8.4三元一次方程组解法举例
初中数学七年级《8.4三元一次方程组解法举例》
A
128 27
C 12
B 10 D 27
直接变形法
选项变形
练习3 、当a=-1时，代数式(a+1)2+a(a-3) 的值是( )
A -4
B4
C -2
D2
直接代入法
已知代入
练习4、
不等式组
x
2x 3 1 8 2x
的最小整数解是 ( )
A -1 B 0
C2 D3
直接代入法
选项代入
二、排除法：
排除法根据题设和有关知识，排除明显不正确选项，那么剩下
惟一的选项，自然就是正确的选项，如果不能立即得到正确的选 项，至少可以缩小选择范围，提高解题的准确率。排除法是解选 择题的间接方法，也是选择题的常用方法。
已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同 一坐标系内的大致图象是（ ）
分析：在这个题目中，要我们 求的有三个未知数，我们自然 会想到设1元、2元、5元的纸 币分别是x张、y张、 z张，根 据题意可以得到下列三个方程:
x+y+z=12, x+2y+5z=22, x=4y.
对于这个问题的角必须同时满 足上面三个条件，因此，我们 把三个方程合在一起写成
x y z 12,
次方程组？
观察方程组：
x y z 12, ①
x
2
y
5z
22,
②
x 4 y.
③
仿照前面学过的代入法，可以把③分
别代入①②，得到两个只含y，z的方程
5 y z 12 6 y 5z 22
这个方程组就是我们上节学过的二元一次方程组。
人教版七年级下册8.4三元一次方程组的解法(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解三元一次方程组的基本概念。三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的方程体系。它在解决多个未知数的实际问题中起着重要作用。
案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将实际问题转化为三元一次方程组，并通过代入法和加减消元法求解。
然而，我也注意到，有些同学在小组讨论中参与度不高，可能是因为他们对这个话题还不够感兴趣，或者是对自己的数学能力缺乏信心。在未来的教学中，我需要更多地关注这部分学生，激发他们的学习兴趣，帮助他们建立信心。
此外，实践活动虽然能够让学生们动手操作，但在时间安排上可能有些紧张，导致部分学生没有足够的时间去深入思考和实践。我考虑在接下来的课程中，适当延长实践活动的时间，让学生们有更充分的操作和思考空间。
-难点三：将实际问题转化为三元一次方程组时，如何正确识别和设定未知数。
举例：在应用题中，学生可能难以确定三个人的总分、各科分数与方程组之间的关系，从而无法正确列出方程组。
-难点四：在解题过程中，如何进行有效的逻辑推理和数据分析，特别是当方程组较为复杂时。
举例：在处理多个方程和未知数时，学生可能会在推理过程中迷失方向，无法清晰地找出解题路径。
举例：在例1中，选择第一个方程的z变量代入第二个和第三个方程，学生可能会在代入和化简过程中出现计算错误。
-难点二：掌握加减消元法的运用，特别是在多个方程中选择合适的方程进行组合，以及如何处理消元后出现的分数。
举例：在例1中，将第一个方程与第二个方程相加，消去y，学生可能会在选择方程时犹豫不决，或者在消元过程中处理分数不当。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三元一次方程组的解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要同时解决几个问题的情况？”比如，分配任务时需要考虑每个人的能力和时间。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三元一次方程组的奥秘。
8.4三元一次方程组解法举例(2014用)
的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此， 我们把这三个方程合在一起，写成
① x y z 12 x 2 y 5 z 22 ② x 4 y ③ 这个方程组含有三个未知数，每个方 程中含未知数的项的次数都是1，并且一共 有三个方程，像这样的整式方程组叫做三 元一次方程组.
x 8 解方程组得： y 2
∴12-x=4 6-y=4
答：应从甲运输公司运8吨到A市，运4吨到B市， 从乙运输公司运2吨到A市，运4吨到B市。
解这个方程组，得 x=6 y=2
∴10-x = 4 4-y = 2
答： 北京运往重庆6台，运往武汉4台； 上海运往重庆2台，运往武汉2 台。
3、甲运输公司决定分别运给A市苹果 10t，B市苹果8t，但现在仅有12t苹果， 还需从乙运输公司调运6t，经协商， 从甲运输公司运1t苹果到A、B两市的 运费分别为50元和30元，从乙运输公 司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为 80元和40元，要求总运费为840元，如 何进行调运？
25a 5b c 60 得______________ ．
例2的教学
例2 在等式 y ax2 bx c 中，当 x 1时，
y 0；当 x 2 时，y 3 ；当 x 5 时， y 60. 求 a，b，c的值．
分析：根据已知条件，你能得到什么？
a b c 0， 4a 2b c 3， 25a 5b c 60．
∴
x 1 2 y 15 z 2 8
你能说出 解这个方 程组的思 路吗？
变式练习
(1) 已知如下方程组 ，求x y z ?
人教版七年数学下册8.4三元一次方程组解法举例教案
一、教学内容
人教版七年数学下册8.4节主要围绕三元一次方程组的解法进行举例教学。本节课内容涵盖了以下三个方面：
1.通过实际问题的引入，让学生理解三元一次方程组的实际意义，如行程问题、价格问题等。
2.介绍三元一次方程组的解法，包括代入法、加减法和高斯消元法，并分析各种方法的优缺点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了三元一次方程组的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对各种解法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.培养学生的逻辑思维能力和团队合作意识，通过三元一次方程组解法的学习，让学生在探讨、分析、解决问题的过程中，形成严密的逻辑思维，学会与他人合作交流。
3.培养学生的创新意识，鼓励学生在掌握基本解法的基础上，尝试探索新的解题思路，提高解题效率，从而培养创新精神和实践能力。
这些核心素养目标将贯穿于整个教学过程，旨在帮助学生全面提升数学学科素养。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三元一次方程组的基本概念。三元一次方程组是由三个一次方程构成的，它们共同拥有三个未知数。它在解决实际问题中起着重要作用，能够帮助我们找到多个未知数的具体数值。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将实际问题转化为三元一次方程组，并通过解方程组找到答案。
3.通过具体例题，让学生掌握如何运用以上三种方法求解三元一次方程组，并能够熟练运用到实际问题中。
三元一次方程组解法举例
5x+2y=5
y-z= - 7 4z+3x=13
总结：
解三元一次方程组的基本思路是： 通过“代入”或“加减”进行消元，把 “三元”转化为“二元”，使解三元一次 方程组转化为解二元一次方程组，进而再 转化为解一元一次方程。
三元一次方程组
消元
二元一次方程组 消元 一元一次方程
活动4 提 高
1．解下列三元一次方程组 .
3x y z 4, (2) 2x 3 y z 12,
x y z 6.
消谁好呢？怎么消呢？
活动4
问题2 ：在等式 y ax2 bx c 中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时， y＝3；当x＝5时，y＝60 ， 求a、b、c 的值．
请同学们尽可能多的完成下面的几道题，
可按自己的“口味”自由选择，试试吧
x 2 y 9,
y=2x-7
(1)
y
z
3,
（2） 5x+3y+2z=2
2z x 47.
3x-4z=4
活动2
2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数 的2倍比乙数大5，乙数的三分之一 等于丙数的二分之一，求这三个数．
活动3
再来试试这个三元一次方程组！
3x 4z 7 2x 3 y z 9 5x 9 y 7z 8
x＋z＝6
x＋y－z＝6 （2） x－3y＋2z＝1
3x＋2y－z＝4
2、已知∣x－8y∣＋2（4y－1）＋2 3∣8z－3x∣＝0， 求x＋y＋z的值.
3、已知方程组
3x 2 y z 6, 6x y 2z 2, 与关于x,
6x 2 y 5z 3
6,
ax by 2cz 2,
活动1
题中的三个条件要同时满足，所以我们 把三个方程合在一起写成 ：
8.4三元一次方程组解法举例
④ ⑤
④与⑤组成二元一次方程组 a＋b=1 4a＋b=10 a=3 解这个方程组，得 b=-2
a=3 b=-2 c=-5
答：a=3, b=-2, c=-5.
甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数 的三分之一等于丙数的二分一．求这三个数． 解：设甲乙丙三数分别为x、y、z，根据题意得： x+y+z=35 ① 2x-y=5
解下列三元一次方程组
x : y 2 : 3 x : z 2 : 5 x y z 100
x : y : z 1: 2 : 7 x y z 100
例6 解三元一次方程组
解： ①+②+③，得 x＋y+z=6 ④ ④-①，得 z=3 ④-②，得 x=1 ④-③，得 y=2
④ 方程组的解为 x=22 31 y= z=
解：②×2＋③ ，得 x＋2y=53
①+④得
x=22
31 y= 2 25 z= 2
把x=22代入①得
把x=22代入③得
2 25 2
2 x 4 y 3z 9 ① 例 4 解三元一次方程组 (4) 3 x 2 y 5 z 11 ② 解下列三元一次方程组 5 x 6 y 7 z 13 ③ 解：②×2+①，得
例7 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0; 当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组 a－b＋c= 0 ① 4a＋2b＋c=3 ② 25a＋5b＋c=60 ③ a=3 把 b=-2 代入①，得 c=-5 因此
②－①， 得 a＋b=1 ③－①，得 4a＋b=10
8.4 三元一次方程组解法举例 练习
8.4三元一次方程组解法举例
1．在方程5x －2y ＋z ＝3中，若x ＝－1，y ＝－2，则z ＝_______.
2．已知单项式－8a 3x ＋y －z b 12 c x ＋y ＋z 与2a 4b 2x －y ＋3z c 6，则x ＝____，y ＝____，z ＝_____.
3 则x ＝_____，y ＝______，z ＝_______.
4．已知代数式ax 2＋bx ＋c ，当x ＝－1时，其值为4；当x ＝1时，其值为8；当
x ＝2时，其值为25
；则当x ＝3时，其值为_______.
5．已知
，则x ∶y ∶z ＝___________.
6．解方程组 ，若要使运算简便，消元的方法应选取（ ）
A 、先消去x
B 、先消去y
C 、先消去z
D 、以上说法都不对
7．方程组的解是（ ）
A B C 、 D 8．若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z 的值为（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
9．若方程组 的解x 与y 相等，则a 的值等于（ ）
A 、4
B 、10
C 、11
D 、12
10．已知∣x －8y ∣＋2（4y －1）2＋3∣8z －3x ∣＝0，求x ＋y ＋z 的值.
－x x ＝4x ＋3y ＝1 ax ＋（a －1）y ＝3 x －3y ＋2z ＝0 3x －3y －4z ＝0
11．解方程组
（1
（2）
12．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，
6年后他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共有多少个子女？。
三元一次方程组解法举例
活动2
如何解三元一次方程组呢？
活动2
观察方程组：
代入法
x y z 12, x 2 y 5 z 22, x 4 y.
① ② ③
快 来 试 试 吧 ！
仿照前面学过的代入法，可以把③分 别代入①②，得到两个只含y，z的方程
4y+y+z=12
4y+2y+5z=22
你会用代入法解三元一次方程组吗？
｛
Y=2x-7 5x+3y+2z=2 3x-4z=4
再来试试这个三元一次方程组！
3 x 4z 7 2 x 3 y z 9 5 x 9 y 7 z 8
你还有更简便的做法吗？
加减法
例1 解方程组
x+y+z= 2 ① x-y+z= 0 ②
练习
111页第4题
4a+2b+c=3 25a+5b+c=60
解：根据题意，得三元一次方程组 a=3 a－b＋c= 0 ① 把 代入①，得 b=-2 4a＋2b＋c=3 ② 25a＋5b＋c=60 ③ C=-5 ②－①， 得 a＋b=1 ④ a=3 ③－①，得 4a＋b=10 ⑤ 因此 b=-2 c=-5 ④与⑤组成二元一次方程组 a＋b=1 ｛ 4a＋b=10 答：a=3, b=-2, c=-5. a=3 解这个方程组，得｛ b=-2
x y 3
解：③－②，得
④
2.
① ④ x y 1 化“二元”为“一元”
原方程组中 有哪个方程 还没有用到 ？
例2 解方程组 解:
③ - ②，得
x y 3 y z 5 z x 4
8.4三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路与解二元 一次方程组的基本思路一样， 一次方程组的基本思路一样，即
消元 消元
三元一次方程组
二元一次方程组 一元一次方程
1 解三元一次方程组
3x + 4z = 7 ① 2x + 3 y + z = 9 ② 5x − 9 y + 7z = 8③
解 ： ② × 3＋ ③ ， 得 11x＋ 11 ＋10z=35 ④ ①与④组成方程组
1.下列方程是三元一次方程的是（ 1.下列方程是三元一次方程的是（ A ） 下列方程是三元一次方程的是
1 A.x + 3 y = z + 3 7 C . y + 3z = 7
x + y− z = 6 A x−z = 6 1 y+ = 4 z
B . xy + z = 8 D. xy + xz = 1
3 x + 4z = 7 11 x + 10z = 35
1 把x = 5，z = −2代入②，得y = 3
x=5 解这个方程组， 解这个方程组，得 z = −2
x = 5 1 因此， 因此，三元一次方程组的解为 y = 3 z = −2
x
2
通过这节课的学习， 通过这节课的学习，你收获 了什么？ 了什么？ 你又有什么疑惑？ 你又有什么疑惑？ 疑惑
3.解下列三元一次方程组 3.解下列三元一次方程组
x − 2 y = −9 （1） y − z = 3 2z + x = 47
3x − y + z = 4 (2) 2 x + 3 y − z = 12 x+ y+z =6
8.4 三元一次方程组的解法
8.4 三元一次方程组的解法备课教师：张剑楠课型：新授课授课时间：课时第36课时总课时：第课学习目标通过对方程组中未知数特点的观察和分析，类比二元一次方程组，理解三元一次方程组的概念重点会用消元法解三元一次方程组．难点针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法消元．教学过程问题、预设时间评价活动活动1在刚刚过去的2022北京冬奥会赛场上，我国运动员取得了历史最好成绩，斩获金牌、银牌、铜牌共15枚，其中，金牌数量是银牌数量2倍多1，银牌数量是铜牌数量的2倍，问：金、银、铜牌数量各几枚？活动2教师出示学习目标活动3解：设铜牌x枚，则银牌2x枚，金牌（4x+1)枚.根据题意可列方程：x+2x+4x+1=15解得x=22x=4， 4x+1=9答：金牌9枚，银牌4枚，金牌2枚.思考1:这个方程组含有几个未知数？思考2：每个方程中含未知数的项的次数都是几？思考3：一共有几个方程？三元一次方程组概念出示之前，给学生留白时间，引发学生思考，加深学生对概念的理解. 引导学生多关心国家时事.让学生意识到生活中处处有数学，培养学生学习数学的兴趣.学生朗读学习目标师生共同活动：教师引导学生列出以下三个方程.解：设金牌x枚，银牌y枚，铜牌z枚根据题意可列方程：x+y+z=15y=2zx=2y+1师：这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成{x+y+z=15x=2y+1y=2z引导学生列三元一次方程组的方法解决该问题，并通过问题1，引导学生回顾已有知识学生齐读（还有其他方法吗？能不能设多个未知数呢？程的等量关系相同，发现未知数个数不同。
（2）通过问题7，学生考虑如何将未知数个数变为一个。
活动4{x +y +z =15①x =2y +1②y =2z③ 能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？{x +y +z =12①x +2y +5z =22②x =4y③解：②×3+③，得11x +10z=35．①与④组成方程组把x =5，z=-2代入②，得y =31．因此，三元一次方程组的解为数学的学习都是建立在旧知的基础上进行学习，用旧知解决未知，符合学生认知规律.学生易于接受.学生总结本课所学师：怎样解这个三元一次方程组呢？我们能从解二元一次方程组的方法中找到一些启发吗？教师对学生的想法给予肯定，并且分析这道题目的消元方法、解题步骤， 使学生明确③分别代入①②，比较简便，得到二元一次方程组，可顺利解决三元一次方程组，体会消元思想在三元一次方程组中同样适用.让学生独立分析、解题，方法不唯一，可分别让学生板演后比较． 归纳：（1）学生回答将①所得的x y -=10代入方程②，就可以得到16)10(2=-+x x 。
＊8.4 三元一次方程组的解法
① ② ③
解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④ ①与④组成方程组 解这个方程组，得 3x＋4z=7， 11x＋10z=35. x=5， z=-2.
1 把x＝5，z＝-2代入②，得y= , 3
x=5， y= z=-2.
1 , 3
因此，这个三元一次方程组的解为
【跟踪训练】
x＋y－z＝6， 解三元一次方程组 ① x－3y＋2z＝1， ② 3x＋2y－z＝4. ③
【答案】
51 z . 5
32 y , 5
11 x , 5
1.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的 值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.通过观察未知数的系数，可采取两个方程 相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
2.在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，
*8.4
三元一次方程组的解法
小明手头有12张面额分别为10元、20元、50元的纸
币，共计220元，其中10元纸币的数量是20元纸币数量
的4倍.求10元、20元、50元纸币各多少张.
问题中含有几个未知数？ 有几个相等关系？
你能根据等量关系列出方程吗? 设10元、20元、50元的纸币分别为x张、y张、z张. 根据题意，可以得到下面三个方程： x+y+z=12 x=4y
x+y+z=12， x=4y， 10x+20y+50z=220.
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数 的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方 程组叫做三元一次方程组.
【议一议】
如何解三元一次方程组呢？ x+y+z=12， x=4y， 10x+20y+50z=220.