与三角形的“心”有关的解析几何问题
平面向量与三角形“四心”
解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA 121平面向量与三角形“四心”◎胡建勋刘健( 永吉实验高中132200)平面向量是高中数学的重要工具之一，它不仅可以把几何问题转化为代数问题求解，也可以把代数问题转化为几何问题求解． 它与高中数学的许多模块( 三角函数，平面解析几何，立体几何，数列，不等式等) 都有紧密联系． 借助平面向量研究三角形“四心”问题更会起到意想不到的效果． 本文仅从几个方面加以说明，以餐读者．一、“三角形四心”的向量表示1． 三角形重心的向量表示→ → →G 是△ABC 重心 GA + GB + GC = 0 若 D ，E ，F 分别为→ → → → → →AB ，BC ，CA 中点则CG = 2 GD ( 或AG = 2 GE ，BG = 2GF ) 2． 三角形外心的向量表示 →→ →O 是 △ABC 外 心，==OB OC ( → →→ → →→ → →→OA + OB )·AB = ( OB + OC )·BC = ( OA + OC ) ·AC = 0．3． 三角形内心的向量表示 (→ → )→ →I 是 △ABC 内 心IA ·= IB ·( → → ( →→= IC·= 0．4． 三角形垂心的向量表示H 是 △ABC→→ → → → →垂心 HA ·BC = HB ·AC = HC ·AB→ → → → → →HA·HB = HB·HC = HC·HA ．二、“三角形四心”相关问题 1．“三角形四心”的判定解题策略 利用向量运算化简题干中的向量等式，再据“三角形四心”的向量表示判定． 例，(→→)1 点 O 为 △ABC 所在平面内一点OA + OB ·→ ( → →) → ( → →) →AB = OB + OC ·BC = OA + OC ·OB = 0，则 O 是△ABC() ．A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心→解析 设 D 为 AB→ →边中点，( OA + OB ) = 2 OD ，由→ →→ → →( OA + OB )·AB = 0，∴ OD·AB = 0，O 在 AB 垂直平分线上，同理 O 应在 BC ，AC 垂直平分线上．∴ O 是△ABC 外心． 应选 B ．例 2 点 O 为△ABC 所在平面内一点，且满足→2 +OA BC → 2 = OB → 2 + AC → 2 = OC → 2 +AB →2 ，则 O 是 △ABC的( ) ． A ． 重心 B ． 外心 C ． 内心 D ． 垂心解析由→2 +→2 = → 2 +→ 2得，OABC OB AC → → → →→ → →→→ ( AC － BC ) ( AC + BC ) + ( OB － OA ) ( OB + OA ) =0， AB( → →) →( → →)AC + BC + AB OB + OA = 0．→ →2 AB·OC = 0，则 O 是△ABC 中 AB 边的高上，同理 O 应在△ABC 中 AC ，BC 边的高上， ∴O 是△ABC 垂心． 应选 D ．2．“三角形四心”与动点轨迹解题策略: 探究动点经过特殊点问题，首先据题干给出的向量等式，利用向量运算化简后，结合向量运算的几何意义，判定动点轨迹特征． 例 3 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所→ →( → → )，则 P 点轨在平面内一动点，若OP = OA + λ 迹一定通过△ABC 的() ．A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心( → → )解析由若+ →OP = OA + λ→→AP =→→→→分别为→，→同向的单位向λ量，AP 与∠A 平分线所在直线共线， ∴ P 过△ABC 内心，应选 C ．例 4 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所( → →) ( → →)在平面内一动点，若 OP － OA · AB － AC = 0，则 P 点轨迹一定通过△ABC 的A ． 重心B ． 外心C ． 内心D ． 垂心解析→ → → → → →→ →AB － AC = CB ，OP － OA = AP ，又∵ ( OP － OA )·( → →)AB － AC= 0，→ →→ →∴ AP·CB = 0，AP ⊥BC ． ∴ P 在过 A 点且垂直于 BC 的垂线上，点 P 轨迹过 △ABC 的垂心应选 D ．例 5 点 O 是△ABC 所在平面内一定点，P 是△ABC 所→ →→→，则 P 点轨迹一定通过△ABC 的() ． A ． 重心 B ． 外心C ． 内心 D．垂心→ → →→得:解析由OA = OP + λ+→→，→ →= λ= 0．→ →∴ PA ⊥BC ．∴ P 在过 A 点且垂直于 BC 的直线上，( 转下页)数学学习与研究 2016. 9解题技巧与方法122 JIETI JIQIAO YU FANGFA数列{ n2 }和 S n 的新求法◎郑晶晶 ( 永嘉县东瓯街道办事处消防办，浙江温州 325100) 【摘要】介绍数列{ n2}和 S n的新求法．【关键词】数列; 初等数学= 4 + 4 + 4 + 4笔者在文中介绍了数列{ n2}和 S n的新求法．其很好的= 3 + 3 + 3 = 2 + 2展现了数学之美且易懂．= 1．即: T n + S n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］一式: n2 = 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n － 3) + ( 2n － 1) +［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］= 2 + 4 + 6 + 8 + … + ( 2n － 2) + 2n － n=［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］·2 － n．+［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］得到三式:( n2 + n) /2 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n +［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］(在这里我们把等号的右边部分看作数列{ n( n + 1) /2}其+［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］．和 T n．(上共有( n + 1)个［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］相T n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］+ 加)［1 + 2 + 3 + … + ( n － 1)］所以容易得出T n + S n =［1 + 2 + 3 + 4 + … + ( n － 1) + n］·( n + 1) + ( 1 + 2 + 3 + 4) = n·( n + 1) /2·( n + 1)+ ( 1 + 2 + 3) =［n·( n + 1)2］/2．+ ( 1 + 2) 又因为 T n为数列{ n( n + 1) /2}和，+ 1．因为 n( n + 1) /2 = ( n2 + n) /2，二式: n2 = n + n + n + … + n + n．(此处共有 n 个 n 相所以 Tn=［n( n + 1) /2 + S ］/2．加) 所以 T n + S n =［n( n + 1) /2 + S n］/2 + S n．所以所以［n( n + 1) /2 + S n］/2 + S n =［n·( n + 1)2］/2．S n = n + n + n + … + n + n．(此处共有 n 个 n 相加) 最后得出 S n = n( n + 1) ( 2n + 1) /6．= n + n + n + … + n(此处共有 n － 1 个 n － 1 相加)( 接上页)∴ P 在 BC 边高上，应过△ABC 的垂心，应选 D．→例 6 在△ABC 中，动点 M →2 －→2 →满足AC AB = 2 AM·BC，则点 M 一定通过△ABC 的( ) ．A．重心B．外心C．内心→2－→2D．垂心→ →→→解析由 AC AB = 2 AM · BC 得: ( AC － AB )→ →→→( AC + AB) = 2 AM·BC→→→→→→设 D 为 BC 中点，AC + AB = 2 AD，2 BC·AD = 2 AM·→ → →BC，BC·MD = 0．M 点应在 BC 的垂直平分线上．应选B．3．“三角形四心”的应用解题策略: 利用向量法解决有关“三角形四心”相关问题，首先确定一组基底，再根据“三角形四心”的向量表示，用向量线性运算，模的运算，向量数量积运算等简化( 经常利用正弦定理和余弦定理) 题干条件．例 7 G 是△ABC 的重心，AB，AC 的边长为 2 和 1，→→) ．∠BAC = 60°，则AG·BG等于(A．8 B．－1099C．5 －槡3 D．－5 + 槡39 9→ 1 → →解析AG = ( AB + AC)，3→ 1 →→ 1 →→BG = ( BC + BA) = ( AC － 2 AB)．3 3→ → 1 →→ 1 →→AG·BG = ( AB + AC) ×( AC － 2 AB)3 31 →2 →→→2)8= ( AC － AB·AC － 2 AB = －．9 9→例 8 O 是外接圆半径为 1 的△ABC 外心，且满足了 3 →→→→OA + 4 OB + 5 OC = 0，则OA·BC =→→→→→→解法 1 →→→OA·BC = OA ( OC － OB) = ，OA ·OC － OA ·→= →= →，OB又∵OA OB OC→→→3 OA +4 OB +5 OC = 0，∴ 9 → 2 →→→= 25 → 2OA + 12 OA·OB + 16 OB OC→→→→→→ 2 →→OA·OB = 0，3 OA + 5 OC = － 4 OB，9 OA + 30 OA·→ 2 = 16 → 2OC + 25 OC OB→ → 3 → → 3∴ OA·OC = －，∴ OA·BC = －．5 5→→解法 2 →→→→由 3 OA + 4 OB + 5 OC = 0，则以 3 OA，4 OB，5 →→OC为边可构成一个边长为3，4，5 的三角形，OA ·BC =→·→cos ∠AOC －→·→cos ∠AOB = cos OA OC OA OB∠AOC － cos∠AOB．∵ cos∠AOB = ，cos∠AOC = －3 →→ 3，∴ OA·BC = －．5 5数学学习与研究2016. 9。
第八讲 三角形的重心
第八讲三角形的重心-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1第八讲 三角形的重心、垂心、外心和内心初中阶段我们已经学习了关于三角形的边和角的许多性质，也涉及三角形边上中线、高线、垂直平分线以及内角平分线的一些性质。
例如，线段（如三角形的一边）的垂直平分线上的点和这条线段两站点的距离相等。
反之，和一条线段两个端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上；角（如三角形的一个内角）的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
反之，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，诸如此类。
涉及一个三角形的三条中线、三条高线、三条边的垂直平分线以及三个内角平分线的性质及相互关系是中学平面几何的重要内容。
在高中学习中，会涉及三角形三条中线交点、三条高线交点、三条边的垂直平分线交点以及三个内角平分线交点，即三角形的几个“巧合点”。
本节将对这些知识作较系统的阐述。
一、三角形的重心如图8-1，在△ABC 中，AD 、BD 是两条中线，记它们的交点为G ，连接DE 、DE 是三角形的中位线。
∴DE ∥AB ，且.21AB DE ∴∠GAB=∠GDE ，∠GBA=∠GED.∴△AGB ∽△DGE ，且相似比为2：1.∴AG=2GD ，BG=2GE. 于是得到关于三角形中线的一个重要性质：三角形的两条中线的交点把这两条中线都分成2：1的两段。
现在再研究第三条中线与其他两条中线交点有什么特殊性质。
图8-1图8-2如图8-2，设△ABC 的两条中线AD 、BE 交于G ，中线CF 、BE 交于G ′.由已知的三角形中线的性质，则有BG=2GE ，且BG ′=2G ′E ，CG ′=2G ′F.∴G ′与G 重合，则三角形的三条中线相交于一点，且该点把三角形的各中线分成长度比为2：1的两段，这个交点称为三角形的重心。
三角形的重心必在三角形的内部。
今后我们也常说：三角形的重心把中线分成2：1的两段。
例1 如图8-3，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 边AD 、CD 的中点，BE 和BF 分别交对角线AC 于M 、N ，求证：AM=MN=NC 。
三角形的内心
在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，经常需要确定一个点到一条直线的距离，如果这个点位于一个三角形内部，那么可以通过作这个 三角形的内心，然后测量内心到直线的距离来解决问题。
工程问题
在工程问题中，经常需要确定一个点到三个点的距离之和最小，这个点就是这三个点构成的三角形的内心。例如 ，在通信网络中，为了最小化信号传输的延迟和能量消耗，可以选择将信号发射器放置在三角形的内心位置。
通过内心到三角形一边的垂线与该边 构成的直角三角形，可以求出内心的 坐标。
其他特殊三角形内心求解方法
对于等边三角形，内心即为重心、外心、垂心，可以通过等边三角形的性质直接求 出。
对于直角三角形，内心位于斜边中点与直角顶点连线的中点上，可以通过直角三角 形的性质求出。
对于等腰三角形，内心位于底边中点与顶点连线的中点上，可以通过等腰三角形的 性质求出。
03
三角形内心性质探究
内心到三边距离相等定理
内心到三角形三边的距离相等，这个距离称为内切圆半径。
若三角形三边长分别为a、b、c，内切圆半径为r，则三角形 面积S=(a+b+c)r/2。
内心与外接圆关系定理
三角形的内心与外接圆的圆心（外心）的连线垂直于经过 内心的三角形的一边，且等于这边所对的顶点到内心的距 离的2倍。
在数学竞赛中应用
求解最值问题
在数学竞赛中，经常遇到求解最值问 题，如求一个点到三角形三个顶点的 距离之和的最小值。这类问题可以通 过作三角形的内心并应用内心的性质 来求解。
证明不等式
在数学竞赛中，有时需要证明与三角 形相关的不等式。通过引入三角形的 内心并应用内心的性质，可以简化证 明过程并找到解决问题的突破口。
多边形内心应用前景展望
解三角形题型汇总(最新人教版优质教案)( 含解析 )
解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos Bcos C=-b2a+c，②sin Asin B-sin C=b+ca+c，③2S=-3BA⋅BC三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且______，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足∠ACD=π3，AD=3，求BC的取值范围.例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD中∠BAC=90∘，∠ABC=30∘，AD⊥CD，设∠ACD=θ.(1)若ΔABC面积是ΔACD面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB=π6，求tanθ.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A=150∘，点D在边BC上，满足CD=2BD，且sin∠BADb+sin∠CADc=32a．(1)求证：AD=13a；(2)求cos∠ADC．例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设(sin A +sin B+sin C)⋅(sin A+sin B-sin C)=2sin A sin B.(1)求C；(2)若D为BC边上的点，M为AD上的点，CD=1，∠CAB=∠MB D=∠D MB.求AM．例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD中，AB2+BC2+AB⋅BC=AC2．(1)若AB=3BC=3，求△ABC的面积；(2)若CD=3BC，∠CAD=30∘，∠BCD=120∘，求∠ACB的值．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D .(1)证明：AB AC=DB DC ，AD 2=AB ⋅AC -DB ⋅DC ；(2)若AD =1，A =2π3，求DB ⋅DC 的最小值.例⒔(2022·湖北武汉·二模)如图，△ABC内一点P满足PB⊥PC,AC=BP=2.(1)若AB=6,PC=2，求sin∠ACP的值；(2)若AB=5,sin∠ACP=110，求AP的长.例⒕(2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习)如图，在凸四边形ABCD中，已知AB=AD=4，BC=6．(1)若∠ADB=π6，C=π3，求cos∠BDC的值；(2)若CD=2，四边形ABCD的面积为4，求cos A+C的值．例⒖(2021·全国·高考真题)记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC 上，BD sin∠ABC=a sin C.(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.例⒗(2022·全国·高三专题练习(理))如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC= 90°．(1)证明：cos∠ADB+sin C=0；(2)若AB=27，BC=2，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．①sin∠ABC=32114；②AC=3AD．注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．例⒘(2022·重庆·二模)已知△ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求S△AMNS△ABC的最大值.题型三：张角定理与等面积法例⒙(广东省2022届高三三模数学试题)已知△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2a sin A= 2b+csin B+2c+bsin C.(1)求角A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=2，b=3，求△ABC的面积.例⒚(2022·湖北武汉·模拟预测)在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c -b sin C =a -b sin A +sin B(1)求A ；(2)若D 为BC 上的点，AD 平分角A ，且c =32，AD =3，求BD DC.例⒛(2022·辽宁·高一期中)如图，在△ABC 中，AB =2，3sin 2B -2cos B -2=0，且点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC =2π3，求AD 的长；(2)若BD =2DC ，sin ∠BAD sin ∠CAD=42，求△ABD 的面积．例21(2022·江苏·华罗庚中学三模)在△ABC 中，已知AB =4，AC =5，cos B =57. (1)求sin A 的值；(2)若AD 是∠BAC 的角平分线，求AD 的长．例22(2022·山东淄博·三模)已知函数f(x)=3sinωx cosωx-cos2ωx+12(ω>0)，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为4+π2 4．(1)求函数f(x)的解析式；(2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=4，bc=12，f(A)=1．若角A的平分线AD交BC于D，求AD的长．例23(2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习(理))在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2b cos C=2a+c．(1)求角B的大小；(2)若b=23，D为AC边上的一点，BD=1，且______，求△ABC的面积．①BD是∠B的平分线；②D为线段AC的中点．(从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)．题型四：角平分线问题例24(2022·北京·首都师范大学附属中学三模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且3sin π6+B +sin π3-B =0.(1)求∠B 的值；(2)给出以下三个条件：条件①：a 2-b 2+c 2-3c =0；条件②a =3；条件③S △ABC =1534.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：(i )求sin A 的值；(ii )求∠ABC 的角平分线BD 的长.例25(2022·江苏·南京师大附中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2c b=1+tan A tan B .(1)求角A ；(2)角A 的内角平分线交BC 于点M ，若a =47，AM =33，求sin ∠AMC .例26(2022·北京八十中模拟预测)在△ABC中，3sin B+π6=-cos B+π6.(1)求B的值；(2)给出以下三个条件：①a2-b2+c2+3c=0；②a=3，b=1；③S△ABC=1534，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sin A的值；(ii)求∠ABC的角平分线BD的长.例27(2022·河南·模拟预测(理))如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠ACB的平分线分别交AB，AD于E，F两点．(1)证明：sin∠ABC⋅sin∠CAD=sin∠ACB⋅sin∠BAD；(2)若∠BAC=π2，sin∠ABC=23，AD=32，求DE．例28(2022·广东佛山·三模)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b sin A+3a cos B= 0，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2．(1)求B；(2)若a=3，求b．例29(2022·山东潍坊·模拟预测)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为3a2+b2-c24．(1)求∠C；(2)若∠A=π2，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE=DE，求cos∠ADB．题型五：中线问题例30(2022·广东佛山·高三期末)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C=(2b-c) cos A.(1)求角A的大小；(2)若b=2,BC边上的中线AD=3，求△ABC的面积.例31(2022·全国·模拟预测)在△ABC中．sin A cos A-π6=34．(1)求角A；(2)若AC=8，点D是线段BC的中点，DE⊥AC于点E，且DE=334，求CE的长．例32(2022·海南海口·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=π3，b=75a．(1)求sin A；(2)若a=5，AB边的中点为D，求CD．例33(2022·山东·烟台二中模拟预测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C+3c sin Ba+c=1．(1)求角B的大小；(2)设D，E分别为边AB，BC的中点，已知△BCD的周长为3+3，且AECD=192，若c<5a，求a．例34(2022·新疆克拉玛依·三模(理))在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若2a2=a2+c2-b21-sin B cos B．(1)求角C；(2)若c=210，sin A=1010，D为AC的中点，求BD的长度．例35(2022·湖北·模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b2+c2-a2=2ab sin C.(1)求角A；(2)若AB=32,AC=3，点P在线段BC上，且CP=13CB,Q是线段AC中点，AP与BQ交于点M，求cos∠A MB.例36(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=b cos C+33c sin B．(1)求B；(2)若c=1，a=3，AC的中点为D，求BD的长．题型六：高问题例37(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2-b2=c a cos B-b2．(1)求角A的大小；(2)若c=8，△ABC的面积为43，求BC边上的高．例38(2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测)从①A为锐角且sin B-cos C=c2-a22ab；②b=2a sin C+π6这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C 的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若b=34c且BC边上的高AD为23，求CD的长．例39(2022·北京房山·二模)在△ABC中，a cos B+12b=c,b=2.(1)求∠A；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上的高.条件①：cos B=-23；条件②：sin B=22；条件③：△ABC的面积为3+32.注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.例40(2022·山东青岛·一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B-sin C2=sin2A -sin B sin C．(1)求角A；(2)若b=5，BC边上的高为1077，求边c．例41(2022·福建·模拟预测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c-b=2a cos B.(1)求角A；(2)若3b2sin B+c-b2cos B=7，b-c=2，求BC边上的高.题型七：重心性质及其应用例42(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)如图，在△ABC 中，已知AB =2，AC =23，∠BAC =30°，BC 边上的中线AM 与∠ABC 的角平分线BN 相交于点P ．(1)∠MPN 的余弦值．(2)求四边形PMCN 的面积.例43(2022·全国·高三专题练习)G 是△ABC 的重心，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，若20aGA +15bGB+12cGC =0 ，则cos A =( )A.0B.35C.45D.1例44(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B +3a sin B=c +1，b =1，点G 是△ABC 的重心，且AG =213，则△ABC 的面积为( )A.32B.3C.3D.23例45(2022·全国·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的外接圆的面积为π，b -c sin B +2sin 2C =a sin A ．(1)求A ；(2)AD 是角A 的平分线，若BD =3DC ，△ABC 的重心为G ，求AG 的长．题型八：外心及外接圆问题例46(2022·全国·高三专题练习)设O 为△ABC 的外心，若AO =AB +2AC ，则sin ∠BAC 的值为___________.例47(2022·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习)在△ABC 中，AB =4，AC =6，BC =5，点O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC，则λ+μ=( )A.23B.35C.47D.59例48(2022·广东·模拟预测)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A .从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心；③O 为△ABC 的重心.(1)求A ；(2)若b =6,c =10，__________，求△OBC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.例49(2022·黑龙江齐齐哈尔·二模(理))△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A ．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．(1)求A ；(2)若b =3,c =5，________，求△OBC 的面积．例50(2022·江苏省白蒲高级中学高三阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；3b=4c，cos C=45.(1)求cos A的值；(2)若△ABC的外心在其外部，a=7，求△ABC外接圆的面积.例51(2022·辽宁·三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A=π3，c=4.(1)若sin B-cos B=22，求△ABC外接圆的直径；(2)若a=13，求△ABC的周长.例52(2022·四川·树德中学模拟预测(理))已知的数f x =3sin x2cosx2-cos2x2+12．(1)求f x 的单调增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f A =12，a=3，求△ABC外接圆的面积．例53(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B -C =cos A 23b sin C -a .以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3.(1)求A ；(2)若a =3，△O 1O 2O 3的面积为7312，求△ABC 的周长.题型九：两边夹问题例54(2021•双流区校级模拟)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A +sin A -2sin B +cos B=0，则a +b c 的值是( )A.2 B.3 C.2 D.1例55(2020•苏州二模)在ΔABC中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若2sin2B+3sin2C= 2sin A sin B sin C+sin2A，则tan A= ．例56(2013•成都模拟)在ΔABC中，若(cos A+sin A)(cos B+sin B)=2，则角C= ．例57(2018•如皋市二模)在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，设S是ΔABC的面积，若b2+ c2=13a2+433S，则角A的值是 ．题型十：内心及内切圆问题例58(2022·全国·高三专题练习)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，a=6，b+12cos B=2c.(1)求A的大小；(2)M为△ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，________，求△ABC的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使△ABC存在，并解决问题.①M为△ABC的外心，AM=4；②M为△ABC的垂心，MD=3；③M为△ABC的内心，AD=33.例59(2022·安徽·芜湖一中一模(理))已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C= sin A2-cos A(1)求b c的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN⎳BC且c=2，求a的值．例60(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A 为锐角，a =32，AB ⋅AC =3，再从条件①：b sin B +C 2=a sin B ，条件②：b tan A =(2c -b )tan B ，这两个条件中选择一个作为已知.求：(1)角A ；(2)△ABC 的内切圆半径r .例61(2022·陕西·武功县普集高级中学一模(文))在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b =4，c =2，且sin C =sin B +sin (A -B )．(1)求角A 和边a 的大小；(2)求△ABC 的内切圆半径．例62例62．(2022·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AD 平分∠BAC .(1)求证：BDDC =AB AC；(2)若AC =2，CD =1，AD =322，求△ABC 的内切圆面积.例63(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3b sin C-c cos B tan C=a.(1)求角A；(2)若△ABC的内切圆面积为4π，求△ABC面积S的最小值.例64(2022·全国·高三专题练习)已知函数f x =23sin x cos x+2cos2x(1)求函数f x =23sin x cos x+2cos2x的对称轴；对称中心；单调递增区间；(2)在ΔABC中，a,b,c分别是A,B,C所对的边，当f A =2，a=2时，求ΔABC内切圆面积的最大值.例65(2022·河南南阳·高三期末(理))在△ABC中，3sin C+cos C=sin B+sin Csin A.(1)求A；(2)若△ABC的内切圆半径r=2，求AB+AC的最小值.例66(2022·陕西·模拟预测(文))已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a =6,b =54c ,A =2C ，设O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为_________．例67(2022·全国·高三专题练习)已知点O 是ABC 的内心，若AO =49AB +19AC ，则cos ∠BAC =( )A.15B.16C.18D.19解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos B cos C =-b 2a +c ，②sin A sin B -sin C =b +c a +c ，③2S =-3BA ⋅BC 三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB ⊥AD ，使得四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =3，求BC 的取值范围.【答案】(0,2).【解析】根据题意，选择①②③求得B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理求得AC =2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理求得可得BC =43sin θ+π6 ⋅sin θ=233sin 2θ-π3 +1，结合0<θ<π3和三角函数的性质，即可求解.【详解】若选①：由cos B cos C =-b 2a +c ，根据正弦定理可得cos B cos C =-sin B 2sin A +sin C，即2sin A cos B +sin C cos B =-sin B cos C ，即2sin A cos B =-sin B cos C -sin C cos B =-sin B +C =-sin A ，可得cos B =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).选②：由sin A sin B -sin C =b +c a +c ，根据正弦定理可得a b -c =b +c a +c ，可得a 2+ac =b 2-c 2，即a 2+c 2-b 2=-ac ，又由余弦定理，可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =-ac 2ac =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).若选③：由2S =-3BA ⋅BC ，可得2×12ac sin B =-3ac cos B ，即sin B =-3cos B ，可得tan B =-3，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD 中∠BAC =90∘，∠ABC =30∘，AD ⊥CD ，设∠ACD =θ.(1)若ΔABC 面积是ΔACD 面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB =π6，求tan θ.【答案】(1)sin2θ=32(2)tan θ=32【解析】(1)设AC =a ，可求AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S △ABC =4S △ACD ，利用三角形的面积公式即可求解；(2)在△ABD 中，△BCD 中，分别应用正弦定理，联立可得2sin π3+θ=3sin θ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】(1)设AC =a ，则AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S ΔABC =4S ΔACD ，则12a ⋅3a =4⋅12a cos θ⋅a sin θ，所以sin2θ=32.(2)由正弦定理，ΔABD 中，BD sin ∠BAD =AB sin ∠ADB ，即BD sin π-θ =3a sin π6①ΔBCD 中，BD sin ∠BCD =BC sin ∠CDB ，即BD sin π3+θ =2asin π3②①÷②得：2sin π3+θ=3sin θ，化简得3cos θ=2sin θ，所以tan θ=32.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，A =150∘，点D 在边BC 上，满足CD =2BD ，且sin ∠BAD b+sin ∠CAD c =32a ．(1)求证：AD =13a ；(2)求cos ∠ADC ．【答案】(1)证明见解析(2)1314【解析】(1)分别在△ABD 和△ACD 中利用正弦定理表示出sin ∠BAD ,sin ∠DAC ，，代入已知等式化简整理即可得到结果；(2)根据∠ADB =-∠ADC ，在△ABD 和△ACD 利用余弦定理可整理得到a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，利用余弦定理可得c =3b ，进而得到a =7b ，代入cos ∠ADC 中即可求得结果.(1)∵CD =2BD ，∴CD =23a ，BD =13a ；在△ABD 中，由正弦定理得：sin ∠BAD =BD sin B AD =a sin B3AD ；在△ACD 中，由正弦定理得：sin ∠DAC =CD sin C AD =2a sin C3AD；又sin B b=sin C c =sin A a =12a ，∴sin ∠BAD b +sin ∠CAD c =a sin B 3b ⋅AD +2a sin C 3c ⋅AD =a 3AD ⋅12a +2a 3AD ⋅12a=32a ，即9AD =3a ，∴AD =13a .(2)在△ABD 中，由余弦定理得：cos ∠ADB =BD 2+AD 2-AB 22BD ⋅AD =2a 2-9c 22a 2；在△ACD 中，由余弦定理得：cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =5a 2-9b 24a 2；∵∠ADB +∠ADC =180∘，∴∠ADB =-∠ADC ，即2a 2-9c 22a 2=-5a 2-9b 24a 2，整理可得：a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-a 22bc =-32，则-c 22bc =-c 2b =-32，∴c =3b ，∴a 2-b 2=6b 2，即a =7b ；∴cos ∠ADC =5a 2-9b 24a 2=35b 2-9b 228b 2=1314.例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA=α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．【答案】(1)证明见解析(2)PC =105【解析】(1)由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，即要证明sin ∠ABC =sin ∠APB 即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；(2)由题意求得PB =sin α，继而求得PC =2sin α，在△PAB 中利用余弦定理求得sin α=55，即可求得答案.(1)证明：在△ABP 中，由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，要证明PB sin ∠ABC =AB sin α，只需证明sin ∠ABC =sin ∠APB ，在△ABP 中，∠APB =π-α+∠ABP ，在△ABC 中，∠ABC =α+∠ABP ，所以∠APB =π-∠ABC ，所以sin ∠APB =sin π-∠ABC =sin ∠ABC ，所以PB sin ∠ABC =AB sin α．(2)由(1)知PB sin ∠ABC =AB sin α，又因为∠ABC =90∘，AB =1，所以PB =sin α，由已知得△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BCA =∠CAB =π4，则∠BCP =π4-α，所以在△PBC 中，∠BPC =π-π4-α -α=3π4，由正弦定理得BC sin ∠BPC =PCsin ∠PBC，即1sin 3π4=PC sin α，即PC =2sin α．由余弦定理得sin 2α+2sin α 2-2sin α2sin α cos 3π4=1，由题意知sin α>0，故解得sin α=55，所以PC =105．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．【答案】(1)73；(2)tan ∠ABD =233．【解析】(1)△ABC 中，利用含∠ABC 的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得△ABC 面积，再利用面积关系求△ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用∠ABD 表示出△ABC 与△BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ∠ABD 的方程，解之即得.【详解】(1)设BC =x ，在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC 得：28=22+x 2-2⋅2⋅x ⋅cos2π3，即x 2+2x -24=0，而x >0，解得x =4，所以BC =4，则△ABC 的面积S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =12⋅2⋅4⋅32=23，梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，△ABC 与△ADC 等高，且CD =5AB2，所以△ADC 的面积S △ADC =5S △ABC2=53，则梯形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ADC =73；(2)在梯形ABCD 中，设∠ABD =α，而AC ⊥BD ，则∠BDC =α，∠BAC =π2-α，∠DBC =2π3-a ，∠BCA =α-π6，在△ABC 中，由正弦定理AB sin ∠BCA =BC sin ∠BAC 得：2sin α-π6 =BCsin π2-α ，在△BDC 中，由正弦定理CD sin ∠DBC =BC sin ∠BDC 得：5sin 2π3-α =BCsin α，两式相除得：2sin 2π3-α 5sin α-π6 =sin αsin π2-α ⇒2⋅32cos α+12sin α5⋅32sin α-12cos α =sin αcos α，整理得53sin 2α-7sin αcos α-23cos 2α=0，即53tan 2α-7tan α-23=0解得tan α=233或tan α=-35，因为α∈π6,π2，则tan α=233，即tan ∠ABD =233．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．【答案】(1)25(2)210-22【解析】(1)根据cos ∠ABD =53求得tan ∠ABD ，再结合AD =22求解即可(2)设∠ADB =θ，再在△BCD 中利用正弦定理得出关于θ的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可(1)由cos ∠ABD =53可得tan ∠ABD =32-525=25，又AD =22故AB =ADtan ∠ABD =10，故S △ABD =12AB ⋅AD =25(2)设∠ADB =θ，则cos θ=22BD ，∠C =θ+π6，在△BCD 中，由正弦定理可得BD sin C =DCsin ∠DBC，即22cos θsin θ+π6=42sin 2π3-θ ，交叉相乘化简得sin 2π3-θ =2cos θ⋅sin θ+π6 ，即sin θ+π3 =3cos θ⋅sin θ+cos 2θ，利用降幂公式有sin θ+π3 =32sin2θ+12cos2θ+12，利用辅助角公式有sin θ+π3 =sin 2θ+π6 +12，故sin θ+π3 =sin 2θ+2π3-π2 +12，利用诱导公式可得sin θ+π3 =-cos 2θ+2π3 +12=2sin 2θ+π3 -12，故2sin 2θ+π3 -sin θ+π3 -12=0，又sin θ+π3 >0，解得sin θ+π3 =1+54，又由正弦定理有42sin 2π3-θ =BC sinπ6，故BC =22sin θ+π3=221+54=210-22例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，设(sin A+sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B .(1)求C ；(2)若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，CD =1，∠CAB =∠MB D =∠D MB.求AM ．【答案】(1)C =90∘；(2)2【解析】(1)根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；(2)设∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，将三角形中其余角用θ表示出来，结合CD =1，表示边长，即可解出.【详解】(1)由(sin A +sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B ，得a +b 2-c 2=2ab ，即a 2+b 2=c 2∴C =90∘；(2)令∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，则在ΔA MB 中，∠MB A =90∘-2θ,∠BMA =180∘-θ由正弦定理得：AM sin 90∘-2θ =AB sin 180∘-θ ，即AM =AB ⋅cos2θsin θ在ΔACD 中，∠ACD =90∘,∠CDA =2θ由正切定义：AC =tan2θ在ΔACB 中，∠ACB =90∘,∠BAC =θ由正切定义：AB =AC cos θ=tan2θcos θ，∴AM =tan2θcos θ⋅cos2θsin θ=2例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD 中，AB 2+BC 2+AB ⋅BC =AC 2．(1)若AB =3BC =3，求△ABC 的面积；(2)若CD =3BC ，∠CAD =30∘，∠BCD =120∘，求∠ACB 的值．【答案】(1)334(2)∠ACB =45∘【解析】(1)依据题意求得角B ，利用正弦定理去求△ABC 的面积；(2)利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB 的值．(1)在△ABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =-AB ⋅BC 2AB ⋅BC =-12，因为0∘<B <180∘，所以B =120∘．S △ABC =12AB ⋅BC sin120∘=12×3×1×32=334．(2)设∠ACB =θ，则∠ACD =120∘-θ，∠ADC =30∘+θ，∠BAC =60∘-θ．在△ACD 中，由AC sin 30∘+θ =CDsin30∘，得AC =sin 30∘+θ sin30∘CD ．在△ABC 中，由AC sin120∘=BC sin 60∘-θ ，得AC =sin120∘sin 60∘-θBC ．联立上式，并由CD=3BC得3sin30∘+θsin30∘=sin120∘sin60∘-θ，整理得sin30∘+θsin60∘-θ=14，所以sin60∘+2θ=12，因为0∘<θ<60∘，所以60∘<60∘+2θ<180∘，所以60∘+2θ=150∘，解得θ=45∘，即∠ACB的值为45∘．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析(2)9158【解析】(1)选择①，由正弦定理及角度关系推出∠BAC=∠DAC及sin∠ACB=2sin∠ACD，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出∠BAC=∠DAC，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到∠BAC=∠DAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；(2)在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出AD的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.(1)方案一：选条件①.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC=ADsin∠ACD，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC，因为AB=2AD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案二：选条件②.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC.因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案三：选条件③.因为S△ABC=12BC⋅AC⋅sin∠ACB，S△ACD=12CD⋅AC⋅sin∠ACD，且BC=CD，S△ABC=2S△ACD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.(2)选择①②③，答案均相同，由(1)可设AD =x ，则AB =2x ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =4x 2-58x ，在△ACD 中，由余弦定理得，cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =x 2-54x ，因为cos ∠ABC =cos π-∠ADC =-cos ∠ADC ，所以4x 2-58x =-x 2-54x ，解得x =102或x =-102(舍去)，所以cos ∠ABC =108，所以sin ∠ABC =sin ∠ADC =1-1082=368，所以四边形ABCD 的面积S =3S △ACD =32AD ⋅CD ⋅sin ∠ADC =9158.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .【答案】(1)13(2)23【解析】(1)应用三角形面积公式有S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC ，可求AB ，由余弦定理即可求AC ；(2)设∠DAC =α，在Rt △ACD 中AC =AD sin π2-α ，在△ABC 中应用正弦定理有BCsin ∠BAC =ACsin ∠ABC ，即可求tan α，得解.(1)在△ABC 中，BC =4，∠ABC =π3，∴S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =33，可得AB =3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC =13，∴AC =13.(2)设∠DAC =α，则∠ACD =π2-α，在Rt △ACD 中，AD =33，易知：AC =AD sin π2-α =33cos α，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC =AC sin ∠ABC ，即4sin α=3332cos α，∴2cos α=3sin α，可得tan α=23，即tan ∠DAC =23.例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .【答案】(1)3414；(2)cos ∠ACD =33.【解析】(1)利用余弦定理求出AC ，cos ∠ACB ，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.(2)在△ABC 和△ACD 中用正弦定理求出AC ，再借助同角公式求解作答.(1)当BC =2时，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC ，即AC 2=3-22cos 3π4=5，解得AC =5，cos ∠ACB =AC 2+BC 2-AB 22AC ⋅BC=31010，因为∠BCD =π2，则sin ∠ACD =cos ∠ACB =31010，又CD =7，所以△ACD 的面积是S △ACD =12AC ⋅CD sin ∠ACD =125×7×31010=3414.(2)在△ABC 中，由正弦定理得AB sin ∠ACB =AC sin ∠ABC ，即AC =AB sin 3π4sin ∠ACB =22cos ∠ACD ，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin ∠ACD =AC sin ∠ADC ，即AC =AD sin π6sin ∠ACD =1sin ∠ACD ，则22cos ∠ACD =1sin ∠ACD，整理得sin ∠ACD =2cos ∠ACD ，而sin 2∠ACD +cos 2∠ACD =1，∠ACD 为锐角，所以cos∠ACD=3 3.题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：ABAC=DBDC，AD2=AB⋅AC-DB⋅DC；(2)若AD=1，A=2π3，求DB⋅DC的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】(1)根据题意得到sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理得到ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得到ABAC=DBDC，进而得到BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，根据余弦定理，并代入化简，即可求解.(2)根据S△ABD+S△ACD=S△ABC，得到b+c=bc，结合基本不等式求得bc≥4，进而求得DB⋅DC=bc -1，即可求解.(1)解：在△ABD和△BCD中，可得∠BAD=∠CAD，∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理，得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得ABAC=DBDC，可得BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，又由cos∠ABD=cos∠ABC，根据余弦定理得AB2+BD2-AD22AB⋅BD=AB2+BC2-AC22AB⋅BC所以AD2=AB2+BD2-BDBC AB2+BC2-AC2=DCBC AB2+BDBC AC2-BD BC-BD代入可得AD2=ACAB+AC AB2+ABAB+AC AC2-BD⋅DC=AB⋅AC ABAB+AC+AC AB+AC-BD⋅DC=AB⋅AC-BD⋅DC.(2)解：由AD=1，A=2π3及S△ABD+S△ACD=S△ABC，可得b+c=bc根据基本不等式得bc=b+c≥2bc，解得bc≥4，当且仅当b=c=2时等号成立，。
关于椭圆焦点三角形内心的相关结论及其应用
2020年第12期中学数学教学参考（下旬)学研堂w w 关于椭圆焦点三角形内心的相关结论及其应用师吉芹（山东省章丘中学）摘要：对于与椭圆焦点三角形的内心相关的定值问题，值得我们深入学习，探究拓展，总结归纳，以便解 题时直接应用。
关键词：概圆；焦点三角形；内心；定义；离心率文章编号：1002-2171 (2020) 12-0068-02椭圆的焦点三角形一般是指以椭圆的两个焦点巧，^和椭圆上与焦点同轴的两个顶点外的任意一点P为顶点所构成的三角形。
关于椭圆焦点三角形的 考查，在各类考试中特别是高考中屡见不鲜，而一些涉及 椭圆焦点三角形内心的定值问题值得我们深人学习，探 究拓展。
1有关定值问题1.1椭圆焦点三角形内心的比值问题结论1:已知P为椭圆C:<十菩=l(a>6>0)a b上的任意一点，F,,F2分别为椭圆C的左、右焦点，△ P F,F2内切圆的圆心为/，直线交1轴于点M，则有^|=+(其中e为椭圆C的离心率）。
证明：由于a p f,f2的内切圆的圆心为/，直线 交X轴于点M，则由内切圆的性质及角平分线定a 151 #\^r\=m^\'m ffl® 〇r%I P F, |+I P F2I|F,M|+|M F2|2a|P F2|_|M F2|*B|J|P F J所以有=又由内切圆的性质及角價幻爾觀=黑，龍#瑞=I p f2I _a. 1|M F2| 一C 一？反思：随着点P在椭圆C上运动，相应线段长度的比值恒为定值。
在证明过程中，充分利用角平分线定理、比例性质及内切圆的性质等平面几何知识，与解析几何知识充分融合，达到知识间的和谐与统一。
1.2補圆焦点三角形内心的面积问题结论2:已知P为椭圆C:4+#=1U>6>0)a b上的任意一点，^^，巧分别为椭圆C的左、右焦点，△ P F,F2内切圆的圆心为则有q Sa^^2=e。
■^A P/F j~r^>AP/F2(其中S表示对应三角形的面积<为椭圆C的离心率）证明：设A P F,F2内切圆的半径为r,根据椭圆的定义可得I F F, |+ |P F2 |=2a,而^2|=2〇那么，•S厶f■X2c X?•S a P/F.+Si■X2a X i反思：随着点P在椭圆C上运动，相应三角形面 积的比值__)恒为定值。
双曲线焦点三角形内心的性质及其应用
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复习
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备考
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高考数学《与解三角形有关的最值问题》
高考数学 与解三角形有关的最值问题
例 2 在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB. (1) 求角 C 的大小； (2) 若△ABC 的外接圆直径为 1，求 a2＋b2＋c2 的取值范围． 解析：(1) 因为 tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB，即csoinsCC＝csoinsAA＋＋csionsBB， 所以 sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB， 即 sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以 sin(C－A)＝sin(B－C)． 所以 C－A＝B－C 或 C－A＝π－(B－C)(不成立)，即 2C＝A＋B，所以 C＝π3.
tanAtanBtanC 将问题作进一步处理．
因为 2sin2A＋sin2B＝2sin2C，所以由正弦定理可得 2a2＋b2＝2c2.
由余弦定理及正弦定理可得 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝4ba2b＝4ba＝4ssiinnBA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
又因为 sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC， 所以 cosC＝sinAcosC4s＋incAosAsinC＝co4sC＋4stiannCA， 可得 tanC＝3tanA，代入 tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC 得 tanB＝3ta4nta2AnA－1， 所以ta1nA＋ta1nB＋ta1nC＝ta1nA＋3ta4nta2AnA－1＋3ta1nA＝3ta4nA＋121ta3nA.
高考数学 与解三角形有关的最值问题
(2) 解法一：由 C＝π3可得 c＝2RsinC＝1× 23＝ 23， 且 a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB. 设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π. 所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B ＝74－12cos23π＋2α＋cos23π－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－23π<2α<23π，－12<cos2α≤1，故32<a2＋b2＋c2≤94.
初中数学三角形知识点归纳大全
三角形是初中数学中的重要知识点，掌握好三角形知识对于学习初中数学具有重要意义。
下面将对初中数学中的三角形知识点进行全面归纳，以帮助学生对三角形有更深入的理解和掌握。
一、三角形的定义1. 三角形的定义三角形是由三条边和三个顶点组成的一个图形。
2. 三角形的性质（1）三角形的内角和为180度。
（2）任意一条边的长度都小于其它两条边的长度之和。
（3）任意两边之和大于第三边。
二、三角形的分类1. 根据角度分类（1）锐角三角形：三个内角都小于90度。
（2）直角三角形：有一个内角为90度。
（3）钝角三角形：有一个内角大于90度。
2. 根据边长分类（1）等腰三角形：有两条边相等。
（2）等边三角形：三条边都相等。
（3）一般三角形：三条边都不相等。
三、三角形的性质1. 三角形内角和公式三角形的内角和公式为：A + B + C = 180°，其中A、B、C分别代表三角形的三个内角。
2. 三角形的外角和三角形的外角和等于360度，即一个外角等于两个相对内角的和。
3. 三角形的重心、外心、内心和垂心（1）重心：三条中线的交点。
（2）外心：三条中垂线的交点。
（3）内心：三条角平分线的交点。
（4）垂心：三条高的交点。
4. 三角形的中线、中位线、高线（1）中线：一个三角形中连接一个顶点和中点的线段。
（2）中位线：一个三角形中连接两个顶点的中点的线段。
（3）高线：一个三角形中从一个顶点到对边的垂线段。
四、三角形的相似1. 三角形的相似性质两个三角形中，如果它们的三个内角相等，则它们是相似三角形。
相似三角形的对应边长成比例。
2. 调用相似三角形解决问题在实际问题中，我们经常可以利用相似三角形的性质来解决无法直接测量的长度或距离。
五、勾股定理1. 勾股定理的内容直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边之和的平方。
2. 应用勾股定理通过勾股定理，可以解决许多关于直角三角形的问题。
六、三角函数1. 正弦函数、余弦函数、正切函数（1）正弦函数：在直角三角形中，某个角的正弦等于对边与斜边的比值。
数学解三角形技巧大全
数学解三角形技巧大全解三角形是数学中的一个重要内容，也是高中数学中的一项基本知识。
掌握一些解三角形的技巧可以让我们更加方便地求解各种三角形的性质和关系。
本文将介绍一些常用的数学解三角形的技巧大全。
一、利用正弦定理求解三角形正弦定理是解三角形最基本也是最常用的方法之一。
对于任意一个三角形ABC，假设它的三个角度分别为∠A，∠B，∠C，边长分别为a，b，c。
正弦定理可以表达为：$\dfrac{a}{\sin{\angle A}} = \dfrac{b}{\sin{\angle B}} =\dfrac{c}{\sin{\angle C}}$利用正弦定理可以轻松求解三角形的任意边长或角度，只需知道已知边长或角度之间的比例关系即可。
二、利用余弦定理求解三角形余弦定理也是解三角形的重要方法之一。
当我们已知一个三角形的两边和夹角时，可以利用余弦定理求解第三边的长度。
对于任意一个三角形ABC，假设它的三个角度分别为∠A，∠B，∠C，边长分别为a，b，c。
余弦定理可以表达为：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\angle C}$利用余弦定理可以解决一些不规则的三角形，或者求解已知两边和一个角的三角形。
三、利用解析几何方法求解三角形解析几何是利用坐标系和代数方法来解决几何问题的一种方法。
对于三角形ABC，如果我们已知三个顶点的坐标，可以利用解析几何的方法来求解三角形的各种性质。
首先，假设点A的坐标为$(x_1,y_1)$，点B的坐标为$(x_2,y_2)$，点C的坐标为$(x_3,y_3)$。
我们可以利用距离公式来求解三边的长度，即：$a=\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$$b=\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$$c=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$其中，$\sqrt{\cdot}$表示开根号运算。
通过解析几何方法，我们可以很方便地求解三角形的各种性质，如边长、角度、重心、外心等。
初二三角形动点问题的解题技巧
初二三角形动点问题的解题技巧
在初二数学中，三角形动点问题是比较常见的一类题型。
这类题目通常会给出一个三角形，以及一个或多个动点，要求我们根据题目给出的条件求出动点的位置或移动路径等。
下面介绍几种常见的解题技巧：
1. 利用相似三角形
在三角形动点问题中，经常会用到相似三角形的性质。
我们可以通过观察图形，找到一些相似的三角形，从而得到一些等式或比例关系，从而解出未知量。
2. 利用平移、旋转和对称
三角形动点问题中，有时可以通过平移、旋转和对称等变换来简化问题。
例如，我们可以将动点按照某种规律进行平移或旋转，从而找到一些特殊的位置，进而求出答案。
3. 利用向量
三角形动点问题中，向量的应用也非常常见。
我们可以通过向量运算，求出动点在某个位置的坐标，或者求出动点的移动向量等。
4. 利用解析几何
对于一些复杂的三角形动点问题，我们可以利用解析几何的方法进行求解。
通过建立坐标系和方程，我们可以求出动点的坐标，从而解出问题。
总之，在解决三角形动点问题时，我们需要善于发现规律，灵活运用各种工具和方法，才能高效地求解问题。
巧用重心性质，妙破解几问题——一道点与直线试题的探究
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此题以平面直角坐标系为问题背景!结合点与直
线的位置关系$点到直线的距离公式以及直线的方程
等相关条 件!综 合 简 单 的 线 性 规 划$三 角 形 及 其 相 关
性质等数学知识来巧妙设置与综合考查!合理把平面
几何知识$解 析 几 何 知 识$线 性 规 划 知 识 等 相 关 数 学
个点!点到直线. 的距离记为C#!另一侧有两个 点!两 个点到直线. 的距离之和记为C!!若无论直线怎么变 化!总有C#$C!!则知动直线.恒过三点(!'!) 所在 2(') 的重心!
浅析三角形的“四心”
浅析三角形的“四心”作者：刘军来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2009年第03期江苏张家港第三职业高级中学215625摘要：本文就高中阶段解析几何和立体几何两章中，有关重心、垂心、外心、内心等“四心”问题展开讨论，提出自己的解题思路，并在教学实践中对有关的“四心”问题作出总结. 希望学生能通过联想，把三角形的四个“心”联系起来，把知识融会贯通起来，能够快速地解答问题，并能与实际问题联系起来，较好地解决实际问题，以此提高学生学习的兴趣和解决问题的能力.关键词：重心；垂心；外心；内心在初中几何中，三角形的四心就已经出现过，它们都是一些特殊线段的交点. 在高中阶段，有解析几何和立体几何两章几何内容，有关“四心”的问题是这两章内容应用层面的问题. 本文结合在教学实际中的总结来浅显地分析有关问题.首先来整理一下三角形的“心”.1. 重心：三条中线的交点，在物理中作为重力的受力点，分中线的长度比为2∶1.2. 垂心：三条高线的交点，顶点与垂心的连线垂直于对应的边.3. 外心：外接圆的圆心，三条边的中垂线交点，到三个顶点的距离相等.4. 内心：内切圆的圆心，三条角平分线的交点，到三边的距离相等.其实还有“旁心”，外角平分线的交点，因为在中学范围内出现得少，就不细究. 这四个“心”当中，内心、重心一定在三角形里面，另外两个的位置都取决于三角形的形状，锐角三角形在里面，直角三角形在边上，钝角三角形在外面.在教学中，尤其在上高三复习课时，如果遇到出现一个“心”的问题，就会启发学生，能不能换作其他的“心”. 这样就能系统全面地去看待这样一类问题了. 在解析几何、立体几何中，笔者就碰到过这些问题，现整理如下.[⇩]在解决问题前，先把求对称的问题分下类别，理清求解过程1. 点关于点对称如图1，求点A关于点O的对称点点B.[A][O][B]图1[A][l][B]图2比较容易解决，利用O点是A，B两点的中点.2. 点关于直线对称如图2，求点A关于直线l的对称点点B.设点A的坐标为（x1，y1），直线l为Ax+By+C=0.可以设点B的坐标为（x，y），常有两种思路来解决：（1）转化为1的情况，过点A与l垂直的直线为Bx－Ay+C′=0，代入点A的坐标可以求出C′，再联立方程Ax+By+C=0，Bx－Ay+C′=0，求出AB和l的交点，即图1中的O点，后面的求解不重复叙述.（2）直接解方程，A+B+C=0，=. 利用的是AB的中点在直线上，l和直线AB垂直. 这里对于特殊直线，平行、垂直坐标轴的直线单独处理，特殊直线的求解比较容易.3. 直线关于点对称如图3，求直线l关于点O的对称直线l′.[l][P][O][l′]图3直线l为Ax+By+C=0，点O的坐标为（x0，y0）.设点P（x，y）为l′上的任意一点，利用它关于O点的对称点在直线l上，所以有A·（2x －x）+B（2y－y）+C=0，整理一下就得到直线l′的方程.4. 直线关于直线对称如图4，直线m为A1x+B1y+C1=0，直线l为Ax+By+C=0，求直线m关于直线l对称的直线m′. 先求直线m和直线l的交点O，联立方程A1x+B1y+C1=0，Ax+By+C=0，可以求出O点的坐标，记求得的结果为（x0，y0）.再利用过点O的直线m′与l所成的角与m与l所成的角相等来求解.设m′的斜率为k（斜率不存在的情况单独考虑），l的斜率k0=－，m的斜率k1=－，则m′为y－y0=k（x－x0）. 而斜率k满足：=，求出k舍去和k1相同的值后代入点斜式即可.[⇩]解析几何中，如果知道三角形的三个顶点的坐标，如A（x1，y1），B（x2，y2），C （x3，y3），怎么求三角形的“四心”1. 求重心思路：如图5，在△ABC中，求重心O的坐标.[A][O][G][F][B][C][E]教材参考中有结论：O为，.E为BC的中点，坐标为，.又=2，设重心O为（x，y），则x－x1=2-x，y－y1=2-y.求解出来，即得结论.2. 求垂心思路：如图6，在△ABC中，求垂心O的坐标. CG，AE分别为AB，BC的高线.CG：y－y3=（x－x3），AE：y－y1=（x－x1）.（斜率不存在的情况单独考虑）[A][F][C][E][O][G][B]图6带入具体数据，联立方程就可以解出垂心O的坐标.3. 求外心思路：如图7，在△ABC中，求外心O的坐标.[A][F][G][O][C][E][B]G为AB的中点，坐标为，，简记为（xG，yG）. E为BC的中点，坐标为，，简记为（xE，yE）. OG，OE分别为AB，BC的中垂线，故OG：y－yG=（x－xG），OE：y－yE=（x－xE）（斜率不存在的情况单独考虑）. 将OG，OE的方程联立就可以求出外心O的坐标.4. 求内心思路：如图8，在△ABC中，求内心O的坐标. 应该说求内心的计算过程是最为烦琐的一个，下面来进行细心的分析.CG，AE分别为∠C，∠A的平分线.[A][F][C][O][G][B][E]图8关键就是求出角平分线，先来求AE，因为AE的走向与AB，AC相比可知kAEkAB .理论依据是各自直线的倾斜角大小关系和斜率之间的联系.kAB=，kAC=，利用=，求出kAE .方程会求出两个解按kAEkAB取. 则AE：y－y1=kAE（x－x1）.同理求出CG的方程，有点区别的是kCG取舍的条件是kAC则CG：y－y3=kCG（x－x3）. 联立这两条平分线的方程就可以求出内心的坐标.[⇩]解析几何中，如果知道三条边的直线方程，如AB:A1x+B1y+C1=0，BC：A2x+B2y+C2=0，AC：A3x+B3y+C3=0，如何求“四心”这里作简要分析，因为退一步说，联立方程可以把3个顶点都求出，就成了前面一个问题，就可以按前面一个问题的思路解决.1. 重心：联立三条直线的方程，求出三个顶点，然后用重心坐标公式解决.2. 垂心：求出点A和点C的坐标，再求出AB，BC的高线CG，AE，再求交点. 求解过程中，已知的直线方程中直接有直线的斜率信息，当然斜率不存在的情况都可以单独考虑.3. 外心：这里先求出三个顶点的坐标，再按前面一个问题的思路分析，有关直线的斜率也是从方程中直接得到的.4. 内心：求出点A和点C的坐标，再求出∠C，∠A的平分线CG，AE，最后求交点.有关直线的斜率还是从方程中直接得到.[⇩]立体几何中，三棱锥顶点在底面三角形中的射影，这里少了一种重心的情况，下面主要分析垂心、外心、内心的情况1. 垂心：如图9，在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O为△ABC的垂心. [P][A][C][O][D][B]图9条件是PA，PB，PC两两互相垂直.解析因为PA，PB，PC两两互相垂直，所以PA⊥面PBC，则PA⊥BC.又O为点P在平面ABC上的射影，则AO为PA在平面ABC上的射影.由三垂心定理可以知道AO⊥BC. 同理可以知道CO⊥AB.故O为△ABC的垂心.2. 外心：如图10，在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O为△ABC的外心.条件是：（1）PA=PB=PC.或者是：（2）PA，PB，PC与底面所成的角相等.[P][A][C][O][B]图10解析因为O为点P在平面ABC上的射影，所以PO⊥面ABC，△POA，△POB，△POC都为直角三角形. 若（1）PA=PB=PC或（2）PA，PB，PC与底面所成的角相等，即∠PAO=∠PBO=∠PCO，加上PO=PO=PO，可以证出这三个直角三角形全等.所以得出结论AO=BO=CO，O就为△ABC的外心. 这个命题的逆命题也成立.3. 内心：如图11，在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O为△ABC的内心.条件是：（1）P到△ABC的三边AB，BC，AC的距离相等，即PD=PE=PF.（2）面PAB，面PBC，面PAC和底面ABC所成的角相等.解析因为O为点P在平面ABC上的射影，所以PO⊥面ABC. P到△ABC的三边AB，BC，AC的距离相等，有PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB. 且PD=PE=PF，马上可以得到它们的射影OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF.即O为△ABC的内心. 条件面PAB、面PBC、面PAC和底面ABC所成的角相等. 可以得到OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且∠PDO=∠PEO=∠PFO，可以得到三个直角三角形全等. 所以也可以得到OD=OE=OF，即O为△ABC的内心. 同样这个命题的逆命题也是成立的.[⇩]解析几何中，虽然不是直接求的“四心”，但有很强的联系，即和中线、高线、中垂线、角平分线有关系如图12，知道点A的坐标，还有l1和l2的直线方程，求解三角形，即求出三角形另外的两个顶点的坐标.[A][l2][l1]图12这两条直线分别为中线、高线、中垂线、角平分线时，怎么求？先看高线的情况，如图13，先求AB，它过点A，且和l2垂直，用点斜式可以求出，同理可以求出AC的方程，将AB的方程和l1联立可以求出点B，同理求出点C.再看中垂线的情况. 如图14，先求点A关于l2的对称点B，再求点A关于l1的对称点C，问题就解决了. 求对称的方法在第一个问题中作了详细分析，这里不重复.[B][l1][C][l2][A]图14然后看角平分线的情况. 利用求对称的方法，如图15，先求点A关于l2的对称点D，再求点A关于l1的对称点E，利用两点式就求出直线DE的方程，分析可知点B和点C也在直线DE上，所以将DE和l1联立就可以求出点B，将DE和l2联立就可以求出点C.[B][l1][C][l2][A][E][D][·][·]图15最后来解决中线的情况. 直接求点不太方便，利用方程组来解决比较好办. 如图16，CE为AB边上的中线，BD为AC边上的中线. 设点B的坐标为（x，y），则E点为AB的中点，E=，，利用B点在l1上，E点在l2上，得到方程组. 即B点满足l1的方程，E点满足l2的方程，联立求出的就是B点的坐标，同理可以求出C点.[B][l1][C][l2][A][D][E]图16。
三角形的内心与外接圆的应用解析
三角形的内心与外接圆的应用解析三角形的内心与外接圆是几何学中重要的概念和应用之一。
内心是指三角形三条角平分线的交点，外接圆则是过三角形三个顶点的圆。
在解析几何中，我们可以利用这些概念来研究三角形的性质和应用。
本文将从几何性质和实际问题两个方面来解析三角形的内心与外接圆的应用。
一、几何性质的应用解析1. 内心的性质内心是三角形三条角平分线的交点，它与三角形的边有一定的关系。
例如，内心到三角形的三条边的距离相等，即内心到三角形任意一条边的距离等于该边上的其他两条边的距离之和的一半。
这个性质在实际问题中有着重要的应用，例如在设计建筑物或制作工艺品时，需要确定合适的内部角度和边长，内心的性质能够帮助我们快速准确地计算出这些数值。
2. 外接圆的性质外接圆是通过三角形的三个顶点的圆，它与三角形的外接角有关。
三角形的外接角是指圆周上与三角形的边相对应的角，它们的和等于180度。
利用外接圆的性质，我们可以推导出一系列关于三角形边长、角度以及面积的重要定理。
例如，外接角相等定理指出，如果两个角的顶点都在同一个三角形的外接圆上，那么这两个角相等。
这个定理在解题过程中非常有用，可以用来推导出三角形的各种性质，从而简化问题的求解过程。
二、实际问题的应用解析1. 导航系统导航系统是我们日常生活中常用的工具之一，它通过计算机和卫星定位技术来定位并提供路线规划。
导航系统中用到了三角形的内心与外接圆的概念和算法，通过计算车辆所处的位置与目标位置之间的角度和距离，可以确定最短路径和导航指引。
内心和外接圆的应用使得导航系统更加精准和高效。
2. 地理测量地理测量是研究地表特征和地球形状的科学，它用到了许多三角形的概念和原理。
例如，通过测量三角形的边长和角度，可以确定不同地点之间的距离和方位角。
同时，利用三角形内心和外接圆的特性，可以计算地球的半径、纬度和经度等重要参数，为地球的测量和研究提供了基础数据。
3. 三角测量三角测量是测量远距离和无法直接测量的物体尺寸的一种方法。
解析几何与三角函数关系解析
解析几何与三角函数关系解析解析几何是数学中的重要一个分支，它研究的是几何图形在坐标系中的表示和性质。
而三角函数则是数学中经典的函数之一，它研究的是角和三角形的性质。
本文将深入探讨解析几何与三角函数之间的关系，并通过具体的例子来解析这种关系。
一、坐标系中的角度表示在解析几何中，我们通常使用直角坐标系来表示二维平面上的点。
这个坐标系由两条垂直的坐标轴组成，分别是x轴和y轴。
而这两个轴之间的夹角可以通过三角函数来表示。
以x轴为起点，我们可以将向量从x轴旋转到y轴产生的角度定义为θ。
那么我们可以用正弦函数、余弦函数和正切函数来表示这个角度。
正弦函数sin(θ)定义为纵坐标（y）与斜边长度（r）之比。
即sin(θ) = y/r。
余弦函数cos(θ)定义为横坐标（x）与斜边长度（r）之比。
即cos(θ) = x/r。
正切函数tan(θ)定义为纵坐标（y）与横坐标（x）之比。
即tan(θ) =y/x。
通过这些三角函数，我们可以在坐标系中准确地表示角度，并进一步分析点的位置、线的斜率等几何概念。
二、三角函数与直线的关系解析几何中，直线是一个重要的研究对象。
我们可以通过斜率（k）和截距（b）来表示一条直线的方程。
对于斜率为k的直线，如果我们取点P(x,y)，则可以得到以下关系式：y = kx + b。
由上述关系式，我们可以看出，斜率k实际上是我们熟知的正切函数的值。
也就是说，斜率k等于直线与x轴正向的夹角的正切值。
因此，三角函数与直线之间存在紧密的关系。
通过三角函数的值，我们可以判断直线的斜率和夹角，并进一步研究直线的性质。
三、三角函数与圆的关系除了直线，圆也是解析几何中的重要概念。
而三角函数也可以帮助我们更好地理解和表示圆的性质。
对于一个圆心在原点的单位圆，我们可以用角度θ来表示一个点P(x, y)与x轴正向的夹角。
而根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系式：x = cos(θ)。
y = sin(θ)。
这样，我们可以通过三角函数的值来确定圆上任意一点的坐标，进而研究圆的性质、方程和变换等内容。
初中数学教案：解析几何中的垂心定理
初中数学教案：解析几何中的垂心定理解析几何中的垂心定理一、垂心定理的概念与性质垂心定理是解析几何中的重要定理之一，它描述了三角形内部不同角的垂线的交点是共线的关系。
具体而言，垂心定理指出：在任意三角形ABC中，如果作A 点关于BC的高，作B点关于AC的高，作C点关于AB的高，这三条高线交于一点H，则H称为三角形ABC的垂心，并且H点到三角形的三个顶点A、B、C的连线上的点到对应的顶点距离相等，即AH = BH = CH。
垂心定理的性质有以下几点：1. 垂心定理适用于任意三角形，无论是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形。
2. 垂心定理中的垂心H点是三角形内角的交点，它一定位于三角形内部，而不会位于三角形外部。
3. 三角形的三条高线交于垂心H点，这个点是唯一确定的，也就是说，无论如何绘制三角形ABC，所得的垂心H点只有一个。
4. 垂心H点到三角形的三个顶点A、B、C的连线上的点到对应的顶点距离相等，即AH = BH = CH。
这个性质也可以理解为垂心到三个顶点的距离之和最小。
二、垂心定理的证明方法垂心定理的证明可以通过多种方法进行推导，下面介绍一种基于向量的证明方法。
假设点A、B、C是一个任意三角形ABC的顶点，设向量AB = a，向量BC = b，向量CA = c。
我们需要证明的是存在一条与边BC垂直的线段AD，使得AD交边BC的垂足为H，并且AH = BH = CH。
首先，构造向量AD = λb + μc，其中λ和μ为实数。
由于向量AD垂直于向量BC，所以有AD·BC = 0，即(λb + μc)·b = 0，(λb + μc)·c = 0。
展开计算可以得到λ(b·b) + μ(b·c) = 0，λ(b·c) + μ(c·c) = 0。
根据垂直的定义，向量b·c = 0，即b与c垂直。
将这个条件代入上述方程中，可以得到λ(b·b) = 0，μ(c·c) = 0。
三角形内切圆定理的证明与应用
三角形内切圆定理的证明与应用三角形内切圆定理是解析几何中的一个基本定理，它关于三角形内接圆的性质和应用进行了详细的阐述。
本文将从定理的证明入手，逐步探讨内接圆的性质及其在几何学中的应用。
一、三角形内切圆定理的证明三角形内切圆定理是指对于任意给定的三角形ABC，存在唯一一个内切圆。
证明该定理的方法有多种，这里我们采用几何证明。
首先，我们在三角形ABC的任一边上取一个点D，使得AD与BC相交。
设内切圆的圆心为O，半径为r。
根据内切圆的性质，可以得出以下结论：1. 圆心到三角形任意一边的距离相等：由内接圆的定义可知，O到三角形的三条边AB、BC、CA的距离都相等，设为r。
2. 内切圆和三角形的三边相切：由内接圆的性质可知，圆O与三角形的三边AB、BC、CA相切。
我们接下来证明该内接圆的存在性和唯一性：1. 存在性证明：根据欧几里得几何的公理，可以构造一个与三角形任意一边均相切的圆。
设圆心为O1，半径为r1。
若存在另外一个内接圆O2，则O1和O2两个圆心的位置一定不重合，那么在O1、O2两点之间可以找到一条直线l，使得直线l与O1，O2两点的连线互相垂直。
连接直线l与O1、O2分别相切的两条边，可以得到两个相似三角形，即O1AD与O2BD相似，O1DC与O2AC相似。
根据相似三角形的性质，我们可以推导出O1O2与O1D、O2D的比例关系，假设为m/n。
因为O1、O2分别位于内接圆上，所以它们与三角形的三边相切，根据切线与半径垂直的原理，我们可以得到O1O2与O1D、O2D垂直。
这与O1O2与O1D、O2D的比例关系矛盾，所以只能存在唯一一个内接圆。
2. 唯一性证明：假设在三角形ABC中存在两个内接圆O1和O2，我们可以通过反证法来证明这种情况是不可能存在的。
设内切圆O1与三角形的三边AB、BC、CA相切，内切圆O2与三角形的三边AB、BC、CA相切。
连接圆心O1和O2，并延长得到直线l。
那么根据切线与半径垂直的原理，可以得知O1O2与l垂直。
椭圆焦点三角形四心的轨迹
椭圆焦点三角形四心的轨迹北京市日坛中学延静里校区 邱继勇 100025对椭圆的焦点三角形的研究，是考察学生基础知识、基本技能、基本方法和三者综合运用能力的重要载体，是历年高考和高考复习的重要内容；同时，利用几何画板绘制动态图形的功能，可以为研究几何图形性质提供更加简洁的思路，可以更好的体现几何学的本质． 下面介绍利用几何画板，研究椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形四心轨迹的过程．一、椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形内心的轨迹及其方程： 利用几何画板，先画出它的轨迹，再求它的方程．⒈ 利用参数方程，绘制椭圆C ：⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ．⒉ 绘制点)sin ,cos (θθb a P ，并且作出焦点三角形21PF F ，如图（1）．⒊ 作出∠21PF F 和∠21F PF 角平分线，设交点为I ，如图（2）．⒋ 使点P 在椭圆上运动，观察点I 的运动轨迹，如图（3）．图（1） 图（2） 图（3）⒌ 下面求它的轨迹方程：解：如图（4），设点P ()00,y x ，内心I 为),(y x ，焦点)0,()0,(21c F c F 、-，11r PF =，22r PF =，则0212ex r r =-．过内心I 作IF IE ID 、、垂直2121PF P F F F 、、于点F E D 、、．∵ 点I 是△P F F 21的内心，点F E D 、、是内切圆的切点， 图（4）∴ 由切线长定理，得方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c D F D F r F F PF r E F PE 2212211， 结合0212ex r r =-，解得：01ex c D F +=．而x c D F +=1， ∴ 0ex x = ，既e x x =0．………………………………① 又∵ △P F F 21面积0y c S =，y c a y PF PF F F S F )()(21121+=++=， ∴0y c y c a )(+=，既0y =y cc a +．………………………… ……………② 将①②代入)0(1220220>>=+b a b y a x ，得1)(222222=++c a c b y c x ． 可知，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形内心的轨迹是一个椭圆，它的离心率是ee +12． 二、椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形重心的轨迹及其方程： 椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形重心的轨迹仍是一个椭圆，如图（5），它的离心率与)0(12222>>=+b a by a x 的离心率相同，方程为)0(1992222>>=+b a by a x ．解法略去． 图（5） 三、椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形垂心的轨迹及其方程： 我们还是利用几何画板，先画出它的轨迹，再求它的方程．如图(6)．它的轨迹是关于原点对称的两条抛物线吗？我们通过它的方程来回答这个问题．图(6)解：如图（7），设点P 00(,)x y ，垂心H 为),(y x ，焦点)0,()0,(21c F c F 、-，则),(1y c x H F +=，),(002y x c PF --=． ∵H F 1⊥2PF ，∴),(y c x +00(,)c x y --g =0． 图（7）又 ∵0x x =，∴ 2200c x yy --=．……………………………………..①而2200221(0)x y a b a b+=>>， ∴22222220022()()b b y a x a x a a =-=-……………………….② 将②式代入①式，整理得： 2222y b a x =±-．由方程可以看出，椭圆焦点三角形垂心的轨迹不是两条抛物线，它与哪些初等函数图象有关？请大家思考．四、椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形的外心的轨迹及其方程 由于y 轴是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形的一条边的中垂线，所以，可以判断出外心的轨迹是y 轴或y 轴的一部分，利用几何画板画出的轨迹图形可以说明这一点，如图（8）．下面求焦点三角形外心W 的运动范围．解：设点P ()θθsin ,cos b a ，外心W 为(0,)y ，焦点)0,()0,(21c F c F 、-．由2WP WF =，得：2222(cos )(sin )c y a y b θθ+=+-． 图（8）整理，得：2sin 2sin 2b c y b θθ=-（22||2b c y b -≥）．可知，椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形的外心的轨迹或者是y 轴，或者是y 轴上的两条射线．从上面求椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 焦点三角形的四心的轨迹及其方程的过程来看，比较充分的体现了“利用方程研究图形”的解析几何基本内容；显示了几何画板在研究几何问题中，直观、生动、引发思考的巨大作用．事实上，通过对课件的观察，我们还可以得到更多的、开放性的问题，如欧拉线的问题等，这里不在讨论，请读者通过链接的课件的自己研究．焦点三角形的四心.gsp操作步骤： （以内心轨迹形成为例）⒈ 点击 出现三角形的角平分线和内心“I ”⒉ 点击出现点P 运动，并角平分线交点“I ”形成内心轨迹．⒊ 再点击停止运动，可以观察图形性质．⒋ 再点击角平分线及交点“I ”隐藏．。
三角形的垂心与向量的关系
三角形的垂心与向量的关系引言三角形是几何学中最基本的概念之一，而垂心则是三角形的一个重要特征点。
垂心是指三角形三条高线的交点，它具有很多特殊性质和应用。
本文将探讨垂心与向量的关系，通过向量的方法来研究三角形的垂心及其相关性质。
三角形的垂心定义垂心是指三角形三条高线的交点，即三条垂直于三条边并通过顶点的线段的交点。
对于任意三角形ABC ，其三条高线分别是从顶点A 、B 、C 分别向对边BC 、AC 、AB 引垂直线得到的线段，分别记作AD 、BE 、CF ，垂心记作H 。
垂心H 是三角形ABC 的一个重要特征点，它具有很多有趣的性质和应用。
向量的基本概念向量是几何学中一个重要的概念，它既有大小又有方向。
在平面几何中，向量通常用有序数对表示，如向量AB 可表示为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 。
向量的加法、减法和数乘等运算规则与代数中的向量运算类似。
三角形垂心的向量表示我们可以通过向量的方法来表示三角形的垂心。
设三角形ABC 的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)和C(x3, y3)，则三角形的垂心H 的坐标可以表示为：H =13(A +B +C ) 也就是说，垂心H 的坐标是三角形三个顶点坐标的向量和的1/3倍。
垂心与向量的关系1. 垂心与中点的关系一个重要的性质是，垂心H 是三角形三个顶点A 、B 、C 的中点M1、M2、M3连线的交点。
我们可以通过向量的方法来证明这一性质。
设M1为BC 的中点，M2为AC 的中点，M3为AB 的中点，我们可以得到： M1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ))=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 同样地，我们可以得到：M2H⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) M3H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 由于M1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =M2H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =M3H⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以垂心H 是三个中点连线的交点。