高中数学 2.3.2第2课时双曲线方程及性质的应用精品同步导学 新人教A版选修2-1
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2.2双曲线方程及性质的应用新人教A版选修
[提示] 如图所示，取 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直 平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，易知 A(3,0)，B(－3,0)， C(－5，2 3)，设动物所在位置为 P，由于 B，C 同时发现动物信 号，则有|PC|＝|PB|，因此 P 在线段 BC 的垂直平分线上，由 B， C 两点坐标可得线段 BC 的垂直平分线方程为 3x－3y＋7 3＝0. 由 A，B 两舰发现动物信号时间差为 4 秒，动物信号的传播速度 是 1 千米/秒，知|PB|－|PA|＝4，
解析： (1)联立方程组yx＝2－kyx2－＝14，， 消去 y 得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0， 由题意得，此方程有两个不等的正根，
4k2＋201－k2>0， ∴－1－2kk2>0，
1－－5k2>0，
即－ k>12或5<－k<1<25k，<0， k>1或k<－1，
解得1<k<源自5 2.(2)由yx＝2－kyx2－＝14， 得(1－k2)x2＋2kx－5＝0， 由题意知此方程无解．
3．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点， 则a的取值范围为________．
解析：由yx＝ 2－ayx2，＝a2 得(1－a2)x2－a2＝0. ①1Δ－＝a02－≠40，1－a2·－a2<0， ∴a>1. ②1－a2＝0 时，方程无解， 综上：a≥1.
答案： a≥1
4．过双曲线 x2－y32＝1 的左焦点 F1，作倾斜角为π6的弦 AB，
第2课时 双曲线方程及性质的应用
自主学习 新知突破
1．进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与 双曲线有关的综合问题．
高中数学 2.3.2第2课时抛物线方程及性质的应用 精品同步导学 新人教A版选修1-1
2．已知抛物线的焦点坐标为(－3,0)，准线方程为 x＝3，则抛物
线的标准方程为 y2＝－12x .
3．过抛物线 y＝ax2(a>0)的焦点 F，作一条直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p，q，则1p＋1q＝______.
• 答案： C
3．抛物线 y2＝4x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若|AB|＝4 3，则焦点到 AB 的距离为________．
解析： 由方程 y2＝4x 知抛物线关于 x 轴对称． 故可设 A(x0,2 3)，且点 A 在抛物线上． ∴(2 3)2＝4x0，∴x0＝3， ∴直线 AB 的方程为 x＝3. 又抛物线 y2＝4x 焦点坐标为 F(1,0)． ∴焦点 F 到直线 AB 的距离 d＝|3－1|＝2.
• 第2课时 抛物线方程及性质的应用
• 1.掌握直线与抛物线位置关系的判断． • 2.掌握直线与抛物线相交时与弦长相关的知识． • 3.掌握直线与抛物线相关的求值、证明问题.
• 1.直线与抛物线的位置关系．(重点) • 2.直线与抛物线相交．(难点) • 3.常与方程、不等式、三角函数、平面向量等知识结合命 题，而且命题的形式多样化，其中解答题的形式居多.
• A．x＝1
B．x＝－1
• C．x＝2
D．x＝－2
解析： 直线 AB 的方程为 y＝x－p2，代入 y2＝2px， 得 y2－2py－p2＝0 ∴y1＋y2＝2p＝4，∴p＝2， 故抛物线方程为 y2＝4x， ∴准线方程为 x＝－1.
• 答案： B
2．设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l
• (2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于 抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线有一 个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
新教材高考数学第三章圆锥曲线的方程2-2第2课时双曲线的标准方程及性质的应用练习含解析新人教A版选择
第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用学习目标 1.了解双曲线在实际生活中的应用.2.进一步掌握双曲线的方程及其性质的应用．知识点一 直线与双曲线的位置关系 设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点； Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．思考 直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？答案 不是．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点 知识点二 弦长公式若斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2].1．已知双曲线的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是其上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 2＝1 D ．x 2－y 24＝1答案 C2．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的弦的长度为________．答案8333．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，则|AB |＝________.答案 3解析 易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)， ∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)， 与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3.一、直线与双曲线的位置关系例1 已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k2>0，解得－2<k <2且k ≠±1.所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.又直线l 恒过点D (0，－1)，则①当x 1x 2<0时，S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2.②当x 1x 2>0时，S △OAB ＝|S △OAD －S △OBD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12|x 1|－12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2.所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62.由(1)，知上述k 的值符合题意，所以k ＝0或k ＝±62. 反思感悟 直线与双曲线(1)位置关系的判定方法：代数法(注意二次项系数为0的情况)． (2)弦长公式设直线y ＝kx ＋b 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2.跟踪训练1 已知双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)． (1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线m 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)，由已知可得左、右焦点F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 则|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1， 又c ＝2，所以b ＝3， 所以双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意可知直线m 的方程为y ＝x －2， 联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0， 设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝6.二、与双曲线有关的轨迹问题例2 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚 4 s ．已知各观测点到该中心的距离是1 020 m ．则该巨响发生在接报中心的(假定当时声音传播的速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面上)( )A ．北偏西45°方向，距离68010 mB ．南偏东45°方向，距离68010 mC ．北偏西45°方向，距离680 5 mD ．南偏东45°方向，距离680 5 m 答案 A解析 如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴，y 轴正向，建立直角坐标系．设A ，B ，C 分别是西、东、北观测点，则A (－1 020，0)，B (1 020,0)，C (0,1 020). 设P (x ，y )为巨响发生点．由已知|PA |＝|PC |，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y ＝－x ， 又B 点比A 点晚4 s 听到爆炸声，故|PB |－|PA |＝340×4＝1 360，可知P 点在以A ，B 为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，依题意得a ＝680，c ＝1 020， ∴b 2＝c 2－a 2＝1 0202－6802＝5×3402, 故双曲线方程为x 26802－y 25×3402＝1，将y ＝－x 代入上式，得x ＝±6805， ∵|PB |＞|PA |，∴x ＝－6805，y ＝680 5 ， 即P (－6805，6805), 故PO ＝68010 .故巨响发生在接报中心的北偏西45°距中心68010 m 处． 反思感悟 和双曲线有关的轨迹(1)定义法．解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线． (2)直接法．根据点满足条件直接代入计算跟踪训练2 若动圆P 经过定点A (3,0)，且与定圆B ：(x ＋3)2＋y 2＝16外切，试求动圆圆心P 的轨迹．解 设动圆圆心P (x ，y )，半径为r . 则依题意有|PA |＝r ，|PB |＝r ＋4， 故|PB |－|PA |＝4.即动圆圆心P 到两个定点B (－3,0)，A (3,0)的距离之差等于常数4，且4<|AB |，因此根据双曲线定义，点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的右支．设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则c ＝3,2a ＝4，b 2＝5，所以动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．所以动圆圆心P 的轨迹是双曲线x 24－y 25＝1的右支．1．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过点P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 共有( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 答案 B解析 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，则P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．2．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围为( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2) C ．(－2,2] D ．[－2,2]答案 A解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0， 由Δ>0可得－2<k <2.3．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3 答案 D解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，所以|AB |＝4 3.4．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，与直线y ＝12x 交于A ，B 两点，若|AB |＝215，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝6 B ．x 2－y 2＝9 C ．x 2－y 2＝16 D ．x 2－y 2＝25答案 B解析 设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2(a ＞0)，与y ＝12x 联立，得34x 2＝a 2，∴|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×433a ＝215，∴a ＝3，故选B.5．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则实数m 的值是________． 答案 ±1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0.则Δ＝4m 2＋4m 2＋8＝8m 2＋8>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝4m ， 所以线段AB 的中点坐标为(m ，2m )． 又点(m ，2m )在x 2＋y 2＝5上， 所以m 2＋(2m )2＝5，得m ＝±1.1．知识清单：(1)判断直线与双曲线交点个数． (2)弦长公式． 2．方法归纳： 定义法，直接法． 3．常见误区：直线与双曲线的位置关系可以通过联立直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，若不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的位置关系．代数计算中的运算失误．1．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－2 答案 A解析 因为在双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，所以若x ＝a 与双曲线有两个交点， 则a >2或a <－2，故只有A 符合题意．2．“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 B解析 易知选项B 正确．3．等轴双曲线x 2－y 2＝a 2与直线y ＝ax (a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝1 B ．0<a <1 C ．a >1 D ．a ≥1答案 D解析 等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的渐近线方程为y ＝±x ，若直线y ＝ax (a >0)与等轴双曲线x 2－y 2＝a 2没有公共点，则a ≥1.4．直线l ：y ＝kx 与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，则斜率k 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(－2，2) C ．(－1,1) D ．[－1,1]答案 C解析 由双曲线C ：x 2－y 2＝2与直线l ：y ＝kx 联立，得(1－k 2)x 2－2＝0.因为直线l ：y ＝kx与双曲线C ：x 2－y 2＝2交于不同的两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，81－k 2>0，解得－1<k <1，即斜率k 的取值范围是(－1,1)．5．设点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 22＝1(a >0)的左、右焦点，过点F 1且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 2的面积为26，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±33xC ．y ＝±2xD ．y ＝±22x 答案 D解析 设F 1(－c ，0)，A (－c ，y 0)，则c 2a 2－y 202＝1， ∴y 202＝c 2a 2－1＝c 2－a 2a 2＝b 2a 2＝2a2， ∴y 20＝4a2，∴|AB |＝2|y 0|＝4a.又2ABF S＝26，∴12·2c · |AB |＝12·2c ·4a ＝4ca ＝26， ∴c a ＝62， ∴b a ＝c 2a 2－1＝22. ∴该双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则k 的取值范围为________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，153 解析 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0，①若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负根．所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16k 2＋401－k 2>0，x 1x 2＝－101－k 2>0，x 1＋x 2＝4k1－k2<0，解得1＜k ＜153. 7．直线y ＝x ＋1与双曲线x 22－y 23＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案 4 6解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22－y23＝1，得x 2－4x －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝－8，∴|AB |＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2×16＋32＝4 6.8．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e ＝________.答案3＋1解析 以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，则M 在y 轴上，可设|F 1F 2|＝2c ，M 在y 轴正半轴，则M (0，3c )，又F 1(－c ，0)，则边MF 1的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c2，32c ，代入双曲线方程，可得c 24a 2－3c 24b 2＝1，由于b 2＝c 2－a 2，e ＝c a ，则有e 2－3e 2e 2－1＝4，即有e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4±23，由于e >1，即有e ＝1＋ 3.9．已知双曲线的方程为x 2－y 22＝1，直线l 过点P (1,1)，斜率为k . 当k 为何值时，直线l与双曲线有一个公共点？解 设直线l ：y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋(1－k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得 (k 2－2)x 2－2k (k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0. 当k 2－2＝0，即k ＝±2时，方程只有一个解；当k 2－2≠0，且Δ＝24－16k ＝0，即k ＝32时，方程只有一个解．综上所述，当k ＝±2或k ＝32时，直线l 与双曲线只有一个公共点．10．斜率为2的直线l 在双曲线x 23－y 22＝1上截得的弦长为6，求直线l 的方程．解 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 23－y22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0.(*)设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝310(m 2＋2)．于是|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤3625m 2－4×310m 2＋2.因为|AB |＝6， 所以365m 2－6(m 2＋2)＝6.则m 2＝15，m ＝±15. 由(*)式得Δ＝24m 2－240， 把m ＝±15代入上式，得Δ>0， 所以m 的值为±15，故所求l 的方程为y ＝2x ±15.11．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A ，B 两点，则a 的取值范围是____________． 答案 －6<a <6且a ≠± 3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋13x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.∵直线与双曲线相交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－a 2≠0，Δ>0⇒－6<a <6且a ≠± 3.∴a 的取值范围是－6<a <6且a ≠± 3.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 由题意，知b a ≥3，则b 2a2≥3，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≥2.13．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________． 答案3215解析 双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )·|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 14．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左、右顶点为A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线斜率为________．答案 ±1解析 由题意知F (c ，0)，A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，其中c ＝a 2＋b 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2－y2b2＝1， 解得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ， 所以A 1B —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋a ，b 2a ， A 2C —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a . 因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B —→·A 2C —→＝(c ＋a )(c －a )－b 4a2＝0， 解得a ＝b ，所以渐近线的斜率为±1.15．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________． 答案 y ＝x ＋1解析 方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1， 得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k 2－k 2－k 2，所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)．因为x 1≠x 2，所以y 1－y2x 1－x 2＝2x 1＋x2y 1＋y 2，所以k AB ＝2×1×22×2＝1，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.16．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)．(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长；(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ， 得3x 2＋2x －2＝0.设两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋x 1－x 22＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×289＝2143.(2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a 2－y 2＝1，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a 2>0， 解得0<a <2且a ≠1. ∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1，∴e >62且e ≠ 2.即离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2.2 双曲线简单几何性质的应用学案(含解析)新人教A版选
2.3.2.2 双曲线简单几何性质的应用[目标] 1.掌握直线与双曲线位置关系.2.掌握直线与双曲线有关的弦长，中点等问题，会求与双曲线有关的简单的轨迹方程．[重点] 直线与双曲线的位置关系的判定、弦长、中点等问题．[难点] 在处理直线与双曲线位置关系时方程思想的运用及较大的运算量．知识点一 直线与双曲线的位置关系[填一填]一般地，设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±b a时，直线l 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C 相交于一点．(2)当b 2－a 2k 2≠0，即k ≠±b a时，Δ＝(－2a 2mk )2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．[答一答]1．直线和双曲线只有一个公共点，直线一定和双曲线相切吗？提示：不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点． 知识点二 弦长公式[填一填]斜率为k (k ≠0)的直线l 与双曲线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2.[答一答]2．当直线的斜率k 不存在或为0时，如何求弦长？提示：把直线的方程直接代入双曲线方程，求出交点坐标，再求其弦长．1．正确理解直线和双曲线的位置关系 以过原点的直线和过焦点的直线为例．(1)设直线y ＝kx ，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．①当－b a <k <b a时，直线和双曲线的两支相交，有两个交点． ②当b a ≤k 或k ≤－b a时，直线和双曲线没有交点．(2)设过焦点F (c,0)的直线y ＝k (x －c )，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1.①当k ＝±b a时，直线和双曲线相交，有一个交点． ②当－b a <k <b a时，直线和双曲线两支相交，有两个交点． ③当k <－b a 或k >b a时，直线和双曲线一支相交，有两个交点． 2．求弦长及中点弦的问题求弦长可采取两种方法．一种是求交点坐标，另一种是利用弦长公式． 中点弦的问题可以采用“点差法”先求其斜率．类型一 直线与双曲线位置关系的判定【例1】 已知直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16.当k 为何值时，直线与双曲线： (1)有两个公共点；(2)有一个公共点；(3)没有公共点． 【分析】联立直线与双曲线的方程得到方程组→讨论该方程组解的个数→可得k的值【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx4x 2－y 2＝16消去y ，得(4－k 2)x 2－16＝0.(*)当4－k 2＝0，即k ＝±2时，方程(*)无解．当4－k 2≠0时，Δ＝－4(4－k 2)(－16)＝64(4－k 2)， 当Δ>0，即－2<k <2时，方程(*)有两解； 当Δ<0，即k <－2或k >2时，方程(*)无解； 当Δ＝0，且4－k 2≠0时，不存在这样的k 值． 综上所述，(1)当－2<k <2时，直线与双曲线有两个公共点； (2)不存在使直线与双曲线有一个公共点的k 值； (3)当k ≤－2或k ≥2时，直线与双曲线没有公共点．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式Δ，得到直线与双曲线的交点个数.若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是( D )A ．(－153，153) B ．(0，153) C ．(－153，0) D ．(－153，－1) 解析：将y ＝kx ＋2代入x 2－y 2＝6得 (1－k 2)x 2－4kx －10＝0则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16k 2＋401－k 2>0x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0x 1x 2＝－101－k 2>0，解得－153<k <－1. 类型二 直线与双曲线的相交弦问题【例2】 经过点M (2,2)作直线l 交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，且M 为AB 中点．(1)求直线l 的方程． (2)求线段AB 的长．【分析】 可用点差法求l 的斜率，再用弦长公式求|AB |.【解】 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程得x 21－y 214＝1，x 22－y 224＝1，两式相减得x 21－x 22－(y 214－y 224)＝0，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－14(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.∵M 为AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4， ∴4(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0，k l ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4， ∴l 的方程为y －2＝4(x －2)，即y ＝4x －6.(2)将y ＝4x －6代入到x 2－y 24＝1中得3x 2－12x ＋10＝0，故x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103，∴|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝23102.中点弦问题的两种处理方法双曲线x 216－y 29＝1，A (8,4)，过A 作直线l 交双曲线于P ，Q ，A 恰为PQ 的中点，求直线l 的方程．解：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2116－y 219＝1，x 2216－y 229＝1.得x 1＋x 2x 1－x 216＝y 1＋y 2y 1－y 29，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝98，∴由点斜式得y －4＝98(x －8)，即9x －8y －40＝0， 把x ＝8代入x 216－y 29＝1得y 2＝27>42，∴点(8,4)在双曲线的内部，即以(8,4)为中点的直线是存在的，故直线l 的方程为9x －8y －40＝0.类型三 与双曲线有关的综合问题【例3】 设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →，求a 的值．【分析】 (1)利用Δ>0可得a 的范围，再写出离心率关于a 的表达式，可求出离心率的范围；(2)由韦达定理及向量坐标关系，可得到关于a 的方程，解出a 即可．【解】 (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 21－a2>0.解得0<a <2且a ≠1，又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，∴e >62且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由题意知P (0,1)． ∵PA →＝512PB →，∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2，由于x 1、x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0. 由根与系数的关系，得1712x 2＝－2a 21－a 2，512x 22＝－2a 21－a2. 消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960，由a >0，得a ＝1713.双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况，如本题，若注意不到1－a 2≠0，则会造成离心率范围扩大，另外，设而不求、韦达定理、消参也是常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围．(2)若直线l 与双曲线C 两支交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋81－k2>0，解得－2<k <2且k ≠±1.所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k2.又直线l 恒过点D (0，－1)，且x 1x 2<0，则S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2.所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k2＝8.解得k ＝0或k ＝±62，由(1)知上述k 的值符合题意，所以k ＝0或k ＝±62. 类型四 素养提升直线与双曲线相交忽视特殊情况致误【例4】 已知过点P (1,1)斜率为k 的直线l ，与双曲线x 2－y 24＝1只有一个公共点，试探究直线l 的斜率k 的取值．【错解】 由题意得l ：y ＝k (x －1)＋1，代入双曲线方程得(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.由题意得Δ＝(2k －2k 2)2－4(4－k 2)(－k 2＋2k －5)＝0，解得k ＝52.【错因分析】 错解的原因是忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点．【正解】 同错解得到(4－k 2)x 2－(2k －2k 2)x －k 2＋2k －5＝0.若4－k 2＝0，即k ＝±2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4－k 2≠0，则Δ＝(2k －2k 2)2－4(4－k 2)(－k 2＋2k －5)＝0，解得k ＝52.综上可得：直线l 的斜率k 的取值为52或±2.【解后反思】 解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与圆锥曲线的方程消元得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况．已知双曲线C ：x 2－y 24＝1，过点P (1,2)的直线l ，与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( B )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：如下图，过点P (1,2)与双曲线x 2－y 24＝1有且只有一个公共点有两种情况，分别是垂直于x 轴和与渐近线y ＝－2x 平行．1．直线y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72与双曲线x 2－9y 2＝9交点的个数是( B )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0且平行于双曲线的一条渐近线，故与双曲线有且只有1个公共点．2．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上任一点P 引与实轴平行的直线，交两渐近线于M ，N两点，则PM →·PN →的值为( A )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2解析：设P (x 0，y 0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax .令y ＝y 0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b y 0，y 0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a by 0，y 0，则PM →·PN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b y 0－x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫a b y 0－x 0＝x 20－a 2b 2y 20＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20a 2－y 20b 2＝a 2.3．双曲线x 216－y 29＝1的一个焦点到其渐近线的距离是3.解析：∵双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点坐标分别为(－5,0)，(5,0)，渐近线方程为y＝±34x ，∴焦点(5,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为 |3×5－4×0|32＋42＝3. 4．直线3x －y ＋3＝0被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦AB 的长为2. 解析：应用弦长公式．5．双曲线x 29－y 24＝1与直线y ＝kx －1只有一个公共点，求k 的值．解：直线y ＝kx －1过(0，－1)点，若使直线与双曲线只有一个公共点，必须直线与双曲线的渐近线平行或直线与双曲线相切．当直线与渐近线平行时，双曲线的渐近线方程是y ＝±23x .所以k ＝±23.当直线与双曲线相切时，⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 24＝1y ＝kx －1⇒(4－9k 2)x 2＋18kx －45＝0.令Δ＝0，即(18k )2＋4·(4－9k 2)·45＝0. 解之，得k ＝±53. 综上可知，k ＝±23或k ＝±53.。
数学：2.3.3《双曲线的方程和性质的应用》课件(新人教A版选修2-1)
2的双曲线标准方程.
2
y x 1 8 8
归纳:
b 渐近线方程为 y x 的双曲线的方程可写 a x2 y2 成 2 2 ( 0) 的形式. a b 巧设方程形式将使问题解决变得简洁.
例2
y2 已知双曲线的方程为 x 2 1 ，试问过点 2
A(2,1)能否作直线 l 使它与双曲线交于P1 ，P2 两点，且点A是线段 PP2 的中点？这样的直线 1 如果存在，求出它的方程及弦长 P P2 ，如果 1 不存在，请说明理由。 变式1：A(1,2) 变式2：A(1,1)
双曲线方程和性质应用
双曲线的几何性质
双 曲 线
2 2
性 质 图象
y
o
范围对称 性顶点来自渐近 线离心 率
x y 2 1 2 a b (a 0, b 0) y2 x2 2 1 2 a b (a 0, b 0)
xa
x
x a
ya
或
或
y o x
y a
b c 关于 ( a,0) y x e 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 a 2 b2 ) 称 (0, a) y x b
思考：对于变式2，为什么所求直线不存在呢？
x2 45-9（2） 经过椭圆 y 2 1 的左焦点 F1 作 2
直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点，求 OAB 面积 的最大值，并求此时直线 l 的方程。
48-11 已知椭圆C的中心在原点，焦点 F1 , F2 在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且 F1PF2的最大值为12。 （1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程。
a b
x2 y2 1 ∴双曲线方程为 12 8
新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程3 2 2第2课时双曲线方程及性质的应用学案含解析新人教A版选择性
第2课时 双曲线方程及性质的应用关键能力·合作学习类型一 直线与双曲线的位置关系(数学抽象)1．过双曲线x 2a 2 －y 25－a 2 ＝1(a ＞0)的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则a 的取值范围为( ) A(1， 2 ) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，102 C ．( 2 ，2) D ．(2， 5 ) 2．已知双曲线x 2－y 24 ＝1，过点P(1，1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，求直线l 的方程．〖解 析〗1.选B.由题意可得双曲线的渐近线斜率1＜ba ＜2，1<5－a 2a <2，解得1<a<102 .2．由题意可得：双曲线x 2－y 24 ＝1的渐近线方程为y ＝±2x.(1)直线x ＝1与双曲线只有一个公共点．(2)过点P(1，1)且平行于渐近线y ＝±2x 时，直线l 与双曲线只有一个公共点， 方程为y －1＝±2(x －1)，即2x －y －1＝0或2x ＋y －3＝0. (3)设过点P 的切线方程为y －1＝k(x －1)，与双曲线x 2－y 24 ＝1联立，利用Δ＝0可得k ＝52 ，方程为y ＝52 x －32 .故直线l 的方程为x ＝1或2x －y －1＝0或2x ＋y －3＝0或y ＝52 x －32 .1．直线与双曲线的位置关系 设直线l ：y ＝kx ＋m(m≠0)， ①双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)， ②把①代入②得(b 2－a 2k 2)x 2－2a 2mkx －a 2m 2－a 2b 2＝0.(1)当b 2－a 2k 2＝0，即k ＝±ba 时，直线l 与双曲线C 的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点． (2)当b 2－a 2k 2≠0，即k≠±ba 时，Δ＝(－2a 2mk)2－4(b 2－a 2k 2)(－a 2m 2－a 2b 2). Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离． 2．数形结合思想在判断直线与双曲线位置关系中的应用(1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．(2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．〖补偿训练〗已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k(x －1)，试确定满足下列条件的实数k 的取值范围． (1)直线l 与双曲线有两个不同的公共点； (2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．〖解 析〗联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k （x －1）， 消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0.(*) 当1－k 2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4×(4－3k 2).(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2>0，1－k 2≠0，得－233 ＜k ＜233 且k≠±1，此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＝0，1－k 2≠0，得k ＝±233 ，此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线与双曲线有且只有一个公共点， 当1－k 2＝0，即k ＝±1时， 直线l 与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x ＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交， 有且只有一个公共点．故当k ＝±233 或±1时， 直线与双曲线有且只有一个公共点．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2<0，1－k 2≠0，得k ＜－233 或k ＞233 ，此时方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．类型二 弦长和中点问题(逻辑推理、数学运算)〖典例〗(1)求直线y ＝x ＋1被双曲线x 2－y 24 ＝1截得的弦长．(2)求过定点(0，1)的直线被双曲线x 2－y 24 ＝1截得的弦中点的轨迹方程．书写表达(1)由22yx14y x+1⎧-⎪⎨⎪⎩＝，＝得4x2－(x＋1)2－4＝0.化简得3x2－2x－5＝0.设此方程的解为x1，x2，则有x1＋x2＝23，x1x2＝－53.故所截得的弦长d＝ 2 ·|x1－x2|＝ 2 ·（x1＋x2）2－4x1x2＝ 2 ·49＋203＝823.(2)因为该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y＝kx＋1，它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x，y).由22y kx+1,yx14⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝得(4－k2)x2－2kx－5＝0.设此方程的解为x1，x2，则4－k2≠0，Δ＝4k2＋20(4－k2)>0，所以16k2<80，即|k|< 5 ，k≠±2，且x1＋x2＝2k4－k2，x1x2＝－54－k2，所以x＝12(x1＋x2)＝k4－k2，y＝12(y1＋y2)＝k2(x1＋x2)＋1＝44－k2.由22kx=,4k4y=4k⎧⎪⎪-⎨⎪⎪⎩-，消去k，得4x2－y2＋y＝0(y<－4或y≥1).题后反思点差法，用根与系数的关系求解．另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决．弦长及中点弦问题的解题策略(1)利用弦长公式|AB|＝1＋k 2 |x A －x B |＝1＋k 2 ·（x A ＋x B ）2－4x A x B ，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式．(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系． 其具体解题思路如下：设直线与双曲线相交所得弦AB 端点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB 的斜率为k ，则|AB|＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝1＋k 2 ·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 .涉及弦长的问题，常常设而不求．中点弦问题：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x 1≠x 2，x 1＋x 2≠0，M(x 0，y 0)为线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21 b 2＝1，x 22 a 2－y 22b 2＝1.两式相减可得y 1－y 2x 1－x 2 ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝b 2a 2 ，即k AB ·y 0x 0 ＝b 2a 2 .已知双曲线的方程为2x 2－y 2＝2.(1)过定点P(2，1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，当点P(2，1)是弦P 1P 2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q(1，1)能否作直线l ，使l 与此双曲线相交于Q 1，Q 2两点，且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．〖解 析〗(1)若直线斜率不存在，即P 1P 2垂直于x 轴，则由双曲线的对称性知弦P 1P 2的中点在x 轴上，不可能是点P(2，1)，所以直线l 斜率存在． 故可设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，即y ＝kx －2k ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－y 2＝2，y ＝kx －2k ＋1消去y 并化简，得(2－k 2)x 2＋2k(2k －1)x －4k 2＋4k －3＝0.设直线l 与双曲线的交点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2). 当2－k 2≠0，即k 2≠2时，有x 1＋x 2＝－2k （2k －1）2－k 2.又点P(2，1)是弦P 1P 2的中点，所以－2k （2k －1）2－k 2 ＝4，解得k ＝4.当k ＝4时，Δ＝4k 2(2k －1)2－4(2－k 2)(－4k 2＋4k －3)＝56×5>0. 当k 2＝2，即k ＝± 2 时，此时与渐近线的斜率相等， 即k ＝± 2 的直线l 与双曲线不可能有两个交点． 综上可知，所求直线的方程为4x －y －7＝0.(2)假设这样的直线l 存在，设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)， 则有x 1＋x 22 ＝1，y 1＋y 22 ＝1，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧2x 21 －y 21 ＝2，2x 22 －y 22 ＝2，两式相减，得(2x 21 －2x 22 )－(y 21 －y 22 )＝0，所以2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 所以2(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0. 若直线Q 1Q 2垂直于x 轴，则线段Q 1Q 2中点不可能是点Q(1，1)， 所以直线Q 1Q 2斜率存在，于是k ＝y 1－y 2x 1－x 2 ＝2，所以直线Q 1Q 2的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2得2x 2－(2x －1)2＝2， 即2x 2－4x ＋3＝0，所以Δ＝16－24<0.所以直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在．类型三 双曲线性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)〖典例〗1.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，A 为左顶点，点P 为双曲线C 右支上一点，|F 1F 2|＝10，PF 2⊥F 1F 2，|PF 2|＝163 ，O 为坐标原点，则OA → ·OP →＝( ) A ．－293B ．163C ．15D ．－152．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为 2 ，且过点(3，－1)，点M(3 2 ，m)在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求12MF MF 的值；(3)求△F 1MF 2的面积． 〖思路导引〗1．利用双曲线的性质求出A ，P 的坐标，再求向量的数量积．2．(1)设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ，将点(3，－1)代入求出参数λ的值，从而求出双曲线的方程．(2)先求出12MF MF 的解析式，再把点M 的坐标代入双曲线，便可得出12MF MF 的值．(3)求出三角形的高，即|m|的值，可得其面积．〖解 析〗1.选D.F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点，A 为左顶点，点P 为双曲线C 右支上一点，|F 1F 2|＝10，PF 2⊥F 1F 2，|PF 2|＝163 ， 可得c ＝5，b 2a ＝163 ，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝3，b ＝4，则A(－3，0)，P ⎝⎛⎭⎫5，163 ，则OA → ·OP → ＝－15.2．(1)因为e ＝ 2 ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ. 因为过点(3，－1)，所以9－1＝λ，即λ＝8， 所以双曲线的方程为x 2－y 2＝8.(2)因为F 1(－4，0)，F 2(4，0)，1MF ＝(－4－32 ，－m)，2MF ＝(4－3 2 ，－m)，所以12MF MF ＝(－4－32 )×(4－3 2 )＋m 2＝2＋m 2，因为M 点在双曲线上，所以18－m 2＝8，即m 2＝10， 所以12MF MF ＝12.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝8，由(2)知m ＝±10 . 所以△F 1MF 2的高h ＝|m|＝10 ，所以12MF F S＝410 .与双曲线有关的综合问题(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线知识综合时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，左顶点为A ，O 为坐标原点，以OF 为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P ，且|PA|＝|PF|，则双曲线的离心率e ＝________． 〖解 析〗由题可知A(－a ，0)，F(c ，0)， 双曲线的渐近线的方程为y ＝±b a x ，可取y ＝ba x ， 以OF 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －c 2 2＋y 2＝c 24 ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ba x ，⎝⎛⎭⎫x －c 22＋y 2＝c 24，可得P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c . 由|PA|＝|PF|，可得c －a 2 ＝a 2c ，即c 2－ac ＝2a 2，e 2－e －2＝0， 所以(e －2)(e ＋1)＝0， 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)， 故双曲线的离心率e ＝2. 〖答 案〗2备选类型 直线与双曲线位置关系的综合问题(数学运算)〖典例〗直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2－y 2＝1的右支交于不同的两点A ，B. (1)求实数k 的取值范围；(2)是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．〖思路导引〗(1)通过方程的思想，利用根与系数的关系进行求解； (2)利用反证法的思想，转化为两直线互相垂直进行求解．〖解 析〗(1)将直线l 的方程y ＝kx ＋1代入双曲线C 的方程2x 2－y 2＝1， 整理得(k 2－2)x 2＋2kx ＋2＝0，①依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，故22222k 20(2k)8(k 2)02k 0k 220k 2⎧-≠⎪∆=-->⎪⎪⎨->-⎪⎪>⎪⎩-解得k 的取值范围为－2＜k ＜－ 2 .(2)设A ，B 两点的坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则由①式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k2－k 2，x 1x 2＝2k 2－2．假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 ，则FA ⊥FB ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－62 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－62 ＋y 1y 2＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－62 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－62 ＋(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝0， (1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －62 (x 1＋x 2)＋52 ＝0， 所以(1＋k 2)·2k 2－2 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －62 ·2k 2－k 2 ＋52 ＝0，化简得5k 2＋2 6 k －6＝0，解得k ＝－6＋65 或k ＝6－65 (舍去)，可知k ＝－6＋65 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题进行化归，然后利用直线与双曲线的位置关系进行求解．已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程为y ＝ 3 x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32 . (1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B ，D 两点，已知A(1，0)，若DF → ·BF → ＝1，证明：过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切． 〖解 析〗(1)依题意有b a ＝ 3 ，c －a 2c ＝32 ，因为a 2＋b 2＝c 2，所以c ＝2a ，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3， 所以双曲线C 的方程为x 2－y 23 ＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m(m ＞0)， B(x 1，x 1＋m)，D(x 2，x 2＋m)，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1， 得2x 2－2mx －m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32 .又因为DF → ·BF → ＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m)(x 2＋m)＝1，所以m ＝0(舍去)或m ＝2，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72 ，M 点的横坐标为x 1＋x 22 ＝1，因为DA → ·BA → ＝(1－x 1)(1－x 2)＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝5＋2x 1x 2＋x 1＋x 2＝5－7＋2＝0，所以AD ⊥AB ，所以过A ，B ，D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径， 因为点M 的横坐标为1，所以MA ⊥x 轴，所以过A ，B ，D 三点的圆与x 轴相切．课堂检测·素养达标1．已知双曲线C ：x 2－y 2b 2 ＝1的离心率大于 3 ，则双曲线C 的虚轴长的取值范围为( )A ．(2 2 ，＋∞)B ．(1， 2 )C ．(2 3 ，＋∞)D ．(1，2)〖解 析〗选A.双曲线C ：x 2－y 2b 2 ＝1的离心率大于 3 ， 可得c 2a 2 ＝1＋b 21 ＞3，解得b ＞ 2 ，所以双曲线C 的虚轴长的取值范围为(2 2 ，＋∞).2．已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2 5 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A ．x 24 －y 2＝1B ．x 2－y 24 ＝1C ．3x 220 －3y 25 ＝1D ．3x 25 －3y 220 ＝1〖解 析〗选A.由题意得c ＝ 5 ，b a ＝12 ，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24 －y 2＝1.3．已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的焦点为F 1，F 2，且C 上点P 满足12PF PF ＝0，|1PF |＝3，|2PF |＝4，则双曲线C 的离心率为( )A ．102B ． 5C ．52D ．5〖解 析〗选D.依题意得，2a ＝|PF 2|－|PF 1|＝1，|F 1F 2|＝|PF 2|2＋|PF 1|2 ＝5，因此该双曲线的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝5.4．已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1()a ，b>0 的右焦点为F ，过原点的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且||BF ＝3||AF ，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(]1，2B ．(]1，3C ．()3，＋∞D ．[)2，＋∞〖解 析〗选A.因为直线AB 和双曲线C 都关于原点对称， 所以A ，B 也关于原点对称，设F′为左焦点，则F ，F′关于原点对称，所以|BF|＝||AF′ ， 因为|BF|＝3|AF|，所以||AF′ ＝3|AF|，所以||AF′ －|AF|＝2|AF|＝2a ， 所以|AF|＝a ，||AF′ ＝3a ，①当点A 不在线段FF′上时，在△AFF′中，⎩⎪⎨⎪⎧3a －a<2c 3a ＋a>2c，所以a<c<2a ，所以e ＝c a ∈(1，2). ②当点A 在线段FF′上时，||AF′ ＋|AF|＝|FF ′|，所以4a ＝2c ，所以e ＝c a ＝2.综上所述，e ∈(1，2〗.5．过双曲线x 2－y 23 ＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6 的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，求||AB 的长．〖解 析〗因为双曲线方程为x 2－y 23 ＝1，所以左焦点F 1(－2，0)，因为直线AB 的倾斜角为π6 ，所以直线斜率为33 ，直线AB 的方程为y ＝33 ()x ＋2 ，代入x 2－y 23 ＝1可得8x 2－4x －13＝0，x 1＋x 2＝12 ，x 1x 2＝－138 ，所以||AB ＝1＋13 ||x 1－x 2 ＝233 ()x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝233 ⎝⎛⎭⎫122－4⎝⎛⎭⎫－138 ＝3.。
高中数学新人教版A版精品教案《2.3.2 双曲线的简单几何性质》
一、复习引入问题一：我们学习过的椭圆22221,0x y a b a b +=>>的几何性质有哪些？ 预设：那么我们是用什么方式来研究这些性质的？下面类比椭圆几何性质的研究方式，我们来研究双曲线的几何性质。
（板书：双曲线的简单的几何性质）二、探索研究问题二：类比椭圆，你觉得双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有哪些几何性质？ 几何画板双曲线图形）下面分小组进行研究，每组派代表就其中一条性质进行阐述。
（1、每小组任务不同2、每小组用几何画板展示性质3、发言人就方程进行验证）问题三：在曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上取一点M,测量点M 的横坐标M x 以及它到直线by x a=（矩形对角线）的距离d,延双曲线拖动点M,观察M x 与d 的大小关系，你发现了什么？预设：当双曲线各支向外延伸时，与by x a=±（矩形对角线）逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，也就是说，双曲线与它的渐近线无限接近，永不相交。
渐近线x ab y ±= 问题四：请画出221169x y -=表示的双曲线。
（板书） 预设：我们刚刚研究的是焦点在轴的双曲线，你能尝试说出双曲线22221,(0,0)y x a b a b-=>>的几何性质吗？试试看。
（幻灯片演示）本节课的内容与“椭圆的简单的几何性质”相类似，通过观察类比，形成知识的迁移，明确双曲线几何性质的研究过程和研究方法，为研究“双曲线的简单的几何性质”埋下伏笔，同时做好知识和技能的储备。
这里性质的研究顺序可以是多种情况的，学生先给出哪种性质，我们就先研究哪种性质，充分体现学生的主体地位。
根据学生的认知规律，学生一般会从最直观的对称性入手，此时学生的抽象思维已经形成但还在发展阶段，引导学生发现性质后通过逻辑推理，利用方程进行验证，最终完善落实性质。
使学生经历由感性直观出发，逐步沿着逻辑顺序找特点、想办法，最后自己结合多媒体手段将所研究的性质完整的展示出来，体现了对学生直观想象、逻辑推理等数学核心素养的培养。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2第2课时双曲线的几何性质及应用课时跟踪训练含解析新人教A版选
学习资料高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2第2课时双曲线的几何性质及应用课时跟踪训练含解析新人教A版选修2班级：科目：双曲线的几何性质及应用［A组学业达标］1．若直线x＝a与双曲线错误!－y2＝1有两个交点,则a的值可以是（)A．4B．2C．1 D．－2解析：因为在双曲线错误!－y2＝1中，x≥2或x≤－2,所以若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a〈－2，故只有A符合题意．答案:A2．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a〉0）没有公共点,则a的取值范围是（）A．a＝1 B．0〈a<1C．a>1 D．a≥1解析：等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x,若直线y＝ax（a〉0）与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点,则a≥1.答案：D3．直线l：y＝kx与双曲线C:x2－y2＝2交于不同的两点，则斜率k的取值范围是（)A．(0,1) B．（－错误!，错误!)C．(－1，1) D．[－1，1]解析：由双曲线C：x2－y2＝2与直线l：y＝kx联立，得（1－k2）x2－2＝0。
因为直线l:y＝kx与双曲线C：x2－y2＝2交于不同的两点，所以错误!解得－1<k〈1，即斜率k的取值范围是（－1，1）．答案:C4．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点，则k的取值范围为（)A。
错误!B．(－1,1)C。
错误!D。
错误!解析：联立方程错误!得(1－k2)x2－4kx－10＝0，①若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的左支交于不同的两点,则方程①有两个不等的负根．所以错误!解得k∈错误!.故选C。
答案：C5．设点F1、F2分别是双曲线C:错误!－错误!＝1(a〉0)的左、右焦点,过点F1且与x轴垂直的直线l与双曲线C交于A,B两点．若△ABF2的面积为2错误!，则该双曲线的渐近线方程为(）A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D．y＝±错误!x解析：设F1（－c，0），A(－c，y0)，则c2a2－错误!＝1，∴错误!＝错误!－1＝错误!＝错误!＝错误!，∴y2，0＝错误!，∴|AB|＝2｜y0｜＝错误!.又S△ABF2＝26，∴错误!·2c·｜AB|＝错误!·2c·错误!＝错误!＝2错误!，∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!.∴该双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.答案：D6．直线2x－y－10＝0与双曲线错误!－错误!＝1的交点是________．解析：由错误!解得错误!或错误!答案：(6，2),错误!7．直线y＝x＋1与双曲线错误!－错误!＝1相交于A，B两点，则｜AB｜＝________.解析：由错误!得x2－4x－8＝0。
人教A版高中数学选修2-1课件《2.3.2双曲线方程及性质的应用》(第2课时).pptx
所以直线l的方程为 y 2x 210 .
3
类型三双曲线性质的综合应用
【典例3】
(1)已知双曲线(axa>220,bby2>2 0)1的左、右焦点分别为
F1(-c，0)，F2(c，0).若双曲线上存在一点P，使
sinPF1F2 sinPF2F1
a， c
则该双曲线的离心率的取值范围是_______.
故点C的轨迹方程是 x2 y2 1.
2
由消x去2 y并y22整 1理，得x2+4x-6=0,
y x 2
因为Δ>0,所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1·x2=-6，
故|DE|= x1 x2 2 y1 y2 2 = 2g x1 x2 2 4x1x2 4 5.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由根与系数的关系得①x1
x2
6 5
m, x1x2
3m2 10
6
又|AB|= x1 x2 2 y1 y2 2 = 1 4x1 x2 2 4.
所以5［(x1+x2)2-4x1x2］=16②
将①式代入②，解得 m 210 .
3
②联立直线与双曲线方程
y kx 2，
x
2
3y2
3
0
⇒ 1 3k2 x2 6 2kx 9 0，
由题意得
72k2 4 1 3k2
9 0,
1 3k2 0,
解得-1<k<1且 k 3 ,
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.3.2双曲线的简单几何性质(2)》导学案
§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义；3．掌握椭圆的标准方程．一、课前准备（预习教材理P58~ P60，文P51~ P53找出疑惑之处）复习1：说出双曲线的几何性质?复习2：双曲线的方程为221 914x y-=，其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程．二、新课导学※学习探究探究1：椭圆22464x y+=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x+=，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y+=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x+=，则双曲线的方程是？※ 典型例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．（理）例3过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求AB ？思考：1AF B ∆的周长？※ 动手试试练1．若椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=的焦点相同，则a =____.练2 ．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y =，求双曲线的焦点坐标．三、总结提升※ 学习小结1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；2．双曲线的另一定义；3．（理）直线与双曲线的位置关系．※ 知识拓展双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的值为（ ）．A ．212B ．84C ．3D ．21 2．以椭圆2212516x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A. 2211648x y -= B. 221927x y -= C. 2211648x y -=或221927x y -= D. 以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．1 B. C. 1 D. 24．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________.5．方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ．1．已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22221x y a b -=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求此双曲线的方程．。
3.2双曲线方程及性质的应用 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性
m
2
.
【答案】 (2, )
一、对双曲线方程的准确认知和理解
2. 已知双曲线 x2 y2 1,点 F1, F2 为其左、右焦点,点 P 为双曲线上一点,若 PF1 PF2 ， 则 | PF1 | | PF2 | __________.
【解析】设 P 在双曲线的右支上，| PF2 | m(m 0),| PF1 | 2 m ， c2 11 2 因为 PF1 PF2 ，所以 (m 2)2 m2 (2c)2 8，解得 m 3 1， m 2 3 1 所以| PF1 | | PF2 | 2 3
A． 5
B．2
C． 3
D． 2
【解析】由已知 | PF2 | b,| OF2 | c,| OP | a ， | PF1 | 6 | OP | 6a
在
RtPOF2
中，
cos PF2O
| |
PF2 OF2
| |
b c
，
在 PF1F2 中， cos PF2O
| PF2
|2 | F1F2 |2 | PF1 2 | PF2 || F1F2 |
一、对双曲线方程的准确认知和理解
1. 若曲线 C : mx2 (2 m) y2 1是焦点在 x 轴上的双曲线，则 m 的取值范围为__________.
【解析】由曲线 C : mx2
(2 m) y2
1 是焦点在
x
轴上的双曲线,可得
x2 1
y2 1
1
m m2
依题意，有
m m
0 2
0
,解得
若不存在，说明理由.
y kx 1
【解析】（1）由
2
x
2
y2
1
，
得 (k2 2)x2 2kx 2 0
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解析： (1)易知直线 AB 的斜率存在． 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程 3x2－y2＝3，得 3x12－y21＝3,3x22－y22＝3， 两式相减得：3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)， 即yx11－－yx22·xy11＋＋xy22＝3. 所以直线 AB 的斜率 kAB＝xy11－－xy22＝3yx11＋＋yx22＝3×y1x＋1＋2y2x2＝3×1 2＝6.
2．弦长公式 斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 1＋k12|y1－y2| ＝ 1＋k12 y1＋y22－4y1y2.
1．过点 P－1，－ba的直线 l 与双曲线ax22－by22＝1 有且仅有一个公 共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实半轴长等于
• 那么炮击的方位角应该为多少度？
1．直线与双曲线的位置关系 一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)① 双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)② 把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0. (1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ba时，直线 l 与双曲线的渐近线平行， 直线与双曲线 C 相交于一点．
() A．2
B．4
C．1 或 2
D．2 或 4
解析： 依题意知，过点 P 的直线 l 与双曲线相切或与双曲线的 渐近线 y＝－bax 平行，所以 a＝1 或－－1＋ba a＝－ba，
解得 a＝1 或 a＝2.所以实半轴长等于 1 或 2，故选 C.
• 答案： C
• 2．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲 线只可能是( )
1．双曲线 4x2－9y2＝－36，则 a＝ 2 ，b＝ 3 ，c＝ 13 ，
焦点坐标为 (0，± 13) ，顶点坐标为 (0，±2)
13 ，离心率为3x .
• 2．如图，A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东， 相距6 km，C在B的北偏西30°并相距4 km，P为敌炮阵地， 某时刻A处发现敌炮阵地的某处信号，由于B，C两地比A距P 远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号(该信号的传播速度 为1 km/s)，A若炮击P地．
解析：
x2－y2＝6 y＝kx＋2
，
x2－(kx＋2)2＝6，(1－k2)x2－4kx－10＝0 有两个不同的
正根．
Δ＝40－24k2>0， 则x1＋x2＝1－4kk2>0，
x1x2＝1－－1k02>0.
答案： － 315，－1
解得－ 315<k<－1.
4．已知双曲线 x2－y32＝1，过 P(2,1)点作一直线交双曲 线于 A、B 两点．若 P 为 AB 的中点，
(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时， Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)． Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离．
4k2＋201－k2>0， ∴－1－2kk2>0，
1－－5k2>0.
即－k>12或5<－k<1<25k，<0， k>1或k<－1.
解得
1<k<
5 2.
(2)由yx＝2－kyx2－＝14 得(1－k2)x2＋2kx－5＝0(*) 易知此方程无解．
由1Δ－＝k42k≠2＋0201－k2<0 得 k> 25或 k<－ 25，
则
k
的取值范围为
k>
25或
k<－
5 2.
• [题后感悟] 直线与双曲线相交的题目，一般先联立方程 组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程，要注 意根与系数的关系，根的判别式的应用．若与向量有关，则 将向量用坐标表示，并寻找其坐标间的关系，结合根与系数 的关系求解．
1.已知双曲线 x2－y42＝1，过点 P(1,1)的直线 l 与双曲线只有 一个公共点，求直线 l 的斜率 k 的值．
解析： ax－y＋b＝0 可化为 y＝ax＋b， bx2＋ay2＝ab 可化为xa2＋yb2＝1. 若 ab>0，则 A 中曲线错误，B 中曲线不存在． 若 ab<0，则 D 中曲线错误，故选 C.
• 答案： C
• 3．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的
两点，那么k的取值范围是________．
• 解析： ①当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切 ，符合题意； • ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1， • 代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
当 4－k2＝0，即 k＝±2 时，l 与双曲线的渐近线平行，l 与双曲线只有一个公共点；
已知直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求 k 的 取值范围； (2)若直线与双曲线没有公共点，求 k 的取值范围．
[解题过程] (1)联立方程组yx＝2－kyx2－＝14，， 消去 y 得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0， 由题意得，此方程有两个不等的正根．
2 所以直线 AB 的方程为 6x－y－11＝0.
(2)将 y＝6x－11 代入 3x2－y2＝3，得 33x2－132x＋124 ＝0.
由弦长公式|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2] 得|AB|＝ 1＋36×1322－343·233·124， 所以|AB|＝343 2 442.
• 第2课时 双曲线方程及性质的应用
• 1.掌握直线与双曲线的位置关系． • 2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等问题． • 3.了解与双曲线有关的应用问题.
• 1.对双曲线方程和性质的应用是本课时的重点和难点； • 2.本课时内容常与方程、函数、不等式以及平面向量结合 命题，而且命题形式灵活，各种题型均有可能出现.