高二数学函数的最值
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：3.3.3函数的最大(小)值与导数 Word版含答案
►基础梳理1．函数的最大值与最小值．一般地，假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤：(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．极值与最值的区分与联系：(1)极值与最值是不同的，极值只是相对一点四周的局部性质，而最值是相对于整个定义域或所争辩问题的整体性质；(2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；(3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值．因此函数极值的推断是关键，假如仅仅是求最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较，也可以依据函数的单调性求最值．,►自测自评1．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(C)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值解析：f′(x)＝3x2－3.当|x|＜1，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－1，1)上单调递减，故选C.2．函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[3，5]上的最大值和最小值分别是4，－4．解析：令f′(x)＝－2x＋4＝0，则x＝2，f(x)在[3，5]上是单调函数，排解f(2)，比较f(3)，f(5)，即得．3．函数y＝x ln x在[1，3]内的最小值为0．解析：y′＝ln x＋1，∵x∈[1，3]，∴y′＞0，∴函数y＝x ln x在[1，3]内是递增函数，∴当x＝1时，y min＝0.1. 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(C)A．1，－1B．1，－17C．3，－17 D．9，－19解析：依据求最值的步骤，直接计算即可得答案为C.2．已知f(x)＝12x2－cos x，x∈[－1，1]，则导函数f′(x)是(D)A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数解析：求导可得f′(x)＝x＋sin x，明显f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sin x，求导得h′(x)＝1＋cos x，当x∈[－1，1]时，h′(x)＞0，所以h(x)在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．故选D.3．函数f(x)＝x2＋ax＋1在点[0，1]上的最大值为f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：依题意有：f(0)≥f(1)，即1≥2＋a，所以a≤－1.答案：(－∞，－1]4．求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3＋2x，x∈[－1，1]；(2)f(x)＝(x－1)(x－2)2，x∈[0，3]，解析：(1)当x∈[－1，1]时，f′(x)＝3x2＋2＞0，则f(x)＝x3＋2x在x∈[－1，1]上单调递增．因而f(x)的最小值时f(－1)＝－3，最大值是f(1)＝3.(2)由于f(x)＝(x－1)(x－2)2＝x3－5x2＋8x－4，所以f′(x)＝(3x－4)(x－2)令f′(x)＝(3x－4)(x－2)＝0，得x＝43或x＝2，∵f(0)＝－4，f⎝⎛⎭⎫43＝427，f(2)＝0，f(3)＝2，∴f(x)的最大值是2，最小值时－4.5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，求f(m)＋f′(n)的最小值．解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1.∴当n∈[－1，1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.1．函数f(x)＝x3＋3x在(0，＋∞)上的最小值是(A)A．4 B．5。
函数的极值与最值(第一课时)课件高二下学期数学人教a版选择性必修第二册
例1.求函数 f (x) 1 x3 4x 4 的极值.
3
解：因为 f '(x) x 2 4 (x 2)(x 2) 令 f '(x) 0 ，得 x 2 或 x 2
当 x 变化时，f '(x) ， f (x) 的变化情况如下表
x
(-∞，-2) -2
(-2，2)
2
(2，+∞)
f '(x)
+
0
(-1，3)
3
-
0
(3，+∞) +
f(x) 单调递增↗ 10 单调递减↘ -22 单调递增↗
因此，x 1是函数的极大值点，极大值为 f (1) 10 ； x 3 是函数的极小值点，极小值为 f (3) 22 .
(2)函数
f (x)
ln x x
的定义域为
(0，+∞)，且
f
'(x)
1 ln x x2
Oa
h '(t) 0
h '(t) 0
h '(t) 0
t
函数的极值 如图，函数 y f (x) 在 x = a，b，c，d，e这些点与这些点附近的函数 值有什么关系？在这些点及这些点附近的导数正负性有什么规律？
y
ab
c
de
x
先以 x a 为例，如图，可以发现，函数 y f (x)在点 x a 处的函数 值 f (a) 比它在点 x a 附近其他点处的函数值都小， f '(a) 0 ，而且在点 x a 附近的左侧 f '(x) 0 ，右侧 f '(x) 0 . 我们把点 a 叫做函数的极小 值点， f (a) 叫做函数 y f (x) 的极小值.
函数的极值与最大(小)值(1)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
2
f(2)=4a+3,函数在
x=2a 处取得极小值
4 3
f(2a)=-3a +4a2+2.
综上,当 a=1 时,函数不存在极值;当 a<1
值为
2
4a+3;当
a>1 时,函数的极大值为
4 3
时,函数的极大值为- a +4a2+2,极小
3
2
4 3
4a+3,极小值为-3a +4a2+2.
令 ′ =0,解得：1 = −2, 2 = 2
当变化时， ′ ， ，的变化情况如下表
因此，当 = −2时， 有极大值，极大值为 −2 =
4
3
当 = 2时， 有极小值，极小值为 2 =- .
28
;
3
新知探究
函数 =
1 3
3
− 4 2 + 4的图像如图所示.
f
′(x)＜0
，
__________
附近的左侧
x＝a
而且在点
，
点的函数值都小，f ′(a)＝__
0
f ′(x)＞0，就把点 a 叫做函数 y＝f (x)的极小值点，_____
f (a) 叫做函
右侧_______
数 y＝f (x)的极小值．
新知探究
(2)极大值点与极大值
若函数 y＝f (x)在点 x＝b 的函数值 f (b)比它在点 x＝b 附近其他
x
f'(x)
f(x)
(-∞,-1)
+
-1
0
(-1,3)
-
3
2.6.3函数的最值—2021-2022学年高二下学期数学 北师大版（2019）选择性必修第二册
∵ ℎ 1 = 0,当 ∈
1 时， ℎ > 0,从而
′ > 0这时函数f(x)单调递增；
当 ∈ 1 2 时， ℎ < 0,从而 ′ < 0,这时
函数f(x)单调递减.
.
min
= 1 = 1.
环节五
最值与参数
3
2
4.函数 = − 6 + ,是否存在实数a，
北师大（2019）选择性必修第二册
§ 2.6.3 函数的最值
（第一课时）
胡
琪
知识目标
1、使学生理解函数的最大值与最小值的概念；
2、使学生掌握用导数求函数的最值的方法和步
骤
重点：
利用导数求函数的最大值与最小值的方法
难点：
函数的最大值、最小值与函数的极大值和极
小值的关系。
环节一
复习
函数的极值与导数之间的关系
4
−
3
又·： 0 = 4, 3 = 1
4
∴函数f(z)在[0，3]的最大值是4，最小值是 −
3
思
考
将例题中的区间[0，3]改为 −3 4 ,最大值最
小值又会是多少？ −3 5 呢？
3
2
2.求 = − 3 + 2在区间 −1 1 上的最大值
与最小值.
′
2
= 3 − 6 = 3 − 2 ,
函数在定义域上的最小值.
注意
函数的最值是整体性的概念
函数的极值不一定是最值，最值不
一定是极值
当f(x)在区间[a，b]上连续 当f(x)在区间 上
连续不断且单调时，其最值在端不断时，其最
值在端点处或点处取得极值点处取得
高二数学第一次月考知识点
高二数学第一次月考知识点一、导数与函数的连续性在高二数学的第一次月考中，导数与函数的连续性是非常重要的知识点之一。
导数概念是微积分的基础，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义是通过求极限得到的，可以用来求函数的切线斜率或函数的增减性等问题。
函数的连续性则是指函数在某一点或某一区间内没有断点，可以用连续函数的极限性质进行判断和证明。
二、函数的极值与最值另一个重要的考点是函数的极值与最值。
极值是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点，通过导数的求解可以确定函数的极值点。
最值则是函数在整个定义域内取得的最大值或最小值，通过数学推理和求解可以确定函数的最值。
三、函数与方程的图像在月考中，可能会涉及到函数与方程的图像。
掌握函数与方程的图像特征，包括图像的对称性、增减性、零点、极值、拐点等，对于分析和解题是非常有帮助的。
四、平面向量与坐标系平面向量是高二数学中的一个重要的知识点。
平面向量的概念、加法、数量积等基本操作都需要掌握。
与平面向量相关的坐标系也是月考的考察内容之一，包括直角坐标系和极坐标系。
五、数列与数列的极限数列是高二数学中非常常见的一类问题，月考也会考察数列的性质与求解。
数列的概念、通项公式、通项求和等内容都需要熟练掌握。
数列的极限是数列的重要性质，也需要了解与运用。
六、概率与统计概率与统计是高二数学中的一大板块内容。
概率的基本概念、事件的概率、条件概率等都是需要掌握的知识点。
统计是指通过对样本进行观察与分析，对总体的某些特征进行推断与描述。
以上便是高二数学第一次月考的主要知识点，希望同学们在备考中能够重点关注和复习这些内容，取得好成绩！。
5.3.2 函数的极值与最大(小)值函数的极值课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
②若 a<23，则－2a>a－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数， 函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函数f(x)在x＝ －2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3). 当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数； 当x∈(－∞，－3)和(－1，＋∞)时，f(x)为增函数， 所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.
二、素养训练
1.下列函数中存在极值的是( )
A.y＝1x
B.y＝x－ex
C.y＝2
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3.2 函数的极值与最大(小)值
第一课时 函数的极值
横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在 此山中. 在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处， 但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其 附近的最低点.群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，山谷中的最低处是所 有谷底的最低者的底部.
2.求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是__极__大__值__； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是__极__小__值__.
函数的最大(小)值(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
函数的最大（小）值
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.
如果x0 是函数 y=f(x)的极大（小）值点，那么在x = x0 附近找不到比f(x0 )更大（小）的值.
但是在解决实际问题或研究函数的性质时，往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，
哪个值最小.
如果x0 在某个区间上函数 y=f(x) 的最大（小）值点，那么f(x0 )不小（大）于函数
问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从
数学上知道它的道理吗？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
例3 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8 2 分，其中r
（单位：cm）是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商
人教A版2019
选择性必修第二册
一元函数的导数及其应用
5.3.2.2 函数的最大（小）值
问题引入
问题：求函数极值的一般方法是？
提示：
解方程f ′ x = 0，当f ′ x0 = 0 时：
（1）如果在x0 附近的左侧f ′ x > 0 ，右侧f ′ x < 0，那么f(x0 )是极大值；
（2）如果在x0 附近的左侧f ′ x < 0 ，右侧 f ′ x > 0，那么f(x0 )是极小值.
当x → +∞时， f(x) → +∞, f ′ (x) → +∞ .
根据以上信息，我们画出 f(x)的大致图象如图所示.
例2 给定函数 = ( + 1) .
（3）求出方程f(x)=a( ∈ ) 的解的个数.
函数的极值(第一课时)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
练习
题型二：运用导数解决函数的极值问题
例2.求函数() = 2 − 的极值.
解：函数的定义域为，
’ () = 2 − + 2 − ∙ (−1) = 2 − − 2 − = (2 − ) − .
令 ’ () = 0，得(2 − ) − = 0，解得 = 0或 = 2.
(3)解方程 ’ () = 0得方程的根；
(4)利用方程 ’ () = 0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各
个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果 ’ ()的符号在0 处由正(负)变负(正)，则()在0 处取
得极大(小)值.
练习
方法技巧：
2.已知函数极值求参数时的注意点：
答案：√，√，×.
辨析2.函数() = + 2
A.0
6
B.
答案：B.
C.
3
2
D.
在[0， ]上的极大值点为(
2
).
例析
1
l l 3
1
= 3
3
例5.求函数() = 3 − 4 + 4的极值.
解：因为()
− 4 + 4，所以
’ () = 2 − 4 = ( − 2)( + 2).
练习
变1.(多选)已知函数 = ’ ()的图象如图所示，则下列说
法正确的是(
).
A.函数()在区间(1， + ∞)上是增函数
B.函数()在区间(−1，1)上无单调性
C.函数()在 =
1
− 处取得极大值
2
D.函数()在 = 1处取极小值
高二数学 不等式应用-(二)求函数的最大值、最小值
1.依据：和为定值,积有最大值
ab 2 公式： ab ( 2 ) (a 0, b 0).
条件：满足一“正”,二“定”,三 “等”. 例1.已知0<x<3,求函数y=x(9-3x)的最大值 【变式】若x.y均为正数,且3x+4y=12,求 lgx+lgy的最大值及相应的x,y的值
①教科书第93页习题3.4第4,5,6 ②《学习与评价》第12课时
课外作业：
① 求证：
a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2 ( a b c)
②Байду номын сангаас
设 x R且 的最大值
2 y x2 1 ，求 2
x 1 y
2
x) ③求函数 y x (1 的最大值
2.依据：积为定值,和有最小值 公式： a b 2 ab(a 0, b 0).
条件：满足一“正”,二“定”,三 1 “等” . 例2.已知x>2,求函数 y x
的最小值,并求y取得最小值时x的值
3 【变式一】已知x<0,求函数y 1 2 x x x2
的最小值,并求y取得最小值时x的值
2.依据：积为定值,和有最小值 公式： a b 2 ab(a 0, b 0). 条件：满足一“正”,二“定”,三 2 x 7 x 10 “等” . 【变式二】己知x>-1,求函数 y
x 1
的最小值,并求y取得最小值时x的值
2.依据：积为定值,和有一最小值 公式： a b 2 ab(a 0, b 0). 条件：满足一“正”,二“定”,三 1 2 “等” . 【变式三】己知x>0,y>0且 1
2.6.3函数的最值(教学课件)——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
(2)不等式f(x)≥x3－1在区间[1，2]上恒成立，即不等式3x2－3x－m≤0在区间[1，
2]上恒成立，
即不等式m≥3x2－3x在区间[1，2]上恒成立，即m不小于3x2－3x在区间[1，2]上
ቆ0，
x
f′(x)
0
2
πቇ
3
＋
2
π
3
0
极大值
↗
f(x)
0
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
π
3
+
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.
3
2
2
ቆ π，
3
4
πቇ
3
－
↘
4
π
3
0
极小值
2
3
π－
3
2
4
π，2π
3
2π
＋
↗
π
导数法求函数最值
(1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点，同时还要找
6．3
函数的最值
要点 函数的最值与导数
1．最大值点与最小值点
函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0 指的是：函数f(x)在这个区
间内所有点处的函数值都________f(x
不超过
0)．
函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0 指的是：函数f(x)在这个区
不低于
间内所有点处的函数值都________f(x
2．函数f(x)＝4x－x4在x∈[－1，2]上的最大值、最小值分别是(
函数的极值与最大(小)值(2)高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
、
、
等问题，
这些问题通常称为优化问题．
2．解决优化问题的基本思路
练习巩固
题型一 求函数的最大(小)值
角度1 求函数在闭区间上的最大(小)值
例1求下列函数在相应区间上的最大值与最小值:
(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];
1-
(2)f(x)= +ln
1
x,x∈[ ,2].
比较,有时需要作差、作商,有时还要估算,甚至有时需要进行分类讨论.
练习巩固
变1求下列函数在所给区间上的最大值与最小值:
(1)f(x)=x
1 2
+2x -2x,x∈[-2,1];
3
2 54
(2)f(x)=x - (-6≤x≤-1).
练习巩固
解 令 f'(x)=3x +x-2=0,得 x1=-1 与
____处的函数值 f (a)，f (b)比较，
最大值 ，最小的一个是______
其中最大的一个是______
最小值．
新知探究
小试牛刀
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(
(2)开区间上的单调连续函数无最值．
(
个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的
未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值
只要不在端点必定是极值．
新知探究
2．求函数 f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数 y＝f (x)在区间(a，b)上的____
极值；
(2)将函数 y＝f (x)的各极值
高二数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高二数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.已知函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】的导函数为，由题意知时，，即，又在上递增，则实数的取值范围是。
【考点】利用函数在某区间上的单调性求参数的取值范围。
2.设是函数的一个极值点.（1）求与的关系式（用表示）；（2）求的单调区间；（3）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）①当时，单调递增区间为：；单调递减区间为：，；②当时，单调递增区间为：；单调递减区间为：，；（3）.【解析】（1）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（2）第二问关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题.（3）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：（1）∵∴由题意得：，即，∴且令得，∵是函数的一个极值点.∴，即故与的关系式（2）①当时，，由得单调递增区间为：；由得单调递减区间为：，；②当时，，由得单调递增区间为：；由得单调递减区间为：，；（3）由（2）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，，在上的值域为易知在上是增函数在上的值域为由于，又因为要存在，使得成立，所以必须且只须，解得：所以：的取值范围为【考点】（1）利用导数求函数的最值；（2）利用导数研究函数的单调性.（3）函数的恒成立问题.3.已知函数f（x）的定义域为，且满足f（2）=1，f（xy）＝f（x）+f（y），（1）求f（1），f（4）， f（8）的值；（2）函数f（x）当时都有.若成立，求的取值范围．【答案】（1）,,；（2）【解析】（1）令x=1，y=2，代入可求出的值，同理可求出、的值；（2）根据当，∈（0，+∞）时都有可得函数在（0，+∞）为增函数，由化为，然后根据单调性与定义域建立关系式，可求出x的取值范围.试题解析：（1）由且，令∴得，∴,（2）∵当，∈（0，+∞）时都有．∴函数在（0，+∞）为增函数，由，化为，则∴．【考点】本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数单调性的判断，同时考查了转化的思想和分析问题的能力.4.若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（）【答案】A【解析】∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有也即在a,x1,x2,b处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，对于B 存在使，对于C 对任意的a＜x1＜x2＜b，都有，对于D对任意的x∈[a，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A．【考点】单调性与导函数的关系.5.已知函数＝，则下列结论正确的是( )A．当x＝时取最大值B．当x＝时取最小值C．当x＝－时取最大值D．当x＝－时取最小值【答案】D【解析】由题意易得：，令得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，当时，取得最小值.故选D.【考点】利用导数求函数的极值与最值.6.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由“”知，只有B、D满足此条件，由对数函数的单调性知，是单调递增函数，故选A.【考点】指数幂的运算法则，幂函数的单调性，指数函数单调性7.已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为任意实数，都有成立，所以有(注意对于这中类似的条件往往转化为导数来用)，即在R为单调递增函数.则有【考点】函数单调性与导数综合应用.8.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，又f(1)＝－.(1)求证：f(x)为奇函数； (2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值与最小值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大值为2，最小值为－4【解析】（1）欲证函数为奇函数，需寻找关系.由题中条件可知，需要从f(x)＋f(y)＝f(x＋y)拼凑出与，令,便有,需求得,考虑到,令特殊值求；（2）同一样的思想，这里需要拼凑出与（）不等于关系（需利用当x＞0时，f(x)＜0）；（3）利用（1），（2）结论解（3）.试题解析：令,可得从而.令，可得，即，故为奇函数． 4分证明：设，且，则，于是.从而.所以为减函数． 8分解：由(2)知，所求函数的最大值为，最小值为．,.于是在上的最大值为2，最小值为－4. 12分【考点】（1）函数奇偶性的证明（明确一般方法和过程）；（2）函数单调性证明（紧扣证明过程）；（3）求函数最值.9.设是R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由,在时单调递增.在R上为奇函数，则，在时也单调递增.要使，则或.【考点】函数求导法则和利用单调性解不等式.10.函数的增区间是____________．【答案】【解析】，．∵二次函数的减区间是，∴的增区间是．【考点】复合函数的单调性．11.下列函数中与函数奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是()．A．B．C．D．【答案】C【解析】为偶函数，且在上单调递增；又为奇函数；为偶函数，且在上单调递减；为偶函数，且在上单调递增；为非奇非偶函数；故选C．【考点】函数的奇偶性、单调性．12.已知函数在其定义域上为奇函数．⑴求m的值；⑵若关于x的不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)m=7;(2)．【解析】(1)由是奇函数得：所以即；然后对m=-7和m=7检验即可；（2）先由（1）及复合函数的单调性确定函数的单调性，再利用函数的奇偶性和单调性将已知不等式转化为一般的代数不等式，最后用分离参数法，将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题进行解决．试题解析：(1)由是奇函数得：所以即；当m=-7时，，舍去；当时，，由得定义域为．．⑵设在是增函数，在是增函数．又为奇函数，，对任意实数恒成立；对于，即．令恒成立,在[2,3]上递增,,则;对于,在[2,3]上递增,,则;对于,即,则;综上，的取值范围是．【考点】1．函数的奇偶性;2．利用函数的单调性解不等式;3．不等式的恒成立．13.已知的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】【解析】函数是复合函数,其定义域令,即,根据复合函数的单调性:同增异减.该函数是增函数,其外函数是为减函数,其内函数为也必是减函数,所以取区间.【考点】复合函数的单调性判断.14.定义在R上的函数及二次函数满足：且.（1）求和的解析式；（2）对于，均有成立，求的取值范围；（3）设，讨论方程的解的个数情况．【答案】（1），；（2）的取值范围为；（3）有5个解.【解析】（1）根据已知的函数方程，可以得到，联立已知条件的函数方程，即可解得，又由条件二次函数及，可设，再根据，可求得；（2）问题等价于求使，恒成立的的取值范围，即求当，使成立的的取值范围，通过判断的单调性可知，其在上单调递增，因此只需，由（1）求得的二次函数的解析式，可得只需，即的取值范围为；（3）根据条件及（1），（2）所求得的解析式，可画出的示意图，根据示意图，可以得到方程即等价于或，再从示意图上可得：有2个解, 有个解，因此有个解.试题解析：（1）,①即②由①②联立解得:. 2分，是二次函数, 且,可设,由,解得.∴，∴， 5分；（2）设,,依题意知:当时,,在上单调递减,∴ 7分∴在上单调递增,，∴∴解得:，∴实数的取值范围为. 10分；由题意，可画出的示意图如图所示:令,则∴，由示意图可知：有2个解, 有个解.∴有个解. 14分.【考点】1.函数解析式的求解；2.利用函数单调性求极值；3.方程根个数的判断.15.设是定义在R上的奇函数且单调递增，当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由原不等式，可得，又在R上的奇函数可得，又单调递增，则，可知恒成立，当时,,则.【考点】函数的奇偶性，单调性.16.已知（1）求函数的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）【解析】（1）先求定义域，再利用导数与单调性的关系求单调区间；（2）通过导数解决不等式恒成立的问题．（1）由已知知函数的定义域为，， 2分当单调递减，当单调递增．． 5分（2），则， 6分设，则，①单调递减；②单调递增； 8分，对一切恒成立，． 10分【考点】利用导数求单调区间；函数单调性；不等式恒成立．17.已知函数，若存在正实数，使得集合，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，显然m＞0，对函数的单调性进行研究知，函数在（-∞，0）上是增函数，在x=0处函数值不存在，在（0，1）函数是减函数，在（1，+∞）函数是增函数，由此结合函数的连续性可以得出ab＞0且1∉[a，b]．①当b＜0时，f（x）在[a，b]上为增函数∴，，即a，b为方程1−＝mx的两根．∴mx2-x+1=0有两个不等的负根 m＞0，＜0，此不等式组无解．②当a≥1时，f（x）在[a，b]上为增函数∴，，即a，b为方程1−＝mx的两根．∴mx2-x+1=0有两个不等的大于1的根.，解得0＜m＜．③当0＜a＜b＜1时，f（x）在[a，b]上为减函数，∴，两式作差得a=b，无意义．综上，非零实数m的取值范围为(0，)．【考点】1.函数的单调性及单调区间；2.集合的包含关系判断及应用；3.集合的相等．18.已知函数（）.(I)若的定义域和值域均是，求实数的值；(II)若在区间上是减函数，且对任意的，，总有，求实数的取值范围.【答案】(I) a=2， (II) .【解析】(I)研究二次函数性质，关键研究对称轴与定义区间之间相对位置关系. 因为函数f(x)对称轴为x=a,抛物线开口向上，在（1，a）上单调递减，则f(1)=a,f(a)=1,代入解得a=2， (II) 因为在区间上是减函数，所以因此，所以1离开对称轴的距离最远，所以在区间最大值应为，最小值应为，因此对任意的，，总有，就可化为，，解得，又所以（1）因为函数f(x)对称轴为x=a,抛物线开口向上，在（1，a）上单调递减，则f(1)=a,f(a)=1,代入解得a=2 -6分（2）可得，显然在区间最大值应为，最小值应为所以，解得 -14分【考点】二次函数最值19.如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数）的图象，且点M到边OA距离为．（1）当时，求直路所在的直线方程；（2）当t为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？【答案】（1）（2），【解析】（1）直路与池边AE相切，切点为M，点M到边OA距离为，因此又切线斜率为故切线方程为，（2）用t表示出地块OABC在直路不含泳池那侧的面积. ，过切点M的切线即，令得，故切线与AB交于点令，得，又在递减，所以,故切线与OC交于点,地块OABC在切线右上部分区域为直角梯形，面积，等号，.（1） 6分（2），过切点M的切线即，令得，故切线与AB交于点；令，得，又在递减，所以故切线与OC交于点。
5.3.2函数的极值与最大(小)值(第1课时函数的极值)课件高二上学期数学人教A版选择性
A.在区间(1,2)内函数f(x)单调递增
B.在区间(3,4)内函数f(x)单调递减
C.在区间(1,3)内函数f(x)有极大值
D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
解析 根据导函数图象知,当x∈(1,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,4)时,f'(x)<0,当
x∈(4,5)时,f'(x)>0.∴f(x)在区间(1,2),(4,5)内单调递增,在区间(2,4)内单调递
x
f'(x)
(-∞,-1)
+
f(x)
单调递增
-1
0
14
极大值
3
(-1,3)
-
3
0
(3,+∞)
+
单调递减
极小值-6
单调递增
∴x=-1是f(x)的极大值点,x=3是f(x)的极小值点.
14
∴f(x)极大值= 3 ,f(x)极小值=-6.
2
(2)f(x)= +ln
解
令
2
f(x)= +ln
2
f'(x)=- 2
x
(-∞,0)
0
(0,2)
f'(x)
0
+
f(x)
单调递减 极小值0
单调递增
2
(2,+∞)
0
极大值4e-2 单调递减
因此,当x=0时,f(x)有极小值,并且极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)有极大值,并
且极大值为
4
f(2)=e2 .
1
(2)f(x)= 2 +ln
函数的极值与最大(小)值(1) 课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
时,x1=
c 3
,x2=
c,
因为极大值点是 x=2,所以 c>0,并且 c <c,当 x∈(-∞,c )
3
3
时,f′(x)>0,
当 x∈( c ,c)时,f′(x)<0,当 x∈(c,+∞)时,f′(x)>0, 3
所以 x= c 是极大值点, c =2,
3
3
解得 c=6.故选 D.
法二 因为 f′(x)=(x-c)(3x-c). 又因为 f(x)在 x=2 处取极值,所以 f′(2)=0,即(2-c)(6-c)=0. 所以 c=2 或 c=6. 当 c=6 时,f′(x)=3(x-2)(x-6),易知 x∈(-∞,2)和 x∈(6,+∞) 时,f′(x)>0,函数 f(x)是增函数,x∈(2,6)时,f′(x)<0,函数 f(x)是减函数,此时 x=2 为极大值点.
T13. 2. 《导学》5.3.2（1）
检查f′(x)在方程根左右的符号—— •如果左正右负（+ ~ -），
那么f(x)在这个根处取得极大值；
•如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
注意 1.如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根 处无极值. 2.函数的极值点还可能出现在不可导点处，如
f (x) x
练习：求
值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f (x)在这些点处
的导数值是多少？在这些点附近，y=f (x)的导数的符号有
什么规律？
y
当x0取b, d时, f '(x0 ) 0;
f (x0 )比附近其他点的函数值大;
a Ob
c
d
e
高中数学导数与函数极值最值知识讲解+例题练习+课下作业
高二数学导数与极值、最值专题一、方法总结1、 求函数()f x 的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数()f x '(2)求方程()0f x '=(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()f x 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()f x 2、利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,二、例题解析例1、上图是导函数)(x f y '=的图象，函数y=f(x)的极大值点是_ _,极小值点是 ．例2.求下列函数的极值1. f (x )=x 2e −x2. y =lnxx3. f (x )=13x 3−x 2−3x +34.f (x )=2x x 2+1−25例3、已知函数)∈()2+-(=)(2R x e x x x f x，求函数f （x ）的单调区间和极值。
变式：1、已知函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，求a 的取值范围。
2、若223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，求a 、b 的值．3、求函数4+4-31=)(3x x x f 的极值． 如果[6,)x ∈−+∞，则y=)(x f 的极值又是什么呢？例4、设函数2132()x f x x eax bx −=++，已知2x =−和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求()f x 解析式（Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =−，试比较()f x 与()g x 的大小．变式：1、求下列函数的最值：（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
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