高等代数(上)_习题集(含答案)
高等代数教程上王萼芳著课后习题部份解答2012
第一章 行列式1. 习题1.4（2）第2题 计算行列式。
14916491625916253616253649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 习题1.5第4（2）题 计算行列式中所有元素的代素余子式之和。
12100...00...............0...000n n a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0,1,2, (i)i n a≠=解：3. 习题1.6第1（3）题 计算行列式：1101231211232102321⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第6题 计算2n 阶行列式aba b b a b a 0000000解:得列列加到第第，列，列加到第列，第列加到第将第,121212n n n n +-D ＝aba ab a a b a b b a b b a b b a 00000000000000000000000++++++ 行）行减第，第行行减第行，第行减第（第n n n n 121212+-b a b a b a b ba bb a b b a ---+++00000000000000000000000＝n n n b a b a b a )()()(22-=-+4. 复习题 1第4题 计算行列式nn 222221222223222222222221-----------解: 原式244400014400006400000500222222222221)2()()2()4()2()3(++------------n n n=24444014440074400064000052221++⋅-n n=)2()1(7656+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯n n =)!2(41+n第 6 题 计算行列式12121231212321----n n n n n n解：12121231212321----n n n n n n行）行减第第，行，行减第行，第行减第（第n n 13221- ＝122111111111111111111111--n n n －－－－－－－－－－ （第n 列分别加到第1列，第2列，至第1-n 列）＝131110000120001220012220 -+n nn （对第1列展开）＝阶)1(1100012000122001222012222)1()1(-++-n n n ＝212)1(1-++n n n ）（－第 7 题 计算行列式01211...110...01...0......... (10)n a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1...0na a≠)第二章 线性方程组1. 习题2.1 第 1 （4） 题1212323434545561562(4)56256254x x x x x x x x x x x x x ì+=ïïïï++=-ïïï++=íïïï++=-ïïï+=-ïî56561615615656115656156156156151515561656565655156656615619156301515151515561656561619563065114150515150565191145665D 解：方程组的系数行列式对第行展开=-骣÷ç÷ç÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷桫骣÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç桫=?? Cramer D 0, ¹根据法则，方程组有唯一解。
(完整word版)高等代数多项式习题解答
第一章多项式习题解答1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x).5x2. m, p,q 适合什么条件时，有 1) x 2 mx 11 x 3 px qq(x)x 2 x 1, r(x)5x 7.x 3 0x 2 px q xp 10,q m 时 x 2 mx 11 x 3 px1) f(x)x 3 3x 2 2x3x 232x 3xx 1 3 2 2 1x —x -x3 3 7 24 1 x x 3 37 2 14 7 —x ■ x — 3 9 926 2 —x9 9q(x) £ r (x )26 x92) f(x)2x 5, g(x)4 x 4x0x 3 0x 2 x 3 2x 2 x 3 2x 22x 32x x 2xx2x2x 54x 5 x 2 mx 1当且仅当m 2 i,g(x)x 2x 1 1—x 3 3x 2本题也可用待定系数法求解 .当X 2 mx 1| x 3 px q 时，用x 2 mx 1去除x 3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为 x q.于是有因此有m 2 p 1 0, q m .2) x 2 mx 11 x 4 2px q由带余除法可得42/ 2x px q (x mx1)( x2mx 2p 1 m ) m(2pm 2)x (q 1 pm 2) 当且仅当r(x) m(2 p 2m )x (q 1 p m 2) 0 时2x 42mx 11 x pxq .即m(2 p m 2) 2m，即 mQ 或 p 2小m 2,q 1p 0q 1 p,q 1.本题也可用待定系数法求解.当x 2 mx 1|x 4px 2 q 时，用x 2 mx 1去除x 4 px 2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为 x 2 ax q .于是 有3. 求 g(x)除 f (x)的商 q(x)与余式 r(x). 531) f (x) 2x 5x 8x, g(x) x 3; 解：运用综合除法可得 32580 6 18 39 1173272 6 1339 109 327商为 q(x) 2x 4 6x 3 13x 2 39x 109，余式为 r(x) 327.4 2x pxq (x 2ax q)( 2x mx 1)(m a)x 3 (ma2q 1)x(a mq)x q.ma q 1 p,a mq 0.消去a 可得m 0,或2p m 2,q 1 p,q 1.x 4 比较系数可得m a 0,2px q (x q)(x mx 1)x 3 (m q)x 2(mq 1)x q .2) f(x) x 3 x 2x,g(x) x 1 2i .解:运用综合除法得：1 2i 11 1 0 1 2i4 2i 9 8i 1 2i5 2i9 8i商为x 2 2ix (5 2i),余式为9 8i .c 0即为x X o 除f (x)所得的余式，商为q(x) q 可得C 1为x x o 除商q(x)所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数 解：1)解法一：应用综合除法得•1 1 o o o o o11111 111111 112 3 4 1 1 2 3 4 51 3 6 1 1 3 6 1o1 4 1 1 4 1o 14.把 f(; x)表成x X °的方幂和，即表示成CoC 1(X X o ) C 2(X X o )2的形1) f(x) 5x12) f(x) 4x 2x 23, xo2;3) f(x) 4x2ix 3 (1 i)x 2 3x 7 i,x o1分析： 假设 f(x) 为n 次多项式，令f(x)C o G (x X o ) C 2(X X o )2C n (x X o )n式.x o )n1]C o (x X o )[G C 2(x x o )C n (x C 2(x X 。
高等代数试卷及答案__(一)[1]
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一、填空题（共10 题，每题2分，共20分）。
1． 多项式可整除任意多项式。
2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。
3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于 个是0D =。
4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A *= 。
5．实数域上不可约多项式的类型有 种。
6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的 重因式。
7．写出行列式展开定理及推论公式 。
8．当排列12n i i i 是奇排列时，则12n i i i 可经过 数次对换变成12n 。
9．方程组12312322232121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，当满足 条件时，有唯一解，唯一解为 。
10．若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ，b = 。
二、判断题（共10 题，每题1分， 共 10分）。
1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。
（ ）2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。
（ ） 3．设12n ααα 是nP 中n 个向量，若nP β∀∈，有12,n αααβ 线性相关，则12n ααα 线性相关。
（ ）4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。
（ ） 5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。
（ ） 6 秩()A B +＝秩A ，当 且仅当秩0B =。
（ ） 7．向量α线性相关⇔它是任一向量组的线性组合。
（ ）8． 若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x +=。
（ ） 9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。
(完整版)高等代数习题集
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等代数试题及参考答案
高等代数试题及参考答案The document was prepared on January 2, 2021高等代数（一）考试试卷一、单选题（每一小题备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号填入答题纸内相应的表格中。
错选、多选、不选均不给分，6小题，每小题4分，共24分）1. 以下乘积中（ ）是4阶行列式ij D a =展开式中取负号的项. A 、11223344a a a a . B 、14233142a a a a . C 、12233144a a a a . D 、23413214a a a a .2．行列式13402324a --中元素a 的代数余子式是（ ）.A 、0324-. B 、0324--. C 、1403-. D 、1403. 3．设,A B 都是n 阶矩阵，若AB O =，则正确的是（ ）. A 、()()r A r B n +≤. B 、0A =. C 、A O =或B O =. D 、0A ≠. 4．下列向量组中，线性无关的是（ ）. A 、{}0. B 、{},,αβ0. C 、{}12,,,r ααα，其中12m αα=. D 、{}12,,,r ααα，其中任一向量都不能表示成其余向量的线性组合.5．设A 是n 阶矩阵且()r A r n =<，则A 中（ ）. A 、必有r 个行向量线性无关. B 、任意r 个行向量线性无关.C 、任意r 个行向量构成一个极大线性无关组.D 、任意一个行向量都能被其它r 个行向量线性表出.6．n 阶矩阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的（ ）条件. A 、充要. B 、充分非必要. C 、必要非充分. D 、非充分非必要. 二、判断题（正确的打√，错误的打×，5小题，每小题2分，共10分）. 1．若A 为n 阶矩阵，k 为非零常数，则kA k A =. （ ） 2．若两个向量组等价，则它们包含的向量个数相同. （ ） 3．对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变. （ ） 4．正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵. （ ） 5．任何数域都包含有理数域. （ ）三、填空题（每空4分，共24分）.1．行列式000100201000D n n==- . 2．已知5(1,0,1)3(1,0,2)(1,3,1),(4,2,1)αβ---=--=-，则α= ，(,)αβ= .3．矩阵12311211022584311112A ---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦，则()r A = . 4．设线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解，其系数矩阵A 与增广矩阵A 的秩分别为s 和t ，则s 与t 的大小关系是 .5．设111123111,124111051A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，则1A B -= . 四、计算题（4小题，共42分）1．计算行列式（1）111111111111a a a a；（2）111116541362516121612564.（每小题6分，共12分）2．用基础解系表出线性方程组123451234512345123452321236222223517105x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+++-=⎪⎨+++-=⎪⎪+--+=⎩的全部解.（10分）3．求与向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,4),(3,5,1,1)ααα==-=-等价的正交单位向量组.（10分）4．求矩阵211020413A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征根和特征向量.（10分）一、单选题（每题4分，共24分）二、判断题（每题2分，共10分）三、填空题（每空4分，共24分）1．(1)2(1)!n n n --⋅； 2．（1 （2）0；3．3； 4．s t =；5.351222312212112-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 四、计算题（共42分）1．（12分，每小题各6分） (1)解：11131111111111311111(3)111311111111311111a a a a a a a a a a a aa a a++==+++ ..............（3分）311110100(3)(3)(1)001001a a a a a a -=+=+--- ...................（3分）注：中间步骤形式多样，可酌情加分 (2)解：222233331111111116541654136251616541216125641654=，此行列式为范德蒙行列式 ......（3分）进而2222333311111654=(61)(51)(41)(56)(46)(45)12016541654=------=-原式 .......（3分）2．（10分）解：用初等变换把增广矩阵化为阶梯形1213211213211213212111360317740115411122220115410317742351710501711630171163---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎣⎦⎣⎦⎣⎦1213211213210115410115410317740048510171163000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥------⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦..................（3分） 得同解方程组取45,x x 为自由未知量，得方程的一般解为12345234534521321544185x x x x x x x x x x x x++=+-⎧⎪-=+-⎨⎪=--+⎩（其中45,x x 为自由未知量） 将450,0x x ==代入得特解01551(,,,0,0)444γ=--. ................（3分）用同样初等变换，得到与导出组同解的方程组12345234534523205404850x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪--+=⎨⎪+-=⎩仍取45,x x 为自由未知量，得一般解12345234534523254485x x x x x x x x x x x x++=-⎧⎪-=-⎨⎪=-+⎩，将451,0x x ==和450,4x x ==分别代入得到一个基础解系：12(1,3,2,1,0),(9,11,5,0,4)ηη=--=- ...............（3分）所以，原方程组的全部解为01122k k γηη++，12,k k 为数域P 中任意数。
《高等代数》第一章习题及答案
习题1.1解答1.下列数集哪些是数域？哪些是数环？哪些既非数域也非数环？1）所有正实数所成的集合．2）所有偶数（或奇数）构成的集合． 3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合．4）F={Q b a b a ∈+,23}．解 1）所有正实数所成的集合对减法不封闭，所以不是数环，当然也非数域．2）所有偶数构成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．4）在F={Q b a b a ∈+,23} 中取32，显然32×32∉F ，即对乘法不封闭，所以F 不是数环，当然也非数域．2.证明：两个数域的交是一个数域．解 设A ，B 是两个数域，则0,1∈A ，0,1∈B ，从而0,1∈A ∩B ；对任意x,y ∈A ∩B ，有x,y ∈A 和x,y ∈B ，从而x+y ∈A ，x-y ∈A ，x ×y ∈A ，x ÷y ∈A （对y ≠0），同样也有x+y ∈B ，x-y ∈B ，x ×y ∈B ，x ÷y ∈B （对y ≠0），所以x+y ∈A ∩B ，x-y ∈A ∩B ，x ×y ∈A ∩B ，x ÷y ∈A ∩B （对y ≠0），故A ∩B 是数域．3*.证明：F={a+bi|a,b ∈Q}（i 是虚单位）是一个数域．解 显然0=0+0i ∈F ，1=1+0i ∈F ；对任意a+bi,c+di ∈F ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈F ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ∈F ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈F ，若c+di ≠0，则(a+bi)÷(c+di)=F i d c ad cb d c bd ac d c di c bi a ∈+-+++=+-+222222)())((．所以F 是数域．4*.证明：G={a+bi|a,b ∈Z}是数环而不是数域．解 对任意a+bi,c+di ∈G ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈G ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i∈G ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈G ，所以G 是数环．数1=1+0i ∈G ，2=2+0i ∈G ，2≠0，但1÷2∉G ，所以G 不是数域．习题1.2解答1.用行的初等变换，将下列矩阵化为行最简形．①⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-213312011 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321③⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112110013 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213312011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-240330011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--200110011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----23/700200032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----200023/70032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001 ③⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112110013→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443100131211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564036401211 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200036401211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100006400211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100002/31002/101 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----231890126306600010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----660002318901263010521 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11000130001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---40000110001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10000010000063000521 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100000100000310001012*.用行的与列的初等变换，将上题中的③化成形为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000sE 的矩阵． 解 接上题中的③的行最简形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100004/61002/101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000100001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********习题1.3解答1.写出以下列行最简形矩阵为增广矩阵的线性方程组的全部解．①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032100301 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110000010010011 解 ①对应的线性方程组可写为⎩⎨⎧+=-=32312330x x x x令x 3=c ，得x 1=-3c ，x 2=3+2c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=c x c x c x 321233 其中c 为任意数．② 对应的线性方程组可写为⎪⎩⎪⎨⎧==-=1014321x x x x令x 2=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=1014321x x c x c x 其中c 为任意数．2.解下列线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432321321321321x x x x x x x x x x x x③⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x ④⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2/54/112/502/174/112/502124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110034111002124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2400034111002124 由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，所以原方程组无解．② 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328341325421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----147702814140147705421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000021105421 对应的同解方程组可写为⎩⎨⎧+=--=-323212452x x x x x令x 3=c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=cx c x cx 321221 其中c 为任意数．③对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020000100011112 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧=+-=02/12/12/14321x x x x令x 2=c 1，x 3=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=021212142312211x c x cx c c x 其中c 1，c 2为任意数．④ 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111124312325341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------5957010181014025341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000005957025341 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧+-=--+-=+432432195575324x x x x x x x令x 3=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-=++=24132122117/97/57/57/7/7/6c x c x c c x c c x 其中c 为任意数．3.解下列齐次线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----430013101211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---430030103/4001 令x 4=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=cx c x c x c x 43213/433/4 中c 为任意数．② 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---040004001121~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004001121对应的同解方程为⎩⎨⎧=-+-=+04234231x x x x x令x 2=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=2431221102c x x c x c c x ③ 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----5132631472137421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----199703419901410707421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----51007/1127/43001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----510011243001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100051001410707421 系数矩阵的秩为4，对应的齐次线性方程组只有零解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x4.讨论a,b 取什么值时下面的线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？①⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=-+b x a x x x x x x x x 3221321321)5(322 ②⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x ax x x 解 ①系数矩阵的行列式为5111211112--a =400211112--a =(a-2)(a+2)当a ≠2且a ≠-2时，方程组有唯一解。
高等代数学习题集
高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。
高等代数 习题及参考答案
高等代数习题及参考答案第一章多项式1．用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：322f(x)?x?3x?x?1,g(x)?3x?2x?1； 1）2）f(x)?x4?2x?5,g(x)?x2?x?2。
q(x)?17262x?,r(x)??x?3999；解 1）由带余除法，可得2q(x)?x?x?1,r(x)??5x?7。
2）同理可得2．m,p,q适合什么条件时，有23x?mx?1|x?px?q， 1）242x?mx?1|x?px?q。
2）2(p?1?m)x?(q?m)?0，解 1）由假设，所得余式为0，即?p?1?m2?0?23q?m?0x?mx?1|x?px?q。
?所以当时有?m(2?p?m2)?0?2q?1?p?m?02）类似可得?，于是当m?0时，代入（2）可得p?q?1；而当2?p?m2?0时，代入（2）可得q?1。
?m?0?q?1??2242p?q?1p?m?2x?mx?1|x?px?q。
??综上所诉，当或时，皆有3．求g(x)除f(x)的商q(x)与余式：53f(x)?2x?5x?8x,g(x)?x?3； 1）2）f(x)?x?x?x,g(x)?x?1?2i。
32q(x)?2x4?6x3?13x2?39x?109解 1）r(x)??327；q(x)?x2?2ix?(5?2i)2）r(x)??9?8i。
x?x0的方幂和，即表成4．把f(x)表示成c0?c1(x?x0)?c2(x?x0)2?...?cn(x?x0)n??的形式：5f(x)?x,x0?1； 1）42f(x)?x?2x?3,x0??2； 2）432f(x)?x?2ix?(1?i)x?3x?7?i,x0??i。
3）2345f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)?10(x?1)?5(x?1)?(x?1)解 1）由综合除法，可得； 2）由综合除法，可得x?2x?3?11?24(x?2)?22(x?2)?8(x?2)?(x?2)；432x?2ix?(1?i)x?3x?(7?i) 3）由综合除法，可得42234?(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2?2i(x?i)3?(x?i)4。
高等代数(上)_习题集(含答案)
《高等代数（上）》课程习题集一、填空题11. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。
2. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。
3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （ ）。
4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。
5. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）。
6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。
7. 设行列式014900716=--k，则=k （ ）8. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（ ）10. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A =（ ） 11. 已知：s ααα,,,21Λ是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （ ）12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（ ） 13. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是（ ）14. 若排列n j j j Λ21的逆序数为k ，则排列11j j j n n Λ-的逆序数为（ ）15. 当=a （ ）时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 有零解。
16. 设A 为n n ⨯矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（ ）17. 设00A X C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X -等于（ ） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（ ） 20. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（ ）21. 设m ααα,,,21Λ是一组n 维向量，如果n m >.，则这组向量线性（ ）关22. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则k=（ ）。
高等代数习题答案
高等代数习题答案《高等代数习题答案》高等代数是数学中的一个重要分支，它研究的是抽象代数结构中的各种性质和规律。
在学习高等代数的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对知识点的理解和掌握。
下面我们将通过一些高等代数习题的答案来探讨一些代数学中的基本概念和定理。
1. 求解方程组题目：求解线性方程组$$\begin{cases}2x + 3y = 8 \\4x - y = 3\end{cases}$$答案：通过消元法可以得到方程组的解为$x=2$，$y=1$。
2. 矩阵运算题目：计算矩阵乘法$$A = \begin{bmatrix}1 &2 \\3 & 4\end{bmatrix}, \quadB = \begin{bmatrix}5 &6 \\7 & 8\end{bmatrix}$$求$AB$的结果。
答案：$AB = \begin{bmatrix}19 & 22 \\43 & 50\end{bmatrix}$。
3. 多项式求导题目：求多项式$f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1$的导数。
答案：$f'(x) = 9x^2 + 4x - 5$。
通过以上习题的答案，我们可以看到在高等代数中，求解方程组、矩阵运算和多项式求导等都是非常基础和重要的内容。
掌握了这些基本技能，才能够更好地理解和应用代数学中的定理和概念。
希望大家在学习高等代数的过程中能够多多练习习题，加深对知识点的理解，提高解题能力。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
《高等代数》课程习题 .doc
《高等代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式：（1）2345 （2）2163- （3）x x x x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x （5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）114300211321221---（3）500000000400030020001000 (4) dc b a 100110011001---. 4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）655565556 2.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a ab aba -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---谢谢观赏（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）3351110243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵 习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
大学高等代数试题及答案
大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=1，则矩阵A的逆矩阵的行列式是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 32. 若线性方程组有唯一解，则该方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩（）。
A. 不相等B. 相等C. 相差1D. 相差23. 以下哪个矩阵是正交矩阵？（）A. \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]B. \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]C. \[\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\]D. \[\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]4. 矩阵A的特征值是λ，那么矩阵A的转置的特征值是（）。
A. λB. -λC. 0D. 不确定5. 设A是n阶方阵，且A^2=I（I是单位矩阵），则A的行列式是（）。
A. 1B. -1C. 0D. 不确定二、填空题（每题3分，共15分）6. 若矩阵A的秩为2，则A的行最简形矩阵中非零行的个数为_________。
7. 设A是3×3矩阵，且A的迹等于3，则A的对角线元素之和为_________。
8. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，则该方程组有_________解。
9. 设矩阵A的特征多项式为f(λ)=λ^2-5λ+6，则A的特征值为_________。
10. 若矩阵A与B相似，则A与B有相同的_________。
三、解答题（每题10分，共20分）11. 给定矩阵\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。
《高等代数》（上）题库
《高等代数》上题库第一章多项式填空题 1.71、设用x-1除fx余数为5用x1除fx余数为7则用x2-1除fx余数是。
1.52、当px是多项式时由px fxgx可推出pxfx或pxgx。
1.43、当fx与gx 时由fxgxhx可推出fxhx。
1.54、设fxx33x2axb 用x1除余数为3用x-1除余数为5那么a b 。
1.75、设fxx43x2-kx2用x-1除余数为3则k 。
1.76、如果x2-12x4-3x36x2axb则a b 。
1.77、如果fxx3-3xk有重根那么k 。
1.88、以l为二重根21i为单根的次数最低的实系数多项式为fx 。
1.89、已知1-i是fxx4-4x35x2-2x-2的一个根则fx的全部根是。
1.410、如果fxgx1hxgx1 则。
1.511、设px是不可约多项式pxfxgx则。
1.312、如果fxgxgxhx则。
1.513、设px是不可约多项式fx是任一多项式则。
1.314、若fxgxhxfxgx则。
1.315、若fxgxfx hx则。
1.416、若gxfxhxfx 且gxhx1则。
1.517、若px gxhx且则pxgx或pxhx。
1.418、若fxgxhx且fxgx-hx则。
1.719、α是fx的根的充分必要条件是。
1.720、fx没有重根的充分必要条件是。
答案1、-x6 2、不可约3、互素4、a0b1 5、k3 6、a3b-7 7、k±2 8、x5-6x415x3-20x214x-4 9、1-i1i 121-2 10、fxhxgx1 11、pxfx或pxgx 12、fxhx 13、pxfx或pxfx1 14、fxhx 15、fxgxhx 16、gxhxfx 17、px是不可约多项式18、fxgx且fxhx 19、x-αfx 20、fxf’x1 判断并说明理由1.11、数集12ibabia是有理数是数域 1.12、数集12ibabia是整数是数域 1.33、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.34、若fxgxhxfxgx则fxhx 1.45、若gxfxhxfx则gxhxfx 1.46、若fxgxhx1则fxhx1 gxhx1 7、若fxgxhx且fxgx则fxhx1 1.68、设px是数域p上不可约多项式那么如果px是fx的k重因式则px是fx的k-1重因式。
完整版高等代数习题解答(第一章)
完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。
若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。
若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。
综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。
1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。
由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。
根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。
用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。
(完整word版)高等代数多项式习题解答
第一章多项式习题解答1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x).5x2. m, p,q 适合什么条件时，有 1) x 2 mx 11 x 3 px qq(x)x 2 x 1, r(x)5x 7.x 3 0x 2 px q xp 10,q m 时 x 2 mx 11 x 3 px1) f(x)x 3 3x 2 2x3x 232x 3xx 1 3 2 2 1x —x -x3 3 7 24 1 x x 3 37 2 14 7 —x ■ x — 3 9 926 2 —x9 9q(x) £ r (x )26 x92) f(x)2x 5, g(x)4 x 4x0x 3 0x 2 x 3 2x 2 x 3 2x 22x 32x x 2xx2x2x 54x 5 x 2 mx 1当且仅当m 2 i,g(x)x 2x 1 1—x 3 3x 2本题也可用待定系数法求解 .当X 2 mx 1| x 3 px q 时，用x 2 mx 1去除x 3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为 x q.于是有因此有m 2 p 1 0, q m .2) x 2 mx 11 x 4 2px q由带余除法可得42/ 2x px q (x mx1)( x2mx 2p 1 m ) m(2pm 2)x (q 1 pm 2) 当且仅当r(x) m(2 p 2m )x (q 1 p m 2) 0 时2x 42mx 11 x pxq .即m(2 p m 2) 2m，即 mQ 或 p 2小m 2,q 1p 0q 1 p,q 1.本题也可用待定系数法求解.当x 2 mx 1|x 4px 2 q 时，用x 2 mx 1去除x 4 px 2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为 x 2 ax q .于是 有3. 求 g(x)除 f (x)的商 q(x)与余式 r(x). 531) f (x) 2x 5x 8x, g(x) x 3; 解：运用综合除法可得 32580 6 18 39 1173272 6 1339 109 327商为 q(x) 2x 4 6x 3 13x 2 39x 109，余式为 r(x) 327.4 2x pxq (x 2ax q)( 2x mx 1)(m a)x 3 (ma2q 1)x(a mq)x q.ma q 1 p,a mq 0.消去a 可得m 0,或2p m 2,q 1 p,q 1.x 4 比较系数可得m a 0,2px q (x q)(x mx 1)x 3 (m q)x 2(mq 1)x q .2) f(x) x 3 x 2x,g(x) x 1 2i .解:运用综合除法得：1 2i 11 1 0 1 2i4 2i 9 8i 1 2i5 2i9 8i商为x 2 2ix (5 2i),余式为9 8i .c 0即为x X o 除f (x)所得的余式，商为q(x) q 可得C 1为x x o 除商q(x)所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数 解：1)解法一：应用综合除法得•1 1 o o o o o11111 111111 112 3 4 1 1 2 3 4 51 3 6 1 1 3 6 1o1 4 1 1 4 1o 14.把 f(; x)表成x X °的方幂和，即表示成CoC 1(X X o ) C 2(X X o )2的形1) f(x) 5x12) f(x) 4x 2x 23, xo2;3) f(x) 4x2ix 3 (1 i)x 2 3x 7 i,x o1分析： 假设 f(x) 为n 次多项式，令f(x)C o G (x X o ) C 2(X X o )2C n (x X o )n式.x o )n1]C o (x X o )[G C 2(x x o )C n (x C 2(x X 。
高等代数习题及答案(1)
高等代数试卷一、判断题〔下列命题你认为正确的在题后括号内打"√〞,错的打"×〞；每小题1分,共10分〕1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式,那么)(x p 在F 中必定没有根. 〔 〕2、若线性方程组的系数行列式为零,由克莱姆法则知,这个线性方程组一定是无解的. 〔 〕3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n . 〔 〕4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间.〔 〕 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数. 〔 〕 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数. 〔 〕 7、零变换和单位变换都是数乘变换. 〔 〕 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个. 〔 〕 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵. 〔 〕10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基,且∑==ni i i x 1αβ,那么∑==ni ix12β.〔 〕二、单项选择题〔从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其写在题干后面的括号内.答案选错或未作选择者,该题无分.每小题1分,共10分〕 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中,错误的是〔 〕 ①()()()()()()n n nx g x f x g x f,,=；②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f .2、设D 是一个n 阶行列式,那么〔 〕①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换,则行列式不变符号； ③若0=D ,则D 中必有一行全是零； ④若0=D ,则D 中必有两行成比例. 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1,那么〔 〕①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零； ③A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； ④A 中肯定有不为零的r 阶子式. 4、设()n x x x f ,,,21 为n 元实二次型,则()n x x x f ,,,21 负定的充要条件为〔 〕①负惯性指数=f 的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=n -； ④f 的秩=n .5、设{}m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组,它是线性无关的充要条件为〔 〕①任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有∑=≠mi i i k 10α；②任一组数m k k k ,,,21 ,有∑==mi i i k 10α；③当021====m k k k 时,有∑==mi i i k 10α；④任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ,都有∑==mi i i k 10α.6、若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间,那么〔 〕①维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +； ②维()21W W +=维()1W +维()2W ； ③维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ； ④维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W .7、设σ是n 维线性空间V 的线性变换,那么下列错误的说法是〔 〕①σ是单射⇔σ的亏=0； ②σ是满射⇔σ的秩=n ； ③σ是可逆的⇔核()σ={}0； ④σ是双射⇔σ是单位变换. 8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是〔 〕①合同的； ②相似的； ③相等的； ④正交的. 9、设V 是n 维欧氏空间 ,那么V 中的元素具有如下性质〔 〕 ①若()()γβγαβα=⇒=,,； ②若βαβα=⇒=； ③若()11,=⇒=ααα； ④若()βα,>βα=⇒0. 10、欧氏空间3R 中的标准正交基是〔 〕①()0,1,0;21,0,21;21,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛； ②()1,0,0;21,21;0,21,21⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛；③()0,0,0;31,31,31;31,31,31⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； ④()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---三、填空题〔将正确的内容填在各题干预备的横线上,内容填错或未填者,该空无分.每空2分,共20分〕1、多项式2)(24-+=x x x f 在实数域R 上的标准分解为.2、利用行列式的性质可知四阶行列式gfe d c b a00000000的值为.3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3,那么该方程组的增广矩阵的秩等于.4、在线性空间V 中,定义()0αασ=〔其中0α是V 中一个固定向量〕, 那么当=0α时,σ是V 的一个线性变换.5、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此的..6、n 阶实对称矩阵的集合按合同分类,可分为类.7、若基Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵为P ,而向量α关于基Ⅰ和Ⅱ的坐标分别为X 和Y ,那么着两个坐标的关系是.8、设W 是线性空间V 的非空子集,若W 对V 的加法和数乘,则称W 为V 的子空间.9、若线性变换σ关于基{}21,αα的矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ,那么σ关于基{}12,3αα的矩阵为.10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有.四、改错题〔请在下列命题中你认为错误的地方划线,并将正确的内容写在预备的横线上面.指出错误1分,更正错误2分.每小题3分,共15分〕1、如果)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式,那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式.2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解,那么B AX =也有无穷多解.3、设A 是一个n m ⨯矩阵,若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ,则相当对A 施行了一次"A 的第三列乘5加到第四列〞的初等变换.4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量,那么任取221121,,ααk k F k k +∈也是A 的属于0λ的特征向量.5、设σ是欧氏空间V 的线性变换,那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角.五、计算题〔每小题10分,共40分〕 1、计算n 阶行列式2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解3、解矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--87107210031012423321X4、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,00014321αααα是()F M 2的一个基,而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231,2121,1121,25324321ββββ是另一组基,求由{}4321,,,αααα到{}4321,,,ββββ的过渡矩阵,并求向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2945ξ在{}4321,,,ββββ下的坐标.六、证明题设321,,ααα是三维欧氏空间V 的一个标准正交基,试证： 也是V 的一个标准正交基.高等代数试卷参考解答一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10××√√×√√×√√二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ②①④③①④④②③① 三、填空题1、()()()2112++-x x x ；2、acef ；3、4；4、0；5、正交；6、()()221++n n ； 7、X P Y 1-=； 8、封闭；9、⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡b a d c 33； 10、相同的维数. 四、改错题1、'那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式.'2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解,那么BAX =也有无穷多解.当AX=B 有解时,AX=B 也有无穷多解3、设A 是一个n m ⨯矩阵,若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ,则相当对A 施行了一次"A 的第三列乘5加到第四列〞的初等变换.A 的第4列乘5加到第3列4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量,那么任取,,21F k k ∈5、设σ是欧氏空间V 的线性变换,那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角.必要条件。
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《高等代数》（上）题库《高等代数》（上）题库第一章多项式填空题(1.7)1、设用x-1除f(x)余数为5，用x+1除f(x)余数为7，则用x2-1除f(x)余数是。
(1.5)2、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。
(1.4)3、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。
(1.5)4、设f(x)=x3+3x2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b。
(1.7)5、设f(x)=x4+3x2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。
(1.7)6、如果(x2-1)2|x4-3x3+6x2+ax+b，则a= b= 。
(1.7)7、如果f(x)=x3-3x+k有重根，那么k= 。
(1.8)8、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。
(1.8)9、已知1-i是f(x)=x4-4x3+5x2-2x-2的一个根，则f(x)的全部根是。
(1.4)10、如果（f(x),g(x)）=1，（h(x),g(x)）=1 则。
(1.5)11、设p(x)是不可约多项式，p(x)|f(x)g(x),则。
(1.3)12、如果f(x)|g(x),g(x)|h(x)，则。
(1.5)13、设p(x)是不可约多项式，f(x)是任一多项式，则。
(1.3)14、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x)，则。
(1.3)15、若f(x)|g(x),f(x)| h(x)，则。
(1.4)16、若g(x)|f(x),h(x)|f(x)，且(g(x),h(x))=1，则。
(1.5)17、若p(x) |g(x)h(x),且则p(x)|g(x)或p(x)|h(x)。
(1.4)18、若f(x)|g(x)+h(x)且f(x)|g(x)-h(x),则。
(1.7)19、α是f(x)的根的充分必要条件是。
(1.7)20、f(x)没有重根的充分必要条件是。
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《高等代数（上）》课程习题集一、填空题11. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。
2. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。
3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （ ）。
4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。
5. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）。
6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。
7. 设行列式014900716=--k，则=k （ ）8. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（ ）10. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A =（ ） 11. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （ ）12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（ ） 13. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是（ ）14. 若排列n j j j 21的逆序数为k ，则排列11j j j n n -的逆序数为（ ）15. 当=a （ ）时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 有零解。
16. 设A 为n n ⨯矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（ ）17. 设00A X C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X -等于（ ） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（ ） 20. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（ ）21. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果n m >.，则这组向量线性（ ）关22. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则k=（ ）。
23. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ） 24. 设A 为n 阶方阵，若I 2A -A -7=0，求()13A I --=（ ） 25. 如果24211()|x Ax Bx -++，则A =（ ），B =（ ）。
26. 若行列式125132025x -=，则x =（ ）。
27. 向量α线性无关的充要条件是（ ）28. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）。
29. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）30. 当a = 时，线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解二、计算题31. 已知b ax x x x x f +++-=23463)(，12-=x x g )(.b a ,为何值时，)(x g 能整除)(x f 。
32. 计算下列n 级行列式：xa a ax a aa x33. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321ηηη,,是它的三个解向量且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43215432321ηηη,求该方程组的通解。
34. 求矩阵A 的逆矩阵： 1200340000430012A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭35. 设向量组 123111131226240ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，求向量组的秩和一个最大无关组，并用最大无关组将其余量线性表示。
36. 证明多项式1073234+-+-=x x x x x f )(在有理数域上不可约。
37. 设A 为n 阶方阵，若k A =0，证明I A -可逆，并求()1I A --38. 计算n 阶行列式D =nn n n n n n nnnn n n 32139. 设矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡31000270000520031，求1-A 40. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410011103A ，且满足X A AX 2+=，求矩阵X 41. 当λ为何值时方程组1232123123424x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 无解，有唯一解，有无穷多解。
42. 设向量组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11021α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=10112α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=00113α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=11204α求向量组的秩和一个最大无关组，并用最大无关组将其余向量线性表示。
43. 计算行列式2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a44. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-01117840246303542432143214321x x x x x x x x x x x x45. 设033110123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭且AB A B =+2，求B 。
46. 求下列多项式的有理根：1415623-+-x x x 47. 当λ为何值时，线性方程组1231231232125541x x x x x x x x x λλ-++=⎧⎪-+=⎨⎪-++=-⎩无解，有唯一解或有无穷多解。
48. 计算n 阶行列式00000000nx y x y D x y y x=49. 求矩阵A 的逆矩阵：1400230000430012A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭50. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=43110412A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=204131210131B ， 求)'(AB51. 设122013421102A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭, 564b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求b Ax =的通解52. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321ηηη,,是它的三个解向量且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43215432321ηηη,求该方程组的通解。
53. 计算n 阶行列式D =nn nn 111111111111 54. 已知1123P ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 1002⎛⎫Λ= ⎪⎝⎭，且Λ=-AP P 1，求A 及kA （k 是正整数）。
55. 设X =AX +B ，其中A =010111101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，B =112053-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，求X 。
56. 求下列齐次线性方程组的基础解系, 并写出其通解:⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x57. 设向量组1102α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 2320α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3211α-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,4235α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵的列向量组的秩和一个最大无关组，并用最大无关组将其余的列向量线性表示。
三、证明题1 （略）……答案一、填空题1 1. 0 2. 相3. 89-4. 0A ≠5. 1000-⎛⎫ ⎪⎝⎭6. 07. 48. 42-9. 111-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10. 40- 11. n s -12. 存在多项式(),()u x v x 使得()()()()1u x f x v x g x += 13. 1((),())f x f x '=14. 112()n n k --15. 12,a =16. 秩（A ）= 秩（A,B ）17. 1100A X C --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 18. 相19. ()|()p x f x 20. 48-21. 相 22. -1 23. 024. 2A I + 25. 12,A B ==- 26. 327. 0α≠28. 1000-⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 29. 42- 30. 12,a =二、计算题31. (法一)()g x 除()f x 的余式为37()()()r x a x b =-++（5分）。
()g x 整除()f x 的条件是0()r x =，即37,a b ==-（5分）。
（法二）()g x 的根为1±，故()g x 整除()f x 的条件是(1)0,(1)0f f =-=，（6分）即40,100a b a b ++=-++=解得3,7a b ==-。
（4分）32.111001110[()][()]x a a a a a a a x a x a x a x n a x n a a axaxx a-=+-=+--11[()]()n x n a x a -=+--（10分）33. 此方程组的导出组的基础解系含有431-=个解向量（2分），而12334256()ξηηη⎛⎫ ⎪ ⎪=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是导出组的一个非零解，故ξ就是此方程组的一个基础解系（6分）。
所以，方程组的通解为1k ηξη=+ （k 为任意常数）（2分）34. 解：设1234B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4312C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则B O A O C ⎛⎫= ⎪⎝⎭------------------------(2分)111B O A OC ---⎛⎫=⎪⎝⎭----(2分) 又1213122B --⎛⎫ ⎪= ⎪-⎝⎭，123551455C -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-------(4分) 故12100310022230055140055A --⎛⎫⎪ ⎪- ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭------------------------------------------------(2分) 35. 解：()123111*********,,226000240000ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭--------------------（4分） 故()123,,2R ααα=------（2分）()12,αα是一个极大无关组，且3122ααα=-（4分）36. 432111317110()()()()()()g x f x x x x x =+=+-+++-++432366x x x =+++ （3分）取素数3p =，由Eisenstein 判别法可知()g x 在有理数域上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。