初中数学：类比探究的规律问题
类比探究(人教版)
人教版八年级下册期中备考提升训练类比探究问题➢知识点睛1.类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2.类比探究的处理思路：（1）类比是解决类比探究的第一原则，即类比上一问思路，迁移解决下一问；（2）对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．①若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决；②若不属于常见结构，依据不变特征大胆猜测、尝试、验证、构造．3.类比探究常见结构举例（1）中点结构直角+中点平行夹中点见中点，要倍长斜边中线延长证全等倍长之后证全等多个中点，考虑中位线（2）旋转结构常见模型11如图，△ABC，△ADE 均为等边三角形，则出现了AB=AC，AD=AE 等线段共端点的结构，所以连接BD，CE，可以证明△ABD≌△ACE，即把△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE．常见模型2如图，正方形ABCD 中，点E，F 分别在边BC，CD 上，且∠EAF=45°，则EF=BE+DF．思路提示：正方形四条边都相等，提供了等线段共端点，所以考虑构造旋转解决问题，即找到等线段AD=AB，把线段AD 绕点A 顺时针旋转90°，与线段AB 重合，则AD 所在△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°得到△ABG．（3）直角结构直角结构——斜直角放正➢精讲精练【中点结构】1.已知P 是Rt△ABC 的斜边AB 上一动点（不与点A，B 重合），分别过点A，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为点E，F，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE 与B F 的位置关系是，QE 与Q F 的数量关系是．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA（或AB）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．2.如图，四边形ABCD 和四边形CGEF 均为正方形，M 是线段AE 的中点．（1）如图1所示，点B，C，G 在同一条直线上，DM 的延长线交E F 于点N，位置关系为连接F M，则D M 与F M 的数量关系为，（直接写出答案，无需写证明过程）．（2）如图2，当点B，C，F 在同一条直线上，DM 的延长线交EG 于点N，其余条件不变，试探究线段DM 与FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，当点E，B，C 在同一条直线上，DM 的延长线交CE 的延长线于点N，若此时点A 恰好为CG 的中点，AB=1，其余条件不变，请直接写出FM 的长度．43.已知等腰三角形ABC 中，∠ACB=90°，点E在AC 的延长线上，且∠DEC=45°，M，N 分别是DE，AE 的中点，连接MN，交直线BE 于点F．当点D 在CB的延长线上时，如图 1 所示，易证MF +FN =1BE ．2（1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3 所示，请直接写出线段MF，FN，BE 之间的数量关系（不需要证明）．4.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到点E，使得AE=OA，以OB，OC 为邻边作□OBFC，连接OF，与BC 交于点H，连接EF．（1）问题发现如图1，若△ABC 为等边三角形，线段E F 与B C 的位置关系是，数量关系为．（2）拓展探究如图2，若△ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明．（3）解决问题如图3，若△ABC 是等腰三角形，AB=AC=2，BC=3，请你直接写出线段EF 的长．5.操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角形的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD 上，连接AF，取AF 中点M，EF 的中点N，连接MD，MN．（1）连接AE，求证：△AEF 是等腰三角形．猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD，MN 的数量关系和位置关系．（不需要证明）结论1：MD，MN 的数量关系是；结论2：MD，MN 的位置关系是．拓展与探究：（3）如图2，将图1 中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【旋转结构】6.以四边形ABCD 的边AB，AD 为边分别向外侧作等边△ABF 和等边△ADE，连接EB，FD，交点为G．（1）问题发现：当四边形A BCD 为正方形时（如图1），EB 和F D 的数量关系是．（2）拓展探究：当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系？请加以证明．（3）问题解决：四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3 中求出∠EGD 的度数．7. 已知四边形 ABCD 是菱形，AB =4，∠ABC =60°，∠EAF 的两边分别与射线 CB ，DC 相交于点 E ，F ，且∠EAF =60°．（1） 如图 1，当点 E 是线段 C B 的中点．线段 AE ，EF ，AF 之间的数量关系； （2） 如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B ，C 重合），求证：BE =CF ；（3） 如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且∠EAB =15°时，求点 F 到 BC 的距离．108.如图1，在正方形ABCD 中，点E，F 分别为DC，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证：DE+BF=EF．小明是这样解决的：延长CB 到点G，使BG=DE，连接AG，再证明△GAF≌△EAF，可证得结论．感悟小明的解题方法，运用你所积累的经验和知识，完成下题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AD∥BC（AD＞BC），∠D=90°，AD=CD=10，E 是CD 上一点，且∠BAE=45°，DE=4，求BE 的长．（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF，AG 与边BC 的交点分别为D，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），在旋转过程中，等式BD2+CE2=DE2 始终成立，请说明理由．9.问题背景如图1，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，EF 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．（2）探索延伸如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F 分别是BC，CD 上的点，且∠EAF= 1 ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．2（3）结论应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60 海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80 海里/小时的速度前进，1.5 小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F 处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离.【直角结构】10.情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC≌△DEF，且∠C=∠F=90°，现如图放置，则∠ABE= ．问题探究：如图2，△ABC 中，AH⊥BC 于点H，以A 为直角顶点，分别以AB，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACF，过点E，F 作射线HA 的垂线，垂足分别为M，N，试探究线段EM 和FN 之间的数量关系，并说明理由．拓展延伸：如图，△ABC 中，AH⊥BC 于点H，以A 为直角顶点，分别以AB，AC 为一边，向△ABC 外作正方形ABME 和正方形ACNF，连接EF 交射线HA 于点G，试探究线段EG 和FG 之间的数量关系，并说明理由．11.（1）观察猜想如图1，点B，A，C 在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC 且∠DAE=90°，AD=AE，则B C，BD，CE 之间的数量关系为；（2）问题解决如图2，在Rt△ABC 中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC 为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD 的长；图1图2（3）拓展延伸如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD 的长．12.问题原型：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．过点D 作△BCD 的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD 的面积为1a2 ．2初步探究：如图2，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=a．将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a 的代数式表示△BCD 的面积，并说明理由．简单应用：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB=AC，BC=a．将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．直接写出△BCD 的面积．（用含a 的代数式表示）213.已知边长为的正方形A BCD 中，P 是对角线A C 上的一个动点（与点A，C 不重合），过点P 作PE⊥PB，PE 交射线DC 于点E，过点E 作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB=PE．（2）在点P 的运动过程中，PF 的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．（3）在点P 的运动过程中，△PEC 能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP 的长；如果不能，试说明理由．【其他类型】14.如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且P A=PE，PE 交CD 于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．15.如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD，作∠ADN=60°，直线DN 交射线AB 于点E，过点C 作CF∥AB，交直线DN 于点F．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图 1 ，求证：CF+BE=CD．（提示：过点F 作FM∥BC，交射线AB 于点M）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3．请分别写出线段CF，BE，CD 之间的数量关系，不需要证明．（3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，S△ABC4 CD= ．，则B E= ，318。
完整版)初中数学规律探究题的解题方法
完整版)初中数学规律探究题的解题方法初中数学规律探究题的解法指导在新课标中，要求用代数式表达数量关系及规律，培养学生的抽象思维能力。
规律探究常常要求通过归纳特例，猜想一般规律，并列出通用的代数式。
这种问题在中考或学业水平考试中频繁出现，考生往往感到困难。
然而，只要细心观察，大胆猜想，精心验证，就能解决这类问题。
一、数式规律探究数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，要求猜想其中的规律。
这种问题考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比或纵比找出各部分的特征，改写成要求的格式。
数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律n(n+1)/2、n(n+1)、1、4、9、16.n、1、3、6、10……2、1+3+5+…+(2n-1)=n²、1+2+3….+n=n(n+1)/2、2+4+6+…+2n=n(n+1)数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×1=1-。
②2×2=2-。
③3×3=3-。
④4×4=4-……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：4545111-2222②2×=2-3333③3×=3-44①1×1④4×=4-n×n+1通过观察相应位置上变化的数字与序列号，易得到结果为：n²-n+1.规律，第①个正多边形需要用4个黑色棋子，第②个需要用8个黑色棋子，第③个需要用12个黑色棋子，依次类推，第n个需要用（4n）个黑色棋子。
）探索图形结构成元素的规律是数学中的一个重要主题。
八数类比探究专题
八数类比探究专题(人教）知识点睛1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主——“条件类似、图形结构类似、问法类似”．2. 类比探究的处理思路：（1）类比是解决类比探究的第一原则，即类比上一问思路，迁移解决下一问；（2）对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．①若属于类比探究常见结构，调用结构类比解决；②若不属于常见结构，依据不变特征大胆猜测、尝试、验证、构造． 3. 类比探究常见结构举例（1）中点结构直角+中点 平行夹中点 见中点，要倍长 多个中点， 斜边中线 延长证全等 倍长之后证全等 考虑中位线 （2）旋转结构 常见模型1如图，△ABC ，△ADE 均为等边三角形，则出现了AB =AC ，AD =AE 等线段共端点的结构，所以连接BD ，CE ，可以证明△ABD ≌△ACE ，即把 △ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE ． 常见模型2CEDC B AEDC B A如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =45°，则EF =BE +DF ．思路提示：正方形四条边都相等，提供了等线段共端点，所以考虑构造旋转解决问题，即找到等线段AD =AB ，把线段AD 绕点A 顺时针旋转90°，与线段AB 重合，则AD 所在△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．（3）直角结构直角结构——斜直角放正FEFG E B C ABCD E DECBA精讲精练 【中点结构】1. 已知P 是Rt △ABC 的斜边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），分别过点A ，B 向直线CP 作垂线，垂足分别为点E ，F ，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图1，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是___________，QE 与QF 的数量关系是______________．（2）如图2，当点P 不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明．（3）如图3，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，（2）中的结论是否仍然成立？请画出图形并给予证明．2. 如图，四边形ABCD 和四边形CGEF 均为正方形，M 是线段AE 的中点．图1BCQ (P )EF A AFE PQCB 图2（1）如图1所示，点B ，C ，G 在同一条直线上，DM 的延长线交EF 于点N ，连接FM ，则DM 与FM 的数量关系为____________，位置关系为___________（直接写出答案，无需写证明过程）．（2）如图2，当点B ，C ，F 在同一条直线上，DM 的延长线交EG 于点N ，其余条件不变，试探究线段DM 与FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明．（3）如图3，当点E ，B ，C 在同一条直线上，DM 的延长线交CE 的延长线于点N ，若此时点A 恰好为CG 的中点，AB =1，其余条件不变，请直接写出FM 的长度．3. 已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 的延长线上，且∠DEC =45°，M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN ，交直线BE 于点F ．当点D 在CB图1NMG FED CBA 图2N MG FEDCB A图3NMGFEDCBA的延长线上时，如图1所示，易证． （1）如图2，当点D 在CB 边上时，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 的延长线上时，如图3所示，请直接写出线段MF ，FN ，BE 之间的数量关系（不需要证明）．12MF FN BE +=图1ADBCNMEF 图2A DBCN M EF图3ADBC NMEF4. 已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到点E ，使得AE =OA ，以OB ，OC 为邻边作□OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，连接EF ． （1）问题发现如图1，若△ABC 为等边三角形，线段EF 与BC 的位置关系是________，数量关系为__________． （2）拓展探究如图2，若△ABC 为等腰直角三角形（BC 为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论再给予证明． （3）解决问题如图3，若△ABC 是等腰三角形，AB =AC =2，BC =3，请你直接写出线段EF 的长．ABCEF HO图1图2F BAOHCE图3F BHOCAE5. 操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角形的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AF ，取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ． （1）连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形． 猜想与发现：（2）在（1）的条件下，请判断MD ，MN 的数量关系和位置关系．（不需要证明）结论1：MD ，MN 的数量关系是____________________； 结论2：MD ，MN 的位置关系是____________________． 拓展与探究：（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．图1AB CD EFM N 图2N M F EDCBA6.已知，在四边形ABCD中，点E，点F分别为AD，BC的中点，链接EF．（1）如图1，AB∥CD，连接AF并延长交DC的延长线于点G，则AB，CD，EF之间的数量关系为________________；（2）如图2，∠B=90°，∠C=150°，求AB，CD，EF之间的数量关系？AB C DEFG 图1AB CDEF图2图1ABDEFG图2ABCDEFG图3AB CD EFG 【旋转结构】7. 以四边形ABCD 的边AB ，AD 为边分别向外侧作等边△ABF 和等边△ADE ，连接EB ，FD ，交点为G ．（1）问题发现：当四边形ABCD 为正方形时（如图1），EB 和FD 的数量关系是___________．（2）拓展探究：当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系？请加以证明．（3）问题解决：四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD 的度数．图1A BCDE F图2AB EC FD图3B A DCEF8. 已知四边形ABCD 是菱形，AB =4，∠ABC =60°，∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF =60°．（1）如图1，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出．．．．线段AE ，EF ，AF 之间的数量关系；（2）如图2，当点E 是线段CB 上任意一点时（点E 不与B ，C 重合），求证：BE =CF ；（3）如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB =15°时，求点F 到BC 的距离．图1GF ED CBA 图2ED CB A图3GFED CBA9. 如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ．小明是这样解决的：延长CB 到点G ，使BG =DE ，连接AG ，再证明△GAF ≌△EAF ，可证得结论． 感悟小明的解题方法，运用你所积累的经验和知识，完成下题：（1）如图2，在四边形ABCD 中，AD ∥BC （AD ＞BC ），∠D =90°，AD =CD =10，E 是CD 上一点，且∠BAE =45°，DE =4，求BE 的长．（2）类比（1）证明思想完成下列问题：在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =∠AGF =90°，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF ，AG 与边BC 的交点分别为D ，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），在旋转过程中，等式 BD 2+CE 2=DE 2始终成立，请说明理由．G FEDCBA图1FED CBA图210. 问题背景如图1，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =120°，∠B =∠ADC =90°，EF 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG =BE ，连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是_______． （2）探索延伸如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠D =180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（3）结论应用如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF =70°，试求此时两舰艇之间的距离.【直角结构】11. （1）观察猜想如图1，点B ，A ，C 在同一条直线上，DB ⊥BC ，EC ⊥BC 且∠DAE =90°，AD =AE ，则BC ，BD ，CE 之间的数量关系为_______________； （2）问题解决如图2，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，CB =4，AB =2，以AC 为直角边向外作等腰Rt △DAC ，连接BD ，求BD 的长；图1 图2（3）拓展延伸如图3，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，CB =4，AB =2，DC =DA ，请直接写出BD 的长．EDCBADCB ADCBA12. 情境创设：如图1，两块全等的直角三角板，△ABC ≌△DEF ，且∠C =∠F =90°，现如图放置，则∠ABE =___________． 问题探究：如图2，△ABC 中，AH ⊥BC 于点H ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰直角△ABE 和等腰直角△ACF ，过点E ，F 作射线HA 的垂线，垂足分别为M ，N ，试探究线段EM 和FN 之间的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：如图，△ABC 中，AH ⊥BC 于点H ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为一边，向△ABC 外作正方形ABME 和正方形ACNF ，连接EF 交射线HA 于点G ，试探究线段EG 和FG 之间的数量关系，并说明理由．图1AB (D )CEF图2AB CEFHN M 图3M13.的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB=PE．（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由．（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长；如果不能，试说明理由．AB CDPEF备用图FEPDCBA【其他类型】14.如图1，点A(a，b)在平面直角坐标系xOy中，点A到坐标轴的垂线段AB，AC与坐标轴围成矩形OBAC，当这个矩形的一组邻边长的和与积相等时，点A称作“垂点”，矩形称作“垂点矩形”．（1）在点P(1，2)，Q(2，-2)，N(12，-1)中，是“垂点”的点为______；（2）点M(-4，m)是第三象限的“垂点”，直接写出m的值______；（3）如果“垂点矩形”的面积是163，且“垂点”位于第二象限，写出满足条件的“垂点”的坐标______；（4）如图2，平面直角坐标系的原点O是正方形DEFG的对角线的交点，当正方形DEFG的边上存在“垂点”时，GE的最小值为______．图1图215. 如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA =PE ，PE 交CD 于F ． （1）证明：PC =PE ； （2）求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC =120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．图1ABC PD EF图2APDEFBC16. 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN =60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB ，交直线DN 于点F ． （1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF +BE =CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC ，交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3．请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明．（3）在（2）的条件下，若∠ADC =30°，ABC S △，则BE =_________，CD =________．图1N MFEDC B ADCABFEN图2D CABFEN图3。
初中数学规律探究问题题型梳理
初中数学规律探究题型“规律探究类问题”是中考中的一棵常青树，一直受到命题者的青睐。
这类试题要求学生有一定的数感与符号感，学生通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动，得到图形或数式内在规律的一般通式。
不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和提高，也有利于自主探索，创新精神的培养。
因此规律探究类问题一直成为命题的热点。
题型一、一阶等差规律一阶等差规律意思是第一次做差差为常数。
主要考察对图形变化的规律观察，从图形变化转化为数字变化，从数字变化中去发掘规律。
这部分内容相对简单，可以直接观察图形得出规律，也可以通过套通项公式的方法找出规律，考试中单独考察这部分的概率很小，往往与其它形式一起结合考察。
1、规律分析：问题本质：前后的图形相比较，每一幅图形以恒定不变的速度保持图形增加（减少）的个数。
2、首差法通项公式（通法）（1）将题目的已知转为一组数据，第一个数记为1a 以此第n 个数记为n a （2）对这组数据两两之间做差，差为一个固定常数记为d ，即=d 后项—前项 （3）则该类型的规律为：任意的第n 项满足：d n a a n )1(1-+=（4）若记不住公式，上述数据转化为坐标点),(n a n ，设通项公式为：b kn a n +=，代入前2组数据，通过解一次函数方法，即可得到通项公式；例1、如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要（ ）枚棋子．【解析】用一阶等差实质进行分析。
根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个． 第2个图案中棋子的个数5611+=个．⋯．每个图形都比前一个图形多用6个．∴第30个图案中棋子的个数为5296179+⨯=个．答案：179例2、观察下列数：14，39，516，725，936⋯，它们按一定规律排列，那么这一组数第n 个数是( ) A ．221n n - B ．221n n + C ．221(1)n n ++ D ．221(1)n n -+ 【解析】法一：观察分析。
几何类比探究题型-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
几何类比探究题型题型解读|模型构建|通关试练几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．模型01图形旋转模型模型一、A字形(手拉手)及其旋转模型二、K字型及其旋转手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等(边角边)组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。
在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形。
模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。
模型02图形平移模型探究1.四边形平移变换四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.三角形平移变换三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.其它图形平移类比探究问题综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.模型03动点引起的题型探究动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。
中考几何中的类比探究解题方法分析
（2）作 EH⊥CD，EQ⊥AB，先证△EFQ∽△EGH，易得 EF EQ ， EG EH
再证△AQE∽△EHC，那么 EA EQ 2 ， EC EH 1
CD m
∴=
CG 2
（3）拓展迁移
第 2页，共 7页
如图 3，梯形 ABCD 中，DC//AB，点 E 是 BC 的延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F。
若
AB
a
BC
，
b(a
0,b 0) ，则
AF
的值是
AF
ab（用含 a，b
的代数式表示）。
CD
BE
EF
EF
E
【解析】过 E 作 EH∥AB，交 BD 延长线于点 H
∴ EA EQ 2 EG EH 1
∴ EF 2 EG
∴EF=2EG；
（3）EF=kEG．
第 6页，共 7页
【上题基本思路：过直角顶点，作横平竖直的线，找全等或相似。】
中考数学类比探题思维误区： 第一问通常是特殊的图形，题中的条件比较充分，而且一般有提示，所以学生做的时，
基本上能得心应手，但做第二、三问时，往往有部分学生，没有按照第一问的思路去思考， 而且是对着题干思考第二、三问，这样就陷入了“自己布置的陷阱”结果做不出来，把一 道题当成三道题来做了。
H
由题意可知:EH∥DC∥AB
∴ BC CD BE EH
∴CD = b EH
D
C
F
又∵ AB a CD
∴AB=a CD
八年级数学类比探究(讲义及答案).
类比探究（讲义）➢知识点睛1.类比：就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．探究：是指学生在学习情境中通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验、探究性学习．学习过程的本质 类比与探究．2.类比探究问题的处理思路（1）根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；（2）整体类比第一问，迁移解决下一问．①类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；②对比前后条件变化，寻找并利用不变特征，考虑相关几何结构解决问题．3.类比探究问题中的常见特征举例手拉手模型：条件：AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE结论：△ABD≌△ACE➢精讲精练1.在△ABC 中，AB=AC，D 是直线BC 上一点，以AD 为一条边在AD 的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：BD=CE；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，求证：BD=CE；（3）如图3，当点D 在线段CB 的延长线上时，上述结论还成立吗？请证明你的猜想．2.（1）操作发现：如图1，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图2，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．（3）深入探究：①如图3，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．②如图4，当动点D 在等边△ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与图3相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．33.在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB，点D 是直线AB 上的一点，连接CD，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点 D 在线段AB 上时，请你直接写出AB 与BE 的位置关系为；线段BD，AB，EB 的数量关系为．（2）猜想论证当点D 在直线AB 上运动时，如图2，是点D 在射线AB 上，如图3，是点D 在射线BA 上，请你写出这两种情况下，线段BD，AB，EB 的数量关系，并对图2 的结论进行证明．（3）拓展延伸若AB=5，BD=7，请你直接写出△ADE 的面积．4.（1）如图1，两个等腰三角形△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE，AB=AC，AE=AD，连接BD，CE，则线段BD 和CE 的数量关系是；（2）如图2，两个等腰直角三角形△ABC 和△ADE 中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD 和CE 的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB，AC 为边分别向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE 和CD 的数量关系及∠PBC+∠PCB 的度数．【参考答案】1. （1）证明略；（2）证明略；（3）成立，BD=CE，证明略．2.（1）AF=BD，证明略；（2）成立，AF=BD，证明略；（3）①AB=AF+BF′，证明略；②不成立，AB=AF-BF′，证明略．3.（1）AB⊥BE，AB=BE+BD；（2）AB=BE-BD，证明略；（3）△ADE 的面积为72 或2．4. （1）BD=CE；（2）BD=CE，BD⊥CE，证明略；（3）BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°．类比探究（习题）➢已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B，C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF，AD=AF，∠DAF=90°，连接CF．•如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：CF+CD=BC；•如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；•如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变，求CF，BC，CD 三条线段之间的关系．➢如图1，点C 在线段AB 上（点C 不与A，B 重合），分别以AC，BC 为边在AB 同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接AE，BD 交于点P．4.观察猜想：①AE 与BD 的数量关系为；②∠APD 的度数为．5.数学思考：如图2，当点C 在线段AB 外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．6.拓展应用：如图3，点E 为四边形ABCD 内一点，且满足∠AED=∠BEC=90°，AE=DE，BE=CE，对角线AC，BD 交于点P，AC=10，则四边形ABCD 的面积为．【参考答案】1. （1）证明略；5.CF-CD=BC；6.CD-CF=BC，证明略．2. （1）①AE=BD；②60°；（2）成立，AE=BD，∠APD=60°，证明略；（3）50．。
类比探究问题
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD= 2．若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，
请直接写出点A到BP的距离．
C
A
D
E
B
C
图3
M D
A
B
图2
3．（3）解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD= 2．若点P满足PD=1， 且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
图3
图2
3．（3）解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD= 2．若点P满足PD=1， 且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．
（2）问题解决
A
保持（1）中条件不变，若DC=2DF，
AD
求 AB 的值； （3）类比探求
2
保持（1）中条件不变，若DC=nDF，
求 AD 的值．
AB
B
E
D
1
1 F2
2G
1
C
中考类比探究出题历史
【2010年河南中考试题】
（1）操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE， 且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同 意吗？说明理由．
BD
BD
A
A
E
B
D
C
B
图1
C
D
E
中考类比探究出题历史
【2015年河南中考试题】
如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，
AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时，AE ______；②当α=180°时， AE ______．
中考数学类比研究(二)(讲义及答案)
A D
D
A
A
P
P
E
E
B
CB 图1
图2
CB
C 备用图
2. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 AB 边的中点，以 AE 为边作正方形 AEFG，连接 DE，BG． （1）发现 ①线段 DE，BG 之间的数量关系是__________； ②直线 DE，BG 之间的位置关系是__________． （2）探究 如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成 立，请说明理由． （3）应用 如图 3，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一周，记直线 DE 与 BG 的交点为 P，若 AB=4，请直接写出点 P 到 CD 所在直线距离的最大值和最小值．
2. 作图 作图既是理解题意的体现，也是辅助思考，分析问题的一种手段． ①往往需要先画草图理解题意，然后根据分析题目得到的特征不断精准作图． ②精准作图，往往需要先辨识特征，然后依据不变特征分析运动轨迹，设计作图方案． 常见作图特征 （1）与作圆相关 ①一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上； ②两定点一动点，满足以动点为顶点的角为 90°，则动点在圆上； ③直角三角形中，直角顶点固定，斜边运动但长度不变，则斜边中点在圆上． （2）与折叠相关 ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． （3）与旋转相关 ①注意旋转中心、旋转方向、旋转角度； ②旋转作图时往往只需保留研究目标即可． （4）与平移相关 根据平移方向和平移距离画出点的运动路径（平移通道）．
把△DEA 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AC= 10 ，AD=2，请直接写出当点 B，D，E 在一条直线上时 CE 的长．
七年级数学(上)探索规律类-问题及答案
1条2条3条七年级数学（上)探索规律类 问题班级 七（8） 姓名 袁野 成绩一、数字规律类：1、一组按规律排列的数：41，93,167，2513,3621,…… 请你推断第9个数是 31/49 ．2、（2005年山东日照)已知下列等式： ① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62;④ 13＋23＋33＋43＝102 ；…………由此规律知，第⑤个等式是1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2．3、（2005年内蒙古乌兰察布）观察下列各式；①、12+1=1×2 ；②、22+2=2×3； ③、32+3=3×4 ；………请把你猜想到的规律用自然数n 表示出来 n^2+n=n ＊（n+1) 。
4、（2005年辽宁锦州）观察下面的几个算式：①、1+2+1=4； ②、1+2+3+2+1=9；③、1+2+3+4+3+2+1=16;④、1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，……根据你所发现的规律，请你直接写出第n 个式子 1+2+3+…+n+（n-1)+（n —2）+…+1=n^2 5、（2005年江苏宿迁）观察下列一组数的排列：1、2、3、4、3、2、1、2、3、4、3、2、1、…，那么第2005个数是( A ) A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 6、(2005年山东济南市）把数字按如图所示排列起来,从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、……，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1、5、13、25、……，则第10个数为_41___.第1行 1第2行 －2 3第3行 －4 5 －6第4行 7 －8 9 －10（第6题图） 第5行 11 －12 13 －14 15 ……………… （第7题图） 7、（05年江苏省金湖实验区）已知一列数：1，―2，3，―4，5，―6，7，… 将这列数排成如上所示的形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数等于 —50 ． 二、图形规律类： 8、（2005年云南玉溪)一质点P 从距原点1个单位的A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点1A 处，第二次从1A 点跳动到O 1A 的中点2A 处,第三次从2A 点跳动到O 2A 的中点3A 处,如此不断跳动下去,则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为 An 。
中考类比探究解题方法和思路
襄垣县五阳矿中学九年级数学中考复习（教）学案编写人：郑威斌审核人：郑威斌201 年月课题类比探究解题方法和思路班级姓名组别【类比探究解题方法和思路】1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A字型、八字型）三线合一、面积等；2、借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。
3、照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。
4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。
常见不变结构及方法：①直角：作横平竖直的线，找全等或相似；②中点：作倍长、通过全等转移边和角；③平行：构造全等三角形证明线段相等或找相似求比例。
5、哪些是不变的，哪些是变化的。
哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够类比的方法和思路。
【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．[来假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．已知：在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系．（1）如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2,若AB=BC,你在（1）中得到已知：在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系．（1）如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2,若AB=BC,你在（1）中得到的结论是否发生变化?写出猜想,并加以证明；（3）如图3,若AB=kBC,你在（1）中得到的结论是否发生变化?写出猜想不用证明．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥BD；（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求的值已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连结DE，DE所在直线交直线BC于点M.请探究(1)、如图①，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD＝CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论(2)、如图②，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD＝CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由(3)、如图③，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A、B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝mBD，（m＞1），请你判断线段MD与线段ME的数量关系，并说明理由。
中考热点,类比探究问题求解策略
中考热点，类比探究问题求解策略类比拓展探究问题，近几年来在中考中越来越频繁出现。
这种题型只所以受到各大城市的追捧，就是因为利用它既能很好地考查学生对课程标准要求知识的掌握情况，也能更好地考查学生活学活用的能力，考查学生把书本知识能否很好地迁移拓展到新的清净之中。
这样的题型一般多以解答题大题出现，涉及知识多与图形变换或特殊图形知识有关．对学生的自学能力要求较高．1．（2019秋•永州期末）如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）若C，D，E三点在同一直线上，连接BD交AC于点F，求证：△BAD ≌△CAE．（2）在第（1）问的条件下，求证：BD⊥CE；（3）将△ADE绕点A顺时针旋转得到图2，那么第（2）问中的结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由．【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角的性质，垂直的判定，判断出△BAD≌△CAE是解本题的关键.（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）由△BAD≌△CAE，得出∠ABD＝∠ACE，再判断出∠ACE+∠CFD＝90°，即可得出结论；（3）先同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，再同（2）的方法判断出BD⊥CE，即可得出结论．【解答】：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）由（1）知，△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠ACE+∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°，∴BD⊥CE；（3）BD⊥CE仍然成立，理由：如图2，延长BD交CE于点M，交AC于点F，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°,∴∠ABD+∠AFB＝90°，∵∠AFB＝∠CFM，∴∠CMF＝90°，∴BD⊥CE．2.（2019•兰山区二模）如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC 边的中点连接AD，则易证AD＝BD＝CD，即AD＝1/2BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于1/2BC．理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，即可证得AH＝BC，此时AD＝1/2BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB ≌△HDC（SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【解答】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝1/2BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．证明方法类似（2）．3.（2019秋•常德期末）操作发现：如图1，D是等边△ABC边BA上的一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，易证AF＝BD（不需要证明）；类比猜想：①如图2，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图1相同，猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立．深入探究：②如图3，当动点D在等边△ABC边BA上的一动点（点D与点B 不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，你能发现AF，BF′与AB有何数量关系，并证明你发现的结论．③如图4，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图3相同，猜想AF，BF′与AB在上题②中的结论是否仍然成立，若不成立，请给出你的结论并证明．【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理呵呵性质定理是解题的关键．类比猜想：①根据等边三角形的性质得到CB＝CA，CD＝CF，∠ACB＝∠FCD ＝60°，证明△BCD≌△ACF，根据全等三角形的性质证明结论；深入探究：②根据△BCD≌△ACF，得到BD＝AF，根据△BCF′≌△ACD，得到BF′＝AD，结合图形解答；③仿照②的证明过程解答即可．【解答】：类比猜想：①图1中的结论仍然成立，理由如下：∵△ABC和△FDC都是等边三角形，∴CB＝CA，CD＝CF，∠ACB＝∠FCD＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠FCD+∠ACD，即∠BCD＝∠ACF，易证△BCD≌△ACF（SAS）,∴BD＝AF；深入探究：②AF+BF′＝AB，理由如下：如图3，由①可知，△BCD≌△ACF，∴BD＝AF，同理，△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF+BF′＝BD+AD＝AB；③AF，BF′与AB在上题②中的结论不成立，AF﹣BF′＝AB，理由如下：如图4，同理可证，△BCD≌△ACF，∴BD＝AF，同理，△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF﹣BF′＝BD﹣AD＝AB．4．（2020•长葛市一模）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【解答】：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠GAF＝∠BAD，∴∠GAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，即∠GAB＝∠FAD，∴易证△GAB≌△FAD（ASA），∴AG＝AF，即EF＝EG，故答案为：EF＝EG；（2）成立，证明如下：如图2，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH＝EI，∠HEI＝90°，∵∠GEH+∠HEF＝90°，∠IEF+∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠GEH，∴易证△FEI≌△GEH（ASA），∴EF＝EG；（3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN＝90°，∴EM∥AB，EN∥AD，∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴NE/AD=CE/CA,，EM/AB=CE/CA，∴NE/AD=EM/AB，即NE/EN=AD/AB=b/a，∵∠NEF+∠FEM＝∠GEM+∠FEM＝90°，∴∠GEM＝∠FEN，又∠GME＝∠FNE＝90°，∴△GME∽△FNE，∴EF/EG=EN/EM＝b/a．方法总结类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主----“条件类似、图形结构类似、问法类似”.类比探究问题的处理思路类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；即整体类比上一问思路，迁移解决下一问。
人教版数学八下压轴题研究之四边形之类比探究
四边形之类比探究（一）➢ 知识点睛1. 类比探究问题的处理思路：①根据题干条件，结合____________先解决第一问．②用解决__________的方法类比解决下一问．类比的关键是把握住变化过程中的__________． 2. 类比探究问题中常见不变特征举例ABCE MDA BMCNM C BA（类）倍长中线 平行夹中点 中位线➢ 精讲精练1. 已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：BC=CF+CD ． （2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不 变，请直接写出BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系．（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．①请直接写出BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系；②若正方形ADEF的边长为AE ，DF 相交于点O ，求OC 的长．图1D F EC B A B E C FD A 图2图3DF E C BA 2. 如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF =45°，则有结论EF =BE +DF成立．（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B =∠D =90°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，12EAF BAD ∠=∠，那么结论EF =BE +DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立， 请说明理由．（2）如图3，若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB =AD ，∠B +∠ADC =180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得12EAF BAD ∠=∠，则结论EF =BE +DF 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．3. 在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC =60°，P 是DF 的中点，连接PE ，PC ．（1）如图1，当点E 在BC边上时，求证：PE =．（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段PC ，PE 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．图1EPDCBAABCDP E F图24. 如图1，在四边形ABCD 中，AB =CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA ，CD 的延长线分别交于点M ，N ，则∠BME =∠CNE ． （1）如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB =CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF ，与CD ，AB 分别交于点M ，N ，判断OM ，ON 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）如图3，在△ABC 中，AC AB ，点D 在AC 边上，且AB =CD ．E ，F 分别为BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，连接DG ，若∠EFC =60°，判断△ADG 的形状，并证明你的结论．GE F DCBA 图1图2图3E FNMOCBDANM FE DBA【参考答案】➢ 知识点睛 1．①分支条件②第一问，不变特征 ➢ 精讲精练 1．（1）证明略．提示：题目中有旋转结构，证明△ABD ≌△ACF （SAS ）， 得到BD =CF ，进而得证． （2）BC CF CD =-．（3）①BC CD CF =-；②2OC =． 2．（1）成立，证明略．提示：题目中有旋转结构，证明△ADF ≌△ABH （SAS ）， 得到DF =BH ，进而得证． （2）不成立，BE EF DF =+.提示：题目中有旋转结构，证明△ABH ≌△ADF （SAS ）， 得到AH =AF ，∠BAH=∠DAF ，可证△AHE ≌△AFE （SAS ）, EF =EH ，得到BE EF DF =+.3．（1）PE =，证明略．提示：延长EP ，交CD 于点H ．证明△EFP ≌△HDP （ASA ），得到FE DH =，EP HP =， 可得CE CH =，由三线合一得，CP ⊥EH ，进而可得PE =．（2）PE =．4．（1）OM ON =，证明略．提示：取BD 的中点G'，连接EG'，FG'．则FG'∥AB ，12FG AB '=，EG'∥CD ，12EG CD '=， 由AB CD =得EG FG ''=，进而可得OM ON =．（2）△ADG 是含30°角的直角三角形，证明略． 提示：连接BD ，取BD 的中点G'，连接EG'，FG'．四边形之类比探究（二）（讲义）➢ 知识点睛类比探究问题的处理思路：①根据题干条件，结合__________先解决第一问．②用解决第一问的方法类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找__________． ③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢ 精讲精练1. （1）问题探究如图1，分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边，向△ABC 外作正方形ACD 1E 1和正方形BCD 2E 2，过点C 作直线K H 交直线A B 于点H ，使∠A H K =∠A C D 1．作D1M ⊥K H ，D 2N ⊥KH ，垂足分别为点M ，N ．试探究线段D 1M 与线段D 2N 的数量关系，并加以证明．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探究”中的“正方形”改为“正三角形”，过点C 作直线K 1H 1，K 2H 2，分别交直线AB 于点H 1，H 2，使∠AH 1K 1=∠BH 2K 2=∠ACD 1．作D 1M ⊥K 1H 1，D 2N ⊥K 2H 2，垂足分别为点M ，N ．D 1M =D 2N 是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变，D 1M =D 2N 是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明）BCD 1E 1E 2D 2F 2F 1图2图1ABCD 1K 1K 2D 2MNH 2H 1NM KHD 2E 2E 1D 1CB A2. （1）问题背景如图1，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，∠ABC 的平分线交直线AC 于点D ，过点C 作CE ⊥BD ，交直线BD 于点E ．请探究线段BD 与CE 之间的数量关系． 结论：线段BD 与CE 之间的数量关系为_______________（请直接写出结论）． （2）类比探索在（1）中，如果把BD 改为△ABC 的外角∠ABF 的平分线，其他条件均不变（如图2），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．DE AFAB CD图1 图23. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是_______________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_______________． （2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．图2图1C B (E )A (D )（3）拓展探究已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4， DE ∥AB 交BC 于点E （如图4）．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ，请直接写出．．．．相应的BF 的长．4. 在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ．（1）在图1中证明CE =CF ；（2）如图2，若∠ABC =90°，G 是EF 的中点，求∠BDG 的 度数；（3）如图3，若∠ABC =120°，FG ∥CE ，且FG =CE ，求∠BDG 的度数．DFEC BA图1GDFEC BA图2G DFE C BA图3【参考答案】➢知识点睛①分支条件；②不变特征；③不变特征．➢精讲精练1．（1）D1M=D2N，证明略．提示：证明△CMD1≌△AHC，△CND2≌△BHC．（2）D1M=D2N仍成立，证明略．（3）D1M=D2N仍成立，图形略．2．（1）BD=2CE．提示：延长CE，交BA的延长线于点M，由角平分线+垂直可以得到BM=BC，之后证明△ABD ≌△ACM即可．（2）（1）中的结论仍成立，证明略．提示：延长CE，交AB的延长线于点M，由角平分线+垂直可以得到BM=BC，之后证明△ABD ≌△ACM即可．3．（1）①AC∥DE；②S1=S2．（2）证明略．提示：证明△ANC≌△DMC，可得AN=DM，根据等底等高即可得证．．（3）BF的长为334．（1）证明略．（2）∠BDG=45°．（3）∠BDG=60°．。
初中数学类比思想方法的探究与应用
初中数学类比思想方法的探究与应用数学是一门抽象而又严谨的科学，它的学习需要一种特殊的思考方式。
而在数学思考中，类比思想方法则发挥了不可忽视的作用。
类比思想是通过对比两种或多种不同事物之间的相似性和差异性，从而找到它们在某些问题上的相似之处，并运用这种相似之处解决新的问题。
下面我们就来探究一下初中数学中的类比思想方法，并探讨一些应用。
一、类比思想方法的探究1.相似性的发现与建立类比思想方法的第一步就是找出相似性。
比如，当我们学习一种新的数学概念时，可以尝试将它与我们已经熟悉的概念进行比较，找出它们之间的共同点。
这样一来，我们就可以借助已有的知识和经验来理解新概念，减少学习的难度。
2.分析相似性与差异性的原因在发现相似性之后，我们需要深入分析其原因。
相似性的原因可以是结构相似、性质相似或者运算规则相似等等。
而差异性则可能是由于不同的背景条件或者参数取值不同等原因。
通过分析相似性与差异性，我们可以更深入地理解问题的本质，并找到解决问题的关键。
3.将类比思想应用于解决问题将类比思想应用于解决数学问题时，可以采取如下方法：（1）将问题转化为已经熟悉的问题。
即找到与待解决问题相似的已知问题，并运用相似性解决新问题。
（2）将问题拆分为更小的部分。
通过比较每个问题部分之间的相似之处，可以解决整个问题。
（3）通过对比不同解决方法的优劣性，找到最佳解决方案。
二、类比思想方法的应用1.数学概念的理解初中数学中存在许多抽象的概念，例如，对于初中生来说，除法就是个抽象的概念。
如果我们可以将除法与更简单的概念，比如分割、平均分配等联系起来，就能够更容易地理解和应用除法的概念。
通过类比思想，我们可以将不熟悉的概念转化为具体的情境，从而深入理解数学概念。
2.解决问题的方法与策略类比思想方法对于解决问题的方法与策略也有着积极影响。
在解决数学问题时，我们可以通过类比思想将问题与我们已经学会的类似问题联系起来，然后采用相似的解决方法。
中考数学复习指导：探索规律型问题归类解析
探索规律型问题归类解析探索规律型问题是历年中考数学试题中的重要题型之一，其特点是给出一组变化了的数字、式子、表格、图形等，要求学生通过观察、归纳、猜想、验证、类比，探求其内在规律．1.通用的解题策略解答规律型问题一般要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论．这种“特殊——一般——特殊”的解题模式，体现了总结归纳的数学思想，也正是人们认识新事物的一般过程．具体来说，就是先写出开头几个数式的基本结构，然后通过横比或纵比找出各部分的特征，写出符合要求的结果．例1 如图1，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色“L”形由3个正方形组成，第2个黑色“L”形由7个正方形组成，…那么组成第6个黑色“L”形的正方形个数是( )(A)22 (B)23 (C)24 (D)25解析从特例入手：如图1．纵比正方形的个数3，7，11，15中，后一个数比前一个大4（即相邻两数的差为4），猜想与4有关．横比3与1，7与2，11与3，15与4之间有何关系？联想到与4有关，故改写为：3＝4×1－1，7＝4×2－1．11＝4×3－1，15＝4×4－1．猜想组成第6个黑色L形的正方形个数是4 ×6－1＝23个．故选B．点评考察相邻两数的差（或商）是探究数字规律的常用手段．常见的类型有：相邻两数的差（或商）相等或成倍数关系，相邻两数的差相等与商相等交替出现等．2.关注特殊数列(1)斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…（其规律为：从第三项开始，每一项都等于前两项之和）；(2)平方数数列：1，4，9，16，25，36…（其规律为：n2，即每一项都等于项数的平方）．例2 有一组数：1，2，5，10，17，26…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_______．解析规律为：n2＋1（n＝0，1，2…）．答案：50．点评此类题要注意n2，n2＋1，n2－1等(3)三角形数列：1，3，6，10，15，21，…（其规律为1＋2＋3＋…＋n）例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图2所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是：( )（A）（B）（C）（D）解析从第3行起，从左边数第3位置上的数分别为，，，，…它们的分母可分别改写为：1×3，3×4，6×5，10×6，15×7，21×8，…，而1，3，6，10，15，21，…，正是三角形数，故答案为：．选B．(4)杨辉三角形，杨辉三角形斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，如图3．(5)与等差等比数列有关的数列．如例1中3，7，11，15…就是一个等差数列．例4 数字解密：第一个数是3＝2＋1，第二个数是5＝3＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8，……观察并猜想第六个数应是_______．解析第二个加数1，2，4，8…规律为2n（为一等比数列，也要关注这一数列），第一个加数2，3，5，9…比第二个加数大1．所以第六个数为(25＋1)＋25＝65．例5 一组按规律排列的数：…请你推断第9个数是________．解析这列数的分母为2，3，4，5，6…的平方数，分子形成二阶等差数列，依次相差2，4，6，8…故第9个数分子为1＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＝73，分母为100，故答案为．(6)与循环有关的问题例6 让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12＋1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22＋1得a3；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32＋1得a3；……依此类推，则a2008＝_______．解析根据题意可算出a1＝26，a2＝65，a3＝122，a4＝26，a5＝65，a6＝122，…发现每3个数就出现一次循环．所以由2008＝669×3＋1，可得a2008＝a1＝26．点评一列数由某m个数循环出现组成，可依据同余等值(由n＝p·m＋r得a n＝a r)实施转换．(7)分奇数项偶数项的问题例7 一组按规律排列的式子：，…(a b≠0)，其中第7个式子是________，第n个式子是_(n为正整数)．解析6的指数2，5，8，11…，相邻两数差为3，是等差数列，其规律为3n－1；再注意到奇数项为负，偶数项为正，则第n个式子为第七个式子为3.特殊数列的迁移例8 把数字按如图4所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1.5.13.25.…，则第10个数为_______．解析1 中间框出的一列数的规律为：第n个数为1＋4＋8＋12＋…＋4（n－1）．所以第10个数为1＋4＋8＋12＋…＋36＝．解析2 用虚线圈出的一列数1，5，13，25可改写为：02＋12，12＋22，22＋32，32＋42，猜想第10个数为92＋102＝181．点评此列数可看成是平方数数列的迁移．例9 图5中是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒．a，b，c，d是相邻两行的前四个数，那么当a＝8时，c＝_______，d＝_______．解析除两边外，中间的每个数等于肩上两数的和．答案：9；32．点评此列数可看成是杨辉三角形的迁移．4.关注中考新题型例10 观察图6所示表格，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有_______次．解析从特例入手，通过扩充表格可得：数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10出现次数分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4．出现的次数恰为给定数的所有因数的个数，而2008的因数为1，2，4，8，251，502，1004，2008等8个．故答案为8．点评本例中新产生的数为自然数的倍数，因此，其出现的次数与其因数的多少有关，仔细观察便会发现，其出现次数就是给定数所有因数的个数，本题规律的隐蔽性较强，因而有一定的难度．。
类比探究(教师用)
类比探究(教师用)类比探究一）直角结构问题1：类比探究是几何综合题，类比（相似、全等、等腰）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的不变量。
若属于类比探究常见的结构类型，可以调用结构类比解决。
若不属于常见结构类型，可以先根据题干条件，结合已知条件先解决第一问，然后类比解决下一问。
如果不能，可以分析条件变化，寻找不变量。
结合所求目标，依据猜想、尝试、验证的思路大胆猜测，尝试，验证。
问题2：类比探究问题常见的不变结构有：勾股定理、直角三角形两锐角互余、直角边看成高（等面积结构）、直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正、弦图结构、三等角模型、母子型相似、射影定理、函数背景下考虑、圆背景下考虑等。
处理方式是根据所求目标和已知条件，结合不变结构进行类比，寻找解题思路。
问题3：直角结构的思考角度有：1.边：勾股定理；2.角：直角三角形两锐角互余；3.面积：直角边看成高（等面积结构）；4.固定模型和用法：直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正、弦图结构、三等角模型、母子型相似、射影定理；5.函数背景下考虑；6.圆背景下考虑：直径所对的圆周角是直角，垂径定理。
在类比探究之直角结构中，常用的结构有勾股定理、直角三角形两锐角互余、直角边看成高（等面积结构）、直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正等。
例如，对于Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，将一块三角板的直角顶点放在△ABC斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，可以利用不变结构进行类比解题。
为折痕EF上的任一点P，作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H。
已知AD=8，CF=3，求PG+PH的值。
解题思路：根据垂足定理，PG=PE-EG，PH=PF-FH。
由于EF是折痕，所以PE=PF，EG=FC，FH=AD。
因此，PG+PH=PE+FC-AD=PE+CF-AD=PE-ED+CF。
中考数学类比探究专题复习中考数学类比探究专题复习
F E D CG (B )AG FE D C B A D A B M N M A A B E M AB=AC D BC D'A 中考数学类比探究专题复习一：知识点睛1. 类比探究一般会围绕一个不变结构进行考查．常见结构有：平行结构、直角结构、旋转结构、中点结构．2. 类比是解决类比探究问题的主要方法．往往会类比字母、类比辅助线、类比结构、类比思路来解决类比探究问题． 3. 常见结构：①平行结构 ②直角结构 ③旋转结构④中点结构平行夹中点 (类)倍长中线 中位线二：真题演练1.（2015•潜江24．（10分））已知∠MAN=135°，正方形ABCD 绕点A 旋转．（1）当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的外部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与正方形ABCD 的边CB ，CD 的延长线交于点M ，N ，连接MN ．①如图1，若BM=DN ，则线段MN 与BM+DN 之间的数量关系是 MN=BM+DN ；②如图2，若BM≠DN ，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD 旋转到∠MAN 的内部（顶点A 除外）时，AM ，AN 分别与直线BD 交于点M ，N ，探究：以线段BM ，MN ，DN 的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．2.（2015•贵港26．（10分））已知：△ABC是等腰三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB=，PC=2；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）3、（2015•齐齐哈尔26．（8分））如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．4、（2015•黑龙江龙东地区26．8分）如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．5、（2015•牡丹江26．（8分））已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．（1）当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图①，求证：AB+BE=AM；（提示：延长MF，交边BC的延长线于点H．）（2）当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图②；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，如图③．请分别写出线段AB，BE，AM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1），（2）的条件下，若BE=，∠AFM=15°，则AM=．6、（2015•哈尔滨26．（10分））AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan ∠D=，求线段AH的长．7、（2015荆州，22．（9分））如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E 在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F．（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．8、（2015•宿迁25．（10分））已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．9、（2015•锦州25．（12分））如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD 和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α=90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF=AD；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，（1）中的结论变为DE+DF=AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．10、（2015•本溪25．（12分））如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD =∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是BD=CD+AD；（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD=AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．11、（2015抚顺，25．）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）12、（2015阜新，17．）如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C 顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．①如图b，求证：BE⊥DQ；②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．13、（2015•葫芦岛25．（12分））在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．14、（2015铁岭，25．）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．15、（2015•营口25．（14分））【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．。
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2018 年 4 月 26 日初中数学
1h请你按照上述规律，计算 1 算式的图形； 2h请你按照上述规律，计算第
t 条黑折线与第
11
1t 的值，并在图 1 中画出能表示该
1 条黑折线所围成的图形面积；
th请你在边长为 1 的网格图 2 中画出下列算式所表示的图形 1 8 t2 ； 2； 1 8 16 2； 1 8 16 24 2． 1 8 16 24 t2
th猜想第
1t.找规律：观察下面的星阵图和相应的等式，探究其中的规律．
4h利用你猜想的结论，计算第 200 个图形需棋子的枚数．
个图形需棋子________ 枚（用含
的代数式表示， 为正整数） ；
1h在④、⑤和⑥后面的横线上分别写出相应的等式： ①1 12 ②1 t 22 ③1 t t2 ④________； ⑤________； ⑥________； 2h通过猜想，写出第 个星阵图相对应的等式．
的代数式表示） ；
.如图 是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图 ，在分别连接图 中间 的小三角形三边中点，得到图 ，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规 律，完成下列问题：
th按照这样的规律，第 2012 个图形中共有多少根火柴？
图形编号
1h将下表填写完整
三角形个数
1 1
2
2h观察下列等式： 第一行 t 4 1 第二行 4 第三行 16 第四行 2 16 … 按照上述规律，第 th计算：
1h用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第
个图形有________枚棋子．
1 2011 h 4
行的等式为________． 42012 ．
11.某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示．请仔细观察并找出规律，解答下列问 题：
2.规律探究题 给出下列算式： t2
2 2 2
12 t2
2 2
… 1h写出第
8 8 1 16 8 2 24 6 t t2 8 4
2h观察上面这一系列等式，用含字母 （ 为正整数）的等式将这个规律表示出来： ________． t.如图所示，下列图形都是由面积为 1 的正方形按一定的规律组成，其中，第 1h个图形中面积为 1 的正方形有 2 个，第 2h个图形中面积为 1 的正方形有 个，第
… _ _ _ _ _ _ _ _
图形个数 2h
1h观察图形，填写下表： h 1h
th正方形的个数 8________________图形的周长 18________________ 2h推测第 形有________个，周长为________． th写出第 t0 个图形的周长．
________；
…，依据上述规律，则 个基础
4h观察下列各式：1
t 4 1
1
…
2008 200
1
．
2
1
1 2
，2
1
t
1 2
1 t
，t
1
4
1 t
1 4
，…，根据观察计算：1
1
2
2 t
1
6.人们经常利用图形的规律来计算一些数的和、如在边长为 1 的网格图 1 中，从左下角开 始，相邻的黑折线围成的面积分别是 1，t， ， ， ，11，1t，1 ，1 …，它们有下面的 规律： 1 t 22 ； 1 t t2 ； 1 t 42 ； 2 ；… 1 t
个等式：________．
th个图形中面积为 1 的正方形有 形的个数为________．
个，…，按此规律．则第
h个图形中面积为 1 的正方
4.规律探寻 下面是棋子摆成的“广”字
1h摆成第 1 个的“广”字需要多少枚棋子？第 2 个呢？
.猜想、探索规律 1h某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第 1 组取 t 粒，第 2 组取 粒，第 t 组取 粒…即每组所取种子数目比该组前一组增加 2 粒，按此 规律，那么请你推测第 100 组应该有种子数．________粒； 2h已知
14.按如下规律摆放五角星：
图案序号
1h填写下表：
五角星个数
1 4
2
t
________
4 _ _ _ _ _ _ _ _
…
1 .发现问题、探索规律，要有一双敏锐的双眼，下面的图形是由边长为 1 的小正方形按照 某种规律排列而成的．
2h若按上面的规律继续摆放，是否存在某个图案，其中恰好含有 2010 个五角星？
1h按照此规律，摆第
图时，需用火柴棒的根数是多少？
2h求摆第 0 个图时所需用的火柴棒的根数； th按此规律用 8 根火柴棒摆出第
个图形，求
的值．
12.探索规律问题： 用同样大小的黑色棋子按图中所示的方式摆图形，观察图中棋子的摆放规律，解答下面的 问题：
1h第 4 个图形需棋子________ 枚； 2h第 个图形需棋子________ 枚；
t
4 _ _ _ _ _ _ _ _
2h按照这样的规律，在第
个图形中有多少个三角形； （用含
的式子表示）
_ _ _ _ _ _ _ _
… …
4h按照这样的规律，当三角形的个数为 600 个时，如果能出现，出现在第几个图形里？如 果不能出现，请说明理由． 10.
ห้องสมุดไป่ตู้
th按照这样的规律，在第 100 个图形里有多少个三角形？
1 1 2 t 1 1 2 2 t 2 2 t 4 1 1 t t 8 t t 4 1 1 4 1 4
2h按这样的规律摆下去，摆成第 10 个“广”字需要多少枚棋子？第
个呢？
th下图是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个基础图形组成，第 2 个图案由 图形组成，…，那么第 101 个图案中由________个基础图形组成；
.按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后观察有什么规律，想一想：为什么会有这 个规律？
输 入
1h填写表内空格：
输出答案
t
2
1
0
… …
2h发现的规律是：输入数据 ，则输出的答案是________； th为什么会有这个规律？请你说明理由．
8.下列是幼儿园小朋友用火柴棒拼出的一列图形：
仔细观察，找出规律，解答下列各题： 1h第 4 个图中共有________根火柴，第 6 个图中有________根火柴； 2h按照这样的规律第 个图形中共有________根火柴（用含