高考数学二轮复习球体问题之圆锥圆柱模型
高中立体几何 第02讲_圆柱、圆锥、圆台
圆柱、圆锥、圆台、球
一、概念
（1）旋转体、轴、母线、高、底面、侧面
（2）球心、半径、直径、大圆、小圆、球面距离
例1.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比为1：4，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．
例2.某平面截一个半径为5的球体，若横截圆面的面积为16π，求球心与截面圆心连线的长度．
例3.我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度（单位：km，地球半径约为6370km，结果保留4位有效数字）．
例4.在北纬45︒圈上有A，B两点，设该纬度圈上,A B
R（R为地球半径），求A，
B两点间的球面距离．
例5.如图，在圆锥SO中，其母线长为2，底面半径为1
2
，一只虫子从底面圆周上一点A出发沿圆锥
表面爬行一周后又回到A点，则这只虫子所爬过的最短路程是多少？
投影、斜二测画法、直观图
概念：正投影、中心投影、平行投影、斜二测画法、直观图
例6.两条相交直线的平行投影可能是（）
A．两条相交直线B．一条直线
C．一条折线D．两条相交直线或一条直线
例7.用斜二测画法画出底面在xOy平面，底面有一个顶点在x轴上，等于底面边长且位于z轴非负半轴上的正三棱锥的直观图．
例8.一个直角三角形的面积为1，求用斜二测画法得到的它的直观图的面积．。
2020高二数学立体几何之圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积含答案(新高考)
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 一、知识梳理知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S 底＝侧面积：S 侧＝ 表面积：S ＝ 圆锥底面积：S 底＝侧面积：S 侧＝ 表面积：S ＝圆台上底面面积：S 上底＝下底面面积：S 下底＝ 侧面积：S 侧＝ 表面积：S ＝知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积几何体 体积 说明圆柱V 圆柱＝Sh ＝πr 2h圆柱底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆锥V 圆锥＝13Sh ＝13πr 2h圆锥底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h圆台V 圆台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h＝13π(r 2＋rr ′＋r ′2)h 圆台上底面圆的半径为r ′，面积为S ′，下底面圆的半径为r ，面积为S ，高为h知识点三 球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径).2.球的体积公式V ＝43πR 3.二、例题精讲圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶ 3 C.1∶ 5 D.3∶2(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )变式 圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A.4πS B.2πS C.πS D.233πS二、圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3D.192π cm 3(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3 C.64π D.1282π变式 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为_____.三、球的表面积和体积例3 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积；(2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.三、课堂反馈1.直径为6的球的表面积和体积分别是( )A.36π，144πB.36π，36πC.144π，36πD.144π，144π2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A.1＋2π2π B.1＋2π4π C.1＋2ππ D.1＋4π2π3.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240°4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.5.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为________. 四、课后作业1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.122.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3 B.4∶9 C.2∶ 3 D.8∶273.将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32π cm 2 B.32π cm 2 C.32 cm 2 D.16πcm 2 4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3C.22πD.42π5.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶ 3B.1∶3C.1∶3 3D.1∶97.一平面截一球得到直径为6 m的圆面，球心到这个平面的距离为4 m，则球的体积为__ m3.8.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________.9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.10.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.11.如上右图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.12.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.*13.已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积. 知识点一 圆柱、圆锥、圆台的表面积知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积知识点三 球的表面积和体积公式 1.球的表面积公式S ＝4πR 2(R 为球的半径). 2.球的体积公式V ＝43πR 3.一、圆柱、圆锥、圆台的表面积例1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( ) A.1∶2 B.1∶ 3 C.1∶ 5 D.3∶2 答案 C解析 设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝5r ，∴S 侧＝πrl ＝5πr 2，S 底＝πr 2，S 底∶S 侧＝1∶ 5.(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( ) A.7 B.6 C.5 D.3 答案 A解析 设圆台较小底面的半径为r ，则另一底面的半径为3r . 由S 侧＝3π(r ＋3r )＝84π，解得r ＝7.反思感悟 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.跟踪训练1 圆柱的一个底面积是S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )A.4πSB.2πSC.πSD.233πS答案 A解析 设底面半径为r ，则πr 2＝S ， ∴r ＝S π， ∴底面周长为2πr ＝2πS π， 又侧面展开图为一个正方形， ∴侧面积是⎝⎛⎭⎫2πS π2＝4πS .二、圆柱、圆锥、圆台的体积例2 (1)(多选)圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积可能是( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3 D.192π cm 3答案 AB解析 当圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π2×8＝288π(cm 3)，当圆柱的高为12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π2×12＝192π(cm 3). (2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是( ) A.64π3 B.128π3 C.64π D.1282π 答案 A解析 作圆锥的轴截面，如图所示：由题意知，在△P AB 中，∠APB ＝90°，P A ＝PB . 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则h ＝r ，PB ＝2r .由S 侧＝π·r ·PB ＝162π，得2πr 2＝162π，所以r ＝4.则h ＝4. 故圆锥的体积V 圆锥＝13πr 2h ＝643π.反思感悟 求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面，准确求出几何体的高和底面积.跟踪训练2 已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________. 答案 224π解析 设上底面半径为r ，则下底面半径为4r ，高为4r ，如图.∵母线长为10，∴102＝(4r )2＋(4r －r )2，解得r ＝2. ∴下底面半径R ＝8，高h ＝8， ∴V 圆台＝13π(r 2＋rR ＋R 2)h ＝224π.三、球的表面积和体积例3 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为5003π，求它的表面积.解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2＝64π，解得R ＝4， 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43＝2563π.(2)设球的半径为R ，则43πR 3＝5003π，解得R ＝5，所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52＝100π.反思感悟 计算球的表面积和体积的关键是确定球的半径. 跟踪训练3 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) A.64π B.64π3 C.32π D.32π3答案 D解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝43πR 3＝323π.1.直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A.36π，144π B.36π，36π C.144π，36π D.144π，144π答案 B2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( ) A.1＋2π2πB.1＋2π4πC.1＋2ππD.1＋4π2π答案 A解析 设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，由题意得h ＝2πr ，∴圆柱的表面积S 表＝2πr 2＋2πr ×h ＝2πr 2＋2πr ×2πr ＝2πr 2·(1＋2π)，圆柱的侧面积S 侧＝2πr ×h ＝2πr ×2πr ＝4π2r 2，故S 表S 侧＝2πr 2(1＋2π)4π2r 2＝1＋2π2π.3.圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( ) A.120° B.150° C.180° D.240° 答案 C解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ， S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧， 即2πr 2＝πrl ，得2r ＝l .设侧面展开图的圆心角为θ，则θπl 180°＝2πr ，∴θ＝180°.4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a 的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________. 答案 2∶1解析 S 圆柱＝2·π⎝⎛⎭⎫a 22＋2π·a 2·a ＝32πa 2. S 圆锥＝π⎝⎛⎭⎫a 22＋π·a 2·a ＝34πa 2. ∴S 圆柱∶S 圆锥＝2∶1.5.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为________. 答案 3解析 设圆台的高为h ，由题意知，V ＝13(π＋2π＋4π)h ＝7π，所以h ＝3.1.知识清单：(1)圆柱、圆锥、圆台的表面积. (2)圆柱、圆锥、圆台的体积. (3)球的表面积和体积. 2.方法归纳：公式法.3.常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚.1.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( ) A.3 B.2 C.1 D.12答案 A解析 设球的半径为R ，则4πR 2＝43πR 3，所以R ＝3.2.两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A.2∶3 B.4∶9 C.2∶ 3 D.8∶27答案 B解析 由两球的体积之比为8∶27， 可得半径之比为2∶3， 故表面积之比是4∶9.3.将边长为4 cm 和8 cm 的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的轴截面的面积为( ) A.32πcm 2 B.32π cm 2C.32 cm 2D.16πcm 2 答案 A解析 当以4 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为r ， 则2πr ＝8，∴2r ＝8π，∴S 轴截面＝4×8π＝32π(cm 2).当以8 cm 为母线长时，设圆柱底面半径为R ， 则2πR ＝4,2R ＝4π，∴S 轴截面＝8×4π＝32π(cm 2).综上，圆锥的轴截面的面积为32πcm 2.4.已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.22π3 B.42π3 C.22π D.42π答案 B解析 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示.每一个圆锥的底面半径和高都为2，故所求几何体的体积V ＝2×13×2π×2＝42π3.5.如图，圆柱形容器内盛有高度为6 cm 的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为( )A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.1 cm答案 B解析 由题意可得，设球的半径为r ，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，∴3×43πr 3＝πr 2(6r －6)，解得r ＝3，故选B. 6.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A.1∶ 3B.1∶3C.1∶3 3D.1∶9答案 C解析 设正方体的棱长为a ，则其内切球的半径为a 2， ∴V 内＝43π⎝⎛⎭⎫a 23＝πa 36， 正方体的外接球的半径为32a ， ∴V 外＝43π⎝⎛⎭⎫32a 3＝33πa 36， ∴V 内∶V 外＝1∶3 3.7.一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为________cm 3.答案 500π3解析 如图所示，由已知得O 1A ＝3 cm ，OO 1＝4 cm ，从而R ＝OA ＝5 cm.所以V 球＝4π3 ×53＝500π3(cm 3). 8.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________.答案 33π 解析 圆锥的母线长l ＝2，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝12×2π×2，∴r ＝1， ∴圆锥的高h ＝l 2－r 2＝3，则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝33π. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________. 答案 7解析 设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7. 10.如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积.解 设圆锥的底面半径为R ，圆柱的底面半径为r ，表面积为S .则R ＝OC ＝2，AC ＝4，AO ＝42－22＝2 3.如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，∴AE AO ＝EB OC，即323＝r 2，∴r ＝1， S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π.∴S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.11.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积.解 该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π.该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝43π×13＋π×12×3＝13π3. 12.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________.答案 3∶1∶2解析 设球的半径为R ，则V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13πR 2·2R ＝23πR 3， V 球＝43πR 3， 故V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23πR 3∶43πR 3 ＝3∶1∶2.*13.已知四面体的各面都是棱长为a 的正三角形，求它外接球的体积. 解 如图，设SO 1是四面体S －ABC 的高，则外接球的球心O 在SO 1上.设外接球半径为R .∵四面体的棱长为a ，O 1为正△ABC 的中心，∴AO 1＝23×32a ＝33a ， SO 1＝SA 2－AO 21＝a 2－13a 2＝63a ， 在Rt △OO 1A 中，R 2＝AO 21＋OO 21＝AO 21＋(SO 1－R )2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫63a －R 2，解得R ＝64a ， ∴所求外接球的体积V 球＝43πR 3＝68πa 3.。
圆锥圆柱和球体的体积计算
圆锥圆柱和球体的体积计算圆锥、圆柱和球体是几何中的常见立体体形，计算它们的体积是我们常常需要面对的问题。
本文将详细介绍如何计算圆锥、圆柱和球体的体积。
一、圆锥的体积计算圆锥指的是由一个圆面和一个顶点连接圆心的直线所围成的立体。
计算圆锥的体积的常用公式是V = 1/3 ×V ×V² ×ℎ，其中V是圆锥底面的半径，ℎ是圆锥的高。
例如，假设圆锥底面半径为5厘米，高为10厘米，那么根据公式，其体积为：V = 1/3 × 3.14 × 5²× 10 ≈ 261.67立方厘米。
二、圆柱的体积计算圆柱由两个平行且等大小的圆面以及连接两个圆面的侧面组成。
计算圆柱的体积的常用公式是V = V ×V² ×ℎ，其中V是底面圆的半径，ℎ是圆柱的高。
例如，假设圆柱底面半径为4厘米，高为8厘米，那么根据公式，其体积为：V = 3.14 × 4² × 8 = 401.92立方厘米。
三、球体的体积计算球体是由所有和球心的距离相等的点构成的立体。
计算球体的体积的常用公式是V = 4/3 ×V ×V³，其中V是球体的半径。
例如，假设球体半径为6厘米，那么根据公式，其体积为：V = 4/3 × 3.14 × 6³≈ 904.32立方厘米。
通过以上三个例子，我们可以初步了解如何计算圆锥、圆柱和球体的体积。
在实际应用中，我们需要根据具体情况灵活运用这些公式。
值得注意的是，体积的单位通常是立方厘米（cm³）或立方米（m³），在进行计算时需要保持单位的统一。
此外，对于复杂形状的立体，我们可以将其分解为若干个简单的几何体，并分别计算其体积，然后求和得到整体的体积。
这个原理可以应用于更复杂的实际问题中。
总结起来，计算圆锥、圆柱和球体的体积可以采用不同的公式，即V = 1/3 ×V ×V² ×ℎ、V = V ×V² ×ℎ、V = 4/3 ×V ×V³。
认识球体和圆柱体
2023REPORTING 认识球体和圆柱体•引言•球体•圆柱体•球体和圆柱体的比较•球体和圆柱体的数学模型•球体和圆柱体的拓展知识目录20232023REPORTINGPART01引言目的和背景加深对三维形状的理解球体和圆柱体是常见的三维形状，在日常生活和科学领域都有广泛应用。
通过深入了解这两种形状，可以加深对三维空间的理解。
掌握基本几何概念在学习数学和物理等科目时，球体和圆柱体的相关概念是基础中的基础。
掌握这些概念有助于为后续学习打下坚实基础。
定义和分类球体的定义球体是一个完全对称的三维形状，其表面上的任意一点到球心的距离都相等。
球体可以分为实心球体和空心球体（即球面）。
圆柱体的定义圆柱体是由两个平行的圆形底面和一个侧面围成的三维形状。
根据底面和侧面的相对位置，圆柱体可以分为直圆柱和斜圆柱。
2023REPORTINGPART02球体定义和性质球体是一个完全对称的三维几何体，其表面上的任意一点到球心的距离都相等。
球体的截面只能是圆，且截面圆的半径小于或等于球半径。
球体的表面是一个连续且光滑的曲面，没有棱和角。
球体的表面积和体积球体的表面积公式为S = 4πr²，其中r为球半径。
这个公式表示球体表面的面积等于4π乘以半径的平方。
球体的体积公式为V = (4/3)πr³，其中r为球半径。
这个公式表示球体的体积等于4/3π乘以半径的立方。
球体在日常生活中的应用体育用品球体是许多体育用品的形状，如足球、篮球、乒乓球等。
这些球体具有良好的弹性和滚动性，适合进行各种运动。
建筑设计在建筑设计中，球体常被用作装饰元素或结构元素。
例如，一些建筑物的屋顶或立面采用球形设计，以增加建筑物的美感和独特性。
天文学在天文学中，天体如行星、恒星等常常被近似地看作球体。
这种简化有助于研究天体的运动规律和性质。
2023REPORTINGPART03圆柱体圆柱体的侧面是一个曲面，展开后是一个矩形，其长等于圆柱体底面的周长，宽等于圆柱体的高。
如何通过高中数学知识理解圆柱、圆锥与球体的性质
应用：在几何、物理等领域有广泛的应用，如计算球的体积、表面积等
圆柱体的体积公式：V=πr²h，其中r为底面半径，h为高。 计算步骤：先确定底面半径和高，再代入公式计算体积。 注意事项：圆柱体的体积与底面半径和高有关，当半径或高增大时，体积也相应增大。 实际应用：圆柱体的体积计算在日常生活和工程中应用广泛，如计算液体容量、建筑材料等。
圆柱体的体积： 由底面面积和 高相乘得到，
计算公式为 πr²h
圆锥体的定义：一个底面为圆形、顶点在底面圆心上的几何体 圆锥体的性质：轴截面为等腰三角形，侧面展开图为扇形，母线与轴线垂直 圆锥体的表面积：底面积与侧面积之和 圆锥体的体积：底面积与高的乘积的三分之一
定义：球体是一个三维图形，其所有点都与固定点（即球心）等距离 性质：球体具有对称性，其表面积和体积的计算公式分别为4πr²和(4/3)πr³，其中r为球半径
圆柱体与球体的转换：通过旋 转轴和旋转角度将圆柱体转换
为球体
圆锥体与球体的关系：球体的半径是圆锥底面半径的两倍，圆锥的高等于球体的半径。 圆锥体与球体的转换：当圆锥的轴截面是等腰三角形时，可以将其转换为球体。
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圆锥体的表面积由底面圆和侧面展 开图组成，其中侧面展开图是一个 扇形。
圆锥体的表面积计算在几何学和工 程学中有着广泛的应用，例如计算 物体表面的热量交换、制作容器等。
公式：4πr²，其中r为球体的半径
计算方法：将球体表面分成n个扇形，每个扇形的弧长等于圆心角对应的弧长，然后求 和得到球体的表面积
圆锥体的体积公式：V=1/3πr²h
圆锥体的体积计算方法：先求出底面半径和高，再代入公式计算
2023年高考数学----圆锥圆柱圆台模型规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----圆锥圆柱圆台模型规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、球内接圆锥如图1，设圆锥的高为h ，底面圆半径为r ，球的半径为R ．通常在△OCB 中，由勾股定理建立方程来计算R ．如图2，当>PC CB 时，球心在圆锥内部；如图3，当<PC CB 时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图2、图3可知，=−OC h R 或−R h ，故222()−+=h R r R ，所以222+=h r R h ．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，其外接球的半径为R ，三者之间满足22()2+=h r R ．例38．球内接圆台2222222122⎛⎫−−=+ ⎪⎝⎭r r h R r h ，其中12,,r r h 分别为圆台的上底面、下底面、高． 【典型例题】例39．（2022·广东·广州市第十六中学高三阶段练习）已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为100π，则此圆台的体积为（ ）A ．84πB ．86πC ．2593πD ．2623π 【答案】C【解析】如图为圆台及其外接球的轴截面，O 为外接球球心，A ，B 为等腰梯形的下底和上底的中点，所以7AB =，AB AC ⊥，因为外接球的表面积为100π，所以外接球的半径为5OC =，圆台下底面半径为4，所以4AC =，3AO ==，则4OB =，3BD =，即圆台上底面半径为3，所以圆台的体积为(22125973433πππ⨯⨯⨯+⨯=. 故选：C.例40．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知圆锥的底面半径为，则该圆锥的外接球的表面积为______．【答案】36π【解析】设圆锥的母线长为a ，则侧面积为a ⨯=，解得a =4=，设该圆锥的外接球的半径为R ，由球的性质知，(()2224R R =+−，解得3R =， 故外接球的表面积为24π36πS R ==．故答案为：36π. 例41．（2022·上海·曹杨二中高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P 为上底面圆的圆心，AB 为下底面圆的直径，E 为下底面圆周上一点，则三棱锥P ABE −外接球的表面积为___________. 【答案】25π4【解析】由于AB 为下底面圆的直径，E 为下底面圆周上一点，所以ABE 为直角三角形，90E ∠=︒， 如图所示，设外接球半径为R ，底面圆心为Q ，外接球球心为O ，由外接球的定义，OP OA OB OE R ====，易得O 在线段PQ 上，又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径1AQ BQ ==，PQ AQ⊥，则222222(2)1OA OQ AQ R R=+⇒=−+，解得54R=，∴外接球表面积为225π4π4R=．故答案为：25π4例42．（2022·全国·该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______. 【答案】4π【解析】有题意可知，PAπ⋅=，所以PA=所以，圆锥的轴截面是边长为的半径，所以tan tan301R OD AD OAD==⋅∠︒=，所以该圆锥的内切球的表面积为4π.故答案为：4π。
高中数学讲义(人教A版必修二)：圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体(学生版)
第22课圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体课程标准课标解读1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征．1、通过阅读课本解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.2、在棱柱、棱锥与棱台学习的基础上，进一步掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.3.了解简单组合体的概念及结构特征．灵活运用各种知识解决组合体问题.知识精讲知识点01圆柱的结构特征圆柱图形及表示定义：以所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱图中圆柱表示为圆柱O ′O相关概念：圆柱的轴：圆柱的底面：的边旋转而成的圆面圆柱的侧面：的边旋转而成的曲面圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，的边【即学即练1】圆柱的轴截面有________个，它们________(填“全等”或“相似”)，圆柱的母线有________条，它们与圆柱的高________．知识点02圆锥的结构特征圆锥图形及表示定义：以直角三角形的所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体图中圆锥表示为圆锥SO相关概念：圆锥的轴：旋转轴圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边【即学即练2】圆锥的轴截面有多少个？母线有多少条？圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是母线吗？知识点03圆台的结构特征圆台图形及表示定义：用的平面去截圆锥，之间的部分叫做圆台图中圆台表示为圆台O ′O相关概念：圆台的轴：旋转轴圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边【即学即练3】(多选)下列说法中不正确的是()A ．将正方形旋转不可能形成圆柱B ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C ．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D ．通过圆台侧面上一点，有无数条母线知识点04球的结构特征球图形及表示定义：所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球图中的球表示为球O相关概念：球心：半圆的半径：连接和球面上任意一点的线段直径：连接球面上并经过球心的线段【即学即练4】已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q ，则此圆柱的底面半径为________．(用Q 表示)知识点05球的结构特征简单组合体的结构特征1．概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体．2．基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．【即学即练5】上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为()A ．4B ．32C ．23D ．26考法01旋转体的结构特征【典例1】(多选)下列说法，正确的是()A．圆柱的母线与它的轴可以不平行B．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线D．圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．【变式训练】下列说法正确的是________．(填序号)①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；③以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所围成的几何体是圆锥；④用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．考法02简单组合体的结构特征【典例2】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括()A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆柱、一个圆锥C．两个圆台、一个圆柱D．一个圆柱、两个圆锥反思感悟判断组合体构成的方法(1)判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体．(2)组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的．要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证．【变式训练】请描述如图所示的几何体是如何形成的．考法03旋转体的有关计算【典例3】如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台O′O的母线长．反思感悟(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)而得解．(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．【变式训练】已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径．分层提分题组A基础过关练一、单选题1．下列命题中，错误的命题个数是（）①过圆锥顶点的截面是等腰三角形；②以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥；③以等腰梯形的腰为旋转轴，旋转所得的几何体是圆台.A．1个B．2个C．3个D．0个2．如图，几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）A．B．C．D．3．以下结论中错误的是（）A．经过不共面的四点的球有且仅有一个B．平行六面体的每个面都是平行四边形C．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直D．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直4．在一个长方体内钻一个圆柱形的孔，则钻孔后得到的几何体的表面积与原几何体相比A．变大了B．变小了C．相等D．不确定5．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬30°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）A．15°B．30°C．60°D．90°6）A．2B．C．4D．7．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A ．如图是棱台B ．如图是圆台C ．如图是棱锥D ．如图不是棱柱8．如图，圆锥的母线AB 长为2，底面圆的半径为r ，若一只蚂蚁从圆锥的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D ）A ．1B ．2C ．3D ．329．如图，在三棱锥A BCD 中，平面ABD 平面CBD ，6AB BC CD AD BD ，点M 在AC 上，2AM MC ，过点M 作三棱锥A BCD 外接球的截面，则截面圆面积的最小值为（）二、多选题10．下列命题正确的是（）A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行11．下列说法正确的是（）A．圆柱的侧面展开图是矩形B．球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180 所形成的曲面C．直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台D．圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面三、填空题12．某同学劳动课上制作了一个圆锥形礼品盒，其母线长为40cm ，底面半径为10cm ，从底面圆周上一点A 处出发，围绕礼品盒的侧面贴一条金色彩线回到A 点，则所用金色彩线的最短长度为___________cm.13．如图，已知球O 的半径为2，一平面截球面所得圆的圆心为1O ，且A 、B 都是圆1O 上的点，11AO BO ，11AO ，则△OAB 的面积为______．四、解答题14．根据图中给出的表面展开图画出几何体.题组B 能力提升练一、单选题1．下列说法中，正确的个数为（）（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；（2）在圆台上､下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线.（3）空间中的任意三点可以确定一个平面；（4）空间中没有公共点的两条直线一定平行；A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．经纬度是经度与纬度的合称，它们组成一个坐标系统，称为地理坐标系统，它是利用三维空间的球面来定义地球上的空间的球面坐标系.能够标示地球上任何一个位置，其中纬度是地球重力方向上的铅垂线与赤道平面所成的线面角.如世界最高峰珠穆朗玛峰就处在北纬30 ，若将地球看成近似球体，其半径约为6400km ，则北纬30 纬线的长为（）A ．B ．kmC ．kmD ．6400km3．以下结论中错误的是（）A ．经过不共面的四点的球有且仅有一个B ．平行六面体的每个面都是平行四边形C ．正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直D ．棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直4．已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为2π3，则该圆锥的高为（）AB C．D．45．下列说法中正确的是（）A．圆锥的轴截面一定是等边三角形B．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C．三棱柱的侧面可以是三角形D．棱锥的侧面和底面可以都是三角形6．用一个平面去截一个圆柱，得到的图形一定不是（）A．矩形B．圆形C．三角形D．正方形7．圆台的上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5，则该圆台的高为（）C．D．A．4B．8．在正四面体SABC 中，SA ，D ，E ，F 分别为SA ，SB ，SC 的中点.则该正四面体的外接球被平面DEF 所截的圆周长为（）A ．B ．2C ．4D ．69．位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90 ，且A 、B 两地间的球面距离为(3R R为地球半径），那么x 等于（）A ．30B ．45C ．60D ．75二、多选题10．下列关于圆柱的说法中正确的是（）A ．圆柱的所有母线长都相等B ．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C ．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D ．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180 所形成的几何体是圆柱11．下列说法正确的是（）A ．多面体至少有四个面B ．平行六面体六个面都是平行四边形C ．长方体、正方体都是正四棱柱D ．以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥三、填空题12．圆柱的母线长为5，底面半径为2，称过圆柱的轴的任意平面与圆柱形成的平面为轴截面，则该圆柱轴截面面积为______.13．半径为2，圆心角为23 的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面积为___．四、解答题14．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，求该圆锥的轴截面中母线与底面直径所成的角．题组C培优拔尖练一、单选题1．下列说法正确的是（）A．用一平面去截圆台，截面一定是圆面B．在圆台的上、下底面圆周上各取一点，则两点的连线就是圆台的母线C．圆台的任意两条母线延长后相交于同一点D．圆锥的母线可能平行2．下列命题中，错误的命题个数是（）①过圆锥顶点的截面是等腰三角形；②以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的几何体是圆锥；③以等腰梯形的腰为旋转轴，旋转所得的几何体是圆台.A．1个B．2个C．3个D．0个3．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）A．如图是棱台B．如图是圆台C．如图是棱锥D．如图不是棱柱4．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）A ．B ．C ．D ．5．球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆），我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正ABC 的项点都在半径为2的球面上，球心到ABC A 、B 两点间的球面距离为（）A ．B ．2C ．23D ．346．若圆锥的侧面展开图是半径为4，中心角为5π3的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A ．9B ．4C ．8D ．97．如图，圆锥的母线AB 长为2，底面圆的半径为r ，若一只蚂蚁从圆锥的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D ）A ．1B ．2C ．3D ．328．棱长为a 的正四面体容器中能放进10个半径为1的小球，则a 的最小值为（）A ．4 B ．5 C ．2 D ．39．已知ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板（Rt ACD 与Rt BCD ）组成的三角形，如左下图所示.其中，45,60CAD BCD .现将Rt ACD 沿斜边AC 进行翻折成1D AC （1D 不在平面ABC 上）.若,M N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD 翻折过程中，下列命题正确的是A ．在线段BD 上存在一定点E ，使得EN 的长度是定值B ．点N 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使得直线1AD 与DM 所成角为60D ．对于任意位置，二面角1D AC B 始终大于二面角1D BC A二、多选题10．如图三棱锥 P ABC ，平面PBC 平面ABC ，已知PBC 是等腰三角形，ABC 是等腰直角三角形，若2AB BC ，PB PC O 是三棱锥 P ABC 的外接球，则（）A ．球心到平面PBC 的距离是32B ．球心到平面ABC 的距离是34C ．球的表面积是414πD ．球的体积是7413π11．已知圆锥的顶点为P ，母线长为2A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是（）A ．圆锥的高为1B ．三角形PABC ．三角形PAB 内切圆半径的最大值为2D ．圆锥外接球的体积为323三、填空题12．在三棱锥 P ABC 中，2AB AC BC ，2PA PB ，PC P ABC 的外接球的半径为_________.13．已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，BCE 在棱PB 上，且2EB PE u u r u u r，过E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是___________.四、解答题14．已知圆锥SO 的底面半径5R ，高12H ．(1)求圆锥SO 的母线长；(2)圆锥SO 的内接圆柱'OO 的高为h ，当h 为何值时，内接圆柱'OO 的轴截面面积最大，并求出最大值．。
高二数学圆柱、圆锥、圆台、球知识精讲
高二数学圆柱、圆锥、圆台、球【本讲主要内容】圆柱、圆锥、圆台、球圆柱、圆锥、圆台的概念和性质，球的概念和性质。
【知识掌握】【知识点精析】1. 圆柱、圆锥、圆台的概念和性质（1）圆柱、圆锥、圆台的定义：矩形、直角三角形、直角梯形绕其一边、一直角边、一垂直于两底的腰旋转一周所形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台。
（2）圆柱的几个概念矩形中作旋转轴的一边叫圆柱的轴，旋转过程中对边的任意位置叫圆柱的母线，旋转一周形成曲面叫圆柱的侧面，垂直于轴的两边旋转一周形成的平面叫底面，过轴的截面叫轴截面。
（3）圆锥的几个概念直角三角形中作旋转轴的一边叫圆锥的轴，旋转过程中斜边的任意位置叫圆锥的母线，旋转一周形成的曲线叫圆锥的侧面，另一直角边旋转一周形成的平面叫底面，过轴的截面叫轴截面。
（4）圆台的几个概念在直角梯形中作旋转轴的腰叫圆台的轴，旋转过程中另一腰的任意位置都叫圆台的母线，旋转一周形成的曲线叫圆台的侧面，直角梯形的上、下底边旋转一周形成的平面叫上、下底面，过轴的截面叫轴截面。
（5）圆柱、圆锥、圆台的性质圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形。
用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台，截面是圆面。
2. 球的概念和性质（1）球的概念：与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球，定点叫做球心，定长叫球的半径，与定点的距离等于定长的点的集合叫做球面。
（2）球的表示方法一个球用表示它的球心的字母来表示如球O。
（3）球的截面及其性质用一个平面去截一个球，截面是圆面球的截面具有以下性质：①球心和截面圆心的连线垂直于截面。
②球心到截面距离d与球的半径R及截面半径r有下面关系：22。
=-r R d（4）大圆、小圆的概念，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。
（5）经、纬度概念经线是地球表面上从北极到南极的半个大圆，在地球上均匀分布着许多经线，其中经过英国格林威治天文台的经线规定为0°经线，从它向东称为东经，向西称为西经，平行于赤道平面的球的小圆称为纬线圈，以赤道为0°纬线，向南称为南纬，向北称为北纬，某地的经度是一个二面角的度数，即经过该地的经线所在半圆面与0°经线所在半圆面所成的二面角的度数，某地的纬度是一个线面角的度数，即该地与球心连线与赤道平面所成角的度数。
高中数学必修2立体几何常考题型圆柱、圆锥、圆台、球结构特征与简单组合体结构特征全面版
圆柱、圆锥、圆台、球的构造特色与简单组合体的构造特色【知识梳理】1．旋转体旋转体构造特色图形表示以矩形的一边所在直线为旋转轴，其他三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；我们用表示圆柱轴的垂直于轴的边旋转而成的圆圆柱字母表示圆柱，左图可面叫做圆柱的底面；平行于表示为圆柱 OO′轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；不论旋转到什么地点，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线以直角三角形的一条直角边我们用表示圆锥轴的所在直线为旋转轴，其他两圆锥字母表示圆锥，左图可边旋转形成的面所围成的旋表示为圆锥 SO转体叫做圆锥用平行于圆锥底面的平面去我们用表示圆台轴的圆台截圆锥，底面与截面之间的字母表示圆台，左图可部分叫做圆台表示为圆台 OO′以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球体，简称球常用球心字母球球．半圆的圆心叫做球的球进行表示，左图可表示心，半圆的半径叫做球的半为球 O径，半圆的直径叫做球的直径2．简单组合体的观点由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．3．简单组合体的构成形式有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的．【常考题型】题型一、旋转体的构造特色【例 1】给出以下说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其他两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3) 经过圆锥随意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径，此中正确说法的序号是________．[ 分析 ](1) 不正确，由于当直角三角形绕斜边所在直线旋转获得的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；(2)正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)正确，以下图，经过圆锥随意两条母线的截面是等腰三角形；(4) 正确，以下图，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的 2 倍 (即直径 ) ．[ 答案 ] (2)(3)(4)【类题通法】1．判断简单旋转体构造特色的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等表现简单旋转体构造特色的重点量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题表现了化空间图形为平面图形的转变思想．【对点训练】1．给出以下说法：(1)圆柱的底面是圆面；(2) 经过圆柱随意两条母线的截面是一个矩形面；(3)圆台的随意两条母线的延伸线可能订交，也可能不订交；(4)夹在圆柱的两个截面间的几何体仍是一个旋转体．此中说法正确的选项是________．分析： (1) 正确，圆柱的底面是圆面；(2)正确，以下图，经过圆柱随意两条母线的截面是一个矩形面；(3)不正确，圆台的母线延伸订交于一点；(4)不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案： (1)(2)题型二、简单组合体【例 2】察看以下几何体的构造特色，达成以下问题：(1) 图①所示几何体是由哪些简单几何体构成的？试画出几何图形，可旋转该图形180 °后得到几何体①；(2) 图②所示几何体构造特色是什么？试画出几何图形，可旋转该图形360 °获得几何体②；(3)图③所示几何体是由哪些简单几何体构成的？并说明该几何体的面数、棱数、极点数．[ 分析 ](1)图①是由圆锥和圆台组合而成．可旋转以以下图形180°获得几何体①.(2)图②是由一个圆台，从上而下挖去一个圆锥，且圆锥的极点恰为圆台底面圆的圆心．可旋转以以下图形 360°获得几何体② .(3)图③是由一个四棱锥与一个四棱柱组合而成，且四棱锥的底面与四棱柱底面同样．共有 9 个面， 9 个极点， 16 条棱．【类题通法】1．明确组合体的构造特色，主要弄清它是由哪些简单几何体构成的，必需时也能够指出棱数、面数和极点数，如图③所示的组合体有9 个面， 9 个极点， 16 条棱．2．会辨别较复杂的图形是学好立体几何的第一步，所以我们应注意察看四周的物体，而后将它们“ 分拆” 成几个简单的几何体，从而培育我们的空间想象能力和识图能力．【对点训练】2．以下组合体是由哪些几何体构成的？解： (1)由两个几何体组合而成，分别为球、圆柱．(2)由三个几何体组合而成，分别为圆柱、圆台、圆柱．(3)由三个几何体组合而成，分别为圆锥、圆柱、圆台．【练习反应】1．圆锥的母线有()A．1 条B．2 条C．3 条D．无数条答案： D2.右图是由哪个平面图形旋转获得的()分析：选 A图中几何体由圆锥、圆台组合而成，可由A中图形绕图中虚线旋转360°获得．3．等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180 °，所得几何体是________．答案：圆锥4．以下图的组合体的构造特色为________．分析：该组合体上边是一个四棱锥，下边是一个四棱柱，所以该组合体的构造特色是四棱锥和四棱柱的一个组合体．答案：一个四棱锥和一个四棱柱的组合体5.如图， AB 为圆弧 BC 所在圆的直径，∠ BAC＝ 45°.将这个平面图形绕直线AB 旋转一周，获得一个组合体，试说明这个组合体的构造特色．解：以下图，这个组合体是由一个圆锥和一个半球体拼接而成的．你曾落过的泪，最后都会变为阳光，照亮脚下的路。
立体几何之圆锥圆柱型 高考数学
试卷讲评课件
9.如图，AB, CD是圆柱的底面上两 条互相垂直的直径，AE, BF是圆柱 的两条母线.M为BF的中点，且 AB = 4BM. (1)证明：平面CDE ⊥平面CDF； (2)求二面角M − CD − F的余弦值.
试卷讲评课件
10.如图，几何体为圆柱Ω的一半，四边形 ABCD为圆柱Ω的轴截面，点E为圆弧AB上 异于A，B的点，点F为线段ED上的动点. (1)求证：BE ⊥ AF； (2)若AB = 2，AD = 1，∠ABE = 30∘，且直线CA与平面ABF所成角的 正弦值为 1105，求平面ABF与平面ADE所成锐二面角的余弦值.
6.如图，ABCD为圆柱底面的内接四边形，AC为底面
圆的直径，PC为圆柱的母线，且AB = AD.
(1)求证：AP ⊥ BD；
(2)若PBC
=
4，点F在线段PA上，且FPAF
=
1，
3
求二面角F − CD − P的余弦值.
试卷讲评课件
7.如图所示，点P在圆柱的上底面圆周上，四 边形ABCD为圆柱的下底面的内接四边形，且 AC为圆柱下底而的直径，PD为圆柱的母线， 且PD = 3，圆柱的底面半径为1. (1)证明：AD ⊥ PC；
试卷讲评课件
3.如图，V是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是 底面圆的一条直径，且点C是弧AB的中点，点 D是AC的中点，AB = 2，VA = 2. (1)求圆锥的表面积； (2)求证：平面VAC ⊥平面VOD.
试卷讲评课件
4.如图，P为圆锥的顶点，AB是底面圆O的一条
⌢
直径，M，N是底面圆弧AB的三等分点，E，F 分别为PM，PO的中点. (1)证明：点B在平面EFN内. (2)若AB = PO = 4，求平面PAM与平面PAB夹 角的余弦值.
理解立体几何中的球体圆柱和圆锥的特点
理解立体几何中的球体圆柱和圆锥的特点理解立体几何中的球体、圆柱和圆锥的特点立体几何是研究三维空间中的图形、形状和体积的学科。
在立体几何中，球体、圆柱和圆锥是常见的几何体形，它们具有独特的特点和性质。
本文将重点介绍球体、圆柱和圆锥的定义、特点和性质。
一、球体球体是一种具有圆形底面的几何体，其特点是底面上的任意一个点到球心的距离都相等。
在数学上，球体由所有到一个给定点的距离等于半径的点集合组成。
球体的表面及内部都与底面中心点的距离相等，并且具有以下特点：1. 球心：球体的中心点被称为球心，它是球体的对称中心，与球体表面上的任意一点的距离相等。
2. 半径：球体上任意一点到球心的距离被称为半径，球体的大小由其半径来决定。
3. 表面积：球体表面的总面积可以通过以下公式计算：S = 4πr²，其中S是表面积，r是半径。
4. 体积：球体的体积可以通过以下公式计算：V = (4/3)πr³，其中V是体积，r是半径。
二、圆柱圆柱是一种具有两个平行且相等的圆形底面的几何体，其特点是底面上的任意一点到顶面距离相等，并且垂直于底面上的点与底面上的任意一点都在同一条直线上。
圆柱的性质如下：1. 圆柱轴：连接底面圆心的直线被称为圆柱轴，它是圆柱的对称轴, 平行于底面。
2. 高度：圆柱的高度是两个底面之间的垂直距离，它决定了圆柱的体积。
3. 表面积：圆柱的表面积可以通过以下公式计算：S = 2πrh + 2πr²，其中S是表面积，r是底面圆的半径，h是高度。
4. 体积：圆柱的体积可以通过以下公式计算：V = πr²h，其中V是体积，r是底面圆的半径，h是高度。
三、圆锥圆锥是一种在一个点上尖的几何体，它具有一块圆形底面和一个尖顶。
圆锥的性质如下：1. 尖点：位于圆锥顶部的点被称为圆锥尖点。
2. 底面：圆锥的底面是一个圆形，与圆柱的底面类似。
3. 高度：圆锥的高度是从尖点到底面的垂直距离，它决定了圆锥的体积。
高中数学中的球体与圆锥体体积计算
高中数学中的球体与圆锥体体积计算球体和圆锥体是高中数学中常见的几何图形，计算它们的体积是数学学习的重要内容之一。
本文将介绍球体和圆锥体的体积计算方法及相应的公式，帮助读者更好地理解和运用这些知识。
一、球体的体积计算球体是一种具有完全圆形的立体图形，它的体积计算公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π是一个数学常数，近似等于3.14159，r表示球体的半径。
例如，如果一个球体的半径是5cm，那么它的体积可以通过以下计算得到：V = (4/3)π(5cm)³计算结果约等于 523.6 cm³。
二、圆锥体的体积计算圆锥体是一种由一个圆形底面和一个顶点连接而成的立体图形，它的体积计算公式如下：V = (1/3)πr²h其中，V表示圆锥体的体积，r表示圆锥体底面的半径，h表示圆锥体的高。
例如，如果一个圆锥体的底面半径是3cm，高是8cm，那么它的体积可以通过以下计算得到：V = (1/3)π(3cm)²(8cm)计算结果约等于 75.4 cm³。
三、球体与圆锥体的比较当给定相同半径的球体和圆锥体时，它们的体积相比会有一定的关系。
由于圆锥体底面面积较小，高度较高，所以相同半径的球体的体积通常会大于圆锥体的体积。
另外，球体和圆锥体之间还存在一种特殊的关系，即球冠。
球冠是通过在一个球体上切割一个平行于底面的平面所得到的立体图形。
球冠的体积计算与圆锥体类似，可以使用相应的公式进行计算。
四、实际应用球体和圆锥体的体积计算在实际生活和工程中有广泛的应用。
例如，在建筑领域中，我们需要计算球形顶的体积以确定其造价和结构设计。
在工业生产中，圆锥形容器的体积计算可以帮助确定原料和成品的储存量。
此外，球体和圆锥体的体积计算也常见于数学课堂上的题目。
同学们可以通过题目练习，加深对这些几何图形的理解，并锻炼自己的计算能力。
总结：通过本文的介绍，我们了解了高中数学中球体和圆锥体的体积计算方法。
高考数学二轮复习球体问题之柱体模型
高考二轮复习球体问题之柱体模型一、长方体模型1．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．补成长方体例题1.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为2cm ．例题2.已知三棱锥P ABC -的顶点都在同一个球面上（球)O ，且2PA =，6PB PC ==，当三棱锥P ABC -的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球O 的体积的比值是例题3、如图，长方体1111ABCD A B C D -中，其中AB a =，AD b =，1AA c =外接球球心为点O ，外接球体积为323π，若2214a b +的最小值为94，则A ，C 两点的球面距离为 ． 二、对棱相等模型四面体ABCD 中，AB CD m ==，AC BD n ==，AD BC t ==，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.如图，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则222222222b c m a c n a b t ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩，三式相加可得222a b c ++=222,2m n t ++而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R ，则22224a b c R +=+，所以2228m n t R ++=.例题1：三棱锥A BCD -中，已知5AB CD ==，6AD BC ==7AC BD ==面积为( )例题2、已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC =A BCD -的外接球表面积为92π．则AC = ．三、 直棱柱（锥）模型：如图1，图2，图3，图4，直三棱柱（锥）内接于球（同时直棱柱（锥）也内接于圆柱，棱柱（椎体的下面）的上下底面可以是任意三角形）图1 图2 图3 图4第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则1OO ⊥平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径1AO r =，111122OO AA h ==（1AA h =也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：22211OA O A O O =+⇒222()2h R r =+⇒R =，解出R例题1、正三棱柱-111ABC A B C 内接于半径为2的球，若A ，B两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ． 例2、直三棱柱-111ABC A B C 的各顶点都在同一球面上，若===12AB AC AA ，∠=︒120BAC ，则此球的表面积等于 ．例3、一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为 .例题4、已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1，则该三棱柱的外接球的体积为( ) A ．83π B ．163πC ．323πD ．643π例题5、已知在直三棱柱111ABC A B C -中，AB =120ACB ∠=︒，14AA =，则该三棱柱外接球的表面积为( 例题6、已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，⊥PA 平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为若=PA ，则∆OAB 的面积为 ．例题7、三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC 且2PA =，ABC ∆面积为( )例题8、在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120ABC ∠=︒，4PA =．若三棱锥P ABC -外接球的半径为则直线PC 与平面ABC 所成角的正切值为 ．图3-1图3-2图3-3。
高中数学圆柱、圆锥、圆台和球总结练习含答案解析S
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球名称定义及记法图形圆 柱 1.将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线① ,形成的几何体分别叫做圆柱、② 、③ ,这条直线叫做④ .⑤ 旋转而成的圆面叫做底面.⑥ 旋转而成的曲面叫做侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫做⑦ .2.右图中的圆柱、圆锥、圆台分别记作⑧ 、⑨ 、⑩ .圆 锥圆 台球1.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做,球面围成的几何体叫做,简称.2.右图中的球记作 . 旋 转 体一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做 ,封闭的旋转面围成的几何体称为 .圆柱、圆锥、圆台和球都是 旋转体.简单几何体的组合1.(2014江苏南通中学检测,★☆☆)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥形成的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是.(填序号)思路点拨根据图形结构和圆柱的几何特征分析.2.(2014江苏南菁中学单元训练,★☆☆)从一个底面半径和高都是R的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体,用一个与圆柱下底面的距离等于l并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.思路点拨根据图形确定截面的形状和面积.一、填空题1.下列说法中正确的是.(填序号)①以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转一周,形成的几何体是圆锥;②经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;③圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆的直径.2.如图,第一行中的六个图形绕虚线旋转一周,能形成第二行中的某个几何体,请将它们对应的编号写出来: .3.已知一个圆柱的底面半径为2,轴截面是正方形,则圆柱侧面展开图的对角线长是.4.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为√3,则这个圆锥的母线长为.5.如果圆台的两底面半径分别是7和1,则与两底面平行且等距离的截面面积为.6.下列有关旋转体的说法中,正确的是.①旋转体都有母线;②所有的旋转体都只有一条旋转轴;③旋转体只有圆柱、圆锥、圆台、球四种;④旋转体都有旋转轴.7.若A、B为球面上相异的两点,则通过点A、B可作大圆的个数为.8.在半径为30 m的圆形广场中心上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,其轴截面的顶角为120°,若要光源恰好照亮整个广场,则光源的高度应为 m.9.已知圆台的轴与母线所在的直线的夹角为45°,若上底面的半径为1,高为2,则圆台的下底面的半径为.二、解答题10.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求:(1)圆台的高;(2)截得此圆台的圆锥的母线长.11.一直角梯形ABCD,如图所示,分别以AB、BC、CD、DA所在直线为轴旋转,画出所得几何体的大致形状.12.一个含有30°角的直角三角板绕其一条边所在的直线旋转一周,所得到的几何体一定是圆锥吗?知识清单①旋转一周②圆锥③圆台④轴⑤垂直于轴的边⑥不垂直于轴的边⑦母线⑧圆柱OO' ⑨圆锥SO ⑩圆台OO'球面球体球球O 旋转面旋转体特殊的链接高考1.答案①⑤解析由于截面平行于圆锥的轴,故只能是①⑤.2.解析作出轴截面如图所示,由题意得被平行于下底面的平面所截得的圆柱的截面圆的半径O 1C=R,∵OA=AB=R,∴△OAB是等腰直角三角形.又∵CD∥OA,则CD=BC,∴O1D=l,∴所求截面的面积S=πR2-πl2=π(R2-l2).基础过关一、填空题1.答案①②解析等腰三角形底边上的中线将该三角形分成两个全等的直角三角形,这两个直角三角形绕其公共直角边所在直线旋转而成的几何体是圆锥,∴①正确.∵圆锥的任意两条母线长相等,而经过圆锥任意两条母线的截面三角形中有两条边恰为这两条母线,∴②正确.当生成圆锥的直角三角形的斜边长为5,两直角边长分别为3和4时,圆锥的母线长小于圆锥底面圆的直径,∴③不正确.2.答案1对应d,2对应a,3对应e,4对应f,5对应b,6对应c解析要用运动的观点分析旋转体的形成过程,学会提炼、抽象出几何体的特征.3.答案4√π2+1解析据题意可知,展开图是一个矩形,相邻两边长分别为4和4π,则对角线长为4√π2+1.4.答案 2解析由题意易知,等边三角形的边长为2,则母线长也为2.5.答案16π解析易知截面圆的半径为4,则截面面积为16π.6.答案④解析球没有母线,①错误;球的旋转轴有无数条,②错误;旋转体不只有圆柱、圆锥、圆台、球四种,只要保证是一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的几何体,即为旋转体,注意是“一条平面曲线”,③错误;④正确.7.答案一个或无数个解析当A、B是球的一条直径的两个端点时,过A、B的大圆有无数个,否则只有一个.8.答案10√3解析画出圆锥的轴截面,转化为平面几何问题求解,此题可转化为已知等腰三角形的顶角为120°,底边长的一半为30 m,求底边上的高.9.答案 3解析将圆台还原成圆锥,作出截面图,利用相似三角形计算.二、解答题10.解析(1)如图所示,圆台的轴截面是等腰梯形ABCD,由已知易得上底面的半径O1A=2 cm,下底面的半径OB=5 cm,又腰长AB=12 cm,所以高AM=√122-(5-2)2=3√15 cm.(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm,则由△SAO1∽△SBO可得l-12l=25.∴l=20,即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.11.解析以AB所在直线为轴旋转,得到的几何体如图(1),它是一个圆台;以BC所在直线为轴旋转,得到一个圆柱和圆锥的组合体,如图(2);以CD所在直线为轴旋转,得到一圆台,一底面挖出一个小圆锥,另一底面增加一个较大的圆锥,如图(3);以AD所在直线为轴旋转,得到一个不完整的圆柱,上面挖去一个圆锥,如图(4).12.解析不一定.如图(1)(2)所示,绕两条直角边所在的直线旋转一周所得到的几何体都是圆锥;如图(3)所示,绕斜边所在的直线旋转一周所得到的几何体是由两个圆锥组合而成的.。
高考数学专题立体几何初步《圆柱、圆锥、圆台和球》突破解析
B.3 2
C.2 3
D.2 6
答案 D
解析设圆台的母线长 l,高 h 和上、下两底面圆的半径 r,R,满足关系式 l2=h2+(R-r)2,由题意知
l=5,R=7,r=6,求得 h=2 6,即两底面之间的距离为 2 6.
10.(多选)下列说法中不正确的是( )
A.将正方形旋转不可能得到圆柱
B.夹在圆柱的两个平行截面间的空间图形还是一个旋转体
cm2.
答案 16π 或 9π
解析当以 3 cm 长的一边所在的直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为 4 cm,底面积为 16π cm2;
当以 4 cm 长的一边所在的直线为轴旋转时,得到的圆柱的底面半径为 3 cm,底面积为 9π cm2.
14.如图所示的空间图形可由平面图形 绕轴旋转而成.
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
答案 ABD
解析将正方形绕其一边所在的直线旋转可以得到圆柱,所以 A 错误;B 中没有说明这两个平行截面的
位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况下结论不一定正确,所以 B 错误;通过圆台
侧面上一点,只有一条母线,所以 D 错误;C 显然正确.
16.
如图所示,四边形 ABCD 绕边 AD 所在的直线 EF 旋转,其中 AD∥BC,AD⊥CD.当点 A 选在射线 DE 上
的不同位置时,形成的几何体大小、形状不同,比较其不同点.
解当 AD>BC 时,四边形 ABCD 绕 EF 旋转一周所得的空间图形是由底面半径为 CD 的圆柱和圆锥组
成的空间图形,当 AD=BC 时,四边形 ABCD 绕 EF 旋转一周所得的空间图形是圆柱,当 0≤AD<BC 时,
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高考数学二轮复习球体问题之圆柱圆台模型
一、题型归纳
1．球内接圆锥
如图1，设圆锥的高为h ，底面圆半径为r ，球的半径为R .通常在OCB △中，由勾股定理建立方程来计算R .如图2，当PC CB >时，球心在圆锥内部；如图3，当PC CB <时，球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.
由图2、图3可知，OC h R =-或R h -，故222
()h R r R -+=，所以222h r R h +=.
2．球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为r ，高为h ，其外接球的半径为R ，三者之间满足22()2
h r R +=.
3．球内接圆台
⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭
2
222222122r r h R r h ，其中12,,r r h 分别为圆台的上底面、下底面、高. 例1.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A ．π3
B ．π2
C ．π163
D ．以上都不对
例2.半径为4
的球中有一个内接圆柱，圆柱的侧面积为，则圆柱的体积为 .
例3.已知圆台12O O 上底面圆1O 的半径为2，下底面圆2O
的半径为O
，且球心在圆台
的轴12O O 上，满足12||3||O O OO =，则圆台12O O 的外接球的表面积为 ．
二、跟踪练习
132的圆锥的外接球O 的表面积为( )
A ．6π
B ．12π
C ．8π
D ．16π
2．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为( )
A ．π
B ．3π
C ．8π
D ．9π
3．已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为16π，则该圆锥的体积为( )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
4．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为151和3，则此组合体的外接球的表面积是( )
A ．16π
B ．20π
C ．24π
D ．28π
5．一个圆柱被一个平面截成体积相等的两部分几何体，如图，其中一部分几何体的主
视图为等腰直角三角形，俯视图是直径为2的圆，则该圆柱外接球的表面积是( )
A ．8
B ．16π
C ．8π
D ．82π 6．已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2π的正方形，则该圆柱的外接球表面积为( )
A ．2(1)
4ππ+ B ．24(1)ππ+ C ．214ππ+ D ．4(1)ππ+
7．若一个圆柱的表面积为12π，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为( )
A ．(12512)π
B ．123π
C ．(1233)π
D ．16π
8．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为60︒，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的( )
A 2
B ．2倍
C ．22
D ．3倍
9．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角为60︒，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是其底面半径的( )倍
A．22B．23C．4D．6 10．圆柱的底面直径和母线长均为2，则此圆柱的外接球的表面积为()
A．8
3
πB
82
C．4πD．8π
11．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为32π，高为h的圆柱，上面是一个底面积为32π，高为h的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为()
A．36πB642C．288πD．256
3
π
12．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥外接球的体积是．
13．已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30︒，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为．
14．已知圆锥的母线长为23，则该圆锥的外接球的表面积是．
15．一个圆锥恰有三条母线两两夹角为60︒，若该圆锥的侧面积为33π，则该圆锥外接球的表面积为．16．已知圆锥SO如图所示，底面半径为1cm，母线长为2cm，则此圆锥的
外接球的表面积为2
cm．
17．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30︒，
18．若SAB
∆的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是．
18．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为．
19．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P ABC
-的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O．若三棱锥P ABC
-的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为
20．将一个长为2π，宽为2的矩形纸板，围成一个轴截面为正方形的圆柱的侧面，则圆柱外接球的体积为．21．如图，将一个圆柱2(*)
n n N
∈等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当n越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为．
22．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的2倍，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的倍．。