浙教版九年级下1.1锐角三角函数(1)同步练习1

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1.1锐角三角函数-20春浙教版九年级数学下册同步测试

1.1__锐角三角函数__第1课时锐角三角函数的概念[学生用书B52]1．[2019·婺城区模拟]在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，AB ＝13，则sin B 的值为( D )A.135B.1213C.512D.513【解析】 ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，∴sin B ＝AC AB ＝513. 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是( A ) A.34 B.43C.35D.45 【解析】 Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝52－32＝4，再根据正切函数的定义，得tan A ＝BC AC ＝34.3．如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12，则下列三角函数表示正确的是( A )图1－1－1A ．sin A ＝1213B ．cos A ＝1213C ．tan A ＝512 D ．tan B ＝125【解析】先根据勾股定理求得AC ＝AB 2－BC 2＝132－122＝5，然后根据锐角三角函数的定义计算求得sin A ＝BC AB ＝1213，cos A ＝AC AB ＝513，tan A ＝BC AC ＝125，tan B ＝AC BC ＝512，∴只有A 中三角函数表示正确．故选A.4．把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值( A ) A ．不变B ．缩小为原来的13 C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定【解析】 ∵△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，所得的三角形与原三角形相似，∴锐角A 的大小没改变，∴锐角A 的正弦函数值也不变．故选A. 5．在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足 BC ∶CA ∶AB ＝5∶12∶13，则cos B ＝( C )A.512B.125C.513D.12136．如图1－1－2，已知一商场自动扶梯的长l 为10 m ，该自动扶梯到达的高度h 为6 m ，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ的值等于( A )图1－1－2A.34B.43C.35D.457．[2019·宜昌]如图1－1－3，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin ∠BAC 的值为( D )图1－1－3A.43B.34C.35D.45第7题答图【解析】如答图，过C 作CD ⊥AB 于D ，则∠ADC ＝90°，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝32＋42＝5.∴sin ∠BAC ＝CD AC ＝45.故选D.8．[2019·甘肃]在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝33，则cos B ＝__12__．【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝33，设a ＝3x ，b ＝3x ，则c ＝23x ，∴cos B ＝a c ＝12.9．[2019·杭州]在Rt △ABC 中，若2AB ＝AC ，则cos C ＝2或5．【解析】若∠B ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，∴BC ＝（2x ）2－x 2＝3x ，∴cos C＝BC AC ＝3x 2x ＝32；若∠A ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，∴BC ＝（2x ）2＋x 2＝5x ，∴cos C ＝AC BC ＝2x 5x＝255.综上所述，cos C 的值为32或255.10．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AB ＝5，求sin A ，cos A ，tan A . 解：由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝25－4＝21，∴sin A ＝BC AB ＝25，cos A ＝AC AB ＝215，tan A ＝BC AC ＝221＝22121. 11．若∠A 为锐角，且sin A ＝35，求cos A ，tan A . 解：设在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 为已知锐角． ∵sin A ＝a c ＝35，设a ＝3k ，c ＝5k ， ∴b ＝c 2－a 2＝（5k ）2－（3k ）2＝4k ，∴cos A ＝b c ＝4k 5k ＝45，tan A ＝a b ＝3k 4k ＝34.12．如图1－1－4，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C ) A ．sin B ＝ADAB B ．sin B ＝ACBC C ．sin B ＝ADACD ．sin B ＝CDAC图1－1－413．[2018·日照]如图1－1－5，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠BED 的正切值等于( D )图1－1－5A.255B.55 C ．2D.12【解析】在Rt △ABC 中，AB ＝2，BC ＝1， ∴tan ∠BAC ＝BC AB ＝12. ∵∠BED ＝∠BAD ， ∴tan ∠BED ＝12.故选D.14．[2019·安顺]如图1－1－6，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上的一点，则tan ∠OBC ＝( D )图1－1－6A.13B ．22 C.223D.24【解析】如答图，作直径CD ，在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2，则OD ＝42，tan ∠CDO ＝OC OD ＝24，由圆周角定理得，∠OBC ＝∠CDO ，则tan ∠OBC ＝24，故选D.第14题答图15．[2019·潍坊]如图1－1－7，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD .过点D 作DE ⊥AB 于点E .连结AC 交DE 于点F .若sin ∠CAB ＝35，DF ＝5，则BC 的长为( C )图1－1－7A ．8B ．10C ．12D ．16【解析】如答图，连结BD .∵AD ＝CD ，第15题答图∴∠DAC ＝∠ACD .∵AB 为直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°.∴∠DAB ＋∠ABD ＝90°. ∵DE ⊥AB ，∴∠DAB ＋∠ADE ＝90°. ∴∠ADE ＝∠ABD .∵∠ABD ＝∠ACD ，∴∠DAC ＝∠ADE .∴AF ＝DF ＝5.在Rt △AEF 中，sin ∠CAB ＝EF AF ＝35，∴EF ＝3，AE ＝4.∴DE ＝3＋5＝8.由DE 2＝AE ·EB ，得BE ＝DE 2AE ＝824＝16.∴AB ＝16＋4＝20.在Rt △ABC 中，sin ∠CAB ＝BC AB ＝35，∴BC ＝12.16．如图1－1－8，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D .若AB ＝12，CD ＝6，tan A ＝32，求sin B ＋cos B 的值．图1－1－8解：在Rt△ACD中，∵CD＝6，tan A＝3 2，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8.在Rt△BCD中，BC＝82＋62＝10，∴sin B＝CDBC＝35，cos B＝BDBC＝45，∴sin B＋cos B＝7 5.17．如图1－1－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sin A＝35，求DE的长．图1－1－9【解析】在Rt△ABC中，先求出AB，AC，继而得出AD，再由△ADE∽△ACB，利用对应边成比例可求出DE.解：∵BC ＝6，sin A ＝35，∠C ＝90°， ∴AB ＝10，∴AC ＝102－62＝8.∵D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝5. ∵∠ADE ＝∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ，∴DE CB ＝AD AC ，即DE 6＝58，∴DE ＝154.18．[2018·贵阳]如图1－1－10①，在Rt △ABC 中，以下是小亮探究a sin A 与bsin B 之间关系的方法：∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ，∴c ＝a sin A ，c ＝bsin B . ∴a sin A ＝b sin B .根据你掌握的三角函数知识，在图②的锐角三角形ABC 中，探究a sin A ，b sin B ，csin C 之间的关系，并写出探究过程．图1－1－10解：如答图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，在Rt△ABD和Rt△BCD中，BD＝c sin A，BD＝a sin C，∴asin A＝csin C，同理，bsin B＝csin C，∴asin A＝bsin B＝csin C.第18题答图19．如图1－1－11，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠A＝45°.(1)用尺规作图：在CA的延长线上截取AD＝AB，连结BD(不写作法，保留作图痕迹)；图1－1－11(2)求∠BDC的度数；(3)定义：在直角三角形中，一个锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记做cot A，即cot A＝∠A的邻边∠A的对边.根据定义，利用图形求cot22.5°的值．解：(1)如答图所示；第19题答图(2)∵AD＝AB，∴∠ADB＝∠ABD，∵∠BAC＝∠ADB＋∠ABD，∴∠ADB＝12∠BAC＝12×45°＝22.5°，即∠BDC的度数为22.5°；(3)设AC＝x.∵∠C＝90°，∠BAC＝45°，∴△ACB为等腰直角三角形，∴BC＝AC＝x，AB＝2AC＝2x，∴AD＝AB＝2x，∴CD＝2x＋x＝(2＋1)x，在Rt△BCD中，cot∠BDC＝DCBC＝()2＋1xx＝2＋1，即cot22.5°＝2＋1.第2课时特殊角的三角函数值[学生用书A54]1．[2019·天津]2sin60°的值等于( C )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2【解析】常用特殊角三角函数值sin60°＝32，再乘以2，可得答案C. 2．计算：cos 245°＋sin 245°＝( B )A.12 B ．1 C.14 D.22 3．[2018·黄冈改编]下列运算结果正确的是( D ) A ．sin60°＝12 B ．tan30°＝3 C ．tan45°＝22D ．cos45°＝224．如图1－1－12，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( D )图1－1－12A.433 B ．4 C ．8 3D ．43【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，∴cos B＝BCAB＝cos30°＝3 2，∴BC＝8×32＝4 3.故选D.5．若在△ABC中，sin A＝cos B＝22，则下列最确切的结论是(C)A．△ABC是直角三角形B．△ABC是等腰三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是锐角三角形【解析】∵sin A＝cos B＝22，∴∠A＝∠B＝45°，∴∠C＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C.6．[2019·怀化]已知∠α为锐角，且sinα＝12，则∠α＝(A)A．30° B．45° C．60° D．90°7．计算：(1)sin60°·cos30°－12＝__14__；(2)cos245°＋tan30°·sin60°＝__1__；(3)sin30°·cos30°－tan30°＝__－12结果保留根号)．【解析】(1)原式＝32×32－12＝34－12＝14；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋33×32＝12＋12＝1；(3)原式＝12×32－33＝34－33＝－312.8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A 2＝__12__．【解析】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3， ∴sin A ＝32，∴∠A ＝60°，∴sin A 2＝12.9．如图1－1－13，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为1__m ．(结果保留根号)图1－1－13 10．求下列各式的值．(1)12cos30°＋22cos45°＋sin60°cos60°；(2)2sin30°＋tan60°－cos45°＋tan30°.解：(1)原式＝12×32＋22×22＋32×12＝1＋32；(2)原式＝2×12＋3－22＋33＝433.11．式子2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2的值是(B)A．23－2 B．0C．2 3 D．212．[2018·葫芦岛]如图1－1－14，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB两侧的点，若∠D＝30°，则tan∠ABC的值为(C)图1－1－14A.12B.32C. 3D.33【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∵∠A ＝∠D ＝30°，∴∠ABC ＝60°， ∵tan60°＝3，∴tan ∠ABC 的值为 3.故选C.13．[2018·青海]在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是__90°__．【解析】 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋(cos B －12)2＝0，∴sin A ＝12，cos B ＝12， ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°， ∴∠C ＝180°－30°－60°＝90°. 14．计算：cos 260°＋sin 260°＝__1__； 3tan30°－tan45°2cos30°＋1＝．【解析】原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1；原式＝3×33－12×32＋1＝（3－1）22＝2－ 3.15．已知α是锐角，且tan(90°－α)＝ 3，则α＝__30°__．【解析】 ∵tan(90°－α)＝3，∴90°－α＝60°，α＝30°. 16．计算：(1)[2019·绍兴]4sin60°＋(π－2)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－12；(2)[2019·衢州]|－3|＋(π－3)0－ 4 ＋tan45°； (3)[2019·金华]|－3|－2tan60°＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1.解：(1)原式＝4×32＋1－4－23＝－3； (2)原式＝3＋1－2＋1＝3； (3)原式＝3－23＋23＋3＝6.17．如图1－1－15是引拉线固定电线杆的示意图，已知CD ⊥AB ，CD ＝3 3 m ，∠A ＝∠B ＝60°，求拉线AC 的长．图1－1－15解：在Rt △ACD 中，sin A ＝CDAC ，则AC ＝CD sin A ＝3332＝6(m)．答：拉线AC 的长是6 m.18．如图1－1－16，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，AB ＝8，∠B ＝30°，∠CAD ＝45°，求BC 的长．图1－1－16解：∵AD ⊥BC 于点D ， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°.∵在Rt △ABD 中，AB ＝8，∠B ＝30°， ∴AD ＝4，BD ＝4 3.∵在Rt △ADC 中，∠CAD ＝45°，∠ADC ＝90°， ∴DC ＝AD ＝4，∴BC ＝BD ＋DC ＝43＋4.19．小聪想在一个矩形材料中剪出如图1－1－17中阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮他计算出BE ，CD 的长度．(精确到个位，3≈1.7)图1－1－17解：由∠ABC＝120°，可得∠EBC＝60°.在Rt△BCE中，CE＝51，∠EBC＝60°，tan∠EBC＝CE BE，∴BE＝CEtan∠EBC＝51tan60°≈30(cm)．在Rt△ADF中，由∠DAF＝45°，得∠ADF＝∠DAF＝45°，∴DF＝AF＝51(cm)．∵FC＝AE＝AB＋BE＝64(cm)，∴CD＝FC－DF＝13(cm)，∴BE的长度约为30 cm，CD的长度约为13 cm.20．如图1－1－18，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝1 8.(1)求BC的长；(2)利用此图形求tan15°的值．(精确到0.1，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)图1－1－18第20题答图解：(1)如答图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝12AC＝2，CD＝AC·cos30°＝4×32＝23，在Rt△ABD中，∵tan B＝ADBD＝2 BD＝1 8，∴BD＝16，∴BC＝BD－CD＝16－23；(2)如答图，在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连结AM.∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，∴tan15°＝tan∠AMD＝ADMD＝24＋23＝2－3≈0.3.。

最新浙教版九年级数学下册单元同步测试题及答案全套

最新浙教版九年级数学下册单元同步测试题及答案全套九年级下册第1章解直角三角形 1．1 锐角三角函数第1课时锐角三角函数的概念基础题知识点1 三角函数的定义1．(温州中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cosA 的值是(D)A.34B.43C.35D.452．(湖州中考)如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tanA ＝12，则BC 的长是(A)A ．2B ．8C ．2 5D ．4 53．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°.若AC ＝2BC ，则sinC 的值是(C)A.12 B ．2 C.32D. 3 4．把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么∠A ，∠A ′的余弦值的关系为(A)A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定5．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为(A)A.13B.12C.32D ．36．(乐山中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是(C)A ．sinB ＝ADABB ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝ADACD ．sinB ＝CDAC7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为斜边AB 的中点，BC ＝4，CD ＝2.5，则sinA ＝45．8．如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上，另一边经过点P(2，23)，则sin α2cos α＝12，tan α知识点2 互余两角的三角函数之间的关系9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别表示Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边．求：(1)sinA ，cosB ； (2)tanA ，tanB ；(3)观察(1)(2)中的计算结果，你能发现sinA 与cosB ，tanA 与tanB 之间有什么关系吗？ (4)应用：①在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝23，则cosB ＝23；②在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝2，则tanB ＝12．解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴sinA ＝BC AB ＝ac ，cosB ＝BC AB ＝a c.(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴tanA ＝BC AC ＝ab ，tanB ＝AC BC ＝b a.(3)由(1)知sinA ＝cosB ；由(2)知tanA ·tanB ＝1.中档题10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝23，则tanB 等于(C)A.35B.53C.25 5D.5211．(攀枝花中考)如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD ＝(D)A.12B.34C.45D.3512．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是(B)A.23B.223C.423D.52313．(菏泽中考)如图，△ABC 与△A ′B ′C ′都是等腰三角形，且AB ＝AC ＝5，A ′B ′＝A ′C ′＝3，若∠B ＋∠B ′＝90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为(A)A ．25∶9B ．5∶3C.5∶ 3D ．55∶3 314．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则cosB ′1015．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 上，AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，求sinB 的值．解：∵AD ＝BC ＝5，cos ∠ADC ＝35，∴CD ＝3.在Rt △ACD 中， ∵AD ＝5，CD ＝3， ∴AC ＝AD 2－CD 2＝4. 在Rt △ACB 中，∵AC ＝4，BC ＝5，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝41. ∴sinB ＝AC AB ＝441＝44141.16．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，求tan ∠CBE 的值．解：根据题意，得BE ＝AE.设CE ＝x ，则BE ＝AE ＝8－x.在Rt △BCE 中，根据勾股定理得BE 2＝BC 2＋CE 2，即(8－x)2＝62＋x 2，解得x ＝74，∴tan ∠CBE ＝CE CB ＝724.综合题17．(金华中考)图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A ，B ，C 在同一直线上，且∠ACD ＝90°.图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD 变形为四边形ABC ′D ′，最后折叠形成一条线段BD ″.(1)小床这样设计应用的数学原理是三角形的稳定性和四边形的不稳定性； (2)若AB ∶BC ＝1∶4，则tan ∠CAD 的值为815．第2课时特殊角的三角函数值基础题知识点1 特殊角的三角函数值 1.12cos30°的值等于(B) A.12 B.34C ．1D ．3 2．点A(cos60°，－tan30°)关于原点对称的点A 1的坐标是(A)A ．(－12，33)B ．(－32，33) C ．(－12，－33)D ．(－12，32)3．在△ABC 中，若sinA ＝cosB ＝22，则下列结论最确切的是(C) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形 4．若∠A ＋∠B ＝90°，且cosB ＝32，则tanA 的值为(D)A.33 B.22C ．1 D. 3 5．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝80°．6．(绍兴中考)如图，已知点A(0，1)，B(0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于60°． 7．计算：(1)2cos45°－tan60°；解：原式＝2－ 3.(2)2sin 260°＋cos30°－33tan30°·tan45°. 解：原式＝7＋336.8．如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A 处，测得∠CBD ＝60°，牵引底端B 离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度．(结果精确到个位，3≈1.73)解：在Rt △CBD 中，CD ＝CB ·sin60°＝20×32≈17.3(米)， ∴CE ＝CD ＋DE ＝17.3＋1.5≈19(米)．知识点2 同角三角函数之间的关系9．先完成下列填空，再按要求回答下列问题：(1)①sin30°＝12，cos302sin 230°＋cos 230°＝1；②sin452cos452sin 245°＋cos 245°＝1；③sin602cos60°＝12，sin 260°＋cos 260°＝1；观察上述等式，猜想：sin 2A ＋cos 2A ＝1．(2)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别表示Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边．完成下列求sinA ，cosA 及sin 2A ＋cos 2A 的值的过程．解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴sinA ＝（a ）c ，cosA ＝（b ）c.在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2＋b 2＝c 2． ∴sin 2A ＋cos 2A ＝（a 2）c 2＋（b 2）c 2＝（c 2）c2＝1； (3)请根据(2)的条件，表示出tanA 的值，分析出(2)中sinA ，cosA 与tanA 三者之间满足什么关系； (4)已知α为一个锐角，sin α＝45.求cos α，tan α.解：(3)tanA ＝a b ；tanA ＝sinAcosA.(4)∵sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＝45，α为锐角，∴cos α＝35，tan α＝sin αcos α＝43.中档题10．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin ∠AOB 的值等于(C)A.12B.22C.32D. 311．在△ABC 中，若|sinA －12|＋(33－tanB)2＝0，则∠C 的度数为(D)A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°12．已知∠A 为锐角，且tanA ＝23，那么下列判断正确的是(B)A ．0＜∠A ＜30°B ．30°＜∠A ＜45°C ．45°＜∠A ＜60°D ．60°＜∠A ＜90°13．(衢州中考)如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD ＝60°，则花坛对角线AC 的长等于(A)A ．63米B ．6米C ．33米D ．3米14．如图，将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是492cm 2.15．若规定sin(α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β，则sin15416．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32，计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13)－1的值．解：由sin(α＋15°)＝32，得α＝45°. ∴原式＝22－4×22－1＋1＋3＝3. 17．(丽水中考)数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上，若BC ＝2，求AF 的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°，∴AC ＝BCtanA＝2 3.∴EF ＝AC ＝2 3.∵∠E ＝45°，∴FC ＝EF ·sinE ＝ 6. ∴AF ＝AC －FC ＝23－ 6.18．如图，等边△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，求AGAF的值．解：在△CAD 与△ABE 中，AC ＝AB ，∠CAD ＝∠ABE ＝60°，AD ＝BE ， ∴△CAD ≌△ABE.∴∠ACD ＝∠BAE.∵∠BAE ＋∠CAE ＝60°， ∴∠ACD ＋∠CAE ＝60°.∴∠AFG ＝∠ACD ＋∠CAE ＝60°. 在直角△AFG 中，sin ∠AFG ＝AGAF ，∴AG AF ＝sin60°＝32. 综合题19．如图，两张宽度都为3 cm 的纸条交叉重叠在一起，其中∠α＝60°，求重叠(阴影)部分的面积．解：过点A 作AE ⊥BC ，AF ⊥CD. ∵AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠ABC ＝∠ADF.∵纸条的宽度都是3， ∴AE ＝AF ＝3.在△ABE 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠ADF ，∠AEB ＝∠AFD ，AE ＝AF ，∴△ABE ≌△ADF.∴AB ＝AD.∴四边形ABCD 是菱形．在Rt △ADF 中，∠ADF ＝60°，sin ∠ADF ＝AF AD ，∴AD ＝2 3 cm.∴CD ＝AD ＝2 3 cm.∴重叠(阴影)部分的面积为CD ·AF ＝23×3＝63(cm 2).1.2 锐角三角函数的计算第1课时利用计算器求锐角三角函数值基础题知识点1 用计算器求已知锐角的三角函数值1．(烟台中考)如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算2cos55°，按键顺序正确的是(C)A.2×cos 55＝B. 2cos 550＝C. 2cos 55＝D.255cos ＝2．cos55°和sin36°的大小关系是(C)A ．cos55°＞sin36°B ．cos55°＝sin36°C ．cos55°＜sin36°D ．不能确定 3．下面四个数中，最大的是(C)A.5－ 3 B ．sin88° C ．tan46°D.5－124．用科学计算器计算，下面结果不正确的是(D)A ．175＝1 419 857B.19＝4.358 898 944C ．sin35°＝0.573 576 436D ．2sin30°12′<sin60°24′ 5．计算(结果保留小数点后四位)．(1)sin23°5′＋cos66°45′；解：sin23°5′＋cos66°45′≈0.786 8.(2)sin 27.8°－tan15°8′.解：sin 27.8°－tan15°8′≈－0.252 0.6．(1)用计算器求：sin20°≈0.342_0；sin40°≈0.642_8；sin60°≈0.866_0；sin80°≈0.984_8．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接：sin20°<sin40°<sin60°<sin80°； (2)用计算器求：cos15°≈0.965_9；cos35°≈0.819_2；cos55°≈0.573_6；cos75°≈0.258_8．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接：cos15°>cos35°>cos55°>cos75°； (3)用计算器求：tan10°≈0.176_3，tan30°≈0.577_4，tan50°≈1.191_8，tan80°≈5.671_3．(结果保留四位小数)由此，可用不等号连接tan10°<tan30°<tan50°<tan80°.观察你能得到：锐角的正弦值随着角度的增大而增大，锐角的余弦值随着角度的增大而减小，锐角的正切值随着角度的增大而增大．知识点2 用计算器解决与三角函数有关的实际问题 7．如图，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝8.035，∠A ＝27°5′3″，求a ，b(精确到0.000 1)．解：∵sinA ＝sin27°5′3″≈0.455 3， ∴sinA ＝ac≈0.455 3.∴a ≈8.035×0.455 3≈3.658 3. ∵cosA ＝cos27°5′3″≈0.890 3， ∴cosA ＝bc≈0.890 3，∴b ≈8.035×0.890 3≈7.153 6.8．(呼伦贝尔中考)如图，厂房屋顶人字架的跨度BC ＝10米，D 为BC 的中点，上弦AB ＝AC ，∠B ＝36°，求中柱AD 和上弦AB 的长．(结果保留小数点后一位)解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，BC ＝10米， ∴DC ＝BD ＝5米，在Rt △ADC 中，∠B ＝36°，∴tan36°＝ADBD ，即AD ＝BD ·tan36°≈3.6(米)．cos36°＝BD AB ，即AB ＝5cos36°≈6.2(米)．答：中柱AD 的长为3.6米，上弦AB 的长为6.2米．中档题9．(威海中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝26°，BC ＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是(D)A.5÷tan 26＝B.5÷sin 26＝C.5×cos 26＝D.5×tan 26＝10．如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上，定点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在刻度尺上的读数恰为2 cm.若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为2.7 cm.(结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)11．(1)用计算器计算并验证sin25°＋sin46°与sin71°之间的大小关系；(2)若α、β、α＋β都是锐角，猜想sin α＋sin β与sin(α＋β)的大小关系； (3)请借助如图的图形证明上述猜想．解：(1)sin25°＋sin46°>sin71°.sin25°＋sin46°＝0.423＋0.719＝1.142， sin71°＝0.946，∴sin25°＋sin46°>sin71°. (2)sin α＋sin β>sin(α＋β)． (3)证明：∵sin α＋sin β＝AB OA ＋BC OB ，sin(α＋β)＝AE OA， ∵OB<OA ，∴AB OA ＋BC OB >AB OA ＋BC OA ＝AB ＋BC OA. ∵AB ＋BC>AE ，∴AB OA ＋BC OB >AE OA.∴sin α＋sin β>sin(α＋β)．12．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.26米，他乘电梯会有碰头危险吗？(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)解：小敏乘此电梯不会有碰头危险，姚明乘此电梯会有碰头危险．理由如下：由题意可知AC ∥BD ， ∴∠CAB ＝∠ABD ＝27°.过点C 作CE ⊥AC 交AB 于点E ，在Rt △ACE 中，tan ∠CAE ＝CEAC，∴CE ＝AC ·tan ∠CAE ＝4×tan27°≈4×0.51＝2.04＜2.26. ∴姚明乘此电梯会有碰头危险．∵2.04＞1.78， ∴小敏乘此电梯不会有碰头危险．综合题13．身高1.65米的兵兵在建筑物前放风筝，风筝不小心挂在了树上．在如图所示的平面图形中，矩形CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点G 处(点G 在FE 的延长线上)．经测量，兵兵与建筑物的距离BC ＝5米，建筑物底部宽FC ＝7米，风筝所在点G 与建筑物顶点D 及风筝线在手中的点A 在同一条直线上，点A 距地面的高度AB ＝1.4米，风筝线与水平线夹角为37°.(1)求风筝距地面的高度GF ；(2)在建筑物后面有长5米的梯子MN ，梯脚M 在距墙3米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根5米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：(1)过A 作AP ⊥GF 于点P ，则AP ＝BF ＝12，AB ＝PF ＝1.4，∠GAP ＝37°，在Rt △PAG 中，tan ∠PAG ＝GPAP ，∴GP ＝AP ·tan37°≈12×0.75＝9(米)． ∴GF ＝9＋1.4≈10.4(米)． (2)由题意可知MN ＝5，MF ＝3，∴在Rt △MNF 中，NF ＝MN 2－MF 2＝4(米)．∵10.4－5－1.65＝3.75＜4， ∴能触到挂在树上的风筝．第2课时已知三角函数值求锐角的度数基础题知识点1 已知一个角的三角函数值求这个角的度数1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，则∠A 的度数为(B)A ．53.48°B ．53.13°C ．53.13′D ．53.48′2．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝2，AC ＝3，若用科学计算器求∠A 的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是(D)A.tan 2÷＝B.tan 2÷DMS ＝C.2ndF tan （2÷3）＝D.2ndF tan （2÷3）DMS ＝3．已知sin α＝45，α为锐角，则下列选项正确的是(C)A ．α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．α＞60° 4．根据所给条件求锐角∠α.(精确到1″)(1)已知sin α＝0.477 1；解：已知sin α＝0.477 1，∠α≈28.50°＝28°30′0″.(2)已知cos α＝0.845 1；解：已知cos α＝0.845 1，∠α≈32.31°＝32°18′36″.(3)已知tan α＝1.410 6.解：已知tan α＝1.410 6，∠α≈54.66°＝54°39′36″.5．如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝13，AD ⊥BC.求三角形的三个内角的度数(精确到1′)．解：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝6.5，∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC.在Rt △ABD 中，sin ∠BAD ＝BD AB ＝6.510＝0.65，∴∠BAD ≈40°32′，∴∠BAC ≈2∠BAD ≈81°4′，∠B ＝∠C ≈49°28′. 故△ABC 的三个内角分别为81°4′，49°28′，49°28′. 知识点2 已知锐角三角函数求角度在实际问题中的应用6．如图所示，在加工垫模时，需计算倾斜角α，根据图示数据，可得α≈22°9′12″．(结果精确到1″)7．如图，一名患者体内某器官后面有一肿瘤，在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤．已知肿瘤在皮下6.3 cm 的A 处，射线从肿瘤右侧9.8 cm 的B 处进入身体，求射线的入射角度α(结果精确到1″)．解：由题意，得在Rt △ABC 中，tan α＝AC BC ＝6.39.8，∴∠α≈32°44′7″.中档题8．一个直角三角形有两条边长为3，4，则较小的锐角约为(C)A ．37°B ．41°C ．37°或41°D ．以上答案均不对9．如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是(C)A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，tan ∠BCD ＝3，则∠A ≈18°26′．(结果精确到1′)11．(厦门中考)如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AD 边上的中点，若AC ＝10，DC ＝25，则BO ＝5；∠EBD 的大小约为18°26′.(参考数据：tan26°34′≈12)12．根据锐角三角函数的定义，我们知道，对于任何锐角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.如果关于x 的方程3x 2sin α－4xcos α＋2＝0有实数根，求锐角α的取值范围．解：由Δ＝16cos 2α－24sin α＝16(1－sin 2α)－24sin α≥0，得2sin 2α＋3sin α－2≤0. ∴(sin α＋2)(2sin α－1)≤0. ∵sin α＋2>0，∴2sin α－1≤0， sin α≤12，α≤30°.∴0<α≤30°.13．如图是某公园六一前新增设的一台滑梯．该滑梯的高度为AC ＝2 m ，滑梯着地点B 与梯架之间的距离BC ＝4 m.(1)求滑梯AB 的长(结果精确到0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围．请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？解：(1)由题意，知AB ＝AC 2＋BC 2＝25≈4.5(m)． ∴滑梯AB 的长约为4.5 m. (2)在Rt △ABC 中， tan ∠ABC ＝AC BC ＝12，∴∠ABC ≈27°＜45°.∴这架滑梯的倾斜角符合要求．14．如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝9，∠A ＝48°.求：(1)AB 边上的高(结果精确到0.01)； (2)∠B 的度数(结果精确到1′)．解：(1)作AB 边上的高CH ，垂足为H. ∵在Rt △ACH 中，sinA ＝CHAC ，∴CH ＝AC ·sinA ＝9sin48°≈6.69. (2)∵在Rt △ACH 中，cosA ＝AH AC， ∴AH ＝AC ·cosA ＝9cos48°.在Rt △BCH 中，tanB ＝CH BH ＝CH AB －AH ＝9sin48°8－9cos48°≈3.382，∴∠B ≈73°32′.综合题15．数学教师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝12，tan β＝13，求α＋β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题，他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1，图2求出α＋β的度数，并说明理由；(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝5，tan β＝23时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β，求出α－β的度数，并说明理由．解：(1)①如图1中，在△AMC 和△CNB 中，AM ＝CN ，∠AMC ＝∠CNB ＝90°，MC ＝BN ， ∴△AMC ≌△CNB.∴AC ＝BC ，∠ACM ＝∠CBN. ∵∠BCN ＋∠CBN ＝90°， ∴∠ACM ＋∠BCN ＝90°.∴∠ACB ＝90°.∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°. ∴α＋β＝45°.②如图2中，设正方形边长为1，则CE ＝1，AE ＝2，BE ＝2，∴EC BE ＝12＝22，BE AE ＝22.∴EC BE ＝BEAE. ∵∠CEB ＝∠AEB ，∴△CEB ∽△BEA. ∴∠CAB ＝∠CBE ＝β.∴∠BED ＝∠ECB ＋∠CBE ＝α＋β.∵DE ＝DB ，∠D ＝90°，∠BED ＝45°，∴α＋β＝45°. (2)如图3中，∠MOE ＝α，∠NOH ＝β，∠MON ＝α－β.在△MFN 和△NHO 中，MF ＝NH ，∠MFN ＝∠NHO ，FN ＝OH ，∴△MFN ≌△NHO.∴MN ＝NO ，∠MNF ＝∠NOH. ∵∠NOH ＋∠ONH ＝90°，∴∠ONH ＋∠MNF ＝90°.∴∠MNO ＝90°. ∴∠NOM ＝∠NMO ＝45°. ∴α－β＝45°.1.3 解直角三角形第1课时解直角三角形基础题知识点1 已知两边解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝27，AC ＝21，则∠A ＝(D)A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，CD ⊥AB 于点D ，则tan ∠BCD 的值为(B)A.513B.512C.125D.13123．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A 2＝12．4．已知：△ABC 中，∠C ＝90°.(1)a ＝6，b ＝23，求∠A 、∠B 、c ； (2)a ＝24，c ＝242，求∠A 、∠B 、b.解：(1)∵在Rt △ABC 中，tanA ＝ab ，∴tanA ＝623＝ 3.∴∠A ＝60°，∠B ＝90°－60°＝30°.∴c ＝2b ＝2×23＝4 3.(2)∵在Rt △ABC 中，根据勾股定理有b 2＝c 2－a 2，∴b ＝24.∴∠A ＝∠B ＝45°.知识点2 已知一边一角解直角三角形5．如图是教用直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°，tan ∠BAC ＝33，则边BC 的长为(C) A ．30 3 cm B ．20 3 cm C ．10 3 cm D ．5 3 cm6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，如果AD ＝m ，∠A ＝α，那么BC 的长为(C)A ．m ·tan α·cos α B.m ·cos αtan αC.m ·tan αcos αD.m ·tan αsin α7．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝(D)A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50° 8．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝35°，b ＝103，求∠B ，a 和c.解：∠B ＝90°－35°＝55°， a ＝b ·tan35°≈12.13，c ＝b cos35°≈21.14. 中档题9．锐角△ABC 中，∠B ＝60°，AD ⊥BC ，AD ＝3，AC ＝5，则BC 的长为(A)A ．4＋ 3B ．7C ．5.5D ．4＋2 310．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连结BD ，则tan ∠DBC 的值为(A)A.13B.2－1 C ．2－ 3D.1411．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，且CD ＝2，DE ＝1，则BC 的长为(B)A ．2B.433C ．2 3D ．4 312．(衢州中考)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是(B)A ．144 cmB ．180 cmC ．240 cmD ．360 cm13．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ，且BE ＝2AE ，已知AD ＝33，tan ∠BCE ＝33，那么CE 等于(D)习题解析A ．2 3B ．33－2C ．5 2D ．4314．(滨州中考)如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC ＝35，则对角线AC 的长为24．15．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，cosC ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示为14a 2．16．(襄阳中考)如图，AD 是△ABC 的中线，tanB ＝13，cosC ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长；(2)sin ∠ADC 的值．解：(1)过点A 作AE ⊥BC 于点E ， ∵cosC ＝22，∴∠C ＝45°. 在Rt △ACE 中，CE ＝AC ·cosC ＝1， ∴AE ＝CE ＝1. 在Rt △ABE 中，tanB ＝13，即AE BE ＝13，∴BE ＝3AE ＝3.∴BC ＝BE ＋CE ＝4.(2)∵AD 是△ABC 的中线， ∴CD ＝12BC ＝2.∴DE ＝CD －CE ＝1.∵AE ⊥BC ，DE ＝AE ，∴∠ADC ＝45°. ∴sin ∠ADC ＝22. 综合题17．如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上．(1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)若sin ∠DFE ＝13，求tan ∠EBC 的值．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠D ＝∠C ＝90°. ∴∠BFA ＋∠ABF ＝90°.∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE ， ∴∠BFE ＝∠C ＝90°. ∴∠BFA ＋∠EFD ＝90°.∴∠ABF ＝∠EFD.∴△ABF ∽△DFE. (2)在Rt △DEF 中，sin ∠DFE ＝DE EF ＝13，∴设DE ＝a ，EF ＝3a ，DF ＝EF 2－DE 2＝22a. ∵△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，∴CE ＝EF ＝3a ，AB ＝CD ＝DE ＋CE ＝4a ，∠EBC ＝∠EBF. 又∵△ABF ∽△DFE ， ∴EF BF ＝DF AB ＝22a 4a ＝22. ∴tan ∠EBF ＝EF BF ＝22.∴tan ∠EBC ＝tan ∠EBF ＝EF BF ＝22.第2课时坡度与圆弧问题基础题知识点1 解决坡角、坡比问题1．(巴中中考)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(B)A ．斜坡AB 的坡度是10° B ．斜坡AB 的坡度是tan10°C ．AC ＝1.2tan10°米D ．AB ＝ 1.2cos10°米2．(丽水中考)如图，河坝横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，坝高BC ＝3 m ，则坡面AB 的长度是(B)A ．9 mB ．6 mC ．6 3 mD ．3 3 m3．如图，市政府准备修建一座高AB ＝6 m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为35，则坡面AC 的长度为10m.4．(上海中考)已知传送带与水平面所成斜坡的坡比i ＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．5．如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角∠CBD ＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.(1)求坡高CD ；(2)求斜坡新起点A 到原起点B 的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09)解：(1)在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·sin12°≈10×0.21＝2.1(米)． (2)在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·cos12°≈10×0.98＝9.8(米)．在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan5°≈2.10.09≈23.33(米)， AB ＝AD －BD ≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(米)．知识点2 在圆(扇形)中解直角三角形6．如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD ⊥AB 于点D.已知cos ∠ACD ＝35，BC ＝4，则AC 的长为(D) A ．1B.203C ．3D.1637．如图，以AB 为直径的圆O 与弦CD 相交于点E ，且AC ＝2，AE ＝3，CE ＝1，则弧BD 的长是(B)A.3π9 B.23π9 C.3π3 D.23π38．(遵义中考)某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB 的长为3 m ，静止时，踏板到地面距离BD 的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m ，成人的“安全高度”为2 m(计算结果精确到0.1 m)．(1)当摆绳OA 与OB 成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h ＝1.5m ； (2)某成人在玩秋千时，摆绳OC 与OB 的最大夹角为55°，问此人是否安全？(参考数据：2≈1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)解：过点C 作CM ⊥DF ，交DF 于点M ，过点C 作CE ⊥DO ，在Rt △CEO 中，∠CEO ＝90°， ∴cos ∠COE ＝OEOC.∴OE ＝OC ·cos ∠COE.∵OB ＝OC ＝3 m ，∠COE ＝55°， ∴OE ＝3·cos55°≈1.71 (m)． ∴ED ＝3＋0.6－1.71≈1.9(m)． ∴CM ＝ED ≈1.9 m.∵成人的“安全高度”为2 m ， ∴成人是安全的．中档题9．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(A)A ．(6＋3)米B ．12米C ．(4＋23)米D ．10米10．如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE的长是(D)A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3D ．3＋4 311．如图，某水渠的横断面是梯形，已知其斜坡AD 的坡度为1∶1.2，斜坡BC 的坡度为1∶0.8，现测得放水前的水面宽EF 为3.8米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH 为6米．则放水后水面上升的高度是1.1米．12．(贵阳中考)“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B 点先乘坐缆车到达观景平台DE 观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E 点步行到达“蘑菇石”A 点，“蘑菇石”A 点到水平面BC 的垂直距离为1 790 m ．如图，DE ∥BC ，BD ＝1 700 m ，∠DBC ＝80°，求斜坡AE 的长度．(结果精确到0.1 m)解：过点D 作DF ⊥BC 于点F ，延长DE 交AC 于点M.由题意可得EM ⊥AC ，DF ＝MC ，∠AEM ＝29°.在Rt △DFB 中，sin80°＝DFDB ，则DF ＝BD ·sin80°，AM ＝AC －CM ＝1 790－1 700·sin80°，在Rt △AME 中，sin29°＝AMAE ，故AE ＝AMsin29°≈238.9.答：斜坡AE 的长度约为238.9 m.13．(泰州中考)如图，某仓储中心有一斜坡AB ，其坡度i ＝1∶2，顶部A 处的高AC 为4 m ，B ，C 在同一水平地面上．(1)求斜坡AB 的水平宽度BC ；(2)矩形DEFG 为长方形货柜的侧面图，其中DE ＝2.5 m ，EF ＝2 m ．将该货柜沿斜坡向上运送，当BF ＝3.5 m 时，求点D 离地面的高．(5≈2.236，结果精确到0.1 m)解：(1)∵坡度为i ＝1∶2，AC ＝4 m ， ∴BC ＝4×2＝8(m)．(2)作DS ⊥BC ，垂足为S ，且与AB 相交于H. ∵∠DGH ＝∠BSH ，∠DHG ＝∠BHS ， ∴△DGH ∽△BSH.∴GH GD ＝12.∵DG ＝EF ＝2 m ，∴GH ＝1 m.∴DH ＝12＋22＝5(m)，BH ＝BF ＋FH ＝3.5＋(2.5－1)＝5(m)．设HS ＝x m ，则BS ＝2x m ，∴x 2＋(2x)2＝52， ∴x ＝5，∴DS ＝5＋5＝25(m)≈4.5 m.综合题14．如图，点A 、B 、C 表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB 、BC 表示连结缆车站的钢缆，已知A 、B 、C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA ′、BB ′、CC ′分别为110米、310米、710米，钢缆AB 的坡度i 1＝1∶2，钢缆BC 的坡度i 2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A 到C 直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)解：过点A作AE⊥CC′于点E，交BB′于点F，过点B作BD⊥CC′于点D，则△AFB、△BDC、△AEC 都是直角三角形，四边形AA′B′F、BB′C′D和BFED都是矩形，∴BF＝BB′－B′F＝BB′－AA′＝310－110＝200，CD＝CC′－C′D＝CC′－BB′＝710－310＝400.∵i1＝1∶2，i2＝1∶1，∴AF＝2BF＝400，BD＝CD＝400.又∵EF＝BD＝400，DE＝BF＝200.∴AE＝AF＋EF＝800，CE＝CD＋DE＝600.∴在Rt△AEC中，AC＝1 000米．答：钢缆AC的长度是1 000米．第3课时方位角与仰角、俯角问题基础题知识点1 与方位角有关的实际问题1．如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东60°方向上，且AM ＝100海里，那么该船继续航行多少海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置(A)A ．50 3B ．40C ．30D ．202．如图，一艘船从某港口A 出发，以10海里/小时的速度向正北航行，从港口A 处测得一礁石C 在北偏西30°的方向上，如果这艘船上午8点从港口A 出发10点到达小岛B ，此时在小岛B 处测得礁石C 在北偏西60°方向上，则小岛B 与礁石C 的距离是(C)A ．40海里B ．30海里C ．20海里D ．10海里3．下面是张悦、王强的对话，张悦：“从学校向西直走500米，再向北直走100米就到医院了．”王强：“从学校向南直走300米，再向西直走200米就到电影院了．”则医院与电影院相距500米．4．(泸州中考)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值)解：过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x 海里． ∵在Rt △APC 中，∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°， ∴tan ∠PAC ＝CPAP.∴CP ＝AP ·tan ∠PAC ＝33x. ∵在Rt △APB 中，∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°， ∴BP ＝AP ＝x. ∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝x ＝15（3－3）2.∴航行时间为15（3－3）2÷30＝3－34(小时)．答：该渔船从B 处开始航行3－34小时，离观测点A 的距离最近．知识点2 与仰角、俯角有关的实际问题5．湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB 底部50米的C 处，测得桥塔顶部A 的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD 的高度为1米，则桥塔AB 的高度约为(参考数据：sin41.5°≈0.663，cos41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885)(C)A ．34米B ．38米C ．45米D ．50米6．我市某建筑工地，欲拆除该工地的一危房AB(如图)，准备对该危房实施定向爆破．已知距危房AB 水平距离60米(BD ＝60米)处有一居民住宅楼，该居民住宅楼CD 高15米，在该住宅楼顶C 处测得此危房屋顶A 的仰角为30°，请你通过计算说明在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼有无危险？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：没有危险．理由如下：过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E. ∵在△AEC 中，∠AEC ＝90°， ∴tan ∠ACE ＝AECE.∵∠ACE ＝30°，CE ＝BD ＝60，∴AE ＝203≈34.64.又∵AB ＝AE ＋BE ，BE ＝CD ＝15， ∴AB ≈49.64.∵60>49.64，即BD>AB ，∴在实施定向爆破危房AB 时，该居民住宅楼没有危险．中档题7．(重庆中考)如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(D)(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45) A ．30.6 B ．32.1 C ．37.9 D ．39.48．如图，一艘轮船以40海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A 处时，发现它的北偏东30°方向有一灯塔B.轮船继续向北航行2小时后到达C 处，发现灯塔B 在它的北偏东60°方向．若轮船继续向北航行，那么当再过多长时间时，轮船离灯塔最近？(A)A ．1小时 B.3小时 C ．2小时D ．23小时9．(乐山中考)如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A 处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B 处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C 处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x 小时．由题意得∠ABC ＝45°＋75°＝120°， AB ＝12，BC ＝10x ，AC ＝14x ，过点A 作AD ⊥CB 交CB 的延长线于点D ，在Rt △ABD 中，AB ＝12，∠ABD ＝60°，∴BD ＝AB ·cos60°＝6，AD ＝AB ·sin60°＝6 3. ∴CD ＝10x ＋6.在Rt △ACD 中，由勾股定理，得 (14x)2＝(10x ＋6)2＋(63)2，解得x 1＝2，x 2＝－34(不合题意，舍去)．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．10．(绍兴中考)如图，从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走6 m 到达B 点，测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°.(1)求∠BPQ 的度数；(2)求该电线杆PQ 的高度(结果精确到1 m ，参考数据：3≈1.7，2≈1.4)．解：(1)延长PQ 交直线AB 于点C ， ∵∠PBC ＝60°，∴∠BPQ ＝90°－∠PBC ＝90°－60°＝30°.(2)设PQ ＝x ，则QB ＝QP ＝x ，在△BCQ 中，BC ＝x ·cos30°＝32x ，QC ＝12x. 在△ACP 中，CA ＝CP ，∴6＋32x ＝12x ＋x ，解得x ＝23＋6.∴PQ ＝23＋6≈9，即该电线杆PQ 的高度约为9 m.综合题11．(湘西中考)如图，台风中心位于点O 处，并沿东北方向(北偏东45°)以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离602千米的地方有一城市A.(1)A 市是否会受到此台风的影响，为什么？ (2)在点O 的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B ，问：B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．解：(1)作AD ⊥OC ，易知台风中心与A 市的最近距离为AD 的长度． ∵由题意得∠COA ＝45°，OA ＝60 2 km ， ∴AD ＝DO ＝602×22＝60(km)． ∵60>50，∴A 市不会受到此台风的影响． (2)作BG ⊥OC 于点G.∵由题意得∠BOC ＝30°，OB ＝80 km ， ∴BG ＝12OB ＝40 km.∵40<50，∴B 市会受到台风影响．假设BE ＝BF ＝50 km ，E 、F 两点在OC 上，且E 点离点O 较近，由题意知，台风从E 点开始影响B 城市到F 点影响结束，∴EG ＝BE 2－BG 2＝30(km)．∴EF ＝2EG ＝60 km. ∵风速为40 km/h.∴60÷40＝1.5(小时)． ∴影响时间约为1.5小时．章末复习(五) 解直角三角形基础题知识点1 锐角三角函数的定义1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，则下列三角函数表示正确的是(A)A ．sinA ＝23B ．cosA ＝23C ．tanA ＝32D ．tanB ＝322．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于(C)A. 5B.255C.55D.233．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心的⊙O 交x 轴正半轴为点M ，点P 为圆上一点，坐标为(3，1)，则cos ∠POM 2知识点2 特殊角的三角函数值的计算 4．计算（tan30°－1）2的值是(A)A ．1－33B.3－1C.33－1 D ．1－ 35．在△ABC 中，(2cosA －2)2＋|1－tanB|＝0，则△ABC 一定是(D)A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形知识点3 解直角三角形6．(牡丹江中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于(A)A ．2B ．3C ．3 2D ．2 37．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝2，b ＝1，则a B ＝30°．8．(呼伦贝尔中考)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sinC 的值．解：∵在Rt △ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9.∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5. ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝13.∴sinC ＝AD AC ＝1213.知识点4 解直角三角形的实际应用9．(金华中考)一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要(D)A.4sin θ平方米 B.4cos θ平方米 C.4tan θ平方米 D ．(4＋4tan θ)平方米10．(资阳中考)北京时间2015年4月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A 、B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB ＝4米，求该生命迹象所在位置C 的深度．(结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，3≈1.7)解：作CD ⊥AB 交AB 延长线于点D ，设CD ＝x 米． Rt △ADC 中，∠DAC ＝25°，所以tan25°＝CDAD ≈0.5，所以AD ＝CD0.5＝2x.在Rt △BDC 中，∠DBC ＝60°，由tan60°＝x2x －4＝3，解得x ≈3. ∴生命迹象所在位置C 的深度约为3米．中档题11．(绵阳中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠C ＝72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE ⊥AB ，则cosA 的值为(C)A.5－12B.5－14C.5＋14D.5＋12。

春九年级数学下册1.1锐角三角函数同步练习(新版)浙教版【含解析】

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1.1 锐角三角函数—答案
一、选择题 1 A 2 A 3 D 4 B 5 C 6 C 7 C 8 B 4−3 1 sin A = ．解析：方法 2：因为 = 4， 4×4+1 17 cos A 所以 sin A = 4 cos A． 4 cos A − 3 cos A cos A 1 所以原式 = = = ． 4 × 4 cos A + cos A 17 cos A 17 16. 原式 = 4 − 1 + 4 + 1 = 8． 17. (1) 1 ; 1 ; 1 (2) 1 a b (3) 证明：∵ sin A = ，sin B = ，a2 + b2 = c2 ， c c a2 + b2 c2 ∴ sin2 A + sin2 B = = 2 = 1． 2 c c 12 (4) sin B = 13 √ √ √ 3 18. 原式 = 2 × +3−2 3−3=− 3 2 ( √ )2 2 1 19. 原式 = 1 − 4 + (−1) − =4 2 2 20. (1) 成立．解析：在 Rt△ABC 中， a a ,即 =c; sin A = c sin A b a sin B = ,即 =c; c sin B c =c; sin C = 1 , 即 sin C a b c ∴ = = 成立． sin A sin B sin C CD CD ab ab ; ; ; (2) b a CD CD √ a b c (3) 6．解析：由（2）可知 = = ． sin A sin B sin C ◦ ◦ ∵ ∠B = 60 ，∠C = 45 ，AB = 2， AC AB = . ∴ sin B sin C √ √ 3 2 × sin 60◦ = √ ∴ AC = = 6. ◦ sin 45 2 2 所以原式 =

2020—2021年浙教版九年级数学下册同步考点练习《锐角三角函数》及答案解析一.docx

第1章解直角三角形 1.1 锐角三角函数（一）1.如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC 的余弦值是55.(第1题)2.已知sin α＝1213，则cos α＝513，tan α＝125.3.已知等腰三角形的面积为24，底边长为4，则底角的正切值为 6 .4.如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝(D)(第4题)A. 1B.3C.33 D. 325.在直角三角形中，若各边长都扩大到原来的2倍，则锐角A 的正弦值和余弦值都(C)A. 缩小到原来的12B. 扩大到原来的2倍C. 不变D. 不能确定(第6题)6.如图，在平面直角坐标系中，A 是第一象限内一点，直径为10的⊙A 经过点C(0，5)和点O(0，0)，点B 在y 轴右侧，且是⊙A 上一点，求∠OBC 的余弦值.【解】作直径CD ，则点D 必在x 轴上. 在Rt △COD 中，∵CO ＝5，CD ＝10， ∴OD ＝CD 2－CO 2＝5 3.∴cos ∠OBC ＝cos ∠CDO ＝OD CD ＝5310＝32.(第7题)7.如图，直线y ＝12x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且与x 轴的夹角为α，求：(1)OA ，OB 的长. (2)tan α与sin α的值.【解】 (1)令y ＝0，则x ＝4， ∴点A(4，0)，∴OA ＝4. 令x ＝0，则y ＝－2， ∴点B(0，－2)，∴OB ＝2.(2)在Rt △AOB 中，OB ＝2，OA ＝4， ∴AB ＝OB 2＋OA 2＝25， ∴tan α＝tan ∠OAB ＝OB OA ＝12，sin α＝sin ∠OAB ＝OB AB ＝225＝55.(第8题)8.如图，在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，D 是AC 上一点，tan ∠DBA ＝15，求AD 的长. 【解】过点D 作DE ⊥AB 于点E. ∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，∴△ACB 为等腰直角三角形，AB ＝2AC ＝6 2，∴∠A ＝45°.设AE ＝x ，则DE ＝x ，AD ＝2x. 在Rt △BED 中，∵tan ∠DBE ＝DEBE ，∴BE ＝DEtan ∠DBE ＝5x ，∴x ＋5x ＝62，解得x ＝ 2.∴AD ＝2x ＝2.9.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处.已知折痕AE ＝55cm ，且tan ∠EFC ＝34，则矩形ABCD 的周长为 36 cm.(第9题)【解】 ∵tan ∠EFC ＝34，∴可设CE ＝3k ，CF ＝4k ， ∴由勾股定理，得DE ＝EF ＝5k ， ∴AB ＝DC ＝8k.∵∠AFB ＋∠BAF ＝90°，∠AFB ＋∠EFC ＝90°， ∴∠BAF ＝∠EFC ，∴tan ∠BAF ＝tan ∠EFC ＝34，∴BF ＝6k ，BC ＝AD ＝AF ＝10k.在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE＝AF2＋EF2＝125 k2＝5 5，解得k＝1.∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(8＋10)＝36(cm).10.在△ABC中，∠C＝90°，△ABC的面积为6，斜边长为6，则tan A＋tan B的值为 3 .【解】∵△ABC的面积为6，∴BC·AC＝12.在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝6，∴BC2＋AC2＝62＝36，∴tan A＋tan B＝BCAC＋ACBC＝BC2＋AC2AC·BC＝3612＝3.11.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连结DF.有下列结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④tan∠CAD＝ 2.其中正确的结论有(B)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(第11题)【解】如解图，过点D作DM∥BE交AC于点N.(第11题解)∵四边形ABCD是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝BC ， ∴∠EAC ＝∠ACB. ∵BE ⊥AC 于点F ， ∴∠EFA ＝∠ABC ＝90°， ∴△AEF ∽△CAB ，故①正确. ∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ， ∴AE CB ＝AF CF. ∵E 是AD 边的中点，∴AE ＝12AD ＝12BC ，∴AF CF ＝12，∴CF ＝2AF ，故②正确. ∵DE ∥BM ，BE ∥DM ， ∴四边形BMDE 是平行四边形， ∴BM ＝DE ＝12BC ，∴BM ＝CM ，∴CN ＝NF ， ∴DN 垂直平分FC ， ∴DF ＝DC ，故③正确. 设AD ＝a ，AB ＝b.易得△BAE ∽△ADC ，∴BA AD ＝AE DC ，即b a ＝a2b ，∴2b 2＝a 2.∵tan ∠CAD ＝CD AD ＝ba，∴tan ∠CAD ＝22，故④错误.综上所述，正确的结论有3个.12.如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA ，OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B.若反比例函数y ＝kx 的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO ＝4，tan ∠BAO ＝2，求k 的值.(第12题)【解】如解图，过点C 作CD ⊥BO ′于点D ，设点C 的坐标为(x ，y).(第12题解)∵tan ∠BAO ＝2，∴BOAO＝2. 又∵S △ABO ＝12AO ·BO ＝4，∴AO ＝2，BO ＝4.∴A ′O ′＝AO ＝2，BO ′＝BO ＝4.∵C 为Rt △A ′O ′B 斜边A ′B 的中点，CD ⊥BO ′， ∴CD ＝12A ′O ′＝1，BD ＝12BO ′＝2，∴y ＝BO －CD ＝4－1＝3，x ＝BD ＝2， ∴k ＝x ·y ＝6.(第13题)13.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，连结AC ，BC ，BD. (1)求证：△ACE ∽△CBE.(2)若AB ＝8，设OE ＝x(0<x<4)，CE 2＝y ，请求出y 关于x 的函数表达式. (3)探究：当x 为何值时，tanD ＝33？【解】 (1)∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，即∠ACE ＋∠BCE ＝90°. ∵CD ⊥AB ，∴∠AEC ＝∠CEB ＝90°，∠A ＋∠ACE ＝90°， ∴∠A ＝∠BCE ，∴△ACE ∽△CBE. (2)∵△ACE ∽△CBE ，∴AE CE ＝CEBE ，即CE 2＝AE ·BE ＝(AO ＋OE)(OB －OE). ∴y ＝(4＋x)(4－x)＝16－x 2. (3)∵tanD ＝33，即tanA ＝33，∴CE AE ＝33，则CE 2AE 2＝13，即16－x 2（4＋x ）2＝13，解得x 1＝2，x 2＝－4(舍去).故当x ＝2时，tanD ＝33.14.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似地，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记做sadA ，这时sadA ＝底边腰＝BC AB .容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对的定义，解答下列问题：(1)sad60°＝ 1 .(2)对于0°<∠A<180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是0<∠sadA<2 . (3)如图②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值.（第14题）(第14题解)【解】 (3)设AB ＝5a ，则BC ＝3a ，AC ＝4a.如解图，在AB 上取AD ＝AC ＝4a ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，连结CD ，则DE ＝AD ·sinA ＝4a ·35＝125a ，AE ＝AD ·cosA ＝4a ·45＝165a ，CE ＝4a －165a ＝45a. ∴CD ＝CE 2＋DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫125a 2 ＝4105a. ∴sadA ＝CD AC ＝105.。

浙教版九年级数学下1.1锐角三角函数(1)课时练习含答案

1．1 锐角三角函数(1)1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝2，则tan A 的值为(B ) A ．2 B.12 C.55 D.2 552．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的三角函数值(D )A ．都扩大为原来的2倍B ．都扩大为原来的4倍C ．不能确定D ．没有变化3．已知∠A 是锐角，sin A ＝35，则5cos A 等于(A )A ．4B ．3 C.154D ．5(第4题)4．如图，已知锐角α的顶点在原点，始边在x 轴正半轴上，终边上一点P 的坐标为(1，3)，那么tan α的值等于__3__．5．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是__2 23__．(第6题)6．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝7(AC >BC )，AB ＝5，求tan B 的值．【解】 ∵∠C ＝90°， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2＝25.又∵AC ＋BC ＝7，AC ＞BC ， ∴AC ＝4，BC ＝3， ∴ta n B ＝AC BC ＝43.(第7题)7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D .若BD ∶AD ＝1∶3，求tan ∠BCD . 【解】在Rt △AB C 中，∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴△BCD ∽△CAD ， ∴BD CD ＝CDAD，∴CD 2＝BD ·AD . 设BD ＝x ，则AD ＝3x ，∴CD 2＝3x 2，∴CD ＝3x .在Rt △BCD 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝33. 8．如图，在△ABC 中，边AC ，BC 上的高BE ，AD 交于点H .若AH ＝3，AE ＝2，求tan C 的值．(第8题)【解】 ∵BE ⊥AC ， ∴∠EAH ＋∠AHE ＝90°. ∵AD ⊥BC ，∴∠HAE ＋∠C ＝90°. ∴∠AHE ＝∠C .∵在Rt △AHE 中，AH ＝3，AE ＝2， ∴HE ＝AH 2－AE 2＝32－22＝ 5.∴tan ∠AHE ＝AE HE ＝25＝2 55.∴tan C ＝2 55.(第9题)9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值是(D ) A.43 B.34 C.35 D.45【解】 ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∴AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝45.∵CD ⊥AB ，∴AC ︵＝AD ︵.∴∠ABC ＝∠ABD . ∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝45.(第10题)10．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，则AB －BCAD ＝(A )A ．sinB B ．cos BC ．tan BD ．sin A【解】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE ＝CD . 易证△BED ≌△BCD ，∴BE ＝BC ， ∴AB －BC ＝AB －BE ＝AE ， ∴AB －BC AD ＝AEAD＝cos A ＝sin B . 11．直线y ＝kx －4与y 轴相交所成的锐角的正切值为12，则k 的值是__±2__．【解】设直线y ＝kx －4与x 轴，y 轴的交点分别为点A ，B .则A ⎝⎛⎭⎫4k ，0，B (0，－4)． ∴tan ∠ABO ＝AO BO ＝12，∴AO ＝2.∴4k＝±2.∴k ＝±2. 12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边上的中线，若AB ＝13，BC ＝10，试求tan ∠DBC 的值．(第12题)【解】过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，交BD 于点E. ∵AB ＝AC ＝13，BC ＝10， ∴BH ＝5.∴AH ＝AB 2－BH 2＝12. ∵BD 是AC 边上的中线， ∴点E 是△ABC 的重心， ∴EH ＝13AH ＝4，∴在Rt △EBH 中，tan ∠DBC ＝EH BH ＝45.13．如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点．若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C ＝__43__.(第13题)【解】连结BD.∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点，∴BD ＝2EF ＝4. 又∵BC ＝5，CD ＝3， ∴B C 2＝CD 2＋BD 2，∴△BCD 是直角三角形， ∴tan C ＝BD CD ＝43.。

浙教版初中数学九年级下册《1.1 锐角三角函数》同步练习卷

浙教新版九年级下学期《1.1 锐角三角函数》同步练习卷一．选择题（共7小题）1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，则BC的长是（）A．2B．8C．2D．42．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B等于（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a ＝4b，则cos B的值是（）A．B．C．D．4．在△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值是（）A．B．C．D．5．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cos A的值等于（）A．B．C．或D．或6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，则AB等于（）A．6B．C．10D．127．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共21小题）8．计算：4cos60°﹣2tan60°+3tan45°＝．9．如果α是锐角，且sinα＝，那么cosα的值为．10．若tanα＝5，则＝．11．A为锐角，且4sin2A﹣3＝0，则A＝．12．规定：sin（﹣x）＝﹣sin x，cos（﹣x）＝cos x，sin（x+y）＝sin x•cos y+cos x •sin y．据此判断下列等式成立的是（填序号）．①cos（﹣60°）＝﹣cos60°＝②sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°＝③sin2x＝sin（x+x）＝sin x•cos x+cos x•sin x＝2sin x•cos x；④sin（x﹣y）＝sin x•cos y﹣cos x•sin y．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则cos A的值是．14．将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为．15．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D ＝，则＝．16．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝．17．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为．18．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan A的值为．19．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为．20．已知：tan x＝2，则＝．21．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BCA的值是．22．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°＝．类似地，可以求得sin75°的值是．23．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为．24．如图，已知A、B、C三点均在格点上，则tan A的值为．25．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．26．将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是．27．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH 的值为．28．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC＝．三．解答题（共12小题）29．已知，求代数式的值．30．计算（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°；（2）tan245°+sin230°﹣3cos230°31．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°32．计算：（﹣2）2﹣（2﹣）0+2•tan45°33．计算：（1）sin260°•tan45°﹣tan30°．（2）．34．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα＝cosα＝tanα＝一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°＝；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．35．已知α是锐角，cos（a﹣15°）＝，求﹣|cos a﹣tan|的值．36．规定：sin（﹣x）＝﹣sin x，cos（﹣x）＝cos x，sin（x+y）＝sin x•cos y+cos x •sin y．据此（1）判断下列等式成立的是（填序号）．①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sin x•cos x；③sin（x﹣y）＝sin x•cos y﹣cos x•sin y．（2）利用上面的规定求①sin75°②sin15°．37．计算：．38．若规定：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ，试确定sin75°+sin90°的值．39．计算：（1）tan60°﹣；（2）6tan230°﹣sin 60°﹣2sin 45°40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．浙教新版九年级下学期《1.1 锐角三角函数》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，则BC的长是（）A．2B．8C．2D．4【分析】根据余弦的定义求出AB，根据勾股定理计算求出BC．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则＝，解得，AB＝10，由勾股定理得，BC＝＝2，故选：C．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角A的邻边b 与斜边c的比叫做∠A的余弦是解题的关键．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan B等于（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出图形，进而表示出AC，BC，AB的长，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵cos A＝，∴设AC＝7x，AB＝25x，则BC＝24x，则tan B＝．故选：C．【点评】此题主要考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解题关键．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C对边，如果3a ＝4b，则cos B的值是（）A．B．C．D．【分析】根据锐角三角函数的定义可得cos B＝，然后根据题目所给3a＝4b可求解．【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C 对边，如果3a＝4b，令b＝3x，则a＝4x，所以c＝5x，所以cos B＝故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是掌握cos B＝，4．在△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，解得sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝．故选：D．【点评】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cos2α＝1．5．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cos A的值等于（）A．B．C．或D．或【分析】因为原题没有说明哪个角是直角，所以要分情况讨论：①AB为斜边，②AC为斜边，根据勾股定理求得AB的值，然后根据余弦的定义即可求解．【解答】解：当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：①当AB为斜边，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．∴cos A＝＝＝；②当AC为斜边，∠B＝90°，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴cos A＝＝；综上所述，cos A的值等于或．故选：C．【点评】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键，并注意分类讨论．6．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，BC＝8，则AB等于（）A．6B．C．10D．12【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．【解答】解：∵tan A＝，∴sin A＝，∴＝，∴AB＝10，故选：C．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．7．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝×+×＝，故此选项正确；②tan105°＝tan（60°+45°）＝＝＝＝﹣2﹣，故此选项正确；③sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°＝×﹣×＝，故此选项正确；④cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°＝×﹣×＝0，故此选项正确；故正确的有4个．故选：D．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键．二．填空题（共21小题）8．计算：4cos60°﹣2tan60°+3tan45°＝5﹣2．【分析】将cos60°＝，tan60°＝，tan45°＝1代入计算可得．【解答】解：4cos60°﹣2tan60°+3tan45°＝4×﹣2×+3×1＝2﹣2+3＝5﹣2，故答案为：5﹣2．【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值及实数的混合运算顺序与运算法则．9．如果α是锐角，且sinα＝，那么cosα的值为．【分析】把sinα＝代入sin2α+cos2α＝1求出即可．【解答】解：∵sin2α+cos2α＝1，sinα＝，∴+cos2α＝1，∴cos2α＝，∵α是锐角，∴cosα＝，故答案为：．【点评】本题考查了同角三角函数的关系，能熟记sin2α+cos2α＝1是解此题的关键．10．若tanα＝5，则＝．【分析】根据同角的三角函数的关系即可求出答案．【解答】解：原式＝∵tanα＝5，∴原式＝故答案为：【点评】本题考查同角三角函数的关系，解题的关键熟练运用同角三角函数的关系，本题属于基础题型．11．A为锐角，且4sin2A﹣3＝0，则A＝60°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分析得出答案．【解答】解：∵4sin2A﹣3＝0，∴sin2A＝，∴sin A＝±，∵A为锐角，∴sin A＝，∴∠A＝60°．故答案为：60°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12．规定：sin（﹣x）＝﹣sin x，cos（﹣x）＝cos x，sin（x+y）＝sin x•cos y+cos x •sin y．据此判断下列等式成立的是②③④（填序号）．①cos（﹣60°）＝﹣cos60°＝②sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°＝③sin2x＝sin（x+x）＝sin x•cos x+cos x•sin x＝2sin x•cos x；④sin（x﹣y）＝sin x•cos y﹣cos x•sin y．【分析】根据题目中的规定，可以判断各个小题中的式子是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵cos（﹣x）＝cos x，∴cos（﹣60°）＝cos60°＝，故①错误，∵sin（x+y）＝sin x•cos y+cos x•sin y，∴sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°＝，故②正确，∵sin（x+y）＝sin x•cos y+cos x•sin y，∴sin2x＝sin（x+x）＝sin x•cos x+cos x•sin x＝2sin x•cos x，故③正确，∵sin（﹣x）＝﹣sin x，cos（﹣x）＝cos x，sin（x+y）＝sin x•cos y+cos x•sin y，∴sin（x﹣y）＝sin[x+（﹣y）]＝sin x cos（﹣y）+cos x sin（﹣y）＝sin x cos x﹣cos x sin y，故④正确，故答案为：②③④．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的式子是否正确．13．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则cos A的值是．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出斜边长，利用锐角三角函数定义求出cos A的值即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AB，∵CD＝4，∴AB＝8，∵AC＝6，∴cos A＝＝＝，故答案为：【点评】此题考查了锐角三角函数定义，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．14．将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，顶点A在格点上．则sin∠BAC的值为．【分析】直接连接BC，进而得出∠ABC＝90°，再利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：如图所示：连接BC，∵AB＝BC＝，AC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴sin∠BAC＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．15．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D ＝，则＝．【分析】由tan∠D＝＝可设AB＝2x、AD＝3x，根据∠ACB＝45°知AC＝AB＝2x，得出CD＝x，继而可得答案．【解答】解：在Rt△ABD中，∵tan∠D＝＝，∴设AB＝2x，AD＝3x，∵∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝2x，则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查锐角三角形函数的定义，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义及等腰三角形的性质．16．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC＝．【分析】根据正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A，利用网格计算即可．【解答】解：tan∠ABC＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握锐角三角函数的定义．17．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为．【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝＝，故答案为：．【点评】题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．18．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan A的值为．【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．【解答】解：连接CD．则CD＝，AD＝，则tan A＝＝＝．故答案是：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．19．正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的值为2．【分析】根据正切定义：锐角A的对边a与邻边b的比进行计算即可．【解答】解：tan∠AOB＝＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了正切定义，关键是正确掌握三角函数的定义．20．已知：tan x＝2，则＝．【分析】分式中分子分母同时除以cos x，可得出关于tan x的分式，代入tan x的值即可得出答案．【解答】解：分子分母同时除以cos x，原分式可化为：，当tan x＝2时，原式＝＝．故答案为：．【点评】此题考查了同角三角函数的知识，解答本题的关键是掌握tan x＝这一变换，有一定的技巧性．21．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C都在这些小正方形的顶点上，则tan∠BCA的值是2．【分析】连接AB，根据网格确定出三角形ABC三边，利用勾股定理的逆定理得到此三角形为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可．【解答】解：连接AB，由题意得：AB＝2，AC＝，BC＝，∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠BCA＝＝＝2，故答案为：2【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．22．一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°＝．类似地，可以求得sin75°的值是．【分析】根据sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，可得答案．【解答】解：sin75°＝sin45°cos30°+cos45°sin30°＝，故答案为：．【点评】本题考查了角的和差，利用sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ是解题关键．23．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为2．【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．【解答】解：如图，连接BE，∵四边形BCED是正方形，∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD，∴BF＝CF，根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP，∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，∴DP：DF＝1：2，∴DP＝PF＝CF＝BF，在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2，∵∠APD＝∠BPF，∴tan∠APD＝2．故答案为：2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．24．如图，已知A、B、C三点均在格点上，则tan A的值为．【分析】连接BC，首先计算出BC和AC的长，再根据三角函数定义可得tan A 的值．【解答】解：连接BC，由网格图可得∠BCA＝90°，BC＝＝，AC＝＝2，tan A＝＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握tan A＝∠A的对边：∠A的邻边．25．如图，△ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为．【分析】根据勾股定理，可得BC、AC的长，求出△ABC的面积，求出高AN，解直角三角形求出即可．【解答】解：设小正方形的边长为1，则由勾股定理得：BC＝＝5，AC＝＝，∵S△ABC ＝S△BDC﹣S正方形EAFD﹣S△AFC﹣S△BEA＝﹣1×1﹣﹣＝，∴＝，∴AN＝1，∴sin∠ACB＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键，注意：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．26．将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是1．【分析】认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值．【解答】解：由图可得tan∠AOB＝1．故答案为：1；【点评】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正切等于对边比邻边．27．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH 的值为．【分析】利用锐角三角函数的定义求解，tan∠POH为∠POH的对边比邻边，求出即可．【解答】解：∵P（12，a）在反比例函数图象上，∴a＝＝5，∵PH⊥x轴于H，∴PH＝5，OH＝12，∴tan∠POH＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．28．如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都是格点，则cos∠BAC＝．【分析】分别利用勾股定理求出AB、BC、AC的长度，然后判断△ABC的形状，得出∠BAC的度数，求出cos∠BAC的值．【解答】解：AB＝BC＝＝，AC＝＝，则AB2+BC2＝5+5＝10＝AC2，则△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝45°，则cos∠BAC＝．故答案为：．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值以及勾股定理及逆定理，解答本题的关键是判断三角形ABC为直角三角形．三．解答题（共12小题）29．已知，求代数式的值．【分析】首先根据得到2a＝3b，从而得到a＝，然后代入代数式和特殊角的函数值后即可求得答案．【解答】解：∵，∴2a＝3b，∴a＝，∴原式＝•＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记这些函数值是解答此类题目的基础．30．计算（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°；（2）tan245°+sin230°﹣3cos230°【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案；（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：（1）2sin30°﹣tan60°+tan45°＝2×﹣+1＝2﹣；（2）tan245°+sin230°﹣3cos230°＝×12+（）2﹣3×（）2＝+﹣＝﹣．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．31．计算：（1）sin260°﹣tan30°•cos30°+tan45°（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°【分析】根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝（）2﹣×+1＝﹣+1＝，（2）原式＝（cos245°+sin245°）+（sin254°+cos254°）＝1+1＝2【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练运用特殊角的锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．32．计算：（﹣2）2﹣（2﹣）0+2•tan45°【分析】本题涉及整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝4﹣1+2×1＝3+2＝5．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握整数指数幂、零指数幂等考点的运算．33．计算：（1）sin260°•tan45°﹣tan30°．（2）．【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算顺序与法则计算即可；（2）利用二次根式的性质化简根号，将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算顺序与法则计算即可．【解答】解：（1）sin260°•tan45°﹣tan30°＝（）2×1﹣＝﹣；（2）＝|tan60°﹣2|﹣＝2﹣﹣1＝1﹣．【点评】本题考查了实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值和二次根式的性质是解题的关键．34．阅读下列材料，并完成相应的任务．初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：sinα＝cosα＝tanα＝一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβsin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ例如sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝根据上述材料内容，解决下列问题：（1）计算：sin75°＝；（2）在Rt△ABC中，∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，请你求出AC和BC的长．【分析】（1）根据公式可求．（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值．【解答】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°＝×+×＝，故答案为：．（2）Rt△ABC中，∵sin∠A＝sin75°＝＝∴BC＝AB×＝4×＝∵∠B＝90﹣∠A∴∠B＝15°∵sin∠B＝sin15°＝＝∴AC＝AB×＝【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用特殊的三角函数值求线段的长度是本题的关键．35．已知α是锐角，cos（a﹣15°）＝，求﹣|cos a﹣tan|的值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：由题意，得α﹣15°＝45°，α＝60°，﹣|cos a﹣tan|＝﹣|﹣|＝﹣+＝1﹣．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．36．规定：sin（﹣x）＝﹣sin x，cos（﹣x）＝cos x，sin（x+y）＝sin x•cos y+cos x •sin y．据此（1）判断下列等式成立的是②③（填序号）．①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sin x•cos x；③sin（x﹣y）＝sin x•cos y﹣cos x•sin y．（2）利用上面的规定求①sin75°②sin15°．【分析】（1）根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断；（2）利用已知进而将原式变形求出答案．【解答】解：（1）①cos（﹣60°）＝cos60°＝，命题错误；②sin2x＝sin x•cos x+cos x•sin x＝2sin x•cos x，命题正确；③sin（x﹣y）＝sin x•cos（﹣y）+cos x•sin（﹣y）＝sin x•cos y﹣cos x•sin y，命题正确．故答案为：②③；（2）①sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°＝×+×＝+＝；②sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°•cos30°﹣cos45°•sin30°＝×﹣×＝．【点评】本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的定义是关键．37．计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入求出答案．【解答】解：原式＝﹣1﹣9×1＝1﹣1﹣9＝﹣9．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38．若规定：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ，试确定sin75°+sin90°的值．【分析】根据给出的公式，将75°和90°化为特殊角即可求出答案．【解答】解：原式＝sin（30°+45°）+sin（30°+60°）＝sin30°•cos45°+cos30°•sin45°+sin30°•cos60°+cos30°•sin60°＝×+×+×+×＝+++＝【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是将75°和90°化为特殊角进行计算，本题属于基础题型．39．计算：（1）tan60°﹣；（2）6tan230°﹣sin 60°﹣2sin 45°【分析】（1）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简、负整数指数幂、零指数幂四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）本题涉及平方、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：（1）tan60°﹣＝﹣（＝2；（2）6tan230°﹣sin 60°﹣2sin 45°＝6×（）2﹣×﹣2×＝2﹣﹣＝﹣．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、平方等考点的运算．40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．【分析】根据AA可证△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到＝＝，设AC＝3x，AB＝4x，由勾股定理得：BC＝x，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cos B．【解答】解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AMN∽△ABC，∴＝＝，设AC＝3x，AB＝4x，由勾股定理得：BC＝＝x，在Rt△ABC中，cos B＝＝＝．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的性质勾股定理，本题关键是表示出BC，AB．。

浙教版九年级数学下册全书各章节同步测验(共75页,附答案)

浙教版九年级数学下册全书各章节同步测验（共75页，附答案）第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数(第1课时)1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是( )第1题图A.34B.43C.35D.452．如图，已知一商场自动扶梯的长l为10m，该自动扶梯到达的高度h为5m，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tanθ的值等于( )A.33B.43C.12D.45第2题图3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( )第3题图A．2 B.255C.55D.124．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cosB＝( )A.512B.125C.513D.12135．如图，若点A的坐标为(1，3)，则sin∠1＝________．第5题图6.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足是E ，DE ＝6，sinA ＝35，则菱形ABCD 的周长是________．第6题图7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝1213，则tanB ＝________．8．等腰三角形底边长是10，周长是40，则其底角的正弦值是________． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5. (1)求∠A ，∠B 的正弦、余弦值；(2)求∠A ，∠B 的正切的值，你发现了什么？10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝23，求cosA ，tanA 的值．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD⊥AB 于点D ，AC ＝3，BC ＝4，求sin ∠DCB 和sin ∠ACD.第11题图12.如图，直径为10的⊙A 经过点C (0，5)和点O (0，0)，点B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )第12题图A.12B.34C.32D.45 13．如图，直线y ＝12x －2交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，且与x 轴的夹角为α，求：第13题图(1)OA ，OB 的长； (2)tan α与sin α的值．14．如图，在△ABC 中，边AC ，BC 上的高BE ，AD 交于点H.若AH ＝3，AE ＝2，求tanC 的值．第14题图15．如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作cot α，即cot α＝角α的邻边角α的对边＝ACBC，根据上述角的余切定义，解下列问题：(1)cot30°＝________；(2)如图，已知tanA ＝34，其中∠A 为锐角，试求cotA 的值．第15题图参考答案 1－4.CADC 5.32 6.40 7.125 8.2239.(1)∵∠C＝90°，∴AC ＝AB 2－BC 2＝12，∴sin A ＝513，cos A ＝1213，sin B ＝1213，cos B ＝513； (2)tan A ＝512，tan B ＝125.发现tan A ×tan B ＝1.10. cos A ＝53，tan A ＝255. 11. ∵∠ACB＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DCB ＝∠A，∠ACD ＝∠B，AB ＝AC 2＋BC 2＝5，∴sin ∠DCB ＝sin ∠A ＝BC AB ＝45，sin ∠ACD ＝sin ∠B ＝AC AB ＝35.12.C13.(1)OA ＝4，OB ＝2； (2)tan α＝tan ∠BAO ＝OB OA ＝12，sin α＝sin ∠BAO ＝OB AB ＝225＝55.14.∵BE⊥AC，∴∠EAH ＋∠AHE＝90°.∵AD ⊥BC ，∴∠HAE ＋∠C＝90°.∴∠AHE ＝∠C.∵在Rt △AHE 中，AH ＝3，AE ＝2，∴HE ＝AH 2－AE 2＝32－22＝ 5.∴tan ∠AHE ＝AEHE＝25＝255.∴tan C ＝255.15. (1) 3 (2)∵tan A ＝BC AC ＝34，∴cot A ＝AC BC ＝43.第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数(第2课时)1．tan30°的值等于( )A.12B.32C.33 D ．－3 2．已知α为锐角，且tan (90°－α)＝3，则α的度数为( )A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 3．若∠A 为锐角，cosA<32，则∠A 的取值范围是( ) A ．30°<∠A<90° B ．0°<∠A<30° C ．0°<∠A<60° D ．60°<∠A<90° 4．在△ABC 中，若sinA ＝cosB ＝22，则下列最确切的结论是( ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝60°，则sinA ＋sinB 的值等于________． 6．如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC ＝2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为________m.第6题图7.如图，将三角尺的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处，使斜边CD∥AB ，那么∠α的余弦值为________．第7题图8.（sin45°－1）2＋|1－tan60°|＝__________． 9．求下列各式的值： (1)2－2sin30°×cos30°； (2)3sin60°－2cos45°＋38； (3)sin30°＋cos 230°×tan45°；(4)（4sin30°－tan60°）（tan60°＋4cos60°）.10．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，AC ＝6，求BC 、AB 的长．第10题图11．若规定sin (α－β)＝sin α·cos β－cos α·sin β，则sin15°＝________． 12．小聪想在一个矩形材料中剪出如图中阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮他计算出BE ，CD 的长度(结果保留根号)．第12题图13．通过书P9课内练习第3题知道：对于任意锐角α，都有tan α＝sin αcos α.运用此结论，解答下题：已知锐角α，且tan α＝3，求sin α＋cos αsin α－cos α的值．14．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：第14题图sin 2A 1＋sin 2B 1＝________；sin 2A 2＋sin 2B 2＝________；sin 2A 3＋sin 2B 3＝________． (1)观察上述等式，猜想：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，都有sin 2A ＋sin 2B ＝________； (2)如图4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(3)已知：∠A ＋∠B ＝90°，且sinA ＝513，求sinB.参考答案1－4.CADC 5.32 6.40 7.125 8.2231.2 锐角三角函数的计算(第1课时)1．如图，用含38°的三角函数值表示AC ，可得AC 为( )第1题图A ．10sin38°B ．10cos38°C ．10tan38°D ．无法确定 2．cos55°和sin36°的大小关系是( )A ．cos55°＞sin36°B ．cos55°＜sin36°C ．cos55°＝sin36°D ．不能确定3．下列各式：①sin20°－cos20°＜0；②2sin20°＝sin40°；③sin10°＋sin20°＝sin30°；④tan20°＝sin20°cos20°.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.如图，梯子跟地面所成的锐角为α，关于α的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系叙述正确的是( )第4题图A．sinα的值越小，梯子越陡B．cosα的值越小，梯子越陡C．tanα的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与α的函数值无关5．如图，A，B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出AC＝a米，∠A＝90°，∠C＝40°，则AB等于__________．(用含40°的三角函数表示)第5题图6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠B＝α，则AB＝________，BC＝________．(结果用含α的三角函数表示)第6题图7.如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处．若AB＝4，BC＝5，则tan∠AFE＝________．第7题图8．不用计算器求下列各式的值．(1)sin225°＋cos225°＝________；(2)(sin32°48′23″＋tan47°18′)0＝________；(3)tan39°×tan51 °＝________；(4)tan1°·tan2°·tan3°·tan4°…tan89°＝________．9．如图，某地某时刻太阳光线与水平线的夹角为31°，此时在该地测得一幢楼房在水平地面上的影长为30m，求这幢楼房的高AB(结果精确到1m，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)．第9题图10．如图，沿AC 方向开修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD ＝127°，沿BD 的方向前进，取∠BDE ＝37°，测得BD ＝520m ，并且AC ，BD 和DE 在同一平面内．(1)施工点E 离D 点多远正好能使A ，C ，E 成一条直线？(结果保留整数)(2)在(1)的条件下，若BC ＝80m ，求公路CE 段的长．(结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第10题图11．已知α为锐角，下列结论：①sin α＋cos α＝1；②如果α＞45°，那么sin α＞cos α；③如果cos α＞12，那么0°＜α＜60°；④（sin α－1）2＝1－sin α，其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．如图，已知AC⊥BC ，CD ⊥AB ，AB ＝c ，∠A ＝α，则AC ＝________，BC ＝________，CD ＝____________(用含c 和α的三角函数表示)．第12题图13．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点O ，连结EF ，OD.(1)求证：四边形ABEF 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝5，∠BCD ＝120°，求tan ∠ADO 的值．第13题图14．如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AM 始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC ，当伞收紧时，动点D 与点M 重合，且点A ，E ，D 在同一条直线上．已知部分伞架的长度如下(单位：cm )：(1)求AM 的长；(2)当∠BAC ＝104°时，求AD 的长(精确到1cm )．备用数据：sin52°≈0.7880，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799.第14题图参考答案1－4.ABBB 5.a tan 40°米 6.10sin α 10tan α 7. 348.(1)1 (2)1 (3)1 (4)19.∵tan ∠ACB ＝ABBC，∴AB ＝BC·tan ∠ACB ＝30×tan 31°≈18m .10.(1)∵∠ABD＝127°，∠BDE ＝37°，∴∠DEB ＝127°－37°＝90°.在Rt △BDE 中，cos D ＝DEBD ，∴DE ＝BD·cos D ＝520×cos 37°≈520×0.80＝416(m )，即施工点E 离D 点416m 正好能使A ，C ，E 成一条直线； (2)在(1)的条件下可得BE ＝BD·sin D ＝520×sin 37°≈520×0.60＝312(m )，∴CE ＝BE －BC≈312－80＝232(m )． 11.C12.c cos α c sin α c sin αcos α13．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠AEB.∵AE 是角平分线，∴∠DAE ＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝BE.同理AB ＝AF.∴AF＝BE.∴四边形ABEF 是平行四边形. ∵AB＝BE ，∴四边形ABEF 是菱形；第13题图(2) 作OH⊥AD 于H ，如图所示．∵四边形ABEF 是菱形，∠BCD ＝120°，AB ＝4，∴AB ＝AF ＝4，∠ABC ＝60°，AO ⊥BF ，∴∠ABF ＝∠AFB＝30°，∴AO ＝12AB ＝2，∴OH ＝3，AH ＝1，DH ＝AD －AH＝4，∴tan ∠ADO ＝OH DH ＝34.14.(1)当伞收紧时，动点D 与点M 重合，∴AM ＝AE ＋DE ＝36＋36＝72(cm )； (2)AD ＝2×36cos 52°≈2×36×0.6157≈44(cm )1.2 锐角三角函数的计算(第2课时)1．计算器显示结果为sin －10.9816＝78.9918的意思正确的是( ) A ．计算已知正弦值的对应角度 B ．计算已知余弦值的对应角度 C ．计算一个角的正弦值 D ．计算一个角的余弦值2．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且sinA ＝12，cosB ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是( )A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＜∠C ＜∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A 3．若∠A 是锐角，且cosA ＝tan30°，则( ) A ．0°＜∠A ＜30° B ．30°＜∠A ＜45° C ．45°＜∠A ＜60° D ．60°＜∠A ＜90°4.如图所示是一张简易活动餐桌，测得OA ＝OB ＝30cm ，OC ＝OD ＝50cm ，现要求桌面离地面的高度为40cm ，那么两条桌脚的张角∠COD 的度数大小应为( )第4题图A ．100°B ．120°C ．135°D ．150°5.如图，在矩形ABCD 中，若AD ＝1，AB ＝3，则该矩形的两条对角线所成的锐角是( )第5题图A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°6．已知sin α·sin45°＝12，则锐角α为________． 7．若θ为三角形的一个锐角，且2sin θ－3＝0，则θ＝________．8．等腰三角形的底边长为20cm ，面积为10033cm 2，则顶角为________度． 9．若用三根长度分别为8，8，6的木条做成一个等腰三角形，则这个等腰三角形的各个角的大小分别为多少？(结果精确到1′，参考数据：cos67°59′≈0.375)10．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝62，∠A ＝45°.求：(1)AB 边上的高；(2)∠B 的正切值．第10题图11．关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°12．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，tan ∠BCD ＝3，则sinA ＝______．第12题图13．某校为了解决学生停车难的问题，打算新建一个自行车棚．如图，图1是车棚的示意图(尺寸如图所示)，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部的截面示意图，弧AB 所在圆的圆心为O ，半径OA 为3m.(1)求∠AOB 的度数(结果精确到1°)；(2)学校准备用某种材料制作车棚顶部，请你算一算：需该种材料多少平方米(不考虑接缝等因素，结果精确到1m 2)?(参考数据：sin53.1°≈0.80，cos53.1°≈0.60，π取3.14)第13题图14．数学老师布置了这样一个问题：如果α，β都为锐角，且tan α＝13，tan β＝12.求α＋β的度数．甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2.(1)请你分别利用图1，图2求出α＋β的度数，并说明理由；(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：如果α，β都为锐角，当tan α＝5，tan β＝23时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON ，使得∠MON ＝α－β.求出α－β的度数，并说明理由．第14题图参考答案1－5.ADCBC 6.45° 7.60° 8.120第9题图9.根据题意可画图如右(AB ＝AC ＝8，BC ＝6)．过点A 作AD⊥BC 于点D ，则BD ＝CD ＝3，∴cos B ＝BD BA ＝38，∴∠B ≈67°59′，∴∠C ≈67°59′，∠A ≈44°2′. 10.(1)作CD⊥AB 于点D ，CD ＝AC·sin A ＝62·sin 45°＝6； (2)∵AD＝AC·cos A ＝62·cos 45°＝6，∴BD ＝AB －AD ＝8－6＝2，∴tan B ＝CD BD ＝62＝3. 11.B 12.101013.(1)过点O 作OC⊥AB，垂足为C ，则AC ＝2.4.∵OA＝3，∴sin ∠AOC ＝2.43＝0.8，第13题图∴∠AOC ≈53.1°.∴∠AOB ＝106.2°≈106°； (2)lAB ︵＝106×π180×3≈5.5(m )，∴所需材料面积为5.5×15≈83(m 2)．即需该种材料约83m 2.14.(1)①如图1中，只要证明△AMC≌△CNB，即可证明△ACB 是等腰直角三角形，∠BAC ＝α＋β＝45°.②如图2中，只要证明△CEB∽△BEA，即可证明∠BED＝α＋β＝45°. (2)如图3中，∠MOE ＝α，∠NOH ＝β，∠MON ＝α－β，只要证明△MFN≌△NHO 即可解决问题．∠MON＝α－β＝45°.第14题图1.3 解直角三角形(第1课时)1．在直角三角形ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC ＝( )A ．3sin40°B ．3sin50°C ．3tan40°D ．3tan50°2．已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD 为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是( )A ．AD ＝32AB B ．AD ＝12ABC ．AD ＝BD D ．AD ＝22BD 3．身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300m ，250m 和200m ，线与地面所成的角度分别为30°，45°和60°，假设风筝线是拉直的，那么三人所放的风筝中( )A ．甲的最高B ．乙的最高C ．丙的最高D ．丙的最低4．一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则它的底角的正切值为( )A.310B.512C.125D.12135．在△ABC 为，∠C ＝90°，tanA ＝12，AB ＝10，则△ABC 的面积为________． 6．在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝35，c ＝352，则∠A ＝________，b ＝________．7．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A ＝30°，b ＝4，则a ＝________，c ＝________．8．如图所示，AB 是伸缩式的遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度是________米(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)．第8题图9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长．第9题图10．如图，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 恰好落在AD 边上，设此点为F.若AB∶BC ＝4∶5，求tan ∠ECB 的值．第10题图11.如图，已知△ABC 内接于⊙O ，sinB ＝35，AC ＝2cm ，则⊙O 的面积是( )第11题图A.259πcm 2B.1009πcm 2C.925πcm 2D.9100πcm 2 12．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC ＝2m ，CD ＝5.4m ，∠DCF ＝30°，则车位所占的宽度EF 约为多少米？(3≈1.73，结果精确到0.1m )第12题图13．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C ＝45°，sinB ＝13，AD ＝1.(1)求BC 的长；(2)求tan ∠DAE 的值．第13题图14．如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA 是支撑臂，OB 是旋转臂，使用时，以点A 为支撑点，铅笔芯端点B 可绕点A 旋转作出圆．已知OA ＝OB ＝10cm.(1)当∠AOB ＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01cm )(2)保持∠AOB ＝18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01cm )(参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511)第14题图参考答案1－4.DBBC 5.2 6.45° 35 7.43 3 833 8. 3 9.∵sin A ＝BC AB ＝45，∴BC ＝AB×45＝12.∴AC＝AB 2－BC 2＝9.∴△ABC 周长为36.10.设AB ＝4，则BC ＝5，在△DFC 中，FC ＝BC ＝5，CD ＝AB ＝4，∴DF ＝3，∴AF ＝2，又可证△DFC∽△AEF，得EF ＝2.5＝BE ，∴tan ∠BCE ＝2.55＝12. 11.A12.∵∠DCF＝30°，CD ＝5.4m ，∴在Rt △CDF 中，DF ＝12CD ＝2.7m .又∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ＝BC ＝2，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＋∠CDF＝90°.∵∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠ADE ＝∠DCF ＝30°，∴在Rt △AED 中，DE ＝AD×cos ∠ADE ＝2×32＝3(m )，∴EF ＝2.7＋3≈4.4(m )．答：车位所占的宽度EF 约为4.4m .13.(1)在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°，在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝1，∴DC ＝AD ＝1，在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝13，AD ＝1，∴AB ＝AD sin B＝3，∴BD ＝AB 2－AD 2＝22，∴BC ＝BD ＋DC ＝22＋1； (2)∵AE 是BC 边上的中线，∴CE ＝12BC ＝2＋12，∴DE ＝CE －CD ＝2－12，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12. 14.(1)作OC⊥AB 于点C ，如图1所示，由题意可得，OA ＝OB ＝10cm ，∠OCB ＝90°，∠AOB ＝18°，∴∠BOC ＝9°，∴AB ＝2BC ＝2OB·sin 9°≈2×10×0.1564≈3.13cm ，即所作圆的半径约为3.13cm .第14题图(2)作AD⊥OB 于点D ，作AE ＝AB ，如图2所示，∵保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，∴折断的部分为BE ，∵∠AOB ＝18°，OA ＝OB ，∠ODA ＝90°，∴∠OAB ＝81°，∠OAD ＝72°，∴∠BAD ＝9°，∴BE ＝2BD ＝2AB·sin 9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm ，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm .1.3 解直角三角形(第2课时)1．如图，斜坡AB 与水平面的夹角为α，下列命题中，不正确的是( )第1题图A ．斜坡AB 的坡角为α B ．斜坡AB 的坡度为BC ABC ．斜坡AB 的坡度为tan αD ．斜坡AB 的坡度为BC AC2．如图，C 、D 是以AB 为直径的半圆上两个点(不与A 、B 重合)．连DC 、AC 、DB ，AC 与BD 交于点P.若∠APD ＝α，则CD AB＝( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan α D.1tan α第2题图3.如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，且CD⊥AB ，BC ＝6，AC ＝8，则sin ∠ABD 的值为( )第3题图 A.43 B.34 C.35 D.454．如图，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i ＝2∶1，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是( )第4题图A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米5．如图，B ，C 是河岸两点，A 是河岸岸边一点，测得∠ABC ＝45°，∠ACB ＝45°，BC ＝200米，则点A 到岸边BC 的距离是________米．第5题图6.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)第6题图7．等腰三角形的周长为2＋3，腰长为1，则顶角为________．8．若三角形两边长为6和8，这两边的夹角为60°，则其面积为________．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E, AB＝20，CD＝16.(1)求sin∠OCE与sin∠CAD的值；(2)求弧CD的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin53°≈0.8)第9题图10．如图，有一段斜坡BC长10米，坡角∠CBD＝12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°.(1)求坡高CD；(2)求斜坡新起点A到原起点B的距离(精确到0.1米，参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan5°≈0.09)第10题图11．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，当AC与BD所夹的锐角为θ时，则四边形ABCD的面积S＝____________．(用含m，n，θ的式子表示)第11题图12．如图，一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3m.已知木箱高BE＝3m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.第12题图13．如图，一棵树AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，小明分别测得坪地、台阶和地面上的三段影长CE＝1m，DE＝2m，BD＝8m，DE与地面的夹角α＝30°.在同一时刻，已知一根1m 长的直立竹竿在地面上的影长恰好为2m，请你帮助小明根据以上数据求出树AB的高．(结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)第13题图14．为了缓解停车难的问题，某单位拟建地下停车库，建筑设计师提供的该地下停车库的设计示意图如图所示．按照规定，地下停车库坡道上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE的长度(精确到0.1m，参考数据：tan18°≈0.3249，cos18°≈0.9511)．第14题图参考答案1－4.BBDA 5.100 6.280 7.120°8.12 39.(1)sin ∠OCE ＝0.6，sin ∠CAD ＝sin ∠COE ＝0.8； (2)弧CD 的长＝106×3.14×10180≈18.5cm . 10.(1)在Rt △BCD 中，CD ＝BC sin 12°≈10×0.21＝2.1(米)．答：坡高2.1米； (2)在Rt△BCD 中，BD ＝BC cos 12°≈10×0.98＝9.8(米)．在Rt △ACD 中，AD ＝CD tan 5°≈2.10.09≈23.33(米)，∴AB ＝AD －BD≈23.33－9.8＝13.53≈13.5(米)．答：斜坡新起点与原起点的距离为13.5米．11.12mn sin θ第12题图12.设EF 与AB 交点为G ，在Rt △BEG 中，∵∠EGB ＝∠AGF＝60°，∴EG ＝BE sin 60°＝2，GB ＝12EG ＝1，在Rt △AGF 中，GF ＝AG·sin 30°＝2×12＝1，∴EF ＝EG ＋GF ＝2＋1＝3(m )． 13.如图，延长CE 交AB 于F ，∵α＝30°，DE ＝2m ，BD ＝8m ，∴EF ＝BD ＋DE cos 30°＝8＋2×32＝(8＋3)m ，点E 到底面的距离＝DE sin 30°＝2×12＝1m ，即BF ＝1m ，∴CF ＝EF ＋CE ＝8＋3＋1＝(9＋3)m ，根据同时同地物高与影长成正比得，AF CF ＝12，∴AF ＝12CF ＝12(9＋3)＝12×10.73≈5.4m ，∴树AB 的高为5.4＋1＝6.4m .第13题图14．∵∠BAD＝∠AFG＝18°，∴在Rt △ABD 中，BD AB＝tan 18°，∴BD ＝AB·tan 18°＝9×tan 18°≈2.9(m )．∵BC ＝0.5m ，∴CD ＝2.9－0.5＝2.4(m )．在Rt △CED 中，∠DCE ＝18°，∴CE CD ＝cos 18°.∴CE ＝CD·cos 18°＝2.4×cos 18°≈2.3(m )．答：CE 长约为2.3m .1.3 解直角三角形(第3课时)1．如图，某飞机在空中A 点处测得飞行高度h ＝1000m ，从飞机上看到地面指挥站B 的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC 为( )A ．500mB ．2000mC ．1000mD ．10003m第1题图2.如图，王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地( )第2题图 A ．503m B ．100m C ．150m D ．1003m3．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( ) A ．144cm B ．180cm C ．240cm D ．360cm4.如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为( )第4题图A ．4kmB ．23kmC ．22kmD ．(3＋1)km5.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图所示)，由此可知，B ，C 两地相距________m.第5题图6．如图，在高度是21米的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝______米(结果可保留根号)．第6题图7．南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．第7题图8．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.(1)求∠BCD的度数；(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)第8题图9.如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)( )第9题图A.hsinαB.hcosαC.htanαD．h·cosα10．如图所示，两条宽度都为2cm的纸条交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为________．第10题图11．如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝4米，坡角∠DCE＝30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．(1)求斜坡CD的高度DE；(2)求大楼AB的高度(结果保留根号)．第11题图C组综合运用12．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5°方向上，距离5km处是村庄M；在点A北偏东53.5°方向上，距离10km处是村庄N.(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)(1)求M，N两村之间的距离；(2)要在公路AB旁修建一个土特产收购站P，使得M，N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离．第12题图参考答案1－4.DDBC 5.200 6.(73＋21)7.如图，作AD⊥BC，垂足为D ，第7题图由题意得，∠ACD ＝45°，∠ABD ＝30°.设CD ＝x ，在Rt △ACD 中，可得AD ＝x ，在Rt △ABD 中，可得BD ＝3x ，又∵BC＝20(1＋3)，CD ＋BD ＝BC ，即x ＋3x ＝20(1＋3)，解得：x ＝20，∴AC ＝2x ＝202(海里)．答：A 、C 之间的距离为202海里．第8题图8.(1)过点C 作CE⊥BD，则有∠DCE＝18°，∠BCE ＝20°，∴∠BCD ＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°； (2)由题意得：CE ＝AB ＝30m ，在Rt △CBE 中，BE ＝CE·tan 20°≈10.80m ，在Rt △CDE 中，DE ＝CE·tan 18°≈9.60m ，∴教学楼的高BD ＝BE ＋DE ＝10.80＋9.60≈20.4m ，则教学楼的高约为20.4m .9.B10.4sin αcm 211.(1)在Rt △DCE 中，DC ＝4米，∠DCE ＝30°，∠DEC ＝90°，∴DE ＝12DC ＝2米； (2)过D 作DF⊥AB，交AB 于点F ，∵∠BFD ＝90°，∠BDF ＝45°，∴∠DBF ＝45°，即△BFD 为等腰直角三角形，设BF ＝DF ＝x 米，∵四边形DEAF 为矩形，∴AF ＝DE ＝2米，即AB ＝(x ＋2)米，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，第11题图∴BC ＝AB cos 30°＝x ＋232＝2x ＋43＝3（2x ＋4）3米，BD ＝2BF ＝2x 米，DC ＝4米，∵∠DCE ＝30°，∠ACB ＝60°，∴∠DCB ＝90°，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得：2x 2＝（2x ＋4）23＋16，解得：x ＝4＋43(负值舍去)，则AB ＝(6＋43)米．12．(1)过点M 作CD∥AB，过点N 作NE⊥AB 于点E ，如图．第12题图在Rt △ACM 中，∠CAM ＝36.5°，AM ＝5km ，∵sin 36.5°＝CM 5≈0.6，∴CM ＝3(km )，AC ＝AM 2－CM 2＝4(km )．在Rt △ANE 中，∠NAE ＝90°－53.5°＝36.5°，AN ＝10km ，∵sin 36.5°＝NE 10≈0.6，∴NE ＝6(km )，AE ＝AN 2－NE 2＝8(km )，∴MD ＝CD －CM ＝AE －CM ＝5(km )，ND ＝NE －DE ＝NE －AC ＝2(km )，在Rt △MND 中，MN ＝MD 2＋ND 2＝29(km )； (2)作点N 关于AB 的对称点G ，连结MG 交AB 于点P ，点P 即为站点，此时PM ＋PN ＝PM ＋PG ＝MG ，在Rt △MDG 中，MG ＝52＋102＝125＝55(km )．答：最短距离为55km .第2章直线与圆的位置关系1．如果一个圆的半径是8cm ，圆心到一条直线的距离也是8cm ，那么这条直线和这个圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定2．已知⊙O 的半径为3，直线l 上有一点P 满足PO ＝3，则直线l 与⊙O 的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．相离或相切D ．相切或相交3．已知点P (3，4)，以点P 为圆心，r 为半径的圆P 与坐标轴有四个交点，则r 的取值范围是( )A ．r ＞4B ．r ＞4且r≠5C ．r ＞3D ．r ＞3且r≠54．如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分别为5和3，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦长AB的取值范围是( )第4题图A．8≤AB≤10 B．AB≥8 C．8＜AB≤10 D．8＜AB＜105．已知圆的直径为10cm，若圆心到三条直线的距离分别为：①4cm；②5cm；③10cm，则这三条直线和圆的位置关系分别是①________；②________；③________．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5cm，以点C为圆心、6cm长为半径作圆，则圆与直线AB的位置关系是________．7．如图，已知∠AOB＝30°，C是射线OB上的一点，且OC＝4.若以C为圆心，r为半径的圆与射线OA有两个不同的交点，则r的取值范围是____________．第7题图8．在△ABO中，若OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相切；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相交；当∠AOB满足____________时，直线AB与⊙O相离．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝8cm，AC＝4cm.(1)以点C为圆心作圆，半径为多少时，AB与⊙C相切？(2)以点C为圆心，分别作半径为2cm和4cm的圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？第9题图10．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB＝CD，且AB与小圆相切．求证：CD与小圆也相切．第10题图11．已知等边三角形ABC 的边长为23m.下列图形中，以A 为圆心，半径是3cm 的圆是( )11．如图，P 为正比例函数y ＝32x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y )．第12题图(1)当⊙P 与直线x ＝2相切时，则点P 的坐标为______________________；(2)当⊙P 与直线x ＝2相交时x 的取值范围为____________．13．在平行四边形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝m ，∠D ＝60°，以AB 为直径作⊙O.(1)求圆心O 到CD 的距离(用含m 的代数式表示)；(2)当m 取何值时，CD 与⊙O 相切？第13题图14．如图，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东30°，M 的南偏东60°方向上有一点A ，以A 为圆心，500m 为半径的圆形区域为居民区，取MN 上另一点B ，测得BA 方向为南偏东75°，已知MB ＝400m ，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？第14题图参考答案1－4.BDBC 5. ①相交 ②相切 ③相离 6.相交 7.2＜r≤48.∠AOB＝120° 120°＜∠AOB＜180° 0°＜∠AOB＜120°9.(1)作CD⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，CD ＝AC·sin 60°＝23cm ，所以当半径r 为23cm 时，AB 与⊙C 相切； (2)r ＝2＜CD 时，⊙C 与AB 相离，r ＝4＞CD 时，⊙C 与AB 相交．10.证明：过点O 分别作AB ，CD 的垂线段OE ，OF.设小圆的半径为r.∵AB 与小圆相切，∴OE ＝r ，∵AB ＝CD ，且AB ，CD 为大圆的弦，∴OE ＝OF ，∴OF ＝r ，∴CD 与小圆也相切． 11.B12．(1)⎝⎛⎭⎪⎫5，152或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 (2)－1＜x ＜5 13．(1)作AH⊥CD 于点H.因为∠D ＝60°，则∠DAH＝30°，DH ＝AD 2＝m 2，所以AH ＝AD 2－DH 2＝m 2－（m 2）2＝32m ，即圆心O 到CD 的距离为32m ； (2)当32m ＝5，即m ＝1033时，CD 与⊙O 相切.第14题图14．作AC⊥MN 于点C ，∵∠AMC ＝60°－30°＝30°，∠ABC ＝75°－30°＝45°，∴设AC为x m ，则AC ＝BC ＝x ，在Rt △ACM 中，MC ＝400＋x ，∴tan ∠AMC ＝AC MC ，即13＝x 400＋x，解得x ＝200＋2003＞500，∴如果不改变方向，输水路线不会穿过居民区．第2章直线与圆的位置关系2．1 直线与圆的位置关系(第2课时)1．下列命题错误的是( )A．垂直于半径的直线是圆的切线B．如果圆心到一条直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线C．如果一条直线与圆只有唯一一个公共点，那么这条直线是圆的切线D．经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线2．如图，点A在⊙O上，下列条件不能说明PA是⊙O的切线的是( )A．OA2＋PA2＝OP2 B．PA⊥OAC．∠P＝30°，∠O＝60° D．OP＝2OA第2题图3.如图，AB是⊙O的直径，根据下列条件，不能判定直线AT是⊙O的切线的是( )第3题图A．AB＝2，AT＝1.5，BT＝2.5 B．∠B＝45°，AB＝ATC．∠B＝36°，∠TAC＝36°D．∠ATC＝∠B4．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA＝2AP.甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：第4题图(甲)以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，则直线PB即为所求；(乙)作OP的中垂线，交圆O于B点，则直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A．两人皆正确 B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确5．如图，点Q在⊙O上，若OQ＝3cm，OP＝5cm，PQ＝4cm，则直线PQ与⊙O________(填“相交”、“相切”或“相离”)．第5题图6．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为____________．第6题图7.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝40°，则直线BC与⊙O的位置关系为________．第7题图8.如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD＝120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC＝BC；②AC＝OC；③AB＝BD中，能使命题成立的有________(只要填序号即可)．第8题图9.如图，已知点A在⊙O上，根据下列条件，能否判定直线AB和⊙O相切？请说明理由．第9题图(1)OA ＝6，AB ＝8，OB ＝10； (2)tanB ＝34.10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB ，垂足为点P ，直线BF 与AD 的延长线交于点F ，且∠AFB ＝∠ABC.(1)求证：直线BF 是⊙O 的切线． (2)若CD ＝23，OP ＝1，求线段BF 的长．第10题图11．在平面直角坐标系中，以点(2，3)为圆心，2为半径的圆必定( )A ．与x 轴相离，与y 轴相切B ．与x 轴，y 轴都相离C ．与x 轴相切，与y 轴相离D ．与x 轴，y 轴都相切12．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，以点A 为圆心，以3cm 为半径作⊙A ，当AB ＝________cm 时，BC 与⊙A 相切．第12题图13．如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，OC ＝CP ＝2，弦AB⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连结PB.(1)求BC 的长；(2)求证：PB 是⊙O 的切线．第13题图14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，连结OC ，弦AD∥OC ，直线CD 交BA 的延长线于点E.(1)求证：直线CD 是⊙O 的切线； (2)若DE ＝2BC ，求AD∶OC 的值．第14题图参考答案1－4.ADDB 5.相切 6.AB⊥BC(不唯一) 7.相切 8.①②③9.(1)能判定；∵OA 2＋AB 2＝BO 2，∴∠BAO ＝90°.即AB⊥AO，∴AB 是⊙O 的切线； (2)不能判定；△ABO 中，tan B ＝34，无法证明∠BAO＝90°，所以不能判定．10.(1)证明：∵∠AFB＝∠ABC，∠ABC ＝∠ADC，∴∠AFB ＝∠ADC，∴CD ∥BF ，∴∠APD ＝∠ABF，∵CD ⊥AB ，∴AB ⊥BF ，∴直线BF 是⊙O 的切线；第10题图(2)连结OD ，∵CD ⊥AB ，∴PD ＝CP ＝3，∵OP ＝1，∴OD ＝2，∵∠PAD ＝∠BAF，∠APD ＝∠ABF，∴△APD ∽△ABF ，∴AP AB ＝PD BF ，∴34＝3BF ，∴BF ＝433.11．A 12.613.(1)连结OB ，∵弦AB⊥OC，劣弧AB 的度数为120°，∴∠COB ＝60°，又∵OC＝OB.∴△OBC 是正三角形，∴BC ＝OC ＝2； (2)证明：∵BC＝OC ＝CP ，∴∠CBP ＝∠CPB，∵△OBC 是正三角形，∴∠OBC ＝∠OCB＝60°.∴∠CBP ＝30°，∴∠OBP ＝∠CBP＋∠OBC＝90°，∴OB ⊥BP ，∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线．14．(1)证明：连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO ＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO，∴∠COD ＝∠COB.在△COD 和△COB 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠COD ＝∠COB，OD ＝OB ，∴△COD ≌△COB(SAS)，∴∠CDO ＝∠CBO＝90°.又∵点D 在⊙O 上，∴CD 是⊙O 的切线； (2)∵△COD≌△COB，∴CD ＝CB.∵DE＝2BC ，∴ED ＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA ∽△ECO.∴AD OC ＝DE CE ＝23.2.1 直线与圆的位置关系(第3课时)1．下列说法中，正确的是( )A．圆的切线垂直于经过切点的半径B．垂直于切线的直线必经过切点C．垂直于切线的直线必经过圆心D．垂直于半径的直线是圆的切线2．如图，AB与⊙O相切于点B，AO＝6cm，AB＝4cm.则⊙O的半径为( )A．45cm B．25cm C．213cm D.13cm第2题图3.如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于( )第3题图A．20° B．25° C．40° D．50°4．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )第4题图A．点(0，3) B．点(2，3) C．点(5，1) D．点(6，1)5．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝________．第5题图6．如图，AB 是⊙O 的切线，半径OA ＝2，OB 交⊙O 于点C ，∠B ＝30°，则AC ︵的长是________(结果保留π)．第6题图7.如图，两个同心圆，大圆的弦AB 切小圆于点C ，且AB ＝10，则图中阴影部分面积为________．第7题图8.如图，已知⊙P 的半径是1，圆心P 在抛物线y ＝x 2－2x ＋1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为______________．第8题图9．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠CAD. (1)求∠D 的度数； (2)若CD ＝2，求BD 的长．第9题图10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F.。

九年级数学下册第1章解直角三角形 1.1 锐角三角函数第1课时锐角三角函数的概念同步练习 (新版)浙教版

第1章解直角三角形1．1 锐角三角函数第1课时锐角三角函数的概念知识点1 锐角三角函数的定义1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，则sin A ＝________，cos A ＝________， tan A ＝________．2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2＝c 2，那么下列结论正确的是( )A ．sin A ＝a cB ．cos B ＝b cC ．tan A ＝b aD ．tan B ＝b c图1－1－13．如图1－1－1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sin B ＝AC BCC ．sin B ＝AD ACD ．tan B ＝AD BD知识点2 已知三角形的边长或边长之间的数量关系，求三角函数值图1－1－24．2017·湖州如图1－1－2，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos B 的值是( )A.35B.45C.34D.435．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则sin A的值是( )A.12B．2 C.55D.526．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B的值是( )A.512B.125C.513D.12137．如图1－1－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶2，则sin A＝________，cos A ＝________，tan B＝________．1－1－31－1－48．如图1－1－4，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝________．9．分别求出图1－1－5①②所示的直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值、正切值．图1－1－5知识点3 已知三角函数值，求三角形的边长图1－1－610．如图1－1－6，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，sin B ＝35，则AC 的长为( )A ．3B ．9C ．4D ．1211．如图1－1－7，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，tan A ＝12，则AB 的长是( )A ．2B ．8C ．2 5D ．4 51－1－71－1－812．如图1－1－8，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AB ＝15，则△ABC 的周长为________．13．如图1－1－9，A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值错误的是( )A.BD BC B.BC AB C.AD AC D.CD AC1－1－91－1－1014．如图1－1－10，以点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与点A ，B 重合)，连结PO ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(cos α，sin α)D ．(sin α，cos α)15．△ABC 在网格中的位置如图1－1－11所示(每个小正方形的边长均为1)，AD ⊥BC 于点D ，则下列选项中错误．．的是( )图1－1－11A ．sin α＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝116．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm17．课本例3变式如图1－1－12所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝20，S △ABC ＝1003 3，求cos B 及tan B 的值．图1－1－1218．如图1－1－13，直线y ＝12x ＋32与x 轴交于点A ，与直线y ＝2x 交于点B.(1)求点B 的坐标； (2)求sin ∠BAO 的值．图1－1－1319．如图1－1－14，定义：在Rt △ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做∠α的余切，记作cot α，即cot α＝∠α的邻边∠α的对边＝AC BC.根据上述角的余切定义，解答下列问题：(1)cot 30°＝________；(2)已知tan A ＝34，其中∠A 为锐角，试求cot A 的值．图1－1－14。

2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册1.1锐角三角函数同步练习

2018-2019学年初中数学浙教版九年级下册1.1锐角三角函数同步练习一、单1.下列计算正确的是（）A 、sin60°﹣sin30°=sin30°B 、sin 245°+cos 245°=1C 、cos60D 、cos30 +2.在△ABC 中，若tanA=1，sinB= ，你认为最确切的判断是（）A 、△ABC 是等腰三角形B 、△ABC 是等腰直角三角形 C 、△ABC 是直角三角形D 、△ABC 是一般锐角三角形 +3.在Rt △ABC 中，，下列各式中正确的是（）； B 、； C 、，，， A 、； D 、． +4.如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，A O 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于 (???? )A 、B 、C 、D 、 +5.如图，正方形，设中，为的中点，为的值等于（）．上一点，，则A 、B 、C 、D 、 +6.点M(-sin 60°,cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是( )A 、B 、C 、D 、 +7.在△ABC 中,若三边BC,CA,AB 满足BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13,则cosB 的值等于( )A 、B 、C 、D 、 +8.如图,P 是∠α的边OA 上一点,点P 的坐标为(12,5),则∠α的正弦值为( )A 、B 、C 、D 、+9.因为cos60°=，cos240°=﹣，所以cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°；由此猜想、推理知：当α为锐角时有c os（180°+α）=﹣cosα，由此可知：cos210°=（??）A、﹣B、﹣C、﹣D、﹣+10.如图，在△ABC中，BC=10，∠B=60°，∠C=45°，则点A到BC的距离是（）A、10﹣5B、5+5C、15﹣5D、15﹣10+二、填空题11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，如果∠A=α，AC=4，那么BD=．（用锐角α的三角比表示）+12.如图，∠A＝120°，在边AN上取B，C，使AB＝BC．点P为边AM上一点，将△AP B沿PB折叠，使点A落在角内点E处，连接CE，则sin(∠BPE＋∠BCE)＝+13.若α为锐角,且tan (90°-α)=,则tan α=.+14.一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为．+15.阅读理解：已知∠A、∠B是Rt△ABC的两个锐角，锐角∠A的邻边与对边的比值叫做锐角∠A的余切，记作cotA，记cotA= ，则cotB的值等于，已知tanB=．+16.已知α为锐角，当无意义时，tan（α+15°）﹣tan（α﹣15°）的值是．+三、解答题17.计算下面各题：(1)、cos 60°-tan 45°+sin 30°;(2)、-tan245°.+18.已知α为锐角,且=2,求tan α的值.+19.先化简,再求值:÷,其中x=2(tan45°-cos30°). +20.计算:sin 2 1°+sin 2 2°+sin 2 3°+…+sin 2 87°+sin 2 88°+sin 2 89° +21.下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．(1)、sinα+cosα≤1；(2)、sin2α=2sinα． +22.根据已知条件，判断△ABC 的形状：(1)、在△ABC 中,若 +(2)、已知a=3,且(4tan45°-b)2+ =0,判断△ABC 的形状;=0,判断以a,b,c 为边组成的三角形的形状. +23.如图： (1)、已知sinα+cosα= ,求sinαcosα.(2)、已知α为锐角,tanα=2,求的值. +24.【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα= ，求sin2α的值．小娟是这样给小芸讲解的：构造如图1所示的图形，在⊙O 中，AB 是直径，点C 在⊙O 上，所以∠ACB=90°，作CD ⊥AB 于D ．设∠BAC=α，则sinα= ，可设BC=x ，则AB=3x ，…．(1)、【问题解决】请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）(2)、如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P=β，sinβ=，求sin2β的值．+。

浙教版九年级下数学《1.1锐角三角函数》同步练习含答案

1.1锐角三角函数同步练习1、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S+S≥S；③BM⊥DM；△ABC△CDE△ACEA、sinA=B、cosB=2C、tanA=D、cosA=于7、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（（22A、m＞1B、m=112、图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC-CB运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y （cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示，当点P运动5秒4A、1.5cmB、1.2cmC、1.8cm14、已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），111223431111111122333________o222、已知tanα= ，α是锐角，求tan（9O°﹣α），sinα，cosα的值．23、已知[ 4（xy﹣1）﹣（xy+2）（2﹣xy）]÷xy，其中x=（﹣cos60°）2﹣1（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；7（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE 重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．答案部分【答案】A9、=9+8+1-3=15．【答案】解：原式=21、-2+1=1【答案】解：∵如图所示：tanB=tanα= ，∴设AC=2x，BC=5x，则AB= x，﹣1﹣122222222【答案】解：（1）∵CD切⊙O于点D，∴CD⊥OD，∴tan∠C=；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠1=∠2=45°，AE=1 1即∠DEO=∠BAE满足△DEO∽△BAE的条件，因此O点是符合条件的P 点，坐标为（0，0）．12222 2 2 223若以D、E、P 为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP=∠AEB=90°，3；33333123（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．解得：由△AHD∽△FHM，得：=，即=解得HK=2t．22阴222阴．。

九年级数学下册第1章解直角三角形 1.1 锐角三角函数(1)练习 (新版)浙教版

第1章解直角三角形1.1 锐角三角函数(1)(见A 本51页)A 练就好基础基础达标1．在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大到原来的2倍，则锐角A 的正弦值( A ) A ．不变 B ．扩大到原来的2倍 C ．缩小到原来的12D ．不能确定2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，那么cos A 的值等于( A )A.45B.35C.43D.343．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AB ＝3，则下列结论中正确的是( C ) A ．sin A ＝53B ．cos A ＝23C ．sin A ＝23D ．tan A ＝524．在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，则tan B ＝( B )A.43B.34C.35D.455．如图所示，已知⊙O 的半径为5 cm ，弦AB 的长为8 cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2 cm ，则tan ∠OPA 等于( D )5题图A.32B.23C ．2D.12 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为( A ) A.154B.14C.1515D.417177．龙岩中考如图所示，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝2．7题图第8题图8．攀枝花中考如图所示，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin ∠OBD ＝__35__．第9题图9．如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC 于点D ，∠CBD ＝α，AB ＝3，BC ＝4，求sin α，cos α，tan α的值．解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD＝90°， ∵BD ⊥AC ，∴∠A ＋∠ABD＝90°， ∴∠A ＝∠CBD＝α，∵∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，∴AC ＝5，sin α＝sin A ＝BC AC ＝45，cos α＝35，tan α＝43.第10题图10．如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ∶BC ＝2∶5，且S △ABC ＝103，求tan C的值．第10题答图解：如图，过A 作AD⊥BC 于点D ， ∵∠B ＝60°，∴∠BAD ＝30°， ∴AB ∶BD ＝2∶1，又∵AB∶BC＝2∶5，∴AB ∶BD ∶BC ＝2∶1∶5，设AB ＝2k ，则BD ＝k ，BC ＝5k(k ＞0)，∴AD ＝3k ，∵S △ABC ＝103，∴12BC ·AD ＝103，即12·5k ·3k ＝103，∴k ＝2，∴AD ＝23，CD ＝BC －BD ＝10－2＝8， tan C ＝AD CD ＝238＝34.B 更上一层楼能力提升第11题图11．丽水中考如图所示，点A 为∠α边上任意一点，作AC⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列选项中用线段比表示cos α的值，错误的是( C )A.BDBCB.BC ABC.ADACD.CD AC12．菱形ABCD 的对角线AC ＝10 cm ，BD ＝6 cm ，那么tan B2为( A )A.53B.54C.534D.33413．已知α是锐角，tan α＝724，则sin α＝__725__，cos α＝__2425__．第14题图14．绵阳中考如图所示，在等边△ABC 内有一点D ，AD ＝5，BD ＝6，CD ＝4，将△ABD 绕A 点逆时针旋转，使AB 与AC 重合，点D 旋转至点E ，求∠CDE 的正弦值．(海伦公式：三边长分别为a ，b ，c 的三角形的面积公式为S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中p 为三角形周长的一半)第14题答图解：如图，过E 作EH⊥DC 于点H. ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝60°.∵△ACE 是由△ABD 旋转而成的，∴∠DAE ＝∠CAE＋∠DAC＝∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝60°， AD ＝AE ＝5，∴△ADE 是等边三角形，∴DE ＝5，又∵ BD＝CE ＝6，∴△CDE 的三边长分别为CD ＝4，DE ＝5，CE ＝6. 根据海伦公式得△CDE 的面积为1574，所以EH ＝1578，sin ∠CDE ＝EH ED ＝378.C 开拓新思路拓展创新15．在Rt △ABC 中，两边的长分别为3和4，则最小角的正弦值为4或35__． 16．自贡中考如图所示，在边长相同的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点P ，则APPB＝__3__，tan ∠APD ＝__2__．第16题图。

2019秋浙教版数学九年级下册同步测试试题：1.1锐角三角函数

第1章解直角三角形1．1锐角三角函数第1课时锐角三角函数的概念知识点1.正弦的定义1．在如图1的正方形网格中，sin∠AOB的值为(D)A.12B．2 C.55 D.255图1第1题答图【解析】如答图，作EF⊥OB，则EF＝2，OF＝1，由勾股定理得OE＝5，∴sin∠AOB＝EFOE＝255.2. 如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝10，则下列不正确的是(A)图2A．sin B＝22B．BC＝5C．AC＝5 3 D．sin A＝1 23．Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝15，AC＝8，则sin A＋sin B＝__2317__．【解析】由勾股定理得c＝a2＋b2＝17，则sin A＝1517，sin B＝817，∴sin A＋sin B＝23 17.4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝13，AB＝4，则BC的值为__43__．【解析】∵sin A＝13，c＝4，∴a＝c sin A＝4×13＝43.5．如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D点，若AC＝8，BC＝6，则sin∠ACD的值为__45__．图3【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD ＝∠B，∴sin∠ACD＝sin B＝ACAB＝810＝45.6．如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sin A和sin B的值．图4 解：①∵AC＝5，BC＝3，∴AB＝52＋32＝34，∴sin A＝BCAB＝33434，sin B＝ACAB＝53434；②∵AC＝1，AB＝5，∴BC＝5－12＝2，∴sin A＝BCAB＝255，sin B＝ACAB＝55.知识点2.余弦、正切的定义7．如图5，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝12，则BC的长是(A)图5A．2 B．8C．2 5 D. 5【解析】∵tan A＝12＝BCAC，AC＝4，∴BC＝2.8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝24.(1)求AB的长；(2)求sin A，cos A，tan A的值．解：(1)由勾股定理得AB＝AC2＋BC2＝72＋242＝25；(2)sin A＝BCAB＝2425，cos A＝ACAB＝725，tan A＝BCAC＝247.知识点3.锐角三角函数的概念9．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝34，则cos B的值为(B)A.74 B.34 C.35 D.45【解析】sin A＝BCAB＝34，∴cos B＝BCAB＝34.10．已知等腰三角形的腰长为6，底边长为10，则底角的正切值为5．【解析】如答图，过A点作AD⊥BC，垂足为D，AB＝AC＝6，BC＝10，第10题答图由等腰三角形的性质可知，BD＝12BC＝5，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝AB2－BD2＝11，∴tan B＝ADBD ＝115.易错点：已知一个函数值，求另一个函数值，不会用设参法求解．11．如图6所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝33，求cos A，tan B的值．图6解：∵sin A＝33，∴设BC＝3k，AB＝3k(k>0)．由勾股定理，得AC＝AB2－BC2＝6k.∴cos A＝63，tan B＝ 2.第2课时特殊角的三角函数值知识点1.运用特殊角的三角函数值进行计算1．[2018春·和平区校级月考]sin60°＋sin45°的值等于(B)A. 2B.3＋2 2C. 3 D．1 2．计算：tan45°＋2cos45°＝__2__．【解析】tan45°＋2cos45°＝1＋2×22＝1＋1＝2.3．计算：(1)sin30°＋cos45°；(2)cos30°·tan30°－tan45°；(3)sin260°＋cos260°；(4)22sin45°＋sin60°·cos45°.解：(1)原式＝12＋22＝1＋22；(2)原式＝32×33－1＝12－1＝－12；(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1；(4)原式＝22×22＋32×22＝2＋64. 知识点2.由特殊角的三角函数值求角的度数4．李红同学遇到了这样一道题：tan(α＋10°)＝1，你猜想锐角α的度数应是( B ) A ．40° B ．35° C ．20° D ．10°【解析】 ∵tan(α＋10°)＝1，∴α＋10°＝45°，解得α＝35°.故选B. 5．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( D )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【解析】由题意得sin A ＝12，cos B ＝12，则∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠C ＝90°.故选D.6．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝23，则∠A ＝__60°__．【解析】 ∵∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝23，∴tan A ＝BC AC ＝3，∴∠A ＝60°.易错点：记错特殊角的三角函数值发生的错误． 7．计算： (1)cos30°－sin45°sin60°－cos45°； (2)sin 230°＋2sin60°＋tan45°－tan60°＋cos 230°； (3)1－2tan60°＋tan 260°－tan60°. 解：(1)原式＝32－2232－22＝1； (2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2×32＋1－3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝2；(3)原式＝|1－tan60°|－tan60°＝3－1－3＝－1.。

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1.1 锐角三角函数（1）同步练习
◆基础训练
1．把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′B．cosA=3cosA′C．3cosA=cosA′D．不能确定
2．如图1，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且PM：OM=3：4，则
cosα的值等于（）
A．3
4
B．
4
3
C．
4
5
D．
3
5
图1 图2 图3
3．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列各项中正确的是（）A．a=c·sinB B．a=c·cosB C．a=c·tanB D．以上均不正确
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=2
3
，则tanB等于（）
A．3
5
B．
5
C．
2
5
5D．
5
5．在Rt△ABC中，∠C=900167，AC=5，AB=13，则sinA=______，cosA=______，•tanA=_______．6．如图2，在△ABC中，∠C=90°，BC：AC=1：2，则sinA=_______，cosA=______，tanB=______．7．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，b=20，c=202，则∠B的度数为_______．
8．如图1－1－6，在△CDE中，∠E=90°，DE=6，CD=10，求∠D的三个三角函数值．
◆提高训练
9．已知：α是锐角，tanα=7
24
，则sinα=_____，cosα=_______．
10．如图，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，•另一边经过点P（2，23），求角α的三个三角函数值．
11．在Rt△ABC中，两边的长分别为3和4，求最小角的正弦值．
12．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求sinα，cosα，tanα的值．
◆拓展训练
13．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，•根据勾股定理有公式a2+b2=c2，
根据三角函数的概念有sinA=a
c
，cosA=
b
c
，sin2A+cos2A=
2222
222
a b a b
c c c
+
+==1，
sin
cos
A
A
=
a
c
÷
b c =
a
b
=tanA，•其中sin2A+cos2A=1，
sin
cos
A
A
=tanA可作为公式来用．例如，△ABC中，∠C=90°，sinA=
4
5
，
求cosA，tanA的值．
解法一：∵sin2A+cos2A=1；
∴cos2A=1－sin2A=1－（4
5
）2=
9
25
．
∴cosA=3
5
，tanA=
sin
cos
A
A
=
4
5
÷
3
5
=
4
3
．
解法二：∵∠C=90°，sinA=4
5
．
∴可设BC=4k，AB=5k．由勾股定理，得AC=3k．
根据三角函数概念，得cosA=3
5
，tanA=
4
3
．
运用上述方法解答下列问题：
（1）Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=3
5
，求cosA，tanA的值；
（2）Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=
5
，求sinA，tanA的值；
（3）Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=1
2
，求sinA，cosA的值；
（4）∠A是锐角，已知cosA=15
17
，求sin（90°－A）的值．
答案:
1．A 2．C 3．B 4．C 5．1213，513，125
6．
1
5
25
2 7．45°
8．sinD=
45，cosD=35，tanD=43 9．724
,2525 •
10．sin α=
2，cos α=12，tan α 11．3
5或4 12．sin α=
45，cos α=3
5
，tan α=43
13．（1）45，34 （212 （3 （4）15
17。