高三数学等比数列的前n项和2
高三数学等比数列及其前n项和
考点三
例 2
等比数列的性质及应用
(1)在各项不为零的等差数列{an}中,2a2 019-
b2 020=a2 020,则 log2(b2 019·b2 021)的值为(
+2a2
)
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:(1)因为在等差数列{an}中,a2 019+a2 021=2a2 020,
an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且
q≠-1).
释疑
(1)任意两个实数不一定都有等比中项,只有同号的两个非零实数才有等比中项.
n
n
(2)an= ·q ,当 q>0 且 q≠1 时,可以看成函数 y=cq ,其是一个不为 0 的常数与指数
(- ) -
na1;当 q≠1 时,{an}的前 n 项和 Sn=
-
=
-
.
考点二
等比数列的判定与证明
例1 设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*).
(1)求a2,a3的值;
(1)解:因为a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N*),
第3节
等比数列及其前n项和
课程标准要求
1.理解等比数列的概念.
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解
答
.
4.了解等比数列与指数函数的关系.
等比数列的前n项和(第二课时)
2． 等比数列前n项和性质
(1)在等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数列，即： Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列． (2)当 n 为偶数时， 偶数项之和与奇数项之和的比等于
S偶 等比数列的公比，即 ＝q. S奇 (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0， n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝－Aqn＋A⇔数列 {an}为等比数列．
2．5 等比数列的前n项和
等比数列前n项和公式的理解 1． (1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q， Sn五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．
a11－qn (2)当公比 q≠1 时， 等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝ ， 1－q a1 n a1 a1 它可以变形为 Sn＝－ · q＋ ，设 A＝ ，上式可写 1－q 1－q 1－q n 成Sn＝－Aq ＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和 Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式 的系数与常数项互为相反数． 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函数(常 数项为0的一次函数)．
96 ＝ ＝32，∴n＝6. 3
(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得 a1＋a1q2＝10， a11＋q2＝10， 3 即 3 5 5 5 2 a1q ＋a1q ＝ ， a1q 1＋q ＝ . 4 4 ∵a1≠0,1＋q2≠0， 1 1 ∴②÷ ①得，q ＝ ，即 q＝ ，∴a1＝8. 8 2
a[1＋0.016－1] ＝ ＝a[1.016－1]×102(元)． 1.01－1 1.016×102 由 S1＝S2，得 a＝ . 6 1.01 －1 以下解法同法一，得 a≈1 739. 故每月应支付 1 739 元．
高中数学选择性必修修二第4章 4.3.2 等比数列的前n项和公式(第2课时)
4.3.2 等比数列的前n 项和公式(第2课时)素养目标学科素养 1.掌握等比数列前n 项和的性质．(重点)2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题.1.逻辑推理； 2．数学运算情境导学远望巍巍塔七层，红光点点倍加增． 其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 这首古诗给大家呈现一幅美丽夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？1．等比数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }为非常数列的等比数列，且其前n 项和S n ＝A·q n ＋B(A ≠0，B ≠0，q ≠0，q ≠1)，则必有A ＋B ＝0；反之，若某一非常数列的前n 项和S n ＝A·q n －A(A ≠0，q ≠0，q ≠1)，则该数列必为等比数列．(2)如果公比q ≠－1或虽q ＝－1但n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列． (3)当等比数列{a n }的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比S 偶S 奇＝q .2．分组求和某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋m ，则m ＝－2.(√) (2)若数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，则其前n 项和公式可表示为－A q n ＋A(A ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)．(√)2．若a n ＝2n －n ，则{a n }的前n 项和为2n ＋1－2－错误!.3．数列112，314，518，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和为n 2＋1－12n.1．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210D ．520A 解析：∵S 2＝20，S 4－S 2＝40，且(S 4－S 2)2＝S 2×(S 6－S 4)，∴S 6－S 4＝80. 又∵S 4＝60，∴S 6＝140.2．若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和S n ＝3n ＋1－3k ，则实数k 等于________． 1 解析：∵S n ＝3n ＋1－3k ＝3×3n －3k ，∴3＝3k ，即k ＝1. 3．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －2＋r 2，则r ＝________.－12 解析：因为S n ＝2n －2＋r 2＝14×2n ＋r 2， ∴r 2＝－14，即r ＝－12. 4．数列{2n －1}的前n 项和为________．2n ＋1－2－n 解析：S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－2－n .【例1】(1)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( ) A ．28 B ．32 C ．21D ．28或－21(2)在等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________.(3)等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. (1)A (2)24 (3)2 解析：(1)∵{a n }为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4成等比数列，由(S 4－7)2＝7×(91－S 4)，得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2， ∴S 4＝28.(2)设A ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80， B ＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79， 则AB＝q ＝3，即A ＝3B ． 又A ＋B ＝S 80＝32，∴43A ＝32，解得A ＝24.即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.(3)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.等比数列前n 项和的常用性质： (1)若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)“片断和”性质：等比数列{a n }中，公比为q ，前m 项和为S m (S m ≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，S km －S (k －1)m ，…构成公比为q m 的等比数列．在等比数列{a n }中，若前10项的和S 10＝10，前20项的和S 20＝30，则前30项的和S 30＝________. 70 解析：(方法一)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则错误! 两式相除得1＋q 10＝3，∴q 10＝2. ∴a11－q＝－10. ∴S 30＝错误!＝－10×(1－8)＝70.(方法二)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列，又S 10＝10，S 20＝30， ∴S 30－30＝错误!， 即S 30＝70.【例2】已知数列{a n }：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…构成一个新数列：a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列．求：(1)数列{a n }的通项公式； (2)数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n＝32n －34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝错误!＋错误!×错误!n －1.如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成的，并且各独立项也可组成等差数列或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．若一数列为“1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…”，如何求其前n 项和？ 解：设该数列的第n 项为a n ，则a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以该数列的前n 项和S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1) ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝错误!－n ＝2n ＋1－n －2.探究题1 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10－S 4＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)． ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列， ∴2a 4＋4＝a 2＋a 5.∴2×2×q 3＋4＝2×q ＋2×q 4. ∴q 4－2q 3＋q －2＝0. ∴(q －2)(q 3＋1)＝0. ∴q ＝2或q ＝－1(舍)．∴S 10－S 4＝错误!－错误!＝2 016.探究题2 在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为|a 2|的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 依题意得a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6， 从而d ＝－3.所以a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2. (2)由(1)得a 2＝－4，所以|a 2|＝4.而数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为4的等比数列， 所以a n ＋b n ＝4n －1，即－3n ＋2＋b n ＝4n －1， 所以b n ＝3n －2＋4n －1，于是S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!. 探究题3 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由(1)可得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n .探究题4 已知正项等比数列{a n }(n ∈N *)，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以有2(S 5＋a 5)＝(S 3＋a 3)＋(S 4＋a 4)，即2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋2a 5)＝(a 1＋a 2＋2a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3＋2a 4)， 化简得4a 5＝a 3，从而4q 2＝1，解得q ＝±12.因为a n >0，所以q ＝12，所以a n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)由(1)知，na n ＝3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.T n ＝3×1＋3×2×12＋3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝3×1×12＋3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，两式相减得 12T n ＝3×1＋3×12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝3×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－3n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝6－6＋3n 2n .所以T n ＝12－6＋3n2n －1.解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能直接套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解．同时，要注意在题设条件下，寻求等差数列之间的内在联系．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13， 所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)(a 7＋1)， 得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)(a 1＋13)，解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)， 所以1Sn ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－错误!.1．已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1且b i >0(i ＝1,2，…，n )，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( )A ．a 6>b 6B ．a 6＝b 6C ．a 6<b 6D ．a 6<b 6或a 6>b 6A 解析：由题意可得四个正数满足a 1＝b 1，a 11＝b 11， 由等差数列和等比数列的性质可得a 1＋a 11＝2a 6，b 1b 11＝b 26.由基本不等式可得2a 6＝a 1＋a 11＝b 1＋b 11≥2b1b11＝2b 6，当且仅当b 1＝b 11时等号成立． 又公比q ≠1，故b 1≠b 11，上式取不到等号，∴2a 6>2b 6，即a 6>b 6.故选A ．2．已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 1a 4＝8，a 2＋a 3＝6，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n －1－1C 解析：等比数列{a n }中，有a 1a 4＝a 2a 3＝8， 而a 2＋a 3＝6，可得a 2＝2，a 3＝4或a 2＝4，a 3＝2. 根据公比q >1可知{a n }是递增数列，所以a 2＝2，a 3＝4，可得q ＝a3a2＝2，a 1＝a2q ＝1，所以{a n }的前n 项和S n ＝错误!＝错误!＝2n －1.故选C ．3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2S 4＝a 4S 2，则S2 019S1＝( )A ．1B ．－1C ．2 019D ．－2 019A 解析：由题得a 1q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3)＝a 1q 3(a 1＋a 1q )， 即q (1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 3(1＋q )，所以1＋q ＋q 2＋q 3＝q 2(1＋q )，所以q ＝－1. 所以S2 019S1＝错误!＝1.故选A ．4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明：由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫an ＋12，所以an ＋1＋12an ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫an ＋12是首项为a 1＋12＝32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1.(2)解：由(1)知{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫312＋322＋…＋3n 2－n 2，所以S n ＝3n ＋1－2n －34.1．分类讨论的思想：(1)利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论． (2)研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．2．函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．等比数列前n 项和S n ＝a1q －1·(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a1q －1，则S n ＝A(q n －1)也与指数函数相联系． 3．整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a11－q当成整体求解． 课时分层作业(十)等比数列的前n 项和公式(第2课时)(50分钟 100分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等比数列前n 项和的性质1．(5分)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a nD 解析：在等比数列{a n }中，S n ＝a1－anq1－q ＝1－an ×231－23＝3－2a n .2．(5分)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a1＋1a2＋1a3＋1a4等于( )A ．35B ．53C ．－35D ．－53D 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝158，a 2a 3＝a 21q 3＝－98， ∴1a1＋1a2＋1a3＋1a4＝1a1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q ＋1q2＋1q3＝q3＋q2＋q ＋1a1q3＝错误!＝错误!＝－错误!. 3.(5分)等比数列{a n }共有2n 项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.2 解析：设{a n }的公比为q ，由已知可得q ≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝错误!，S 奇＝错误!.由题意得错误!＝错误!，∴1＋q ＝3， ∴q ＝2.4.(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项的和S 15＝________.11 解析：∵S 3＝1，S 6－S 3＝－2，∴S 9－S 6＝4，S 12－S 9＝－8，S 15－S 12＝16，∴S 15＝S 3＋S 6－S 3＋S 9－S 6＋S 12－S 9＋S 15－S 12＝1－2＋4－8＋16＝11. 知识点2 分组求和5．(5分)数列12，12＋14，12＋14＋18，…，12＋14＋…＋12n 的前n 项和为( )A ．n ＋12nB ．n －1＋12nC ．n －1＋12n ＋1D ．n ＋12n －1B 解析：∵数列的通项a n ＝12＋14＋…＋12n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n，∴前n 项和S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (12)＝n －1＋12n. 6．(5分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1,1,2，…，则数列{c n }的前10项和为( )A ．978B ．557C ．467D ．979A 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d .∵c n ＝a n ＋b n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a1＋b1＝1，a2＋b2＝1，a3＋b3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝1，d ＝－1，q ＝2.∴c n ＝2n －1＋(1－n )． ∴{c n }的前10项和为1－2101－2＋错误!＝978. 知识点3 等差数列与等比数列的综合问题7．(5分)已知数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( )A ．1 033B ．1 034C ．2 057D ．2 058A 解析：∵a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1，∴ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 29＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1)＝10＋(1＋2＋22＋…＋29)＝10＋1－2101－2＝1 033. 8．(5分)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12 D 解析：∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 2＝S 1·S 4，∴(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，∴a 1＝－12. 9．(5分)(多选)已知{a n }为等比数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝8a 1，且a 4与2a 5的等差中项为20，则( )A ．a 1＝－1B ．公比q ＝－2C ．a 4＝8D ．S 5＝31CD 解析：∵a 2a 3＝8a 1，∴a 1q 3＝8，即a 4＝8.∵a 4＋2a 5＝40，∴a 4(1＋2q )＝40，∴q ＝2，a 1＝1.∴S 5＝1－251－2＝31.能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S10S5等于()A ．－3B ．5C ．－31D ．33D 解析：设{a n }的公比为q ，∵S 3＝错误!＝2，S 6＝错误!＝18，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2，∴S10S5＝1－q101－q5＝1＋q 5＝33.11．(5分)设等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( )A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 2D ．A 2＋B 2＝A(B ＋C)D 解析：∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即(B －A)2＝A(C －B)，∴A 2＋B 2＝A(B ＋C)．12．(5分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{log 2a n }的前12项和等于( )A ．66B ．55C ．45D ．6A 解析：∵S n ＝2n －1，∴S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2n －1(n ≥2)．又a 1＝S 1＝1，∴a n ＝2n －1.∴log 2a n ＝n －1.∴{log 2a n }是等差数列，首项为0，公差为1.∴前12项和为66.13．(5分)已知{a n }是等比数列，若a 1＝1，a 6＝8a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 的前n 项和为T n ，则T 5＝( ) A ．3116B ．31C ．158D ．154A 解析：∵a 1＝1，a 6＝8a 3，∴q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是等比数列，首项为1，公比为12， ∴T 5＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝3116. 14.(5分)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，若S 5＝1，则S 10＝________.33 解析：∵S 5＝错误!＝1，∴a 1＝错误!.∴S 10＝错误!＝错误!× 1 023＝33.15.(5分)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×3n ＋r ，则r ＝________.－2 解析：∵S n ＝2×3n ＋r ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －2×3n －1＝4×3n －1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝6＋r .∵{a n }为等比数列，∴6＋r ＝4.∴r ＝－2.16.(12分)已知等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }(n ∈N *)，若b 2＝a 2，b 3＝a 5，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解：(1)由S 3＝9，得3a 2＝9，所以a 2＝3.又因为a 3＝5，所以公差d ＝2.从而a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)由(1)可得b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，所以公比q ＝3.从而b n ＝b 2q n －2＝3n －1，则a n ＋b n ＝(2n －1)＋3n －1，分组求和可得T n ＝n 2＋12(3n －1).17.(13分)已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．证明：∵a 1，a 7，a 4成等差数列，∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝－12或q 3＝1. 若q 3＝1，则2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1.∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．若q 3＝－12， 则2S 3＝3a11－q ，S 6＝34a11－q ，S 12－S 6＝316a11－q. ∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a11－q 2＝3a11－q ·316a11－q ，即S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．重难强化训练(二)等比数列(60分钟 120分)练易错易错点1| 对等比数列的定义理解不透彻致误[防范要诀]等比数列中任一项a n ≠0，且q ≠0.[对点集训]1.(5分)已知等比数列{a n }的前三项为a,2a ＋2,3a ＋3，则a ＝________.－4 解析：由(2a ＋2)2＝a (3a ＋3)⇒a ＝－1或a ＝－4.但当a ＝－1时，第二、三项均为零，故a ＝－1舍去，得a ＝－4.2.(10分)已知数列{a n }中a n ≠0，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列．证明：由已知，有2a 2＝a 1＋a 3，①a 23＝a 2·a 4，②2a4＝1a3＋1a5.③ 由③得2a4＝a3＋a5a3·a5，∴a 4＝2a3·a5a3＋a5.④ 由①得a 2＝a1＋a32.⑤ 由④⑤代入②，得a 23＝a1＋a32·2a3·a5a3＋a5. ∴a 3＝错误!，即a 3(a 3＋a 5)＝a 5(a 1＋a 3)．化简，得a 23＝a 1·a 5.又a 1，a 3，a 5≠0，∴a 1，a 3，a 5成等比数列．易错点2| 利用等比中项时忽略判断符号致误[防范要诀](1)等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号都相同；(2)只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数．[对点集训]3.(5分)如果1，a ，b ，c,16成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.4 16 解析：∵b 2＝1×16＝16，且b ＝1×q 2>0，∴b ＝4.又∵b 2＝ac ，∴ac ＝16.4.(5分)等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则a 6＝________.729 解析：∵a5a2＝q 3＝27，∴q ＝3， ∴a 6＝a 2q 4＝9×81＝729.5.(5分)已知－2，a 1，a 2，－8成等差数列，－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，则a2－a1b2＝________. 12解析：∵－2，a 1，a 2，－8成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a1＝－2＋a2，2a2＝a1－8，得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝－4，a2＝－6.又∵－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，∴b 2＝－2×(－8)＝16，∴b 2＝4或b 2＝－4.由等比数列隔项同号可得b 2＝－4， ∴a2－a1b2＝错误!＝错误!. 易错点3| 忽视对公比q 的讨论[防范要诀]等比数列的公比q ≠0，数列中各项都不为零；当公比q ≠1时，S n ＝错误!；当公比q ＝1时，S n ＝na 1.[对点集训]6.(5分)等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧ n ，a ＝1，1－an 1－a ，a≠1 解析：当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－an 1－a. ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ，a ＝1，1－an 1－a ，a≠1.7.(10分)在首项为a 1且公比为q 的等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若S 3＝4，S 6＝36，求a n .解：∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧ S3＝4，S6＝36得错误!由②①得1－q61－q3＝9，即1＋q 3＝9，∴q ＝2. 将q ＝2代入①式得a 1＝47. ∴a n ＝a 1q n －1＝47×2n －1＝2n ＋17. 练疑难8．(5分)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( )A ．1B ．0C ．1或0D ．－1A 解析：∵{S n }是等差数列，∴2S 2＝S 1＋S 3，∴2(a 1＋a 2)＝a 1＋(a 1＋a 2＋a 3)，∴a 2＝a 3，∴q ＝a3a2＝1. 9．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A ．2B ．1C ．12D ．18C 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1q 3＝2，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12. 10．(5分)已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( )A ．－12B ．－2C ．－1或12D ．1或－12D 解析：∵a 1，a 3，a 2成等差数列，∴2a 3＝a 1＋a 2，∴2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或－12. 11．(5分)在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值为( )A ．13B ．－76C ．46D ．76 B 解析：∵S 15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S 22＝(－4)×11＝－44，S 31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.12．(5分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134C 解析：∵{a n }是正项等比数列，∴{b n }是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴d ＝－2，b 1＝22，∴S n ＝22n ＋错误!×(－2)＝－n 2＋23n ＝－错误!2＋错误!， ∴当n ＝11或12时，S n 最大，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132.13．(5分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2 019项的和S 2 019等于( )A ．31 010－2B ．31 010－3C ．32 009－2D ．32 009－3A 解析：因为a 1＝1，a 2＝3，an ＋2an ＝3， 所以S 2 019＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1－31 0101－3＋错误!＝31 010－2. 14．(5分)数列{a n }的通项公式是a n ＝n cos nπ2，其前n 项和为S n ，则S 2 020等于( ) A ．1 010B ．2 020C ．504D ．0A 解析：a 1＝cos π2＝0，a 2＝2cos π＝－2，a 3＝0，a 4＝4，….∴数列{a n }的所有奇数项为0，前2 020项的所有偶数项(共1 010项)依次为－2,4，－6,8，…. 故S 2 020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 018＋2 020)＝1 010.15.(5分)在等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，数列{a n }的通项公式a n ＝________.4或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5 解析：当q ＝1时，a 3＝4， a 1＝a 2＝a 3＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，∴q ＝1符合题意．a n ＝4.当q ≠1时，错误!解得q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5， 故a n ＝4或a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －5. 16.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，Sn n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和T n .解：依题意得Sn n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫n2＋12n －错误!＝2n －错误!； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12， 所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ， 由bn ＋1bn＝错误!＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝错误!＝错误!. 17.(12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2＝6，a 3＋a 4＝72.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n －n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝6，a 3＋a 4＝72，∴6q ＋6q 2＝72，即q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或q ＝－4.又∵a n >0，∴q >0，∴q ＝3，a 1＝a2q＝2. ∴a n ＝a 1q n －1＝2×3n －1(n ∈N *)．(2)∵b n ＝2×3n －1－n ，∴S n ＝2(1＋3＋32＋…＋3n －1)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2×1－3n 1－3－错误!＝3n －1－错误!. 18.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)． ∵a 2＝2S 1＋1＝5，∴a n ＝a 23n －2＝5·3n －2(n ≥2，n ∈N *)，当n ＝1，a 1＝2不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，5·3n－2，n≥2，n∈N*.(2)由(1)知na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，5n·3n－2，n≥2，n∈N*.T n ＝2＋5·2·30＋5·3·31＋5·4·32＋5·5·33＋…＋5·(n －1)·3n －3＋5·n ·3n －2，①3T n ＝6＋5·2·31＋5·3·32＋5·4·33＋…＋5·(n －1)3n －2＋5·n ·3n －1，②①－②得－2T n ＝6＋5(3＋32＋33＋…＋3n －2)－5n ·3n －1＝6＋5×错误!－5n ·3n －1，∴T n ＝34＋10n －54·3n －1.。
最新-2018高中数学 第二章233节第二课时等比数列的前n项和课件 必修5 精品
【点评】 此问题的本质还是等比数列的判定与 求和问题，只要抓住了本质，问题便可迎刃而 解．
变式训练
2．已知{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1、a3、 a2 成等差数列． (1)求 q 的值； (2)设{bn}是以 2 为首项，q 为公差的等差数列， 其前 n 项和为 Sn，当 n≥2 时，比较 Sn 与 bn 的 大小，并说明理由．
由SS62＝＝97， 1，
a11＋q＝7， 得a111－－qq6＝91，
∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91， ∴q4＋q2－12＝0，∴q2＝3， ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2) ＝7×(1＋3)＝28.
法二：设数列{an}的公比为 q， ∵S2＝7，S6＝91，
题型二 有关等比数列前n项和的综合问题
• 对于此类问题，在解答时要注意去伪存真，找到其
实质，从而转化为等比数列的基本问题．
例2 以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的 点 Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数 y＝2x＋k 的图象 上，数列 bn＝an＋1－an(n∈N*，b1≠0)． (1)求证：数列{bn}是等比数列； (2)设数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若 S6 ＝T4，S5＝－9，求 k 的值．
解：(1)由题知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.
∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1 或 q＝－12.
(2)①若 q＝1，则 Sn＝2n＋nn2－1×1＝n2＋2 3n.
当
n≥2
时，
Sn－bn＝Sn－1＝
n－1 2
n＋2
＞0，
故 Sn＞bn.
②若 q＝－12，则 Sn＝2n＋nn2－1·(－12)＝－n24＋9n.
等比数列前n项和公式的推导
等比数列前n项和公式的推导等比数列是数学中一类重要的数列，它对于对等比数列进行处理具有重要的意义。
等比数列的性质，除了是等比外，还可以表示为其前n项和的关系公式，由于等比数列的特殊性本质，前n项和的关系公式也有很强的规律性可以推导出来。
首先，我们来分析等比数列的具体特点，等比数列的一般项通常表示为：an=a1rn-1（n>=2， r≠0）。
显然，我们可以看出，a2=a1r，a3=a1r2，a4=a1r3，以此类推，我们可以推断出等比数列的关系项之间存在恒定的关系：an=a1rn-1。
接下来，我们就来推导出等比数列前n项和的公式。
等比数列前n项和，我们通常使用Sn来表示，我们也可以将前n项和表示为前n+1项减去最后一项，即：Sn=a1 + a2 + a3 +...+ an-1 +an - an = a1 + a1r + a1r2 +...+ a1rn-2 +a1rn-1 - a1rn-1 =a1(1+r+r2+...+rn-2+rn-1-rn-1)。
我们将1+r+r2+...+rn-2+rn-1-rn-1这个式子分解下来，1+r+r2+...+rn-2，由于以r为公比的等比数列，任意一项和它前面一项的比值为r，这样1+r+r2+...+rn-2就转化为(1-rn-1)/(1-r)，即：S = a1(1-rn-1)/(1-r)。
上面我们完成了等比数列前n项和的推导，即Sn =a1(1-rn-1)/(1-r)，这是本文要推导的等比数列前n项和的公式，并且由于等比数列的特殊性本质，通过这个公式我们可以很好地对等比数列进行计算处理。
最后，我们来给出一个关于等比数列前n项和的实例题来进行验证，比如说等比数列{an}的通式表达式为an=2n-2，若要求前五项的和，我们很容易可以得出：S5 = 2222222 = 28，同时，使用上面推导出的前n项和的公式Sn = a1(1-rn-1)/(1-r)，我们可以得出：S5 = 21(1-25)/(1-2) = 28，从而说明数列{an}的前五项和正确，也表明我们推导出的等比数列前n项和的公式是正确的。
高中数学等比数列公式是什么
高中数学等比数列公式是什么高中数学等比数列公式1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.高中数学解题方法与技巧1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、在研究含有参数的初等函数的时候应该抓住无论参数怎么变化一些性质都不变的特点。
如函数过的定点、二次函数的对称轴等。
3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。
4、恒成立问题中，可以转化成最值问题或者二次函数的恒成立可以利用二次函数的图像性质来解决，灵活使用函数闭区间上的最值，分类讨论的思想(在分类讨论中应注意不重复不遗漏)。
5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。
6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。
等比数列前N项和的性质知识讲解
例题讲解
4、若等 {an}的 比公 数 1 3， 比 列 a1且 为 a3a99 6,0
则 {an}的1前 0 项 0 和 80 为 。
解： 令 S 奇 a 1 a 3 a 9 9 60
S 偶 a 2a 4 a 100
由则 等 S100比 S奇 数 nS项 偶列 和前 性S质 偶知 q1：
化简S到 n1 3： 3n2a
1 3
2a
0
a 1 6
探究二：
我们知道，等差数列有这样的性质：
如 a n 果 为等 ， 则 差 S k,S 2 数 kSk,S 列 3 kS 2 k也成等
新的等差数列 Sk， 首 公项 差k为 为 2d。
那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？ 怎么证 明？
等比数列前n项和的性质二：
法
二
：
根据题意S10，S20－S10，S30－S20成等比数列 → S10＝10，S20＝30 → S30
例题讲解
【解】 法一：设公比为 q，则
a111－－qq10＝10 a111－－qq20＝30 ② ② ①得 1＋q10＝3，∴q10＝2，
①
a1 10 1 q
例题讲解
∴S30＝a111－－qq30＝70. 法二：∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30， ∴S30－S20＝S30－30＝30－10102， 即 S30＝70.
课后作业
书上第62页，习题2.5 B组，第2题、第5题。
5 、在{a 等 n} 中 a 比 1 ， a n 数 6， 6 a 2列 a n 1 1， 2 前 n 项 S n 和 1， 2n 6 及 求 q 公 。比
解： a1ana2an 1128
高中数学等比数列的前n项和-知识点剖析
等比数列的前n 项和-知识点剖析1．推导等比数列的前n 项和公式方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，它的前n 项和是S n =a 1+a 2+a 3+…+a n .依等比数列通项公式有S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1.① ①式两边同乘以q ，得qS n =a 1q+a 1q 2+a 1q 3+…+a 1q n .② ①－②，得（1-q ）S n =a 1-a 1q n ，由此得q≠1时，S n =qq a n --1)1(1. ∵a n =a 1q n-1，∴上式可化为S n =q q a a n --11. 当q=1时，S n =na 1.方法二：由等比数列定义知12a a =23a a =34a a =…=1-n n a a =q. 当q≠1时，1321432-⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n a a a a a a a a =q ，即nn n a S a S --1=q. 故S n =q q a a n --11=qq a n --1)1(1. 当q=1时，S n =na 1.方法三：S n =a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-1=a 1+q （a 1+a 1q+a 1q 2+…+a 1q n-2）=a 1+qS n-1=a 1+q （S n -a n ）.∴当q≠1时，S n =q q a a n --11 =qq a n --1)1(1. 当q=1时，S n =na 1.2．注意问题（1）上述证法中，方法一为错位相减法，方法二为合比定理法，方法三为拆项法.各种方法在今后的解题中都经常用，要用心体会.（2）公比为1与不为1时公式不同，若公比为字母，要注意分类讨论.（3）当已知首项a 1，公比q ，项数n 时，用公式S n =qq a n --1)1(1，当已知a 1，a n ，n 时，用公式S n =q q a a n --11. （4）在解决等比数列问题时，如已知a 1，a n ，S n ，n ，q 中任意三个，可由通项公式或前n 项和公式求解其余两个.3．等比数列的前n 项和的一般形式一般地，如果a 1，q 确定，那么S n =qq a n --1)1(1=q a -11+q a -11q n ，设A=q a -11，则上式可以写成S n =A-Aq n（q≠1）.4．等比数列的前n 项和的性质（1）若某数列前n 项和公式为S n =a n -1（a≠0，a≠1），则{a n }是等比数列.（2）在等比数列中，若项数为2n （n ∈N *），则奇偶S S =q.（3）若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则①S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比数列.②S n+m =S n +q n S m .5．前n 项和的重点性质的证明 （1）若数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 满足（S 2n -S n ）2=S n （S 3n -S 2n ）.（2）若等比数列{a n }的公比为q ，则S n+m =S n +q n S m .证明：（1）设首项为a 1，公比为q.若q=1，则S n =na 1，S 2n =2na 1，S 3n =3na 1，显然满足.若q≠1，则S n =q q a n --1)1(1，S 2n =q q a n --1)1(21，S 3n =qq a n --1)1(31. 则S 2n -S n =q q a n --1)1(21-q q a n --1)1(1=)1(11n nq qq a --， S 3n -S 2n =q q a n --1)1(31-qq a n --1)1(21=s. ∴（S 2n -S n ）2=2221)1(q q a n-（1-q n ）2， S n （S 3n -S 2n ）=q q a n --1)1(1·)1(121n n q q q a --=2221)1(q q a n -（1-q n ）2，即（S 2n -S n ）2=S n （S 3n -S 2n ）.（2）设首项为a 1，公比为q.若q=1，显然满足.若q≠1，则S m+n =qq a n m --+1)1(1，S n =q q a n --1)1(1，S m =q q a m --1)1(1， ∴S n +q n S m =q q a n --1)1(1+qq q a m n --1)1(1=)1(11n m q q a +--=)1(11n m n n q q q q a +-+--=S m+n ， 即S n+m =S n +q n S m .练习请和你的同学一起阅读下面的材料并思考材料之后的问题.历史上的等比数列人类在古代随着自然数、分数的概念和四则运算的产生，为了生产与生活的需要，就产生了数列的知识.在世界数学史上，对级数（数列）的讨论具有悠久的历史，中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等，都曾经研究过级数，中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子算经》《张邱建算经》等，对等比级数a+aq+aq 2+…+aq n 都列举出计算的例子，说明中国古代对级数的研究曾作出过一定的贡献.古老的《易经》一书中写到：“是故《易》有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，实际上，这种分割，已经寓有数学中等比数列的思想；记载有这样的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”这是一个等比级数问题，即已知等比为2，项数为5，S5为5，求首项a1.在外国，公元前约2000年，巴比伦人在烧制的泥板上记载了一些数学知识.其中有他们经过观察而制定的一个月亮周相表，用现代符号表示为5，10，20，40；20，36，52.可以看出，前者是一个等比数列，后者是一个等差数列.他们在具体问题里算出了等差数列和等比数列的和.还有一个问题：今有七个人，每人有七只猫，每只猫吃了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麦穗，每棵麦穗又可以长出七升麦粒 问麦粒升数总数是多少?这是一个公比为7的等比数列求和问题，虽给出了答案为16 807升，但是没指出所用方法，估计是通过简单的逐项相加实现的.公元前四世纪，古希腊的算术在巴比伦和埃及的基础上，又有新发展，在研究音乐理论中得到了调和平均数.他们发现，乐器的弦长决定乐器发出的声音，而且绷得一样紧的弦，当其长度成整数比时即发出谐音.例如，如果一根弦的长度是另一根弦长度的2倍，就产生谐音，两音相差8度；如果一根与另一根的弦长之比是3∶2，则发出另一谐音，等等.它与后来发现的调和级数相联系.约公元前300年，欧几里得（Euclid，约公元前330年～公元前275年）的名著《几何原本》（共13篇）第九篇的命题35给出了对等比数列之和的一个漂亮的证明.请你和你的同学思考文章中的问题是否是等比数列的模型，请你们共同查找资料，看历史上还有什么样的等比数列模型.。
人教a版高中数学必修5配套课件：2.5.1等比数列的前、n项和
【变式与拓展】
1．(2013 年新课标Ⅰ)设首项为 1，公比为23的等比数列{an}
的前 n 项和为 Sn，则( D ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an
2．5 等比数列的前 n 项和
2．5.1 等比数列的前 n 项和
【学习目标】 1．掌握等比数列{ an}前 n 项和公式． 2．通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相 减法以及分类讨论的思想方法．
等比数列{ an}的前 n 项和
等比数列前 n 项和公式为___S_n＝__a_1_1_1－_－_q_q_n___ (q≠1)，
解：由题意，得
若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，a3＝2. 若 q≠1，则 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6. 解得q＝1(舍去)或q＝－2.此时a3＝8.
综上所述，a3＝2，q＝1或a3＝8，q＝－2.
[方法·规律·小结] 1．用等比数列前 n 项和公式，应注意公比 q 是否等于 1. 2．用错位相减法不仅能推导等比数列求和公式，还可以在 其他特定类型的数列求和中应用．
在解决等差、等比数列的综合题时，重点在 于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及 前 n 项和公式是解决问题的关键．
【变式与拓展】 3．已知在等比数列{an}中，a1＝13，q＝13. (1)Sn 为数列{an}前 n 项的和，证明：Sn＝1－2an；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公
B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
题型 2}的各项均为正数，其前 n 项中，数 值最大的一项是 54，若该数列的前 n 项之和为 Sn，且 Sn＝80， S2n＝6560，求： (1)前 100 项之和 S100； (2)通项公式 an.
等比数列的前n项和(二)
等比数列的前n 项和（二）[学习目标] 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关的问题．知识点一 等比数列的前n 项和的变式1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1－a n q 1－q ＝a 1q nq －1－a 1q －1； 当q ＝1时，S n ＝na 1.2．当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·qn＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)． 思考 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 等于________．答案 －13解析 由题{a n }是等比数列， ∴3n 的系数与常数项互为相反数， 而3n 的系数为13，∴k ＝－13.知识点二 等比数列前n 项和的性质1．连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) 2．S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．3．若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .思考 在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210 D ．520答案 A解析 S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80， ∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.题型一 等比数列前n 项和的性质例1 (1)等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝______.(2)等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝____. 答案 (1)28 (2)2解析 (1)∵数列{a n }是等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等比数列， 即7，S 4－7,91－S 4也是等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)， 解得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)＞0， ∴S 4＝28.(2)由题S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q ＝S 偶S 奇＝2.跟踪训练1 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( )A ．2 B.73 C.83 D ．3答案 B解析 方法一 因为数列{a n }是等比数列，所以S 6＝S 3＋q 3S 3，S 9＝S 6＋q 6S 3＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3，于是S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝3，即1＋q 3＝3，所以q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73.方法二 由S 6S 3＝3，得S 6＝3S 3.因为数列{a n }是等比数列，且由题意知q ≠－1，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，解得S 9＝7S 3，所以S 9S 6＝73.(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式．解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇、S 偶，由题意知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，即a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1. 题型二 等比数列前n 项和的实际应用例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．解 方法一 设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k 元，则： A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ， …A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0， 解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－(1.0082)61－1.0082≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．方法二 设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则： A 2＝x ；A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)； A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)； …A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)． ∵年底付清欠款，∴A 12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．跟踪训练2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n的表达式．解 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元，所以总投入a n ＝800＋800×⎝⎛⎭⎫1－15＋…＋800× ⎝⎛⎭⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n (万元)．同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元．所以总收入b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋400× ⎝⎛⎭⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1.综上，a n ＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n ，b n ＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1. 题型三 新情境问题例3 定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数． (1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方数列”的前n 项之积为T n ，则T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；(3)对于(2)中的T n ，记b n ＝log 2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞4 024的n 的最小值．(1)证明 由条件得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ，2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2.∴数列{2a n ＋1}是“平方数列”．∵lg(2a n ＋1＋1)＝lg(2a n ＋1)2＝2lg(2a n ＋1)， 且lg(2a 1＋1)＝lg 5≠0， ∴lg (2a n ＋1＋1)lg (2a n ＋1)＝2，∴{lg(2a n ＋1)}是首项为lg 5，公比为2的等比数列． (2)解 ∵lg(2a 1＋1)＝lg 5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1lg 5.∴2a n ＋1＝125n -，∴a n ＝12(125n -－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1) ＝lg 5(1－2n )1－2＝(2n －1)lg 5， ∴T n ＝25n－1.(3)解 ∵b n ＝log 12n a +T n ＝lg T nlg (2a n ＋1)＝(2n－1)lg 52n －1lg 5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴S n ＝2n －⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎝⎛⎫122＋…＋⎝⎛⎫12n －1 ＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n.由S n ＞4 024，得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n ＞4 024， 即n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013.当n ≤2 012时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＜2 013； 当n ≥2 013时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013. ∴n 的最小值为2 013.跟踪训练3 把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图(1))；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2))；如此继续下去，则：(1)图(3)共挖掉了________个正方形；(2)第n 个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________． 答案 (1)73 (2)8n －17 1－⎝⎛⎭⎫89n解析 (1)8×9＋1＝73.(2)设第n 个图形共挖掉a n 个正方形，则a 1＝1，a 2－a 1＝8，a 3－a 2＝82，…，a n －a n －1＝8n －1(n ≥2)，所以a n ＝1＋8＋82＋…＋8n －1＝8n －17(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1也满足上式，所以a n ＝8n －17.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×⎝⎛⎭⎫132＋8×⎝⎛⎭⎫134＋82×⎝⎛⎭⎫136＋…＋8n －1×⎝⎛⎭⎫132n ＝19[1－⎝⎛⎭⎫89n ]1－89＝1－⎝⎛⎭⎫89n .1．等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 等于( ) A ．2n－1 B.4n －13C.1－(－4)n 5D.1－(－2)n 32．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．等比数列{a n }的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是( ) A ．28 B ．48 C ．36 D ．524．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列．求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项的和是( )A.1S B ．Sq n －1 C ．Sq 1－n D.q n S3．已知等比数列{a n }的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q 等于( ) A.12B ．1C ．2D ．4 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数且a ≠1)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列5．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025 B ．1 024 C ．10 250D ．20 2406．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 1＝8，S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( ) A ．S 1 B ．S 2 C ．S 3 D ．S 47．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a n ＋1a n －1B.S 5S 3C.S 5a 3D.S n ＋1S n二、填空题8．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝________.9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________.10．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则公比q ＝________.11．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.三、解答题12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是等比数列，求实数t 的值；(2)设各项均不为0的数列{c n }中，所有满足c i ·c i ＋1＜0的整数i 的个数称为这个数列{c n }的“积异号数”，令c n ＝na n －4na n (n ∈N *)，在(1)的条件下，求数列{c n }的“积异号数”．13．某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量m(m＞0)万吨．(1)从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列{a n}，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；(2)证明：数列{a n－10m}是等比数列；(3)若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．当堂检测答案1．答案 B解析 由a 1a 2a 3＝1得a 32＝1， ∴a 2＝1， 又∵a 4＝4， ∴a 4a 2＝4. ∴数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为1， 公比为4的等比数列．∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝4n －13.2．答案 D解析 设每天植树棵数为{a n }，则{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n (n ∈N *，n 为天数)． 由题意得2＋22＋23＋…＋2n ≥100， ∴2n －1≥50， ∴2n ≥51， ∴n ≥6.∴需要的最少天数n ＝6. 3．答案 A解析 易知S m ＝4，S 2m －S m ＝8， ∴S 3m －S 2m ＝16， ∴S 3m ＝12＋16＝28.4．证明 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2a 7＝a 1＋a 4， 即2a 1·q 6＝a 1＋a 1·q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0.令q 3＝t ，则2t 2－t －1＝0， ∴t ＝－12或t ＝1，即q 3＝－12或q 3＝1.当q 3＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．当q 3＝－12时，2S 3＝2×a 1(1－q 3)1－q ＝2a 1×321－q ＝3a 11－q，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝3a 141－q ， S 12－S 6＝a 7(1－q 6)1－q ＝a 1·q 6(1－q 6)1－q ＝a 14×341－q ， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．课时精练答案一、选择题1．答案 C解析 由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4(a 1q )＝4a 1＋a 1·q 2，∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15. 2．答案 C解析 易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，首项为1，公比为1q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1－(1q )n 1－1q＝q (1－q n )(1－q )q n ＝1－q n 1－q ·1q n －1＝S qn －1＝S ·q 1－n . 3．答案 C解析 S 3＝1，S 6＝9，∴S 6－S 3＝8＝a 4＋a 5＋a 6＝q 3(S 3)＝q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.4．答案 B解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1，也满足上式．∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1a n＝a ，为常数．∴数列{a n }一定是等比数列．5．答案 C解析 ∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n ＞0，∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.6．答案 C解析 由题S 1正确．若S 4错误，则S 2、S 3正确，于是a 1＝8，a 2＝S 2－S 1＝12，a 3＝S 3－S 2＝16，与{a n }为等比数列矛盾，故S 4＝65.若S 3错误，则S 2正确，此时，a 1＝8，a 2＝12.∴q ＝32，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝8⎣⎡⎦⎤1－(32)41－32＝65，符合题意． 7．答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0，得8a 2＋a 2q 3＝0，∵a 2≠0，∴q 3＝－8，∴q ＝－2，∵a n ＋1a n －1＝q 2＝4， S 5S 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－q 51－q 3＝113， S 5a 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1q 2＝1－q 5q 2(1－q )＝114， 而D 中S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n 与n 有关，故不确定． 二、填空题8．答案 12(9n －1) 解析 {a n }的首项为2，公比为3，∴{a 2n }也为等比数列，首项为4，公比为9，∴{a 2n }的前n 项和为4(1－q n )1－q＝12(9n －1) 9．答案 16解析 方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)．又∵S 3＝2，S 6＝6，∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)，求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.方法二 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16. 10．答案 12解析 由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.又S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10＝(12)10. 又{a n }为正项等比数列，∴q ＝12. 11．答案 1－12n 解析 令x ＝n ，y ＝1，则f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，又a n ＝f (n )，∴a n ＋1a n ＝f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝a 1＝12， ∴数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n . 三、解答题12．解 (1)由题意，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝2S n ＋1a n ＝2S n －1＋1， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，所以，当n ≥2时{a n }是等比数列，要使n ≥1时{a n }是等比数列，则只需a 2a 1＝2t ＋1t＝3，从而得出t ＝1.(2)由(1)得，等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝3，∴a n ＝3n －1， ∴c n ＝na n －4na n ＝n ·3n －1－4n ·3n 1＝1－4n ·3n 1， ∵c 1＝1－41＝－3，c 2＝1－42×3＝13， ∴c 1c 2＝－1＜0，∵c n ＋1－c n ＝4n ·3n －1－4(n ＋1)·3n ＝4(2n ＋3)n (n ＋1)·3n＞0， ∴数列{c n }递增．由c 2＝13＞0得，当n ≥2时，c n ＞0. ∴数列{c n }的“积异号数”为1.13．(1)解 由已知得，a 1＝40×0.9＋m ，a n ＋1＝0.9a n ＋m (n ≥1)．(2)证明 由(1)得：a n ＋1－10m ＝0.9a n －9m ＝0.9(a n －10m )， 所以数列{a n －10m }是以a 1－10m ＝36－9m 为首项，0.9为公比的等比数列．(3)解 由(2)得a n －10m ＝(36－9m )·0.9n －1， 即a n ＝(36－9m )·0.9n －1＋10m . 由(36－9m )·0.9n －1＋10m ≤55，得 m ≤55－36×0.9n －110－9×0.9n －1＝5.5－4×0.9n 1－0.9n ＝ 1.51－0.9n ＋4 恒成立(n ∈N *)，解得m ≤5.5，又m ＞0，综上可得m ∈(0,5.5]．。
等比数列的前n项和公式理解
等比数列的前n项和公式理解等比数列的前 n 项和公式，这可是高中数学里一个相当重要的知识点呢！咱先来说说啥是等比数列。
比如说，有这么一组数：1，2，4，8，16……每一项与它前一项的比值都相等，这就是等比数列啦。
那等比数列的前 n 项和公式是啥呢？就是：$S_n = \frac{a_1(1 -q^n)}{1 - q}$ ，这里的$a_1$是首项，q 是公比。
咱们来举个例子感受感受。
比如说有个等比数列，首项$a_1 = 2$，公比$q = 3$，要求前 5 项的和。
那就把数字带进公式里算算呗。
$S_5 = \frac{2(1 - 3^5)}{1 - 3}$ ，算出来结果就是 242 。
我还记得之前给学生讲这部分知识的时候，有个学生特别迷糊，怎么都弄不明白。
我就给他打了个比方，假如你有一个存钱罐，第一天放进去 2 块钱，第二天放进去的钱是第一天的 3 倍，也就是 6 块钱，第三天是第二天的 3 倍，18 块钱……一直这样下去，那到第 5 天的时候，你存钱罐里一共多少钱？他一下子就好像有点明白了。
再来说说这个公式怎么推导出来的。
其实方法有好几种，常见的就是错位相减法。
咱还是拿刚才那个例子，$S_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots + a_1q^{n - 1}$ ，两边同时乘以 q ，得到$qS_n = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \cdots + a_1q^n$ 。
然后用第一个式子减去第二个式子，就能把中间很多项消掉，最后就得出了前 n 项和公式。
在实际做题的时候，一定要注意公比 q 不能等于 1 哦，如果等于 1 ，那这个等比数列的前 n 项和就简单了，直接是$S_n = na_1$ 。
有时候，题目会故意设置一些小陷阱，比如告诉你前几项的和，让你求公比或者首项。
这时候可别慌，冷静地把公式拿出来，看看能得到什么信息。
等比数列的前 n 项和公式在很多实际问题中也能用到呢。
高中数学《等比数列前n项和公式》知识点讲解及重点练习
4.3.2 等比数列的前n 项和公式 第1课时 等比数列前n 项和公式学习目标 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．知识点一 等比数列的前n 项和公式已知量首项、公比与项数 首项、公比与末项求和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n)1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)知识点二 等比数列前n 项和的性质1．数列{a n }为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n 不是偶数)，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍构成等比数列．2．若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N *)．3．若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q (q ≠－1)．1．等比数列前n 项和S n 不可能为0.( × )2．若首项为a 的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n 项和等于na .( √ ) 3．若a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n1－a.( × )4．若某数列的前n 项和公式为S n ＝－aq n ＋a (a ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)，则此数列一定是等比数列．( √ )一、等比数列前n 项和公式的基本运算 例1 在等比数列{a n }中， (1)S 2＝30，S 3＝155，求S n ； (2)a 1＋a 3＝10，a 4＋a 6＝54，求S 5；(3)a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＝128，S n ＝126，求公比q .解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝30，a 1(1＋q ＋q 2)＝155，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5，q ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝180，q ＝－56.从而S n ＝14×5n ＋1－54或S n ＝1 080×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－56n 11.(2)方法一 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝10，a 1q 3＋a 1q 5＝54，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.方法二 由(a 1＋a 3)q 3＝a 4＋a 6， 得q 3＝18，从而q ＝12.又a 1＋a 3＝a 1(1＋q 2)＝10， 所以a 1＝8，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝312.(3)因为a 2a n －1＝a 1a n ＝128，所以a 1，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两个根．从而⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，a n ＝64或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2，a 1＝64.又S n ＝a 1－a n q 1－q ＝126，所以q ＝2或12.反思感悟 等比数列前n 项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如q n ，a 11－q都可看作一个整体．(3)在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．跟踪训练1 在等比数列{a n }中．(1)若a 1＝2，a n ＝162，S n ＝112，求n 和q ； (2)已知S 4＝1，S 8＝17，求a n .解 (1)由S n ＝a 1－a n q 1－q 得，112＝2－162q1－q ，∴q ＝－2，又由a n ＝a 1q n －1得，162＝2(－2)n －1， ∴n ＝5.(2)若q ＝1，则S 8＝2S 4，不符合题意， ∴q ≠1，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1，S 8＝a 1(1－q 8)1－q＝17，两式相除得1－q 81－q 4＝17＝1＋q 4， ∴q ＝2或q ＝－2， ∴a 1＝115或a 1＝－15，∴a n ＝115·2n －1或－15·(－2)n －1.二、利用错位相减法求数列的前n 项和例2 求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n 的前n 项和．解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n (n ∈N *)．反思感悟 错位相减法的适用范围及注意事项(1)适用范围：它主要适用于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和． (2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出S n 与qS n 的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作差，正确写出(1－q )S n 的表达式．②利用此法时要注意讨论公比q 是否等于1的情况．跟踪训练2 已知等比数列{a n }满足：a 1＝12，a 1，a 2，a 3－18成等差数列，公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝12，因为a 1，a 2，a 3－18成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－18，即得4q 2－8q ＋3＝0， 解得q ＝12或q ＝32，又因为q ∈(0,1)，所以q ＝12，所以a n ＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1＝12n .(2)根据题意得S n ＝1×12＋3×122＋…＋(2n －1)×12n ，12S n ＝1×122＋3×123＋…＋(2n －3)×12n ＋(2n －1)×12n ＋1， 两式相减得12S n ＝1×12＋2×122＋…＋2×12n －(2n －1)×12n ＋1 ＝12＋12×1－12n －11－12－(2n －1)×12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以S n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n ，n ∈N *.三、等比数列前n 项和的性质例3 (1)在等比数列{a n }中，若S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝________.(2)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝________.(3)若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和为S n ＝3n ＋1－2k ，则实数k ＝________. 答案 (1)28 (2)2 (3)32解析 (1)∵数列{a n }是等比数列，且易知公比q ≠－1，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也构成等比数列，即7，S 4－7,91－S 4构成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.又S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)>0，∴S 4＝28. (2)由题意知S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160，∴q ＝S 偶S 奇＝2.(3)∵S n ＝3n ＋1－2k ＝3·3n －2k ，且{a n }为等比数列， ∴3－2k ＝0，即k ＝32.延伸探究本例(3)中，若将条件改为“若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和为S n ＝a ·⎝⎛⎭⎫13n －1＋5”，再求实数a 的值．解 由S n ＝a ·⎝⎛⎭⎫13n －1＋5，可得S n＝3a ·⎝⎛⎭⎫13n ＋5，依题意有3a ＋5＝0，故a ＝－53. 反思感悟 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． (2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．跟踪训练3 (1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝1，S 8＝3，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2 答案 C解析 S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列． 即1,2，a 9＋a 10＋a 11＋a 12成等比数列． ∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝4.(2)一个项数为偶数的等比数列{a n }，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，所有奇数项、偶数项之和分别记作S 奇，S 偶，由题意可知，S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． 因为数列{a n }的项数为偶数， 所以有q ＝S 偶S 奇＝13.又因为a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，所以a 31·q 3＝64，即a 1＝12，故所求通项公式为a n ＝12×⎝⎛⎭⎫13n －1，n ∈N *.1．在数列{a n }中，已知a n ＋1＝2a n ，且a 1＝1，则数列{a n }的前5项的和等于( ) A ．－25 B ．25 C ．－31 D ．31 答案 D解析 因为a n ＋1＝2a n ，且a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列， 所以数列{a n }的前5项的和为25－12－1＝31.2．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 等于( ) A.1－x n 1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n1－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1 D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1且x ≠0n ，x ＝1答案 C解析 当x ＝1时，S n ＝n ； 当x ≠1且x ≠0时，S n ＝1－x n 1－x.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3答案 A解析 在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.4．已知在等比数列{a n }中，a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.答案 32或6解析 方法一 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，满足S 3＝92.当q ≠1时，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32，a 1(1－q 3)1－q ＝92.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，q ＝－12.综上可得a 1＝32或a 1＝6.方法二 ⎩⎨⎧S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝92，a 3＝32.所以a 1＋a 2＝3， 所以a 1＋a 2a 3＝1＋qq 2＝2，所以q ＝1或q ＝－12.所以a 1＝32或a 1＝6.5．若等比数列{a n }的公比为13，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，则{a n }的前100项和为________．答案 80解析 令X ＝a 1＋a 3＋…＋a 99＝60， Y ＝a 2＋a 4＋…＋a 100，则S 100＝X ＋Y ，由等比数列前n 项和性质知Y X ＝q ＝13，所以Y ＝20，即S 100＝X ＋Y ＝80.1．知识清单：(1)等比数列前n 项和公式．(2)利用错位相减法求数列的前n 项和． (3)等比数列前n 项和的性质．2．方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论． 3．常见误区：(1)忽略q ＝1的情况而致错． (2)错位相减法中粗心出错． (3)忽略对参数的讨论．1．在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝1，则S 100等于( ) A ．4－2100 B ．4＋2100 C ．4－2－98D ．4－2－100答案 C 解析 q ＝a 2a 1＝12.S 100＝a 1(1－q 100)1－q＝2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫121001－12＝4(1－2－100)＝4－2－98.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.558 答案 A解析 易知q ≠－1，因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6， 且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列， 即8，－1，S 9－S 6成等比数列， 所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.3．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ，则a 3a 5等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 C解析 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1＋a ， n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1＋a －(2n －2＋a )， 化简得a n ＝2n －2. 则a 3a 5＝2×23＝16.4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若27a 4＋a 7＝0，则S 4S 2等于( )A ．10B ．9C ．－8D ．－5 答案 A解析 设数列{a n }的公比为q ， 由27a 4＋a 7＝0， 得a 4(27＋q 3)＝0， 因为a 4≠0，所以27＋q 3＝0，则q ＝－3，故S 4S 2＝1－q 41－q 2＝10. 5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是其前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和等于( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由已知得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q， 解得q ＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列， 前5项和为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116. 6．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2·3n ＋r ，则r ＝________. 答案 －2解析 S n ＝2·3n ＋r ，由等比数列前n 项和的性质得r ＝－2.7．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，则项数n ＝________，a 1＝________.答案 5 3解析 由S n ＝93，a n ＝48，公比q ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(2n －1)＝93，a 1·2n －1＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，n ＝5. 8．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．答案 －2解析 由题意知2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，式子显然不成立，若q ≠1，则有2a 1(1－q n )1－q＝ a 1(1－q n ＋1)1－q ＋a 1(1－q n ＋2)1－q， 故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2，即q 2＋q －2＝0，∴q ＝－2.9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .解 (1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12. (2)由已知可得a 1－a 1⎝⎛⎭⎫－122＝3， 故a 1＝4.从而S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n . 10.已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．(1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1nb n ＝b n ＋1－b n . 整理得b n ＋1n ＋1＝b n n，又b 22＝b 11， 所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1.故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)．11．在等比数列{a n }中，a 1＝4，q ＝5，则使S n >107的最小正整数n 的值是( )A ．11B ．10C ．12D ．9 答案 A解析 由题意可知在等比数列{a n }中，a 1＝4，q ＝5，∴S n ＝4·(1－5n )1－5＝5n －1. ∵S n >107，∴5n －1>107，∴n >10.01，∵n 为正整数，∴n ≥11，故n 的最小值为11.12．等比数列{a n }的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为8532，偶数项之和为2116，这个等比数列前n 项的积为T n (n ≥2)，则T n 的最大值为( )A.14B.12C ．1D ．2 答案 D解析 设数列{a n }共有(2m ＋1)项，由题意得S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2m ＋1＝8532， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2m ＝2116， 因为项数为奇数时，S 奇－a 1S 偶＝q ， 即2＋2116q ＝8532， 所以q ＝12. 所以T n ＝a 1·a 2·…·a n＝a n 1q 1＋2＋…＋n －1＝23222,n n -故当n ＝1或2时，T n 取最大值，为2.13．设数列{a n }的前n 项和为S n ，称T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n n 为数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的理想数为2 014，则数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为( )A ．1 673B ．1 675 C.5 0353 D.5 0413答案 D解析 因为数列a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2 014，所以S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 55＝2 014， 即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5＝5×2 014，所以数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2＋(2＋S 1)＋(2＋S 2)＋…＋(2＋S 5)6＝6×2＋5×2 0146＝5 0413. 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1－1，则S n ＝________.答案 3n －12解析 当n ＝1时，则有2S 1＝a 2－1，∴a 2＝2S 1＋1＝2a 1＋1＝3；当n ≥2时，由2S n ＝a n ＋1－1得出2S n －1＝a n －1，上述两式相减得2a n ＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋1＝3a n ，得a n ＋1a n ＝3且a 2a 1＝3， ∴数列{a n }是以1为首项，以3为公比的等比数列，∴S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝123,n a +则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.答案 9n ＋1－98解析 依题意得S n n ＝n ＋12， 即S n ＝n 2＋12n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1)＝2n －12； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12， 所以a n ＝2n －12(n ∈N *)， 则1223,3n n n a b +=＝由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9， 可知{b n }为公比为9的等比数列，b 1＝32×1＝9， 故T n ＝9(1－9n )1－9＝9n ＋1－98. 16．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n ，n ∈N *.(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ， 即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n 2n －1，①S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n －12n －1＋a n 2n .② 所以，①－②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1－2－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－2－n 2n ＝n 2n . 所以S n ＝n 2n －1， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n 2n －1，n ∈N *.。
等比数列的前n项和公式(第二课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册)
(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则
(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则
S奇＝a1＋a3＋… ＋ a2n-1 ＋a2n+1
＝a1＋(a3＋… a2n-1 ＋a2n+1)
＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)
课本P40
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨).
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
12
课本P40
新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质
➱பைடு நூலகம்
➱
当q≠1时，
即Sn是n的指数型函数.
当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.
结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.
【例】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式, 并判断{an}是否是等比数列.
2、等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；
20
新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用
= 20 ( 1.05+1.052+…+1.05n ) -( 7.5+9+…+6+1.5n )
常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2) 将等差数列和等比数列分开： Tn＝ c1 + c2 +… + cn ＝ (a1 + a2 +… + an )± (b1 + b2 +… + bn )(3) 利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.
高中数学第二课时-等比数列前n项和的性质及应用
第二课时等比数列前n项和的性质及应用课标要求素养要求1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.新知探究一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇.美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款，而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足.我国现代都市人的消费观念正在改变——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生，贷款购物，分期付款已深入我们的生活.但是面对商家和银行提供的各种分期付款服务，究竟选择什么样的方式好呢？让我们一起进入今天的学习吧！等比数列前n项和的性质(1)数列{a n}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，S n为其前n项和，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍构成等比数列.(2)若{a n}是公比为q的等比数列，则S n＋m＝S n＋q n S m(n，m∈N*).(3)若{a n}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，S偶S奇＝q；②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q1－（－q ）＝a 1＋a 2n ＋21＋q (q ≠－1).拓展深化[微判断]1.等比数列{a n }的前n 项和S n 不可能等于2n .(√)2.若{a n }的公比为q ，则{a 2n }的公比为q 2.(√)3.若{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3，a 2＋a 3＋a 4，a 3＋a 4＋a 5的公比也为q .(√)4.等比数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，则{S n }也是递增数列.(×)提示 反例：等比数列{a n }为－4，－2，－1，－12，…，则S 1＝－4，S 2＝－6，S 3＝－7，…，逐渐减小，则{S n }不是递增数列.5.对于公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和公式，其q n 的系数与常数项互为相反数.(√) [微训练]1.等比数列{a n }的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是________. 解析 易知S m ＝4，S 2m －S m ＝8， ∴S 3m －S 2m ＝16， ∴S 3m ＝12＋16＝28. 答案 282.已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析 由题意得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 答案 2 [微思考]当等比数列{a n }的公比q ＝－1时，若k 是偶数，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 是等比数列吗？提示 不是.如数列1，－1，1，－1，…是公比为－1的等比数列，S 2＝S 4－S 2＝S 6－S 4＝…＝0，不是等比数列.题型一 等比数列的连续n 项之和的性质【例1】 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 解 法一 ∵S 2n ≠2S n ，∴q ≠1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q n ）1－q ＝48，a 1（1－q 2n ）1－q ＝60，①②②÷①得1＋q n ＝54， 即q n ＝14，③ ③代入①得a 11－q＝64， ∴S 3n ＝a 1（1－q 3n ）1－q＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＝63.法二 ∵{a n }为等比数列，显然公比不等于－1， ∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，∴S 3n ＝（S 2n －S n ）2S n＋S 2n ＝（60－48）248＋60＝63.规律方法 处理等比数列前n 项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n 项和公式，要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n 项和的有关性质.【训练1】 设等比数列{a n }前n 项和为S n ，若S 3＝8，S 6＝24，则a 10＋a 11＋a 12＝( )A.32B.64C.72D.216解析 由于S 3、S 6－S 3、S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，S 3＝8，S 6－S 3＝16，故其比为2，所以S 9－S 6＝32，a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 9＝64. 答案 B题型二 等比数列的不连续n 项和的性质【例2】 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式.解 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇，S 偶，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶. ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，即a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，n ∈N *.规律方法 (1)在等比数列{a n }中若项数为偶数，则有S 偶＝qS 奇，且S n ＝S 偶＋S 奇. (2)解题时要注意观察序号之间的联系，发现解题契机，注意应用整体的思想. 【训练2】 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.解 法一 设原等比数列的公比为q ，项数为2n (n ∈N *). 由已知a 1＝1，q ≠1，有 ⎩⎪⎨⎪⎧1－q 2n 1－q 2＝85，q （1－q 2n ）1－q 2＝170.①②由②÷①，得q ＝2，∴1－4n 1－4＝85，4n ＝256，∴n ＝4. 故公比为2，项数为8. 法二 ∵S偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)q ＝S奇·q ，∴q ＝S 偶S 奇＝17085＝2. 又S n ＝85＋170＝255，据S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，得1－2n1－2＝255，∴2n ＝256，∴n ＝8.即公比q ＝2，项数n ＝8. 题型三 等比数列前n 项和的实际应用【例3】 小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少.(参考数据：1.00812≈1.10)解 法一 设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k 元，则： A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ， …，A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0， 解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－（1.0082）61－1.0082≈883.5. 故小华每期付款金额约为883.5元.法二 设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则： A 2＝x ；A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)； A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)； …A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810). ∵年底付清欠款，∴A 12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)，∴x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈883.5.故小华每期付款金额约为883.5元.规律方法 (1)实际生活中的增长率问题，分期付款问题等都是等比数列问题； (2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型，利用数列知识求解. 【训练3】 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟内，它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解 用a n 表示热气球在第n 分钟内上升的高度， 由题意，得a n ＋1＝45a n ；因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝45的等比数列. 热气球在前n 分钟内上升的总高度S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1（1－q n ）1－q＝25⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝125×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n <125，即这个热气球上升的高度不可能超过125 m.一、素养落地1.通过学习等比数列前n 项和性质的应用，提升数学运算素养，通过利用等比数列前n 项和公式解决实际问题，提升数学建模素养.2.应用等比数列前n 项和的性质要注意使用整体的思想，即常把q n 、S n 等看作一个整体.3.解决实际应用问题的关键是构建数学模型. 二、素养训练1.已知等比数列{a n }的公比为2，且其前5项和为1，那么{a n }的前10项和等于( )A.31B.33C.35D.37解析 设{a n }的公比为q ，由题意，q ＝2，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝q 5(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 5＝25＝32，∴S 10＝1＋32＝33. 答案 B2.数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝( ) A.(3n －1)2 B.413(27n －1) C.113(3n －1)D.27n －1解析 设S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则当n ≥2时，S n －1＝3n －1－1，故a n ＝S n －S n －1＝2×3n －1，又a 1＝2，所以a n ＝2×3n －1，所以a 31＋a 32＋…＋a 3n ＝8×（1－33n ）1－33＝4（27n －1）13.答案 B3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地……”，则该人最后一天走的路程为( ) A.24里 B.12里 C.6里D.3里解析 由题知，设该人每天行走的里数构成一个等比数列{a n }(n ∈N *)，公比q ＝12，S 6＝a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，∴a 1＝192，∴a 6＝192×125＝6.故该人最后一天走的路程为6里. 答案 C4.设等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝3，a 4＋a 5＋a 6＝81，则数列{a n }的公比为________.解析 易得a 4＋a 5＋a 6＝q 3(a 1＋a 2＋a 3)， 故q 3＝27，则q ＝3. 答案 35.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝1，S 8＝7，求S 12. 解 因为S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列. 所以(S 8－S 4)2＝S 4(S 12－S 8)， 即(7－1)2＝1·(S 12－7)，解得S 12＝43.基础达标一、选择题1.等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项的和是( )A.1S B.Sq n －1C.Sq1－nD.q n S解析易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，首项为1，公比为1q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q n 1－1q ＝q （1－q n ）（1－q ）q n ＝1－q n 1－q ·1q n －1＝S q n －1＝S ·q 1－n. 答案 C2.我国数学巨著《九章算术》中，有如下问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？其大意为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是( ) A.2 B.3 C.4D.1解析 依题意，每天的织布数构成一个公比q ＝2的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ，则S 5＝5，S m ＝3531，∵S 5＝a 1（1－25）1－2＝5，解得a 1＝531.∴S m ＝531（1－2m ）1－2＝3531，解得m ＝3.故选B. 答案 B3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B.－18 C.578D.558解析 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 A4.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12B.2C.1716D.17解析 a 5a 2＝q 3＝18，∴q ＝12.∴S 8S 4＝S 4＋（S 8－S 4）S 4＝1＋S 8－S 4S4＝1＋q 4＝1716.答案 C5.某市利用省运会的契机，鼓励全民健身，从2018年7月起向全市投放A ，B 两种型号的健身器材.已知7月投放A 型健身器材300台，B 型健身器材64台，计划8月起，A 型健身器材每月的投放量均为a 台，B 型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A ，B 两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a 的最小值为( ) A.243 B.172 C.122D.74解析 设B 型健身器材这6个月投放量构成数列{b n }，则{b n }是b 1＝64，q ＝32的等比数列，其前6项和S 6＝64×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3261－32＝1 330，∴5a ＋300＋1 330≥2 000，解得a ≥74，故选D. 答案 D 二、填空题6.正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于________.解析 由S 30＝13S 10，知q ≠1，由⎩⎨⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，得⎩⎨⎧S 10＝10，S 30＝130，由等比数列的前n 项和的性质得S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，则(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(130－S 20)，解得S 20＝40或S 20＝－30(舍去). 答案 407.一个球从256米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半，当它第6次着地时，共经过的路程是________米.解析 设小球每次着地后跳回的高度构成数列{a n }，则数列{a n }为等比数列， a 1＝128，q ＝12，S 5＝128×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝248，共经过的路程为256＋2S 5＝752(米). 答案 7528.设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则公比q ＝________.解析 由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0， 得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.又S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列， ∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1210.又{a n }为正项等比数列，∴q ＝12.答案 12三、解答题9.(1)设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，求S 20.(2)设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求ba 1＋ba 2＋ba 3＋…＋ba 6.解 (1)∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n >0，∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250.(2)设数列{b n }的公比为q ，则q ＝2，∵ba n ＋1ba n＝b 1·qa n ＋1－1b 1·qa n －1＝qa n ＋1－a n ＝2， ∴{ba n }是首项为b 2，公比为2的等比数列.∴ba 1＋ba 2＋…＋ba 6＝b 2（1－26）1－2＝126. 10.已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).证明 法一 设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21，S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).当q ≠1时，S n ＝a 11－q(1－q n )， S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )， ∴S 2n ＋S 22n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n ). 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2(1－q n )(2－q 2n －q 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ). 法二 根据等比数列的性质有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )，S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n ).∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n ).能力提升11.设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y ).若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 令x ＝n ，y ＝1，则f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，又a n ＝f (n )，∴a n ＋1a n＝f （n ＋1）f （n ）＝f (1)＝a 1＝12， ∴数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n .答案 1－12n12.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式.解 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元， 所以总投入a n ＝800＋800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋…＋800× ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n (万元). 同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元. 所以总收入b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋400× ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1. 综上，a n ＝4 000×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ， b n ＝1 600×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1. 创新猜想13.(多选题)如果有穷数列a 1，a 2，a 3，…，a m (m 为正整数)满足a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，即a i ＝a m －i ＋1(i ＝1，2，…，m )，我们称其为“对称数列”.例如，数列1，2，5，2，1与数列8，4，2，2，4，8都是“对称数列”.设{b n }是项数为2m (m >1，m ∈N *)的“对称数列”，且1，2，22，23，…，2m －1依次为该数列中连续的前m 项，则数列{b n }的前100项和S 100可能的取值为( )A.2100－1B.251－2C.226－4D.2m ＋1－22m －100－1解析 由题意知数列{b n }为1，2，22，23，…，2m －1，2m －1，…，23，22，2，1.若m ＝50，则S 100＝2×1×（1－250）1－2＝251－2，B 正确； 若51≤m <100，则S 100＝2×1×（1－2m ）1－2－1×（1－22m －100）1－2＝2m ＋1－22m －100－1，故D 正确.若m ≥100，则S 100＝1×（1－2100）1－2＝2100－1，故A 正确. 答案 ABD14.(多空题)已知集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}，Q ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，将P ∪Q 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则a 29＝________，使得S n <1 000成立的n 的最大值为________.解析 数列{a n }的前n 项依次为1，2，3，22，5，7，23，….利用列举法可得，当n ＝35时，P ∪Q 的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n }，所以数列{a n }的前35项分别为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…，57，59，2，4，8，16，32，故a 29＝47.S 35＝30＋30×（30－1）2×2＋2×（25－1）2－1＝302＋26－2＝962<1 000. 因为26＝64>61，所以S 36＝S 35＋61＝1 023>1 000，所以n 的最大值为35.答案 47 35高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
4.3.2等比数列前n项和公式【02】
----“教”和“学”
一、创设情境
国际象棋起源于印度,棋盘上共有8行国王赏麦的故事
8列构成64个格子。传说国王要奖赏发明 者，问他有什么要求，发明者说：“请 在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，在 棋盘的第2个格子里放上2颗麦粒，在棋 盘的第3个格子里放上4颗麦粒，在棋盘 的第4个格子里放上8颗麦粒，以此类推， 每个格子里放的麦粒数都是前一个格子 里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。 请给我足够的粮食来实现上述要求。” 国王不假思索就欣然答应了他的要求.他 真能做到吗？
假定千粒麦子的质量为40克，那么发明者所要 的麦粒的总质量超过了7000亿吨，是全世界1000 多年的小麦总产量.因此，国王不能他们的要求.
三、类比解决
错位相减法
问题:如何求等比数列{an}的前 n 项和 Sn：
等比数列 {an},公比为 q ,它的前 n 项和
Sn a1a1qa1q2a1qn2 a1qn1
公比q 1时,公式还能用吗?
求等比数列的Sn:
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ①
qSn
a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
①—② ，得 (1 q)Sn a1 0 0 a1qn
需要分类讨论！ (1 q)Sn a1 a1qn
Sn
n(a1 2
an )
n个相同 的数
如何求和
新知旧知互迁移 探索当中寻奥秘
S64 1 2 22 23 262 263
1） 等式右边各项有什么特点？ 等比数列 64 项和
等比数列 前n项和公式
等比数列前n项和公式等比数列，这可是数学里挺有意思的一部分。
咱们今儿就来好好聊聊等比数列的前 n 项和公式。
先给大家说说啥是等比数列。
比如说有这么一组数：1，2，4，8，16……每个数后面的那一位跟前面一位的比值都一样，这就是等比数列啦。
咱们来研究研究它的前 n 项和公式。
公式是：当公比 q 不等于 1 时，Sn = a1(1 - q^n) / (1 - q) ；当公比 q = 1 时，Sn = na1 。
这里面的 a1 是首项，q 是公比，n 就是项数。
就拿一个简单的例子来说吧。
有一个等比数列，首项 a1 是 2 ，公比 q 是 2 ，咱们来算算前 5 项的和。
按照公式，q 不等于 1 ，所以 Sn = 2×(1 - 2^5) / (1 - 2) 。
先算 2^5 = 32 ，然后 1 - 32 = -31 ，1 - 2 = -1 ，再一除，Sn = 62 。
是不是觉得还挺简单的？我记得之前给一个学生讲这个知识点的时候，那孩子一脸懵，怎么都转不过弯来。
我就一点点给他分析，从最基础的概念讲起，然后带着他一步一步套公式计算。
算着算着，这孩子突然眼睛一亮，说：“老师，我好像懂了！”那一刻，我心里别提多有成就感了。
等比数列的前 n 项和公式在生活中也有用处呢。
比如说你去银行存钱，每年的利率不变，这其实就可以看成一个等比数列。
再比如，有些公司的业务增长，如果每年的增长率相同，也能构建成等比数列来计算增长的总量。
咱们接着说这个公式哈。
大家在运用公式的时候，一定要注意公比q 的情况。
要是不小心弄错了，那可就得出错误的结果啦。
还有啊，多做几道练习题，熟练掌握这个公式的运用。
别觉得麻烦，数学就是得多练，练得多了，自然就熟练了。
其实数学里的很多知识都是这样，刚开始觉得难，等你真正掌握了，就会发现其中的乐趣和奥秘。
等比数列的前 n 项和公式就像是一把钥匙，能帮我们打开很多数学难题的大门。
大家可要好好掌握哦，相信你们都没问题的！。
人教版数学高三等比数列及其前n项和专题
辅导讲义学员姓名：年级：高三课时数：辅导科目：数学学科教师：讲义审核：授课主题等比数列及其前n项和教学目标1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.教学重难点1.等比数列的判定与证明2.求等比数列的通项公式及前n项和授课日期及时段2020年X月X日教学内容一、等比数列 1．等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(0)q q ≠，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与n 无关的常数. 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时2G ab =． 3．等比数列的通项公式及其变形首项为1a ，公比为q 的等比数列的通项公式是111(,0)n n a a q a q -=≠． 等比数列通项公式的变形：n mn m a a q -=．4．等比数列与指数函数的关系,,n S 的图象是函数是一个关于n 的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的1;i n i a a +-=②若m +成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列．（3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列； 数列1{}n a 是公比为1q的等比数列； 数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列． （4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++成等比数列，公比为m q ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(k q 或2)k q 的等比数列．（6）当1q =时，n m S n S m =；当1q ≠±时，11nn m m S q S q-=-． （7）m nn m m n n m S S q S S q S +=+=+．（8）若项数为2n ，则S q S =偶奇，若项数为21n +，则1S a q S -=奇偶． （9）当1q ≠-时，连续m 项的和（如232,,,m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列（公比为m q ，2m ≥）．注意：这里连续m 项的和均非零．考向一 等比数列的判定与证明典例1 设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log||n a .其中一定为等比数列的是 A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①②【答案】D【解析】设11n n a a q -=，①112=2n n a a q-，所以数列{}2n a 是等比数列；②222222111=()n n n a a qa q --=，所以数列{}2n a 是等比数列； ③11112111211222=2,222n nn n n n n n a a q a a q a q a q a a q-------==不是一个常数，所以数列{}2n a 不是等比数列； ④122122121log ||log ||log ||log ||n n n n a a q a a q ---=不是一个常数，所以数列{}2log ||n a 不是等比数列. 故选D.本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解时，设11n n a a q -=，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.1．已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+. （1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.考向二 等比数列的基本运算典例2 各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则3445++a a a a 的值为A ．5+12B ．512- C ．152- D ．5+12或152- 【答案】B【解析】设{}n a 的公比为q （0,1q q >≠），根据题意可知321a a a =+，得210q q --=，解得512q +=（负值舍去），而34451512a a a a q +-==+，故选B ．该题考查的是数列的有关问题，涉及的知识点有：三个数成等差数列的条件，等比数列的性质等，注意题中的隐含条件.2．数列}{n a 中，112,2n n a a a +==，n S 为}{n a 的前n 项和，若62n S =，则n =________．考向三 求解等比数列的通项及前n 项和典例3 若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且42S S =5，则84S S 等于 A ．5 B ．16 C ．17D ．25【答案】C【解析】当公比1q =时，4225S S =≠，故公比不为1， 当公比1q ≠时，()()4124221111511a q S q q S a q q --==+=--，∴24q =，∴()()81484411111711a q S q q S a qq--==+=--，故选C. 本题重点考查了等比数列的前n 项和，注意对公比q 的分类讨论，这是一个易错点,同时注意首项与公比均不为零.解决本题时，对公比q 进行分类讨论，利用前n 项和公式及条件，求出24q =，从而得到结果.3．已知等比数列{}n a 是递增数列，且15241742a a a a +＝，＝． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()*＝n n b na n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．考向四 等比数列的性质的应用典例4 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，20=60S ，则30S =_______． 【答案】140【解析】方法1：由1020S =，20=60S ，易得公比1q ≠±，根据等比数列前n 项和的性质，可得020101011S q S q 2-=-，即010*********q q q 2-==+-，解得102q =， 又3030101011S q S q -=-，所以33012=72012S -=-，30140S =． 方法2：根据等比数列前n 项和的性质，可得10201010S S q S =+，即10602020q =+，解得102q =， 所以1030102020260140S S q S =+=+⨯=．方法3：根据等比数列前n 项和的性质，可知10S ，2010S S -，3020S S -成等比数列，则22010103020()()S S S S S -=-，即230(6020)20(60)S -=-，解得30140S =．4．等比数列{}n a 的各项均为正数，且544a a =，则212822log log log a a a +++=A ．7B ．8C ．9D ．10考向五 数列的新定义问题典例5 若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．（1）证明：数列{+1}n a 是“平方递推数列”，且数列{lg(+1)}n a 为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，求lg n T ；（3）在（2）的条件下，记lg lg(+1)nn n T b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使4032n S >成立的n 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）21n -；（3）2017．【解析】（1）由题意得212n n n a a a +=+，即211(1)n n a a ++=+，则{}1n a +是“平方递推数列”． 对211(1)n n a a ++=+两边取对数得1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，所以数列{lg(+1)}n a 是以1lg(+1)1a =为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）知1111lg(1)lg(+1)22n n n a a --++=⋅=，则12121(12)lg lg[(1)(1)(1)]lg(1)lg(1)lg(1)2 1.12n n n n n T a a a a a a ⨯-=+++=++++++==--（3）由（2）知11lg 2112()lg(+1)22nn n n n n T b a ---===-，111122221212n n n S n n --=-=-+-， 又4032n S >，所以112240322n n --+>，即120172n n +>，又1012n <<，所以min 2017n =，故使4032n S >成立的n 的最小值为2017．5．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q （p ≤q 且p 、q ∈N *）是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数f （n ）=q −p ，例如f （12）=4−3=1，则数列{f （3n ）}的前2019项和为______1．【答案】（1）见解析；（2）()221141322n n n ---. 【解析】（1）∵n n b a n =+，∴111n n b a n ++=++. 又∵1431n n a a n +=+-，∴()1143111n n n n n n a n n b a n b a n a n +++-++++==++()44n n a n a n+==+. 又∵111112b a =+=+=，∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列.参考答案()212142(1444)(123)14n n n a n --+=++++-++++=--21122n n -. 【名师点睛】本题主要考查等比数列的证明和数列求和，一般地，数列求和时要根据数列通项公式的特征来选择合适的方法，侧重考查数学运算的核心素养. ）利用等比数列的定义可以证明；2，2n n -+⋅则()21213221222122n n n S n n --=⨯+⨯++-+⋅+⨯，② ②﹣①得：()()1022111111222222221222n n n n n n S n n n ------=-+++++⋅=+-⋅=-+⋅． 【名师点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列的通项公式，考利用错位相减法求数列的前n 项和. （1）先利用等比数列的性质，可分别求出15,a a 的值，从而可求出数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减求和法可求出数列{}n b 的前n 项和n S ． 4．【答案】B【解析】根据题意，等比数列{}n a 的各项均为正数，且544a a =，则有182736454a a a a a a a a ====， 所以42122282123456782log log log log ()log 4a a a a a a a a a a a +++==8=.故选B ．【名师点睛】本题考查等比数列的性质以及对数的运算，属于基础题． 5．【答案】31010−1【解析】由题意可知，当n 为偶数时，(3)0n f =，当n 为奇数时，12(3)23n n f -=⨯， 则232019352019(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)f f f f f f f f ++++=++++1010110090110091010132323232(333)23113-=⨯+⨯++⨯=⨯+++=⨯=--.故答案为101031-．【名师点睛】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据题意，得到数列的计算规律，合理利用等比数列的求和公式计算是解答的关键，着重考查了推理能与计算能力，属于中档试题.1．（2019年高考全国III 卷文数）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．22．（2018北京卷文科）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2018北京卷文科）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A ．32f B ．322f C ．1252fD ．1272f4．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =__________．5．（2019年高考全国I 卷文数）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 6．（2018新课标全国I 文科）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．7．（2018新课标全国Ⅲ文科）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．8．（2019年高考全国II 卷文数）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和．9．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是杨辉三角数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，n S 为{}n a 的前n 项和，则10S =A ．1024B ．1023当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法． 5．【答案】58【解析】设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++=. 解得12q =-，所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误． 6．【解析】（1）由条件可得a n +1=2(1)n n a n+．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即b n +1=2b n ， 又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n na n-=，所以a n =n ·2n -1． 【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.7．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故1(2)n n a -=-或12n n a -=． （2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m -=-，此方程没有正整数解．21n+-【名师点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列，516a==。
等比数列的前n项和2
等比数列的前n 项和等比数列的判定方法（1） 用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列（3） 通项公式：()0n n a A BA B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式： ()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列例1.设数列{a n }的前项的和S n =31（a n -1） (n ∈N +),（1）求a 1;a 2; (2)求证数列{a n }为等比数列。
例2.数列}{n a 的前n 项为n S ，∈-=n n a S n n (32N )*．（1）证明：数列{}3+n a 是等比数列；（2）求数列{}na 的通项公式n a ；例3.等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．练习：1.已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+ 2.在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________.3.等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．4.数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .5.等比数列{}n a 前n 项的和为21n -，则数列{}2n a 前n 项的和为______________。
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等.已知 a1 , n , q 则 S n
na 1 ,
a 1 1 q n ,
1 q
{ 已知 a1 , a n , q 则 S n
na 1 ,
a1 a nq ,
1 q
( q=1). (q≠1). ( q=1). (q≠1).
2.对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q≠1两种情况。
为6560，求数列首项与公比
作业：
P69 2.5A组5，6 B组 2
练习1：在等比数列 {an}中，S2 7, S6 91.
求 S4.
等比数列的前n项和的性质
(1)在等比数列中：
s k , s 2k s k , s 3k s 2k , s4k s3k ,......
成等比数列 (q 1)
练习2：如果一个等比数列前5项的和等于10，
前10项的和等于50，那么它前15项和等于多少？
3、(1)等比数列中，Sn 48, S2n 60,则S3n ____ (2)数列{an}满足Sn 2n 1,则a12 a22 an2 __ (3)数列{an}满足a1 1, an 3n1 an1(n 2), 求通项an ___
例2：某商场今年销售计算机5000台.如果平
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将活似小号形态的手臂复原，但已无力再战，只好落荒而逃神怪最后一个校霸终于逃的不见踪影，战场上留下了满地的奇物法器和钱财珠宝……蘑菇王子正要收拾遍地的宝贝，忽然听四声怪响！ 四个怪物忽然从四个不同的方向钻了出来……只见Ｂ．摩拉日勃木匠和另外四个校霸怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的橱窗五毛神！这个巨大的橱窗五毛神，身长六百多米，体重五百多万吨。 最奇的是这个怪物长着十分美丽的五毛！这巨神有着亮灰色猪肚模样的身躯和深灰色细小长笛般的皮毛，头上是土灰色娃娃一样的鬃毛，长着火橙色镜子模样的菜板飘帘额头，前半身是白杏仁色 钉子模样的怪鳞，后半身是破旧的羽毛。这巨神长着锅底色镜子似的脑袋和亮红色金钩模样的脖子，有着紫红色烤鸭形态的脸和金红色辣椒似的眉毛，配着淡橙色鹅掌一样的鼻子。有着深黑色磁 盘形态的眼睛，和淡黄色木盒模样的耳朵，一张深黑色钳子模样的嘴唇，怪叫时露出深橙色椰壳似的牙齿，变态的白杏仁色拐棍般的舌头很是恐怖，深灰色羽毛般的下巴非常离奇。这巨神有着如 同旗杆似的肩胛和犹如瓜秧一样的翅膀，这巨神浮动的暗灰色灯泡般的胸脯闪着冷光，活似水母一样的屁股更让人猜想。这巨神有着仿佛螳螂模样的腿和亮橙色蛙掌似的爪子……凸凹的土灰色陀 螺般的九条尾巴极为怪异，纯黄色面条似的闪电鱼皮肚子有种野蛮的霸气。暗灰色油条一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种淡橙色尾灯般的气味，乱叫时会发出粉红色奶糖形态的声音。 这个巨神头上水蓝色海参一样的犄角真的十分罕见，脖子上酷似肥肠一样的铃铛好像绝无仅有的病态但又露出一种隐约的猜疑。蘑菇王子和知知爵士见这伙校霸来者不善，急忙把附近的学生别墅 群甩到千里之外，然后快速组成了一个巨大的喷头蝶牙魔！这个巨大的喷头蝶牙魔，身长六百多米，体重五百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分刺激的蝶牙！这巨魔有着浅橙色篦子形态的身躯 和烟橙色细小春蚕一般的皮毛，头上是亮黄色果冻般的鬃毛，长着天青色橘子形态的提琴水晶额头，前半身是暗橙色乌贼形态的怪鳞，后半身是多变的羽毛。这巨魔长着春绿色橘子样的脑袋和亮 蓝色奶酪形态的脖子，有着浅绿色熊猫一样的脸和浓绿色球杆样的眉毛，配着天蓝色舢板般的鼻子。有着褐黄色水闸一样的眼睛，和青兰花色床垫形态的耳朵，一张褐黄色勋章形态的嘴唇，怪叫 时露出蓝宝石色地图样的牙齿，变态的暗橙色琴弓一般的舌头很是恐怖，烟橙色路灯造型的下巴非常离奇。这巨魔有着仿佛螺栓样的肩胛和特像鼓锤般的翅膀，这巨魔瘦弱的银橙色熏鹅一般的胸 脯闪着冷光，如同馄饨般
均每年的销售量比上一年的销售量增加10%， 那么从今年起，大约几年可使总销售量达到 30000台（结果保留到个位）？
练习：某市近10年的国内生产总值从2000亿元
开始以10%的速度增长，这个城市近10年的国内 生产总值一共是多少？
4、数列{an}为正项等比数列，它的前n项和 为80，其中数值最大的项是54，前2n项的和