狂刷02 余弦定理-学易试题君之小题狂刷君2019学年高二数学人教版(必修5)(原卷版)

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狂刷05 等差数列-学易试题君之小题狂刷君2019学年高二数学人教版(必修5)(解析版)

【答案】A
20．已知等差数列的通项公式为，则其公差 ________________．
【答案】
【解析】由题可得．
21．在等差数列中，已知，，则公差的取值范围为________________．
【答案】
【解析】由题意可知，，即，即，故的取值范围为．
22．在等差数列中，若，则的通项公式为________________．
当c为0时，0，0，0，0是等差数列，但不一定是等差数列，C错．
故选D．
19．《九章算术》是中国古代的数学专著，有题为：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则相逢需
A．9日B．8日
C．16日D．12日
27．在数列中，已知，，则 ________________．
【答案】
【解析】因为，且，所以，，
所以是首项为1、公差为1的等差数列，所以，所以．
28．（2016浙江）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，表示点P与Q不重合．若为的面积，则
A．是等差数列B．是等差数列
故．故选C．
7．已知某等差数列的相邻四项分别为a+1，a+3，b，a+b+1，那么a，b的值依次为
A．2，7B．1，6
C．0，5D．无法确定
【答案】B
【解析】由已知可得2(a+3)=a+b+1，2b=a+3+a+b+1，两式联立解得a=1，b =6．故选B．
8．已知等差数列的公差为，则数列是

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，那么c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2．在△ABC 中，假设BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，那么角A 等于( )(A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150°3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么那个三角形是( )(A)等边三角形(B)等腰三角形 (C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，若是A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，那么b ＝________.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，b ＝23，c ＝4，那么A ＝________.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设2cos B cos C ＝1－cos A ，那么△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝3，b ＝4，B ＝60°，那么c ＝________.10．在△ABC 中，假设tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，那么 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC .12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13.(1)求角B的大小；(2)若D是BC的中点，求中线AD的长.13．如图，△OAB的极点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.14．在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积.参考答案一、选择题1． C 2．B 3．D 4． B 5．B提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，因此C ＝60°或C ＝120°，当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形；当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形.5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，因此A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理Cc B b A a sin sin sin ==＝k ，得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，因此a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C .9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，依照正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°.12．(1)60°；(2)AD ＝7.13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ，∴A＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，因此A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21)＝10. 因此AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.。

高中数学必修5 之正弦定理和余弦定理试题答案

正弦定理和余弦定理试题答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题6分，共60分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63 D.63解析：依题意得0°<B <60°，由正弦定理得a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：由sin C ＝23sin B 可得c ＝23b ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A.3．(2010·江西)E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )A.1627B.23C.33D.34解析：设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23，由余弦定理得CE ＝CF ＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos45°＝53，所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF＝45，所以tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45245＝34. 答案：D 4．△ABC 中，若lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则△ABC 的形状是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形解析：∵lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，∴lg a c ＝lgsin B ＝lg 22.∴a c ＝sin B ＝22.∵B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B ＝π4，由c ＝2a ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3a 2－b 222a 2＝22. ∴a 2＝b 2，∴a ＝b . 答案：D5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33 D ．2＋ 3解析：2b ＝a ＋c ，12ac ·12＝12⇒ac ＝2，a 2＋c 2＝4b 2－4，b 2＝a 2＋c 2－2ac ·32⇒b 2＝4＋233⇒b ＝3＋33. 答案：C6．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2ªC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：由sin 2A －cos 2A ＝12，得cos2A ＝－12，又A 是锐角，所以A ＝60°，于是B ＋C ＝120°. 所以b ＋c 2a ＝sin B ＋sin C 2sin A ＝2sin B ＋C 2cos B －C23＝cos B －C 2≤1，b ＋c ≤2a . 答案：C 7、若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A += A.3 B ．3- C ．53 D ．53- 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0，又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A 8、如果111ABC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。

人教版数学高二必修5限时练余弦定理(二)

1.1.2 余弦定理(二)一、选择题1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形2．在△ABC 中，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝14，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．1 D.133．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定4．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( )A.13 B ．－23 C.14 D ．－145．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定6．已知三角形ABC 的三边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为( )A ．120°B ．90°C ．150°D ．60°二、填空题7．在△ABC 中，a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________.8．设2a ＋1，a ，2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________．9．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B ．则角B ＝________.10．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14. (1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b cos C ＝(2a －c )cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b 2＝ac ，试确定△ABC 的形状．答案精析1．B 2.C 3.A 4.A 5.A 6.A 7.30°8．(2,8) 9.45° 10.411．证明因为右边＝sin A cos B －cos A sin Bsin C＝sin A sin C ×cos B －sin Bsin C ×cos A＝a c ×a 2＋c 2－b 22ac －b c ×b 2＋c 2－a22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .12．解 (1)104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理asin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝26，c ＝4.13．解 (1)由已知及正弦定理，得sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ，∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B .∵sin(B ＋C )＝sin A ≠0，∴2cos B ＝1，即cos B ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.(2)由题设，b 2＝ac .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得ac ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，即a 2＋c 2－2ac ＝0.∴(a －c )2＝0.从而有a ＝c . 由(1)知B ＝60°，∴△ABC 为正三角形．。

精做02 余弦定理-试题君之大题精做君2017-2018学年高

第一章解三角形精做02 余弦定理1．在ABC △中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A A sin C ，求B 的度数．【答案】B ＝150°．【解析】因为sin 2B －sin 2C －sin 2A A sin C ，由正弦定理，得b 2－c 2－a 2，由余弦定理，得222cos =2c a b B ca +-=，又0°＜B ＜180°，∴B ＝150°．2．已知ab ＝40，a ＋b ＝13，C 为60°，求这个三角形的各边长．【答案】三角形三边长为a ＝5 cm ，b ＝8 cm ，c ＝7 cm 或a ＝8 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm ．3．在ABC △中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程x 2－＋2=0的两根，2cos （A ＋B ）=1．（1）求角C 的度数；（2）求AB 的长．【答案】（1）23π；（2 【解析】（1）∵cos C =cos[π－（A ＋B ）]=－cos （A ＋B ）=－12，且C ∈（0，π），∴C ＝23π．（2）∵a ，b 是方程x 2－＋2＝0的两根，∴2a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ＝（a ＋b ）2－ab ＝10，∴AB4．ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ．（1）求ba的值；（2）若c 2＝b 22，求B ．【答案】（1（2）45°．【解析】（1）由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ，所以ba（2）由余弦定理及c 2＝b 22，可得cos B =由（1）知b 2＝2a 2，故c 2＝(2a 2，所以cos 2B ＝12．又cos B >0，故cos B B ＝45°． 5．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．【答案】【解析】设BD ＝x ，在ABD △中，由余弦定理得 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠BDA ，即142＝102＋x 2−20x cos60°，∴x 2−10x －96＝0，∴x ＝16（x ＝−6舍去），即BD ＝16．在BCD △中，由正弦定理，得,sin sin BC BDCDB BCD=∠∠∴16sin(9060)sin135BC ︒-︒==︒6．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A cos B ．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【答案】（1）π3；（2）a =c =7．在ABC △中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断ABC △的形状．【答案】ABC △是正三角形．【解析】方法1：由正弦定理可得2sin B ＝sin A ＋sin C ， ∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，A ＝120°－C ，将其代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ，展开整理，得32sin C ＋12cos C ＝1，∴sin(C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°． ∴C ＝60°，故A ＝60°， ∴ABC △是正三角形．方法2：由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵B ＝60°，2a cb +=， ∴222()2cos 602a c a c ac +=+-∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∵B ＝60°，∴a ＝b ＝c ，∴ABC △为正三角形．8．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C +12c =b ．（1）求角A 的大小；（2）若a b =5，求c 的值．【答案】（1）60︒；（2）1或4．（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得21=25+c 2−5c ，即c 2−5c +4=0，解得c =1或c =4，经检验，1和4都是解，所以c 的值是1或4．9．设ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B === （1）求a 的值；（2）求sin()4A π+的值．【答案】（1）（2 【解析】（1）因为2A B =，所以sin sin 22sin cos A B B B ==，由正、余弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅．因为3,1b c ==，所以212,a a ==（2）由余弦定理，得22291121cos 263b c a A bc +-+-===-．由于0A <<π，所以sin 3A ===．故sin()sin cos cos sin 444A A A πππ+=+14()32326=⨯+-⨯=． 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B =79．（1）求a ，c 的值；（2）求sin （A －B ）的值．【答案】（1）a ＝3，c ＝3；（2）27．【解析】（1）由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2−2ac cos B ，得b 2＝（a ＋c ）2−2ac （1＋cos B ），又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3．（2）在ABC △中，sin B 9=．由正弦定理，得sin A ＝sin 3a Bb =因为a ＝c ，所以A 为锐角．所以cos A 13=．因此sin （A －B ）＝sin A cos B －cos A sin B ． 11．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos()cos sin()A B B A B ---⋅sin()A C +35=-．（1）求sin A 的值；（2）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．【答案】（1）45；（2）2．（2）由正弦定理，有sin sin a b A B =，所以sin sin b A B a ==由题意，知,a b >则,A B >故4B π=．根据余弦定理，有2223525()5c c =+-⨯⨯-，解得1c =或7c =-（负值舍去）．故向量BA 在BC 方向上的投影为||cos BA B =12．（2015江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC =3， A =60°．（1）求BC 的长；（2）求sin2C 的值．【答案】（1（2 【解析】（1）由余弦定理知，22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以BC = （2）由正弦定理知，,sin sin AB BC C A =所以21sin sin 7AB C A BC =⋅==因为AB <BC ，所以C 为锐角，则cos C ===所以sin 22sin cos 2C C C =⋅==13．（2016北京）在△ABC 中，222+=+a c b ．（1）求B ∠的大小；（2cos cos A C +的最大值．【答案】（1）π4；（2）1．【解析】（1）由余弦定理及题设得22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ．又因为0πB <∠<，所以π4B ∠=．14．（2017天津文）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知s i n 4s i n a A b B =，222)ac a b c =--．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2)B A -的值．【答案】（1）-（2）．【思路分析】（1）首先根据正弦定理sin sin a bA B=得到2a b =，再根据余弦定理即可求得cos A 的值；（2）根据（1）的结论和条件，由cos A 求得sin A ，然后根据sin 4sin a A b B =求得sin B ，再求cos B ，然后由二倍角公式求sin 2,cos 2B B ，最后代入sin(2)B A -的展开式即可．【解析】（1）由sin 4sin a A b B =及sin sin a bA B=，得2a b =．由222)ac a b c =--及余弦定理，得2225cos 25b c aA bcac +-===-．（2）由（1）可得sin A =sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b == 由（1）知A为钝角，所以cos B == 于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-= 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值；（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．KS5U15．（2017天津理）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4A +的值．【答案】（1）b =sin 13A =；（2）26．【思路分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系求出cos B ，再根据余弦定理求b 的值，最后根据正弦定理可求sin A 的值；（2）先求出cos A 的值，然后根据二倍角公式、两角和的正弦公式可求πsin(2)4A +的值．（2）由（1）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2coscos 2sin 444A A A +=+=16．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【思路分析】（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为17,40A C A M==，所以30MC =，从而3sin 4MAC =∠，如图，AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足，则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm) （2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处．过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=．因为02βπ<<，所以24cos 25β=．于是4s i3s555NEα=π∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)。

精做2 余弦定理-大题精做2018-2019学年高二数学人教版(必修5) Word版含解析

第一章解三角形精做02余弦定理1．在中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin A sin C，求B的度数．【答案】B＝150°．【解析】因为sin2B－sin2C－sin2A＝sin A sin C，由正弦定理，得b2－c2－a2＝ac，由余弦定理，得，又0°＜B＜180°，∴B＝150°．2．在中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2－2x＋2=0的两根，2cos（A＋B）=1．（1）求角C的度数；（2）求AB的长．【答案】（1）；（2）．3．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．【答案】．【解析】设BD＝x，在中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠BDA，即142＝102＋x2−20x cos60°，∴x2−10x－96＝0，∴x＝16（x＝−6舍去），即BD＝16．在中，由正弦定理得∴4．在中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断的形状．【答案】是正三角形．【解析】方法1：由正弦定理可得2sin B＝sin A＋sin C，∵B＝60°，∴A＋C＝120°，A＝120°－C，将其代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C)＋sin C，展开整理，得23sin C ＋21cos C ＝1，∴sin(C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°．∴C ＝60°，故A ＝60°，∴是正三角形．方法2：由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵B ＝60°，，∴∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∵B ＝60°，∴a ＝b ＝c ，∴为正三角形．5．的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝a ．（1）求的值；（2）若c 2＝b 2＋a 2，求B ．【答案】（1）；（2）45°．【解析】（1）由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝a ，所以＝．（2）由余弦定理及c 2＝b 2＋a 2，可得．由（1）知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋)a 2，所以cos 2B ＝．又cos B>0，故cos B＝，∴B＝45°．6．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．【答案】（1）；（2），．7．如图，在中，，且，．（1）求的长；（2）已知在线段上，且，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）记，∵，且，∴．∵，且，∴，即．在中，，解得，∴，即．（2）依题意，，又，所以，故．8．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C+c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=，b=5，求c的值．【答案】（1）；（2）1或4．【解析】（1）在中，由正弦定理及a cos C+c=b，可得sin A cos C+sin C=sin B，化简可得sin A cos C+sin C=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C，解得cos A=，因为0<A<180°，所以A=60°．（2）由余弦定理可得21=25+c2−5c，即c2−5c+4=0，解得c=1或c=4，经检验，1和4都是解，所以c的值是1或4．9．设的内角所对边的长分别是，且（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．（2）由余弦定理，得．由于，所以．故．10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）证明：a+b=2c；（2）求cos C的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由题意知，化简得，即．因为，所以．从而，由正弦定理得．（2）由（1）知，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为．【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典．解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的．三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数．本题覆盖面较广，能较好地考查考生的运算求解能力及对复杂式子的变形能力等．11．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．（1）证明：sin A sin B=sin C；（2）若，求tan B．【答案】（1）证明见解析；（2）4．（2）由已知，b2+c2–a2=bc，根据余弦定理，有．所以sin A=．由（1），sin A sin B=sin A cos B +cos A sin B，所以sin B=cos B+sin B，故tan B==4．【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力．在解三角形时，凡是遇到等式中有边又有角，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一种是化为代数式的变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个定理，否则难以得出结论．12．在中，角的对边分别为，且．（1）求的值；（2）若，，求向量在方向上的投影．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由得，则，即又，则13．（2018新课标全国Ⅰ理）在平面四边形中，，，，．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在中，由正弦定理得．由题设知，所以．由题设知，所以．（2）由题设及（1）知．在中，由余弦定理得，所以．14．（2018天津文理）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求角B的大小；（2）设，，求和的值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）在中，由正弦定理可得，又由可得，即，化简可得．又，所以．（2）在中，由余弦定理及，，可得，故．由，可得．因为，故．因此，，所以15．（2016北京）在ABC 中，．（1）求的大小；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由余弦定理及题设得．又因为，所以．16．（2017天津文）在中，内角所对的边分别为．已知，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【思路分析】（1）首先根据正弦定理得到，再根据余弦定理即可求得的值；（2）根据（1）的结论和条件，由求得，然后根据求得，再求，然后由二倍角公式求，最后代入的展开式即可．【解析】（1）由及，得．由及余弦定理，得．（2）由（1）可得，代入，得．由（1）知A为钝角，所以．于是，，故．【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值；（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．17．（2017天津理）在中，内角所对的边分别为．已知，，．（1）求和的值；（2）求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）在中，因为，故由，可得．由已知及余弦定理，有，所以．由正弦定理，得．所以的值为，的值为．（2）由（1）及，得，所以，．故．18．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将放在容器Ⅰ中，的一端置于点A处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2）将放在容器Ⅱ中，的一端置于点E处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，．记玻璃棒的另一端落在上点处．因为，所以，从而，如图，与水面的交点为，过作P 1Q1⊥AC，Q1为垂足，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=．答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG．同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1．记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处．过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK =OO1=32．因为EG = 14，E1G1= 62，所以KG1=，从而．设则．因为，所以．在中，由正弦定理可得，解得．因为，所以．于是．记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2=12，从而EP2=．答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)。

狂刷1 正弦定理-小题狂刷2018-2019学年高二数学人教版(必修5) Word版含解析

第一章解三角形狂刷01正弦定理1．在中，一定成立的等式是A．a cos A＝b cos B B．c cos C＝b cos BC．a cos B＝b cos A D．a sin C＝c sin A【答案】D【解析】对于a sin C＝c sin A，可化为，符合正弦定理的形式．故选D．2．若中，a=4，A=45°，B=60°，则b的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理得，所以，故选D．3．在中，若，则A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由正弦定理可得，所以，则或．故选C．4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，满足条件的三角形有A．0个B．1个C．2个D．无数个【答案】C【解析】因为，所以满足条件的三角形有2个．故选C．5．在中，若，则中最长的边是A ．B．C ．D．或【答案】A【解析】由正弦定理，知，，所以，故，所以为最大边．故选A．6．在中，若，则a∶b∶c＝A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．1∶∶2 D．2∶∶1【答案】C7．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，则满足b=2a，A=25°的的个数是A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【解析】如图，过C作，垂足为D．则，即，所以的个数是2．故选C．8．的内角A，B，C的对边分别为，，，那么角A=_______________．【答案】【解析】由正弦定理可得因为a<b，所以A<B，则．9．在锐角中，角所对的边长分别为．若，则角=_______________．【答案】【解析】由知，∴，∵是锐角三角形，∴．10．已知外接圆的半径是2，A＝60°，则BC边长为_______________．【答案】【解析】根据正弦定理知（其中为外接圆的半径），所以．11．在中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若b=5，，tan A=2，则sin A=_____________；a=_____________．【答案】【解析】由，得，由正弦定理，得．12．在中，已知a=5，b=，A=，则cos2B=_______________．【答案】13．在中，若，则是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】由，∴，∴A＝B，即为等腰三角形．故选A．14．在中，角A，B，C的对边分别为，，．若，且为锐角三角形，则下列等式成立的是A ．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，所以，故选A．15．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，则cos C ＝A．B．C．D．【答案】A【解析】在中，由正弦定理：，∴，∴，∴．∴．故选A．16．在锐角中，A=2B，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B17．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则_______________．【答案】【解析】，由正弦定理得，即，即，所以，即．18．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=1，，，则A=_______________．【答案】【解析】由正弦定理知，所以∴，又，可得，∴A为锐角，∴．19．中，、、分别是角、、所对的边，若，则_______________．【答案】【解析】因为，所以由正弦定理得，即，，所以，．20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a cos C+c cos A=b，则sin A+sin B 的最大值为_____________．【答案】21．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且，则_______________．【答案】【解析】在中，，因为，所以，即，因为，，所以，又，所以，由，可得，又，所以，所以．22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若则_______________．【答案】23．（2017新课标全国I文）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，a=2，c=，则C=A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，即，所以．由正弦定理可得，即，因为，所以，所以，故选B．24．（2016新课标全国III）在中，，BC边上的高等于，则A．B．C．D．【答案】D【解析】设边上的高线为，则，所以．由正弦定理可知，即，解得，故选D．25．（2016新课标全国II）的内角的对边分别为，若，，，则_______________．【答案】26．（2016北京）在中，，，则=_______________．【答案】1【解析】由正弦定理，知，所以，则，所以，所以，即．27．（2017新课标全国II文）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则_______________．【答案】【解析】由正弦定理可得．28．（2017新课标全国III文）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C=60°，b=，c=3，则A=_______________．【答案】【解析】由正弦定理，可得，结合可得，则．。

2018-2019学年高二数学必修五作业4： (余弦定理2)解析版

1．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC→等于( ) A ．－32 B ．－23 C ．23 D ．322．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( )A ．322B ．332C ．32D ．3 33．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π34．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝ . 5．在△ABC 中，已知sin A ︰sin B ︰sin C ＝4︰5︰6，则cos A ︰cos B ︰cos C ＝6．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a 、c 的值；(2)求sin(A －B )的值．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2 A 2＋(cos B －3sin B )cos C ＝1. (1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b .1．在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( D )A ．－32B ．－23C ．23D ．32[解析] ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos<AB →，AC →>，由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB →|＝3，|AC →|＝2，cos<AB →，AC →>＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝14. 故AB →·AC →＝3×2×14＝32. 2．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( B )A ．322B ．332C ．32D ．3 3[解析] 如图，在△ABC 中，BD 为AC 边上的高，且AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4.∵cos A ＝32＋42－(13)22×3×4＝12，∴sin A ＝32. 故BD ＝AB ·sin A ＝3×32＝332. 3．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( B )A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3.4．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝1. [解析] 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6，又C ＝π6，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3，又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B 即3sin 2π3＝b sin π6，解得b ＝1. 5．在△ABC 中，已知sin A ︰sin B ︰sin C ＝4︰5︰6，则cos A ︰cos B ︰cos C ＝12︰9︰2.[解析] 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝4︰5︰6，令a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k (k >0)，由余弦定理得cos A ＝25k 2＋36k 2－16k 22×5k ×6k＝34，同理可得cos B ＝916，cos C ＝18，故cos A ︰cos B ︰cos C ＝34︰916︰18＝12︰9︰2. 6．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a 、c 的值；(2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9. 由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝79， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝223， ∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13. ∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227. 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2A 2＋(cos B －3sin B )cos C ＝1. (1)求角C 的值；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b .[解析] (1)∵2cos 2A 2＋(cos B －3sin B )cos C ＝1， ∴cos A ＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，∴－cos(B ＋C )＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，∴－cos B cos C ＋sin B sin C ＋cos B cos C －3sin B cos C ＝0，∴sin B sin C －3sin B cos C ＝0.又B 是△ABC 的内角，∴tan C ＝3(或2sin(C －π3)＝0)，又C 是△ABC 的内角，∴C ＝π3. (2)∵S △ABC ＝3，∴12ab sin π3＝3，∴ab ＝4. 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴4＝(a ＋b )2－2ab －ab ，∴a ＋b ＝4，又ab ＝4，∴a ＝b ＝2.[点拨] 在有关三角函数的等式中，若出现二次三角式，一般要利用二倍角公式进行降次，然后利用两角和(差)的三角公式进行化简，注意三角形的三个角之间的关系，一般把三个角转化为两个角之间的关系进行求解．表示三角形的面积时要注意公式的选取，一般选用已知角的两边进行表示，涉及三角形的三边与一角时，常选用余弦定理求解．。

学易试题君之小题狂刷君2018学年高二数学人教A版必修5第2-3章第三章不等式课时4 3-4基本不等式含解析

课时4 3.42a b+≤1．若,0>>b a 则下列不等式成立的是ABCD2．已知0,0a b >>，则 A ．10BC ．12D ．203．如果33log log 4,m n +=那么m n +的最小值是 A ．4 BC ．9D ．184．已知1x y +=-，且,x y 都是负实数，则1xy xy+有 A ．最小值2 B ．最大值2- CD5．已知0,0x y >>，且22x y +=，则xy 的最大值是 ABC ．4D ．86．已知,x y 为正数，若恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．4m ≥或2m ≤- B ．2m ≥或4m ≤- C ．24m -<<D ．42m -<<7．给出四个命题：（12；（22－（3）x x lg 10log +的最小值为2；（4 4. 其中真命题的个数是 A ．3B ．2C ．1D ．08．若00x y >>,，且281x y+=，则xy 有 A ．最大值64 B ．最小值164C ．最小值1D ．最小值649的最小值是． 10．已知0m >，0n >，的最小值是．11．若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为A ．8B ．6C ．4D ．212．已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值是A ．3B ．4C ．92D ．11213．设()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，1(4)3f x x x=++，则对于()y f x =在0x <时，下列说法正确的是 A ．有最大值7B ．有最大值7-C ．有最小值7D ．有最小值7-14，则()()21++b a 的最小值是 ABCD ．615．若0,0x y >>，且21x y +=，那么的最小值是，223x y +的取值范围是． 16(21)，，则3a b +的最小值为． 17．下列命题：①已知,a b 是非零实数，若a b <，则22ab a b <；②若0a b <<2；④若,x yxy 的最小值为16.其中正确命题的序号是________．18．（2018·上海）设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩，无解，则b a +的取值范围是_________．19．（2018·湖北）某项研究表明，在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：米/秒）、（1）如果不限定车型，05.6=l ，则最大车流量为_______辆/小时；（2）如果限定车型，5=l ，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加辆/小时. 20．（2018·陕西）设()ln ,0f x x a b =<<，若，， A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>21．（2018·湖南）若实数,a b 满足，则ab 的最小值为AB ．2C ．D ．422．（2018·重庆）A B C．D1．B 【解析】由题意得，因为0a b >>，所以B ．2．C a b =时，取等号）．故选C. 【易错点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．3．D 【解析】由于4log log log 333==+mn n m ，所以43=mn ，而（当且仅当9m n ==时，取等号），故选D.4．C 【解析】∵1x y +=-，且,x y 都是负实数，∴1()()x y =-+-≥14xy ≤，当且仅当12x y ==-时取等号.令1(0,]4xy t =∈，则11()f t xy t xy t=+=+.由函数1()f t t t =+的图象，可知函数()f t 在1(0,]4上单调递减，∴m in 1117()()4444f t f ==+=.∴1xy xy+有最小值无最大值，最小值为174.故选C.5．B 成立，故选B ．6．D28y xx y =即2y x =时等号成立）.所以282,m m >+解得42m -<<.7．C 【解析】（1即0=x 时取等号，正确；（2仅当x =时，取等号）成立的前提为0>x ，不正确；（3）同（2），10log x 及x lg 缺乏大于0的前提；（4，这与]1,1[sin -∈x 矛盾，故（4）不正确.【方法点睛】本题主要考查基本不等式，属于容易题.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.8．D 【解析】因为00x y >>,，所以281x y =+≥2812x y ==，即4,16x y ==时取等号），即64xy ≥，故选D ．【方法点睛】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题；在利用基本不等式求最值时，要注意其适用条件（一正，二定，三相等）的验证，陪凑“定和或定积”的解题的关键，也是难点，而验证“相等”是学生易忽视的问题，如“由2判定2”是21x =⇔=-是不成立的.9．5 )11321x +-1x =时等号成立，所以最小值为5. 10．【解析】.当且仅当4n mm n=，即1,2m n ==时，取等号. 【方法点晴】熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键，和为定值时，可以巧用定值凑基本不等式的结构.由. 11．C 【解析】由()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，得lg()lg()ab a b=+，即ab a b =+，2a b ==时等号成立，所以a b +的最小值为4，故选C ．12．B 【解析】本题主要考查基本不等式求最值,意在考查考生的化归与转化的思想及计算求解能力；法一：（利用基本不等式）由0,0x y >>，则222()2x y xy +≤当且仅当“2x y =”时等号成立；所以228((2))4x y x y +≤++，化简得[(2)8][(2)4]0x y x y +++-≥，解得24x y +≥，所以2x y +的最小值是4，此时2,1x y ==，符合题意；法二：（构造函数法）由228x y xy ++=，可得821xy x -=+，8921211x x y x x x x -+=+=++-++，接下来再用基本不等式：9161x x ++≥=+，当且仅当“911x x =++”即：“2,1x y ==”时取等号；所以，2x y +的最小值是4.故选B.13．B 【解析】()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-；当0x >时，1(4)3f x x x =++，则0x <时, 0x ->,所以11()4()343f x x x x x-=--+=--+, 所以1()()(4f x f x x x =--=---13)4337x x +=+-≤-=-（当且仅当12x =-时，取等号）,所以()y f x =在0x <时有最大值7-.故选B.14．B 【解析】∵正实数,a b 12a b ，化为时取等号．23b a ab+=．∴3250(1)(2)2242299a b ab b a ab ++=+++=+≥+=.故选B.15．【解析】，以16故，当且仅当17．②④ 【解析】已知,a b 是非零实数，若a b <，则22ab a b <，此结论不成立，反例：令10,1a b =-=-，则2210100ab a b =->=-，故①不成立；若0a b <<，由同号不等2，故③不正确；∵x y 、∴16xy ≥（当且仅当14x y=即2,8x y ==时取等号），故④正确. 18．(2+)∞，【解析】将方程组中上面的式子化简得1y ax =-，代入下面的式子整理得(1)1ab x b -=-，方程组无解应该满足10ab -=且10b -≠，所以1ab =且1b ≠，所以由基本不等式得2a b +>=，即b a +的取值范围是(2+)∞，. 【名师点睛】从解方程组入手，探讨得到方程组无解的条件，进一步应用基本不等式达到解题目的.易错点在于忽视a b ≠.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力等.19．（1）1900；（2）100 【解析】（1）当05.6=l 时，则276000760001211812118v F v v v v==++++1900≤=即11=v （米/秒）时取等号. （2）当5=l 时，则即10=v （米/秒）时取等号，此时最大车流量比（1）中的最大车流量增加100辆/小时. 20．C【解析】，，，函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为，所以q p r >=，故选C ． 21．C【解析】12121002ab a b ab a b a b a +=∴>>=+≥⨯，，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为22，故选C.【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．22．D 【解析】由题意，0,ab >且340a b +>，所以0,0a b >>.，所以34a b ab +=，所以. 故选D.。

狂刷02 余弦定理-试题君之小题狂刷君2017-2018学年高

第一章解三角形狂刷02余弦定理1．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若60B =︒，2,6,a c b ac +==则b = A ．2 B ．3 C ．5D ．6【答案】D2．在ABC △中，若=3=7=60a c C ∠︒，，，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或−8D ．−5或8【答案】B【解析】由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴49＝9＋b 2－3b ，即(b －8)(b ＋5)＝0． ∵b ＞0，∴b ＝8．故选B ．3．若ABC △的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且60C =，则ab 的值为 A ．43B ．843-C ．1D ．23【答案】A【解析】由22()4a b c +-=得22224a b ab c ++-=，由60C =得22242cos 22a b c abC ab ab+--==12=，解得43ab =．故选A ． 4．在ABC △中，已知三边=3=5=7a b c ，，，则三角形ABC 是 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定【答案】C【解析】最长的边所对的角最大，由余弦定理，知2221cos 022a b c C ab +-==-<，所以C 为钝角，故选C ．5．在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ【答案】C【解析】由题意得：222a b c bc ≤+-222b c a bc ⇒+-≥，2221b c a bc+-⇒≥1cos 2A ⇒≥．0πA <<，03A π∴<≤．故选C ． 6．已知在ABC △中，2b ac =且2c a =，则cos B 等于 A ．14B ．34C ．24D ．23【答案】B7．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222()+tan =3a c b B ac -，则角B 的值为A ．6π B ．3πC ．566ππ或D ．233ππ或【答案】D【解析】依题意得，2223tan ,22a c b B ac +-⋅=∴根据余弦定理，得3sin ,,233B B B π2π=∴==或故选D ．8．在ABC △中，已知=3=2=10AB AC BC ，，，则AB AC ⋅等于 A ．32- B ．23- C ．23D ．32【答案】D9．若ABC △为钝角三角形，三边长分别为2,3,x ，则x 的取值范围为 A ．(1,5)B ．(13,5)C ．(5,13)D ．(1,5)(13,5)【答案】D【解析】根据余弦定理和三角形的三边关系，得24902323x x x ⎧+-<⎪+>⎨⎪-<⎩或24902332x x x ⎧+-<⎪+>⎨⎪-<⎩，∴x 的取值范围是(1,5)(13,5)，故选D ．z/x+xk10．在ABC △中，有下列结论：①若222a b c >＋，则ABC △为钝角三角形； ②若222=++a b c bc ，则∠A 为60°； ③若222>a b c +，则ABC △为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶1∶2，则a ∶b ∶c ＝1∶1∶2．其中正确的个数为 A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【答案】A【解析】①根据余弦定理，知222cos 0,2b c a A bc +-=<∴A 为钝角，故①正确；②根据余弦定理，知2221cos ,22b c a A bc +-==-∴A ＝120°，故②错误；③根据余弦定理，知222cos 02a b c C ab+-=>，∴C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，故③错误；④由题意，知=45=45=90A B C ︒︒︒，，，a ∶b ∶c ＝1∶1∶2，故④错误．综上所述，共有1个结论是正确的，故选A ． 11．在ABC △中，若a =2，b +c=7，cos B =41-，则b =________________．【答案】412．给出问题：已知ABC △，满足a cos A =b cos B ，试判定ABC △的形状．甲的解答为:利用余弦定理，可得22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，即2222222()()()a b c a b a b -=-+， ∴222,c a b =+故ABC △为直角三角形．乙的解答为：利用正弦定理，可得2sin cos 2sin cos ,R A A R B B =sin 2sin 2,22,,A B A B A B ∴=∴==即∴△ABC 为等腰三角形．你认为两种解答谁的正确？如果均不正确，请写出你认为正确的结论：________________．【答案】ABC △为直角三角形或等腰三角形【解析】两人的解答均过于片面，事实上，ABC △为直角三角形或等腰三角形．【名师点睛】注意分析两个解答过程式子的变形是否为等价的变形，从而发现存在的问题．13．已知在ABC △中，120,2A AB =︒=，角B 的平分线3,BD =则BC =________________．【答案】6【解析】在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BD ADB A ∠=，∴·sin 2sin =2AB A ADB BD ∠=， ∴∠ADB =45°，∴∠ABD =15°，∴∠ABC =30°，∴∠ACB =30°，∴AC =AB =2．在ABC △中，由余弦定理得222cos 6=.AB AC A B C A C B A +-⋅⋅=14．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值是A ．518B ．34 C ．32D ．78【答案】D【解析】设底边长为x ，则腰长为2x ．设顶角为A ，则由余弦定理的推论，可得222(2)(2)7cos 2228x x x A x x +-==⨯⨯．故选D ．15．已知ABC △的三个内角满足sin sin sin 511:13A B C =:::，错误！未找到引用源。

学易试题君之小题狂刷君2018学年高二数学人教A版必修5

第二章数列课时5 2.5等比数列的前n 项和1．数列11111,3,5,7,24816的前n 项和S n 为A ．2112n n +-B ．21112n n -+-C ．2122n n +- D ．21122n n -+-2．已知首项为1，公比为12的等比数列{}n a 的前项和为n S ，则 A ．21n n S a =- B ．32n n S a =- C ．42n nS a =-D ．2n n S a =-3．在等比数列{}n a 中，已知其前项和12n n S a +=+，则的值为 A ．1- B ．1 C ．2-D ．24．等比数列{}n a 的前3项和为4，前9项和为28，则它的前6项和是 A ．8-B ．12C ．8-或12D ．85．若数列{}n a 是由正数组成的等比数列，其前项和为n S ，已知241a a =且37S =，则5S =A B CD 6．已知n S 为数列{}n a 的前项和，且满足1221,3,3n n a a a a +===，则2016S =A ．1008232⨯-B ．100823⨯CD 7．在递增的等比数列{}n a 中，12134,64n n a a a a -+==，且前n 项和42n S =, 则项数等于 A ．6B ．5C ．4D ．38．设等比数列的公比为,前项和为n S ,若12,,n n n S S S ++成等差数列,则公比 A ．等于2-B ．等于1C ．等于1或2-D ．不存在9．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若105:1:2S S ＝，则155:S S = A ．34B ．23C ．12D ．1310．已知数列{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是数列{}n a 的前项和，且369S S =，则数列1{}na 的前5项和为 A ．8532B ．3116C ．158D ．85211．等比数列{}n a 的前项和为n S ，若3230S S +=，则公比q =A ．2-B ．C ．D ．3-12．在公比小于零的等比数列{}n a 中，12a =，532a =，则数列{}n a 的前三项和3S = .13．等比数列{}n a 的首项11a =，前项的和为n S ，若369S S =439S S =，则6a =_________. 14．已知数列{}n a 的各项均为正，n S 为其前项和，满足22n n S a =-，数列{}n b 为等差数列，且2102,10b b ==，则数列{}n n a b +的前项和n T =________.15．已知数列{}n a 是等比数列，25421a a ==，，则12231n n a a a a a a ++++=A ．)6(114n --B ．)6(112n --C ．132()34n -- D ．132()32n -- 16．已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是A ．7B ．9C ．63D ．7或6317．设数列{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知24317a a S ==，，则5S = A ．152 B ．314 C ．334D ．17218．设等比数列{}n a 的前项和为n S ,则222n n M S S =+，()23n n n N S S S =+的大小关系是A ．M N ≥B ．N M ≥C ．M N =D ．不确定19．已知等比数列{}n a 的前项和31n n S =-，则{}n a 的通项公式是． 20．设数列{}n a 满足12a =，1321n n a a n +=-+，*n ∈N ，则数列{}n a 的前项和为 .21．（2018·浙江）设数列{}n a 的前项和为n S .若*21421n n S a S n +==+∈N ，，，则1 a = ，5 S = .22．（2018·新课标I ）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .23．（2018·湖南）设n S 为等比数列{}n a 的前项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = .24．（2018·安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前项和等于 .25．（2018·大纲）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24315S S ==，，则6S = A ．31 B ． 32 C ． 63D ．641．A 【解析】由题设知，数列的通项1212n na n -+=，显然数列的各项为等差数列{21}n -和等比数列1{}2n 相应项的和，从而21111[()]()242213211.n nnS n n =++++++⋯+--=+故选A. 2．D 【解析】根据题意，结合等比数列求和公式可知111221112nn n n a a a q S a q --===---，故选D ．3． C 【解析】当1n =时，21124a S a a ==+=+，当2n ≥时，11(2)(2)2n nnn n n a S S aa +-=-=+-+=，因为数列{}n a 为等比数列，所以1a 也应该符合2n n a =，从而可得422a a +=⇒=-，故选C.4．C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q ≠．∵前3项和为4，前9项和为28，()()3911114,2811a q a q q q --∴==--，两式相除整理得6317,q q ++=解得32q =或33q =-，则它的前6项和()()()633116111431211a q a q q S q q --+===⨯=--或()428⨯-=-，故选C ．5．C 【解析】22433311,01a a a a a =⇒=>⇒=，C. 6．A 【解析】由23n n a a +=，得3133a a ==，因23n na a +=，所以数列{}n a 的奇数项、偶数项分别成等比数列，公比都为3，所以()()10081008100820161133132321313S ⨯-⨯-=+=⨯---，故选A.7．C 【解析】根据等比数列的性质可得，21164n n a a a a -==，又134n a a +=，根据数列{}n a 是递增数列，故可得12,32n a a ==，11 42,4,3224,4,1n n n a a qS q n q--∴==∴=∴=⨯∴=-故选C.8．B 【解析】依题意，得122n n n S S S ++=+，当1q ≠时，有121112(1)1()(1)n n n a q a q a q ++-=-+-，解得1q =，但1q ≠，所以方程无解；当1q =时，满足条件.故选B. 9．A 【解析】因为{}n a 是等比数列，所以51051510,,S S S S S --是等比数列，即()()215105105S S S S S -=-.令10S x =，则52S x =；解得1532S x =.所以1553:4S S =.故选A.10．B 【解析】由等比数列的前项和公式，及369S S =，可得2q =，又首项为1，可得前项分别为1,2,4,8,16，可求出倒数和为3116．故选B ． 11．A 【解析】当1q ≠时，∵3230S S +=，∴3211(1)(1)3011a q a q q q--+=--，∴2440q q ++=.则21q q =-=， (舍去)，当1q =时，21312,3S a S a ==，而3230,S S +=，解得10a =.又等比数列{}n a 中的项不能为0，故舍去.综上可得2q =-.故选A.12．6 【解析】由题意知：2q =-，所以234,8a a =-=，31232486S a a a =++=-+=. 13．32 【解析】由题设可得3339)1(S S q =+,故913=+q ,即83=q ,所以2=q ,则32516==q a a ,故应填32.14．22242n n n +++- 【解析】∵22n n S a =-，∴1122n n S a --=-2n ≥，，两式相减，得122n n n a a a -=-，∴12n n a a -=2n ≥，，∴{n a }是公比为2的等比数列， ∵11122a S a ==-，∴12a =，∴1222n n n a -=⋅=．数列{}n b 是等差数列，2102,10b b ==，所以公差1d =，所以()22n b b n d n =+-⨯=，∴2n n n a b n +=+， ∴()()222121241222n n n n n n n T +-+++-=+=-. 15．C 【解析】∵3521,8a q a ==∴12q =.∴152111()·442(),22n n n n n a a -+-⋅⨯=⨯= 故3113521223341222218(1)324(14)13142n nn n n a a a a a a a a ----=++++==--+++++－＋. 16．D 【解析】由题意，知1020103020,,S S S S S --成等比数列，∴22010103020()(·)S S S S S -=-，即2101021492(1)()S S -=-，∴10763.S =或17．B 【解析】∵数列{}n a是由正数组成的等比数列，∴31a ==，又37S =，∴21311,(1)71a q a q q ⎧=⎪⎨-=⎪-⎩，消去1a 得，2217q q q ++=，解之得12q =，13q =-（舍去），∴14a =，∴5514(1)3121412S ⨯-=-=. 18．C 【解析】对于等比数列242841,1,1,1,1,1,,0,0,0k k k k k S S S S S ---⋯=-=-=,令2n k =,此时有0M N ==; 对于232,,,,n n n n n S S S S S --⋯各项均不为零时,∵等比数列{}n a 的前项和为n S ,设{}n a 的公比为,∴232,,n n n n n S S S S S --是一个公比为n q 的等比数列,∴2232,,n n n n n n n n S S S q S S S q -=⨯-=⨯∴222222223[1(1)]22()()n n nn n n n n n n M S S S q S q q S S S N =+=⨯++=⨯++=⨯+=.由上可知, ,M N =故选C.19．123n n a -=⨯ 【解析】由题意，知112a S ==，当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，经验证12a =满足，所以通项公式为123n n a -=⨯. 20．【解析】∵1321n n a a n +=-+，∴1(1)3()n n a n a n +-+=-，∴∴数列{}n a n -是以1为首项，3为公比的等比数列，∴13n n a n --=，∴13n n a n -=+，∴011(31)(32)(3)n n S n -=++++++011(333)(12)n n -=+++++++21．，121 【解析】122114,211,3a a a a a a +==+⇒==，再由1121,21(2)n n n n n a S a S n a +-+=+=+≥⇒-，123(2)n n n n a a a a n +=⇒=≥，又213a a =，所以13(1),n n a a n +=≥所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，即13n n a -=，所以551312113S -==-.【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=，否则很容易出现错误.22．6 【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴264n =，∴n =6.23．13-n 【解析】设数列{}n a 的公比为，∵13S ，22S ，3S 成等差数列，∴333)(2223321121=⇒=⇒+++=+⨯q a a a a a a a a ，∴1113--==n n n q a a .【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.24．21n-【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即，所以2q =，因而数列{}n a 的前项和25．C 【解析】由已知条件可得112313(1)15a a q a q q q +=⎧⎨+++=⎩解得112a q =⎧⎨=⎩或132a q =-⎧⎨=-⎩，所以C.。

专题112余弦定理-学易试题君之K三关2019学年高二数学人教版(必修5)

1 1.1.
2 余弦定理
1．余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
2222cos a b c bc A =+-，2______________b =，2______________.c =
2．余弦定理的推论
从余弦定理，可以得到它的推论
222
cos 2b c a A bc
+-=， cos B =________________；
cos C =________________．
3．余弦定理与勾股定理
从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广． 4．正弦定理与余弦定理的关系
（1）正弦定理和余弦定理都从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理．学！科网
（2）在同一个三角形中，正弦定理和余弦定理又是等价的，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理（同学们可以自己尝试证明一下）．
因此，在解三角形时，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然．我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题．
K 知识参考答案： 1．222cos a c ac B +- 222cos a b ab C +-
2．2222c a b ca +- 222
2a b c ab
+- 3．直角钝角锐角。

专题1.1.2 余弦定理-高二数学人教版(必修5)

1.1.2 余弦定理一、余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即2222cos a b c bc A =+-，2______________b =，2______________.c =二、余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222cos 2b c a A bc+-=， cos B =________________； cos C =________________．三、余弦定理与勾股定理从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是___________．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．四、正弦定理与余弦定理的关系（1）正弦定理和余弦定理都从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理．（2）在同一个三角形中，正弦定理和余弦定理又是等价的，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理（同学们可以自己尝试证明一下）．因此，在解三角形时，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然．我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题．一、222cos a c ac B +- 222cos a b ab C +-1．解三角形问题的常见类型与解法正弦定理、余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素（三角形有三个角和三条边，三角形的边与角称为三角形的元素），如果其中三个元素是已知的（至少要有一个元素是边），那么这个三角形一定可解．斜三角形的解法可以归纳为以下四种类型：（1）已知两角及其中一角的对边，如已知,,A B a 【一解】（上节内容，此处不再赘述）（2）已知两边及其夹角，如已知,,a b C 【一解】在ABC △中，5,53,30b c A ===︒，则a 等于A ．5B ．4C ．3D ．10【答案】A【解析】由余弦定理得：222222cos 525cos3025a b c bc A =+-=+-⨯⨯︒=，因此5a =. 故选A ．【名师点睛】已知两边及其夹角的解题步骤：（1）由2222cos c a b ab C =+-求c ；（3）已知三边【一解】在ABC △中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，a =3,b =√7,c =2，那么B 等于A ．30∘B ．45∘C ．60∘D ．120∘【答案】C【解析】∵a =3,b =√7,c =2，∴由余弦定理的推论得2229471cos 22322a cb B ac +-+-===⨯⨯. 又B ∈(0∘，180∘)，∴B =60∘. 故选C.【解题技巧】本题利用余弦定理的推论求角，注意余弦函数在区间(0,)π上是单调的，因此求出的角只有一个值．（4）已知两边及其中一边的对角，如已知,,a b B 【两解、一解或无解】在△ABC 中，π4C ∠=，2AB =，6AC =，则cos B 的值为 A ．12B ．C ．12或D ．12或12- 【答案】D【解析】方法1：由题意π,2,4C c AB b AC ∠===== 由正弦定理sin sin b c B C =，则有π4sin 22B ==，因为0πB <<，所以π3B =或2π3，当π3B =时，1cos 2B =；当2π3B =时，1cos 2B =-. 故选D ．判断三角形的形状有以下几种思路：（1）转化为三角形的边来判断，可简记为“化角为边”；（2）转化为角的三角函数（值）来判断，可简记为“化边为角”．在ABC △中，2cos22B a c c+=(a,b,c 分别为角A,B,C 的对边)，则ABC △的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】A 【解析】∵2cos,22B a c c +=∴1cos ,22B a c c ++=∴cos ,aB c= ∴由余弦定理得2222a c b aac c+-=，∴22222a c b a +-=，∴222.a b c += ∴ABC △为直角三角形. 故选A.3．忽略三边不能构成三角形导致错误已知,21,21a a a -+是钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围．4．忽略三角形为锐角三角形导致错误在锐角三角形ABC 中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边，已知b =1,c =2，求a 的取值范围.【错解】由余弦定理得cos A =2222214522124b c a a a bc +-+--==⨯⨯. 因为A 为锐角，所以5-a 2>0，则0<a <√5. 又a >c-b =1，则1<a <√5.【错因分析】在ABC △为锐角三角形时，要求A ,B ,C 三个角都是锐角. 【正解】因为ABC △为锐角三角形，所以由余弦定理得cos A =2222214522124b c a a a bc +-+--==⨯⨯>0，得0<a <√5. 又cos C =22221422a b c a ab a +-+-=>0，得a >√3.则√3<a <√5.又c >b 保证了B 为锐角. 故a 的取值范围为(√3,√5).【名师点睛】在判断三角形形状时，直角(钝角)三角形只需判断其中一角的余弦值等于(小于)零即可，而判断锐角三角形时，需判断三个角的余弦值均大于零或判断其中最大的角为锐角.1．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1a =，1b =，c =C =A ．30°B ．60︒C ．90︒D ．120︒2．在△ABC中，已知b =c =，120A =︒，则a 等于 A．B ．6C．6D．3．在△ABC 中，若AB AC ＝5，且cos C ＝910，则BC 的长为 A ．4 B ．5 C ．4或5D ．34．在ABC △中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若()()a b c a b c bc +--+=，则A = A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π65．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cosB =ca ，则A = A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°6．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若::5:6:7a b c =，则最大角的余弦值为 A ．1930 B ．12 C ．57D ．157．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222b c a +=+，且cos 0C =，则△ABC 是 A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形8．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若120,C c =︒=，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定9．在ABC △中，1a =，45B =︒，c =ABC △的外接圆的直径为_____________． 10．若钝角三角形ABC 的三边长分别是,1,2()a a a a *++∈N ，则a =_____________． 11．在ABC △中，sinB =sinC, a =√3c ，则B =_____________.12．已知a 、b 、c 分别是ABC △中角A 、B 、C 的对边，且222a c b ac +-=.（1）求角B的大小；（2）若c=3a，求tan A的值．13．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求BC的长.14．在△ABC 中，B ＝π4，AB ，BC ＝3，则sin A ＝A BC ．10D ．515．在ABC △中，若sin :sin :sin 1:A B C =，则B =A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o16．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值是A ．518 B ．34C D ．7817．在ABC △中，已知3AB =，2AC =，BC =AB AC ⋅=u u u r u u u rA ．32B ．23-C ．23D ．32-18．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60,2A a b c =︒=+，则ABC △一定是A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形19．在ABC △中，已知b c =，sin A B =，则A 等于 A ．π6B ．π4 C ．π3D ．2π320．如图，在三角形ABC 中，1AB =，BC =以C 为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD ，当ABC ∠变化时，线段BD 的长度的最大值为___________．21．如图所示，在ABC △中，sin22ABC AB ∠==，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则cos ACB ∠=___________．22．ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A a ．（1）求ba的值；（2）若c 2＝b 22，求B ．23．已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin sin sin a A c C b B C +-=.（1）求角B 的大小；（2）设向量()cos ,cos2A A =m ，()12,5=-n ，4a =，当⋅m n 取最大值时，求b .24．（2019年高考全国Ⅰ卷文科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．325．（2018新课标全国Ⅱ理）在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB =A ．BCD ．26．（2018浙江）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =︒，则sin B =___________，c =___________．27．（2019年高考全国Ⅰ卷理科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．28．（2019年高考北京卷理科）在ABC △中，a =3，b −c =2，cos B =12-．（1）求b ，c 的值；（2）求sin （B –C ）的值．29．（2019年高考天津卷文理）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1）求cos B 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．30．（2019年高考江苏卷）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．31．（2018新课标全国Ⅰ理）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =BC ．32．（2018天津文理）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-．（1）求角B 的大小；（2）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．33．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器E G的长分别为14cm和62cm．分Ⅰ的底面对角线AC的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG，11别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）CC上，求l没入水中部分的长度；（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱1GG上，求l没入水中部分的长度．（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱11．【答案】D【解析】∵1a =，1b =，c =2221131cos 22112a b c C ab +-+-===-⨯⨯，∵0180C ︒<<︒，∴120C =︒. 故选D ． 2．【答案】A【解析】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-=48+12－2×12-)＝84，所以a = 故选A ． 3．【答案】C【解析】设BC ＝x ，由余弦定理可得2295525,10x x =+-⨯⨯⨯即29200,x x -+=解得45或x =，所以BC 的长为4或5．故选C ． 4．【答案】B【解析】由题意可知()()a b c a b c bc +--+=，所以222b c a bc +-=，则2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，所以π3A =.故选B. 5．【答案】C【解析】由题意知cosB =ca ，根据余弦定理可得2222c a c b a ac+-=，整理可得a 2=c 2+b 2，再由勾股定理，可知A =900. 故选C. 6．【答案】D【解析】设5,6,7a k b k c k ===，所以最大的角为C ，且22222121cos 2605a b c k C ab k +-===. 故选D ． 7．【答案】D【解析】由余弦定理，可得222cos 222b c a A bc bc +-===，所以45A =︒，又cos 0C =，所以90C =︒，所以△ABC 是等腰直角三角形．故选D ． 8．【答案】A【解析】由余弦定理知2222cos c a b ab C =+-，则2222a a b ab =++，即22a b ab =+，则2()10bb aa +-=，所以112b a =<，所以a b >. 故选A ． 9．【答案】5b ∴=，设ABC △的外接圆的半径为R，由正弦定理，得52sin sin 45b R B ===o． 10．【答案】2【解析】设边长为2a +的边所对的角为C ，则222(1)(2)cos 2(1)a a a C a a ++-+=+0<，2230a a --<，13a -<<，又(1)2a a a ++>+，所以1a >，所以13a <<，又a *∈N ，所以2a =． 11．【答案】π6【解析】在ABC △中，因为sin sin B C =，所以由正弦定理得b c =，又由余弦定理得222222cos 22c c a c bB ac+-+-===，又因为()0,πB ∈，所以π6B =. 12．【答案】（1）π3B =；（2）5.【解析】（1）由余弦定理，得2221cos 22a c b B ac +-==,0πB <<Q ，π.3B ∴=（2）将3c a =代入222a c b ac +-=，得.b =由余弦定理，得222cos 214b c a A bc +-== 0πA <<Q，sin 14A ∴==.sin tan cos A A A ∴== 13．【答案】8√2.【解析】设BD =x ，在ABD △中，由余弦定理得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠BDA ，即142=102+x 2-20x cos 60°，∴x 2-10x-96=0，∴x =16(x =-6舍去)，即BD =16. 在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC BDCDB BCD=∠∠， ∴BC =16sin(9060)sin135︒-︒︒=8√2.14．【答案】C【解析】在△ABC中，由余弦定理得2222cos 2935,2AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯=即AC = 由正弦定理sin sin =，AC BC B A3sin 2A=，所以sin A =故选C ． 15．【答案】C【解析】因为sin :sin :sin A B C =，所以::a b c =.设a x =，则b =，c x =，由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-===-，故120B =o . 故选C. 16．【答案】D【解析】设底边长为x ，则腰长为2x ，设顶角为A ，则由余弦定理的推论，可得cos A =222(2)(2)72228x x x x x +-=⨯⨯．故选D ． 17．【答案】A【解析】||||cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅⋅<⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r由向量模的定义和余弦定理可得||3AB =u u u r ，||2AC =u u u r ，2221cos ,24AB AC BC AB AC AB AC +-<>==⋅u u u r u u u r ，故133242AB AC ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r ．故选A ． 18．【答案】C【解析】在ABC △中，∵60,2A a b c =︒=+，2222()24b c b bc c a ∴+=++=，化简得：222232b c a a bc +-=-， 2222cos b c a bc A +-=Q ，2322cos a bc bc A bc ∴-==， 2a bc ∴=，2()0b c ∴-=，则b c =，∴a b c ==，ABC △是等边三角形.故选C ． 19．【答案】D【解析】由正弦定理可得sin A B a =⇔=，由余弦定理可得：222cos 2b c a A bc +-=，Q b c =，a =，∴222231cos 22b b A b -==-，又Q 在ABC △中，(0,π)A ∈，∴2π3A =，故选D.20．1【解析】设ABC α∠=，ACB β∠=，则在ABC △中，由余弦定理可得24AC α=-，由正因为AC CD =，所以在BCD △中，由余弦定理可得23BD =+45)α-︒，所以当135α=︒时，BD1． 21．【答案】79【解析】因为sin23ABC ∠=，所以2cos 12sin 2ABC ABC ∠∠=-21112()12333=-⨯=-⨯=，在ABC △中，设,3BC a AC b ==，由余弦定理可得224943b a a =+-①，在ABD △和DBC △中，由余弦定理可得21644cos b ADB +-∠=，2216cos b a BDC +-∠=，因为cos cos ADB BDC ∠=-∠222161644b b a +-+-，所以2236b a -=- ②，由①②可得3,1a b ==，则3,3BC AC ==，所以222cos 2AC BC AB ACB AC BC +-∠=⋅22233272339+-==⨯⨯．22．【答案】（1；（2）45°．【解析】（1）由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，所以b sin 2A ＋b cos 2Aa ，所以ba．（2）由余弦定理及c 2＝b 22，可得cos B =．由（1）知b 2＝2a 2，故c 2＝(2a 2，所以cos 2B ＝12．又cos B >0，故cos B，∴B ＝45°． 23．【答案】（1）π4B =；（2）b =【解析】（1）由题意，sin sin sin sin a A c C b B C +-=，222a c b ∴+-=，222cos 222a cb B ac ac +-∴===，所以π.4B =（2）因为234312cos 5cos210cos 55A A A ⎛⎫⋅=-=--+ ⎪⎝⎭，m n 则当3cos =5A 时， ⋅m n 取最大值，此时，4sin .5A =由正弦定理得，sin sin 2B b a A ==. 24．【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=. 故选A ．【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 25．【答案】A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为223cos 2cos 12125C C =-=⨯-=-，所以22232cos 125215()325c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以c = 故选A ．26．3【解析】由正弦定理可得sinsin a A b B =，所以sin sin607B =︒=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2742c c =+-，解得3c =（负值舍去）．27．【答案】（1）60A ︒=；（2）sin 4C =. 【解析】（1）由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，故由正弦定理得222b c a bc +-=．由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==．因为0180A ︒︒<<，所以60A ︒=．（2）由（1）知120B C ︒=-()sin 1202sin A C C ︒+-=，即1cos sin 2sin 222C C C ++=，可得()cos 602C ︒+=-．由于0120C ︒︒<<，所以()sin 602C ︒+=，故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+4=．【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.28．【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.因为2b c =+，所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭.解得5c =. 所以7b =.（2）由1cos 2B =-得sin B =.由正弦定理得sin sin 14c C B b ==. 在ABC △中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin 7B C B C B C -=-=. 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.29．【答案】（1）14-；（2）-【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =．由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==， 227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力． 30．【答案】（1）3c =；（2）5. 【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.31．【答案】（1（2）5．【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠．由题设知52sin45sin ADB =︒∠，所以sin ADB ∠=．由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos ADB ∠==．（2）由题设及（1）知cos sin 5BDC ADB ∠=∠=．在BCD △中，由余弦定理得2222cos 25825BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯25=，所以5BC =．32．【答案】（1）3π；（2）b =sin(2)14A B -=．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-可得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，化简可得tan B =(0,π)B ∈，所以π3B =．（2）在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，π3B =可得2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a c <，故cosA =sin 22sin cos A A A ==，21cos 22cos 17A A =-=，所以11sin(2)sin 2cos cos 2sin 27A B A B A B -=-=-= 33．【答案】（1）16；（2）20．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为40AC AM ==，所以30MC ==，从而3sin 4MAC =∠，如图，记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足，则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm) （2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ．同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1．记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处，过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32．因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===．设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=．因为02βπ<<，所以24cos 25β=．于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ，故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)。

高中数学课时达标训练(二)余弦定理(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题

课时达标训练(二) 余弦定理[即时达标对点练]题组1 利用余弦定理解三角形1．已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c 等于( ) A.3B.2C.5D ．5 解析：选A 由余弦定理，得c 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，∴c ＝3，故选A.2．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12解析：选B ∵a >b >c ， ∴C 为最小角，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋（43）2－（13）22×7×43＝32，∴C ＝π6.3．已知在△ABC 中，b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 解析：选B ∵b 2＝ac ，c ＝2a ， ∴b 2＝2a 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 4．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．2 5解析：选A ∵cos C 2＝55，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴AB ＝4 2.5．(2018·某某高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝_______，c ＝________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b a ·sin A ＝27×32＝217.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得7＝4＋c 2－4c ×cos 60°，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝3或c ＝－1(舍去)．答案：2173 6．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.求a ，c 的值．解：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )．又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.7．已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A2＋cos A＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值．解：(1)∵cos A ＝2cos 2A2－1，∴2cos 2A2＝cos A ＋1.又2cos 2A2＋cos A ＝0，∴2cos A ＋1＝0， ∴cos A ＝－12，∴A ＝120°.(2)由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a ＝23，b ＝2，cos A ＝－12，∴(23)2＝22＋c 2－2×2×c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，化简，得c 2＋2c －8＝0，解得c ＝2或c ＝－4(舍去)．题组2 利用余弦定理判断三角形的形状8．在△ABC 中，三边上的高依次为113，15，111，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在这样的三角形解析：选C 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，113，15，111分别为a ，b ，c 上的高．因为S △ABC ＝12a ×113＝12b ×15＝12c ×111，所以可设a ＝13k ，b ＝5k ，c ＝11k (k >0)．由余弦定理，得cos A ＝5k2＋11k 2－13k22×5k ×11k＝－23110<0，则，所以△ABC为钝角三角形，故选C.9．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a, b, c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形解析：选B ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc，化简，得a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．10．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A ·sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．解：法一：(角化边) 由正弦定理得sin C sin B ＝cb ，由2cos A ·sin B ＝sin C ，得cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b. 又由余弦定理的推论得cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2， ∴a ＝b .又∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ， ∴(a ＋b )2－c 2＝3b 2， ∴4b 2－c 2＝3b 2， ∴b ＝c . ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．法二：(边化角) ∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴sin C ＝sin(A ＋B )．又∵2cos A ·sin B ＝sin C ，∴2cos A ·sin B ＝sin A ·cos B ＋cos A ·sin B ， ∴sin(A －B )＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角， ∴A ＝B .又由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，得(a ＋b )2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝12，而0°<C <180°，∴C ＝60°. 又∵A ＝B ，∴△ABC 为等边三角形．[能力提升综合练]1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若sin(C －A )＝12sin B ，且b＝4，则c 2－a 2＝( )A ．10B ．8C ．7D ．4解析：选B 在△ABC 中，sin(C －A )＝12sin B ＝12sin(A ＋C )，即2sin C cos A －2cos C sinA ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴sin C cos A ＝3sin A cos C .由正弦定理和余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3a ·a 2＋b 2－c 22ab，∴b 2＋c 2－a 2＝3a 2＋3b 2－3c 2，∴4c 2－4a 2＝2b 2＝2×16＝32，∴c 2－a 2＝8.故选B.2．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定解析：选A 设直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，三边都增加x ，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )·x ＋x 2>0，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．3．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45°B ．60°C ．75°D ．90° 解析：选C 由题意可知c <b <a ，或a <b <c ，不妨设c ＝2x ，则a ＝(3＋1)x ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac.即12＝（3＋1）2x 2＋4x 2－b 22·（3＋1）x ·2x . ∴b 2＝6x 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝（3＋1）2x 2＋6x 2－4x 22（3＋1）x ·6x＝22， ∴C ＝45°，∴A ＝180°－60°－45°＝75°.4．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为________．解析：由已知条件，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23.设AC 边上的中线长为x ，由余弦定理，得x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A＝42＋92－2×4×9×23＝49，解得x ＝7，所以所求中线长为7. 答案：75．设2a ＋1，a ，2a －1为钝角三角形的三边长，那么a 的取值X 围是________．解析：∵2a －1>0， ∴a >12，∴最大边的边长为2a ＋1.设其所对的角为A . ∵三角形为钝角三角形，∴cos A ＝a 2＋（2a －1）2－（2a ＋1）22a （2a －1）<0，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，解得0<a <8，又a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，综上得2<a <8. 答案：(2，8)6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________.解析：在△ABC 中，∵B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，∴由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，整理得cos A ＝32.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得1＝3＋c 2－3c ，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，a ＝c ＝1，b ＝3，此时A ＝C ＝30°，B ＝120°，不满足B ＝2A ，舍去；当c ＝2时，a ＝1，b ＝3，此时A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，满足题意，则c ＝2. 答案：27．(2018·某某高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又因为b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝32cos B ＋12sin B ，所以tan B ＝ 3. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27.所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.8.如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，AB ⊥AD ，AC ⊥CD .(1)若sin ∠BAC ＝14，求sin ∠BCA 的值；(2)若AD ＝3AC ，求AC 的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin ∠BCA ＝BC sin ∠BAC ，得2sin ∠BCA ＝314，解得sin ∠BCA ＝612. (2)设AC ＝x ，AD ＝3x ，在Rt△ACD 中，CD ＝AD 2－AC 2＝22x ，sin ∠CAD ＝CD AD ＝223.在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝x 2－122x.又∵∠BAC ＋∠CAD ＝π2，∴cos ∠BAC ＝sin ∠CAD ，即x 2－122x＝223.整理得3x 2－8x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－13(舍去)，∴AC ＝3.。

2019年高二数学必修5 第二章1.2 余弦定理作业2 Word版含解析

, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．6 2 D ．219解析：选D.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，所以c ＝219，故选D.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A 、B 、C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A ．(0，π3]B ．[π3，π)C ．(0，π6]D ．[π6，π)解析：选A.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a －c ）2＋ac 2ac ＝（a －c ）22ac ＋12≥12，因为0<B <π，所以B ∈(0，π3]．4．在△ABC 中，若b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．锐角三角形解析：选B.因为b cos A ＝a cos B ，所以b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac .所以b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2. 所以a 2＝b 2.所以a ＝b .故此三角形是等腰三角形．5．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(cos A ，sin A )，n ＝(1，3)，若m ∥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选A.因为m ∥n ，则有cos A ·3－sin A ·1＝0，即tan A ＝3，A ＝π3.又因为a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，所以a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c sin C .整理，得sin C ＝1，即C ＝π2.又A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，C ＝π2，故B ＝π6.6．已知△ABC 中，三边a ，b ，c 满足1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，则B ＝________．解析：由1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c 得(a ＋2b ＋c )(a ＋b ＋c )＝3(a ＋b )(b ＋c )，整理得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，故B ＝60°.答案：60°7．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 的形状为________．解析：由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac 又因为b 2＝ac ，所以ac ＝a 2＋c 2－ac . 即(a －c )2＝0.所以a ＝c .又因为B ＝60°，所以△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34，则BC →·CA →＝________．解析：在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ，即2＝CA 2＋1－2CA ×34.所以CA 2－32CA －1＝0.所以CA ＝2.所以BC →·CA →＝|BC →||CA →|cos(180°－C )＝－|BC →||CA →|cos C ＝－1×2×34＝－32.答案：－329．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的三边，a 2－(b －c )2＝bc ， (1)求A ；(2)若b sin B ＝c ＝2，求b 的值．解：(1)由a 2－(b －c )2＝bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0<A <π，所以A ＝π3.(2)因为c sin C ＝bsin B ＝c ，则sin C ＝1，得C ＝π2，所以B ＝π6，因为b sin B＝c ＝2，则b ＝2sin B ＝2sin π6＝1.10．在△ABC 中，若已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，并且sin C ＝2sin B cos A ，试判断△ABC 的形状．解：由正弦定理，可得sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .代入sin C ＝2sin B cos A ，得c ＝2b ·b 2＋c 2－a 22bc .整理得a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，即cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，故C ＝π3.又a ＝b ，所以△ABC 为等边三角形．[B.能力提升]1．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( )A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3解析：选B.因为p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ，所以(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，则a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，因为0<C <π，所以C ＝π3.2．在△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．90° 解析：选C.由题意可知c <b <a ，或a <b <c ，不妨设c ＝2x ，则a ＝(3＋1)x ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，即12＝（3＋1）2x 2＋4x 2－b 22·（3＋1）x ·2x，所以b 2＝6x 2.所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝（3＋1）2x 2＋6x 2－4x 22（3＋1）x ·6x＝22，所以C ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值为________．解析：由余弦定理得bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612. 答案：6124.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝223，AB ＝32，AD＝3，则BD 的长为________．解析：因为AD ⊥AC ，所以∠DAC ＝π2.因为sin ∠BAC ＝223，所以sin(∠BAD ＋π2)＝223，所以cos ∠BAD ＝223.由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝(32)2＋32－2×32×3×223＝3.所以BD ＝ 3.答案： 35．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值．解：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.由b 2＋c 2－bc ＝a 2，得(a b )2＝1＋(c b )2－c b ＝1＋14＋3＋3－12－3＝154，所以a b ＝152. 由正弦定理，得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝15.由a b ＝152，可知a >b ，故B <A ，因此B 为锐角．故cos B ＝1－sin 2B ＝25，从而tan B ＝sin B cos B ＝12.6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2，其中x ∈R .(1)若f (1)＝0，且B ＝C ＋π3，试求A ，B ，C ；(2)若f (2)＝0，求C 的取值范围．解：(1)因为f (1)＝0，所以a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0，即b 2＝4c 2. 因为b >0，c >0，所以b ＝2c ，即sin B ＝2sin C .又因为B ＝C ＋π3，所以sin B ＝sin C cos π3＋cos C sin π3.所以2sin C ＝12sin C ＋32cos C ，即3sin C ＝3cos C ．所以tan C ＝33.因为0<C <π，所以C ＝π6.所以B ＝π6＋π3＝π2，A ＝π3.所以A ，B ，C 的值分别为π3，π2，π6.(2)因为f (2)＝0，所以4a 2－(a 2－b 2)×2－4c 2＝0，即a 2＋b 2＝2c 2. 所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又因为a 2＋b 2＝2c 2，所以⎝⎛⎭⎫a 2c 2＋⎝⎛⎭⎫b 2c 2＝1.令a 2c ＝cos θ，b 2c ＝sin θ.所以a ＝2c cos θ，b ＝2c sin θ.因为a >0，c >0，所以0<θ<π2.所以cos C ＝c 222c cos θ·2c sin θ＝12sin 2θ.因为0<2θ<π，所以0<sin 2θ≤1.所以0<2sin 2θ≤2.所以cos C ≥12.因为0<C <π，所以0<C ≤π3.。

人教版高中数学高二版必修5课时检测(二) 余弦定理

课时达标检测（二）余弦定理一、选择题1．在△ABC 中，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径为( ) A.823 B.143C.73 D.733解析：选D 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝82＋32－2×8×3×12＝49，∴a ＝7.由正弦定理，得asin A ＝2R ，∴R ＝733.2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是() A ．－15 B ．－16C ．－17 D ．－18解析：选C 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：选B 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ，又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c .∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°.故△ABC 是等边三角形．4．在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形解析：选B 因为b cos A ＝a cos B ，所以b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac. 所以b 2＋c 2－a 2＝a 2＋c 2－b 2.所以a 2＝b 2.所以a ＝b .故此三角形是等腰三角形．5．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎭⎫π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π 解析：选C ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，∴由正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥bc 2bc ＝12， ∴0<A ≤π3. 二、填空题6．(福建高考)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A，所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝90°，所以AB ＝22－(3)2＝1.答案：1 7．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C的值为________．解析：由余弦定理可得49＝AC 2＋25－2×5×AC ×cos 120°，整理得AC 2＋5·AC －24＝0，解得AC ＝3或AC ＝－8(舍去)，再由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝35. 答案：358．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则C ＝________.解析：因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝5k ，c ＝7k ，由余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°＜C ＜180°，所以C ＝120°.答案：120°三、解答题9．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入c ＝a cos B ，得c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴c 2＋b 2＝a 2. ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a ·c a.∴b ＝c . ∴△ABC 也是等腰三角形．综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．10．(天津高考改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，求cos A 的值．解：由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c . 又b －c ＝14a ， ∴12c ＝14a ，即a ＝2c . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14.11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．解：(1)根据正弦定理得2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ⇒2cos A sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，∵sin B ≠0，∴cos A ＝12. ∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，把 b ＋c ＝4代入得bc ＝3，故bc ＝3.12．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .解：(1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a ＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c .由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22.所以B ＝45°.。

数学必修5解三角形-正弦-余弦知识点和练习题(含答案)

数学必修5解三角形-正弦-余弦知识点和练习题(含答案)解三角形1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C=.2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sin cos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++===.、已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

两边和夹角(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边(如a、b、c)余弦定理由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C在有解时只有一解。

1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b=2,∠A=30°8、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形.9、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______.10、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ；③sinC=BA B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).12．在ABC △中，已知内角A π=3，边3BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 13．在ABC中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A =3sin 2B =，求::a b c14．在ABC中,,a b c分别为,,A B C∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+，（1）求A 的大小；（2）若61,9a b c =+=，求b 和c 的值。

高中数学课时作业2 余弦定理新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题

课时作业2余弦定理二、填空题(每小题5分，共15分)6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.解析：∵a ＝2，B ＝π6，c ＝23，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝2. 答案：27．在△ABC 中，a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.解析：因为c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos60°＝12，所以c ＝2 3.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝12.因为a <c ，所以A ＝30°.答案：30°8．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a ，C ＝60°，则b a＝________. 解析：由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即2a 2＝a 2＋b 2－ab ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2－b a－1＝0，解得b a ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＝1－52舍去.答案：1＋52三、解答题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求各角度数．解析：法一：由已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k >0)．由余弦定理，得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6k 2＋3＋12k 2－4k 22×6k ×3＋1k ＝22，所以A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4k 2＋3＋12k 2－6k 22×2k ×3＋1k ＝12，所以B ＝60°.所以C ＝180°－45°－60°＝75°. 法二：由法一可得A ＝45°.由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝6k ×222k ＝32. 所以B ＝60°或120°.又因为b <c ，所以B ＝60°. 所以C ＝180°－45°－60°＝75°.10．在△ABC 中，已知cos 2A 2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 为三角形的三角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状．解析：cos 2A 2＝12(1＋cos A )，由余弦定理及cos 2A 2＝b ＋c 2c 得12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋c 2c，整理得c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 是以C 为直角的直角三角形．。

(2021年整理)人教版高中数学必修五专题余弦定理习题(含答案)

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余弦定理一、选择题1．(2016·天津高考）在△ABC中,若AB＝错误!，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( ）A．1 B．2C．3 D．42．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为( ）A。

错误! B.错误!C.错误!D.错误!或错误!3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a,b，c满足（a＋b）2－c2＝4，且C＝60°，则ab 的值为( )A.错误!B．8－4错误!C．1 D。

错误!4．在△ABC中，角A,B，C的对边分别为a，b，c,若(a2＋c2－b2)tan B＝错误!ac,则角B为( )A。

错误! B.错误!C.错误!或错误!D。

错误!或错误!5．在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c。

若a＝1，c＝4错误!,B＝45°，则sin C 等于（)A.错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!二、填空题6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若a＝1，b＝错误!，c＝错误!,则B ＝________.7．在△ABC中,已知a，b是方程x2－5x＋2＝0的两根，C＝120°，则边c＝________.8．（2015·重庆高考)设△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－错误!,3sin A＝2sin B，则c＝________。

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25．在中，分别是角的对边，已知，若，则的取值范围是________________．
26．（2018新课标全国Ⅱ理）在中，，，，则
A． B．
C． D．
27．（2016新课标全国I文）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，，，则b=
A． B．
C．2D．3
28．（2016天津）在中，若，BC=3，，则AC=
第一章解三角形
狂刷02余弦定理
1．在中，若，则边长为
A．5B．8
C．5或−8D．−5或8
2．若的内角所对的边满足，且，则的值为
A． B．
C．1D．
3．在中，已知三边则三角形ABC是
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法确定
4．在中，，则一定是
A．钝角三角形B．锐角三角形
A．1B．2
C．3D．4
29．（2016新课标全国III理）在中，．（2018浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则 ___________， ___________．
31．（2016上海）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
A． B．
C． D．
22．在中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝________________．
23．在中，己知，，若点D满足，且，则BC的长为________________．
24．已知a、b、c分别是的角A、B、C所对的边，且c=2，C= ，若，则A=________________．
14．已知在中，，角B的平分线则BC=_____________．
15．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A=_____________．
16．在中，若tanA·tanB＜1，则该三角形一定是
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．以上都有可能
17．已知的三个内角满足则是
9．已知，，分别为的三个内角，，的对边，若则
A． B．
C． D．
10．在中，，则A的取值范围是________________．
11．在中，角的对边分别为若，则 ________________．
12．在中，已知则等于________________．
13．在中，若 =2，b+c=7，cosB= ，则b=________________．
A．等腰三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
18．中，，，，则边上的高等于
A． B．
C． D．3
19．在中，内角所对的边分别为，若，则等于
A． B．
C． D．
20．如图，在中，是边上的点，且，则的值为
A． B．
C． D．
21．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且为锐角，则实数的取值范围为
C．直角三角形D．等边三角形
5．已知锐角的外接圆半径为，且，，则
A． B．6
C．5D．
6．已知在中，且，则
A． B．
C． D．
7．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知，则A=
A． B．
C． D．
8．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，且，则
A． B．
C． D．
32．（2017浙江）已知向量a，b满足，，则的最小值是________，最大值是_______．