湖南省娄底市湘中名校_学年高一数学上学期期末考试试题【含答案】
湖南省高一上学期期末数学试题(解析版)
【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】特称命题的否定是全称命题，
因此原命题的否定是： x R, x2 2x 2 0 ．
故选：D．
3. 如果函数 y f (x) 在[a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“ f (a) f (b) 0 ”是“函数 y f (x) 在
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
6. 已知函数 f x 4x 2x1 4 ， x 1,1 ，则函数 y f x 的值域为（ ）．
A. 3,
B. 3, 4
C.
3,
13 4
D.
13 4
,
4
【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
则 m p ，故有 m p n ．
故选：B
D. p n m
【点睛】关键点点睛：本题的关键是换底公式的应用，关键是利用换底公式，变形，比较大小.
8.
设a, b
R ，定义运算 a b
a, a b, a
b b
，则函数
f (x) sin x cos x 的最小值为（
）
A. 1
B. 2 2
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.
4. 半径为 1，圆心角为 2 弧度的扇形的面积是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果
【详解】半径为 1，圆心角为 2 弧度的扇形的面积是 S 1 lr 1 r2 1 12 2 1（其中 l 为扇形所对
湖南省娄底市湘中名校高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
2015-2016学年湖南省娄底市湘中名校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如果U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N={x|4＜x≤6}，那么（∁U M）∩N等于（）A．∅B．{5}C．{1，3}D．{4，5}2．已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：2x﹣5y=0，且l1⊥l2，则满足条件a的值为（）A．B．﹣C．﹣5 D．53．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A．B．C．D．4．过点（1，2），且倾斜角为60°的直线方程是（）A．y+2=（x+1）B．y﹣2=﹣（x﹣1）C．y﹣2=（x﹣1） D．y+2=﹣（x+1）5．直线5x﹣12y+8=0与圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断6．已知a=log5，b=（）0.3，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c7．函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．28．已知x0是函数f（x）=﹣2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＞0 D．f（x1）＞0，f（x2）＜09．如图长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=6，AD=D′D=5，二面角D′﹣AB﹣D的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．函数y=log（1﹣3x）的值域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）11．一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其侧面积为12，则a是（）A．B．C．2 D．12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞）都有＜0（x1≠x2），若实数a满足f（log3a﹣1）+2f（log a）≥3f（1），则a的取值范围是（）A．[，3]B．[1，3]C．（0，）D．（0，3]二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡中横线上13．两平行直线4x+3y﹣5=0与4x+3y=0的距离是．14．lg+2lg2﹣2=．15．已知正方形ABCD的顶点都在半径为的球O的球面上，且AB=，则棱锥O﹣ABCD 的体积为．16．已知函数f（x）=9﹣2|x|，g（x）=x2+1，构造函数F（x）=，那么函数y=F（x）的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知集合A={x|﹣4≤x≤9}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，若A∪B=A，求m的取值范围．18．已知定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）=2x，求当x＜0时，函数g（x）的解析式．19．已知直线l1和l2在y轴上的截距相等，且它们的斜率互为相反数．若直线l1过点P（1，3），且点Q（2，2）到直线l2的距离为，求直线l1和直线l2的一般式方程．20．圆C过点A（6，4），B（1，﹣1），且圆心在直线l：x﹣5y+7=0上．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（7，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=BB1=1，B1C=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．22．已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）（1）当m=1时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈（1，+∞），不等式f（log2x）＞0恒成立，求m的取值范围．（3）讨论f（x）零点的个数．2015-2016学年湖南省娄底市湘中名校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．如果U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N={x|4＜x≤6}，那么（∁U M）∩N等于（）A．∅B．{5}C．{1，3}D．{4，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U，以及M，求出M的补集，找出N与M补集的交集即可．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N={x|4＜x≤6}，∴∁U M={4，5}，则N∩（∁U M）={5}．故选：B．2．已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：2x﹣5y=0，且l1⊥l2，则满足条件a的值为（）A．B．﹣C．﹣5 D．5【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】当两条直线垂直时，A1A2+B1B2=0，解方程求出a的值．【解答】解：由题意得：2﹣10a=0，解得a=，故选：A．3．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】根据函数的定义进行判断即可．【解答】解：A．中每一个x都唯一对应一个函数y，是函数关系．B．中每一个x都唯一对应一个函数y，是函数关系．C．中每一个x都唯一对应一个函数y，是函数关系．D．中存在部分x都，有另个y与x对应，不满足函数的对应的唯一性，不是函数关系．故选：D．4．过点（1，2），且倾斜角为60°的直线方程是（）A．y+2=（x+1）B．y﹣2=﹣（x﹣1）C．y﹣2=（x﹣1） D．y+2=﹣（x+1）【考点】直线的点斜式方程．【分析】利用点斜式即可得出．【解答】解：过点（1，2），且倾斜角为60°的直线方程是y﹣2=tan60°（x﹣1），化为y﹣2=（x﹣1），故选：C．5．直线5x﹣12y+8=0与圆x2+y2﹣2x=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心到直线的距离d，与圆的半径r比较大小即可判断出直线与圆的位置关系，即可得到正确答案．【解答】解：由圆的方程x2+y2﹣2x=0得到圆心坐标（1，0），半径r=1则圆心（1，0）到直线5x﹣12y+8=0的距离d==1=r，所以直线与圆的位置关系是相切．故选：C．6．已知a=log5，b=（）0.3，c=2，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log5＜=﹣2，0＜b=（）0.3＜=1，c=2＞20=1，∴a＜b＜c．故选：A．7．函数f（x）满足f（x）=，则f（3）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】利用分段函数性质求解．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（1）=f（﹣1）=log24=2．故选：D．8．已知x0是函数f（x）=﹣2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＞0 D．f（x1）＞0，f（x2）＜0【考点】函数零点的判定定理．【分析】因为x0是函数f（x）=﹣2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=﹣2x+的一个零点，∴f（x0）=0∵f（x）=﹣2x+是单调递减函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x2）＜f（x0）=0＜f（x1）故选D．9．如图长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=6，AD=D′D=5，二面角D′﹣AB﹣D的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由AB⊥平面ADD′A′，得AD′⊥AB，AD⊥AB，从而∠D′AD是二面角D′﹣AB﹣D的平面角，由此能求出二面角D′﹣AB﹣D的大小．【解答】解：长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB⊥平面ADD′A′，∴AD′⊥AB，AD⊥AB，∴∠D′AD是二面角D′﹣AB﹣D的平面角，∵AB=6，AD=D′D=5，AD⊥DD′，∴∠D′AD=45°．∴二面角D′﹣AB﹣D的大小是45°．故选：B．10．函数y=log（1﹣3x）的值域为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【考点】函数的值域．【分析】由对数函数和复合函数的值域，结合对数函数的图象可得．【解答】解：∵3x＞0，结合对数有意义可得0＜1﹣3x＜1，∴log（1﹣3x）＞0，故函数的值域为（0，+∞）故选：C．11．一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等边三角形，若其侧面积为12，则a是（）A．B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，根据柱体侧面积公式，构造关于a的方程，解得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，其底面是高为的等边三角形，故底面边长为4，故三棱柱的侧面积S=3×4×a=12，解得：a=，故选：B12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞）都有＜0（x1≠x2），若实数a满足f（log3a﹣1）+2f（log a）≥3f（1），则a的取值范围是（）A．[，3]B．[1，3]C．（0，）D．（0，3]【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．【分析】由＜0判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞）都有＜0（x1≠x2），∴此时函数为减函数，则f（log3a﹣1）+2f（log a）≥3f（1），等价为f（﹣log3a）+2f（﹣log3a）≥3f（1），即3f（log3a）≥3f（1），则f（log3a）≥f（1），即f（|log3a|）≥f（1），即|log3a|≤1，则﹣1≤log3a≤1，即≤a≤3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡中横线上13．两平行直线4x+3y﹣5=0与4x+3y=0的距离是1．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：两平行直线4x+3y﹣5=0与4x+3y=0的距离是：=1．故答案为：1．14．lg+2lg2﹣2=．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：lg+2lg2﹣2=lg5﹣lg2+2lg2﹣=lg10﹣=．故答案为：．15．已知正方形ABCD的顶点都在半径为的球O的球面上，且AB=，则棱锥O﹣ABCD 的体积为4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】作出图形，利用球的性质和勾股定理计算出球心O到平面ABCD的距离，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：设正方形ABCD的中心为M，则M为AC的中点．连结OA，OC，则OA=OC=，∴OM⊥AC，∵AB=，∴AC=．∴AM=．∴OM==2．∴V===4．故答案为4．16．已知函数f（x）=9﹣2|x|，g（x）=x2+1，构造函数F（x）=，那么函数y=F（x）的最大值为5．【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】由g（x）﹣f（x）=x2﹣8+2|x|≥0得|x|≥2，从而可得F（x）=，即可求出函数y=F（x）的最大值．【解答】解：由g（x）﹣f（x）=x2﹣8+2|x|≥0得|x|≥2；故F（x）=，故|x|=2时，有最大值5．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知集合A={x|﹣4≤x≤9}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，若A∪B=A，求m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分B为空集及不为空集两种情况，分别列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．【解答】解：当B=∅时，m+1≥2m﹣1，解得：m≤2 …3分当B≠∅，若A∪B=A，∴﹣4≤m+1＜2m﹣1≤9，转化为不等式组，解得：2＜m≤5…7分∴m的取值范围是{m≤5}…8分．18．已知定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）=2x，求当x＜0时，函数g（x）的解析式．【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断．【分析】（1）结合题意由函数奇偶性的定义可得；（2）可得x＞0时g（x）=2x﹣x3，当x＜0时，﹣x＞0，整体代入由函数的奇偶性可得．【解答】解：（1）∵定义在R上的函数g（x）=f（x）﹣x3，且g（x）为奇函数，∴f（x）=g（x）+x3，故f（﹣x）=g（﹣x）+（﹣x）3=﹣g（x）﹣x3=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数；（2）∵x＞0时，f（x）=2x，∴g（x）=2x﹣x3，当x＜0时，﹣x＞0，故g（﹣x）=2﹣x﹣（﹣x）3，由奇函数可得g（x）=﹣g（﹣x）=﹣2﹣x﹣x3．19．已知直线l1和l2在y轴上的截距相等，且它们的斜率互为相反数．若直线l1过点P（1，3），且点Q（2，2）到直线l2的距离为，求直线l1和直线l2的一般式方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设直线l1：y=kx+b，直线l2：y=﹣kx+b，利用l1过P（1，3）点且Q（2，2）到l2的距离为，求出k，b，即可求直线l1和直线l2的一般式方程．【解答】解：设直线l1：y=kx+b，直线l2：y=﹣kx+b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分∵l1过P（1，3）点且Q（2，2）到l2的距离为，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分解之得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分故l1：2x﹣y+1=0，l2：2x+y﹣1=0；或l1：x+2y﹣7=0，l2：x﹣2y+7=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分．20．圆C过点A（6，4），B（1，﹣1），且圆心在直线l：x﹣5y+7=0上．（1）求圆C的方程；（2）P为圆C上的任意一点，定点Q（7，0），求线段PQ中点M的轨迹方程．【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，代入坐标，可得圆心与半径，即可求圆C的方程；（2）利用代入法，求线段PQ中点M的轨迹方程．【解答】解：（1）设所求圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．由题意得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分解得a=3，b=2，r=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分所以所求圆的方程是（x﹣3）2+（y﹣2）2=13．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分（2）设线段PQ的中点M（x，y），P（x0，y0）M为线段PQ的中点，则x0=2x﹣8，y0=2y，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣P（2x﹣8，2y）代入圆C中得（2x﹣7﹣3）2+（2y﹣2）2=13﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣9分即线段PQ中点M的轨迹方程为（x﹣5）2+（y﹣1）2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=BB1=1，B1C=2．（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据直三棱柱的定义便可得到AC⊥B1B，再根据条件AC⊥AB便可得出AC ⊥平面ABB1A1，从而由面面垂直的判定定理即可得出平面B1AC⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）可连接A1B，设交AB1于M，可得到A1M⊥AB1，从而由面面垂直的性质定理得到A1M⊥平面B1AC，这样∠A1CM便是直线A1C与平面B1AC所成的角，根据条件便可求出A1M和A1C的长，由即可得出直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．【解答】解：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC；∴B1B⊥AC；又AB⊥AC，B1B∩BA=B；∴AC⊥平面ABB1A1，AC⊂平面B1AC；∴平面B1AC⊥平面ABB1A1；（II）如图，连接A1B交AB1于M，连接CM；∵AB=BB1；∴A1B1=AA1；∴A1M⊥AB1；∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A；∴A1M⊥平面B1AC；∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角；∵AB=BB1=1，B1C=2；∴BC=，AC=；∴；∴；∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为．22．已知函数f（x）=|x|+﹣1（x≠0）（1）当m=1时，判断f（x）在（﹣∞，0）的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈（1，+∞），不等式f（log2x）＞0恒成立，求m的取值范围．（3）讨论f（x）零点的个数．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理．【分析】（1）f（x）在（﹣∞，0）上为减函数．运用函数的单调性的定义加以证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（2）利用不等式恒成立，进行转化求解即可，（3）利用函数与方程的关系进行转化，利用参数分离法结合数形结合进行讨论即可．【解答】解：（1）由当m=1，且x＜0时，f（x）=﹣x+﹣1是单调递减的．证明：设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=﹣x1+﹣1﹣（﹣x2+﹣1）=x2﹣x1+﹣=（x2﹣x1）﹣=（x2﹣x1）（1+），∵x1＜x2＜0，则x2﹣x1＞0，x1x2＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＞0，f（x1）＞f（x2）则f（x））在（﹣∞，0）上为减函数；（2）由f（log2x）＞0得|log2x|+﹣1＞0，当x∈（1，+∞），log2x＞0，则不等式变形为（log2x）2﹣log2x+m＞0，即m＞﹣（log2x）2+log2x，而g（x）=﹣（log2x）2+log2x=﹣（log2x﹣）2+，当log2x=，即x=时，g（x）取得最大值，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分∴m＞．（3）由f（x）=0可得x|x|﹣x+m=0，变为m=﹣x|x|+x，x≠0令h（x）=x﹣x|x|=﹣﹣﹣﹣﹣9分作出函数h（x）的图象及直线y=m，由图象可得：当m＞或m＜﹣时，f（x）有1个零点．﹣﹣﹣﹣﹣10分当m=或m=0或m=﹣时，f（x）有2个零点；﹣﹣﹣﹣﹣11分当0＜m＜或﹣＜m＜0时，f（x）有3个零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分．2016年8月1日。
2014-2015学年湖南省娄底市湘中名校高一(上)期末数学试卷含答案
2014-2015学年湖南省娄底市湘中名校高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4.00分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x≤2}2．（4.00分）下列四组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的一组是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=x，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=1，g（x）=x03．（4.00分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+14．（4.00分）三角形ABC的底边BC=2，底边上的高AD=2，取底边为x轴，则直观图A′B′C′的面积为（）A．B．C．2 D．45．（4.00分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（2，3） D．（1，2）6．（4.00分）已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）A．1 B．3 C．4 D．不确定7．（4.00分）直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件（）A．C=0，AB＜0 B．AC＜0，BC＜0 C．A，B，C同号D．A=0，BC＜0 8．（4.00分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．9．（4.00分）如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（）A．n≤2？B．n≤3？C．n≤4？D．n≤5？10．（4.00分）设函数f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．[，2）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（4.00分）lg﹣lg25+log2（log216）=．12．（4.00分）4830与3289的最大公约数是．13．（4.00分）若圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为．14．（4.00分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为．15．（4.00分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．则：（1）f（1）=；（2）不等式f（log2x）＜0的解集是．三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（8.00分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．17．（8.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：（1）平面A1BD∥平面CB1D1；（2）M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．18．（10.00分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且（1）求实数m，n的值（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．19．（10.00分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？20．（12.00分）已知圆Cx2+y2+2x﹣4y+3=0（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．21．（12.00分）已知函数f（x）=log a（x﹣a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设函数h（x）=a x+1，函数F（x）=[h（x）+2]2的图象恒在函数G（x）=h （2x）+m+2的上方，求实数m的取值范围．2014-2015学年湖南省娄底市湘中名校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4.00分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．{x|2＜x＜3}D．{x|1＜x≤2}【解答】解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则∁R A={x|x≤2}，∴（∁R A）∩B={x|x≤2}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x≤2}．故选：D．2．（4.00分）下列四组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的一组是（）A．f（x）=|x|，g（x）=B．f（x）=x，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=1，g（x）=x0【解答】解：对于A，f（x）=|x|（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于B，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≥）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）==x+1（x≠1），与g（x）=x+1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数．故选：A．3．（4.00分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+1【解答】解：A中，y=为奇函数，故排除A；B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，所以y=lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故选：D．4．（4.00分）三角形ABC的底边BC=2，底边上的高AD=2，取底边为x轴，则直观图A′B′C′的面积为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：三角形ABC的底边BC=2，底边上的高AD=2，所以平面图形的面积：=2，取底边为x轴，则直观图A′B′C′的面积为：=．故选：A．5．（4.00分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（2，3） D．（1，2）【解答】解：函数f（x）=log2x﹣在其定义域上连续，f（）=﹣1﹣2＜0，f（1）=0﹣1＜0，f（2）=1﹣＞0；故f（1）f（2）＜0；故选：D．6．（4.00分）已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）A．1 B．3 C．4 D．不确定【解答】解：∵三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，∴k AB=k AC，∴，解得a=3．故选：B．7．（4.00分）直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件（）A．C=0，AB＜0 B．AC＜0，BC＜0 C．A，B，C同号D．A=0，BC＜0【解答】解：由Ax+By+C=0，得，∵直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，∴，则A，B，C同号．故选：C．8．（4.00分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）A．1 B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB 为边长是2的正三角形，O为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．∴该几何体的体积V==．故选：D．9．（4.00分）如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（）A．n≤2？B．n≤3？C．n≤4？D．n≤5？【解答】解：第一次循环：S=0+2=2，n=1+1=2，继续循环；第二次循环：S=2+22=6，n=2+1=3，继续循环；第三次循环：S=6+23=14，n=3+1=4，继续循环；第四次循环：S=14+24=30，n=4+1=5，停止循环，输出S=30．故选：C．10．（4.00分）设函数f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，2）C．（0，2） D．[，2）【解答】解：f（x）是R上的单调递减函数；∴a应满足；解得a；∴实数a的取值范围为（﹣∞，]．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（4.00分）lg﹣lg25+log2（log216）=0．【解答】解：lg﹣lg25+log2（log216）==﹣2lg2﹣2lg5+log24=﹣2（lg2+lg5）+2=0．故答案为：0．12．（4.00分）4830与3289的最大公约数是23．【解答】解：4830=3289×1+1541，3289=1541×2+207，1541=207×7+92，207=92×2+23，92=23×4，∴4830与3289的最大公约数是23．故答案为：23．13．（4.00分）若圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为2．【解答】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π故r2=1解得r=1，所以直径为：2．故答案为：2．14．（4.00分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为2．【解答】解：圆的标准方程为x2+（y+1）2=4，圆心C坐标为（0，﹣1），半径R=2，∵直线l过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直，∴直线l的斜率k=﹣1，对应的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0，原点O到直线的距离d=，圆心C到直线的距离d=，则AB=，则△OAB的面积为，故答案为：2．15．（4.00分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．则：（1）f（1）=0；（2）不等式f（log2x）＜0的解集是（1，2）．【解答】解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；（2）∵f（1）=0，∴f（log2x）＜0⇔f（log2x）＜f（1），又函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴0＜log2x＜1，解得：x∈（1，2）．故答案为：（1）0；（2）（1，2）．三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（8.00分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由2x＜8，得2x＜23，x＜3．（3分）解不等式x2﹣2x﹣8＜0，得（x﹣4）（x+2）＜0，所以﹣2＜x＜4．（6分）所以A={x|x＜3}，B={x|﹣2＜x＜4}，所以A∩B={x|﹣2＜x＜3}．（9分）（Ⅱ）因为C⊆B，所以（11分）解得﹣2≤a≤3．所以，实数a的取值范围是[﹣2，3]．（13分）17．（8.00分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：（1）平面A1BD∥平面CB1D1；（2）M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．【解答】（1）证明：连接B1C和D1C，∵A1D∥B1C，A1B∥D1C，A1D∩A1B=A1，A1D⊂平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，B1C⊂平面CB1D1，D1C⊂平面CB1D1，∴平面A1BD∥平面CB1D1．（2）解：因为几何体为正方体，连接AD1，D1C，所以∠CAD1为异面直线所成的角，又△CAD1为等边三角形，所以异面直线AC和MN所成的角60°18．（10.00分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且（1）求实数m，n的值（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【解答】解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，∴n=0，∵，∴m=1（2）由（1）得，设﹣1＜x 1＜x2＜1，则=∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（﹣1，1）上为增函数．（3）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴由f（t﹣1）+f（t）＜0，得：f（t）＜﹣f（t﹣1）=f（1﹣t）又∵f（x）在（﹣1，1）上为增函数∴，解得．19．（10.00分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？【解答】解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润f（x）=；（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．20．（12.00分）已知圆Cx2+y2+2x﹣4y+3=0（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为x+y+c=0…1分圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0圆心C（﹣1，2）半径为，圆心到切线的距离等于圆半径：，…3分解得c=1或c=﹣3…4分∴l或δ=1…5分所求切线方程为：x+y+1=0或x+y﹣3=0…6分（2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为（0，1），（0，3），线段长为2，符合故直线x=0…8分当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx，即kx﹣y=0由已知得，圆心到直线的距离为1，…9分则，…11分直线方程为综上，直线方程为x=0，…12分．21．（12.00分）已知函数f（x）=log a（x﹣a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设函数h（x）=a x+1，函数F（x）=[h（x）+2]2的图象恒在函数G（x）=h （2x）+m+2的上方，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=log a（x﹣a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．∴f（3）=log a（3﹣a）+1=1，即log a（3﹣a）=0，解得3﹣a=1，解得a=2；（Ⅱ）∵函数F（x）=[h（x）+2]2的图象恒在函数G（x）=h（2x）+m+2的上方∴F（x）＞G（x）恒成立，即[h（x）+2]2＞h（2x）+m+2，即（2x+3）2＞22x+1+m+2，整理得m＜（2x）2+2•2x+6，设H（x）=（2x）2+2•2x+6，令t=2x，则t＞0，则H（t）=t2+2t+6=（t+1）2+5，∵t＞0，∴H（t）＞H（0）=6∴m≤6．。
2023-2024学年湖南省娄底市部分中学高一上册期末考试数学试卷(含解析)
2023-2024学年湖南省娄底市部分中学高一上册期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}2024,40A x x B x x x =∈<-<=∈-<Z N ，则A B = （）A ．{1,0,1,2,3}-B ．{1,1,2,3}-C ．{2,1,0,1,2,3}--D ．{0,1,2,3}2．函数3()26f x x x =+-零点所在的区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．若幂函数()f x 的图象关于y 轴对称，且与x 轴无公共点，则()f x 的解析式可能为（）A ．2()f x x=B ．()f x x =C ．1()f x x -=D ．2()f x x-=4．“(0,)απ∈”是“sin 0α>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．先将函数()sin 4f x x =的图象向右平移12π个单位长度，再把所得函数图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A ．2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．11sin 226x π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．12sin 23x π⎛⎫-⎪⎝⎭6．若非零实数a ，b 满足18a b+=ab 的最小值为（）A ．B ．C ．4D ．27．若355log 5,,2sin 33a b c ===，则（）A ．b a c<<B ．a c b <<C ．c b a<<D ．a b c<<8．如图，假定P ，Q 两点以相同的初速度（单位：单位/秒），分别同时从A ，C 出发，点Q 沿射线CD 做匀速运动，CQ x =，点P 沿线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()PB y =，那么定义x 为y 的纳皮尔对数，函数表达式为7710110xy e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则P 从靠近A 的第一个五等分点移动到靠近B 的三等分点经过的时间约为（）（参考数据：ln 20.7,ln 3 1.1,ln5 1.6≈≈≈）A ．0.7秒B ．0.9秒C ．1.1秒D ．1.3秒二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题为真命题的是（）A ．“4,0x x ∃∈<Z ”是存在量词命题B ．2,90x x ∀∈≥R C ．2,3410x x x ∃∈-+<N D ．“全等三角形面积相等”是全称量词命题10．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉佩丁冬”．玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品．现有一玉佩如图1所示，其平面图形可以看成扇形的一部分（如图2），已知,2224AD BC AD AB CD BC ====∥，则（）A ．23ABC π∠=B ．弧AD 的长为23πC ．该平面图形的周长为463π+D ．该平面图形的面积为83π11．若函数()2()log 412xf x x =+-，则（）A ．()0f x >B ．()()2f x f x x =--C ．()f x 在[0,)+∞上是增函数D ．()f x x +为偶函数12．已知x ，y 满足223444x xy y -+=，则（）A ．x ≤≤B ．22y ≤≤C ．221)4x y --≥-D ．221)4x y --≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．与角560-︒终边相同的最小正角为__________（用弧度数表示）．14．已知()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =__________．15．写出满足tan 3tan 5παα⎛⎫=--⎪⎝⎭的α的一个值：__________．16．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x +为偶函数，(2)1f x +-为奇函数，且(0)1,(1)2f f ==，则(1)(2)(2022)f f f +++= __________．四、解答：本意共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）20.501)316π-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭；（2）2ln3427elog 9log 8lg4lg25-⋅++．18．（12分）已知1cos sin 36παα+⎛⎫-=⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求2sin 2sin(2)2πααπ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭的值．19．（12分）已知函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为23π．（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求不等式()0f x ≥在24,99ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的解集．20．（12分）已知函数()23()log 23f x x ax a =-+．（1）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；（2）若()f x 的值域为R ，求a 的取值范围；（3）若()f x 在[1,2]上单调，求a 的取值范围．21．（12分）已知函数2()cos 222x x x f x =-+，且()5f α=．（1）求sin a 的值；（2）者α为钝角，β为锐角，且123f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 12παβ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值．22．（12分）如果函数()f x 存在零点α，函数()g x 存在零点β，且||n αβ-<，则称()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”．（1）证明：函数1e1xy -=-与23log 2y x =+互为“1度零点函数”．（2）若函数2241,1,()log (2),1a x x a x f x ax a x ⎧+++<-=⎨+≥-⎩（14a >，且1a ≠）与函数ln(2)y x =-互为“2度零点函数”，且函数()|()||2|g x f x x =--有三个零点，求a 的取值范围．数学答案1．B因为{}{}240{1,2,3},024{1}B x x x A x x =∈-<==∈<-<=-N Z ，所以{1,1,2,3}A B =- ．2．B由题意得()f x 的图象是一条连续不断的曲线，()f x 是增函数．因为(1)30,(2)60f f =-<=>，所以()f x 零点所在的区间是(1,2)．3．D2()f x x -=的图象关于y 轴对称，且与x 轴无公共点．4．A 由(0,)απ∈，得sin 0α>，但由sin 0α>，得22()k k k παππ<<+∈Z ，不能推出(0,)απ∈，所以“(0,)απ∈”是“sin 0α>”的充分不必要条件．5．C()f x 的图象向右平移12π个单位长度，可得sin 4sin 4123y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；再将sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的2倍，可得2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．6．C因为非零实数a ，b 满足}18a b +=,0a b >≥，解得4ab ≥，当且仅当18a b =，即,2a b ==ab 的最小值为4．7．D因为52233ππ<<，所以5252sin 2sin 333π>=>，又333355log 3log log log 533==>=，所以a b c <<．8．B由题意得P ，Q 两点的初速度为710单位/秒．设P 运动到靠近A 的第一个五等分点时，1CQ x =，则77174110105e 10x⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，得71510ln 4x =．设P 运动到靠近B 的三等分点时，2CQ x =，则77271110103e 10x⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，得7210ln3x =．故所求的时间为772177410ln 310ln5ln 32ln 2ln50.91010x x +-==+-≈秒．9．ABD “4,0x x ∃∈<Z ”是存在量词命题，选项A 为真命题．2,90x x ∀∈≥R ，选项B 为真命题．因为由23410x x -+<得113x <<，所以选项C 为假命题。
湖南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}24M x x =≤{}24xN x =<M N ⋂=A ． B ． {}2x x ≤-{}22x x -≤<C ． D ．{}22x x -≤≤{}02x x <<【答案】B【分析】化简集合即得解.M N 、【详解】由题得， {}22,{|2}M x x N x x =-≤≤=<所以. M N ⋂={}22x x -≤<故选：B2．”是“”的（ ） b >2a b >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据不等式性质，结合特殊值，从充分性和必要性进行分析，即可判断和选择.【详解】取，但不满足，故充分性不满足； 4,3a b ==-b >2a b >当，故满足必要性； 20a b >≥b >综上所述，”是“”的必要不充分条件. b >2a b >故选：B.3．函数的定义域为，则的定义域为（ ） ()21y f x =-[]0,1()y f x =A ． B ．C ．D ．[]1,1-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,1[]1,0-【答案】A【分析】由的取值范围求得的范围，即得所求 x 21x -【详解】因为，所以， 01x ≤≤1211-≤-≤x 所以的定义域为 ()y f x =[]1,1-故选：A.4．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）2()||1x f x x =+A ．函数是奇函数B ．函数的值域是()f x ()f x ()1,+∞C ．函数在R 上是增函数D ．方程有实根()f x ()2f x =【答案】D【分析】由函数的奇偶性，单调性等对选项逐一判断【详解】对于A ，，故是偶函数，，不是奇函数，2()()()||1x f x f x x --==-+()f x (1)(1)1f f -==()f x 故A 错误，对于B ，当时，，由对勾函数性质知，0x ≥21()1211x f x x x x ==++-++()()00f x f ≥=而是偶函数，的值域是，故B 错误，()f x ()f x [0,)+∞对于C ，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，0x >21()1211x f x x x x ==++-++()f x (0,)+∞而是偶函数，故在上单调递减，故C 错误，()f x ()f x (,0)-∞对于D ，当时，，即，解得，故D 正确， 0x >()2f x =2220x x --=1x =+故选：D5．已知函数若，则实数的取值范围是（ ）()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()()22f a f a -≥-a A ． B ．C ．D ．[2,1]-1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦(,1]-∞1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】根据分段函数每一段的单调性及端点值判断函数在定义域内的单调性，再利用单调性解抽象不等式即可.【详解】因为，当时单调递减，且，()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩0x ≤()3x f x -=()1f x ≥当时，单调递减，且，0x >3()f x x =-()0f x <所以函数在定义域上单调递减，因为，()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩()22()f a f a -≥-所以，解得，即实数的取值范围为：. 22a a -≤-21a -≤≤a [2,1]-故选：A.6．已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a 的取值范围是22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩y x =（ ） A ．B ．(,1)-∞(,1]-∞-C ．D ．[1,1)-(,1][2,)-∞-+∞ 【答案】B【分析】根据的值域为列不等式，由此求得的取值范围.()f x R a 【详解】依题意，，22(1),1()3,1a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩当时，，1x ≥2()33=≥f x x 函数的值域与函数的值域相同，即为，()f x y x =R 需满足，解得.∴()211310a a a ⎧-⨯+≥⎨->⎩1a ≤-所以实数a 的取值范围是. (,1]-∞-故选：B7．已知函数则下述关系式正确的是（ ）()e 31e 111e ,log ,log ,log ,3e 9xf x a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ． B ． b a c >>b c a >>C ． D ．c a b >>a b c >>【答案】A【分析】根据，为偶函数，在（0，+∞）上单调递减求解. ||()x f x e -=【详解】解：∵，||()x f x e -=∴f （x ）为偶函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，∴.e e 331e 111(log (log 3),(log )(log e),(log )3e 9======a f f b f f c f e (log 9)f ∵， 3e e 0log e 1log 3log 9<<<<∴， b a c >>故选：A.8．已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（ ）0ω>()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭ωA ． B ． C ． D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1339,,2222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 133,,222⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【分析】根据的最值点为，进而根据不等式得到，由()sin f x x ω=ππ+2,k x k ω=∈Z 1132k ωω<+<的取值范围即可求解.ωk ，【详解】当取最值时，．()sin f x x ω=ππ+,2x k k ω=∈Z 即， ππ+2,k x k ω=∈Z 由题知，故． ππ+π2<<π3ωk 1132k ωω<+<即．33,2Z 1,2k k k ωω⎧<+⎪⎪∈⎨⎪>+⎪⎩因为时，；时，； 0,0k ω>=1322ω<<1k =3922ω<<显然当时，，此时在上必有最值点．32ω>2πππ2=π32232T ωω==<()sin f x x ω=π,π3⎛⎫⎪⎝⎭综上，所求．133,,222ω⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选:D ．二、多选题9．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图()π2cos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π6()g x 象，则（ ）A ．的图象关于轴对称B ．的最小正周期是 ()g x y ()g x πC ．的图象关于点对称D ．在上单调递减()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD【分析】根据余弦函数图象的平移变换可得的解析式，结合余弦函数的奇偶性、周期、对称()g x 性以及单调性一一判断各选项，即可得答案. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则()f x π6()g x ,()πππ2cos 22cos 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦该函数不是偶函数，最小正周期为，则A 错误，B 正确. 2ππ2=令，，解得，，当时，， ππ262x k π-=+Z k ∈ππ23k x =+Z k ∈1k =-π6x =-即的图象关于点对称，则C 正确.()g x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭令，，解得，，π2π22ππ6k x k ≤-≤+Z k ∈π7πππ1212k x k +≤≤+Z k ∈当时，即得在上单调递减，则D 正确.0k =()g x π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：BCD.10．下列说法正确的是（ ）A ．若不等式的解集为，则220ax x c ++>{}12x x -<<2a c +=B ．若命题，则的否定为 ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤C ．在中，“”是“”的充要条件ABC A sin cos sin cos A A B B +=+A B =D ．若对恒成立，则实数的取值范围为 2320mx x m ++<[]0,1m ∀∈x ()2,1--【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解法可判断A ；由全称量词命题的否定可判断B ；由充要条件的判断可判断C ；变元转化为一次函数恒成立可判断D【详解】对于A ：不等式的解集为，220ax x c ++>{}12x x -<<则和是方程的两个根，故，1-2220ax x c ++=()()021212a a c a ⎧⎪<⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩解得，所以，故A 正确； 2,4a c =-=2a c +=对于B ：命题， ():0,,1ln p x x x ∞∀∈+->则的否定为，故B 正确；p ()0,,1ln x x x ∃∈+∞-≤对于C ：由可得， sin cos sin cos A A B B +=+2sin cos 2sin cos A A B B ⋅=⋅所以， sin2sin2A B =又， 0<222πA B +<所以或， π2A B +=A B =所以“”不是“”的充要条件，故C 错误；sin cos sin cos A A B B +=+A B =对于D ：令，由对恒成立，()()223f m x m x +=+()0f m <[]0,1m ∀∈则，解得， ()()20301320f x f x x ⎧=<⎪⎨=++<⎪⎩2<<1x --所以实数的取值范围为，故D 正确； x ()2,1--故选：ABD11．下列说法正确的是（ ）A ．如果是第一象限的角，则是第四象限的角 αα-B ．如果，是第一象限的角，且，则 αβαβ<sin sin αβ<C ．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为3ππ23πD ．若圆心角为的扇形的弦长为23π83π【答案】AD【分析】由象限角的概念判断A ；举反例判断B ；由扇形弧长、面积公式计算判断C ，D 作答. 【详解】对于A ，是第一象限的角，即，则α22,Z 2k k k ππαπ<<+Î，22,Z 2k k k ππαπ--<<-Î是第四象限的角，A 正确；α-对于B ，令，，是第一象限的角，且，而，B 不正确； 11,66ππαβ=-=αβαβ<sin sin αβ=对于C ，设扇形所在圆半径为r ，则有，解得，扇形面积，C 不正3r ππ=3r =13322S ππ=⨯⨯=确；对于D ，设圆心角为的扇形所在圆半径为，依题意，，扇形弧长23πr '4r '==2833l r ππ'==，D 正确. 故选：AD12．已知函数，，，有，()()23log 1f x x =-()22g x x x a =-+[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤则实数a 的可能取值是（ ） A ． B ．1 C ．D ．31252【答案】CD【分析】将问题转化为当，时，，然后分别求出两函数的[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12min min f x g x ≤最小值，从而可求出a 的取值范围，进而可得答案【详解】，有等价于当，时，[)12,x ∃∈+∞21,33x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦()()12f x g x ≤[)12,x ∈+∞21,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．()()12min min f x g x ≤当时，令，则，因为在上为增函数，在定义[)2,x ∞∈+21t x =-3log y t =21t x =-[2,)+∞3log y t =域内为增函数，所以函数在上单调递增，所以．()()23log 1f x x =-[2,)+∞()()min 21f x f ==的图象开口向上且对称轴为， ()22g x x x a =-+1x =∴当时，，1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()min 11g x g a ==-∴，解得． 11a ≤-2a ≥故选：CD ．三、填空题13．函数的定义域为___________.3tan 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】先得到使函数有意义的关系式，求解即可. 32,Z 42x k k πππ-≠+∈【详解】若使函数有意义，需满足：， 32,Z 42x k k πππ-≠+∈解得； 5,Z 82k x k ππ≠+∈故答案为： 5|,Z 82k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14．函数的单调递减区间是______.()20.8log 43y x x =-+-【答案】(]1,2【分析】先求得函数的定义域，结合二次函数、对数函数的单调性，利用复合函数单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数，()20.8log 43y x x =-+-令，即，解得，2430x x -+->243(1)(3)0x x x x -+=--<13x <<又由函数的对称为，可得在区间单调递增，在单调递减， 2=+43y x x --2x =(1,2](2,3)又因为函数为定义域上的单调递减函数，0.8log y x =根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数的单调递减区间是.()20.8log 43y x x =-+-(1,2]故答案为：.(1,2]15．已知是第四象限角，且___________.αcos α=()()sin cos cos sin 22πααππαα++-=⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】3-【分析】利用同角三角函数关系可得.sin α=【详解】由题设， sin α==. ()()sin cos cos sin 3sin cos cos sin 22πααααππαααα++--===-+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：3-16．命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充要条件是[]1,1m ∈-[]0,3x ∈2210x x am ---=______.【答案】11a -<<【分析】方程变形为，转化为函数与与有且仅有一个交点，依221x x am -=+22y x x =-1y am =+据，，分类讨论，数形结合，求解a 的范围即可 0a =0a >a<0【详解】由得：；2210x x am ---=221x x am -=+当时，，则，解得：∵，，满足题意； 0a =11am +=221x x -=1x =[]10,3[]10,3当时，；若存在唯一的，使得成立，则0a >[]11,1am a a +∈-+[]0,3x ∈221x x am -=+22y x x =-与有且仅有一个交点，在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所1y am =+22y x x =-[]0,3示，由图象可知：当时，与有且仅有一个交点，∴，解013am <+≤22y x x =-1y am =+0131aa<-⎧⎨≥+⎩得：，则；1a <01a <<当时，,结合图象可得：，解得：，则；a<0[]11,1am a a +∈+-0131aa <+⎧⎨≥-⎩1a >-10a -<<综上所述：原命题成立的充要条件为， 11a -<<故答案为：-1<a <1.四、解答题17．设集合，.{}24120A x x x =--={}20B x ax =-=(1)若，求a 的值； {}2,1,6A B =- (2)若，求实数a 组成的集合C . A B B = 【答案】(1) 2a =(2)11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）求出集合，根据，即可得出，从而即得； A A B ⋃1B ∈（2）由题可知，然后分类讨论，从而得出实数组成的集合． B A ⊆a 【详解】（1）由，解得或，所以， 24120x x --=2x =-6x ={}2,6A =-因为， {}2,1,6A B =- 所以，则， 1B ∈120a ⋅-=所以；2a =（2）因为，则， A B B = B A ⊆当时，； B =∅0a =当时，；{}2B =-1a =-当时，，{}6B =13a =综上可得集合.11,0,3C ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭18．已知函数. ()()222log log 2f x x x =--(1)若 ， 求 的取值范围; ()0f x …x (2)当时， 求函数 的值域. 184x ≤≤()f x【答案】(1)；1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2). 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用换元法令，列不等式先解出的范围，再解出的范围即可； 2log x t =t x （2）利用（1）中的换元，先得到的范围，再根据的范围求值域即可.t t 【详解】（1）令，，可整理为，则即，解得2log x t =R t ∈()f x 22y t t =--()0f x ≤220t t --≤，所以，解得， 12t -≤≤21log 2x -≤≤142x ≤≤所以.1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，因为，且当，有最小值；184x ≤≤23t -≤≤22y t t =--12t =94-当或3时，有最大值4； 2t =-所以的值域为.()f x 9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦19．设函数.()2,4f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；()f x （2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．()f x 3,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 【答案】（1），；（2）见解析 T π=3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据正弦函数性质求函数的最小正周期和单调递增区间； ()f x （2）先确定取值范围，再根据正弦函数性质求最值及其对应自变量.24t x π=-【详解】（1）函数的最小正周期为 ， ()f x 22T ππ==由的单调增区间是可得sin y x =2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，解得222242k x k πππππ-+≤-≤+388k x k ππππ-+≤≤+故函数的单调递增区间是． ()f x 3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）设，则，24t x π=-3,84x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由在上的性质知，当时，即，y t =50,4t π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2t π=38x π=max f当时，即， ． 54t π=34x π=min 1f ⎛=- ⎝【点睛】本题考查正弦函数周期、单调区间、最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 20．已知定义域为R 的函数是奇函数， ()221x f x a =++（1）求的值．a （2）判断函数在上的单调性并加以证明；()f x R （3）若对于任意不等式恒成立，求的取值范围． ,t R ∈()()22620f t t f t k -+-<k 【答案】（1）；（2）减函数；（3）1a =-(),3-∞-【详解】试题分析：（1）可利用如果奇函数在处有意义，一定满足，代入即可解得；（2）用单调性定义证明，特别注意“变形”这一步中，需通过通分、分解因式等手段，达到能判断差式的符号的目的；（3）含参数的不等式恒成立问题，我们往往可以采用分离参数的办法，将其转化为求函数的最值问题，从而求得参数的取值范围．试题解析：（1）因为是R 上的奇函数，则()f x ()00=f 即所以 20,11a +=+1a =-又成立，所以()()f x f x -=-1a =-（2）证明：设， 12x x <()()()()()21121212222221121212121x x x x x x f x f x --=--+=++++因为，所以，故12x x <1222x x <()()12f x f x >所以是R 上的减函数且为奇函数()f x （3）由于是R 上的减函数且为奇函数()f x 故不等式可化为()()22620f t t f t k -+-<()()2262f t t f k t -<-所以 即恒成立2262t t k t ->-()2236313k t t t <-=--所以 ，即的取值范围为3k <-k (),3∞--21．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的曲线．当p t 时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(]0,14t ∈[]14,40t ∈图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数大于80时学习效果()()log 5830,1a y x a a =-+>≠p 最佳．（1）试求的函数关系式；()p f t =（2）教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．【答案】（1）（2）1232t -≤≤【详解】【解】（1）当时， [014]t ∈，设，2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<所以当时，. [014]t ∈，21()(12)824p f t t ==--+当时，将(14，81)代入，得 [1440]t ∈，()log 583a y x =-+1.3a =于是（2）解不等式组得1214.t -<解不等式组得131440{log (5)8380t t ≤≤-+>，1432.t ≤<故当时，，1232t -<<()80p t >答：老师在时段内安排核心内容能使得学生学习效果最佳．()1232t ∈-22．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在，使成立，()y T x =1x 2x ()()121T x T x ⋅=则称该函数为“圆满函数”.已知函数；()sin ,()224x x f x x g x π-==-（1）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；()y f x =（2）设，证明：有且只有一个零点，且. 2()log ()h x x f x =+()h x 0x 05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】（1）不是“圆满函数”，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）取特殊值，代入“圆满函数”的定义，判断是否有实数能满足123x =2x ；（2）当时，利用零点存在性定理讨论存在零点，以及当22sin()sin 1434x ππ⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭(]0,2x ∈时，证明在上没有零点，再化简，转化为证明不等式()2,x ∈+∞()h x ()2,∞+0sin 4x g π⎛⎫ ⎪⎝⎭00156x x -<.【详解】解：（1）若是“圆满函数”.取，存在，使得 ()sin 4f x x π=123x =2x R ∈，即，整理得，但是，矛盾，所以()()121f x f x =2sinsin 164x ππ⋅=2sin 24x π=2sin 14x π≤()y f x =不是“圆满函数”. （2）易知函数的图象在上连续不断. ()2log sin 4h x x x π=+()0+∞，①当时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.(]0,2x ∈2log y x =sin 4y x π=(]0,2()h x (]0,2因为，， 2222221log sin log log 033632h π⎛⎫=+=+=< ⎪⎝⎭()1sin 04h π=>所以.根据函数零点存在定理，存在，使得， ()2103h h ⎛⎫< ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =所以在上有且只有一个零点.()h x (]0,20x ②当时，因为单调递增，所以，因为.所以()2,x ∈+∞2log y x =22log log 21y x =>=sin 14y x π=≥-，所以在上没有零点.()110h x >-=()h x ()2,∞+综上：有且只有一个零点. ()h x 0x 因为，即，()0020log sin 04x h x x π=+=020sin log 4x x π=-所以，. ()2020log log 020001sin log 224x x x g g x x x π-⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为在上单调递减，所以，所以. 1y x x =-2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭001325236x x -<-=05sin 46x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据零点存在性定理先说明零点存在，并且存在，使得，再利用，化简，利用02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x =020sin log 4x x π=-()020sin log 4x g g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用函数的最值证明不等式.. 02,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。
湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
湖南省娄底市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|x2<36}，N={2,4，6，8}，则M∩N=()A. {2,4}B. {4,6}C. {2,6}D. {2,4，6}2.以下对于几何体的描述，错误的是()A. 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球B. 一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形是圆锥C. 用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台D. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱3.圆心在点C(2,0)，半径R=√10的圆的标准方程是()A. (x−2)2+y2=√10B. x2+(y−2)2=√10C. x2+(y−2)2=10D. (x−2)2+y2=104.函数f(x)=3x−x2的零点所在区间是()．A. (1,2)B. (0,1)C. (−2,−1)D. (−1,0)5.一个正六棱锥体积为2√3，底面边长为2，则其侧面积为()A. 12B. 6C. 18D. 106.若函数f(x)={xx−1−kx2,x≤0lnx,x>0有且只有2个不同的零点，则实数k的取值范围是()A. (−4,0)B. (−∞,0]C. (−4,0]D. (−∞,0)7.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E−BCD的体积是()A. 5B. 10C. 20D. 308.函数f(x)=ln|x−1||1−x|的图象大致为()A. B.C. D.9. 已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m//α，则m ⊥β；②若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β；③若m ⊥β，m//α，则α⊥β；④若m//α，n//β，且m//n ，则α//β．其中正确命题的序号是( )A. ②③B. ①④C. ②④D. ①③10. 已知函数f(x)=x 2+ax +3−a ，若x ∈[−2,2]时，不等式f(x)≥0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [−5,2]B. [−6,2]C. [−7,2]D. [−7,3]E. [−7,4]F. [−7,5]11. 在三棱锥D −ABC 中，已知AD ⊥平面ABC ，且△ABC 为正三角形，AD =AB =√3，则三棱锥D −ABC 的外接球的表面积为( )A. 10πB. 9πC. 8πD. 7π 12. 已知函数f(x)={x +14x (x >0)−x 2−4x −1(x ≤0)则方程f(x)−a =0有四个实根的充要条件为( ) A. a ≥1 B. a ≤3 C. 1≤a ≤3 D. 1<a <3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=√10+9x−x 2lg(x−1)的定义域为________．14. 已知直线l 1：ax +y +3=0，l 2：x +(2a −3)y =4，l 1⊥l 2，则a = ______ ．15. 已知直线y =ax +1与曲线x 2+y 2+bx −y =1交于两点，且这两点关于直线x +y =0对称，则a ·b =________．16.若函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)，则f(x)的奇偶性是________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设全集U=R，集合A={x|−1≤x<3}，B={x|2x−4≥x−2}．(1)求A∩B；(2)(∁U B)∪A．18.(1)过原点作直线l的垂线，若垂足为A(−2,3)，求直线l的方程；(2)三角形三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求AB边上的高所在的直线方程．19.在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC=2π，M，N3分别为棱AP，CD的中点．(1)求证：MN//平面PBC；(2)若PD⊥平面ABCD，PB=2AB=2，求点M到平面PBC的距离．20.已知圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=4．(Ⅰ)求过点M(3,1)的圆C的切线方程；(Ⅱ)判断直线ax−y+3=0与圆C的位置关系．21.今年来，网上购物已经成为人们消费的一种趋势，假设某网上商城的某种商品每月的销售量y(单+4(x−6)2，其中1<x<6，m为位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式：y=mx−1常数．已知销售价格为4元/件时，每月可售出20千件．(1)求m的值；(2)假设每件商品的进价为1元，试确定销售价格x的值，使该商城每月销售该商品所获得的利润最大．(结果保留一位小数)．22.若x1,x2是关于x的方程x2−(k−2)x+k2+3k+5=0(k∈R)的两个实数根，(1)若k=−2时，不解方程求(x1+5)(x2+5)的值．(2)求x12+x22的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：M={x|−6<x<6}；∴M∩N={2,4}．故选：A．可求出集合M，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题主要考查空间旋转体的概念，属于基础题．利用空间几何体的结构和定义分别判断．【解答】解：根据球的定义可知以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球，所以A正确．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形是圆锥，所以B正确．当平面和底面不平行时，底面与截面之间的部分不是圆台，所以C错误．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆柱，所以D正确．故选C．3.答案：A解析：解：∵圆心在点C(2,0)，半径R=√10，∴圆的标准方程为(x−2)2+y2=10．故选：A．利用圆的标准方程求解．本题考查圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要注意圆的性质的合理运用．解析：本题考查零点存在性定理，属基础题．由函数零点存在性定理对各选项逐一判断，即可得到答案．解：f(1)=3−1=2，f(2)=9−4=5，f(0)=1，f(−1)=13−1=−23，f(−2)=19−4=−359，因为f(−1)f(0)<0，所以函数f(x)=3x−x2的零点所在区间是(−1,0)，故选D．5.答案：A解析：解：∵正六棱锥体积为2√3，底面边长为2，∴底面面积为6√3，∴2√3=13×6√3×ℎ，棱锥的高ℎ=1，底面中心到边的距离为：√3．∴侧面的高ℎ′=√1+(√3)2=2，∴它的侧面积为6×12×2×2=12．故选：A．根据体积公式求出高h，利用其性质求出侧面的高ℎ′，再利用三角形的面积公式求解即可．本题考察了空间几何体的体积，面积问题，属于计算题，难度不大．6.答案：B解析：本题考查了函数的零点问题，考查了数形结合思想，分段函数，分类讨论思想，是一道基础题．通过x的范围，画出x≤0，x>0时的函数f(x)的图象，通过图象求出k的取值范围．解：由题意得：x≤0时，f(x)=xx−1−kx2，令g(x)=xx−1=1+1x−1，ℎ(x)=kx2，f(x)=lnx ，函数f(x)过(1,0)点，有一个零点，∴只需g(x)和ℎ(x)有一个交点即可，如图所示：∴k 的范围是：(−∞,0]．故选B ．7.答案：B解析：本题主要考查长方体和三棱锥的体积，属于基础题．利用长方体的体积和这个三棱锥的体积之间的关系即可．解：因为这个长方体的体积为120，E 为， 所以AB ·BC ·CC 1=120，所以三棱锥E −BCD 的体积为13·12·BC ·CD ·EC =13·12·BC ·AB ·CC 12=112·AB ·BC ·CC 1=10，故选B ．8.答案：D解析：本题主要考查函数图形应用，属于基础题．解：函数f(x)=ln |x−1||1−x|的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，且图象关于x =1对称，排除B 、C ；取特殊值，当x =12时，f(x)=2ln 12<0，故选D．9.答案：A解析：解：①当α⊥β，m//α时，m⊥β不一定成立，所以错误；②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；③因为m//α，则一定存在直线n在β，使得m//n，又m⊥β可得出n⊥β，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，故成立；④m//α，n//β，且m//n，α，β也可能相交，如图所示，所以错误，故选：A．对于①当α⊥β，m//α时，m⊥β不一定成立；对于②可以看成m是平面α的法向量，n是平面β的法向量即可；对于③可由面面垂直的判断定理作出判断；对于④m//α，n//β，且m//n，α，β也可能相交．本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定及几何特征是解答的关键．10.答案：C解析：将二次函数进行配方，利用二次函数的图象和性质求解，要使不等式f(x)≥0恒成立，则只需求出函数在x∈[−2,2]时的最小值即可．本题主要考查二次函数的图象和性质，要注意分别讨论对称轴和区间之间的关系确定函数的最小值．解：f(x)=x2+ax+3−a=(x+a2)2−a24+3−a．①当−a2<−2，即a>4时，f(x)min=f(−2)=7−3a≥0，∴a≤73，又a>4，故此时a不存在．②当−2≤−a2≤2，即−4≤a≤4时，f(x)min=f(−a2)=3−a−a24≥0，∴a2+4a−12≤0.∴−6≤a≤2.又−4≤a≤4，∴−4≤a≤2．③当−a2>2，即a<−4时，f(x)min=f(2)=7+a≥0，∴a≥−7.又a<−4，故−7≤a<−4．综上得−7≤a ≤2.故选C ．11.答案：D解析：本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．取AB 、BC 、AC 的中点E 、M 、F ，连结CE 、AM 、BF ，交于点H ，求出AH =BH =CH =1，设三棱锥D −ABC 的外接球的球心为O ，连结OH ，则OH ⊥平面ABC ，过O 作OG ⊥AD ，交AD 于G ，设球半径为R ，OH =x ，则AG =x ，DG =√3−x ，OG =AH =1，则R =√DG 2+OG 2=√OH 2+BH 2，求出x =√32，从而R =√34+1=√72，由此能求出三棱锥D −ABC 的外接球的表面积． 解：取AB 、BC 、AC 的中点E 、M 、F ，连结CE 、AM 、BF ，交于点H ，则AH =BH =CH =23√AB 2−BM 2=23√3−34=1， 设三棱锥D −ABC 的外接球的球心为O ，连结OH ，则OH ⊥平面ABC ，过O 作OG ⊥AD ，交AD 于G ， 设球半径为R ，OH =x ，则AG =x ，DG =√3−x ，OG =AH =1，∴R =√DG 2+OG 2=√OH 2+BH 2，∴√(√3−x)2+12=√x 2+12，解得x =√32，∴R =√34+1=√72， ∴三棱锥D −ABC 的外接球的表面积S =4πR 2=4π×74=7π．故选D ．12.答案：D解析：解：当x >0时，f(x)=x +14x ≥2√x ⋅14x =1， (当且仅当x =14x ，即x =12时，等号成立)；当x ≤0时，f(x)=−(x +2)2+3≤3；图象如右图所示，要使方程f(x)−a =0有四个实根，a 需满足1<a <3．故选D ．由题意，求分段函数的极值，从而作出其简图，从而得到答案．本题考查了方程的根与函数的零点的关系，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题． 13.答案：(1,2)∪(2,10]解析：【分析】本题考查函数的定义域，比较基础．根据已知可得{10+9x −x 2≥0x −1>0x −1≠1，求解即可．解：要使函数f(x)=√10+9x−x 2lg(x−1)有意义，则{10+9x −x 2≥0x −1>0x −1≠1，解得x ∈(1,2)∪(2,10]．即函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,10]．故答案为(1,2)∪(2,10]．14.答案：1解析：解：∵直线l 1：ax +y +3=0，l 2：x +(2a −3)y =4，l 1⊥l 2，∴a +(2a −3)=0，解得a =1．故答案为：1．利用两直线垂直，x ，y 系数积的和为0的性质求解．本题考查直线方程中参数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．15.答案：1解析：由题意可得圆心(−b 2,12)在直线x +y =0上，可得b ，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得a ，即可得到a ·b.本题考查直线和圆的位置关系，注意运用对称性，考查两直线垂直的条件，是基础题． 解：直线y =ax +1与曲线x 2+y 2+bx −y =1交于两点，且这两个点关于直线x +y =0对称，可得圆的圆心(−b 2,12)在直线x +y =0上，即−b 2+12=0，得b =1，又由两直线垂直的条件得a =1，又当b =1时，曲线x 2+y 2+bx −y =1即(x +12)2+(y −12)2=32表示圆，当a =1时，直线y =ax +1即y =x +1，与圆有两交点，∴a ·b =1，故答案为1． 16.答案：奇函数解析：本题考查函数的奇偶性，根据定义即可判断．解：显然f (x )的定义域为(−1，1)，关于原点对称，又因为f (−x)=ln(1−x)−ln(1+x)=−f(x )，所以f (x )为奇函数．故答案为奇函数．17.答案：解：(1)由2x−4≥x−2得，x≥2，则集合B={x|x≥2}，因为集合A={x|−1≤x<3}，所以A∩B={x|2≤x<3}；(2)因为全集U=R，集合B={x|x≥2}，所以∁U B={x|x<2}，所以(∁U B)∪A={x|x<3}．解析：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，属于基础题．(1)由2x−4≥x−2求出集合B，由交集的运算求出A∩B；(2)由补集的运算求出∁U B，再由并集的运算求出(∁U B)∪A．18.答案：解：(1)∵A(−2,3)，且OA⊥l，∴l的斜率为k=2．3(x+2).整理得2x−3y+13=0.(7分)于是l的方程为y−3=23(2)∵k AB=7，∴设所求直线方程2x+7y+m=0，2代入点C坐标得m=−21．∴AB边上的高所在的直线方程为2x+7y−21=0.(7分)解析：(1)求出l的斜率，即可求直线l的方程；(2)k AB=7，设所求直线方程2x+7y+m=0，代入点C坐标得AB边上的高所在的直线方程．2本题考查直线方程，考查直线垂直关系的运用，属于中档题．19.答案：证明：(1)设PB的中点为G，连结MG，GC，AB，∵M，G分别是AP，PB的中点，∴MG//AB，且MG=12AB，且CN//AB，∴MG//CN，且MG=CN，由已知得CN=12∴四边形MGCN是平行四边形，∴MN//GC，∵MN⊄平面PBC，CG⊂平面PBC，∴MN//平面PBC．解：(2)设点M到平面PBC的距离为h，由MN//平面PBC，得点N到平面PBC的距离为h，连结BD，BN，PN，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD，由题设得PD=√3，S△BCN=√38，V P−BCN=13×S△BCN×PD=18，在△PBC中，由已知得PC=2，PB=2，BC=1，S△PBC=√154，∴V N−PBC=13×S△PBC×ℎ=√15ℎ12，由V P−BCN=V N−PBC，得ℎ=√1510，∴点M到平面PBC的距离为√1510．解析：(1)设PB的中点为G，连结MG，GC，推导出四边形MGCN是平行四边形，从而MN//GC，由此能证明MN//平面PBC．(2)设点M到平面PBC的距离为h，由MN//平面PBC，得点N到平面PBC的距离为h，由V P−BCN= V N−PBC，能求出点M到平面PBC的距离．本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)由圆的方程得到圆心(1,2)，半径r=2，当直线斜率不存在时，方程x=3与圆相切；当直线斜率存在时，设方程为y−1=k(x−3)，即kx−y+1−3k=0，由题意得：√k2+1=2，解得：k=34，∴方程为y−1=34(x−3)，即3x−4y−5=0，则过点M的切线方程为x=3或3x−4y−5=0；(Ⅱ)直线ax−y+3=0恒过点(0,3)，∵(0−1)2+(3−2)2=2<4，∴(0,3)在圆内，∴直线ax−y+3=0与圆C相交．解析：(Ⅰ)由圆的方程找出圆心坐标与半径，分两种情况考虑：若切线方程斜率不存在，直线x=3满足题意；若斜率存在，设出切线方程，根据直线与圆相切时圆心到切线的距离d=r，求出k的值，综上即可确定出满足题意的切线方程；(Ⅱ)直线ax−y+3=0恒过点(0,3)，(0,3)在圆内，即可得出结论．此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及圆的标准方程，利用了分类讨论的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21.答案：解：(1)∵x=4时，y=20．代入关系式y=mx−1+4(x−6)2，得m3+4×22=20．解得m=12．(2)由(1)可知，商品每月的销售量y=12x−1+4(x−6)2 ∴每月销售商品所获得的利润．f(x)=(x−1)[12x−1+4(x−6)2]=4(x3−13x2+48x)−132，(1<x<6)，从而f′(x)=4(3x2−26x+48)=4(3x−8)(x−6)(1<x<6)．令f′(x)=0，得x=83．且在1<x<83上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；在83<x<6上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴x=83是函数f(x)在(1,6)内的极大值点，也是最大值点，∴当x=83≈2.7时，函数f(x)取得最大值．即销售价格为2.7元/件时，该店每月销售商品所获得的利润最大．解析：(1)把x=4，y=20代入关系式y=mx−1+4(x−6)2，解方程即可解出m；(2)利用可得每月销售商品所获得的利润f(x)=(x−1)[12x−1+4(x−6)2]，利用导数研究其定义域上的单调性与极值最值即可得出．本题主要考查函数的应用问题，求函数的解析式，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．22.答案：解：(1)当k=−2时，方程可化为x2+4x+3=0，∴x1+x2=−4,x1⋅x2=3(x1+5)(x2+5)=x1⋅x2+5(x1+x2)+25=8(2)因为方程x2−(k−2)x+k2+3k+5=0(k∈R)有两个实数根所以Δ=(k−2)2−4(k2+3k+5)≥0，解得−4≤k≤−43由韦达定理得x1+x2=k−2,x1⋅x2=k2+3k+5x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(k−2)2−2(k2+3k+5)=−k2−10k−6=−(k+5)2+19所以当k=−4时x12+x22的最大值等于18．因为−4≤k≤−43解析：解析：本题考查二次方程的根与系数的关系以及求函数的最值问题，属基础题．(1)展开(x1+5)(x2+5)=x1x2+5(x1+x2)+25,再由韦达定理求得x1x2,x1+x2,然后代入即可．(2)先根据方程有实数根，利用判别式求出实数k的取值范围，再结合韦达定理，将x12+x22进行转化表示成k的函数，结果正好是一个k的二次函数，然后利用二次函数求最值的方法求解．。
2019-2020学年湖南省娄底市高一上学期期末数学试题及答案解析版
2019-2020学年湖南省娄底市高一上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．已知集合{|12}M x x =-<<，{|210}N x x =-<-≤，则M N =（ ）A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x <C ．{|23}x x <<D ．3{|}1x x -≤<【答案】B【解析】化简集合N ，根据交集的定义，结合数轴，即可求解 【详解】因为{|12}M x x =-<<，{|13}N x x =<，所以{|12}M N x x ⋂=<.故选:B. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．下列说法中正确的是() A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 【答案】D【解析】根据圆锥的结构特征即可判断A 选项；根据棱台的定义即可判断选项B;结合圆柱、圆锥、圆台的旋转特征，举出反例即可判断选项C ；由棱柱的定义即可判断选项D. 【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确． 【点睛】解决空间几何体结构特征问题的3个策略 (1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力． (2)构建几何模型、变换模型中的线面关系． (3)通过反例对结构特征进行辨析．3．以(2,1)-为圆心，且经过点(1,3)-的圆的方程是（ ） A ．22(2)(1)25x y -++= B ．22(2)(1)5x y -++= C ．22(2)(1)25x y ++-= D ．22(2)(1)5++-=x y【答案】A【解析】由题可知圆心和半径，代入圆的标准方程即可. 【详解】设所求圆的半径为r，则222(21)(13)25r=++--=，故所求圆的方程是22(2)(1)25x y-++=.故选：A.【点睛】本题考查圆的标准方程，属于基础题.4．函数()12xf xx=-的零点所在区间为（）A．1(0,)3B．11(,)32C．1(,1)2D．(1,2)【答案】C【解析】令函数f（x）＝0得到12xx=，转化为两个简单函数g（x）＝2x，h（x）1x=，最后在同一坐标系中画出g （x），h（x）的图象，进而可得答案．【详解】令()12xf xx=-=0，可得12xx=，再令g（x）＝2x，1xxｈ＝，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（12，1），从而函数f（x）的零点在（12，1），故选Ｃ．【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法．考查数形结合思想是中档题．5．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为() A ．27π B ．36π C ．54π D ．81π【答案】B【解析】由圆柱的轴截面为正方形可知，底面圆直径与圆柱的高相等，根据圆柱的体积公式，可求得底面圆的半径，再由圆柱的侧面积公式即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．【点睛】设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则侧面积=2S rh π侧，体积2V Sh r h π==.6．已知函数1,3()lg(3),30101,0x x f x x x x ≤-⎧⎪=+-<≤⎨⎪->⎩，若(1)2f a -=，则实数a =（ ） A ．1 B ．lg 3 C ．lg30 D ．lg300【答案】C【解析】利用分段函数中的三个区间分别讨论对(1)2f a -=进行求解即可. 【详解】当13a -≤-时, (1)2f a -=显然无解. 当310a -<-≤时,(1)2f a -=有lg(31)22100,98a a a +-=⇒+==不满足310a -<-≤.当10a ->时,(1)2f a -=有113101211lg30lg30a a a a --=⇒-=⇒=-=⇒满足10a ->.故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数的运用与指对数的运算,属于基础题型.7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上的点，且113CE CC =，过,,B D E 三点的平面把长方体1111ABCD A B C D -分成两个部分，记多面体1111ABEDD A B C 的体积为1V ，三棱锥E BCD -的体积为2V ，则12V V =（）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】D【解析】设长方体的体积和底面面积，从而计算出三棱锥体积，用长方体体积减去三棱锥体积求得剩余多面体的体积，求得比值. 【详解】设长方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，底面ABCD 的面积为S ， 由题意可得2111111133231818BCD VV S CE S CC S CC ∆=⋅=⨯⨯=⋅=， 则121718VV V V =-=，故1217V V =.故选：D. 【点睛】本题考查长方体中的截面问题，涉及棱锥体积、不规则几何体体积的求解. 8．函数()3()2ln ||f x x x x =+的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】可判断()f x 为奇函数，图像关于原点对称，排除,A B 选项，再判断当0x >时，函数值的正负，即可求得结论.【详解】因为()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，所以排除A ，B ；当01x <<时，()0f x <；当1x >时，()0f x >，排除D . 故选:C . 【点睛】本题考查函数图像的识别，考查函数的对称性和函数值符号判断，属于基础题.9．设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，则下列判断正确的是() A ．若n α⊥，m α⊥，则m n ⊥ B ．若αβ∥，m α⊥，则m β⊥ C ．若αβ⊥，l αβ=，m l ⊥，则m β⊥D ．若mn ，m α，则n α【答案】B【解析】选项A 由线面垂直的性质定理可得；选项B ，由面面平行的定义找两组相交直线，结合线面垂直的判定定理即可证明；选项C,D ，找到反例即可. 【详解】A 选项不正确，根据垂直于同一个平面的两个直线平行，可得mn ；B选项正确，若αβ∥，则存在,,a b a b αα⊂⊂⋂，在平面β内存在',',''a a b b a b ⋂∥∥，由m α⊥，可得,','m a m b m a m b ⊥⊥⇒⊥⊥ ，由线面垂直的判定定理可得m β⊥；C选项不正确，因为根据面面垂直的性质定理，需要加上“m 在平面α内或者平行于α”这个条件，才能判定m β⊥；D 选项不正确，直线n 可能在平面α上．【点睛】解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)会举反例或用反证法推断命题是否正确． 10．已知函数245()33f x x ax =-++，若()0f x 在[1,1]-上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．[1,1]-D ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】()0f x 在[1,1]-上恒成立，则抛物线在[1,1]-间的部分都在x 轴上方或在x 轴上，只需最低点，即区间的两个端点满足即可，可得(1)0,(1)0f f -≥≥，求解即可得出结论. 【详解】 因为()0f x 在[1,1]-上恒成立，所以45(1)0,3345(1)0,33f a f a ⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=--+⎪⎩解得1133a -. 故选:A. 【点睛】本题考查不等式在给定区间恒成立，转为为二次函数图像特征，考查数形结合思想，属于基础题.11．在三棱锥A BCD -中，AD CD ⊥，2AB BC ==，5AD =，3CD =，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．8π B ．9π C ．10πD ．12π【答案】A【解析】通过证明AB BC ⊥，又AD CD ⊥，可得AC 的中点O 为该三棱锥的外接球球心，外接球半径为2AC ，再利用球的面积公式求得. 【详解】解：因为AD CD ⊥，5AD =，3CD =，所以22AC =.因为2AB BC ==，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，则AC 的中点O 为该三棱锥的外接球球心，故该三棱锥的外接球半径为2，其表面积为()2428ππ⨯=.故选：A 【点睛】本题考查锥体的外接球的表面积计算问题，属于中档题. 12．已知函数()()f x g x ，的图象分别如图1，2所示，方程()()()()1f g x g f x ＝，＝－1，1(())2g g x =-的实根个数分别为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c +=B ．b c a ＋＝C ．b a c ＝D ．ab c ＝【答案】A【解析】结合函数图像可知方程根的个数，根据个数确定a,b,c 的值，即可求解. 【详解】由方程(())1f g x =，可得()(10)g x m m =-<<. 此方程有4个实根，所以方程(())1f g x =有4个实根，则4a =； 由方程(())1g f x =-，可得()1f x =或()1f x =-. 所以方程(())1g f x =-有2个实根，则2b =， 由方程1(())2g g x =-，可得113()12g x x x ⎛⎫=-<<- ⎪⎝⎭或()22()10g x x x =-<<或33()(01)g x x x =<<或443()12g x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，这4个方程的实根的个数分别为0，4，2，0. 则6c =. 故a b c +=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，方程的根的个数即为函数图象交点的个数，数形结合，属于难题.二、填空题 13．()f x =的定义域是．【答案】（0,2）【解析】试题分析：21log 0x ->，得02x <<．故定义域为(0,2)．【考点】函数的定义域．【名师点睛】函数的定义域，就是使函数式有意义的自变量的集合，一般确定函数定义域必须考虑下列各种情形：①负数没有偶次方根，②分母不为零，③0次幂底数不为0，④函数本身的要求（如对数函数、正切函数等），⑤有限个函数的四则得到的新函数（复合函数），它的定义域是这有限个函数定义域的交集．14．已知直线1:210l x y ++=与直线2:20l ax y --=垂直，则a =________.【答案】2.【解析】两直线垂直，则其斜率相乘为-1，由此求得.【详解】因为12l l ⊥，所以20a -=，所以2a =.故答案为：2.【点睛】本题考查由直线垂直求参数的值，属基础题.15．已知直线240x my ++=与圆22(1)(2)9x y ++-=的两个交点关于直线0nx y n +-=对称，则m n -=_______.【答案】3-【解析】由题意可得直线240x my ++=与直线0nx y n +-=互相垂直且直线0nx y n +-=过圆心，由此可列出关于m ，n 的方程组，解出方程组即可得结果.【详解】由题意可得2()120n m n n ⎧-⨯-=-⎪⎨⎪-+-=⎩解得2m =-，1n =， 故213m n -=--=-，故答案为：3-.【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的对称性，属于中档题．16．设函数2()log )f x x =，若对任意的(1,)x ∈-+∞，不等式(ln )(24)0f x a f x -++<恒成立，则a 的取值范围是_______.【答案】(0,]e【解析】先证明函数()f x为奇函数，根据)1x x =，结合对数运算法则可得2()log )f x x =-+，根据复合函数的单调性，可判断2()log )f x x =-+在[0,)+∞上为减函数，再结合奇偶性和()f x 在0x =处连续，可得()f x 在R 上为减函数，于是(ln )(24)0f x a f x -++<等价转化为(ln )(24)f x a f x -<--，得ln 24x a x ->--，即对任意的(1,)x ∈-+∞，ln 34a x <+，从而有ln 1a ，即可求解. 【详解】因为122()log )log )()f x x x f x -===-，所以()f x 为奇函数，且定义域为R .又因为函数()g x x =+在[0,)+∞上为增函数所以2()log )f x x =-+在[0,)+∞上为减函数，从而()f x 在R 上为减函数.于是(ln )(24)0f x a f x -++<等价于(ln )(24)(24)f x a f x f x -<-+=--，所以ln 24x a x ->--，即ln 34a x <+.因为(1,)x ∈-+∞，所以341x +>，所以ln 1a ，解得0a e <.故答案为:(0,]e .【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性和单调性，将不等式等价转化，化归为函数的单调性和奇偶性是解题的难点，属于较难题.三、解答题17．设集合{}2|3100,{|221,},{|33}A x x x B x a x a a R C x x =--<=-≤≤+∈=-<<. （1）全集U =R ，求()U C A C ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(3,2]--；（2）(,2)-∞.【解析】（1）求出集合A ，再按集合运算法则计算； （2）A B A ⋃=说明B A ⊆，由集合的包含关系列出a 的不等关系可求解，注意讨论B 为空集的情形。
【KS5U解析】湖南省娄底市湘中名校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
湖南省娄底市湘中名校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x≤2}2．（4分）下列四组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的一组是（）A．f（x）=|x|，g（x）= B．f（x）=x，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=1，g（x）=x03．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|4．（4分）三角形ABC的底边BC=2，底边上的高AD=2，取底边为x轴，则直观图A′B′C′的面积为（）A．B．C．2D．45．（4分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（2，3）D．（1，2）6．（4分）已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）A．1B．3C．4D．不确定7．（4分）直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件（）A．C=0，AB＜0 B．A C＜0，BC＜0 C．A，B，C同号D．A=0，BC＜08．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．9．（4分）如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（）A．n≤2？B．n≤3？C．n≤4？D．n≤5？10．（4分）设函数f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，2）C．（0，2）D．12．（4分）4830与3289的最大公约数是．13．（4分）若圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为．14．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l过点（1，0）且与直线x ﹣y+1=0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为．15．（4分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意正实数x，y，都有f（xy）=f（x）（1）f（1）=；（2）不等式f（log2x）＜0的解集是．三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（8分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．17．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：（1）平面A1BD∥平面CB1D1；（2）M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．18．（10分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且（1）求实数m，n的值（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．19．（10分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润x表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？20．（12分）已知圆Cx2+y2+2x﹣4y+3=0（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．21．（12分）已知函数f（x）=log a（x﹣a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设函数h（x）=a x+1，函数F（x）=2的图象恒在函数G（x）=h（2x）+m+2的上方，求实数m的取值范围．湖南省娄底市湘中名校2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x≤2}考点：交、并、补集的混合运算．分析：由补集概念结合已知求得∁R A，然后直接利用交集运算得答案．解答：解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则∁R A={x|x≤2}，∴（∁R A）∩B={x|x≤2}∩{x|1＜x＜3}={x|1＜x≤2}．故选：D．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．（4分）下列四组函数中，f（x）与g（x）是同一函数的一组是（）A．f（x）=|x|，g（x）= B．f（x）=x，g（x）=（）2C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=1，g（x）=x0考点：判断两个函数是否为同一函数．专题：函数的性质及应用．分析：根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可．解答：解：对于A，f（x）=|x|（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于B，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≥）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）==x+1（x≠1），与g（x）=x+1（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，∴不是同一函数．故选：A．点评：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．3．（4分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y= B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．4．（4分）三角形ABC的底边BC=2，底边上的高AD=2，取底边为x轴，则直观图A′B′C′的面积为（）A．B．C．2D．4考点：平面图形的直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：利用平面图形与直观图形面积的比是2，求出平面图形的面积，即可求解直观图A′B′C′的面积．解答：解：三角形ABC的底边BC=2，底边上的高AD=2，所以平面图形的面积：=2，取底边为x轴，则直观图A′B′C′的面积为：=．故选：A．点评：本题考查平面图形与直观图形的面积的比，考查计算能力．5．（4分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在的区间为（）A．（0，）B．（，1）C．（2，3）D．（1，2）考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：先判断出函数f（x）=log2x﹣在其定义域上连续，再求函数值，从而求零点的区间．解答：解：函数f（x）=log2x﹣在其定义域上连续，f（）=﹣1﹣2＜0，f（1）=0﹣1＜0，f（2）=1﹣＞0；故f（1）f（2）＜0；故选：D．点评：本题考查了函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．6．（4分）已知三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，则实数a的值是（）A．1B．3C．4D．不确定考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，可得k AB=k AC，利用斜率计算公式即可得出．解答：解：∵三点A（1，﹣1），B（a，3），C（4，5）在同一直线上，∴k AB=k AC，∴，解得a=3．故选：B．点评：本题考查了三点共线与斜率的关系、斜率计算公式，属于基础题．7．（4分）直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A，B，C需满足条件（）A．C=0，AB＜0 B．A C＜0，BC＜0 C．A，B，C同号D．A=0，BC＜0考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：化直线的一般式方程为斜截式，由直线通过二、三、四象限可得直线的斜率小于0，在y轴上的截距小于0，从而得到A，B，C同号．解答：解：由Ax+By+C=0，得，∵直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，∴，则A，B，C同号．故选：C．点评：本题考查了直线的一般式方程化斜截式，是基础题．8．（4分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O 为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．利用三棱锥的体积计算公式即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，侧面PAB⊥底面ABC，PAB为边长是2的正三角形，O为AB的中档，OC⊥AB，OC=1．∴该几何体的体积V==．故选：D．点评：本题考查了三棱锥的三视图及其体积计算公式，属于基础题．9．（4分）如图所示的程序框图，若输出的S是30，则①可以为（）A．n≤2？B．n≤3？C．n≤4？D．n≤5？考点：程序框图．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加2n 的值到S并输出S．解答：解：第一次循环：S=0+2=2，n=1+1=2，继续循环；第二次循环：S=2+22=6，n=2+1=3，继续循环；第三次循环：S=6+23=14，n=3+1=4，继续循环；第四次循环：S=14+24=30，n=4+1=5，停止循环，输出S=30．故选C．点评：程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，一种是根据题意补全程序框图．程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，一般结合数列比较多见，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟．10．（4分）设函数f（x）=是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，2）C．（0，2）D．．故选A．点评：考查分段函数在定义域上单调的特点，以及一次函数、指数函数的单调性．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，答案填在答题卡中对应题号后的横线上．11．（4分）lg﹣lg25+log2（log216）=0．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用对数的运算性质化简求值．解答：解：lg﹣lg25+log2（log216）==﹣2lg2﹣2lg5+log24=﹣2（lg2+lg5）+2=0．故答案为：0．点评：本题考查了对数的运算性质，是基础的计算题．考点：用辗转相除计算最大公约数．专题：算法和程序框图．分析：利用辗转相除法即可得出．解答：解：4830=3289×1+1541，3289=1541×2+207，1541=207×7+92，207=92×2+23，92=23×4，∴4830与3289的最大公约数是23．故答案为：23．点评：本题考查了辗转相除法，属于基础题．13．（4分）若圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为2．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3π，构造方程，可求出直径．解答：解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则由πl=2πr得l=2r，而S=πr2+πr•2r=3πr2=3π故r2=1解得r=1，所以直径为：2．故答案为：2．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．14．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2=﹣2y+3，直线l过点（1，0）且与直线x ﹣y+1=0垂直．若直线l与圆C交于A、B两点，则△OAB的面积为2．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心坐标和半径，利用直线垂直关系求出直线l的方程，求出三角形的底边长度和高即可得到结论．解答：解：圆的标准方程为x2+（y+1）2=4，圆心C坐标为（0，﹣1），半径R=2，∵直线l过点（1，0）且与直线x﹣y+1=0垂直，∴直线l的斜率k=﹣1，对应的方程为y=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0，原点O到直线的距离d=，圆心C到直线的距离d=，则AB=，则△OAB的面积为，故答案为：2．点评：本题主要考查三角形的面积的计算，根据点到直线的距离求出三角形的高以及利用弦长公式求出AB是解决本题的关键．15．（4分）已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意正实数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．则：（2）不等式f（log2x）＜0的解集是（1，2）．考点：抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）令x=y=1即可求得f（1）；（2）利用函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，由（1）得到的f（1）=0即可求得不等式f（log2x）＜0的解集．解答：解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0；（2）∵f（1）=0，∴f（log2x）＜0⇔f（log2x）＜f（1），又函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴0＜log2x＜1，解得：x∈（1，2）．故答案为：（1）0；（2）（1，2）．点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法与函数单调性的应用，考查对数不等式的解法，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（8分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（I）解指数不等式求出A，解二次不等式求出B，进而可得集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，则，解不等式组可得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由2x＜8，得2x＜23，x＜3．（3分）解不等式x2﹣2x﹣8＜0，得（x﹣4）（x+2）＜0，所以﹣2＜x＜4．（6分）所以A={x|x＜3}，B={x|﹣2＜x＜4}，所以A∩B={x|﹣2＜x＜3}．（9分）（Ⅱ）因为C⊆B，所以（11分）解得﹣2≤a≤3．所以，实数a的取值范围是．（13分）点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合的交集运算，解不等式，难度不大，属于基础题．17．（8分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：（1）平面A1BD∥平面CB1D1；（2）M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接B1C和D1C，由A1D∥B1C，A1B∥D1C，能证明平面CB1D1∥平面A1BD．（2）利用正方体的性质容易得到AD1∥MN，所以∠CAD1为异面直线所成的角，连接CD1，得到△CAD1为等边三角形，得到所求．解答：（1）证明：连接B1C和D1C，∵A1D∥B1C，A1B∥D1C，A1D∩A1B=A1，A1D⊂平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，B1C⊂平面CB1D1，D1C⊂平面CB1D1，∴平面A1BD∥平面CB1D1．（2）解：因为几何体为正方体，连接AD1，D1C，所以∠CAD1为异面直线所成的角，又△CAD1为等边三角形，所以异面直线AC和MN所成的角60°点评：本题考查两平面平行的证明，考查异面直线所成的角的求法，关键是将面面平行转化为线线平行解答，将空间角转化为平面角解答，注意转化能力和空间思维能力的培养．18．（10分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且（1）求实数m，n的值（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的性质，建立方程关系即可求实数m，n的值．（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）根据函数的奇偶性和单调性之间的关系解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即可．解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即，∴n=0，∵，∴m=1（2）由（1）得，设﹣1＜x1＜x2＜1，则=∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）∴f（x）在（﹣1，1）上为增函数．（3）∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴由f（t﹣1）+f（t）＜0，得：f（t）＜﹣f（t﹣1）=f（1﹣t）又∵f（x）在（﹣1，1）上为增函数∴，点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用定义法证明函数的单调性，综合考查函数奇偶性和单调性的应用．19．（10分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R（x）=，其中x是仪器的月产量．（注：总收益=总成本+利润）（1）将利润x表示为月产量x的函数；（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据利润=收益﹣成本，由已知分两段当0≤x≤400时，和当x＞400时，求出利润函数的解析式；（2）根据分段函数的表达式，分别求出函数的最大值即可得到结论．解答：解：（1）由于月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而利润f（x）=；（2）当0≤x≤400时，f（x）=300x﹣﹣20000=﹣（x﹣300）2+25000，∴当x=300时，有最大值25000；当x＞400时，f（x）=60000﹣100x是减函数，∴f（x）=60000﹣100×400＜25000．∴当x=300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．点评：本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用分段函数的表达式结合一元二次函数的性质求出函数的最值是解决本题的关键．20．（12分）已知圆Cx2+y2+2x﹣4y+3=0（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．考点：直线与圆的位置关系；直线的截距式方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）已知切线不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出变量即可求直线l的方程；（2）利用斜率存在与不存在两种形式设出直线方程，通过圆心到直线的距离、半径半弦长满足勾股定理，求出经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．解答：解：（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为x+y+c=0…1分圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0圆心C（﹣1，2）半径为，圆心到切线的距离等于圆半径：，…3分解得c=1或c=﹣3…4分∴l或δ=1…5分所求切线方程为：x+y+1=0或x+y﹣3=0…6分（2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为（0，1），（0，3），线段长为2，符合故直线x=0…8分当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx，即kx﹣y=0由已知得，圆心到直线的距离为1，…9分直线方程为综上，直线方程为x=0，…12分．点评：本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．21．（12分）已知函数f（x）=log a（x﹣a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设函数h（x）=a x+1，函数F（x）=2的图象恒在函数G（x）=h（2x）+m+2的上方，求实数m的取值范围．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据函数过定点，代入解对数方程即可得到结论．（Ⅱ）根据函数F（x）的图象恒在函数G（x）的上方，转化为不等式F（x）＞G（x）恒成立，即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=log a（x﹣a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．∴f（3）=log a（3﹣a）+1=1，即log a（3﹣a）=0，解得3﹣a=1，解得a=2；（Ⅱ）∵函数F（x）=2的图象恒在函数G（x）=h（2x）+m+2的上方∴F（x）＞G（x）恒成立，即2＞h（2x）+m+2，即（2x+3）2＞22x+1+m+2，整理得m＜（2x）2+2•2x+6，设H（x）=（2x）2+2•2x+6，令t=2x，则t＞0，则H（t）=t2+2t+6=（t+1）2+5，∵t＞0，∴H（t）＞H（0）=6∴m≤6．点评：本题主要考查与对数函数有关的性质以及不等式恒成立问题，综合考查学生的运算能力，利用换元法是解决本题的关键．。
湖南高一高中数学期末考试带答案解析
湖南高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合，则（）A．B．C．D．2.函数的最小正周期为（）A．B．C．D．3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．4.已知角的终边过点，则的值为（）A．－B．C．D．5.根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）A．（-1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）6.要得到函数的图像，只须将函数的图像（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移7.某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如）可表示为（）A．B．C．D．8.在平行四边形中，与交于点,为线段的中点，的延长线交于．设,则（）A．B．C．D．二、填空题1.已知,,则．2.求值：．3.函数的定义域为．4.函数的最大值等于．5.设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”。
给定集合，在由的三个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合个数为．6.已知为锐角，且，则．7.规定满足“”的分段函数叫做“对偶函数”，已知函数是“对偶函数”，则（1）；（2）若对任意正整数都成立，实数的取值范围为．三、解答题1.已知集合，若，(1)求的值； (2)求．2.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．3.已知向量（1）若为的中点，，求的值；（2）若是以为斜边的直角三角形，求的值．4.我国是水资源较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市每户每月用水收费办法是：水费=基本费+超额费+定额损耗费.且有如下两条规定：①若每月用水量不超过最低限量立方米，只付基本费10元加上定额损耗费２元；②若用水量超过立方米时，除了付以上同样的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米加付元的超额费.解答以下问题：（1）写出每月水费（元）与用水量（立方米）的函数关系式；（2）若该市某家庭今年一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：试判断该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求的值．5.（1）求值：；（2）已知求的值．6.设函数满足且．（1）求证，并求的取值范围；（2）证明函数在内至少有一个零点；（3）设是函数的两个零点，求的取值范围．湖南高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】【解析】求就是求补集，也就是在全集中去掉原集合中的元素的集合，去掉剩下所以，解这类问题，一需明确全集范围，二是将结果写成集合形式.【考点】补集2.函数的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】【解析】由三角函数的最小正周期得.解决这类问题，须将函数化为形式，在代时，必须注意取的绝对值，因为是求最小正周期.【考点】三角函数的周期计算3.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．【答案】【解析】选项A：定义域为因为所以不是奇函数；因为当时，所以是上增函数综上是上增函数但不是奇函数，不选A.选项B：定义域为因为所以是奇函数；因为当时，所以是上减函数，不是增函数，综上是奇函数但不是增函数，不选B选项C: 定义域，所以单调性需在和分别讨论,也就是说在定义域无单调性. 当时，所以在上是减函数，同理可得在上也是减函数，但不能说在定义域上是减函数，这是易错点；因为，定义域又关于原点对称，所以是奇函数，综上是奇函数但不是增函数，不选C选项D：定义域为因为，所以是奇函数；因为当时，有三种情况，一是，此时二是，此时三是，此时因此当时，总有，所以是上增函数，综上是奇函数也是增函数，选D【考点】奇偶性及增减性的判定4.已知角的终边过点，则的值为（）A．－B．C．D．【答案】【解析】由三角函数定义知，若角的终边过异于原点的点则因此.由三角函数定义求三角函数值是一种本质方法，在高考解答题中也时有出现.【考点】三角函数定义5.根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（）A．（-1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【答案】【解析】令则由表知所以方程在区间必有一解. 零点存在于函数值变号区间处,分析何时变号是解题的思路.【考点】零点存在定理6.要得到函数的图像，只须将函数的图像（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【答案】【解析】由知，函数图像向左平移.解决此类问题一是要明确变形的方向，不能弄反；二是明确平移单位是对而言，不是对.【考点】三角函数图像变换7.某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如）可表示为（）A．B．C．D．【答案】【解析】设班级人数的个位数字为n,令则当时，当时，所以.本题也可用特殊值法验证取舍，如取对应只有B满足.8.在平行四边形中，与交于点,为线段的中点，的延长线交于．设,则（）A．B．C．D．【答案】【解析】解法一：解法二：本题也可先根据解出.再由解法一思路是不断在三角形中将向量转化，直到已知；解法一思路是先化“陌生”向量（对角线）为“熟悉”向量（两邻边）.【考点】向量的表示，向量三角形法则.二、填空题1.已知,,则．【答案】【解析】根据向量的减法等于横坐标、纵坐标分别对应相减，得到.向量的加减及数乘类似实数运算，一般不会出错，只需注意对应即可.【考点】向量的减法运算2.求值：．【答案】【解析】因为同底对数相减等于底数不变，真数相除，所以对数进行运算时，必须注意将底数化为统一，对于不同的底，可用换底公式进行变形.另外注意对数运算法则与指数运算法则的区别，不能张冠李戴.【考点】对数的减法3.函数的定义域为．【答案】【解析】因为所以定义域为.求函数定义域、值域，及解不等式时，需明确最后结果应是解集的形式.列不等式时要分清是否含有等号,这是解题的易错点.解对数不等式时不仅要注意不等号的方向，而且要注意真数大于零这一隐含条件.【考点】解对数不等式4.函数的最大值等于．【答案】【解析】.求三角函数最值问题需先看角，在角统一的情况下，降次或化同名.本题中角统一，只需将三角名称统一为余弦即可.本题如果对降次为，则就破坏了角的统一性，使问题复杂，思路混乱.【考点】二次函数最值，同角三角函数关系5.设是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称是的一个“孤立元”。
2022-2023学年湖南省娄底市高一上学期期末线上测试数学试题【含答案】
2022-2023学年湖南省娄底市高一上学期期末线上测试数学试题一、单选题1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合U =R {}23,A y y x x R==+∈{}24B x x =-<<为（ ）A ．B ．C ．D ．[]2,3-()2,3-(]2,3-[)2,3-【答案】B【分析】首先求得集合，结合图象求得正确结论.A 【详解】，所以，233y x =+≥[)3,A =+∞图象表示集合为，()U A B⋂ ，.()U ,3A =-∞ ()()U 2,3A B ⋂=- 故选：B2．已知条件，条件，则p 是q 的（ ）:240p x ->2:560q x x -+<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【详解】由，得，即，240x ->2x >:2p x >由，得，即．2560x x -+<23x <<:23q x <<推不出，但能推出，2x >23x <<23x <<2x >∴p 是q 的必要不充分条件.故选：B3．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的是（ ）A ．B ．tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．D ．sin 2y x =sin y x=【答案】D【分析】A. 根据函数的解析式判断；B.根据函数的解析式判断；C.根据函数的图象判断；D.根据函数的图象判断.【详解】A.的最小正周期为，是非奇非偶函数，故错误；tan 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πB. 的最小正周期为，是奇函数，故错误；cos 2sin 22y x xπ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭πC.如图所示：，不周期函sin 2y x=数，为偶函数，故错误；D. 如图所示：，的最小正sin y x=周期为，是偶函数，故正确；π故选：D4．若对x ，都有成立，则实数a 的最小值是（ ）∀0y >()23x y a x y ++≤+A ．B ．CD 4556【答案】B【分析】利用基本不等式可得49x y +≥101566x y x y +≥++，根据题意和不等式恒成立可得，即可得出结果.56≤56a ≥【详解】由，得，00，x y >>4090x y >>，所以时等号成立，49x y +≥=49x y =所以，106156x x y y -+-≥101566x y x y +≥++，5(23)6(x y x y +≥++由，当且仅当时等号成立，230x y +>56≤49x y =的最大值为；56由题意知，，a ≥56a ≥故a 的最小值为.56故选：B.5．已知函数，点和是函数图像的相邻的两()()tan 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭7,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 个对称中心，且函数在区间内单调递减，则（ ）()f x 24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭ϕ=A ．B ．C ．D ．6π6π-3π3π-【答案】A 【解析】根据的相邻的两个对称中心，得到周期，从而得到，结合在区间()f x ω()f x 内单调递减，得到，根据对称中心得到，再对得到的根据在区间24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭1ω=-2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ϕϕ()f x 内单调递减，进行判断，从而得到答案.24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭【详解】点和是函数图像的相邻的两个对称中心 2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭7,06π⎛⎫⎪⎝⎭()f x 且正切函数图像相邻两个对称中心的距离，2Td =函数的最小正周期，∴()f x 722263T d πππ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭即，解得.ππω=1ω=±又在区间内单调递减，()f x 24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，1ω∴=-.()()tan f x x ϕ∴=-+由，，232k ππϕ-+=k ∈Z 得，.223k ππϕ=+k ∈Z ，2πϕ<当时，；∴1k =-6πϕ=当时，.2k =-3πϕ=-①当时，，6πϕ=()tan tan 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，，262m x m πππππ-<-<+m ∈Z 得，，233m x m ππππ-<<+m ∈Z 即函数的单调递减区间为，.()f x 2,33m m πππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭m ∈Z 当时，函数的单调递减区间为，满足条件.1m =()f x 25,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭②当时，.3πϕ=-()tan tan 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，，232m x m πππππ-<+<+m ∈Z 得，，566m x m ππππ-<<+m ∈Z即函数的单调递减区间为，，()f x 5,66m m ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭m ∈Z 当，时，函数单调递减区间分别为，，1m =2()f x 7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭713,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭不符合题意，故舍去.综上所述，.6πϕ=故选：A.【点睛】本题考查根据根据正切型函数的性质求解析式，根据正切型函数的单调性和周期性求参数的值，属于中档题.6．红河州个旧市是一个风景优美的宜居城市，如图是个旧宝华公园的摩天轮，半径为20米，圆心O 距地面的高度为25米，摩天轮运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要10分钟.摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.若游客在距离地面至少35米的高度能够将个旧市区美景尽收眼底，则摩天轮转动一周内具有最佳视觉效果的时间长度（单位：分钟）为（ ）A ．B ．3C ．D ．83103113【答案】C【分析】先设出高度h 与时间t 的函数解析式为，利用三角函数的性质及特殊()sin h A t bωϕ=++点求出解析式，通过解三角函数不等式得到答案..【详解】设点P 距离地面高度h 与时间t 的函数解析式为，()sin h A t bωϕ=++由题意，得，，，20A =25b =10T =所以，2ππ5T ω==又因为，所以，()05f =π2ϕ=-所以，()πππ20sin 252520cos 0525h t t t ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭令，即，35010h t ≥⎧⎨≤≤⎩π1cos 52010t t ⎧≤-⎪⎨⎪≤≤⎩故，即在摩天轮转动的一圈内，102033t ≤≤有分钟会有这种最佳视觉效果.201010333-=故选：C.7．在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（ ）xy a -=()log a y x a =+0a >1a ≠A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】结合两个函数过定点，以及单调性相异判断即可.()0,1【详解】函数与的图象过定点，x y a -=()log a y x a =+()0,1所以C ，D 错误；又因为与单调性相异.1xxa y a-=⎛⎫= ⎪⎝⎭()log a y x a =+故选：A8．定义在上的偶函数f （x ）满足f （－x ）＋f （x －2）＝0，当时，R 10x -≤≤（已知），则（ ）()(1)e xf x x =+3ln0.4052≈A ．B ．()0.323(2022)log e 10f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()0.323(2022)e log 10f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．D ．()0.323e log (2022)10f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()0.323log e (2022)10f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据条件，推出函数的对称性，周期性和单调性，将自变量转()f x 0.3232022,e ,log 10x =到区间 内，再根据单调性即可比较大小.[]1,2【详解】∵，，∴，()()f x f x -=()()20f x f x -+-=()()()22f x f x f x =--=--∴的图像关于直线和点对称，∴的周期为4，()f x 0x =()1,0()f x 当时，，在递增，[]1,0x ∈-()()()()'1e ,2e 0x x f x x f x x =+=+＞()f x []1,0-由对称性知在，递减()f x []0,1[]1,2∴， ，()()()2022505422=⨯+=f f f 22231010log log log 1033f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，223333222221001*********,2,log log 293332⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∴=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞＞＞又 ，，2210log log 423⎛⎫= ⎪⎝⎭＜2103log ,232⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由条件知，，0.333ln0.4050.3,1e 22=∴＞＜＜0.33e 1,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴；()()0.32102022log e 3f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭故选：A.二、多选题9．下列命题：其中真命题的序号为（ ）A ．“若，则”的否命题；a b ≤a b <B ．“若，则的解集为”的逆否命题；1a =230ax x -+≥R C ．“周长相等的圆面积相等”的逆命题；D ．“为有理数，则为无理数”的逆否命题.x 【答案】ABC【分析】A 中写出否命题，判断真假，B 和D 直接判断原命题的真假得逆否命题的真假，C 写出逆命题再判断真假．【详解】“若，则”的否命题是：若，则，是真命题；a b ≤a b <a b >a b ≥命题“若，则的解集为”，时，．恒成立，1a =230ax x -+≥R 1a =112110∆=-=-<230x x -+≥是真命题，因此其逆否命题是真命题；“周长相等的圆面积相等”的逆命题是：面积相等的圆的周长相等，圆面积相等，则半径相等，周长必相等，是真命题．“为有理数，则为无理数”，是有理数，但也是有理数，原命题是假命x 0x =0=x 题，其逆否命题是假命题．故选：ABC ．10．已知幂函数的图象经过点，则（ ）()f x 12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．函数为奇函数B ．函数在定义域上为减函数()f x ()f x C ．函数的值域为D ．当时，()f x R210x x >>()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】先求出，再根据幂函数图象性质解决即可.()1f x x =【详解】设幂函数为()f x x α=将代入解析式得，故，所以，12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭122α=1α=-()1f x x =定义域为，(,0)(0,)-∞+∞ 因为，故函数为奇函数，故A 正确；()1()f x x f x =--=-函数在上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B 错误；()1f x x =()(),0,0,-∞+∞显然的值域为，故C 错误；()f x (,0)(0,)-∞+∞ 当时，，210x x >>()()()()21212121212121212121211120222222f x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x ++-++⎛⎫-=-=-=> ⎪+++⎝⎭即满足，故D 正确1212()()(22f x f x x x f ++>故选：AD 11．若函数的最小正周期为，则（ ）()()()2cos cos sin 10f x x x x ωωωω=-->πA ．B ．在上单调递增π24f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()f x π23π,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．在内有5个零点D ．在上的值域为()f x 5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]1,1-【答案】BC【分析】根据二倍角公式化简，由周期可得，代入()π24f x x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可判断A,根据整体法即可判断BD ，令，根据即可求解满足条件的零点，()0f x =πcos 204x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可判断C.【详解】.()()2π2cos cos sin 12cos 2cos sin 1cos 2sin 224f x x x x x x x x x x ωωωωωωωωω⎛⎫=--=--=-=+ ⎪⎝⎭由最小正周期为，可得，故，π2ππ12ωω=⇒=()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A,故A 错误；ππππ241246f ⎛⎫⎛⎫-=-+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B,当时，，此时单调递增，故B 正确；π3π,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]π5π7π2,π,2π444x ⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎣⎦()f x对于C ，令，()ππ20cos 2044f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以或，πππ22ππ,428x k x k +=±+⇒=+3ππ,8x k k =-+∈Ｚ当时，满足要求的有 故有5个零点，故C 正确；5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π9π17π5π13π,,,,,88888x x x x x =====对于D, 当时，，则故，所ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ3π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦πcos 2,4x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()f x ∈-⎡⎣以D 错误.故选：BC.12．已知函数，其中表示不大于的最大整数，如：，，则()[]f x x x =-[]x x []0.20=[]1.22-=-（ ）A ．是增函数B ．是周期函数()f x ()f x C ．的值域为D ．是偶函数()2f x [)0,1()2f x 【答案】BC【分析】利用特殊值法可判断AD 选项；利用函数周期性的定义可判断B 选项；利用题中的定义求出函数的值域，可判断C 选项.()2f x 【详解】对于A 选项，因为，，所以，函数不是增函数，A ()[]1110f =-=()[]2220f =-=()f x 错；对于B 选项，对任意的，存在，使得，则，x ∈R Z k ∈1k x k ≤<+[]=x k 所以，，则，112k x k +≤+<+[][]111x k x +=+=+所以，，()[][]()[]()11111f x x x x x x x f x +=+-+=+-+=-=故函数为周期函数，且周期为，B 对；()f x 1对于C 选项，对任意的，存在，使得，则，x ∈R Z k ∈21k x k ≤<+[]2x k=所以，，C 对；()[][)22220,1f x x x x k =-=-∈对于D 选项，令，该函数的定义域为，()()2g x f x =R 因为，()()[]0.40.80.80.80.8g f ==-=，()()[]0.40.80.80.80.810.2g f -=-=---=-+=所以，，故函数不是偶函数，D 错.()()0.40.4g g ≠-()2f x 故选：BC.三、填空题13．已知集合，且，则实数的值为___________.{}20,,32A m m m =-+2A ∈m 【答案】3【分析】由集合的元素，以及，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数的值.A 2A ∈m 【详解】由题可得，若，则，不满足集合元素的互异性，舍去；2m =2320m m -+=若，解得或，其中不满足集合元素的互异性，舍去，2322m m -+=3m =0m =0m =所以.3m =故答案为：3.【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.14．函数是定义在上的奇函数，并且当时，，那么()f x R ()0,x ∈+∞()2xf x =______．21log 5f ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】5-【分析】由题意判断，所以利用奇函数性质将其转化为求的值，直接利用题中21log 05<()2log 5f -解析式即可.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以()f x R 2211log log =055f f ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()2log 5221log log 5=255f f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭故答案为: 5-15．若，则的值为________.tan24tan 04πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭sin2θ【答案】/45-0.8-【分析】根据二倍角的正切公式，两角和的正切公式化简条件等式可求，再结合二倍角的正tan θ弦公式和同角关系求.sin2θ【详解】∵ ，tan 24tan 04πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭∴ ，2tan tan2tan 4401tan 1tan tan 4πθθπθθ++=--∴，22tan 4(tan 1)0θθ++=∴ ，22tan 5tan 20θθ++=∴ ，(2tan 1)(tan 2)0θθ++=∴或，1tan 2θ=-tan 2θ=-又，2222sin cos 2tan sin2=2sin cos sin cos 1tan θθθθθθθθθ==++∴ 当时，，1tan 2θ=-14sin21514θ-==-+当时，，tan 2θ=-44sin2145θ-==-+∴ 的值为，sin2θ45-故答案为：.45-16．生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的，试推算马王堆古墓的年代约为___________年前．（若每克组织中的碳14含量76.7%为1，1年后残留量为，碳14含量与死亡年份对应关系为x 年数n123…n…含量x2x 3x …nx …前后误差不超过10年，，）lg 20.3010≈lg 0.7670.1152≈-【答案】2193【分析】设生物死亡年数为，则“半衰期”个数为，列方程求解未知数即可得x 5730x573010.7672x ⎛⎫= ⎪⎝⎭解.【详解】设生物死亡年数为，则“半衰期”个数为，x 5730x若死亡时碳14的含量为1，经过个“半衰期”后，5730x残留量为，57300.510.767log 0.76725730x x⎛⎫== ⎪⎝⎭.0.5lg 0.7675730log 0.76757302193lg 2x ==⨯≈-故答案为：2193四、解答题17．已知集合，.{}36A x x =≤<{}213360B x x x =-+<（1）分别求，；A B ⋂A B ⋃（2）已知，若，求实数的取值范围.{}1C x a x a =<<+C B ⊆a 【答案】（1）A ∩B ={x |4<x <6}，；（2）{a |4≤a ≤8}.{39}A B x x ⋃=≤<∣【分析】（1）解一元二次不等式得集合，然后由交并集定义计算；B （2）根据集合的包含关系求解．【详解】（1）由题意，集合A ={x |3≤x <6}，B ={x |4<x <9}.所以A ∩B ={x |4<x <6}，.{39}A B xx ⋃=≤<∣（2），.{1}C xa x a =<<+∣{49}B x x =<<∣∵C ⊆B ，，419a a ≥⎧∴⎨+≤⎩解得：4≤a ≤8.故得实数的取值的集合为{a |4≤a ≤8}.a 18．已知πtan 224α⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求 ；tan α(2)求 的值.1cos2sin21cos2sin2αααα++-+【答案】(1)；34(2).43【分析】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可；（2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】（1）由，πtantantan 1π1242tan(222tan π24231tan tan 1tan 242αααααα+++=⇒=⇒=⇒=--所以；22122tan332tan 141tan 1()23ααα⨯===--（2）221cos 2sin 212cos 12sin cos 2cos (cos sin )14.1cos 2sin 21(12sin )2sin cos 2sin (sin cos )tan 3ααααααααααααααααα+++-++====-+--++19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm ，宽为ym．(1)若菜园面积为72m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m ，求的最小值．12x y +【答案】(1)菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小(2)．310【分析】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．利用基本不等式x +2y即可得出；（2）由已知得x +2y ＝30，利用基本不等式（）•（x +2y ）＝512x y +22y x xy ++≥得出．【详解】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．又∵x +2y 24，=当且仅当x ＝2y ，即x ＝12，y ＝6时等号成立．∴菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小．（2）由已知得x +2y ＝30，又∵（）•（x +2y ）＝59，12x y +22y x xy ++≥=∴，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立．12310x y +≥∴的最小值是．12x y +31020．已知幂函数是偶函数，且在上单调递增．()()()2234321k k f x m m x k -+=-+∈Z ()0,∞+（1）求函数的解析式；()f x（2）解不等式．()()3212f x f x +>-【答案】（1）或；（2）．()4f x x=()6f x x=()1,3,5⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据是幂函数，得到，再由是偶函数和在上单()f x 23211m m -+=()f x ()f x ()0,∞+调递增，由，且为偶函数求解.2340k k -+>（2）根据（1）偶函数在上递增，转化为求解.()f x ()0,∞+()()3212f x f x +>-【详解】（1）因为是幂函数，()f x 则，解得或，23211m m -+=0m =23m =又是偶函数，所以是偶数，()f x 234k k -+又在上单调递增，()f x ()0,∞+所以，2340k k -+>解得，14k -<<所以、、或．0k =123所以或；()4f x x =()6f x x =（2）由（1）偶函数在上递增，()f x ()0,∞+，可化为，()()3212f x f x +>-()()3212f x f x +>-即，3212x x +>-所以或．15x >-3x <-所以的范围是．x ()1,3,5⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭21．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， ()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<⎛⎫+ ⎪⎝⎭6π()g x 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.()g x ()f x 2π（1）求的解析式，并求其在上的增区间；()f x []0,π（2）若在上有两解，求实数的取值范围.()230f x m -=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m【答案】（1），；（2）.()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12⎛ ⎝【分析】（1）根据平移变换得到图像，再结合函数的性质可得的解析式，令()g x ()f x ，可得结果222232k x k πππππ-≤+≤+（2）令，问题等价于在上有两解，数形结合得到结果.23t x π=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，()f x 2π22T ππω==1,ω∴=()()2sin 2f x x ϕ∴=+()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦⎭⎭函数的图像关于原点对称，，所以()g x 3k πϕπ-+= ,2πϕ< 3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（1）由， 得，222232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈51212k x k ππππ-≤≤+Z k ∈令得，得0k =51212x ππ-≤≤1k =7131212x ππ≤≤在增区间是；()f x \[]0,π70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令，则所以()223t x π=+0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦[2s n 2]i t ∈若有两解，即在上有两解，()230f x m -=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由，即2sin y t =322m ≤-<123m <≤12m ∴<≤的取值范围是m ∴12⎛ ⎝22．已知函数是偶函数，.4()2x x f x λ+=()()12x g x f x +=-（1）若，求a 的值；()2g a ＝（2）设函数.()()()2224h x f x m g x m m =+⋅+--①若函数有两个零点，且，求m 的取值范围；()h x 12,x x 120,1x x <>②若函数在区间上的最小值为，求m 的值.()h x []1,232【答案】（1）；（2）①；②或.2log 1)a =11m -<<-12m =72m =-【分析】（1）由是偶函数求出的取值，代入，由解出的取值；（2）①化简()f x λ()g x ()2g a =a ，令，可将转化为，由范围确定的范围，利用二次函()h x 22x x t -=-()h x 2()()2p t t m m =+--x t 数的根的分布求出的范围；②，由二次函数对称轴与单调区间的关系，讨m 2()()2p t t m m =+--论的范围，确定最小值，求出对应的的取值，检验是否成立，得出结果.m m 【详解】（1）因为是偶函数，所以对于恒成立，()f x 4422x x x x λλ--++=x ∈R 化简后得，故，即.(1)(22)0xx λ---=10λ-=1λ=所以，()()()122,222x x x x xf xg x f x -+-=+=-=-由得，，即，()2g a =222a a--=222210a a -⨯-=注意到，所以，20a>21a =所以.2log 1)a =（2）①由（1）得，22(2)22x xf x -=+所以222()222(22)4x x x x h x m m m --=++⋅-+--22(22)2(22)2x x x x m m m --=-+⋅-+--令，22x xt -=-所以，222()()22()2h x p t t mt m m t m m ==++--=+--因为在实数集R 上递增，22x xt -=-所以当时，相应的，当时，相应的，10x <10t <21x >232t >因为函数有两个零点，且，()h x 12,x x 120,1x x <>所以函数有两个零点，且，22()22p t t mt m m =++--12,t t1230,2t t <>所以22(0)20,3120,24P m m p m m ⎧=--<⎪⎨⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎩所以12,11,m m -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩所以11m -<<-②，2()()()2h x p t t m m ==+--因为，所以[]1,2x ∈315,24⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t 1.当时，即时，在上递增，32m -≤32m ≥-()p t 315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，2min 313()2242p t p m m ⎛⎫==++=⎪⎝⎭所以或（舍去）；12m =52m =-2.当时，即时，31524m <-<15342m -<<-在上递减，在上递增，()p t 3,2m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15,4m ⎡⎤-⎢⎣⎦所以，min 3()()22p t p m m =-=--=所以；72m =-3.时，即时，在上递减，154m -≥154m ≤-()p t 315,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以2min 15131933()42162p t p m m ⎛⎫==++=⎪⎝⎭所以（舍去）.134m =-综上所述：或.12m =72m =-。
2024届娄底市高三数学上学期期末质量检测试卷附答案解析
2024届娄底市高三数学上学期期末质量检测试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合()(){}{140},30A x x xB x x=+-<=-≤∣∣，则A B=（）A．{14}x x-<<∣B．{03}x x<≤∣C．{13}x x-<≤∣D．{04}x x<<∣2．已知复数()()2i1iz=-+在复平面上对应的点为,i P为虚数单位，则点P的坐标是（）A．()2,1-B．()1,1C．()1,1-D．()3,13．一个圆柱形容器的底面半径为4cm，高为8cm，将该圆柱注满水，然后将一个半径为4cm的实心球缓慢放入该容器内，当球沉到容器底部时，留在圆柱形容器内的水的体积为（）A．3320πcm3B．3128πcm3C．380πcm3D．364πcm34．恩格尔系数是由德国统计学家恩斯特•恩格尔提出的，计算公式是“恩格尔系数= 100%,⨯食物支出金额总支出金额”.恩格尔系数是国际上通用的衡量居民生活水平高低的一项重要指标，一般随居民家庭收入和生活水平的提高而下降，恩格尔系数达60%以上为贫困，50%60%~为温饱，40%50%~为小康，30%40%~为富裕，低于30%为最富裕.如图是近十年我国农村与城镇居民的恩格尔系数折线图，由图可知下列结论正确的是（）A．城镇居民从2013年开始进入“最富裕”水平B．农村居民恩格尔系数的平均数低于32%C．城镇居民恩格尔系数的第45百分位数高于29%D．全国居民恩格尔系数等于农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数5．已知函数()y f x =的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（）A．()211f x x =-B．()21xf x x =-C．31()1f x x =-D．21()1f x x =-6．已知平面非零向量,a b 的夹角为60，且满足2a b a b ⋅=+ ，则a b 的最小值为（）A．B．12C．D．247．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线C 相切于点P ，连接PF ，在APF 中，设sin sin PAF AFP λ∠=∠，则λ的值为（）A．22B．1D．28．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，有()()0f x f x '->，则“0x <”是“()()4e 1e 23x f f x x >-+"的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知倾斜角为45的直线l 过点()3,0A ，动点P 在直线l 上，O 为坐标原点，动点Q 满足2QA QO =，则下列结论正确的是（）A．直线l 的方程为3y x =+B．动点Q 的轨迹方程为22(1)4x y ++=C．PQ的最大值为2D．PQ的最小值为2-10．已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，方程()13f x =在()0,π的解为()1212,x x x x <，则下列结论正确的是（）A．2ω=B．函数()f x 的图象关于点,03- ⎪⎝⎭对称C．函数()f x 在5π,π12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D．()12cos x x +=11．已知函数()()ln ,00,0ln ,0x x x f x x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，下列结论正确的是（）A．函数()f x 的图象关于点()0,0中心对称B．函数()f x 存在极大值点和极小值点C．若函数()()g x f x m =-有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是()1,1-D．对任意()12,1,1x x ∈-，不等式()()122e f x f x -≤恒成立12．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4,O 为底面ABCD 的中心，1AC 交平面1A BD 于点E ，点F 为棱CD 的中点，则（）A．1,,A E O 三点共线B．点1C 到平面1A BD的距离为3C．用过点1,,A B F 的平面截该正方体所得的较小部分的体积为563D．用过点F 且平行于平面1BDA 的平面截该正方体，则截得的两个多面体的能容纳的最大球的半径均为3三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知随机变量2,3X B ⎪⎝⎭ ，则()1P X ≥=.14．已知数列{}n a 满足212,2,nn n a a a +=⋅=则10a 的值为.15．已知直线l 与曲线11:e x C y -=相切于点()11,P x y ，且与曲线221:(1)2C y x =--相切于点()22,Q x y ，则122x x -=.16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，直线1l 和2l 相互平行，直线1l 与双曲线C 交于,A B 两点，直线2l 与双曲线C 交于,D E 两点，直线AE 和BD 交于点P （异于坐标原点）.若直线1l 的斜率为3，直线(OP O 是坐标原点)的斜率1k ≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17．设等差数列{}n a 的前n 项和为457,560,49n S a S S +==.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若121n n n n b S S ++=，求证：1n T <.18．某无人飞机研发中心最近研发了一款新能源无人飞机，在投放市场前对100架新能源无人飞机进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：(1)估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)经计算第（1）问中样本标准差s 的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款新能源无人飞机的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ（用样本平均数x 和标准差s 分别作为μ和σ的近似值），现任取一架新能源无人飞机，求它的单次最大续航里程[]250,400X ∈的概率；（参考数据：若随机变量()2,X N μσ ，则()()()0.6827,220.9545,330.9973P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈-≤≤+≈）(3)该无人飞机研发中心依据新能源无人飞机的载重量和续航能力分为卓越A 型､卓越B 型和卓越C 型，统计分析可知卓越A 型､卓越B 型和卓越C 型的分布比例为3:2:1，研发中心在投放市场前决定分别按卓越A 型､卓越B 型和卓越C 型的分布比例分层随机共抽取6架，然后再从这6架中随机抽取3架进行综合性能测试，记随机变量Y 是综合性能测试的3架中卓越A 型的架数，求随机变量Y 的分布列和数学期望.19．如图所示，在平面四边形ABEC 中，角A 为钝角，且sin sin 1cos cos cos2ABC ACB ABC ACB A ∠⋅∠+=∠⋅∠-.(1)求钝角A 的大小；(2)若2,,120,30BC EC ACE EBC =∠=∠=，求ABC ∠的大小.20．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是长方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且,PD DC E =是侧棱PC 的中点，F 是侧棱PB 上（异于端点）的点，且DF PB ⊥，连接,,,DE DF BD BE.(1)求证：PB ⊥平面DEF ；(2)若2,(0)DC BC DC λλ==>，锐二面角F DE B --的余弦值为1010，求四棱锥P ABCD -的体积.21．已知函数()21e 2x f x ax x x =--.(1)当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；(2)若不等式2321()ln 2f x x x x x x ≤-+-在1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，离心率e ，椭圆C 上一动点D 到F 的距离2-.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设斜率为()0k k ≠的直线l 过F 点，交椭圆C 于,A B 两点，记线段AB 的中点为N ，直线ON 交直线3x =于点M ，直线MF 交椭圆C 于,P Q 两点，求MFA ∠的大小，并求四边形APBQ 面积的最小值.1．C【分析】解不等式化简集合，结合交集的概念即可得解.【详解】因为集合{}{14},3A x x B x x =-<<=≤∣∣，所以{13}A B xx ⋂=-<≤∣.故选：C.2．D【分析】由复数乘法以及复数的几何意义即可得解.【详解】因为()()2i 1i 3iz =-+=+，所以点P 坐标是()3,1.故选：D.3．B【分析】分别求出圆柱体积及球的体积，再相减即可得出结果.【详解】根据题意可知留在容器内水的体积为等于圆柱体积减去实心球的体积，即234128π48π4π33V =⨯⨯-⨯=3cm .故选：B4．C【分析】对于A，直接观察折线统计图即可判断；对于B，结合平均数的定义以及图中数据判断即可；对于C，结合百分位数的定义即可判断；对于D，无法确定农村居民与城镇居民的比例，由此即可判断.【详解】对于A：从折线统计图可知2015年开始城镇居民的恩格尔系数均低于30%，即从2015年开始进入“最富裕”水平，故A 错误；对于B：农村居民恩格尔系数只有2017､2018､2019这三年在30%到32%之间，其余年份均大于32%，且2012､2013这两年大于（等于）34%，故农村居民恩格尔系数的平均数高于32%，故B 错误；对于C：城镇居民恩格尔系数从小到大排列（所对应的年份）前5位分别为2019､2018､2017､2021､2020，因为1045% 4.5⨯=，所以第45百分位数为第5位，即2020年的恩格尔系数，由图可知2020年的恩格尔系数高于29%，故C 正确；对于D：由于无法确定农村居民与城镇居民的比例，故不能用农村居民恩格尔系数和城镇居民恩格尔系数的平均数作为全国居民恩格尔系数，故D 错误.故选：C.5．D【分析】根据图象，结合各个选项的函数，逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于选项A，由()211f x x =-，得()01f =-，不符合函数图象，所以选项A 错误，对于选项B，因为()22()()11x xf x f x x x ---===----，且()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，关于原点对称，所以()f x 是奇函数，不符合函数图象，所以选项B 错误，对于选项C，因为()311f x x =-的定义域为{}1x x ≠∣，不符合函数图象，所以选项C 错误，故选：D.6．D【分析】根据向量数量积的定义和关系，把2a b a b⋅=+ 的两边平方，利用基本不等式进行转化求解即可．【详解】由已知非零向量,a b 的夹角为60 ，所以1cos602a b a b a b ⋅==，由2a b a b ⋅=+ ，两边平方得2222221||44424264a b a b a b a b a b a b a b a b =++⋅=++≥+=当且仅当2||||a b = 时等号成立，所以24a b ≥ ，所以a b 的最小值为24.故选：D.7．A【分析】由抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，利用正弦定理即可求解.【详解】由已知,0,,022p p F A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设点P 在准线上的射影为Q ，则PF PQ=，因为直线AP 与抛物线C 相切.设PA 的方程为()02p y k x k ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，与22y px =联立得()222221204k x k px p k +-+=，由()22224Δ2k p p k =--=，解得1k =±，当1k =±时，2sin 2PAQ ∠=.在三角形APF 中由正弦定理可知：sin 2sin sin 2PF PQ PAF PAQ AFP PA PA λ∠====∠=∠.故选：A8．A【分析】根据题意可构造函数()()x f x g x =e ，利用函数单调性解不等式即可解得4x <，再由集合间的关系可得结论.【详解】设()()x f x g x =e ，该函数的定义域为R ，则()()()e xf x f xg x '-'=>，所以()g x 在R 上单调递增.由()()4e 1e 23xf f x x >-+可得()()123123e e x x f x f x +-+->，即()()123g x g x +>-，又()g x 在R 上单调递增，所以123x x +>-，解得4x <，显然集合{}|0x x <是集合{}|4x x <的真子集，所以“0x <”是“()()4e 1e 23x f f x x >-+”的充分不必要条件.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据()()0f x f x '->构造函数，并将不等式()()4e 1e 23x f f x x >-+变形，利用单调性解不等式即可得结论.9．BD【分析】根据斜率及点斜式判断A 选项；根据轨迹方程判读B 选项；根据点到直线距离判断C,D 选项.【详解】由倾斜角为45得出斜率为1，,直线l 过点()3,0，得直线l 的方程为3y x =-，故选项A 错误；设()()()222222,,2,|4|,34Q x y QA QO QA QO x y x y =∴=∴-+=+ ，可得动点Q 的轨迹为圆22:(1)4C x y ++=，故选项B 正确；因为圆心()1,0C -到直线l 的距离d ==，所以由2PQ CP CQ d ≥-≥-可知线段PQ最小值为22d -=-，线段PQ无最大值，所以选项C 错误､D 正确.故选:BD .10．ABD 【分析】由2ππT ω==即可判断A，由代入检验法即可判断B，由复合函数单调性、正弦函数单调性即可判断，通过数形结合以及对称性即可验算.【详解】由函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，得2ππT ω==，所以2ω=，故选项A 正确；因为()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得()πππsin 2sin π0333f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以函数()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项B 正确；由5ππ12x <<，得ππ52π233x <-<，所以函数()f x 在5π,π12⎛⎫ ⎪⎝⎭上先减后增，故选项C 错误；当()0,πx ∈时，ππ5π2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，依题意有12ππ1sin 2sin 20333x x ⎛⎫⎛⎫-=-=>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可知，12πππ222332x x -+-=⨯，即125π6x x +=，所以()125πcos cos62x x +==-，故选项D 正确.故选：ABD.11．ABD【分析】根据奇函数的定义可判断选项A；先利用导数判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，求出最值，再结合奇函数的性质作出()f x 的大致图象可判断选项B；先将函数()()g x f x m =-有三个不同的零点转化为函数()y f x =与y m =的图象有三个不同的交点，再利用函数()f x 的大致图象可判断选项C；结合函数()f x 的大致图象求出()()max min,f x f x ，再根据()()()()12max minf x f x f x f x -≤-即可判断选项D.【详解】因为()00f =；当0x ≠时，()()ln ln 0f x f x x x x x +-=-=，所以()f x 为奇函数，则()f x 关于点()0,0对称，故选项A 正确；当0x >时，()ln 1f x x ='+.令()0f x ¢>，解得1e x >；令()0f x '<，解得10e x <<，()f x \在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又由()f x 为奇函数，11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0lim ()0x f x →=，lim ()x f x →+∞=+∞，可得()f x的大致图象如下所示，故选项B 正确；因为函数()()g x f x m=-有三个不同的零点，所以函数()y f x =与y m =的图象有三个不同的交点.由图象可得：实数m 的取值范围是11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选项C 错误；因为()()1100f f -==，所以结合函数()y f x =的图象可得：当[]1,1x ∈-时，()max 11e e f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()min 11e e f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭.所以对任意()12,1,1x x ∈-，()()()()12max min 2e f x f x f x f x -≤-=，故选项D 正确.故选ABD.12．ACD【分析】对于A，只需证明1,,A E O 三点都在平面1A BD 与平面11ACC A 上（即在交线上）即可判断；对于B，首先证明1AC ⊥平面1A BD ，然后通过解三角形知识即可验算；对于C，首先得出过点1,,A B F 的平面截该正方体所得的较小部分为三棱台1DFG ABA -，结合棱台体积公式验算即可；对于D，首先算出21A O =22222222218A C D A B D A B C S S S === ，22212B C D S =⨯= 【详解】由已知O AC ∈⊂平面111,ACC A E AC ∈⊂平面111,ACC A A ∈平面11ACC A ，又O BD ∈⊂平面1,A BD E ∈平面11,A BD A ∈平面1A BD ，所以1,,A E O 三点都在平面1A BD 与平面11ACC A 的交线上，即1,,A E O 三点共线，故A 正确；因为1C C ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以1BD C C ⊥，又11,,,BD AC AC C C C AC C C ⊥=⊂ 平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥，同理可得11AC A B ⊥，因为1,BD A B B BD ⋂=，1A B ⊂平面1A BD ，所以1AC ⊥平面1A BD ，则1C E 的长度就是点1C 到平面1A BD 的距离，显然E 为正三角形1A BD 的中心，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，所以正三角形1A BD的边长为123A E ==，又11A C =，所以1C E ===，即点1C 到平面1A BD的距离为3，故B 错误；取1D D 的中点G ，连接1,,FG GA BF ，因为FG 1CD 1A B ，所以等腰梯形1A BFG 就是过点1,,A B F 的平面截该正方体所得的截面，如图：所以过点1,,A B F 的平面截该正方体所得的较小部分为三棱台1DFG ABA -，其体积为((11156284333DFG ABA V S S AD =+⋅=++⨯= ，故C 正确；过点F 且平行平面1BDA的平面截该正方体，所截得的两个多面体全等，如下图所示，该七面体能容纳的最大球亦为正三棱锥2222A B C D -的内切球（如下图所示），22222262,(32)(32)6B D A D ==+=，设1O 为222B C D △的中心，则2123622632D O =⨯=2221222123A O A D D O =-=，设正三棱锥2222A B C D -的内切球的半径为r ，则()2222222222222222222211133A B C D B C D A C D A B D A B C B C D V A O S r S S S S -=⋅=+++ ，①在222A C D △中，2222226,62A D A C C D ===得22222222218A C D A B D A B C S S S === ，2221362621832B C D S =⨯= 代入①，得63333r ==+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：判断D 选项的关键是准确画出图形计算正三棱锥2222A B C D -的表面积体积，由等体积法即可顺利得解.13．89【分析】由二项分布的概率计算公式运算即可得解.【详解】因为22,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，所以()2122222281C 1C 3339P X ⎛⎫⎛⎫≥=⨯⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：89.14．32【分析】由递推式12nn n a a +=⋅推导出{}2k a 构成一个等比数列，利用等比数列的通项公式即可求得（要注意下标为连续的偶数，计算时项数应是下标的一半）.【详解】因为12nn n a a +=⋅，所以1122n n n a a +++=⋅，两式相除得22n na a +=，故数列{}2k a 是公比为2的等比数列，由22a =，所以5151022232a a -=⋅==.故答案为：32.15．3【分析】利用导数的几何意义表示出切线方程，即可得到()11122121e 101e 12x x x x x --⎧=->⎪⎨--=⎪⎩，从而得解.【详解】由已知直线l 与曲线11:ex C y -=相切于点()111,e x P x -，因为1e x y -'=，所以直线l 的方程为()11111e e x x y x x ---=-，即()11111e e 1x x y x x --=+-，又直线与曲线221:(1)2C y x =--相切于点()2221,12Q x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为()1y x '=--，所以直线l 的方程为()()()22221112y x x x x +-=---，即()222112x y x x -=-+，所以()11122121e 101e 12x x x x x --⎧=->⎪⎨--=⎪⎩，所以()()22221101112x x x x ->⎧⎪⎨---=⎪⎩，即21112x x =+--，所以1223x x -=.故答案为：316．)⎡⋃+∞⎣【分析】首先3b a ≠，故e =≠，其次由题意由点差法得223M M b y x a =①，同理223N N b y x a =②，由,,P M N 三点共线，所以0000M N M N y y y y x x x x --=--，代入得202013y b k a x ==≥，结合离心率公式即可得解.【详解】由题意，3b a ≠，故e =≠，设()()()()()1122334400,,,,,,,,,,A x y B x y D x y E x y P x y AB的中点(),,M M M x y DE的中点(),N NN x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减，得22221212220x x y y a b ---=，化简得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=+-，所以2122123M M x y y b a y x x -⋅==-，所以223M M b y x a =①，同理223N N b y x a =②，因为AB DE ，所以,,P M N 三点共线，所以0000M N M N y y y y x x x x --=--，将①②代入得2200220033M N M N b b x y x y a a x x x x --=--，即()200203M N b x x x y a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为M N x x ≠，所以202013y b k a x ==≥，所以223b a ≥，所以双曲线C的离心率为2c e a ==≥.所以双曲线C的离心率的取值范围为)⎡⋃+∞⎣.故答案为：)⎡⋃+∞⎣.【点睛】关键点睛：关键是用点差法来得到223M M b y x a =①，同理223N Nb y x a =②，结合,,P M N 三点共线以及离心率公式即可顺利得解.17．(1)21n a n =-；(2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件，列出关于等差数列的首项与公差的方程组，进行求解即可.（2）利用裂项相消求出n T ，再结合不等式的性质证明1n T <.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，依题意可得()1115453560,276749,2a d a d a d ⨯⎧+++=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩即112512,37,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩所以()()1111221n a a n d n n =+-=+-⨯=-.（2）由（1）可得()21212n n n S n +-==，所以22222111(1)(1)n n b n n n n +==-++.()12322222222111111111223341n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦ 2111(1)n =-<+.18．(1)300(2)0.8186(3)分布列见解析，数学期望为32【分析】（1）由直方图中每个区间中点值乘以相应频率再相加可得；（2）根据正态分布的概率性质计算；（3）随机变量Y 的可能取值为0,1,2,3，分别求出其概率后得分布列，再由期望公式计算期望．【详解】（1）估计这100架新能源无人飞机的单次最大续航里程的平均值为：2050.12550.23050.453550.24050.05300x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）()2300,50X N ~ ，()()0.68270.954525040020.818622P X P X μσμσ∴≤≤=-≤≤+≈+=.（3）由题设可知抽取的6架新能源无人飞机中，卓越A 型､卓越B 型和卓越C 型的架数分别为3架､2架和1架，随机变量Y 的可能取值为0,1,2,3.()()031233333366C C C C 1901C 20C 20P Y P Y ======，()()123033333366C C C C 912,3C 20C 20P Y P Y ======，随机变量Y 的分布列如下表：Y0123P120920920120()199130123202020202E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.19．(1)120(2)15【分析】（1）利用两角和的余弦公式，二倍角余弦公式，诱导公式将条件式化简，求得cos A 的值得解；（2）设ABC α∠=，由正弦定理求得,EC AC ，结合条件EC ，求得1sin22α=，结合角α的范围求得结果.【详解】（1）因为sin sin 1cos cos cos2ABC ACB ABC ACB A ∠⋅∠+=∠⋅∠-，所以1cos2cos cos sin sin A ABC ACB ABC ACB +=∠⋅∠-∠⋅∠，所以()22cos cos A ABC ACB =∠+∠，又180A ABC ACB +∠+∠=，所以()22cos cos 180A A=- ，即22cos cos 0A A +=，解得1cos 2A =-或者cos 0A =，又A 为钝角，所以120A =o .（2）设ABC α∠=，四边形内角和为360，由（1）的结论知：90E α+∠=，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin BC ACA α=，即43sin sin sin 3BC AC A αα==，在BCE 中，sin sin EC BC CBE E ∠=，即1sin sin sin BC EC CBE E E =∠=，又1,4sin sin EC E α=∴=，则()4sin sin 901αα-=，即4sin cos 1αα=，即1sin22α=，120,180,060A A ACB αα=++∠=∴<< ，即02120α<< ，230α∴=o ，即15α=o ，即ABC ∠的大小为15 .20．(1)证明见解析(2)答案见解析【分析】（1）先证DE ⊥平面PBC ，得PB DE ⊥，根据线面垂直的判定即可证；（2）利用空间向量法可求2λ=或λ=【详解】（1）因为PD ⊥底面,ABCD BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PDC ，所以BC ⊥平面PCD ，而DE ⊂平面PDC ，所以BC DE ⊥，又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥，而,,PC CB C PC CB ⋂=⊂平面PBC ，所以DE ⊥平面PBC ，而PB ⊂平面PBC ，所以PB DE ⊥.又,,,DF PB DE DF D DE DF ⊥⋂=⊂平面DEF ，所以PB ⊥平面DEF .（2）由已知,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，射线,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.因为2,DC BC DC λ==，则()()()()0,0,0,0,0,2,2,2,0,0,2,0D P B C λ，点E 是PC 的中点，所以()0,1,1E ，由（1）PB ⊥平面DEF ，又()2,2,2PB λ=-.所以取平面DEF 的法向量为(),1,1m λ=-.设平面DEB 的法向量为(),,n x y z =，又()()0,1,1,2,2,0DE DB λ==，所以0,220,DE n y z DB n x y λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 即,,y z y x λ=-⎧⎨=-⎩令1x =，得()1,,n λλ=-.所以cos ,n m n m n m⋅〈〉==⋅=，求得λ或λ=当λ=时，BC =所以112233P ABCD ABCD V S PD -=⋅=⨯=.当λ=BC =所以1122333P ABCD ABCD V S PD -=⋅=⨯⨯=.21．(1)()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增(2)21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【分析】（1）直接由()0f x '>得增区间，由()0f x '<得减区间；（2）问题转化为对任意1[,)e x ∈+∞,2ln e x x x x x a -+≤恒成立，引入函数2ln 1(),[,)e e xx x x x h x x -+=∈+∞，利用导数求出()h x 的最小值即可．为此需要求出则()()()1ln 2e xx x x h x '--+=，并令()ln 2x x x ϕ=-+，则()1xx x ϕ'-=，确定存在201e x <<时，0()0h x '=，然后得出()h x 的极值，比较0()h x 和1(e h 的大小即可得．【详解】（1）由1a =得函数()21e 2x f x x x x =--，所以()()()()1e 11e 1x x f x x x x '=+--=+-，令()0f x '<得10x -<<，令()0f x '>得1x <-或0x >，所以()f x 在(),1∞--上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增.（2）由2321()ln 2f x x x x x x ≤-+-，得232e ln x ax x x x x ≤-+，又1,e x ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，所以2e ln x a x x x x ≤-+，即对任意1[,)e x ∈+∞,2ln e x x x x x a -+≤恒成立，令2ln 1(),[,)e e x x x x x h x x -+=∈+∞，则()()()1ln 2e x x x x h x '--+=，令()ln 2x x x ϕ=-+，则()1xx x ϕ'-=，所以当11e x <<时，()0x ϕ'>，当1x >时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()1,∞+上单调递减，又2211(10,(1)10,(e )4e 0e e ϕϕϕ=->=>=-<，所以当1,e x ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，()x ϕ在()21,e 内存在唯一的零点0x ，所以当1,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()0,0,x h x h x ϕ>'>单调递增，当()01,x x ∈时，()()()0,0,x h x h x ϕ<'>单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()()()0,0,x h x h x ϕ'单调递增，所以min0min 1(){(),(e h x h x h =，12e1()e e h --=-，因为()000ln 20x x x ϕ=-+=，所以02000ln 11,e x x x x --+=-=，所以00000220000000002ln (ln 1)e 1()e e e e e x x x x x x x x x x x x x h x --+-+--=====-，因为e122ee ---->-，所以01()()e h h x >，所以()()02min1e h x h x ==-，所以实数a 的取值范围为21,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.【点睛】方法点睛：本题利用导数研究不等式恒成立求参数范围，可通过分离参数法转化为求新函数的最值．难点在于新函数2ln 1(),[,)e e xx x x x h x x -+=∈+∞的最值，求出导函数()()()1ln 2e xx x x h x '--+=后其零点不能直接确定，需要对其中的一部分函数()ln 2x x x ϕ=-+进行定性确定零点0x （利用层层确定其存在性及范围），然后确定0()h x 是极小值，还要与1()e h （端点处函数值）比较．22．(1)22162x y +=(2)π2，3【分析】（1）由题意2c e a c a ==-=-，结合平方关系即可得解.（2）由题意设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为()2y k x =-，联立椭圆方程，结合韦达定理、中点坐标公式得N 坐标，ON 方程，联立3x =进而得M 坐标，可以发现1MF AB k k ⋅=-，所以π2MFA ∠=，由四边形APBQ 对角线互相垂直，以及弦长公式、同理思想可表示出面积，结合基本不等式的相关推论即可得解.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c，由已知23c e a c a ==-=，求得2a c ==，所以222642b a c =-=-=.所以椭圆C 的方程为22162x y +=.（2）由已知椭圆C 的右焦点为()2,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的方程为()2y k x =-，联立()221622x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()222231121260kx k x k +-+-=.则()()()224222121222121261442421312410,,3131k k k k k k x x x x k k -∆=--+=+>+==++.于是有()121224431ky y k x x k k -+=+-=+.因为AB 的中点为N ，所以22262,3131k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因此直线ON 的斜率13ONk k =-，因为直线1:3ON y xk =-交直线3x =于点M ，所以13,M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线MF 的斜率为1132MFk k k --==--，即得1MF ABk k⋅=-，因此直线MF与直线PQ垂直，所以π2MFA∠=，所以12 AB x=-=)22131kk+==+.因为1MF ABk k⋅=-，所以直线MF的方程为()12y xk=--，同理可得)22221113131kkPQkk⎤⎛⎫-+⎥⎪+⎝⎭⎥⎣⎦==+⎛⎫-+⎪⎝⎭，所以四边形APBQ的面积()))()()()22222222111211122313313k k kS k AB PQk k k k+++=⋅=⋅⋅=++++.因为()()()()()2222222313313412k kk k k⎡⎤+++⎢⎥++≤=+⎢⎥⎣⎦，当且仅当22313k k+=+，即1k=±时等号成立，所以()()()()()()22222222121121331341k kS kk k k++=≥=+++，故四边形APBQ面积的最小值为3.【点睛】关键点睛：第二问求MFA∠的关键是先用AB的斜率表示出MF的斜率，结合到角公式可以得夹角，事实上可以得1MF ABk k⋅=-，问题就简单了，然后由弦长公式、同理思想表示出四边形面积，即可顺利得解.。
2020-2021学年湖南省娄底市高一上期末考试数学试卷及答案解析
2020-2021学年湖南省娄底市高一上期末考试数学试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．由实数x，﹣x，|x|，，所组成的集合，最多含元素个数为（）A．2B．3C．4D．52．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x|x|C．f（x）＝﹣D．f（x）＝﹣x3 4．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声调m0（m0约为10﹣12，单位：W/m2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（）米．A．5B．10C．45D．485．设a＝0.74，b＝40.7，c＝log40.7，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥210．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为．16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．2020-2021学年湖南省娄底市高一上期末考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．由实数x，﹣x，|x|，，所组成的集合，最多含元素个数为（）A．2B．3C．4D．5解：由题意可知﹣＝﹣|x|，＝x且|x|＝±x，所以以实数x，﹣x，|x|，﹣，为元素所组成的集合，最多含有x，﹣x两个元素．故选：A．2．已知p：|m+1|＜1，q：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，则p是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：p：|m+1|＜1等价于﹣2＜m＜0，∵幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递减，∴m2﹣m﹣1＝1，且m＜0，解得m＝﹣1，∴p是q的必要不充分条件，故选：B．3．下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（）A．f（x）＝|x|B．f（x）＝x|x|C．f（x）＝﹣D．f（x）＝﹣x3解：对于A：f（x）＝|x|是偶函数，故A不满足条件；对于B：f（x）＝x|x|的定义域为R，f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣f（x），为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2单调递增，当x＜0时，f（x）＝﹣x2单调递增，且f（0）＝0，则f（x）在R上单调递增，故B满足条件；对于C：f（x）＝﹣是奇函数，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增，故C不满足条件；对于D；f（x）＝﹣x3是减函数，故D不满足条件．故选：B．4．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声调m0（m0约为10﹣12，单位：W/m2）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y（分贝）与喷出的泉水高度x（米）满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为（）米．A．5B．10C．45D．48解：设B同学的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学的声强为10m，喷出泉水高度为50，由10lg＝2x，得lgm﹣lgm0＝0.2x，①∵，∴1+lgm﹣lgm0＝10，②①﹣②得：﹣1＝0.2x﹣10，解得x＝45，∴B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45米．故选：C．5．设a＝0.74，b＝40.7，c＝log40.7，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜a＜b解：∵a＝0.74＜0.70＝1，b＝40.7＞40＝1，c＝log40.7＜log41＝0，∴c＜a＜b，故选：D．6．今有一组实验数据如下：x 2.00 3.00 4.00 5.10 6.12y 1.5 4.07.51218.1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．y＝2x﹣2B．C．y＝2x﹣1D．y＝log2x解：由表格数据可知y随x的增大而增大，且增加速度越来越快，排除A，D，又由表格数据可知，每当x增加1，y的值不到原来的2倍，排除C，故选：B．7．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位解：根据函数的图象，，所以T＝π，则ω＝2，所以φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝．由于|φ|＜，所以当k＝1时，解得φ＝．所以f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin2x的图象，可将f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：A．8．已知函数f（x）＝sin2x﹣cos2x，则（）A．f（x）的最小正周期为B．曲线y＝f（x）关于对称C．f（x）的最大值为2D．曲线y＝f（x）关于对称解：函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），所以函数的最小正周期T＝＝π，所以A不正确；f（x）的最大值为，所以C不正确；函数的对称中心满足2x﹣＝kπ，所以x＝+，k∈Z，可得B不正确；函数的对称轴满足2x﹣＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，当k＝0时，x ＝，所以D正确．故选：D．二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）9．分析给出的下面四个推断，其中正确的为（）A．若a，b∈（0，+∞），则≥2B．若xy＜0，则≤﹣2C．若a∈R，a≠0，则+a≥4D．若x，y∈（0，+∞），则lgx+lgy≥2解：选项A，因为a，b∈（0，+∞），所以≥2＝2，当且仅当a＝b时，等号成立，即选项A正确；选项B，因为xy＜0，所以﹣＞0，﹣＞0，所以＝﹣[（﹣）+（﹣）]≤﹣2＝﹣2，当且仅当x＝﹣y时，等号成立，即选项B正确；选项C，当a＜0时，+a≤﹣4，即选项C错误；选项D，当x，y∈（0，1）时，lgx，lgy∈（﹣∞，0），不适用于基本不等式，即选项D 错误．故选：AB．10．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，1）上单调递增的是（）A．y＝2x3+4x B．y＝x+sin（﹣x）C．y＝log2|x|D．y＝2x﹣2﹣x解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2x3+4x，有f（﹣x）＝﹣（2x3+4x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝6x2+4，在区间（0，1）上，有y′＝6x2+4＞0，为增函数，符合题意；对于B，y＝x+sin x，有f（﹣x）＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝1+cos x，在区间（0，1）上，有y′＝1+cos x＞0，为增函数，符合题意；对于C，y＝log2|x|，有f（﹣x）＝log2|x|＝﹣f（x），y＝log2|x|为偶函数，不符合题意；对于D，y＝2x﹣2﹣x，有f（﹣x）＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，又由y′＝（2x+2﹣x）ln2，在区间（0，1）上，有y′＝（2x+2﹣x）ln2＞0，为增函数，符合题意；故选：ABD．11．函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0）的部分图象如图所示，已知函数f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，则下列说法正确的是（）A．函数|f（x）|的最小正周期为2B．点为函数f（x）的一个对称中心C．函数f（x）的图象向左平移个单位后得到y＝A sin（ωx+φ）的图象D．函数f（x）在区间上是增函数解：由题意可知，函数f（x）过（，0），（，﹣1），所以＝﹣＝，可得T＝＝2，解得ω＝π，因为f（x）的最小值为﹣1，所以A＝1，将（，﹣1）代入f（x）＝cos（πx+φ）中，可得cos（π+φ）＝﹣1，所以π+φ＝2kπ+π，k∈Z，因为＜φ＜0，所以k＝0时，φ＝﹣，所以f（x）＝cos（πx），T＝2，所以|f（x）|的最小正周期为＝1，故A错误，将（﹣，0）代入f（﹣）＝cos（﹣π﹣）＝cos（﹣）＝0，故B正确，f（x）向左移个单位即f（x+）＝cos[π（x+）﹣]＝cos（πx+）＝cos[π+（πx ﹣）]＝sin（），故C正确，由f（x）在区间[0，m]有且仅有3个极大值点，所以m∈[，），f（x）的增区间为[2k，2k+]，k∈z，﹣∈[﹣，﹣]，所以[﹣，0]⊂[﹣，]，故D正确．故选：BCD．12．已知正实数x，y满足，则下列结论正确的是（）A．B．x3＜y3C．ln（y﹣x+1）＞0D．2x﹣y＜解：∵正实数x，y满足，∴＜﹣．当x＞y时，＞1，＞0，而＜，∴﹣＜0，故＜﹣不可能成立．当x＝y时，＝0＜﹣＝0，不可能成立．故x＜y，∴＞，x3＜y3，故A不正确、B正确；∴y﹣x＞0，y﹣x+1＞1，ln（y﹣x+1）＞0，故C正确；2x﹣y＜20＝1，故D不一定正确，故选：BC．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知5x2y2+y4＝1（x，y∈R），则x2+y2的最小值是．解：方法一、由5x2y2+y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈（0，1]，则x2+y2＝+y2＝＝（4y2+）≥•2＝，当且仅当y2＝，x2＝，可得x2+y2的最小值为；方法二、4＝（5x2+y2）•4y2≤（）2＝（x2+y2）2，故x2+y2≥，当且仅当5x2+y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝时取得等号，可得x2+y2的最小值为．故答案为：．14．已知函数，则f（x）+f（2﹣x）＝2．解：．15．已知函数f（x）＝a x﹣2﹣4（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，则A的坐标为（2，﹣3）．解：由x﹣2＝0得x＝2，此时f（2）＝a0﹣4＝1﹣4＝﹣3，即函数f（x）过定点A（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）16．若将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，则ω的最小值为．解：将函数f（x）＝sinωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），可得y＝sinω（x﹣）的图象；又已知得到函数g（x）＝sin（ωx﹣）的图象，∴＝+2kπ，k∈Z，则ω的最小值为，故答案为：．四．解答题（共6小题，第17题10分，18-22每小题12分，共70分）17．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}．（1）命题p：x∈A，命题q：x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围；（2）若∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，求实数m的取值范围．解：（1）B＝{x|x2﹣2mx+m2﹣1≤0}＝{x|（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0}⇒{x|m﹣1≤x≤m+1}．由p是q的必要非充分条件知：B⫋A，∴，解得0≤m≤1．（2）由∀x∈A，都有x2+m≥4+3x，得m≥﹣x2+3x+4，x∈[﹣1，2]，令y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，x∈[﹣1，2]，∴当x＝时，y取最大值为，∴m≥．18．（1）用定义法证明：函数是（﹣1，+∞）上的增函数；（2）判断函数的奇偶性并证明．解：（1）设x1＞x2＞﹣1，则f（x1）﹣f（x2）＝x1+﹣（x2+）＝（x1﹣x2）+＝（x1﹣x2）（1﹣），由x1＞x2＞﹣1，可得x1+2＞1，x2+2＞1，∴（x1+2）（x2+2）＞1；0＜＜1，∴1﹣＞0；又∵x1﹣x2＞0，可得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．即f（x）在区间（﹣1，+∞）上是增函数．（2）设x＞0，则﹣x＜0；∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣﹣1＝﹣（x﹣+1）＝﹣g（x），设x＜0，﹣x＞0，∴g（﹣x）＝（﹣x）﹣+1＝﹣（x﹣﹣1）＝﹣g（x），则g（x）为奇函数．19．已知二次函数f（x）的值域为[﹣9，+∞），且不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5）．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数y＝f（）的值域．解：（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）＝ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（﹣1，5），则有：﹣1和5是对应方程ax2+bx+c＝0的两不等实根，且a＞0；所以：由根与系数关系可得：①：﹣1+5＝﹣；②：（﹣1）×5＝；因为二次函数f（x）的值域为：[﹣9，+∞），则有：＝﹣9；函数的对称轴为：x＝﹣＝2；即函数的顶点坐标为：（2，﹣9）；即4a+2b+c＝﹣9；③由①②③可得：a＝1，b＝﹣4，c＝﹣5；所以：二次函数f（x）＝x2﹣4x﹣5，（2）函数y＝f（）中，令t＝，则t∈[0，3]；所以函数y＝f（t）＝t2﹣4t﹣5＝（t﹣2）2﹣9，当t＝2时，f（t）取得最小值为f（2）＝﹣9，当t＝0时，f（t）取得最大值为f（0）＝﹣5，所以f（t）的值域为[﹣9，﹣5]，即函数y的值域为[﹣9，﹣5]．20．设函数f（x）＝．（1）求函数f（x）的对称中心；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．解：因为函数f（x）＝2sin x cos x+2cos2x﹣＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），（1）令2x+＝kπ，k∈Z，解得x＝﹣，k∈Z，故函数的对称中心为（﹣，0），k∈Z；（2）令2x+，解得x，又因为x∈[0，π]，所以令k＝0，解得x，故函数的单调递减区间为[]．21．已知函数f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+，g（x）＝sin x．（Ⅰ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）将函数f（x）图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数h（x）的图象，并设F（x）＝h（x）+t（g（x）+g（x+））．若F（x）＞0在[0，]上有解，求实数t的取值范围．解：（Ⅰ）∵f（x）＝2sin x cos x﹣2sin2x+＝sin2x﹣2•+＝sin2x+cos2x＝2sin（2x+），∵x∈[0，]，∴2x+∈[，π]，∴sin（2x+）∈[0，1]，∴f（x）＝2sin（2x+）∈[0，2]，函数f（x）的值域为[0，2]…4分（Ⅱ）∵由题意可得h（x）＝4sin2x，…6分∴F（x）＝4sin2x+t[sin x+sin（x+）]＝4sin2x+t（sin x+cos x），（0≤x≤），设u＝sin x+cos x＝sin（x+），∵x∈[0，]，∴u∈[1，]，且sin2x＝u2﹣1，∴F（x）＞0在[0，]上有解，等价于不等式4（u2﹣1）+tu＞0在u∈[1，]时有解，即存在u∈[1，]使得﹣t＜4（u﹣）成立，∵y＝4（u﹣）在u∈[1，]时单调递增，∴y＝4（u﹣）≤4（）＝2，∴﹣t＜2，即t＞﹣2，即实数t的取值范围为（﹣2，+∞）…12分22．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病．面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位，明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．随着疫情防控形势好转，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p（t）（单位：个）与发车时间间隔t近似地满足p（t）＝，其中t∈N．（1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1500个，试求发车时间间隔t的值；（2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q（t）＝﹣80（单位：元），问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．解：（1）当9≤t≤15时，p（t）＝1800超过1500，不合题意；当4≤t＜9，p（t）＝1800﹣15（9﹣t）2，载件个数不超过1500，即1800﹣15（9﹣t）2≤1500，解得t≤9﹣或t，∵4≤t＜9，t∈N，∴t＝4；（2）当4≤t＜9时，p（t）＝﹣10t2+200t+200，q（t）＝﹣80＝﹣80＝＝1520﹣（），∵≥＝1260，当且仅当90t＝，即t＝7时取等号．∴q（t）max＝260；当9≤t≤15，q（t）＝﹣80＝是单调减函数，∴当t＝9时，q（t）max＝240＜260．即发车时间间隔为7分钟时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大，最大净收益为260元．。
2022-2023学年湖南省名校高一上数学期末联考试题含解析
0,
π 2
的部分图象如图所示.
（1）求函数 f x 的解析式； （2）求方程 f x 1 在区间0, 4 内的所有实数根之和.
2
20．在三棱柱 ABC A1B1C1 中，侧棱 AA1 底面 ABC AC 3, BC 4, AB 5, AA1 4 ,点 D 是 AB 的中点. （1）求证： AC1 / /平面CDB1 ；
1 / 17
③
f
x1
2
x2
f
x1
2
f
x2
④ f x1 f x2 0
x1 x2
其中正确的个数是（）
A.4
B.3
C.2
D.1
4．已知直二面角 l ,点 A ， AC l , C 为垂足, B ， BD l , D 为垂
足．若 AB 2, AC BD 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于
46 6
3
2
f (5 ) 2sin( 3 5 ) 2sin(5 ) 2 ，即 sin(5 ) 1，所以 5 2k , k Z ，即
6
26
4
4
4
2
2k 3 , k Z ，当 k 1时， 5 ，故选 B .
4
4
考点：三角函数的图象与性质.
3、B
【解析】利用指数的运算性质及指数函数的单调性依次判读 4 个序号即可.
C.0.65
D.0.7
6．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为 a ， b ， c ，三角形的
面积 S 可由公式 S p p a p b p c 求得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公
式，现有一个三角形的边长满足 a b 14 ， c 6 ，则此三角形面积的最大值为（）
2023届湖南省娄底市数学高一上期末学业水平测试模拟试题含解析
C. D. 或
7．已知定义在 上的奇函数 ，满足 ，当 时， ，则函数 在区间 上的所有零点之和为（）
A. B.
C. D.
8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）
A. B.
C. D.
9．下列说法正确的有（）
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
【详解】由于函数 为 上的奇函数，则 ， ，
所以，函数 是周期为 的周期函数，且该函数的图象关于直线 对称，
令 ，可得 ，则函数 在区间 上的零点之和为函数 与函数 在区间 上图象交点横坐标之和，如下图所示：
由图象可知，两个函数的四个交点有两对关于点 对称，
因此，函数 在区间 上的所有零点之和为 .
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、 ##
【解析】由基本不等式结合 得出最值.
【详解】 （当且仅当 时，等号成立），即最小值为 .
故答案为：
14、
【解析】直接利用补集的定义求解
【详解】因为全集 ，集合 ，
所以 ，
故答案为：
15、
【解析】求函数的导数利用函数的单调性求值域即可．
【详解】解： 函数 ，
（2） .
【解析】（1）由 列方程求参数a，令 判断 的大小关系即可证结论；
（2）根据指数复合函数值域的求法，求 的值域.
【小问1详解】
由题设， ，则 ，
∴ ，即 ，
令 ，则 ，又 单调递增，
∴ ， ， ，即 .
∴ 在 上单调递增，得证.
小问2详解】
由 ，则 ，
∴ .
20、（1）最小正周期为T＝π，最大值为 （2） ，k∈Z
湖南省娄底地区高一上学期数学期末考试试卷
湖南省娄底地区高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·莆田期中) 已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，6}，则（∁UM）∩N=（）A . {4，6}B . {1，4，6}C . ∅D . {2，3，4，5，6}2. （2分）直线的倾斜角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°3. （2分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知是定义在上的奇函数，满足对任意的实数，都有，当时，，则在区间上（）A . 有最大值B . 有最小值C . 有最大值D . 有最小值4. （2分）如图，四棱锥P-ABCD中，，BC=2AD，vPAB和 ADP都是等边三角形，则异面直线CD和PB所成角的大小为（）A . 90B . 75C . 60D . 455. （2分） (2018高一下·中山期末) 过点作直线（，不同时为0）的垂线，垂足为，点，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二下·定远期末) 若，则当时，的大小关系是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·杭州期中) 直线截圆x2+y2=4得到的弦长为（）A . 1B .C .D . 28. （2分） (2016高三上·吉安期中) 三棱锥A﹣BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC，△BCD 都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A﹣BCD的体积是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·温州期中) 函数f（x）=|2x﹣1|，定义f1（x）=x，fn+1（x）=f（fn（x）），已知函数g（x）=fm（x）﹣x有8个零点，则m的值为（）A . 8B . 4C . 3D . 210. （2分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A . x+y﹣2=0B . x+y﹣4=0C . x﹣y+4=0D . x﹣y+2=011. （2分）直径为6的球的表面积和体积分别是（）A . 144π，144πB . 144π，36πC . 36π，144πD . 36π，36π12. （2分） (2017·运城模拟) 定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a 的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·台州期末) 函数的定义域是________.14. （1分） (2017高一上·启东期末) 设函数f（x）= ，则f（f（2））=________．15. （1分）若直线L1：mx+（m﹣1）y+5=0，L2：（m+2）x+my﹣1=0且L1⊥L2 ，则m的值________．16. （1分） (2017高三上·浦东期中) 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱AB、CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题：①平面MB1P⊥ND1；②平面MB1P⊥平面ND1A1；③△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值；④△MB1P 在侧面D1C1CD上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）已知两直线l1：3x+y+1=0，l2：x+y﹣1=0相交于一点P，（1）求交点P的坐标．（2）若直线l过点P且与直线l1垂直，求直线l的方程．18. （10分） (2017高一下·南京期末) 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，M，N，P分别为AB，A1C1 ，BC的中点．求证：（1）C1P∥平面MNC；（2）平面MNC⊥平面ABB1A1．19. （15分） (2016高二下·茂名期末) 已知f（x）= ．（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；（2）证明f（x）是定义域内的增函数；（3）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＞0．20. （10分） (2016高一下·大名开学考) 如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．21. （5分）已知直线l：x﹣y+3=0和圆C：（x﹣1）2+y2=1，P为直线l上一动点，过P作直线m与圆C切于点A，B．（Ⅰ）求|PA|的最小值；（Ⅱ）当|PA|最小时，求直线AB的方程．22. （15分） (2018高三上·河北月考) 已知函数(m,n∈R)在x=1处取得极值2.（1）求f(x)的解析式；（2） k为何值时，方程f(x)-k=0只有1个根（3）设函数g(x)=x2-2ax+a，若对于任意x1∈R，总存在x2∈[-1,0]，使得g(x2)≤f(x1)，求a的取值范围参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
湖南省娄底地区高一上学期数学期末考试试卷
湖南省娄底地区高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知集合,则等于（）A . {-1,0,1}B . {1}C . {-1,1}D . {0,1}2. （2分）已知非零向量与满足（）·=0,且·,则△ABC为（）A . 等腰非等边三角形B . 等边三角形C . 三边均不相等的三角形D . 直角三角形3. （2分）函数y=f（x）的定义域为[1，5]，则函数y=f（2x﹣1）的定义域是（）A . [1，5]B . [2，10]C . [1，9]D . [1，3]4. （2分）设a=30.5,b=log32,c=cos2，则（）A . c<b<aB . c<a<bC . a<b<cD . b<c<a5. （2分）下列函数中既是偶函数又在上是增函数的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一下·惠来期末) 方程ex=2﹣x的根位于（）A . （﹣1，0）B . （0，1）C . （1，2）D . （2，3）7. （2分）(2017·达州模拟) 如图，由于函数f（x）=sin（π﹣ωx）sin（+φ）﹣sin（ωx+ ）sinφ（ω＞0）的图象部分数据已污损，现可以确认点C（，0），其中A点是图象在y轴左侧第一个与x轴的交点，B点是图象在y轴右侧第一个最高点，则f（x）在下列区间中是单调的（）A . （0，）B . （，）C . （，2π）D . （，）8. （2分）(2017·自贡模拟) 将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单调递增区间（）A .B .C .D .9. （2分）函数f（x）=Asin（ϖx+φ）（A＞0，ϖ＞0，0＜φ＜）的图象如图所示，则（）A . f（x）=2sin3xB .C .D .10. （2分） (2017高三上·福州开学考) 函数y=2016x﹣sinx的图象大致是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共10分)11. （1分） (2019高三上·双流期中) 已知向量，，且，则与的夹角为________．12. （1分） (2017高一下·惠来期中) 已知tanθ=2，则 =________．13. （1分） (2019高一上·安庆月考) 已知为R上的奇函数,当时, ,则的解析式为________．14. （1分） (2016高一上·辽宁期中) 设f（x）的图象在区间[a，b]上不间断，且f（a）f（b）＜0，用二分法求相应方程的根时，若f（a）＜0，f（b）＞0，f（）＞0，则取有根的区间为________．15. （1分） (2016高二下·潍坊期末) 已知奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x﹣2），当x∈（0，1）时，f（x）=3x ，则f（）=________．16. （5分）如图：已知扇形MON所在圆半径为1，∠MON=，扇形内接矩形ABOC，设∠AON=θ．（1）将矩形面积S表示为θ的函数，并指出θ的取值范围；（2）当θ取何值时，矩形面积S最大，并求S的最大值．三、解答题 (共4题；共45分)17. （5分）已知 =（1，2cosx）， =（sinπ﹣2x）， cosx），x∈R，且f（x）= • ．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及在（0，2π）上的单调递增区间．18. （10分） (2017高二下·中原期末) 已知命题P：函数f（x）=log2m（x+1）是增函数；命题Q：∀x∈R，x2+mx+1≥0．（1）写出命题Q的否命题￢Q；并求出实数m的取值范围，使得命题￢Q为真命题；（2）如果“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围19. （15分）已知函数．（1）用五点法作图作出f（x）在x∈[0，π]的图象；（2）求f（x）在的最大值和最小值；（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2在上恒成立，求实数m的取值范围．20. （15分） (2017高二下·寿光期末) 定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且当x＞0时，f（x）＞1．（1）求f（0）的值；（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；（3）解关于t的不等式f（2t2﹣t）＜1．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共10分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共4题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、。
湖南省高一上学期期末数学试题(解析版) (8)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）}{1,2,3,4,5A ={}|13B x x =-<<A B = A ． B ．}{1,2{}3|1x x <<C ． D ．}{1,2,3{}|12x x <<【答案】A【分析】根据交集的定义，即可求得本题答案.【详解】因为，，}{1,2,3,4,5A ={}|13B x x =-<<所以.}{1,2A B ⋂=故选：A2．函数 的最小正周期是（ ）πsin +26xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ． B ．π2πC ． D ．2π4π【答案】D【分析】代入正弦型函数的最小正周期公式，即可求得. 【详解】函数的最小正周期是.πsin +26x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭12π=4π2T =÷故选：D3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．1y x =+3y x =-1y x =||y x x =【答案】D【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.【详解】函数不是奇函数，故A 不正确；1y x =+函数是奇函数，但不是增函数，故B 不正确；3y x =-函数是奇函数，但不是增函数，故C 不正确；1y x =的图象如图：||y x x =22,0,0x x x x ⎧≥=⎨-<⎩所以函数是奇函数且是增函数. ||y x x =22,0,0x x x x ⎧≥=⎨-<⎩故选：D4．已知不等式解集为，下列结论正确的是（ ） 20ax bx c ++>1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭A ．B ． 0a >0c <C ．D ．0a b c ++>0b <【答案】C 【分析】根据不等式解集为，得方程的解为或20ax bx c ++>1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭20ax bx c ++=12x =-，且，利用韦达定理即可将用表示，即可判断各选项的正误.2a<0,b c a 【详解】解：因为不等式解集为， 20ax bx c ++>1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭所以方程的解为或，且， 20ax bx c ++=12x =-2a<0所以，所以， 3,12b c a a-==-3,2b a c a =-=-所以，故ABD 错误；0,0b c >>，故C 正确. 33022a b c a a a a ++=--=->故选：C.5．函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是()log 10(a y x a =+>1a ≠221y x ax =-+（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据和分类讨论然后结合二次函数的性质可得.1a >01a <<【详解】当时，在区间上单调递增，1a >()log 1a y x =+()1,-+∞此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故A 、B 均不221y x ax =-+()1x a a =>()241a ∆=->0满足；当时，在区间上单调递减，01a <<()log 1a y x =+()1,-+∞此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故C 满221y x ax =-+()01x a a =<<()2410a ∆=-<足．D 不满足.故选：C.6．“”是“函数在上为增函数”的（ ）3a >()(1)x f x a =-R A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由指数函数的性质可得在上为增函数的等价条件，再由充分、必要条件的定义即()f x R 可得解.【详解】若在上为增函数，则，即，()f x R 11a ->2a >因为是的充分不必要条件，3a >2a >所以“”是“函数在上为增函数”的充分不必要条件.3a >()(1)x f x a =-R 故选：A ．7．在中，已知，判断的形状（ ）ABC A cos cos b A a B =ABC A A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形 【答案】D【分析】根据正弦定理得，再利用正弦的差角公式化简整理得，进而推断，答()sin 0A B -=A B =【详解】解：根据正弦定理由，得，即cos cos b A a B =sin cos sin cos =B A A B ，sin cos sin cos 0A B B A -=所以，所以，()sin 0A B -=A B =所以为等腰三角形.ABC A 故选：D.8．已知函数，下列四个结论正确的是（ ）2()sin 22cos 1f x x x =+-A ．函数在区间上是减函数 ()f x 3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．点是函数图象的一个对称中心 3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f xC ．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度得到()f x 2y x =4πD ．若，则的值域为 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】B 【分析】化简的解析式，根据三角函数单调性、对称性、三角函数图象变换、值域等知识确()f x 定正确选项.【详解】. ()sin 2cos 224x f x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 33,2,28844242x x x πππππππ-≤≤-≤≤-≤+≤所以在区间上递增，A 错误. ()f x 3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以点是函数图象的一个对称中心，B 正确. 33sin sin 0844f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x的图象向左平移个单位长度得到： 2y x =4π，C 选项错误. ()22242x x x f x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，D 选项[]50,,20,,2,2444x x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈∈+∈⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦sin 2244x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡+∈+∈-⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎝⎭⎝⎭⎣⎦错误.故选：B二、多选题列说法中不正确的是（ ）A ．集合为闭集合{}4,2,0,2,4M =--B ．正整数集是闭集合C ．集合为闭集合{|3,}M n n k k Z ==∈D ．若集合为闭集合，则为闭集合12,A A 12A A ⋃【答案】ABD【分析】根据集合M 为闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【详解】选项A ：当集合时，，而，所以集合M 不为闭集{}4,2,0,2,4M =--2,4M ∈246M +=∉合，A 选项错误；选项B ：设是任意的两个正整数，则，当时，是负数，,a b a b M +Îa b <a b -不属于正整数集，所以正整数集不为闭集合，B 选项错误；选项C ：当时，设，{}3,M n n k k Z ==∈12123,3,,a k b k k k Z ==∈则，所以集合M 是闭集合，C 选项正确；()()12123,3a b k k M a b k k M +=+∈-=-∈选项D ：设，由C 可知，集合为闭集合，{}{}1232A n n k k Z A n n k k Z ==∈==∈，，，12,A A ，而，故不为闭集合，D 选项错误．()122,3A A ∈⋃()()1223A A +∉⋃12A A ⋃故选：ABD ．10．下列不等式中正确的是（ ）A ．B ． 0.30.31.2 1.3<0.30.20.20.2>C ．D ．0.30.3log 1.2log 1.3> 1.20.2log 0.3log 0.3>【答案】AC【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质进行判断【详解】对于A ，因为在上递增，且，所以，所以A 正确， 0.3y x =(0,)+∞ 1.2 1.3<0.30.31.2 1.3<对于B ，因为在上递减，且，所以，所以B 错误，0.2x y =R 0.30.2>0.30.20.20.2<对于C ，因为在上递减，且，所以，所以C 正确， 0.3log y x =(0,)+∞ 1.2 1.3<0.30.3log 1.2log 1.3>对于D ，因为，，所以，所以D 错误， 1.2 1.2log 0.3log 10<=0.20.2log 0.3log 10>= 1.20.2log 0.3log 0.3<故选：AC 11．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭A ．点是的对称中心 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x B ．直线是的对称轴 76x π=()f x C ．在区间上单调减 ()f x 2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．的图象向右平移个单位得的图象 ()f x 712πcos 2y x =【答案】CD【分析】由图知且求，再由过求，将A 、B 中的点代入验证是否为对1A =3344T π=ω()f x (,0)6πϕ称中心、对称轴，根据正弦函数的性质判断给定区间是否为减区间，应用诱导公式化简7()12f x π-，进而判断平移后解析式是否为.cos 2y x =【详解】由图知：且，则， 1A =311341264T πππ=-=T π=∴，可得，2T ππω==2ω=又过， ()()sin 2f x x ϕ=+(,0)6π∴，得，又， sin()03πϕ+=3k πϕπ=-()k ∈Z 2πϕ<∴当时，. 0k =3πϕ=-综上，. ()sin(23f x x π=-A ：代入得：，故错误； 512x π=55(sin()si 1216n 32f ππππ=-==B ：代入得：，故错误； 76x π=77()sin 63()sin 203f ππππ===-C ：由，故在上单调递减，则上递3222232k x k πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ+≤≤+()f x 511[,1212ππ减，而，故正确； 2511,[,]121322ππππ⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦D ：，故正确； 77(sin )si 33[2(](2)sin n 12(2)c 12os 2322f x x x x x πππππ-=---==--=【点睛】关键点点睛：利用函数部分图象确定的参数，写出解析式，进而根据各选项的描述，()f x 判断对称中心、对称轴、单调区间及平移后的解析式.12．设函数，给出如下命题，其中正确的是（ ）()f x x x bx c =++A ．时，是奇函数0c =()y f x =B ．，时，方程只有一个实数根0b =0c >()0f x =C ．的图象关于点对称()y f x =()0,c D ．方程最多有两个实数根()0f x =【答案】ABC【解析】利用函数的解析式，结合奇偶性和对称性，以及利用特值法，依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，当时，，0c =()f x x x bx =+此时，故为奇函数，A 正确；()()f x f x -=-()f x 对选项B ，当，时，，0b =0c >()f x x x c =+若，无解，若，有一解B 正确；0x ≥()0f x =0x <()0f x =x =对选项C ，因为为奇函数，图象关于对称，()g x x x bx =+()0,0所以图象关于对称，故C 正确，()f x x x bx c =++()0,c 对选项D ，当，时，，1b =-0c =()f x x x x =-方程，即，解得，，，()0f x =0x x x -=11x =-20x =31x =故D 错误.故选：ABC三、填空题13．已知集合，，若，则实数m 的取值范围{|25}A x x =-≤≤{|121}B x m x m =+≤≤-A B A ⋃=______________【答案】 (]3m ∈-∞，的关系列不等式求解．【详解】解：，，{|25}A x x =-≤≤ {|121}B x m x m =+≤≤-由，A B A ⋃=，B A ∴⊆当时，满足，①B =∅B A ⊆此时，121m m +>-；2m <∴当时，②B ≠∅，B A ⊆ 则，12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得．23m ≤≤综上，． (]3m ∈-∞，故答案为：． (]3m ∈-∞，14．已知为钝角，且，则______. α3cos 25πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos α=【答案】 45-【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系求解即可.【详解】解：，， 3cos sin 25παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭ 3sin 5α∴=为钝角，αQ . 4cos 5α∴==-故答案为： 45-15．设则的值是________． ()()()3,10,5,10,x x f x f f x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩()5f 【答案】24【解析】由分段函数的解析式知：即可求值.(5)(((15)))((18))(21)f f f f f f f ===【详解】∵当时，，又，10x >()13f x >510<∴，(5)((55))(((105)))(((15)))((18))(21)24f f f f f f f f f f f f =+=+====【点睛】本题考查了利用分段函数解析式求函数值，属于基础题.16．若实数，满足，则的最小值为___________. a b 0ab >2214a b ab++【答案】4【分析】利用两次基本不等式，即可得出答案.【详解】因为0ab>所以22111444a b ab ab ab ab ++≥=+≥=当且仅当即或时取“”. 2214,4a b ab ab ==112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩112a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩=故答案为：4.四、解答题17．已知，是方程的两根，求下列各式的值.tan αtan β23570x x +-=(1)()tan αβ+(2)()()sin cos αβαβ+-【答案】(1) 12-(2)54【分析】（1）利用韦达定理得到，，再根据两角和的正切公式计算可得；tan tan αβ+tan tan αβ⋅（2）利用同角三角函数的基本关系及和差角公式得到，()5sin cos cos 3αβαβ+=-，从而代入计算可得. ()4cos cos cos 3αβαβ-=-【详解】（1）解：因为，是方程的两根，tan αtan β23570x x +-=所以，， 5tan tan 3αβ+=-7tan tan 3αβ⋅=-所以. ()5tan tan 13tan 71tan tan 213αβαβαβ-++===--+（2）解：因为， ()sin sin sin sin cos cos sin 5tan tan cos cos cos cos cos cos 3αβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+===-所以， ()3cos cos sin 5αβαβ=-+即， ()5sin cos cos 3αβαβ+=-又，所以， sin sin 7tan tan cos cos 3αβαβαβ⋅=⋅=-7sin sin cos cos 3αβαβ=-所以， ()4cos cos cos sin sin cos cos 3αβαβαβαβ-=+=-所以. ()()5cos cos sin 534cos 4cos cos 3αβαβαβαβ-+==--18．已知函数（且）的图象经过点和．()log a f x b x =+0x >1a ≠()8,2()1,1-（1）求的解析式；()f x （2），求实数x 的值；()()23f x f x =⎡⎤⎣⎦【答案】（1）；（2）2或16.()()2log 10f x x x =->【解析】（1）由已知得，，从而求解析式即可；log 82a b +=log 11a b +=-（2），即或3，即可求实数x 的值；()()23f x f x =⎡⎤⎣⎦()0f x =【详解】（1）由已知得，，，（且）log 82a b +=log 11a b +=-0a >1a ≠解得，；2a =1b =-故；()()2log 10f x x x =->（2），即或3，()()23f x f x =⎡⎤⎣⎦()0f x =∴或3，2log 10x -=∴或16.2x =19．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点．(1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值． 【答案】(1)； 59m ≤-(2).3-【分析】（1）分类讨论函数的类型，当时，根据函数零点的定义求出零点；当时，根6m =-6≠-m据判别式列式可求出结果；（2）转化为(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1有两个不同的实根，利用判别式和韦达定理列式可求出0=结果.【详解】（1）当时，函数化为， 6m =-145y x =--令，得，此时函数有零点，符合题意； 0y =514x =-514-当时，由函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1有零点，可得6≠-m 24(1)4(6)(1)0m m m ∆=--++≥，即且，59m ≤-6≠-m 综上所述：的取值范围是：.m 59m ≤-（2）因为函数有两个不同零点，所以(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1有两个不同的实根，0=所以，解得且， ()()()26Δ414610m m m m ≠-⎧⎪⎨=--++>⎪⎩59m <-6≠-m 设(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1的两个不同的实根分别为和，0=1x 2x 则，，122(1)6m x x m -+=-+1216m x x m +⋅=+因为，所以， 12114x x +=-12124x x x x +=-⋅所以，解得，符合题意. 2(1)41m m --=-+3m =-综上所述：.3m =-20．设函数． ()sin ()f x x x x =∈R (1)若，求函数的值域；[0,]x π∈()y f x =(2)若函数在区间上单调递增，求实数m 的取值范围． 2[()]y fx =(,)(0)m m m ->【答案】(1) [2](2) 0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）先化简的解析式，由，可得，从而得到答案. ()f x 4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦sin()13x π≤+≤（2）化简可得，由余弦函数的图像性质可得答案. 2[()]y f x =222cos(2)3y x π=-+【详解】（1），即．1()sin 2(sin cos 2f x x x x x ==⋅+()2sin(3f x x π=+因为，所以， [0,]x π∈4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦即，即，sin()13x π≤+≤()2f x ≤≤所求函数的值域为． ()y f x=[2]（2），即2221cos(2)3[()]2sin(432x f x x y ππ-+⎡⎤==+⋅⎢=⎥⎣⎦222cos(2)3y x π=-+令，，得，， 22223k x k ππππ<+<+k ∈Z 36k x k ππππ-+<<+k ∈Z 即函数在区间，上单调递增2[()]y f x =(,)36k k ππππ-++k ∈Z 要使函数在区间上单调递增， 2[()]y f x =(,)(0)m m m ->只需，即，(,)(,36m m ππ-⊆-06m π<≤所求实数m 的取值范围是．0,6π⎛⎤⎥⎝⎦21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为21200800002y x x =-+100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【答案】(1)每月处理量为400吨时，平均每吨处理成本最低 (2)该企业不盈利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.【分析】（1）设该工厂每吨平均处理成本为，，利用基本不等式求最z 21200800002x x y z x x -+==值可得答案；（2）设该工厂每月的利润为,，利用配方求最值可得答案.()P x 21()100200800002P x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭【详解】（1）设该工厂每吨平均处理成本为，z ， []()21200800002300,600x x y z x x x-+==∈∴， 800002002002002x z x =+-≥=当且仅当，即时取等号，800002x x =400x =当时，每吨平均处理成本最低. 400x =（2）设该工厂每月的利润为，()P x 则，21()10020080000,3006002P x x x x x ⎛⎫=--+≤≤ ⎪⎝⎭∴，2211()30080000(300)3500022P x x x x =-+-=---当时，，300x =max ()350000P x =-<所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴35000元才能使工厂不亏损.22．已知是定义在上的奇函数，且若对任意的m ，，，都有()f x [2,2]-(2)3f =[2,2]n ∈-0m n +≠.()()0f m f n m n+>+（1）若，求实数a 的取值范围；(21)()0f a f a -+-<（2）若不等式对任意和都恒成立，求实数t 的取值范围.()(52)1f x a t ≤-+[2,2]x ∈-[1,2]a ∈-【答案】（1）；（2）.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭[2,)+∞【分析】（1）利用单调性的定义，令，计算，证1222x x -≤<≤()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<得在上递增，由此结合奇函数的性质化简不等式，求得的取值范()f x []22-,(21)()0f a f a -+-<a 围.（2）将不等式恒成立转化为对任意的都恒成立，通过构造一次函数的方2520ta t -+≤[1,2]a ∈-法，求得的取值范围.t 【详解】（1）设任意，，满足， 1x 2x 1222x x -≤<≤由题意可得，()()()()()()()()12121212120f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-<+-即，()()12f x f x <在定义域上是增函数.()f x ∴[2,2]-则可化为， (21)()f a f a -<2212a a -≤-<≤解得，a 的取值范围为. 112a -≤<∴1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（2）由（1）知不等式对任意和都恒成立，()(52)1f x a t ≤-+[2,2]x ∈-[1,2]a ∈-对任意的都恒成立，max ()(52)1f x a t ≤-+[1,2]a ∈-恒成立，()23(52)1f a t ∴=≤-+即对任意的都恒成立， 2520ta t -+≤[1,2]a ∈-令，，()252g a ta t =-+[1,2]a ∈-则只需，(1)720(2)20g t g t -=-+≤⎧⎨=-+≤⎩解得，的取值范围.2t ≥t ∴[2,)+∞【点睛】利用函数单调性的定义进行证明，主要是判断的符号.()()12f x f x -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湘中名校2015-2016年上学期高一期末考试数学试卷满分共120分,考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.1．如果U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N={|46}x x <≤，那么（∁U M ）∩N 等于（ ） A ． ∅ B ．{5} C ． {1，3} D ． {4，5}2．已知两条直线1l ：x+2ay ﹣1=0，2l ：2x ﹣5y=0，且l 1⊥l 2，则满足条件a 的值为（ ） A ．15 B ．15- C ．5- D ． 5 3．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是（ ） A ．B ．C ．D ．4. 过点（1，2），且倾斜角为60°的直线方程是（ ） A ．x+1） B ．y ﹣2=x ﹣1）C ．x-1） D ．y+2=x+1） 5、直线5x-12y+8=0与圆2220x y x +-=的位置关系是（ ） A ． 相离 B ．相交 C ．相切 D ． 无法判断6.已知0.315121log 5,,23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则 （ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<7.函数f(x)满足2log (3)0()(2)0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则(3)f 的值为 ( )A. 1-B. 2-C.1D. 2 8. 已知0x 是函数3()2xf x x=-+的一个零点．若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞）， 则 （ ）A ． 1()f x ＜0，2()f x ＜0B ．1()f x ＜0，2()f x ＞0C ．1()f x ＞0，2()f x ＞0D ．1()f x ＞0，2()f x ＜0 9．如图长方体ABCD ﹣A′B′C ′D′中，AB=6， AD= D′D=5，二面角D′﹣AB ﹣D 的 大小是（ ）A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90° 10．函数15log (13)x y =-的值域为（ ）A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣∞，0）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞） 11．一个几何体的三视图如图所示，俯视图为 等边三角形，若其侧面积．．．为 a 是（ ）．12．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(0，+∞)都有121212()()0()f x f x x x x x -<≠-，若实数a 满足1313(log )2(log )3(1)f a f a f -+≥，则a 的取值范围是 （ ）A ．1[,3]3B ． [1,3]C ． 1(0,)3D ．(0,3]二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卡中横线上 13. 两平行直线4x+3y ﹣5=0与4x+3y=0的距离是 14．2log 35lg2lg 222-+-= 。
15.已知正方形ABCDO 的球面上，且，则棱锥O ﹣ABCD 的体积为 .16. 已知函数2(x)92,(x)x 1,xf g =-=+构造函数(),()()(x),(),()()g x f x g x F f x g x f x >⎧=⎨≥⎩那么函数(x)y F =的最大值为 。
三、解答题：本大题共6小题，共56分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．(本小题满分8分)已知集合A={x|﹣4≤x≤9}，B={x|m+1＜x ＜2m ﹣1}，若A∪B=A，求m 的取值范围．ABC DA ′D ′C ′B ′18.(本小题满分8分) 已知定义在R 上的函数3()()g x f x x =-,且()g x 为奇函数 （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若0x >时，()2x f x =，求当0x <时，函数()g x 的解析式。
19．(本小题满分8分) 已知直线1l 和2l 在y 轴上的截距相等，且它们的斜率互为相反数．若直线1l 过点P （1，3），且点Q （2，2）到直线2l1l 和直线2l 的一般式方程．20. (本小题满分10分)圆C 过点A （6，4）,B （1,1-），且圆心在直线:570l x y -+=上．（1）求圆C 的方程；（2）P 为圆C 上的任意一点，定点Q （7,0），求线段PQ 中点M 的轨迹方程．21．(本小题满分10分)如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中， AB AC ⊥，AB=BB 1=1,B 1C=2．（I ）求证：平面B 1AC⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值．22.（本小题满分12分） 已知函数()||1mf x x x=+-(0)x ≠． （1）当1m =时，判断()f x 在(,0)-∞的单调性，并用定义证明;（2）若对任意(1,)x ∈+∞，不等式 2(log )0f x >恒成立，求m 的取值范围. （3）讨论()f x 零点的个数;ABCC 1A 1B 1湘中名校2015-2016年上学期高一期末考试数学参考答案满分共120分,考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．如果U={1，2，3，4，5}，M={1，2，3}，N={|46}x x <≤，那么（∁U M ）∩N 等于（ B ） A ． ∅ B ．{5} C ． {1，3} D ． {4，5}2．已知两条直线1l ：x+2ay ﹣1=0，2l ：2x ﹣5y=0，且l 1⊥l 2，则满足条件a 的值为（ A ） A ．15 B ．15- C ．5- D ． 5 3．下列四个图形中，不是．．以x 为自变量的函数的图象是（ D ） A ．B ．C ．D ．4. 过点（1，2），且倾斜角为60°的直线方程是（ C ） A ．x+1） B ．y ﹣2=x ﹣1）C ．x-1） D ．y+2=x+1） 5、直线5x-12y+8=0与圆2220x y x +-=的位置关系是（ C ） A ． 相离 B ．相交 C ．相切 D ． 无法判断6.已知0.315121log 5,,23a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则 （ A ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b <<7.函数f(x)满足2log (3)0()(2)0x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则(3)f 的值为 ( D )A. 1-B. 2-C.1D. 2 8. 已知x 0是函数3()2xf x x=-+的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞）， 则 （ D ）A ． f （x 1）＜0，f （x 2）＜0B ． f （x 1）＜0，f （x 2）＞0C ． f （x 1）＞0，f （x 2）＞0D ． f （x 1）＞0，f （x 2）＜0 9．如图长方体ABCD ﹣A′B′C′D′中，AB=6， AD= D′D=5，二面角D′﹣AB ﹣D 的 A’D’C’大小是（ B ）A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 90° 10．函数15log (13)x y =-的值域为（ C ）A ．（﹣∞，+∞）B ．（﹣∞，0）C ．（0，+∞）D ．（1，+∞） 11．一个几何体的三视图如图所示，俯视图 为等边三角形，若其侧面积．．．为 a 是（ B ）．12．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意x 1，x 2∈(0，+∞)都有121212()()0()f x f x x x x x -<≠-，若实数a 满足1313(log )2(log )3(1)f a f a f -+≥，则a 的取值范围是 （ A ）A ．1[,3]3B ． [1,3]C ． 1(0,)3D ．(0,3]二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在答题卡中横线上 13. 两平行直线4x+3y ﹣5=0与4x+3y=0的距离是 1 14．2log 35lg2lg 222-+-= 23。
15.已知正方形ABCDO 的球面上，且锥O ﹣ABCD 的体积为 4 .16. 已知函数2(x)92,(x)x 1,xf g =-=+构造函数(),()()(x),(),()()g x f x g x F f x g x f x >⎧=⎨≥⎩那么函数(x)y F =的最大值为 5三、解答题：本大题共6小题，共56分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．(本小题满分8分) 已知集合A={x|﹣4≤x≤9}，B={x|m+1＜x ＜2m ﹣1}，若A∪B=A，求m 的取值范围．解：当B=∅时,121,2m m m +≥-≤则 …….3分 当B≠∅，若A∪B=A，∴﹣4≤m+1＜2m ﹣1≤9，转化为不等式组14121219m m m m +≥-⎧⎪+<-⎨⎪-≤⎩,解得：2＜m≤5…….7分∴m 的取值范围是{m≤5}…….8分18.(本小题满分8分) 已知定义在R 上的函数3()()g x f x x =-,且()g x 为奇函数 （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若0x >时，()2x f x =，求当0x <时，函数()g x 的解析式。
3333331()()()()()(())()()420()20()()28x x f x g x x f x g x x g x x g x x f x f x x g x x x g x g x x -=+-=--=--=-+=-∴>=-<=--=--解：（）由，则为奇函数分（）当时,当时由分19．(本小题满分8分) 已知直线1l 和2l 在y 轴上的截距相等，且它们的斜率互为相反数．若直线1l 过点P （1，3），且点Q （2，2）到直线l 21l 和直线2l 的一般式方程．解：设直线l 1：y=kx+b ，直线l 2：y=-kx+b----------2分 ∵l 1过P （1，3）点且Q （2，2）到l 2∴30k b -+=⎧=分解之得122172k k b b ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或 ----------------6分 故l 1：2x-y+1=0 l 2：2x+y ﹣1=0；或l 1：x+2y-7=0 l 2：x-2y+7=0----------8分 20. (本小题满分10分)圆C 过点A （6，4）,B （1,1-），且圆心在直线:570l x y -+=上．（1）求圆C 的方程；（2）P 为圆C 上的任意一点，定点Q （7,0），求线段PQ 中点M 的轨迹方程． 解：（1）解法1：直线AB 的斜率4(1)161k --==-，所以AB 的垂直平分线m 的斜率为1-．AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为617413,2222x y +-==== ． 因此，直线m 的方程为371(x )22y -=--．即50x y +-=．-------------2分又圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点。