin ABR ACB==∠，所以1πcos 13OO R ==即1(0,1)O ，设(,)C x y ，()00,H x y ，有1O C R =，即有22(1)4x y +-=（0y ≠），由CH AB ⊥，则有0x x =，由AH BC ⊥，则有(00(0AH BC x x y y ⋅=+=，所以有(220(3(1)12x x x y y y yy y---=-===-，则有()220014x y ++=（02y ≠-），所以ABC 垂心H 的轨迹方程为22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）记点(0,1)-到直线l 的距离为d ，则有d =所以||DE==，设()11,P x y，()22,Q x y，联立2221y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，有()2222210k x kmx m+++-=，所以()224220k m∆=+->，||PQ==由||2||DE PQ=，可得()()()()()2222222222222418141(1)8412222k m k km mk k kk k++++-=-≤-+++++，所以()22222248(1)212m mk kk++≤+++，即有()()()22222224181(1)22k k mmk k+++≤+++，所以()()()22222222418122(1)22k k mm mk k+++--≥-++，即22222222222221(1)101222k k m k mm mk k k k⎛⎫-=-⇒-≥⇒≥+⎪+++⎝⎭又0∆>，可得2212km<+，所以222112kk+<+，解得22k>，故||k>56．（1）2212xy+=；（2）10x y±-=.【分析】（1）利用22sin cos1θθ+=求得点C的轨迹E的方程.（2）设直线l的方程为1x my=-，联立直线l的方程和曲线E的方程，化简写出根与系数关系，求得MN、PQ,由1PQMN=求得m的值，从而求得直线l的方程.【详解】（1）设(),C x y ，则,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos sin yθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以2212x y +=，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =-，()()()1122,,,,,p p M x y N x y P x y .联立2221,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22+2210m y my --=，此时()281m ∆=+0>，且12222m y y m +=+，12212y y m =-+又由弦长公式得MN =整理得2212m MN m ++. 又122+=22p y y m y m =+，所以2212p p x my m -=-=+，所以222222p m PQ x m ++=+，所以1PQMN =，所以21m =，即1m =±.综上，当1m =±，即直线l 的斜率为±1时，MN PQ =，此时直线l 为10x y ±-=. 【点睛】求解直线和圆锥曲线相交所得弦长，往往采用设而不求，整体代入的方法来求解.。

高中数学专题10解析几何直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线试题

2021届专题十数学考试范围：解析几何〔直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线〕一、选择题〔本大题一一共10小题；每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1．直线07tan =+y x π的倾斜角是〔〕 A ．7π-B ．7π C ．75π D ．76π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为〔〕 A ．012=--y xB ．072=-+y xC ．042=--y xD ．05=-+y x3．“2-=a 〞是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的〔〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为〔〕 A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或者相切5．点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，假设PQ 的最小值为122-，那么k = 〔〕 A ．1B ．1-C ．0D ．26．假设椭圆122=+my x 的离心率⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，那么m 的取值范围是〔〕 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21B ．()2,1C ．()2,132,21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛D ．⎪⎭⎫⎝⎛2,217．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，那么该双曲线的离心率为〔〕 A ．332 B ．3 C ．2或者332 D ．332或者3 8．M 是抛物线x y 42=上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最小的角为60°，那么=FM〔〕 A ．2B ．3C ．4D ．69．设抛物线x y 82=的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为21的椭圆的一个顶点，那么此椭圆的方程为〔〕A ．1161222=+y x 或者1121622=+y xB ．1644822=+y x 或者1486422=+y xC ．1121622=+y x 或者1431622=+x y D ．13422=+y x 或者1431622=+x y10．定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 1=〔O 为坐标原点〕，NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=⋅PN M F ，那么点P 的轨迹是〔〕 A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆二、填空题〔本大题一一共5小题；每一小题5分，一共25分.将答案填在题中的横线上〕 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的HY 方程是． 12．圆064422=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的间隔等于22的点有个．13．假设点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:22=+-y x C 只有一个公一共点M ，且PM 的最小值为4，那么=m ．14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的离心率为22，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，再过⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，那么APB ∠= ．15．以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ那么双曲线的离心率的范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题；一共75分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕16．〔此题满分是12分〕圆O 的方程为1622=+y x ．〔1〕求过点()8,4-M 的圆O 的切线方程；〔2〕过点()0,3N 作直线与圆O 交于A 、B 两点，求OAB △的最大面积以及此时直线AB 的斜率．17．〔此题满分是12分〕将抛物线y x 222-=向上平移2个单位长度后，抛物线过椭圆12222=+by ax (a ＞b ＞0)的上顶点和左右焦点．〔1〕求椭圆方程；〔2〕假设点()0,m P 满足如下条件：过点P 且倾斜角为π65的直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，使右焦点F 在以CD 线段为直径的圆外，试求m 的取值范围．18．〔此题满分是12分〕双曲线,12222=-by ax (a ＞0，b ＞0)左右两焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212F F PF ⊥，1PF OH ⊥于H ，1OF OH λ=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,91λ．〔1〕当31=λ时，求双曲线的渐近线方程；〔2〕求双曲线的离心率e 的取值范围；〔3〕当e 取最大值时，过1F ，2F ，P 的y 轴的线段长为8，求该圆的方程．19．〔此题满分是13分〕在平面直角坐标系xOy中，过定点()0,pC作直线m与抛物线2=(p＞0)相交于A、B两点．y2px〔1〕设()0,pNA⋅的最小值；N-，求NB〔2〕是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？假设存在，求出l的方程；假设不存在，请说明理由．20．〔此题满分是13分〕椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21,它的一个顶点恰好是抛物线y x 382=的焦点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕()3,2P 、()3,2-Q 是椭圆上两点，A 、B 是椭圆位于直线PQ 两侧的两动点，①假设直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值；②当A 、B 运动时，满足BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．〔此题满分是13分〕在平面直角坐标系中，向量()2,-=y x a ，()()R k y kx b ∈+=2,，假b a b a =．〔1〕求动点()y x M ,的轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状；〔2〕当34=k 时，()1,01-F 、()1,02F ，点P 是轨迹T 在第一象限的一点，121=PF PF ，假设点Q 是轨迹T 上不同于点P 的另一点，问是否存在以PQ 为直径的圆G 过点2F ，假设存在，求出圆G 的方程，假设不存在，请说明理由．2021届同心圆梦专题卷数学专题十答案与解析1．【命题立意】此题考察直线的一般方程形式、斜率和倾斜角的关系以及正切函数的诱导公式．【思路点拨】抓住直线方程y=kx+b 中斜率为k ，α为倾斜角，其中[)πα,0∈，当2πα≠时αtan =k ．【答案】D 【解析】7tan πx y -=，斜率76tan 7tan 7tan ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=k ．2．【命题立意】此题考察直线的对称和直线方程的求解以及直线上点确实定．【思路点拨】求出直线1l 与x 轴、与l 的交点坐标，再确定对称点的坐标，最后由两点式得到2l 的直线方程．【答案】D 【解析】画出图形，容易求得直线1l 与x 轴的交点()0,1-A ，它关于直线l 的对称点为()0,5B ，又1l 与l 的交点()3,2P ，从而对称直线2l 经过B 、P 两点，于是由两点式求得2l 的方程为05=-+y x ．3．【命题立意】此题考察两条直线的位置关系和充要条件：0212121=+⇔⊥B B A A l l .【思路点拨】判断直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的位置关系时，抓住两点，一是1l ∥2l 时，212121C C B B A A ≠=，为了防止讨论系数为零的情况，转化为积式1221B A B A =且1221C A C A ≠；二是21l l ⊥，即斜率的乘积为1-，假如一条直线的斜率为零，那么另一条直线的斜率不存在，也就是02121=+B B A A ．充分必要条件的断定，关键是看哪个推出哪个．【答案】A 【解析】1023221-=⇔=++⇔⊥a a a l l 或者2-=a ，应选答案A ．4．【命题立意】此题考察直线与圆的位置关系和点到直线的间隔公式以及根本不等式．【思路点拨】直线与圆的位置关系有三种，由圆心到直线的间隔 d 与半径r 的大小关系决定，当d ＞r 时，相离；当d =r 时相切；当d ＜r 时相交．【答案】D 【解析】圆心()0,0到直线0=+++b a by ax 的间隔 22ba b a d ++=，半径2=r ．由于()221222222≤++=++=b a ab ba b a d，所以r d ≤，从而直线与圆相交或者相切．5．【命题立意】此题考察直线与圆的位置关系和点到直线的间隔．【思路点拨】圆上的点到直线上的点，这两个动点之间的间隔的最小值，可以转化为直线上的点到圆心的间隔的最小值来解决，圆上的点到直线的间隔的最大值等于圆心到直线的间隔加上半径，最小值等于圆心到直线的间隔减去半径；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的间隔的最大值等于圆心到直线的间隔加上半径，最小值等于0．【答案】B 【解析】由题意可知，直线与圆相离，074422=+--+y x y x 即()()12222=-+-y x ，圆心()2,2到直线kx y =的间隔 1222+-=k k d ，∴12211222-=-+-=-k k r d ，解得1-=k ．6．【命题立意】考察椭圆的HY 方程和椭圆中的根本量及其关系以及分类讨论的思想．【思路点拨】可建立m 关于e 的函数，从而可根据e 的范围求得m 的范围．【答案】C 【解析】化椭圆的方程为HY方程1122=+my x ，当m 1＜1，即m ＞1时，椭圆焦点在x 轴上，此时12=a ，mb 12=，mc 112-=，me 112-=∴，211e m -=∴，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，∴23＜m ＜2，又m ＞1，∴1＜m ＜2．当m1＞1，即m ＜1时，椭圆焦点在y 轴上，此时ma 12=，12=b ，112-=m c ，∴m ac e -==1222，即21e m -=，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，∴21＜m ＜32．综上，m 的范围范围是()2,132,21 ⎪⎭⎫⎝⎛．选择C ． 7．【命题立意】考察双曲线的HY 方程，离心率的概念．【思路点拨】根据渐近线方程可以得到双曲线系方程，再分两种情况讨论焦点位置，从而求得离心率．【答案】C 【解析】由于一条渐近线方程为03=-y x ，所以可设双曲线方程为λ=-223y x ．当焦点在x 轴上时，方程为1322=-λλy x 〔λ＞0〕，此时32λ=a ，λ=2b ，于是34222λ=+=b a c ，所以离心率2==ace ；当焦点在y 轴上时，方程为1322=---λλxy 〔λ＜0〕，此时λ-=2a ，32λ-=b ，于是34222λ-=+=b a c ，所以离心率332==a c e ．应选择C ．8．【命题立意】考察抛物线的定义和HY 方程以及直角三角形的性质．【思路点拨】画出图形，利用抛物线的定义找出点M 的横坐标与|FM |的关系即可求得．【答案】C 【解析】画出图形，知()0,1F ，设FM=a 2，由点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，那么FN=a ，于是点M 的横坐标a x +=10．利用抛物线的定义，那么M 向准线作垂线，有FM=10+x ，即112++=a a ，所以2=a ，从而FM=4．9．【命题立意】考察椭圆与抛物线的HY 方程，根本量的关系以及分类讨论问题．【思路点拨】由抛物线的HY 方程求得准线方程，从而求得椭圆一个顶点的坐标，这个值是a 还是b ，就必须分两种情况讨论．【答案】D 【解析】由抛物线x y 82=，得到准线方程为2-=x ，又21=a c ，即c a 2=．当椭圆的焦点在x 轴上时，2=a ，1=c ，3222=-=c a b ，此时椭圆的HY 方程为13422=+y x ；当椭圆的焦点在y 轴上时，2=b ，332=c ，334=a ，此时椭圆的HY 方程为1431622=+x y ．应选择D ．10．【命题立意】考察对向量含义的理解，线段垂直平分线的性质、三角形中位线性质和双曲线定义．【思路点拨】画出图形，将向量问题转化为实数中线段关系问题，利用线段垂直平分线的性质和三角形中位线的性质，得到线段的差是常数，符合双曲线的定义．【答案】B 【解析】1说明点N 在圆122=+y x 上，NM M F 21=说明N 是线段M F 1的中点，2MF MP λ=〔x ∈R 〕说明P 在2MF 上，01=⋅PN M F 说明PN 是线段M F 1的垂直平分线，于是有PM PF =1，221MF ON=，从而有ONMF PF PM PF PF 22221==-=-=2＜21F F =4，所以点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支．从而选择B ． 11．【命题立意】考察圆的方程，直线与圆相切问题．【思路点拨】圆心，故只需求得其半径即可，而半径为圆心〔-1,2〕到直线的间隔，根据点到直线的间隔可求其半径，从而可求得圆的HY 方程．【答案】()()82122=-++y x 【解析】圆的半径()221112122=-+---=r ，所以圆的方程为()()()2222221=-++y x ，即()()82122=-++y x ．12．【命题立意】考察圆的HY 方程，点到直线的间隔．【思路点拨】先化圆的方程为HY 方程，求出圆心到直线的间隔，再来与半径比拟．【答案】3【解析】圆的方程为()()22222=++-y x ，圆心()2,2-到直线05=--y x 的间隔 222522=-+=d ，圆的半径2=r ，所以圆上到直线的间隔等于22的点有3个．13．【命题立意】考察圆心到直线的间隔、圆的切线长定理和直线与圆相切问题．【思路点拨】画出图形，PM 是切线，切线长最小，即|PC |最小，也就是C 到1l 的间隔．【答案】1±【解析】画出图形，由题意l 2与圆C 只一个交点，说明l 2是圆C 的切线，由于162222-=-=PC CMPC PM ，所以要|PM|最小，只需|PC |最小，即点C 到l 1的间隔22181305mm+=+++，所以|PM|的最小值为4161822=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+m ，解得1±=m ． 14．【命题立意】考察椭圆的HY 方程，椭圆离心率的概念和圆的切线问题．【思路点拨】画出图形，由椭圆的离心率为22得到a c =22，再利用圆的切线的性质得到直角三角形，在直角三角形中求解角度．【答案】2π【解析】如图，连结OA ，那么OA ⊥PA ，22sin 2===∠a c ca a APO ，所以4π=∠APO ，从而2π=∠APB ．15．【命题立意】考察双曲线中由a 、b 、c 构成的直角三角形的几何意义及离心率与a 、b 、c 的关系．【思路点拨】可根据四边形的特征，以“有一个内角小于60°〞为桥梁确定离心率的范围．【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,26【解析】设双曲线的方程为12222=-b y a x =1〔a ＞0，b ＞0〕,如下图，由于在双曲线c ＞b ，所以只能是211B F B ∠＜90°,故由题意可知60°＜211B F B ∠＜90°，∴在11B OF Rt ∆中，30°＜11B OF ∠＜45°，∴33＜c b ＜22，∴31＜222c a c-＜21，即31＜1－21e＜21，∴23＜e 2＜2，∴26＜e ＜2．16．【命题立意】考察圆的HY 方程，直线与圆的位置关系，以及弦长问题．【思路点拨】〔1〕过圆外一点的圆的切线方程，一般设斜率，利用圆心到直线的间隔等于半径来求出斜率，但一定要注意斜率存在与否；〔2〕将弦长AB看成底边，那么三角形的高就是圆心到直线的间隔．【解析】〔1〕圆心为()0,0O ，半径4=r ，当切线的斜率存在时，设过点()8,4-M 的切线方程为()48+=-x k y ，即084=++-k y kx 〔1分〕．那么41|84|2=++k k ，解得43-=k ，〔3分〕，于是切线方程为02043=-+y x 〔5分〕．当斜率不存在时，4-=x 也符合题意．故过点()11,5-M 的圆O 的切线方程为02043=-+y x 或者4-=x ．〔6分〕〔2〕当直线AB 的斜率不存在时，73=∆ABC S ，〔7分〕，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()3-=x k y ，即03=--k y kx ，圆心()0,0O 到直线AB 的间隔 132+=k k d ，〔9分〕线段AB 的长度2162d AB -=，所以()()821616162122222=-+≤-=-==∆d d d d d d d AB S ABC ，〔11分〕当且仅当82=d 时取等号，此时81922=+k k ，解得22±=k ，所以OAB △的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为22±．〔12分〕17．【命题立意】此题考察椭圆方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系以及存在性问题．【思路点拨】〔1〕可根据抛物线平移后与坐标轴的交点求得b 、c 的值，从而可得a 的值，故可求椭圆方程；〔2〕可利用向量法解决．【解析】〔1〕抛物线y x 222-=的图象向上平移2个单位长度后其解析式为()2222--=y x ，其与x 、y 轴的交点坐标分别为()0,2±、()2,0，∴2=b ，2=c ，〔2分〕∴62=a ，故椭圆的方程为12622=+y x ．〔4分〕〔2〕由题意可得直线l 的方程为()m x y --=33，代入椭圆方程消去y 得，062222=-+-m mx x ，〔6分〕又()68422--=m m △＞0，∴32-＜m ＜32．〔7分〕设C 、D 分别为()11,y x ，()22,y x ，那么m x x =+21，26221-=m x x ，∴()()()33313333221212121m x x m x x m x m x y y ++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=，∵()11,2y x FC -=，()22,2y x FD -=，∴()()()()33243363422221212121-=++++-=+--=⋅m m mx x m x x y y x x FD FC ，〔10分〕∵点F 在圆的外部，∴FD FC ⋅＞0，即()332-m m ＞0，解得m ＜0或者m ＞3，又∵32-＜m ＜32，∴32-＜m＜0或者3＜m ＜32．〔12分〕18．【命题立意】考察双曲线的定义和HY 方程，渐近线和离心率计算公式．【思路点拨】〔1〕求渐近线方程的目的就是求ab ，可根据条件建立a 、b 的数量关系来求得；〔2〕可建立e 关于λ的函数，从而可根据λ的范围求得e 的范围；〔3〕可根据离心率确定a 、b 的数量关系，再结合图形确定圆的圆心与半径．【解析】由于()0,2c F ，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛±a b c P 2,，于是ab PF 22=，a ab a PF PF 22221+=+=，〔1分〕由相似三角形知，112PF OF PF OH =，即121PF PF OF OH =，即ab a a b 222+=λ，〔2分〕∴2222b b a =+λλ，()λλ-=1222b a ，λλ-=1222a b ．〔1〕当31=λ时，122=ab ，∴b a =．〔3分〕所以双曲线的渐近线方程为x y ±=．〔4分〕〔2〕()[]12111211121121122222---=--=---+=-+=+==λλλλλλab ac e ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,91上为单调递增函数．〔5分〕∴当21=λ时，2e 获得最大值3〔6分〕；当91=λ时，2e 获得最小值45．〔7分〕∴3452≤≤e ，∴325≤≤e ．〔8分〕〔3〕当3=e 时，3=ac，∴a c 3=，∴222a b =．〔9分〕∵212F F PF ⊥，∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴81=PF ．〔10分〕又a aaa ab a PF 4222221=+=+=，∴84=a ，2=a ，32=c ，22=b ．〔11分〕∴4222===a ab PF ，圆心()2,0C ，半径为4，故圆的方程为()16222=-+y x ．〔12分〕19．【命题立意】考察抛物线的HY 方程，直线与抛物线的位置关系．【思路点拨】设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理来解决；存在性问题一般是假设存在，利用垂径定理推导求解来解决．【解析】〔1〕依题意，可设()11,y x A 、()22,y x B ，直线AB 的方程为p my x +=，由0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=p pmy y pxy pmy x ，〔2分〕得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+2212122py y pmy y ，〔3分〕∴NB NA ⋅=()()2211,,y p x y p x ++()()2121y y p x p x +++=()()212122y y p my p my +++=()()221212421p y y pm y y m ++++=22222p m p +=〔6分〕当0=m 时，NB NA ⋅获得最小值22p .〔7分〕〔2〕假设满足条件的直线l 存在，其方程为a x =，AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于P 、Q ，PQ 的中点为H ，那么PQ H O ⊥'，O '的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+2,211y p x ．()2212121212121p x y p x AC P O +=+-==' 〔9分〕，()()()a p a x p a p x a p x HO P O PH -+⎪⎭⎫⎝⎛-=---+='-'=∴1212212222124141，2PQ =()22PH =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫⎝⎛-a p a x p a 1214〔11分〕，令021=-p a 得p a 21=．此时p PQ =为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为p x 21=．〔13分〕20．【命题立意】考察椭圆与抛物线的HY 方程，直线与椭圆的位置关系．【思路点拨】〔1〕利用抛物线的HY 方程，求出焦点坐标，从而得到椭圆中的b ，再由离心率建立方程，可求得椭圆的HY 方程；〔2〕抓住直线PQ ⊥x 轴，BPQ APQ ∠=∠即直线PA 、PB 的斜率互为相反数，联络方程利用韦达定理来解决．【解析】〔1〕设C 方程为12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕，那么32=b ．由21=ac，222b c a +=，得a =4∴椭圆C 的方程为1121622=+y x．〔4分〕〔2〕①设()11,y x A ，()22,y x B ，直线AB 的方程为t x y +=21，代入1121622=+y x ，得01222=-++t tx x ，由∆＞0，解得4-＜t ＜4．〔6分〕由韦达定理得t x x -=+21，12221-=t x x ．四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，∴当0=t 时312max=S ．〔8分〕②当BPQ APQ ∠=∠，那么PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，那么PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为()23-=-x k y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-)2(11216)1(2322y x x k y ．将〔1〕代入〔2〕整理得()()()04823423843222=--+-++k kx k xk ，有()21433282k k k x +-=+．〔10分〕同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得()()22243328433282k k k k k k x ++=+---=+，∴2221431216kk x x +-=+，2214348k k x x +-=-．〔12分〕从而AB k =2121x x y y --=()()21213232x x x k x k ---++-=()21214x x k x x k --+=21，所以AB 的斜率为定值21．〔13分〕21．【命题立意】考察圆锥曲线的HY 方程，椭圆与双曲线的定义，向量垂直问题．【思路点拨】〔1〕利用向量的数量积的坐标运算来求出轨迹方程，但一定要注意对参数的讨论；〔2〕利用椭圆或者双曲线的定义确定点P 的位置，以PQ 为直径的圆G 过点2F ，即022=⋅QF PF ，利用向量垂直的坐标运算来解决．【解析】〔1〕∵b a ⊥，∴()()02,2,=+⋅-=⋅y kx y x b a ，得0422=-+y kx ，即422=+y kx ．〔1分〕当0=k 时，方程表示两条与x 轴平行的直线；〔2分〕当1=k 时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；〔3分〕当0＜k ＜1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；〔4分〕当k ＞1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；〔5分〕当k ＜0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．〔6分〕〔2〕由〔1〕知，轨迹T 是椭圆13422=+x y ，那么1F 、2F 为椭圆的两焦点．解法一：由椭圆定义得421=+PF PF ,联立121=-PF PF 解得251=PF，232=PF ，又221=F F ，有2212221F F PF PF +=,∴212F F PF ⊥，∴P 的纵坐标为1，把1=y 代入13422=+x y 得23=x 或者23-=x 〔舍去〕，∴⎪⎭⎫⎝⎛1,23P ．〔9分〕设存在满足条件的圆，那么22QF PF ⊥，设()t s Q ,，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,232PF ，()t s QF --=1,2,∴022=⋅QF PF ，即()01023=-⨯+t s ,∴0=s ．又13422=+s t ，∴2±=t ,∴()2,0Q 或者()2,0-Q ．〔12分〕所以圆G 的方程：1613234322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或者1645214322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ．〔13分〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高中数学解析几何大题专项练习

高中数学解析几何大题专项练习1、已知椭圆G：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（x,y）到椭圆上的点最远距离为52.1）求此时椭圆G的方程；2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由。

2、已知双曲线x-y=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l:y=kx+m与圆x+y=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)。

Ⅰ）求k的取值范围，并求x2-x1的最小值；Ⅱ）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么，k1×k2是定值吗？证明你的结论。

3、已知抛物线C:y=ax^2的焦点为F，点K(-1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛物线C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D。

1）求抛物线C的方程。

2）证明：点F在直线BD上；3）设FA×FB=9，求△BDK的面积。

4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为1/2，中点T在直线OP上，且A、O、B三点不共线。

I)求椭圆的方程及直线AB的斜率；Ⅱ)求△PAB面积的最大值。

5、设椭圆(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0)，直线l:x=a(b^2/a)交x轴于点A，且AF1=2AF2.Ⅰ）试求椭圆的方程；Ⅱ）过F1、F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E（如图所示），若四边形DMENE的面积为27，求DE 的直线方程。

6、已知抛物线P：x^2=2py(p>0)。

Ⅰ）若抛物线上点M(m,2)到焦点F的距离为3.ⅰ）求抛物线P的方程；ⅱ）设抛物线P的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线P的切线，求此切线方程；Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A、B两点，连接AO，BO并延长分别交抛物线的准线于C、D。

专题20 以椭圆和抛物线为背景的解析几何大题(教师版)

以椭圆和抛物线为背景的解析几何大题【高考真题再现】1. 【2014全国卷1理】已知点A (0,2),椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2；F 是椭圆E 的右焦点,直线AF为坐标原点（I ）求E 的方程；（II ）设过点A 的动直线与E 相交于P ,Q 两点.当OPQ ∆的面积最大时,求的直线方程.【解析】（I ）设右焦点(c,0)F ,由条件知,2c =得c =又c a =,所以2a =,222b ac =-1=．故椭圆E 的方程为2214x y +=．2.【2015全国卷1理】在直角坐标系xOy 中,曲线2:4x C y =与直线():0l y kx a a =+> 交于M ,N 两点.（1）当0k =时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【解析】（1）由题意知,0k =时,联立24y a x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得()M a,()N a -．又2xy '=,在点M处M k =切线方程为y a x -=-,0y a --=, 在点N 处,N k =切线方程为y a x -=+,0y a ++=．0y a --=0y a ++=．3.【2015全国卷2理】已知椭圆()222:90C x y m m +=>,直线不过原点O 且不平行于坐标轴,与C 有两个交点,A B ,线段AB 的中点为M . （1）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值；（2）若过点,3m m ⎛⎫⎪⎝⎭,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否平行四边行？若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.【解析】（1）根据题意,因为直线不平行于坐标轴,则斜率必然存在,故设直线为y kx b =+(0,0)k b ≠≠,则11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2229x y m +=得,2222(9)20k x kbx b m +++-=, 故12229M x x kb x k +==-+,299M M b y kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-,即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值．（2）不妨设四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线过点(,)3mm ,所以不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >,且3k ≠．由(1)得OM 的方程为9y x k =-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x kx y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+,即P x =将点(,)3mm 的坐标代入直线的方程得(3)3m k b -=,因此2(3)3(9)M k k m x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形,当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分, 即2P M x x ==2(3)23(9)k k m k -⨯+．解得14k =24k = 因为0,3i i k k >≠,1i =, ,所以当的斜率为44,四边形OAPB 为平行四边形．4.【2016全国卷3理】已知抛物线的焦点为F ,平行于轴的两条直线分别交C 于A ,B 两点,交C的准线于P ,Q 两点.（1）若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明FQ AR ∥；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【解析】(1)连接RF ,PF ,由AP AF =,BQ BF =及//AP BQ ,得AFP BFQ PFQ ∠+∠=∠,所以90PFQ ∠=.因为R 是PQ 中点,RF RP RQ ==,所以PAR FAR ≅△△,所以PAR FAR ∠=∠, PRA FRA ∠=∠,又1802BQF BFQ QBF PAF PAR ∠+∠=-∠=∠=∠,所以FQB ∠PAR =∠,所以PRA ∠=PQF ∠（等角的余角相等）,所以//AR FQ.(2)设1122(,),(,)A x y B x y ,1(,0)2F ,准线为12x =-,121122PQF S PQ y y ==-△,设直线AB 与轴交点为N ,1212ABF S FN y y =-△,因为2PQF ABF S S ∆∆=,所以21FN =,得1N x =,即(1,0)N ．设AB 中点为(,)M x y ,由21122222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,得2212122()y y x x -=-,即12121212y y y y x x -=+-.又12121y y y x x x -=--,所以11y x y =-,即21y x =-．易知当直线AB 不存在时,点M 也满足此方程,所以AB 中点轨迹方程为21y x =-.5.【2016全国卷1理】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线过点且与轴不重合,交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （1）证明EA EB +为定值,并写出点的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ,直线交1C 于M ,N 两点,过B 且与垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】(1)如图所示,圆A 的圆心为()1,0A -,半径4R =,因为//BE AC ,所以C EBD ∠=∠.又因为AC AD =,所以C EDB ∠=∠,于是EBD EDB ∠=∠ ,所以EB ED =.故4AE EB AE ED AD +=+==为定值. 又2AB =,点E 的轨迹是以A ,B 为焦点,长轴长为4的椭圆,由1c =,2a =,得23b =.故点E 的轨迹1C 的方程为()221043x y y +=≠.设33(,)P x y ,44(,)Q x y ,则23422(1)1m x x m -+=+,2342151m x x m -⋅=+.得PQ ==四边形MPNQ 的面积12S MN PQ =⋅==因为20m …,所以211031212m <+…,故12S <…即四边形MPNQ 面积的取值范围是⎡⎣.6.【2016全国卷2理】已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在轴上,A 是E 的左顶点,斜率为(0)k k >的直线交E 于A ,M 两点,点N 在E 上,MA NA ⊥. （1）当4t =,AM AN =时,求AMN △的面积；（2）当2AM AN =时,求k 的取值范围.【解析】（1）解法一：当4t =时,由于AM AN =,根据对称性可知1AMk =,所以221432x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()22234+21207+16+4=0x x x x +-=⇒,所以47M A x x ⋅=. 又2A x =-,所以27M x =-,所以212144222749AMN S ⎛⎫=⨯⨯-+=⎪⎝⎭△.解法二：设点()00M x y ，,且MN 交轴于点D . 因为AM AN =,且AM AN ⊥,所以MD AD ⊥,MD AD = .由2200+143x y =,得0y =又0022AD x x =--=+,02x =+,解之得02x =-或27-. 所以127AD = ,所以211214422749AMN S ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭△. （2）解法一：设直线x my a =-,1m k=,a =则()222222233013x my amy a a y a x y a =-⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩,()222360m a y may +-=,所以2263M may m a =+.同理222266313N ama n y a m a m --==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为2AM AN =,所以()222222332661333212m m ma ma a m m a a m m --=⇒=>⇒<<++-所以)1k m=∈.7.【2016全国卷1文】在直角坐标系xOy 中,直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ,交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON；（2）除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由．【解析】（1）如图所示,由题意不妨设0t >,可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ,2,2t P t p ⎛⎫⎪⎝⎭,2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭,从而可得直线ON 的方程为y x p t =,联立方程22p x ty pxy ⎧==⎪⎨⎪⎩,解得22x t p =,2y t =．即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===．（2）由于()0,M t ,22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭,可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=, 整理得2220ty px t --=,联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩,整理得22440ty y t -+=,则2216160t t ∆=-=,从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．【重点知识整合】1.椭圆的第一定义：平面内到两个定点12,F F 的距离之和等于定长（12FF >）的点的轨迹. 注意：椭圆中,与两个定点F,F 的距离的和等于常数2a ,且此常数2a 一定要大于21F F ,当常数等于21F F 时,轨迹是线段FF,当常数小于21F F 时,无轨迹. 2．直线和椭圆的位置关系（1）位置关系判断：直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到20Ax Bx C ++=的形式（这里的系数A 一定不为0）,设其判别式为∆,（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切；（3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离； (2弦长公式：（1）若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B,且12,x x 分别为A 、B 的横坐标,则AB＝12x -,若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标,则AB ＝21211y y k -+,若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+,则AB12y y -.（2）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>左焦点弦12||2()AB a e x x =++,右焦点弦12||2()AB a e x x =-+.其中最短的为通径：22b a ,最长为2a ；（3）椭圆的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆12222=+by a x 中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率2020b x k a y =-.3.与焦点三角形相关的结论椭圆上的一点与两焦点所构成的三角,通常叫做焦点三角形.一般与焦点三角形的相关问题常利用椭圆的第一定义和正弦、余弦定理求解.设椭圆上的一点00(,)P x y 到两焦点12,F F 的距离分别为12,r r ,焦点12F PF ∆的面积为S ,设12F PF θ∠=,则在椭圆12222=+by a x 中,有以下结论：(1)＝)12arccos(212-r r b ,且当12r r =即P 为短轴端点时,最大为max ＝222arccos a c b -；（2）2122||||1cos b PF PF θ=+；焦点三角形的周长为2()a c +；(3)221201sin sin tan ||21cos 2S r r b b c y θθθθ====+,当0||y b =即P 为短轴端点时,max S 的最大值为bc ；4.直线和抛物线的位置关系（1）位置关系判断：直线(0)y kx m m =+≠与双曲线方程22(0)y px p =>联立方程组,消掉y,得到2222()0k x mk p x m +-+=的形式,当0k =,直线和抛物线相交,且与抛物线的对称轴并行,此时与抛物线只有一个交点,当0k ≠设其判别式为∆,①相交：0∆>⇔直线与抛物线有两个交点；②相切：0∆=⇔直线与抛物线有一个交点； ③相离：0∆<⇔直线与抛物线没有交点.注意：过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线.（2）焦点弦：若抛物线22(0)y px p =>的焦点弦为AB,1122(,),(,)A x y B x y ,则有12||AB x x p =++,221212,4p x x y y p ==-.（3）在抛物线22(0)y px p =>中,以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0p k y =. （4）若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦,则直线AB 恒经过定点(2,0)p ,反之亦成立.6. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=；（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;（3）给出0=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线；（6）给出λλ++=1OBOA OP ,等于已知P 是AB 的定比分点,λ为定比,即PB AP λ=；（7）给出0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是锐角；（8）给出MP ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线；（9）在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ,等于已知ABCD 是菱形; （10）在平行四边形ABCD 中,给出||||AB AD AB AD +=-,等于已知ABCD 是矩形;（11）在ABC ∆中,给出222OC OB OA ==,等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在ABC ∆中,给出0=++OC OB OA ,等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC ∆中,给出OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅,等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC ∆中,给出+=OA OP ()||||AB ACAB AC λ+)(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ∆的内心；（15）在ABC ∆中,给出,0=⋅+⋅+⋅OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在ABC ∆中,给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线. 7.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．8．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围,因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的实际情况灵活处理. 【考场经验分享】１．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中2x 与2y 的分母大小,若2x 的分母比2y 的分母大,则焦点在x 轴上,若2x 的分母比2y 的分母小,则焦点在y 轴上．２．注意椭圆的范围,在设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上点的坐标(),P x y 时,则x a ≤,这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用,也是容易忽略导致求最值错误的原因．３．注意椭圆上点的坐标范围,特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解,求函数的单调区间,最值有重要意义．4．直线和抛物线若有一个公共点,并不能说明直线和抛物线相切,还有可能直线与抛物线的对称轴平行．5．在求得轨迹方程之后,要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中,x ,y 的取值范围是否有什么限制？确保轨迹上的点“不多不少”．6.作为解答题的倒数第二个,试题的难度较大,也体现在计算量上尤为明显,学生在解题时往往会思路,但计算往往不对,对此,建议如下：第一问保证准确,如轨迹方程,曲线方程,或者几何性质等,因为第二问往往以第一问为基础,故第一问要舍得花时间去验证一下；对于第二问,往往就是曲线与直线联立,建立方程组,利用判别式,韦达定理等这些都已经成立的模式,建立关系式,即使思路无法进行,也要准确的放在卷面上,一般它们都要占到部分分数；如果涉及到直线方程的探索,特别注意斜率不存在的情况,有时一些定值定点问题,可以通过这种特殊情况直接得到.【名题精选练兵篇】1．【重庆市2017届高三4月调研测试（二诊）】已知,A B 分别为椭圆C ：右顶点, P 为椭圆C 上异于,A B 两点的任意一点,直线,PA PB 的斜率分别记为12,k k ．（1）求12,k k ；（2）过坐标原点O 作与直线,PA PB 平行的两条射线分别交椭圆C 于点,M N ,问：MON ∆的面积是否为定值？请说明理由．【解析】（Ⅰ）设()00,P x y ,（Ⅱ）由题知,直线1:OM y k x =,直线2:ON y k x =,设()()1122,,,M x y N x y ,由故有2．【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟（二模）】已知椭圆E ：（0a b >>）1F 、2F 分别是它的左、右焦点,且存在直线,使1F 、2F 关于的对称点恰好是圆C ： 22242540x y mx my m +--+-=（R m ∈, 0m ≠）的一条直径的四个端点. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线22y px =（0p >）相交于A 、B 两点,射线1F A 、1F B 与椭圆E 分别相交于点M 、N .试探究：是否存在数集D ,当且仅当p D ∈时,总存在m ,使点1F 在以线段MN 为直径的圆内？若存在,求出数集D ；若不存在,请说明理由.【解析】（Ⅰ）将圆C 的方程配方得： ()()2224x m y m -+-=,所以其圆心为()2,C m m ,半径为2.由题设知,椭圆的焦距2c 等于圆C 的直径,所以2c =,所以3a =,从而2225b a c =-=,故椭圆E 的方程为（Ⅱ）因为1F 、2F 关于的对称点恰好是圆C 的一条直径的两个端点,所以直线是线段OC 的垂直平分线（O 是坐标原点）,与22y px =联立得： 22250y py pm +-=,由其判别式0∆>得100p m +>,①设()11,A x y , ()22,B x y ,则12y y p +=-,因为1F 的坐标为()2,0-,所以()1112,F A x y =+, ()1222,F B x y =+. 注意到1F M 与1F A 同向, 1F N 与1F B 同向,所以点1F 在以线段MN 为直径的圆内110FM F N ⇔⋅< 110F A F B ⇔⋅<()()1212220x x y y ⇔+++< ()12121224x x x x y y ⇔++++ ()440p ++<,②当且仅当()21002p ='∆- ()10040p -+>即5p >时,总存在m ,使②成立.又当5p >时,()440p +=的两根均为正数,故使②成立的0m >,从而满足①.故存在数集()5,D =+∞,当且仅当p D ∈时,总存在m ,使点1F 在以线段MN 为直径的圆内.3．【天津市红桥区重点中学八校2017届高三4月联考】已知椭圆C 的中心在原点,（1）求椭圆C 的方程；（2）已知()23P ，、()23Q -，是椭圆上的两点, A , B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.①若直线AB 的斜率为求四边形APBQ 面积的最大值； ②当A , B 运动时,满足APQ BPQ ∠=∠,试问直线AB 的斜率是否为定值,请说明理由【解析】（1又222a b c=+∴216a=212b=∴（2）①设()11A x y，, ()22B x y，设AB方程代入化简22120x tx t++-= ()224120t t∆=-->, 44t-<<12212{12x x tx x t+=-⋅=-又()23P，、()23Q-，当0t=时, S最大为②当APQ BPQ∠∠=时, PA、PB斜率之和为.设PA斜率为,则PB斜率为k-设PA方程()2232{3448y k xx y-=-+=代入化简()()()22223483244912480 k x k k x k k++-++--=()23P ，同理直线AB 的斜率为定值4．【天津市十二重点中学2017届高三毕业班联考（一）】已知椭圆E：在轴上,椭圆E 的左顶点为A ,斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于A , B 两点,点C 在椭圆E 上, AB AC ⊥,直线AC 交y 轴于点D . （Ⅰ）当点B 为椭圆的上顶点,ABD 的面积为2ab 时,求椭圆的离心率；,求的取值范围.【解析】（Ⅰ）直线AB 直线AC 令0x =,于是2224a b b +=, （Ⅱ）直线AB 的方程为()y k x a =+,, ()222324223230a k x a k x a k a +++-= 解得x a =-或整理得, 因为椭圆E 的焦点在轴,所以23a >,5．【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟】已知ABC ∆的顶点()1,0A ,点B 在轴上移动,且BC 的中点在y 轴上. （Ⅰ）求C 点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知轨迹Γ上的不同两点M , N 与()1,2P 的连线的斜率之和为2,求证：直线MN 过定点．【解析】（Ⅰ）设(),C x y （0y ≠）,因为B 在轴上且BC 中点在y 轴上,所以(),0B x -,由得()()22211x x y +=-+,化简得24y x =,所以C 点的轨迹Γ的方程为24y x =（0y ≠）．6．【陕西省汉中市2017届高三下学期第二次教学质量检测（4月模拟）】与y 轴的交点是椭圆C ： . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线与椭圆C 交于A 、B 两点,是否存在使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在,求出的值；若不存在,请说明理由．【解析】（Ⅰ）因为直线：与y 轴的交点坐标为所以椭圆C ：所以21314m c =+=+=,故所求C 的方程为(Ⅱ)设点()()1122A x y B x y ，，，,假设以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ,则0OA OB ⋅=,即12120x x y y +=．经检验知：此时（*）式0∆>,适合题意.使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ． 7．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2017届高三二模】已知圆22:4O x y +=与轴交于,A B 两点,点M 为圆O 上异于,A B 的任意一点,圆O 在点M 处的切线与圆O 在点,A B 处的切线分别交于,C D ,直线AD 和BC 交于点P ,设P 点的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）曲线E 与y 轴正半轴交点为H ,则曲线E 是否存在直角顶点为H 的内接等腰直角三角形Rt GHK ∆,若存在,求出所有满足条件的Rt GHK ∆的两条直角边所在直线的方程,若不存在,请说明理由.【解析】（Ⅰ）设()00,M x y ,则M 处的切线为004x x yy +=,综上,共分三种情况（1）两条直角边所在直线方程为： 1y x =±+；（2）两条直角边所在直线方程为：（3）两条直角边所在直线方程为：8．【2017届淮北市高三第二次模拟考试】 O 是坐标原点, 12,F F 分别为其左右焦点, M 是椭圆上一点, 12F MF ∠的最大值为（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）若直线与椭圆C 交于,P Q 两点,且OP OQ ⊥（i ）求证：;（ii ）求OPQ ∆面积的取值范围.【解析】（1）由题意得2,1a b ==,得椭圆方程为：（2）i)当,OP OQ 斜率都存在且不为0时,设:OP l y kx =, ()()1122,,,P x y Q x y消y 得当,OP OQ 斜率一个为0,一个不存在时,得证. ii) 当,OP OQ 斜率都存在且不为0时,又当,OP OQ 斜率一个为0,一个不存在时, 1OPQ S ∆=9．【2017届湖南省长沙市高三下学期统一模拟考试】已知过()0,2A 的动圆恒与轴相切,设切点为,B AC 是该圆的直径．（Ⅰ）求C 点轨迹E 的方程；（Ⅱ）当AC 不在y 轴上时,设直线AC 与曲线E 交于另一点P ,该曲线在P 处的切线与直线BC 交于Q 点．求证: PQC ∆恒为直角三角形．【解析】(Ⅰ) 设C 点坐标为(),x y ,则B 点坐标为因为AC 是直径,所以BA BC ⊥,或C 、B 均在坐标原点．因此0BA BC ⋅= ,而x BA ⎛=-, ,x BC⎛=即28x y =, 另一方面,是曲线28x y =上一点,AC 中点纵坐标为故以AC 为直径的圆与轴相切．综上可知C 点轨迹E 的方程为28x y =． (Ⅱ)设直线AC 的方程为2y kx =+, 由22{8y kx x y=+=得： 28160x kx --=设 ()()1122,,,C x y P x y ,则有1216x x =-．因此QC PQ ⊥ ．所以PQC ∆恒为直角三角形．10．【湖北省六校联合体2017届高三4月联考】如图,已知圆()22:14E x y +-=经过椭圆的左右焦点12,F F ,与椭圆C 在第一象限的交点为A ,且1F , E ,A 三点共线.（1）求椭圆C 的方程；（2）设与直线OA （O 为原点）平行的直线交椭圆C 于,M N 两点,当AMN ∆的面积取取最大值时,求直线的方程.【解析】(1)∵1F ,E , A 三点共线,∴1F A 为圆E 的直径, ∴212AF F F ⊥.由()22014x +-=,得3a =.∵222a b c =+,∴26b =,∴椭圆C 的方程为 (2)由（1）知,点A 的坐标为∴直线OA 的斜率为将方程代入消去y 得：设()11,,M x y()22,,N x y ∴2248724320m m ∆=-+>,又：∵点A 到直线的距离即3m =±时等号成立,11．【福建省2017届高三4月单科质量检测】已知点()1,0F ,直线:1l x =-,直线垂直于点P ,线段PF 的垂直平分线交于点Q . （1）求点Q 的轨迹C 的方程；（2）已知点()1,2H ,过F 且与轴不垂直的直线交C 于,A B 两点,直线,AH BH 分别交于点,M N ,求证：以MN 为直径的圆必过定点.【解析】（1即Q 到直线:1l x =-的距离与到点F 的距离相等,所以点Q 的轨迹是以F 为焦点,为准线的抛物线.设抛物线方程为22(0)y px p =>,则2p =,即点Q 的轨迹C 的方程是24y x =. （2）由题意可设直线():10AB x my m =+≠,代入24y x =,得2440y my --=,则12124,4y y m y y +==-；又()1,2H ,设直线,AH BH 的斜率分别为12,k k ,设()()1,,1,M N M y N y --,令1x =-,同理,又以MN 为直径的圆的方程为： ()()()210M N x y y y y ++--=,即()()22·10M N M N y yy y y y x -++++=, 令22{230y x x y =+-+=,解得3x =-或1x =, 从而以MN 为直径的圆恒过定点()3,0-和()1,0.12．【安徽省合肥市2017届高三第二次教学质量检测】如图,抛物线E ： 22(0)y px p =>与圆O ： 228x y +=相交于A , B 两点,且点A 的横坐标为.过劣弧AB 上动点()00,P x y 作圆O 的切线交抛物线E 于C , D 两点,分别以C , D 为切点作抛物线E 的切线, ,与相交于点M .（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）求动点M 的轨迹方程.【解析】（Ⅰ）由点A 的横坐标为,可得点A 的坐标为()2,2,代入22y px =,解得1p =13．【2016届陕西省西北工大附中高三第四次适应性考试】已知1F 、2F 分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是第一象限内该椭圆上的一点,1254PF PF ⋅=-,求点P 的坐标；（2）设过定点()0,2M 的直线与椭圆交于不同的两点A 、B ,且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点）,求直线的斜率的取值范围．（2）显然0x =不满足题意,可设的方程为2y kx =+,设()()1122,,,A x y B x y ,联立()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩,∴1212221216,1414k x x x x k k =+=-++, 且()()2216414120kk ∧=-+⋅>,∴234k >, 又AOB ∠为锐角,∴0OA OB ⋅>,∴12120x x y y +>,∴()()1212220x x kx kx +++>,∴()()()()22212122224412161241240141414k k k x x k x x k k k k k -⎛⎫++++=++-+=> ⎪+++⎝⎭, ∴24k <,又∵234k >,∴2344k <<,∴32,,222k ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 14．【2016届河南省洛阳市一中高三下学期第二次模拟】已知两动圆2221:(F x y r +=和2222:((4)(04)F x y r r +=-<<,把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ,且曲线C 上的相异两点,A B 满足：0MA MB =．（1）求曲线C 的方程；（2）证明直线AB 恒经过一定点,并求此定点的坐标；（3）求ABM ∆面积S 的最大值．【解析】（1）设两动圆的公共点为Q,．由椭圆的定义可知Q 的．所以曲线C 的方程是：（2）证法一：由题意可知：(0,1)M ,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时,易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点当AB 的斜率存在时,设直线AB：y kx m =+,联立方程组：把②代入①有：222(14)8440kx kmx m +++-=因为0MA MB ⋅=,所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=,221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=,把③④代入整理：（有公因式m －1）继续化简得：或1m =（舍）, 综合斜率不存在的情况,直线AB 恒过定点证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点,由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上,设为(0,)N m ；取特殊直线:1MA y x =+,则直线MB的方程为1y x =-+,此时直线AB 恒经过y 轴上的点5满足条件0MA MB ⋅= 当AB 的斜率不存在时,直线AB 方程为：0x =, 点A B 、的坐标为(0,1)±,满足条件0MA MB ⋅=；当AB 的斜率存在时,设直线AB ：联立方程组：把②代入①所以MA MB x ⋅=⋅15．【2016届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调研】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：22221(0)xy a b a b +=>>的左,右焦点分别是1F ,2F ,右顶点、上顶点分别为A ,B ,原点O 到直线AB的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C 的离心率等于,求椭圆C 的方程；（2）若过点(0,1)的直线与椭圆有且只有一个公共点P ,且P 在第二象限,直线2PF 交轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系,并说明理由﹒（2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设,直线与椭圆相切且的斜率存在,设直线的方程为：1y kx =+, 由222211x y ab y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=,（*）则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=, 化简,得22210b a k --=,所以,22211b k a -== ,∵点P 在第二象限,∴1k =﹒把1k =代入方程（*） ,得22420x a x a ++=,解得2x a =-,从而2y b =,所以22(,)P a b - 从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a ac -=+--,令0x =,得22b c y a c =+,所以点22(0,)+b cQ a c 从而221=(,)F P a c b -+,212=(,)+b cFQ c a c ,从而42112()+b cF P FQ c a c a c ⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c ⎡⎤-++-+-++⎣⎦==,又∵221a b +=,222=+a b c ,∴110F P FQ⋅=﹒ 所以点1F 在以PQ 为直径的圆上16．【2016届陕西省西安一中等八校高三下联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为18,1F 、2F 是椭圆的左、右焦点,过2F 作直线交椭圆于A 、B 两点,若1F AB ∆的周长为8. （1）求椭圆方程；（2）若直线的斜率不为0,且它的中垂线与y 轴交于Q ,求Q 的纵坐标的范围；（3）是否在轴上存在点(,0)M m ,使得轴平分AMB ∠?若存在,求出m 的值；若不存在,请说明理由.【解析】（1）依题意得148,2a e ==,解得2,1,a c b ===,所以方程为22143x y +=. （2）当不存在时,Q 为原点,0Q y =,当存在时,则22:(1):143l y k x x y C =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得2222(34)84120k x k x k +-+-=, 则2122834k x x k +=+,212241234k x x k -=+()*设弦AB 的中点为(,)P P P x y ,则22434P k x k =+,23(1)34P P ky k x k -=-=+, 则222314()()3434PQ k k l y x k k k+=--++, 令0x =,有23[(0,]34Q k yk -=∈+综上所述,Q 的纵坐标的范围为[.（3）存在4m =.假设存在m ,由轴平分AMB ∠可得,0MA MB k K += 即12122112000(1)()(1)()0y y k x x m k x x m x m x m--+=⇒--+--=--, 有12122(1)()20x x m x x m -+++=将()*式代入有222282488680k k m k m mk ---++=,解得4m =.【名师原创测试篇】1．已知圆C ：(2216x y +=及点)F ,P 为圆C 上一动点,在同一坐标平面内的动点Ｍ满足：//,CM CP MF MP =．（Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设过定点)2,0(Q 的直线与椭圆交于不同的两点,G H ,且GOH ∠为锐角（其中O 为坐标原点）,求直线的斜率的取值范围．（Ⅲ）设(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点,直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ,与椭圆相交于,T S 两点．求四边形ATBS 面积的最大值【解析】（Ⅰ）又已知,圆(2216:C x y +=,则半径为4,由//CM CP ,则C M P 、、三点共线,且MF MP =,则4MC MF MF MP FP +=+== ,故动点M 的轨迹是以C F、为左、右焦点的椭圆,且24a c =，所以,动点M 的轨迹方程为2214x y +=. （Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件,可设直线),(),,(,2:2211y x B y x M kxy l +=,联立消去y ,整理得：,由又090GOH ︒<∠<︒ ⇔cos 0GOH ∠> ⇔0OG OH ⋅> ∴12120OG OH x x y y ⋅=+>,又即24k < ∴22k -<<,故由①、②解法二：由题设．设11y kx =,22y kx =,由①得20x >,210y y =->, 故四边形ATBS 的面积为BTS ATBS S S S =+△△四边形当222x y =时,上式取等号．所以ATBSS 四边形2. 已知抛物线C 的顶点为坐标原点,焦点为(1,0)F ,直线与抛物线C 相交于,A B 两点,且线段AB 的中点为()2,2M ．（I ）求抛物线的C 和直线的方程；（II ）若过()2,0T 且互相垂直的直线12,l l 分别与抛物线交于()()()()11223344,,,,,,,,P x y Q x y R x y S x y 求四边形PRQS 面积的最小值．【解析】（I ）依题意可设抛物线C 的方程为：()220y px p =>．由焦点为(1,0)F 可知12p=,所以2p =．所以所求的抛物线方程为24y x =．设直线的方程为()22x t y -=-,与24y x =联立消去,得22848,4880,y ty t y ty t =+-∴-+-=由韦达定理可得4A B y y t +=,又AB 的中点为()2,2422,1,t t ∴=⨯∴=∴，直线的方程为0x y -=．（II ）设直线的方程为2my x =-,与24y x =联立消去,整理得122124,480,8,y y m y my y y +=⎧--=∴⎨=-⎩由弦长公式得12y PQ ====-,同理可得,RS =所以四边形PRQS 面积1=24,8S ⨯==当且仅当221m m=,即1m =±时,四边形PRQS 面积取最小值48．3. 已知椭圆C :22221x y a b +=()0a b >>,经过点()0,1(1)求椭圆C 的方程;(2)不经过原点O 的直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点,P Q ,若直线,,OP PQ OQ 的斜率依次成等比数列,求直线的斜率.【解析】(1),=,又因为椭圆经过点()0,1,所以222220111b a b+=⇒=,=24a ⇒=,故椭圆C 的方程为2214x y +=； (2)联立直线与椭圆方程可得22,440.y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩消去y 得:222(14)84(1)0k x kmx m +++-= ,则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m ∆=-+-=-+>,212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ ,故2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++,因为直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列,2211,x yk x y k OQ OP ==,))((2121m kx m kx y y ++=,所以2222121212121212()()0y y k x x km x x m k km x x m x x x x +++⋅==⇒++= 22228014k m m k ⇒-+=+,由于0,m ≠故21142k k =⇒=±. 4. 椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）过点()0,1,且离心率e =．（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 相切于点且交直线2x =于点N ,求椭圆E 的两焦点1F 、2F 到切线的距离之积；（Ⅲ）在（II ）的条件下,求证：以PN 为直径的圆恒过点2F ．【解析】（I）由题意得22212b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩,解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=；（II ）由2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y ,得：()2212x kx m ++=, 即222(12)42(1)0k x kmx m +++-=,动直线:l y kx m =+与椭圆E 相切于点,∴()()()2224412210km km∆=-⨯+⨯-=,即2221k m +=,焦点21,F F 到直线的距离21,d d分别为1d =,2d =,∴22212221111m k k d d k k -+===++ (III) 设直线与椭圆E 相切于点P 00(,)x y ,则mkk km x 221220-=+-=,∴00y kx m =+=-22221k m k m m m m -+==,∴ )1,2(m m k P -,又联立y kx m =+与2x =,得到(2,2)N k m +,⎪⎭⎫⎝⎛-+=m m k PF 1,212,()m k N F +=2,12,()()22212122F F 1,1,212110kk k k k m k m m m m m m m ⎛⎫P ⋅N =+-⋅+=+-+=+--= ⎪⎝⎭,∴22F F P ⊥N ,∴以PN 为直径的圆恒过点2F .5. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A,B 是圆 O ：221x y +=与 x 轴的两个交点（点 B 在点 A右侧）,点 Q(-2,0), x 轴上方的动点 P 使直线 PA,PQ,PB 的斜率存在且依次成等差数列．(I) 求证：动点 P 的横坐标为定值；（II ）设直线 PA,PB 与圆 O 的另一个交点分别为 S,T,求证：点 Q,S,T 三点共线．【解析】（I ）由题设知, A B (1,0) ．设000(,),(0)P x y y ≠,则000000,,,211PQ PA PB y y yk k k x x x ===++-因为,,PA PQ PB k k k 成等差数列,所以2PQ PA PB k k k =+,即0000002,211y y yx x x =+++-所以012x =-,故动点 P 的横坐标为定值；6. 已知中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆C 的一个焦点F 在抛物线24y x =的准线上,且椭圆C 过点3(1,)2P ,直线与椭圆C 交于,A B 两个不同点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线的斜率为12,且不过点P ,设直线PA ,PB 的斜率分别为12,k k ,求证：12k k +为定值；（Ⅲ）若直线过点F ,M 为椭圆C 的另一个焦点,求MAB ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）抛物线24y x =的准线方程为1x =-,由题意知(1,0)F -.故设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>.则由题意可得222213()121a b =⎨⎪+=⎪⎩,解得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.-故椭圆C 的方程为22143x y +=.（Ⅱ）证明∵直线的斜率为12,且不过3(1,)2P 点,∴可设直线1:(1)2l y x m m =+≠. 联立方程组2214312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,消y 得2230x mx m ++-=. 又设11(,)A x y ,22(,)B x y ,故有22122124(3)03m m x x mx x m ⎧∆=-->⎪+=-⎨⎪=-⎩, 所以1212211212123333()(1)()(1)222211(1)(1)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----1221121313()(1)()(1)2222(1)(1)x m x x m x x x +--++--=--12121212(2)()23()1x x m x x m x x x x +-+-+=-++223(2)()233()1m m m m m m -+---+==---+,所以12k k +为定值0. （Ⅲ）由（Ⅰ）知(1,0)F -,(1,0)M .设11(,)A x y ,22(,)B x y ,过点F 的直线方程为1x my =-.由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,消得22(34)690m y my +--=,所以122634m y y m +=+,122934y y m -=+. 故2221212122269||()4()43434m y y y y y y m m --=+-=-⨯++222144(1)(34)m m +=+,所以122||34y y m -=+ 所以MAB ∆的面积12121||(||||)||2S MF y y y y =+=-234m =+====因为211m +≥,而函数19y t t =+在区间[1,)+∞上单调递增,所以2219(1)6161m m +++≥+,故1234S ≤=.所以当211m +=,即0m =时,MAB ∆的面积取得最大值3.方法二：MAB ∆的面积12121||(||||)||2S MF y y y y =+=-=设1t =≥,则221m t =-,故2212121213(1)4313t t S t t t t===-+++ ,设1()3g t t t =+,则21()3g t t '=-,显然当[1,)t ∈+∞时,()0g t '>,函数单调递增,所以1()3141g t ≥⨯+=,故1234S ≤=. 所以当1t =,即0m =时,MAB ∆的面积取得最大值3。

解析几何典型大题

解析几何典型大题几何学是数学中的一个重要分支，而解析几何则是几何学中的一个重要研究方向。

在高中数学课程中，解析几何往往占据了重要的篇幅，而典型大题则是解析几何中学生必须掌握的一部分内容。

下面将对几个典型的解析几何大题进行解析，分别从直线、圆、抛物线和椭圆四个方面进行讨论。

一、直线直线是解析几何中最基础的图形之一，其中最常见的问题是求两直线的交点或判断直线的位置关系。

例如，已知直线L1的方程为y=2x+3，直线L2经过点(-1,5)且与L1垂直，我们需要求L2的方程和L1与L2的交点。

解题步骤如下：首先，由L1的斜率为2可得L2的斜率为-1/2。

接着，由L2过点(-1,5)可得到L2的方程为y=-1/2x+3/2。

最后，将L2的方程与L1的方程联立，解方程组可得到交点的坐标为(4,-1)。

二、圆圆是解析几何中的另一个基本图形，问题类型多样，常见的有求圆的方程和圆与直线的位置关系等。

例如，已知圆的圆心为(-2,3)，半径为4，我们需要求圆的方程及圆与直线y=2x-1的位置关系。

解题步骤如下：首先，由圆的圆心坐标可得到圆的方程为(x+2)^2+(y-3)^2=16。

接着，将直线的方程y=2x-1代入圆的方程，解方程组可得判别式为D=4(2√5+⅘)，由判别式的正负可以判断两者的位置关系。

三、抛物线抛物线是解析几何中的另一个重要图形，经常涉及到求焦点、顶点、方程以及切线等问题。

例如，已知抛物线的焦点为(2,3)且过点(-1,5)，我们需要求抛物线的方程及过给定点的切线方程。

解题步骤如下：首先，由焦点可得抛物线的对称轴为x=2。

接着，由对称轴和焦点可确定抛物线的顶点为(2,3)。

再根据顶点和焦点可得到抛物线的方程为(y-3)^2=4(x-2)。

最后，将给定点(-1,5)代入抛物线的方程，求导数并带入切线的一般方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，可求得过给定点的切线方程为y=-5x+0。

四、椭圆椭圆是解析几何中的一种特殊曲线，需要掌握求椭圆的方程以及判断其性质等问题。

以椭圆和圆为背景地解析汇报几何大题

【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例1 【2015高考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =-或1y x =-+．【解析】试题解析：（1）由题意，得2c a =且23a c c +=，解得2a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）当x AB ⊥轴时，2AB =C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210kxk x k +-+-=，则()22 1,2222112k k xk±+=+，C的坐标为2222,1212k kk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，且()()()()()222222121212221112kx x y y k x xk+AB=-+-=+-=+．若0k=，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而0k≠，故直线CP的方程为222121212k ky xk k k⎛⎫+=--⎪++⎝⎭，则P点的坐标为()22522,12kk k⎛⎫+⎪-⎪+⎝⎭，从而()()2222311C12k kk k++P=+．因为C2P=AB，所以()()()2222223114211212k k kkk k+++=++，解得1k=±．此时直线AB方程为1y x=-或1y x=-+．例2 【2016高考】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:221214600x y x y+--+=及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得,TA TP TQ+=，数t的取值围.【答案】（1）22(6)(1)1x y-+-=（2）:25215l y x y x=+=-或（3）22212221t-≤≤+【解析】试题解析：解：圆M的标准方程为()()226725x y-+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5，.（1）由圆心N 在直线x =6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y =2x +m ，即2x -y +m =0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA ===而222,2BC MC d =+（）所以()252555m +=+，解得m =5或m =-15.故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. (3)设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=，所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩ ……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦没有公共点，所以5555,-≤≤+解得22t -≤+因此，实数t的取值围是22⎡-+⎣.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.例3 【2017高考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）4737(,)．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是223b a c =-=E 的标准方程是22143x y+=．因为点Q在椭圆上，由对称性，得21xyy-=±，即22001x y-=或22001x y+=．又P在椭圆E上，故22001 43x y+=．由220022001143x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得004737x y==220022001143x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P的坐标为4737 (．【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．【热点深度剖析】1. 圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2017年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．2. 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量围构造不等关系”等等.3. .避免繁复运算的基本方法：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的方法等，一般以直接性和间接性为基本原则.“设而不求”、“点代法”等方法的运用就是主动的“所谓寻求”.4. 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．5.预计18年将继续将解几大题作为探究能力考查的“试验田”，考查定点、定值问题的可能性较大. 【最新考纲解读】【重点知识整合】一、1.椭圆的定义：（1）第一定义：平面到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹. （2）第二定义：平面与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）.2.图形与方程（以一个为例）图形标准方程：12222=+by a x (b a >>0)3. 几何性质：（1）围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤ （2）中心坐标原点(0,0)O（3）顶点 (,0),(,0),(0,),(0,)a a b b --（4）对称轴 x 轴，y 轴，长轴长2a ，短轴长2b（5）焦点 12(,0),(,0)F c F c - 焦距 2c ，（c = （6）离心率 ce a=，（01e <<）（7）准线 2a x c=±（8）焦半径 00,r a ex r a ex =+=-左右（9）通径 22b a（10）焦参数 2a c二、1. 抛物线的定义：平面与定点和直线的距离相等的点的轨迹. （e =1） 2.图形与方程（以一个为例）图形标准方程：22(0)y px p => 3. 几何性质：（1）围 0x ≥经，y R ∈ （2）中心无（3）顶点 (0,0)O （4）对称轴 x 轴（5）焦点 (,0)2pF 焦距无（6）离心率 1e = （7）准线 2p x =-（8）焦半径 02p r x =+ （9）通径 2p （10）焦参数 p【应试技巧点拨】一、（1）要能够灵活应用圆锥曲线的两个定义（及其“括号”的限制条件）解决有关问题，如果涉及到其两焦点(或两相异定点)，那么优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视第一定义和三角形中正余弦定理等几何性质的应用，尤其注意圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用。

专题13 解析几何中与椭圆相关的综合问题(解析版)

专题13 解析几何中与椭圆相关的综合问题专题概述纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．典型例题【例1】（2020•全国二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 为椭圆E 上任意一点，12PF PF 的最大值为1，点1A 为椭圆E 的左顶点，△12A PF ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅰ）动直线l 与椭圆E 交于不同两点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，O 为坐标原点，M 为AB 的中点______．是否存在实数λ，使得||||OM AB λ恒成立？若存在，求λ的最小值；若不存在，说明理由．从①AOB ∆的面积为1，②||||m n m n +=-（其中向量1122(,),(,)x y x ym n a b a b==这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【分析】（Ⅰ）先由12PF PF 的最大值为211b ⇒=，再由△12A PF 24a ⇒=，从而求出椭圆E 的方程；（Ⅰ）先设出直线l 的方程，再与椭圆E 的方程联立，求出||AB 、点O 到直线l 的距离d ，接着求出AOB ∆的面积的关系式，进而得到变量之间的关系，最后解决λ的存在性与最值问题．【解答】解：（Ⅰ）设0(P x ，0)y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则2200221x y a b +=，0[x a ∈-，]a10(PF c x =--，0)y -，20(PF c x =-，0)y -，222222212002c PF PF x y c x b c a=+-=+-，0[x a ∈-，]a ，∴当0x a =± 时，212()1max PF PF b ==．又1201()()||22A PF a c b Sa c y +=⨯+=，又222a b c =+，可解得：2a =，1b =，c =所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（Ⅰ）当选择①时，假设存在实数λ，使得||||OM AB λ恒成立．设动直线:l x ky t =+，由2214x ky t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立可得：222(4)240k y kty t +++-=． 222222122212244(4)(4)16(4)02444k t k t k t kt y y k t y y k ⎧⎪=-+-=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩， 24(4t M k +，2)4kt k -+．||1AB == 点O 到直线:l x ky t=+的距离d =，1||12ABOS AB d ∆∴=⨯⨯==， 222224(1)(4)(4)2(1||||k k t t k OM AB ++-+==，令244k m +==4m ．令33m y m -=，4m ，则492my m -'=，令902y m '=⇒=，y 在[4，9]4单调递增，在9[4，)+∞单调递减，故当92m =也即212k =时，max y ，(||||)maxOM AB =．又||||OM AB λ恒成立，所以43λ．故存在λ，使得||||OM AB λ恒成立，且λ 【例2】（2020春•全国月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=，(2,0)A ，线段BC 的中点是坐标原点O ，设直线AB ，AC 的斜率分别为1k ，2k ，且1214k k =-．（1）求B 点的轨迹方程；（2）设直线AB ，AC 分别交圆O 于点E 、F ，直线EF 、BC 的斜率分别为EF k 、BC k ，已知直线EF 与x 轴交于点6(5D -，0)问：是否存在常数λ，使得BC EF k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）设(,)B x y ，则(,)C x y --，根据1214k k =-．即可求出B 点的轨迹方程；（2）由题意可知，直线AB 的方程为：1(2)y k x =-，与椭圆方程联立，求出点B 的坐标，进而求出BC k ，再联立直线AB 与圆O 方程，求出点E 的坐标，进而求出EF k ，从而得到25BC EF k k =，故存在常数25，使得25BC EF k k =．【解答】解：（1）设(,)B x y ，则(,)C x y --，又(2,0)A ，∴212212244y y y k k x x x ===--+-，∴2214x y +=， ∴点B 的轨迹方程为2214x y += (0)y ≠；（2）由题意可知，直线AB 的方程为：1(2)y k x =-，联立方程122(2)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222111(41)164(41)0k x k x k +-+-=， ∴21214(41)241B k x k -=+，21212(41)41B k x k -∴=+，121441Bk y k -=+， ∴直线BC 的斜率12102041B BC B y kk x k --==--，联立方程122(2)4y k x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y 得：2222111(1)4440k x k x k +-+-=，∴21214421E k x k -=+，∴21212(1)1E k x k -=+，2141E ky k -=+， ∴直线EF 的斜率121056415E EF E y k k k x --==-+， ∴21121124124155BC EF k k k k k k --==--， 25BC EF k k ∴=，∴存在常数25，使得25BC EF k k =．【变式训练】（2020•3月份模拟）已知椭2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点E 其左、右顶点分别为A ，B ，且离心率e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设0(M x ，0)y 为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，MN AB ⊥于点N ，直线00:240l x x y y +-=． ①证明：直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点；②设过点A 且与x 轴垂直的直线与直线l 交于点P ，证明：直线BP 经过线段MN 的中点．【分析】（1）根据题意，列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，即可求出椭圆C 的方程；（2）①联立直线l 与椭圆方程，结合0(M x ，0)y 在椭圆上，220024x y +=，可求出唯一交点坐标0(x ，0)y ，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即点M ；②先求出点P 的坐标，进而得到直线PB 的方程，再求出线段MN 的中点坐标，即可验证线段MN 的中点坐标满足直线PB 的方程，即线PB 经过线段MN 的中点．【解答】解：（1）由题意可知，22222211a b ca ab c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为：22142x y +=；（2）①由题意知00y ≠，联立方程220142240x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消去y 得：22220000(2)81680x y x x x y +-+-=， 0(M x ，0)y 在椭圆上，∴220024x y +=，∴220020x x x x -+=，即20()0x x -=，0x x ∴=，0y y =，∴直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，即点M ；②由（1）知(2,0)A -，(2,0)B ，过点A 且与x 轴垂直的直线的方程为：2x =-，结合方程00240x x y y +-=，得点002(2,)x P y +-，∴直线PB 的斜率000202224x y x k y +-+==---， ∴直线PB 的方程为：002(2)4x y x y +=--， MN AB ⊥于点N ，0(N x ∴，0)，线段MN 的中点坐标为0(x ，)2y ，令0x x =．得20000024(2)44x x y x y y +-=--=， 220024x y +=， 02y y ∴=， ∴直线PB 经过线段MN 的中点0(x ，)2y ．专题强化1．（2020春•全国月考）已知椭圆22:162x y C +=，过(4,0)Q -的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且与y 轴相交于P 点．（1）若32PA AQ =，求直线l 的方程；（2）设A 关于x 轴的对称点为C ，证明：直线BC 过x 轴上的定点．【分析】（1）设直线l 的方程为(4)y k x =+，联立椭圆方程，可得x 的二次方程，设出A 的横坐标，求得P 的坐标，运用向量共线的坐标表示，解得A 的横坐标，代入二次方程解得斜率，进而得到所求直线方程；（2）运用韦达定理，由对称性可得C 的坐标，由点斜式方程可得直线l 的方程，可令0y =，解得x 的表达式，化简整理，即可得到定点．【解答】解：（1）由题意可设直线l 的方程为(4)y k x =+，联立椭圆方程22360x y +-=，可得2222(13)244860k x k x k +++-=，(*) 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由(4,0)Q -，(0,4)P k ，32PA AQ =，可得1130(4)2x x -=--，解得1125x =-，代入方程(*)可得222144288(13)4860255k k k +-+-=，解得k =，则直线l的方程为4)y x =+；（2）证明：由题设可得1(C x ，1)y -，由（1）可得21222413k x x k+=-+，212248613k x x k -=+，再由（1）可得直线BC 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，可得122112121212121212(4)(4)24()(8)8x y x y kx x k x x x x x x x y y k x x x x ++++++===+++++ 22229612963248242k k k k --==--++，故直线BC 过x 轴上的定点3(2-，0)．2．（2020•3月份模拟）已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与椭圆C交于A 、B 两点，且OB AB ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M 、N 两点，若点P 满足3OP PM =，且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求||||NP PQ 的值．【分析】（1）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，求出点B 的坐标，再根据OB AB ⊥，建立关于a 的方程，解出即可；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(Q x ，3)y ，||||NP m PQ =，由已知，将点Q 的坐标用点M ，N 表示，再由点Q 在椭圆上，得到关于m 的方程，解出即可．【解答】解：（1）由题意得，设直线AB 的方程：x y a =-，与椭圆联立整理得：22(1)20a y ay +-=， 221B ay a ∴=+， 322211B a a a x a a a-∴=-=++，因为OB AB ⊥，∴321B B y a x a a==--，1a >，解得：23a =，所以椭圆C 的标准方程：2213x y +=；（2）由（1）得，F 0)所以由题意得直线MN的方程为：y x =-，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，3(Q x ，3)y ，将y x =2213x y +=，得2430x -+=，∴1212324x x x x +==，∴12121(4y y x x ==-， 3OP PM =，∴34OP OM =，则1133(,)44P x y ，设||||NP m PQ =，则NP mPQ =，即121231313333(,)(,)4444x x y y m x x y y --=--， ∴3123123(1)143(1)14m x x x m mm y y y m m +⎧=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，点3(Q x ，3)y 在椭圆C 上，∴22121213(1)13(1)1[][]1344m m x x y y m m m m++-+-=，整理得22222112212122229(1)1113(1)1()()()1163323m m x y x y x x y y m m m +++++-+=，由上知，1212103x x y y +=，且2212121,133x x y y +=+=，∴229(1)1116m m ++=，即2718250m m --=，解得257m =或1m =-（舍)，故||25||7NP PQ =． 3．（2019秋•怀化期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为M ，直线FM的斜率为，且原点到直线FM．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切．试探究ABF ∆的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）可设(,0)F c ，(0,)M b ，由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b ，c ，进而得到a ，可得椭圆方程；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．1(0x >，20)x >，运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得1||AQ =，同理可得2||BQ x =，再由焦半径公式，即可得到周长为定值．【解答】解：（1）可设(,0)F c ，(0,)M b，可得b c -=，直线FM 的方程为bx cy bc +=，=，解得1b =，c =a = 则椭圆方程为2213x y +=；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ． 1(0x >，20)x >，连接OA ，OQ ，在OAQ ∆中，222222111112||11133x AQ x y x x =+-=+--=，即1||AQ =，同理可得2||BQ x =，12||||||)AB AQ BQ x x ∴=+=+，1212||||||)AB AF BF x x ∴+++-+=，ABF ∴∆的周长是定值4．（2019秋•山东月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率e =，椭圆的左焦点为1F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，且11122F B F B =．（1）求C 的标准方程；（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦AM ，AN ，月0AM AN =，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点．【分析】（1）根据椭圆的离心率公式根据向量的坐标运算，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程；（2）设直线AM 的方程，与椭圆方程联立，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，求得直线MN 的方程，即可判断直线MN 与x 轴的交点为定点．【解答】解：（1）设1(,0)F c -，1(0,)B b ，2(0,)B b -，由题意c e a ==，① 由112(F B F B c =，)(b c ，22)2b c b -=-=，② 又222c a b =-，③ 解得24a =，21b =，所以椭圆的标准方程2214x y +=；（2）证明：由题可知，(0,2)A -，则直线AM ，AN 斜率存在且不为0，设直线AM 斜率为k ，则直线AN 斜率为1k-，设直线AM 方程为(2)y k x =+，设(M M x ，)M y与椭圆方程联立得22(2)440y k x x y =+⎧⎨+-=⎩，得2222(14)161640k x k x k +++-=，Z 则22164214M k x k --=+，则222814M k x k -=+，所以(2)M M y k x =+，得2414M ky k =+得2228(14k M k -+，24)14k k +，同理可得（将k 换成1)k -得2228(4k N k -+，24)4k k -+，则32222242222244202020(1)51442828(1616)16(1)(1)44144MNk kk k k k k k k k k k k k k k k k +++-++====-----+---++，所以直线MN 的方程为22224528()4444k k k y x k k k --+=-+-+，令0y =，则22222216(1)2862465(4)45(4)5k k k x k k k ----=+==-+++，所以，直线MN 与x 轴的交点为定点6(5-，0)．5．（2019•陕西模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为2F ，过2F 作x 轴的垂线交椭圆E 于点A （点A 在x 轴上方），斜率为(0)k k <的直线交椭圆E 于A ，B 两点，过点A 作直线AC 交椭圆E 于点C ，且AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D ．（1）设椭圆E 的离心率为e ，当点B 为椭圆E 的右顶点时，D 的坐标为21(0,)3b a a -，求e 的值．（2）若椭圆E 的方程为2212x y +=，且2k <，是否存k|||AB AC =成立？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）求出2()ABb k ac a =-，3AD ak c=，通过AB AD ⊥，转化求解椭圆的离心率即可．（2）设出直线y kx k =-，联立2212x y y kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y ，由韦达定理得求出B 的坐标，利用弦长公式，转化求解即可．【解答】解：（1）因为2()AB b k a c a =-，3AD ak c=，AB AD ⊥，所以2213b a ac a c =--，整理得22320a ac c -+=，解得2a c =或a c =（舍去），所以12c e a ==．（2）由（1）知A，:(1)AB y k x =-，即y kx k =-，联立2212x y y kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去y，得222(12)2(2210k x k k x k +-+--=．设点B 的横坐标为B x，由韦达定理得2221112B k x k --=+，即222112Bk x k --=+，所以1B x -=．因为k <，所以2222||1|B k AB x +=-=，同理，221|22()2|2||21112()k k AC k k -+-=++-．|||AB AC =，则22222221k k k+-=+， 20k +=，而△0<，所以此方程无解，故不存在符合条件的．6．（2019•新课标Ⅰ）已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上的点，O 为坐标原点．（1）若2POF ∆为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且△12F PF 的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【分析】（1）根据2POF ∆为等边三角形，可得在△12F PF 中，1290F PF ∠=︒，在根据直角形和椭圆定义可得；（2）根据三个条件列三个方程，解方程组可得4b =，根据22222()a x c b c=-，所以22c b ，从而2222232a b c b =+=，故42a ，【解答】解：（1）连接1PF，由2POF ∆为等边三角形可知在△12F PF 中， 1290F PF ∠=︒，2||PF c =，1||PF =，于是122||||1)a PF PF c =+=，故曲线C 的离心率1ce a==．（2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在当且仅当：1||2162y c =，1y y x c x c=-+-，22221x y a b +=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b +=，③ 由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c =，故4b =，由②③得22222()a x c b c =-，所以22c b ，从而2222232a b c b =+=，故42a ，当4b =，42a 时，存在满足条件的点P ．所以4b =，a 的取值范围为)+∞．7．（2019•辽宁三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，焦距为．（1）求C 的方程；（2）若斜率为12-的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P ，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证明：直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．【分析】（1）由已知得关于a ，c 的方程组，求解可得a ，c 的值，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；（2）设直线l 的方程为12y x m =-+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系及斜率乘积证得2OP OQ PQ k k k =即可．【解答】（1）解：由题意，2c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ 又2221b a c =-=，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）证明：设直线l 的方程为12y x m =-+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，由221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得22244(1)0x mx m -+-=．则△2221632(1)16(2)0m m m =--=->，且122x x m +=，2122(1)x x m =-．故2121212121111()()()2242y y x m x m x x m x x m =-+-+=-++． ∴21212212121211()1424OP OQ PQ x x m x x m y y k k k x x x x -++====．即直线OP，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列．8．（2019•全国I 卷模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，左右顶点分别为A ，B ，Q 为椭圆C 上一点，QAB ∆面积的最大值为（1）求椭圆C 的方程；（2）当点Q 不为椭圆C 的顶点时，设直线AQ 与y 轴交于点P ，过原点O 作直线AQ 的平行线OM 且与椭圆C 交于点M ，问是否存在常数λ使得2||||||AP AQ OM λ=成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，以及椭圆上点到x 轴距离的最大值，计算即可得到a ，b 的值，进而得到椭圆方程；（2）设直线:(2)AQ yk x =+，直线:OM y kx =，联立椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式，由此求出存在常数λ使得2||||||AP AQ OM λ=成立．【解答】解：（1）由题意得，c e a ==，222a b c-=，当Q 为椭圆的上顶点时，AQB ∆的面积取得最大值且为12222b a = 解得，2a =，b =，c =所以椭圆方程为：22142x y +=⋯ （2）依题意可得直线AQ 的斜率存在，设直线:(2)AQ y k x =+，则(0,2)P k联立22(2)24y k x x y =+⎧⎨+=⎩，并整理得：2222(12)8840k x k x k +++-=． △222644(21)(84)160k k k =-⨯+⨯-=>，则2284221Q k x k --=+，222421Q k x k -∴=+，||(2)|Q AQ x =--=||AP =228(1)||||12k AQ AP k +=⋯+直线AQ 的平行线OM ，直线:OM y kx =；联立2224y kxx y =⎧⎨+=⎩消去y 得：22(12)40k x +-=； 222222244(1)||(1)(1)1212M k OM K x k k k +=+=+=⋯++∴22228(1)4(1)1212k k k k λ++=++，2λ∴=．故存在常数2λ=，使得2||||||AP AQ OM λ=成立。

解析几何椭圆练习题

椭圆1.已知点P 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上一点，点F 1､F 2是椭圆C 的左右焦点，若△PF 1F 2的内切圆半径的最大值为a -c ，则椭圆C 的离心率为()A.23B.22C.32D.33【解析】B2.已知点P (x ,y )(x ≠0，y ≠0)是椭圆x 216+y 28=1上的一个动点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点(不与点P 重合)，且F 1M ⋅PM=0，则|OM |的取值范围为()A.[0，3) B.(0，22) C.[22，3) D.[0，4]【解析】B3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上存在点P ，使得PF 1 =3PF 2 ，其中F 1､F 2分别为椭圆的左､右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是()A.14,1 B.14,1C.12,1D.12,1【解析】D4.已知椭圆C 的焦点为F 1-1,0 ，F 21,0 ，过F 2的直线交于C 与A ，B ，若AF 2 =2F 2B ，AB =BF 1 ，则C 的方程为()A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 29+y 28=1【解析】B5.已知A 1,1 ，F 1是椭圆5x 2+9y 2=45的左焦点，点P 是椭圆上的动点，求PA +PF 1 的最大值和最小值分别为()A.6+2；6-2B.4+2；4-2C.6+22；6-22D.4+22；4-22【解析】A6.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2做倾斜角为π6的直线与椭圆相交与A ，B 两点，若AF 2=2F 2B，则椭圆C 的离心率e 为()A.239B.13C.34D.45【解析】A7.已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点，A ,B 分别为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则椭圆C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34【解析】A8.设F 1，F 2是椭圆x 216+y 24=1的左，右焦点，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则AF 2 +BF 2 的最大值为()A.14 B.13C.12D.10【解析】A9.已知F 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆E 交于P ,Q两点，若PF =2QF ，且∠PFQ =120°，则椭圆E 的离心率为()A.33B.12C.13D.22【解析】A10.已知椭圆x 216+y 27=1的右焦点为F ,A 是椭圆上一点，点M 0,4 ，则△AMF 的周长最大值为()A.14B.16C.18D.20【解析】C11.已知F 是椭圆x 225+y 29=1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 面积的最大值为()A.6B.15C.20D.12【解析】D12.已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的一个焦点，若直线y =kx 与椭圆相交于A ，B 两点，且∠AFB =120°，则椭圆离心率的取值范围是()A.32,1B.0,32 C.12,1D.0,12【解析】C13.已知椭圆C :x 29+y 24=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ，线段MN 的中点在椭圆C 上，则AN +BN 的值为()A.6B.12C.18D.24【解析】B14.椭圆x 212+y 23=1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么PF 1 ∶PF 2 的值为()A.7B.5C.92D.83【解析】A15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2为C的左右焦点，P(m,n)(m>0,n>0)为C上一点，且△PF1F2的内心I(s,1)，若△PF1F2的面积为2b，则n的值为()A.35B.43C.83D.3【解析】C16.如图F1,F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.2B.3C.32D.62【解析】D17.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)，点P在椭圆上，且∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e等于()A.2-1B.3-1C.3-2D.5-3【解析】B18.已知椭圆x2+my2=1(m>0)的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m=()A.2B.2C.14D.4【解析】C19.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的倾斜角为30∘直线交椭圆于A，B两点，弦长AB=8，若三角形ABF2的内切圆的面积为π，则椭圆的离心率为()A.22B.36C.12D.33【解析】C20.过点(-3，2)且与x29+y24=1有相同焦点的椭圆方程是()A.x215+y210=1 B.x210+y215=1 C.x29+y225=1 D.x210+y25=1【解析】A21.已知方程x 225-m +y 2m +9=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是()A.m >-9B.m <25C.-9<m <25D.8<m <25【解析】D22.椭圆x 29+y 24=1的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上一动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是()A.-55,55 B.-∞,-55 ∪55,+∞ C.-355,355 D.-∞,-355 ∪355,+∞ 【解析】C23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的长轴长为4，若点P 是椭圆C 上任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，记直线PM 、PN 的斜率分别为K PM ,K PN ，当K PM ⋅K PN =-14时，则椭圆方程为()A.x 216+y 24=1B.x 24+y 22=1C.x 2+y 24=1D.x 24+y 2=1【解析】D24.已知椭圆C ：x 2+y 2b2=1(b >0，且b ≠1)与直线l ：y =x +m 交于M ，N 两点，B 为上顶点．若BM =BN ，则椭圆C 的离心率的取值范围是()A.0,22B.22,1 C.63,1D.0,63【解析】C25.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两个焦点分别为F 1，F 2，设P 为椭圆上一点，角F 1PF 2的外角平分线所在直线为l ，过点F 1，F 2分别做l 的垂线，垂足分别为R ，S ，当点P 在椭圆上运动时，点R ，S 的轨迹所围成的图形的面积为：()A.a 2B.4a 2C.πa 2D.4πa 2【解析】C26.已知F 1，F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且PF 1⎳QF 2．若PF 1 +QF 2 ≥b ，则C 的离心率的取值范围是()A.0,12B.12,1C.0,32D.32,1 【解析】C27.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2，长轴长为4，点P 2,1 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A.离心率的取值范围为0,12B.当离心率为24时，QF 1 的最大值为2+22C.存在点Q 使得QF 1⋅QF 2=0D.1QF 1 +1QF 2 的最小值为1【解析】BD28.如图所示，一个底面半径为4的圆柱被与其底面所成的角θ=60°的平面所截，截面是一个椭圆，则下列正确的是()A.椭圆的长轴长为8B.椭圆的离心率为32C.椭圆的离心率为12 D.椭圆的一个方程可能为x 264+y 216=1【解析】BD29.(多选)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，则()A.当a =2b 时，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有2个B.当a >2b 时，满足∠F 1PF 2=90°的点P 有4个C.△PF 1F 2的周长小于4aD.△PF 1F 2的面积大于等于a 22【解析】ABC30.设P 为椭圆x 217+y 213=1上一动点，F 1,F 2分别为左右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |=PF 2 ，则动点Q 的轨迹方程为．【解析】(x +2)2+y 2=6831.已知A ，B 为椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点，点P 在E 上，且k PA ⋅k PB =-19，则椭圆E 的离心率为．【解析】22332.椭圆C ：x 218+y 2b2=1的上､下顶点分别为A ，C ，如图，点B 在椭圆上，平面四边形ABCD满足∠BAD =∠BCD =90°，且S △ABC =2S △ADC ，则该椭圆的短轴长为.【解析】633.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，斜率为-12的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△ABF1的重心为Gc6,c3，则椭圆C的离心率为．【解析】6 3。

解析几何解答题--椭圆

解析几何解答题--椭圆1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有()kck 2＋12＋()c22＝()b 22，解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为()c ，233c . 由|FM |＝(c ＋c )2＋()233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2>2，解得－32<x <－1或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，则m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈()－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈()23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0，于是m ＝－2x 2－23，得m ∈()－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是()－∞，－233∪()23，233. 2．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .(ⅰ)求|OQ ||OP |的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．解 (1)由题意知2a ＝4，则a ＝2.又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.(ⅰ)设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24()x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.(ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.①则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2. 因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2()4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t . 将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.② 由①②可知0<t ≤1.因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t . 故S ≤23，当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 坐标；若不存在，说明理由．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1<n <1.直线P A 的方程为y －1＝n －1m x ，所以x M ＝m1－n，即M ()m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |. 因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.4．设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为()23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为()52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为()x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为()54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧5b 4＋x 125b ＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)解法一：连接QF 1，如下图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝()a a 2－2b 2c＋c2＋b 4c2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12[]1＋()42＋2－12＝6－ 3.解法二：连接QF 1，如上图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.6.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bcb 2＋c2＝bc a ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(2)解法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋()122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. 解法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2, x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12.因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.于是|AB |＝1＋()122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.7．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，已知|AB |＝32|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切．求直线l 的斜率．解 (1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c,0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2.又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12.所以椭圆的离心率e ＝22.(2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c,0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0.又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，故x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c ，代入①得y 0＝c3，即点P 的坐标为()－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝(x 1－0)2＋(y 1－c )2＝53c .设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即||k ()－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15.所以，直线l 的斜率为4＋15或4－15. 8．已知椭圆C 的中心在原点，离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的上顶点为A ，在椭圆C 上是否存在点P ，使得向量OP →＋OA →与F A →共线？若存在，求直线AP 的方程；若不存在，简要说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，又离心率e ＝32，右焦点为F (3，0)，∴c a ＝32，c ＝3，∴a ＝2，b 2＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设椭圆C 上存在点P (x 0，y 0)，使得向量OP →＋OA →与F A →共线． ∵OP →＋OA →＝(x 0，y 0＋1)，F A →＝(－3，1)， ∴x 0＝－3(y 0＋1)． ①又点P (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. ② 由①②解得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－837，y 0＝17.∴P (0，－1)或P ()－837，17.当点P 的坐标为(0，－1)时，直线AP 的方程为x ＝0，当点P 的坐标为P ()－837，17时，直线AP 的方程为3x －4y ＋4＝0，故存在满足题意的点P ，直线AP 的方程为x ＝0或3x －4y ＋4＝0.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 上一点N 到Q (0,3)距离的最大值为4，过点M (3,0)的直线交椭圆C 于点A 、B .(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 为椭圆上一点，且满足OA →＋OB →＝tOP →(O 为坐标原点)，当|AB |<3时，求实数t 的取值范围．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设N (x ，y )，则|NQ |＝(x －0)2＋(y －3)2＝4b 2－4y 2＋(y －3)2＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9＝－3(y ＋1)2＋4b 2＋12.当y ＝－1时，|NQ |有最大值4b 2＋12，则4b 2＋12＝4，解得b 2＝1，∴a 2＝4，故椭圆方程是x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，直线AB 的方程为y ＝k (x －3)，由⎩⎨⎧y ＝k (x －3)，x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0.则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2，x 1·x 2＝36k 2－41＋4k 2， Δ＝(－24k 2)2－16(9k 2－1)(1＋4k 2)>0，解得k 2<15.由题意得OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，则x ＝1t (x 1＋x 2)＝24k 2t (1＋4k 2)，y ＝1t (y 1＋y 2)＝1t [k (x 1＋x 2)－6k ]＝－6k t (1＋4k 2). 由点P 在椭圆上，得(24k 2)2t 2(1＋4k 2)2＋144k 2t 2(1＋4k 2)2＝4，化简得36k 2＝t 2(1＋4k 2)．①由|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|<3，得(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]<3，将x 1＋x 2，x 1x 2代入得(1＋k 2)[]242k 4(1＋4k 2)2－4(36k 2－4)1＋4k 2<3，化简，得(8k 2－1)(16k 2＋13)>0，则8k 2－1>0，即k 2>18，∴18<k 2<15.②由①得t 2＝36k 21＋4k 2＝9－91＋4k 2，由②得3<t 2<4，∴－2<t <－3或3<t <2. 故实数t 的取值范围为－2<t <－3或3<t <2.10已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点()1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解 (1)由题意知c ＝1,2a ＝32＋()322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ()－1，－32，B ()－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，可得|AB |＝12(k 2＋1)3＋4k 2，又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2，∴△AF 2B 的面积为12|AB |r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，化简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1， ∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.11如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为()43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a .又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ()43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x c ＋y b ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2ca 2＋c 2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，或⎩⎨⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为()2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为()2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2)a 2＋c2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c3·()－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.12已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，4为长轴长的椭圆．其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ，则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)，则x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23则k OB ＝±22，所以k AB ＝±2，则直线AB 的方程为2x ＋y －6＝0或2x －y －6＝0.13. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解 (1)点P (－2，1)在椭圆上，∴2a 2＋1b2＝1.①又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上，∴M 为PF 2的中点，∴－2＋c ＝0，c ＝ 2.∴a 2－b 2＝2，② 联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)，∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x 12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x 05.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2，∴－10≤－5x 0≤10，即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．。

解析几何试题的背景及拓展

仿射几何与北京高考解析几何试题——2016北京卷第19题的背景和拓展我们知道，圆锥曲线的很多问题都可以在“圆”那里找到源头，那么圆的哪些性质可拓广到其它曲线呢？那些不能照搬的性质，又有什么样的变化形式？举个例子：圆有一个重要的性质——“直径所对的圆周角为直角”。

那么类似的，对于椭圆能得到什么相应的结论呢？设AB 为椭圆22221x y a b +=的“直径”（即过中心的弦），P 为椭圆上一点（异于,A B ），,PA PB 仍垂直吗？会有什么关系？分析：设1100(,),(,)A x y P x y ，则11(,)B x y -， 2201010122010101PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，又因为2200221x y a b +=，2211221x y a b+=，所以22012201y y x x --22b a=-，也就是说直线,PA PB 的斜率之积为定值。

在2010年高考北京卷的第19题涉及到了这个内容：在平面直角坐标系xOy 中，点B与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-。

求动点P的轨迹方程。

这里，实际上就是把上面的问题反过来了。

这些是简单的问题，对于圆的更复杂的性质，圆锥曲线里又会有怎样相应的结论呢？我们知道，对圆锥曲线的研究，思路的起点经常是圆，而圆里面的问题太丰富了，中学教师如果能够把圆锥曲线和圆的关系搞清楚，那么解析几何问题的探索与研究的源泉将永不枯竭。

本文简述仿射几何的几条基本理论，探讨如何把圆里的问题转化到圆锥曲线中去，寻找高等数学观点下的圆锥曲线（包括圆）的一致性，并谈谈在这方面北京卷命题所做的一些探索和实践。

一、仿射几何的几条基本结论结论1: 仿射变换保持同素性. 仿射变换使得点对应点, 直线对应直线. 结论2：仿射变换保持结合性. ,,A B C在直线L 上, 经过仿射变换后, 其对应点',','A B C 在直线L 的对应直线'L 上.结论3：两个封闭图形面积之比经过仿射变化后保持不变。

解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等强化训练专题练习(五)附答案高中数学

A． B． C． D． (汇编福建理）
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．如果以原点为圆心的圆经过双曲线：的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________
3．圆心在抛物线上，并且和抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为▲．
评卷人
得分
二、填空题
2．
3．
评卷人
得分
三、解答题
4．
5．（1）由，c=2，得a= ，b=2．
所求椭圆方程为．…………………………………………………………4分
（2）设，则，
故，．………………………………………………6分
①由题意，得．
化简，得，所以点在以原点为圆心，2为半径的圆上．…………8分
②设，则．
将，，代入上式整理，得
．…………………………………………………………10分
因为，k2>0，所以，．…………………………12分
所以．化简，得
解之，得， .
故离心率的取值范围是 .………………………………………………14分
(说明：不讨论，得的扣2分)
6．
7．（1）设椭圆的标准方程为
评卷人
得分
三、解答题
4．已知椭圆和圆，左顶点和下顶点分别为A，B，且F是椭圆的右焦点.
(1)若点P是曲线上位于第二象限的一点，且△ 的面积为
求证：
(2)点M和N分别是椭圆和圆上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，求证：直线MN恒过定点.
5．已知椭圆的右焦点为，离心率为 .

解析几何大题精选四套(答案)

解析几何大题精选四套（答案）解析几何大题训练（一）1. （2011年高考江西卷) (本小题满分12分）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．2. （2011年高考福建卷)（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b 与抛物线C ：x 2=4y 相切于点A 。

（1）求实数b 的值；（11）求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程.3. (2011年高考天津卷)（本小题满分13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点(,)P a b 满足212||||PF F F =. （Ⅰ）求椭圆的离心率e ;(Ⅱ)设直线2PF 与椭圆相交于A,B 两点.若直线2PF 与圆22(1)(16x y ++-=相交于M,N 两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.4.（2010辽宁）（本小题满分12分）设1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.解析几何大题训练（二）1.（2010辽宁）（本小题满分12分）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I)求椭圆C 的离心率； (II)如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.2.（2010北京）（本小题共14分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(，y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段为直径作圆P,圆心为P 。

解析几何-冲刺2022年高考数学大题限时集训(解析版)

专题05解析几何解析几何作为高考数学必考大题，一般包含圆，椭圆。

双曲线，抛物线相关的综合问题。

一般解答题椭圆与抛物线作为重点，双曲线一般考查小题，但是2021年高考新课标中解答题出现了双曲线。

一般出现在20或21题左右，考查内容主要包含直线过定点，求值或者是相应的范围问题，以及定值问题等，对于直线过定点问题可采用齐次化解。

对于求值以及范围问题一般做法均是万能方法韦达定理去转化。

类型一：斜率之和或之积，直线过定点问题方法一：韦达定理方法二：齐次化解决（简单方便）例题1．12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得:22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b bb +=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---=整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=⇒=-因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n-=--22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则022000220x mx y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.齐次化方法技巧:例如要证明直线AP 与AQ 斜率之和或者斜率之积为定值，将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为mx+ny=1(为什么这样设？因为这样齐次化更加方便)，与圆锥方程联立，一次项乘以mx+ny ，常数项乘以（mx+ny ）²，构造ay ²+bxy+cx ²，然后等式两边同时除以x ²（前面注明x 不等于0），得到，化简为ak ²+bk+c=0，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在反平移回去。

以椭圆和圆为背景的解析几何大题

4.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
试题解析：解：圆M的标准方程为，所以圆心M(6，7)，半径为5，.
（1）由圆心N在直线x=6上，可设 .因为N与x轴相切，与圆M外切，
所以，于是圆N的半径为，从而，解得 .
因此，圆N的标准方程为 .
2.图形与方程（以一
3. 几何性质：
（1）范围
（2）中心坐标原点
（3）顶点
（4）对称轴轴，轴，长轴长，短轴长
（5）焦点焦距，（）
从而圆与圆没有公共点，
所以解得 .
因此，实数t的取值范围是 .
【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算
【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.
2.解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

【高考数学复习解析几何专题】第8讲椭圆与圆-原卷版

第8讲椭圆与圆知识与方法椭圆问题常与圆相伴随,形式常有三类:一是以显性或隐性的辅助圆存在;二是在特殊三角形(如焦点三角形)中研究内切圆或外接圆问题,尤其是以内切圆居多;三是通过仿射变换将椭圆化为圆.在问题的解决中,要充分运用圆的性质、定理等平面几何知识,及平面向量、三角函数等知识. 1.椭圆中的特殊圆如图,对于椭圆()22221x y a b a b+=≠,有两个重要的圆:(1)蒙日圆2222x y a b +=+:从圆上任意一点P 出发作椭圆的两条切线,PA PB ,那么,PA PB 互相垂直;(2)基圆222222a b x y a b +=+:过圆上任意一点P 作圆的切线,与椭圆交于,A B 两点,那么,OA OB 互相垂直,其中22221111||||OA OB a b+=+.问题:在中心为O 的椭圆22221x y a b+=上任取两点,P Q ,使OP OQ ⊥,(1)求证:22221111||||OP OQ a b+=+; (2)中心O 到直线PQ 的距离d 是否为定值? (1)证明:设直线OP 的斜率为k .(1)当k 存在时,且0k ≠.设点()()1122,,,P x y Q x y ,则OP 的方程为,y kx OQ =的方程为1y x k=-.由方程组2222222222,1,y kx a b x x y b a k ab =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩得1l ,()2222222221111222||1.a b OP x y x k x k b a k=+=+=++同理可得()222222222222221||11a b OQ x y x k k a b k⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭. 所以()()222222222222222222221111||||11b a k a b k a b OP OQ a b a b a b k a b k++++=+==+++. (2)当k 不存在时,,OP b OQ a ==,满足. (3)当0k =时,,OP a OQ b ==,满足. 所以22221111||||OP OQ a b +=+成立. (2)因为222222222222||11||111||||||||OP OQ PQ OP OQ PQ dd a b OP OQ ++====+⋅⋅, 显然d 是一个定值. 2.仿射变换设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,作变换,:,xx ay y b ϕ⎧=⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪得单位圆'2'2:1C x y +='.记点()()1122,,,A x y B x y 在变换ϕ下的对应点分别为()()''''1122,,,A x y B x y ,设直线AB 和A B ''的斜率分别为,k k '(斜率存在且非零),AOB 和A O B '''的面积分别为,S S '.则变换ϕ有以下性质:性质1:线性关系不变,即''1212;////AB AC A B A C l l l l λλ=⇔=⇔''''. 性质2:直线,AB A B ''的斜率分别为,,b k k k k a =''或k bk a'=. 证明:()()''2121''2121b y y y y bk k x x a a x x --==--'=. 性质3:S abS ='或Sab S '=. 证明:''''122112211122S x y x y ab x y x y abS =-=-='⋅,即证.性质4:设线段AB 在伸缩变换ϕ下的像为A B '',显然在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系,但是可以利用斜率的不变关系(性质2)寻找,AB A B ''的关系, 即线段AB 所在直线斜率为k ,则'A B A B AB x x A B x x -===-''典型例题【例1】已知椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>,直线1x y +=与椭圆Γ交于,M N 两点,以线段MN 为直径的圆经过原点.若椭圆Γ的离心率不大于,则a 的取值范围为A.(B.⎝C.⎛ ⎝⎦D.⎛ ⎝⎦【例2】设直线 3y x m =+ 与椭圆2212516x y += 交于 ,A B 两点, O 为坐标原点, 则 OAB 的面积的最大值为A.8B.10C.12D.前三个答案都不对【例3】已知 12,F F 为椭圆 22:143x y C += 的左、右焦点, 点 P 在椭圆 C 上移动时, 12PF F 的内心I 的轨迹方程为【例4】已知椭圆 22221(0)x y a b a b+=>> 的左、右焦点分别为 12,,F F P 为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点,,I G 分别为12PF F 的内心、重心.当IG x ⊥轴时,椭圆的离心率为A.13B.12【例5】已知椭圆 22221(0)x y a b a b+=>> 的左、右焦点分别1210,,30F F F 过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于,A B 两点,弦长8AB =.若2ABF 的内切圆的面积为π,则椭圆的离心率为A.2B.6C.12D.3【例6】椭圆22154x y +=的两焦点分别为12,F F ，过椭圆的右焦点2F 作一条直线交椭圆于,P Q 两点,则1F PQ 的内切圆半径的最大值是 .【例7】已知椭圆()22:1,,04x C y P a +=为x 轴上一动点.若存在以点P 为圆心的圆O ,使得椭圆C 与圆O 有四个不同的公共点,则a 的取值范围是 .【例8】已知圆 22:(1)(1)2C x y -+-=, 椭圆 22Γ:12x y +=, 过原点 O 的射线 l 分别与圆C 、椭圆Γ交于点,M N ,点M 不同于点O ,则OM ON ⋅的最大值是 .【例9】如图,设椭圆2221(1)x y a a+=>.(1)求直线1y kx =+被椭圆截得的线段长(用,a k 表示);(2)若任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆离心率的取值范围.【例10】在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 22:4O x y +=, 椭圆22:1,124x y C A += 为椭圆的上顶点.过原点的直线与圆O 交于,M N 两点,且点M 在第一象限,直线AM 与椭圆C 的另一交点为P ,直线AN 与椭圆C 的另一交点为Q .(1)若2AP AM =,求直线AM 的斜率; (2)设AMN 与APQ 的面积分别为12,S S ,求12S S 的最大值.。

【高考数学常考问题】第5讲椭圆与圆-解析版

第5讲椭圆与圆典型例题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e 的取值范围为,直线1y x =-+交椭圆于,M N 两点,O 是坐标原点且OM ON ⊥,则椭圆长轴长的取值范围是A.B. C. D.【答案】C【解析】解法1 ：设点 ()()1122,,,M x y N x y . 由 OM ON ⊥ 得 12120x x y y +=,即()()(12121211102x x x x x x x +--=⇒=+ )21,x - ()*又 222222,1,b x a y a b y x ⎧+=⎨=-⎩得 ()()222222210a b x a x a b +-+-=,所以 ()2221212222212,a b a x x x x a b a b-+==++. 代人 ()* 得 222121b a a =-,所以 221111,2132e a ⎡⎤=-∈⎢⎥-⎣⎦,所以 2a ∈.解法 2 ：椭圆的中心 O 到直线 1y x =-+ 的距离为 d , 则22222111112.||||d OA OB a b=+=+=. 222121b a a =-, 所以 221111,2132e a ⎡⎤=-∈⎢⎥-⎣⎦,所以 2a ∈. 【例2】若,,A B C 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的三点,求ABC 面积的最大值.设P 为椭圆2212516x y +=上一点,12,F F 为椭圆的左、右焦点,I 为12PF F 的内心.若内切圆半径为1,求IP 的长度.【答案】【解析】解法 1 ：由等面积法可得()121222P F Sa c r =+ 8=.记12F PF ∠θ=. 122tan82F PF Sb θ==, 因此 1tan22θ=由此可得sin2θ=,因此sin2r IP θ==.解法 2：如图, 记 ,D E , 由 1210PF PF +=210x y z ⇒++=,1226F F c y z ===+. 所以 2x =,所以 2DP =,而内切圆半径为 1DI =, 所以IP =【例3】已知点()()121,0,1,0,F F M -是第一象限的点,且满足124MF MF +=.若I 是12MF F 的内心,G 是12MF F 的重心,记12IF F 与1GF M 的面积分别为12,S S ,则 A.12S S > B.12S S = C.12S S < D.1S 与2S 大小不确定【答案】 B【解析】由題意得点M 的轨迹方程为22143x y +=,其中2,1,a c b ===如图,设 12MF F 的面积为 S .因为 G 为重心, 所以 213S S =.设 12MF F 的内切圆半径为 r , 则 222S Sr a c a c==++, 所以 111223c S c r S S a c =⋅⋅==+,所以 12S S =.【例4】已知椭圆(22211x y a a+=>)的左、右焦点分别是12,,F F A 是椭圆在第一象限的一个动点,圆C 与1F A 延长线以及线段2AF 相切,且()3,0M 为其中一个切点,则椭圆的离心率为 3222 6 【答案】 B【解析】解法1: 如图,设另外两个切点分别为 ,N R .连结 1,,CF CR CN , CM , 则易知AR AN =∣ 28,F N F M =∣.在 1FCM 中, 22211||FC CM F M =+, 即 2221||(3)FC CM c =++.在 1FCR 中, ()22222111||||.FC CR F R CR F A AR =+=++ 因为 ()1122222323F A AR F A AN a F N a F M a c a c +=+=-=-=--=+-, 所以 323c a c +=+-, 所以 3,22a c ==所以 23e =. 解法 2：由切线长定理得 11F R FM =.因为 ()()1111222223,2223232323F M c F R F A AR F A AF NF a NF a F M a c a c F M a c a c =+=+=+-=-=-=--=+-=--=+- .所以 323c a c +=+-, 得 3,22a c ==所以 23e =【例5】已知椭圆221164x y +=的下顶点为A ,若直线4x ty =+与椭圆交于不同的两点,M N ,则当t =时,AMN 外心的横坐标最大.【答案】2-【解析】由已知可得点 ()0,2A -. 设点 ()4,0M , 则 AMN 外心在 AM 的垂直平分线上,即直线 23y x =-+上.224,01,164x ty y x y =+⎧⎪⇒=⎨+=⎪⎩ 或 284t y t =-+.所以 MN 的中点坐标为 22164,44t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.则 MN 的垂直平分线方程为 244t y t +=+2164t x t ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭, 把23y x =-+ 代人上式,得2364t x t -+=+. 当 AMN 的外心的横坐标2364t t -++ 取得最大值时,必有 0t <, 故 ()23633384442242t x t t t -++==--=+--++- ,当 2t =- 时,函数 ()y g t = 取得极大值,亦为最大值. 【例6】已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b +=>>,若以点()0,2N 为圆心,且与椭圆C ,此时椭圆C 的方程是. 【答案】 221189x y += 【解析】由 c e a ==得 22212a b a -=, 即 222a b =.则椭圆 C 的方程为 222212x y b b +=.设 (),P x y 是椭圆上任一点, 依题意, PN 的最大值为,则()22222||(2)22(PN x y b y y =+-=-+- ()2222)(2)28y b b y b =-+++-.若2b ,则2y =- 时,2max ||2826PN b =+=所以3b =,此时椭圆方程为221189x y +=;若 02b <<, 则 y b =- 时,max ||226PN b =+= 所以 2622b =>, 不成立.综上可得, 椭圆方程为 221189x y +=.【例7】过点()2,1P 、斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于,A B 两点.,C D 是椭圆上相异的两点,满足,CP DP 分别平分,ACB ADB ∠∠.则PCD 外接圆半径的最小值为215B.65 C.2413D.1913【答案】D【解析】解法 1 先固定直线AB ,则BC BD CADA==BP PA为定值.故点,,P C D 在一个阿波罗尼斯圆上,且PCD 的外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ,先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况,BA 的延长线与圆交于点,Q PQ 即为该圆的直径.2,2BP BQ BP rAPAQr AP+==-所以111r AP BP =-.同理, 当BP AP <时, 有 111r BP AP=-.综上, 111r AP BP =-.当直线AB 无斜率时,与椭圆的交点纵坐标为1,1666AP BP ==+ 则 19;12r =当直线AB 斜率存在时,设直线AB 的方程为y ()12k x -=-, 即21y kx k =-+.2221,1,245y kx k x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 ()()()8222454812961k x k k x k k ++-+--0=,设点 ()()1122,A x y B x y ++()()212229614821,245245k k k k x x k k ---=++.所以111r AP BP=- 2212111212k x k x =+⋅-+⋅-21211221x x k =---+. ()()12212221221x x r x x k ---=--+()1222121212541241911k x x x x x x k k++-==-++++设 125t k =+, 则 2121112191910169t r t t ==-+212261319241911169101t t ⨯=⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭.当 15169t = 即 1695t = 时, 125k =, 故 1913r , 又 19191213>, 可得外接圆半径的最小值为1913. 解法 2 如图, 设ACB ∠,ADB ∠的外角平分线交于点Q , 则 ,CP CQ DP DQ ⊥⊥, 所以,,,C P D Q 四点共圆,线段为直径 PQ .设半径为 r .由角平分线定理得 PA CA PBCB=.由外角平分线定理得QA CA QA QBCBQB=⇒=PA PB,即 ,P Q 调和分割 ,A B .记点 (),Q x y .故点Q 在点 P 对应的极线224x +1512600.5yx y =⇒+-= 则 5212160381313PQ d ⨯+⨯-==,所以 1913r . 解法 3: 设 QA PA QBPBλ==,则 0λ> 且 1λ≠.因为 ,,,A P B Q 四点共线, 所以 AP PB λ=-, AQ QB λ= 设点 (),Q x y , 于是12122,111x x y y λλλλ--==--, 1212,11x x y y x y λλλλ++==++. 从而, 22212221x x x λλ-=- (1)2221221y y y λλ-=- (2)又点 ,A B 在梛圆 C 上, 即2211524120x y += (3) 2222524120x y += (4)(1)5⨯+ (2)24⨯, 结合 (3) (4) 两式得 1024x y +=120 ,即点Q 总在直线512600x y +-= 上,所以 523813PQ d ⨯==,即1913r .【例8】已知椭圆222:1(1)x C y a a+=>.(1)若过点2,2P ⎛ ⎝⎭的直线l 与椭圆C 恒有公共点,求实数a 的取值范围;(2)若存在以点()0,2B 为圆心的圆与椭圆C 有四个公共点,求实数a 的取值范围.【答案】 (1) 22;a (2) a >【解析】 (1) 要使得直线l 与椭圆C 恒有公共点,则点2,2P ⎛ ⎝⎭要在椭圆上或者椭圆内, 所以22221a +⎝⎭, 所以 22a .(2)方法 1 要使得圆和椭圆有四个公共点,利用对称性, 可知在椭圆的左半边 (或右半边) 存在不同的两点到点 B 的距离相等.设动点 ()00,Q x y 在椭圆上.BQ ===()()()222000022222222221144,1,1),11,12::(2)(2),,f y a y y a f y a a B x y r x y r x a y a =--++-<<>-+-=⎧+-=⎨+=⎩令使得上不单调所以所以方法设圆整理得 ()22221440a y y a r --++-=,所以存在 r ,使得方程()22221440a yy a r --++-= 在 ()1,1- 上有两个解.令 ()()2222144f y a y y a r =--++-, 对称轴y 221a =-, 只需 22111a -<<-, 所以 a >【例9】如图,已知,,A B C 是焦距为4的椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>上的三点,A是长轴的一个端点,BC 过椭圆的中心,且0,2BC BA BC BA ⋅==.(1)求椭圆G 的方程;(2)过椭圆G 上异于顶点的任意一点P 作圆22:2O x y +=的两条切线,切点分别为M ,N ,若直线MN 分别与x 轴、y 轴交于点,E F ,当EOF 的面积最小时,求PMN 与EOF 的面积之比.【答案】 (1) (221;262x y +=.【解析】 (1) 由题意, 当点 (),0A a 时, 点 B 的坐标可以取 ,22a a ⎛⎫⎪⎝⎭, 代人22221x y a b+=; 又 224a b =+, 所以 222,6b a ==. 故椭圆 G 的方程为 32162x y +=. (2) 设点 ()()()001122,,,,,P x y M x y N x y ，则 2200162x y += (1)切线 MP 的方程为 112x x y y +=; 切线 NP 的方程为 222x x y y +=.因为切线 MP 与切线 NP 都过点 P ,故 101020202;2x x y y x x y y +=+=, 即点 ,M N 都在直线 002x x y y += 上,故直线 MN 的方程为 002x x y y +=.令 0y =, 得点 02,0E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭;令 0x = 得点 020,F y ⎛⎫⎪⎝⎭.故000012222DOPSx y x y =⋅=. 由(1式得22001262x y ⋅=所以003x y , 当且仅当 001x y == 时取得等号.故 0000122222233BBFSx y x y=⋅==即EOF的面积的最小值为.此时原点O 到直线MN 的距离1d =1=,点P 到直线MN的距离21d ==.故2,MN PMN ==的面积PMNS2112MN d =⋅= PMN 与EOF的面积之比为=.。

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【名师精讲指南篇】【高考真题再现】例1 【2015高考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =-或1y x =-+．【解析】试题解析：（1）由题意，得22c a =且23a c c +=，解得2a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）当x AB ⊥轴时，2AB =C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210kxk x k +-+-=，则()22 1,2222112k k xk±+=+，C的坐标为2222,1212k kk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，且()()()()()222222121212221112kx x y y k x xk+AB=-+-=+-=+．若0k=，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．从而0k≠，故直线CP的方程为222121212k ky xk k k⎛⎫+=--⎪++⎝⎭，则P点的坐标为()22522,12kk k⎛⎫+⎪-⎪+⎝⎭，从而()()2222311C12k kk k++P=+．因为C2P=AB，所以()()()2222223114211212k k kkk k+++=++，解得1k=±．此时直线AB方程为1y x=-或1y x=-+．例2 【2016高考】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:221214600x y x y+--+=及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得,TA TP TQ+=u u r u u r u u u r，数t的取值围.【答案】（1）22(6)(1)1x y-+-=（2）:25215l y x y x=+=-或（3）22212221t-≤≤+【解析】试题解析：解：圆M的标准方程为()()226725x y-+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5，.（1）由圆心N 在直线x =6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()22611x y -+-=. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y =2x +m ，即2x -y +m =0，则圆心M 到直线l 的距离d ==因为BC OA ===而222,2BC MC d =+（）所以()252555m +=+，解得m =5或m =-15.故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. (3)设()()1122,,,.P x y Q x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ，所以212124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩ ……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上，从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦没有公共点，所以5555,-≤≤+解得22t -≤+因此，实数t的取值围是22⎡-+⎣.【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P 为主元，揭示P 在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.例3 【2017高考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）4737(,)．试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是223b a c =-=E 的标准方程是22143x y+=．因为点Q在椭圆上，由对称性，得21xyy-=±，即22001x y-=或22001x y+=．又P在椭圆E上，故22001 43x y+=．由220022001143x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得004737x y==220022001143x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P的坐标为4737 (．【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上（点的坐标满足曲线方程）等．【热点深度剖析】1. 圆锥曲线的解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2017年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．2. 解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量围构造不等关系”等等.3. .避免繁复运算的基本方法：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的方法等，一般以直接性和间接性为基本原则.“设而不求”、“点代法”等方法的运用就是主动的“所谓寻求”.4. 定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．5.预计18年将继续将解几大题作为探究能力考查的“试验田”，考查定点、定值问题的可能性较大. 【最新考纲解读】【重点知识整合】一、1.椭圆的定义：（1）第一定义：平面到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹. （2）第二定义：平面与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）.。

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