新教材高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直课时作业34直线与直线垂直课件新人教A版必修二

2021_2022学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.6.3第1课时二面角及平面与平面垂直的判定

B．α⊥β⇒l∥m
C．l∥m⇒α⊥β
D．l⊥m⇒α∥β
AC [∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故A正确； ∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故C正确．]
1234 5
4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于 ________．
1234 5
4．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A．1对 C．3对
B．2对 D．5对
D [∵四边形ABCD是矩形，∴DA⊥AB．又PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥DA．又AB∩PA＝A，
∴DA⊥平面PAB．同理BC⊥平面PAB．又易证AB⊥平面PAD， DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面 PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5 对．]
2．求二面角大小的步骤 (1)找出这个平面角； (2)证明这个角是二面角的平面角； (3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．
[跟进训练]
1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,
AC＝
1 2
AD，求平面
ABD
与平面BCD 所成的二面角的大小．
[解] 因为AC⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD，所以BD⊥AC．又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面 ACD．因为AD⊂平面 ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝12AD，所以∠ADC＝30°．即平面ABD与平面BCD所成的二面角为30°．
()
A．0个
B．1个
C．无数个

高中数学第八章立体几何初步8.6.3平面与平面垂直一同步练习含解析新人教A版必修第二册

课时素养评价三十二平面与平面垂直(一)(15分钟30分)1.设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β(A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m【解析】选A.因为l⊥β,l⊂α,所以α⊥β(面面垂直的判定定理),故A正确.【补偿训练】已知直线a,b与平面α,β,γ,下列能使α⊥β成立的条件是(A.α⊥γ,β⊥γB.α∩β=a,b⊥a,b⊂βC.a∥β,a∥αD.a∥α,a⊥β【解析】选D.由a∥α,知α内必有直线l与a平行.而a⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β.2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为(A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定【解析】选B.由PB⊥α,得PB⊥AC,又PC⊥AC,且PB∩PC=P,故AC⊥平面PBC,所以AC⊥BC,则△ABC为直角三角形.3.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系为( A.相等 B.互补C.相等或互补D.不确定【解析】选D.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是CD,C1D1的中点,二面角D -AA1-E与二面角B1-AB-D 的两个半平面就是分别对应垂直的,但是这两个二面角既不相等,也不互补.4.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E是CC1的中点,则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是.(填“垂直”“不垂直”其中的一个)【解析】如图,在正方体中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BD.又AC⊥BD,CC1∩AC=C,所以BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD,所以平面EBD⊥平面AA1C1C.答案:垂直5.以等腰直角三角形斜边上的高为棱,把它折成直二面角,则折叠后原等腰直角三角形两条直角边的夹角为.【解析】如图所示,是等腰直角三角形ABC以斜边AB上的高CD为棱,折成直二面角后的图形,折叠后AD⊥CD,BD⊥DC,∠ADB即所成二面角的平面角,故∠ADB=90°.设AD=a,则有BD=CD=a,所以AB=AC=BC=a,所以△ABC是等边三角形,所以折叠后原等腰直角三角形两条直角边AC,BC的夹角为60°.答案:60°6.(2020·合肥高一检测)如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,(1)求证:DB1⊥AC;(2)求证:平面A1B1CD⊥平面ACD1.【证明】(1)连接BD、B1D1,因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC,又AC⊥BD,BD∩DD1=D,BD、DD1⊂平面DBB1D1,所以AC⊥平面DBB1D1,又DB1⊂平面DBB1D1,所以DB1⊥AC.(2)由(1)同理可得DB1⊥AD1,又AD1∩AC=A,AD1,AC⊂平面ACD1,所以DB1⊥平面ACD1,又DB1⊂平面A1B1CD,所以平面A1B1CD⊥平面ACD1.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:β∩γ=l,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有(A.α⊥γ且l⊥mB.α⊥γ且m∥βC.m∥β且l⊥mD.α∥β且α⊥γ【解析】选A.B错,有可能m与β相交;C错,有可能m与β相交;D错,有可能α与β相交.2.如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC -A的平面角为(A.∠PACB.∠CPAC.∠PCAD.∠CAB【解析】选C.因为AB为圆的直径,所以AC⊥BC.因为PA⊥BC,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC.所以BC⊥PC.所以∠PCA为二面角P-BC -A的平面角.3.如图,在四棱锥S -ABCD中,底面ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,AC与BD相交于点O,点P是侧棱SC上一动点,则一定与平面PBD垂直的平面是(A.平面SABB.平面SACC.平面SCDD.平面ABCD【解析】选B.因为在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,所以BD⊥AC.因为SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BD.因为SA∩AC=A,所以BD⊥平面SAC.因为BD⊂平面PBD,所以平面PBD⊥平面SAC.4.将锐角A为60°,边长为a的菱形沿BD折成60°的二面角,则折叠后A与C之间的距离为(A.aB. aC. aD. a【解析】选C.设折叠后点A到A1的位置,取BD的中点E,连接A1E,CE.则BD⊥CE,BD⊥A1E.于是∠A1EC为二面角A1-BD -C的平面角.故∠A1EC=60°.因为A1E=CE,所以△A1EC是等边三角形.所以A1E=CE=A1C= a.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面ABCD为菱形,M是PC上的一个动点,若要使得平面MBD⊥平面PCD,则应补充的一个条件可以是(A.MD⊥MBB.MD⊥PCC.AB⊥ADD.BM⊥PC【解析】选BD.连接AC,BD,BM,MD.因为在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,所以BD⊥PA,BD⊥AC,因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD.而PC属于平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.6.(2020·抚顺高一检测)已知正方形ABCD的边长为2,若将正方形ABCD沿对角线BD折叠为三棱锥A-BCD,则在折叠过程中,能出现(A.BD⊥ACB.平面ABD⊥平面CBDC.V A-CBD=D.AB⊥CD【解析】选ABC.设正方形中心为O,则BD⊥OC,BD⊥OA,且OC∩OA=O,所以BD⊥平面AOC,所以BD⊥AC,故A正确;因为∠AOC为二面角A-BD -C的平面角,所以当∠AOC=时,平面ABD⊥平面CBD,故B正确;当∠AOC=时,V A-BCD取得最大值为S△BCD·OA=×2×=,所以三棱锥A-BCD的体积的取值范围是,故C正确;若AB⊥CD,又BC⊥CD,则CD⊥平面ABC,所以CD⊥AC,所以AD>CD,显然这与AD=CD矛盾,故AB与CD不垂直.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,二面角α-l-β的大小是60°,线段AB⊂α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是.【解析】如图,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ,由图得sin θ==·=sin 30°·sin 60°=.答案:8.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是(填序号).①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD与平面ABC所成的角为45°.【解析】因为AD∥BC,PB与BC不垂直,故PB与AD不垂直,①不正确;由PA⊥AB,AE⊥AB,PA∩AE=A,得AB⊥平面PAE,因为AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE,②正确;延长CB,EA,两者相交,因此BC与平面PAE相交,③不正确;由于PA⊥平面ABC,所以∠PDA 就是直线PD与平面ABC所成的角,由PA=2AB,AD=2AB,得PA=AD,所以∠PDA=45°,④正确.答案:②④四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在长方体ABCD -A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F分别在AD和BC上,且EF∥AB.若二面角C1-EF-C等于45°,求BF的值.【解析】因为AB⊥平面BC1,C1F⊂平面BC1,CF⊂平面BC1,所以AB⊥C1F,AB⊥CF.又EF∥AB,所以C1F⊥EF,CF⊥EF,所以∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角,即∠C1FC=45°.所以△FCC1是等腰直角三角形,所以CF=CC1=AA1=1.又BC=2,所以BF=BC-CF=2-1=1.10.(2020·新乡高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠CDA=90°,PA⊥平面ABCD,PA=AD=DC=1,AB=2.(1)证明:平面PAC⊥平面PBC;(2)求点D到平面PBC的距离.【解析】(1)由已知得AC==,BC==,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,所以BC⊥AC,因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC,因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.(2)由(1)得BC⊥平面PAC,BC⊥AC,BC=,所以PC==,设点D到平面PBC的距离为d,因为V P-BCD=V D -PBC,所以××DC×AD×PA=××PC×BC×d,所以××1×1×1=××××d,解得d=,所以点D到平面PBC的距离为.1.如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则在三棱锥P-ABC的四个面中,互相垂直的面有对.【解析】因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.因为PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,所以平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可证平面PAB⊥平面PAC.答案:32.如图,在三棱台DEF-ABC中, AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.【证明】(1)如图所示,连接DG,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,所以AC=2DF.因为G是AC的中点,所以DF∥GC,且DF=GC,所以四边形CFDG是平行四边形,所以DM=MC.因为BH=HC,所以MH∥BD.又BD⊄平面FGH,MH⊂平面FGH,所以BD∥平面FGH.(2)因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.因为AB⊥BC,所以GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,所以四边形EFCH是平行四边形,所以CF∥HE.因为CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD, 所以平面BCD⊥平面EGH.。

新必修二-第八章.立体几何初步-8.6空间直线、平面的垂直(知识点一：直线与平面垂直)

8.6空间直线、平面的垂直（知识点一：直线与平面垂直）一．选择题（共30小题）1．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝，D为直角边BC上的一点，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H 在线段AB上，设AH＝x，则x的取值范围是（）A．（1，）B．（，1）C．（，）D．（0，1）2．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F 的长的最大值为（）A．B．C．D．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AP＝2，AB ＝BC＝1，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设PF＝λPC，则λ＝（）A．B．C．D．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（）A．A1C⊥面AB1D1B．A1C⊥面AB1C1DC．A1B⊥面AB1D1D．A1B⊥AD15．如图，在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5B．6C．7D．86．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC，则点S在平面ABC的射影一定在（）A．BC边的中线上B．BC边的高线上C．BC边的中垂线上D．∠BAC的平分线上8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C9．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能使a⊥b成立是（）A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN⊥CC1B．MN⊥平面ACC1A1C．MN∥AB D．MN∥平面ABCD11．已知三条直线a，b，c及平面α，具备以下哪一条件时a∥b？（）A．a∥α，b∥αB．a⊥c，b⊥cC．a⊥c，c⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α12．如图在矩形ABCD中，，BC＝2，将△ACD沿着AC折起．使得D折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，其中面面互相垂直的对数为（）A．2对B．3对C．4对D．5对13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论中正确的有：（）①总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE；②总有BM∥平面A1DE；③存在某个位置，使DE⊥A1C．A．①②B．①③C．②③D．①②③14．在空间直角坐标系中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，c），D（2，d，﹣1），若直线OD⊥平面ABC，则实数c，d的值分别是（）A．2，﹣1B．﹣2，1C．，1D．，﹣115．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB1⊥BC，则B1在底面ABC上的射影H 必在（）A．直线AC上B．直线BC上C．直线AB上D．△ABC内部16．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④17．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，BC⊥AC求证：BC⊥P A证明：因为平面P AC⊥平面ABC平面P AC∩平面ABC＝ACBC⊥AC，BC⊂平面ABC所以______．因为P A⊂平面P AC．所以BC⊥P AA．AB⊥底面P AC B．AC⊥底面PBC C．BC⊥底面P AC D．AB⊥底面PBC 18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部19．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内（）A．不存在与l垂直的直线B．存在一条与l垂直的直线C．存在无数条与l垂直的直线D．任一条都与l垂直20．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（）A．4B．C．D．21．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则（）A．AE⊥CC1B．AE⊥B1D1C．AE⊥BC D．AE⊥CD22．已知P是△ABC所在平面外一点，P A，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心23．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A．B．C．D．24．如图所示，已知P A⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，令PD＝x，∠BPC＝θ，则（）A．B．C．D．25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC中直角三角形的个数为（）A．4B．3C．2D．126．如图，在下列四个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是（）A．B．C．D．27．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为（）A．B．C．3D．428．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（）A．B．1C．D．229．下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．同一平面的两条垂线一定共面30．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断错误的是（）A．A1D与AC所成角为60°B．A1D⊥BC1C．A1D⊥AC1D．A1D⊥B1D1二．填空题（共20小题）31．已知四边形ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件时，有PC⊥BD（填上你认为正确的一个条件即可）．32．如图，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝，则球O的体积等于．33．如图，矩形ABCD的长AB＝2，宽AD＝x，若P A⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得PQ⊥BQ，则x的范围是．34．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，则四个侧面△P AB，△PBC，△PCD，△P AD中，有个直角三角形．35．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝x，将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则．①∀x∈（0，2），都存在某个位置，使得AB⊥CD②∀x∈（0，2），都不存在某个位置，使得AB⊥CD③∀x＞1，都存在某个位置，使得AB⊥CD④∀x＞1，都不存在某个位置，使得AB⊥CD36．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝．37．已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是．38．在三棱锥P﹣ABC中，点O是点P在底面ABC内的射影．①若P A＝PB＝PC，则O是△ABC心；②若P A⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的心；③若侧面P AB，PBC，P AC与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的心．39．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．其中正确的是（填序号）．40．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD．已知AB＝1，AA1＝，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为．41．边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将△AEF沿EF折起，此时A 点的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，则A'B＝．42．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，PB＝BC，F为BC的中点，DE垂直平分PC，且DE分别交AC，PC于点D，E．（1）证明：EF∥平面ABP；（2）证明：BD⊥AC．43．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．（1）若P A、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的心；（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的心；（3）若P A⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的心；（4）若P A、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的心．44．如图，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝3，点E在CD上，若PE⊥BE，则PE＝．45．已知三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两垂直，则点P在底面内的射影是△ABC的心．46．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线P A垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：①MO∥平面P AC；②P A∥平面MOB；③OC⊥平面P AC；④平面P AC⊥平面PBC．其中正确的命题的序号是．47．已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC＝1，AC＝2，AB＝．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为．48．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线AA1垂直的条数共有条．49．若△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，PC⊥平面ABC，PC＝2，P′是AB 上的动点，则△PP′C的面积的最小值为．50．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝时，CF⊥平面B1DF．8.6空间直线、平面的垂直（知识点一：直线与平面垂直）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D ＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH＝，当CD＜1时，AH＞＝，由此能求出x的取值范围．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH＝，当CD＜1时，AH＞＝，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．【分析】以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段C1F长的最大值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，设F（0，a，b），0≤a≤1，0≤b≤2，由题意得A（1，0，2），B1（0，1，0），C1（0，0，0），D（，0），＝（﹣1，1，﹣2），＝（，0），＝（0，a，b），∵AB1⊥平面C1DF，∴，解得a＝2b，∴F（0，2b，b），∵0≤a≤1，0≤b≤2，a＝2b，∴0，∴线段C1F的长的最大值为：||＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查线段长的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．【分析】延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，由已知可确定点F为三角形的重心，从而可得答案．【解答】解：延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，平面ABE即为平面AEG，连接PG，因为AD＝2BC，且AD∥BC，可得点C，B分别是DG和AG的中点，又点E是PD的中点，即GE和PC分别为△PDG的中线，从而可得点F为△PDG的重心，即PF＝λPC，可得λ＝，故选：C．【点评】本题考查平面的确定和三角形的重心的性质，考查分析和推理能力，属于中档题．4．【分析】由已知证明A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，得A1C⊥平面AB1D1，说明A正确，B不正确，再求出A1B与AD1所成角为60°，说明C，D错误．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，则A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，则A1C⊥平面AB1D1，故A正确，B不正确；连接D1C，AC，则∠AD1C为A1B与AD1所成角，为60°，故C、D不正确．故选：A．【点评】本题考查直线与平面存在着的判定，考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5．【分析】在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，由此能求出图中直角三角形的个数．【解答】解：∵在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，∴图中直角三角形有：△ABD，△ADC，△P AD，△P AB，△P AC，△PBD，△PCD，共7个．故选：C．【点评】本题考查直角三个形个数的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．【分析】根据题意，由直线与平面垂直的性质，结合充分必要条件的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，“a⊥α”，又由平面α∥β，则有“a⊥β”，则“a⊥α”是“a⊥β”的充分条件，反之，若“a⊥β”，又由平面α∥β，则有“a⊥α”，则“a⊥β”是“a⊥β”的必要条件，则“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件；故选：C．【点评】本题考查充分必要条件的判定，涉及直线与平面垂直的性质，属于基础题．7．【分析】设点S在平面ABC上的射影为O，连结OA、OB、OC，由SA＝SB＝SC，得到O是△ABC的外心，从而点S在平面ABC的射影一定在BC边的中垂线上．【解答】解：设点S在平面ABC上的射影为O，连结OA、OB、OC，∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，∴点S在平面ABC的射影一定在BC边的中垂线上．故选：C．【点评】本题考查三棱锥中顶点到底面上的射影位置的判断，考查空间位置关系和空间思维能力的培养，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8．【分析】推导出B1C⊥BC1，B1C⊥AB，从而B1C⊥平面ABC1D1，由此能得到AP⊥B1C．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵点P是线段BC1上任意一点，∴AP⊥B1C．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．【分析】在A中，a，b相交、平行或异面；在B中，a，b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质定理得a⊥b；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：在A中，∵a⊥c，b⊥c，∴a，b相交、平行或异面，故A错误；在B中，∵α⊥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b相交、平行或异面，故B错误；在C中，∵a⊥α，b∥α，∴由线面垂直的性质定理得a⊥b，故C正确；在D中，∵a⊥α，b⊥α，∴由线面垂直的性质定理得a∥b，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），＝（﹣1，﹣1，0），＝（0，0，2），∴•＝0，∴MN⊥CC1，故A正确；A（2，0，0），＝（﹣2，2，0），＝2﹣2+0＝0，∴AC⊥MN，又MN⊥CC1，AC∩CC1＝C，∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；∵＝（0，2，0），＝（﹣1，﹣1，0），∴MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量＝（0，0，1），＝0，又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．【分析】在A中，a，b相交、平行或异面；在B中，a，b相交、平行或异面；在C中，a，b相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．【解答】解：在A中，∵a∥α，b∥α，∴a，b相交、平行或异面，故A错误；在B中，∵a⊥c，b⊥c，∴a，b相交、平行或异面，故B错误；在C中，∵a⊥c，c⊥α，b∥α，∴a，b相交、平行或异面，故C错误；在D中，∵a⊥α，b⊥α，∴由线面垂直的性质定理得a∥b，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12．【分析】设D1在平面ABC的射影为E，连接D1E，根据线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定定理寻找互相垂直的平面．【解答】解：设D1在平面ABC的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，∵D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC．∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1，又BC⊂平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1，∵平面BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1．∴共有3对平面互相垂直．故选：B．【点评】本题考查互相垂直的平面的对数的判断，考查线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定等基础知识，是中档题．13．【分析】在①中，总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE；在②中，取CD中点F，连接MF，BF，可得平面MBF∥平面A1DE，总有BM∥平面A1DE；在③中，A1C在平面ABCD 中的射影为AC，AC与DE不垂直，从而DE与A1C不垂直．【解答】解：在①中，总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE，①正确；在②中，取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，由MF∥A1D与FB∥ED，可得平面MBF∥平面A1DE，∴总有BM∥平面A1DE，故②正确；在③中，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故③错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14．【分析】求出＝（2，d，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，c），由直线OD ⊥平面ABC，列出方程组，能求出实数c，d的值．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，c），D（2，d，﹣1），∴＝（2，d，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，c），∴，解得c＝﹣2，d＝1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．【分析】由题意知要判断B1在底面ABC上的射影H，需要看过这个点向底面做射影，观察射影的位置，根据BC与一个平面上的两条直线垂直，得到BC与两条直线组成的面垂直，根据面面垂直的判断和性质，得到结果．【解答】解：∵在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB1⊥BC，∴BC⊥AC，又AC∩AB1＝A，∴BC⊥平面ACB1，BC⊂平面ABC，∴平面ACB1⊥平面ABC，∴B1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AC上．故选：A．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．【分析】设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC＝a，①利用面面垂直的性质定理易证BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，从而可知BD⊥AC，可判断①；②依题意及设法可知，AB＝AC＝a，BD＝CD＝a，利用勾股定理可求得BC＝•a＝a，从而可判断②；③又因为DA＝DB＝DC，根据正三棱锥的定义判断；④作出平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，利用BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，从而可判断④．【解答】解：设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC＝a，①∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD＝AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABD，∴BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，∴BD⊥AC，故①正确；②由A知，BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，又BD＝CD＝a，∴由勾股定理得：BC＝•a＝a，又AB＝AC＝a，∴△ABC是等边三角形，故②正确；③∵△ABC是等边三角形，DA＝DB＝DC，∴三棱锥D﹣ABC是正三棱锥，故③正确．④∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误；综上所述，正确的结论是①②③．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面垂直的判定与应用，考查二面角的作图与运算，属于中档题．17．【分析】根据面面垂直的性质定理判断即可．【解答】解：根据面面垂直的性质定理判定得：BC⊥底面P AC，故选：C．【点评】本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题．18．【分析】由条件，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．【解答】解：如图：∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，∴AC⊥BC1，而BC1、AB为平面ABC1的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选：B．【点评】本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题．19．【分析】平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故可得结论．【解答】解：平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故A、B不正确，C正确；若在平面α内，任一条都与l垂直，则直线l与平面α垂直，与题设矛盾，故D不正确故选：C．【点评】本题考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．【分析】取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，由此可得使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长．【解答】解：如图，取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则MG∥BC，∵BC⊥平面ABA1B1，NB⊂平面ABA1B1，∴NB⊥MG，∵正方体的棱长为1，M，N分别是A1B1，BB1的中点，△BEM中，易得∠MBE＝∠MAB，可得∠MEB＝∠ABM＝90°，可得：BN⊥AM，MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，∵正方体的棱长为1，∴故由勾股定理可得，使B1C与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长等于2+．故选：D．【点评】本题主要考查了立体几何中的轨迹问题，考查学生的分析解决问题的能力，解题的关键是确定使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹，属于中档题．21．【分析】根据线面垂直和线线垂直的性质判断即可．【解答】解：如图示：，连接AC，BD，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥ABCD，∴BD⊥AC，BD⊥CE，而AC∩CE＝C，故BD⊥平面ACE，∵BD∥B1D1，且B1D1⊊ACE，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE，故选：B．【点评】本题考查了线线，线面垂直的性质及判定，考查数形结合思想，是一道基础题．22．【分析】点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，从而证得BE⊥AC、AD⊥BC，符合这一性质的点O是△ABC垂心．【解答】解：过P点作PO⊥平面ABC，垂足为O，连结AO并延长，交BC与D，连结BO并延长，交AC与E；因P A⊥PB，P A⊥PC，故P A⊥面PBC，故P A⊥BC；因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面P AO，故AO⊥BC即AD⊥BC；同理：BE⊥AC；故O是△ABC的垂心．故选：C．【点评】本题考查线面垂直的定义与三角形的全等，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．【分析】由已知几何体为正方体，利用线面垂直的判定逐一分析四个选项得答案．【解答】解：对于A，连接CD，则MN∥CD，在正方体AB中，可证AB⊥CD，则AB⊥MN，同理AB⊥MQ，则有直线AB⊥平面MNQ；对于B，连接CD，则MN∥CD，在正方体AB中，可证AB⊥CD，则AB⊥MN，又AB ⊥NQ，可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，显然AB⊥NQ，连接CD，可得AB∥CD，CD⊥MQ，则AB⊥MQ，∴直线AB ⊥平面MNQ；对于D，若AB⊥平面MNQ，则AB⊥MN，则AB⊥AC，而∠ACB为直角，矛盾，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选：D．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．24．【分析】由P A⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，利用x表示P A，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ．【解答】解：∵P A⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，设PD＝x，∴可求得：AC＝，AB＝，P A＝，PC＝，BP＝，∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ＝＝，∴tan2θ＝﹣1＝﹣1＝，∴tanθ＝．故选：A．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．25．【分析】由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，能推导出BC⊥平面P AB．由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∴BC⊥P A，BC⊥AB，∵P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB．∴四面体P﹣ABC中直角三角形有△P AC，△P AB，△ABC，△PBC．故选：A．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．26．【分析】画出截面图形，利用直线与平面垂直的判定定理判断即可．【解答】解：如图在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选：D．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．27．【分析】推导出PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，由此能求出的值．【解答】解：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，则，∵AB＝2BC，∴DE＝＝CD，∴＝3．故选：C．【点评】本题考查两线段长的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．28．【分析】作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求，由C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，则C1D⊥AB1，AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，满足线面垂直的判定定理，则AB1⊥平面C1DF【解答】解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF．四边形AA1B1B为矩形，此时点F为B1B的中点．如图则有△AA1B1∽DB1F，即⇒．故选：A．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定．应熟练记忆直线与平面垂直的判定定理，属于中档题．29．【分析】对于A，空间中，一组对边平行可确定此四边形为平面四边形，再利用平行四边形的判定定理可判断①正确；对于B，由面面垂直的判定定理可判断②错误；对于C，由平面公理三得正确；对于D，同一平面的两条垂线一定平行，两平行线确定一个平面，可得共面．【解答】解：对于A，空间中，一组对边平行，则此四边形为平面四边形，由平行四边形的判定定理可知正确；对于B，当一条直线与已知平面垂直时，过这条直线的所有平面都与已知平面垂直，此时不唯一，故错误；对于C，由平面公理三得过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内，故正确；对于D，同一平面的两条垂线一定平行，两平行线确定一个平面，所以共面．正确．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，着重考查平面的基本性质等考点的理解，考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查空间想象能力，属于中档题．30．【分析】在A中，由A1D∥B1C，得∠ACB1是A1D与AC所成角，由AC＝B1C＝AB1，得A1D与AC所成角为60°；在B中，由C1B∥AD1，且A1D⊥AD1，得A1D⊥C1B；在C中，由A1D⊥平面AD1C1，得A1D⊥AC1；在D中，A1D与B1D1成60°角．【解答】解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1知在A中，∵A1D∥B1C，∴∠ACB1是A1D与AC所成角，∵AC＝B1C＝AB1，∴∠ACB1＝60°，∴A1D与AC所成角为60°，故A正确；在B中，∵C1B∥AD1，且A1D⊥AD1，∴A1D⊥C1B，故B正确；在C中，∵A1D⊥C1D1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥平面AD1C1，∵AC1⊂平面AD1C1，∴A1D⊥AC1，故C正确；在D中，A1D与B1D1成60°角，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．二．填空题（共20小题）31．【分析】推导出BD⊥P A，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，从而BD⊥平面P AC，进而PC⊥BD．【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，∴BD⊥P A，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴PC⊥BD．故答案为：四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查满足线线垂直的条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．32．【分析】取CD中点M，证明BC⊥BD，故而M为外接球的球心，利用勾股定理计算出半径，代入体积公式得出答案．【解答】解：取CD的中点M，连接MA，MB，∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AD，又BC⊥AB，AB∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD，又BD⊂平面ABD，∴BC⊥BD，∴△ACD，△ABD都是直角三角形，∴MA＝MB＝MC＝MD，∴M为外接球的球心，∵AD＝AB＝BC＝，∴BD＝2，CD＝＝，∴外接球半径为r＝．∴外接球的体积V＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．33．【分析】依据三垂线定理，要使PQ⊥BQ，必须有AQ⊥BQ，即以AB为直径的圆应与CD有公共点即可，从而可求x的范围．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD，BQ⊂平面ABCD，∴P A⊥BQ；要使PQ⊥BQ，依三垂线定理得，必须有AQ⊥BQ，而Q为矩形的边CD上的一个点，∴以AB为直径的圆应与CD有公共点，∵AB＝2，宽AD＝x，∴0＜x≤1．故答案为：0＜x≤1．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，考查等价转化思想，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．34．【分析】首先由线面垂直得P A⊥AB，P A⊥AD；再证BC⊥平面P AB，得到△PBC为直角三角形，同理得另一个也是．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD∴P A⊥AB，P A⊥AD∴△P AB，△P AD为直角三角形事实上，BC⊥P A，BC⊥AB∴BC⊥平面P AB∴BC⊥PB∴△PBC为直角三角形同理△PDC为直角三角形∴四个侧面三角形均为直角三角形．【点评】此题考查了线面垂直与线线垂直之间的关系，难度不大．35．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当a＝1时，满足AB⊥CD，当a≠1时，不满足AB⊥CD，当a＝0时，点A1位于yoz坐标平面内，b2+c2＝1，0＜b＜1，x＝。

新人教版高中数学必修第二册第8章 8.6.1 第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定

8．6空间直线、平面的垂直8．6.1直线与直线垂直8．6.2直线与平面垂直第1课时直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定考点学习目标核心素养异面直线所成的角会用两条异面直线所成角的定义，找出或作出异面直线所成的角，会在三角形中求简单的异面直线所成的角直观想象、逻辑推理、数学运算直线与平面垂直的定义理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任意”两字的重要性直观想象直线与平面垂直的判定定理掌握直线与平面垂直的判定定理，并能解决有关线面垂直的问题直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P146－P150的内容，思考以下问题：1．异面直线所成的角的定义是什么？2．异面直线所成的角的范围是什么？3．异面直线垂直的定理是什么？4．直线与平面垂直的定义是什么？5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b垂直，记作a⊥b．(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.■[名师点拨]当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直定义一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足图示及画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直■名师点拨(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直图形语言符号语言l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α■名师点拨判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．()(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．()答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是() A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则()A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：C在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD 为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD 所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BF═∥CG，因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，在三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成的角．解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ，所以EG ∥CD ，GF ∥AB ，且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形．所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.直线与平面垂直的定义(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行．相交 C ．异面．垂直(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交．又因为m⊂α，所以l与m相交或异面．由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．(2)对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直于α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．【答案】(1)A(2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④直线与平面垂直的判定如图，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC.又AB⊥BC，P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，AE⊂平面P AB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面P AD，AG⊂平面P AD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥P A，因为P A∩AC＝A，所以BD⊥平面P AC，又FH⊂平面P AC，所以BD⊥FH.2．[变条件]若本例中P A＝AD，G是PD的中点，其他条件不变，求证：PC⊥平面AFG.证明：因为P A⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以DC⊥P A，又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又P A ∩AD ＝A ，所以DC ⊥平面P AD ，又AG ⊂平面P AD ，所以AG ⊥DC ，因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ，所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ，又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ，所以PC ⊥平面AFG .3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，P A ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ，所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为P A ＝AD ，G 是PD 的中点，所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ，易知CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒]要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．如图，AB为⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，所以P A⊥BM.又因为P A∩AM＝A，所以BM⊥平面P AM.又AN⊂平面P AM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1．平面A1DB解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线()A．相交且垂直．不相交也不垂直C．相交不垂直．不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.答案：60°[A基础达标]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是()A．b⊥β．b∥βC．b⊂β．b⊂β或b∥β解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是()解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB 与平面MNQ不垂直．故选D.4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．6.如图，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.所以∠CAD 1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，所以∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P AC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__________________；(2)与AP垂直的直线有__________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC ⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面P AC，因为AP⊂平面P AC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，P A⊥平面ABCD，且P A＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，P A∩PQ＝P，则有QD⊥平面P AQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直三棱柱ABC-A 1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，所以∠BEF(或其补角)即为所求的异面直线BE与CD所成的角．在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝AC，所以AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝12AD＝12，所以BE＝52.在Rt△AEF中，AF＝12AC＝12，AE＝12，所以EF＝22.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝12，所以BF＝52.在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝12EFBE＝2452＝1010，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为1010.[B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED .A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选A.因为在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，E为DC边的中点，所以在折起过程中，D点在平面ABCE上的投影如图．因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求证：GH∥平面EAD；(2)求证：FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.[C拓展探究]15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件新人教A版必修第二册

位置关系
直线 a 外
直线 a 与平
直线 a 与
面 α 相交
平面 α 平行
公共点
有且只有 _无__数___个__公共点 __一___个___公共点 _没__有___公共点
符号表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
■名师点拨一般地，直线 a 在平面 α 内时，应把直线 a 画在表示平面 α 的平行四边形内；直线 a 与平面 α 相交时，应画成直线 a 与平面 α 有且只有一个公共点，被平面 α 遮住的部分画成虚线或不画；直线 a 与平面 α 平行时，应画成直线 a 与表示平面 α 的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α 的平行四边形外．
【解析】经探究可知直线 A1B 与直线 D1C 在平面 A1BCD1 中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点 A1、B、B1 在平面 A1BB1 内，而 C 不在平面 A1BB1 内，则直线 A1B 与直线 B1C 异面．同理，直线 AB 与直线 B1C 异面．所以②④应该填“异面”；直线 D1D 与直线 D1C 相交于 D1 点，所以③应该填“相交”．【答案】 ①平行 ②异面 ③相交 ④异面
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条
直线．
其中真命题的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】因为直线 l 虽与平面 α 内无数条直线平行，但 l 有可能在平面 α 内，所以 l 不一定平行于 α，所以①是假命题．因为直线 a 在平面 α 外包括两种情况：a∥α 和 a 与 α 相交，所以 a 和 α 不一定平行，所以②是假命题．因为直线 a∥b，b⊂α，则只能说明 a 和 b 无公共点，但 a 可能在平面 α 内，所以 a 不一定平行于 α，所以③是假命题．因为 a∥b，b⊂α，所以 a⊂α 或 a∥α，所以 a 可以与平面 α 内的无数条直线平行，所以④是真命题．综上，真命题的个数为 1. 【答案】 A

新必修二-第八章.立体几何初步-8.6空间直线、平面的垂直(知识点一：直线与平面垂直)

8.6空间直线、平面的垂直（知识点一：直线与平面垂直）一．选择题（共30小题）1．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝，D为直角边BC上的一点，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H 在线段AB上，设AH＝x，则x的取值范围是（）A．（1，）B．（，1）C．（，）D．（0，1）2．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，要使AB1⊥平面C1DF，则线段C1F 的长的最大值为（）A．B．C．D．3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AD＝AP＝2，AB ＝BC＝1，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设PF＝λPC，则λ＝（）A．B．C．D．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（）A．A1C⊥面AB1D1B．A1C⊥面AB1C1DC．A1B⊥面AB1D1D．A1B⊥AD15．如图，在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5B．6C．7D．86．已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SB＝SC，则点S在平面ABC的射影一定在（）A．BC边的中线上B．BC边的高线上C．BC边的中垂线上D．∠BAC的平分线上8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中正确的是（）A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C9．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能使a⊥b成立是（）A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN⊥CC1B．MN⊥平面ACC1A1C．MN∥AB D．MN∥平面ABCD11．已知三条直线a，b，c及平面α，具备以下哪一条件时a∥b？（）A．a∥α，b∥αB．a⊥c，b⊥cC．a⊥c，c⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α12．如图在矩形ABCD中，，BC＝2，将△ACD沿着AC折起．使得D折起的位置为D1，且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，其中面面互相垂直的对数为（）A．2对B．3对C．4对D．5对13．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论中正确的有：（）①总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE；②总有BM∥平面A1DE；③存在某个位置，使DE⊥A1C．A．①②B．①③C．②③D．①②③14．在空间直角坐标系中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，c），D（2，d，﹣1），若直线OD⊥平面ABC，则实数c，d的值分别是（）A．2，﹣1B．﹣2，1C．，1D．，﹣115．在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB1⊥BC，则B1在底面ABC上的射影H 必在（）A．直线AC上B．直线BC上C．直线AB上D．△ABC内部16．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC其中正确的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④17．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写的正确结论是（）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，BC⊥AC求证：BC⊥P A证明：因为平面P AC⊥平面ABC平面P AC∩平面ABC＝ACBC⊥AC，BC⊂平面ABC所以______．因为P A⊂平面P AC．所以BC⊥P AA．AB⊥底面P AC B．AC⊥底面PBC C．BC⊥底面P AC D．AB⊥底面PBC 18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在（）A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部19．如果直线l与平面α不垂直，那么在平面α内（）A．不存在与l垂直的直线B．存在一条与l垂直的直线C．存在无数条与l垂直的直线D．任一条都与l垂直20．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（）A．4B．C．D．21．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则（）A．AE⊥CC1B．AE⊥B1D1C．AE⊥BC D．AE⊥CD22．已知P是△ABC所在平面外一点，P A，PB，PC两两垂直，且P在△ABC所在平面内的射影H在△ABC内，则H一定是△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心23．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A．B．C．D．24．如图所示，已知P A⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，令PD＝x，∠BPC＝θ，则（）A．B．C．D．25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，则四面体P﹣ABC中直角三角形的个数为（）A．4B．3C．2D．126．如图，在下列四个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是（）A．B．C．D．27．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为（）A．B．C．3D．428．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为（）A．B．1C．D．229．下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．同一平面的两条垂线一定共面30．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断错误的是（）A．A1D与AC所成角为60°B．A1D⊥BC1C．A1D⊥AC1D．A1D⊥B1D1二．填空题（共20小题）31．已知四边形ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，当平行四边形ABCD满足条件时，有PC⊥BD（填上你认为正确的一个条件即可）．32．如图，已知球O的面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝，则球O的体积等于．33．如图，矩形ABCD的长AB＝2，宽AD＝x，若P A⊥平面ABCD，矩形的边CD上至少有一个点Q，使得PQ⊥BQ，则x的范围是．34．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，则四个侧面△P AB，△PBC，△PCD，△P AD中，有个直角三角形．35．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝x，将△ABD沿矩形对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，则．①∀x∈（0，2），都存在某个位置，使得AB⊥CD②∀x∈（0，2），都不存在某个位置，使得AB⊥CD③∀x＞1，都存在某个位置，使得AB⊥CD④∀x＞1，都不存在某个位置，使得AB⊥CD36．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝．37．已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝a，P A⊥平面ABCD，若在BC上存在点Q满足PQ⊥DQ，则a的最小值是．38．在三棱锥P﹣ABC中，点O是点P在底面ABC内的射影．①若P A＝PB＝PC，则O是△ABC心；②若P A⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC的心；③若侧面P AB，PBC，P AC与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的心．39．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD；⑤GD⊥平面SEF．其中正确的是（填序号）．40．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD．已知AB＝1，AA1＝，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为．41．边长为a的正三角形ABC的边AB、AC的中点为E、F，将△AEF沿EF折起，此时A 点的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，则A'B＝．42．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，PB＝BC，F为BC的中点，DE垂直平分PC，且DE分别交AC，PC于点D，E．（1）证明：EF∥平面ABP；（2）证明：BD⊥AC．43．P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影．（1）若P A、PB、PC两两互相垂直，则O点是△ABC的心；（2）若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则点O是△ABC的心；（3）若P A⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，则点O是△ABC的心；（4）若P A、PB、PC与底面ABC成等角，则点O是△ABC的心．44．如图，矩形ABCD的边AB＝4，AD＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝3，点E在CD上，若PE⊥BE，则PE＝．45．已知三棱锥P﹣ABC中，P A，PB，PC两两垂直，则点P在底面内的射影是△ABC的心．46．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线P A垂直于圆O所在的平面，点M是线段PB的中点．有以下四个命题：①MO∥平面P AC；②P A∥平面MOB；③OC⊥平面P AC；④平面P AC⊥平面PBC．其中正确的命题的序号是．47．已知直线l⊥平面α，垂足为O，三角形ABC的三边分别为BC＝1，AC＝2，AB＝．若A∈l，C∈α，则BO的最大值为．48．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线AA1垂直的条数共有条．49．若△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，∠B＝30°，PC⊥平面ABC，PC＝2，P′是AB 上的动点，则△PP′C的面积的最小值为．50．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝时，CF⊥平面B1DF．8.6空间直线、平面的垂直（知识点一：直线与平面垂直）参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D ＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH＝，当CD＜1时，AH＞＝，由此能求出x的取值范围．【解答】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB＝，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH＝，当CD＜1时，AH＞＝，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．2．【分析】以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段C1F长的最大值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点D是A1B1的中点，F是侧面AA1B1B（含边界）上的动点，以C1为原点，C1A1为x轴，C1B1为y轴，C1C为z轴，建立空间直角坐标系，设F（0，a，b），0≤a≤1，0≤b≤2，由题意得A（1，0，2），B1（0，1，0），C1（0，0，0），D（，0），＝（﹣1，1，﹣2），＝（，0），＝（0，a，b），∵AB1⊥平面C1DF，∴，解得a＝2b，∴F（0，2b，b），∵0≤a≤1，0≤b≤2，a＝2b，∴0，∴线段C1F的长的最大值为：||＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查线段长的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．【分析】延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，由已知可确定点F为三角形的重心，从而可得答案．【解答】解：延长DC和AB交于一点G，连接EG交PC于点F，平面ABE即为平面AEG，连接PG，因为AD＝2BC，且AD∥BC，可得点C，B分别是DG和AG的中点，又点E是PD的中点，即GE和PC分别为△PDG的中线，从而可得点F为△PDG的重心，即PF＝λPC，可得λ＝，故选：C．【点评】本题考查平面的确定和三角形的重心的性质，考查分析和推理能力，属于中档题．4．【分析】由已知证明A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，得A1C⊥平面AB1D1，说明A正确，B不正确，再求出A1B与AD1所成角为60°，说明C，D错误．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1C，则A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，则A1C⊥平面AB1D1，故A正确，B不正确；连接D1C，AC，则∠AD1C为A1B与AD1所成角，为60°，故C、D不正确．故选：A．【点评】本题考查直线与平面存在着的判定，考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5．【分析】在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，由此能求出图中直角三角形的个数．【解答】解：∵在△ABC中，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，∴图中直角三角形有：△ABD，△ADC，△P AD，△P AB，△P AC，△PBD，△PCD，共7个．故选：C．【点评】本题考查直角三个形个数的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．【分析】根据题意，由直线与平面垂直的性质，结合充分必要条件的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，“a⊥α”，又由平面α∥β，则有“a⊥β”，则“a⊥α”是“a⊥β”的充分条件，反之，若“a⊥β”，又由平面α∥β，则有“a⊥α”，则“a⊥β”是“a⊥β”的必要条件，则“a⊥α”是“a⊥β”的充要条件；故选：C．【点评】本题考查充分必要条件的判定，涉及直线与平面垂直的性质，属于基础题．7．【分析】设点S在平面ABC上的射影为O，连结OA、OB、OC，由SA＝SB＝SC，得到O是△ABC的外心，从而点S在平面ABC的射影一定在BC边的中垂线上．【解答】解：设点S在平面ABC上的射影为O，连结OA、OB、OC，∵SA＝SB＝SC，∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，∴点S在平面ABC的射影一定在BC边的中垂线上．故选：C．【点评】本题考查三棱锥中顶点到底面上的射影位置的判断，考查空间位置关系和空间思维能力的培养，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．8．【分析】推导出B1C⊥BC1，B1C⊥AB，从而B1C⊥平面ABC1D1，由此能得到AP⊥B1C．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB＝B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵点P是线段BC1上任意一点，∴AP⊥B1C．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．【分析】在A中，a，b相交、平行或异面；在B中，a，b相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的性质定理得a⊥b；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．【解答】解：由a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：在A中，∵a⊥c，b⊥c，∴a，b相交、平行或异面，故A错误；在B中，∵α⊥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b相交、平行或异面，故B错误；在C中，∵a⊥α，b∥α，∴由线面垂直的性质定理得a⊥b，故C正确；在D中，∵a⊥α，b⊥α，∴由线面垂直的性质定理得a∥b，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，则B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），＝（﹣1，﹣1，0），＝（0，0，2），∴•＝0，∴MN⊥CC1，故A正确；A（2，0，0），＝（﹣2，2，0），＝2﹣2+0＝0，∴AC⊥MN，又MN⊥CC1，AC∩CC1＝C，∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；∵＝（0，2，0），＝（﹣1，﹣1，0），∴MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量＝（0，0，1），＝0，又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11．【分析】在A中，a，b相交、平行或异面；在B中，a，b相交、平行或异面；在C中，a，b相交、平行或异面；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．【解答】解：在A中，∵a∥α，b∥α，∴a，b相交、平行或异面，故A错误；在B中，∵a⊥c，b⊥c，∴a，b相交、平行或异面，故B错误；在C中，∵a⊥c，c⊥α，b∥α，∴a，b相交、平行或异面，故C错误；在D中，∵a⊥α，b⊥α，∴由线面垂直的性质定理得a∥b，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．12．【分析】设D1在平面ABC的射影为E，连接D1E，根据线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定定理寻找互相垂直的平面．【解答】解：设D1在平面ABC的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，∵D1E⊂平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC．∵D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1，又BC⊂平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1，∵平面BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1．∴共有3对平面互相垂直．故选：B．【点评】本题考查互相垂直的平面的对数的判断，考查线面垂直的性质与判定，面面垂直的判定等基础知识，是中档题．13．【分析】在①中，总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE；在②中，取CD中点F，连接MF，BF，可得平面MBF∥平面A1DE，总有BM∥平面A1DE；在③中，A1C在平面ABCD 中的射影为AC，AC与DE不垂直，从而DE与A1C不垂直．【解答】解：在①中，总存在某个位置，使CE⊥平面A1DE，①正确；在②中，取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，由MF∥A1D与FB∥ED，可得平面MBF∥平面A1DE，∴总有BM∥平面A1DE，故②正确；在③中，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴DE与A1C不垂直，故③错误．故选：A．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．14．【分析】求出＝（2，d，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，c），由直线OD ⊥平面ABC，列出方程组，能求出实数c，d的值．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，c），D（2，d，﹣1），∴＝（2，d，﹣1），＝（﹣1，2，0），＝（﹣1，0，c），∴，解得c＝﹣2，d＝1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．【分析】由题意知要判断B1在底面ABC上的射影H，需要看过这个点向底面做射影，观察射影的位置，根据BC与一个平面上的两条直线垂直，得到BC与两条直线组成的面垂直，根据面面垂直的判断和性质，得到结果．【解答】解：∵在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB1⊥BC，∴BC⊥AC，又AC∩AB1＝A，∴BC⊥平面ACB1，BC⊂平面ABC，∴平面ACB1⊥平面ABC，∴B1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AC上．故选：A．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查直线与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查平面与平面垂直的性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．【分析】设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC＝a，①利用面面垂直的性质定理易证BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，从而可知BD⊥AC，可判断①；②依题意及设法可知，AB＝AC＝a，BD＝CD＝a，利用勾股定理可求得BC＝•a＝a，从而可判断②；③又因为DA＝DB＝DC，根据正三棱锥的定义判断；④作出平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，利用BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，从而可判断④．【解答】解：设等腰直角三角形△ABC的腰为a，则斜边BC＝a，①∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD＝AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABD，∴BD⊥平面ADC，又AC⊂平面ADC，∴BD⊥AC，故①正确；②由A知，BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴BD⊥CD，又BD＝CD＝a，∴由勾股定理得：BC＝•a＝a，又AB＝AC＝a，∴△ABC是等边三角形，故②正确；③∵△ABC是等边三角形，DA＝DB＝DC，∴三棱锥D﹣ABC是正三棱锥，故③正确．④∵△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，∴∠BFD为平面ADC与平面ABC的二面角的平面角，由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误；综上所述，正确的结论是①②③．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查线面垂直的判定与应用，考查二面角的作图与运算，属于中档题．17．【分析】根据面面垂直的性质定理判断即可．【解答】解：根据面面垂直的性质定理判定得：BC⊥底面P AC，故选：C．【点评】本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题．18．【分析】由条件，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．【解答】解：如图：∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，∴AC⊥BC1，而BC1、AB为平面ABC1的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，AC⊥平面ABC1，又AC在平面ABC内，根据面面垂直的判定定理，平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选：B．【点评】本题主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题．19．【分析】平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故可得结论．【解答】解：平面α内与l在α内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，故A、B不正确，C正确；若在平面α内，任一条都与l垂直，则直线l与平面α垂直，与题设矛盾，故D不正确故选：C．【点评】本题考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．【分析】取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，由此可得使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长．【解答】解：如图，取CC1的中点G，连接DGMA，设BN交AM与点E，则MG∥BC，∵BC⊥平面ABA1B1，NB⊂平面ABA1B1，∴NB⊥MG，∵正方体的棱长为1，M，N分别是A1B1，BB1的中点，△BEM中，易得∠MBE＝∠MAB，可得∠MEB＝∠ABM＝90°，可得：BN⊥AM，MG∩AM＝M，∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，∵正方体的棱长为1，∴故由勾股定理可得，使B1C与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长等于2+．故选：D．【点评】本题主要考查了立体几何中的轨迹问题，考查学生的分析解决问题的能力，解题的关键是确定使BN与MP垂直的点P所构成的轨迹，属于中档题．21．【分析】根据线面垂直和线线垂直的性质判断即可．【解答】解：如图示：，连接AC，BD，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴ABCD是正方形，AC⊥BD，CE⊥ABCD，∴BD⊥AC，BD⊥CE，而AC∩CE＝C，故BD⊥平面ACE，∵BD∥B1D1，且B1D1⊊ACE，故B1D1⊥平面ACE，故B1D1⊥AE，故选：B．【点评】本题考查了线线，线面垂直的性质及判定，考查数形结合思想，是一道基础题．22．【分析】点P为△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，从而证得BE⊥AC、AD⊥BC，符合这一性质的点O是△ABC垂心．【解答】解：过P点作PO⊥平面ABC，垂足为O，连结AO并延长，交BC与D，连结BO并延长，交AC与E；因P A⊥PB，P A⊥PC，故P A⊥面PBC，故P A⊥BC；因PO⊥面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥面P AO，故AO⊥BC即AD⊥BC；同理：BE⊥AC；故O是△ABC的垂心．故选：C．【点评】本题考查线面垂直的定义与三角形的全等，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．【分析】由已知几何体为正方体，利用线面垂直的判定逐一分析四个选项得答案．【解答】解：对于A，连接CD，则MN∥CD，在正方体AB中，可证AB⊥CD，则AB⊥MN，同理AB⊥MQ，则有直线AB⊥平面MNQ；对于B，连接CD，则MN∥CD，在正方体AB中，可证AB⊥CD，则AB⊥MN，又AB ⊥NQ，可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，显然AB⊥NQ，连接CD，可得AB∥CD，CD⊥MQ，则AB⊥MQ，∴直线AB ⊥平面MNQ；对于D，若AB⊥平面MNQ，则AB⊥MN，则AB⊥AC，而∠ACB为直角，矛盾，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选：D．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．24．【分析】由P A⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，利用x表示P A，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ．【解答】解：∵P A⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC＝CD＝AD＝1，设PD＝x，∴可求得：AC＝，AB＝，P A＝，PC＝，BP＝，∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ＝＝，∴tan2θ＝﹣1＝﹣1＝，∴tanθ＝．故选：A．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．25．【分析】由在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，能推导出BC⊥平面P AB．由此能求出四面体P﹣ABC中有多少个直角三角形．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∴BC⊥P A，BC⊥AB，∵P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB．∴四面体P﹣ABC中直角三角形有△P AC，△P AB，△ABC，△PBC．故选：A．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的灵活运用．26．【分析】画出截面图形，利用直线与平面垂直的判定定理判断即可．【解答】解：如图在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，是一个平面图形，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，满足题意，只有选项D直线BD1与平面EFG不垂直．故选：D．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．27．【分析】推导出PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，由此能求出的值．【解答】解：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AE，当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，则，∵AB＝2BC，∴DE＝＝CD，∴＝3．故选：C．【点评】本题考查两线段长的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．28．【分析】作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求，由C1D⊥平面AA1BB，AB1⊂平面AA1B1B，则C1D⊥AB1，AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，满足线面垂直的判定定理，则AB1⊥平面C1DF【解答】解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF．四边形AA1B1B为矩形，此时点F为B1B的中点．如图则有△AA1B1∽DB1F，即⇒．故选：A．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定．应熟练记忆直线与平面垂直的判定定理，属于中档题．29．【分析】对于A，空间中，一组对边平行可确定此四边形为平面四边形，再利用平行四边形的判定定理可判断①正确；对于B，由面面垂直的判定定理可判断②错误；对于C，由平面公理三得正确；对于D，同一平面的两条垂线一定平行，两平行线确定一个平面，可得共面．【解答】解：对于A，空间中，一组对边平行，则此四边形为平面四边形，由平行四边形的判定定理可知正确；对于B，当一条直线与已知平面垂直时，过这条直线的所有平面都与已知平面垂直，此时不唯一，故错误；对于C，由平面公理三得过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内，故正确；对于D，同一平面的两条垂线一定平行，两平行线确定一个平面，所以共面．正确．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，着重考查平面的基本性质等考点的理解，考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查空间想象能力，属于中档题．30．【分析】在A中，由A1D∥B1C，得∠ACB1是A1D与AC所成角，由AC＝B1C＝AB1，得A1D与AC所成角为60°；在B中，由C1B∥AD1，且A1D⊥AD1，得A1D⊥C1B；在C中，由A1D⊥平面AD1C1，得A1D⊥AC1；在D中，A1D与B1D1成60°角．【解答】解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1知在A中，∵A1D∥B1C，∴∠ACB1是A1D与AC所成角，∵AC＝B1C＝AB1，∴∠ACB1＝60°，∴A1D与AC所成角为60°，故A正确；在B中，∵C1B∥AD1，且A1D⊥AD1，∴A1D⊥C1B，故B正确；在C中，∵A1D⊥C1D1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥平面AD1C1，∵AC1⊂平面AD1C1，∴A1D⊥AC1，故C正确；在D中，A1D与B1D1成60°角，故D错误．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．二．填空题（共20小题）31．【分析】推导出BD⊥P A，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，从而BD⊥平面P AC，进而PC⊥BD．【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，P A⊥平面ABCD，∴BD⊥P A，当四边形ABCD是菱形时，BD⊥AC，又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴PC⊥BD．故答案为：四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查满足线线垂直的条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．32．【分析】取CD中点M，证明BC⊥BD，故而M为外接球的球心，利用勾股定理计算出半径，代入体积公式得出答案．【解答】解：取CD的中点M，连接MA，MB，∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥AD，又BC⊥AB，AB∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD，又BD⊂平面ABD，∴BC⊥BD，∴△ACD，△ABD都是直角三角形，∴MA＝MB＝MC＝MD，∴M为外接球的球心，∵AD＝AB＝BC＝，∴BD＝2，CD＝＝，∴外接球半径为r＝．∴外接球的体积V＝＝π．故答案为：π．【点评】本题考查了棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．33．【分析】依据三垂线定理，要使PQ⊥BQ，必须有AQ⊥BQ，即以AB为直径的圆应与CD有公共点即可，从而可求x的范围．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD，BQ⊂平面ABCD，∴P A⊥BQ；要使PQ⊥BQ，依三垂线定理得，必须有AQ⊥BQ，而Q为矩形的边CD上的一个点，∴以AB为直径的圆应与CD有公共点，∵AB＝2，宽AD＝x，∴0＜x≤1．故答案为：0＜x≤1．【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，考查等价转化思想，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．34．【分析】首先由线面垂直得P A⊥AB，P A⊥AD；再证BC⊥平面P AB，得到△PBC为直角三角形，同理得另一个也是．【解答】解：∵P A⊥平面ABCD∴P A⊥AB，P A⊥AD∴△P AB，△P AD为直角三角形事实上，BC⊥P A，BC⊥AB∴BC⊥平面P AB∴BC⊥PB∴△PBC为直角三角形同理△PDC为直角三角形∴四个侧面三角形均为直角三角形．【点评】此题考查了线面垂直与线线垂直之间的关系，难度不大．35．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当a＝1时，满足AB⊥CD，当a≠1时，不满足AB⊥CD，当a＝0时，点A1位于yoz坐标平面内，b2+c2＝1，0＜b＜1，x＝。

新教材高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直课时作业35直线与平面垂直的判定课件新人教A版必

5．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 ()
2
32
6
A. 3 B. 3 C.3 D. 3
答案 D
答案
解析画出图形，如图所示，BB1 与平面 ACD1 所成的角等于 DD1 与平面
ACD1 所成的角，在三棱锥 D－ACD1 中，由三条侧棱两两垂直得点 D 在底面
答案
课时综合练
一、选择题 1．已知 m 和 n 是两条不同的直线，α 和 β 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出 m⊥β 的是( ) A．α∥β，且 m⊂α B．m∥n，且 n⊥β C．m⊥n，且 n⊂β D．m⊥n，且 n∥β
答案 B
答案
解析 A 中，由 α∥β，且 m⊂α，知 m∥β；B 中，由 n⊥β，知 n 垂直于平面 β 内的任意直线，再由 m∥n，知 m 也垂直于 β 内的任意直线，所以 m ⊥β，B 符合题意；C，D 中，m⊂β 或 m∥β 或 m 与 β 相交，不符合题意．故选 B.
答案
∵Q 为 AB 的中点，且 AC＝BC，∴CQ⊥AB. ∵DC⊥平面 ABC，EB∥DC， ∴EB⊥平面 ABC. ∵CQ⊂平面 ABC， ∴CQ⊥EB，又 AB∩EB＝B，故 CQ⊥平面 ABE. 由(1)有 PQ∥DC，又 PQ＝12EB＝DC， ∴四边形 CQPD 为平行四边形．
答案
∴DP∥CQ.
4．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上皆有可能
答案 D
答案
解析在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A1A，B1B 与底面 ABCD 所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1 与底面 ABCD 所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC 与底面 ABCD 所成的角相等，此时两直线异面．

2023新教材高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2直线与平面垂直第2课时线面

图形语言
作用
证明两条直线平__行__
如图，在长方体 ABCD-A′B′C′D′中，棱 AA′，BB′所在直线与平面 ABCD 位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？
[提示] 棱 AA′，BB′所在直线都与平面 ABCD 垂直；这两条直线互相平行．
1．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，若直线 l(与直线 BB1 不重合)⊥平面 A1C1，则( )
[解] 因为 CD＝2，所以 AD＝4，AC＝AA1＝ 16－4＝2 3，所以 AC1＝2 6．
所以点 C1 到平面 A1B1CD 的距离为12AC1＝ 6．
类型 3 直线与平面垂直关系的综合应用【例 3】如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，PA⊥平面 ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求证：PB⊥EF．
又因为 AE⊥PB，AF，AE 在平面 AEF 中交于 A，所以 PB⊥平面 AEF，所以 PB⊥EF．
关于线面垂直判定、性质的应用 (1)分析已知的垂直关系，得出能够推出的线线、线面垂直，即挖掘已知条件，以方便后续证明． (2)证明垂直关系时往往需要逆向思维，如要证明直线 a 垂直于平面 α 内的直线 b，可以考虑证明直线 b 垂直于直线 a 所在的平面 β． (3)掌握线线、线面垂直的相互转化．
[跟进训练] 3．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AD∥BC， ∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．
(1)求证：CD⊥平面 PAC；
证明：由题意，可得 DC＝AC＝ 2，又因为 AD＝2，所以 AC2＋DC2＝AD2，即 AC⊥DC，又因为 PA⊥底面 ABCD，所以 PA⊥CD，又因为 PA∩AC＝A，所以 DC⊥平面 PAC．

高中数学第8章立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直课时作业36 直线与平面垂直的性质新

课时作业36 直线与平面垂直的性质知识点一直线与平面垂直的性质1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A．相交 B．平行C．异面 D．相交或平行答案 B解析∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．2．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是( )A．相交 B．平行C．异面 D．不确定答案 D解析根据题意，l⊥平面ABCD，m可能在平面ABCD内，也可能垂直平面ABCD，所以直线l与m可能平行、相交或异面，故选D.3．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是________．答案l∥m解析将b平移至c，且使a与c相交，则a，c确定一个平面，记作平面α.∵l⊥b，m ⊥b，∴l⊥c，m⊥c，又l⊥a，m⊥a，∴l⊥平面α，m⊥平面α，∴l∥m.4．如图所示，已知α∩β＝l，EA⊥α于A，EB⊥β于B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.证明∵EA⊥α，EB⊥β，α∩β＝l，∴l⊥EA，l⊥EB.又∵EA∩EB＝E，EA⊂平面EAB，EB⊂平面EAB，∴l⊥平面EAB.又a⊂α，EA⊥α，∴a⊥EA.又a⊥AB，AB∩EA＝A，AB⊂平面EAB，EA⊂平面EAB，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.5．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又MN⊥PC，PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.知识点二平行、垂直关系的综合问题6.设a，b是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是( )A．存在唯一一条直线l，使得l⊥a，且l⊥bB．存在唯一一条直线l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一一个平面α，使得a⊂α，且b∥αD．存在唯一一个平面α，使得a⊂α，且b⊥α答案 C解析过直线a上任意一点P，作b的平行线c，由a，c相交确定一个平面α.直线l只需垂直于平面α，就会与a，b都垂直，这样的直线有无数条，故A错误．根据异面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.故选C.7．给出下列命题：①a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；②a⊥α，a∥b⇒b⊥α；③a⊥α，b∥α⇒a⊥b；④a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α⇒a⊥α；⑤a∥α，a⊥b⇒b⊥α；⑥a⊥α，b⊥a⇒b∥α.其中真命题的个数是( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 A解析因为a⊥α，所以a垂直于平面α内的任意直线，所以①正确．若两条平行线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也与这个平面垂直，所以②正确．由线面垂直，线线、线面平行的性质知，若a⊥α，b∥α，则a⊥b，所以③正确．由线面垂直的判定定理可知，④不正确．当a∥α，a⊥b时，b可能与α平行、垂直、斜交或b在α内，所以⑤不正确．当a⊥α，b⊥a时，b可能与α平行，b也可能在α内，故⑥不正确．一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )A．相交 B．平行C．异面 D．不确定答案 B解析∵△ABC所在平面为α，l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥α，又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC＝C，∴m⊥α，∴l∥m.2．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的( ) A．垂心 B．内心C．外心 D．重心答案 C解析设P在平面α内的射影为O，易证△PAO≌△PBO≌△PCO⇒AO＝BO＝CO.3．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l ⊄β，则( )A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l答案 D解析由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则交线平行于l，故选D.4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点A且垂直于平面ABC，动点P∈l，当点P逐渐远离点A时，∠PCB的大小( )A．变大 B．变小C．不变 D．有时变大有时变小答案 C解析∵直线l⊥平面ABC，∴l⊥BC.又∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面APC，∴BC ⊥PC，即∠PCB为直角，即∠PCB的大小与点P的位置无关，故选C.5．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH答案 B解析因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.二、填空题6．地面上有两根旗杆，底端相距a米，它们的高分别是b米和c米(b>c)，则它们顶端的距离为________米．答案a2＋(b－c)2解析如图，由于两旗杆都与地面垂直，故两旗杆AD与BC平行，且四边形ABCD是直角梯形，设AD＝c米，BC＝b米，过D作DE⊥BC于E，则DE＝a米，CE＝(b－c)米，所以DC ＝a 2＋(b －c )2(米)．7．边长为a 的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，将△AED ，△BEF 和△DCF 分别沿DE ，EF 和DF 折起使A ，B ，C 重合于一点A ′，则三棱锥A ′－EFD 的体积为________．答案a 324解析以等腰直角三角形A ′EF 为底，DA ′为高，易求三棱锥的体积．8．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 上的动点．当CF FD＝________时，D 1E ⊥平面AB 1F .答案 1解析连接A 1B ，则A 1B 是D 1E 在平面ABB 1A 1内的射影． ∵AB 1⊥A 1B ，AB 1⊥BC ，∴AB 1⊥平面A 1BED 1. ∵D 1E ⊂平面A 1BED 1，∴D 1E ⊥AB 1. 若D 1E ⊥平面AB 1F ，则D 1E ⊥AF . 连接DE ，∵AF ⊥DD 1，D 1E ∩DD 1＝D 1， ∴AF ⊥平面D 1ED .又DE ⊂平面D 1ED ， ∴DE ⊥AF .∵四边形ABCD 是正方形，E 是BC 的中点， ∴当且仅当F 是CD 的中点时，DE ⊥AF ，即当点F 是CD 的中点时，D 1E ⊥平面AB 1F . ∴当CF FD＝1时，D 1E ⊥平面AB 1F . 三、解答题9．如图，PA ⊥平面ABD ，PC ⊥平面BCD ，E ，F 分别为BC ，CD 上的点，且EF ⊥AC .求证：CF DC ＝CEBC.证明∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，PC⊥EF.又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又EF⊥AC，PC∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，∴CFDC＝CEBC.10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明(1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)如图所示，设AD1与A1D的交点为O，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴AM ＝ON ＝12AB ，即M 是AB 的中点．。

2019_2020学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直课时作业新人教A版必修第二册

8.6.2 直线与平面垂直一、选择题1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能( )A．平行B．相交C．异面 D．垂直解析：若l∥m，则l⊄α，∵m⊂α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m 不可能平行．答案：A2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：∵b∥α，∴b平行于α内的某一条直线，设为b′，∵a⊥α，且b′⊂α，∴a⊥b′，∴a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面．答案：C3．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是( )A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1 D．AC1⊥BD1解析：正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；从而BD⊥AC1，即选项B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．选D.答案：D4．如图所示，若斜线段AB 是它在平面α上的射影BO 的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60° B．45°C ．30° D．120°解析：∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt △AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°.答案：A二、填空题5．在三棱锥P －ABC 中，最多有________个直角三角形．解析：不妨设PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则△APB ，△PAC 为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA ⊥平面ABC ，由线面垂直的定义，可知PA ⊥BC ，若∠ABC ＝90°，则BC ⊥AB ，∴BC ⊥平面PAB ，即∠PBC ＝90°，∴△ABC ，△PBC 为直角三角形，故直角三角形最多有4个．答案：46．有下列四种说法，正确的序号是________．①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m ，n 和平面α，若m ⊥n ，m ⊥α，则n ∥α；③a ，b ，l 表示三条不同的直线，α表示平面，若a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b ，则l ⊥α；④若直线a 不平行于平面α，则直线a 垂直于平面α.解析：①正确；对于②，若直线n ⊂α，也可满足m ⊥n ，m ⊥α，此时n ∥α不正确；对于③，只有a ，b 相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．答案：①7．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1，则BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角的大小为________．解析：如图所示，连接B 1D 1，则B 1D 1是BD 1在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，则∠BD 1B 1是BD 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角．在Rt △BD 1B 1中，tan ∠BD 1B 1＝BB 1B 1D 1＝13＝33，则∠BD 1B 1＝30°.答案：30°三、解答题8．如图，在四棱锥S －ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，侧面SAB 为等边三角形，AB ＝BC ＝2，CD ＝SD ＝1.求证：SD ⊥平面SAB .证明：∵AB ∥CD ，BC ⊥CD ，AB ＝BC ＝2，CD ＝1，∴底面ABCD 为直角梯形，AD ＝2－12＋22＝ 5. ∵侧面SAB 为等边三角形，∴SA ＝SB ＝AB ＝2.又SD ＝1，∴AD 2＝SA 2＋SD 2，∴SD ⊥SA .连接BD ，则BD ＝22＋12＝5，∴BD 2＝SD 2＋SB 2，∴SD ⊥SB .又SA ∩SB ＝S ，∴SD ⊥平面SAB .9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC .求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点．证明：(1)因为四边形ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D .又因为CD ⊥平面ADD 1A 1，所以CD ⊥AD 1.因为A 1D ∩CD ＝D ，所以AD 1⊥平面A 1DC .又因为MN ⊥平面A 1DC ，所以MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中，A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ，所以ON ∥CD ∥AB .所以ON ∥AM .又由(1)知MN ∥OA ，所以四边形AMNO 为平行四边形．所以ON ＝AM .因为ON ＝12AB ，所以AM ＝12AB . 所以M 是AB 的中点．[尖子生题库]10．如图所示，已知AB 为圆O 的直径，且AB ＝4，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC .点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD ＝DB .(1)求证：CD ⊥平面PAB ；(2)求直线PC 与平面PAB 所成的角．解析：(1)证明：连接CO ，由3AD ＝DB 知，点D 为AO 的中点．又因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB . 由3AC ＝BC 知，∠CAB ＝60°，所以△ACO 为等边三角形．故CD ⊥AO .因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，所以PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAB ，且PD ∩AO ＝D ，得CD ⊥平面PAB .(2)由(1)知∠CPD 是直线PC 与平面PAB 所成的角，又△AOC 是边长为2的正三角形，所以CD ＝ 3在Rt △PCD 中，PD ＝DB ＝3，CD ＝3，所以tan ∠CPD ＝CD PD ＝33，∠CPD ＝30°，即直线PC 与平面PAB 所成的角为30°.。

高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直34直线与直线垂直

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因为在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝1，AA1＝ 3，所以 DE1 ＝ DE2＋EE21＝ 12＋ 32＝2，
DB1＝ 12＋12＋ 32＝ 5， B1E1＝ A1B21＋A1E21＝ 12＋22＝ 5，在△B1DE1 中，由余弦定理，得 cos∠B1DE1＝22＋2×52×2－5 52＝ 55，即
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答案
(2)如图，连接 BD，与 AC 交于点 O，则 O 为 AC 的中点，取 DD′的中点 E，连接 OE，则 OE∥BD′，则∠AOE 即为 AC 与 BD′所成的角．连接 AE，CE，
则 AE＝CE，∴△ACE 为等腰三角形． ∴EO⊥AC，即∠AOE＝90°. ∴D′B 和 AC 所成的角为 90°.
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答案
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课前自主学习
课时综合练
课堂合作研究
随堂基础巩固
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课后课时精练
一、选择题 1．如果空间两条直线互相垂直，那么它们( ) A．一定相交 B．是异面直线 C．是共面直线 D．一定不平行
答案 D
解析由平面几何知识和异面垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直，故选 D.
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三、解答题 9．如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点 E，F， G 分别是 DD1，AB，CC1 的中点．求证：A1E⊥GF.
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证明如图，连接 B1G，EG.

新教材高中数学第八章立体几何初步86空间直线平面的垂直861直线与直线垂直直线与平面垂直的判定作业

2．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内五边形的两条边；
②l垂直于α内三条不都平行的直线；
③l垂直于α内无数条直线；
④l垂直于α内正六边形依次相连的三条边．
பைடு நூலகம்
其中能得出l⊥α的所有条件的序号是( C )
A．②
B．①③
C．②④
D．③
解析：对于①，五边形的两条边可能不相交，故直线l不一定垂直平面α；对于②，α内三条不都平行的直线必然有两条相交，即直线垂直平面内的两条相交直线，∴能得出l⊥α；对于③，α内无数条直线可能平行，∴无法得出l⊥α；对于④，正六边形依次相连的三条边所在直线必然两两相交，即直线垂直平面内的两条相交直线， ∴能得出l⊥α.故选C.
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论错误的是( C ) A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D D．异面直线AD与CB1所成的角为45°
解析：由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，所以BD ∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B 正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确．故选C.
9．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1 10
＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ____5______ .
解析：如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C1、 B1D1，交于O点，
连接OB，由已知A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1. 又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1⊂平面A1B1C1D1， ∴OC1⊥BB1.而BB1∩B1D1＝B1， ∴OC1⊥平面BB1D1D.

2020新教材人教A版必修第二册第八章 8.6 课时作业34

第八章立体几何初步8.6 空间直线、平面的垂直课时作业34 直线与直线垂直知识点一异面直线所成的角1.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝2，则异面直线AC 1与BB 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案 C解析如图，因为BB 1∥AA 1，所以∠A 1AC 1为异面直线AC 1与BB 1所成的角．因为tan ∠A 1AC 1＝A 1C 1AA 1＝(3)2＋(3)22＝3，所以∠A 1AC 1＝60°，故选C.2．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是( )A ．CC 1与B 1E 是异面直线 B ．CC 1与AE 共面 C ．AE 与B 1C 1是异面直线D ．AE 与B 1C 1所成的角为60° 答案 C解析由于CC 1与B 1E 都在平面C 1B 1BC 内，故C 1C 与B 1E 是共面的，A 错误；由于CC1在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故CC1与AE是异面直线，同理，AE与B1C1是异面直线，所以B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC 为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误．故选C.3．在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，求：(1)A′B和AD′所成的角；(2)D′B和AC所成的角．解(1)如图，连接BC′，A′C′，∵AD′∥BC′，∴∠A′BC′即为A′B与AD′所成的角．又A′C′＝A′B＝BC′＝2a，∴∠A′BC′＝60°，∴A′B和AD′所成的角为60°.(2)如图，连接BD，与AC交于点O，则O为AC的中点，取DD′的中点E，连接OE，则OE∥BD′，则∠AOE即为AC与BD′所成的角．连接AE，CE，则AE＝CE，∴△ACE为等腰三角形．∴EO⊥AC，即∠AOE＝90°.∴D′B和AC所成的角为90°.知识点二异面直线的垂直4.长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有()A．6条B．8条C．10条D．12条答案 B解析12条棱所在直线中与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．5．已知直线a ，b ，c ，下列三个命题： ①若a 与b 异面，b 与c 共面，则a 与c 异面； ②若a ∥b ，a 和c 相交，则b 和c 也相交； ③若a ⊥b ，a ∥c ，则b ⊥c . 其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①不正确，如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③正确，故选B.6.如图所示，在空间四边形ABCD 中，两条对边AB ＝CD ＝3，E ，F 分别是另外两条对边AD ，BC 上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝5，求证：AB ⊥CD .证明如图，连接BD ，过点E 作AB 的平行线交BD 于点O ，连接OF .∵EO ∥AB ，∴BO OD ＝AE ED ＝12，EO AB ＝DE DA ＝23. 又AB ＝3，∴EO ＝2.∵BF FC ＝12，∴BO OD ＝BFFC ，∴OF ∥DC .∴OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AB 和CD 所成的角． ∴OF DC ＝BF BC ＝13.∵DC ＝3，∴OF ＝1.在△OEF 中，∵OE 2＋OF 2＝5，EF 2＝(5)2＝5， ∴OE 2＋OF 2＝EF 2，∴∠EOF ＝90°.∴AB和CD所成的角为90°.∴AB⊥CD.一、选择题1．如果空间两条直线互相垂直，那么它们()A．一定相交B．是异面直线C．是共面直线D．一定不平行答案 D解析由平面几何知识和异面垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直，故选D.2．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M和CN所成角的大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°答案 A解析如图，取AA′的中点E，连接BE，EN，则BE∥NC，∴异面直线B′M 和CN所成的角就是直线BE与直线B′M所成的锐角(或直角)，根据△ABE≌△BB′M可得BE⊥B′M，∴异面直线B′M和CN所成的角为90°.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15 B.56 C.55 D.22答案 C解析如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，所以DE1＝DE2＋EE21＝12＋(3)2＝2，DB1＝12＋12＋(3)2＝5，B1E1＝A1B21＋A1E21＝12＋22＝5，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝22＋(5)2－(5)22×2×5＝55，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55.故选C.4．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点．若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 A解析取AD的中点H，连接FH，EH，则EH∥CD，FH∥AB.∠FEH是EF 与CD所成的角或其补角，∠EFH是EF与AB所成的角或其补角．∵EF⊥AB，∴在△EFH中，∠EFH＝90°.∵CD＝2AB，∴HE＝2HF，∴∠FEH＝30°.5．已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有()A．3条B．2条C．1条D．0条答案 B解析可将a，b通过平移相交于点P，如图所示，则∠BPE＝17°，∠EPD＝163°，则∠BPE的角平分线与直线a，b所成的角均为8.5°，∠EPD的角平分线与直线a，b所成的角均为81.5°.因为8.5°<9°<81.5°，所以与直线a，b所成的角均为9°的直线l有且只有2条(直线c，d)，故选B.二、填空题6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和BD所成的角是________．答案60°解析∵EF∥AB1，BD∥B1D1，∴∠AB1D1为异面直线EF，BD所成的角或其补角，易知△AB1D1为正三角形，∴∠AB1D1＝60°.7．如图所示，空间四面体A －BCD 的对角线AC ＝8，BD ＝6，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，MN ＝5，则异面直线AC 与BD 所成的角为________．答案 90°解析如图，取AD 的中点P ，连接PM ，PN . ∵M ，N 分别为AB ，CD 的中点， ∴PM ∥BD ，PN ∥AC ，∴∠MPN 为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角． ∵AC ＝8，BD ＝6，∴PN ＝12AC ＝4，PM ＝12BD ＝3. 又MN ＝5，在△PMN 中，由勾股定理知∠MPN ＝90°. 故异面直线AC 和BD 所成的角为90°.8．已知a ，b 为异面直线，且a ，b 所成的角为40°，过空间一点作直线c ，直线c 与a ，b 均异面，且所成的角均为θ.若这样的直线c 共有四条，则θ的取值范围为________．答案 {θ|70°<θ<90°}解析设平面α上的两条直线m ，n 分别满足m ∥a ，n ∥b ，且m ，n 相交，夹角为40°.若直线c 与a ，b 均异面，且所成的角均为θ，则直线c 与m ，n 所成的角均为θ.当0°≤θ<20°时，不存在这样的直线c ；当θ＝20°时，这样的直线c 只有一条；当20°<θ<70°时，这样的直线c 有两条；当θ＝70°时，这样的直线c 有三条；当70°<θ<90°时，这样的直线c 有四条；当θ＝90°时，这样的直线c 只有一条．故θ的取值范围为{θ|70°<θ<90°}．三、解答题9．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G 分别是DD1，AB，CC1的中点．求证：A1E⊥GF.证明如图，连接B1G，EG.由于E，G分别是DD1和CC1的中点，∴EG綊C1D1，而C1D1綊A1B1，∴EG綊A1B1.∴四边形EGB1A1是平行四边形．∴A1E∥B1G，从而∠B1GF为异面直线A1E与GF所成的角或其补角．连接B1F，则FG＝3，B1G＝2，B1F＝ 5.∵FG2＋B1G2＝B1F2，∴∠B1GF＝90°，即异面直线A1E与GF所成的角为90°，∴A1E⊥GF.10．如图，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q.(1)求证：M，N，P，Q四点共面；(2)若AC⊥DE，且AC＝3BC，求异面直线DE与PN所成角的大小．解(1)证明：∵CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，∴PQ为△ADE的中位线，MN为梯形BCDE的中位线．∴PQ ∥DE ，MN ∥DE ，∴PQ ∥MN ， ∴M ，N ，P ，Q 四点共面．(2)∵PN 为△ABE 的中位线，∴PN ∥AB . 又BC ∥DE ，∴∠ABC 即为异面直线DE 与PN 所成的角或其补角．又AC ⊥DE ，∴AC ⊥BC ，在Rt △ACB 中，tan ∠ABC ＝AC BC ＝3BCBC ＝3， ∴∠ABC ＝60°.∴异面直线DE 与PN 所成的角为60°.。

新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.1直线与直线垂直课时作业含解析人教A版必修二

课时作业33 直线与直线垂直时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下列说法正确的个数是( C )①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.A．3 B．2C．1 D．0解析：①中a与c也可能异面，③中a与c也可能相交或异面，②正确．2．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD 所成的角为 ( A )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：如图，取AD的中点H，连接FH，EH，则EH∥CD，FH∥AB.∠FEH(或其补角)是EF 与CD所成的角，∠EFH(或其补角)是EF与AB所成的角．∵EF⊥AB，∴在△EFH中，∠EFH ＝90°.∵CD＝2AB，∴HE＝2HF，∴∠FEH＝30°.3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( B )A．45° B．60°C ．90°D ．120°解析：连接A 1B ，BC 1，因为E 、F 、G 、H 分别是AA 1、AB 、BB 1、B 1C 1的中点．所以A 1B ∥EF ，BC 1∥GH .所以A 1B 和BC 1所成角为异面直线EF 与GH 所成角，连接A 1C 1，知△A 1BC 1为正三角形，故∠A 1BC 1＝60°.4．(多选)如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，正确的为( ABD )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 解析：因为截面PQMN 是正方形，所以PQ ∥MN ，QM ∥PN ，则PQ ∥平面ACD ，QM ∥平面BDA ，所以PQ ∥AC ，QM ∥BD ，由PQ ⊥QM 可得AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角，故D 正确．综上，选ABD.5．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，F 为线段CD 上一动点(不含端点)，现将△ADF 沿直线AF 进行翻折，在翻折过程中不可能成立的是( C )A ．存在某个位置，使直线AF 与BD 垂直B ．存在某个位置，使直线AD 与BD 垂直C ．存在某个位置，使直线CF 与DA 垂直D ．存在某个位置，使直线AB 与DF 垂直解析：对于A ，连接BD ，在Rt △ABD 中，可以如图作AO ⊥BD 于O ，并延长交CD 于F ，则AF ⊥BD 成立，翻折过程中，这个垂直关系保持不变，故A 正确；对于B ，令AF ⊥BD ，在翻折过程中，5≥BD ≥355，AD ＝1，AB ＝2，因为5>3>355，所以当AD ＝1，AB ＝2，BD＝3，AD ⊥BD ，故B 正确；对于C ，在翻折过程中，AD ⊥DF 保持不变，若AD ⊥CF 成立，则AD ⊥平面CDF ，从而AD ⊥CD ，AD ＝1，AC ＝5，得CD ＝2，在翻折过程中，CF ＋DF >CD ，即CD <2，所以CD ＝2不成立，故C 不正确；对于D ，在翻折过程中，AD ⊥DF 保持不变，若AB ⊥DF 成立，则DF ⊥平面ABD ，从而DF ⊥BD ，设此时DF ＝x ，则BF ＝1＋2－x2，BD ＝1＋2－x2－x 2＝5－4x ，只要0<x <54，BD 就存在，所以D 正确，选C.6．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB 、CD 在原正方体中的位置关系是( D )A ．平行B ．相交且垂直C ．异面直线D ．相交成60°角解析：把展开图恢复成如图所示的正方体，连接AC ，其中△ABC 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.故选D.二、填空题7．如图，在三棱锥A BCD 中，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，AD 的中点，∠GEF ＝120°，则BD 和AC 所成角的度数为60°.解析：依题意知，EG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠GEF 所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角，又∠GEF ＝120°，所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°.8．如图所示，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，AA 1的中点． (1)直线AB 1和CC 1所成的角为45°； (2)直线AB 1和EF 所成的角为60°.解析：如图．(1)因为BB 1∥CC 1，所以∠AB 1B (或其补角)即为异面直线AB 1与CC 1所成的角，∠AB 1B ＝45°.(2)连接B 1C ，易得EF ∥B 1C ，所以∠AB 1C (或其补角)即为异面直线AB 1和EF 所成的角．连接AC ，则△AB 1C 为正三角形，所以∠AB 1C ＝60°.9．如图所示，在等边三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点．将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥后，GH 与IJ 所成角的度数为60°.解析：将三角形折成三棱锥，如图所示，GH 与IJ 为异面直线，在三棱锥A DEF 中，IJ 綉12AD ，GH 綉12DF ，所以∠ADF 即为所求，因此GH 与IJ 所成角为60°.三、解答题10．如图，在三棱锥A BCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AO ⊥OC ，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD＝2，求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．解：如图，取AC 的中点M ，连接OM ，ME ，OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB ，OE ∥DC ，所以直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角．EM ＝12AB ＝22，OE ＝12DC ＝1，因为OM 是Rt △AOC 斜边AC 上的中线，所以OM ＝12AC ＝1，取EM 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥EM ，所以在Rt △OEH 中， cos ∠OEM ＝EH OE ＝12×221＝24.11．如图，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1. (1)求A 1C 1与B 1C 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，求证：A 1C 1⊥EF .证明：(1)如图，连接AC ，AB 1.由几何体ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1.从而AC 与B 1C 所成的角为A 1C 1与B 1C 所成的角．由AB 1＝AC ＝B 1C ，可知∠B 1CA ＝60°.故A 1C 1与B 1C 所成的角为60°. (2)证明：如图，连接BD .由题知四边形AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1. 因为EF 为△ABD 的中位线，所以EF ∥BD . 又AC ⊥BD ，所以EF ⊥AC ，所以A 1C 1⊥EF .——能力提升类——12.如图，E 、F 分别是三棱锥P ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为( B )A ．30°B ．60°C ．0°D ．120°解析：如图所示，取AC 中点G ，连接EG ，FG ，因为E 、F 分别是棱AP 、BC 的中点，且G 为AC 中点，所以GE ∥PC 且GE ＝12PC ＝5，所以GF ∥AB 且GF ＝12AB ＝3，所以异面直线AB 与PC 所成的角即为∠EGF 或其补角，则cos ∠EGF ＝52＋32－722×3×5＝－12，所以∠EGF ＝120°，所以异面直线AB 与PC 所成的角即为∠EGF 的补角，即60°.13．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，则异面直线EF 与A 1C 1所成角的大小是π3.解析：如图，连接A 1B ，BC 1，根据三角形中位线定理得到EF ∥A 1B ，所以∠BA 1C 1(或其补角)是异面直线EF 与A 1C 1所成角．在三角形A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以三角形A 1BC 1是等边三角形，故∠BA 1C 1＝π3.14．在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB 与CD 成30°角，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 和AB 所成的角为15°或75°.15．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1＝2，E 为棱CC 1的中点． (1)求异面直线AE 与BC 1所成角的大小． (2)求三棱锥B 1ADE 的体积．解：(1)取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，因为EF ∥BC 1，所以∠AEF (或其补角)为异面直线AE 与BC 1所成的角，又AE ＝AC 2＋CE 2＝3，EF ＝2，AF ＝5，所以cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22×AE ×EF ＝22，又0<∠AEF <π，所以异面直线AE 与BC 1所成角的大小为π4.(2)取BB 1的中点H ，连接EH ，则EH ∥AD ，则VB 1ADE ＝VE ADB 1＝VH ADB 1＝VD AB 1H ＝13×12×1×2×2＝23.。

新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2第2课时直线与平面垂直的性质及线面

第八章立体几何初步A级基础巩固1。

在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(）A.相交B。

平行C.异面D.相交或平行解析：由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面,所以它们相互平行。

答案：B2.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,若C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是（)A。

PA⊥BCB。

BC⊥平面PACC.AC⊥PBD.PC⊥BC解析：由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC，A项不符合题意;因为AB为圆的直径，所以BC⊥AC,且A C∩PA=A,所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，B、D项均不符合题意.故选C.答案：C3。

已知直线l∩平面α=O,A∈l,B∈l,A∉α，B∉α,且OA=AB。

若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α,垂足为D，AC=1，则BD=(）A。

2 B.1 C。

32D。

12解析:因为AC⊥平面α,BD⊥平面α,所以AC∥BD.如图所示,连接OD,则OAOB =ACBD. 因为OA=AB,所以OAOB=12. 因为AC=1,所以BD=2。

答案：A4.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面,若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是菱形。

解析:易知BD⊥平面PAC.所以BD⊥AC。

因为四边形ABCD 是平行四边形,所以四边形ABCD一定是菱形。

5。

已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AB=2，PA=AD=4,E为BC的中点.求证：DE⊥PE。

证明:如图,连接AE.在矩形ABCD中,由AD=4,AB=2,E为BC的中点，可得AE=ED=2√2，所以AD2=AE2+DE2，所以AE⊥DE。

因为PA⊥平面ABCD,DE⊂平面ABCD，所以PA⊥DE.因为PA∩AE=A,PA⊂平面PAE,AE⊂平面PAE，所以DE⊥平面PAE.因为PE⊂平面PAE，所以DE⊥PE。

B级能力提升6。

若l，m，n表示三条互不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为（)①l∥m,m∥n,l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；③m⊥α,n⊂α⇒m⊥n.A.1B.2 C。

新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定及直线

第八章立体几何初步A级基础巩固1。

若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是（）A。

l和平面α相互平行B.l和平面α相互垂直C.l在平面α内D.不能确定解析：如图所示,直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.答案：D2。

直线l与平面α所成的角为70°,若直线l∥m,则m与α所成的角等于(）A。

20° B.70°C。

90° D.110°解析:因为l∥m,所以直线l与平面α所成的角等于直线m与平面α所成的角。

因为直线l与平面α所成的角为70°,所以直线m与平面α所成的角为70°.答案:B3。

如图所示，已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形,若PA⊥平面ABCD，则图中共有4个直角三角形.解析：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥BC ，所以△PAB ，△PAD 都是直角三角形。

因为BC ⊥AB ,所以BC ⊥平面PAB ,所以BC ⊥PB ,所以△PBC 为直角三角形。

同理得CD ⊥PD ，所以△PCD 是直角三角形。

故共有4个直角三角形。

4。

如图所示,AB 是☉O 的直径,PA ⊥☉O 所在的平面，C 是☉O 上一点,若∠ABC =30°，PA =AB ，则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为2.解析:因为PA ⊥平面ABC ,所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为直线PC 与平面ABC 所成的角.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°，∠ABC =30°,所以AC =12AB 。

在Rt △PAC 中，AC =12AB =12PA ,所以tan ∠PCA =PA AC=2。

5.如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，BC =CD , ∠ACB =∠ACD. 求证:BD ⊥平面PAC.证明:因为BC=CD,所以△BCD为等腰三角形.因为∠ACB=∠ACD,所以BD⊥AC。

新教材高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直课时作业34直线与直线垂直课件新人教A版必修二

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2020新教材人教A版必修第二册第八章 8.6 课时作业34

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