【精编】2017-2018年海南省文昌中学高二(上)数学期中试卷和参考答案(理科)
海南省文昌高二上学期期末考试数学试卷有答案
海南省文昌高二上学期期末考试数学试卷注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题（每题5分，共60分）X2-K0,1 ,不等式组5 2的解集为（）x2— 3xv 0A. {x|- 1<x< 1}B. {x|0<x< 3}C. {x|0v xv 1}D. {x|-1<x< 3}————2.平行六面体ABCD —A1B1C1D1中，向量AB、AD、AA1两两的夹角均为60° ,且RB|= 1 , ———|AD|=2, |AA」=3,则|AC1|等于（）A. 5B. 6C. 4D. 83.已知a, b为非零向量，则“ aA.充分而/、必要条件C.充分必要条件4.卜列四个命题中的真命题为（A. ? x0 C Z , 1 v 4x0v 3C. ? xC R, x2- 1=05.已知命题p：“ ? xC [1,2] ,x2 题“p且q”是真命题，则实数A . aw — 2 或a= 1C. a>1 i^b 是函数f(x)= (x a+b) (x b—a)为一次函数的()B.必要而不充分条件D .既/、充分也不必要条件)B. ? x0C Z, 5x0+ 1= 0D. ? x€ R, x2+x+ 2>0—a > 0 ;叩q：?xC R, x+2 ax +2 — a = 0 .若命a的取值范围为( )与AE 所成角的余弦值为（）一点P,使AF 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则 m 的取值范围是（C. 111.已知抛物线y 2=2px （p>0）的焦点为F,点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足/ AFB=90 °A-嘤B・嚅C.需3 107.等差数列｛a n ｝的前n 项和为若a i=2, S3=12, 则生等于（A. 8B. 10C. 12D. 148.已知51下2为双曲线 C: x 2—y 2=2的左右焦点，点P 在 C 上,|PF 11=2| PF 2I ，则cos/ F 1PF 2 =B. 35C. 34D.-5x+2y-5<0,9 .设变量x,y 满足约束条件 <x—y —2^0,^>0,则目标函数 z= 2x+3y+1的最大值为（）A. 11B. 10C. 9D. 8.510.设F I ,F 2是椭圆二+与=1 2b 2（a> b> 0）的左右焦点，若直线x = ma （ m > 1 ）上存在3>- 2过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线 MN ,垂足为N,则MN AB的最大值为（A. 1,3B. ----2/2D . ---212.设双曲线C 的中心为原点 O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60。
海南省文昌中学高二数学上学期期考试题 文 新人教A版
满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.的导数是（ ）A ．B ．C ．3D ．12. 抛物线的焦点坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．3. 双曲线的焦距为（ ）A ．B ．C ．D ．4. △ABC 中，sinA < sinB 是A < B 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 命题“∈Z ，使”的否定是（ ） A. x ∈Z ，使B.x ∈Z ，都有C. x ∈Z,都有D. 不存在x ∈Z ，使6．已知为椭圆焦点，在椭圆上满足 为直角的P 点仅有两个，则离心率为（ ）A. B. C. D. 17. 与曲线共焦点，且与曲线共渐近线的双曲线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．8．P 为椭圆4x2＋3y2＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则等于( )A．3 B. C． D．29. 若关于的方程所表示的焦点在轴的双曲线，则方程所表示的圆的圆心在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限10. 在上（）A. 是增函数B.是减函数C. 有最大值D. 有最小值11. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A 1个B 2个C 3个D 4个12.设椭圆的右焦点为，方程的两实根分别为，则（）A．必在圆内 B．必在圆外C．必在圆上 D．以上三种情况都有可能第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13．是双曲线的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点的距离等于4，则点P到焦点的距离为．14．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，拱桥内水面宽度是．15．直线3x-2y+6=0与曲线-=1有个交点。
【精品】2018学年海南省文昌市孔子中学高二上学期期中数学试卷和解析
2018-2019学年海南省文昌市孔子中学高二（上）期中数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）由a1=1，d=3确定的等差数列{a n}中，当a n=298时，序号n等于（）A．99 B．100 C．96 D．1012．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1 D．3．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1﹣a n=2，则a51的值为（）A．49 B．89 C．99 D．1014．（5分）已知x＞0，函数y=+x的最小值是（）A．6 B．5 C．4 D．35．（5分）在等比数列{a n}中，a1=，q=，a n=，则项数n为（）A．3 B．4 C．5 D．66．（5分）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0 B．a＜0，△≤0 C．a＞0，△≥0 D．a＞0，△＞07．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（）A．5 B．3 C．7 D．88．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解9．（5分）在△ABC中，如果sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么cosC等于（）A．B．C．D．10．（5分）一个等比数列{a n}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A．63 B．108 C．75 D．8311．（5分）已知数列{a n}为等比数列，且a4•a6=2a5，设等差数列{b n}的前n项和为S n，若b5=2a5，则S9=（）A．36 B．32 C．24 D．2212．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足acosA+bcosB=ccosC，则△ABC为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，B=45°，c=2，b=，那么A=．14．（5分）已知等差数列{a n}的前3项依次为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项a n为．15．（5分）不等式＞1的解集是．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，那么它的通项公式为a n=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知等比数列{a n}中，，求其第4项及前5项和．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC﹣ccos（A+C）=3acosB．（1）求cosB的值；（2）若•=2，且a=，求b的值．19．（10分）（1）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0（2）求函数的定义域：．20．（12分）在△ABC中，BC=a，AC=b，a，b是方程x2﹣2x+2=0的两个根，且2cos（A+B）=1．求：（1）角C的度数；（2）边AB的长．21．（12分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是，则不等式ax2﹣5x+（a2﹣1）＞0的解集是．22．（14分）已知数列{a n}满足a n=2a n﹣1+2n﹣1（n∈N*，n≥2），且a4=81（1）求数列的前三项a1、a2、a3的值；（2）是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；求数列a n通项公式．。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
【精品】2018学年海南省文昌中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018-2019学年海南省文昌中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）数列{a n }满足a n =4a n ﹣1+3且a 1=0，则此数列第4项是（ ）A ．15B ．16C ．63D ．2552．（5分）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．a 2＞b 2B ．＜1C ．lg （a ﹣b ）＞0D ．（）a ＜（）b3．（5分）不等式﹣x 2﹣2x +3≤0的解集为（ ）A ．{x |x ≥3或x ≤﹣1}B ．{x |﹣1≤x ≤3}C ．{x |﹣3≤x ≤1}D ．{x |x ≤﹣3或x ≥1}4．（5分）在△ABC 中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b 等于（ ）A ．4B ．C ．4D ．5．（5分）设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x +3y +1的最大值为（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8.5 6．（5分）已知p ：x ≥k ，q ：＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．（2，+∞）C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1]7．（5分）命题“若x 2＜4，则﹣2＜x ＜2”的逆否命题是（ ）A ．若x 2≥4，则x ≥2或x ≤﹣2B ．若﹣2＜x ＜2，则x 2＜4C ．若x ＞2或x ＜﹣2，则x 2＞4D ．若x ≥2，或x ≤﹣2，则x 2≥48．（5分）当x ＞2时，不等式x +a 恒成立，则实数a 的（ ）A ．最小值是8B ．最小值是6C ．最大值是8D ．最大值是69．（5分）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB=AD ，2AB=BD ，BC=2BD ，则sinC 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）记实数x 1，x 2，…x n 中的最大数为max {x 1，x 2，…x n }，最小数为min {x 1，x 2，…x n }．已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜度为t=max{，，}•min{，，}，x，则“t=1”是“△ABC为等边三角形”的（）A．充分但不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件11．（5分）已知函数f（n）=n2cos（nπ），且a n=f（n），则a1+a2+a3+…+a100=（）A．0 B．100 C．5050 D．1020012．（5分）在R上定义运算⊗：x⊗y=x（1﹣y），要使不等式（x﹣a）⊗（x+a）＞1成立，则实数a 的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．或D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}的前9项之和S9等于．14．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为．15．（5分）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．16．（5分）下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根；③“x＞2”是“＜”的充分不必要条件；④设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的充分而不必要条件．其中真命题的序号是．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列，求数列{a n}的通项公式．18．（5分）要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为m．。
海南省文昌中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学文试题 含答案 精品
2017—2018学年度第一学期高二年级数学(文科)段考试题（考试用时为120分钟，满分分值为150分）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若21,1x x >>则”的否命题为“若21,1x x >≤则”B ．“1x =-”是“2230x x --=”的充要条件C ．命题“,x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是“,x R ∀∈均有210x x ++<”D ．命题“若x y =,则cos x =cosy ”的逆否命题为真命题2．已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝3．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的实轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．x y 2±=B ．x y 2±=C ．x y 22±=D ．x y 21±= 4．在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．45．曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的（ ）A ．焦距相同 B ．焦点相等C ．离心率相等D ．渐近线相同6．设,xyR ∈，且2y 是1x +和1x -的等比中项，则动点P (),x y 的轨迹为除去x 轴上点的（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．双曲线的一支D ．一个椭圆7．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是（ ）A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(1,4)D ． (0,3)8．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d ) 9．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°10．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =（ ）A.eB.2eC.ln 22D. ln 211．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1012．若f (x )＝2x 3－6x 2＋3－a ，对任意的x ∈[－2,2]都有f (x )≤0，则a 的取值范围为（ ）A ．(－∞，3)B ．(2，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,3)第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 .14．已知椭圆22212x y a +=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合,则该椭圆的离心率是 .15．已知点P ()2,2在曲线3y ax bx =+上，如果该曲线在点P 处切线的斜率为9，那么ab =____________.16．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 cm .三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 17．(本小题满分10分)已知椭圆M ：2221(0)3x y a a+=>的一个焦点为(1,0)F -. 经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长。
海南省文昌中学2017-2018学年高三模拟考试(一)数学(理)试题 Word版含答案
海南省文昌中学2017-2018学年高三第一次模拟考试试题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.)1．已知a b R ∈，，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +＝（ ） A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i +2. 设集合{} 12A x R x =∈-<，{}2,xB y R y x R =∈=∈，则AB ＝（ ）A ．∅B ．()0 3，C ．[)0 3，D ．()1 3-，3．已知⎬⎨⎨≤-1|1|x ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧≤-≤-=1|1|1|1|),(y x y x A ⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎧⎩⎧≤-=1|1|),(y y x A , ()()}111|),{(22≤-+-=y x y x B ，“存在点A P ∈”是“B P ∈”的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件4．数列{n a }的前n 项和)(322+∈-=N n n n S n ，若5p q -=,则q p a a -=（ ） A. 10B. 15C. -5D. 205．已知x ，y 满足约束条件 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（ ） A ．12或－1 B ．2或12 C ．2或1D ．2或－16．如图给出的是计算111124620++++的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >7．函数y = y =的图像如图所示，则函数cos()y kx ωϕ=+，x R ∈y ＝g （x ）的图像，则函数()y g x =在（0）A ．是减函数B ．是增函数C ．先增后减函数D ．先减后增函数8．将一张边长为6 cm 的正方形纸片按如图l 所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥(底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心)模型，如图2放置．若正四棱锥的正视图是正三角形(如图3)，则正四棱锥的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．9. 如图，AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上， 则OP AP ⋅的最小值为（ ） A ．1- B ．81-C ．41-D ．21-10．已知12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点,M N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（ ） A ．13-B ．32-C ．22D ．23 11．如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上.用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部AOCBP分）.设截面面积分别为圆S 和圆环S ，那么 A ．圆S >圆环S B ．圆S =圆环S C ．圆S <圆环S D ．不确定12．定义在R 上的函数)(x f 对任意1x 、)(212x x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f ，且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--．则当14s ≤≤时，ts st +-2的取值范围是（ ） A ．)21,3[-- B ．]21,3[--C ．)21,5[--D ．]21,5[--第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．如图为了测量A ,C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）:AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，如图所示，且A 、B 、C 、D 四点共圆，则AC 的长为_________km ． 14．函数1()log 0x x f x xx +≤⎧=⎨>⎩2，则函数[()]1y f f x =+的所有零点所构成的集合为________．15．如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A 、B 分别在抛物线x y 82=及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆ 的周长的取值范围是 _. 16.“渐升数”是从左边第二位起每个数字都比其前面的数字大的正整数（如13456和35678都是五位的“渐升数”）. （Ⅰ）共有 个五位“渐升数”（用数字作答）；（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第110个五位“渐升数”是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题12分）已知x x f 2sin2)(π=，集合M =(){}2,0x f x x =>，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{}n a ，*∈N n . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记211+=n n a b ，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证41<n T .18.（本小题满分12分）某大学的一个社会实践调查小组,在对大学生的良好“光盘习惯”的调査中,随机发放了l20份问巻。
【精编】2017-2018年海南省文昌中学高一(上)数学期中试卷带解析答案
2017-2018学年海南省文昌中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．（5.00分）已知f（x）=，则f（﹣3）为（）A．2 B．3 C．4 D．53．（5.00分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2} 4．（5.00分）已知，则m等于（）A．B．C．D．5．（5.00分）设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）6．（5.00分）定义在R 上的函数f （x）满足f （x+y）=f （x）+f （y）+2xy （x，y∈R ），f （1）=2，f （﹣1）等于（）A．0 B．2 C．3 D．47．（5.00分）与函数y=lg（x﹣1）的定义域相同的函数是（）A．y=x﹣1 B．y=|x﹣1|C．y= D．y=8．（5.00分）设a=lg0.2，b=log32，c=5，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．（5.00分）已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．（5.00分）幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）C．（0，﹣∞）D．（﹣∞，+∞）11．（5.00分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．12．（5.00分）设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），则下列关系式中一定成立的是（）A．3c＞3b B．3b＞3a C．3c+3a＞2 D．3c+3a＜2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5.00分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B=．14．（5.00分）已知4a=2，lgx=a，则x=．15．（5.00分）已知函数f （x）是定义在R上的奇函数且f（x+2）=f（x），当0＜x＜1时，f （x）=9x，则f （）+f（1）=．16．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（10.00分）记函数f （x）=log 2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g （x）=的定义域为集合N．求：（Ⅰ）集合M、N；（Ⅱ）集合M∩N、M∪N．18．（12.00分）已知函数f （x ）=|x﹣a|，g （x ）=x 2+2ax+1 （ a 为正常数），当x=0 时，函数f （x ）=g （x ）．（1）求a 的值；（2）求函数 f （x ）+g （x ）的单调递增区间．19．（12.00分）已知函数f （x）=x 2﹣2x﹣2．（Ⅰ）用定义证明：函数 f （x）在区间（﹣∞，1]上是减函数；（Ⅱ）若函数g （x）=f （x）﹣mx 是偶函数，求实数m 的值．20．（12.00分）某机械生产厂家每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：（Ⅰ）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？21．（12.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：（1）写出函数f（x），x∈R的增区间；（2）写出函数f（x），x∈R的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值．22．（12.00分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2017-2018学年海南省文昌中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：A∪B={x|x≥1或x≤0}，∴C U（A∪B）={x|0＜x＜1}，故选：D．2．（5.00分）已知f（x）=，则f（﹣3）为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣3）=f（﹣1）=f（1）=f（3）=f（5）=f（7）=7﹣5=2，故选：A．3．（5.00分）已知集合A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：A={x|（x+1）（x﹣2）≤0}={x|﹣1≤x≤2}，又集合B为整数集，故A∩B={﹣1，0，1，2}故选：D．4．（5.00分）已知，则m等于（）A．B．C．D．【解答】解：设，则x=2t+2，∴f（t）=4t+7，∴f（m）=4m+7=6，解得m=﹣．故选：A．5．（5.00分）设函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）【解答】解：令f（x）=x3﹣，∵f′（x）=3x2﹣ln=3x2+ln2＞0，∴f（x）=x3﹣在R上单调递增；又f（1）=1﹣=＞0，f（0）=0﹣1=﹣1＜0，∴f（x）=x3﹣的零点在（0，1），∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），∴x0所在的区间是（0，1）．故选：A．6．（5.00分）定义在R 上的函数f （x）满足f （x+y）=f （x）+f （y）+2xy （x，y∈R ），f （1）=2，f （﹣1）等于（）A．0 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意，令x=y=0，可得f（0）=0令x=1，y=﹣1，可得f（0）=f（1）+f（﹣1）﹣2即f（﹣1）=f（0）=0故选：A．7．（5.00分）与函数y=lg（x﹣1）的定义域相同的函数是（）A．y=x﹣1 B．y=|x﹣1|C．y= D．y=【解答】解：函数y=lg（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．而函数y=x﹣1的定义域为R；函数y=|x﹣1|的定义域为R；函数y=的定义域为（1，+∞）；函数y=的定义域为[1，+∞）．∴与函数y=lg（x﹣1）的定义域相同的函数是y=．故选：C．8．（5.00分）设a=lg0.2，b=log32，c=5，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：a=lg0.2＜0，b=log32∈（0，1），c=5＞1．∴a＜b＜c．故选：A．9．（5.00分）已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选：C．10．（5.00分）幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，0）C．（0，﹣∞）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：设幂函数为y=x a，把点，得，解得a=﹣2．∴幂函数为y=x﹣2．∴它的单调递增区间是（﹣∞，0）．故选：B．11．（5.00分）函数y=（0＜a＜1）的图象的大致形状是（）A．B．C．D．【解答】解：当x＞0时，|x|=x，此时y=a x（0＜a＜1）；当x＜0时，|x|=﹣x，此时y=﹣a x（0＜a＜1），则函数（0＜a＜1）的图象的大致形状是：，故选：D．12．（5.00分）设f（x）=|3x﹣1|，c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b），则下列关系式中一定成立的是（）A．3c＞3b B．3b＞3a C．3c+3a＞2 D．3c+3a＜2【解答】解：f（x）=|3x﹣1|=故可作出f（x）=|3x﹣1|的图象如图所示，由图可知，要使c＜b＜a且f（c）＞f（a）＞f（b）成立，则有c＜0且a＞0，故必有3c＜1且3a＞1，又f（c）﹣f（a）＞0即为1﹣3c﹣（3a﹣1）＞0，所以3c+3a＜2．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5.00分）设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B={7，9} ．【解答】解：∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}，∴（∁U A）={4，6，7，9 }，∴（∁U A）∩B={7，9}，故答案为：{7，9}．14．（5.00分）已知4a=2，lgx=a，则x=．【解答】解：由4a=2，得，再由lgx=a=，得x=．故答案为：．15．（5.00分）已知函数f （x）是定义在R上的奇函数且f（x+2）=f（x），当0＜x＜1时，f （x）=9x，则f （）+f（1）=﹣3．【解答】解：根据题意，函数满足f（x+2）=f（x），则函数f（x）是周期为2的周期函数，当x=﹣1时，有f（﹣1+2）=f（1），即f（﹣1）=f（1），又由函数为奇函数，则f（﹣1）=﹣f（1），则有f（1）=﹣f（1），即f（1）=0，f （）=﹣f（）=﹣f（），当0＜x＜1时，f （x）=9x，则f（）==3，则f（﹣）=﹣f（）=﹣3，则f （）+f（1）=﹣3；故答案为：﹣316．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．（10.00分）记函数f （x）=log 2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g （x）=的定义域为集合N．求：（Ⅰ）集合M、N；（Ⅱ）集合M∩N、M∪N．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=log 2（2x﹣3）的定义域为集合M，M={x|2x﹣3＞0}={x|x＞}，N={x|（x﹣3）（x﹣1）≥0}={x|x≥3或x≤1}；（Ⅱ）M∩N={x|x≥3}；M∪N={x|x≤1或x＞}．18．（12.00分）已知函数f （x ）=|x﹣a|，g （x ）=x 2+2ax+1 （ a 为正常数），当x=0 时，函数f （x ）=g （x ）．（1）求a 的值；（2）求函数 f （x ）+g （x ）的单调递增区间．【解答】解：（1）由题意，f （0 ）=g （0 ），即|a|=1 又a＞0，所以a=1；（2）f （x ）+g （x ）=|x﹣1|+x2+2x+1，当x≥1时，f （x ）+g （x ）=x2+3x，它在[1，+∞）上单调递增；当x＜1时，f （x ）+g （x ）=x2+x+2，它在[﹣，1 ）上单调递增．则函数f （x ）+g （x ）的单调递增区间为[1，+∞）∪[﹣，1 ）=[﹣，+∞）．19．（12.00分）已知函数f （x）=x 2﹣2x﹣2．（Ⅰ）用定义证明：函数 f （x）在区间（﹣∞，1]上是减函数；（Ⅱ）若函数g （x）=f （x）﹣mx 是偶函数，求实数m 的值．【解答】解：（Ⅰ）设﹣∞＜x1＜x2≤1，…（2分）所以，f（x1）﹣f（x2）=（x12﹣2x1﹣2）﹣（x22﹣2x2﹣2）=（x1﹣x2）（x1+x2﹣2），…（4分）因为﹣∞＜x1＜x2，所以，x1﹣x2＜0，x1+x2﹣2＜0，所以，f（x1）﹣f（x2）＞0，…（6分）所以，f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（﹣∞，1]上是减函数．…（8分）（Ⅱ）因为函数g（x）=f（x）﹣mx=x2﹣（2+m）x﹣2，…（10分）又因为g（x）是偶函数，2+m=0，∴m=﹣2．…（12分）20．（12.00分）某机械生产厂家每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）=，假定生产的产品都能卖掉，请完成下列问题：（Ⅰ）写出利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【解答】解：（Ⅰ）由题意得G（x）=2.8+x (2)分∴f（x）=R（x）﹣G（x）=．…6 分（Ⅱ）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）=3.2（万元）．…8 分当0≤x≤5时，函数f（x）=﹣0.4（x﹣4）2+3.6当x=4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．…11 分∴当工厂生产400台时，可使赢利最大为3.6万元．…12 分21．（12.00分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+2x．现已画出函数f（x）在y轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：（1）写出函数f（x），x∈R的增区间；（2）写出函数f（x），x∈R的解析式；（3）若函数g（x）=f（x）﹣2ax+2，x∈[1，2]，求函数g（x）的最小值．【解答】解：（1）如图，根据偶函数的图象关于y轴对称，可作出f（x）的图象，（2分），则f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）；（5分）（2）令x＞0，则﹣x＜0，∴f（﹣x）=x2﹣2x∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣2x∴解析式为f（x）=（10分）（3）g（x）=x2﹣2x﹣2ax+2，对称轴为x=a+1，当a+1≤1时，g（1）=1﹣2a为最小；当1＜a+1≤2时，g（a+1）=﹣a2﹣2a+1为最小；当a+1＞2时，g（2）=2﹣4a为最小；∴g（x）=．（16分）22．（12.00分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素，求a的值；（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞1化为：＞1，∴2，化为：，解得0＜x＜1，经过验证满足条件，因此不等式的解集为：（0，1）．（2）方程f（x）+log2（x2）=0即log2（+a）+log2（x2）=0，∴（+a）x2=1，化为：ax2+x﹣1=0，若a=0，化为x﹣1=0，解得x=1，经过验证满足：关于x的方程f（x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．若a≠0，令△=1+4a=0，解得a=，解得x=2．经过验证满足：关于x的方程f （x）+log2（x2）=0的解集中恰有一个元素1．综上可得：a=0或﹣．（3）a＞0，对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，∴﹣≤1，∴≤2，化为：a≥=g（t），t∈[，1]，g′（t）===≤＜0，∴g（t）在t∈[，1]上单调递减，∴t=时，g（t）取得最大值，=．∴．∴a的取值范围是．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2017-2018年海南省文昌中学高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2017-2018学年海南省文昌中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣22．（5分）已知命题p：1∈{x|（x+2）（x﹣2）＜0}；命题q：0∈∅．下列判断正确的是（）A．p假q真B．“p∨q为真” C．“p∧q为真” D．p假q假3．（5分）a∈R，|a|＜4成立的一个必要不充分条件是（）A．a＜4 B．|a|＜3 C．a2＜16 D．0＜a＜34．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）在抛物线y2=8x中，以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．x﹣4y﹣3=0 B．x+4y+3=0 C．4x+y﹣3=0 D．4x+y+3=07．（5分）已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c表示，则等于（）A．B．C．D．8．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．39．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．10．（5分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．811．（5分）二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=1，则CD的长等于（）A．B．C．2 D．12．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于两点A，B（A，B异于原点），抛物线的焦点为F，若双曲线的离心率为2，|AF|=7，则p=（）A．3 B．6 C．12 D．42二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是个．14．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．15．（5分）过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1，BC1上，且AM=AB1，BN=BC1，则下列结论：①AA1⊥MN②A1C1∥MN③MN∥面A1B1C1D1④B1D1⊥MN正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：（1）CM∥平面PAD；（2）平面PAB⊥平面PAD．18．（12分）若F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，p是该椭圆上的一个动点，且．（1）求出这个椭圆方程；（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD=2，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．20．（12分）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M 为PD上一点，且|MD|=|PD|．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B 1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．2017-2018学年海南省文昌中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2【解答】解：∵α∥β，∴两平面的法向量平行则（﹣2，﹣4，k）=λ（1，2，﹣2），∴﹣2=λ，k=﹣2λ，∴k=4．故选C2．（5分）已知命题p：1∈{x|（x+2）（x﹣2）＜0}；命题q：0∈∅．下列判断正确的是（）A．p假q真B．“p∨q为真” C．“p∧q为真” D．p假q假【解答】解：解不等式（x+2）（x﹣2）＜0得：x∈（﹣2，2）；∴命题p：1∈{x|（x+2）（x﹣2）＜0}为真命题；命题q：0∈∅为假命题；∴p假q真，错误；“p∨q”为真，正确；“p∧q”为真，错误；“p假q假”，错误；故选：B．3．（5分）a∈R，|a|＜4成立的一个必要不充分条件是（）A．a＜4 B．|a|＜3 C．a2＜16 D．0＜a＜3【解答】解：|a|＜4即﹣4＜a＜4⇒a＜4，因此|a|＜4成立的一个必要不充分条件是a＜4，4．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．5．（5分）在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：取A1D1中点，连接EF、DF、A1C1，∵正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A∥C1C且A1A=C1C∴四边形AA1C1C是平行四边形，可得A1C1∥AC又∵△A1C1D1中，EF是中位线∴EF∥A1C1，且EF=A1C1．由此可得EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角设正方体的棱长为a，则△DEF中DF=DE==a，EF=A1C1=a由余弦定理，得cos∠DEF==＞0可得∠DEF是锐角，因此∠DEF是异面直线DE与AC所成的角，余弦值为6．（5分）在抛物线y2=8x中，以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．x﹣4y﹣3=0 B．x+4y+3=0 C．4x+y﹣3=0 D．4x+y+3=0【解答】解：设以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线交抛物线为：A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）=8（x1﹣x2），∵，∴y1+y2=﹣2，∴=﹣4，∴以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线的斜率为﹣4，∴以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线方程为：y+1=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣3=0，所以，所求的直线方程为：4x+y﹣3=0，故选：C．7．（5分）已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c表示，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知=﹣∵∴故选：D．8．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y=0，由题设知，，∴，b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=．故选：B．9．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．=（1，1，﹣1），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，1），设平面ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，1，2），点E到平面ACD1的距离为：h===．故选：C．10．（5分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选：C．11．（5分）二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=1，则CD的长等于（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD ⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于120°，且AB=AC=BD=1，∴CD===2故选：C．12．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于两点A，B（A，B异于原点），抛物线的焦点为F，若双曲线的离心率为2，|AF|=7，则p=（）A．3 B．6 C．12 D．42【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）可得F（，0），|AF|=7，则A（7﹣，y A），可得y A2=2p（7﹣），双曲线的离心率为2，，解得=3，即：==3，解得p=6．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是2个．【解答】解：若a＞b，c2=0，则ac2=bc2．∴原命题若a＞b，则ac2＞bc2为假命题；∵逆否命题与原命题等价，∴逆否命题也为假命题；原命题的逆命题是：若ac2＞bc2，则c2≠0且c2＞0，则a＞b．∴逆命题为真命题；又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真命题；综上，四个命题中，真命题的个数为2．故答案为：2．14．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．【解答】解：设双曲线方程为∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为故答案为15．（5分）过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为16．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，2p=8，=2，∴抛物线的焦点是F（2，0）．∵直线的倾斜角为45°，∴直线斜率为k=tan45°=1可得直线方程为：y=1×（x﹣2），即y=x﹣2．设直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），联解，消去y得x2﹣12x+4=0，∴x1+x2=12，根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+=x1+2，|BF|=x2+=x2+2，∴|AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直线被抛物线截得的弦长为16．故答案为：16．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1，BC1上，且AM=AB1，BN=BC1，则下列结论：①AA1⊥MN②A1C1∥MN③MN∥面A1B1C1D1④B1D1⊥MN正确命题的序号是①③．【解答】解；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的四条棱A1A，B1B，C1C，D1D上分别取点G，F，E，H四点，使AG=A1A，BF=B1B，CE=C1C，DH=D1D，连接GF，FE，EH，HG，∵点M、N分别在AB1、BC1上，且AM=AB1，BN=BC1，∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A1B1C1D1，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥平面GFEH，∵MN⊂平面GFEH，∴AA1⊥MN，故①正确；∵A1C1∥GE，而GE与MN不平行，∴A1C1与MN不平行，故②错误；∵平面GFEH∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面GFEH，∴MN∥平面A1B1C1D1，故③正确；∵B1D1∥FH，FH⊂平面GFEH，MN⊂平面GFEH，且MN与FH不垂直，∴B1D1与MN不垂直，故④错误．∴正确命题只有①③．故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：（1）CM∥平面PAD；（2）平面PAB⊥平面PAD．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz，C为坐标原点O，（1）证明：如图，建立空间直角坐标系．∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，即∠PBC=30°．∵|PC|=2，∴|BC|=2，|PB|=4．得D（1，0，0）、B（0，2，0）、A（4，2，0）、P（0，0，2）．∵PB=4PM，∴|MB|=3|PM|，∴|PM|=1，M（0，，），=（0，，），=（﹣1，0，2），=（3，2，0）．设=x+y（x、y∈R），则（0，，）=x（﹣1，0，2）+y（3，2，0）⇒x=且y=，∴=+．∴、、共面．又∵C∉平面PAD，故CM∥平面PAD．（2）证明：过B作BE⊥PA，E为垂足．∵|PB|=|AB|=4，∴E为PA的中点．∴E（2，，1），=（2，﹣，1）．又∵•=（2，﹣，1）•（3，2，0）=0，∴⊥，即BE⊥DA．而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD．∵BE⊂面PAB，∴面PAB⊥面PAD．18．（12分）若F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，p是该椭圆上的一个动点，且．（1）求出这个椭圆方程；（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知可得：2a=4，2c=2，∴a=2，c=，则b2=a2﹣c2=1．∴椭圆方程为；（2）存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使，此时k=±2．由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为y=kx+2．联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0．则△=（16k）2﹣48（1+4k2）=64k2﹣48＞0，得或．再设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由，得x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4==0．解得：k=±2，符合△＞0．∴存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD=2，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）取DC的中点O，连接PO，OA，∵侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD．…（1分）∴PO⊥底面ABCD，∵底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，则OA⊥DC．…（2分）以O原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则A（，0，0），P（0，0，），B（，2，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），∴M（，1，），…（4分）∴=（，2，），=（，0，﹣），=（0，2，0），∴=×+0×2+（﹣）×=0，=×0+0×2+（﹣）×0=0，∴⊥，⊥，∴PA⊥DM，PA⊥DC，∵DM∩DC=D，∴PA⊥平面DMC．…（7分）解：（2）=（），=（，1，0），设平面B MC的法向量为=（x，y，z），由，得x+z=0，由=0，得x+y=0．取x=﹣1，则y=，z=1，∴一个法向量=（﹣1，，1）．…（9分）由（1）知，平面CDM的一个法向量可取=（，0，﹣）．所以cos＜，＞===﹣．…（11分）观察可知二面角D﹣MC﹣B为钝角，所以所求二面角的余弦值是﹣．…（12分）20．（12分）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M 为PD上一点，且|MD|=|PD|．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），由|MD|=|PD|，解得：∵P在圆上，∴x'2+y'2=25，即，整理得：，即C的方程为：；…（4分）（2）过点（3，0），斜率为k=，的直线方程为：，…（6分）设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入C的方程，得，整理得：x2﹣3x﹣8=0…（8分）∴由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，…（10分）∴线段AB的长度为，线段AB的长度丨AB丨=…（12分）21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B 1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD 1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）． ∴，∴抛物线C ：y 2=8x ．（2）证明：①设点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则：，即：，k PQ ==，又∵P ，Q 关于直线l 对称，∴k PQ =﹣1，即y 1+y 2=﹣2p ，∴，又PQ 的中点在直线l 上，∴==2﹣p ，∴线段PQ 的中点坐标为（2﹣p ，﹣p ）； ②因为Q 中点坐标（2﹣p ，﹣p ）．∴，即∴，即关于y 2+2py +4p 2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p ）2﹣4（4p 2﹣4p ）＞0， ∴p ∈．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°AB E挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.A变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
【精编】海南省海南中学2018-2019学年高二数学上学期期中试卷.doc
海南中学2018—2019学年第一学期期中考试高二数学试题卷（考试范围：选修2—1）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1、若命题p ：2sin ,=∈∃x R x ，则命题p ⌝为（ ）A.不存在2sin ,≠∈x R xB.2sin ,≠∈∃x R xC.2sin ,=∈∀x R xD.2sin ,≠∈∀x R x2、“2=a ”是“直线1=-y x 和直线032=++ay x 互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、已知椭圆C 的方程为116922=+y x ，则椭圆C 的离心率为（ ） A.167 B.37 C.47 D.43 4、已知向量a r ＝(0,1,-1)，b r ＝（2,1,0），且a r +k b r 与2-a b r r 互相垂直，则k的值为( ) A. 1 B. -1 C.21 D.21- 5、已知双曲线15422=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上，且M 1F ⊥x 轴，则1F 到直线M 2F 的距离为（ ）A.310B.1330C.1310 D.1130 6、已知四面体ABCD 的各棱长均为1，E 、F 、G 分别是BC 、AD 、DC 的中点，则∙的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 41 D. 81 7、在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是AB 的中点，则直线11B A 与平面E C A 11所成角的正弦值为（ ） A.31 B.35 C.52 D.32 8、已知点P 是抛物线x y 42=上的一个动点，设点P 到y 轴的距离为d ，点A(3,4)，则|PA|+d 的最小值为（ ）A ．3B ．152-C ．52D ．152+9、在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB=AC=1，21=AA ， 90=∠BAC ，M 、N 、分别是B A 1、AC 的中点，则直线MN 与C A 1所成角的余弦值为( ) A.1030 B.31 C.66 D.630 10、已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和 圆C ：01422=+-+x y x 相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为（ ） A. 1322=-y x B. 1322=-y x C.12222=-y x D.1522=-y x11、在三棱锥P-ABC 中，已知AB=AC=BC=2，PA=4，且PA ⊥底面ABC ，若点D 满足：2=，则二面角P-AC-D 的余弦值为（ ） A.772 B.22 C.772- D.721 12、已知抛物线22-=x y 上存在关于直线0=-y x 对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于（ ） A. 5 B. 6 C. 10 D. 52二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高二上学期期中数学试卷一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=16．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．2017-2018学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：阅读型．分析：根据空间中直线与平面的位置关系可得答案．解答：解：根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握空间中点、直线以及平面之间的位置关系．2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．10考点：斜率的计算公式．专题：计算题．分析：因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．解答：解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2， m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．点评：本题考查两斜率存在的直线平行的条件是斜率相等，以及斜率公式的应用．3．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=0考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：首先讨论斜率不存在的情况，直线方程为x=﹣1满足条件．当斜率存在时，设直线方程为：y﹣5=k （x+1）．利用圆心到直线的距离等于半径解得k的值，从而确定圆的切线方程．解答：解：①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．点评：本题考查直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式等知识的运用．做题时容易忽略斜率不存在的情况．属于中档题．4．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：充分利用线面平行和线面垂直的性质和判定定理对四个选项逐一解答．A选项用垂直于同一条直线的两个平面平行判断即可；B选项用两个平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；C选项用线面垂直的性质定理判断即可；D选项由线面平行的性质定理判断即可．解答：解：A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．点评：本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．5．（5分）点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=4 C．（x+4）2+（y﹣2）2=1 D．（x+2）2+（y﹣1）2=1考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则，由此能够轨迹方程．解答：解：设圆上任意一点为（x1，y1），中点为（x，y），则代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故选A．点评：本题考查点的轨迹方程，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．6．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36πB．28πC．20πD．16π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，代入圆锥体积公式，可得答案．解答：解：将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D点评：本题考查的知识点是旋转体，其中分析出旋转得到的几何体形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图的数据，直接求解三棱柱的表面积．解答：解：因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．点评：本题考查几何体的三视图的应用，几何体的表面积的求法，考查计算能力．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：抛物线的应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以设出点C的坐标（a，a2），求出C到直线AB的距离，得出三角形面积表达式，进而得到关于参数a的方程，转化为求解方程根的个数（不必解出这个跟），从而得到点C的个数．解答：解：设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A点评：本题考查了截距式直线方程，点到直线的距离公式，三角形的面积的求法，就参数的值或范围，考查了数形结合的思想二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为x2+（y﹣1）2=1．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），求出圆心，再根据半径求得圆的方程．解答：解：圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．点评：本题主要考查求圆的标准方程，利用了点（a，b）关于直线y=x±k的对称点为（b，a），属于基础题．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为11cm．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离．解答：解：设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm故答案为：11cm点评：本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为12π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半径，然后求解球O的表面积．解答：解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．点评：本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力、计算能力．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，利用余弦函数，即可求出cosα：cosβ．解答：解：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（5分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a=±．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．三.解答题（公3小题，共30分）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A、B、C的坐标代入，建立关于D、E、F的方程组，解之即可得到△ABC的外接圆E的方程；（II）化圆E为标准方程，得圆心为E（1，2），半径r=1．设直线l方程为y=kx，由点到直线的距离公式和垂径定理建立关于k的方程，解之得到k=1或7，由此即可得到直线l的方程．解答：解：（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．点评：本题给出三角形ABC三个顶点，求它的外接圆E的方程，并求截圆所得弦长为的直线方程．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D，E分别为AB，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥面PBC；（Ⅱ）求证：AB⊥PE；（Ⅲ）求三棱锥B﹣PEC的体积．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）根据三角形中位线定理，证出DE∥BC，再由线面平行判定定理即可证出DE∥面PBC；（II）连结PD，由等腰三角形“三线合一”，证出PD⊥AB，结合DE⊥AB证出AB⊥平面PDE，由此可得AB ⊥PE；（III）由面面垂直性质定理，证出PD⊥平面ABC，得PD是三棱锥P﹣BEC的高．结合题中数据算出PD=且S△BEC=，利用锥体体积公式求出三棱锥P﹣BEC的体积，即得三棱锥B﹣PEC的体积．解答：解：（I）∵△ABC中，D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC∵DE⊄面PBC且BC⊂面PBC，∴DE∥面PBC；（II）连结PD∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB，又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，∴AB⊥平面PDE∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE；（III）∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P﹣BEC的高又∵PD=，S△BEC=S△ABC=∴三棱锥B﹣PEC的体积V=V P﹣BEC=S△BEC×PD=点评：本题在三棱锥中求证线面平行、线线垂直，并求锥体的体积．着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于中档题．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）先根据线面垂直的性质证明出BB1⊥A1C1．进而根据菱形的性质证明出A1C1⊥B1D1．最后根据线面垂直的判定定理证明出A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．先证明OC1∥AE和OC1=AE，推断出AOC1E为平行四边形，进而推断AO∥C1E，最后利用线面平行的判定定理证明出AO∥平面BC1D．（Ⅲ）先由E为BD中点，推断出BD⊥C1E，进而根据C1D=C1B，推断出ME⊥BD，进而根据OM⊥BD，推断出BD∥B1D1．直角三角形OC1E中利用射影定理求得OM．解答：解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．点评：本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．四.填空题（每小题4分，共20分）18．（4分）已知（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，则实数a的值是1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：在展开式的通项公式，令x的指数为3，利用（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，即可实数a的值．解答：解：（ax+1）5的展开式的通项公式为T r+1=，则∵（ax+1）5的展开式中x3的系数是10，∴=10，∴a=1．故答案为：1．点评：二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题的重要方法．19．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为4．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：根据侧面展开图求解得出，再利用直角三角形求解．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，点评：本题考查了空间几何体中的最小距离问题，属于中档题．20．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是（0，]．考点：棱锥的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：运用图形得||=||，再根据向量求解．解答：解：0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=|OB|=，||=||==，θ∈（0°，180°]∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]点评：本题考查了向量的运用求解距离，属于中档题．21．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．解答：解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．（4分）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB| 22．的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．五.解答题（共3题，共30分）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．考点：直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由线面垂直得A1A⊥AB，再由AB⊥AC，能证明AB⊥面A1CC1．（II）由AB∥DE，在△ABC中，E是棱BC的中点，推导出D是线段AC的中点．（III）由已知条件推导出A1C⊥AC1，AB⊥A1C，从而得到A1C⊥面ABC1，由此能证明EF⊥AC1．解答：（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点的位置的确定，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．24．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（Ⅰ）分两种情况：当直线l的斜率存在时，设出直线l的斜率为k，由P的坐标和设出的k写出直线l的方程，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，让d等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，利用求出的k和P写出直线l的方程即可；当直线l的斜率不存在时，得到在线l的方程，经过验证符合题意；（Ⅱ）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（Ⅲ）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．解答：解：（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式及两点间的距离公式化简求值，考查了分类讨论的数学思想，以及会利用反证法进行证明，是一道综合题．25．（10分）设圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，直线l的方程为y=x+m﹣1．（Ⅰ）求C1关于l对称的圆C2的方程；（Ⅱ）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；（Ⅱ）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，这样得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．解答：解：（Ⅰ）∵圆C1的方程为（x﹣2）2+（y﹣3m）2=4m2，∴圆心为（2，3m），设它关于直线l：y=x+m﹣1的对称点为（a，b），则，解得a=2m+1，b=m+1，∴圆C2的圆心为（2m+1，m+1），∴圆C2的方程为：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2，∴C1关于l对称的圆C2的方程：（x﹣2m﹣1）2+（y﹣m﹣1）2=4m2．（Ⅱ）根据（Ⅰ）得圆C2的圆心为（2m+1，m+1），令，消去m得x﹣2y+1=0，它表示一条直线，故C2的圆心在一条定直线上，①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，∴=2|m|，即：（1﹣4k）m2+2（2k﹣1）（k+b﹣1）m+（k+b﹣1）2=0∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，∴所以有：，解得，∴C2所表示的一系列圆的公切线方程为：y=，∴故所求圆的公切线为x=0或y=．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（Ⅱ）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．。
【精品】2017-2018年海南省海南中学高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2017-2018学年海南省海南中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，0）2．（5分）已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．24．（5分）过曲线y=f（x）=图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x=0.5时割线的斜率为（）A．B．C．1D．﹣5．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若=，=，=，则=（）A．+﹣B．﹣+C．﹣++D．﹣+﹣6．（5分）函数y=f（x）的导函数图象如图所示，则下面判断正确的是（）A．在（﹣3，1）上f（x）是增函数B．在x=1处f（x）有极大值C．在（1，3）上f（x）为减函数D．在x=4处f（x）取极小值7．（5分）若，，且，则λ与μ的值分别为（）A．B．5，2C．D．﹣5，﹣2 8．（5分）点P在曲线y=x3﹣2x2+3x上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，）∪[，π）B．[0，）C．[，）∪[，π）D．（，]9．（5分）在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．10．（5分）已知：x=x1，x=x2是函数f（x）=ax3﹣ax2﹣x的两个极值点，且A （x1，），B（x2，），则直线AB与椭圆+y2=1的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．位置关系不正确11．（5分）已知圆P：x2+y2﹣4y=0及抛物线，过圆心P作直线l，此直线与两曲线有四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D．如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的方程为（）A．B．或C．D．或12．（5分）函数f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[m，n]?D，使f（x）在[m，n]的值域为[2m，2n]，那么就称函数f（x）为“倍域函数”．若f（x）=ln（e x+6x+t）是“倍域函数”，则实数t的取值范围是（）。
海南省文昌中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学理试题 含答案 精品
2017—2018学年度第一学期高二年级数学(理科)段考试题（完成时间：120分钟，满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答案写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝ ( )A ．2B ．－4C ．4D ．－22．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －2)<0}；命题q ：0∈∅. 下列判断正确的是 ( )A ．p 假q 真B ．“p ∨q 为真”C ．“p ∧q 为真”D ．p 假q 假3．a ∈R ，| a |<4成立的一个必要不充分条件是( )A ．a <4B ．| a |<3C ．a 2<16D ．0< a <34．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54C ．43D ．535．在如下图所示的正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是C 1D 1的中点，则异面直线DE 与AC 夹角的余弦值为( )A ．1010- B ．201- C ．201D ．1010 6．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( ) A ．x －4y －3＝0B ．x ＋4y ＋3＝0C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝07．已知三棱锥OABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于 ( )A ．12(c －a －b )B ．12(a ＋b －c )C ．12(a －b ＋c )D ．12(b ＋c －a ) 8．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A ． 2B ．3C ．2D ． 39．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为 ( )A ．12B ．22C ．13D ．1610．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则 OP →·FP →的最大值为( )A ．6B ．3C ．2D ．811．已知二面角α-l -β等于120°，A ，B 是棱l 上两点，AC ，BD 分别在半平面α，β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于( ) A ． 2B ．2C ． 3D ． 512．已知抛物线y 2=2px(p>0)与双曲线2222x y a b=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B 异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=( )A ．3B ．6C ．12D ．42第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.14．与双曲线1422=-y x 有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是 ．15．过抛物线y 2＝8x 的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 ．16．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在AB 1，BC 1上，且AM=31AB 1，BN=31BC 1，则下列结论：①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ；③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④BD 1⊥MN. 其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分) 如图,在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC=2，在四边形ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M 在PB 上，PB=4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角.求证：（1）CM ∥平面PAD ；（2）平面PAB ⊥平面PAD.18．(本小题满分12分) 若F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是该椭圆上的一个动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3.（1）求出这个椭圆的方程；（2）是否存在过定点N (0，2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，使OA →⊥OB →(其中O 为坐标原点)？若存在，求出直线l 的斜率k ；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥 P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ADC ＝60°，侧面PDC 是正三角形，平面PDC ⊥平面ABCD ，CD＝2，M 为PB 的中点．（1）求证：P A ⊥平面CDM ；（2）求二面角 D －MC －B 的余弦值．20．(本小题满分12分) 设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．21．(本小题满分12分) 如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．（1）证明B 1C 1⊥CE ；（2）求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；（3）设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM的长．22．(本小题满分12分) 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)．（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程；（2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )；②求p 的取值范围．2017—2018学年度第一学期高二年级数学(理科)段考试题参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C B A D D C A D C A BB 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．2 14．112322=-y x 15．16 16．①③三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17．证明：如图建立空间直角坐标系C-xyz.因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，……1分所以∠PBC=30°，因为PC=2，所以BC=23错误！未找到引用源。
数学-高二-海南省海南中学高二上学期期中考试数学文试题
海南中学2016－2017学年第一学期期中考试高 二 文 科 数 学 试 题 卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）1.若有命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ）A.2,2n n N n ∀∈>B.2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=2.设集合M={1，2}，N={a 2}，则“a=1”是“N ⊆M ”的（ ）A.充分不必要条件 B 、必要不充分条 C 、充分必要条件 D 、既不充分又不必要条件3.已知抛物线24y x=上一点P(m,1),焦点为F.则=PF （ ）A.m+1B.2C ．1663D ．1665 4．在同一坐标系中，若已知0a b >>，则方程22221a x b y +=与 02=+by ax 的曲线大致是（ ）5.下列命题中为真命题的是（ ）A ．命题“若//a c 且//b c ,则//a b ”B ．命题“若2015x >，则0x >”的逆命题C ．命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题D ．命题“若21x ≥，则1x ≥”的逆否命题6.直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）A ．01m <<B ．42m -<<C ．1m <D ．31m -<< 7.过原点的直线l 与双曲线 13422-=-y x 有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A 、(－，)B 、(－∞,－)∪(,+∞)C 、［－,］D 、(－∞,－］∪［,+∞)8．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ） A ．223 B ．72C ．2D ．22 9.线段∣AB ∣=4，∣PA ∣+∣PB ∣=6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是（ ） A 2 BCD 510.已知倾斜角为︒45的直线l 过椭圆2214x y +=的右焦点，则l 被椭圆所截的弦长是（ ） A ．52 B. 54 C ．56 D. 58的焦点在x 轴上，且离心率e=，则m11.若椭圆 的值为（ ）A B 2 C － D ±12.椭圆15y x 25422=+过右焦点有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为n a ，若公差为11,63d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么n 的可能取值集合为（ ）A.｛4，5，6，7｝B.｛4，5，6｝C.{3，4，5，6}D.{3，4，5，6，7}第II 卷 (非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.若,,,a b x y R ∈，则⎩⎨⎧>--+>+0))((b y a x b a y x 是⎩⎨⎧>>b y ax 成立的 条件．（从“充分必要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写） 14.命题“∃x ∈R ，2x 2-3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为15.已知F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，过F 的直线与抛物线交于A B 、两点，AB 中点为C ，过C 作抛物线的准线的垂线交准线于1C 点，若1CC 中点M 的坐标为(2,4)，则p =16.已知双曲线19422=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，若点2F 关于一条渐近线的对称点为M ，则||1M F = ． 三.解答题（本大题共6个小题，共70分） 17.（本小题满分10分）已知双曲线与椭圆共焦点，它的一条渐近线方程为 ， 求双曲线的方程．18.（本小题满分12分）设条件:p 01322≤+-x x ；条件:q ()()22110x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：062622=+-++y x y x 和圆C 2：03710822=+--+y x y x 若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为2，（1）求直线l 的方程 (2)求圆2C 上的点到直线l 的最远距离。
海口市高二上学期数学期中考试试卷
海口市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（）A .B .C .D .2. （2分）设圆锥曲线C的两个焦点分别为、，若曲线C上存在点P满足：：=4：3：2，则曲线C的离心率等于（）A . 或B . 或2C . 或2D . 或3. （2分）若三点A(3，1)，B(-2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数b等于（）A . 2B . 3C . 9D . -94. （2分）若P(2,-1)为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A . 2x-y-5=0B . 2x+y-3=0C . x+y-1=0D . x-y-3=05. （2分）下列直线中，与已知直线y＝－ x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是（）A . 3x＋4y＋7＝0B . 4x＋3y＋7＝0C . 4x＋3y－42＝0D . 3x＋4y－42＝06. （2分）(2016·肇庆模拟) 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点。
若点M到该抛物线焦点的距离为3，则=（）A .B .C . 4D .8. （2分）(2018·虹口模拟) 直线与圆交于，两点，且，过点，分别作的垂线与轴交于点，，则等于（）A .B . 4C .D . 89. （2分）(2017·嘉兴模拟) 若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）在中，“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分）给定正三棱锥P﹣ABC，M点为底面正三角形ABC内（含边界）一点，且M到三个侧面PAB、PBC、PAC的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为（）A . 椭圆的一部分B . 一条线段C . 双曲线的一部分D . 抛物线的一部分12. （2分） (2019高二下·南充月考) 抛物线的焦点为，准线为，、是抛物线上的两个动点，且满足 .设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）.A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)13. （1分）(2012·江苏理) 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为________．15. （1分）若三条直线ax+y+3=0，x+y+2=0和2x﹣y+1=0相交于一点，则行列式的值为________16. （1分）(2020·宝山模拟) 已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为________。
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2017-2018学年海南省文昌中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣22．（5分）已知命题p：1∈{x|（x+2）（x﹣2）＜0}；命题q：0∈∅．下列判断正确的是（）A．p假q真B．“p∨q为真” C．“p∧q为真” D．p假q假3．（5分）a∈R，|a|＜4成立的一个必要不充分条件是（）A．a＜4 B．|a|＜3 C．a2＜16 D．0＜a＜34．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）在抛物线y2=8x中，以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．x﹣4y﹣3=0 B．x+4y+3=0 C．4x+y﹣3=0 D．4x+y+3=07．（5分）已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c表示，则等于（）A．B．C．D．8．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．39．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．10．（5分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．811．（5分）二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=1，则CD的长等于（）A．B．C．2 D．12．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于两点A，B（A，B异于原点），抛物线的焦点为F，若双曲线的离心率为2，|AF|=7，则p=（）A．3 B．6 C．12 D．42二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是个．14．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．15．（5分）过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1，BC1上，且AM=AB1，BN=BC1，则下列结论：①AA1⊥MN②A1C1∥MN③MN∥面A1B1C1D1④B1D1⊥MN正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：（1）CM∥平面PAD；（2）平面PAB⊥平面PAD．18．（12分）若F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，p是该椭圆上的一个动点，且．（1）求出这个椭圆方程；（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD=2，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．20．（12分）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M 为PD上一点，且|MD|=|PD|．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．2017-2018学年海南省文昌中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=（）A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2【解答】解：∵α∥β，∴两平面的法向量平行则（﹣2，﹣4，k）=λ（1，2，﹣2），∴﹣2=λ，k=﹣2λ，∴k=4．故选C2．（5分）已知命题p：1∈{x|（x+2）（x﹣2）＜0}；命题q：0∈∅．下列判断正确的是（）A．p假q真B．“p∨q为真” C．“p∧q为真” D．p假q假【解答】解：解不等式（x+2）（x﹣2）＜0得：x∈（﹣2，2）；∴命题p：1∈{x|（x+2）（x﹣2）＜0}为真命题；命题q：0∈∅为假命题；∴p假q真，错误；“p∨q”为真，正确；“p∧q”为真，错误；“p假q假”，错误；故选：B．3．（5分）a∈R，|a|＜4成立的一个必要不充分条件是（）A．a＜4 B．|a|＜3 C．a2＜16 D．0＜a＜3【解答】解：|a|＜4即﹣4＜a＜4⇒a＜4，因此|a|＜4成立的一个必要不充分条件是a＜4，4．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．5．（5分）在如图所示的正方体A1B1C1D1ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：取A1D1中点，连接EF、DF、A1C1，∵正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A∥C1C且A1A=C1C∴四边形AA1C1C是平行四边形，可得A1C1∥AC又∵△A1C1D1中，EF是中位线∴EF∥A1C1，且EF=A1C1．由此可得EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角设正方体的棱长为a，则△DEF中DF=DE==a，EF=A1C1=a由余弦定理，得cos∠DEF==＞0可得∠DEF是锐角，因此∠DEF是异面直线DE与AC所成的角，余弦值为6．（5分）在抛物线y2=8x中，以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线方程为（）A．x﹣4y﹣3=0 B．x+4y+3=0 C．4x+y﹣3=0 D．4x+y+3=0【解答】解：设以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线交抛物线为：A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）=8（x1﹣x2），∵，∴y1+y2=﹣2，∴=﹣4，∴以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线的斜率为﹣4，∴以（1，﹣1）为中点的弦所在的直线方程为：y+1=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣3=0，所以，所求的直线方程为：4x+y﹣3=0，故选：C．7．（5分）已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c表示，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知=﹣∵∴故选：D．8．（5分）设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C 交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（）A．B．C．2 D．3【解答】解：不妨设双曲线C：，焦点F（﹣c，0），对称轴y=0，由题设知，，∴，b2=2a2，c2﹣a2=2a2，c2=3a2，∴e=．故选：B．9．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD 1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．=（1，1，﹣1），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，1），设平面ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，1，2），点E到平面ACD1的距离为：h===．故选：C．10．（5分）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，故选：C．11．（5分）二面角α﹣l﹣β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=BD=1，则CD的长等于（）A．B．C．2 D．【解答】解：∵A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD ⊥l，又∵二面角α﹣l﹣β的平面角θ等于120°，且AB=AC=BD=1，∴CD===2故选：C．12．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于两点A，B（A，B异于原点），抛物线的焦点为F，若双曲线的离心率为2，|AF|=7，则p=（）A．3 B．6 C．12 D．42【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0）可得F（，0），|AF|=7，则A（7﹣，y A），可得y A2=2p（7﹣），双曲线的离心率为2，，解得=3，即：==3，解得p=6．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是2个．【解答】解：若a＞b，c2=0，则ac2=bc2．∴原命题若a＞b，则ac2＞bc2为假命题；∵逆否命题与原命题等价，∴逆否命题也为假命题；原命题的逆命题是：若ac2＞bc2，则c2≠0且c2＞0，则a＞b．∴逆命题为真命题；又∵逆命题与否命题等价，∴否命题也为真命题；综上，四个命题中，真命题的个数为2．故答案为：2．14．（5分）与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线的标准方程为．【解答】解：设双曲线方程为∵过点（2，2），∴λ=3∴所求双曲线方程为故答案为15．（5分）过抛物线y2=8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为16．【解答】解：∵抛物线方程为y2=8x，2p=8，=2，∴抛物线的焦点是F（2，0）．∵直线的倾斜角为45°，∴直线斜率为k=tan45°=1可得直线方程为：y=1×（x﹣2），即y=x﹣2．设直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），联解，消去y得x2﹣12x+4=0，∴x1+x2=12，根据抛物线的定义，可得|AF|=x1+=x1+2，|BF|=x2+=x2+2，∴|AB|=x1+x2+4=12+4=16，即直线被抛物线截得的弦长为16．故答案为：16．16．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1，BC1上，且AM=AB1，BN=BC1，则下列结论：①AA1⊥MN②A1C1∥MN③MN∥面A1B1C1D1④B1D1⊥MN正确命题的序号是①③．【解答】解；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的四条棱A1A，B1B，C1C，D1D上分别取点G，F，E，H四点，使AG=A1A，BF=B1B，CE=C1C，DH=D1D，连接GF，FE，EH，HG，∵点M、N分别在AB1、BC1上，且AM=AB1，BN=BC1，∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A1B1C1D1，∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥平面GFEH，∵MN⊂平面GFEH，∴AA1⊥MN，故①正确；∵A1C1∥GE，而GE与MN不平行，∴A1C1与MN不平行，故②错误；∵平面GFEH∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面GFEH，∴MN∥平面A1B1C1D1，故③正确；∵B1D1∥FH，FH⊂平面GFEH，MN⊂平面GFEH，且MN与FH不垂直，∴B1D1与MN不垂直，故④错误．∴正确命题只有①③．故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．求证：（1）CM∥平面PAD；（2）平面PAB⊥平面PAD．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz，C为坐标原点O，（1）证明：如图，建立空间直角坐标系．∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，即∠PBC=30°．∵|PC|=2，∴|BC|=2，|PB|=4．得D（1，0，0）、B（0，2，0）、A（4，2，0）、P（0，0，2）．∵PB=4PM，∴|MB|=3|PM|，∴|PM|=1，M（0，，），=（0，，），=（﹣1，0，2），=（3，2，0）．设=x+y（x、y∈R），则（0，，）=x（﹣1，0，2）+y（3，2，0）⇒x=且y=，∴=+．∴、、共面．又∵C∉平面PAD，故CM∥平面PAD．（2）证明：过B作BE⊥PA，E为垂足．∵|PB|=|AB|=4，∴E为PA的中点．∴E（2，，1），=（2，﹣，1）．又∵•=（2，﹣，1）•（3，2，0）=0，∴⊥，即BE⊥DA．而BE⊥PA，∴BE⊥面PAD．∵BE⊂面PAB，∴面PAB⊥面PAD．18．（12分）若F1，F2分别是椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点，p是该椭圆上的一个动点，且．（1）求出这个椭圆方程；（2）是否存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使（其中O为坐标原点）？若存在，求出直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由已知可得：2a=4，2c=2，∴a=2，c=，则b2=a2﹣c2=1．∴椭圆方程为；（2）存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使，此时k=±2．由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为y=kx+2．联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0．则△=（16k）2﹣48（1+4k2）=64k2﹣48＞0，得或．再设A（x1，y1），B（x2，y2），则．由，得x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4==0．解得：k=±2，符合△＞0．∴存在过定点N（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，使．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD，CD=2，M为PB的中点．（1）求证：PA⊥平面CDM；（2）求二面角D﹣MC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）取DC的中点O，连接PO，OA，∵侧面PDC是正三角形，平面PDC⊥平面ABCD．…（1分）∴PO⊥底面ABCD，∵底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，则OA⊥DC．…（2分）以O原点，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则A（，0，0），P（0，0，），B（，2，0），C（0，1，0），D（0，﹣1，0），∴M（，1，），…（4分）∴=（，2，），=（，0，﹣），=（0，2，0），∴=×+0×2+（﹣）×=0，=×0+0×2+（﹣）×0=0，∴⊥，⊥，∴PA⊥DM，PA⊥DC，∵DM∩DC=D，∴PA⊥平面DMC．…（7分）解：（2）=（），=（，1，0），设平面B MC的法向量为=（x，y，z），由，得x+z=0，由=0，得x+y=0．取x=﹣1，则y=，z=1，∴一个法向量=（﹣1，，1）．…（9分）由（1）知，平面CDM的一个法向量可取=（，0，﹣）．所以cos＜，＞===﹣．…（11分）观察可知二面角D﹣MC﹣B为钝角，所以所求二面角的余弦值是﹣．…（12分）20．（12分）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M 为PD上一点，且|MD|=|PD|．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（2）求过点（3，0），且斜率为的直线被C所截线段的长度．【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），由|MD|=|PD|，解得：∵P在圆上，∴x'2+y'2=25，即，整理得：，即C的方程为：；…（4分）（2）过点（3，0），斜率为k=，的直线方程为：，…（6分）设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入C的方程，得，整理得：x2﹣3x﹣8=0…（8分）∴由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，…（10分）∴线段AB的长度为，线段AB的长度丨AB丨=…（12分）21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【解答】（Ⅰ）证明：以点A为原点建立空间直角坐标系，如图，依题意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B1（0，2，2），C1（1，2，1），E（0，1，0）．则，而=0．所以B1C1⊥CE；（Ⅱ）解：，设平面B 1CE的法向量为，则，即，取z=1，得x=﹣3，y=﹣2．所以．由（Ⅰ）知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，所以B1C1⊥平面CEC1，故为平面CEC1的一个法向量，于是=．从而==．所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为．（Ⅲ）解：，设0≤λ≤1，有．取为平面ADD 1A1的一个法向量，设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则==．于是．解得．所以．所以线段AM的长为．22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x﹣y﹣2=0，抛物线C：y2=2px（p＞0）．（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q．①求证：线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②求p的取值范围．【解答】解：（1）∵l：x﹣y﹣2=0，∴l与x轴的交点坐标（2，0），即抛物线的焦点坐标（2，0）．∴，∴抛物线C：y2=8x．（2）证明：①设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则：，即：，k PQ ==，又∵P，Q关于直线l对称，∴k PQ=﹣1，即y1+y2=﹣2p ，∴，又PQ的中点在直线l 上，∴==2﹣p，∴线段PQ的中点坐标为（2﹣p，﹣p）；②因为Q中点坐标（2﹣p，﹣p）．∴，即∴，即关于y2+2py+4p2﹣4p=0，有两个不相等的实数根，∴△＞0，（2p）2﹣4（4p2﹣4p）＞0，∴p ∈．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。