高中数学必修五第三章:不等式专题
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《不等式专题》
第一讲:不等式的解法
知识要点:
一、不等式的同解原理:
原理1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得不等式与原不等式是同解不等式; 原理2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数或同一个大于零的整式,所得不等式与原不等式是同解不等式;
原理3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数或同一个小于零的整式,并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。
二、一元二次不等式的解法:
一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根,是对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。
二次函数
()
的图象
有两相异实根
有两相等实根
无实根
注意:
(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x 是相应的不等式2
0(0)ax bx c a ++>≠的解集的端点的取值,是抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标;
(2)表中不等式的二次系数均为正,如果不等式的二次项系数为负,应先利用不等式的性质转化为二 次项系数为正的形式,然后讨论解决;
(3)解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况,得到一元二次不等式2
0(0)ax bx c a ++>≠与
20(0)ax bx c a ++<≠的解集。
三、一元高次不等式的解法:
解高次不等式的基本思路是通过因式分解,将它转化成一次或二次因式的乘积的形式,然后利用数轴标根法或列表法解之。
数轴标根法原则:(1)“右、上”(2)“奇过,偶不过”
四、分式不等式的解法:
(1)若能判定分母(子)的符号,则可直接化为整式不等式。 (2)若不能判定分母(子)的符号,则可等价转化:
()()()()()
()()()()()()()()()
()()()()000;0.0000;0.0
f x
g x f x f x f x g x g x g x g x f x g x f x f x f x g x g x g x g x ⋅≥⎧>⇔⋅>≥⇔⎨≠⎩⋅≤⎧<⇔⋅<≤⇔⎨≠⎩ 五、指数、对数不等式的解法:
(1)
()()()()()()
()
()()()
1; 01f x g x f x g x a a a f x g x a
a
a f x g x >>⇔>><<⇔<
(2)
()()()()()()()()
log log (1)0;log log (01)0a a a a f x g x a f x g x f x g x a f x g x >>⇔>>><<⇔<<
六、含绝对值不等式的解法:
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()220;0.
;..
f x a a f x a f x a f x a a a f x a f x
g x f x g x f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x g x >>⇔<-><>⇔-<<>⇔<-><⇔-<<>⇔>或或 对于含有多个绝对值的不等式,利用绝对值的意义,脱去绝对值符号。
典型例题:
【例1】不等式x 2-ax -b <0的解集为{x |2
{}{}23.312
1.2131.3
2.-<<-⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<< 【例2】(山东7) 不等式2 5 2(1)x x +-≥的解集是( ) A .132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ , B .132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦, C .(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭,, D .(]11132⎡⎫ -⎪⎢⎣⎭ ,, 【例3】不等式2 21 x x +>+的解集为__________. 【例4】解不等式21 23 139x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭ 。 【例5】不等式() ()2113 3 log 34log 210______.x x x -->+的解集为 【例6】(四川5)不等式22x x -<的解集为( ) (A)()1,2- (B)()1,1- (C)()2,1- (D)()2,2- 【例7】不等式(1+x )(1-|x |)>0的解集为( ) A .{x |0≤x <1} B .{x |x <0且x ≠-1} C .{x |-1<x <1} D .{x |x <1且x ≠-1} 【例8】解不等式327x x -++≥ 【例9】若关于x 的方程x 2+ax +a 2-1=0有一正根和一负根,则a 的取值范围为________. 【例10】设a ∈(0,1),则关于x 的不等式|x -log a x |<|x |+|log a x |的解集为( ) A .(0,a ) B .(0,1) C .(0,+∞) D .(-∞,0)∪(1,+∞) 【例11】若关于x 的不等式|x +3|+|x -1|>a 恒成立,则a 的取值范围是________. 【例12】已知a ∈R ,若关于x 的方程x 2+x +|a -1 4|+|a |=0有实根,则a 的取值范围是________.