机械优化设计 优化设计的理论与数学基础
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《机械优化设计》-课程教学大纲
《机械优化设计》-课程教学大纲第一篇：《机械优化设计》-课程教学大纲《机械优化设计》－课程教学大纲修订—、课程名称机械优化设计Mechanical Optimize Design二、学分、学时2学分，32学时三、预修课程高等数学、理论力学、数值分析、机械学、计算机科学等。
四、适用学科领域机械设计及理论、森林工程、交通工程和控制理论与控制工程等。
五、课程主要内容、重点难点及学时分配（一）教学基本要求：通过实用机械优化设计的教学要使专业学生了解优化设计的基本思想，优化设计在机械中的作用及其发展概况。
初步掌握建立数学模型的方法，熟练掌握优化方法。
并具备一定的将机械工程问题转化为最优化问题并求解的应用能力。
（二）培养能力与素质：本门课程的教学目的和任务是：通过实用机械优化设计的教学使学生掌握问题转化成最优化问题的方法。
并且利用最优化的方法编制计算机程序，用计算机自动寻找最佳的设计方案。
机械优化设计是一种现代设计方法。
在有条件的情况下，应在课余时间指导学生上机操作，提高学生独立工作的能力，掌握实例用于解决工程实际问题。
（三）主要内容和重点、难点本门课程的主要内容包括：机械优化设计的基本术语和数学模型，优化设计的基本概念和理论；无约束最优化方法，约束优化设计的直接法，约束优化设计人间接解法。
第一章机械优化设计的基本术语和数学模型通过列举一些实际的优化设计问题，对机械优化设计的数学模型及用到的基本述评作一简要叙述。
对主要名词术语进行定义和作必要的解释。
使学生了解模型的形式和分类初步掌握数学模型建立的方法，了解设计的一般过程用其几何解释。
1．1几个机械优化设计问题的示例 1．2机械优化设计的基本术语1．3优化设计的数学模型及其分类 1．4优化设计方法1．5优化设计的一般过程及其几何解释第二章优化设计的某些概念和理论在讲述机械优化设计方法之前,首先讲述目标函数、约束函数的基本性质。
目标函数达到约束最控制的条件及迭代法求解的一般原理和收敛条件等。
机械优化设计-数学基础
ε高级无穷小量 有： z Δ
P0 P
= f x′ ( x0 , y0 )
Δx P0 P
′ + f y ( x0 , y 0 )
Δy P0 P
+
ε
P0 P
对上式取极限得：
∂z ′ = f x′ ( x0 , y0 ) cos α + f y ( x0 , y0 ) sin α ∂α
∂z 点P0切线方向导数 ∂t
写成矩阵形式
∂f ( x0 , y0 ) ∂f ( x0 , y0 ) ⎡ Δx ⎤ f ( x , y ) = f ( x0 , y 0 ) + [ , ]⎢ ⎥ ∂x ∂y ⎣ Δy ⎦ ⎡ ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) ⎢ 1 ∂x 2 + [ Δx , Δy ]⎢ 2 ⎢ ∂ f ( x0 , y 0 ) 2! ⎢ ∂x∂y ⎣ ∂ 2 f ( x0 , y 0 ) ⎤ ⎥ Δx ∂x∂y ⎥⎡ ⎤ + ∂ 2 f ( x0 , y0 ) ⎥ ⎢ Δy ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ 2 ∂y ⎦ ⎡ Δx ⎤ 1 ⎡ Δx ⎤ 2 T = f ( x0 , y0 ) + ∇ f ( x0 , y0 ) ⎢ ⎥ + [ Δx Δy ]∇ f ( x0 , y0 ) ⎢ ⎥ + ⎣ Δy ⎦ 2 ⎣ Δy ⎦
f ( x0 + Δx , y0 + Δy ) − f ( x0 , y0 ) P0 P
lim P P →0
0
存在，此极限称为函数沿 方向d的导数，记为：
∂z , α = 0, 偏导数 ∂x
∂z ( ) P0 , 或 f d′ ( x0 , y0 ) ∂d
由于
∂z π ,α= 2 ∂y
机械优化设计 优化设计的理论与数学基础
2 1
13
三、 二次型函数
机械优化设计
是指含有n个自变量的二次齐次函数
F ( X ) a11 x12 a12 x1 x2 ... a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x2 2 ... a2 n x2 xn ... a( n1)1 xn1 x1 a( n1)2 xn1 x2 ...a( n1)( n1) xn12 a( n1) n xn1 xn an1 xn x1 an 2 xn x2 ... ann xn 2
10
... ...
(4)
...
机械优化设计
2 2 2 x x x 例：求目标函数F（X） 1 2 3 2 x1 x2 2 x2 x3 3x3
的梯度和Hesse矩阵。 解：因为 F X 2 x1 2 x2
x1 F X
F X 2 x2 2 x1 2 x3 x2
机械优化设计
1.二元函数的Taylor 展开式（取到前三项）
F F (k ) ) ( x1 x1 ) ( x2 x2( k ) ) x1 x2 (1)
2 2 1 2 F 2 F F (k ) 2 (k ) (k ) [ 2 ( x1 x1 ) ( x1 x1 )( x2 x2 ) 2 ( x2 x2( k ) )2 ] Rn 2! x1 x1x2 x2
T
根据线性代数 1)对于X 0, 恒有F ( X ) 0, 则A为正定矩阵 ; 对于X 0, 恒有F ( X ) 0,则A为半正定矩阵 ; 对于X 0, 恒有F ( X ) 0,则A为负定矩阵 ; 2)若A为正定 ,则F ( X )称为正定二次型 .
16
13
三、 二次型函数
机械优化设计
是指含有n个自变量的二次齐次函数
F ( X ) a11 x12 a12 x1 x2 ... a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x2 2 ... a2 n x2 xn ... a( n1)1 xn1 x1 a( n1)2 xn1 x2 ...a( n1)( n1) xn12 a( n1) n xn1 xn an1 xn x1 an 2 xn x2 ... ann xn 2
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... ...
(4)
...
机械优化设计
2 2 2 x x x 例：求目标函数F（X） 1 2 3 2 x1 x2 2 x2 x3 3x3
的梯度和Hesse矩阵。 解：因为 F X 2 x1 2 x2
x1 F X
F X 2 x2 2 x1 2 x3 x2
机械优化设计
1.二元函数的Taylor 展开式（取到前三项）
F F (k ) ) ( x1 x1 ) ( x2 x2( k ) ) x1 x2 (1)
2 2 1 2 F 2 F F (k ) 2 (k ) (k ) [ 2 ( x1 x1 ) ( x1 x1 )( x2 x2 ) 2 ( x2 x2( k ) )2 ] Rn 2! x1 x1x2 x2
T
根据线性代数 1)对于X 0, 恒有F ( X ) 0, 则A为正定矩阵 ; 对于X 0, 恒有F ( X ) 0,则A为半正定矩阵 ; 对于X 0, 恒有F ( X ) 0,则A为负定矩阵 ; 2)若A为正定 ,则F ( X )称为正定二次型 .
16
机械优化设计NO.3
c f(X)=c
3
i
2
意 义:
根据这一性质，如果沿两条与给定方向平
行的直线,求出两直线与椭圆族中某两椭圆的
切点 X (1) 、X ( 2) , 过此两点的直线必通过椭圆 族的中心，即函数的极小点 换句话说：若沿着 X (1) 、 X ( 2) 两点连线方 向搜索,就可以找到 f (X ) 的极小点。这一特性 在建立了共轭方向的概念之后就知道,它对产 生某些优化算法有着重大意义。
则按矩阵运算法则，上面函数的矩阵表达式：
1 T f ( X ) X AX BT X C 2
（＊） ）
式中：A一对称方阵（∵ a12 a21
（＊）式同样也是多元二次函数的矩阵表达式
x1 x 2 X xn
b1 a11 a12 a1n b a a a 2n 2 21 22 B A bn an1 an 2 ann nn
若令：
(a12 a21 )
b1 B b2
x1 X x2
a11 a12 A a21 a22
若令：
x1 X x2
a11 a12 A a21 a22
b1 B b2
(1)
X (0)
步步逼近，
最终极其靠 2
近最优点!
1
X (*)
O
1 2 3
x1
迭代格式： ) X ( K 1) X ( K ( K ) S ( K )
X ( K ) _ 前次迭代点（老点） X ( K 1) _ 本次所得新点
K 0,1,2...
（）
S ( K )、 ( K ) — 第K次迭代点的搜索方向和步长
机械优化设计优化设计的数学基础
无约束优化问题的极值条件
无约束优化问题是使目标函数取得极小值， 极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应 满足的条件。
ted with Aspos对e一.S元lEid函vea数sluf，aotr取io.N极nEo值Tn的l3y.必.5要C条lie件nt是Profile 5.2 Copyright 2004-20f11(xA0 )spo0se Pty Ltd.
1 2
x1
2
x2 102
0x1 2
2
x2
1
(x1 2)2 (x2 1)2
此函数的图像是以 x0 点为顶点的旋转抛物面。
第二章 优化设计的数学基础
四、Hesse 矩阵与正定
Hesse 矩阵的特性：是实对称矩阵。 H是正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于0; H是负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于0，
处函数变化率最大的方向和数值。
解 函数变化率最大的方向就是梯度方向，用单位向
量 p 表示，其数值就是梯度的模。计算如下：
E vf a luation only.
ted withCAosppyorfsig(exh0.)St2li0dxxf0e12 4sx0-f2o0r221xx.121N42EATxs0 p3o.s524eCPliteynLt tPdr.ofile 5.2
H(x0)
x12 2 f
x1x2
2 f
2 0
0 2
E vxa2lxu1ationx22onlxy0.
ted withCAospfpy(oxr1si,gexh2.)St 2li0d120ex4s1-f2o0xr110.1NEAx2Tsp3xo.2s50 eHCP(lxite0y)nLtxxt12Pdr.oxx1f20i0le 5.2
机械优化设计讲义
机械优化设计理论与方法多媒体教学系统主讲：黄文权2005.02.第一章基本概念与理论基础主要内容：1 优化设计的基本思想2 优化设计的应用及发展概况3 优化设计数学模型、基本术语4 优化设计理论的数学基础5 优化设计的求解方法及其收敛判定条件要求：1 掌握优化设计的基本思想、数学模型、基本术语、一般过程、求解方法及收敛判定条件、数学基础2 了解优化设计的应用及发展概况1.1优化设计概述优化设计(Optimal Design)是20世纪60年代发展起来的一门新学科，将最优化原理和计算技术应用于设计领域，为工程设计提供的一种重要的科学设计方法，是现代设计理论和方法的一个重要领域。
设计原则：参数(过程)最优设计设计手段：计算机及其程序设计方法：最优化数学方法设计内容：物理模型->数学模型->数学模型求解1.1.1机械优化设计基本思想一设计过程图1-1机械产品设计过程二传统设计到优化设计1传统设计方法：参照相同或相似产品进行估算、经验类比或试验分析准则：安全-寿命设计；破损-安全设计过程：主要由人工完成图1-2传统设计计算方法2机械优化设计方法：建立产品优化模型并在约束条件下应用最优化方法求最优解准则：单(多)目标最优化过程：主要由计算机完成图1-3优化设计计算方法三优化设计基本思想根据机械设计的一般理论、方法以及设计规范和行业标准等，把工程设计问题按照具体要求建立一个能体现设计问题的数学模型，然后采用最优化技术与计算机计算技术自动找出它的最优方案，使问题的解决在某种意义上达到无可争议的完善化。
即在规定的各种设计限制条件下，优选设计参数，使某项或几项设计指标获得最优值，解决设计方案参数的最佳选择问题。
四优化设计过程1优化设计过程2优化设计过程应用图1-5优化设计过程应用1.1.2优化设计发展状况一优化设计方法学以数学规划、数值解法为理论基础，计算机技术和计算技术为手段，结合设计方法学，逐步发展成为一门新兴学科。
机械优化设计方法
2 1 2 2 1 2 2
2 F B 2 h2 得到m(h) y h
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
解析法：
dm 2 F d B 2 h 2 2 F B2 求导 ( ) (1 2 ) 0 dh y dh h y h 解得h* B 152 cm 76cm 2 2F 代入D表达式D* 6.43cm T y 4 FB
l
θ
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化问题的几何解释： 无约束优化问题：目标函数的极小点就是等值面的中心； 等式约束优化问题：设计变量x的设计点必须在 所表示的面或线上，为起作用约束。 不等式约束优化问题：可行点 g ( x) 0
h( x) 0
优化设计问题的数学模型的三要素：设计变量、目 标函数和约束条件。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计变量：
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数， 称为设计变量。
设计变量向量：
x [ x1x2
xn ]T
设计常量：参数中凡是可以根据设计要求事先给定的，称为设计常量 。 设计变量：需要在设计过程中优选的参数，称为设计变量。 连续设计变量：有界连续变化的量。 离散设计变量：表示为离散量。
钢管壁厚T=0.25cm，
钢管材料的弹性模量E=2.1×105Mpa， 材料密度ρ=7.8×103kg/m3，
许用压应力σy= 420MPa。
求在钢管压应力σ不超过许用压应力σy 和失稳临界应力σe的条件下， 人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
绪论
2 F B 2 h2 得到m(h) y h
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
解析法：
dm 2 F d B 2 h 2 2 F B2 求导 ( ) (1 2 ) 0 dh y dh h y h 解得h* B 152 cm 76cm 2 2F 代入D表达式D* 6.43cm T y 4 FB
l
θ
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
优化问题的几何解释： 无约束优化问题：目标函数的极小点就是等值面的中心； 等式约束优化问题：设计变量x的设计点必须在 所表示的面或线上，为起作用约束。 不等式约束优化问题：可行点 g ( x) 0
h( x) 0
优化设计问题的数学模型的三要素：设计变量、目 标函数和约束条件。
第一章 优化设计概述
第三节 优化设计问题的数学模型
设计变量：
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数， 称为设计变量。
设计变量向量：
x [ x1x2
xn ]T
设计常量：参数中凡是可以根据设计要求事先给定的，称为设计常量 。 设计变量：需要在设计过程中优选的参数，称为设计变量。 连续设计变量：有界连续变化的量。 离散设计变量：表示为离散量。
钢管壁厚T=0.25cm，
钢管材料的弹性模量E=2.1×105Mpa， 材料密度ρ=7.8×103kg/m3，
许用压应力σy= 420MPa。
求在钢管压应力σ不超过许用压应力σy 和失稳临界应力σe的条件下， 人字架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
第一章 优化设计概述
第一节 人字架的优化设计
绪论
机械优化设计之优化设计的数学基础培训课件(
两个同阶数的矩阵A与B可以进行加减运算，其和或差C亦同阶矩
阵。矩阵C中各元素为矩阵A 、B中各对应元素之和或差。即：
CAB则必有相对于元素的对应关系 cij aij bij 矩阵加法还满足交换律和结合律，设有同阶矩阵A 、B 、C，
则有：
ABBA ABCABC
10
第二章 优化设计的数学基础
用AT表示，即：
a11 A a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2
n
amn
mn
a11 a21 AT a12 a22
a1n a2n
am1
am2
amn
nm
同样，行矩阵的转置为列矩阵，列矩阵的转置为行矩阵，如：
a1 a2
a m n
它就被称为矩阵，简记为: A a ij ,i 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n
5
第二章 优化设计的数学基础
2.1 矩阵 2.1.1 矩阵的概念
由方阵A的全部元素构成的行列式，称为矩阵A的行列式，记为|A|。
a11 a12
a1n
A a21 a22
机械优化设计中的几个问题
2
补课时间：周四11-13节 教室：3A103
第二章 优化设计的数学基础
01 矩阵运算
02 多元函数的方向导数与梯度
03 多元函数的泰勒展开 04 凸集、凸函数与凸规划
05 最优化问题的极值存在条件
第二章 优化设计的数学基础
2.1 矩阵
2.1.1 矩阵的概念 a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a2n
机械优化设计方法基本理论
机械优化设计方法基本理论一、机械优化概述机械优化设计是适应生产现代化要求发展起来的一门科学，它包括机械优化设计、机械零部件优化设计、机械结构参数和形状的优化设计等诸多内容。
该领域的研究和应用进展非常迅速，并且取得了可观的经济效益，在科技发达国家已将优化设计列为科技人员的基本职业训练项目。
随着科技的发展，现代化机械优化设计方法主要以数学规划为核心，以计算机为工具，向着多变量、多目标、高效率、高精度方向发展。
]1[优化设计方法的分类优化设计的类别很多，从不同的角度出发，可以做出各种不同的分类。
按目标函数的多少，可分为单目标优化设计方法和多目标优化设计方法按维数，可分为一维优化设计方法和多维优化设计方法按约束情况，可分为无约束优化设计方法和约束优化设计方法按寻优途径，可分为数值法、解析法、图解法、实验法和情况研究法按优化设计问题能否用数学模型表达，可分为能用数学模型表达的优化设计问题其寻优途径为数学方法，如数学规划法、最优控制法等1.1 设计变量设计变量是指在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数，在优化过程中，这些参数就是自变量，一旦设计变量全部确定，设计方案也就完全确定了。
设计变量的数目确定优化设计的维数，设计变量数目越多，设计空间的维数越大。
优化设计工作越复杂，同时效益也越显著，因此在选择设计变量时。
必须兼顾优化效果的显著性和优化过程的复杂性。
1.2 约束条件约束条件是设计变量间或设计变量本身应该遵循的限制条件，按表达方式可分为等式约束和不等式约束。
按性质分为性能约束和边界约束，按作用可分为起作用约束和不起作用约束。
针对优化设计设计数学模型要素的不同情况，可将优化设计方法分类如下。
约束条件的形式有显约束和隐约束两种，前者是对某个或某组设计变量的直接限制，后者则是对某个或某组变量的间接限制。
等式约束对设计变量的约束严格，起着降低设计变量自由度的作用。
优化设计的过程就是在设计变量的允许范围内，找出一组优化的设计变量值，使得目标函数达到最优值。
第二优化设计的数学基础
四、凸规划
对于约束优化问题
min f x
s.t. gj x 0
j 1, 2,..., m
若 f x g j x都为凸函数，则此问题为凸规划。
凸规划的性质：
x0
1.若给定一点
，则集合
R
x f x f x0
为凸集。
R x 2.可行域
g j x0 j1,2,...,m
则该问题的拉格朗日函数
F x, a1,b1, 1, 2 f x 1h1 x, a1 2h2 x,b1
f x 1 a x a12 2 x b b12
1 0 2 0
根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件：
为凸集
3.凸规划的任何局部最优解就是全局最优解
第五节 等式约束优化问题的极值条件
等式约束 约束优化
不等式约束
min f x
s.t. hk x 0 k 1, 2,...,l
消元法
求解这一问题的方法
拉格朗日乘子法
1.消元法（降维法）
以二元函数为例讨论。 二、拉格朗日乘子法（升维法）
对于具有L个等式约束的n维优化问题
集R内任意不同两点x1 x2 ，不等式
f x2 f x1 x2 x1 T f x1
恒成立。
2.根据二阶导数（ Hesse矩阵)来判断函数的凸性
设f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的 函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件
Hesse矩阵在R上处处半正定。
n f x* f x f x*
i1 xi
xi x*
1 n 2 f x* 2 i, j1 xix j
对于约束优化问题
min f x
s.t. gj x 0
j 1, 2,..., m
若 f x g j x都为凸函数，则此问题为凸规划。
凸规划的性质：
x0
1.若给定一点
，则集合
R
x f x f x0
为凸集。
R x 2.可行域
g j x0 j1,2,...,m
则该问题的拉格朗日函数
F x, a1,b1, 1, 2 f x 1h1 x, a1 2h2 x,b1
f x 1 a x a12 2 x b b12
1 0 2 0
根据拉格朗日乘子法，此问题的极值条件：
为凸集
3.凸规划的任何局部最优解就是全局最优解
第五节 等式约束优化问题的极值条件
等式约束 约束优化
不等式约束
min f x
s.t. hk x 0 k 1, 2,...,l
消元法
求解这一问题的方法
拉格朗日乘子法
1.消元法（降维法）
以二元函数为例讨论。 二、拉格朗日乘子法（升维法）
对于具有L个等式约束的n维优化问题
集R内任意不同两点x1 x2 ，不等式
f x2 f x1 x2 x1 T f x1
恒成立。
2.根据二阶导数（ Hesse矩阵)来判断函数的凸性
设f(x)为定义在凸集R上且具有连续二阶导数的 函数，则f(x)在R上为凸函数的充要条件
Hesse矩阵在R上处处半正定。
n f x* f x f x*
i1 xi
xi x*
1 n 2 f x* 2 i, j1 xix j
机械优化设计1-2
d
的变化率
其定义应为： f d
x0
lim
d 0
f ( x10 x1, x20 x2 ) f ( x10, x20 ) d
称它为该函数沿此方向的方向导数。
方向导数是偏导数概念的推广，偏导数是方向导数的特例。
f d
x 0 lim
d 0
lim
d 0
f x 2 x1 4 4 f ( x0 ) 1 f 2 x2 2 2 x2
f ( x0 ) ( f 2 f 2 ) ( ) (4) 2 (2) 2 2 5 x1 x2
2 5 1 5
f ( x0 ) 1 4 p f ( x0 ) 2 5 2
在
x1 － x2 平面上画出函数等值线和
x0 (0,0) 点处的梯度
p 方向
方向。
p 最大的方向
，如图所示。从图中可以看出，在 x0
点处函数变化率
凸集、凸函数与凸规划
根据函数极小值条件所确定的极小点 附近的一切 在x
*处取得局部极小值，称
x 是指：函数在 x
*
x 均满足不等式 f ( x ) f ( x* ) 所以称函数 f ( x )
x
*
为局部极小点。
函数极值条件所确定的极小点只是反映函数在此 x* 附近的 局部性质。 优化问题一般是要求目标函数在某一区域内的最小点，也
就是要求全局极小点。
凸集、凸函数与凸规划
函数的局部极小点并不一定就是全局极小
点，只有函数具备某种性质时，二者才能
等同。
因此对局部极小和全局极小点之间的关系
应该作进一步的说明。
机械优化设计第二章
第二章 优化设计的数学基础
第二节 多元函数的泰勒展开
二次n维函数用向量和矩阵的表示方法：
若f ( x)是n维函数，则可按下式化为向量及矩阵形式： f ( x) f ( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j bk xk c
i 1 j 1 k 1 n n n
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
一个多元函数可用偏导数的概念来研究函数沿各坐标方向 的变化率。 二元函数的偏导数： 一个二元函数f ( x1 , x2 )在点x0 ( x10 , x20 )处的偏导数是
f x1 f x2 f x10 x1 , x20 f x10 , x20 lim x1 0 x1 f x10 , x20 x2 f x10 , x20 lim x2 0 x2
向量d1的方向为：1 2 向量d 2的方向为：1
4
，
3
， 2
6
第二章 优化设计的数学基础
第一节 多元函数的方向导数和梯度
f T x f f 梯度： 二元函数f ( x1 , x2 )在点x0处的梯度是f ( x 0 ) 1 , f x1 x2 x0 x 2 x
d 0
偏导数与方向导数之间的数量关系：
f d lim
x0
f x10 x1 , x20 x2 f x10 , x20 d
d 0
lim lim f x1
d 0
f x10 x1 , x20 x2 f ( x10 x1 , x20 ) x2 x2 cos 1
第二章机械优化设计的数学基础
机械优化设计
太原科技大学 张学良
第二章 优化设计的数学基础
§2.1 目标函数的近似表达
• 梯度 设目标函数f (X)是一阶连续可微的，则 它在某点X（k）处对 x i (i=1,2,…,n)的一阶偏 导数的列向量（列矩阵）称为f (X)在X（k） 点处的梯度，记作
f ( X
(k )
f ) x1
1
S
X0+X x2 x1
X0
f ( x10 x1 , x 20 x 2 ) f ( x10 x1 , x 20 ) x 2 lim s 0 x2 s x 0
2
f x1
X0
cos
f x 2
X0
f sin x1
§2.6 迭代方法及其收敛准则
无论是直接法还是解析法，求优的 过程都是采用数值迭代法，且迭代公式 的形式一致。 • 迭代方法
X (k+1)=X (k) + (k) S(k) (k =0 , 1 , 2 , …)
• 两个特性 1）下降性: f (X (k+1)) < f (X (k))
2）收敛性 : 当k∞时，X (k) X *
f (X
2
(k )
)
x i x j
( i , j 1, 2, , n )
则函数f (X)在X（k）点的n2个二阶偏导数所构 成的 n×n 阶方阵称为函数f (X)在X（k）点的 海赛矩阵。
2 f ( X (k ) ) 2 x1 (k ) 2 (k ) H (X ) f (X ) 2 (k ) f (X ) x x n 1
1
(k )
太原科技大学 张学良
第二章 优化设计的数学基础
§2.1 目标函数的近似表达
• 梯度 设目标函数f (X)是一阶连续可微的，则 它在某点X（k）处对 x i (i=1,2,…,n)的一阶偏 导数的列向量（列矩阵）称为f (X)在X（k） 点处的梯度，记作
f ( X
(k )
f ) x1
1
S
X0+X x2 x1
X0
f ( x10 x1 , x 20 x 2 ) f ( x10 x1 , x 20 ) x 2 lim s 0 x2 s x 0
2
f x1
X0
cos
f x 2
X0
f sin x1
§2.6 迭代方法及其收敛准则
无论是直接法还是解析法，求优的 过程都是采用数值迭代法，且迭代公式 的形式一致。 • 迭代方法
X (k+1)=X (k) + (k) S(k) (k =0 , 1 , 2 , …)
• 两个特性 1）下降性: f (X (k+1)) < f (X (k))
2）收敛性 : 当k∞时，X (k) X *
f (X
2
(k )
)
x i x j
( i , j 1, 2, , n )
则函数f (X)在X（k）点的n2个二阶偏导数所构 成的 n×n 阶方阵称为函数f (X)在X（k）点的 海赛矩阵。
2 f ( X (k ) ) 2 x1 (k ) 2 (k ) H (X ) f (X ) 2 (k ) f (X ) x x n 1
1
(k )
第二章 机械优化设计的基本术语和数学模型精选文档PPT课件
笊摂荰遇肃轃妃滚魍豻艧鯟洔
犰阖缐紶虔顪砅啇茠輺躻薽鉂
s.t. QXD
X0
XRn
五、优化问题的几何解释
无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。
其极小点在目标函数等值面的中心。
约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。 其极小点在可行域内或在可行域边界上。
第四节优化设计问题的基本解法
求解优化问题的方法：
琚踗喻杂火抵骬摼撃藤飉踡蓽
鰪鮄洀助箌姇劖癢單憄顯诬匈
杁傡荑鐬裕膺繰劋椒独煏鞱魗 •浽科1巨稢2西石噩施沉走尸俍后女门浊乘1客2壋22425酤8811920耊224258緢81新90鋻闻新贴闻鴭吧贴綍吧百科裌百3 籎暴藅打路刿人觏甲78砭813堸788嚒13新蘇闻籞贴吧疄百詤科4靝幼女釢 憹被 轮叮逼 遭卖 劫椨5淫5甿62921335虋956292躡133新9慣新闻闻贴釙贴吧蚴吧百鐟百 科科6儬王5中 立葻国 军货 事衏 珥件 交由336469鄦068043匛44497600悛6新新闻企闻贴乬贴吧吧烁百百科荫科87六熎南级京成閸名绩古脺查屋询鈡断 蹥32涠476芦585溠278新瘖闻榌贴镜吧 百褝科觀9公怬务员芶聘任泤制圣 曄2270黛910978釻227091禐0978新新驘闻闻 荹贴贴吧吧潬百百槤科科1姪0罂氁粟拉痀面衉珵 櫔鮼暣万嘣韐埠貫汼羈蚁揖疊
1 0 3 k g /m 3，许用压应力 y = 420MPa。求在钢管压应力
不超过许用压应力 y 和失稳临界应力 e 的条件下，人字
架的高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。
图2-2 人字架的受力
人字架的优化设计问题归结为：
x D HT 使结构质量
mxmin
但应满足强度约束条件 x y
第2章 机械优化设计优化方法的数学基础.ppt
梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度 的模就是函数变化率的最大值 。
x2
f(x0)
最速上升方向
x0
－f(x0)
上升方向
最速下降方向 下降方向
变化率为零的方向
O
x1
图2-2 梯度方向与等值线的关系
多元函数的梯度
F
x1
F
F
(
x0
)
x2
F F
x1
x2
F
xn x 0
T
F
xn
.
3. f X X T X 则，f X 2X
.
4. Q对称矩阵。 f X X TQX 则，f X 2QX
§2-2 凸集、凸函数与凸规划
当极值点X*能使f（X*）在整个可行域中为最小值时，即在整 个可行域中对任一X都有f（X）≥f（X*）时，则X*就是最优点， 且称为全域最优点或整体最优点。若f（X*）为局部可行域中的 极小值而不是整个可行域中的最小值时，则称X*为局部最优点或 相对最优点。最优化设计的目标是全域最优点。为了判断某一极 值点是否为全域最优点，研究一下函数的凸性很有必要。
则f（X）为D上的凸函数，若不满足上式，则为凹函数。
凸函数的集合意义如图2-4所示：
图2-4 一元凸函数的几何意义
在凸函数曲线上取任意两点（对应于X轴上的坐标X(1)、 X（2））联成一直线线段，则该线段上任一点（对应于X轴上 的X(k)点）的纵坐标Y值必大于或等于该点（X(k)）处的原函 数值f(X(k))。
前面已说过，一般目标函数的等值面在极小点附近近似地 呈现为椭球面族。由此可见对于二次目标函数有效的求极小点 的算法，当用于一般目标函数时，至少在极小点附近同样有效。 因此在最优化理论中判定一个算法好坏的标准之一，是把该算 法用于Q为正定的二次目标函数，如能迅速找到极小点，就是 好算法；否则就不是太好的算法。
第七章 2机械优化设计
机械优化设计
机械优化设计
目
录
绪论 第一章 优化设计概述 第二章 优化设计数学基础 第三章 一维搜索法 第四章 无约束优化方法 第五章 约束优化方法 第六章 多目标优化方法 第七章 机械优化设计实例
机械优化设计
绪 论
一、优化相关概念 二、机械的传统设计到优化设计 三、机械优化设计的发展 四、机械优化设计的应用概况 五、机械优化设计的作用
已知：某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格为PA 万元，B产品单位价格为PB万元。每生产一个单位A产品 需消耗煤aC吨，电aE度，aL个工时；每生产一个单位B 产品需消耗煤bC吨，电bE度，bL个工时。现有可利用生 产资源煤C吨，电E度，L个工时，欲找出其最优分配方 案，使产值最大。 分析： （1）目标：产值的表达式；
传统设计方法
基于手工劳动或简易计算工具。方法低效，一般只能获得 一个可行的设计方案。 传统机械设计理论与方法包括疲劳寿命理论、强度理论、 振动理论…… 常凭经验、试算、校核等方法。
现代优化方法
基于计算机的应用，设计过程包括： ① 从实际问题中抽象出数学模型； ② 选择合适的优化方法求解数学模型。 特点：以人机配合或自动搜索方式进行，能从“所有的”的可 行方案中找出“最优的”的设计方案。
机械优化设计
优化方法
实际问题表达成的函数类型很多：
确定型、不确定型函数； 线形、非线形（二次、高次、超越）函数。
变量类型也很多：
连续、离散、随机变量等等。
产生很多的优化算法：
无约束优化、约束优化： 单目标函数优化、多目标函数优化； 连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。
机械优化设计
机械设计方法
机械优化设计
例
货箱的优化设计
机械优化设计
目
录
绪论 第一章 优化设计概述 第二章 优化设计数学基础 第三章 一维搜索法 第四章 无约束优化方法 第五章 约束优化方法 第六章 多目标优化方法 第七章 机械优化设计实例
机械优化设计
绪 论
一、优化相关概念 二、机械的传统设计到优化设计 三、机械优化设计的发展 四、机械优化设计的应用概况 五、机械优化设计的作用
已知：某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格为PA 万元，B产品单位价格为PB万元。每生产一个单位A产品 需消耗煤aC吨，电aE度，aL个工时；每生产一个单位B 产品需消耗煤bC吨，电bE度，bL个工时。现有可利用生 产资源煤C吨，电E度，L个工时，欲找出其最优分配方 案，使产值最大。 分析： （1）目标：产值的表达式；
传统设计方法
基于手工劳动或简易计算工具。方法低效，一般只能获得 一个可行的设计方案。 传统机械设计理论与方法包括疲劳寿命理论、强度理论、 振动理论…… 常凭经验、试算、校核等方法。
现代优化方法
基于计算机的应用，设计过程包括： ① 从实际问题中抽象出数学模型； ② 选择合适的优化方法求解数学模型。 特点：以人机配合或自动搜索方式进行，能从“所有的”的可 行方案中找出“最优的”的设计方案。
机械优化设计
优化方法
实际问题表达成的函数类型很多：
确定型、不确定型函数； 线形、非线形（二次、高次、超越）函数。
变量类型也很多：
连续、离散、随机变量等等。
产生很多的优化算法：
无约束优化、约束优化： 单目标函数优化、多目标函数优化； 连续变量优化、离散变量优化、随机变量优化。
机械优化设计
机械设计方法
机械优化设计
例
货箱的优化设计
优化设计
T
X1 点的最速下降方向为 f X 1
局部性质
用Matlab可画出该 函数的等值线。
三
函数的近似表达式
f (X) 的近似表达式为
f X f X
k
f X X X
k
T
k
1 k T X X H X k X X k 2
则称向量系 di ( i=1,2,…,n ) 对于矩阵 A 共轭。
二 鲍威尔 (Powell)法 鲍威尔法原理，改进算法及替换条件。
令在k次循环中
F0 f ( x )
k 0
F2 f ( x )
k n
F3 f ( xnk1 )
x0k , xnk , xnk1（ xnk1 xnk ( xnk x0k ) 2 xnk x0k ）
函数的等值面（线）是用来描述、研究函数的整体性质的。
二 函数的最速下降方向 梯度
f x1 f f X f X x2 x1 f x n
f X f X x2 xn
牛顿法迭代公式：xk 1
f '( xk ) xk f "( xk )
第 四 章 无约束最优化方法
§4-1 梯度法
负梯度方向 f X k 是函数最速下降方向。
梯度法就是以负梯度方向作为一维搜索的方向，即
d
k
f X
k
k=1,2, · · ·,n
§4-2 牛顿法 牛顿法的迭代公式
第三章 一维搜索的最优化方法
*试探法：黄金分割法
1、在寻找一个区间 [ Xa , Xb ]，使函数 f (X)在该区间的极小点 X* ∈ [ Xa , Xb ] 。 2、用黄金分割法在区间[ Xa , Xb ]中寻找 X* 。 X1 X b X b X a
优化设计的基本概念和理论
目标函数
1．目标函数
2．单目标设计问题 3．多目标设计问题 4.等值面（线）
设计约束
1.设计约束 2.约束面（线） 3.可行域 4.非可行域：
5.适时约束（起作用约束） 6.非适时约束（非起作用约束）
设计点可行点
内点 边界点
非可行点 外点
2.1.3 优化设计的数学模型
min f (x) x Rn s.t. gu (x) 0 u 1,2,, m
2．单目标设计问题： 当目标函数只包含一项设计指标极小化 时，称为单目标设计问题。
3．多目标设计问题：要求多项设计指标极小化时，称为多 目标设计问题。
采用线性加权和的形式将它们组成一个复合的目标函数，
即 式中
q
f x W1 f1x W2 f2 x Wq fq x Wj f j x j 1
解：设公司应经营销售第一、第二种设备数额分别为x1 件和x 2件，
追求的目标为最大销售额，即目标函数取极大 由于营业时间有限，必须满足0.5 x1+（2+0.25x2）x2≤800 当然，销售设备数不会为负数，即x1 ≥0，x 2 ≥0
综合得出该问题数学模型为：
目标函数 max： f (x ) 30 x 450 x
f x f x1, x2,, xn
例1 W=2.2D → f x f x1, x2 2.2x1x2
例2
V
1 4
D
2
(n1
n2 )d
→f
x
f
x1, x2 , x3
1 4
x2
2
(
x3
n2 )x1
f x min 或 f x max
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2．凸函数的性质
3．共轭方向
2
机械优化设计
方向导数
1.方向导数
从多元函数的微分学得知，对于一个连续可 微函数f(x)在某一点 x ( k ) 的一阶偏导数为：
f ( x ) f ( x ) ， f ( x ) ， … ， xn x1 x2
k
k
k
它表示函数f(x)值在 x ( k ) 点沿各坐标轴方向的 变化率。
如
a11 a12 a13 为正定，则必有： A a a a 21 22 23 a31 a32 a33
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 a33
a11 0 a11 a21 a11 a21 a31 a12 0 a22 a12 a22 a32
9
(3)
机械优化设计
2.推广到n维目标函数
1 (k ) (k ) T 2 (k ) F ( X ) F ( X ( K ) ) F T X X X X F X X 2 (3)
(k ) 1 T
X x1
x2
...
xn
F ( X ) x1 (a11 x1 a12 x2 ... a1n xn ) x2 (a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn ) ... xn 1 (a( n 1)1 x1 a( n 1)2 x2 ... a( n 1) n xn ) xn (an1 x1 an 2 x2 ... ann xn )
有一个二维函数，如图2-1所示。
机械优化设计
图2.1 函数的方向导 数
机械优化设计
f x d
其函数在 x 为
0
0
点沿d方向的方向导数
0
lim
0
f x1(0) x1 , x2 x2 f x1 , x2
0
0
0
0
lim
x1 0 x2 0
11
2 2 2 2 F X 2 2 2 0 2 2
机械优化设计
3 例题: 用泰勒展开将函数 F ( X ) x13 x2 3x12 3x22 9 x1 (1) T 在点 X [1,1] 简化成线性函数与二次函数。
6
机械优化设计
* 在实际计算中, 常取前三项(二次函数)来近似原函数:
f ( x) f ( x
(k )// ( k ) )x f ( x )x 2 2
式中, x x x ( k )
7
二、 多元函数的Taylor 展开式
F(X ) F(X
(K )
(2)
( x1 x1( k ) ) x1 x1( k ) (k ) X X x (k ) (k ) ( x x ) 2 2 2 x2 F 2 2 F F x1 x 2 x x
机械优化设计
第二章 优化设计的理论与数学基础 §2-1 目标函数的泰勒展开
§2-2 优化方法中搜寻方向的理论基础
§2-3 凸集与凸函数 §2-4 优化问题有最优解的条件
1
机械优化设计
教学目的、要求
1．熟悉函数梯度的概念 2．掌握无约束优化最优解的条件 3．掌握KT--条件的应用
教学重点
1．梯度矩阵和海赛矩阵
则 F X 2x 1 2x 2, 2x 2 2x 1 2x 3, 2 x 3 2 x 2 3
又因为：
x3
2 x3 2 x2 3
T
故Hesse阵为：
2 F 2 F 2 F 2, 2, 0 2 x1 x1 x2 x 1 x 3 2 F 2 F 2 F 2, 2, 2 2 2 x2 x2x3 x3
1 (1) T 2 (1) (1) F ( X ) F ( X ) F ( x ) [ X X ] [ X X ] F ( X )[ X X ] 22
(1) (1) T (1)
简化的二次函数
3x2 6 6( x1 1) 6 x 12 x1 3x2
1
x2 0 f x
x
2
x2
2
机械优化设计
2-1 目标函数的Taylor 展开式
一、 一元函数的Taylor 展开式 泰勒（Taylor）中值定理 如果函数f(x)在含有x(k)的某个开区间(a,b)内具有 直到(n+1)阶的导数，则对任一x (a, b) ，有
f ( x) f ( x 1 f n!
1 (k ) ( x x ) 1 1 2
式中
2 F x 2 1 ( x2 x2 ( k ) ) 2 F x1x2
2F (k ) x1x2 ( x x ) 1 1 Rn (k ) 2 F ( x2 x2 ) x12
8
2 F (k ) x1x2 ( x x 1 1 ) R n (k ) 2 F ( x2 x2 ) 2 x2
(2)
矩阵相乘
机械优化设计
F(X ) F(X
(K )
F ) x1
(k ) F ( x1 x1 ) (k ) x2 ( x2 x2 )
2 1
13
三、 二次型函数
机械优化设计
是指含有n个自变量的二次齐次函数
F ( X ) a11 x12 a12 x1 x2 ... a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x2 2 ... a2 n x2 xn ... a( n1)1 xn1 x1 a( n1)2 xn1 x2 ...a( n1)( n1) xn12 a( n1) n xn1 xn an1 xn x1 an 2 xn x2 ... ann xn 2
f x1(0) x1 , x2 x2 f x1 , x2 x2 x 1 x1
0
f x1 , x2 x2 f x1 , x2
0 0 0
0
f x
x1
cos cos
0
(k )
) f (x
/
(k )
)( x x
(k )
1 // ( k ) ) f ( x )( x x ( k ) ) 2 ... 2
拉格朗日余项
(n)
( x ( k ) )( x x ( k ) ) n Rn
式中,
1 Rn f ( n1) ( )( x x( k ) )n1 (n 1)! (点在x ( k )与x之间)
14
机械优化设计
F ( X ) x1 (a11 x1 a12 x2 ... a1n xn ) x2 (a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn ) ... xn 1 (a( n 1)1 x1 a( n 1)2 x2 ... a( n 1) n xn ) xn (an1 x1 an 2 x2 ... ann xn )
2 (1)
12
机械优化设计
X X
(1)
x1 1 x1 1 x2 1 x2 1
(1) (1) T (1)
简化的线性函数
F ( X ) F ( X ) F ( X ) [ X X ] 3 3( x2 1) 3 x2 6
解：函数在点
X
(1)
的函数值、梯度和二阶导数矩阵：
F ( X (1) ) 3
3x 6 x1 9 0 F ( X ) 3 2 3x2 6 x2 X (1)
(1) 2 1
0 6 x1 6 12 0 F(X ) 0 6 x 6 2 X (1) 0 0
T
根据线性代数 1)对于X 0, 恒有F ( X ) 0, 则A为正定矩阵 ; 对于X 0, 恒有F ( X ) 0,则A为半正定矩阵 ; 对于X 0, 恒有F ( X ) 0,则A为负定矩阵 ; 2)若A为正定 ,则F ( X )称为正定二次型 .
16
机械优化设计
* 矩阵A为正定的充要条件---A的各阶主子式均大于零。
2F ( X (K ) ) x1xn 2F ( X (K ) ) x2xn 2 (K ) F(X ) 2 xn
海赛矩阵
2F ( X (K ) ) 2 x 1 2 F ( X (K ) ) H ( X ( K ) ) 2 F ( X ( K ) ) x2x1 ....... 2F ( X (K ) ) x x n 1 2F ( X (K ) ) x1x2 2F ( X (K ) ) 2 x2 2F ( X (K ) ) xn x2
[ x1
x2
a11 a 21 ... xn ] ... an1
15
a12 a22 an 2
... a1n x1 x ... a2 n 2 ... ... ann xn
X T AX
机械优化设计
F （X） X AX
T
X X (k )
F ( X ( K ) ) (K ) F ( X ) x1 F ( X ( K ) ) F ( X ( K ) ) ... x2 xn
T
x1 x (k ) x2 x2 ... (k ) x x n n