高等代数(上)_习题集(含答案)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《高等代数（上）》课程习题集
一、填空题1
1. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。
2. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。
3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3
1
=
A ，则=--1*A A （ ）。 4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。
5. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）
。 6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。
7. 设行列式014
900
71
6
=--k
，则=k （ ）
8. 行列式
2
23
5
7
425120403
---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）
9. 设矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（ ）
10. 设A 为3阶矩阵，5
1
=
A ，则12--A =（ ） 11. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩
=)(A R （ ）
12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（ ） 13. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是（ ）
14. 若排列n j j j 21的逆序数为k ，则排列11j j j n n -的逆序数为（ ）
15. 当=a （ ）时，线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++0
402032
21321321x a x x ax x x x x x 有零解。
16. 设A 为n n ⨯矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（ ）
17. 设00A X C ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
，已知11
,A C --存在，求1X -等于（ ） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（ ） 20. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（ ）
21. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果n m >.，则这组向量线性（ ）关
22. 设矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则k=（ ）
。
23. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ） 24. 设A 为n 阶方阵，若I 2A -A -7=0，求()1
3A I --=（ ） 25. 如果24211()|x Ax Bx -++，则A =（ ），B =（ ）。
26. 若行列式12
5
132025x -=，则x =（ ）。
27. 向量α线性无关的充要条件是（ ）
28. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）。 29. 行列式
2
23
5
7
425120403
---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）
30. 当a = 时，线性方程组1231232
12302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解
二、计算题
31. 已知b ax x x x x f +++-=23463)(，12-=x x g )(.b a ,为何值时，)(x g 能整除
)(x f 。
32. 计算下列n 级行列式：
x
a a a
x a a
a x
33. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321ηηη,,是它的三个解向量且
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43215432321ηηη,
求该方程组的通解。
34. 求矩阵A 的逆矩阵： 1200340000430012A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
35. 设向量组 123
111131226240ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，，，求向量组的秩和一个最大无关组，并用最
大无关组将其余量线性表示。
36. 证明多项式1073234+-+-=x x x x x f )(在有理数域上不可约。 37. 设A 为n 阶方阵，若k A =0，证明I A -可逆，并求()1
I A --
38. 计算n 阶行列式D =n
n n n n n n n
n
n
n n n 32
1
39. 设矩阵A =⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡31000
27000052
00
3
1，求1-A 40. 设⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=410011103A ，且满足
X A AX 2+=，求矩阵X 41. 当λ为何值时方程组
1232
12312
3
4
24
x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 无解，有唯一解，有无穷多解。
42. 设向量组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11021α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10112α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00113α,⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=11204α
求向量组的秩和一个最大无关组，并用最大无关组将其余向量线性表示。
43. 计算行列式
22
2
2
2
2
2
2
22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d
c c c c b b b b a a a a
44. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=++-=++-0
11178402463035424321
43214321x x x x x x x x x x x x