2021届高考数学苏教版一轮总复习38 一元二次不等式及其解法
2021届高考数学一轮必备 7.2《一元二次不等式及其解法》考情分析学案(1)
一元二次不等式及其解法考情分析1．会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型．2．考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题．3．以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题．基础知识1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左侧化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确信一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅1.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的解集的确信受a 的符号、b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有紧密联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．假设一元二次不等式通过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2，(x 1＜x 2)(现在Δ＝b 2－4ac ＞0)，那么可依照“大于取两边，小于夹中间”求解集．2.(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号阻碍不等式的解集；不要忘了二次项系数是不是为零的情形；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；假设不能因式分解，那么可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏． 题型一 一元二次不等式的解法【例1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x <1，若f (x 0)>1，那么x 0的取值范围是( )A. (－∞，－ 1)∪(1，＋∞)B. (－∞，－1)∪[1，＋∞)C. (－∞，－3)∪(1，＋∞)D. (－∞，－3)∪[1，＋∞) 答案：B解析：f (x 0)>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0<1，x 20－2x 0－2>1⇔x 0≥1，或x 0<－1.【变式1】 函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的概念域为________．解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋x －3≥0，3＋2x －x 2＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的概念域为[1,3)． 答案 [1,3)考向二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】7. 假设不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，那么a 的取值范围是________．答案：a ≥－5解析：由题意，分离参数后得，a ≥－(x ＋4x)，设f (x )＝－(x ＋4x)，x ∈(0,1]，那么只要a ≥[f (x )]max 即可，由于函数f (x )在(0,1]上单调递增，因此[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5. 【训练2】 解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0，即ax (ax －2)＜0， 当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0， 即0＜x ＜2a.当a ＜0时，2a＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜0.题型三 不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4a ＋2a －1＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－2，a －2a ＋3＞0，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2，因此a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．【变式3】 已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，a ＜－1，g －1≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]． 重难点冲破【例4】设函数f (x )＝(x －a )2ln x ，a ∈R . (1)假设x ＝e 为y ＝f (x )的极值点，求实数a ；(2)求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(0,3e]，恒有f (x )≤4e 2成立． 注：e 为自然对数的底数． [解析] (1)求导得f ′(x )＝2(x －a )ln x ＋x －a 2x＝(x －a )(2ln x ＋1－a x)．因为x ＝e 是f (x )的极值点，因此f ′(e)＝(e －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a e ＝0，解得a ＝e 或a ＝3e.经查验，符合题意，因此a ＝e 或a ＝3e(2)①当0＜x ≤1时，关于任意的实数a ，恒有f (x )≤0＜4e 2成立． ②当1＜x ≤3e 时，由题意，第一有f (3e)＝(3e －a )2ln(3e)≤4e 2， 解得3e －2e ln 3e≤a ≤3e＋2e ln 3e由(1)知f ′(x )＝x －a ⎝⎛⎭⎪⎫2ln x ＋1－a x .令h (x )＝2ln x ＋1－a x，那么h (1)＝1－a ＜0，h (a )＝2ln a ＞0，且h (3e)＝2ln(3e)＋1－a3e≥2 ln(3e)＋1－3e ＋2e ln 3e 3e＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 3e －13ln 3e ＞0.又h (x)在(0，＋∞)内单调递增，因此函数h (x )在(0，＋∞)内有唯一零点，记此零点为x 0，那么1＜x 0＜3e,1＜x 0＜a .从而，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(x 0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.即f (x )在(0，x 0)内单调递增，在(x 0，a )内单调递减，在(a ，＋∞)内单调递增． 因此要使f (x )≤4e 2对x ∈(1,3e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f x 0＝x 0－a 2ln x 0≤4e 2，1f 3e ＝3e －a 2ln 3e ≤4e 2，2成立．由h (x 0)＝2ln x 0＋1－ax 0＝0，知a ＝2x 0ln x 0＋x 0.(3)将(3)代入(1)得4x 20ln 3x 0≤4e 2.又x 0＞1，注意到函数x 2ln 3x 在(1，＋∞)内单调递增，故1＜x 0≤e.再由(3)和函数2x ln x ＋x 在(1，＋∞)内单调递增，可得1＜a ≤3e. 由(2)解得，3e －2e ln3e≤a ≤3e＋2e ln 3e.因此3e －2e ln 3e≤a ≤3e.综上，a 的取值范围为3e －2e ln 3e≤a ≤3e.巩固提高一、选择题1.已知集合M ＝{y |y ＝2x ，x >0}，N ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，那么M ∩N 为( ) A. (1,2) B. (1，＋∞) C. [2，＋∞) D. [1，＋∞)答案：A解析：集合M ＝{y |y >1}，集合N ＝{x |0<x <2}，因此M ∩N ＝(1,2)． 2. 不等式x 2－4>3|x |的解集是( )B. (－∞，－1)∪(4，＋∞)C. (－∞，－4)∪(1，＋∞)答案：A解析：∵|x |2－3|x |－4>0， ∴(|x |－4)(|x |＋1)>0，∴|x |>4，x >4或x <－4，选A 项．3. 在R 上概念运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．假设不等式(x －a )⊗(x －b )>0的解集是(2,3)，那么a ＋b ＝( )A. 1B. 2C. 4D. 8答案：C解析：(x －a )⊗(x －b )>0，即(x －a )[1－(x －b )]>0，即(x －a )[x －(b ＋1)]<0，该不等式的解集为[2,3]，说明方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.4.不等式x －2x 2－1<0的解集为( )A. {x |1<x <2}B. {x |x <2且x ≠1}C. {x |－1<x <2且x ≠1}D. {x |x <－1或1<x <2} 答案：D解析：(x －2)(x 2－1)<0， (x ＋1)(x －1)(x －2)<0，数轴标根可得，x <－1或1<x <2，应选D 项．5.已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，那么实数a 的取值范围是( ) A. a <－35或a >1B. －35<a <1C. －35<a ≤1或a ＝－1D. －35<a ≤1答案：D解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1<0，恒成立， 故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1<0，不恒成立， ∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1<0，Δ＝[－a －1]2＋4a 2－1<0. 解得－35<a <1. 综合①②③可知，a 的取值范围是－35<a ≤1.。
2021年高考数学(江苏版)一轮配套课件：§7.1 一元二次不等式 .ppt
方法 2 分式不等式的解法
解分式不等式的关键是先将给定不等式移项、通分,整理成一边为商
式,另一边为0的形式,再等价转化成整式不等式(组)的形式进行求解.
(1)
f g
((xx>))0⇔f(x)·g(x)>0;
(2) f (x≥) 0⇔
g(x)
f (x) g(x) 0, g(x) 0.
例2 不等式 1≤ 的1 解集为
解析 A={x|x2<4}={x|-2<x<2},
B= x
|=1
x
4={3x|-3<xx|<xx1}13.
0
(1)A∩B={x|-2<x<1}.
(2)因为2x2+ax+b<0的解集为B={x|-3<x<1},所以-3和1为方程2x2+ax+b=0
的两根.
故
b
2
a 2
3 1,
所以
31,
a 4, b 6.
•
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/142020/12/142020/12/142020/12/14
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
苏教版高中数学必修第一册3.3.2 第1课时 一元二次不等式及其解法【授课课件】
综上所述，当 a<0 时，原不等式的解集为xx<1a
或x>1；
第1课时 一元二次不等式及 其解法
1
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当 0<a<1 时，原不等式的解集为x1<x<1a
；
当 a＝1 时，原不等式的解集为∅；
第1课时 一元二次不等式及 其解法
[跟进训练]
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1．解下列不等式． (1)x2－4x＋4>0；
[解] 方程 x2－4x＋4＝0 有两个相同的解 x1＝x2＝2， 根据 y＝x2－4x＋4 的图象，可得原不等式的解集为{x|x≠2}．
．
第1课时 一元二次不等式及 其解法
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类型 2 含参数的一元二次不等式的解法 【例 2】 解关于 x 的不等式 ax2－(a＋1)x＋1<0．
[思路点拨] ①对于二次项的系数 a 是否分 a＝0，a<0，a>0 三 类进行讨论？②当 a≠0 时，是否还要比较两根的大小？
第1课时 一元二次不等式及 其解法
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(2)－x2＋2x－3<0；
[解] 不等式两边同乘以－1，得 x2－2x＋3>0， 方程 x2－2x＋3＝0 中 Δ<0，所以方程 x2－2x＋3＝0 无解． 根据 y＝x2－2x＋3 的图象，可得原不等式的解集为 R．
高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法
C.{x｜x＜－3或x＞1}
D.{x｜x＜－1或x＞3}
解析：C 根据题意，方程x2＋2x－3＝0有两个根，即－3和1，则x2＋2x－3＞0
的解集为{x｜x＜－3或x＞1}.
目录
1
1
2
3.若不等式ax ＋bx＋2＞0的解集为{x︱－ ＜x＜ }，则a－b＝
2
A.－10
B.－14
ax2＋bx＋c＞0（a
＞0）的解集
ax2＋bx＋c＜0（a
＞0）的解集
Δ＞0
{x｜x＜x1，或x＞x2}
{x｜x1＜x＜x2}
Δ＝0
Δ＜0
︱ ≠ −
2
R
⌀
⌀
目录
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.
（
）
答案：（1）×
（2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.
03
课时·过关检测
/目录
01
目录
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac
y＝ax2＋bx＋c（a＞
0）的图象
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
ax2＋bx＋c＝0（a
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数 没有实数
＞0）的根
x1，x2（x1＜x2）
根x1＝x2＝－
2
根
目录
判别式Δ＝b2－4ac
ቊ 2
⇔ቊ
⇔
(−3)(
+
2)
≤
高考江苏数学大一轮精准复习课件一元二次不等式
将一元二次不等式因式分解为两个一次多项式的乘积，然后根据不 等式的性质求解。
适用范围
适用于部分一元二次不等式，即可以因式分解的不等式。
注意事项
在因式分解时，需要注意符号问题和分解的彻底性。同时，对于不 能因式分解的不等式，需要采用其他方法进行求解。
03
一元二次不等式在实际问题中应用
区间内根存在性判断及根的个数判断
易错点一
忽视不等式性质，盲目去分母或去括号导致错 误。
01
易错点二
忽视特殊情况，如重根、无解等。
03
易错点三
对参数分类讨论不全或分类错误。
05
02
避免方法
在解题前，先明确不等式的性质，遵循等式 的运算法则进行操作。
04
避免方法
在解题过程中，要时刻关注特殊情况 的出现，对重根、无解等情况进行特 殊处理。
请教老师
遇到难题或不理解的概念时，及时向老师请教，获取专业的 指导和解答。
同学互助
与同学组建学习小组，共同讨论问题、分享学习心得，相互 帮助、共同进步。
谢谢您的聆听
THANKS
根的判别式
通过计算判别式Δ=b²-4ac，判断一元二次方程在实数范围内是否有解，从而推断出对 应的一元二次不等式在指定区间内是否有解。
区间端点函数值
通过计算区间端点处的函数值，结合一元二次函数的图像性质，可以判断函数在指定区 间内的符号变化，从而确定不等式在区间内的解的情况。
中值定理
利用中值定理，可以判断一元二次函数在指定区间内是否存在零点，从而推断出不等式 在区间内的解的情况。
解题思路梳理与总结
一元二次不等式的解法
01
通过因式分解、配方法或求根公式将不等式转化为一
高考数学一轮总复习 课时作业38 一元二次不等式及其解法(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试题
课时作业38 一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( B ) A ．[－1,4) B ．[0,5)C ．[1,4]D ．[－4，－1)∪[4,5)解析：由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．故选B. 2．不等式1－x2＋x ≥1的解集为( B )A.⎣⎡⎦⎤－2，－12 B.⎝⎛⎦⎤－2，－12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 解析：1－x 2＋x≥1⇔1－x 2＋x－1≥0⇔1－x －2－x 2＋x≥0⇔－2x －12＋x≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B.3．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( C ) A ．x ≥0 B ．x <0或x >2 C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥3或x ≤－12，由题意，选项中x 的X 围应该是上述解集的真子集，只有C 满足．故选C.4．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．5．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}解析：∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12，故选A.6．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值X 围为( A )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0]解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0.7．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值X 围为( B ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13)解析：m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.8．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值X 围是( C )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－1,3]D ．[－2,4]解析：因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅.要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或1>a ≥－1，所以实数a 的取值X 围是a ∈[－1,3]，故选C.二、填空题9．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值X 围是(－1,1)．解析：由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.10．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a . 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 11．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值X 围为[－5，＋∞)． 解析：由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x . 设f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]， 则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增， 所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.12．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值X 围是(1,5]．解析：设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ， 当Δ＝4(a －2)2－4a <0时，即1<a <4时，f (x )>0对x ∈R 恒成立； 当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意； 当a ＝4时，f (2)＝0，符合题意；当Δ>0时，由⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值X 围是(1,5]． 三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，某某数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值X 围．解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1，1]上为减函数， ∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10. ∴t 的取值X 围为(－∞，－10]．15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为9.解析：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. 因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24.所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22.又f (x )<c ，所以⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .所以⎩⎨⎧－a2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ②.②－①，得2c ＝6，所以c ＝9.16．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值X 围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值X 围是[0,1]． (2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－12，32.。
江苏高考数学理一轮复习课件7.1一元二次不等式及其解法
[方法总结] 解一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的一 般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号； (3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0， 则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不 等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三 项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集．
判别式 Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
有两相异实根 有两相等实根x1 b x1，x2(x1＜x2) ＝x2＝－ 2a
没有实数根 R __ __ ∅
{x|x＞x2 或x＜x1}
两个防范
(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的 解集，不要忘了二次项系数是否为零的情况；
(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再
对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别 式进行讨论，分类要不重不漏．
考点自测
1．(2012· 南京学情分析)若不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在
ab＝ ________.
解析 1 ∵－2， 是方程 ax2＋bx－2＝0 的两根， 4
－ 2 1 1 a ＝－2×4＝－2， ∴ －b＝－7， a 4
∴a＝4，b＝7.∴ab＝28.
答案
28
4．(2012· 南京模拟)已知A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x2＋2x＋
a≥0}，A、B的交集不是空集，则实数a的取值范围是 ________．
第1讲 一元二次不等式及其解法
考点梳理
1．一元二次不等式的求解步骤 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零 的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根．
2021高考数学苏教版一轮考点测试33 一元二次不等式及其解法
考点测试33 一元二次不等式及其解法高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中、低等难度考纲研读1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3．会解一元二次不等式一、基础小题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥32 答案 A解析 不等式可化为⎩⎨⎧4x (x －1)≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.故选A.2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <14，则ab ＝( )A ．－28B ．－26C ．28D ．26答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎨⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28. 3．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x ≤2B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2或x ≤13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x <2 D ．{x |x <2}答案 C 解析 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.4．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，－∞)B ．(－∞，－6]C ．[－6,2]D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)答案 D解析 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.5．若函数f (x )＝kx 2－6kx ＋k ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．{k |0＜k ≤1} B ．{k |k ＜0或k ＞1} C ．{k |0≤k ≤1} D ．{k |k ＞1} 答案 C解析 当k ＝0时，8＞0恒成立；当k ≠0时，只需⎩⎨⎧k ＞0，Δ≤0，即⎩⎨⎧k ＞0，36k 2－4k (k ＋8)≤0，则0＜k ≤1.综上，0≤k ≤1. 6．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2)答案 A解析 由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2， 即⎩⎨⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ② 由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)．故选A.7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( ) A ．1 B ．14C ．12D ．－1答案 C解析 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎨⎧f (－1)＝1－m －3m <0，f (1)＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m ≤12，所以m 的最大值为12.故选C.8．设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆[1,3]，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，115C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，115 D ．[－1,3]答案 A解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[1,3]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，f (1)≥0，f (3)≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，115，故选A.9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________． 答案 {x |0<x <2}解析 不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}．10．已知三个不等式：①x 2－4x ＋3<0，②x 2－6x ＋8<0，③2x 2－9x ＋m <0.要使同时满足①②的所有x 的值满足③，则实数m 的取值范围为________．答案 m ≤9解析 由①②得2<x <3，要使同时满足①②的所有x 的值满足③，即不等式2x 2－9x ＋m <0在x ∈(2,3)上恒成立，即m <－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上恒成立，又－2x 2＋9x 在x ∈(2,3)上大于9，所以实数m ≤9.11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值范围是________．答案 [45,80)解析 因为关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤ a 5<4，所以9≤a 5<16，即45≤a <80，所以实数a 的取值范围是[45,80)．12．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎨⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________． 答案 (a ，－a )解析 因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )．二、高考小题13．(2019·天津高考)设x ∈R ，使不等式3x 2＋x －2<0成立的x 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23 解析 3x 2＋x －2<0变形为(x ＋1)(3x －2)<0，解得－1<x <23，故使不等式成立的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23.14．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)． 答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.15．(经典江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0解析由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，等价于⎩⎨⎧f (m )＝2m 2－1<0，f (m ＋1)＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 16．(经典四川高考)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．三、模拟小题17．(2019·武汉二模)若a <b ，d <c ，并且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( )A ．d <a <c <bB ．a <d <c <bC ．a <d <b <cD ．d <c <a <b答案 A解析 因为a <b ，(c －a )(c －b )<0，所以a <c <b ，因为(d －a )(d －b )>0，所以d <a <b 或a <b <d ，又d <c ，所以d <a <b .综上，d <a <c <b .18．(2019·石家庄二中月考)在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 B解析 根据定义得x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以实数x 的取值范围为(－2,1)．故选B.19．(2019·山东实验中学诊断)不等式－x 2＋|x |＋2<0的解集是( ) A ．{x |－2<x <2} B ．{x |x <－2或x >2} C ．{x |－1<x <1} D ．{x |x <－1或x >1}答案 B解析 原不等式化为|x |2－|x |－2>0，所以(|x |－2)·(|x |＋1)>0.因为|x |＋1>0，所以|x |－2>0，即|x |>2，解得x <－2或x >2.故选B.20．(2019·鄂尔多斯第一中学模拟)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.154 B ．72 C ．52D ．152答案 C解析 因为x 2－2ax －8a 2<0(a >0)，所以(x ＋2a )·(x －4a )<0(a >0)，得－2a <x <4a .又x 2－x 1＝15，所以6a ＝15，解得a ＝52.故选C.21．(2019·新疆高三一模)已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋ax 1x 2的最大值是( )A.63 B ．233 C ．433 D ．－433答案 D解析 ∵不等式x 2－4ax ＋3a 2<0(a <0)的解集为(x 1，x 2)，∴在方程x 2－4ax ＋3a 2＝0中，由根与系数的关系知x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，则x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a .∵a <0，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋13a ≥2－4a ·－13a ＝433，即4a ＋13a ≤－433，故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值为－433.故选D.22．(2019·苏北四市、苏中三市三调)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ≤0，则不等式f (x )>f (－x )的解集为________．答案 (－2,0)∪(2，＋∞)解析 若x ≥0，则f (x )＝x 2－2x ，f (－x )＝－x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得x 2－2x >－x 2＋2x ⇒x >2，故x >2.若x <0，则f (x )＝－x 2－2x ，f (－x )＝x 2＋2x ，由f (x )>f (－x )得，－x 2－2x >x 2＋2x ⇒－2<x <0，故－2<x <0.综上，不等式f (x )>f (－x )的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·广州模拟)对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零， 所以⎩⎨⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．2．(2019·济南质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x .若对任意x ∈[a ，a ＋1]，恒有f (x ＋a )≥f (2x )成立，求实数a 的取值范围．解 因为函数f (x )是偶函数，故函数f (x )的图象关于y 轴对称，且在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．所以由f (x ＋a )≥f (2x )可得|x ＋a |≥2|x |在[a ，a ＋1]上恒成立， 从而(x ＋a )2≥4x 2在[a ，a ＋1]上恒成立， 化简得3x 2－2ax －a 2≤0在[a ，a ＋1]上恒成立， 设h (x )＝3x 2－2ax －a 2，则有⎩⎨⎧h (a )＝0≤0，h (a ＋1)＝4a ＋3≤0，解得a ≤－34.故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34.3．(2019·沈阳八校联考)已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)＞0.(1)若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，求实数a 的值；(2)若a ∈R ，解这个关于x 的不等式．解 (1)∵不等式(ax －1)(x ＋1)＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜－12，∴方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根是－1，－12； ∴－12a －1＝0，∴a ＝－2. (2)∵(ax －1)(x ＋1)＞0，∴当a ＜0时，不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＜0.若a ＜－1，则1a ＞－1，解得－1＜x ＜1a ； 若a ＝－1，则1a ＝－1，不等式的解集为∅； 若－1＜a ＜0，则1a ＜－1，解得1a ＜x ＜－1； 当a ＝0时，不等式为－(x ＋1)＞0，解得x ＜－1. 当a ＞0时，不等式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x ＋1)＞0，∵1a ＞－1，∴解不等式得x ＜－1或x ＞1a .综上，当a ＜－1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＜x ＜1a ；当a ＝－1时，不等式的解集为∅； 当－1＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a ＜x ＜－1； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＜－1}； 当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞1a . 4．(2019·河北正定中学月考)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.解 (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1,1]恒成立，设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1,1]， ①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1)＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，实数a 的取值范围为(1－2，＋∞)． (2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0， 即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0，因为a <0，所以(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a ＋1a <0， 因为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a ＝2a ＋1a ， 所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |1<x <－a ＋1a ； 当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解； 当a <－12时，1>－a ＋1a ，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－a ＋1a <x <1. 5．(2019·天津河东一模)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )． 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0. 当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，，因为a>0，且0<x<m<n<1a 所以x－m<0,1－an＋ax>0. 所以f(x)－m<0，即f(x)<m.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课件：第一章 1.5 一元二次不等式及其解法
基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.
(× ) (3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )
拓展视野 一元二次方程根的分布情况
设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1<x2，相应的 二次函数为f (x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐 标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件). 表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)
题型二 多维探究 一元二次不等式恒成立问题
命题点1 在R上的恒成立问题 例3 已知函数f (x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f (x)<0恒成立，求实数m的取 值范围.
解 当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立. 当 m≠0 时，则mΔ＝<0m，2＋4m<0， 即－4<m<0. 综上，－4<m≤0，故m的取值范围是(－4,0].
命题点2 在给定区间上的恒成立问题 例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数 m的取值范围.
解 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即 mx－122＋34m－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法： 方法一 令 g(x)＝mx－212＋43m－6，x∈[1,3].
苏教版3.2.1一元二次不等式及其解法
01
02
03
金融领域
一元二次不等式可以用于 金融建模，例如计算投资 组合的预期收益和风险。
物理学
在物理学中，一元二次不 等式可以用于解决与二次 函数相关的物理问题，例 如物体运动、振动等。
经济学
在经济学中，一元二次不 等式可以用于研究商品价 格、需求和供给之间的关 系。
在数学问题中的应用
代数问题
一元二次不等式是代数知 识的重要组成部分，可以 用于解决代数方程的根的 问题。
因式分解法
适用范围
适用于可以因式分解的一元二 次不等式。
步骤
将一元二次不等式转化为两个 一次因式的乘积形式，然后分 别解这两个一次不等式，最后 取两个不等式的解集的交集或 并集。
注意事项
在因式分解过程中，需要注意 因式分解的正确性，以及不等 式的符号方向。
03
一元二次不等式的应用
在实际生活中的应用
04
一元二次不等式的扩展知识
一元二次不等式的判别式
判别式的定义
判别式的应用
一元二次不等式的判别式Δ = b² 4ac，用于判断不等式的解的情况。
在求解一元二次不等式时，首先需要 计算判别式，然后根据判别式的值选 择合适的解法。
判别式的意义
根据判别式的值，可以判断不等式的 解的个数和性质，从而确定不等式的 解集。
一元二次不等式的根的性质
根的定义
一元二次不等式的根是指使不等 式成立的未知数的值。
根的性质
一元二次不等式的根具有一些重要 的性质，如对称性、实数根的个数 等。
根的应用
在求解一元二次不等式时，可以通 过分析根的性质来确定不等式的解 集。
一元二次不等式的解法技巧
因式分解法
2021年高中数学一轮复习·不等式与一元二次不等式：第5节 一元二次不等式的解法
【典例讲解】
例 1、求下列不等式的解集： (1)－x2＋8x－3>0； (2)ax2－(a＋1)x＋1<0. 【解析】(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，
所以方程－x2＋8x－3＝0 有两个不相等的实根 x1＝4－ 13，x2＝4＋ 13. 又二次函数 y＝－x2＋8x－3 的图象开口向下，
为减函数，在
3
且，
，
又因为函数 是偶函数，所以
所以，由
得：
5、 是( )
是不等式
，所以当
时，有
；
在上的解集为
,故选 C．
成立的一个充分不必要条件,则实数 的取值范围
【答案】D
【练习巩固】 1、 求不等式
的解集.
2、求下列不等式的解集.
（1）
； （2）
.
3、求不等式
的解集.
小结：解一元二次不等式的步骤：（1）将原不等式化为一般式.（2）判断 的符号.（3） 求方程的根.（4）根据图象写解集.
4、 求不等式
的解集.
5. 已知方程
的两根为 ，且
，若 ，则不等式
的
解为（ ）.
A．R
B．
C．
或
D．无解
6. 关于 x 的不等式
的解集是全体实数的条件是（ ）.
A．
B．
C．
D．
7. 在下列不等式中，解集是 的是（
A．
B．
C．
D．
8. 不等式
的解集是
9.
的定义域为
10、求下列不等式的解集
）.
. .
4
（1）
【变式探究】
(1)若不等式 ax2＋bx＋2>0 的解为－1<x<1，则不等式 2x2＋bx＋a<0 的解集是________． 23
2021届高考数学苏教版一轮总复习：6-2 一元二次不等式及其解法
ax2＋bx＋c<0 {x|x1<x<x2}
∅
(a>0)的解集
Δ<0Leabharlann 没有实数根R∅
1.(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0，x∈R)恒成立”的充要条件是 “a>0 且 b2－4ac<0”．
(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0 且 b2－ 4ac<0”．
2．(1)对于不等式 ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记讨论 a＝0 时的 情形．
的值为( B )
A．1
B．－14
C．4
D．－12
(4)若函数 y＝ mx2－1－mx＋m的定义域为 R，则 m 的取值范围
是 m≥13 .
(5)不等式 x2＋ax＋4<0 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是
(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
解析：(1)A＝{x|x≤2}，B＝{x|－2<x<3}， 所以 A∩B＝{x|－2<x≤2}＝(－2,2]．
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
判别式 Δ>0
Δ＝b2－4ac
Δ＝0
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
两个相异实根 x1，x2 (x1<x2)
有两个相等实根 x1＝x2＝－2ba
ax2＋bx＋c>0 {x|x<x1 或 x>x2}
(a>0)的解集
{x|x≠x1}
3．会解一元二次不等式，对 义域的求解、用导数求单调区
给定的一元二次不等式，会 间等问题结合在一起进行考
设计求解的程序框图.
2021高考江苏版(理)数学一轮复习讲义： 第3章 第13课 一元二次不等式及其解法
第13课一元二次不等式及其解法[最新考纲]内容要求A B C一元二次不等式√一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)不等式ax2＋x－1>0一定是一元二次不等式．()(2)不等式x－2x＋1≤0⇔(x－2)(x＋1)≤0.()(3)假设不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，那么方程ax2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) (－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]3．(教材改编)假设关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，那么a 的取值范围为________．(－1,1) [令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，由题意可知f (0)＝a 2－1<0，即－1<a <1.] 4．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .假设不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，那么实数a 的最大值为__________．32 [原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立， x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，解得－12≤a ≤32.]5．(2021·宿迁模拟)不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，那么不等式x 2－bx －a <0的解集是________．(2,3) [由不等式ax 2－bx －1≥0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13可知 ，a <0且－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.∴由x 2－5x ＋6<0得2<xx 2－bx－a <0的解集为(2,3)．]一元二次不等式的解法解以下不等式： (1)3＋2x －x 2≥0； (2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解] (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．[迁移探究] 将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集． [解] 假设a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 假设a <0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a 或x >1.假设a >0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a <x <1；③当0<a <1时，1a >1，解 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a . 综上所述：当a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. [规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数．(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法． (3)写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中假设含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．[变式训练1] 解关于x 的不等式kx 2－2x ＋k ＜0(k ∈R ). 【导学号：62172074】 [解] ①当k ＝0时，不等式的解为x ＞0.②当k ＞0时，假设Δ＝4－4k 2＞0，即0＜k ＜1时，不等式的解为1－1－k 2k＜x ＜1＋1－k 2k；假设Δ≤0，即k ≥1时，不等式无解． ③当k ＜0时，假设Δ＝4－4k 2＞0， 即－1＜k ＜0时，x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k； 假设Δ＜0，即k ＜－1时，不等式的解集为R ； 假设Δ＝0，即k ＝－1时，不等式的解为x ≠－1.综上所述，k ≥1时，不等式的解集为∅； 0＜k ＜1时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－1－k 2k ＜x ＜1＋1－k 2k ； k ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞0}； 当－1＜k ＜0时，不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1＋1－k 2k 或x ＞1－1－k 2k ； k ＝－1时，不等式的解集为{x |x ≠－1}； k ＜－1时，不等式的解集为R .一元二次不等式恒成立问题☞角度1 形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，那么实数a的取值范围是__________．(－2,2] [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立， 当a ≠2时，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <2，－2<a <2，∴－2<a <2. 综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．] ☞角度2 形如f (x )≥0()x ∈[a ，b ]求参数的范围设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. 【导学号：62172075】[解] 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. ☞角度3 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，那么x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3} [x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立， 即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.][规律方法] 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．2．对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用别离参数法求最值．[思想与方法]1．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎨⎧a <0，Δ<0.2．“三个二次〞的关系是解一元二次不等式的理论根底，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．3．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进展分类讨论；假设不能因式分解，那么可对判别式进展分类讨论，分类要不重不漏．[易错与防范]1．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 2．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，防止盲目讨论． 4．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．课时分层训练(十三)A 组 根底达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 [－2x 2＋x ＋1>0，即2x 2－x －1<0，(2x ＋1)(x －1)<0，解得－12<x <1，∴不等式－2x 2＋x ＋1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.]2．假设集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，那么实数a 的值的集合是________.【导学号：62172076】{a |0≤a ≤4} [由题意知a ＝0时，满足条件，a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.]3．关于x 的不等式ax －1x ＋1<0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >－12，那么实数a ＝________.－2 [不等式ax －1x ＋1<0等价于(ax －1)(x ＋1)<0，由题意可知x ＝－1及x ＝－12是方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两个实数根，∴1a ＝－12，即a ＝－2.]4．假设关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，那么a ＝________.52[由x 2－2ax －8a 2<0， 得(x ＋2a )(x －4a )<0，因a >0， 所以不等式的解集为(－2a,4a )， 即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15， 得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.]5．不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围为________．[－1,4] [令f (x )＝x 2－2x ＋5，那么f (x )＝(x －1)2＋4≥4， 由a 2－3a ≤4得－1≤a ≤4.]6．假设不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，那么m 的取值范围是__________．[0,1) [①当m ＝0时，1>0显然成立；②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1，由①②知0≤m <1.]7．(2021·苏北四市摸底考试)函数f (x )＝－x 2＋2x ，那么不等式f (log 2x )<f (2)的解集为________．(0,1)∪(4，＋∞) [由f (log 2x )<f (2)可得 －(log 2x )2＋2log 2x <－4＋4， ∴log 2x (2－log 2x )<0， ∴log 2x >2或log 2x <0， ∴x >4或0<x <1，即不等式f (log 2x )2<f (2)的解集为(0,1)∪(4，＋∞)．] 8．(2021·南京、盐城二模)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1， x ≤0，－(x －1)2，x >0，那么不等式f (x )≥－1的解集是__________. 【导学号：62172077】[－4,2] [不等式f (x )≥－1⇔⎩⎨⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0<x ≤2，故不等式f (x )≥－1的解集是[－4,2]．]9．一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，那么f (e x )>0的解集为________．{x |x <－ln 3} [设－1和13是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个实数根， ∴a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23，b ＝－1×13＝－13. ∵一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x <－1或x >13，∴f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23x －13＝－x 2－23x ＋13， ∴f (x )>0的解集为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13. 不等式f (e x )>0可化为－1<e x <13.解得x <ln 13，∴x <－ln 3，即f (e x )>0的解集为{x |x <－ln 3}．]10．函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，当x ∈[－1,1]时，f (x )>0恒成立，那么b 的取值范围是________．b <－1或b >2 [由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，那么有a 2＝1，故a ＝2.由f (x )的图象可知f (x )在[－1,1]上为增函数．∵x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，令b 2－b －2>0，解得b <－1或b >2.]二、解答题11．函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R .(1)求a 的取值范围；(2)假设函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0.【导学号：62172078】[解] (1)由题意可知ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立．①当a ＝0时，符合题意，②当a ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－4a ≤0，即0<a ≤1. 综上所述，实数a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )min ＝22，∴ax 2＋2ax ＋1的最小值为12.即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －4a 24a ＝12，a >0，解得a ＝12. ∴不等式x 2－x －34<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <32. 12．(2021·启东中学高三第一次月考)命题∃x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，假设x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．[解] (1)由x 2－x －m ＝0可得m ＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14. ∵－1<x <1，∴－14≤m <2，∴M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ －14≤m <2. (2)假设x ∈N 是x ∈M 的必要条件，那么M ⊆N ，①当a >2－a ，即a >1时，N ＝{x |2－a <x <a }，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a <－14，a ≥2，a >1，即a >94.②当a <2－a ，即a <1时，N ＝{x |a <x <2－a }，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a <1，a <－14，即a <－14，2－a ≥2，③当a ＝2－a ，即a ＝1时，N ＝∅，不合题意．综上可得a <－14或a >94.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．假设关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，那么实数a 的取值范围是________．(－∞，－2) [不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，∴g (x )<g (4)＝－2，∴a <－2.]2．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )，假设不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，那么实数y 的取值范围是__________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [由题意知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.]3．(2021·南通第一次学情检测)二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋2.(1)假设不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，求a 和b 的值；(2)假设b ＝2a ＋1，对任意a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，f (x )>0恒成立，求x 的取值范围． [解] (1)因为不等式f (x )>0的解集为{x |x >2或x <1}，所以与之对应的二次方程ax 2－bx ＋2＝0的两个根为1和2，由韦达定理，得a ＝1，b ＝3.(2)令g (a )＝a ()x 2－2x －x ＋2，那么⎩⎨⎧ g (1)>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，解得x >2或x <1. 故实数x 的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞)．4．函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R .(1)假设a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．[解] (1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2.(2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立〞只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立〞．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，那么只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34，那么a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。
高考数学大一轮复习 第二节 一元二次不等式及其解法课件 理 苏教版
[典例] 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到 7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算， 该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格 的差成反比，比例系数为k.该商品的成本价为3元/件．
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1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两
个常用结论 (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔
a＝b＝0， c>0，
或a>0， Δ<0.
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔
a＝b＝0， c<0，
或a<0， Δ<0.
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2．分类讨论思想 解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根 的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分 类讨论，分类要不重不漏．
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角度三 形如 f(x)≥0(参数 m∈[a，b])确定 x 的范围
3．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒 大于零，求x的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4. 由题意知在[－1,1]上，g(a)的值恒大于零， ∴gg－1＝1＝ x－x－2＋2× x2－－4x1＋＋4x>20－，4x＋4>0， 解得x<1或x>3. 故当x<1或x>3时，对任意的a∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
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[类题通法] 构建不等式模型解决实际问题
高考数学一轮复习知识点与练习一元二次不等式及其解法
有两个相等实根 x 1＝x 2＝－2a(－∞，－ )∪(－ ，＋∞)x (x 1，x 2)∅1．“三个二次”的关系判别式 Δ＝b 2－4ac二次函数 y ＝ax 2＋bx＋c (a >0)的图象Δ>0 Δ＝0 Δ<0一元二次方程 ax 2＋bx＋c ＝0(a >0)的根有两个相异实根 x 1， x 2(x 1<x 2)b 没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集(－∞， 1)∪(x 2，＋∞) b b2a 2aRax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集∅2.(x －a )(x －b )>0 或(x －a )(x －b )<0 型不等式的解法不等式a <b解集a ＝ba >b(x －a )·(x －b )>0(x －a ) (x －b )<0{x |x <a 或 x >b }{x |a <x <b } {x |x ≠a }{x |x <b 或 x >a }{x |b <x <a }口诀：大于取两边，小于取中间．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式 ax 2＋bx ＋c <0 的解集为(x 1，x 2)，则必有 a >0.()x ＋1 3．已知不等式 ax 2－bx －1≥0 的解集是 ⎢ - ,- ⎥ ，则不等式 x 2－bx －a <0 的解集是________________．x －2(2)不等式 ≤0 的解集是[－1,2]．()(3)若不等式 ax 2＋bx ＋c >0 的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 的两个根是 x 1 和x 2.( ) (4)若方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式 ax 2＋bx ＋c >0 的解集为 R .()(5)不等式 ax 2＋bx ＋c ≤0 在 R 上恒成立的条件是 a <0 且 Δ＝b 2－4ac ≤0.()1．(教材改编)不等式 x 2－3x －10>0 的解集是________．2．设集合 M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则 M ∩N ＝________.⎡ 1 1 ⎤ ⎣ 23 ⎦4．(教材改编)若关于 x 的不等式 m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数 m 的值为________．5．(教材改编)若关于 x 的方程 x 2＋ax ＋a 2－1＝0 有一正根和一负根，则 a 的取值范围为________．题型一 一元二次不等式的求解命题点 1 不含参的不等式例 1 求不等式－2x 2＋x ＋3<0 的解集．命题点 2 含参不等式例 3(1)若一元二次不等式 2kx 2＋kx － <0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为________．，例 2 解关于 x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0.引申探究将原不等式改为 ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．求不等式 12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点 1 在 R 上恒成立38(2)设 a 为常数， x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则 a 的取值范围是________．命题点 2 在给定区间上恒成立例 4 设函数 f (x )＝mx 2－mx －1.若对于 x ∈[1,3] f (x )<－m ＋5 恒成立，求 m 的取值范围．出商品数量就增加 x 成．要求售价不能低于成本价．命题点 3 给定参数范围的恒成立问题例 5 对任意的 k ∈[－1,1]，函数 f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则 x 的取值范围是_______．思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(1)若不等式 x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为__________．(2)已知函数 f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意 x ∈[m ，m ＋1]，都有 f (x )<0 成立，则实数 m 的取值范围是________．题型三 一元二次不等式的应用例 6 某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件．若售价降低 x 成(1 成＝10%)，售85(1)设该商店一天的营业额为 y ，试求 y 与 x 之间的函数关系式 y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围．思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(2)已知函数 f (x )＝ ，若对任意 x ∈[1，＋∞)，f (x )>0 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．b(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为 10 万元/辆，出厂价为 12 万元/辆，年销售量为10 000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为 x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？14．转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数 f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ， ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于 x 的不等式 f (x )<c 的解集为(m ， m ＋6)，则实数 c 的值为________．x 2＋2x ＋a x思维点拨 (1)考虑“三个二次”间的关系；(2)将恒成立问题转化为最值问题求解．温馨提醒 (1)本题的解法充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为 a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．(2)注意函数 f (x )的值域为[0，＋∞)与 f (x )≥0 的区别．[方法与技巧]1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把 a <0 时的情形转化为 a >0 时的情形．2．f (x )>0 的解集即为函数 y ＝f (x )的图象在 x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．7．若 0<a <1，则不等式(a －x )(x － )>0 的解集是________________．8．已知关于 x 的不等式 <0 的解集是 ⎨ x x < -1或x > - ⎬ ，则实数 a ＝__________.9．设 f (x )是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f (1)>1，f (2)＝ ，则实数 a 的取值范围是________．⎩ ⎩3．简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解．[失误与防范]1．对于不等式 ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论 a ＝0 时的情形．2．当 Δ<0 时，ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)的解集为 R 还是 ，要注意区别． 3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．A 组 专项基础训练(时间：30 分钟)1．不等式(x －1)(2－x )≥0 的解集为____________．⎧⎪x ＋2，x ≤0， 2．已知函数 f (x )＝⎨则不等式 f (x )≥x 2 的解集为________． ⎪－x ＋2， x >0，3．若集合 A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝ ，则实数 a 的取值范围是____________．4．已知不等式 x 2－2x －3<0 的解集是 A ，不等式 x 2＋x －6<0 的解集是 B ，不等式 x 2＋ax ＋b <0 的解集是 A ∩B ，那么 a ＋b ＝________.5．设 a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则 a ∶b ∶c ＝________.6．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1 有唯一解，则 a 的值为__________．1aax －1⎧ 1 ⎫ x ＋1 2 ⎭2a －3a ＋110．设二次函数 f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数 F (x )＝f (x )－x 的两个零点为 m ，n (m <n )．(1)若 m ＝－1，n ＝2，求不等式 F (x )>0 的解集；(2)若 a >0，且 0<x <m <n < ，比较 f (x )与 m 的大小．14．设函数 f (x )＝x 2－1，对任意 x ∈[ ，＋∞)，f ( )－4m 2· f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数 m 的取值 b1aB 组 专项能力提升(时间：20 分钟)11．已知函数 f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式 f (x )>0 的解集是(－1,3)，则不等式 f (－2x )<0 的解集是___________．12．若关于 x 的不等式 x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且 x 2－x 1＝15，则 a ＝________.13．已知函数 f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ， ∈R )，对任意实数 x 都有 f (1－x )＝f (1＋x )成立，当 x ∈ [－1,1]时，f (x )>0 恒成立，则 b 的取值范围是________．3 x2 m范围是________________．15．求使不等式 x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1 恒成立的 x 的取值范围．。
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课时作业38 一元二次不等式及其解法一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( B )A ．[－1,4)B ．[0,5)C ．[1,4]D ．[－4，－1)∪[4,5)解析：由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．故选B.2．不等式1－x2＋x ≥1的解集为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎝⎛⎦⎥⎤－2，－12C ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析：1－x 2＋x ≥1⇔1－x 2＋x －1≥0⇔1－x －2－x 2＋x ≥0⇔－2x －12＋x≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x ＋1)(x ＋2)≤0，x ＋2≠0 ⇔－2<x ≤－12.故选B.3．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( C )A ．x ≥0B ．x <0或x >2C ．x ∈{－1,3,5}D ．x ≤－12或x ≥3解析：不等式2x 2－5x －3≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≥3或x ≤－12，由题意，选项中x 的范围应该是上述解集的真子集，只有C 满足．故选C.4．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求不等式的解集是(－1,3)．5．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}解析：∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >12，故选A.6．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k的取值范围为( A )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0]解析：由题意可得⎩⎨⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0.7．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( B )A ．(13，＋∞)B ．(5，＋∞)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，13)解析：m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.8．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是( C )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－1,3]D ．[－2,4]解析：因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅.要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或1>a ≥－1，所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]，故选C.二、填空题9．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是(－1,1)．解析：由题意知k 2＋1＋k 2<3，化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1，所以－1<k <1.10．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a .解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .11．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为[－5，＋∞)．解析：由题意，分离参数后得，a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x . 设f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]，则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增， 所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.12．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是(1,5]．解析：设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ， 当Δ＝4(a －2)2－4a <0时，即1<a <4时，f (x )>0对x ∈R 恒成立； 当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意； 当a ＝4时，f (2)＝0，符合题意；当Δ>0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，1<a －2<5，f (1)≥0，f (5)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5. 综上所述，实数a 的取值范围是(1,5]． 三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0，即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)． (1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意的x ∈[－1,1]，不等式f (x )＋t ≤2恒成立，求t 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝5，c2＝0，∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)对任意的x ∈[－1,1]，f (x )＋t ≤2恒成立等价于对任意的x ∈[－1,1]，2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2的最大值小于或等于0. 设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，则由二次函数的图象可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1，1]上为减函数，∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10. ∴t 的取值范围为(－∞，－10]．15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为9.解析：由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24.因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a 24＝0，即b ＝a 24. 所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22.又f (x )<c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22<c ，即－a 2－c <x <－a2＋c . 所以⎩⎪⎨⎪⎧－a 2－c ＝m ①，－a2＋c ＝m ＋6 ②.②－①，得2c ＝6，所以c ＝9.16．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，需满足题意，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ， 由题意及(1)可知0<a ≤1， ∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12，∴不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。