2019_2020学年高中数学第1章常用逻辑用语1.3.2命题的四种形式学案新人教b版选修1_1

1.3.2 命题的四种形式1．四种命题[提示]因为任何一个命题都包含条件和结论两部分，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题．因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．2．四种命题间的相互关系(1)形式关系(2)真假关系：①互为逆否的两个命题是等价的，它们有相同的真假性；②互逆或互否的两个命题是不等价的，它们的真假性没有关系．思考2：若两个命题为互否命题，则它们的真假性肯定不相同，这种说法正确吗？[提示]互否命题的真假性没有关系，但也可能相同，故此说法错误．1．当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定为真的是( )A．若q，则pB．若﹁p，则﹁qC．若﹁q，则﹁pD．若﹁p，则qC[原命题为真时，原命题的逆否命题必为真，无法判断原命题的逆命题和否命题是否为真．]2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题A[两个命题条件与结论互换，故互为逆命题．]3．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是( )A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题D[原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．]4．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的否命题为________，是________命题(填“真”或“假”)．已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2≠0，则λ≠0或μ≠0真[否命题即把原命题的条件和结论都否定．](1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x＞10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[解](1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题.提醒：在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论.1．命题：“若a·b≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．若a，b至少有一个为零，则a·b＝0[由“若p，则q”的逆否命题为“若q，则p”可得．]2．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)当c>0时，若a>b，则ac＞bc；(2)正数m的平方大于0.[解](1)逆命题：当c>0时，若ac＞bc，则a＞b；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc；逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.(2)逆命题：若m2>0，则m>0；否命题：若m≤0，则m2≤0；逆否命题：若m2≤0，则m≤0.(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0.[思路探究]确定命题的条件、结论→写出四种命题→判断命题真假[解](1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.3．下列命题：①“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题．其中真命题是________．①②③[①“如果xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“如果x，y互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“如果a>b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.]4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；(4)若x∈A，则x∈A∩B.[解](1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b.真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B.真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b.真命题．(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A.真命题；否命题：若A，则x A∩B.真命题；逆否命题：若x A∩B，则x A.假命题.1．直接证明原命题有困难时，应如何证明？[提示]由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明一个命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真来间接证明原命题为真，即正难则反的思想．2．四种命题之间有怎样的相互关系？[提示](1)四种命题中原命题具有相对性，任意确定一个为原命题，其逆命题、否命题、逆否命题就确定了，所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性．(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中，有两对互逆命题，两对互否命题，两对互为逆否命题．它们分别为：①两对互逆命题：原命题与逆命题，否命题与逆否命题．②两对互否命题：原命题与否命题，逆命题与逆否命题．③两对互逆否命题：原命题与逆否命题，逆命题与否命题．(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以原命题与其逆否命题是等价命题，因此当直接证明或判断原命题困难时，可以转化成证明其逆否命题．【例3】 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．[思路探究] 可以先写出逆否命题，直接判断其真假，也可以利用原命题与逆否命题的真假性相同去判断原命题的真假．问题中涉及不等式的解集，还可以利用集合的包含、相等关系求解．[解] 法一：逆否命题为：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上， 对应方程的判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 因为a <1，所以4a －7<0， 即抛物线与x 轴无交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集． 故逆否命题为真．法二：先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0， 即4a －7≥0，解得a ≥74.因为a ≥74>1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题的真假性相同，所以逆否命题为真．法三：命题p ：关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有非空解集，命题q ：a ≥1. 所以命题p ：A ＝{a |关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0有实数解}＝{a |(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥74. 命题q ：B ＝{a |a ≥1}．因为A ⊆B ，所以“若p ，则q ”为真，所以“若p ，则q ”的逆否命题“若q ，则p ”为真， 即原命题的逆否命题为真．1．(改变问法(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题.(3)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视.1．思考辨析(1)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题．( )(2)若一个命题是假命题，则其逆命题有可能是真命题．( )(3)命题“若x2＞y2，则x＞y”的否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．( )[提示](1)√(2)√(3)ד若p，则q”的否命题为“若﹁p，则﹁q”．故“若x2＞y2，则x＞y”的否命题为“若x2≤y2，则x≤y”．2．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( )A ．若x 2≥1，则x ≥1，或x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1，或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1，或x ≤－1，则x 2≥1 [答案] D3．命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2[答案] B4．命题“若x ＝3，y ＝5，则x ＋y ＝8”的逆命题是________；否命题是________；逆否命题是________．[答案] 逆命题：若x ＋y ＝8，则x ＝3，y ＝5； 否命题：若x ≠3，或y ≠5，则x ＋y ≠8； 逆否命题：若x ＋y ≠8，则x ≠3，或y ≠5.5．命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论． [解] 法一：是真命题． ∵m ＞0，∴Δ＝1＋4m ＞0.∴方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价，∴命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题也是真命题． 法二：是真命题．原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“如果x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵x 2＋x －m ＝0无实根，∴Δ＝1＋4m <0，m <－14≤0，故原命题的逆否命题为真命题．。