2019高三数学(人教B文)一轮考点规范练：第三章 导数及其应用 15

������(������)
������'(������) - ������(������)
3.C 解析设 g(x)= ������������ ,则 g'(x)= ������������ .
∵f(x)<f'(x), ∴g'(x)>0,即函数 g(x)在定义域内单调递增. ∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2, ∴不等式 f(x)>2ex 等价于 g(x)>g(0). ∵函数 g(x)在定义域内单调递增. ∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞),故选 C.
点(0,f(0))处切线的方程为 .
������2 - 1
12.设函数 f(x)= ������������������ .
(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数; (2)若在函数 f(x)的定义域内,不等式 af(x)>x 恒成立,求 a 的取值范围.
13.设函数 f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中 a,b∈R. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)存在极值点 x0,且 f(x1)=f(x0),其中 x1≠x0,求证:x1+2x0=0;
9������ - 3������ + ������
(2)由(1)知,x=-3 是 f(x)的极小值点,故有 ������ - 3 =-e3.
������2 + 5������ + 5
结合 g(0)=b-c=0,g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0,解得 a=1,b=5,c=5,所以 f(x)= ������������ .
的关系,得当 f'(x)>0 时,函数 f(x)单调递增,此时由不等式 f'(x)=(x-2)ex>0,解得 x>2.
2.C 解析由题图可知 f(0)=d>0,排除选项 A,B;
由 f'(x)=3ax2+2bx+c,
且由题图知(-∞,x1),(x2,+∞)是函数的单调递减区间,可知 a<0,排除 D.故选 C.
B.(-∞,2)
C.(0,+∞)
D.(2,+∞)
1
4.(2017 河南濮阳一模)设 f'(x)是函数 f(x)定义在(0,+∞)上的导函数,满足 xf'(x)+2f(x)=������2,则下列不等式
一定成立的是( )
������(������)
A. ������2
>
������(������2) ������
1
1
若2������=1,即 a=2,则在(0,+∞)上恒有 g'(x)≥0,
即函数 g(x)在(0,+∞)内单调递增.
综上可得:当 a=0 时,函数 g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;
( ) ( ) 当
1
0<a<2时,函数
g(x)在(0,1)内单调递增,在
1,21������
������(2)
∴9
<
������(3)
4 .故选
B.
5.(0,1)∪(2,3) 解析由题意知
3
f'(x)=-x+4-������
=
- ������2 + 4������ - 3 (������ - 1)(������ - 3)
������ =- ������ .
由 f'(x)=0 得 x1=1,x2=3,可知 1,3 是函数 f(x)的两个极值点. 则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数 f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由 t<1<t+1 或 t<3<t+1, 得 0<t<1 或 2<t<3.
能力提升
10.(2017 广西南宁一模)已知函数 f(x)=-x2-6x-3,g(x)=2x3+3x2-12x+9,m<-2,若∀x1∈[m,-2),∃x2∈(0,+∞),
使得 f(x1)=g(x2)成立,则 m 的最小值为
( )
A.-5
B.-4
C.-2 5
D.-3
11.(2017 河北邯郸二模)若函数 f(x)=(x2-ax+a+1)ex(a∈N)在区间(1,3)内只有 1 个极值点,则曲线 f(x)在
������(2) < ������(3) B. 9 4
������(2) > ������(������)
C. ������2
4
������(������) < ������(3)
D. ������2
9
1
5.已知函数 f(x)=-2x2+4x-3ln x 在[t,t+1]上不单调,则 t 的取值范围最值
基础巩固
1.函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( )
A.(-∞,2)
B.(0,3)
C.(1,4)
D.(2,+∞)
2.(2017 山东烟台一模)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图所示,则下列结论成立的是( )
1
6.解(1)因为 g(x)=lnx+ax2+bx,所以 g'(x)=������+2ax+b,
由题意,得 g'(1)=1+2a+b=0,所以 2a+b=-1.
������ - 1
(2)当 a=0 时,g'(x)=- ������ ,
由 g'(x)>0 解得 0<x<1,由 g'(x)<0 解得 x>1, 即函数 g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.
[ ] ������'(������)
+
������ 2
在区间(t,3)内总不是单调函数,求
m
的取值范围.
参考答案
考点规范练 15 导数与函数的单调性、极值、最值
1.D 解析函数 f(x)=(x-3)ex 的导数为 f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性
[( ) ] 8.(1)解当
������������(������2 + ������ - 2������)
5
(������2 + ������)2
a=9时,f'(x)=
=
������������[(������ - 1)2 (������2 +
+ ������ ������)2
-
1]
=
������������
1
(3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于4.
高考预测
14.已知函数 f(x)=aln x-ax-3(a∈R).
(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1,2],函数 g(x)=x3+x2·
(1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的极小值为-e3,求 f(x)的极大值及 f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值.
������������
8.设 a>0,函数 f(x)=������2 + ������.
5
(1)若 a=9,求函数 f(x)的单调区间;
[ ] 1
13
3 - ������
11
1
1
当 a>0 时,令 g'(x)=0,得 x=1 或 x=2������,若2������<1,即 a>2,则由 g'(x)>0 解得 x>1 或 0<x<2������,由 g'(x)
( ) ( ) 1
<0 解得2������<x<1,即函数
g(x)在
0,21������
,(1,+∞)内单调递增,在
( ) 1
1
(2)证明当 x=2时,函数 f(x)取得极值,即 f' 2 =0,
( )1 2
1
3
所以 2 +a-2×2=0.所以 a=4.
( ) ( ) ( ) 同理,由(1)易知,f(x)在区间
1
- ∞,2
,
3
2,
+
∞
内单调递增,在区间
13
2,2
内单调递减.
( ) ( ) 1
1 = ������
3
内单调递减,在
1
2������,
+
∞
内单调递增;
1
当 a=2时,函数 g(x)在(0,+∞)内单调递增;
( ) ( ) 当
1
a>2时,函数
g(x)在
0,21������
内单调递增,在
21������,1
内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
������������2 + ������������ + ������
- ������������2 + (2������ - ������)������ + ������ - ������
7.解(1)因为 f(x)= ������������ ,所以 f'(x)=
������������