以椭圆和圆为背景的解析几何大题
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【名师精讲指南篇】 【高考真题再现】
例1 【2015高考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的离心率为2
2，
且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；
（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.
【答案】（1）2
212
x y +=（2）1y x =-或1y x =-+．
【解析】
试题解析：（1）由题意，得2
2
c a =且23a c c +=，
解得2a =
1c =，则1b =，
所以椭圆的标准方程为2
212
x y +=．
（2）当x AB ⊥轴时，2AB =
C 3P =，不合题意．
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(
)()2
2
22124210k
x
k x k +-+-=，
则
()
22 1,22
221
12
k k x
k
±+
=
+
，C的坐标为
2
22
2
,
1212
k k
k k
⎛⎫
-
⎪
++
⎝⎭
，且
()()()()
()2
222
2
2121212
221
1
12
k
x x y y k x x
k
+
AB=-+-=+-=
+
．
若0
k=，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．
从而0
k≠，故直线C
P的方程为
2
22
12
1212
k k
y x
k k k
⎛⎫
+=--
⎪
++
⎝⎭
，
则P点的坐标为()
2
2
52
2,
12
k
k k
⎛⎫
+
⎪
-
⎪
+
⎝⎭
，从而
()
()
22
2
2311
C
12
k k
k k
++
P=
+
．
因为C2
P=AB，所以
()
()
()
222
2
2
2311421
12
12
k k k
k
k k
+++
=
+
+
，解得1
k=±．
此时直线AB方程为1
y x
=-或1
y x
=-+．
例2 【2016高考】
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:221214600
x y x y
+--+=及其上一点A(2，4).
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得,
TA TP TQ
+=
u u r u u r u u u r
，数t的取值围.
【答案】（1）22
(6)(1)1
x y
-+-=（2）:25215
l y x y x
=+=-
或（3）22212221
t
-≤≤+
【解析】
试题解析：解：圆M的标准方程为()()
22
6725
x y
-+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5，.
（1）由圆心N 在直线x =6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 的标准方程为()()2
2
611x y -+-=. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为
40
220
-=-. 设直线l 的方程为y =2x +m ，即2x -y +m =0， 则圆心M 到直线l 的距离
d =
=
因为BC OA ===
而222
,2
BC MC d =+（
） 所以()2
52555
m +=
+，解得m =5或m =-15.
故直线l 的方程为2x -y +5=0或2x -y -15=0. (3)设()()1122,,,.P x y Q x y
因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ，所以212124
x x t
y y =+-⎧⎨=+⎩ ……①
因为点Q 在圆M 上，所以()()2
2
226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22
114325x t y --+-=.
于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()22
4325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()2
2
6725x y -+-=与圆()()22
4325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦没有公共点， 所以
5555,-≤
≤+
解得22t -≤
+因此，实数t
的取值围是22⎡-+⎣.
【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算
【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问