双曲线的第二定义(含解析)

课题：双曲线的第二定义

【学习目标】

1、掌握双曲线的第二定义；

2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题；一、双曲线中的基本元素（1）.基本量:

a 、

b 、

c 、e

几何意义：a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距，e-离心率；

相互关系：

)

0(,2

2

2

a

c

a

c e

b a

c

（2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线:

对称轴

二．双曲线的第二定义的推导

例1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线

2

:a

l x

c

的距离的比是常数

(0)c c a

a

，求点M 的轨迹．

解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意，所求轨迹就是集合

MF c P M d

a

|

，

由此得

22

2

()

x c y

c a

a

x

c

．化简，得2

22

22

22

2

()()c

a x

a y

a c

a ．

设2

2

2

c

a

b ，就可化为

222

2

1(00)x y a b

a

b

，，这是双曲线的标准方程，

所以点M

的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线（如图）．

由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)c e

e a

时，这个点的轨迹是双曲

线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数

e 是双曲线的离心率．对于双曲线222

2

1x y a

b

，相应于焦点(0)F c ，

的准线方程是2

a

x

c

，根据双曲线的对称性，

相应于焦点(0)F c ，

的准线方程是2

a x

c

，所以双曲线有两条准线．

例2 一动点到定直线

3x 的距离是它到定点(40)F ，的距离的

12

，求这个动点的轨迹方程．

解：由题设知离心率

2e

，

又定点(40)F ，与定直线3x 是双曲线相应的右焦点与右准线，

所以2c

a ，2

1a

c

c ，解得2433a c

，．

所以双曲线中心为803O

，．

又2

43

b

，故双曲线方程为

2

2

(38)

314

4

x

y ．

评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．

三．第二定义的应用1、已知双曲线的焦点是

0,26，渐近线方程是

x y

2

3，则它的两条准线间的距离是___________；

2、若双曲线

136642

2

y

x

上点p 到右焦点的距离为

8，则点p 到右准线的距离为___________；

3、设双曲线

124

252

2

y

x

上一点的横坐标为

15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________；

4、已知双曲线

136

642

2

y

x

上点p 到右焦点的距离为

14，则其到左准线的距离是

__________；

5．双曲线16x 2

―9y 2

=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C ）

（A ）4, 3,

4

17（B ）8, 6,

4

17（C ）8, 6,

4

5（D ）4, 3,

4

56．顶点在x 轴上，两顶点间的距离为8，e =

4

5的双曲线的标准方程为

（A ）

（A ）

2

2

1

169x

y

（B ）

2

2

1

1625

x

y

（C ）

2

2

1

916

x

y

（D ）

2

2

1

2516

x

y

7．双曲线

2

2

134

x

y

的两条准线间的距离等于（A ）

（A ）

7

67（B ）

7

37

（C ）

185

（D ）

165

8．若双曲线

2

2

16436

y

x

上一点P 到双曲线上焦点的距离是

8，那么点P 到上准线的距离是

（D ）

（A ）10 （B ）

3277

（C ）27（D ）

325

9．经过点M (3, ―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D ）

（A ）y 2

―x 2

=8 （B ）x 2

―y 2

=±8 （C ）x 2

―y 2

=4 （D ）x 2

―y 2

=8 10．以y =±

3

2x 为渐近线的双曲线的方程是

（D ）

（A ）3y 2―2x 2

=6 （B ）9y 2

―8x 2

=1 （C ）3y 2

―2x 2

=1 （D ）9y 2

―4x 2

=36 11．等轴双曲线的离心率为

；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是

（

90,2）

12．从双曲线

)0,0(12

22

2b

a b

y a

x 的一个焦点到一条渐近线的距离是

.(b)

13．与

2

2

149

24

x

y

有公共焦点，且离心率e =

4

5的双曲线方程是 (

19

162

2

y

x )

14．以5x 2

+8y 2

=40的焦点为顶点，且以5x 2

+8y 2

=40的顶点为焦点的双曲线的方程是

. (

15

32

2

y

x )