转化变换化难为易

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转化与化归思想

转化与化归思想转化与化归思想就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解．使用化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知．转化与化归思想高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中. 类型一直接转化【典例1】已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．【答题模板】【解析】 ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，∴{1a n}是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．【对点练1】求下列函数的值域：(1)y ＝sin x ＋cos x ；(2)y ＝sin 2x －cos x ＋1； (3)y ＝cos x2cos x ＋1；(4)y ＝1＋sin x 3＋cos x.【解析】 (1)∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，∴函数的值域为[－2，2]． (2)∵y ＝sin 2x －cos x ＋1＝2－cos 2x －cos x ＝－(cos x ＋12)2＋94，∴函数的值域为[0，94]． (3)由y ＝cos x 2cos x ＋1，得cos x ＝y1－2y .∵|cos x |≤1，∴解不等式|y 1－2y |≤1，得y ≤13或y ≥1.∴函数的值域为(－∞，13]∪[1，＋∞)．(4)由y ＝1＋sin x3＋cos x ，得sin x －y cos x ＝3y －1，即1＋y 2·sin(x －φ)＝3y －1.∴sin(x －φ)＝3y －11＋y 2.∵|sin(x －φ)|≤1，∴|3y －11＋y 2|≤1.平方化简得y ·(4y －3)≤0.∴0≤y ≤34，即函数值域为[0，34]．类型二换元法【典例2】求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值．【答题模板】【解析】 y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]且sin x cos x ＝t 2－12.∴y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)．故当t ＝43时，y min ＝72.【对点练2】 (2015·衡水调研)已知x ＋y ＝－1，且x ，y 都是负数，求xy ＋1xy 的最值．【解析】设x ＝－sin 2α(sin 2α≠0)，y ＝－cos 2α(cos 2α≠0)，则xy ＋1xy ＝sin 2αcos 2α＋1sin 2αcos 2α＝14sin 22α＋4sin 22α＝14(sin 22α＋16sin 22α)． ∵sin 22α＋16sin 22α在sin 22α∈(0,1]上是减函数，∴sin 22α＝1时，取得最小值，∴xy ＋1xy 的最小值为14(1＋161)＝174.【典例3】若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【答题模板】可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决．【解析】设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程 t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得a ＋4＝－(t ＋4t )，∵t >0，∴－(t ＋4t )≤－4.∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．【对点练3】设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．【解析】令2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x .则4x 2＋y 2＋xy ＝1变形为6x 2－3tx ＋t 2－1＝0. Δ＝9t 2－4·6·(t 2－1)≥0，t 2≤85.∴－2105≤t ≤2105，即2x ＋y 的最大值是2105.类型三数形结合法【典例4】求函数f (x )＝2－sin x2＋cos x 的值域．【解析】函数f (x )＝2－sin x2＋cos x ，可看作点(2,2)，(－cos x ，sin x )两点连线的斜率．点(－cos x ，sin x )的轨迹为x 2＋y 2＝1.函数值域即为(2,2)与单位圆x 2＋y 2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的直线斜率存在，不妨设为k .∴切线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.∴满足|2－2k |1＋k 2＝1，解之得k ＝4±73.∴函数f (x )的值域为[4－73，4＋73]．【对点练4】设f (x )＝1＋x 2，求证：对于任意实数a ，b ，a ≠b ，都有|f (a )－f (b )|<|a －b |.【解析】设A (x 1,1)，B (x 2,1)，则|OA |＝1＋x 21，|OB |＝1＋x 22，|AB |＝|x 1－x 2|.在△AOB 中，||OA |－|OB ||<|AB |，即有|1＋x 21－1＋x 22|<|x 1－x 2|，所以|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，即|f (a )－f (b )|<|a －b |. 类型四构造法【典例5】在三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为________．【答题模板】用常规方法利用三棱锥的体积公式求解体积时，无法求出三棱锥的高．但若换个角度来思考，注意到三棱锥的三对棱两两相等，我们可以构造一个特定的长方体，将问题转化为长方体中的某个问题．【解析】如图所示，把三棱锥P －ABC 补成一个长方形AEBG －FPDC ，易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.所以V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.故所求三棱锥P －ABC 的体积为160.【对点练5】已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【解析】先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16×23＝33. 类型七参数法【典例8】已知直线l 过点A (2,3)且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于M ，N 两点，则当|AM |·|AN |最小时，直线l 的方程为________．【解析】设∠AMO 为θ，则θ∈(0，π2)， ∴|AM |＝3sin θ，|AN |＝2cos θ. ∴|AM |·|AN |＝6sin θ·cos θ＝12sin2θ≥12. 当且仅当sin2θ＝1，即θ＝π4时取“＝”号．此时k l ＝－1，∴l 的方程为x ＋y －5＝0. 【对点练8】 (2015·北京东城联考)已知点P (3,4)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，A ，B 是圆C 上两个动点，且|AB |＝23，则OP →·(OA →＋OB →)(O 为坐标原点)的取值范围是( ) A ．[3,9] B ．[1,11] C ．[6,18] D ．[2,22]【解析】设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，因为|AB |＝23，所以|CD |＝1，故点D在圆(x －2)2＋y 2＝1上，所以点D 的坐标为(2＋cos α，sin α)，故OP →·(OA →＋OB →)＝2OP →·OD →＝2(6＋3cos α＋4sin α)＝2[6＋5sin(α＋φ)]，而2≤2[6＋5sin(α＋φ)]≤22，则OP →·(OA →＋OB →)的取值范围是[2,22]．。

妙用转化化难为易

内错角共有对．
次方程或方程组时，通常利用降次、消元等方法将其转
化为一元一次方程或一元二次方程；在解分式方程和无理方程时，常用换元法将其分别转化为整式方程和有则理方程；在研究梯形问题时，过作辅助线，梯形转化通把
通＿ｃ（１
把ａ一ｎ：１。代人上式得
１一一，２一，
＝ｐ－ｑ构造等比数列｛ｘａ）把问题转化为命ｘ￣，－ａ－一，题１的形式求数列的通项公式．【２已知数列｛中，一０ａ一１且ｎ例】ａ｝，， ≥３时，
去想，以先试着移走一条直线，可比如ＡＤ．这样，问题一
（当ｚ，一劳＋［，题２ｚｚ三。垒由） ≠ 时ａｎ命
１知
一ｚ２１，
所以一＋（一１ｚ一口＋（一１ｄ ” ）］１ｎ）．将ａ一０ａ —１，２代人上式得一１，
解：由特征方程ｚ一ｚ１得＋解
１ √ 一５１ √ ＋５
— 一，ｚ１一 — 一，２一ｚ
贝＝１ｚ十ｃ・２４＝ｃ・２ｎａ＝．对于以上二结论，以验证当一１２均成立，可，时因
同旁内角的概念．当然，本例并不是直接考查概念，而是
把概念进行了变形，基本的什么是同旁内角，从变化成
转化思想．转化” 比学好数学的金钥匙，难的“ ” “ 好再锁
都打得开．用转化思想巧解题，妙往往思路开阔，生顿

化繁为简,化难为易

化繁为简，化难为易作者：李哲来源：《读写算·教研版》2016年第06期摘要：小学数学算法的多样化主要是利用不同的算法对学生进行化归数学思想方法的渗透和培养，突出过程性教学，使不同层次的学生都能参与到教学过程中来，更好地体现学生的主体性，使学生个性得到张扬，学生之间的相互学习得到倡导。

关键词：化归；计算教学多样化算法优化；应用中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）06-168-01所谓“化归”，就是转化和归结。

化归思想是根据主体已有的知识经验，通过观察、联想、类比等手段把问题进行变换，转化直到化成已经解决或容易解决的问题。

其主旨在于：将新问题归结为我们已经解决的或较为熟悉的问题。

在教学中，我们不仅要重视知识形成的过程，还要重视发掘在数学知识的发生、形成和发展过程中所蕴藏的重要思想方法。

学生一旦形成了化归意识，就能熟练掌握多种转化，化繁为简，化难为易，化未知为已知，化隐为显，化抽象为具体。

下举例说明如何在小学数学计算教学中应用这一思想。

一、有关口算教学的应用例如：在教学分数除以整数一节课时，口算 ÷2学生探究了以下方法：① ÷2= =② ÷2= × =③ ÷2= 0.8÷2=0.4……（其它个性化方法）学生利用把除法转换为乘法、除数转换为倒数的方法或把分数转化为小数直接除以2的方法以及一些个性化方法解决了问题，渗透了转化的思想。

选择哪种计算方法，要根据具体题目中数字的特点灵活选择。

在学生对“类方法”有了认识之后，要通过一定的练习巩固学生的认识，在此基础上还要注意提供灵活多变的具体情境，帮助学生学会根据具体情境的需要作出准确快速的判断，并能够在几类方法中作出恰当合理的选择，找到最优的方法。

二、有关笔算教学中的应用算法多样化注重学生自主探究，鼓励学生个性化的解决问题，提倡学生在思维的多样化中分析比较、合作交流、优化算法。

高中生必须掌握的9大物理解题思维方法

高中生必须掌握的9大物理解题思维方法包括：
1.转化和归结思维：把问题化繁为简、化难为易，把具体情况转化为典型情境，将未
知问题归结为已知问题。

2.隔离思维：将物理问题中的几个物体或一个物体的几个部分隔离开来，分别研究，
分析求解。

3.整体思维：把几个物体或事物的各个部分、各个方面、各种因素联系起来加以研
究，从而在整体上认识事物、解决问题。

4.假设思维：根据已知的科学事实和科学原理，对未知的自然现象及其规律提出猜想
与假设，是科学研究中的一种重要方法。

5.类比思维：把形式、性质、特征类似的问题放在一起研究，有助于揭示问题的本质
特征和规律。

6.极限思维：把某个物理量推向极端，从而得出有关结论的方法。

7.逆向思维：从结论或现象开始，反向分析问题的原因或条件，从而找到解决问题的
方法。

8.等效思维：在保证效果相同的前提下，将复杂的物理现象、物理过程转化为简单的
物理现象、物理过程来研究和处理的方法。

9.对称思维：利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接
抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题。

这些思维方法可以帮助高中生更好地理解和掌握物理知识，提高解题效率和准确性。

初中数学思想方法导图大全

有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法应用：A 将未知向已知转化；B 将陌生向熟知转化；C 方程之间的转化；D 平面图形间的转化； E 空间图形与平面图形的转化；F 统计图之间的相互转化。例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形；（二）、数形结合思想数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关

转化与化归二

转化与化归二化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.化归思想的核心,是以可变的观点对所要解决的问题进行变形,就是在解决数学问题时,不是对问题进行直接进攻,而是采取迂回的战术,通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题;从而求得原问题的解决;化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”;它的基本形式有：①化未知为已知；②化难为易,化繁为简；③化高维为低维；④化抽象为具体；⑤化非规范性问题为规范性问题；⑥化数为形,化形为数；；⑦化曲为直；⑧化实际问题为数学问题；⑨化综合为单一；⑩化一般为特殊等;匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著无穷的玩艺中,通过一个十分生动而有趣的笑话,来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的;有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶,水龙头、水壶和火柴,你想烧开水,应当怎样去做 ”对此,某人回答说：“在壶中灌上水,点燃煤气,再把壶放在煤气灶上;”提问者肯定了这一回答,但是,他又追问道：“如果其他的条件都没有变化,只是水壶中已经有了足够的水,那么你又应该怎样去做 ”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气,再把水壶放上去;”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做,而数学家会回答：‘只须把水壶中的水倒掉,问题就化归为前面所说的问题了’”;化归思想是指问题之间的相互转化;前苏联著名数学家.雅诺夫斯卡娅,有一次向奥林匹克竞赛参加者发表了什么叫解题的演讲,她的答案显得惊人地简单,完全出乎人的意料：“解题就是把题归结为已经解决过的问题”,这句话实际上就是体现了化归思想;因此化归的常用模式为转化对象目标解答一、将未知的问题转化归结为已知的知识例1设),0(1cos cos 2)(2π<<-+=x x x x f 若方程)2(cos )(-=x k x f 中的cosx 有两个不同的符号,求实数k 的取值范围;分析令cosx=t,)1,1(-∈t ,则由)2(cos )(-=x k x f 得)1(,012)1(22=-+-+k t k t 方程)2(cos )(-=x k x f 中的cosx 有两个不同的符号,等价于关于t 的方程1在)1,1(-∈t 有异号两根,设12)1(2)(2-+-+=k t k t t g ,则原问题又等价于⎪⎩⎪⎨⎧>>-<0)1(0)1(0)0(g g g , 由此可得210<<k评注将未知的问题向已知的知识转化,并使未知和已知的知识发生联系,使之能用熟悉的知识和方法解决新的问题;这种转化经常可达到事半功倍的效果;例如要求空间两条异面直线所成的角,只须通过作平行线转化成大家所熟悉的两相交直线所成的角;又如复杂的三角函数的最值问题有时也可以通过换元转化为熟悉的二次函数最值问题,再如还可以用三角法解决几何量的最值问题等等;二、数形之间的转化例3讨论方程()2|23|x x a a R --=∈的实数解的个数. 分析:此题若从代数的角度去解恐怕是无从下手,我们不妨利用数形结合来考虑看会怎么样此题可转化为求函数2|23|y x x =--图象与函数y a =图象的交点个数的问题.解:作出函数2|23|y x x =--的图象,如右图所示,函数y a =为水平直线,由图形可知:当0a <时,解的个数是0; 当0a =或4a >时,解的个数是2; 当04a <<时,解的个数是4; 当4a =时, 解的个数为3;评注注意数形的相互转化,使数形达到和谐的统一,以增强直观性和形象性及深刻了解数学的内涵,便于发现和解决实质问题;某些代数问题、三角问题,往往潜在着几何背景,而借助其背景图形的性质,可使那些抽象的概念,复杂的数量关系几何直观,以便于探求解题思路或找到问题的结论;三、特殊与一般的相互转化在平面直角坐标系xOy 中,已知ABC △的顶点(40)A -，和(40)C ，,顶点B 在椭圆221259x y +=上,则sin sin sin A CB+=_____．解析：这里顶点B 是椭圆上的动点,所以sin A 、sin B 、sin C 不易确定;但根据“一般成立特殊一定成立”可将这个一般性的问题转化化归为B 点在特殊位置椭圆短轴端点来处理较易;当然：注意到A 、C 是两焦点,利用正弦定理,进行数形转化也能取得很好的效果. 答案：顶点B取椭圆短轴端点,即(0,3)B ,则3sin sin cos25B A C ===,4sin 25B =,3424sin 2sin cos 2225525B B B ∴==⨯⨯=,sin sin sin A C B +∴=54点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用;问题A问题B问题A 的解答问题B 的解答评注对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题,可先用特殊情形探求解题思路或命题结论,再在一般情况下给出证明,这不失为一种解题的明智之举;四、正与反的相互转化若下列方程：03442=+-+a ax x ,0)1(22=+-+a x a x ,a ax x 222-+=0中至少有一个方程有实根. 试求实数a 的取值范围.分析：三个方程至少有一个方程有实根的反面情况有一种：三个方程均没有实数. 先求出反面情况时a 的范围,取所得范围的补集就是正面情况的答案.解：设三个方程均无实根,则有⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆.0)2(44,04)1(,0)34(4162322221a a a a a a 解得.123.02,311,2123-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-a ••a •a a a 即或所以当231-≤-≥a a 或时,三个方程至少有一个方程有实根. 评注对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题,可先攻其反面,从而使正面问题得以解决;五、实际问题向数学问题的转化归结例6某厂家拟在2009年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量即该厂的年产量x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31kx m =-+k 为常数,如果不搞促销活动,则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用．1将2009年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；2该厂家2009年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大解：1由题意可知,当0=m 时,1=x ,∴13k =-即2=k ,∴231x m =-+,每件产品的销售价格为8161.5x x +⨯元.∴2009年的利润)168(]1685.1[m x x xx y ++-+⨯=m m m x -+-+=-+=)123(8484)0(29)]1(116[≥++++-=m m m 2∵0m ≥时,16(1)21681m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=,当且仅当1611m m =++,即3m =时,max 21y =. 答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大为21万元.评注将实际问题转化为数学问题,使之能用数学理论解决具体的实际问题;解答数学应用问题;要善于调整应用题中的条件关系和题型结构,使问题化难为易,化繁为简;若有些较复杂的应用题采用直接设元列方程转化较困难,则可合理地设置间接未知数来设法进行转化,以寻求解决问题的新途径;练习1．若不等式243x px x p +>+-对一切04p ≤≤均成立,试求实数x 的取值范围; 2. 方程y =x 3–3x =a 有相异三个解,求a 的取值范围.3. 曲线y =1+24x - –2≤x ≤2与直线y =rx –2+4有两个交点时,实数r 的取值范围 .4. 为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱如图,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出,设箱体的长度为a 米,高度为b 米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料60平方米,问当a 、b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小A 、B 孔的面积忽略不计5. fx 是R 上的奇函数,fx ＋2＝fx,当0≤x ≤1时,fx ＝x,则f 等于_____; A. 0.5 B. －0.5 C. D. －6.设fx ＝3x －2,则f-1fx 等于______; A. x +89B. 9x －8C. xD.132x -7. 若m 、n 、p 、q ∈R 且m 2＋n 2＝a,p 2＋q 2＝b,ab ≠0,则mp ＋nq 的最大值是______; A.a b+2 B. ab C. a b 222+ D. ab a b + 8. 如果复数z 满足|z ＋ｉ|＋|z －ｉ|＝2,那么|z ＋ｉ＋1|的最小值为______; A. 1 B. 2 C. 2 D. 59. 设椭圆y a22＋x b 22＝1 a>b>0的半焦距为c,直线l 过0,a 和b,0,已知原点到l 的距离等于2217c,则椭圆的离心率为_____; A.14 B. 12C. 33D. 2210. 已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直,SA ＝5,SB ＝4,SC ＝3,D 为AB 的中点,E 为AC 的中点,则四棱锥S-BCED 的体积为_____; A. 152B. 10C. 252D. 352化归与转换的思想,就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化,进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体,复杂转化为简单、未知转化为已知,通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法. 参考答案1. 解:243x px x p +>+- ∴2(1)430x p x x -+-+>令()g p =2(1)43x p x x -+-+,则要使它对04p ≤≤均有()0g p >,只要有(0)0(4)0g g >⎧⎨>⎩ 3x ∴>或1x <-; 2. 解：.提示：f ′x =3x 2–3=3x –1x +1易确定f –1=2是极大值,f 1=–2是极小值.当–2<a <2时有三个相异交点.3. 解：解析：方程y =1+24x -的曲线为半圆,y =rx –2+4为过2,4的直线.4. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ,则由条件y =abkk ＞0为比例系数其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ①要求y 的最小值,只须求ab 的最大值. 由①a +2b +1=32a ＞0,b ＞0且ab =30–a +2b应用重要不等式a +2b =a +2+2b +2–4≥124)22)(2(2=-++b a ∴ab ≤18,当且仅当a =2b 时等号成立将a =2b 代入①得a =6,b =3.故当且仅当a =6,b =3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二：由2a +4b +2ab =60,得aab +-=230, 记aaa ab u +-==2)30(0＜a ＜30则要求y 的最小值只须求u 的最大值.由22)2()2(64++-='a a u ,令u ′=0得a =6 且当0＜a ＜6时,u ′＞0,当6＜u ＜30时u ′＜0,∴aaa u +-=2)30(在a =6时取最大值,此时b =3.从而当且仅当a =6,b =3时,y =abk取最小值.5小题：由已知转化为周期为2,所以f ＝f ＝－f,选B ； 6小题：设fx ＝y,由互为反函数的值域与定义域的关系,选C ；7小题：由mp ＋nq ≤m p 222+＋n q 222+容易求解,选A ；8小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解,选A ； 9小题：ab ＝2217c×a b 22+,变形为12e 4－31e 2＋7＝0,再解出e,选B ； 10小题：由S ∆ADE ＝14S ∆ABC和三棱椎的等体积转化容易求,选A;。

数学思想有哪些

一、转化与化归思想转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。

转化与化归思想是在研究和解决数学问题时采用某种方式，如借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。

应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。

常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化。

二、数形结合思想在数学学习中，我们会运用到很多数学思想方法，其中数形结合是数学解题中最常用的思想方法之一。

运用数形结合的思想，我们可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，这样很多问题便迎刃而解，且解法容易理解和消化。

数形结合思想当中“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

数形结合思想在中学数学中占有非常重要的地位，我们在应用数形结合思想解决问题，应充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。

三、分类讨论思想分类讨论思想也是我们接触接触比较多的数学思想，它是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。

分类讨论思想方法我们在很多数学内容里都能找到它的影子，它依据一定的标准，对问题进行分类、求解。

分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题。

对“转化”策略的几点思考

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对“转化”策略的几点思考
作者：包逢祺
来源：《云南教育·小学教师》2012年第10期
“转化”是数学教学中最常用的解决问题的策略之一。

在分析和解决问题的时候，“转化”就是把复杂难以理解的问题，通过一定的方法和手段，将其转变成一个大家熟知的简单的数学形式，并运用数学知识将问题解决。

面对问题，教师就应该引导学生用“转化”的策略，“化难为易、化繁为简、化未知为已知”。

转化的方法多种多样，主要有以下三种：
一、“形形”转化
在解决实际问题的过程中，学生运用“转化”的策略，化难为易、化未知为已知，将没有学过的新知识，转化为一个熟知的简单的数学形式，然后运用所熟悉的数学方法去解决问题。

如，教学“平行四边形的面积”一课时，我是这样运用“转化”策略的，教学片段如下：
……
师：长方形的面积与它的长和宽有关系，请大家猜测一下平行四边形的面积和谁有关系？
生1：底和高。

师：我们已经学会计算长方形的面积，请问能不能把平行四边形转化成长方形，再运用长方形来计算它的面积呢？想一想，同桌互相交流。

生2：沿着平行四边形一个顶点向对边作一条高，沿着高剪开来，剪成了一个三角形和一个梯形，把三角形平移到梯形右边，拼成一个长方形，长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高，运用长方形的面积公式就可以求出平行四边形的面积。

生3：还有一种剪法，就是在这个平行四边形中间作一条高，沿着高剪开来，剪成了两个梯形，把左边梯形平移到右边，拼成一个长方形。

……
师：同学们真聪明，大家都运用了“转化”，把平行四边形转化成长方形，“转化”是一种重要的数学思想方法，在以后学习中会经常用到。

……。

化难为易化生为熟化繁为简

化难为易化生为熟化繁为简作者：徐俊岭来源：《小学教学参考(综合)》2014年第08期化归思想既是数学中常见的一种思想方法，也是一种最基本的解题策略，更是一种有效的数学思维方式。

所谓化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法。

运用归思想解决问题，一般是将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

一、在简单计算中感知化归思想在学习新知识的时候，人们往往会用已有的知识去认识、探究，从而形成一种新的体验，渐渐转化为自己的知识，这样的一种过程我们称之为化归的过程。

虽然小学生的年纪比较小，但是运用学过的知识或经验来处理新问题，在现实生活中肯定是有过这样的体验和经历。

因此，课堂教学中，教师可以运用化归思想来引导学生解决问题。

例如，学习“１０以内的加减法”和“２０以内的进位加法”时，对１～２０各个数字的认识，尤其是在认知１～１０的数字组成之后，学生对“拆小数，凑大数”或“拆大数，凑小数”这样的学习方法是比较容易接受的。

但２０以内加法的口算方法是多样化的，所表现出来的计算方法也各不相同，如“点数”“接着数”“凑十法”等，其中“凑十法”是很重要的一种方法。

所谓“凑十法”，就是把大数拆分成小数，或者反过来把小数拆分，再和另一个大数或是小数凑成十。

这样就把２０以内的进位加法转化为学生比较容易接受的十加几的算术题，从而使得这种复杂的计算题变得更加简单。

如计算８＋４时，可以先把4拆分成2和2，再把８和２凑成一个整十，就可以得到１０＋２＝１２，最后得出８＋４＝１２。

如果把２０以内的加法也利用这种方法进行转化，变成１０加几的计算题，学生在这个学习过程中可以感受到化归思想的具体含义，并且把这种数学思想很好地运用到学习、生活中去。

二、在实践探索中体验化归思想学生在不断的学习中慢慢地领悟化归思想的实际含义，然后进行深入的学习和运用。

关于掌握规律,化难为易的成语

关于掌握规律,化难为易的成语篇一：标题：掌握规律，化难为易正文:掌握规律是化难为易的关键。

以下是一些关于掌握规律，化难为易的成语: 1. 提纲挈领：提纲挈领是指抓住重点，抓住主要矛盾，从而化繁为简，化难为易。

2. 易如反掌：易如反掌是指事情变得非常容易，如同反手就能抓住手掌一样。

这个成语表达了掌握规律后，事情变得容易的程度。

3. 迎刃而解：迎刃而解是指遇到问题时，如果能够找到问题的本质，就可以迎刃而解，化难为易。

4. 举重若轻：举重若轻是指能够轻松地举起重物，说明掌握了规律，化难为易。

5. 深入浅出：深入浅出是指能够深入理解问题的本质，并将其简单化，化难为易。

拓展:除了上述成语外，还有一些其他的成语也表达了掌握规律后，可以化难为易的意思，例如:1. 事半功倍：事半功倍是指做事情的效率提高了，化难为易，花费更少的时间和精力却能够得到更好的结果。

2. 按部就班：按部就班是指按照一定的步骤、顺序进行，化繁为简，化难为易。

3. 左右逢源：左右逢源是指能够在不同的环境中得到帮助和启示，化难为易。

4. 有条不紊：有条不紊是指做事情有条理，不杂乱无章，能够化难为易。

5. 一劳永逸：一劳永逸是指能够一劳永逸地解决问题，化难为易。

篇二：掌握规律，化难为易是一个广泛适用于各个领域的成语，它意味着通过深入了解和掌握规律，可以将看似困难的问题变得容易解决。

以下是几个相关的成语和它们的解释:1. 化繁为简：将复杂的问题简化为易于处理的部分。

解释：这个成语意味着通过分解复杂问题并找出其基本要素，可以将问题变得易于理解和解决。

2. 深入浅出：将深奥的问题解释为浅显易懂的部分。

解释：这个成语意味着通过深入挖掘问题的本质，并将其解释为易于理解的方式，可以使人们更容易理解问题。

3. 按图索骥：按照一定的标准和方法去寻找事物。

解释：这个成语意味着通过制定一定的标准和方法，可以更容易地找到问题的答案。

4. 驾轻就熟：将陌生的问题转化为熟悉的问题。

关于数学中最重要的思想--转化思想

关于数学中最重要的思想--转化思想摘要在中学数学教学中，转化思想既是一种解题方法，也是一种思维策略。

转化就是把不常见的问题转化为常见的、熟悉的问题来考虑，通过转化，化一般为特殊，化非典型为典型，化复杂为简单，化未知为已知等。

本文通过分析数学转化思想的重要性以及理论基础，对其常见的基本形式和培养方法进行了探讨。

关键词中学数学教学转化思想理论依据运用策略所谓转化思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择恰当的数学方法进行变换，转化为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想。

布卢姆在《教育目标分类学》中指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”，它可以从语言描述向图形表示转化，或从语言表达向符号形式的转化，或是每一种情况反过的转化。

这种数学转化包含了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。

简而言之，数学转化思想就是通过数学内部的联系和矛盾运动，在转变中实现问题的规范化，将待解问题转化为规范问题从而使原问题得到解决的方法。

（一）数学转化思想的重要性转化思想贯穿在数学解题的始终，在解题过程中，常常需要把抽象的概念直观化、隐蔽的条件明显化、复杂的关系简单化，善用转化思想往往能使我们更深刻地领会问题的实质，有助于理解各知识体系间的相互联系，也更有利于各知识体系间的融合。

有意识地运用数学变换方法，将有利于提高数学解题的应变能力和技巧。

一方面，通过转化能优化解题方法。

有些数学问题通过转化，不只是获得了解决，更重要是获得了解法的优化。

另一方面，通过转化能揭露问题的本质。

有不少数学问题，在原来提出这一问题的领域内很难解决，甚至无法解决，如果把问题转化到另一领域中，就可以迎刃而解了。

（二）数学转化思想的理论基础辩证唯物主义：辩证唯物主义认为任何事物内部均存在着矛盾，客观世界是充满矛盾的统一体，是具有普遍联系的，事物处于运动变化中而又在一定条件下互相转化，从而推动事物的发展。

转化的策略

转化的策略
我们解决新问题的过程往往是把新的问题“转化”为旧的问题，转化的基本思想是化难为易，化生为熟、化繁为简、化曲为直等等。

有很多知识的结论我们如果直接告诉学生，短期内可能节约了时间，增加了课堂密度，实际上却伤害了学生，伤害了他们的的求知欲和积极探索的精神，，学生不是主动学习而是被动学习，孰轻孰重，作为一名有良知的教师应该分得清。

学生刚开始学习异分母分数加、减法，怎样求出它们的和或差是一个要解决的未知问题，为了解决这个问题，必须把它转化为学生已学过的旧知识，即通过通分把异分母分数转化为同分母分数，从而使问题得到解决，在上新课之前的复习铺垫就很重要，通过通分的练习，再出示例题，让学生尝试解决。

又如怎样计算圆柱的体积，这里要推导出圆柱的体积公式，可借助圆的面积公式的推导方法，化曲为直，通过实物教具演示把圆柱转化为近似长方体的过程，再让学生自己动手操作，最后再观看多媒体课件，把圆柱等分成无数份，再拼成一个完美的长方体，这里也渗透了极限的思想。

然后学生自然而然明白长方体的体积等于圆柱的体积，从而得出圆柱的体积公式。

当学生通过老师的引导自己解决了问题后，那种成就感就成了激励学生勇往直前的动力。

巧用转化化难为易

巧用转化化难为易关键词：转化文字图表设问【内容摘要】：“转化”是实施有效教学和解决实际问题的重要方式和能力。

在政治学科中，将政治术语转化为非政治术语，或者将非政治术语转化为政治术语，将隐性的词语转化成显性的词语；将图表转化成文字，或者将文字转化成图表；将陈述句转化成“是什么”、“为什么”、“怎么办”的设问句；将教材的知识重点、难点和易混淆点有意出错；可以有助于化难为易，化繁为简，帮助学生正确理解、记忆和运用知识，提高分析和解决实际问题的能力，提高教学的有效性。

“转化”作为一种常用的教学思想常常运用在数学教学中。

它可以将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题。

常见的转化方式有：一般—特殊转化、复杂—简单转化、数形转化等。

“转化”其实在其他学科中也可以运用，在高中政治教学过程中，也常常可以运用“转化”的思想，实施有效教学。

高考往往将学科知识的迁移能力作为考查的核心。

在此背景下，迁移能力的培养成了学生能力培养的重中之重。

而迁移能力与知识的转化是密不可分的。

因此，政治教师应结合特定的教学情境，有效培养学生的知识迁移与转化能力，提高学生的政治科学素养及应变能力。

笔者根据教学实践，将政治学科知识的转化大体分为以下几类：一、文字转化陶行知《教学做合一下之教科书》一文说：“我们对于书的根本态度是：书是一种工具，一种生活的工具，一种“做”的工具。

工具是给人用的；书也是给人用的。

”在政治学科中，学会活用教科书，将政治术语转化为非政治术语，其目的是为了化难为易，方便学生对知识的理解和记忆；将材料中的非政治术语转化为政治术语，可以化繁为简，提高学生理解和回答问题的正确性。

2003年江苏高考政治试题第9题：鲁迅说：“天才们无论怎样说大话，归根结底，还是不能凭空创造。

描神画鬼，毫无对证，本可以专靠了神思，所谓…天马行空‟似的挥写了，然而他们写出来的，也不过是三只眼，长颈子，就是在常见的人体上，增加了眼睛一只，增长了颈子二三尺而已。

高三数学一轮复习化归思想

2009届一轮复习化归思想高考要求:化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法. 重难点归纳:转化有等价转化与不等价转化.等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.应用转化化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.常见的转化有:正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化. 典型题例示范讲解:例1对任意函数f (x ),.x ∈D ，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下:①输入数据x 0∈D ，经数列发生器输出x 1=f (x 0)；②若x 1∉D ，则数列发生器结束工作；若x 1∈D ，则将x 1反馈回输入端，再输出x 2=f (x 1)，并依此规律继续下去.现定义124)(+-=x x x f （1）若输入x 0=6549，则由数列发生器产生数列{x n }，请写出{x n }的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x 0的值；（3）若输入x 0时，产生的无穷数列{x n }，满足对任意正整数n 均有x n ＜x n +1；求x 0的取值范围.命题意图:本题主要考查学生的阅读审题，综合理解及逻辑推理的能力.知识依托:函数求值的简单运算、方程思想的应用.解不等式及化归转化思想的应用.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言.错解分析:考生易出现以下几种错因:（1）审题后不能理解题意.（2）题意转化不出数学关系式，如第2问.（3）第3问不能进行从一般到特殊的转化. 技巧与方法:此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目.由于陌生不易理解并将文意转化为数学语言.这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换. 解:（1）∵f (x )的定义域D =（–∞,–1)∪(–1,+∞) ∴数列{x n }只有三项，1,51,1911321-===x x x （2）∵x x x x f =+-=124)(,即x 2–3x +2=0 ∴x =1或x =2，即x 0=1或2时,n n n n x x x x =+-=+1241故当x 0=1时，x n =1，当x 0=2时，x n =2（n ∈N *）（3）解不等式124+-<x x x ，得x ＜–1或1＜x ＜2 要使x 1＜x 2，则x 2＜–1或1＜x 1＜2 对于函数164124)(+-=+-=x x x x f 若x 1＜–1，则x 2=f (x 1)＞4，x 3=f (x 2)＜x 2若1＜x 1＜2时，x 2=f (x 1)＞x 1且1＜x 2＜2 依次类推可得数列{x n }的所有项均满足x n +1＞x n （n ∈N *)综上所述，x 1∈(1,2)由x 1=f (x 0),得x 0∈(1,2).例2设椭圆C 1的方程为12222=+by a x (a ＞b ＞0)，曲线C 2的方程为y =x 1，且曲线C 1与C 2在第一象限内只有一个公共点P .（1）试用a 表示点P 的坐标；（2）设A 、B 是椭圆C 1的两个焦点，当a 变化时，求△ABP 的面积函数S (a )的值域；（3）记min{y 1,y 2,……,y n }为y 1,y 2,……,y n 中最小的一个.设g (a )是以椭圆C 1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f (a )=min{g (a ),.S (a )}的表达式.命题意图:本题考查曲线的位置关系，函数的最值等基础知识，考查推理运算能力及综合运用知识解题的能力.知识依托:两曲线交点个数的转化及充要条件，求函数值域、解不等式.错解分析:第（1）问中将交点个数转化为方程组解的个数，考查易出现计算错误，不能借助Δ找到a 、b 的关系.第（2）问中考生易忽略a ＞b ＞0这一隐性条件.第（3）问中考生往往想不起将min{g (a ),S (a )}转化为解不等式g (a )≥S (a ).技巧与方法:将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂.要求必须将各知识的内涵及关联做到转化有目标、转化有桥梁、转化有效果.解:（1）将y =x 1代入椭圆方程，得112222=+xb a x化简，得b 2x 4–a 2b 2x 2+a 2=0 由条件，有Δ=a 4b 4–4a 2b 2=0，得ab =2 解得x =2a 或x =–2a （舍去）故P 的坐标为(aa 2,2). (2)∵在△ABP 中，｜AB ｜=222b a -，高为a2, ∴)41(22221)(422aa b a a S -=⋅-⋅=∵a ＞b ＞0,b =a2 ∴a ＞a 2,即a ＞2,得0＜44a＜1 于是0＜S （a ）＜2，故△ABP 的面积函数S (a )的值域为(0,2) (3)g (a )=c 2=a 2–b 2=a 2–24a 解不等式g (a )≥S (a )，即a 2–24a ≥)41(24a - 整理，得a 8–10a 4+24≥0，即(a 4–4)(a 4–6)≥0 解得a ≤2（舍去）或a ≥46.故f (a )=min{g (a ),.S (a )}⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≤<-=)6()41(262(444422a a a a a例3一条路上共有9个路灯，为了节约用电，拟关闭其中3个，要求两端的路灯不能关闭，任意两个相邻的路灯不能同时关闭，那么关闭路灯的方法总数为 .解析:9个灯中关闭3个等价于在6个开启的路灯中，选3个间隔（不包括两端外边的装置）插入关闭的过程故有C 35=10种答案:10例4.已知平面向量a =(3–1),.a =(23,21). （1）证明a ⊥b ;（2）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t 2–3).b ，y =–k a +t b ，且x ⊥y ，试求函数关系式k =f (t);（3）据（2）的结论，讨论关于t 的方程f (t )–k =0的解的情况. (1)证明:∵a ·b =23)1(213⋅-+⨯=0，∴a ⊥b (2)解:∵x ⊥y ,∴x ·y =即［a +（t 2–3).b ］·(–k a +t b )=0，整理后得–k a 2+［t –k (t 2–3)］a ·b +t (t 2–3)·b 2=0∵a ·b =0,.a 2=4,.b 2=1 ∴上式化为–4k +t (t 2–3)=0，∴k =41t (t 2–3). (3)解:讨论方程41t (t 2–3)–k =0的解的情况，可以看作曲线f (t )=41t (t 2–3)与直线y =k 的交点个数于是f ′(t )=43(t 2–1)=43(t +1)(t –1).令f ′(t )=0,解得t 1=–1,t 2=1.当t 变化时，f ′(t ),f (t )的变化情况如下表:当t =–1时，f (t )有极大值，f (t )极大值=2；当t =1时，f (t )有极小值，f (t )极小值=–21.而f (t )=41(t 2–3)t =0时，得t =–3,0,3.所以f (t )的图象大致如右: 于是当k >21或k <–21时，直线y =k 与曲线y =f (t )仅有一个交点，则方程有一解；当k =21或k =–21时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k =0，直线与曲线有三个交点，但k 、t 不同时为零，故此时也有两解；当–21<k <0或0<k <21时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解.学生巩固练习:1.已知两条直线l 1:y =x ,l 2:ax –y =0，其中a ∈R ，当这两条直线的夹角在(0,2π)内变动时，a 的取值范围是( )A （0，1）B （33，3） C （33，1）∪（1，3） D （1，3） 2.等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别用S n 和T n 表示，若534+=n n T S n n ，则nn n ba ∞→lim 的值为( ) A34 B 1 C 36 D 94 3.某房间有4个人，那么至少有2人生日是同一个月的概率是 .（列式表示）4.函数f (x )=x 3–3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则b 的取值范围是 . 5.已知f (x )=lg(x +1),g (x )=2lg(2x +t ),(t ∈R 是参数). (1)当t =–1时，解不等式f (x )≤g (x );(2)如果x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立，求参数t 的取值范围.6.已知函数f (x )=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n，n ∈N *且a 1、a 2、a 3、……、a n 构成一个数列{a n }，满足f (1)=n 2.（1）求数列{a n }的通项公式，并求1lim+∞→n nn a a ；（2）证明0＜f (31)＜1. 7.设A 、B 是双曲线x 2–22y =1上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点.（1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？8.直线y =a 与函数y =x 3–3x 的图象有相异三个交点，求a 的取值范围.参考答案:1.解析:分析直线l 2的变化特征，化数为形，已知两直线不重合，因此问题应该有两个范围即得解答案:C2.解析:化和的比为项的比 ∵n n n n n b n T a n a a n S )12(;)12(2)12(1212112-=-=+-=---. ∴26485)12(3)12(41212+-=+--==--n n n n T S b a n n n n ,取极限易得答案:A3.解析:转化为先求对立事件的概率即四人生日各不相同的概率答案:441212A 1-4.解析:转化为f ′(x )=3x 2–3b 在（0，1）内与x 轴有两交点只须f ′(0)<0且f ′(1)>0. 答案:0<b <15.解:(1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>->⎪⎩⎪⎨⎧-≤+>->+05421)12(10120122x x x x x x x 即即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤>45021x x x 或:∴x ≥45∴原不等式的解集为{x |x ≥45}. (2)x ∈［0,1］时，f (x )≤g (x )恒成立.∴x ∈［0,1］时⎪⎩⎪⎨⎧+≤+>+>+2)2()1(0201t x x t x x 恒成立.即⎪⎩⎪⎨⎧++-≥->>+12201x x t x t x 恒成立即x ∈［0,1］时，t≥–2x +1+x 恒成立，于是转化为求–2x +x +1,x ∈［0,1］的最大值问题令μ=1+x ,则x =μ2–1,则μ∈［1,2］.∴2x +1+x =–2(μ–41)2+817. 当μ=1即x =0时，–2x +1+x 有最大值1∴t 的取值范围是t ≥1.6.(1)解:{a n }的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n =f (1)=n 2,由a n =S n –S n –1=n 2–(n –1)2=2n –1(n ≥2),又a 1=S 1=1满足a n =2n –1. 故{a n }通项公式为a n =2n –1(n ∈N *)∴11212lim lim1=+-=∞→+∞→n n a a n n n n(2)证明:∵f (31)=1·31+3·91+…+(2n –1)n 31.①∴31f (31)=1·91+3·271+…+(2n –3)n 31+(2n –1)131+n :.②①–②得:32f (31)=1·31+2·91+2·271+…+2·n 31–(2n –1)·131+n∴f (31)=21+31+91+271+…+131-n –(2n –1)131+n =1–n n 31+.∵n n n n n n +>+>+⋅+⋅+=+=1212C 2C 1)21(3221 .(n ∈N *)∴0<n n 31+<1,∴0<1–nn 31+<1，即0<f (31)<17.解:(1)设AB ∶y =k (x –1)+2代入x 2–22y =1.整理得（2–k 2）x 2–2k (2–k )x –(2–k )2–2=0:.① 设A (x 1,y 1)、B （x 2,y 2）,x 1,x 2为方程①的两根所以2–k 2≠0且x 1+x 2=22)2(2k k k --.又N 为AB 中点，有21（x 1+x 2）=1∴k (2–k )=2–k 2,解得k =1.故AB ∶y =x +1. (2)解出A （–1，0）、B （3，4）得CD 的方程为y =3–x .与双曲线方程联立.消y 有x 2+6x –11=0 ②记C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)及CD 中点M (x 0,y 0)由韦达定理可得x 0=–3,y 0=6 ∵|CD |=104)()(243243=-+-y y x x ∴|MC |=|MD |=21|CD |=210. 又|MA |=|MB |=102)()(210210=-+-y y x x .即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆.8.提示:f ′(x )=3x 2–3=3(x –1)(x +1)易确定f (–1)=2是极大值，f (1)=–2是极小值.当–2<a <2时有三个相异交点. 课前后备注:。

如何理解“化难为易”与“化浅为深(化易为难)”的关系

如何理解“化难为易”与“化浅为深（化易为难）”现在在学生相对来说都很有个性，教师在教学中可以更多的关注此类学生，但这样就对多数学生不那么公平了，等于是在使用多数学生的时间在对少数学生因材施教。

而这个少数却不是极少数，面对这样的情况又当如何平衡呢？教师在教学设计时，要把难度较大的问题简单化和浅显化，以便于和帮助学生理解；浅显和简单的问题进行拓展和深入。

“化难为易”与“化浅为深”是两种有区别又有内在联系的关系。

“化难为易”是基础，“化浅为深（化易为难）”是高度。

“化难为易”是提高学习效率的教学策略的关键，“化浅为深（化易为难）”是增进学习结果的教学策略的关键。

“化难为易”是针对教师讲解习题时，教师循序渐进，深入浅出，化整为零，将复杂问题简单化，抽象问题具体化的一种教学方式。

而化浅为深是讲授课时先引入简单、浅显的问题进行讲解，让学生的知识有衔接并切入新知识的讲授，由浅入深的演绎过程。

教师在吃透教材的基础上，设计适合本班学生知识的基础问题，结合课时目标，把内容尽量设计让学生容易理解，便于拓展的问题，让学生尽量发挥思维去探究，培养他们的发散和集中思维，使课堂教学变得更加有效。

具体作法如下：（1)、根据学生的个体差异设计教学法；（2）、教师要吃透教材，从而进行拓展；（3）、教师的教学要有趣味性和幽默性；（4）、教师的教学设计要计划学生实际，让学生把理论和实践结合起来。

教师在设计课堂教学时，要把难度较大的内容浅显化、简单化，在教学中便于学生理解，浅显的问题进行拓展、深入。

化难为易与化浅为深又有区分，又有密切的内在联系。

化难为易是基础，化浅为深是更高层次的拓展很多学生很有个性，老师在教学中怎么关注此类学生，要面对一大部分学生的教学任务要完成，也要兼顾有个性的学生。

怎么教育？“化难为易”是针对教师讲解习题时，教师循序渐进，深入浅出，化整为零，将复杂问题简单化，抽象问题具体化的一种教学方式。

而化浅为深是讲授课时先引入简单、浅显的问题进行讲解，让学生的知识有衔接并切入新知识的讲授，由浅入深的演绎过程。

转化与化归思想方法

转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.1.转化与化归的原则1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验来解决.2简单化原则：将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.3直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决.4正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问题获解.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有：1直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.2换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.3数形结合法：研究原问题中数量关系解析式与空间形式图形关系,通过互相变换获得转化途径.4等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到化归的目的.5特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.除极简单的数学问题外,每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.从这个意义上讲,解决数学问题就是从未知向已知转化的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化,这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想,解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆是,如未知向已知转化,复杂问题向简单问题转化,新知识向旧知识的转化,命题之间的转化,数与形的转化,空间向平面的转化,高维向低维转化,多元向一元转化,高次向低次转化,超越式向代数式的转化,函数与方程的转化等,都是转化思想的体现.新的教学体制的出现,化归与转化的思想将是贯穿整个中学教学的一种主要的思想,所以在教学过程中要把这种思想溶入进去,让学生体会个中的精髓.关健词化归；转化；分析；联想１.化归与转化解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,通过观察、分析、类比、联想等思维过程,选择运用恰当的数学方法进行变换,将原问题转化为一个新问题相对来说,对自己较熟悉的问题,通过新问题的求解,达到解决原问题的目的,这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”.化归与转化思想的核心,是以可变的观点对所要解决的问题进行变形,就是在解决数学问题时,不是对问题进行直接进攻,而是采取迂回的战术,通过变形把要解决的问题,化归为某个已经解决的问题.从而求得原问题的解决.它的基本形式有：化未知为已知,化难为易,化繁为简,化曲为直等等.化归与转化的思想也不是随时能用,或随便用的,它需要遵循一定的原则,从而达到转化的正确性,实现这种思想的作用.下面我就来谈谈我对这种方法的理解.２．化归与转化的原则化归与转化思想的实质是揭示联系,实现转化.转化有等价转化和非等价转化,等价转化的作用就不用说,而不等价转换,如果没明确的附加条件,那就失去它的价值了.所以化归与转化就需要遵循一定的原则:2.1熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题,以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.除了及少数的原始知识外,整个中学的数学知识的学习就是在实现转化为旧的知识而得到的.例如:学二元一次方程就用化元法转化为一元一次方程;学一元二次方程用降幂法转化为一元一次方程;函数与方程之间的转化等等.2.2简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.这个原则大部分学生都知道,他们都会想把问题简单化,达到求解的过程.这个原则可以在无以记数的数学简便方法中体现出来.2.3和谐化原则：化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.也就是说整个转化的过程中,要符合思维规律,虽然思维可以多样化,可以无以为边的想象,但也要能被人接受并能理解.体现出现在国家倡导的和谐社会.2.4直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.这个主要在函数与图象的联系中体现出来.把某些枯燥乏味的代数问题转化为图形来解决,能直观的解决问题.2.5正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解.反证法的应用把这个原则表现的淋漓尽致,学生能理解到其中的精髓可是可以受用无穷的,包括在生活中的应用.2.6 现实化原则:所学所用所理解的道理要用于社会实践,同时要满足社会人才的需求.3．化归与转化的方法化归与转化的方法,在千变万化的题目中,方法也各不相同,也无以统计,这里就只讲解几中常用,学生也容易理解的.3.1 直接转化法:直接把新的知识转化为前续知识.这个在讲解新课的时候,尽量让学生去体会,让他们能自己解决新的问题,获取新的知识,接着把新的知识吸收,继续解决新的问题.3.2 构造法:这个是个重要的方法,有不少题目,不能直接解决和转化,缺少了媒介,让不少学生无从下手,这时就需要构造一个数学情境,建立一个数学模型,把问题溶入进去,使问题简单化,直观化,从而达到求解的过程.3.3 数与形的转化:这个主要用于函数问题的解答和某些图型中的某些量的关系.数形结合是数学学习的一种重要的思想.3.4 换元法:这个重要是把一些繁杂的,但又有重复性的题目简单化,更直观.这个主要用于方程的解答.3.5 相等与不相等之间的转化:这个主要用与不等式的证明和函数区间.3.6 实际问题与数学理论的转化:理论联系实际的一种方法.也是学生情感方面的培养.3.7 特殊与一般之间的转化:公式法解一元二次方程就是把特殊的一般化了.同时也可以说把具体的抽象化了.3.8 数学各分支之间的转化:数学本来就是一个连贯的整体,把各分支有机的联系起来,让人感到它的魄力.同时也能解决数学以外的我问题.5 总结提炼数学新课标要求学生不仅要学会知识,还要能用所学的知识解决新问题,并能总结归纳,化为新的知识并接受,这样才能满足社会人才的需求.化归与转化就是将待解决或未解决的问题,通过转化归结为一个已经能解决的问题,或者归结为一个比较容易解决的问题,或者归结为一个已为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题,最终求得原问题的解决.懂得化归和转化的基本方向是简单化、熟悉化、和谐化.化归和转化需要广泛和灵活的联想,联想的基础是扎实的基础知识、基本技能和基本方法.熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系.为了实施有效的化归,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题.。

带有化字的成语

带有化字的成语化字是汉字中的一个常用部首，它具有多种含义，包括改变、摆脱、转化等。

由于化字的多义性，它被广泛应用于成语中。

在汉语中，带有化字的成语非常常见，这些成语的含义涉及到人生百态，在生活中也经常被人们使用。

在本文中，我们将介绍一些带有化字的成语，并探讨它们的意义和使用。

1. 转化“转化”指将一种事物转变为另一种事物的过程。

在汉语中，有许多与“转化”相关的成语。

其中最常见的是“转化鸟道”，意味着寻找新的方法或途径以达到目的。

它的故事源于唐代人物杜光庭的一则故事。

据说，杜光庭曾经独自一人去狩猎，在路上看到一只鸟落在高墙之后，无法飞走。

杜光庭根据鸟的习性，用干草在鸟的前面点燃，在鸟后面搭建了一道栅栏，让鸟飞向火焰，最终成功飞出。

杜光庭的这种独特的思维方式，被形容为“转化鸟道”。

除了“转化鸟道”，还有许多其它与“转化”相关的成语。

比如，“化干戈为玉帛”，意味着放弃战斗，采用和平手段解决问题；“涣然冰释”，意味着人的心情突然从压抑状态转变为宽松状态。

2. 变化“变化”指事物的本质、状态或形式的改变。

在带有化字的成语中，与“变化”概念相关的成语非常多，最常见的是“化腐朽为神奇”。

它的故事源于《毛公鼎·大成篇》：“大抵要有功法，去腐朽而存神，以生事物之变化。

”意指不断创新创造和改革，以实现事物的转变和发展。

除了“化腐朽为神奇”，还有许多其它具有“变化”意义的成语。

比如，“变幻莫测”，意味着事物表面的变化难以预测；“化险为夷”，意为经过处理后，本来危机四伏的局面变得平稳安全。

3. 提升“提升”指将一个人或事物的地位、质量等提升到一个更高的水平。

在带有化字的成语中，与“提升”意义相关的成语也非常常见。

其中最常见的是“化腐成奇”，意为能把普通的事物改造成为独特的艺术品，这样的人被称为“改天换地的大巫师”。

除了“化腐成奇”，还有许多具有“提升”意义的成语。

比如，“化繁为简”，意味着将复杂的问题简化为易于理解和操作的形式；“化陋为华”，意为将平凡无奇的事物变成华贵高尚的形象。

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图２，要使不等式＞ｘ｛的解是４ｘａ＋＜＜例１等轴双曲线ｘ一２２ａ０的右焦点为Ｆ点Ｐ出它们的图象（）２ｙ＝ａ＞）（，
为右支的上半支上不包括顶点的任一点，直线Ｐ则Ｆ的斜率
的范围是
ｂ，直线ｙａ普就须好曲＝＝，【＋必恰经过线Ｙ上的点Ａ４两（，
２，ｂ在一直角ＥＦ内滚动，Ｏ并始终与ＥＦ的两边０、Ｆ分ＯＥ０别相切。求椭圆中心０的轨迹。ｍ，ｎ所以直线ｌ的方程可以转化为ｙ＝一ｘ＋，也就是
ｓ胡＋ｔｃｓ１ｉａｏ０— ＝０．２ｉ０Ｉｎｓｎ＋一１＝０
若直线ｌ经过点Ａ（ｒ）Ｂｎｎ）则无论０ｍ，２和（。２，ｎ如何变化
二
例２若关于ｘ、的不等式ａ＋解集为：１＜＜＞ｘ｛的｛４ｘｘ
ｂ。求ａｂ的值。｝ ’
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第１６卷２００６年
第５期第５期
兵团教育学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＢＩＮＧＴＵＡＮＤＵＣＡＴＩＥＯＮＩＴ】ＥｓＩｎ－Ｉ
ｖ１１Ｎ．ｏ．６ｏ５Ｏｃ．０６ｔ２０
，
０都没有实数解。所以，三个方程至少有一个方程有实数解
ｆ＋＝ｍｎ一
Ｉｌｔ一ｍｎ
ｋ属于（应一３
。）。。
，
一
１补， ∈ 一，寻一，）集即ｋＩ＊一１［ｌ的ｕ＋
例６如（４所示，椭圆的长轴长为２，长为、图）一个ａ短轴
数学问题的求解，不开逻辑换的转化。而巧妙的转化离就可以给解题开辟途径，以达到化难为易的目的。因此，掌握各类问题的转化变换方法，是提高观察条件、析题意和分
提高解题能力的重要手段。
何图象问题解答。将不等式的左边看作幂函数Ｙ，＝右边看作一次函数ｙａ＋３，＝ｘ在同一平面直角坐标系中分别作
分析：这是一个函数方程问题，一般要转化为函数方程
＼．／ ’ ＋＿Ｊ
一
组的问题来解决。若设辅助函数ｕ３一，ｘ；ｘ２则＝
可以将已知的等式转化为
ｍ（）ｆ一Ｕ＝ＵｒＵ＋ｎ（）
。就
（）１
ｌ
一
分析二：把问题图象化，图１如所示，直线Ｐ动Ｆ的倾斜
也就是 “ｘ＝— ｎ）ｍ —
角的范围为（，）从而可以得到直线Ｐ．Ｆ的斜率的范围为
（。ｏｙ１＋）故应选取Ｂ一ａ，）（，。。
例４已知ｍ，ｍｎ、 ≠ｎ且。分别满足条件：
的右支的上半支上不包括顶点的任一点，以Ｐ所Ｆ的斜率可以为一１不能为０于是可以排除选项Ａ、；，，Ｄ叉因为ＰＦ不可能与双曲线的渐近线Ｙ平行，＝ｘ所以ＰＦ的斜率不可能为１．
＝
÷ｂ３．６＝。
小结１１￣例题。：２．２在形式结构上分别有其各自不同的特
转化变换
化难为易
范宝忠
（新疆兵团农七师高级中学，新疆奎屯８３０）３２０
中图分类号：６３６Ｇ３．
文献标识码；Ａ
文章编号：１９５８２０）５０５— ２０ —１４（０６０ —０３００分析：观察此不等式的特点，以将这个代数问题转化为几可
直线ｌ恒与一定圆相切。分析：因为直线１ｍ，有关，ｌｎ又与０关，以直与ｎｆ，有所线ｌ０与有关。这样就需要转化ｍ，分别满足条件：ｎ
ｍｓ０ａｃｓ一Ｉ．２ｉ＋ｎｏ —１ｚｉ＋ｔｏ０：０ｎｓ０ｅｓｎｎ０＝０
５
由于这两个等式的结构相同，这就可以找到一个相应的
辅助方程
图２
ｔｉ。ｅｓ—１２ｎ＋ｔ０＝０ｓｏ
—
３５ —
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将ｍｎ，看作这个关于ｌ的一元二次方程的两个不等的实数
ｘ２
—
４ｘ４＋３，＋（ —１ｘ（＝Ｏｘ＋２ｘｋｋ一ｋ＝０ｘｋ）＋ｌ２．２ｋ一２＝
征，通过抓住这些特别显著的特征、标志，使得问题形象直观化，联想有关概念、定理、公式或方法，分析出内在联系，能使
我们较灵活地找到转化变换的途径，而打通解题思路。从
例３已知ｍ（ｘ２＋ｆ — ｘ＝ｘ２『 ≠ｎ）求ｘ。、ｆ一）ｎ２３）３一（２２，３（ｎ）
再将（）中的ｕ１式代换为一Ｕ得
ｆ一Ｕ＋ｌ（ Байду номын сангаас 一Ｕｎ）ｌＵ＝ｆ（）２
由（）（）１、２联立的关于ｆｕ、（）（）ｆ一Ｕ的二元一次方程组，容易
。
解出
“）：：— ｕ＿
图１
因而选项Ｃ也被排除。故应选取Ｂ。
２、（，））Ｂｂ。也就是４＋３＝２且ａ＋３＝８ｂ从而可得８
，
Ａ（．一∞，］［，ｏｙ１＋∞）
Ｂ（．一∞，）（，０Ｙ１＋∞）
ｃ（．一∞，］［，。Ｄ（一１Ｙ１＋ａ）．一∞，）（．一１Ｙ１＋∞）分析一：四个选项，观察发现它们的特点和区别，主要在于动直线Ｐ的斜率能否等于０一１１Ｆ、、。因为Ｐ点是双曲线