D2-5两个重要极限

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例说求极限的几种方法(图文)

例说求极限的几种方法(图文)论文导读：四则运算法则指：如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为零）。

法则本身很简单，但有些函数求极限往往不能直接利用法则，需要先对函数做某些恒等变形或化简，常用的变形或化简方法主要有分式的分子或分母分解因式、分式的约分或通分、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形等。

利用单调有界准则求极限，首先讨论数列的单调性和有界性，再解方程可求出极限。

总之，极限的求法很多，但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法，则可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率。

关键词：数列，函数，极限，求法极限思想贯穿于整个微积分的课程之中，掌握好求极限的方法是十分必要的。

由于极限的求法众多，且灵活性强，因此有必要对极限的求法加以归纳总结，本文就师范数学微积分的内容总结了如下12种方法：一、利用极限四则运算法则求极限四则运算法则指：如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数的极限分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为零）。

例1.解：原式= ＝＝＝－例2．解：原式=二、利用两个重要极限求极限两个重要极限为：，或它们的扩展形式为：，或，利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则求极限。

例3．解：原式= 。

例4．解：原式= 。

例5．解：原式=三、利用函数的连续性求极限：由函数f(x)在x0点连续定义知，，由于初等函数在定义区间内处处连续，所以求初等函数在定义区间内任意点处的极限值，只要求其函数在该点处的函数值,因此可直接代入计算。

关于大学高等数学函数极限和连续

第一章函数、极限和连续§ 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=fx, x ∈D定义域: Df, 值域: Zf.2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: Fx,y= 04.反函数: y=fx → x=φy=f -1y y=f -1 x定理:如果函数: y=fx, Df=X, Zf=Y 是严格单调增加或减少的；则它必定存在反函数：y=f -1x, Df -1=Y, Zf -1=X且也是严格单调增加或减少的;㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=fx,x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若fx 1≤fx 2,则称fx 在D 内单调增加；若fx 1≥fx 2,则称fx 在D 内单调减少；若fx 1＜fx 2,则称fx 在D 内严格单调增加；若fx 1＞fx 2,则称fx 在D 内严格单调减少 ;2.函数的奇偶性：Df 关于原点对称偶函数：f-x=fx 奇函数：f-x=-fx3.函数的周期性：周期函数：fx+T=fx, x ∈-∞,+∞ 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |fx|≤M , x ∈a,b ㈢基本初等函数1.常数函数： y=c , c 为常数2.幂函数： y=x n , n 为实数3.指数函数： y=a x , a ＞0、a ≠14.对数函数： y=log a x ,a ＞0、a ≠15.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=fu , u=φxy=f φx , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算加、减、乘、除和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§ 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限; 或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时,)(x f 的极限：⑵当0x x →时,)(x f 的极限：左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx==⇔=+-→→→)(lim)(lim)(lim㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：+∞=)(lim xf称在该变化过程中)(xf为无穷大量;X再某个变化过程是指：2．无穷小量：)(lim=xf称在该变化过程中)(xf为无穷小量;3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim)(lim≠+∞=⇔=xfxfxf4．无穷小量的比较：lim,0lim==βα⑴若lim=αβ,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若c=αβlimc为常数,则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim=αβ,则称β与α是等价的无穷小量,记作：β～α；⑷若∞=αβlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量; 定理：若：；，2211~~βαβα则：2121limlim ββαα=㈢两面夹定理1．数列极限存在的判定准则：设：n n n z x y ≤≤ n=1、2、3…且： a z y n n n n ==∞→∞→lim lim则： a x n n =∞→lim2．函数极限存在的判定准则：设：对于点x 0的某个邻域内的一切点点x 0除外有：且：Ax h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0则：A x f x x =→)(lim 0㈣极限的运算规则若：B x v A x u ==)(lim ,)(lim则：①B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[②B A x v x u x v x u ⋅=⋅=⋅)(lim )(lim )]()(lim[③BA x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论：①)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±②)(lim )](lim[x u c x u c ⋅=⋅③nnx u x u )]([lim )](lim [=㈤两个重要极限1．1sin lim 0=→xxx 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ 2．e xxx =+∞→)11(lim e x xx =+→10)1(lim§ 连续一、主要内容㈠函数的连续性 1. 函数在0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义,1o 0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x2o)()(lim 00x f x f x x =→左连续：)()(lim 00x f x f x x =-→右连续：)()(lim 00x f x f x x =+→2. 函数在0x 处连续的必要条件：定理：)(x f 在0x 处连续⇒)(x f 在0x 处极限存在3. 函数在0x 处连续的充要条件：定理：)()(lim )(lim )()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ==⇔=+-→→→4. 函数在[]b a ,上连续：)(x f 在[]b a ,上每一点都连续;在端点a 和b 连续是指：)()(lim a f x f ax =+→ 左端点右连续；)()(lim b f x f b x =-→ 右端点左连续;a + 0b - x 5. 函数的间断点：若)(x f 在0x 处不连续,则0x 为)(x f 的间断点;间断点有三种情况：1o)(x f在0x 处无定义；2o)(lim 0x f x x →不存在；3o)(x f在0x 处有定义,且)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→;两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→都存在;可去间断点：)(lim 0x f x x →存在,但)()(lim 00x f x f x x ≠→,或)(x f在0x 处无定义;2o 第二类间断点：特点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞,或)(lim 0x f x x →振荡不存在;无穷间断点：)(lim 0x f x x -→和)(lim 0x f x x +→至少有一个为∞㈡函数在0x 处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→1o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ±=±→2o)()()]()([lim 000x g x f x g x f x x ⋅=⋅→3o)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠→0)(lim 0x g x x2. 复合函数的连续性：则：)]([)](lim [)]([lim 00x f x f x f x x x x ϕϕϕ==→→3.反函数的连续性：㈢函数在],[b a 上连续的性质1.最大值与最小值定理：)(x f 在],[b a 上连续⇒)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值;fx0 a b xm-M0 ab x2.有界定理：) (xf在],[ba上连续⇒)(x f在],[b a上一定有界;3.介值定理：) (xf在],[ba上连续⇒在),(b a内至少存在一点ξ,使得：cf=)(ξ,其中：Mcm≤≤y yCfx0 a ξm0 a ξ1 ξ2 b x 推论：)(x f 在],[b a 上连续,且)(a f 与)(b f 异号⇒在),(b a 内至少存在一点ξ,使得：0)(=ξf ;4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的; 第二章一元函数微分学 § 导数与微分一、主要内容㈠导数的概念1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义, 2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 定理：)(x f 在0x 的左或右邻域上连续在其内可导,且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+3.函数可导的必要条件：定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件：定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒,且存在;5.导函数： ),(x f y '=' ),(b a x ∈)(x f 在),(b a 内处处可导; y )(0x f '6.导数的几何性质： y ∆)(0x f '是曲线)(x f y =上点 ∆()00,y x M 处切线的斜率; o x 0㈡求导法则 1.基本求导公式： 2.导数的四则运算： 1o v u v u '±'='±)（2ov u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（3o2v v u v u v u '⋅-⋅'='⎪⎭⎫⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：dxdu du dy dx dy ⋅=,或 )()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'=' ☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别：})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导;4.高阶导数：)(),(),()3(x f x f x f 或'''''函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数; ㈢微分的概念 1.微分：)(x f 在x 的某个邻域内有定义,其中：)(x A 与x ∆无关,)(x o ∆是比x ∆较高阶的无穷小量,即：0)(lim 0=∆∆→∆x x o x 则称)(x f y =在x 处可微,记作：2.导数与微分的等价关系：定理：)(x f 在x 处可微)(x f ⇒在x 处可导,且：)()(x A x f ='3.微分形式不变性：不论u 是自变量,还是中间变量,函数的微分dy 都具有相同的形式;§ 中值定理及导数的应用一、主要内容㈠中值定理1.罗尔定理: )(x f 满足条件:y)(ξf ' )(x fa o ξb x a o x2.拉格朗日定理：)(x f 满足条件:㈡罗必塔法则：∞∞,型未定式定理：)(x f 和)(x g 满足条件：1o）或）或∞=∞=→→(0)(lim (0)(lim x g x f ax ax ；2o 在点a 的某个邻域内可导,且0)(≠'x g ；3o）（或∞=''∞→,)()(lim )(A x g x f a x则：）（或∞=''=∞→∞→,)()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x☆注意：1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限; 2o若不满足法则的条件,不能使用法则;即不是型或∞∞型时,不可求导;3o 应用法则时,要分别对分子、分母求导,而不是对整个分式求导; 4o 若)(x f '和)(x g '还满足法则的条件,可以继续使用法则,即： 5o 若函数是∞-∞∞⋅,0型可采用代数变形,化成或∞∞型；若是0,0,1∞∞型可采用对数或指数变形,化成或∞∞型;㈢导数的应用 1．切线方程和法线方程：设：),(),(00y x M x f y =切线方程：))((000x x x f y y -'=-法线方程：)0)((),()(10000≠'-'-=-x f x x x f y y 2．曲线的单调性：⑴),(0)(b a x x f ∈≥'内单调增加；在),()(b a x f ⇒⑵),(0)(b a x x f ∈>'内严格单调增加；在),(b a ⇒3.函数的极值： ⑴极值的定义：设)(x f 在),(b a 内有定义,0x 是),(b a 内的一点；若对于x 的某个邻域内的任意点x x ≠,都有：则称)(0x f 是)(x f 的一个极大值或极小值,称x 为)(x f 的极大值点或极小值点;⑵极值存在的必要条件：定理：)()(.2)()(.1=⇒⎭⎬⎫'xfxfxfxf存在。

重要极限的推导及应用教学设计

重要极限e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 的推导及应用教学设计课程名称: 数学分析所属学科: 数学专业: 数学与应用数学适用对象: 理工类姓名: 宋美单位: 鲁东大学数学与统计科学学院一、教学背景1、教材分析本课程所用教材是华东师范大学数学系编写的《数学分析》第四版上册。

本次授课内容选自教材第二章第3节数列极限存在的条件.本次授课内容的地位和作用：重要极限是极限理论的重要内容，也是解决极限问题的一种有效的方法，两个重要极限是研究初等函数求导公式的一个工具，在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用。

2、学情分析学生中学学过二项式展开公式，前面学习了单调有界原理，并会用单调有界原理来证明极限的存在性。

二、教学目标知识目标：掌握极限e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 的推导过程，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形公式解决有关数列极限的问题。

通过对实际问题的观察，猜想，分析讨论和严格推导，培养学生观察，归纳，严格证明的学习方法，且进一步认识转化思想在数学解题中的作用。

情感与能力目标：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣，养成细心观察，认真分析，善于总结的良好思维品质。

三、教学方法本次授课采用启发引导和讲练结合的方法。

四、教学重点、难点1、教学重点正确理解公式e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ，并能运用公式及其变形公式解决有关的数列极限的计算问题。

2、教学难点公式e n nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 的证明，公式及其变形公式的灵活运用。

五、教学过程1、引入利用古巴比伦人提出的问题, 即连续复利问题引入新课公元前1700年左右,古巴比伦人就提出了这样一个问题,以本金10000元存入银行，设年利率为20%,则一年后资金总额为 10000(120%)12000+=如果按半年计息，年利率20%,则每期利率为10%,一年后本息和为10000(110%)(110%)12100++=如果按季度计息，年利率20%,则每期利率为5%,一年后本息和为410000(15%)12155.0625.+=由此看到，计息的周期越短，相同的年利率下，收益越高，如果按天计息呢？按小时？按分钟计息呢？如果每时每刻都在计息，会怎么样呢？2、复习回顾单调有界原理：单调递增（减）有上（下）界的数列必有极限，极限为上（下）确界。

大一高数课件ch2-5极限存在准则两个重要极限连续复利

两个重要极限的应用
总结词
两个重要极限在微积分、概率论和统计学等领域有广泛应用。
VS
详细描述
第一个重要极限常用于解决一些微积分问题，例如求不定积分和定积分；第二个重要极限则常用于解决一些概率论和统计学问题，例如计算概率和期望值等。两个重要极限都是微积分和概率论中非常重要的概念，对于理解这些学科的基本原理和解决问题具有重要意义。
在一些特定的金融产品中，如指数基金、期权等，连续复利的应用尤为重要。
连续复利还可以用于评估企业的价值，如市盈率、市净率等指标的计算中，连续复利的应用也是不可忽视的。
CHAPTER 04
极限存在准则与连续复利的关系
极限存在准则对连续复利的影响
01
极限存在准则为连续复利的计算提供了理论基础，确保了复利计算的正确性和可靠性。
CHAPTER 03
连续复利
连续复利的概念
连续复利
是一种计算利息的方式，它假设本金在每个时间点上都获得利息，而不是在固定的时间段内获得利息。
与离散复利的区别
离散复利假设本金在固定的时间段内获得利息，而连续复利则假设本金在每个时间点上都获得利息。
连续复利的计算公式
A=P*e^rt，其中A是未来的总金额，P是本金，r是年利率，t是时间。
详细描述
柯西收敛准则是一个非常强大的工具，用于证明数列的收敛性。这个准则表明，如果一个数列的任意两项之间的差的绝对值可以任意小，那么这个数列就是收敛的。柯西收敛准则可以用来证明许多复杂的数列的收敛性，尤其是在处理无穷级数时非常有用。
极限存在准则三
总结词
极限存在准则三是闭区间套定理，它指出如果一个数列的项构成一个闭区间套，即每个区间端点的极限相等且等于该数列的项，则该数列收敛于这个极限。

微积分第二章第五节极限存在性定理与两个重要极限

n
2 1 1 1
2! 3!
n!
2 1 1 1
12 23
n(n 1)
21 1 1 1 1 1 3 1 3.
223
n1 n
n
19
综上所述， {un } 单调增加且有上界,
因此 lim(1 1 )n 存在,记为 e.
n
n
无理数 e 2.718281828459
以e为底的对数称为自然对数，log e x 记作 ln x .
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ).
x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x)的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1) ， x1 lim f ( x) f (1) . x1
例12 求 lim(1 cos x) 4secx . x 2 4
解原式 lim (1 cos x) cosx e4 . x / 2
lim cos x 0
x 2
22
例13 连续复利问题
将本金A0 存入银行, 年利率为 r, 则一年后本息
之和为 A0 (1 r ) . 如果年利率仍为 r，但半年计一次
2
x
2
8.
13
例7 求 lim tan x sin x . x0 sin3 2 x
错解当 x 0 时, tan x ~ x, sin x ~ x.
原式
x x lim x0 (2 x)3
0.
解当 x 0 时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
5、 lim sin x __________. x 2x

极限的公式总结

极限的公式总结极限是数学中一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。

在学习极限的过程中，我们经常会遇到各种各样的极限公式，这些公式在求极限的过程中起着至关重要的作用。

今天，我们就来总结一些常见的极限公式，希望能够对大家的学习和理解有所帮助。

首先，我们来说说一些常见的基本极限公式。

在求解极限的过程中，我们经常会用到一些基本的极限公式，比如：1. $\lim_{x \to a} c = c$，其中c是一个常数；2. $\lim_{x \to a} x = a$；3. $\lim_{x \to a} x^n = a^n$，其中n是一个正整数；4. $\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$；5. $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$；6. $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$，其中$\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$。

这些基本的极限公式在求解极限的过程中经常会被用到，它们是我们学习极限的基础，因此我们需要牢记并熟练运用这些公式。

除了基本的极限公式之外，还有一些常见的特殊极限公式也是我们需要了解的。

比如：1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$；2. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0$；3. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$；4. $\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$；5. $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$。

d2_3两个重要极限

1 3n ⋅ 2 = lim n →∞ 1 3 3n sin x 例6 求 lim x
x →0 2
解
1 − cos x lim x →0 x2
x 2 sin 2 = lim 2 x→0 x
2
2 x x sin sin 1 1 2 2 = 1 = lim = lim 2 x →0 x 2 2 x →0 x 2 2 2
24
xk = 2 + xk −1 < 2 + 2 = 2
再证该数列单调. 用数学归纳法: 再证该数列单调. 用数学归纳法: x2 = 2 + 2 > 2 = x1 ,
xk +1 = 2 + xk > 2 + xk −1 = xk 证得数列 {xn } 单调有界,故极限存在. 设 lim xn = a 单调有界,故极限存在.
5 3
15
练习一
sin x − 1 1. lim x →1 x −1
2
(
)
sin (sin x ) 2. lim x →0 x
=1
16
=2
提高题目
1 + sin x − 1 − sin x 例11求极限 lim 求极限 x →0 x
17
2.
1 lim 1 + = e x →∞ x
∆DOC的面积
1 1 1 即 2 sin x < 2 x < 2 tan x
即 sin x < x < tan x,
8
Q0 < x < ,∴sin x > 0, sin x < x < tan x 2 sin x (1) ∴ cosx < < 1, x

螺纹总结

2.T（d2）=D2 +Zpl（±Tpl/2） Z（d2）=D2 +TD2+Tpl/2（±Tpl/2）
3.T D2 :（GB/T 5796.4-2005表5 公差）,根据内螺纹的中径公差TD2查阅Zpl、Tpl（GB/T812
表5 技术要求） Tpl:通、止端螺纹塞规中径公差。 Zpl：由通端螺纹塞规中径公差带的
。
和凸起宽度相等的地方。沟槽宽度等于基本螺距一半的地方。
轴向距离。
355mm、螺距为0.2~8的普通螺纹量规 TD2+Tpl/2（±Tpl/2）相同，只标注前者），而量规只标注被螺纹的中径公差带计算出来的，与被检螺
据公差带位置（H、G）确定（GB/T197-2003 934-2003表6 技术要求）
功能
使用规则
检验新制通端环规中径
应与新制通端螺纹环规旋合通过
检验新制环规单一中径
允许与通端螺纹环规两端部分旋入，不得超过一个螺距
检验使用中环规单一中径检验新制止端环规中径检验新制环规单一中径检验使用中环规单一中径
同上（如旋合通过视为环规磨损，停止使用）应与新制止端螺纹环规旋合通过
允许与止端螺纹环规两端部分旋入，不得超过一个螺距同上（如旋合通过视为环规磨损，停止使用）
螺纹公差带：对于内螺纹，中径规定了H一种位置，小径规定了D、C两种位置；对于外螺纹，
定了mnp三种位置，大径规定了ec两种位置。H的基本偏差为零，DC的基本偏差为正；ec的基本
为负，mnp的基本偏差为正。
螺纹中径公差带的分组：AG、BG螺纹分三组，CG、DG螺纹分四组。
盈螺纹塞规中径的计算公式：通端塞规中径：过盈螺纹塞规中径：
55°螺纹

公差与测量技术-第2章-孔、轴尺寸极限与配合

（包括最小过盈为零）的配合，此时孔公差带在轴公差带之下。也有两个极限值（Ymax，Ymin ）。
es 轴
ei Ymax
ES 孔
EI
Ymin
35
公差与测量技术
过盈配合的不同情况
❖
孔
36
公5差.过与测渡量配技术合（transition
第2章孔、轴尺寸极限与配合
fit)：可能具有间隙也可能
具有过盈的配合。此时，孔的公差带与轴的公差带
12
公差与测量技术Ｄ2 Ｄ1
(a)
第2章孔、轴尺寸极限与配合
D3
D4
d1
d2 D5
(b)
(c)
13
公差与测量技术
第2章孔、轴尺寸极限与配合
2.1.2 有关尺寸的术语和定义
1.线性尺寸(简称尺寸)size ：以特定单位表示线性尺寸值的数值。通常指两点之间的距离,如宽度、高度等。
2.基本尺寸(孔D，轴d) basic size
40
公差与测量技术基准制(配合制）方第2章面孔、轴尺寸极限与配合
❖ 7.基孔制配合（hole-basis system of fits）基本偏差固定不变的孔的公差带，与不同基本偏差的轴的公差带形成各种配合的一种制度。
❖ 8.基轴制配合（shaft-basis system of fits）基本偏差固定不变的轴的公差带，与不同基本偏差的孔的公差带形成各种配合的一种制度。
39.5-00.2
H
D
Ra3.2
Ra3.2
0 14 -0.043
0 16 -0.043
Ra6.3
5
Ra6.3
公差与测量技术
0.006
第2章孔、轴尺寸极限与配合

两个重要极限教案(修改

两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。

2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。

3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。

教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。

1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。

1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。

第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。

2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。

2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。

第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。

3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。

3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。

第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。

4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。

4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。

第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。

5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。

5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。

2. 学生的参与度和积极性。

高等数学极限公式变化

高等数学极限公式变化在高等数学中，极限是一个重要的概念，它在分析、微积分和其他数学领域中都扮演着至关重要的角色。

极限的计算通常涉及到一系列复杂的数学公式和方法，其中就包括各种极限公式的变化。

这些公式的变化往往是为了简化问题、便于计算或展示数学规律等目的。

一、极限的定义在讨论极限公式的变化之前，我们先来回顾一下极限的定义。

设函数f(f)在点f的某个去心邻域内有定义。

如果对于任意给定的正数$\\varepsilon$，总存在正数$\\delta$，使得当$0<|x-a|<\\delta$时，对应的函数值f(f)都满足$|f(x)-A|<\\varepsilon$，那么我们说函数f(f)当f趋近于f时极限为f，记作$\\lim_{x \\to a} f(x) = A$。

二、极限公式的基本变化1.基本极限公式的加减乘除法则：–$\\lim_{x \\to a} [f(x) \\pm g(x)] = \\lim_{x \\to a} f(x) \\pm \\lim_{x \\to a} g(x)$–$\\lim_{x \\to a} [f(x) \\cdot g(x)] = \\lim_{x \\to a} f(x) \\cdot \\lim_{x \\to a} g(x)$–$\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)} =\\frac{\\lim_{x \\to a} f(x)}{\\lim_{x \\to a}g(x)}$ （其中$\\lim_{x \\to a} g(x) \ eq 0$）2.极限公式的复合函数法则：–$\\lim_{x \\to a} f[g(x)] = f[\\lim_{x \\to a} g(x)]$3.极限的倒数法则：–$\\lim_{x \\to a} \\frac{1}{f(x)} =\\frac{1}{\\lim_{x \\to a} f(x)}$ （其中$\\lim_{x \\toa} f(x) \ eq 0$）三、具体极限公式的变化1.三角函数极限公式变化：–$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sin{x}}{x} = 1$–$\\lim_{x \\to 0} \\frac{1-\\cos{x}}{x} = 0$2.指数函数和对数函数极限公式变化：–$\\lim_{x \\to 0} (1+x)^{\\frac{1}{x}} = e$–$\\lim_{x \\to \\infty} \\left(1 +\\frac{1}{x}\\right)^x = e$3.牛顿莱布尼茨公式变化：–$\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$四、结语高等数学中的极限公式变化涵盖了多种数学规律和方法，掌握这些变化对于解题和理解数学概念都有着重要的帮助。

极限四则运算公式

极限四则运算公式好的，以下是为您生成的关于“极限四则运算公式”的文章：咱们来聊聊极限四则运算公式，这可是数学里挺重要的一块儿呢！先说说加法吧，极限的加法公式就像是搭积木，把两个趋近的数值加在一起。

比如说，当 x 趋近于某个数 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x) + g(x) 的极限就是 A + B。

这就好比你有一堆苹果，左边这堆有 A 个，右边那堆有 B 个，加起来就是总的个数。

我记得有一次，我在课堂上给学生们讲这个知识点。

有个调皮的小家伙一直坐不住，眼睛到处乱瞟。

我就故意叫他起来回答问题，问他如果一个函数当 x 趋近于 3 时极限是 5，另一个函数当 x 趋近于 3 时极限是 7，那它们相加的极限是多少。

这小家伙一开始还懵懵的，后来抓耳挠腮想了会儿，居然答对了！从那以后，他上课认真多了，对极限的四则运算也更上心了。

再说说减法，其实和加法差不多，就是把趋向的数值相减。

还是那个例子，当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x) - g(x) 的极限就是 A - B。

这就像你有两堆钱，一堆有 A 元，另一堆有B 元，算一下多出来多少，就是 A - B 元呗。

乘法的极限运算公式呢，就像是面积的计算。

如果当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是 A，g(x)的极限是 B，那么 f(x)×g(x) 的极限就是 A×B。

比如说，一个长方形的长随着某个变量趋近于一个值时极限是 A，宽趋近于的值极限是 B，那这个长方形面积的极限就是 A×B。

除法的极限运算相对复杂点儿，但也不难理解。

当 x 趋近于 a 时，f(x)的极限是A，g(x)的极限是B（B 不能为0 哦，不然就没意义啦），那么 f(x)÷g(x) 的极限就是 A÷B。

这就好比你有 A 个苹果要分给 B 个人，每个人能分到的苹果数的极限就是 A÷B 个。

高等数学中的两个重要极限 (课堂PPT)

则sin x =BD，tan x=AC，
.
34
SOAB S扇形OAB SOAC , 当0 x π时，
2
1 sin x 1 x 1 tan x,
2
22
即 sin x x tan x.
而当 π x 0时, 有0 x π ,从而有
2
2
sin(x) x tan(x),
即 sin x x tan x.
1 | x || tan x |, sin x sin x
即 1 x 1 , sin x cosx
从而有
sinx cosx 1. .
x
(8)
36
注意 cos x 1 2sin 2 x 1 2( x)2 1 x2 ,
2
2
由上式与(8)式得 1 x2 sin x 1. 2x
因为 lim(1 x2 ) 1, lim1 1,
.
13
B 练习3：下列等式正确的是（）
sin x A. lim 1;
x x
1
C. lim x sin 1;
x0
x
1
B. lim x sin 1;
x
x
sin 1
D. lim x 1 ．
x x
练习4：下列等式不正确的是（ D ）
A lim sin x 1; B lim x 1;
x0 x
x0 sinx
1
lim (1 1)x
x x
1. e
.
25
练习3. 求 lim(3 x )2x . x 2 x
解原式 lim[(1 1 ) x2 ]2 (1 1 )4
x
x2
x2
e2.
.
26

5极限存在法则_两重要极限

1 1 1 1 2 n − 1 = 1 + 1 + 1 − + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 − 1 − ⋅ ⋅ ⋅ 1 − 2! n n! n n n
n
所以
1 1 1 1 2 n − 1 xn+1 =1 + 1 + 1 − + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 − 1 − ⋅ ⋅ ⋅ 1 − n! n + 1 n + 1 n + 1 2! n + 1
tan xlim sin x ⋅ 1 = lim sin x ⋅ lim 1 x→0 x →0 x x cos x x →0 x x →0 cos x
=1 1 − cos x . 例6 求 lim 2 x→ x →0 x 2 x 2 x sin 2 sin 1 2 解 lim 1 − cos x = lim 2 = lim 2 2 2 x →0 x→0 → 2 x →0 x x x 2 x 2 sin
1 1 2 n + 1 − 1 − ⋅ ⋅ ⋅ 1 − (n + 1)! n + 1 n + 1 n + 1
数学分析（数学分析（上）
比较得: 为单调递增数列. 比较得: xn ≤ xn+1 ,即{xn} 为单调递增数列. 又注意到: 又注意到:
数学分析（数学分析（上）
例8 证明数列 x n = 3 + 3 + ⋯ + 3 ( n重根式 )的极限存在 . 证显然 x n + 1 > x n ,∴ {xn } 是单调递增的 ;
又 ∵ x1 = 3 < 3, 假定 x k < 3, x k + 1 = 3 + x k < 3 + 3 < 3, ∴ {xn } 是有界的 ;

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一、夹逼准则
二、单调有界收敛准则两个重要极限
第五节三、两个重要极限
第二章
一、夹逼准则
准则Ⅰ 如果数列
及满足下列条件:
,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n
n n ===≤≤∞
→∞
→⋯
那末数列的极限存在, 且.
证,
,
a z a y n n →→∵使得
,0,0,02
1
>>∃>∀N N ε
,1ε<−>a y N n n 时恒有当},,max{21N N N =取恒有时当,N n >,
ε+<<ε−a y a n 即,2ε<−>a z N n n 时恒有当,
ε+<<ε−a z a n 上两式同时成立,
,
εε+<≤≤<−a z x y a n n n ,
成立即ε<−a x n .
lim a x n n =∴∞
→上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′准则Ⅰ′ 如果当(或
)时,有
)(lim ,)(lim )2(),()()()1()
()
(0
A x h A x g x h x f x g x x
x x x x ==≤≤∞→→∞→→
那末
存在存在,
, 且等于. 准则 I 和准则 I ˊ称为夹逼准则.
A
C
作为准则Ⅰ´的应用，下面证明一个重要的极限
1sin lim 0=→x
x x ,
O 设单位圆如右图，,
tan ,,sin AC x AB x BD x ===弧于是有x
o
B
D
.
ACO ∆，得作单位圆的切线,x OAB 的圆心角为扇形,
BD OAB 的高为∆(0)
2
AOB x x π
<∠=<圆心角
,
tan sin x x x <<∴,
1sin cos <<x
x
x 即.
02
也成立上式对于<<π
−x ,
2
0时当π
<<x x x cos 11cos 0−=−<2sin 22
x
=2)2(2x <,
22
x =,02
lim 2
0=→x
x ∵,
0)cos 1(lim 0
=−∴→x x ,
1cos lim 0
=∴→x x ,
11lim 0
=→x ∵又.1sin lim 0=∴→x
x x
例1
解
tan
lim.
x
x
x
→
求
00
tan sin1
lim lim
cos
x x
x x
x x x
→→
⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
i
00
sin1
lim lim1
cos
x x
x
x x
→→
==
i
例2.cos 1lim 20x
x
x −→求解22
02sin 2lim x x x →=原式2
20)2
(2sin
lim 21x x x →=20)2
2sin (lim 21x x x →=2
12
1⋅=.2
1=
例 3解
0arcsin lim
.x x
x
→求arcsin t x =令，sin x t =于是，0,0.
x t →→在有由复合函数的极限运算法则得
00arcsin lim lim 1sin x t x t x
t →→==
例 4sin lim
.x x
x ππ
→−求解
,t x π=−令则
sin lim x x x ππ→−()0sin lim t t t
π→+=0sin lim t t
t
→−=1=−
例5).
1
2
1
1
1
(
lim 2
2
2
n
n n n n ++
+++
+∞
→⋯求解,11112
222+<++++<+n n
n n n n
n n ⋯∵n
n n n
n n 1
11lim lim 2+
=+∞→∞→又,1=2
21
11lim 1lim n
n n n n +=+∞→∞→,1=由夹逼定理得.1)1
2111(lim 222=++++++∞→n
n n n n ⋯
x
1x 2x 3x 1
+n x n x 满足条件
如果数列n x ,121⋯⋯≤≤≤≤+n n x x x x 单调增加,121⋯⋯≥≥≥≥+n n x x x x 单调减少
单调数列
准则准则ⅡⅡ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
A M
二、单调有界收敛准则
e x
x
x =+∞→)11(lim 定义e n
n
n =+∞→)11(lim n
n n
x )
11(+=设⋯+⋅−+⋅+=21!2)1(1!11n n n n n ).
11()21)(11(!1)11(!2111n
n n n n n −−−−++−++=⋯⋯n
n n n n n n 1!)1()1(⋅+−−+⋯作为准则Ⅱ的应用，可以证明一个重要的极限
).1
1()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)1
1
1(!21111+−+−+−+++−−+−+−+++−
++=+n n n n n n n n n n n x n ⋯⋯⋯,1n n x x >+显然{};
是单调递增的n x ∴!1!2111n x n ++++<⋯1
212111−++++<n ⋯12
1
3−−=n ,3<{};
是有界的n x ∴.lim 存在n n x ∞→∴e n
n
n =+∞→)11(lim 记为)
71828.2(⋯=e 类似地,
因此
的极限都存在且等于时，函数
或取实数而趋向可以证明，当,)11(e x
x x
+∞−∞+.
)11(lim e x
x
x =+∴∞
→e
z z x x
z z
z =+→∞→=→10
)1(lim ,01
于是有
时，，则当利用代换
例6.
)11(lim x
x x
−∞→求解
x x x −∞→−+
=)11(1lim
1])11[(lim −−∞→−+=x x x 原式.1
e
=例7.)23(
lim 2x x x
x +
+
∞→求解
422)211(])2
11[(lim −+∞→++++=x x x x 原式.2
e =
例8解
.
)
1
ln(
lim
0x
x
x
+
→
求
.1
ln
)
1(
lim
ln
)
1
ln(
lim
)
1
ln(
lim
1
1
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
+
=
+
→
→
→
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
例9解
)
1ln(lim 1lim 00u u x e u x
x +=−→→∵.1lim 0x
e x
x −→求,1u e x
=−令),
1ln(u x +=即,
0,0→→u x 有时则当u
u u )1ln(1lim 0+=→.
1=
.
)(333的极限存在式重根
证明数列n x n +++=
⋯例10证,
1n n x x >+显然{};
是单调递增的n x ∴,331<=x ∵又,3<k x 假定k k x x +=+3133+<,
3<{};
是有界的n x ∴.
lim 存在n n x ∞
→∴,31n n x x +=+∵,321
n n x x
+=+),
3(lim lim 21
n n n n x x
+=∞
→+∞
→,32
A A +=2
131,2131−=+=
A A 解得(舍去).2
13
1lim +=∴∞→n n x。