椭圆的简单几何性质第二课时
2.2.2椭圆的简单几何性质(第二课时)
4 2 2 ∴ AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 = ( x x ) 4 x x 2 1 2 1 3
F
将上式两边平方，并化简，得9 x 2 25 y 2 225,
x2 y 2 即 1 25 9
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
2 2 2 2
知识点2：弦长公式
可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式： | AB | 1 k 2 | x x | 1 1 | y y | A B A B 2
k
当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
1 x2 y2 已知椭圆 1的离心率 e ，求k 的值 2 k 8 9
解：当椭圆的焦点在
2
思考：
x 轴上时，
2 2 c k 1． b 9 ，得 a k 8 ， 1 由 e ，得： k 4 2
当椭圆的焦点在
2 ， a 9 b
2
y
轴上时， ，得 c 1 k ．
例6 点M ( x, y )与定点F (4,0)的距离和它到直线 25 4 l : x 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。 4 5
y l M o d H x
25 解：设d是点M到直线l : x 的距离，根据题意， 4 MF 4 点M的轨迹就是集合P M , d 5 ( x 4) y 2 4 由此得 . 25 5 x 4
3.1.2椭圆的简单几何性质(第二课时)(教学课件(人教版))
其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之 和与两根之积后代入公式可求得弦长． 提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
四.直线与椭圆的位置关系
（二）弦长及弦的中点问题
例 3（1）已知直线 y＝x＋1 与椭圆x2＋y2＝1 相交于 A、B 两点，求弦 AB 的长． 4
＝1＋4m＋ n ＋4＝5＋4m＋n ≥5＋2 4m·n ＝9，
nm
nm
nm
四.直线与椭圆的位置关系
（一）直线与椭圆位置关系及判定
跟踪训练（2）已知椭圆的方程为 x2＋2y2＝2.①判断直线 y＝x＋ 3与椭圆的位置关系； ②判断直线 y＝x＋2 与椭圆的位置关系；③在椭圆上找一点 P，使 P 到直线 y＝x＋2 的距离 最小，并求出这个最小距离．
两式相减，得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，∴34xy00＝－yx11－ －yx22＝－kPQ.
∵kPQ＝－14，∴y0＝3x0.代入直线
y＝4x＋1，得 2
x 0＝－12， y0＝－32
则直线 PQ 的方程为 y＋3＝－1(x＋1)即 2x＋8y＋13＝0. 2 42
|
2a,所以
a
1 2
(|
F1B
|
|
F2 B
|)
4.1,
b a2 c2 3.4.
所以，所求的椭圆方程为
x2 4.12
y2 3.42
1.
二.和椭圆有关的实际问题
跟踪练习1(多选)嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡查 探测的航天器.202X年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的 着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发 表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入 以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距， 用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是
2.1.2椭圆的简单几何性质(第二课时)
对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
c e a
a2=b2+c2
同前
复习练习：
1、椭圆的长、短轴之和为18，焦距为6，则椭 圆的标准方程为（C ） 2 2 2 2 x y x y A. 1. B. 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. 1或 1. D. 1 25 16 16 25 16 25
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.
4 5 尝试遇到困难怎么办?
2 2
d
4 x0 5 y0 40
4 x0 5 y0 40 41
l
且
m
x0 2 25
y0 2 9
m
1
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
F1
O
F2
X
x2 y 2 2 1 c a2 2 PF1 ( x0 ) a ，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点， （a>b>0）左焦点为F1ex0 a b
则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径.
同 理 :
2 2
a
c
2 2
B、高中我们学习的是笛卡尔时代的数学知识，它多了什么 来判断直线与圆的位置关系。
答：用方程组的解的个数判断直线和圆的位置关系
1、将直线与圆的方程联立. 2、利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程. 3、求出判别式 ∆ （1）直线l 和⊙O相离 （2）直线l 和⊙O相切 （3）直线l 和⊙O相交
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第2课时)备课笔记
3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第一节《椭圆》。
以下是本节的课时安排：第三章圆锥曲线的方程课时内容 3.1.1椭圆及其标准方程 3.1.2椭圆的简单几何性质所在位置教材第105页教材第109页新教材内容分析椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。
通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e 的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养数学抽象的核心素养。
通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线椭圆的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。
本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养．2.会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题，培养数学运算的核心素养.重点：直线与椭圆的位置关系难点：直线与椭圆的位置关系的应用（一）新知导入一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。
过对称轴的截口ABC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1上，片门位另一个焦点2上，由椭圆一个焦点1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点2。
（二）椭圆的简单几何性质知识点一点与椭圆的位置关系【探究1】根据点与圆的位置关系，你能得出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系有哪些？怎样判断？◆点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系：(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.【做一做1】点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为（）A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定【做一做2】若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________.知识点二直线与椭圆的位置关系【探究2】类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？◆直线与椭圆的位置关系(直线斜率存在时)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系判断方法：kx ＋m＋y 2b 2＝1，消y 得一个关于x的一元二次方程.位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ)相交2个2解Δ＞0相切1个1解Δ＝0相离0个0解Δ＜0斜率不存在时，观察可得．【做一做1】直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定【做一做2】(教材P114练习2改编)椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.1.直线与椭圆的位置关系例1.已知直线y ＝x ＋m 与椭圆x 216＋y 29＝1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分别求m 的取值范围．[分析]将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式Δ判断．【类题通法】代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．【巩固练习1】(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是()A.63B．－63C．±63D．±33(2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．2.弦长问题例2.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[分析](1)将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式Δ的符号，建立关于m 的不等式求解；(2)利用弦长公式建立关于m 的函数关系式，通过函数的最值求得m 的值，从而得到直线方程．【类题通法】1.求直线被椭圆截得弦长的方法：法一是求出两交点坐标，用两点间距离公式；法二是用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中k 为直线AB 的斜率，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．2．有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．【巩固练习2】已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点F 为其左焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过左焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当|AB |＝185时，求直线l 的方程．3.中点弦问题例3.过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A ，B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．[分析]由于弦所在直线过定点P (2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y －1＝k (x －2)，与椭圆方程联立，通过中点为P ，得出k 的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．【类题通法】关于中点弦问题，一般采用两种方法解决(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．(2)利用“点差法”即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x ，y ＋y 21b2＝1，①＋y 22b2＝1，②①－②：a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·xy.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题得以解决．【巩固练习3】已知椭圆方程是x 29＋y 24＝1，求以A (1,1)为中点的弦MN 所在的直线方程．1.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为()－233，2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定3.直线y ＝x ＋1被椭圆x24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是()－23，－132，4.椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是()A.22B.233C.922D.2327（五）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-A 基础练一、选择题1．（2020·河北桃城衡水中学期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为()A．2216448x y +=B．2216416x y +=C．221164x y +=D．2211612x y +=2.（2020全国高二课时练）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22143x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（）A．2B．4C．6D．83．（2020·金华市曙光学校月考）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A．没有公共点B．一个公共点C．两个公共点D．有公共点4.（2019·安徽安庆月考）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（）A．22B．2115．（多选题）（2020广东濠江高二月考）椭圆22116x y m+=的焦距为，则m 的值为（）A．9B．23C．16-D．16+6．（多选题）（2020全国高二课时练）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）A．焦距长约为300公里B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为()1500±，D．离心率约为75994二、填空题7.（2020·全国课时练习）若直线2y kx =+与椭圆22132x y +=有且只有一个交点，则斜率k 的值是_______.8．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点1F ,2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成,现一光线从左焦点1F 发出,依次经'Γ与Γ反射,又回到了点1F ,历时1t 秒;若将装置中的'Γ去掉,此光线从点1F 发出,经Γ两次反射后又回到了点1F ,历时2t 秒;若214t t =,则Γ与'Γ的离心率之比为______.9.（2020·福建漳州高二月考）已知1F ，2F 是椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右焦点，点P 在C 上，线段1PF 与y 轴交于点M ，O 为坐标原点，若OM 为12PF F △的中位线，且||1OM =，则1PF =________.10．（2020上海华师大二附中月考）已知点F 为椭圆22:143x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________三、解答题11．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径3400km =R ）的中心F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为800km ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为80000km ．假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 时进行变轨，其中,a b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到100km ）．12.（2020全国高二课时练习）已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>经过点3(1,)2M ,12,F F 是椭圆C 的两个焦点，12||F F =P 是椭圆C 上的一个动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第一象限，且1214PF PF ⋅≤ ,求点的横坐标的取值范围；3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-B 提高练一、选择题1.（2020·江苏省镇江中学开学考试）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ,上顶点为B ,若2122BF F F ==则该椭圆的方程为（）A．22143x y +=B．2213x y +=C．2212x y +=D．2214x y +=2.（2020·安徽省太和中学开学考试）“1a =”是“直线y x a =+与椭圆22:12516xy C +=有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.（2020·辽宁大连月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是115R ，13R ，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（）A．25B．15C．23D．194.（2020山东泰安一中高二月考）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是()A．卫星向径的最小值为a c -B．卫星向径的最大值为a c+C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大5．（多选题）设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则（）A．AF BF +为定值B．ABF 的周长的取值范围是[]6,12C．当2m =时，ABF 为直角三角形D．当1m =时，ABF 6.（多选题）（2020江苏扬州中学月考）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP +的最小值为21a -B．椭圆C 的短轴长可能为2C．椭圆C 的离心率的取值范围为510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．若11PF FQ =，则椭圆C +二、填空题7.（2020·广西南宁高二月考）已知O 为坐标原点，点1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，A 为椭圆C 上的一点，且212AF F F ⊥，1AF 与y 轴交于点B ，则OB =________.8．（2020南昌县莲塘第一中学月考）已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.9.（2020·山东泰安实验中学期末）直线2y x =+交椭圆2214x y m +=于,A B 两点，若AB =，则m的值为__________．10.（2020·河南南阳中学高二月考）过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>右焦点的直线0x y +=交于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，则椭圆M 的方程为__________．三、解答题11.（2020·贵港市高级中学期中）已知平面内两定点(1,0),(1,0)M N -，动点P 满足||||PM PN +=.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线1y x =+与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求||AB ．12.（2020天津实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B 2OB =(O 为原点)（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，求椭圆的方程.。
第二课时-2.2.2--椭圆的简单几何性质
y a2 c
例2．椭圆
y2 a2
x2 b2
（1 a>b>0）的离心率
e
3，
2焦点到椭圆上点的最短距离源自2－ 3求椭圆 的方程.例3.
设F1、F2为椭圆ax22
y2 b2
1 a
b
0
的两焦点，若椭圆上存在点P，使
∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率的取
值范围.
e [1 ,1) 2
y
BP
F1 O
F2
2.2.2 椭圆的简单几何性质 第二课时
知识回顾
1. 椭圆 y2 x2 1 a b 0,a2 b2 c2 a2 b2 的范围、对称性、顶点、离心率
范围：－a≤y≤a，－b≤x≤b.
对称性：关于x轴、y轴、原点对称.
顶点：(0 ，± a)，(±b ,0 ). 离心率： e c .
a
知识回顾
2.椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e∈(0，1). e越接近于0，椭圆越圆； e越接近于1，椭圆越扁.
新知探究
对于椭圆
x2 b2
y2 a2
1a
b 0
y
M
O
x
椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值 和最小值分别是最大值为a，最小值为b.
新知探究
椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小
值分别是什么？
y
|MF2|min=|A2F2|
B2 M
=a-c
A1 F O
1
B1
F2
A2
x
|MF2|max=|A1F2| =a+c
新知探究
点M在椭圆上运动，当点M在什么位 置时，∠F1MF2为最大？
椭圆的简单几何性质(第二课时)
知识回顾 上节课我们研究椭圆的几个基本量 a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及 其相互之间的关系，
需要注意的是：
1.掌握数与形的联系； 2.求解椭圆方程的基本方法；
3.函数与方程思想和分类讨论思想.
课前热身
▲▲
你知道吗？
y
1. 长度为a的线段有 6 条.
C OC,OD . 2. 长度为b的线段有 3. OF1=OF2= c . A F1 O 4. AF1=BF2= a-c .
l
H
x
2. 哪些方法能求解未 知曲线类型的方程？ 3. 计算离心率e的值， 有何发现吗？
F
范例分析
简单回顾求△F1AB的周长的方法.
y
A
x
F1 F2
B
范例分析 2 2 x y 1上的一点， 例题2.点P是椭圆 4 3 F1，F2是焦点，若△PF1F2的内切圆 半径为1/2，求点P的纵坐标.
2. 作业本P19 1--11.
P
6. |OP|的最小值是 b ;最大值是 a .
5. AF2=BF1=
7. |PF1|的最小值是 a-c ;最大值是 a+c .
范例分析 例题1.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到 直线l:x=25/4的距离之比是常数4/5， 求点M的轨迹.
y M
1. 你知道曲线类型吗？
y
P
x
F1
F2
温故知新
回顾 判断直线与圆的位置关系的方法.
d-r法 d=r 相切 d<r 相交 d>r 相离
△法 △=0 相切 △<0 相离 △>0 相交 .
今非昔比
探究 判断直线与椭圆的位置关系的方法.
椭圆的简单几何性质(第二课时)
学科：数学教学内容：椭圆的简单几何性质（第二课时）【自学导引】动点M与定点F(c，0)的距离和它到定直线l：x ＝的距离的比是常数(a>c>0)，则动点M的轨迹是椭圆，定直线l叫做椭圆的准线．准线与长轴所在的直线所夹的角为90°．【思考导学】已知动点P的坐标(x，y)满足，则动点P的轨迹是椭圆．【典例剖析】［例1］已知椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点坐标是F1(－c，0)和F2(c，0)，P(x0，y0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，其中e是椭圆的离心率．证明：椭圆＝1(a＞b＞0)的两焦点F1(－c，0)、F2(c，0)，相应的准线方程分别是x ＝－和x ＝．∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率．∴＝e ，＝e．化简得：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0．点评：｜PF1｜、｜PF2｜都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径．｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远(近)点为长轴端点．［例2］已知点A(1，2)在椭圆＝1内，F的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．解：∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2．∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为．设P到右准线的距离为d，则|PF|＝d，d＝2|PF|．∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d．由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|P A|＋d最小．把y＝2代入＝1得x＝(负舍之)，即P(，2)为所求．点评：由＝得d＝2|PF|是求P点的关键．［例3］在椭圆＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．解：设P点的坐标为(x，y)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．∵椭圆的准线方程为x＝±，∴，∵｜PF1｜＝2｜PF2｜，∴，∴x＝．把x＝代入方程＝1得y＝±．因此，P点的坐标为(，±)．点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离(焦半径)问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式．如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式．【随堂训练】1．椭圆＝1(a＞b＞0)的准线方程是( )A．y＝±Ｂ．y＝±Ｃ．y＝±Ｄ．x＝±解析：∵椭圆焦点在y轴上，且c＝∴椭圆的准线方程为y＝±．答案：Ｂ2．椭圆＝1的焦点到准线的距离是( )A．和B．和C．和D．解析：∵a2＝9，b2＝4，∴c＝，∴椭圆的焦点坐标为(±，0)，椭圆的准线方程为x＝±．∴椭圆的焦点到准线的距离为＝和＝答案：C3．已知椭圆＝1(a>b>0)的两准线间的距离为，离心率为，则椭圆方程为( )A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1解析：由＝，＝，得a2＝16，＝4．答案：D4．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e＝0．8，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程是( )A．＝1或＝1B．＝1或＝1C．＋＝1D．＝1解：设所求椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)．由题意，得解这个方程组，得．∴所求椭圆的方程为：＝1或＝1．答案：A5．已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离为，中心到准线的距离为，则椭圆的方程为( )A．＋y2＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：由－(－c)＝，＝得a2＝4，b2＝1．答案：A6．椭圆＝的离心率为( )A．B．C．D．无法确定解析：由＝知e＝．答案：B【强化训练】1．椭圆＝1和＝k(k＞0)具有( )A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴解析：把方程＝k写成标准形式＝1．且当a＞b＞0时，两椭圆的离心率分别为和，两椭圆的离心率相等．当b＞a＞0时，两椭圆的离心率分别为，两椭圆的离心率相等．答案：A2．椭圆＝1上点P到右焦点的最值为( )A．最大值为5，最小值为4B．最大值为10，最小值为8C．最大值为10，最小值为6D．最大值为9，最小值为1解析：e＝，设两焦点分别为、由焦半径公式得|PF2|＝5－x0，∵－5≤x0≤5，∴当x0＝5时|PF2|min＝1，当x0＝－5时，|PF2|max＝9．答案：D3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是( )A．B．C．D．解析：∵椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形．∴a＝2c，＝．答案：D4．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为( )A．B．C．D．解析：椭圆的两准线之间的距离为－(－)＝．∴由题意，得＝4³2c，∴＝．答案：D5．椭圆＝1的准线平行于x轴，则m的取值范围是( )A．m＞0B．0＜m＜1C．m＞1D．m＞0且m≠1解析：∵椭圆的准线平行于x轴，∴，即．∴答案：C6．椭圆＝1上的点P到左准线的距离是2．5，则P到右焦点的距离是________．解析：∵P到左准线的距离为2．5，∴＝e，而e＝，∴｜PF1｜＝2．5³＝2，∴｜PF2｜＝2³5－2＝8．即P到右焦点的距离为8．答案：87．椭圆的长轴长是______．解析：把椭圆的方程可写成，（4x－3y－33≠0）∴①一个焦点是(－1，1)，相对应的准线方程是4x－3y－33＝0，∴②由①、②得a＝，∴2a＝．答案：8．AB是过椭圆＝1的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为，求弦AB的长．解法一：不妨取F(1，0)，∴直线AB的方程为y＝(x－1)代入椭圆方程并整理得：19x2－30x－5＝0设A(x1，y1)，Ｂ(x2，y2)，则∴｜AＢ｜＝｜x1－x2｜＝解法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，F为右焦点．∵∠AFx＝，∴x1－c＝｜FA｜cos，x2－c＝｜FB｜cos(＋π)，∴｜FA｜＝a－x1＝．｜FB｜＝a－x2＝∴弦AB的长为：｜FA｜＋｜FＢ｜＝9．已知椭圆的一个焦点是F(1，1)，与它相对应的准线是x＋y－4＝0，离心率为，求椭圆的方程．解：设P(x，y)为椭圆上任意一点，∵椭圆的一个焦点是F(1，1)与它相对应的准线是x ＋y－4＝0，离心率为，∴，∴4(x－1)2＋4(y－1)2＝(x＋y－4)2．即3x2＋3y2－2xy－8＝0为所求．10．已知点P在椭圆＝1上(a＞b＞0)，F1、F2为椭圆的两个焦点，求|PF1|²|PF2|的取值范围．解：设P(x0，y0)，椭圆的准线方程为y＝±，不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点，则∴|PF1|＝y0＋a，|PF2|＝a－y0，∴|PF1|²|PF2|＝(a＋y0)(a－y0)＝a2－y02∵－a≤y0≤a∴当y0＝0时，|PF1|²|PF2|最大，最大值为a2．当y0＝±a时，|PF1|²|PF2|最小，最小值为a2－c2＝b2．因此，|PF1|²|PF2|的取值范围是［b2，a2］．【学后反思】椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率，这也是离心率的一个几何性质．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，它也沟通了椭圆上点的焦半径｜PF｜与到相应准线距离d之间的关系．左焦半径公式是|PF1|＝a＋ex0，右焦半径公式是|PF2|＝a－ex0．焦半径公式除计算有关距离问题外还证明了椭圆上离焦点距离最远(近)点实为长轴端点．椭圆的准线方程为x＝±，但必须注意这是椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时的结论．。
课件13：2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）
x02 y20
(2)点 P 在椭圆内部⇔a2＋b2＜1；
x02 y20
(3)点 P 在椭圆外部⇔a2＋b2＞1．
2．直线与椭圆的位置关系
x2 y2
直线 y＝kx＋m 与椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)的位置关系
a b
y＝kx＋m，
判断方法：联立x2 y2
点，则实数 m 的取值范围(－2，2)．
【答案】(－2，2)
1
2
2
5．椭圆x ＋4y ＝16被直线y＝ x＋1截得的弦长
2
为________．
【答案】 35
核心突破
类型1
直线与椭圆的位置关系(自主研析)
典例1
已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线与椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
5
.
2 ， 2
(2)由根与系数的关系，
m2－1
2m
得 x1＋x2＝－ 5 ，x1·x2＝ 5 ，
则弦长 d＝ 1＋k2·|x1－x2|
＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1·x2]
2
＝5 10－8m2，
2 10
故当 m＝0 时，d 取得最大值为 5 .
2 10
所以最长弦的长度为 5 .
其中 x1，x2 是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0 的两根， 2bb－12
故a＋b －4×
＝4.将
a＋b
1
b＝ 2a 代入得 a＝3，
2
所以 b＝ 3 .
所以所求椭圆的方程是 x2＋ 2y2＝3.
法二
ax2＋by2＝1，
由
得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.
3.1.2椭圆的简单几何性质第二课时(直线与椭圆的位置关系和点差法解决中点弦长)课件-高二上学期数学
又m 0且m 5. m的范围是 [4,5) (5,).
椭圆定 线不定
变式.无论k取何值, 直线y
kx 1与曲线 x2 9
y2 4
1的交点个数是 __1_或__2.
析 : 直线所过定点(0,1)在椭圆上 或联立消y得(4 9k 2 )x2 36kx 0
362 k 2 0
变式.直线y kx 1与椭圆 x2 y2 1总有公共点,则m的范围是 __ . 5m
l
(2) 它到直线l的距离最大？最大距离是多少？
解2: 设椭圆上任一点的坐标为P(5cos , 3sin ).
•P
∴点P到直线l的距离为
F• 1 O
d | 20cos 15sin 40 | | 25cos( ) 40 | (其中tan 3)
42 52
41
4
•
F2
x
当cos( ) 1时，dmin
此时 cos cos
6 , sin sin
3.
∴P( 2
3 ,
3 ).
3
3
33
椭圆上存在点P( 2 3 , 3 )到直线l的距离最小, 且最小距离为 2 2 6 .
33
2
总结：判断直线与椭圆的位置关系的方法 [注意] 方程组解的个数与直线与椭圆的公共点的个数之间是等价关系．
椭圆的弦长
回忆：直线与圆的位置关系 问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
类比思考
1.直线与椭圆的位置关系有哪几种?
相交
相切
相离
选修2-1教案22-2椭圆的简单几何性质【2】
选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.2.2椭圆的简单几何性质 第二课时：椭圆的第二定义教学目标：1.了解椭圆的第二定义，并会用第二定义解决相关问题，理解准线的概念；2.能根据焦距、长轴长、离心率、准线方程，求椭圆的标准方程.教学重、难点：用坐标法研究椭圆的另一种定义；理解焦点与相应准线的相互关系及其相互转化关系.教学过程：（一）复习： 椭圆：2222 1 (0)x y a b a b +=>> 顶点坐标：(,0)a ±，(0,)b ±对称性：对称轴为坐标轴，对称中心是原点，长轴长2a ，短轴长2b焦点坐标：(,0)c ±，22c a b =-离心率：c e a=（01e <<） （二）新课讲解：1．椭圆的第二定义：例1．点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离和它到定直线l ：2a x c =的距离比是常数c a（0a c >>），求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离， 由题意，所求点M 属于集合||{|}MF c P M d a=， 由此得22()||x c y c a x c-+=-， 将上式两边平方，化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-设222a c b -=，上式可化为2222 1 (0)x y a b a b+=>>，为椭圆的标准方程． 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为2,2a b 的椭圆，这个定点是椭圆的焦点，c e a=为离心率，定直线为这个焦点对应的准线． 说明：21a a x a a a c c==⋅>⋅=． 2．椭圆的准线方程：（1）22221x y a b +=，对应焦点(,0)F c 的准线方程：2a x c=，右准线； 对应焦点(,0)F c -的准线方程：2a x c=-，左准线． （2）22221y x a b+=，对应焦点(0,)F c 的准线方程：2a y c =； 对应焦点(0,)F c -的准线方程：2a y c=-． x y O M F l l '【练习】方程223(1)(1)|22|x y x y -+-=++所表示的曲线的轨迹是____________. 解：22(1)(1)313|22|3x y x y -+-=<++，即点(,)P x y 到定点(1,1)F 的距离与到定直线 :220l x y ++=的距离之比为313e =<，所以点P 的轨迹是椭圆。
高中数学第二章椭圆的简单几何性质第二课时直线与椭圆的位置关系学案含解析
第二课时 直线与椭圆的位置关系[导入新知]1．直线与椭圆的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，椭圆方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f x ，y ＝0消元，如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. 设Δ＝b 2－4ac .①Δ＞0时，直线和椭圆相交于不同两点； ②Δ＝0时，直线和椭圆相切于一点； ③Δ＜0时，直线和椭圆没有公共点． 2．椭圆的弦直线与椭圆相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做椭圆的弦，线段的长就是弦长，简单地说，椭圆的弦就是连接椭圆上任意两点所得的线段．[化解疑难]1．直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切和相离．2．解决直线与椭圆的位置关系，一般是联立直线方程和椭圆方程组成方程组，根据方程组解的个数判断直线与椭圆的公共点的个数，从而确定位置关系．直线与椭圆的位置关系[例1] 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离． [类题通法]判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ＞0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ＜0⇔直线与椭圆相离．[活学活用]若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y2m＝1，消去y ，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， ∴Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)． ∵直线与椭圆总有公共点， ∴Δ≥0对任意k ∈R 都成立． ∵m ＞0，∴5k 2≥1－m 恒成立． ∵5k 2≥0，∴1－m ≤0，即m ≥1. 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴0＜m ＜5， ∴1≤m ＜5，即m 的取值范围为[1,5)．弦长问题[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆5＋4＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B两点，求弦AB 的长．[解] 法一：∵直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，且直线的斜率为2，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.|AB |＝x A －x B2＋y A －y B2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432＝ 1259＝553.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ，B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1的解．消去y 得，3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 221＋k 2AB＝1＋k 2AB[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. [类题通法] 当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，然后运用根与系数的关系求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法．(2)求弦长的公式：设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx ＋b ，设端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋kx 1－kx 22＝1＋k 2·x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2，其中，x 1＋x 2，x 1x 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 后得到关于x 的一元二次方程得到．[活学活用]椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆的方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2. ∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ， 得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0， 由Δ＞0，得a 2＞32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 236＋y 29＝1.中点弦问题[例3] 已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．[解] 法一：由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆的方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. ∴x 1＋x 2＝8k4k －24k 2＋1＝8， ∴k ＝－12.∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.法二：设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减，有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －8＝0. [类题通法]解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②，得1a2(x 21－x 22)＋1b2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.[活学活用]已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由y 2a 2＋x 2b2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0， x 1＋x 2＝12b2a 2＋9b 2，由已知x 1＋x 22＝12， 即12b 2a 2＋9b 2＝1，所以a 2＝3b 2. 又c 2＝a 2－b 2＝50， 所以得a 2＝75，b 2＝25， 所以椭圆的方程为y 275＋x 225＝1.2.求解直线和椭圆的综合问题[典例] (12分)(北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．[解题流程][活学活用](浙江高考)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)； (2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋k 21＋a 2k2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)． ①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤ 2.由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0＜e ≤22.所求离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，22.[随堂即时演练]1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋－42≥45，所以1≤b ＜2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝ 1－b 24.因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤32.2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线与椭圆的交点，中点M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，得3x 2＋4x －2＝0.x 0＝x 1＋x 22＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.3．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32(负值舍去)．答案：324．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x 2m ＋y23＝1，y ＝x ＋2，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点， ∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16m 2－4m 2－12m ＝12m 2－12m ＞0， 解得m ＞1或m ＜0.又∵m ＞0且m ≠3，∴m ＞1且m ≠3. 答案：(1,3)∪(3，＋∞)5．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.① 显然x 1≠x 2，故由①得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2.因为点P 是AB 的中点，所以有x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0.∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋[k x 1－x 2]2＝1＋k2x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.[课时达标检测]一、选择题1．椭圆x 225＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．18 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：选A 将椭圆方程化为标准方程为x 2＋y 21m＝1，∵焦点在y 轴上，∴1m＞1，∴0＜m＜1.由方程得a ＝1m ，b ＝1.∵a ＝2b ，∴m ＝14. 3．两个正数1,9的等差中项是a ，等比中项是b 且b ＞0，则曲线x 2a ＋y 2b＝1的离心率为( )A.105 B.2105 C.25 D.35解析：选A ∵a ＝9＋12＝5，b ＝1×9＝3，∴e ＝25＝105. 4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．0，12C ．0，22 D.22，1 解析：选C ∵MF 1―→⊥MF 2―→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c ＜b ，∴c 2＜b 2＝a 2－c 2，即2c 2＜a 2， ∴c 2a 2＜12，即c a ＜22.又e ＞0，∴0＜e ＜22. 5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA ―→＝3FB ―→，则|AF ―→ |＝( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)．由FA ―→＝3FB ―→，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1， 得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF ―→|＝2－12＋n 2＝1＋1＝ 2. 二、填空题6．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 解析：由⎩⎨⎧ x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 544＋24＝35.答案：357．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM ―→|＝1，且PM ―→·AM ―→＝0，则|PM ―→|的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ―→·AM ―→＝0，∴AM ―→⊥PM ―→.∴|PM ―→|2＝|AP ―→|2－|AM ―→|2＝|AP ―→|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，∴|AP ―→|min ＝2，∴|PM ―→|min ＝ 3. 答案： 38．(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________． 解析：将y ＝b 2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b 2＝1， 所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2. 又因为F (c,0)，所以BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2， CF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2. 因为∠BFC ＝90°，所以BF ―→·CF ―→＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)． 答案：63三、解答题 9．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB |.解：(1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1， 消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点， 所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0，解得－3＜b ＜ 3. 所以b 的取值范围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43. 相应地y 1＝1，y 2＝－13. 所以|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝423.10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1， ∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925， 即1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －3225＝1，即x 2－3x －8＝0， 解得x 1＋x 2＝3，∴AB 的中点坐标 x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.。
人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
重点：椭圆的方程及其性质的应用 难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。
椭圆的简单几何性质(第2课时)高中数学获奖教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的第二定义；2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.二、教学重难点1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；2.研究椭圆几何性质的思路与方法.三、教学过程1.复习巩固活动：完成下表【活动预设】由学生完成上表【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质. 2.课堂探究 2.1 探究1活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点，O 为坐标原点.探究：当P 在何位置时，|OP|最小？P 又在何位置时，|OP|最大？【活动预设】由学生自主完成问题1：如果椭圆方程变为一般方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，结论又会如何呢？ 【预设的答案】当P 在短轴顶点时，|OP|min =b ；当P 在长轴顶点时，|OP|max =a . 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想 2.2 探究2活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【活动预设】由学生自主完成问题2：上述|PF 1|=12|x 0+8|，|x 0+8|有什么几何意义？【预设的答案】代表P(x 0,y 0)到直线x =−8的距离 【设计意图】渗透数形结合的思想问题3：也就是说|PF 1|=12|PM|，椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，它到左焦点的距离和它到直线x =−8的距离之比为常数12，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一般情况：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【预设的答案】设P(x 0,y 0)，则PF 12=(x 0+c)2+y 02 因为y 02=b 2(1−x 02a 2) 所以PF 12=(x 0+c)2+b 2(1−x 02a 2)=(a 2−b 2)x 02a2+2cx 0+b 2+c 2=c 2a 2 x 02+2cx 0+a 2=c 2a 2(x 0+a 2c )2即|PF 1|=ca |x 0+a 2c |设直线l 1:x =−a 2c ，P 到直线l 1的距离为PM ，则|PF 1|=ca |PM|，|PF 1||PM|=ca =e 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想. 2.3 概念形成椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，P(x 0,y 0)为椭圆E 上一动点.左准线l 1:x =−a 2c ，右准线l 2:x =a 2c 椭圆第二定义：P 到左焦点的距离|PF 1|与它到左准线l 1:x =−a 2c 的距离|PM 1|的比为离心率e ，即|PF 1||PM 1|=e =ca ； P 到右焦点的距离|PF 2|与它到右准线l 2:x =a 2c 的距离|PM 2|的比为离心率e ，即|PF 2||PM 2|=e =ca .焦半径公式：|PF 1|=c a (a 2c +x 0)= a +ex 0，|PF 2|=c a (a 2c −x 0)= a−ex 0|PF 1|min =a−c ， |PF 1|max =a +c .3.课堂巩固例：动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M 到定直线l:x =254的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹.(x−4)2+y 2|x−254|=45所以25[(x−4)2+y 2]=16(x−254)2化简得：9x 2+25y 2=225 所以x 225+y 29=1【设计意图】引出椭圆第二定义拓展：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是一个常数，动点M 的轨迹是否也是椭圆呢？【设计意图】留给学生课后自主研究 4.课后探究探究1：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大？P 又在何位置时，∠F 1PF 2最小？探究2：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1、A 2分别为椭圆E 的左、右顶点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠A 1PA 2最大？P 又在何位置时，∠A 1PA 2最小？【设计意图】鼓励学生利用课余时间自主探究 5.课堂小结思考：这节课我们主要学习了什么内容？体现了哪些数学思想方法？【设计意图】梳理本节课所学内容，总结数学思想方法.。
课件15：2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）
则 x21＋4y12＝16，x22＋4y22＝16.
两式相减得(x12－x22)＋4(y12－y22)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
y1－y2
x1＋x2
1
∴
＝－
＝－2，
x1－x2
4(y1＋y2)
1
即 kAB＝－2.
又直线 AB 过点 M(2,1)，
2
(1)试求动点P的轨迹方程C;
(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M，N两点，当|MN|
4 2
＝ 时，求直线l的方程.
3
解：(1)设动点 P 的坐标是(x，y)，
1
由题意得，kPA·kPB＝－2.
y
y
1
∴
·
＝－2，
x＋ 2 x－ 2
x2 2
化简整理得 2 ＋y ＝1.
x2 2
故 P 点的轨迹方程 C 是 2 ＋y ＝1(x≠± 2).
x1＋x2 1
因为
＝ ，
2
2
6b2
1
所以 2
＝ .
a ＋9b2 2
所以 a2＝3b2.
由①②，得 a2＝75，b2＝25.
经检验，此时 Δ>0.
y2 x2
所以椭圆方程为75＋25＝1.
②
课堂检测
x2 y2
1.已知点(2,3)在椭圆m2＋n2＝1上，则下列说法正确的是(
A.点(－2,3)在椭圆外
B.点(3,2)在椭圆上
【解析】 ∵点 A 在椭圆内部，
a2 1
∴ 4 ＋2＜1，∴a2＜2，∴－ 2＜a＜ 2.
【答案】
(－ 2， 2)
课件1：2.5.2 第1课时 椭圆的简单几何性质~2.5.2 第2课时 椭圆的综合性质
【解析】 (1)设椭圆的方程为 ax22＋by22＝1(a＞b＞0)或ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)． 由已知得 2a＝10，a＝5.e＝ac＝45，∴c＝4. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆方程为2x52 ＋y92＝1 或x92＋2y52 ＝1.
(2)依题意可设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
(2)设椭圆的标准方程为
ax22＋by22＝1(a>b>0)或ay22＋bx22＝1(a>b>0)．
由已知得aa＝ －2c＝c， 3，
∴ac＝＝2
3， 3.
从而 b2＝9，
∴所求椭圆的标准方程为1x22 ＋y92＝1 或x92＋1y22 ＝1.
状元随笔 当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出 标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确 定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．
状元随笔 化为标准方程，确定焦点位置及 a，b，c 的值，再研究 相应的几何性质．
方法归纳 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根 据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a，b，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练 1 求椭圆 9x2＋y2＝81 的长轴长、短轴长、焦 点坐标、顶点坐标和离心率．
【课堂探究】 题型一 由椭圆方程求椭圆的几何性质 例 1 求椭圆 16x2＋25y2＝400 的长轴和短轴的长、离心率、 焦点和顶点的坐标．
【解析】 把已知方程化成标准方程5x22＋4y22＝1，可知 a＝5，b ＝4，所以 c＝3.因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a＝10 和 2b＝8，离心率 e＝ac＝35，两个焦点分别是 F1(－3,0)和 F2(3,0)， 椭圆的四个顶点是 A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－4)和 B2(0,4)．
人教课标版高中数学选修1-1《椭圆的简单几何性质(第2课时)》名师课件
解得 k 2 1
4
,
同理得 (
1 )2 k
1 4
k2
4
1 4
k2
4 k
(2
1 2
)
(
1 2
2)
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二:直线与椭圆的位置关系
★▲ 重难点
（3）设 A(x1 y1) B(x2 y2 ) M (x0 y0 )
则
x1
x2
3
16k 4k
2
x0
x1
2
x2
8k 3 4k2
探究二:直线与椭圆的位置关系
★▲ 重难点
设右焦点（b,0）关于直线l的对称点为 x, y 则 由点y2（x1y,1xb-2b）b1 在1解椭得圆上yx,得 1:11b 21 b2 2b2
则 b2 9 , a2 9
16
8
所以所求椭圆C的方程为 8x2 16 y2 1
99
直线l的方程为 y x 1
b a
,
x1x2
c a
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
3.平面内两点 A x1, y1, Bx2 y2 之间的距离公式为:
AB x1 x2 2 y1 y2 2
检测下预习效果: 点击“互动训练” 选择“《椭圆的简单几何性质（第2课时）》预习自测”
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
y0
kx0
2
6 3 4k2
M
(
8k 3 4k2
3
6 4k
2
)
同理得N (
8(
1 k
)
3 4( 1)2
k
3
6 4(
1)2 k
§211椭圆简单的几何性质(第2课时).doc
§2.1.1椭圆简单的几何性质（第2课时）编制人：高二数学组心学习目标：知道盲线与椭圆的位置关系，并能利用椭圆的有关性质解决实际问题.重点：椭圆的简单几何性质.难点：椭圆性质应用及直线和椭圆的位置关系. 心使用说明及学法指导：（1）阅读教材40——41页，回答预习案中的问题，并完成预习口测.（2）将预习屮不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.预学案【预习导学】（1）椭圆二+工=1的16 12焦点坐标是（）（）；长轴长________ 、短车由长_______ ;离心率___________ .（2）直线与椭圆的位豐关系代数法：由直线方程与椭岡的方程联立消去y得到关于x的方程.（1） ____ △0o宜线与椭圆相交o有两个公共点；（2） ____ A 0 o直线与椭圆相切o有且只有一个公共点；（3） ____ A 0 o直线与椭圆相离o无公共点.［预习自测］设椭圆的两个焦点分别为尺、、F2,过凡作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△FfE为等腰肓角三角形，则椭圆的离心率是（）.A. —B.C. 2-V2D. V2-12 2【预习，檢结】（请你将预习屮未能解决的问题和疑惑的问题写卜•來，待课堂上与老师同学探究解决）导学案【探究点一】椭圆在生活中的运用;例1、例1 一种电影放映灯泡的反射镜而是旋转椭圆而（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口B4C是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点片上，片门位于另一个焦点笃上，由椭圆一个焦点片发出的光线，经过旋转椭圜面反射后集中到另一个焦点巧，已知BC丄Ff" =2&〃7,闪巧|= 4.5如，试建立适当的他标系，求截口B4C所在椭圆的方程.变式训练：若图形的开口向上，则方程是什么?小结：①先化为标准方程，找出，求岀c；②注意焦点所在坐标轴.【探究点二】直线与椭圆应用2 2★例2、已知椭圆+ y = 直线1： 4x-5y + 40 = 0o椭圆上是否存在一点，它到直线距离最小？最小距离是多少？变式训练：最大距离是多少?小结：①先化为标准方程，找出，求出C；②注总焦点所在坐标轴.【课堂检测】2 21.己知椭圆7 +匚=1的左、右焦点分别为许迅，点P在椭I员I上，若P、F］、尸2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到X轴的距离为（）.2.椭圆的焦距、矩轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为_____________________ .3.椭圆二+丄=1的焦点分别是斥和尺，过原点。
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宝应县范水高级中学备课纸
学科：数学执教者：卢浩执教班级：高二（4）（5）日期：年月日
教学内容:椭圆性质(二)
教学目的要求；1．掌握椭圆的性质
2．会根据椭圆性质求椭圆方程
教学重点；椭圆的简单几何性质
教学难点：椭圆的简单几何性质应用
教学方法：师生共同讨论法
学法指导：1、渗透数形结合思想；
2.、提高学生解题能力。
3、与学生展开讨论，从而使学生自己发现规律
教具准备：投影片
教学过程
一、基础练习：
1、如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是：（）
A.（0，+∞）
B.（0，2）
C.（1，+∞）
D.（0，1）
2、已知椭圆x2/(a+8)+y2/9=1的离心率为1/2，则a=____________
二、例题选讲：
例1：已知椭圆的一个焦点将长轴分成2：1的两部分，且经过点（-3√2，4），求椭圆的标准方程。
例2：已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A,PO∥AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。
例3、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点为A，上顶点为B，左焦点F1到直线AB的距离为√7/7|OB|，则椭圆的离心率为___________
例4、F1,F2是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=90ο，求椭圆离心率。
练习：1、椭圆x2/12+y2/3=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上。
如果线段PF1的中点在y 轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）倍。
A. 7
B.5
C.4
D.3
2、椭圆两焦点为F1、F2，以F2为圆心且过中心的圆与椭圆的一个交点为M，已知
直线F1M与圆F2相切，则离心率e=（）
A.√3-1
B.2-√3
C.√3/2
D.√2/2
3、过椭圆x2/36+y2/27=1的左焦点F作与长轴不垂直的弦AB，AB的垂直平分线
交x轴于N，则|FN|/|AB|=_________
练习：中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆，长轴长与短轴长的比为√2，且过点
（-√2，√3），则该椭圆的方程是__________________
板书设计：
教后感：。