江苏省一轮复习数学试题选编：不等式选讲教师 含答案
高考数学一轮复习精选试题：不等式(解答题) 含答案
不等式02解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x （单位:辆/千米）的函数，当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. (Ⅰ）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式;(Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求最大值（精确到1辆/小时）.【答案】(1）由题意，当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=由已知⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a . 故函数()x v 的表达式为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=20020,20031200,60x x x x v . (2)由题意并由（1）可得()()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤=20020,20031200,60x x x x x x f 当200<≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；当20020≤<x 时，()()(),310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f当且仅当x x-=200即100=x 时等号成立. 所以当100=x 时，()x f 在区间(]200,20上取得最大值310000. 综上可知，当100=x 时， ()x f 在区间[]200,0上取得最大值..3333310000≈ 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时2．已知a,b,m 是正实数,且a<b,求证:a b <a m b m++ 【答案】证明：由a,b,m 是正实数,故要证a b <a m b m ++ 只要证a （b+m ）<b(a+m) 只要证ab+am<ab+bm只要证am<bm, 而m>0 只要证 a<b,由条件a<b 成立，故原不等式成立。
2014届一轮复习数学试题选编34不等式选讲(教师版)
一、解答题
．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知 为正数,且满足 ,求证: .
【答案】D.由柯西不等式,得
．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学））选修4—5:不等式选讲
已知a,b都是正实数,且a+b=2,求证:+≥1.
证明:∵
又∵ >0,∴ >0, ,
∴
∴
∴
．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—5:不等式选讲)
设函数 .
(1)当 时,求函数 的定义域;
(2)若函数 的定义域为R,试求 的取值范围.
【答案】解:(1)由题设知: ,
如图,在同一坐标系中作出函数
和 的图象(如图所示),
知定义域为
(2)由题设知,当 时,恒有 ,
于是
，
当且仅当 时，等号成立．………………………………………8分
即 ，故 的最小值为1．………10分
．（2011年高考（江苏卷））解不等式:
【答案】【命题立意】本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类谈论、运算求解能力.
【解析】原不等式可化为 ;或 ,
解得 .所以原不等式的解集是 .
．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD版）D.选修4—5:不等式选讲
【答案】选修4—5:不等式选讲
证明:由
=
= .
．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）[选修4 - 5:不等式选讲]设 ,实数 满足 ,求证: .
【答案】D证: ,
,
又
．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）(选修4-5:不等式选讲)
高考数学大一轮复习14.4不等式选讲教师用书理苏教版【含答案】
§14.4不等式选讲1．两个实数大小关系的基本事实a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.2．不等式的基本性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)乘方：如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n>1)．(6)开方：如果a>b>0，那么na>nb(n∈N，n>1)．3．绝对值三角不等式(1)性质1：|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)性质2：|a|－|b|≤|a＋b|.性质3：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.4．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0 |x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 5．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．也可以表述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ，①如果它们的和S 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的积P 取得最大值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当x ＝y 时，它们的和S 取得最小值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 7．柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法知道a >b ⇔a －b >0，a <b ⇔a －b <0，因此要证明a >b ，只要证明a －b >0即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法由a >b >0⇔ab >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． (6)数学归纳法设{P n }是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P 1(或P 0)成立；(2)在假设P k 成立的前提下，推出P k ＋1也成立，那么可以断定{P n }对一切自然数成立．1．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集为__________． 答案 {x |－1<x <1}解析 方法一 原不等式即为|2x －1|<|x －2|， ∴4x 2－4x ＋1<x 2－4x ＋4，∴3x 2<3，∴－1<x <1. 方法二 原不等式等价于不等式组①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －1－x －，或②⎩⎪⎨⎪⎧12<x <2，2x －1＋x －或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－x －＋x －不等式组①无解，由②得12<x <1，由③得－1<x ≤12.综上得－1<x <1，所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}． 2．不等式1<|x ＋1|<3的解集为________．答案 (－4，－2)∪(0,2)3．(2013·福建改编)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .则a 的值为________． 答案 1解析 因为32∈A ，且12∉A ，所以|32－2|<a ，且|12－2|≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.4．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是______． 答案 [－1，12]解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].题型一 含绝对值的不等式的解法 例1 已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]． 思维升华 解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．(1)(2014·广东)不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________．(2)(2014·湖南)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{x |－53<x <13}，则a ＝________.答案 (1){x |x ≤－3或x ≥2} (2)－3解析 (1)方法一 要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分．当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．方法二 |x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．(2)∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为{x |－53<x <13}，故a ＝－3.题型二 柯西不等式的应用 例2 已知x ，y ，z 均为实数．(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．(1)证明 因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27. 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3. 当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号．(2)∵6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9，∴x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.思维升华 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求证：1≤a ≤2.证明 由柯西不等式得(2b 2＋3c 2＋6d 2)·(12＋13＋16)≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2， 由已知可得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2，b ＋c ＋d ＝3－a ，∴5－a 2≥(3－a )2，即1≤a ≤2. 当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16， 即2b ＝3c ＝6d 时等号成立． 题型三 不等式的证明方法例3 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1)(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)≥8；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.证明 (1)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ，(1a －1)·(1b －1)·(1c－1)＝b ＋ca ＋c a ＋babc≥2bc ·2ac ·2ababc＝8.(2)∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 2(a ＋b ＋c )≥2ab ＋2bc ＋2ca ， 两边同加a ＋b ＋c 得3(a ＋b ＋c )≥a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝(a ＋b ＋c )2.又a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2≤3， ∴a ＋b ＋c ≤ 3.思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．(1)已知x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)设a ，b ，c >0且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：a ＋b ＋c ≥ 3. 证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y2≥33x －y21x －y2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为a ，b ，c >0，所以要证a ＋b ＋c ≥3， 只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )．即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 而ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)成立．所以原不等式成立．绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.思维点拨 本题不等式为|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法． 规范解答解 方法一 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1，到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .[4分]∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离之和为3，B 1对应数轴上的x ，∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都大于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.[8分]所以原不等式的解集是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[10分] 方法二 当x ≤－1时，原不等式可化为 －(x ＋1)－(x －1)≥3，解得：x ≤－32.[3分]当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解．[6分]当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.[9分]综上，可知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32.[10分] 方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1；－1，－1<x <1；2x －3，x ≥1.[3分]作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，[8分]即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.[10分]温馨提醒 这三种方法是解|x ＋a |＋|x ＋b |≥c 型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.方法与技巧1．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x －a |＋|x －b |＞m 或|x －a |＋|x －b |＜m (m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 2．不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法．3．柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛．柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式． 失误与防范1．理解绝对值不等式的几何意义．2．掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．3．利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征．4．注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A 组 专项基础训练 (时间：50分钟)1．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，求集合A ∩B .解 |x ＋3|＋|x －4|≤9， 当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9， 即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9， 即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}． 又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t－6＝－2，当t ＝12时取等号．∴B ＝{x |x ≥－2}， ∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．2．(2014·江苏)已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)·(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0， 故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .3．若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明 假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.所以a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.4．(2013·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a2b ＋b2c ＋c2a ≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.5．设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解 (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1.所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.故ab ＋1>a ＋b .6．(2014·辽宁)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ∈[1，＋，1－x ，x －∞，当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}．(2)证明 由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16(x －14)2≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝{x |－14≤x ≤34}，故M ∩N ＝{x |0≤x ≤34}．当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x [f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－(x －12)2≤14.B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．若n ∈N *，S n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋，求证：n n ＋2<S n <n ＋22.证明 ∵n (n ＋1)>n 2，∴S n >1＋2＋…＋n ＝n n ＋2. 又∵n n ＋<n ＋n ＋12＝2n ＋12＝n ＋12，∴S n <(1＋12)＋(2＋12)＋…＋(n ＋12) ＝n n ＋2＋n 2 ＝n 2＋2n 2<n ＋22. ∴n n ＋2<S n <n ＋22.2．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0， 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}．(2)∵a >－1，则－a 2<12， ∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a|当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－1，43. 3．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1,2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1,2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.(1)解当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1,2,3}，可得A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1,2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)·q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝q－－q n－11－q－q n－1＝－1<0. 所以s<t.4．设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥2 3.证明因为a，b，c是正实数，由算术—几何平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc＝23，当且仅当a＝b＝c且abc＝3时，取等号．所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥2 3.。
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题11.8 不等式选讲(讲)答案解析
【最新考纲解读】内容要求备注A B C不等式选讲不等式的基本性质√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.含有绝对值的不等式的求解√不等式的证明（比较法、综合法、分析法）√算术-几何平均不等式与柯西不等式√利用不等式求最大（小）值√运用数学归纳法证明不等式√【考点深度剖析】1. 江苏高考中，主要考查解不等式、不等式证明、柯西不等式、排序不等式和均值不等式，尤其关注不等式的证明.2.注意了解不等式及其证明的几何意义与背景，提高分析问题、解决问题的能力.注意控制难度，力争少做或不做无用功.【课前检测训练】【练一练】1.解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－ (x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4).2.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，求实数a 的取值范围. 解 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.3.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.4.设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，求m 2＋n 2的最小值.解 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.5.若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最大值. 解 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2 ≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2≤3.故a ＋b ＋c 的最大值为 3.6.设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值.解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋xy .∵2＋y x ＋xy≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时等号成立. ∴⎣⎡⎦⎤(1x ＋1y )(x ＋y )min ＝4，即－λ≤4，λ≥－4. 【题根精选精析】 考点1:绝对值不等式【1-1】【泰州2015高三模拟】已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，12)，则t ＝____________ 【答案】0【解析】|2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.【1-2】不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为______ 【答案】k <－3【解析】根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于|P A |－|PB |>k 恒成立．∵|AB |＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．【1-3】【2015扬州调研考试】在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为____________． 【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32【1-4】【无锡2015届高三模拟】若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[－2,4]【解析】利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.【1-5】 (2015常州质检)若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________． 【答案】2【解析】原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a ＝2. 【基础知识】 1．绝对值不等式(1)定理1：如果,a b 是实数，则a b a b a b -≤±≤+,对于a b a b +≤+，当且仅当0ab ≥时，等号成立．(2)定理2：如果,,a b c 是实数，则a c a b b c -≤-+-，当且仅当()()0a b b c --≥时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式x a <与x a >的解集：①ax b c c ax b c +≤⇔-≤+≤； ②ax b c ax b c +≥⇔+≤-或ax b c +≥;(3)x a x b c -+-≥( 0c >)和x a x b c -+-≤ (0c >)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【思想方法】.1.解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定.2. 含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对0a >，x a a x a <⇔-<<，x a x a >⇔>或x a <-.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．这适应于两边都是正数的绝对值不等式.(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点; ②划区间,去掉绝对值符号; ③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．3.证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式a b a b a b -≤±≤+进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．4对于求y x a x b =-+-或y x a x b =---型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y x a x b =-+-的函数只有最小值，形如y x a x b =---的函数既有最大值又有最小值．【温馨提醒】证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． 考点2：不等式的证明【2-1】已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为______． 【答案】510.【解析】∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2， ∴(3x ＋4y )max ＝510.【2-2】(如皋2015届模拟) 已知a ，b ，c ∈R ＋，则1a ＋1b ＋1c 与1ab ＋1bc ＋1ac 的大小关系是________． 【答案】详见解析【2-3】设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系是__________．【答案】M <1【解析】∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1. 210个【2-4】已知c >b >a ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2. 【答案】详见解析【2-5】已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 【答案】详见解析【解析】要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ， 即证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ， 即证|a －c |<c 2－ab ， 即证(a －c )2<c 2－ab ， 即证a 2－2ac <－ab .因为a >0，所以只要证a －2c <－b ， 即证a ＋b <2c .由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立． 【基础知识】 1．不等式证明的方法 (1)比较法：①求差比较法：知道0a b a b >⇔->，0a b a b <⇔-<，因此要证明a b >只要证明0a b ->即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法：由01aa b b>>⇔>且0,0a b >>，因此当0,0a b >>时，要证明a b >，只要证明1ab>即可，这种方法称为求商比较法． (2)综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． (3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． (4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法． 2．几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设1212,,,a a b b 均为实数，则()()()2222212121122a a bb a b a b ++≥+(当且仅当1212a ab b =时，等号成立)． ②柯西不等式的向量形式：设,αβ为平面上的两个向量，则αβαβ⋅≥⋅ .③二维形式的三角不等式：设1212,,,x x y y R ∈，那么+≥.④柯西不等式的一般形式：设1212,,,,,,,n n a a a b b b 为实数，则()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ ，当且仅当1212n na a ab b b === 时，等号成立． (2)平均值不等式：定理：如果,,a b c为正数，则3a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，等号成立． 我们称3a b c++为正数,,a b c,,a b c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． 一般形式的算术—几何平均值不等式：如果12,,,n a a a 为n个正数，则12n a a a n+++≥ 12n a a a === 时，等号成立．3.易错点：使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件． 易混淆分析法与综合法，分析法是执果索因，综合法是由因导果． 【思想方法】1. 绝对值不等式的证明：含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：a b a b a b -≤±≤+，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2. 利用柯西不等式证明不等式：使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大，从而证得问题．利用柯西不等式求最值的一般结构为：()()222221222212111111n n a a a n a a a ⎛⎫++++++≥+++= ⎪⎝⎭ ，在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件． 3.放缩法证明不等式的技巧(1)放缩法原理简单，但放缩技巧性强，而且应用广泛，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质、函数的性质、不等式的性质等．其理论依据是不等式的传递性，使用此方法时要注意把握放大或缩小的度，既不能放的过小，也不能放过了头．常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头． (2)常见的放缩技巧有： ①()()211111k k k k k >>-+ (2,k k N *≥∈)；>>>22k >2k ＋k ＋1(k ≥2，且k ∈N *)． 4.对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法．作差法中作差后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符号． 用作商法证明不等式应注意：10A A B B B ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭. 10A A B B B ⎫>⎪⇒<⎬⎪<⎭.因此，用作商法必须先判定符号． 5.应用不等时注意以下几点：（1）使用均值不等式求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件，且注意变形配凑技巧．（2）基本不等式及其变式中的条件要准确把握．如222a b ab +≥(,a b R ∈)，a b +≥,a b R +∈)等．（3）含绝对值三角不等式：a b a b a b a b -≤-≤±≤+中等号成立的条件应注意a b a b +≤+中0ab ≥，而a b a b -≤+中0ab ≤等．（4）分析法证明不等式的每一步都是寻求不等式成立的充分条件．（5）换元法证明不等式时要注意换元后新元的取值范围忽视它会导致错误结论或无法进行下去．（6）用数学归纳法证明不等式时，关键是配凑合适的项便于应用归纳假设．（7）应用柯西不等式关键是分析、观察所给式子的特点，从中找出柯西不等式的必备形式特点及等号成立的条件．（8）柯西不等式及排序不等式中,i i a b (i ＝1,2，…，n )均为实数，而平均值不等式中i a 为正数．【温馨提醒】对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法．作差法中作差后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符号．【易错问题大揭秘】在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.。
高考数学一轮复习 14.4 不等式选讲 理 苏教版
14.4 不等式选讲解答题1．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 解析 (1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，2x －7，3，x ≤2，2＜x ＜5，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明 法一 因为a 、b 、c 均为正数，由平均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，② 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac≥6 3.③所以原不等式成立，当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．3．已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .证明 因为m ＞0，所以1＋m ＞0，所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ， 即证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 4. 已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式()3f x …的解集为{|2x -剎≤1x …｝。
江苏省高考数学第一轮复习单元试卷10：不等式的解法
第十单元 不等式的解法一.选择题. (1) 下列不等式中与)2lg(≤-x 同解的是( )（A ）0)2)(3(≥--x x （B ）023≥--xx （C ）032≥--x x（D ）0)2)(3(>--x x(2)不等式1)2(log >+x x 的解集是 ( )（A ）),2(+∞ （B ）),1(+∞ （C ）（0，1）（D ）（0，1）),1(+∞(3) 不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则a ＋b 的值是 ( )（A ）10 （B ）－10 （C ）14 （D ）－14(4) 设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的 解是 ( )(A) （-5，-2）∪（2，]5(B) （-5，-2）∪（2，5）(C) [-2，0]∪（2，]5 (D) （-2，0）∪（2，]5 (5)不等式1652->+-x x x 的解集是 ( )（A ）)1,(-∞ （B ） ),2(+∞ （C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,1 （D ）)35,(-∞(6) 已知集合M }22|{322x x x >=，N }0)1(log |{21>-=x x 则M N ＝ ( )（A ）)23,0( （B ）)2,32(（C ）)2,23( （D ）（0，1）(7) 在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成 立，则( )(A)11<<-a(B)20<<a(C)2321<<-a (D)2123<<-a (8) 若不等式x 2-2ax+a>0,对 x ∈R 恒成立, 则关于t 的不等式32122-++<t tt a a<1的解为( )(A) 1<t<2 (B) -2<t<1 (C)-2<t<2 (D) -3<t<2(9) 设)(1x f -是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f x x的反函数，则使1)(1>-x f 成立的x 的取值范围为( )(A)),21(2+∞-a a (B) )21,(2a a --∞ (C) ),21(2a aa - (D) ),[+∞a (10) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞ （C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a 二.填空题(11) 不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______． (12)函数)12(log 1.0-=x y 的定义域是_____________．(13)不等式043)4(2≥---x x x 的解集是____________．(14) 若关于x 的不等式x x k k k k -+-<+-122)232()232(的解集是),21(+∞，则实数k 的取值范围是____________． 三.解答题(15) 解关于x 的不等式1log 22log 3-<-x x a a （0>a ，且1≠a ）.(16) 解关于x 的不等式：3)93(log )13(log 233<-⋅-+x x .(17) 已知x 满足：03log 7)(log 221221≤++x x ，求)4(log )2(log )(22xx x f ⋅=的最大值和最小值．.(18) 二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 对一切∈x R 都有)2()2(x f x f -=+，解不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-<⎥⎦⎤⎢⎣⎡++)852(log )21(log 221221x x f x x f参考答案一选择题: 1.B[解析]：0)2lg(≤-x 的解是2<x ≤30)2)(3(≥--x x 的解是2≤x ≤3023≥--x x 的解是2<x ≤3 032≥--x x的解是2≤x <3 0)2)(3(>--x x 的解是2<x <32.B[解析]：1)2(log >+x x )2(21)1(210⎩⎨⎧>+>⎩⎨⎧<+<<⇔xx x x x x 或(1)无解，(2)的解为1>x ，故选B3.D[解析]：不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-即方程022=++bx ax 的解为3121或-=x 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=+-aab 231213121 212-=-=b a ∴4.D[解析]：当x ∈[0,5]时, 由 f(x)的图象可知,x ∈(0,2)时，不等式f(x)>0, x ∈(2,5]时，不等式f(x)<0 又奇函数f(x)的定义域为[-5,5]故x ∈(-2,0), 不等式f(x)<0, x ∈)2,5[--)时，不等式f(x)>05.D[解析]：1652->+-x x x ⎩⎨⎧<-≥+-⎪⎩⎪⎨⎧->+-≥-≥+-⇔0106516501065222x x x x x x x x x 或 6.C[解析]： 23022322><>x x x x 或可得 210)1(log 21<<>-x x 可得故223<<x 7.C[解析]： 1)()(<+⊗-a x a x ⇒01,1)1)((22>++--<---a a x x a x a x 即 任意实数x 成立，故0)1(412<++--=∆a a ∴2321<<-a8.A[解析]：若不等式x 2-2ax+a>0,对 x ∈R 恒成立，则100442<<∴<-=∆a a a 又 32122-++<t tt a a <1，则032122>-+>+t t t即⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+>+032321222t t t t t ∴1< t <29.A [解析]：求使1)(1>-x f成立的x 的取值范围就是求x >1时 )1( )(21)(>-=-a a a x f xx 的值域而)1( )(21)(>-=-a a a x f xx 是增函数，故x >1时，)(x f >)(211--a a10. C[解析]： 设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，若0)(<x f 则0)22(log 2<--x x a a a ，∴1222>--x xa a∴0)1)(3(>+-xxa a ∴xa －3>0，∴x <log a 3 二填空题:11. （2，∞+）[解析]：不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立, 即 014)2(2>-+++a x x a 对一切∈x R 恒成立 若2+a =0,显然不成立 若2+a ≠0，则⎩⎨⎧<∆>+02a ∴2>a12.（0，1][解析]： 由)12(log 1.0-=x y 得)12(log 1.0-x 0≥，∴1120≤-<x10221≤<∴≤<x x 13. {－1} [4，∞+)[解析]：043)4(2≥---x x x 1043042-=⎩⎨⎧≥--≥-⇔x x x x 或∴41≥-=x x 或 14. 221221+<<-k [解析]：关于x 的不等式x x k k k k -+-<+-122)232()232(的解集是),21(+∞即21>x ，而21>x 时，x >1－x ，∴123202<+-<k k ∴221221+<<-k 三解答题(15)解:212log 3012log 33)2log 3(22≤-⇔>+---x x x a a a 或≥-2log 3x a 43log 321≤≤⇔x a 或1log ≥x a ． 若a ＞1，则不等式的解集为32[a ，[]43 a a ，∞+)； 若0＜a ＜1，则不等式的解集是43[a ，(]32 a 0，a ]． (16)1)13(log 303)13(log 2)]13([log 3323<-<-⇔<--⋅+-x x x⇔<-<⇔313271x 4log 328log 43272833<<-⇔<<x x ． (17)先求得3log 212≤≤x ．把f （x ）整理，得：41)23(log )(22--=x x f ，23log )()(2max ===x x f x f ，4123log )()(2min -===x x f x f ． (18)∵ 241)21(l o g )21(l o g 221221≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++x x x ，121)41(2log )852(log 221221≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-x x x ，又f （x ）在-∞(，2]上递增， 由原不等式，得：)852(log )21(log 221221+-<++x x x x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+->++>+->++⇔8522108520212222x x x x x x x x 41414141+<<-⇔x。
高考第一轮复习数学：不等式(附答案)
素质能力检测（六）一、选择题（每小题5分；共60分） M ={x |－1＜x ＜2}；N ={y |y =21x 2－1；x ∈M }；则M ∩N 为 A.{a |－1≤a ＜2} B.{a |－1＜a ＜2} C.{a |－1＜a ＜1}D.∅解析；y =21x 2－1；x ∈（－1；2）. 所以y ∈［－1；1）. 答案；Cx 、y ∈R ；那么|x |＜1且|y |＜1是0＜xy ＜1成立的____________条件.解析；设x =－21；y =0；则xy =0.不能推出0＜xy ＜1； 设x =2；y =31满足0＜xy ＜1；不能推出|x |＜1且|y |＜1.答案；D3.不等式（x +1）1-x ≥0的解集是 A.{x |x ＞1} B.{x |x ≥1}C.{x |x ≥1或x =－1}D.{x |x ≥－1或x =1}解析；∵1-x ≥0；∴x ≥1.又∵x +1=0；不等式成立.∴x =－1.选C. 答案；Cx 2+（m +2）x +m +5=0有两个正实根；则实数m 的取值范围是 A.m ＜－2 B.m ≤－4 C.m ＞－5 D.－5＜m ≤－4 解析；⎪⎩⎪⎨⎧>+⇒>+-≥05020m m Δ）（－5＜m ≤－4. 答案；Dy =lg （x 2－2kx +k ）的值域为R ；则k 的取值范围是 A.0＜k ≤k ≤1C.k ≤0或k ≥1D.k =0或k ≥1 解析；Δ≥0⇒k ≥1或k ≤0. 答案；C6.x 、y ∈R ；x 2+y 2=1；那么（1－xy ）（1+xy ）有4321和最大值1 4321无最大值 解析；令x =cos θ；y =sin θ； 则（1－xy ）（1+xy ）=1－x 2y 2=1－41sin 22θ. ∵0≤sin 22θ≤1；∴43≤1－41sin 22θ≤1. 答案；Ax ∈R +时；下列函数中；最小值为2的是 A.y =x 2－2x +4 B.y =x +x16 C.y =22+x +212+xD.y =x +x1 解析；y =x 2－2x +4=（x －1）2+3≥3； y =x +x 16≥8；y =22+x +212+x .∵22+x ≥2；∴y ＞2.故选D.答案；Da 2＜x ＜a ；M =log a x 2；N =log a （log a x ）；P =（log a x ）2；则 A.M ＞N ＞P B.P ＞M ＞N C.M ＞P ＞N D.N ＞M ＞P 解析；∵a 2＜a ；∴0＜x ＜a ＜1. ∴log a x ＞1；N =log a （log a x ）＜0； 2log a x ＞log a x ·log a x ；即M ＞P . ∴M ＞P ＞N . 答案；Cf （x ）=a x ；g （x ）=b x ；当f （x 1）=g （x 2）=3时；x 1＞x 2；则a 与b 的大小关系不可能成立的是A.b ＞a ＞1B.a ＞1＞b ＞0C.0＜a ＜b ＜1D.b ＞1＞a ＞0 解析；x 1=log a 3；x 2=log b 3.当b ＞1＞a ＞0时；x 1＜0；x 2＞0与x 1＞x 2矛盾.选D. 答案；D f （x ）、g （x ）（x ∈R ）；设不等式|f （x ）|+|g （x ）|＜a （a ＞0）的解集是M ；不等式|f （x ）+g （x ）|＜a （a ＞0）的解集是N ；则A.N MB.M =NC.M ⊆ND.M N解析；任取x 0∈M ；则|f （x 0）+g （x 0）|≤|f （x 0）|+|g （x 0）|＜a . ∴x 0∈N .但任取x 1∈N ；有|f （x 1）+g （x 1）|＜a ；得不到|f （x 1）|+|g （x 1）|＜a . 故M ⊆N .选C.答案；CA ；第二年的增长率为a ；第三年的增长率为b ；这两年的平均增长率为x ；则 A.x =2ba + B.x ≤2ba + C.x ＞2ba +D.x ≥2ba + 解析；A （1+x ）2=A （1+a ）（1+b ）； ∴（1+x ）2≤（211b a +++）2. ∴1+x ≤1+2b a +；x ≤2ba +. 答案；B12.线段|AB |=4；M 为AB 的中点；动点P 满足条件|P A |+|PB |=6；当P 点在同一平面内运动时；|PM |的最大值M 、最小值m 分别是A.M =4；m =3B.M =3；m =5C.M =5；m =5D.M =3；m =3解析；P 点轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆；M 是其中心；由解析几何知识知选B. 答案；B二、填空题（每小题4分；共16分）a 、b ∈R ；且a +b +3=ab ；则ab 的取值范围是____________.解析；ab ≤（2b a +）2；∴a +b +3≤（2b a +）2. ∴a +b ≥6或a +b ≤－2. ∴ab ≥9或ab ≤1. 答案；（－∞；1］∪［9；+∞）x +4y =1；则x 2+y 2的最小值为____________. 解析；x 2+y 2=（－2y +21）2+y 2 =5y 2－2y +41=5（y －51）2+201≥201. 答案；201 f （x ）在［0；+∞）上为增函数；那么不等式f （x ）＞f （2－x ）的解集是____________. 解析；∵f （x ）为偶函数；则f （|x |）＞f （|2－x |）； 即|x |＞|2－x |；得{x |x ＞1}. 答案；{x |x ＞1}x 的方程x 2+（a 2－1）x +a －2=0的两根满足（x 1－1）（x 2－1）＜0；则a 的取值范围是____________.解析；（x 1－1）（x 2－1）＜0⇔一根大于1；一根小于1. 令f （x ）=x 2+（a 2－1）x +a －2；则f （1）＜0. ∴－2＜a ＜1. 答案；－2＜a ＜1三、解答题（本大题共6小题；共74分）17.（12分）当|x －2|＜a 时；不等式|x 2－4|＜1成立；求正数a 的取值范围. 解；由|x －2|＜a ；得2－a ＜x ＜2+a . 由|x 2－4|＜1；得－5＜x ＜－3或3＜x ＜5.∴（2－a ；2+a ）⊆（－5；－3）∪（3；5）.∴⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-≥->32520a a a ，，或⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥->.52320a a a ，， ∴0＜a ＜5－2.18.（12分）已知a 、b 、c 为不等正数；且abc =1；求证；a +b +c ＜a 1+b 1+c1. 证明；结论⇔a +b +c ＜bc +ac +ab⇔2a +2b +2c ＜2bc +2ac +2ab .因为a 、b 、c 为不等正数且abc =1； 所以bc +ac ＞22abc =2c . ac +ab ＞2a ；ab +bc ＞2b . 所以2a +2b +2c ＜2bc +2ac +2ab . 所以原不等式成立.19.（12分）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+--.2|1|021|2|2x y x x y ，其中x 、y 都是整数. 解；原不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤--<-≥->+.0|1|20|2|212x y x x y ，得－21＜y ＜2.∴y =0或1.当y =0时；⎪⎩⎪⎨⎧<-<-.2|1|21|2|2x x x ，解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0200y x y x ，；， 当y =1时；⎪⎩⎪⎨⎧<-<-.1|1|23|2|2x x x ，解得⎩⎨⎧==.11y x ， 综上；⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.110200y x y x y x ，；，；， 20.（12分）学校食堂定期从某粮店以每吨1500元的价格买大米；每次购进大米需支付运输劳务费100元；已知食堂每天需用大米1 t ；贮存大米的费用为每吨每天2元；假定食堂每次均在用完大米的当天购买.（1）该食堂每隔多少天购买一次大米；能使平均每天所支付的费用最少?（2）粮店提出价格优惠条件；一次购买量不少于20 t 时；大米价格可享受九五折优惠（即是原价的95%）；问食堂可否接受此优惠条件?请说明理由.解；设该食堂每隔x 天购买一次大米；则每次购买x t ；设每吨每天所支付的费用为y 元；则（1）y =x1［1500x +100+2（1+2+…+x ）］ =x +x100+1501≥1521； 当且仅当x =x100；即x =10时取等号. 故该食堂每隔10天购买一次大米；能使平均每天所支付的费用最少. （2）y =x1［1500x ·0.95+100+2（1+2+…+x ）］（x ≥20） =x +x100+1426； 函数y 在［20；+∞）上为增函数；∴y ≥20+20100+1426=1451. 而1451＜1521；故食堂可接受粮店的优惠条件.21.（12分）设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 、b 、c ∈R 且a ≠0）；若函数y =f （x ）的图象与直线y =x 和y =－x 均无公共点.（1）求证；4ac －b 2＞1；（2）求证；对一切实数x ；恒有|ax 2+bx +c |＞||41a .证明；（1）方程ax 2+bx +c =x 和ax 2+bx +c =－x 均无实根；即⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--②）（①，）（.04104122ac b ac b①+②得4ac －b 2＞1. （2）由4ac －b 2＞1；知a （x +ab 2）2与a b ac 442-同号.所以|ax 2+bx +c |=|a （x +ab 2）2+a b ac 442-|=|a （x +ab 2）2|+|a b ac 442-|≥|a b ac 442-|＞||41a .22.（14分）已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a 、b 、c ∈R ；a ＞0）；设方程f （x ）=x 的两个实数根为x 1、x 2.（1）如果x 1＜2＜x 2＜4；设f （x ）的对称轴是x =x 0；求证；x 0＞－1； （2）如果|x 1|＜2；|x 2－x 1|=2；求b 的取值范围.（1）证明；设g （x ）=f （x ）－x =ax 2+（b －1）x +1.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=⋅--=+.0112121a x x a b x x ，x 1＜2＜x 2＜4.∴（x 1－2）（x 2－2）＜0； 即x 1x 2＜2（x 1+x 2）－4. 于是x 0=－a b 2=21（－a b 1-－a 1）=21（x 1+x 2）－21x 1x 2＞21（x 1+x 2）－（x 1+x 2）+2=－21（x 1+x 2）+2＞－21（2+4）+2=－1；即x 0＞－1. （2）解；由方程g （x ）=ax 2+（b －1）x +1=0；可知x 1x 2=a 1＞0；∴x 1、x 2同号. 若0＜x 1＜2；则x 2－x 1=2；∴x 2=x 1+2＞2.g （2）=4a +2b －1＜0.①又|x 2－x 1|2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=221a b）（-－a4=2. ∴2a +1=112+-）（b ；代入①式得2112+-）（b ＜3－2b .②解②得b ＜41. 若－2＜x 1＜0；则x 2=－2+x 1＜－2. ∴g （－2）=4a －2b +3＜0. ③将2a +1=112+-）（b 代入③式得2112+-）（b ＜2b －1.④解④得b ＞47. 综上；可知b ＜41或b ＞47. ●意犹未尽五枚金币有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次；年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路；阿巴格又累又怕；到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出５枚硬币；把一枚硬币埋在草地里；把其余4枚放在阿巴格的手上；说；“人生有５枚金币；童年、少年、青年、中年、老年各有一枚；你现在才用了一枚；就是埋在草地里的那一枚；你不能把５枚都扔在草原里；你要一点点地用；每一次都用出不同来；这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原；你将来也一定要走出草原.世界很大；人活着；就要多走些地方；多看看；不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下；那天阿巴格走出了草原.长大后；阿巴格离开了家乡；成了一名优秀的船长.一语中的；珍惜生命；就能走出挫折的沼泽地.。
江苏省高三数学一轮复习 考试试题精选(1)分类汇编12 不等式
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编12：不等式一、填空题 1 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知实数a,b,c 满足a+b+c=9,ab+bc+ca=24,则b 的取值范围是______. 【答案】[1,5] 2 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）若直线y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+m x y x y x 03203则实数m 的最大值为__._ 【答案】13 ．（江苏省苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷）设0x ≥,0y ≥且21x y +=,则223x y +的最小值为______.【答案】344 ．（江苏省启东市2014届高三上学期第一次检测数学试题）正实数21,x x 及)(x f 满足1414)(+-=x x x f ,且1)()(21=+x f x f ,则)(21x x f +的最小值等于______.【答案】54;由1)()(21=+x f x f 得14344221-+=x x x,144211414)(21212121+-=+-=+++xx x x x x x x f 6144)14(2122+-+--=x x ≥6144)14(22122+---x x 54511=-=, 当且仅当1441422-=-x x ,即342=x,3log 42=x 时取得最小值. 5 ．（江苏省泰兴市第三高级中学2014届高三上学期期中调研测试数学理试题）已知()x f 是定义在[]2,2-上的函数,且对任意实数)(,2121x x x x ≠,恒有()()02121>--x x x f x f ,且()x f 的最大值为1,则满足()1log 2<x f 的解集为______【答案】(0,4)6 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）若正实数x,y 满足26xy x y =++ ,则xy 的最小值是______.【答案】187 ．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）已知点P(x,y)在不等式表示的平面区域上运动,则z x y =+的最大值是____ 【答案】48 ．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）如果22log log 1x y +=,则2x y +的最小值是___________.【答案】49 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知正项等比数列{}n a 满足:6542a a a =+,若存在两项m a ,n a12a =,则14m n+的最小值为________.【答案】9410．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ,则xy x y u 22-=的取值范围是__★__. 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,38 提示:令x y t =,则t t u 1-=.11．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）已知实数x 、y 满足2035000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨>⎪⎪>⎩,则y x z )21()41(⋅=的最小值为___________.【答案】16112．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）设实数12345,,,,x x x x x 均不小于1，且12345729x x x x x ⋅⋅⋅⋅=，则1223max{,,x x x x3445,}x x x x 的最小值是 ▲ ．（max{,,,}a b c d 是指a 、b 、c 、d 四个数中最大的一个） 【答案】913．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知函数()()R x k x x kx x x f ∈++++=,112424.则()x f 的最大值与最小值的乘积为__★__.【答案】32+k 解析:()()111112422424++-+=++++=x x x k x x kx x x f ,而2421x x ≥+ 所以3110242≤++≤x x x当1≥k 时,()()1,32min max =+=x f k x f ; 当1<k 时,()()1,32max min =+=x f k x f . 因此()()32min min +=⋅k x f x f .14．（江苏省泰州市姜堰区张甸中学2014届高三数学期中模拟试卷）已知实数x y 、满足约束条件2x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则24z x y =+的最大值为_______. 【答案】815．（江苏省苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷）设0a b >>,则()211a ab a a b ++-的最小值为______.【答案】416．（江苏省无锡市洛社高级中学2014届高三10月月考数学试题）已知0.70.90.60.80.8,0.8,log a b c ===,则a 、b、c 按从小到大的顺序排列为_________________ .【答案】b a c <<17．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）若6.06.0=a ,7.06.0=b ,7.02.1=c ,则a ,b ,c 的大小关系为__★__.【答案】c a b << 18．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三上学期期中模拟数学试题）若对满足条件x+y+3=xy(x>0,y>0)的任意x,y,(x+y)2﹣a(x+y)+1≥0恒成立,则实数a 的取值范围是__ _____.【答案】a19．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）若θθθθsin ln cos ln cos sin ->-ee且),,0(πθ∈则θ的取值范围为_____【答案】)43,2()2,4(ππππ⋃ 20．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）设x,y,z ∈ R,2x + 2y + z +8 = 0,则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)2之最小值为_____ 【答案】 921．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）定义运算()()b a b a b a a b >⎧⊕=⎨≤⎩,则关于正实数x 的不等式142()(2)x x x x⊕+≤⊕的解集为________. 【答案】[1,2]22．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）已知方程01222=+--n x m x (其中0,0>>n m )有两个相等的实根,则 nm 11+的最小值为________. 【答案】223+23．（江苏省苏州市2013-2014学年第一学期高三期中考试数学试卷）不等式13x x+<的解集为______. 【答案】1(,0),2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭24．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）若实数x ,y 满足10,0,0,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则z =x +2y 的最大值是________. 【答案】 225．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）若2x >,则12x x +-的最小值为______.【答案】4 26．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知实数x ,y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤,则2z x y =+的最大值是______. 【答案】42527．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）若关于x ,y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于3, 则a 的值为________. 【答案】528．（江苏省泰州市姜堰区张甸中学2014届高三数学期中模拟试卷）已知不等式x 2-2x -3<0的解集为A ,不等式x 2+x -6<0的解集是B ,不等式x 2+ax +b <0的解集是A ∩B ,那么a +b 等于___________. 【答案】-3 二、解答题 29．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场,按照设计要求,休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域,周边学科网及绿化区域之间是道路(图中阴影部分),.道路的宽度均为2米.怎样设计矩形休闲广场的长和宽,才能使绿化区域的总面积最大?并求出其最大面积.【答案】30．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三第二次调研数学试题）如图,某小区有一边长为2(单位:百米)的正方形地块OABC,其中OAE 是一个游泳池,计划在地块OABC 内修一条与池边AE 相切的直路l (宽度不计),切点为M,并把该地块分为两部分.现以点O 为坐标原点,以线段OC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系,若池边AE 满足函数22(0y x x =-+≤≤的图象,且点M 到边OA 距离为24()33t t ≤≤. (1)当23t =时,求直路l 所在的直线方程;(2)当t 为何值时,地块OABC 在直路l 不含泳池那侧的面积取到最大,最大值是多少?【答案】(1)022912:),914,32(=-+y x l M (2))2,(2+-t t M ,过切点M 的切线)(2)2(:2t x t t y l --=+--即222++-=t tx y ,令2=y 得2t x =,故切线l 与AB 交于点)2,2(t; 令0=y ,得t t x 12+=,又t t x 12+=在]34,32[递减,所以]611,1217[12∈+=t t x故切线l 与OC 交于点)0,12(tt +.∴地块OABC 在切线l 右上部分区域为直角梯形,面积t t t t t S 142)22122(21--=⋅-+--=2)1(4≤+-=tt ,等号1=t ,2max =S .31．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）如图,GH 是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH 上的一点B 的正北方向的A 处建一仓库,设AB = y km,并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在GH 上),现从仓库A 向GH 和中转站分别修两条道路AB ,AC ,已知AB = AC + 1,且∠ABC = 60o. (1)求y 关于x 的函数解析式;(2)如果中转站四周围墙造价为1万元/km,两条道路造价为3万元/km,问:x 取何值时,该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低?公 路HGF E DCB A【答案】解:(1)∵AB = y ,AB = AC + 1,∴AC = y - 1在直角三角形BCF 中,∵CF = x ,∠ABC = 60︒,∴∠CBF = 30︒,BC = 2x . 由于2x + y - 1 > y ,得12x >. 在△ABC 中,∵2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒,∴222(1)42y y x xy -=+-.则2412(1)x y x -=-.由y > 0,及12x >,得x > 1即y 关于x 的函数解析式为2412(1)x y x -=-(x > 1).(2)21233(21)4341x M y x x x -=-+=-+-. 令x - 1 = t ,则212(1)3934(1)162549t M t t t t+-=-++=++≥, 在34t =,即74x =,152y =时,总造价M 最低. 答:74x =时,该公司建中转站围墙和道路总造价M 最低. 32．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）心理学家研究某位学生的学习情况发现:若这位学生刚学完的知识存留量为1,则x 天后的存留量144y x =+;若在t(t>0)天时进行第一次复习,则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计),其后存留量y 2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分,其斜率为2(0)(4)aa t <+,存留量随时间变化的曲线如图所示.当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时,则称此时刻为“二次复习最佳时机点” (1)若a=-1,t=5,求“二次复习最佳时机点”;(2)若出现了“二次复习最佳时机点”,求a 的取值范围.后的存留量与不复习的存留量之差为y ,由题意知,228()(4)(4)4a y x t t t t =-+>++ 所以21284()(4)(4)44a y y y x t t t t x =-=-+->+++ 当1,5a t =-=时,2184(5)(54)544y x x -=-+-+++(4)41814x x -+=-++≤1-59=, 当且仅当 14x = 时取等号,所以“二次复习最佳时机点”为第14天. (2) 284()(4)44a y x t t t x =-+-+++22(4)48(4)(4)44(4)a x a t t x t t -++=--+-++++≤84at --+, 当且仅当 4)4(244)4()4(2-+-=+=++-t ax x t x a 即 时取等号,由题意t t a>-+-4)4(2,所以 40a -<<.33．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）扬州某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为60(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为,.记防洪堤横断面的腰长为x (米),外周长(梯形的上底线段．．．．．．．BC 与两腰长的和．．．．．．)为y (米). ⑴求y 关于x 的函数关系式,并指出其定义域;⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x 应在什么范围内?⑶当防洪堤的腰长x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)?求此时外周长的值.【答案】解:⑴1()2AD BC h =+,其中22x AD BC BC x =+⋅=+,2h x =,∴ 1(22BC x =+,得182x BC x =-,由1802h x BC x ⎧≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩,得26x ≤< ∴1832,(26)2xy BC x x x =+=+≤<; ⑵18310.52x y x =+≤得34x ≤≤∵[3,4][2,6)⊂ ∴腰长x 的范围是 [3,4]⑶1832x y x =+≥=当并且仅当1832x x =,即[2,6)x =时等号成立.∴外周长的最小值为米,此时腰长为34．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）某厂家举行大型的促销活动,经测算某产品当促销费用为x 万元时,销售量P 万件满足123+-=x P (其中0x a ≤≤,a 为正常数). 现假定生产量与销售量相等,已知生产该产品P 万件还需投入成本()102P +万元(不含促销费用),产品的销售价格定为204P ⎛⎫+⎪⎝⎭万元/万件.60⑴ 将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数; ⑵ 促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大. 【答案】解:(1)由题意知,该产品售价为)210(2PP+⨯万元, x P P PPy ---⨯+⨯=210)210(2,代入化简得 416()1y x x =-++,(0x a ≤≤) (2)13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y 当且仅当1,114=+=+x x x 即时,上式取等号 当1a ≥时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大; 当1a <时,()()()'21301x x y x --⋅+=>+,故)114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增,所以在x =a 时,函数有最大值.促销费用投入a 万元时,厂家的利润最大综上述,当1a ≥时, 促销费用投入1万元时,厂家的利润最大; 当1a <时,促销费用投入a 万元时,厂家的利润最大35．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≤40x y x y 表示的平面区域为A.(Ⅰ)画出平面区域A,并求面积;(Ⅱ)点),(y x 在平面区域内,求y x z +=2的取值范围; (Ⅲ)一次函数b x y +=21的图像平分区域A 的面积,求b . 【答案】解:(Ⅰ)不等式x y ≤表示直线x y =及直线下方的平面区域;不等式0≥y 表示直线0=y 及直线上方的平面区域;不等式4≤x 表示直线4=x 及直线左侧的平面区域.所以,这三个平面区域的公共部分,就是原不等式组所表示的平面区域.x由图像可得:84421=⨯⨯=S (Ⅱ)将目标函数变形为z x y +-=2,平移直线z x y +-=2,当它经过)4,4(时截距z 最大为12;当它经过)0,0(时截距z 最小为0.所以z 的取值范围是]12,0[---(Ⅲ)b x y +=21的图像经过区域A 时,]2,2[-∈b , 当]0,2[-∈b 时,4)24)(2(21=++=b b S ,∴0,22==+b b当]2,0(∈b 时,4)24)(24(21=---=b b S ,∴0,22==+-b b (舍)∴0=b。
新高考苏教版数学理大一轮复习训练14.4不等式选讲(含答案解析)
14.4 不等式选讲解答题1．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．解析 (1)证明f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎨⎧ －3，2x －7，3，x ≤2，2＜x ＜5，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．2．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明 法一 因为a 、b 、c 均为正数，由平均值不等式得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，② 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二 因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac .① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋31ab ＋31bc ＋31ac ≥6 3.③所以原不等式成立，当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．3．已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb21＋m .证明 因为m ＞0，所以1＋m ＞0，所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb21＋m ，即证(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb21＋m . 4. 已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式()3f x …的解集为{|2x -剎≤1x …｝。
2019版高考数学大一轮复习江苏专版文档：第十四章 系列4选讲14.3 第1课时 Word版含答案
§14.3不等式选讲第1课时绝对值不等式考情考向分析本节考查热点为绝对值不等式的解法及证明．在高考中主要以解答题的形式考查，属于低档题．1．绝对值不等式的解法(1)含有绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(×)(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(√)(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( × )(4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( × )(5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ) 题组二 教材改编2．[P6例3]不等式3≤|5－2x |<9的解集为__________．答案 (－2,1]∪[4,7)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |2x －5|<9，|2x －5|≥3， 即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)． 3．[P6例4]求不等式|x －1|－|x －5|<2的解集．解 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1；②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2，∴x <4，∴1<x <4；③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立． 综上，原不等式的解集为(－∞，4)．题组三 易错自纠4．若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 答案 4或－6解析 方法一 ①当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|，f (x )min ＝0，不符合题意；②当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2a －1，x <a ，x －1－2a ，a ≤x ≤－1，3x ＋1－2a ，x >－1，∴f (x )min ＝f (a )＝－a －1＝5，∴a ＝－6成立；③当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2a －1，x <－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >a ，∴f (x )min ＝f (a )＝a ＋1＝5，∴a ＝4成立．综上，a ＝4或a ＝－6.。
2014届一轮复习数学试题选编34不等式选讲(学生版)
．（2012年江苏理）已知实数x,y满足: 求证: .
．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲
已知 且 ,求 的最大值.
．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲
设正数a,b,c满足 ,求 的最小值.
．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—5 :不等式选讲]已知实数 满足 求 的最小值.
．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—5:不等式选讲)
已知 , , , 都是正数,且 ,求证: .
．（2013江苏高考数学）D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.
已知 ,且 ,求 的最小值.
．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-5:不等式选讲)
若 ,证明
．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—5:不等式选讲)
已知常数 满足 ,解关于 的不等式: .
．（2009高考(江苏)）设 ≥ ＞0,求证： ≥ .
解得 .所以原不等式的解集是 .
D.选修4—5:不等式选讲
已知a,b是正数,求证:a2+4b2+≥4.
证明:因为a,b是正数,所以a2+4b2≥4ab
所以a2+4b2+≥4ab+≥2=4.
即a2+4b2+≥4
证明:∵ ,
由题设 ∴ .∴ .
解:
∴ ,
且 ,即 , ,
∴ ,
当且仅当 时,等号成立
【优化方案】高考数学理(江苏专用)一轮总复习练习：10.8不等式选讲(含答案解析)
1．(2015·高考江苏卷)解不等式x ＋|2x ＋3|≥2.解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x<－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，3x ＋3≥2.解得x≤－5或x≥－13. 综上，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－5或x≥－13. 2．若a 、b 、c 为正实数，且1a ＋12b ＋13c＝1，求a ＋2b ＋3c. 解：a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)·⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋2b·12b ＋3c·13c 2＝9.(当且仅当a ＝2b ＝3c ，即a ＝3，b ＝32，c ＝1时等号成立) 3．已知实数x ，y 满足：|x ＋y|＜13，|2x －y|＜16，求证：|y|＜518. 证明：因为3|y|＝|3y|＝|2(x ＋y)－(2x －y)|≤2|x ＋y|＋|2x －y|，由题设知|x ＋y|＜13，|2x －y|＜16， 从而3|y|＜23＋16＝56，所以|y|＜518. 4．(2016·常州模拟)已知a>0，b>0，证明：(a 2＋b 2＋ab)(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2. 证明：因为a>0，b>0，所以a 2＋b 2＋ab≥33a 2·b 2·ab ＝3ab>0，ab 2＋a 2b ＋1≥33ab 2·a 2b ·1＝3ab>0，所以(a 2＋b 2＋ab)(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2.5．(2016·重庆巴蜀中学质检)已知函数f(x) ＝ |x ＋1|－|2x －1|.(1)求不等式f(x)≥0的解集；(2)若不等式f(x)<a 对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1) |x ＋1|≥|2x －1|⇒x 2＋2x ＋1≥4x 2－4x ＋1，解得0≤x≤2，所以f(x)≥0的解集为{x|0≤x≤2}．(2)因为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）－（2x －1）＝－x ＋2，x ＞12，（x ＋1）－（1－2x ）＝3x ，－1≤x≤12，－（x ＋1）－（1－2x ）＝x －2，x ＜－1.易知f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32， 所以a ＞f(x)max ，即a ＞32. 6．(2016·苏锡常镇四市调研)求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值． 解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝⎝⎛⎭⎫3－3x·13＋3x ＋2·12 ≤(3－3x ＋3x ＋2)⎝⎛⎭⎫13＋1＝203，所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153. 等号当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝712时成立． 所以y 的最大值为2153. 7．(2016·镇江模拟)已知函数f(x)＝|x －1|＋|x －2|，若不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)对任意a ，b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围．解：若a ＝0，则不等式转化为2|b|≥0恒成立，此时x ∈R.若a≠0，由|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)可得f(x)≤|a ＋b|＋|a －b||a|恒成立， 而|a ＋b|＋|a －b||a|≥|a ＋b ＋a －b||a|＝2，所以f(x)≤2恒成立， 即|x －1|＋|x －2|≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x≤13－2x≤2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x<21≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥22x －3≤2⇔12≤x ≤52. 由于不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a|f(x)对任意a ，b ∈R 恒成立，所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，52.8．已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1·a 2·…·a n ＝1，求证：(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n .证明：因为a 1是正数，所以2＋a 1＝1＋1＋a 1≥33a 1，同理2＋a j ＝1＋1＋a j ≥33a j (j ＝2，3，…，n)，将上述不等式两边相乘，得(2＋a 1)(2＋a 2)·…·(2＋a n )≥3n ·3a 1·a 2·…·a n ，(当且仅当a 1＝a 2…＝a n 时等号成立)因为a 1·a 2·…·a n ＝1，所以(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n .9．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求a 的取值范围． 解：由柯西不等式，得(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d)2， 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d)2.由条件得，5－a 2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，当且仅当2b 12＝3c 13＝6d 16时，等号成立，代入b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2；代入b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1，所以a 的取值范围是[1，2]． 10．已知函数f(x)＝m －|x －1|－|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋1)≥0的解集为[0，1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ，x ，y ，z ∈R ，x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ，求证：ax ＋by ＋cz≤1. 解：(1)因为f(x ＋1)≥0，所以|x|＋|x －1|≤m.当m ＜1时，因为|x|＋|x －1|≥1，所以不等式|x|＋|x －1|≤m 的解集为∅，不符合题意． 当m≥1时，①当x<0时，得x≥1－m 2，所以1－m 2≤x<0. ②当0≤x≤1时，得x ＋1－x≤m ，即1≤m 恒成立．③当x>1时，得x≤m ＋12，所以1<x≤m ＋12. 综上，|x|＋|x －1|≤m 的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1－m 2≤x≤m ＋12. 由题意得⎩⎨⎧1－m 2＝0，m ＋12＝1，所以m ＝1. (2)证明：因为x 2＋a 2≥2ax ，y 2＋b 2≥2by ，z 2＋c 2≥2cz ，所以a 2＋b 2＋c 2＋x 2＋y 2＋z 2≥2(ax ＋by ＋cz)．由(1)知x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝1，所以2(ax ＋by ＋cz)≤2，所以ax ＋by ＋cz≤1.。
高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题7.4 基本不等式及其应用(测)答案解析
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1.已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是 ． 【答案】18【解析】()811622101018y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭2.函数)1(122>-+=x x x y 的最小值是 ．【答案】23＋2【解析】()()()22121323=122111x x x y x x x x -+-++==-++≥---3.函数22(0)y x x x=+<的最大值为 ． 【答案】4-4.已知正数,x y 满足x y xy +=，那么x y +的最小值为 ． 【答案】4【解析】因为：0,0x y >>，由均值不等式得：22x y x y xy +⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭，令x y t +=，则240,4t t t -≥≥．5.若不等式()11x y a x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数x ,y 恒成立，则实数a 的最大值为___ _．【答案】4【解析】11()()224,(0,0)y xx y x y xy x y ++=++≥+=>>,x=y 取等号，故a 的最大值是4．6.已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 ． 【答案】]22,22[-【解析】设b a t +=，则a t b -=代入45222=+-b ab a 整理得04512822=-+-t at a ， 由此方程有解得0)45(32)12(22≥--t t ，解得2222≤≤-t ， 故a b +的取值范围为]22,22[-．7.设,x y 是正实数，且3x y +=，则2211y x x y +++的最小值是 ． 【答案】958.已知a ，b R +∈，22a b +=，则12a b+的最小值为 ． 【答案】4． 【解析】121122()(2)22422b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当12142122a b a b a b a b ⎧+==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩ 时等号成立，∴12a b+的最小值为4．9.已知a b ∈R ，,45222=+-b ab a ,则ab 的最小值为 .【解析】因为)2225221a ab b ab ab-+≥--=-,所以ab ≥=10.已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是 ．【答案】1811.若实数a ，b ，c ，满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为________． 【答案】3. 【解析】222222233933222()232244ab bc c b c c a b b c c -+=+⋅-⋅+≤++++ 2223()3a b c =++=，当且仅当32b c =⎨⎪-=⎪⎩时，等号成立，∴2332ab bc c -+的最大值为3.12.已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．【答案】43【解析】2222224483144545x y x xy y xy x y x y x xy y x xy y +++==+++++++3145x y y x=+++，因为42x y y x +≥，所以43414453x y x y x y +≤+=+++，当且仅当4x y y x=时等号成立.13.已知实数n m ,满足,1,0-=+>⋅n m n m 则nm 11+的最大值为 . 【答案】4-【解析】由已知， 0,0,()()1,m n m n <<-+-=所以，1111()()[()()][()()]22n m m n m n m n m n -+-=-+-⋅-+-=++≥+，114m n+≤-，即n m 11+的最大值为4-.14.设,0,5a b a b >+=,________. 【答案】23【解析】由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：a b +≤0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），从而有≤==（当且仅当13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立）故填：23.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。
一轮复习数学试题选编34：不等式选讲(教师版) Word版含答案[ 高考]
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江苏省2014届一轮复习数学试题选编34：不等式选讲一、解答题 1 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知,,a b c 为正数,且满足22cos sin a b c θθ+<,求证22θθ【答案】D.由柯西不等式,得22θθ11222222))](cos sin )θθθθ++≤ 1222(cos sin )a b θθ=+<2 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—5:不等式选讲已知a ,b 都是正实数,且a +b =2,求证:a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=a 2a ＋1+b 2b ＋1-1=a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)=a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)因边a +b =2,所以左边-右边=1－ab(a ＋1)(b ＋1)因为a ,b 都是正实数,所以ab ≤(a ＋b )24=1所以,左边-右边≥0,即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1方法二:由柯西不等式,得 (a 2a ＋1+b 2b ＋1)[(a ＋1)2+(b ＋1)2]≥(a +b )2因为a +b =2,所以上式即为(a 2a ＋1+b 2b ＋1)×4≥4.即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥13 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知|x+1|+|x-l|<4的解集为M,若a,b∈M,证明:2|a+b |<|4+ab|.【答案】4 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,c 都是正数,且236a b c ++=,+的最大值.【答案】5 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．【答案】【解】因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………………8分即1111323232a b c +++++≥，故111323232a b c +++++的最小值为1．………10分 6 ．（2011年高考（江苏卷））解不等式:|21| 3.x x +-<【答案】【命题立意】本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类谈论、运算求解能力.【解析】原不等式可化为210(21)3x x x -≥⎧⎨+-<⎩;或210(21)3x x x -<⎧⎨--<⎩,解得1412232x x ≤<<<或-.所以原不等式的解集是4{|2}3x x -<<. 7 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab≥4.【答案】D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab ≥4.证明:因为a ,b 是正数,所以a 2+4b 2≥4ab所以a 2+4b 2+1—ab ≥4ab +1—ab ≥24ab ×1—ab=4.即a 2+4b 2+1—ab≥48 ．（2012年江苏理）已知实数x,y 满足:11|||2|36x y x y +<-<，，求证:5||18y <. 【答案】证明:∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-,由题设11|||2|36x y x y +<-<，，∴1153||=366y <+.∴5||18y <. 9 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知0,0,a b >>且21a b +=,求224S a b =--的最大值.【答案】解:0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-,且12a b =+≥,≤,18ab ≤,∴224S a b =-(14)ab =--41ab =+-≤,当且仅当11,42a b ==时,等号成立10．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲设正数a ,b ,c 满足1a b c ++=,求111323232a b c +++++的最小值.【答案】【解】因为a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=,所以(32)(32)(32)9a b c +++++=.于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥,当且仅当13a b c ===时,等号成立即1111323232a b c +++++≥,故111323232a b c +++++的最小值为1 11．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—5 :不等式选讲]已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【答案】由柯西不等式,2222222()))1x y z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤,因为2x y z =++,所以222242311x y z ++≥,1z ==,即6412,,111111x y z ===时,等号成立, 所以22223x y z ++的最小值为241112．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,x ,y 都是正数,且1a b +=,求证:()()ax by bx ay xy ++≥.【答案】13．（2013江苏高考数学）D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-【答案】本题主要考察利用比较法证明不等式,考察推理论证能力.证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a())(22222b a b b a a ---())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a , ∴0)2)()((≥--+b a b a b a ∴0222233≥---b a ab b a ∴b a ab b a 223322-≥-14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—5:不等式选讲)设函数()f x =.(1)当5a =-时,求函数()f x 的定义域;(2)若函数()f x 的定义域为R,试求a 的取值范围.【答案】解:(1)由题设知:1250x x ++--≥,如图,在同一坐标系中作出函数12y x x =++-和5y =的图象(如图所示), 知定义域为(][),23,-∞-+∞(2)由题设知,当x R ∈时,恒有120x x a ++-+≥,即12x x a ++-≥- 由(1)123x x ++-≥,∴ 3,3a a -≤∴≥- [必做题]15．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）D.选修4—5(不等式选讲)已知实数,,x yz 满足2x y z ++=,求22223x y z ++的最小值;【答案】D.选修4—5(不等式选讲)解:由柯西不等式可知:2222222()))1x y z z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤故222242311x y z ++≥,1z==,即:6412,,111111x y z ===22223x y z ++取得最小值为241116．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】D.解:∵(x +2y +2z )2≤(12+22+22)(x 2+y 2+z 2)=9,当且仅当x 1=y 2=z2时取等号,∴|a -1|≥3,解得a ≥4,或a ≤-217．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数()|3|||f x x x a =++-(0a >).(Ⅰ)当4a =时,已知()7f x =,求x 的取值范围;(Ⅱ)若()6f x ≥的解集为{|4x x ≤-或2}x ≥,求a 的值.【答案】18．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—5:不等式选讲解不等式x |x -4|-3<0.【答案】选修4—5:不等式选讲解 原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2－ 7＜x ＜2＋ 7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3． 即4≤x <2+7或3<x <4或x <1.综上,原不等式的解集为{x | x <1或3<x <2+7}19．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知,,x y z ∈R ,且234x y z --=,求222x y z ++的最小值.【答案】由柯西不等式,得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤,即2222(23)14()x y z x y z --++≤, 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥,即222x y z ++的最小值为8720．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-5:不等式选讲)若⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,21x ,证明2332321<-++++x x x 【答案】证明:由柯西不等式可得()()()())21812323111111x x x =++++-++≥++⎡⎤⎣⎦7分又12,23x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭, 21．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知常数a 满足11a -<<,解关于x 的不等式:11ax x ++≤.【答案】22．（2009高考(江苏)）设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +.【答案】[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练：不等式选讲(含解析)
江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练不等式选讲1、（南京市2018高三9月学情调研）解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．2、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．3、（南京市13校2019届高三12月联合调研）若正数a ，b ，c 满足a + 2b + 4c =3，求111111a b c +++++的最小值．4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）求函数y ＝1－x ＋3x ＋2的最大值．5、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）设x ，y ，z ∈R ，且满足：2221x y z ++=，2314x y z ++=，求证：3147x y z ++=．6、（苏州市2019届高三上学期期中调研）已知函数()36f x x =+，()14g x x =-，若存在实数x 使()g()f x x a +>成立，求实数a 的取值范围．7、（徐州市2019届高三上学期期中质量抽测）对于实数x ，y ，若满足｜x －1｜≤1，｜y －2｜≤1，求｜x －2y+1｜的最大值．8、（苏州市2018高三上期初调研）已知,,x y z 均为正数，求证：111x y z yz zx xy x y z ++≥++.9、（海安县2019届高三上学期期末考试）已知x ，y ，z 均为正数，且x+y+z ＝1，求222111x y z x y z+++++的最小值。
10、（南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟）已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥．11、（苏州市2019届高三上学期期末考试） 设a ，b ，c 都是正数，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++12、（徐州市2019届高三12月月考）已知x y z 、、均为正数，求证：2223111111()3x y z x y z++≤++.13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月）） 已知实数a b c ，，满足222a b c ++≤1，求证：22211191114a b c +++++≥14、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）已知x ，y ，z 均是正实数，且，164222=++z y x 求证：6x y z ++≤．15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次模拟（5月））已知a ∈R ，若关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围．16、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））若不等式15x x a ++-≥对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围． 18、（盐城市2019届高三第三次模拟）求不等式|1||2|24-≤+-x x 的解集.19、（南通市2019届高三练习卷（四模））已知实数x ，y ，z 满足222491212x y z ++=．证明：22222111323x y y z z ++≥++．20、（南通市2019届高三适应性考试）已知关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{}|12x x <<，其中m n ∈R ，．求证： (1)3(1)45m x n x --+--≤．参考答案1、解：(1)当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2；………………2分(2)当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解；……………4分 (3)当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3； ……………………6分 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞). …………………………10分 2、解：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．……………2分 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， …………………6分 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4． ……………………10分 3、解：因为正数a ，b ，c 满足a + 2b + 4c =3，所以()()()1214110a b c +++++=，所以()()()()()211112*********a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，…………5分 即111116211110a b c ++++++≥， 当且仅当231027a -=，152177b -=，8527c -=时，取最小值116210+． …10分4、解：因为(1－x ＋3x ＋2)2＝(3－3x ·13＋3x ＋2·1)2 ≤(3－3x ＋3x ＋2)(13＋1)＝203，(3分)所以y ＝1－x ＋3x ＋2≤2153.(5分)当且仅当3－3x 13＝3x ＋21，即x ＝712∈[－23，1]时等号成立．(8分)所以y 的最大值为2153.(10分)5、6、解：因为f (x )＋g (x )＝3x ＋6＋14－x ＝(3，1)·(x ＋2，14－x )…………………3分 ≤3＋12·(x ＋2)＋(14－x )＝8, …………………5分当且仅当x ＋214－x ＝31,即x ＝10时取等号． …………………7分所以f (x )＋g (x )的最大值是8． …………………8分 所以a <8，即实数a 的取值范围是(－∞,8)．…………………10分7、由21-+=x y (1)2(2)2----x y …………………………………………………4分(1)2(2)2≤---+x y 12225≤-+-+=x y ，…………………8分当且仅当0,3x y =⎧⎨=⎩时，取“=”.可知，12+-y x 的最大值为5.…………………………………………………10分8、证明：因为,,x y z 都是为正数，所以12x y y x yz zx z x y z⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭， 同理可得22,y z z x zx xy x xy yz y+≥+≥， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z yz zx xy x y z++≥++. 9、10、【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭22222221111119111a +b +c a b c ⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． …………………………10分 11、12、证明:由柯西不等式得2222222111111(111)()()x y z x y z++++≥++…………………5分 则2221111113x y z x y z⨯++≥++, 即2223111111()3x y z x y z++≤++………………………10分 13、【证明】由柯西不等式，得()()()222222111111111a b c ++a b c ⎛⎫⎡⎤+++++ ⎪⎣⎦+++⎝⎭22222221111119111a +b +c a b c ⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭≥，…………………………5分 所以2222221119991113134++a b c a b c =+++++++≥≥． …………………………10分 14、【证】由柯西不等式得，()()()222222212112x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≥……………5分因为222416x y z ++=，所以()2916364x y z ++⨯=≤，所以，6x y z ++≤，当且仅当“2x y z ==”时取等号．…………………………10分 15、【解】因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，所以164(1)0a a ∆=--+≥，即41a a -+≤． …… 4分当1a ≥时，421a -≤，得512a ≤≤；当01a <<时，1≤4，恒成立，即01a <<；当0a ≤时，412a -≤，得032a -≤≤，综上：所求a 的取值范围为3522a -≤≤． …… 10分16、17、解：∵111x x a x x a a ++-+-+=+≥， …………………………………………4分 ∴要使不等式15x x a ++-≥对任意的R x ∈恒成立，当且仅当15a +≥， ………7分 ∴4a ≥或6a -…． ………………………………………………………………………10分 18、解：①当2x -≤时，原不等式可化为42(2)1x x ++-≤，解得73x -≤，此时73x -≤；……3分②当21x -<<时，原不等式可化为42(2)1x x -+-≤，解得x ≥1-，此时11x -<≤； ……6分③当x ≥1时，原不等式可化为42(2)1x x -+-≤，解得x ≥13，此时x ≥1. ……………9分综上，原不等式的解集为[)7,1,3⎛⎤-∞--+∞ ⎥⎝⎦U ． …………………10分19、20、【解】因为关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{}|12x x <<，所以=1+2=3=12=2m n ⨯，． ······················································3分 所以(1)3(1)4234m x n x x x --+--=-+-，由柯西不等式可得，22222(234)(21)[(3)(4)]5x x x x -+-+-+-=≤， 当且仅当234x x -=-，即16[34]5x =∈，时取等号． 所以，(1)3(1)45m x n x --+--≤． ········································10分。
推荐高考数学一轮复习讲练测江苏专题8 不等式选讲练 含解析
1. 在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．【答案】【解析】依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4.2. 若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．【答案】a ≤8.【解析】|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.3.若对任意的a ∈R ，不等式|x |＋|x －1|≥|1＋a |－|1－a |恒成立，则实数x 的取值范围是________．【答案】x ≤－12或x ≥32.4. 已知x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则利用柯西不等式判断a 2＋b 2与(x ＋y )2的大小关系为________． 【答案】a 2＋b 2≥(x ＋y )2【解析】∵x 2a 2＋y 2b2＝1， ∴a 2＋b 2＝(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2a 2＋y 2b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·x a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ·y b 2 ＝(x ＋y )2.5. 已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．【答案】2【解析】(am ＋bn )(bm ＋an )＝ab (m 2＋n 2)＋mn (a 2＋b 2)≥2abmn ＋mn (a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(2ab ＋a 2＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n ＝2时取等号)．6. 已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，则m 的取值范围为________．【答案】(－∞，5)【解析】函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．7. 已知实数t ，若存在t ∈[12，3]使得不等式|t －1|－|2t －5|≥|x －1|＋|x －2|成立，求实数x 的取值范围．【答案】[34，94]．8. 设x ，y ，z 均为实数，则2x ＋y －z x 2＋2y 2＋z 2的最大值是________． 【答案】222【解析】由柯西不等式知(x 2＋2y 2＋z 2)[ 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋(－1)2 ]≥(2x ＋y －z )2⇒2x ＋y －z x 2＋2y 2＋z2≤222. 当且仅当x 2＝2y ＝－z >0时等号成立． 9. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】已知222,,,424a b c R a b c ∈++=，求2a b c ++的最大值.【答案】10【解析】由柯西不等式，得())()2222222221122a b c a b c ⎛⎫⎡⎤++++≥++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭． ．．．．．．．．．．．．．6分因为222424a b c ++=，所以()2210a b c ++≤． 所以10210a b c-≤++≤，所以2a b c ++的最大值为10， 当且仅当1021010,,a b c ===等号成立． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分10. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】选修4—5：不等式选讲 解不等式：|x －2|＋x |x ＋2|＞2【答案】{x |－3＜x ＜－1或x ＞0}．11. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】选修4—5：不等式选讲(本小题满分10分)已知：a ≥2，x ∈R ．求证：|x －1＋a |＋|x －a |≥3．【答案】详见解析【解析】证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|x －1＋a |＋|x －a |≥|x －1＋a －(x －a )|＝|2a －1|． ………………… 8分 又a ≥2，故|2a －1|≥3．所以|x －1＋a |＋|x －a |≥3． ………………………………… 10分12. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】选修4—5：不等式选讲求函数f (x )＝5x ＋82x -的最大值． 【答案】63【解析】函数定义域为，且f (x )≥0．由柯西不等式得≥(5·x ＋2·4x -)2，······················5分即27×4≥(5·x ＋2·4x -)2，所以5x ＋82x -≤63．当且仅当2x ＝54x -，即x ＝10027时，取等号． 所以，函数f (x )＝5x ＋82x -的最大值为63． ··································10分13. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒ 【答案】详见解析14. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知,a b R ∈，a b e >>（其中e 是自然对数的底数），求证：a bb a >.【答案】详见解析【解析】证明:因为0a b >，0b a >，所以要证: a b b a >,只要证:ln ln a b b a >,只要证ln ln b a b a>.(因为e a b >>) ……………………4分 取函数ln ()x f x x=,因为21ln ()x f x x -'=， 所以当e x >时,()0f x '<,所以函数()f x 在(e,)+∞上是单调递减. 所以，当e a b >>时,有()()f b f a >，即ln ln b ab a >. ……………………10分。
江苏专版高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式及其应用教案理含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习第七章不等式第三节基本不等式及其应用教案理含解析苏教版第三节 基本不等式及其应用1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．[小题体验]1．(2019·南京调研)已知m ，n 均为正实数，且m ＋2n ＝1，则mn 的最大值为________． 解析：∵m ＋2n ＝1，∴m ·2n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2n 22＝14，即mn ≤18，当且仅当m ＝2n ＝12时，mn 取得最大值18.答案：182．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2.3．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ， 由题知0＜x ＜10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10－x 22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.答案：251．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致． [小题纠偏]1．(2019·启东检测)函数y ＝x ＋9x －1(x ＞1)的最小值为________． 解析：∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴y ＝x ＋9x －1＝(x －1)＋9x －1＋1≥2x －1·9x －1＋1＝7，当且仅当x ＝4时取等号．答案：72．函数f (x )＝x ＋1x的值域为____________________．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)考点一 利用基本不等式求最值重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1．(2018·启东期末)设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b a ＋4b的最小值为________．解析：∵a ＋b ＝1，∴b a ＋4b ＝b a＋4a ＋b b ＝b a ＋4ab ＋4≥2b a ·4a b ＋4＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝13，b ＝23时等号成立， ∴b a ＋4b的最小值为8.2．(2019·常州调研)若实数x 满足x ＞－4，则函数f (x )＝x ＋9x ＋4的最小值为________． 解析：因为x ＞－4，所以x ＋4＞0， 所以f (x )＝x ＋9x ＋4＝x ＋4＋9x ＋4－4≥2 x ＋4·9x ＋4－4＝2，当且仅当x ＋4＝9x ＋4，即x ＝－1时取等号． 答案：23．(2018·徐州调研)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝3，|x |≠|y |，则12x ＋y2＋4x －2y2的最小值为________．解析：因为(2x ＋y )2＋(x －2y )2＝5(x 2＋y 2)＝15，所以令(2x ＋y )2＝t ，(x －2y )2＝μ，所以t ＋μ＝15，12x ＋y2＋4x －2y2＝1t ＋4μ＝115(t ＋μ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋4μ＝115⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4t μ＋μt ≥115(5＋4)＝35，当且仅当t ＝5，μ＝10时取等号，所以12x ＋y2＋4x －2y2的最小值为35.答案：35[由题悟法]利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．[即时应用]1．设0＜x ＜32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．解析：y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋3－2x 22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．又因为34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，所以函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 答案：922．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得y ＝3－x22x，所以2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：33．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.答案：4考点二 基本不等式的实际应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]经调查测算，某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2018年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：(1)由题意可知，当m ＝0时，x ＝1， 所以1＝3－k ，解得k ＝2，即x ＝3－2m ＋1， 每1万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(万元)，所以2018年的利润y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x－(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)． 所以利润y 表示为年促销费用的函数关系式是y ＝28－16m ＋1－m (m ≥0)．(2)由(1)知y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)．因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥2 16m ＋1·m ＋1＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时取等号． 所以y ≤－8＋29＝21， 即当m ＝3时，y 取得最大值21.所以当该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元．[由题悟法]解实际应用题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[即时应用]某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1和人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000 m 2，人行道的宽分别为4 m 和10 m(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A 1B 1B 1C 1＝x (x ＞1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a m ，则长为ax m ， 由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x.则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160(x ＞1)．(2)S (x )＝8010⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ·5x＋4 160＝1 600＋4 160＝ 5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应分别设计为100 m,40 m. 考点三 利用基本不等式求参数的值或范围重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·淮安调研)若x ∈(0,1)时，不等式m ≤1x ＋11－x 恒成立，则实数m 的最大值为________．解析：∵x ∈(0,1)，∴1－x ∈(0,1)，∵x ＋(1－x )＝1， ∴1x ＋11－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋11－x [x ＋(1－x )]＝2＋1－x x ＋x 1－x ≥2＋21－x x ·x1－x＝4， 当且仅当1－x x ＝x 1－x ，即x ＝12时取等号，∴m ≤4，即实数m 的最大值为4. 答案：42．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42，当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173.因为g (2)＞g (3)，所以g (x )min ＝173.所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， 所以a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ [由题悟法]求解含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． (2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化．[即时应用]1．(2019·东台月考)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的最小值为________．解析：x x 2＋3x ＋1＝1x ＋3＋1x，∵x ＞0，∴x ＋3＋1x≥3＋2x ·1x ＝3＋2＝5，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号，∴0＜1x ＋3＋1x≤15， ∴要使x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15，故a 的最小值为15.答案：152．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，求实数λ的最小值． 解：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xyx ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值为2.又λ≥x ＋22xyx ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·连云港调研)若x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋2y的最小值为________．解析：∵x ＞0，y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝2， ∴xy ＝4， ∴1x ＋2y ≥22xy＝2，当且仅当1x ＝2y且xy ＝4，即x ＝2，y ＝22时取等号，∴1x ＋2y的最小值为 2. 答案： 22．当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：因为x ＞0，所以f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：13．(2018·苏州期末)已知a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b ＝1，则3a ＋2b ＋ba的最小值为________．解析：∵a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝1，∴3a ＋2b ＋b a＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋2b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋ba＝5＋3a b ＋3b a≥5＋29＝11，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴3a ＋2b ＋b a的最小值为11. 答案：114．当3＜x ＜12时，函数y ＝x －312－xx的最大值为________．解析：y ＝x －312－xx＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2x ·36x＋15＝3. 当且仅当x ＝36x，即x ＝6时，y max ＝3. 答案：35．(2018·通州期末)若log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________． 解析：∵log 4(a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 2a ＋4b ＝log 2ab ，a ＋4b ＞0，ab ＞0. ∴a ＋4b ＝ab ，即a ＋4b ＝ab ， ∴1b ＋4a＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋4a＝5＋a b ＋4b a≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝2b ＝6时取等号． ∴a ＋b 的最小值是9. 答案：96．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．答案：80二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·盐城调研)若x ＞0，y ＞0，且x ＋1x ＋y ＋4y ≤9，则1x ＋4y的最大值为________．解析：令x ＋y ＝n ，1x ＋4y＝m ，∴m ·n ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y≥9.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·n ≥9，m ＋n ≤9⇒9≥m ＋n ≥m ＋9m.∴m 2－9m ＋9≤0，解得9－352≤m ≤9＋352.∴1x ＋4y 的最大值为9＋352. 答案：9＋3522．已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．解析：由题意得b ＝14a ，所以0＜14a ＜1，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，得11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋24a －1＋2. 4(1－a )＋(4a －1)＝3，记S ＝11－a ＋24a －1，则S ＝44－4a ＋24a －1＝13[(4－4a )＋(4a －1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫44－4a ＋24a －1＝2＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－4a 4a －1＋24a －14－4a ≥2＋423，当且仅当4－4a 4a －1＝24a －14－4a 时等号成立，所以所求最小值为4＋423.答案：4＋4233．(2018·连云港期末)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y＝4，则2x ＋1y的最小值是________．解析：∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋4y＝4， ∴4＝2x＋4y≥22x ＋2y，即x ＋2y ≤2，∴2x ＋1y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y (x ＋2y )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4y x ＋x y ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋24y x·x y ＝4，当且仅当x ＝2y 时等号成立， ∴2x ＋1y的最小值是4.答案：44．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是92.答案：925．某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ，记防洪堤横断面的腰长为x m ，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y m ，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.解析：设横断面的高为h ，由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·32x ，故BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥ 3，BC ＝18x －x 2＞0，得2≤x ＜6，所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x ＜6)，从而y ＝18x ＋3x2≥218x ·3x2＝63， 当且仅当18x ＝3x2(2≤x ＜6)，即x ＝23时等号成立．答案：2 36．(2018·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________． 解析：令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案：947．(2018·南通三模)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y 的最小值是________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝y x＋4x ＋y y＝y x＋4xy＋4≥2y x ·4x y＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时取“＝”，所以y x ＋4y的最小值是8. 答案：88．(2018·扬州期末)已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝xy ，则3x x －1＋2y y －1的最小值为________．解析：∵x ＋y ＝xy ， ∴3x x －1＋2y y －1＝3x y －1＋2y x －1x －1y －1 ＝5xy －3x －2y xy －x －y ＋1＝5x ＋5y －3x －2yx ＋y －x －y ＋1＝2x ＋3y .又∵x ＋y ＝xy 可化为1y ＋1x＝1，∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋1x＝2x y ＋3yx＋5≥22x y·3y x＋5＝26＋5，当且仅当2x 2＝3y 2时取等号，∴3x x －1＋2y y －1的最小值为26＋5. 答案：26＋59．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x 4－2x 的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x ＜32时，有3－2x ＞0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0＜x ＜2，所以2－x ＞0， 所以y ＝x4－2x＝2·x 2－x ≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x4－2x的最大值为 2.10．(2019·泰州调研)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝4. (1)求xy 的最大值及相应的x ，y 的值； (2)求9x ＋3y的最小值及相应的x ，y 的值． 解：(1)因为4＝2x ＋y ≥22xy ⇒xy ≤2， 所以xy 的最大值为2，当且仅当2x ＝y ＝2， 即x ＝1，y ＝2时取“＝”． (2)因为9x＋3y＝32x＋3y ≥232x ＋y＝18，所以9x＋3y 的最小值为18，当且仅当9x＝3y，即2x ＝y ＝2⇒x ＝1，y ＝2时取“＝”． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东期中)已知α为锐角，则2tan α＋3tan 2α的最小值为________．解析：∵α为锐角，∴tan α＞0， ∴2tan α＋3tan 2α＝2tan α＋31－tan 2α2tan α＝32tan α＋tan α2≥232tan α·tan α2＝3，当且仅当tan α＝ 3，即α＝π3时取得等号，∴2tan α＋3tan 2α的最小值为 3.答案： 32．(2018·苏北四市联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，(*)式恒成立；当a ＜－2时，对称轴t ＝a 2＜－1，(*)式恒成立；当a ＞2时，对称轴t ＝a2，要使(*)式恒成立，则a 2＜4，且16－4a ＋1≥0，得2＜a ≤174.综上可得(*)式恒成立时，a ≤174，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.法二：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t min ＝174，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1743．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部 售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x.所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2 x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．命题点一 一元二次不等式1.(2017·山东高考改编)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝________.解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ＜1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：[－2,1)2．(2014·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题可得f (x )＜0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1＜0，fm ＋1＝2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 3．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋6＝a 24－c ，解得c ＝9. 答案：9命题点二 简单的线性规划问题1.(2016·江苏高考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 2．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示． 由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－32x ＋z2.作直线l 0：y ＝－32x .平移直线l 0，当直线y ＝－32x ＋z2过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×0＝6.答案：63．(2017·全国卷Ⅲ改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3， 所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]． 答案：[－3,2]4．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x ＋y ＝z 过点A 时z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，x －2y ＋3＝0，得点A (5,4)，∴z max ＝5＋4＝9. 答案：95．(2018·北京高考)若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．解析：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．设z ＝2y －x ，即y ＝12x ＋12z ，作直线l 0：y ＝12x 并向上平移，显然当l 0过点A (1,2)时，z 取得最小值，z min ＝2×2－1＝3.答案：36．(2017·天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟) 广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x＋60y≤600，5x＋5y≥30，x≤2y，x≥0，y≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x＋6y≤60，x＋y≥6，x－2y≤0，x≥0，y≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点．(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z＝60x＋25y.考虑z＝60x＋25y，将它变形为y＝－125x＋z25，这是斜率为－125，随z变化的一族平行直线.z25为直线在y轴上的截距，当z25取得最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图可知，当直线z＝60x＋25y经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6,3)．所以电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． 命题点三 基本不等式1.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：302．(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tanC 的最小值是________．解析：在锐角三角形ABC 中，因为sin A ＝2sin B sin C ， 所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，等号两边同除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .所以tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan (B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝2tan B tan C tan B tan C －1.①因为A ，B ，C 均为锐角，所以tan B tan C －1＞0，所以tan B tan C ＞1. 由①得tan B tan C ＝tan Atan A －2.又由tan B tan C ＞1得tan Atan A －2＞1，所以tan A ＞2.所以tan A tan B tan C ＝tan 2Atan A －2＝tan A －22＋4tan A －2＋4tan A －2＝(tan A －2)＋4tan A －2＋4≥24＋4＝8，当且仅当tan A －2＝4tan A －2，即tan A ＝4时取得等号．故tan A tan B tan C 的最小值为8. 答案：83．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6. ∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6＝2×2－3＝14，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．答案：144．(2017·全国卷Ⅰ改编)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为________．解析：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －1消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，所以|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案：16。
推荐高考数学一轮复习讲练测江苏专题8 不等式选讲测 含解析
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1.设,,,a b m n R ∈，且225,5a b ma nb +=+=，则22m n +的最小值为 【答案】52.不等式521≥++-x x 的解集为 . 【答案】(][),32,-∞-+∞【解析】令()12f x x x =-++，则()21,23,2121,1x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，（1）当2x <-时，由()5f x ≥得215x --≥，解得3x ≤-，此时有3x ≤-； （2）当21x -≤≤时，()3f x =，此时不等式无解；（3）当1x >时，由()5f x ≥得215x +≥，解得2x ≥，此时有2x ≥； 综上所述，不等式521≥++-x x 的解集为(][),32,-∞-+∞.3. 若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________. 【答案】3-【解析】因为等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,所以51,33-为方程23ax -=的根,即5233123 3aa⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a⇒=-4.对任意,x y R∈,111x x y y-++-++的最小值为________．【答案】35. 若不等式2212122++≥++-aaxx对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是____________.【答案】11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()312121|2|3221312x xf x x x x xx x⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=-++=--<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩，其图象如下所示（图中的实线部分）由图可知：()min 1522f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭,由题意得：215222a a ++≤，解这得:11,2a -≤≤ 所以答案应填：11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 6. 已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 . 【答案】12【解析】()222222249(111)(23)a b c a b c ++++≥++，所以2224912a b c ++≥. 7. 在实数范围内，不等式211x --≤的解集为___________. 【答案】[]0,4 【解析】2111211,222,0 4.x x x x --≤∴-≤--≤∴-≤-≤∴≤≤，因此解集为[]0,4.8.已知a, b, m, n 均为正数,且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为 . 【答案】29. 若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是___________. 【答案】24a -≤≤【解析】1|||1|3a x a x -≤-+-≤,解得:24a -≤≤10. 若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤,则实数k =__________ 【答案】2【解析】由2|4|≤-kx 可得62≤≤kx ,所以321≤≤x k ,所以12=k,故2=k . 二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。
江苏省2023届高三数学一轮总复习专题训练：不等式
江苏省2023届高三数学一轮总复习专题训练不等式一、单项选择题1、如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A 、11a b< B 、2ab b < C 、12a a +>- D 、11a b-<-2、下列说法正确的是A ．若a ＞b ，则ac ＞bcB ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdC ．若a ＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d3、已知关于x 的不等式22430(0)x ax a a -+<<的解集为()12x x ，，则1212a x x x x ++的最大值是（ ）A.3B. 3-C.3D.4、已知函数2()|1|f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为A ．∅B ．(10)(01)-，，C ．(11)-，D ．(1)(1+)-∞∞，-，5、已知a ＞b ＋1＞1，则下列不等式一定成立的是A ．|b －a |＞bB ．a ＋1a ＞b ＋1bC ．b ＋1a －1＜ebln a D ．a ＋ln b ＜b ＋ln a6、已知正实数a 、b 满足2a b +=，则41b a+的最小值是（ ） A.72B.92C. 5D. 97、若0<ab ，且0>+b a ，则以下不等式中正确的是（ ） A ．011<+ba B ．b a -> C ．22b a < D ．||||b a > 8、设函数2()ln f x a x bx =+(0,0)a b >>，若函数()f x 的图象在1=x 处的切线与直线02=--e y x 平行，则11a b +的最小值为A ．1B ．12C．3- D．3+9、若0,0>>b a ，且4=+b a 则下列不等式中恒成立的是( )A.822≥+b a B.4≥ab C.822≤+b a D.2≤ab10、圆032222=-+-+y x y x 上存在两点关于直线)0,0(023>>=--b a by ax 对称，那么ba 31+最小值是 A ．5B ．8C ．10D ．1611、已知0,0>>y x ，且112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．2,4-≤≥m m 或B ．4,2-≤≥m m 或C ．42<<-mD ．24<<-m参考答案1、D2、D3、D4、B5、C6、B7、A8、D9、A 10、B 11、D 12、 13、 14、 15、二、多项选择题1、对于实数，下列结论正确的是（ ）.A 若a b >，则ac bc < .B 若22ac bc >，则a b >.C 若0a b <<，则||||a b >.D 若0c a b >>>，则11c a c b>-- 2、下列函数中最小值为6的是( ) A ．9y lnx lnx=+B ．36|sin |2|sin |y x x =+C ．233xxy -=+ D．2y =3、若2log 31a =-，823b =，则下列结论正确的是( )A ．2a b +=B ．1a b -<-C ．112a b+> D ．1ab >,,a b c4、已知,R x y ∈，0,0x y >>，且21x y +=．则下列选项正确的是（ ）A．11x y+的最小值为B ．22x y +的最小值为15C ．2221x y x y ->+D ．1244x y ++≥5、对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式 a (x －a )(x ＋1) ＞0 的解集可能为 A 、∅ B 、（－1，0） C 、（a ，－1） D （－∞，－1）∪（a ，＋∞）参考答案1、BCD2、BC3、AC4、BD5、ACD三、填空题1、若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值为______2、若的最小值为 3、已知实数,x y 满足22log 2xy -=，则21x y+的最小值为 . 4、不等式x x 211+>+的解集为 ． 5、已知,(0,)x y ∈+∞，312()2x y -=，则14x y +的最小值为 .6、已知实数a ＞0，b ＞08a 与2b 的等比中项，则12a b+的最小值是________． 7、已知正数x ，y 满足2x ＋y ＝1，则(x ＋1)(y ＋2)xy的最小值是________．8、若关于x 的不等式2x ＞m （x 2+6）的解集为{x |x ＜﹣3或x ＞﹣2}，则不等式5mx 2+x +3＞0的解集是_____9、若2kx ＜x 2+4对于一切的x ＞0恒成立，则k 的取值范围是_____10、已知关于x 的函数)(12)(2R a ax x x f ∈+-=.（I ）当3=a 时，不等式0)(≥x f 的解集是_____（II ）若0)(≥x f 对任意的),0(+∞∈x 恒成立，实数a 的最大值是_____ 参考答案1、42、54 34、(1)-+∞，5、36、625+7、258、原不等式等价于，所以的解集为则，， 所以等价于，即，所以， 所以不等式的解集为9、因为，由，得， 当且仅当时取等号. 24k ∴<,10、解：（I ）时，2()2310f x x x =-+=，得：x ＝1或x ＝12所以，不等式的解集为：｛x ｜x ≤12或x ≥1｝。
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江苏省2014届一轮复习数学试题选编34：不等式选讲一、解答题 1 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）D.[选修4-5:不等式选讲]已知,,a b c 为正数,且满足22cos sin a b c θθ+<,求证:22cos sin a b c θθ+<.【答案】D.由柯西不等式,得 22cos sin a b θθ+11222222[(cos )(sin )](cos sin )a b θθθθ++≤ 1222(cos sin )a b c θθ=+<2 ．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）选修4—5:不等式选讲已知a ,b 都是正实数,且a +b =2,求证:a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1.【答案】选修4—5:不等式选讲证明:方法一:左边-右边=a 2a ＋1+b 2b ＋1-1=a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)=a 2b ＋ab 2＋a 2＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)因边a +b =2,所以左边-右边=1－ab(a ＋1)(b ＋1)因为a ,b 都是正实数,所以ab ≤(a ＋b )24=1所以,左边-右边≥0,即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥1方法二:由柯西不等式,得 (a 2a ＋1+b 2b ＋1)[(a ＋1)2+(b ＋1)2]≥(a +b )2因为a +b =2,所以上式即为(a 2a ＋1+b 2b ＋1)×4≥4.即a 2a ＋1+b 2b ＋1≥13 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知|x+1|+|x-l|<4的解集为M,若a,b∈M,证明:2|a+b |<|4+ab|.【答案】4 ．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,c 都是正数,且236a b c ++=,求12131a b c +++++的最大值.【答案】5 ．（江苏省南通市、泰州市、扬州市、宿迁市2013届高三第二次调研（3月）测试数学试题）设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．【答案】【解】因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ++++++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． ………………………………………8分即1111323232a b c +++++≥，故111323232a b c +++++的最小值为1．………10分 6 ．（2011年高考（江苏卷））解不等式:|21| 3.x x +-<【答案】【命题立意】本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识,考查分类谈论、运算求解能力.【解析】原不等式可化为210(21)3x x x -≥⎧⎨+-<⎩;或210(21)3x x x -<⎧⎨--<⎩,解得1412232x x ≤<<<或-.所以原不等式的解集是4{|2}3x x -<<. 7 ．（江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题（数学）WORD 版）D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab≥4.【答案】D.选修4—5:不等式选讲已知a ,b 是正数,求证:a 2+4b 2+1—ab ≥4.证明:因为a ,b 是正数,所以a 2+4b 2≥4ab所以a 2+4b 2+1—ab ≥4ab +1—ab ≥24ab ×1—ab=4.即a 2+4b 2+1—ab≥48 ．（2012年江苏理）已知实数x,y 满足:11|||2|36x y x y +<-<，，求证:5||18y <. 【答案】证明:∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-,由题设11|||2|36x y x y +<-<，，∴1153||=366y <+.∴5||18y <. 9 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知0,0,a b >>且21a b +=,求224S a b =--的最大值.【答案】解:0,0,21,a b a b >>+=∴2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-,且12a b =+≥,≤,18ab ≤,∴224S a b =--(14)ab =--41ab =-≤,当且仅当11,42a b ==时,等号成立10．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）选修4-5:不等式选讲设正数a ,b ,c 满足1a b c ++=,求111323232a b c +++++的最小值.【答案】【解】因为a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=,所以(32)(32)(32)9a b c +++++=.于是()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥,当且仅当13a b c ===时,等号成立即1111323232a b c +++++≥,故111323232a b c +++++的最小值为1 11．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）[选修4—5 :不等式选讲]已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【答案】由柯西不等式,2222222()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤,因为2x y z =++,所以222242311x y z ++≥, 当且仅当23123x y z ==,即6412,,111111x y z ===时,等号成立, 所以22223x y z ++的最小值为241112．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）(选修4—5:不等式选讲)已知a ,b ,x ,y 都是正数,且1a b +=,求证:()()ax by bx ay xy ++≥.【答案】13．（2013江苏高考数学）D.[选修4-5:不定式选讲]本小题满分10分.已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥-【答案】本题主要考察利用比较法证明不等式,考察推理论证能力.证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a())(22222b a b b a a ---())2)()(()2(22b a b a b a b a b a --+=--=又∵b a ≥>0,∴b a +>0,0≥-b a 02≥-b a , ∴0)2)()((≥--+b a b a b a ∴0222233≥---b a ab b a ∴b a ab b a 223322-≥-14．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）(选修4—5:不等式选讲)设函数()12f x x x a =++-+.(1)当5a =-时,求函数()f x 的定义域;(2)若函数()f x 的定义域为R,试求a 的取值范围.【答案】解:(1)由题设知:1250x x ++--≥,如图,在同一坐标系中作出函数12y x x =++-y=5y=x+1+x-2O yx 4321-3-2-15321和5y =的图象(如图所示), 知定义域为(][),23,-∞-+∞(2)由题设知,当x R ∈时,恒有120x x a ++-+≥,即12x x a ++-≥- 由(1)123x x ++-≥,∴ 3,3a a -≤∴≥- [必做题]15．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）D.选修4—5(不等式选讲)已知实数,,x y z 满足2x y z ++=,求22223x y z ++的最小值;【答案】D.选修4—5(不等式选讲)解:由柯西不等式可知:2222222()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤故222242311x y z ++≥,当且仅当2311123x y z==,即:6412,,111111x y z ===22223x y z ++取得最小值为241116．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）【答案】D.解:∵(x +2y +2z )2(12+22+22)(x 2+y 2+z 2)=9,当且仅当x 1=y 2=z2时取等号,|a -1|3,解得a4,或a-217．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）(不等式选讲)已知函数()|3|||f x x x a =++-(0a >).(Ⅰ)当4a =时,已知()7f x =,求x 的取值范围;(Ⅱ)若()6f x ≥的解集为{|4x x ≤-或2}x ≥,求a 的值.【答案】18．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）选修4—5:不等式选讲解不等式x |x -4|-3<0.【答案】选修4—5:不等式选讲解 原不等式等价于 ⎩⎨⎧x ≥4，x 2－4x －3＜0，或⎩⎨⎧x ＜4，－x 2＋4x －3＜0．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，2－ 7＜x ＜2＋ 7，或⎩⎨⎧x ＜4，x ＜1或x ＞3． 即4≤x <2+7或3<x <4或x <1.综上,原不等式的解集为{x | x <1或3<x <2+7}19．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）选修4-5:不等式选讲已知,,x y z ∈R ,且234x y z --=,求222x y z ++的最小值.【答案】由柯西不等式,得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤,即2222(23)14()x y z x y z --++≤, 即2221614()x y z ++≤.所以22287x y z ++≥,即222x y z ++的最小值为8720．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）(选修4-5:不等式选讲)若⎪⎭⎫⎝⎛-∈32,21x ,证明2332321<-++++x x x 【答案】证明:由柯西不等式可得()()()()()2181232311112131231x x x x x x =++++-++≥+⋅++⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦7分 又12,23x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以1232332x x x ++++-< 21．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）(选修4—5:不等式选讲)已知常数a 满足11a -<<,解关于x 的不等式:11ax x ++≤.【答案】22．（2009高考(江苏)）设a ≥b ＞0,求证：3332a b +≥2232a b ab +.【答案】[解析] 本小题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。