中考复习之专题四 方程与方程组-完美编辑版
中考数学专题复习4分式、分式方程及一元二次方程(解析版)
分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。
中考数学知识点方程与方程组考前复习
中考数学知识点方程与方程组考前复习聪明出于勤奋，天才在于积累。
我们要振作精神，下苦功学习。
小编准备了中考数学知识点方程与方程组，希望能帮助到大家。
一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1)一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数(即抛物线)了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与_轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式(-b/2a,4ac-b2/4a)，这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1)配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根_1={-b+[b2-4ac)]}/2a，_2={-b-[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：(1)配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为_1+_2=-b/a,_1_2=c/a。
【新】九年级数学 人教版 中考专题复习-方程和方程组篇(知识点讲解+练习题)
中考复习-方程和方程组篇内容讲解【学生总结】等式的性质：①性质1：等式两边都加（减） 所得结果仍是等式，即：若a=b,那么a±c=②性质2：等式两边都乘以或除以 （除数不为0）所得结果仍是等式即：若a=b,那么a c= ，若a=b （c≠o ）那么ac=二、方程的有关概念：1、含有未知数的 叫做方程2、使方程左右两边相等的 的值，叫做方程的组3、 叫做解方程4、一个方程两边都是关于未知数的 ，这样的方程叫做整式方程【解一元一次方程】一元一次方程：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成 的形式。
2、解一元一次方程的一般步骤： 1。
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4。
5。
概念考点：（1）若关于x 的方程22(2)10()a a x x ---+=是一元一次方程，求a 的值.（2）若关于x 的方程5413524n x -+=是一元一次方程，求n 的值.解方程：（1） 3131=+-x x （2）x x x -=--+22132（3）53210232213+--=-+x x x （4）32116110412xx x --=+++*带小数方程4x 1.55x 0.8 1.2x0.50.20.1－－－－＝【二元一次方程组】二元一次方程组及解法：1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a.b.c 是常数，a≠0,b≠0)；2、由几个含有相同未知数的 合在一起，叫做二元一次方程组；3、 二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解；4、 解二元一次方程组的基本思路是： ；5、 二元一次方程组的解法：① 消元法 ② 消元法例1 解方程组： 213211x y x y +=⎧⎨-=⎩①②．对应训练（1）解方程组： 2()134123()2(2)3x y x yx y x y -+⎧-=-⎪⎨⎪+--=⎩．3(2)3814x y x y -=⎧⎨-=⎩23(3)253s t t s =⎧⎪+⎨=⎪⎩356(4)415x y x y -=⎧⎨+=-⎩43(1)4(4)(5)(6)35115(1)3(5)7525x x y x y y x y x +-⎧-=-=⎧⎪⎨⎨-=+⎩⎪=+⎩152343(1)4(4)(4)(5)(6)3532115(1)3(5)7525x x yx y x y x y y x y x +-⎧+=-=-=⎧⎧⎪⎨⎨⎨-=-=+⎩⎩⎪=+⎩*含参方程组.已知关于x、y的方程组52111823128x y ax y a+=+⎧⎨-=-⎩①②的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取值范围．【一元一次不等式组】掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．(1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算．(2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．例题：用不等式表示：①a为非负数，a为正数，a不是正数解：②(2)8与y的2倍的和是正数；(3)x与5的和不小于0；(5)x的4倍大于x的3倍与7的差；【学生总结：】基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个 或同一个 不等号的方向 ，即：若a <b,则a+c b+c(或a-c b-c)基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个 不等号的方向 ，即：若a <b ，c>0则a c b c （或acb c ）基本性质3、不等式两边都乘以（或除以）同一个 不等号的方向 ，即：若a <b ，c <0则a c b c （或acb c ）例题：①解不等式 31（1－2x ）>2)12(3 x②一本有300页的书，计划10天内读完，前五天因各种原因只读完100页.问从第六天起，每天至少读多少页？ 解：（1） 在数轴上表示解集：“大右小左”“” （2） 写出下图所表示的不等式的解集3、不等式组：求解集口诀：同大取大，同小取小，交叉中间，分开两边例题：①不等式组⎩⎨⎧-<<,3,2x x ⎩⎨⎧->>,3,2x x ⎩⎨⎧-<>,3,2x x ⎩⎨⎧-><,3,2x x 数轴表示解集考点二：在数轴上表示不等式（组）的解 例2 把不等式组1215x x >⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．对应训练 2．不等式组2(5)65212x x x+≥⎧⎨->+⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．考点三：不等式（组）的解法例3 不等式2x-1＞3的解集是 ． 例4 解不等式组23 120x x +>⎧⎨-≥⎩，并把解集在数轴上表示出来．对应训练3．不等式2x-4＜0的解集是．4．解不等式组2 11 00x xx+>⎧⎨-<⎩①②，并把它的解集在数轴上表示出来．考点四：不等式（组）的特殊解例5 不等式组21312xx-<⎧⎪⎨-≤⎪⎩的整数解有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4 对应训练5．求不等式组21025xx x+>⎧⎨>-⎩的正整数解．考点五：确定不等式（组）中字母的取值范围例6 若不等式组122x ax x+≥⎧⎨->-⎩有解，则a的取值范围是．对应训练6．已知x=3是关于x的不等式3x-22ax+>23x的解，求a的取值范围．课堂总结：针对练习【分式方程】1．解分式方程1x －1－2＝31－x，去分母得( )A ．1－2(x －1)＝－3B ．1－2(x －1)＝3C ．1－2x －2＝－3D ．1－2x ＋2＝32. 分式方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）的解为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．无解D ．x ＝－23. 分式方程2x ＋13－x ＝32的解是___________ __．4. 分式方程4x －3－1x＝0的根是____________．5. 关于x 的分式方程m x 2－4－1x ＋2＝0无解，则m ＝_____________.解方程：=0．6．①解方程：2﹣=1；②利用①的结果，先化简代数式（1+）÷，再求值．。
中考数学专题复习四--分式方程和不等式
中考数学专题复习四--分式方程和不等式(组)(总6页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除中考数学专题复习（四）分式方程和不等式（组）【知识梳理】1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 . 5．易错知识辨析：（1）去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2）解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3）如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.6．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.7．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或ca cb ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 8．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.9．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集.10．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是x a <，即“小小取小”； x a x b >⎧⎨>⎩的解集是x b >，即“大大取大”；x a x b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，即“大小小大中间找”； x a x b <⎧⎨>⎩的解集是空集，即“大大小小取不了”.11．易错知识辨析：（1）不等式的解集用数轴来表示时，注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义.（2）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）； 当0a <时，b x a <（或b x a>）. 12．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解往往有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.13．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x ）；③找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；④列：根据这个不等关系列出需要的代数式，从而列出不等式（组）；⑤解：解所列出的不等式（组），写出未知数的值或范围；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位）.14．易错知识辨析：判断不等式是否成立，关键是分析不等号的变化，其根据是不等式的性质.【真题回顾】一、选择题1．(2010年山东菏泽全真模拟1)下列运算中，错误．．的是（ ） A.(0)a ac c b bc =≠ B.1a b a b--=-+2(4)4-= D.x y y x x y y x --=++ 2．(2010年江西省统一考试样卷)若分式21x x +有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ＞－1C ．x ≠0D ．x ≠－13.（2009年孝感）关于x 的方程211x a x +=- 的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a≠－24.（2011.鸡西）分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 产生增根，则m 的值是（ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和-2 D. 35.（2009年安徽）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（ ）A ．8 B.7 C ．6 D ．5二、填空题1.（2010年西湖区月考）若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于 2.(2010年江苏省泰州市中考模拟题)使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是 . 3．（2009年滨州）解方程2223321x x x x --=-时，若设21x y x =-，则方程可化为 ． 4．（2011襄阳）已知关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解是正数，则m 的取值范围为 5．（2010新疆乌鲁木齐）在数轴上，点A 、B 对应的数分别为2 ，15+-x x ，且A 、B 两点关于原点对称，则x 的值为 。
方程与方程组知识点总结及习题
方程与方程组知识点总结及习题一、方程的基本概念方程是含有未知数的等式。
方程必须满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。
方程中的未知数通常用字母表示，如 x、y、z 等。
根据方程中未知数的个数和未知数的最高次数，可以将方程分为不同的类型。
二、一元一次方程1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程，叫做一元一次方程。
一般形式为：ax ＋ b ＝ 0（a ≠ 0，a、b 为常数）2、解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数。
（2）去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。
（4）合并同类项：把方程化成 ax ＝ b（a ≠ 0）的形式。
（5）系数化为 1：在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 x ＝ b/a 。
三、二元一次方程1、定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。
一般形式为：ax ＋ by ＝ c（a、b ≠ 0，a、b、c 为常数）2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
3、二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
4、二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
（2）加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解。
四、一元二次方程1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
一般形式为：ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0，a、b、c 为常数）2、一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：形如（x ＋ m）²＝ n（n ≥ 0）的方程，可以直接开平方求解。
中考复习之方程和方程组
方程和方程组命题热点1、 会从定义上判断方程或方程组的类型，并能根据定义的妇重性解方程或方程组和研究分式方程的增根情况2、 掌握解方程组和方程的解法，明确解方程和解方程组的实质不“消元降次”、化分式为整式、化无理式为有理式3、 一元二次方程根的判别式的应用4、 列方程或方程组解决社会关注的热点问题的应用题解题方法技巧1. 解方程和方程组的方法解方程和方程组主要采用加减消元法、代入消元法、因式分解法、公式法、去分母法、换元法等；对于特殊形式的方程、方程组可采用对称思想、整体思想、非负数性质、定义法、拆项法等特殊方法求解。
例、解方程组：⎩⎨⎧=-=+4943y x y x解：给943=+y x 乘以4得：4x —4y=16，将4x —4y=16与4=-y x 相加得7x=35即x=5,把x=5代入943=+y x 得y=1，所以原方程组的解为：x=5,y=12. 换元法 关键是观察分析出能够换元的整式或分式，有时需要对方程或方程组进行变形整理（如因式分解、配方、添拆项等）才能观察出如何换元 例、解方程：021)1(22=----x x x x解：方法1：去分母得02)1()1(22=----x x x x化简得0122=-+x x 解得21,121=-=x x 经检验，21,121=-=x x 是原方程的解方法2：令x x 1-＝y ，则原方程可化为022=--y y 解得1,221-==y y 当y=2时x x 1-＝2得x=--1，当y=--1时x x 1-＝--1得x=21经检验，21,121=-=x x 是原方程的解3. 列方程或方程组解应用题列方程、方程组解应用题的关键是如何找到能够表示题目全部含义的相等关系。
常见的相等关系有两种：每一咱是通过题目的关键词语表示的相等关系，如“多”、“少”、“增加”、”减少”等；另一种是题目中没有明显给出而题意中又包含着的隐含相等关系，隐含相等关系需要结合生活常识和自然科学知识才能得到，常用的方法有：译式法、图示法、表格法等。
中考复习之专题四_方程与方程组-完美编辑版(精)
一. 教学目标:1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义,2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。
并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。
3. 列一元一次方程二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。
二. 教学重点与难点1. 一元二次方程、分式方程的解法及其运用2. 列方程解决生活实际中的问题三.知识要点知识点1、方程(组的解(整数解等概念。
使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解知识点2、一元一次方程及二元一次方程组的定义只含有一个未知数并且未知数的次数是1系数不为0的方程叫做一元一次方程几个二元一次方程组成一组,叫做二元一次方程组知识点3、一元一次方程、二元一次方程组的解法一元一次方程的解法是:去分母,去括号,移项,合并同类,系数化为1 二元一次方程组的解法是:通过加减,代入消元转化为一元一次方程知识点4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系当为二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时,可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式,所以解二元一次方程可以转化为:当y =0时,求x 的值。
从图象上看,这相当于已知纵坐标,确定横坐标的值。
知识点5、一元二次方程的定义ax 2+bx +c =0(a ≠0,a ,b,c 均为常数,尤其a 不为零要切记。
知识点6、一元二次方程的几种解法如因式分解法、公式法等,弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。
知识点7、分式方程的解法(1去分母,把分式方程转化为整式方程 (2解整式方程 (3检验知识点8、解分式方程要验根的原因解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式. 因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.知识点9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析中考复习之专题四方程与方程组掌握生活中问题的数学建模的方法,多做一些综合性的训练。
初三数学复习考前知识回顾 方程与方程组
方程与方程组1． 用换元法解方程215122x x x x +-+=-+，设21x y x +=-，则原方程化为关于y 的整式方程为(A)2y 2＋5y －2=0(B) 2y 2－5y －2=0 (C) 2y 2－5y ＋2=0(D) 2y 2＋5y ＋2=02． 用换元法解方程（x －x 1）2－（3x －x 3）=－2时，如果设x －x1=y ，那么原方程可化为（ ） A 、y 2+3y+2=0 B 、y 2－3y －2=0 C 、y 2+3y －2=0 D 、y 2－3y+2=0 3． 如果关于x 的方程2x 2－7x+m=0的两个实数根互为倒数，那么m 的值为（ ）A 、1/2B 、－1/2C 、2D 、－24． 用换元法把方程71)1(61)1(222=+++++x x x x 化为762=+y y ，那么下列换元方法正确的是 （ ）A 、y x =+11 B 、y x =+112 C 、y x x =++112 D 、y x x =++112 5． 一元二次方程042=-x 的根为（ ）（A ）2=x（B ）2-=x （C ）2,221-==x x （D ）2,221-==x x6． 不解方程，判断方程04322=-+x x 的根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根（C ）只有一个实数根（D ）没有实数根7． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+-=-1012y x y x 的解是（ ）A 、⎩⎨⎧==37x y B 、 ⎪⎩⎪⎨⎧==311319x y C 、⎩⎨⎧==28x y D 、⎩⎨⎧==73x y8． 一元二次方程2x 2-4x+1=0根的情况是 （ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、没有实数根D 、无法确定 9． 方程x （x+1）（x －2）=0 的根是（ ）A 、－1，2B 、1，－2C 、0，－1，2D 、0，1，－2 10． 不等式组⎩⎨⎧><34x x 的解集是（ ）A 、x>3 B 、x<4 C 、3<x<4 D 、无解11． 某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收元（不足1千米按1千米计），某人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（ ） A 、11 B 、8 C 、7 D 、5 12．13． 用换元法解方程（1-x x ）2－6（1-x x ）+5=0，则1-x x =y ，代入原方程后，变形正确的是（ ）A 、y 2+5=0 B 、y 2－6y=0 C 、（y+1）（y+5）=0 D 、（y －1）（y －5）=0 14． 某种商品的进价为800元，出售时的标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至少可打（ ）6折（B ）7折（C ）8折（D ）9折15． 哈尔滨市政府为了申办2010年冬奥委，决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ） A 、19% B 、20% C 、21% D 、22%16． 一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折（即按标准的80%）优惠卖出，结果每作服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本是（ ） A 、120元 B 、125元 C 、135元 D 、140元17． 不等式组⎩⎨⎧>+≤-0201x x 的解集是（ ）A. –2＜x ＜１ B –2＜x≤１ C 、ｘ≤１ D.x ＞–2 18． 不等式组⎩⎨⎧〈-〉+42532x x 的解集是（ ）（A ）x>1 （B ）x<6 （C ）1<x<6 （D ）x<1或x>619． 如果方程x 2+2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 （ ）A 、m<1B 、m>1C 、m<-1D 、m>-120． 若a －b <0，则下列各式中一定正确的是（ ）A 、a >b B 、ab >0 C 、ba<0 D 、－a >－b 21． 关于x 的方程x 2－kx+k －2=0的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、无实数根D 、不能确定22． 如果⎩⎨⎧==b y ax 是方程组⎩⎨⎧=+=+8272y x y x 的解，那么a －b 的值等于（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、223． 已知x 、y 是实数，43+x +y 2－6y+9=0，若axy －3x=y ，则实数a 的值是（ ）A 、1/4B 、－1/4C 、7/4D 、－7/424． 不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧〉-+〈+02821042x x 的解集是 ；这个不等式组的整数解是 ；若︱x －2︱＋3-y =0，则xy=————————；25． 已知x 、y 满足方程组⎩⎨⎧-==-2,3xy y x ，则x+y= .26． 请写出一个两实根之和为1的一元二次方程 . 27． 已知点（1，3）是双曲线xmy =与抛物线m x k x y +++=)1(2的交点，则k 的值等于____________；28． 如图11半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM 的长为x ，则y 关于x 的函数关系式是_________.(要求写出自变量的取值范围).29． 如果a ，b 是方程012=-+x x 的两个根，那么代数式3223b ab b a a +++的值是 ；30． 用换元法解方程061512=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x 时，设y x x =-1，则原方程化为关于y 的方程是 . 31． 已知方程x 2－5x －x x 52-=2.用换元法解此方程时,如果设y=x x 52-,那么得到关于y 的方程是——————————————.（用一元二次方程的形式表示） 32． 若关于x 的方程2x 2－2kx+3k －4=0有两个相等的实数根，则1682+-k k +k -2的值等于 ；方程x x =-+55的解是 ；33． 小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小明最多能买＿＿＿＿＿＿支钢笔。
初三数学方程组复习资料
初三数学方程组复习资料初三数学方程组复习资料数学是一门需要不断练习和巩固的学科，而方程组是数学中的一个重要概念。
初三学生在学习方程组时，常常会遇到一些难题和困惑。
为了帮助同学们更好地复习和理解方程组，下面将提供一些复习资料，希望对大家有所帮助。
一、方程组的基本概念和解法1. 方程组的定义方程组是由多个方程组成的一组等式。
通常用字母表示未知数，通过求解方程组，可以找到满足所有方程的未知数的值。
2. 方程组的分类根据方程组的未知数个数和方程个数的不同，可以将方程组分为三类：一元一次方程组、二元一次方程组和三元一次方程组。
3. 一元一次方程组的解法一元一次方程组是最简单的方程组形式，可以通过消元法或代入法来求解。
消元法是通过变换方程组的形式，使得其中一个未知数的系数为1，然后代入另一个方程中消去该未知数。
代入法则是将一个方程的解代入另一个方程中，求解另一个未知数的值。
4. 二元一次方程组的解法二元一次方程组是两个未知数和两个方程构成的方程组。
可以通过消元法、代入法或加减法来求解。
消元法是通过变换方程组的形式，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减消去该未知数。
代入法则是将一个方程的解代入另一个方程中，求解另一个未知数的值。
加减法则是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后求解另一个未知数的值。
5. 三元一次方程组的解法三元一次方程组是三个未知数和三个方程构成的方程组。
可以通过消元法、代入法或加减法来求解。
消元法是通过变换方程组的形式，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减消去该未知数。
代入法则是将一个方程的解代入另一个方程中，求解另一个未知数的值。
加减法则是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后求解另一个未知数的值。
二、方程组的应用1. 几何问题中的方程组方程组在几何问题中有广泛的应用。
例如，通过两条直线的交点可以构成一个方程组，求解该方程组可以得到两条直线的交点坐标。
又如，在平面上给定一个点和一条直线，通过求解方程组可以判断该点是否在直线上。
数学中考复习专题四方程与方程组
一. 教学目标：1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义，2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。
并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。
3. 列一元一次方程 二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。
二. 教学重点与难点1. 一元二次方程、分式方程的解法及其运用2. 列方程解决生活实际中的问题 三.知识要点知识点1、方程（组）的解（整数解）等概念。
使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 知识点2、一元一次方程及二元一次方程组的定义只含有一个未知数并且未知数的次数是1系数不为0的方程叫做一元一次方程 几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组 知识点3、一元一次方程、二元一次方程组的解法一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为1 二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程 知识点4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系 当为二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x 的值。
从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。
知识点5、一元二次方程的定义ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），a ，b ，c 均为常数，尤其a 不为零要切记。
知识点6、一元二次方程的几种解法如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。
知识点7、分式方程的解法（1）去分母，把分式方程转化为整式方程 （2）解整式方程 （3）检验知识点8、解分式方程要验根的原因解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式. 因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.知识点9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。
2023年九年级数学中考综合复习之方程与方程组
中考综合复习之方程与方程组一、判断正误1.方程 | x |＝5的解一定是方程 x －5＝0的解…………………………（ ）2.任何一个有理数都是方程 3x －7＝5x －（2x ＋7 ） 的解………………（ ）二、填空1．x ＝ 时，代数式532-x 与代数式332-x 的差为0； 2．x ＝3是方程4x －3（a －x ）＝6x －7（a －x ）的解,那么a ＝ ；3． 已知二元一次方程1213-+y x ＝0，用含y 的代数式表示x ，则x ＝_____； 当y ＝－2时，x ＝______．4．在（1）⎩⎨⎧-==23y x ，（2）⎪⎩⎪⎨⎧-==354y x ，（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2741y x 三组数值中，___是方程组 x －3y ＝9的解，______是方程2 x ＋y ＝4的解，______是方程组⎩⎨⎧=+=-4293y x y x 的解．5．已知（a －2）x －by |a |－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____．6．若|2a ＋3b －7|与（2a ＋5b －1）2互为相反数，则a ＝______，b ＝______．7．方程x 2－2＝0的解是x ＝ ；8．若分式2652-+-x x x 的值是零，则x ＝ ； 9．方程4x 2＋（k ＋1）x ＋1＝0的一个根是2，那么k ＝ ，另一根是 ；10．方程 kx 2＋1 ＝ x －x 2 无实数根，则k ；三、选择题1．若一元二次方程 2x （kx －4）－x 2＋6 ＝ 0 无实数根，则k 的最小整数值是……（ ）（A ）－1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．若c 为实数，方程x 2－3x ＋c ＝0的一个根的相反数是方程x 2＋3x －3＝0的一个根，那么方程x 2 －3x ＋c ＝0的根是…………………………………………………………（ ）（A ）1，2 （B ）－1，－2 （C ）0，3 （D ）0，－33．若关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+k y x k y x 73的解满足方程2x ＋3y ＝6，那么k 的值为（ ） （A ）－23 （B ）23 （C ）－32 （D ）－23 4．若⎩⎨⎧-==20y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==311y x 都是关于x 、y 的方程|a |x ＋by ＝6的解，则a ＋b 的值为（ ）（A ）4 （B ）－10 （C ）4或－10 （D ）－4或105．4x 2－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是……………………………………（ ）（A ）（2x ＋5）（2x －5） （B ）（4x ＋5）（4x －5）（C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x6．某班学生分组搞活动，若每组7人，则余下4人；若每组8人，则有一组少3人．设全班有学生x 人，分成y 个小组，则可得方程组……………………………（ ）（A ）⎩⎨⎧=-=+y x y x 3847 （B ）⎩⎨⎧=++=x y x y 3847 （C ）⎩⎨⎧+=-=3847x y x y （D ）⎩⎨⎧+=+=3847x y x y 四、解下列方程1．x 21－10754=； 2. 3－53175=x ；3．03.04.05233.12.188.1=-----x x x ； 4.03232=+-x x5．⎩⎨⎧-=-=-．557832y x y x 6．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+．15765545.04332y x y x五、列方程解应用题1．课外数学小组的女同学原来占全组人数的31，后来又有4个女同学加入，就占全组人数的21，问课外数学小组原来有多少个同学．2．用两架掘土机掘土,第一架掘土机比第二架掘土机每小时多掘土40 m 3, 第一架工作16小时,第二架工作24小时,共掘土8640 m 3,问每架掘土机每小时可以掘土多少 m 3?3．某人买了4 000元融资券，一种是一年期，年利率为9%，另一种是两年期，年利率是12%，分别在一年和两年到期时取出，共得利息780元．两种融资券各买了多少？4．某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？5．某校去年一年级男生比女生多80人，今年女生增加20%，男生减少25%，结果女生又比男生多30人，求去年一年级男生、女生各多少人．。
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一. 教学目标：1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义，2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。
并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。
3. 列一元一次方程 二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。
二. 教学重点与难点1. 一元二次方程、分式方程的解法及其运用2. 列方程解决生活实际中的问题 三.知识要点知识点1、方程（组）的解（整数解）等概念。
使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解知识点2、一元一次方程及二元一次方程组的定义只含有一个未知数并且未知数的次数是1系数不为0的方程叫做一元一次方程 几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组 知识点3、一元一次方程、二元一次方程组的解法一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为1 二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程知识点4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系 当为二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y ＝0时，求x 的值。
从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。
知识点5、一元二次方程的定义ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），a ，b ，c 均为常数，尤其a 不为零要切记。
知识点6、一元二次方程的几种解法如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。
知识点7、分式方程的解法（1）去分母，把分式方程转化为整式方程 （2）解整式方程（3）检验知识点8、解分式方程要验根的原因教学准备中考复习之专题四 方程与方程组因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.知识点9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。
例1. 选择题（1）中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于（ D ）个正方体的重量。
A. 2B. 3C. 4D. 5（2）如图给出的是2007年某月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（D ）A. 69B. 54C. 27D. 40（3）小明的父亲到银行存入20000元人民币，存期一年，年利率为1.98%，到期后应交纳所获利息的20%的利息税，那么小明的父亲存款到期交利息税后共得款（ D ）A. 20158.4元B. 20198元C. 20396元D. 20316.8元（4）我国股市交易中每买卖一次需交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利为（ C ） A. 2000元 B. 1925元 C. 1835元 D. 1910元（5）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为240元，设这件商品的成本价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ B ）A. x ·40%×80%＝240B. x （1＋40%）×80%＝240C. 240×40%×80%＝xD. x ·40%＝240×80%（6）在3×3方格上做填字游戏，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都等于S ，又填在图中三格中的数字如图，若要能填成，则（ B ）A. S ＝24B. S ＝30C. S ＝39 （7）已知方程组42ax by ax by -=⎧⎨+=⎩的解为21x y =⎧⎨=⎩，则2a －3b 的值为（ B ）A. 4B. 6C. －6D. －4例题精讲（8）如图，平行四边形A B C D 的周长是48，对角线A C 与B D 相交于点O ，A O D △的周长比A O B △的周长多6，若设A D x =，AB y =，则可用列方程组的方法求A D ，A B 的长，这个方程组可以是：（ A）Ｂ（第8题图）A. 2()486x y x y +=⎧⎨-=⎩B. 2()486x y y x +=⎧⎨-=⎩ C. 486x y x y +=⎧⎨-=⎩D. 486x y y x +=⎧⎨-=⎩（9）如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，•则根据图像可得，关于,y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的二元一次方程组的解是（ C ）A . 44.22x x B y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 44..22x x C D y y =-=⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩（10）不解方程判别方程2x 2＋3x －4＝0的根的情况是（ B ） A. 有两个相等实数根； B. 有两个不相等的实数根； C. 只有一个实数根； D. 没有实数根（11）在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ B ） A. x 2＋130x －1400＝0 B. x 2＋65x －350＝0C. x 2－130x －1400＝0D. x 2－65x －350＝0（12）两圆的半径分别是方程x 2－3x ＋2＝0的两根。
且圆心距d ＝1，则两圆的位置关系是（ B ） A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交 （13）已知x 是实数，且2)3(3322=+-+x x xx ，那么x 2＋3x 的值为（ B ）A. 1B. －3或1C. 3D. －1或3（14）分式2231x x x +--的值为0，则x 的取值为（ A ）。
A. x ＝－3B. x ＝3C. x ＝－3或x ＝1D. x ＝3或x ＝－1（15）若关于x 的分式方程462222--=-++xx x m x 有增根，则m 的值为（ C ） A. －2B. 0C. 1D. 2例2.填空题（1）我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费，如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为12立方米。
（2）把一张面值50元的人民币换成10元、5元的人民币，共有4种换法．（3）若一个等腰三角形三边长均满足方程x 2－6x ＋8＝0，则此三角形的周长为10．（4）当k 的值是0（填出一个值即可）时，方程xx x k x x --=-221只有一个实数根。
例3. 方程（m ＋1）x |m|＋1＋（m －3）x －1＝0．（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时，方程是一元一次方程．解：（1）m ＝1，x 1222x =（2）m ＝0或m ＝－1例4. 某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a ，从第2排开始，每一排都比前一排增加b 个座位。
⑴请你在下表的空格里填写一个适当的代数式：解：（1）b a 3+ （2）依题意得⎩⎨⎧+=+=+)4(214183b a b a b a解得⎩⎨⎧==212b a∴12＋20×2＝52答：第21排有52个座位.例5. 某印刷厂1•月份印刷了书籍60•万册，•第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？解：设2、3月份平均每月的增长率为x ，即60＋60（1＋x ）＋60（1＋x ）2＝200 设增长率为x 列方程60＋60（1＋x ）＋60（1＋x ）2＝200例6. 探究：（1）方程x 2＋2x ＋1＝0的根为x 1＝____，x 2＝_____，则x 1＋x 1＝______，x 1·x 2＝_____； （2）方程x 2－3x －1＝0的根为x 1＝____，x 2＝_____，则x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝_____； （3）方程3x 2＋4x －7＝0的根为x 1＝_____，x 2＝_____，则x 1＋x 2＝______，x 1·x 2＝_____． 由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题已知2＋x 2－4x ＋C ＝0的一个根求方程的另一个根及C 的值． 解：（1）x 1＝－1，x 2＝－1，x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1（2）x 1＝222x =x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝－1（3）x 1＝1，x 2＝－73，x 1＋x 2＝－43，x 1·x 2＝－73猜想：ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1与x 2，则x 1＋x 2＝－b a，x 1·x 2＝c a，证明略应用：另一根为2C ＝1例7. •某体育彩票经销商计划用45000•元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A ，B ，C 三种不同价格的彩费，进价分别是A •种彩票每张1.5元，B 种彩票每张2元，C 种彩票每张2.5元． （1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案；（2）若销售A 型彩票一张获手续费0.2元，B 型彩票一张获手续费0.3元，C 型彩票张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？（3）若经销商准备用45000元同时购进A ，B ，C 三种彩票20扎，请你设计进票方案． 解：可设经销商从体彩中心购进A 种彩票x 张，•B 种彩票y 张，C 种彩票z 张， 则可分以下三种情况考虑：（1）只购进A 种彩票和B 种彩票，依题意可列方程组100020,1.5245000x y x y +=⨯⎧⎨+=⎩解得x<0，所以无解．只购进A 种彩票和C 种彩票，依题意可列方程组100020,5000,1.5 2.54500015000x z x x z z +=⨯=⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得， 只购进B 种彩票和C 种彩票，依题可列方程组100020,10000,2 2.5450010000y z y y z z +=⨯=⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解得，综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行，即A 种彩票5扎，C 种彩票15扎或B 种彩票与C 种彩票各10扎．（2）若购进A 种彩票5扎，C 种彩票15扎，销售完后获手续费为0.2×5000＋0.5×15000＝8500（元）；若购进B 种彩票与C 种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3×10000＋0.5×10000＝8000（元），∴为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为A 种彩票5扎，C 种彩票15扎．（3）若经销商准备用45000元同时购进A ，B ，C 三种彩票共20扎．设购进A 种彩票x 扎，B 种彩票y 扎，C 种彩票z 扎，则20,210,1.5100021000 2.510004500010x y z y x x y z z x ++==-+⎧⎧∴⎨⎨⨯+⨯+⨯==+⎩⎩∴1≤x<5，又∵x 为正整数，共有4种进票方案，即A 种1扎，B 种8扎，C 种11扎，或A 种2扎，B 种6扎，C 种12扎，或A 种3扎，B 种4扎，C 种13扎，或A 种4扎，B 种2扎，C 种14扎．一. 填空题：1. 方程 2x ＋y ＝5 的所有正整数解为＿＿＿＿2. 若 ⎩⎨⎧==2y 1x 是方程3ax －2y ＝2 的解，则 a ＝＿＿＿＿3. 当 a ＿＿＿＿时，方程 （a －1） x 2＋x －2＝0 是一元二次方程。