第六讲 整式相关概念
整式的基本概念与运算
括号前面是加 号或乘号时， 去掉括号，括 号内的各项不
变
括号前面是减 号时，去掉括 号，括号内各
项都变号
括号前面是除 号时，去掉括 号，把括号内 各项乘以除数
的倒数
括号在乘方运 算中，先进行 乘方运算，再
去括号
确定未知数： 明确需要解 决的问题， 并确定未知 数。
列出方程： 根据问题描 述，列出整 式方程。
XX,a click to unlimited possibilities
01 整 式 的 定 义 与 分 类 02 整 式 的 加 减 运 算 03 整 式 的 乘 法 运 算 04 整 式 的 除 法 运 算 05 整 式 的 幂 运 算 06 整 式 的 混 合 运 算
整式是由常数、变量、加、减、乘、乘方等运算符号和括号组成的代数式
除法运算的注意事项：注意结果的符号，以及余数的次数不能高于除数的次数
除法运算的应用：在代数、几何等领域有广泛的应用
幂的定义：一个数的n次方表示该数与自身相乘n次 幂的性质：a的0次方等于1，a的负数次方等于a的倒数的正数次方，幂的乘法满足结合律和分配律
幂的乘法：同底 数幂相乘时，指 数相加
幂的除法：同底 数幂相除时，指 数相减
添加标题
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举例：2x^3y与3xy^2相乘得到 6x^4y^3。
运算性质：单项式乘以单项式的 运算是整式运算中的基本运算之 一，掌握其运算法则对于后续学 习多项式乘法、除法等具有重要 意义。
定义：将单项式中 的每一个字母因数 与多项式中的每一 项相乘，得到新的 多项式
举例：如(a+b+c) 乘以x得到 ax+bx+cx
注意事项：注意 符号的运算，负 负得正
《整式的有关概念》课件
在整式的混合运算中，幂的运算法则也是重要的运算方法。例如，幂的乘法法则为 (a^m)^n = a^(mn)，幂的除法法则为a^m / a^n = a^(m-n)等。掌握这些法则可以帮 助我们处理复杂的整式计算。
运算结果的处理
化简结果
在进行整式的混合运算后，应对结果进行化简，以得到最 简形式。化简的方法包括约分、分子的因式分解、分母的 有理化等。
详细描述
单项式乘以单项式时，只需将它们的系数相乘，字母部分（包括字母和指数）分别相乘。例如，$2x^3y^4 times 3x^2y^3 = 6x^{3+2}y^{4+3} = 6x^5y^7$。
单项式乘以多项式
总结词
逐步相乘，保持代数式整洁
详细描述
将单项式中的每一个项分别与多项式的每一项相乘，然后合并同类项。例如，$(2x - 3y) times (x^2 + y) = 2x times x^2 + 2x times y - 3y times x^2 - 3y times y = 2x^3 + 2xy - 3x^2y - 3y^2$。
04 整式的除法运算
单项式除以单项式
定义
单项式除以单项式是指将一个单项式 除以另一个单项式，得到一个新的单 项式。
规则
举例
$(2x^3) div (3x^2) = frac{2}{3}x^{3-2} = frac{2}{3}x^1 = frac{2}{3}x$。
单项式相除时，系数相除，字母部分 按字母的指数依次相减。
整式的表示方法
总结词
整式通常用字母和数字的积来表 示，也可以用括号括起来的形式 表示。
详细描述
整式通常用字母和数字的积来表 示，如单项式2x，3a等。也可以 用括号括起来的形式表示，如(2x + 3y)。
整式的概念。-概述说明以及解释
整式的概念。
-概述说明以及解释1.引言1.1 概述整式是代数学中的重要概念之一，它在数学运算中具有广泛的应用。
在我们日常的数学学习和解决实际问题时，经常需要对各种数学式进行化简、运算和因式分解等操作。
而这些式子往往可以被统一地称为整式。
整式由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。
常数可以是整数、有理数或者无理数，而变量则代表某个未知数。
整式具有形式简单、易于计算的特点，在代数学的研究和实际应用中有着广泛的使用。
在整式的定义中，值得注意的是整式中的变量可以是一元的，即只有一个未知数，也可以是多元的，即包含多个未知数。
整式在具体的问题中可以表示各种关系和规律，如数学模型、物理方程、经济公式等，可以帮助我们分析和解决实际问题。
整式的基本运算包括加法、减法、乘法和乘方等。
通过对整式的加减运算，可以将相同次幂项的系数相加，从而得到一个新的整式。
在乘法运算中，可以对整式中的每一项进行乘法运算，并将结果相加，得到一个新的整式。
整式的乘方运算是将整式自身乘以自身若干次，得到一个新的整式。
整式的化简与因式分解是整式运算的重要内容。
化简就是将一个复杂的整式通过合并同类项、提取公因子等运算，简化为一个更简单的整式的过程。
而因式分解则是将一个整式分解为乘积的形式，使得每个因子都是最简单的整式。
化简和因式分解的过程常常需要运用代数运算中的基本法则和公式，通过合适的变换和操作，将整式变得更加简洁和易于处理。
总结而言，整式是代数学中的重要概念，它由常数、变量及其乘积与幂的加减运算组成。
整式的定义和基本运算为我们解决各种数学问题提供了有效的工具和方法。
通过整式的化简与因式分解，我们可以将复杂的整式简化为更加简洁的形式，从而更好地理解和应用数学。
整式在代数学的研究以及各个领域的实际应用中具有重要的地位和作用。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述整式的概念：1. 引言：在这一部分，将对整式的概念进行简要的概述，引入整式的基本概念和重要性。
《整式的概念》课件
02
CATALOGUE
整式的加减运算
同类项的合并
01
02
03
同类项的定义
在整式中，所含字母相同 ，并且相同字母的指数也 分别相同的项称为同类项 。
同类项合并的规则
同类项可以合并，合并时 将它们的系数相加或相减 ，字母和字母的指数保持 不变。
合并同类项的意义
通过合并同类项，可以简 化整式的形式，便于整式 的加减运算。
整式中，除数不能含 有字母，否则不满足 整式的定义。
整式的分类
按照变量的个数，整式可以分为单项式和多项式两类。
单项式是只含有一个项的整式，多项式则是由多个单项式按照加法运算组合而成的 整式。
另外，根据项的次数不同，单项式和多项式还可以进一步细分为一次式、二次式、 三次式等。
整式的性质
01
02
03
《整式的概念》ppt课件
CATALOGUE
目 录
• 整式的基本概念 • 整式的加减运算 • 整式的乘除运算 • 整式的混合运算 • 整式的应用
01
CATALOGUE
整式的基本概念
整式的定义
整式是由常数、变量 、加、减、乘、乘方 等基本运算组成的代 数式。
整式可以看作是最简 单的代数式，它是代 数式的一种特殊形式 。
单项式与多项式的乘法
总结词
逐项相乘，合并同类项。
详细描述
单项式与多项式的乘法需要将单项式逐个与多项式的每一项相乘，然后合并同类 项。例如，$(2x+3y)$与$3x^2$相乘得到$6x^3+9xy^2$。
多项式与多项式的乘法
总结词
逐项相乘，合并同类项。
详细描述
多项式与多项式的乘法需要将两个多项式的每一项都相乘，然后合并同类项。例如，$(x+y)$与$(x-y)$相乘得到 $x^2-y^2$。
整式知识点分类归纳总结
整式知识点分类归纳总结整式的种类有多种，主要包括单项式、多项式、分式，以及它们的运算。
下面对整式相关的知识点进行分类归纳总结：一、整式的基本概念1. 代数式的定义代数式是由数字、字母和运算符号组成的符合语法规则的表达式。
代数式可以表示数与数之间的关系，可以用来表示具有普遍性的数学规律。
2. 整式的定义整式是由字母和数以及加减乘除等运算符号组成的代数式。
整式中不包含分式以及根式等算术式。
整式通常由常数项、一次项、二次项、三次项等各种次数的项组成。
3. 单项式和多项式单项式是只包含一个变量的代数式，例如3x、-2y等。
多项式是由单项式经过加法与减法运算得到的代数式，例如3x+2y、5x^2+3x-6等。
4. 整式的次数整式中的最高变量次数称为整式的次数。
例如5x^2+3x-6的次数为2，3x^4-2x^3+5x^2-3x+4的次数为4。
5. 整式的分类整式按照其结构特点和性质可以分为单项式、多项式和分式。
单项式是只包含一个变量的代数式，多项式是由单项式经过加法与减法运算得到的代数式，分式是一个整式除以另一个整式所得到的代数式。
6. 整式的运算整式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
整式的加法与减法是基于单项式和多项式的加减法运算规则，整式的乘法是基于分配律和乘法法则的运算，整式的除法则是利用多项式的因式分解和除法规则进行运算。
二、单项式与多项式的运算1. 单项式的加法与减法单项式的加法和减法是遵循着同类项相加减的原则，即变量的指数相等的项可以相加减，常数项也可以相加减。
2. 多项式的加法与减法多项式的加法和减法是将同类项进行合并，即对应位置的项进行加减操作，最终得到合并后的多项式。
3. 单项式与多项式的乘法单项式与多项式的乘法是利用分配律，即将单项式的每一项分别与多项式进行乘法运算，最后将结果合并得到最终的乘积。
4. 多项式的乘法多项式的乘法是将每个多项式中的项依次与另一个多项式中的项进行乘法运算，最后将结果合并得到最终的乘积。
整式(概念)
整式单项式和多项式统称为整式。
代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式。
(含有字母有除法运算的，那么式子叫做分式fraction.)整式可以分为定义和运算，定义又可以分为单项式和多项式，运算又可以分为加减和乘除。
加减包括合并同类项，乘除包括基本运算、法则和公式，基本运算又可以分为幂的运算性质，法则可以分为整式、除法，公式可以分为乘法公式、零指数幂和负整数指数幂。
整式和同类项1.单项式（1）单项式的概念：数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也是单项式。
注意：数与字母之间是乘积关系。
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
如果一个单项式，只含有数字因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为—1。
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式（1）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号，看作各项的性质符号。
一元N次多项式最多N+1项（2）多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
（3）多项式的排列：1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于多项式是几个单项式的和，所以可以用加法的运算定律，来交换各项的位置，而保持原多项式的值不变。
为了便于多项式的计算，通常总是把一个多项式，按照一定的顺序，整理成整洁简单的形式，这就是多项式的排列。
在做多项式的排列的题时注意：(1)由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。
(2)有两个或两个以上字母的多项式，排列时，要注意：a.先确认按照哪个字母的指数来排列。
整式相关概念
一、整式的有关概念
1.单项式:
由数与字母的乘积组成的式子叫做单项式.
单独的一个数字或字母也叫单项式.
2.单项式的系数:
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
3.单项式的次数:
一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数4.多项式：
几个单项式的和叫做多项式
5.多项式的次数：
多项式里次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数．特别注意:多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和！
6.整式：单项式与多项式统称整式。
（分母含有字母的式子不是整式）
7.同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项
8.合并同类项：
把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，
字母和字母的指数保持不变。
n
9.a 表示的意义是什么？
n个a相乘。
初中数学《整式》知识点总结
初中数学《整式》知识点总结初中数学《整式》知识点总结在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
下面是小编分享的初中数学《整式》知识点总结，欢迎大家阅读！初中数学《整式》知识点总结1单项式和多项式统称为整式。
1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2)单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3.多项式的排列：1)把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2)把一个多项式按某一个字母的`指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于单项式的项，包括它前面的性质符号，因此在排列时，仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分，一起移动。
初中数学《整式》知识点总结2整式的加减(合并同类项)1.合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
2.合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
3.合并同类项步骤：⑴.准确的找出同类项。
⑵.逆用分配律，把同类项的系数加在一起(用小括号)，字母和字母的指数不变。
⑶.写出合并后的结果。
初中数学《整式》知识点总结3一、代数式1.概念：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
2.代数式的值：用数代替代数式里的字母，按照代数式的运算关系，计算得出的结果。
二、整式的运算1.同类项——所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项，几个常数项也叫同类项。
人教版整式知识点总结归纳
人教版整式知识点总结归纳一、整式的基本概念1. 代数式的定义：由数字（称为常数）、字母（称为变量）、加减号、乘号、次方号等数学符号经过有限次加、减、乘、除运算（其中除法运算分母不为零）而成的式子叫做代数式。
2. 整式的定义：如果代数式中只包含有限个变量的项（这些项中不含变量的项即为常数），并且这些变量的指数在每一项中都是非负整数，则这个代数式就是整式。
二、整式的基本性质1. 交换律：整式相加、相乘时，可以改变各项的顺序，结果仍不变。
2. 结合律：整式相加、相乘时，可以改变各项的群体次序，结果仍不变。
3. 分配律：整式相乘时，按此性质变形后，分别进行乘法后再进行加法。
4. 合并同类项：把整式中相同字母的项合并成一项。
5. 分离因式：整式中提取公因子。
6. 化简合并：合并整式中的同类项，并且合并后的式子要化简。
7. 即化简：对整式进行运算后，经过合并同类项、整理项等步骤。
8. 单项式展开：用分配律对一个单项式和另一个整式进行相乘。
9. 去括号：把乘法因式中的括号展开。
10. 合并同类项：将同类项合并成一项。
11. 化简合并：合并同类项后化简得到最简式。
12. 整式的幂：整式内容除零次幂字母外有乘方外，均是整式。
三、整式的基本变形1. 公因式提取：在一整式中找出一个代数式的最大公因式，并把最大公因式提取出来。
2. 提公因式：提取整式中的公因式。
3. 去括号：消去整式中所出现的括号。
4. 化简合并：对整式中的同类项进行合并，然后化简结果。
5. 展开：将含括号因式展开。
四、整式的加法整式的加法是指把两个整式相加时，将它们的同类项相加，结果为一个整式。
五、整式的乘法整式的乘法是指把两个整式相乘时，利用分配律把其中一个整式的每一项与另一个整式相乘，最后将所得乘积合并。
六、整式的除法1. 整式除以单项式：可以将整式的每一项分别除以单项式。
2. 单项式除以整式：可以将单项式分别除以整式的每一项。
3. 整式除整式：用长除法进行整式相除。
整式的概念和性质
乘法交换律：a*b=b*a
加法交换律：a+b=b+a
乘法结合律： (a*b)*c=a*(b*c)
整式具有乘法分配律
乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 乘法分配律的证明：通过代数运算和几何图形证明 乘法分配律的应用：简化计算，提高计算效率 乘法分配律的推广：推广到多项式乘法和矩阵乘法
整式的乘法可以按照分配律展开
整式的减法：将 减法转化为加法， 系数相减，字母 及其指数不变
整式的乘法：将 系数相乘，字母 及其指数相加
整式的除法：将 除法转化为乘法， 系数相除，字母 及其指数相减
整式的乘除法运算
整式的乘法： 将两个整式相 乘，得到新的
整式
整式的除法： 将两个整式相 除，得到新的
整式
整式的乘方： 将整式乘以自 身，得到新的
整式
整式的开方： 将整式开方， 得到新的整式
整式的混合运算
整式的混合运算是指将加法、减法、乘法和除法等运算混合在一起进行计 算 整式的混合运算需要遵循一定的运算顺序，如先乘除后加减
整式的混合运算中，需要注意符号的变化，如正负号的变化
整式的混合运算中，需要注意运算结果的化简，如合并同类项、约分等
整式的应用
计算：整式可以用来计算各种数学问题，如求和、求差、求积等。 解方程：整式可以用来解各种类型的方程，如线性方程、二次方程、三 次方程等。 几何问题：整式可以用来解决各种几何问题，如三角形、四边形、圆等。
物理问题：整式可以用来解决各种物理问题，如力学、热学、电磁学等。
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整式分类：单项式、多项式、 有理式、无理式等
整式性质：加法交换律、结 合律、分配律等
整式定义：由常数、变量、 加、减、乘、乘方运算构成 的代数式
整式所有知识点总结
整式所有知识点总结一、整式的基本概念1. 变量和常数：整式中的变量通常用字母表示，表示一个未知数，如x、y、z等；常数则是具体的数值，如1、2、3等。
2. 项：整式由多个项相加或相减而成，每个项由变量和常数的乘积及其系数构成，如3x²、4xy、-5等都是整式的项。
3. 次数：整式的次数是指整式中各项中变量的最高次数，例如5x³+2x²-3x+1的次数为3。
4. 系数：整式中各项中变量的系数即为该项的系数，如2x²中2即为x²的系数。
5. 系数字段：整式中的系数通常来自于某个数域或域的子集，例如有理数、实数、复数等。
6. 同类项：具有相同字母的相同次幂的项称为同类项，可以进行合并和化简。
二、整式的运算法则1. 加法和减法：整式的加法和减法遵循常规的运算法则，即对应的同类项进行合并，非同类项保持不变。
2. 乘法：整式的乘法是指整式之间的相乘，遵循分配律和结合律，同类项相乘后合并。
3. 除法：整式的除法是指整式之间的相除，需要注意整式除法的规则，如除数不能为0等。
4. 综合运算：整式的综合运算是指包括加减乘除在内的各种运算，需要根据具体情况灵活运用各种运算法则。
三、整式的化简与因式分解1. 合并同类项：整式可以通过合并同类项来化简，即将具有相同字母的相同次幂的项合并，从而减少整式的复杂度。
2. 提取公因式：整式可以通过提取公因式来化简，即将整式中的公因式提取出来，减少整式的复杂度。
3. 因式分解：整式可以通过因式分解来化简，即将整式分解成几个互为因式的乘积，从而使整式更易于处理和理解。
四、整式的应用1. 方程的解法：在代数方程的解法中，整式是一个常见的基本元素，通过整式的运算和化简可以得到方程的解。
2. 几何问题的建模：在几何问题的建模中，整式可以用来描述和推导几何关系，如面积、体积等。
3. 物理问题的建模：在物理问题的建模中，整式可以用来描述和推导物理现象，如运动、力学等方面的关系。
整式的概念+课件
$(a^m)^{-n} = frac{1}{(a^m)^n} = frac{1}{a^{mn}}$，幂的减法可转化为乘法 运算的倒数。^{mn}$，幂的乘法满足幂 的加法法则。
$frac{(a^m)^n}{(a^p)^n} = a^{mn pn}$，幂的除法可转化为乘法和减法运算 。
总结词
多项式是由有限个单项式通过加法运算组成的代数式。
详细描述
多项式是数学中基本的代数概念之一，它由有限个单项式通过加法运算组合而成。每个单项式由系数 、变量和幂次组成，表示为$ax^n$的形式，其中$a$是系数，$x$是变量，$n$是幂次。
多项式与整式的联系
总结词
多项式一定是整式，但并非所有整式都 是多项式。
整式的简化
整式的简化
通过合并同类项、提取公 因式等方法，将整式化简 为最简形式。
方法
合并同类项、提取公因式 、利用公式化简等。
例子
$3x - 2x = x$，$a^{2} a^{2} = 0$，$(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$。
04
整式与多项式的关系
多项式的定义
整式的表示方法
总结词
整式通常用加号（+）连接各个代数项，表示代数式的和。
详细描述
整式通常用加号（+）连接各个代数项，表示代数式的和。 每个代数项可以是一个常数、一个变量或一个变量的幂。例 如，$2x + 3$是一个整式，其中$2x$和$3$是代数项，加号 （+）表示它们的和。
整式的分类
总结词
整式可以分为单项式和多项式两类，其中单项式是由一个代数项组成的整式，多 项式是由多个代数项组成的整式。
什么是整式概念是什么
什么是整式概念是什么
代数式中的一种有理式，不含除法运算或分数，以及虽有除法运算及分数，但除式或分母中不含变数者，则称为整式。
单项式和多项式统称为整式。
单独一个数或字母也是整式，但整式中分母不能含有字母。
整式的概念：单项式和多项式统称为整式。
单项式是由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，分数和字母的积的形式也是单项式。
如：0、1、x、a、2xy均是单项式。
多项式是由若干个单项式相加减组成的代数式。
多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数。
如：x+2xy、a+b、-2m+2n均是多项式。
分式的概念：形如A/B，A、B是整式，B中含有未知数且B不等于0的等式叫做分式。
其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
分式的分母中必须含有未知数；分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。
整式知识点归纳
整式知识点归纳整式是代数式的重要组成部分，也是数学学习中的基础内容之一。
下面就来对整式的相关知识点进行一个全面的归纳。
一、整式的定义整式为单项式和多项式的统称，是有理式的一部分，在有理式中可以包含加、减、乘、除、乘方五种运算，但在整式中除数不能含有字母。
单项式是由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如，5、a、2xy 等都是单项式。
多项式是由有限个单项式的代数和组成的代数式。
例如，2x ＋3y、a² 2ab ＋ b²等都是多项式。
二、整式的分类1、单项式系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
例如，单项式 5x的系数是 5。
次数：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
例如，单项式 3x²y 的次数是 3（2 ＋ 1 ＝ 3）。
2、多项式项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。
其中不含字母的项叫做常数项。
例如，多项式 2x²＋ 3x 1 中，2x²、3x、－1 是项，－1 是常数项。
次数：多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
例如，多项式 x³ 2x²＋ 5 中，次数最高项是 x³，次数为 3，所以这个多项式的次数是 3。
三、整式的运算1、整式的加减去括号法则：括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。
合并同类项：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
2、整式的乘法单项式乘以单项式：系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。
单项式乘以多项式：用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、整式的除法单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
整式的概念1
整式的概念1整式是由字母与常数通过有限次的加减乘除运算得出的式子，其中字母可以代表任何数。
它是代数表达式中的一种重要形式，广泛应用于代数运算、方程求解、函数的表示等领域。
整式的基本构成单元是单项式，即只含有一个字母的项。
单项式可以由常数、字母和它们的乘积组成。
例如，3x、-2y^2、7xy等均为单项式。
当单项式只含有常数的时候，它又被称为常数项。
整式由多个单项式通过加减运算连接而成，这些单项式的加减次序没有限制。
例如，3x^2-2xy+5是一个整式，它由三个单项式组成。
整式中的字母可以代表任何数。
字母在整式中的位置和指数决定了它们的含义和影响范围。
字母可以作为变量，在不同的运算中取不同的值，整式可以表示不同的数。
例如，如果x=2，那么3x^2-2xy+5就代表了一个具体的数。
整式的运算包括加法、减法、乘法和除法。
整式的加法和减法是指将同类项进行合并，同类项是指含有相同字母和相同指数的项。
例如，3x^2-2xy+5与4x^2+2xy-1进行加法运算时，可以先将它们的同类项合并，得到7x^2，然后合并常数项，得到4。
整式的乘法是指将每个单项式进行相乘并得到新的整式。
例如，(3x^2-2xy+5)(4x^2+2xy-1)可以通过分配律展开并合并同类项得到新的整式。
整式的除法则是指将一个整式除以另一个整式，得到一个商式和余式。
整式的重要性体现在它在代数运算、方程求解和函数的表示中的广泛应用。
整式可以表示多项式函数，多项式函数是由整式构成的函数。
多项式函数是数学中的基本函数之一，具有许多重要的性质和应用。
整式的运算可以帮助我们简化复杂的代数式，并利用代数的性质进行简化和计算。
整式的运算规则和性质可以帮助我们解决各种数学问题和实际应用问题。
在方程求解中，整式的运算是求解方程的基础。
通过对方程进行整式的加减运算和乘法运算，可以将方程化简为更简单的形式，从而更容易求解。
整式的除法可以用于判断方程的解的个数和求解方程的近似解。
完整版)整式知识点总结
完整版)整式知识点总结
整式知识点
一、基本概念:
代数式是由数或表示数的字母用基本的运算符号连接而成的式子。
单项式是数字与字母的积，也可以是单独的一个数或一个字母。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，而所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
多项式是几个单项式的和。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一般来说，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的次数。
整式是单项式和多项式的统称。
同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，几个常数项也是同类项。
合并同类项是把多项式中的同类项合并成一项的过程。
二、基本运算法则:
整式加减法法则是先去括号，然后合并同类项。
合并同类项法则是把系数相加，字母和字母指数不变。
同底数幂的乘法法则是底数不变，指数相加。
幂的乘法法则是指数相乘。
积的乘方的法则是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
平方差公式是两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
完全平方公式是两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。
单项式与多项式相乘的乘法法则是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式乘法法则是先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
添括号法则是如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。
同底数幂的除法法则是底数不变，指数相减。
第6讲 整式的基本概念 --基础班
第6讲 整式的概念⎧⎪⎨⎪⎩字母表示数整式的概念整式同类项 知识点1：字母表示数字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．1.用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“·”(点）表示．2.字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前．3.出现除式时，用分数表示．4.结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．5.系数是带分数时，带分数要化成假分数． 【典例】1.2015年双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a 元的服装以（45a ﹣20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该商店促销方法的是（ ） A. 将原价降低20元之后，再打8折 B. 将原价打8折之后，再降低20元 C. 将原价降低20元之后，再打2折 D. 将原价打2折之后，再降低20元【方法总结】根据四则运算法则，代数式（45a ﹣20）是先进行乘法运算后进行减法运算，对应到实际问题中即先对原价打八折再降低20元。
【随堂练习】1．（2019•大城县一模）下列赋予4m 实际意义的叙述中不正确的是（ ） A ．若葡萄的价格是4元/千克，则4m 表示买m 千克葡萄的金额 B ．若m 表示一个正方形的边长，则4m 表示这个正方形的周长C ．将一个小木块放在水平桌面上，若4表示小木块与桌面的接触面积，m 表示桌面受到的压强，则4m表示小木块对桌面的压力D．若4和m分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则4m表示这个两位数2．（2019春•秦淮区期末）关于代数式x+1的结果，下列说法一定正确的是（）A．比1大B．比1小C．比x大D．比x小3．（2020•顺平县一模）下列对代数式a﹣的描述，正确的是（）A．a与b的相反数的差B．a与b的差的倒数C．a与b的倒数的差D．a的相反数与b的差的倒数4．（2019秋•玉田县期末）下列各式中，符合代数式书写规则的是（）A．B．C．D．2y÷z 5．（2018秋•诸暨市期末）a、b、c、m都是有理数，且a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，那么b 与c的关系是（）A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．无法确定知识点2 整式1.数与字母的乘积是单项式，单独的一个数字或一个字母也是单项式．2. 几个单项式的和叫多项式．多项式中，每个单项式叫多项式的项；多项式含有几项，就把这个多项式叫做几项式；次数最高项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项．3.单项式和多形式统称为整式【典例】【题干】同时都含有字母a、b、c，且系数为1的7次单项式共有_____个【方法总结】单项式的次数是单项式各字母的指数之和，含有若干个字母并且每个字母的指数不确定时，确定单项式就需要通过分类讨论的思想逐个列举最终得出结果．2.下列说法正确的是（）A．﹣a是单项式，它的系数为1B．3x+3xy﹣3y2+5是一个多项式C．多项式x2﹣2xy+y2是单项式x2、2xy、y2的和D．如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数都不大于3【方法总结】１．单项式、多项式的项应包括数字、字母前面的符号，所以单项式前面有“―”时，系数应为负．２．判断某个代数式是单项式、多项式时，首先确定该代数式是整式．３．多项式的次数由多项式里次数最高项的次数决定．3.对于多项式2x2+25x3+x−13，按x的升幂排列正确的是（）A．−13+x+2x2+25x3B．x+2x2+25x3−13C．−13+25x3+2x2+xD．25x3+2x2+x−13【方法总结】给多项式按照字母的次数升幂降幂排列方法：1.列出每一项，系数要包含前面的符号；2.将每一项按照给定字母的次数按从高到低或者从低到高排序；3.最后将各项组合即可。
初一数学第六讲整式概念
学习过程一、复习预习上节课我们已经把整个有理数的章节学习完了，现在让我们一起回忆下在有理数这章中我们都学习了哪些内容1、有理数的概念及其分类2、相反数、数轴与绝对值的意义及运用3、有理数加、减、乘、除及乘方运算4、有理数运算中常用到的运算律及计算技巧5、科学记数法与近似数二、知识讲解1、做一做（1）某种瓜子的单价为16元/千克，则n千克需要 _____元；（16n）（2）小刚上学步行速度为5千米/小时,若小刚到学校的路程为s千米，则他上学需走________小时。
(5s ) （3）钢笔每支a 元，铅笔每枝支b 元，买2支钢笔和3支铅笔共需__________元。
(23a b +)在前面的研究中，出现了16n 、5s、23a b +等式子，我们称它们为代数式. 代数式：由数和字母用运算符号连接所成的式子. 注意：单独一个数或一个字母也是代数式. 2、代数式的规范写法（1）b a ⨯通常写作ab b a 或⋅； （2）aa 11通常写作÷ （3）数字通常写在字母前面;如：3a ⨯通常写作3a （4）带分数一般写成假分数.如：a a 56511通常写作⨯（5）所写代数式如果有单位，在写答案时，应带上单位，若是乘除关系，单位名称应写在式子后面，如12akg ，若是加减关系，式子必须用括号括起来，再写上单位名称，如()a b +h.3、列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母及运算符号表示出来，就是列代数式. 4、列代数式的步骤：（1）抓住关键词，理解其意义; （2）明确运算顺序;（3）概括原题，正确使用括号. 5、求代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式中给出的运算计算出的结果，叫做求代数式的值。
6、求代数式值的方法（1）直接求值法：先代入，即用数值代替代数式里的字母，后计算，即按代数式中的运算关系计算得出结果，运算时既要分清运算种类，又要注意运算顺序，代入时通常有两种情况，即单独代入和整体代入.（2）化简求值法：对于一些复杂的式子，不能直接代入求值时，要经过化简整理，才能求出代数式的值. 考点/易错点1代数式的特点：（1）代数式是用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子;一般来讲，这里的运算是指加，减，乘，除，乘方和开方 如，23a b +（2）单独的一个字母或一个数也是代数式;如，a ,-15,0（3）代数式中不含“=”、“>”、“<” 、“≠”等符号。
初中数学整式的概念及运算
初中数学整式的概念及运算初中数学整式的有关概念及运算初中数学知识点虽然很多，但都比较简单。
下面就来看看初中数学整式的有关概念及运算吧。
1、概念（1）单项式：像x、7、，这种数与字母的积叫做单项式。
单独一个数或字母也是单项式。
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。
单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。
（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
不含字母的项叫常数项。
升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的'指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。
（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
2、运算（1）整式的加减：合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。
去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。
添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。
整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。
（2）整式的乘除：幂的运算法则：其中m、n都是正整数同底数幂相乘：；同底数幂相除：；幂的乘方：积的乘方：。
单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
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第六讲 整式
一、单项式
1．单项式：
通过特征的描述，引导学生概括单项式的概念，从而引入课题：单项式，并板书归纳得出的单项式的概念，即由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。
然后教师补充，单独一个数或一个字母也是单项式，如a ，5。
2．练习：判断下列各代数式哪些是单项式？
(1)
2
1 x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2
； (7)－5。
(加强学生对不同形式的单项式的直观认识，同时利用练习中的单项式转入单项式的系数和次数的教学)
3．单项式系数和次数：
直接引导学生进一步观察单项式结构，总结出单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的。
以四个单项式
3
1a 2
h ，2πr ，a bc ，－m 为例，让学生说出它们的数字因数是什么，从而引入单项式系数的概念并板书，接着让学生说出以上几个单项式的字母因数是什么，各字母指数分别是多少，从而引入单项式次数的概念并板书。
4．例题：
例1：判断下列各代数式是否是单项式。
如不是，请说明理由；如是，请指出它的系数和次数。
①x ＋1； ②
x
1； ③πr 2
； ④－2
3a 2
b 。
答：①不是，因为原代数式中出现了加法运算；②不是，因为原代数式是1与x 的商；
③是，它的系数是π，次数是2； ④是，它的系数是－
2
3
，次数是3。
例2：下面各题的判断是否正确？
①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2
的次数是0＋3＋2； ④－a 3
的系数是－1； ⑤－32x 2y 3
的次数是7； ⑥3
1
πr 2
h 的系数是3
1。
通过其中的反例练习及例题，强调应注意以下几点： ①圆周率π是常数；
②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写，如x 2，－a 2
b 等； ③单项式次数只与字母指数有关。
5．游戏：
规则：一个小组学生说出一个单项式，然后指定另一个小组的学生回答他的系数和次数；然后交换，看两小组哪一组回答得快而准。
二、同类项
1．同类项的定义：
我们常常把具有相同特征的事物归为一类。
8x 2
y 与－x 2
y 可以归为一类，2xy 2
与－
3
2xy 可
以归为一类，－mn 2
、7mn 2
与0.4mn 2
可以归为一类，5a 与9a 可以归为一类，还有8
3、0与
9
5
也可以归为一类。
8x 2y 与－x 2
y 只有系数不同，各自所含的字母都是x 、y ，并且x 的指数都是2，y 的指数都是1；同样地，2xy 2
与－
3
2xy 也只有系数不同，各自所含的字母都是x 、y ，
并且x 的指数都是1，y 的指数都是2。
像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(simil a r terms)。
另外，所有的常数项都是同类项。
比如，前面提到的83、0与9
5也是同类项。
通过特征的讲述，选择所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项作为研究对象，并称它们为同类项。
(板书课题：同类项。
)
(教师为了让学生理解同类项概念，可设问同类项必须满足什么条件，让学生归纳总结。
) 板书由学生归纳总结得出的同类项概念以及所有的常数项都是同类项。
2．例题：
例1：判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。
(1)3x 与3mx 是同类项。
( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项。
( )
(3)3x 2
y 与－3
1yx 2是同类项。
( ) (4)5a b 2与－2a b 2
c 是同类项。
( ) (5)23
与32
是同类项。
( ) 三、多项式及多项式的次数
1．多项式：
板书由学生自己归纳得出的多项式概念。
上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。
像这样，几个单项式的和叫做多项式(polynomi a l)。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项(term)。
其中，不含字母的项，叫做常数项(const a nt term)。
例如，多项式
5232+-x x 有三项，它们是23x ，－2x ，5。
其中5是常数项。
一个多项式含有几项，就叫几项式。
多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。
例如，多项式5232
+-x x 是一个二次三项式。
注意：
(1)多项式的次数不是所有项的次数之和； (2)多项式的每一项都包括它前面的符号。
(教师介绍多项式的项和次数、以及常数项等概念，并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系，渗透类比的数学思想。
)
2．例题： 例1：判断：
①多项式a 3－a 2ｂ＋a b 2－b 3的项为a 3、a 2ｂ、a b 2、b 3
，次数为12；
②多项式3n 4－2n 2
＋1的次数为4，常数项为1。
(这两个判断能使学生清楚的理解多项式中项和次数的概念，第(1)题中第二、四项应为 －a 2b 、－b 3，而往往很多同学都认为是a 2b 和b 3
，不把符号包括在项中。
另外也有同学认为该多项式的次数为12，应注意：多项式的次数为最高次项的次数。
)
例2：指出下列多项式的项和次数：
(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2。
解：略。
例3：指出下列多项式是几次几项式。
(1)x 3－x ＋1； (2)x 3－2x 2y 2＋3y 2。
解：略。
例4：已知代数式3x n
－(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式，求m 、n 的条件。
解：略。
(让学生口答例2、例3，老师在黑板上规范书写格式。
讲述例2时应特别提醒学生注意，
多项式的项包括前面的符号，多项式的次数应为最高次项的次数。
在例3讲完后插入整式的定义：
单项式与多项式统称整式(integr a l expression)。
例4分析时要紧扣多项式的定义，培养学生的逆向思维，使学生透彻理解多项式的有关概念，培养他们应用新知识解决问题的能力。
)
练习题：
①填空：－4
5a 2
b －3
4a b ＋1是 次 项式，其中三次项系数是 ，二次项为 ，常数项为 ，写出所有的项 。
②已知代数式2x 2－mnx 2＋y 2
是关于字母x 、y 的三次三项式，求m 、n 的条件。