1.2.1 标量和矢量

A Ax i Ay j Az k B B x i B y j Bz k
0
a b
四、投影的概念
B b
a b a b cos
a
b cos
O
B1 A 叫做向量b 在向量a的方向上的投影，
即有向线段O B 的数量 １
数量积 a · 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向 b 上的投影| b |cos 的乘积.
投影的作图:


当θ=0 时（两矢量平行时） C=0 矢量积最小。 当θ=π/2时 C=AB 矢量积最大
A B
B
B A
A
• 单位矢量的矢量积
ii 0 j i k k i j
i j k j j 0 k j i
注意公式变形，知三求一.
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a · =| a || b |cos b

当0°≤θ ＜ 90°时a· b为正； 当90°＜θ ≤180°时a· b为负。 当θ =90°时a· b为零。
例1.已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120，求a b.
解：a kb与a kb互相垂直的条件是
2 2 即a k 2 b 0. 2 2 a 32 9, b 42 16, 3 2 9 16k 0. k 4
（a kb） a kb （ ）=0
3 因此，当k= 时，a kb与a kb 互相垂直. 4
A B
A A A AA
A =A A
A =A 为大小，A 为单位矢量，大小为1。
概念：单位矢量，模
2、矢量加法（VECTOR ADDITION）
A B C
B A
2
(3) a b | a || b |
平面向量的数量积的运算律：
(1)交换律 a b b a (2)数乘结合律 ( a ) b (a b ) a (b ) (3)分配律 (a b ) c a c b c
2 解： b (a b) a
2 2 a 2a b b
62 2 6 4 cos 60 42
76 2 19
同理可得 a b 2 7
例4已知 | a | 3,| b | 4, 当且仅当k为何值时， . 向量a kb 与a kb 互相垂直？
矢量和标量乘 结果是一个矢量。大小、方向？ 结果是一个标量。大小？ 矢量和矢量乘 结果是一个矢量。大小、方向？
矢量的标积或点乘(Scalar product)
A B AB cos
B A
B cosθ
A B AB cos 表示：两个矢量的标积是一个标
A
1) A B B A
2) 如果: A B 则 A B 0 反之亦成立。
3）两个矢量垂直时，矢积的模最大，方向 按右手螺旋法则。
矢量叉乘运算规则
A B B A 1)叉乘的反交换律 ( A B) C A C B C 2)叉乘的分配律 A B C A B A C
c＋b· (分配律) c (3) (a＋b) · = a· c
矢量的矢积或叉乘（Vector product）
A B C
A B C AB sin
两个矢量的矢积是一个矢量，其大小是第一个矢量的 大小与第二个矢量的大小以及两矢量夹角的正弦值， 这三者的乘积，方向按右手螺旋法则确定。 C 矢量与 A 、B 矢量构成的 C 平面永远垂直！它的意义 是A、 矢量构成的平行四 B 边形的有向面积。 B
B
叫做向量
和 a b的夹角．
b
O
b

a
a
注意:在两向量的夹角 定义中,两向量必须是 同起点的 A B b a O A 90 a 与 b 垂直，
O b B
a
a 与 b 同向
0
A B b O 180
a
A
a 与 b 反向
重点知识回顾:
夹角的范围 数量积 性质
0
a b | a || b | cos
或 | a | a a
a· 2 （简写 a2 = |a|2） a=|a|
a b 0 a b
运算律
(1) a · · (交换律) b= b a (2) (a ) b a (b ) (a b )
矢量加法遵循平行四边形法则或三角形法则
C
C
A
B
解决了矢量加法，也就解决了矢量的减法。 同时，也解决了多个矢量的加法问题。
A B A ( B) D
B
A
C
-B A B
B
ik j jk i k k 0
叉 乘 规 律
+
i
j
-
k i
j
从左往右，相邻两个单位矢量叉乘得到正的下 一个单位矢量。 从右往左，相邻两个单位矢量叉乘得到负的下 一个单位矢量。
1-28
矢量的分量(Components)
一个矢量可以分解为两个或多个矢量之和。 例如： A B C D E F 等等分法，但有意义的 是在特定的坐标系里分解。最常见的是直角坐标系。
Y
A

Ax A cos Ay A sin
Ay
O
Ax
X
Y
2 2 A A Ax Ay

Ay
tan
Ax X
1
Ay Ax
O
因此，平面上的一个矢量，可以用其两个坐标 分量确定；也可以由其大小和方向确定。
Z
Az
P
单位矢量： (Unite vectors) i
o





a a a b 6b b 2 2 a a b 6 b
2 2 a a b cos 6 b
6 6 4 cos 60 6 4
2 2
72
变式二
已知 a 6, b 4, a与b的夹角为60 ，求 a b 和 a b .
B B b O O B
θ
a
b
B1 B1
θ
O
B O a
b
θ
a
A A
A
O A
| b |cos = b
A
| b |cos 0
| b |cos 0
| b |cos 0
B | b |cos b
当且仅当与同向时：a b a b a b 当且仅当a与b反向时：a b a b
矢量 (VECTOR)
1、标量(scalar)和矢量 标量
大小，由单一的数和单位描写。 大小和方向（单位）。
矢量
A
m ab A
矢量可作图表示：
矢量可作文字表示：
A
特别提示，注意书本上的印刷体符号，如果是斜写的黑 体，就是矢量，如：F，f。
负矢量：方向相反，大小相等。 矢量由大小和其方向构成：
A
C A B
矢量加法服从：
交换律： A B B A
结合律：( A B) C A ( B C )
3、矢量的乘法
(PRODUCTCTS OF VECTORS)
F
θ
O 位移S A
问:
一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那 么力F 所做的功应当怎样计算？
力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角。
二、两个向量的夹角
则 AOB
两个非零向量 a 和 b ，作 OA a, OB b，
(0 180 )
| a b | a b
向量数量积的性质
设a、 b是非零向量
(1) a b 0 a b (2) 当a与b同向时， b | a || b | ； a a 当a与b反向时， b | a || b | 特别地 a a | a | 或 | a | a a
k
j
Ay O Ax Y
X
OP Ax Ay Az Ax i Ay j Az k
Z Az

P
i
k
j
A A
Ax Ay Az
2 2
2
cos Ax
A Ax A

O

Ay Y
cos Ay A
解： a b a b cos
5 4 cos120

1 5 4 ( ) 10 2
变式一
| a | 4，b | 4， b 8 2， | a
求a与b的夹角
8 2 2 解：由cos 2 | a || b | 4 4 可得＝45
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
注意：

一种新的运算
b 数量积 a · =| a || b |cos
a b 表示数量而不表示向量，与实数a b
不同，a b 、a b 表示向量；
“ · ”不能省略不写，也不能写成“×”
0a 0

Baidu Nhomakorabea
Ax
cos Az A
cos2 cos2 cos2 1
X 因此，一个矢量可以表示为三个分矢量之和；也可以由其大小 和三个方向角决定（四个变量？）。可以写为：
A Ax i Ay j Az k ( Ax , Ay , Az )
5、矢量的分量运算 Vector Operation by Components
记作 a b
如图,等边三角形ABC中,求：
C
'
60 （1）AB与AC的夹角＿＿＿＿； （2）AB与BC的夹角________． 120 C
120
A


通过平移 变成共起点！
60

120 0
B
D
三、向量 a 与 b 的数量积的概念
已知两个非零向量a与b, 他们的夹角为， 我们把数量 a b cos 叫做a与b的数量积 （或内积） .记作a b, 即a b a b cos .
量，其大小是第一个矢量的大小乘以第二个矢量在第 一个矢量上的投影。 是指这两个矢量的夹角。
1) A B B A
2) 如果: A B 则 A B 0 反之亦成立。
3）两个矢量平行、反平行时，
标积最大、最小。
一、向量数量积的物理背景
其中， 、b 、c 是任意三个向量， R a
注：
(a b ) c a (b c )
例3、 已知 | a | 6,| b | 4,a 与b 的夹角为
60 , 求（a 2b ) (a 3b ) 。 解: ( a 2b) ( a 3b)