高中数学必修五第三章：不等式专题

《不等式专题》

第一讲：不等式的解法

知识要点：

一、不等式的同解原理：

原理1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式； 原理2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；

原理3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得不等式与原不等式是同解不等式。

二、一元二次不等式的解法：

一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标。

二次函数

（）

的图象

有两相异实根

有两相等实根

无实根

注意：

（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x 是相应的不等式2

0(0)ax bx c a ++>≠的解集的端点的取值，是抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点的横坐标；

（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二 次项系数为正的形式，然后讨论解决；

（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式2

0(0)ax bx c a ++>≠与

20(0)ax bx c a ++<≠的解集。

三、一元高次不等式的解法：

解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标根法或列表法解之。

数轴标根法原则：（1）“右、上”（2）“奇过，偶不过”

四、分式不等式的解法：

（1）若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。 （2）若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化：

()()()()()

()()()()()()()()()

()()()()000;0.0000;0.0

f x

g x f x f x f x g x g x g x g x f x g x f x f x f x g x g x g x g x ⋅≥⎧>⇔⋅>≥⇔⎨≠⎩⋅≤⎧<⇔⋅<≤⇔⎨≠⎩ 五、指数、对数不等式的解法：

（1）

()()()()()()

()

()()()

1; 01f x g x f x g x a a a f x g x a

a

a f x g x >>⇔>><<⇔<

（2）

()()()()()()()()

log log (1)0;log log (01)0a a a a f x g x a f x g x f x g x a f x g x >>⇔>>><<⇔<<

六、含绝对值不等式的解法：

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()220;0.

;..

f x a a f x a f x a f x a a a f x a f x

g x f x g x f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x g x >>⇔<-><>⇔-<<>⇔<-><⇔-<<>⇔>或或 对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。

典型例题：

【例1】不等式x 2－ax －b <0的解集为{x |20的解集为( )

{}{}23.312

1.2131.3

2.-<<-⎭⎬⎫

⎩⎨⎧-<<-⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<<

【例2】(山东7) 不等式2

5

2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

， B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．(]11132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，， D ．(]11132⎡⎫

-⎪⎢⎣⎭

，，

【例3】不等式2

21

x x +>+的解集为__________.

【例4】解不等式21

23

139x x x ---⎛⎫< ⎪⎝⎭

。

【例5】不等式()

()2113

3

log 34log 210______.x x x -->+的解集为

【例6】（四川5）不等式22x x -<的解集为( )

（Ａ）()1,2- （Ｂ）()1,1- （Ｃ）()2,1- （Ｄ）()2,2-

【例7】不等式(1＋x )(1－|x |)＞0的解集为( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |x ＜0且x ≠－1} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜1且x ≠－1}

【例8】解不等式327x x -++≥

【例9】若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．

【例10】设a ∈(0,1)，则关于x 的不等式|x －log a x |＜|x |＋|log a x |的解集为( ) A ．(0，a ) B ．(0,1)

C ．(0，＋∞)

D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

【例11】若关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －1|＞a 恒成立，则a 的取值范围是________．

【例12】已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋|a －1

4|＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________．