高中数学新人教A版必修4学案附答案第三章三角恒等变换3.1两角和与差的3.1.2第2课时两角和与差的正切公式
高中数学 第三章 三角恒等变换 3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式 新人教A版必修4
π 2
(k∈Z)，且
α≠kπ＋4π(k≠Z)．当α＝kπ＋π2时，求tan2α应使用诱导公式．请
读者自己寻求tan2α＝2tanα的条件．
3．使用二倍角公式应注意的问题
(1)对“二倍角”应该有广义上的理解，不仅局限于2α是α
的2倍．只要公式中等号左边的角是右边角的2倍，就可以使用
二倍角公式，如3α与
自 (1)2sinαcosα S2α 我 (2)cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α C2α
校
2tanα
对 (3)1－tan2α T2α
思考探究 上述公式如何推导得到？ 提示 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α即可 得到．
名师点拨 1.对“倍角”的理解 (1)本节所说的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍 角”等名词时，“三”字不能省略． (2)“倍”是描述两个数量关系的，2α是α的二倍，4α是2α 的二倍，α2是α4的二倍，这里蕴含着换元思想．
变式训练2 求下列各式的值：(1)cos215°－sin215°； (2)cos1π2cos152π；(3)sin150°＋cos530°.
解
(1)原式＝cos(2×15°)＝cos30°＝
3 2.
(2)原式＝cos1π2sin1π2＝12sin6π＝14.
(3)原式＝coss5in05°＋0°co3ss5i0n°50°
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、 求值、证明.
高中数学人教版必修四学案：第3章 3.1 3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含答案
3.1.2 两角和与差的正弦学习目标：1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)[自主预习·探新知]1．两角和与差的正弦公式(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.(2)Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.2．辅助角公式siny＝a sin x＋b cos x x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θθ思考：根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？[提示]对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，和差相同”．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．()(4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.()[解析](1)√.根据公式的推导过程可得．(2)√.当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)×.当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(4)√.因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°)＝sin 30°，故原式正确． [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为( ) A.12 B.22C.32D ．以上都不对A [原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.] 3．函数y ＝sin x －cos x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4πC [y ＝sin x －cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x －22cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴函数的最小正周期为T ＝2π.]4．已知α为锐角，sin α＝35，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－45，则sin(α＋β)＝________.【导学号：79402116】[解析] ∵α为锐角，且sin α＝35， ∴cos α＝45.又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cos β＝－45， ∴cos β＝45，sin β＝－35.∴sin(α＋β)＝35×45＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝0.[答案] 0[合 作 探 究·攻 重 难]利用公式化简求值(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12 C.12D.32(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值． [思路探究] (1)化简求值应注意公式的逆用．(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值． [解析] (1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12. [答案] C(2)原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1. (3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)· cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0.1．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ；(2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β).【导学号：79402117】[解] (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x ＝0. (2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α.给值(式)求值设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值．[思路探究] 应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．[解析] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin β＝－32，所以cos β＝12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝32×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝32.母题探究：1.(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．[解] sin(α－β)＋cos(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝32×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝34－34－14－34＝－1.2．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？ [解] 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32. 因为β为第三象限，所以cos β＝－12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34＋34＝0. [规律方法] (1)当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式.(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.,提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值.辅助角公式的应用[探究问题]1．函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈Z)的最大值为2对吗？为什么？ [提示] 不对．因为sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22 cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π4＋cos x ·sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 所以函数的最大值为 2.2．函数y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值等于多少？ [提示] 因为y ＝3sin x ＋4cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫35sin x ＋45cos x ， 令cos φ＝35，sin φ＝45，则y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝5sin(x ＋φ)， 所以函数y 的最大值为5. 3．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式？[提示] a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫aa 2＋b 2sin x ＋ba 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝b a 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定)．设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到． [思路探究] 辅助角公式⇒转化成“一角一函数”的形式⇒将所给函数展开与合并．[解] (1)f (x )＝sin x ＋sin x cos π3＋cos x sin π3＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－1时，f (x )min ＝－3，此时x ＋π6＝3π2＋2k π(k ∈Z)，所以x ＝4π3＋2k π(k ∈Z)． 所以f (x )的最小值为－3，x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝4π3＋2k π，k ∈Z. (2)将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得y ＝3sin x 的图象；然后将y ＝3sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象.[当 堂 达 标·固 双 基]1．化简：sin 21°cos 81°－cos 21°sin 81°等于( )【导学号：79402118】A.12 B ．－12 C.32D ．－32D [原式＝sin(21°－81°)＝－sin 60°＝－32.故选D.] 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－7210B.7210C ．－210 D.210A [∵cos α＝－45，α为第三象限角，∴sin α＝－35，由两角和的正弦公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.]3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2] B.[]－3，3 C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B [f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]． 故选B.]4．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________. [解析] 原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝ sin(25°＋35°)＝sin 60°＝32. [答案] 325．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∴α－β＝－π4.。
高中数学必修4第3章课后习题解答
新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第1页共12页）新课程标准数学必修4第三章课后习题解答第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式练习（P127）1、cos()coscossinsin0cos 1sin sin222.cos(2)cos2cos sin2sin 1cos0sincos .2、解：由3cos ,(,)52，得2234sin1cos1()55；所以23242cos()coscos sinsin()444252510.3、解：由15sin17，是第二象限角，得22158cos1sin1()1717；所以811538153cos()cos cossin sin33317217234.4、解：由23sin ,(,)32，得2225cos1sin1()33；又由33cos,(,2)42，得2237sin1cos 1()44.所以35723527cos()cos cos sin sin ()()()434312.练习（P131）1、（1）624；（2）624；（3）624；（4）23.2、解：由3cos,(,)52，得2234sin1cos1()55；所以4133433sin()sin coscos sin()333525210.3、解：由12sin13，是第三象限角，得22125cos1sin1()1313；所以351125312cos()coscos sinsin ()()66621321326.4、解：tantan314tan()241311tantan4.5、（1）1；（2）12；（3）1；（4）32；新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第2页共12页）（5）原式=1(cos34cos26sin34sin 26)cos(3426)cos602；（6）原式=sin 20cos70cos20sin 70(sin 20cos70cos20sin 70)sin 901.6、（1）原式=cos cos sinsin cos()333x xx ；（2）原式=312(sin cos )2(sin coscos sin)2sin()22666x x x x x ；（3）原式=222(sin cos )2(sin cos cos sin )2sin()22444x x x x x；（4）原式=1322(cos sin )22(coscos sinsin )22cos()22333x x x x x .7、解：由已知得3sin()cos cos()sin5，即3sin[()]5，3sin()5所以3sin 5.又是第三象限角，于是2234cos1sin 1()55.因此555324272sin()sincoscos sin()()()()444525210.练习（P135）1、解：因为812，所以382又由4cos85，得243sin 1()855，3sin 385tan 484cos 85所以3424sinsin(2)2sin cos2()()488855252222437coscos(2)cossin()()488855252232tan23162484tantan(2)3482771tan1()842、解：由3sin()5，得3sin5，所以222316cos1sin1()525所以2221637cos2cos sin()255253、解：由sin 2sin且sin 0可得1cos2，又由(,)2，得2213sin 1cos1()22，所以sin 3tan (2)3cos2.新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第3页共12页）4、解：由1tan23，得22tan 11tan3.所以2tan6tan 10，所以tan 3105、（1）11sin15cos15sin 3024；（2）222cossincos 8842；（3）原式=212tan22.511tan4521tan 22.522；（4）原式=2cos452.习题3.1A 组（P137）1、（1）333cos()cos cos sin sin 0cos (1)sin sin 222；（2）333sin()sincoscossin1cos 0sincos222；（3）cos()cos cos sin sin 1cos 0sin cos ；（4）sin()sin coscos sin0cos(1)sinsin .2、解：由3cos,05，得2234sin1cos1()55，所以4331433cos()cos cossin sin666525210.3、解：由2sin,(,)32，得2225cos 1sin1()33，又由33cos ,(,)42，得2237sin1cos 1()44，所以53273527cos()cos cos sin sin ()()343412.4、解：由1cos7，是锐角，得22143sin1cos1()77因为,是锐角，所以(0,)，又因为11cos()14，所以221153sin()1cos ()1()1414所以coscos[()]cos()cos sin()sin11153431()14714725、解：由60150，得9030180又由3sin(30)5，得2234cos(30)1sin (30)1()55所以coscos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin 30新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第4页共12页）43314335252106、（1）624；（2）264；（3）23.7、解：由2sin ,(,)32，得2225cos 1sin1()33.又由3cos 4，是第三象限角，得2237sin1cos 1()44.所以cos()cos cos sin sin 5327()()3434352712sin()sin cos cos sin 2357()()()3434635128、解：∵53sin ,cos 135AB且,A B 为ABC 的内角∴0,02AB，124cos ,sin 135AB当12cos 13A时，sin()sin cos cos sin A B A B A B5312433()013513565A B ，不合题意，舍去∴124cos ,sin 135A B∴cos cos()(cos cos sin sin )CA B A B A B 1235416()135135659、解：由3sin,(,)52，得2234cos 1sin1()55.∴sin 353tan()cos544.∴31tan tan 242tan()311tantan111()42.新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第5页共12页）31tan tan 42tan()2311tantan1()42.10、解：∵tan ,tan是22370xx 的两个实数根.∴3tantan2，7tantan2.∴3tantan 12tan()71tantan31()2.11、解：∵tan()3,tan()5∴tan()tan()tan 2tan[()()]1tan()tan()3541357tan()tan()tan2tan[()()]1tan()tan()351135812、解：∵::2:3:6BD DC AD∴11tan,tan32BD DC ADAD ∴tantan tan tan()1tan tan BAC1132111132又∵0180BAC ，∴45BAC 13、（1）65sin()6x；（2）3sin()3x ；（3）2sin()26x ；（4）27sin()212x ；（5）22；（6）12；（7）sin()；（8）cos()；（9）3；（10）tan().14、解：由sin0.8,(0,)2，得22cos 1sin10.80.6∴sin 22sin cos 20.80.60.962222cos2cossin0.60.80.2815、解：由3cos,1802703，得2236sin1cos 1()33∴6322sin 22sin cos 2()()3332222361cos2cossin()()333sin 222tan2(3)22cos2316、解：设5sin sin 13BC，且090B，所以12cos 13B.βαDACB（第12题）新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第6页共12页）∴512120sin sin(1802)sin 22sin cos 21313169A B B B B2222125119cos cos(1802)cos2(cos sin )(()())1313169A B BB B sin 120169120tan ()cos 169119119A AA17、解：22122tan33tan 211tan41()3，13tan tan274tan(2)1131tan tan 2174.18、解：1cos()cos sin()sin 31cos[()]3，即1cos 3又3(,2)2，所以22122sin1cos 1()33∴22142sin 22sin cos 2()33922221227cos2cossin()()339∴72422728cos(2)cos2cossin2sin()44492921819、（1）1sin 2；（2）cos2；（3）1sin 44x ；（4）tan2.习题3.1B 组（P138）1、略.2、解：∵tan ,tan A B 是x 的方程2(1)10xp x ，即210x px p 的两个实根∴tan tan A B p ，tan tan 1A B p ∴tan tan[()]tan()CAB A B tan tan 11tan tan 1(1)ABp A Bp 由于0C ，所以34C.3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）223sincos (30)sin cos(30)4（证明略）本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：223sin (30)cossin(30)cos 4223sin (15)cos (15)sin(15)cos(15)4223sincossin cos4，其中30，等等思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳.对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高.4、因为12PAPP ，则2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第7页共12页）即22cos()22cos cos 2sin sin所以cos()cos cossin sin3．2简单的三角恒等变换练习（P142）1、略.2、略.3、略.4、（1）1sin 42y x .最小正周期为2，递增区间为[,],8282k k kZ ，最大值为12；（2）cos 2y x.最小正周期为2，递增区间为[2,22],k k k Z ，最大值为3；（3）2sin(4)3yx.最小正周期为2，递增区间为5[,],242242kk kZ ，最大值为 2.习题3.2A 组（P143）1、（1）略；（2）提示：左式通分后分子分母同乘以2；（3）略；（4）提示：用22sincos代替1，用2sin cos 代替sin 2；（5）略；（6）提示：用22cos 代替1cos2；（7）提示：用22sin 代替1cos2，用22cos 代替1cos2；（8）略.2、由已知可有1sincoscos sin2……①，1sin coscos sin3……②（1）②×3－①×2可得sin cos 5cos sin（2）把（1）所得的两边同除以cos cos 得tan 5tan注意：这里cos cos0隐含与①、②之中3、由已知可解得1tan2.于是2212()2tan 42tan211tan31()21tantan1142tan()1431tantan1()142∴tan24tan()44、由已知可解得sinx ，cos y，于是2222sincos 1xy.5、()2sin(4)3f x x，最小正周期是2，递减区间为7[,],242242k k kZ .习题3.2B 组（P143）1、略.2、由于762790，所以sin 76sin(9014)cos14m新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第8页共12页）即22cos 71m ，得1cos72m 3、设存在锐角,使223，所以23，tan()32，又tantan 232，又因为tantan2tan()21tan tan2，所以tantan tan()(1tantan )33222由此可解得tan 1，4，所以6.经检验6，4是符合题意的两锐角.4、线段AB 的中点M 的坐标为11((cos cos ),(sinsin ))22.过M 作1MM 垂直于x 轴，交x 轴于1M ，111()()22MOM .在Rt OMA 中，coscos22OMOA .在1Rt OM M 中，11cos cos cos 22OM OM MOM ，11sin sincos22M MOM MOM .于是有1(cos cos )cos cos 222，1(sin sin )sin cos2225、当2x时，22()sin cos 1f ；当4x时，4422222()sin cos(sincos )2sincosf 211sin 22，此时有1()12f ≤≤；当6x 时，662232222()sincos(sincos)3sincos(sincos)f 231sin 24，此时有1()14f ≤≤；由此猜想，当2,x k k N 时，11()12k f ≤≤6、（1）345(sin cos )5sin()55yxx x，其中34cos,sin55所以，y 的最大值为5，最小值为﹣5；（第4题）新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第9页共12页）（2）22sin()yab x，其中2222cos,sina b abab所以，y 的最大值为22ab ，最小值为22ab ；第三章复习参考题A 组（P146）1、1665.提示：()2、5665.提示：5sin()sin[()]sin[()()]443、1.4、（1）提示：把公式tantantan()1tan tan变形；（2）3；（3）2；（4）3.提示：利用（1）的恒等式.5、（1）原式=cos103sin104sin(3010)4sin10cos10sin 20；（2）原式=sin10sin103cos10sin 40(3)sin 40cos10cos10=2sin 40cos40sin801cos10cos10；（3）原式=3sin 203sin 20cos20tan70cos10(1)tan70cos10cos20cos20=sin 702sin10sin 20cos101cos70cos20cos70；（4）原式=3sin10cos103sin10sin50(1)sin 50cos10cos102cos50sin100sin501cos10cos106、（1）95；（2）2425；（3）223.提示：4422222sincos(sincos)2sincos；（4）1725.7、由已知可求得2cos cos 5，1sin sin5，于是sin sin 1tan tancos cos2.8、（1）左边=222cos 214cos232(cos 22cos 21)22242(cos21)2(2cos )8cos=右边（2）左边=2222sincos2sincos (sincos )2cos 2sin cos 2cos (cos sin )新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第10页共12页）（第12（2）题）sincos 11tan2cos 22=右边（3）左边=sin(2)2cos()sin sin[()]2cos()sinsin2cos (cos sin )sin()coscos()sinsinsinsin=右边（4）左边=222234cos 22cos 212(cos 22cos 21)34cos 22cos 212(cos 22cos 21)A A A A A A A A 2224222(1cos2)(2sin )tan (1cos2)(2cos )A A A A A =右边9、（1）1sin 21cos2sin 2cos222sin(2)24y x xx x x递减区间为5[,],88k k kZ （2）最大值为22，最小值为22.10、2222()(cos sin )(cos sin )2sin cos cos2sin 22cos(2)4f x x x x x x xx x x（1）最小正周期是；（2）由[0,]2x 得52[,]444x，所以当24x ，即38x时，()f x 的最小值为2.()f x 取最小值时x 的集合为3{}8.11、2()2sin 2sin cos 1cos2sin 22sin(2)14f x xx xx xx（1）最小正周期是，最大值为21；（2）()f x 在[,]22上的图象如右图：12、()3sin cos 2sin()6f x xxa xa .（1）由21a 得1a ；（2）2{22,}3x k x k kZ ≤≤.13、如图，设ABD ，则CAE ，2sin h AB，1cos h AC所以1212sin 2ABCh h S AB AC，(0)2当22，即4时，ABCS的最小值为12h h .第三章复习参考题B 组（P147）h 1h 2l 2l 1BDE AC（第13题）新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第11页共12页）1、解法一：由221sin cos 5sincos1，及0≤≤，可解得4sin5，13cos sin 55，所以24sin 225，7cos225，312sin(2)sin 2cos cos2sin 44450.解法二：由1sincos5得21(sincos )25，24sin 225，所以249cos 2625.又由1sin cos5，得2sin()410.因为[0,]，所以3[,]444.而当[,0]44时，sin()04≤；当3[,]444时，22sin()4210≥.所以(0,)44，即(,)42所以2(,)2，7cos225.312sin(2)4502、把1coscos 2两边分别平方得221coscos 2cos cos 4把1sinsin3两边分别平方得221sin sin2sin sin9把所得两式相加，得1322(cos cos sin sin )36，即1322cos()36，所以59cos()723、由43sin()sin 35可得3343sincos225，4sin()65.又02，所以366，于是3cos()65.所以334cos cos[()]66104、22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin cos (cos sin )sin 1tan cos sin 1cos xxx x xx x xx x xx xx 1tan sin2sin2tan()1tan 4x xx x x由177124x得5234x，又3cos()45x ，所以4sin()45x ，4tan()43x新课程标准数学必修4第三章课后习题解答（第12页共12页）所以2cos cos[()]cos()cossin()sin44444410xx x x ，72sin 10x，7sin 22sin cos 25xx x所以2sin 22sin 281tan 75xx x，5、把已知代入222sin cos(sincos )2sin cos1，得22(2sin )2sin1.变形得2(1cos2)(1cos2)1，2cos 2cos2，224cos 24cos 2本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含的三角函数.考虑sin cos ，sin cos 这两者又有什么关系？及得上解法.5、6两题上述解法称为消去法6、()3sin 21cos22sin(2)16f x x x m xm .由[0,]2x 得72[,]666x，于是有216m .解得3m.()2sin(2)4()6f x xxR 的最小值为242，此时x 的取值集合由322()62x k kZ ，求得为2()3xk kZ 7、设APx ，AQy ，BCP ，DCQ ，则tan 1x ，tan1y于是2()tan()()x y xy xy又APQ 的周长为2，即222x yxy，变形可得2()2xy x y 于是2()tan()1()[2()2]x y xy x y .又02，所以4，()24PCQ.8、（1）由221sin cos 5sincos 1，可得225sin5sin 120解得4sin 5或3sin 5（由(0,)，舍去）所以13cossin 55，于是4tan 3（2）根据所给条件，可求得仅由sin ,cos ,tan 表示的三角函数式的值，例如，sin()3，cos22，sincos 2tan，sincos 3sin2cos，等等.。
人教a版必修4学案：3.1.1两角差的余弦公式(含答案)
第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式自主学习知识梳理1.如图所示，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ，B ，则A 点坐标是________________，B 点坐标是______________，向量OA →＝______________，向量OB →＝______________.OA →·OB →＝______________.另一方面OA →·OB →＝|OA →| ·|OB →|·cos ∠AOB ＝____________.2．两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝________________________________.自主探究灵活拆分角是三角恒等变换的一种常用方法．例如α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α等．请你利用拆分角方法，结合公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β计算cos 15°的值．对点讲练知识点一 给角求值例1 求下列各式的值．(1)sin 195°＋cos 105°；(2)cos(α－45°)cos(15°＋α)＋cos(α＋45°)cos(105°＋α)．回顾归纳 (1)公式C (α－β)是三角恒等式，既可以正用，也可以逆用；(2)在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．变式训练1 求下列各式的值．(1)cos π12； (2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)sin(x －40°)．知识点二 给值求值例2 设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2.回顾归纳 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．例如：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等． 变式训练2 已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值．知识点三 给值求角型 例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值．回顾归纳 (1)本题属“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．(2)确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．如本题求β的余弦值比求β的正弦值要好．变式训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．1．公式C (α－β)是三角恒等式，既可正用，也可逆用，要注意公式的结构名称、特征、灵活变换角或名称．2．公式C (α－β)中的角α、β为任意角，既可以代表具体的角，也可以代表代数式．可以把α、β视为一个“代号”，将公式标记作：cos(▭－△)＝cos ▭cos △＋sin ▭sin △.课时作业一、选择题1．化简cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α得( )A ．cos αB ．cos βC ．cos(2α＋β)D ．sin(2α＋β)2．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝1312π，β＝54π B ．α＝1312π，β＝34π C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π4，β＝π63．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π64．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )A ．－55 B.55 C.11525D. 5 5．若sin α＋sin β＝1－32，cos α＋cos β＝12，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B ．－32 C.34 D ．1二、填空题6．cos 47°cos 77°－sin 47°cos 167°＝________.7．若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.三、解答题8．已知tan α＝43，cos(α＋β)＝－1114，α、β均为锐角，求cos β的值．9．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．第三章 三角恒等变换§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1 两角差的余弦公式答案知识梳理1．(cos α，sin α) (cos β，sin β) (cos α，sin α) (cos β，sin β) cos αcos β＋sin αsin β cos(α－β)2．cos αcos β＋sin αsin β自主探究解 方法一 15°＝60°－45°cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝12×22＋32×22＝2＋64. 方法二 15°＝45°－30°，cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24. 对点讲练例1 解 (1)原式＝cos 105°＋sin 195° ＝cos 105°＋sin(90°＋105°)＝cos 105°＋cos 105° ＝2cos 105°＝2cos(135°－30°)＝2×(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°)＝2×⎝⎛⎫－22×32＋22×12＝2－62. (2)原式＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(45°－α)·cos(15°＋90°＋α)＝cos(α－45°)cos(15°＋α)－sin(45°－α)sin(15°＋α)＝cos(α－45°)cos(15°＋α)＋sin(α－45°)sin(15°＋α)＝cos[(α－45°)－(15°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.变式训练1 解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π6＝cos π4cos π6＋sin π4sin π6＝2＋64. (2)cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(x －70°)·sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋cos(70°－x )·sin(x －40°) ＝cos(x ＋20°)cos(x －40°)＋sin(x ＋20°)·sin(x －40°) ＝cos[(x ＋20°)－(x －40°)]＝cos 60°＝12. 例2 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2·sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527. 变式训练2 解 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12， 所以0<α<π6. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， 所以－π2<α－β<－π6， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. 例3 解 ∵α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17， cos(α＋β)＝－1114， ∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 变式训练3 解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513， α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513. cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又∵α＋β∈⎝⎛⎭⎫32π，2π， α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π⇒2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2. ∴2β＝π，则β＝π2. 课时作业1．B 2.A3．C [sin(α－β)＝－255(－π2<α－β<0)． sin 2α＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010·55＋⎝⎛⎭⎫31010·⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.] 4．B [∵sin(π＋θ)＝－35， ∴sin θ＝35，θ是第二象限角， ∴cos θ＝－45. ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，∴cos φ＝－255， φ是第三象限角，∴sin φ＝－55. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.]5．B [由题意知⎩⎨⎧ sin α＋sin β＝1－32 ①cos α＋cos β＝12② ①2＋②2⇒cos(α－β)＝－32.] 6.327.83解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝2＋2cos(α－β)＝83. 8．解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝43， ∴sin α＝437，cos α＝17. ∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝5314. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12.9．解 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－45， ∴sin(α－β)＝35. ∵3π2<α＋β<2π， sin(α＋β)＝－35， ∴cos(α＋β)＝45. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝⎛⎭⎫－45＋⎝⎛⎭⎫－35×35＝－1. ∵π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π， ∴π2<2β<3π2，∴2β＝π，∴β＝π2.。
【新】版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修4
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点)[基础·初探]教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材P 132～P 133例5以上内容，完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式2.3.正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立.( )【解析】 (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误.(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.已知cos α＝13，则cos 2α等于________.【解析】 由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 －79[小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式化简求值.(1)cos 4 α2－sin 4 α2；(2)sin π24·cos π24·cos π12；(3)1－2sin 2750°；(4)tan 150°＋1－3tan 2150°2tan 150°.【精彩点拨】 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得.【自主解答】 (1)cos 4 α2－sin 4 α2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2 α2＋sin 2 α2＝cos α.(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π24cos π24·cos π12＝12sin π12·cos π12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π12·cos π12＝14sin π6＝18.∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.∴原式＝12.(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2150°2tan 150°＝1－tan 2150°2tan 150°＝1tan 2×150°＝1tan 300°＝1tan360°－60°＝－1tan 60°＝－33.∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan α＝tan 2α. (2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[再练一题] 1.求下列各式的值： (1)sin π12cos π12；(2)2tan 150°1－tan 2150°；(3)1sin 10°－3cos 10°； (4)cos 20°cos 40°cos 80°.【解】 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝－2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.利用二倍角公式解决求值问题(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A.2 B.－2 C.34D.－34(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α的值等于( ) A.79 B.13 C.－79D.－13(3)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值.【精彩点拨】 (1)可先求tan α，再求tan 2α；(2)可利用23π－2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α及π3－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β). 【自主解答】 (1)因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34. (2)因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.【答案】 (1)D (2)C(3)①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝378. ②因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型(1)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α).(2)sin α(或cos α)――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2α－1). (3)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系⎩⎨⎧cos α或sin α，tan α――→二倍角公式tan 2α.[再练一题] 2.(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sinα＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________.(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan 4α的值. 【导学号：70512043】【解析】 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43.【答案】 －45 35 －43(2)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 则已知条件可化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16，即12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝13，所以cos 2α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)，从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－－222＝427.利用二倍角公式证明求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ； (2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式； 证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化. 【自主解答】 (1)左边＝1＋A ＋2B2－1－A －2B2＝cos2A ＋2B ＋cos 2A －2B2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边， ∴等式成立.(2)法一：左边＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边. 法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边.证明问题的原则及一般步骤：观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[再练一题]3.证明：1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α＝12tan α＋12. 【导学号：00680072】 【证明】 左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α2cos 2α＋2sin αcos α＝α＋cos α22cos αα＋cos α＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边.所以1＋sin 2α2cos 2α＋sin 2α ＝12tan α＋12成立. [探究共研型]倍角公式的灵活运用探究1 请利用倍角公式化简：2＋2＋2cos α(2π<α<3π). 【提示】 ∵2π<α<3π， ∴π<α2<3π2，π2<α4<3π4，∴2＋2＋2cos α＝2＋4cos2α2＝2－2cos α2＝4sin2α4＝2sin α4. 探究2 如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23·sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？ 【提示】 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3×(2sin x cos x )＝cos 2x －3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ，知其最小正周期为π.求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间.【精彩点拨】 化简f x 的解析式→f x ＝A ωx ＋φ＋B→ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎪⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22，∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递增，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π24上单调递减.本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝Aωx ＋φ的形式，再利用函数图象解决问题.[再练一题]4.求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间.【解】 y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.1.sin 22°30′·cos 22°30′的值为( ) A.22 B.24C.－22D.12【解析】 原式＝12sin 45°＝24.【答案】 B2.已知sin x ＝14，则cos 2x 的值为( )A.78B.18C.12D.22【解析】 因为sin x ＝14，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.【答案】 A3.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12－sin π12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12的值为( ) 【导学号：00680073】 A.－32B.－12C.12D.32【解析】 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 【答案】 D4.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.【解析】 sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.小中高 精品 教案 试卷制作不易 推荐下载 11 【答案】 －565.求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5； (2)12－cos 2π8. 【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A必修4 (1)
类型二 逆用公式化简与求值
2 例2 (1)sin(70°－x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(155°＋x)＝ 2 .
解析 ∵(20°＋x)＋(70°－x)＝90°， (25°－x)＋(155°＋x)＝180°， ∴原式＝cos(20°＋x)cos(25°－x)－cos[90°－(20°＋x)]·sin[180°
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
＝
cos 20°
＝cosc2o0s°s2i0n°30°＝sin 30°＝12.
重点难点 个个击破
解析答案
(2)若 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0＜α＜π4＜β＜34π，求 cos(α＋β)的值. 解 ∵0<α<π4<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 两角和的余弦公式
思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β便可得到.
公式 简记符号
cos(α＋β)＝
cos αcos β－sin αsin β Cα＋β
使用条件
方法一
原式＝2cosπ3sin
人教A版数学必修四习题第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 分层训练 含答案
分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.已知cos x=,则cos 2x= ( D )A.-B.C.-D.2.已知α∈,tan=,那么sin 2α+cos 2α的值为( A )A.-B.C.-D.3.已知α为锐角,且7sin α=2cos 2α,则sin= ( A )A. B.C. D.4.sin 20°cos10°-cos 160°sin 10°=( D )A.-B.C.-D.5.(2018·贵阳高一检测)已知sin+sin α=,则sin的值是( D )A.-B.C.D.-6.如果tan θ=2,那么1+sin θcos θ= ( B )A. B. C. D.7.计算:cos cos=.8.的值是2.9.若θ∈(0,π),且sin 2θ=-,则cos θ-sin θ=-.10.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan40°=.11.已知tan α=,tanβ=,且α,β均为锐角,求α+2β的值.【解析】tan 2β==,tan(α+2β)==1.因为α,β均为锐角,且tan α=<1,tan β=<1,所以α,β∈,所以α+2β∈,所以α+2β=.12.已知cos α-sin α=,且π<α<,求的值.【解析】因为cos α-sin α=,所以1-2sin αcos α=,2sin αcos α=.又因为α∈,所以sin α+cos α=-=-,所以====-.B组提升练(建议用时20分钟)13.已知sin 2α=,则cos2= ( A )A. B. C. D.14.若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为( D )A. B.- C. D.-15.已知α是第二象限角,且sin(π-α)=,则sin 2α的值为-.16.已知0<α<,0<β<,tan(α+β)=2tan α,4tan=1-tan2,则α+β=.17.已知0<α<,sin α=.(1)求的值.(2)求tan的值.【解析】(1)由0<α<,sin α=,得cos α=,所以===20.(2)因为tan α==,所以tan===.18.已知cos=,x∈.(1)求sin x的值.(2)求sin的值.【解析】(1)因为x∈,所以x-∈.sin= =,sin x=sin=sin cos+cos sin =×+×=.(2)因为x∈,所以cos x=-=-=-,sin 2x=2sin xcos x=-,cos 2x=2cos2x-1=-.所以sin=sin 2xcos +cos 2xsin=-.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )A.-B.-C.D.20.已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈,且a⊥b.(1)求tan α的值.(2)求cos的值.【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,由于cos α≠0, 所以6tan2α+5tan α-4=0,解得tan α=-或tan α=.因为α∈,所以tan α<0,所以tan α=-.(2)因为α∈,所以∈.由tan α=-,求得tan =-或tan =2(舍去).所以sin =,cos =-,所以cos=cos cos -sin sin=-×-×=-.关闭Word文档返回原板块。
高中数学必修4(人教A版)第三章三角恒等变换3.1知识点总结含同步练习及答案
α 1 − cos α = 2 2 α 1 + cos α = cos2 2 2 α 1 − cos α = tan2 2 1 + cos α α sin α 1 − cos α tan = = 2 1 + cos α sin α sin 2 12 3 例题： 已知 ，α ∈ (π, π) ，求sin 2α ，cos 2α，tan 2α的值． cos α = − 13 2 12 3 解：因为cos α = − ，α ∈ (π, π) ．所以 13 2 − − − − − − − − − − 5 12 2 − − − − − − − − ． sin α = −√1 − cos2 α = −√1 − (− ) =− 13 13 5 12 120
)
C．
1 9
D．
√5 3
答案： B
因为 sin α =
2 1 ，所以 cos (π − 2α) = − cos 2α = − (1 − 2sin 2 α) = − ． 3 9 )
B．−
3. 化简 A．
sin 2 35∘ − sin 20∘
1 2 = (
答案： B
1 2
1 2
C．−1
D．1
4. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 ，延长 BA 至 E，使 AE = 1 ，连接 EC , ED，则 sin ∠CED =
（1）已知 sin α =
= (− cos 83∘ )(− cos 23∘ ) + sin 83∘ sin 23∘ = cos(83∘ − 23∘ ) 1 = cos 60∘ = . 2
sin(
π π π + α) = sin cos α + cos sin α 3 3 3 4 1 3 √3 = × + × 2 5 2 5 4√3 + 3 = 10 π π π − α) = sin cos α − cos cos α 3 3 3 4 1 3 √3 = × − × 2 5 2 5 3 − 4√3 = 10
高中数学人教版必修四学案：第3章 3.1 3.1.3 两角和与差的正切 Word版含答案
2.3.1.3 两角和与差的正切学习目标：1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．两角和的正切公式Tα＋β：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.2．两角差的正切公式Tα－β：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？[提示](1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．(2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan(α＋β).(3)tan α＋tan β＋tan αtan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β).[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．()(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．()(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)．()[解析](1)当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan⎝⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)且tan α·cos β≠1. (3)当α≠k π＋π2(k ∈Z)，β≠k π＋π2(k ∈Z)，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子． [答案] (1)√ (2)× (3)√2．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )【导学号：79402121】A ．－3B ．3C ．－13D.13 D [tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.]3．设tan α＝12，tan β＝13，且角α，β为锐角，则α＋β的值是________． [解析] ∵tan α＝12，tan β＝13∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1，又∵α，β均为锐角，即α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 ∴0<α＋β<π，则α＋β＝π4. [答案] π4[合 作 探 究·攻 重 难]利用公式化简求值求下列各式的值：(1)tan 15°；(2)1－3tan 75°3＋tan 75°；(3)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[思路探究] 把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的． [解] (1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1. (3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∴tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∴原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.1．求下列各式的值： (1)cos 75°－sin 75°cos 75°＋sin 75°；(2)tan 36°＋tan 84°－3tan 36°tan 84°.【导学号：79402122】[解] (1)原式＝1－tan 75°1＋tan 75°＝tan 45°－tan 75°1＋tan 45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－33. (2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－3tan 36°tan 84° ＝tan 120°＝－ 3.条件求值(角)问题如图3-1-2，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．图3-1-2[思路探究] 先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用T α＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值． [解] 由条件得cos α＝210，cos β＝255， ∵α，β为锐角，∴sin α＝7210，sin β＝55， ∴tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.2．(1)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)如图3-1-3所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．图3-1-3[解] (1)因为sin α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos α＝－45， 所以tan α＝sin αcos α＝35－45＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝17. (2)由题图可知tan α＝13，tan β＝12，且α，β均为锐角， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋121－13×12＝1.∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π4.公式的变形应用[探究问题]1．判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示] 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等． 2．在△ABC 中，tan(A ＋B )与tan C 有何关系？ [提示] 根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C .已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断△ABC 的形状．[思路探究] 化简条件→求出tan A ，tan C →求出角A ，C →判断形状. [解] 由tan A ＝tan[π－(B ＋C )] ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－ 3. 而0°＜A ＜180°， ∴A ＝120°.由tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan B tan A tan B －1＝tan A ＋tan B3tan A ＋3tan B＝33，而0°＜C ＜180°， ∴C ＝30°， ∴B ＝30°.∴△ABC 是顶角为120°的等腰三角形．[规律方法] 公式T α＋β的逆用及变形应用的解题策略 (1)“1”的代换：在T α＋β中，如果分子中出现“1”常利用 1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，如1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α；3tan α＋31－tan α＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 母题探究：(变条件)例题中把条件改为“tan B ＋tan C －3tan B tan C ＝－3，且33tan A ＋33tan B ＋1＝tan A tan B ”，结果如何？ [解] 由tan A ＝tan [π－(B ＋C )] ＝－tan (B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝3tan B tan C －3tan B tan C －1＝ 3.又0°<∠A <180°，所以∠A ＝60°. 由tan C ＝tan [π－(A ＋B )]＝tan A ＋tan Btan A tan B －1＝tan A ＋tan B33tan A ＋33tan B ＝ 3.又0°<∠C <180°，所以∠C ＝60°，所以∠B ＝60°. 所以△ABC 是等边三角形．[当 堂 达 标·固 双 基]1.tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝( )A ．－2 B. 2 C ．－ 3D. 3D [原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝ 3. ] 2．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A.15 B ．－15 C ．5D ．－5A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A.]3．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)等于( ) A.33 B ．1 C. 3D. 6B [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.]4．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.[解析] 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1. [答案] 15．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5的值.【导学号：79402123】[解] ∵α＋π5＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π51＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×14＝322.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.知识与技能以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式,理解推导过程,掌握其应用.2.过程与方法经历二倍角公式的探究过程,培养学生发现数学规律的思维方法,培养学生分析问题和解决问题的能力,并体会化归与转化的思想方法.3.情感、态度与价值观通过对二倍角公式的探究学习,培养学生的探索精神和应用意识,体会数学的科学价值和应用价值,不断提高自身的文化修养.重点:以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础,推导二倍角正弦、余弦和正切公式.难点:二倍角的理解及其灵活运用.1.+2的化简结果是()A.2cos 4-4sin 4B.2sin 4C.2sin 4-4cos 4D.-2sin 4解析:原式=+2+2=2|sin 4|+2|sin 4-cos 4|.∵sin 4<0,sin 4<cos 4,∴原式=-2sin 4+2(cos 4-sin 4)=2cos 4-4sin 4.答案:A2.函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是.解析:f(x)=sin-2sin2x=sin 2x-cos 2x-2=sin 2x+cos 2x-=sin,故该函数的最小周期为=π.答案:π3.如图,以Ox为始边作角α与β(0<β<α<π),它们的终边分别与单位圆相交于P,Q两点,已知点P的坐标为.(1)求的值;(2)若=0,求sin(α+β).解:(1)由三角函数定义得cos α=-,sin α=,∴原式===2cos2α=2×.(2)∵=0,∴α-β=.∴β=α-.∴sin β=sin=-cos α=,cos β=cos=sin α=.∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=.。
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例1、已知 求 的值．
例２、已知 求 的值．
解： ，由此得
解得 或
例3.①化简 ；②求 的值
3. 小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用
[教学反思]
课题: 二倍角的正弦、余弦和正切公式
［课时安排］
和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.
2．过程与方法: 启发式教学,引导学生思路
3．情感、态度与价值观: 经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法．
［教学重点］
以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式
［教学难点］
二倍角的理解及其灵活运用
［教学器材］
［教法学法］
［教学过程］
备注
一、复习准备：
大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
； ；
．
思考：当 = 这些公式会变成怎么样呢？
二、讲授新课：
1. 新课教学：
；
；
思考：把上述关于 的式子能否化为只含有 或 形式的式子吗？ ； ．
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 二倍角的正弦、
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式[提出问题]问题1：在公式C (α＋β)，S (α＋β)和T (α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？ 提示：成立．问题2：在上述公式中，若α＝β，你能得到什么结论？提示：cos 2α＝cos 2α－sin 2α，sin 2α＝2sin αcos α，tan 2α＝2tan α1－tan 2α. [导入新知]二倍角公式[化解疑难] 细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．[例1] (1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°；(4)1sin 10°－3cos 10°； (5)cos 20°cos 40°cos 80°.[解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3. (4)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(5)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.[类题通法] 化简求值的四个方向三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．[活学活用]化简：(1)11－tan θ－11＋tan θ；(2)2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.答案：(1)tan 2θ (2)1[例2] (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4＝5，2≤α<2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[解] (1)∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45.∴cos 2α＝sin2α＋π2＝2sin α＋π4cos α＋π4＝2×－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250. (2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴原方程可化为1－2cos 2α＋π4＝－cos α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3，即α＝－π4或α＝5π12.[类题通法]解决条件求值问题的方法条件求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．[活学活用]1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin 4α的值． 答案：－4292．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，求锐角α. 答案：π6[例3] A 为锐角． (1)求角A 的大小；(2)求函数f (x )＝cos 2x ＋4cos A sin x (x ∈R)的值域． [解] (1)由题意得a ·b ＝3sin A －cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.由A 为锐角得A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)由(1)知cos A ＝12，所以f (x )＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋32.因为x ∈R ，所以sin x ∈[－1,1]， 因此，当sin x ＝12时，f (x )有最大值32.当sin x ＝－1时，f (x )有最小值－3. 所以所求函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.[类题通法]二倍角公式的灵活运用(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. (2)公式的变形用：公式间有着密切的联系，这就要求思考时融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2， 1＋cos 2α＝2cos 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.[活学活用](福建高考节选)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x2＋10cos 2x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2.求函数g (x )的解析式．答案：(1)2π (2)g (x )＝10sin x －89.二倍角的配凑问题[典例] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，求sin 2x －2sin 2x 1－tan x 的值．[解] 原式＝2sin x cos x －2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x x －sin xcos x －sin xcos x＝2sin x cos x ＝sin 2x .或原式＝sin 2x －2sin x cos x ·sin xcos x1－tan x＝sin 2x －sin 2x tan x1－tan x＝sin 2x －tan x1－tan x＝sin 2x .∵2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2，∴sin 2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π2 ＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，∴cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1 ＝2×925－1＝－725，∴原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725＝725.[多维探究]1．解决上面典例要注意角“2x ”与“π4＋x ”的变换方法，即sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ；常见的此类变换，还有： (1)sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(2)cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ；(3)cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .2．倍角公式中的“倍角”是相对的．对于两个角的比值等于2的情况都成立，如8α是4α的二倍角，3α是3α2 的二倍角等．在解决此类问题时，有时二倍角关系不是很明显，需要结合条件和结论中的函数名和角的关系去发现．[活学活用]1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________.答案：－792．计算：cos 2π7·cos 4π7·cos 6π7＝________.答案：183．计算：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝________. 答案：1164．求值：＋3－cos 20°cos 80°1－cos 20°.答案： 2[随堂即时演练]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215° D ．sin 215°＋cos 215°答案：B2．化简1＋sin 100°－1－sin 100°＝( ) A ．－2cos 50° B ．2cos 50° C ．－2sin 50° D ．2sin 50°答案：B3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝________. 答案：－434．函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1的最小正周期为________． 答案：π5．已知α为第二象限角，且sin α＝154， 求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin 2α＋cos 2α＋1的值． 答案：－ 2[课时达标检测]一、选择题 1．若sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝35，则cos 2x 的值为( )A ．－725 B.1425C ．－1625 D.1925答案：A2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34 B.34C ．－43 D.43答案：B3．设－3π<α<－5π2，化简1－α－π2的结果是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2答案：C4．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22 B.33C. 2D. 3 答案：D 5．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74 D.34答案：D 二、填空题6．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 答案：1－ 27．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，则1cos 2α＋tan 2α＝________. 答案：78．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．答案：459三、解答题9．已知α为锐角，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2. (1)求tan α的值；(2)求sin 2αcos α－sin αcos 2α的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，所以1＋tan α1－tan α＝2,1＋tan α＝2－2tan α，所以tan α＝13.(2)sin 2αcos α－sin αcos 2α＝2sin αcos 2α－sin αcos 2α＝sin α2α－cos 2α＝sin αcos 2αcos 2α＝sin α.因为tan α＝13，所以cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为锐角，所以sin α＝1010， 所以sin 2αcos α－sin αcos 2α＝1010.10．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R)．若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值．解：∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35.又∵x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.∴cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310.11．设函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12；(2)若f (α)＝53，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求角α. 解：f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ＝53cos 2x ＋53sin 2x －2sin 2x －43sin 2x ＝53－2sin 2x －23(1－cos 2x ) ＝33－2sin 2x ＋23cos 2x ＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ×12－cos 2x ×32＝33－4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝33－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π3＝33－4sin π2＝33－4.(2)由f (α)＝53，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝－32， 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 得2α－π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π3， ∴2α－π3＝4π3，α＝5π6.。
数学新学案必修四：第三章 三角恒等变换3.1.2 Word版含答案
3．1.2 两角和与差的正弦学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质．知识点一 两角和与差的正弦思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ 答案 sin(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α＋β)＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β .思考2 怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？ 答案 用－β代换β，即可得sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 梳理 两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”． 知识点二 辅助角公式思考1 a sin x ＋b cos x 化简的步骤有哪些？ 答案 (1)提常数，提出a 2＋b 2得到 a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x . (2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝a a 2＋b 2，sin θ＝b a 2＋b 2⎝⎛ 或sin θ＝a a 2＋b 2，⎭⎪⎫cos θ＝b a 2＋b 2.一般θ为特殊角⎝⎛⎭⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2(sin θsin x ＋cos θcos x ))．(3)化简、逆用公式得a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋θ)(或a sin x＋b cos x＝a2＋b2cos(x－θ))．思考2 在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？ 答案 θ所在的象限由a 和b 的符号确定． 梳理 辅助角公式 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＝a 2＋b 2cos(x －θ)．其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，sin θ＝a a 2＋b2，cos θ＝ba 2＋b2，φ，θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．1．任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.( √ ) 提示 由两角和的正弦公式知结论正确．2．存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β.( × )提示 由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β. 3．存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.( √ ) 提示 如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sin αcos β－cos αsin β＝0. 4．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．( √ )5．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.( × ) 提示 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.类型一 给角求值例1 (1)化简求值：sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )·sin(x －18°)． 解 原式＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )－cos(x ＋27°)·sin(x －18°) ＝sin(x ＋27°)cos(18°－x )＋cos(x ＋27°)sin(18°－x ) ＝sin[(x ＋27°)＋(18°－x )]＝sin 45°＝22.(2)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°＝________.答案 12解析 原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30 °cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦，统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )． 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1. 类型二 给值求值(角)例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)． 解 ∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365.反思与感悟(1)给值(式)求值的策略：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．跟踪训练2 已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos(α－β)＝35，sin β＝－210，求α的值． 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴α－β∈(0，π)．∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，sin β＝－210， ∴cos β＝7210.∴sin α＝sin[(α－β)＋β] ＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β ＝45×7210＋35×⎝⎛⎭⎫－210＝22. 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＝π4. 类型三 辅助角公式例3 将下列各式写成A sin(ωx ＋φ)的形式． (1)3sin x －cos x ； (2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 解 (1)3sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x＝2⎝⎛⎭⎫cos π6sin x －sin π6cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6. (2)原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin π6sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋cos π6cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－x －π6 ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12. 反思与感悟 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)可以把含sin x ，cos x 的一次式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a ，b )决定，大小由tan φ＝ba确定．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数的性质都要用到该公式．跟踪训练3 已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期与值域； (2)求f (x )的单调递增区间． 解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴最小正周期T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]．(2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .∴函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ).1．计算2cosπ12＋6sin π12的值是( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D.22答案 B 解析2cosπ12＋6sin π12＝22⎝⎛⎭⎫12cos π12＋32sin π12 ＝22⎝⎛⎭⎫sin π6cos π12＋cos π6sin π12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫π6＋π12 ＝22sin π4＝2.2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12答案 D解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.3．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________． 答案 12解析 原式＝sin(43°－13°)＝sin 30°＝12.4．化简：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________. 答案 cos α解析 cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＋ sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2sin π6cos α＝cos α. 5．化简：sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －cos ⎝⎛⎭⎫π6＋3x ·sin ⎝⎛⎭⎫π4＋3x . 解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－3x cos ⎝⎛⎭⎫π3－3x －sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－3x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4－3x －⎝⎛⎭⎫π3－3x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π3＝sin π4cos π3－cos π4sin π3 ＝22×12－22×32＝2－64.1．公式的推导和记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系 C α－β―――→诱导公式S α＋β―――—→以－β代换βS α－β. (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C α－β，C α＋β可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S α－β，S α＋β可记为“异名相乘，符号同”．(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C α－β，C α＋β，S α－β，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意．2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，1＝2cos 60°，1＝2sin 30°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数.一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则sin α等于( ) A.210B.7210 C ．－210或7210D ．－7210答案 B解析 由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，得3π4<α＋π4<5π4， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35＋45 ＝7210，故选B. 2．sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20°等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32答案 C解析 sin 10°cos 20°＋sin 80°sin 20° ＝sin 10°cos 20°＋cos 10°sin 20° ＝sin(10°＋20°)＝sin 30°＝12，故选C.3．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A.255 B ．－255 C.55 D ．－55答案 A解析 sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B ) ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22(cos B ＋1－cos 2B )＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010＝255. 4．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β等于( )A ．0B ．0或2425 C.2425 D ．0或－2425答案 C解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35.∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝2425或0.∵π2<β<π，∴sin β＝2425. 5．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形答案 D解析 ∵A ＝180°－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B cos C . 又∵sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝sin(B －C )＝0.∴B ＝C ，故△ABC 为等腰三角形．6．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值为( ) A ．－235B.235 C ．－45 D.45答案 C解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， ∴cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝435， ∴32cos α＋32sin α＝435， 即12cos α＋32sin α＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 二、填空题7．sin 15°＋sin 75°的值是________． 答案 62解析 sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin 45°cos 30°＝62. 8．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3，则tan α＝________. 答案 19．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. 答案 π3解析 由题意，得sin αcos β－cos αsin β＝3314， ∴sin(α－β)＝3314.∵0＜β＜α＜π2，∴cos(α－β)＝ 1－27196 ＝1314. 又由cos α＝17，得sin α＝437. ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3. 10.sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°＝________. 答案 1解析 原式＝sin (45°－18°)＋cos 45°sin 18°cos (45°－18°)－sin 45°sin 18°＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°＝tan 45°＝1.11．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 因为f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，所以f (x )的最大值为1.三、解答题12．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β的值． 解 ∵α为锐角，sin α＝55，∴cos α＝255. ∵－π2<α－β<π2且sin(α－β)＝－1010， ∴cos(α－β)＝31010， ∴sin β＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cos α＋cos(β－α)sin α＝1010×255＋31010×55＝22. 又∵β为锐角，∴β＝π4. 13．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝45，β是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4的值． 解 ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝45， ∴sin β＝－45.又β是第三象限角， ∴cos β＝－1－sin 2β＝－35. ∴sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝sin βcos π4＋cos βsin π4＝⎝⎛⎭⎫－45×22＋⎝⎛⎭⎫－35×22＝－7210.四、探究与拓展14．已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．若AC →·BC →＝－1，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 答案 23解析 ∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝cos 2α－3cos α＋sin 2α－3sin α＝1－3(sin α＋cos α)＝1－32⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α ＝1－32sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝23. 15．已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ. 解 (1)由f ⎝⎛⎭⎫5π12＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋π3 ＝A sin 3π4＝2A 2＝322，可得A ＝3. (2)f (θ)－f (－θ)＝3，则3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3sin ⎝⎛⎭⎫π3－θ＝3， 即3⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＝ 3. 故sin θ＝33. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos θ＝63. 所以f ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＋π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝3cos θ＝ 6.。
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高中数学新人教A 版必修4学案附答案第2课时 两角和与差的正切公式学习目标：1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]两角和与差的正切公式1．思考辨析(1)存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立．( ) (2)对任意α，β∈R ，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β都成立．( )(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tanαtan β)．( )[解析] (1)√.当α＝0，β＝π3时，tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3，但一般情况下不成立．(2)×.两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )．(3)√.当α≠k π＋π2(k ∈Z )，β≠k π＋π2(k ∈Z )，α＋β≠k π＋π2(k ∈Z )时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子．[答案] (1)√ (2)× (3)√2．已知tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－3 [tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.]3．tan 75°－tan 15°1＋tan 75°tan 15°＝________. 3 [原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝ 3.][合 作 探 究·攻 重 难]两角和与差的正切公式的正用(1)已知α，β均为锐角，tan α＝12，tan β＝13，则α＋β＝________.(2)如图312，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝________.图312[思路探究] (1)先用公式T (α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.(2)先求∠CAD ，∠BAD 的正切值，再依据tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )求值． (1)π4 (2)17 [(1)∵tan α＝12，tan β＝13，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.∵α，β均为锐角， ∴α＋β∈(0，π)， ∴α＋β＝π4.(2)∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13，tan ∠CAD ＝CD AD ＝12，tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD ) ＝tan ∠CAD －tan ∠BAD1＋tan ∠CAD tan ∠BAD＝12－131＋12×13＝17.] [规律方法] 1.公式T (α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反． 2．利用公式T (α＋β)求角的步骤： (1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． (3)根据角的范围及三角函数值确定角． [跟踪训练]1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知tan α－5π4＝15，则tan α＝________.(2)已知角α，β均为锐角，且cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝________.(1)32 (2)3 [(1)因为tan α－5π4＝15， 所以tan α＝tan α－5π4＋5π4＝tan α－5π4＋tan 5π41－tan α－5π4tan 5π4＝15＋11－15×1＝32.(2)因为cos α＝35，α为锐角，所以sin α＝45，tan α＝43，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan αtan α－β＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3.]两角和与差的正切公式的逆用(1)1－tan 15°＝________.(2)1－3tan 75°3＋tan 75°＝________. 【导学号：84352318】[思路探究] 注意特殊角的正切值和公式T (α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值． (1)3 (2)－1 [(1)原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°) ＝tan 60°＝ 3.(2)原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.] [规律方法] 公式Tα±β的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换. 如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等.要特别注意tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.[跟踪训练]2．已知α、β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则( ) A ．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B ．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C ．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D ．3tan(α＋β)＝2tan(α－β) A [∵sin 2α＝2sin 2β，∴sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]， ∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)， ∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)， 两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得 tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]两角和与差的正切公式的变形运用1．两角和与差的正切公式揭示了tan αtan β与哪些式子的关系？提示：揭示了tan αtan β与tan α＋tan β，tan αtan β与tan α－tan β之间的关系．2．若tan α、tan β是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的两个根，则如何用a 、b 、c 表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－b a 1－c a＝－ba －c.(1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________.(2)已知△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＝tan A tanB －1，试判断△ABC 的形状.【导学号：84352319】[思路探究] (1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．(2)先由关于角A ，B 的等式求出tan(A ＋B )得角A ＋B ，然后求角C 并代入关于角B ，C 的等式求角B ，最后求角A ，判断△ABC 的形状．(1)1 [∵tan 67°－tan 22°＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°) ＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°) ＝1＋tan 67°tan 22°，∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22° ＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.] (2)解：∵3tan A ＋3tan B ＝tan A tan B －1，∴3(tan A ＋tan B )＝tan A tan B －1， ∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，∴tan(A ＋B )＝－33. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝5π6， ∴C ＝π6.∵tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， tan C ＝33，∴tan B ＋33＋tan B ＝3，tan B ＝33， ∴B ＝π6，∴A ＝2π3，∴△ABC 为等腰钝角三角形．母题探究：1.将例3(1)中的角同时增加1°结果又如何？ [解] ∵tan 45°＝tan(68°－23°)＝tan 68°－tan 23°1＋tan 68°tan 23°，∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°， 即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1.2．能否为例3(1)和探究1归纳出一个一般结论？若能，试证明．[解] 一般结论：若α－β＝45°(α，β≠k 180°＋90°，k ∈Z )，则tan α－tan β－tan αtan β＝1.证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β， 即tan α－tan β－tan αtan β＝1.[规律方法] 1.整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan α＋β；(3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β.提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．[当 堂 达 标·固 双 基]1．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α＝( ) A ．17 B ．－17C ．1D ．－1A [tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝－2＋31－－2×3＝17.]2．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( )【导学号：84352320】A ．2B ．1C ．12D ．4C [∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝4，且tan α＋tan β＝2，∴21－tan αtan β＝4，解得tan αtan β＝12.]3．求值：tan 11π12＝________.－2＋3 [tan 11π12＝－tan π12＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6 ＝－tan π4－tan π61＋tan π4tan π6＝－1－331＋33＝－2＋ 3.]4．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝3，则tan α的值为________． 6－5313 [tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝tan π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α1＋tan π3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝3－31＋3×3＝3－333－1332－1＝12－10326＝6－5313.]5．已知cos α＝55，cos β＝35，其中α，β都是锐角，求tan(α＋β)的值. 【导学号：84352321】[解] 因为α，β都是锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝255，sin β＝1－cos 2β＝45， tan α＝sin αcos α＝2，tan β＝sin βcos β＝43，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.。