2012年高中精品教案集：1.4.3正切函数的性质与图象(1)
1.4.3正切函数的图像和性质(1)
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) ∵ 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
3π (2kπ ,2kπ + ) 2 2
1 π x + )的单调递减区间为 : 2 4
π
例4 求下列函数的周期 求下列函数的周期：
解 :∵ f ( x) = 3 tan(2 x + ) π 4
(1) y = 3 tan(2x + ); 4 π
π
( 2 )变题 y = 3 tan(
= 3tan( x + +π) 2 4
解： (1) ∵ 90 < 167 < 173 < 180 上是增函数 ∵ y = tan x, 在 (900 ,2700 ) 又
3π 3π ∴ tan( ) < tan( ) 4 5
即
11 π 13 π tan( ) < tan( ) 4 5
解 : 因为原函数可化为 y = 3 tan( ); : 2 4 ∵ u = x + 为增函数; 且y = tan u的单调区间为 : x π 2 4 令u = ; 所以y = tan u的单调递增区间为 : π π
解 : (1)令u = x + , 则y = 3 tan u 2 4 1 π
1 π (1) y = 3 tan( x + ); 2 4 1 π
高中数学必修四《正切函数的性质和图象》优秀教学设计
1.4.3 正切函数的性质和图象一．学习目标1、掌握正切函数的性质及其应用2、理解并掌握作正切函数图象的方法；3二、复习引入 （1）画出下列各角的正切线：三.探究新知 探究一 ）1、利用正切函数的定义xy=αtan 2、正切函数的周期性：由诱导公式()=+πx tanx R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈， 可知 ,函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）是 函数，且它的周期是 ．3、正切函数的奇偶性：由诱导公式tan()x -= x R ∈且,2x k k Z ππ≠+∈，所以正切函数tan y x =（,2x k k Z ππ≠+∈）是 函数．4、正切函数的单调性由图（Ⅰ）、（Ⅱ）正切线的变化规律可以得出，正切函数在(,)22ππ-内是 函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间 内都是增函数． 5、 正切函数的值域由图（Ⅰ）可知，当x 大于2π-且无限接近于2π-时，正切线AT 向y 轴的负方向无限延伸；由图（Ⅱ）可知，当x 小于2π且无限接近于2π时，正切线AT 向y 轴的正方向无限延伸．因此，tan y x =在(,)22ππ-内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是 ．探究二 正切函数的图像1.复习如何用正弦线作正弦函数图象，类比可不可以用正切线作正切函数tan y x = 的图象？2．利用正切线画出tan y x =，x ∈⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的图象：3．根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数tan y x =，x R ∈且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”．4、如何快速作出正切函数的简图？（三点两线法）5、根据图像讨论验证正切函数的性质。
四、新知运用例1.求函数tan()23y x ππ=+的定义域、值域、周期和单调区间. 例2.比较下列每组数的大小（1）tan138与tan143 （2）tan （411π-）与tan （513π-） 例3.解不等式3tan ≥x五、课堂练习1、求函数y=tan3x 的定义域，值域，周期，单调区间。
人教版数学必修四第一章1.4.3 正切函数的性质和图象 经典教案
1.4.3正切函数的性质与图象一、教材分析《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展、对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教材采用了先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．二、教学目标（一）知识与技能1．理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等性质；2．能利用正切线画出正切函数的准确图象，利用“三点两线”画出正切函数的简图，掌握正切函数图象结构、特征；3．能根据正切函数图象观察性质，根据性质理解图象，用数形结合的思想理解和解决一些简单的三角问题．（二）过程与方法1．通过复习回顾正、余弦函数图象与性质的探究过程，引导学生将本节课要学习的内容与之建立起联系，培养学生的“类比”思维能力；2．利用诱导公式、正切线等探究正切函数的性质；3．经历由正切函数的性质推测图象，再由图象理解性质的过程，渗透了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，从而培养学生自觉运用“数形结合”的思想从不同角度解决问题的能力；4．在正切函数的图象分析中，让学生体会、感知无限逼近(极限)的思想；5．通过讲解例题，总结方法，巩固练习等，学会用数形结合的思想理解和处理问题．（三）情感态度与价值观在得到正切函数图象的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图象让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣．通过数形结合，培养学生勇于探索、勤于思考的习惯，渗透由抽象到具体的思想方法，让学生理解动与静的唯物辨证观，进一步培养学生合作学习和数学交流的能力，增强对数学的应用意识，同时，正切曲线的中心对称性让学生感受到数学的美学魅力，增强学生的学习兴趣．三、学情分析学生在知识上已经掌握了三角函数的定义，诱导公式，三角函数线，正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．四、教学重难点教学重点：正切函数的性质，用单位圆中的正切线作正切函数图象．教学难点：1．利用单位圆中的正切线探究正切函数的单调性；2．利用正切线及正切函数的奇偶性、单调性作⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2,tan ππx x y 图象； 3．正切函数性质的简单应用．五、教学用具直尺，三角板，圆规，多媒体设备（PPT ）．六、教学过程（一）复习回顾（0.5分钟）回忆：在前面已经学习了哪几种三角函数的图象和性质?研究了它们的哪些性质?学生自由发言，互相补充，之后教师作口头梳理．设计意图：复习巩固已学知识，为后面教学作铺垫．（二）问题引入（4.5分钟）思考1：我们是先研究的正余弦函数的图象还是性质?能否采用同样的方法研究正切函数的图象与性质呢?学生口答后，教师指出：本节课我们将不从图象研究性质，而是从一个“全新”的角度来研究正切函数的性质．(给出课题，同时板书课题)设计意图：主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面，同时培养学生的类比思维能力，引出这节课的课题和明确研究方向．思考2：我们学过有关正切函数的哪些性质？学生简单的口答后，提问学生回顾正切函数的定义、诱导公式、正切线等，教师在PPT 上给出单位圆，引导学生进行回顾，同时板书正切函数的定义域并强调用集合或区间表示．设计意图：为后面研究正切函数的性质、画图象作铺垫．思考3：要研究一个函数的性质，我们一般从哪些方面入手？学生自由发言，互相补充，之后教师给出下一个问题．思考4：在这众多的性质中，我们先研究哪个性质更好呢？教材中是先研究的哪个性质？（周期性）学生自由发言，教师稍作等候后对给出不同回答的同学进行提问，并做补充解释，让学生明白先研究周期性的原因：如果一个函数具有周期性，那么当研究清楚该函数在一个周期内的性质之后，就可以推广到整个定义域上，可以降低探究难度．在本节中，对探究单调性和图象等有所帮助．．设计意图：周期性是学生刚刚接触到的一个函数性质，相对其他性质还比较陌生，这样设计能让学生进一步体会到周期性在函数性质研究中的地位与作用．（三）探究新知1．性质（共12分钟）（1）周期性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有周期性？→周期是多少？→如何得到的？（tanx π)tan(x =+）→正切函数的周期是π．学生自由口答，教师可视情况进行提问，引导学生结合周期性的定义对正切函数的周期是π做一强调，指出与正余弦函数周期的不同，并板书性质．（2）奇偶性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有奇偶性？→是奇函数还是偶函数，为什么？→I x x x ∈∀=-，tan )tan(，→定义域关于原点对称→正切函数是奇函数．学生自由口答，若学生没提到检验定义域，则教师提醒学生要先检验定义域是否关于原点对称，并师生共同完成正切函数定义域的检验，为直观起见，可借助数轴．设计意图：强调判断奇偶性要先看定义域，同时先探究奇偶性对探究单调性有所帮助． （3）单调性（5分钟）思考5：既然正切函数的周期是π，那么我们只需要研究一个长度为多少的区间上的单调性？选择哪个区间好呢？ 学生思考后自由回答，若回答不准确，则教师引导学生选择包含原点的区间⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，因为原点附近的角是我们常见的角．思考6：这个区间能否根据我们已经得到的某一条性质进一步缩小呢？学生自由口答，教师较有指向性的提问，能使学生很容易发现“由于正切函数是奇函数，只需要探究它在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性”． 思考7：如何探究正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性？已掌握的有关正切函数的知识中，可以用来比较正切值大小是什么？给学生充足的时间相互探讨，由于已学过的有关正切函数的知识只有“定义、诱导公式和正切线”，所以学生在简单的讨论交流之后应该很容易想到是正切线．教师引导学生借助正切线探究正切函数在单调性⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性，再根据奇偶性将结论推广到⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，再根据周期性将结论推广到整个定义域．设计意图：正切函数单调性的探究是本节课的难点，在本节课中利用已经得到的奇偶性和周期性，将需要研究的单调区间一步步缩小，之后再利用奇偶性和周期性，还原出正切函数在定义域上的单调情况，让学生体会到函数性质之间的联系，培养学生“从特殊到一般”“从局部到整体”的数学思维．另外，当明确了单调性之后，值域也能很容易得到．（4）值域（1分钟）正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的值域是R→正切函数的值域是R→无最大值和最小值． 2．图象（共11分钟）猜想：根据我们已经探究出的正切函数的性质，请同学们先猜想、想象一下正切函数的图象会如何呢？学生想象，稍后教师提问一名学生，让他口头表述自己想象的正切函数的图象，之后教师引导学生画图验证猜想．设计意图：猜想图象可使学生对性质进行整合，培养学生的想象能力．思考8：利用已知的性质，如何画函数的图象？可以先画怎样的一个区间内的图象？ 教师较有提示性的提问，学生很容易做出回答：由于正切函数的是周期为，所以只需要画出一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象．由于在探究单调性时就选取的⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，所以学生也能很容易想到先画出⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的函数图象． 类比正弦函数图象的作法，利用单位圆中的正切线绘制()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ图象．（1）教师借助PPT ，引导学生按照下列步骤作图：（5分钟）①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆； ②选取特殊角：34606-4-3-ππππππ，，，，，，，分别在单位圆中作出正切线，以6π为例进行详细的步骤说明；③描点；（纵坐标是相应的正切线）④连线：当x 趋近于22-ππ或时，图象的走势如何？思考之后学生自由回答，教师引导学生理解22-ππ==x x 和是正切函数的两条渐进线．思考9：有时不需要画出正切函数精确的图象，只需画出简图，只需确定哪些点或线就能画出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=22-,tan ππ，x x y 的简图？ 学生可看出有三个点很关键（0，0），），（14--π，），（14π，还有两条渐近线：2π-=x ，2π=x ．即“三点两线”．学生回答之后，教师板演画出草图．思考10：如何得到函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的图象？整个定义域上的图象呢？ 学生自由回答，根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象左右平移，得到正切函数()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，称为“正切曲线”．教师板演画出⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的草图．这时，学生可以拿出先前由性质推测的图象进行对比，自己找出问题，加以体会．设计意图：培养学生运用类比的方法解决问题的能力，形成对正切函数图象的感知．（2）观察图象，验证、丰富性质（4分钟）从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线()Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；从y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R ；图象关于原点中心对称，得到它的哪一性质——奇函数；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,22-ππππ，，没有减区间． 设计意图：形与数的结合，更能加深对性质的认识，对比正切函数的性质和图象，分析各个性质在图象上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图象，函数的图象是其性质的直观反应，培养学生的识图能力，利用正切函数的图象进一步加深对性质的理解，体会“数形结合”的思想，同时，由渐近线感知无限逼近的思想．追问：在整个定义域上是增函数吗？注意：只能说在某个区间单调递增，不能说在整个定义域单调递增．设计意图：避免一些错误认识，进一步加深对正切函数单调性的理解．它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数．追问：认真观察图象还有其它的对称中心吗？有没有对称轴？ 通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛，，02π，无对称轴． 强调：正切函数的对称中心是图象和渐近线与x 轴的交点．3．例题分析（8分钟）例1．求函数y ＝tan （2πx ＋3π）的定义域、周期和单调区间． 教师板演讲解，说明可将2πx ＋3π作为一个整体来处理，而不必设元，并写出解题过程，以规范学生的解题步骤． 设计意图：巩固正切函数的定义域、周期性和单调性，渗透换元的思想．例2．比较大小()︒167tan 1︒173tan ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-411tan 2π 513tan π 学生思考后，举手发言，说明理由．教师提醒学生注意利用诱导公式将角度转化为同一单调区间后才能进行比较，并结合正切函数的图象加以说明．设计意图：深化对正切函数的单调性的理解和转化的思想．练习：（5分钟）1．观察正切函数的图象，写出使不等式3tan ≥x 成立的x 的集合．2．求函数x y 3tan =的定义域、值域、周期和单调区间．（学生板演）（四）小结1．正切函数的性质与图象；2．性质有助于更有效的作图，图象有助于更直观的研究性质；3．数形结合的思想方法；设计说明：从知识，方法，思想三个方面对本节课进行总结．（五）布置作业习题1．4，A组，8，9题，B组2题：其他题完成在书上．七、板书设计。
1.4.3正切函数的性质与图象导学案(解析版)
1.4.3正切函数的性质与图象学习目标：1、理解并掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质.2、会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象.3、经历根据正切函数的性质描绘函数图象的过程，进一步体会函数线的作用.自学导引1．正切函数tan y x =的定义域是 ；2．回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是周期函数吗？如果是，那么最小正周期是 ；3. 回顾跟正切函数有关的诱导公式，想一想：正切函数是 (奇、偶)函数；4．正切函数在每个开区间_____________________________内均为增函数；典例精析例1求函数)ln(tan )(x x f =的定义域；变式 求函数)3(tan tan 1-=x x y 的定义域；例2若]4,3[ππ-∈x ，求函数1tan 2cos 12++=x xy 的最值及相应的x 的值；变式 函数]4,4[,tan sin ππ-∈+=x x x y 的值域为例3作出函数)321tan(π-=x y 在一个周期内的图象；变式 作出函数|sin tan |sin tan x x x x y --+=在区间)23,2(ππ内的大致图象；例4（1）求函数)46tan(3)(x x f -=π的周期和单调递减区间；（2）试比较)(πf 与)23(πf 的大小；变式 是否存在实数a ，且Z a ∈，使得函数)4cot(ax y +=π在)85,8(ππ∈x 上是单调递增的？若存在，求出a 的一个值；若不存在说明理由；例5（1）求函数x x y tan sin +=的定义域；（2）画出函数|tan |x y =的简图，并根据图象写出其最小正周期和单调区间；自主反馈1、与函数tan 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ） ()2A x π= ()2B x π=- ()4C x π= ()8D x π=2、函数1tan y x =-的定义域是 ．3、函数2tan 2tan 22++=x x y 的最大值是 ． 4、已知函数x y ωtan =在)2,2(ππ-内是减函数，则ω的取值范围是____________； 5、函数|)4tan(|π+=x y 的单调递增区间是__________________；1.4.3正切函数的性质与图象自学导引1．},2|{Z k k x x ∈+≠ππ2．π3．奇4．Z k k k ∈++-),2,2(ππππ 典例精析例1Z k k k ∈+),2,(πππ 变式 Z k k k k k k k ∈++++-),2,3()3,(),2(ππππππππππ例2当4π-=x 时，1min =y ；当4π=x 时，5min =y变式 ]122,122[+--例3图略 变式 图略例4（1）π4=T 减区间：Z k k k ∈+-],384,344[ππππ （2）)(πf >)23(πf 变式 存在，2-=a例5（1）},2|{},222|{Z k k x x Z k k x k x ∈+≠∈+<≤πππππ（2）图略 π=T 增区间：Z k k k ∈+),2,[πππ 减区间：Z k k k ∈-],,2(πππ 变式 Z k k k ∈++),2,6[ππππ 自主反馈1、D2、Z k k k ∈+-],4,2(ππππ3、24、01<≤-ω5、Z k k k ∈+-),4,4[ππππ。
高中数学学案4：1.4.3 正切函数的性质与图象
1.4.3 正切函数的性质与图象【课前准备】 1．课时目标（1）掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性及值域等相关性质；（2）了解利用正切线作出正切函数，并会作简单的正切函数的图象；（3）利用正切函数的图象来研究相关的函数 性质． 2．基础预探（1）正切函数的性质：正切函数是周期函数，其周期是_______；就奇偶性而言，正切函数是_______； 正切函数在开区间_______（k ∈Z ）内都是增函数；正切函数的值域是_______． （2）正切函数y =tan x 的定义域为_______． 【知识训练】1．已知函数y =tan （2x +φ）的图象过点（12π，0），则φ可以下面中的（ ） A ．－6πB ．6πC ．－12πD ．12π2．下列函数中，是奇函数的是（ ） A ．y =sin x B ．y =sin x +1 C ．y =cos xD ．y =1－tan x3．若tan x =1，则x =（ ）A ．π4 B ．2k π+π4，k ∈Z C ．k π+π4，k ∈Z D ．k π±π4，k ∈Z4．函数y =tan （2x －3π）的最小正周期是_______．5．关于函数f （x ）= tan （2x －4π），有以下命题：①函数f （x ）的周期是π2；②函数f （x ）的定义域是{x |x ≠21k π+π8，k ∈Z }；③函数f （x ）是奇函数；④函数f （x ）的图象关于点（π8，0）对称；⑤函数f （x ）的一个单调递增区间为（－π2，π2）．其中，正确的命题序号是_______．6．求函数y=2tan2x的定义域．【学习引领】正切函数的图象是借且于正切线来作的，观察图形的形状，理解并掌握其相关性质．由正切函数的定义域知正切函数的图象被直线x=kπ+π2，k∈Z隔开，所以正切函数的图象是间断的，在每个开区间（－π2+kπ，π2+kπ），k∈Z内，正切函数都是增函数，但不能说正切函数在定义域内是增函数．由于正切函数定义域不是R，因此一些性质与正弦函数、余弦函数的性质有了较大的差别．如正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；正、余弦函数是连续函数，而正切函数在R上不连续，它有无数条渐近线x=kπ+π2，k∈Z；正、余弦函数既有单调增区间又有单调减区间，而正切函数在每一个开区间（－π2+kπ，π2+kπ），k∈Z内都是增函数；正、余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π；正、余弦函数的值域为[－1，1]，而正切函数的值域为（－∞，+∞）．【典例导析】题型一：函数的定义域问题例1．求函数y=xtan+lg（1－tan x）的定义域．点评：函数的定义域是构成函数的三大要素之一，是函数的灵魂．求定义域实质就是使函数有意义的的x 取值范围，要注意使整个式子有意义的x 取值范围．当有几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域．变式练习1：求函数y =2tan （2x －π4）的定义域．题型二：函数图象问题例2．作出函数y =|tan x |的图象，并根据图象求单调区间．点评：根据图象可以发现y =|tan x |的最小正周期为π，一般的，函数y =A |tan （ωx +φ）|的最小正周期与y =A tan （ωx +φ）的最小正周期相同，均为||π ．作函数图象时，要注意对函数式进行化简，同时要注意函数的定义域． 变式练习2：若tan x ≤－1，则x ∈（ ）A ．（2k π－π2，2k π－π4），k ∈Z B ．（2k π+π2，2k π+3π4），k ∈Z C ．（k π－π2，k π－π4]，k ∈ZD ．[k π－π2，k π+π4]，k ∈Z题型三：比较函数值的大小例3．比较下列四个数的大小关系：tan1，tan2，tan3，tan4．点评：有关正、余切函数大小的比较，一般将角化到同一单调区间内，再利用函数的单调性处理，若遇到不同函数之间的比较，则最好通过变换化为同名函数再作比较． 变式练习3：比较大小：tan （－21π4）与tan （－17π5）．题型四：判断函数的单调性 例4．已知函数y =tan x ，x ∈（0，π2）是增函数，求证：函数y =1－tan x ，x ∈（－π2，0）是减函数．点评：判断此类函数的单调性问题，可以结合上述的函数单调性的定义来处理，在一些填空题或解答题中往往可以直接根据数形结合的方法，通过草图来加以处理，必要时再加以科学论证．变式练习4：已知函数f （x ）=tan45x ，则f （x ）（ ） A ．是定义域上的增函数，周期为π B ．是定义域上的增函数，周期为54π C ．在[－π2，π2]上为增函数，周期为π D ．在[－2π5，2π5]上为增函数，周期为54π【随堂练习】1．在下列函数中，同时满足下列三个条件的函数是（ ）①在（0，π2）上单调递增；②以2π为周期；③是奇函数； A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan 21x D ．y ＝－tan x2．函数f （x ）=tan （x +π4）的单调增区间为（ ） A ．（k π－π2，k π+π2），k ∈Z B ．（k π，（k +1）π），k ∈Z C ．（k π－3π4，k π+π4），k ∈Z D ．（k π－π4，k π+3π4），k ∈Z3．下列不等式中正确的是（ ）A ．tan53π>tan 52π B ．tan4>tan3C ．tan281º>tan665ºD ．tan （－413π）<tan （－512π）4．若x ∈[0，2π]，函数y =x sin +x tan 的定义域为__________．5．在区间（－3π2，3π2）范围内，函数y =tan x 与函数y =sin x 的图象交点的个数为 个． 6．求函数y = tan （－2x +π8）的周期与单调性．【课后作业】1．观察正切函数的图象，满足|tan x |≤1的x 取值范围是（ ）A ．[2k π－π4，2k π+π4]，k ∈Z B ．[k π，k π+π4]，k ∈Z C ．[k π－π4，k π+π4]，k ∈Z D ．[k π+π4，k π+3π4]，k ∈Z2．函数y ＝sin x ＋tan x －|sin x －tan x |在区间（π2，3π2）内的取值范围是（ ）A ．（－∞，0]B ．[0，＋∞）C ．[－2，0]D ．[0，2] 3．已知y ＝tan 2x －2tan x ＋3，则它的最小值为________． 4．给出下列命题：①正切函数的图象的对称中心是唯一的；②y =|sin x |、y =|tan x |的周期分别为π、2π； ③若x 1>x 2，则sin x 1>sin x 2；④若f （x ）是R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f （－2T）=0； 其中正确命题的序号是____________．5．若x∈[－π3，π4]，求函数y=tan2x+2tan x+3的值域．6．求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期，并作出它在区间［－π，π］内的图象．参考答案【课前准备】 2．基础预探 （1）π，奇函数，（－π2+k π，π2+k π），实数集R ；（2）{x |x ≠π2+k π，k ∈Z }． 【知识训练】 1． A 【解析】将（12π，0）代入原函数可得，tan （6π+φ）=0，再将选项A 、B 、C 、D 代入检验即可. 2． A【解析】A 是奇函数，B 、D 是非奇非偶函数，C 是偶函数. 3． C【解析】当tan x =1，在（－π2，π2）内对应的值是π4，而其周期是π，则有k π+π4，k ∈Z . 4．2π【解析】根据正切函数的性质知其最小正周期为T =ωπ=2π. 5．①【解析】对f （x ）=tan （2x －4π），T =π2，故①对；定义域为2x －4π≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+3π8，k ∈Z ，故②错；由于f （－x ）= tan （－2x －4π）=－tan （2x +4π）≠tan （2x －4π）=f （x ），故③错；由k π－π2<2x －4π<k π+π2，k ∈Z 知函数的单调增区间为（21k π－π8，21k π+3π8），k ∈Z ，故⑤错. 6．【解】要使函数y =2tan2x 有意义，则有2x ≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+π4，k ∈Z ，所以函数y =2tan2x 的定义域为{x |x ≠21k π+π4，k ∈Z }．【典例导析】例1．【解】函数y =x tan +lg （1－tan x ）有意义，则⎩⎨⎧>-≥0tan 10tan x x ，解得0≤tan x <1，结合正切函数的图象可得k π≤x <k π+π4，k ∈Z ，所以原函数的定义域为{x |k π≤x <k π+π4，k ∈Z }． 变式练习1：【解】要使函数y =2tan （2x －π4）有意义，则有2x －π4≠k π+π2，k ∈Z ，即x ≠21k π+3π8，k ∈Z ，所以函数y =2tan （2x －π4）的定义域为{x |x ≠21k π+3π8，k ∈Z }．例2．【解】由于y =|tan x |=πtan ,[π,π)2πtan ,(π,π)2x x k k x x k k ⎧∈+⎪⎪⎨⎪-∈-⎪⎩，k ∈Z ，单调增区间为[k π，k π+π2），k ∈Z ；单调减区间为（k π－π2，k π]，k ∈Z ．变式练习2：C【解析】如图，在（－π2，π2）这个周期内，tan x ≤－1所对应的区间是（－π2，－π4]，故在R 上，tan x ≤－1的解为（k π－π2，k π－π4]，k ∈Z .例3．【解】由于tan2=tan （2－π），tan3=tan （3－π），tan4=tan （4－π）， 又因为－π2<2－π<3－π<4－π<1<π2，而y =tan x 在（－π2，π2）上是增函数， 所以tan （2－π）<tan （3－π）<tan （4－π）<tan1，即tan2<tan3<tan4<tan1． 变式练习3：【解】由于tan （－21π4）=－tan π4，tan （－17π5）=－tan 2π5，又0<π4<2π5，而y =tan x 在（0，π2）内单调递增， 所以tan π4<tan 2π5，则有－tan π4>－tan 2π5，即tan （－21π4）>tan （－17π5）．例4．【解】设任意x 1、x 2∈（－π2，0），且x 1<x 2，则有π2>－x 1>－x 2>0，由于函数y =tan x ，x ∈（0，π2）是增函数，所以tan （－x 1）>tan （－x 2），而正切函数y =tan x 是奇函数，则有－tan x 1>－tan x 2， 从而1－tan x 1>1－tan x 2，所以函数y =1－tan x ，x ∈（－π2，0）是减函数． 变式练习4：D【解析】正切函数不是在其定义域内单调，而是在区间（5π4k －2π5，5π4k +2π5）（k ∈Z ）上单调，周期为54π. 【随堂练习】 1． C【解析】对y ＝tan 21x ，在开区间（－π+2k π，π+2k π），k ∈Z 内，函数单调递增； 又tan （－21x ）= －tan 21x ，是奇函数；且周期T =π12=2π.2． C【解析】根据函数y =tan x 的单调性，由k π－π2< x +π4<k π+π2，k ∈Z ，得k π－3π4< x <k π+π4，k ∈Z . 3． B【解析】根据正切函数y =tan x 的单调性加以分析. 4．（π2，π] 【解析】函数y =x sin +x tan -的定义域为⎩⎨⎧≥-≥0tan 0sin x x ，即⎩⎨⎧≤≥0tan 0sin x x ，又x ∈[0，2π]，那么结合草图，可知x ∈（π2，π]. 5．3【解析】结合函数y =tan x 与函数y =sin x 的图象，在区间（－3π2，3π2）范围内，知它们的交点分别为（－π，0），（0，0），（π，0）；6．【解】周期为T =π|2|-=π2； 令u =－2x +π8，则y =tan u 在（－π2+k π，π2+k π），k ∈Z 上单调递增， 即－π2+k π<－2x +π8<π2+k π，解得：－3π16－21k π<x <5π16－21k π，k ∈Z ，又u =－2x +π8在R 上递减，故y = tan （－2x +π8）在区间（－3π16－21k π，5π16－21k π），k ∈Z 上单调递减．【课后作业】 1． C【解析】结合正切函数的图象可以判断出来. 2． A【解析】由于y ＝⎩⎨⎧2tan x ，π2<x ≤π，2sin x ，π<x <3π2，当π2<x ≤π时，y ≤0；当π<x <3π2时，－2<y <0；综上，y ≤0. 3．2【解析】由于y ＝tan 2x －2tan x ＋3＝（tan x －1）2＋2，当tan x =1时，函数y ＝tan 2x －2tan x ＋3的最小值为2. 4．④【解析】结合正切函数的图象与性质知①是错误的，同时y =|tan x |的周期为π，即②也是错误的；结合正弦函数的图象与性质知是③错误的；由于f （x ）是R 上的奇函数，则有f （0）=0，且有f （－2T ）=－f （2T ），而由其最小正周期为T 知f （－2T ）= f （2T ），则有f （－2T）=0.5．【解】函数y =tan x 在（－π2，π2）这个周期内是单调递增的， 因而当x ∈[－π3，π4]时，y =tan x 的最小值在x =－π3取到，且最小值为tan （－π3）=－3，y =tan x 的最大值在x =π4取到，且最大值为tan π4=1，又y =tan 2x +2tan x +3=（tan x +1）2+2，当tan x =－1时，函数y =tan 2x +2tan x +3取到最小值2；高中数学优质学案11 当tan x =1，函数y =tan 2x +2tan x +3取到最大值6；故函数y =tan 2x +2tan x +3的值域为[2，6]．6．【解】（1）要使函数y ＝tan2x 有意义，必须且只须2x ≠π2＋k π，k ∈Z ， 即x ≠π4＋π2k ，k ∈Z ， ∴函数y ＝tan2x 的定义域为{x ∈R ｜x ≠ππ42k +，k ∈Z }； （2）设t ＝2x ，由x ≠ππ42k +，k ∈Z 知t ≠π2＋k π，k ∈Z ， ∴y ＝tan t 的值域为（－∞，＋∞），即y ＝tan2x 的值域为（－∞，＋∞）；（3）由tan2（x ＋π2）＝tan （2x ＋π）＝tan2x ， ∴y ＝tan2x 的周期为π2； （4）函数y ＝tan2x 在区间［－π，π］的图象如图：。
1.4.3正切函数的图像与性质
课堂展示
探究1
展示：1组
独立思考， 独立审题 1.结合批阅情况，改正错误，找准错因。
探究2、3、4 展示：6组
2.明确自己的疑问，以备小组合作讨论解决。
3.学有余力的同学力争做好“拓展提升”。 要求：思维敏捷，手、脑、眼并用。
例1 展示：5组
例2 展示：2组
例3 展示：3组
激情点评
探究1
点评：9组 探究2、3、4 点评：8组
思考：在整个定义域内是增函数么？
正切函数的性质与图像
（五）定义域、值域:
k （六）关于对称点对称轴：从图象可以看出：无对称轴。 ( , 0) 直线 为渐近线,对称点为零点及函数值不存在的点，即 2 x k k Z 2
应用提升
• 例1
求函数y tan x 的定义域，值域，并指出它的周期性， 3 2 奇偶性，单调性，对称中心，作出它的大致草图
复习回顾
y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - o -1 y 1 -6 -5 -4 -3 -2 - -1 2 3 4 5 6 x
y=sinx
y=cosx
2 3 4 5 6 x
六.对称轴和对称点：
y sin x的对称轴：x k
2
, 对称点： ( k ,0);
学习目标：
1.会画出的 y tan x 图像； 2.掌握正切函数 y tan x 的性质；并能够熟练的应用。
[重点]： 画正切函数的图像，理解正切函数的性质。
[难点]：正切函数的性质及其应用。
合作学习：重点讨论：
探究1. 借助正切线，做出正切函数y=tanx的图像。 探究2.由正切函数的图像得到正切函数的定义域与值域。 探究3.由正切函数的图像得到正切函数的周期性、奇偶性。
人教课标版高中数学必修四《正切函数的图象与性质》教案(1)-新版
1.4.3正切函数的性质与图象一、教学目标（一）核心素养通过这节课的学习，了解研究正切函数图象的方法，掌握正切函数的图象特征与性质，并运用性质解决一定的实际问题．（二）学习目标学生已经有了研究正弦函数余弦函数的图象与性质的经验，正切函数在研究方法与研究内容上与前者类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题．本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：1．知识目标：1）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图象．2）熟练根据正切函数的图象推导出正切函数的性质．3）掌握利用数形结合思想分析问题解决问题的技能．2．能力目标：1）通过类比，联系正弦函数图象的作法．2）能学以致用，结合图象分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质．（三）学习重点正切函数的图象及其主要性质（包括周期性单调性奇偶性值域）；深化研究函数性质的思想方法．（四）学习难点正切函数图象与性质的应用二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第48页至第51页，填空．正切函数的周期是_2π_，是 增 函数，在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内都是 增函数，它的值域是__R __． 2．预习自测（1）画出下列各角的正切线：【知识点】正切线 【数学思想】数形结合【思路点拨】注意第二、三象限正切线的变化，投影到第四、一象限做正切线. 【解题过程】【答案】略 （2）复习相关诱导公式tan(x+π)= x tan ；tan(-x )= x tan - ． 【知识点】任意角三角函数诱导公式 【数学思想】转化思想【思路点拨】“奇变偶不变，符号看象限”【解题过程】tan(x+π)中，根据=22ππ⋅，系数为偶数2，三角函数名不变．假定x为锐角，x π+为第三象限角，其正切为正，∴()tan tan x x π+=．同理，()tan tan x x -=-．【答案】tan(x+π)= x tan ；tan(-x )= x tan - ． （二）课堂设计 1．知识回顾（1）任意角α的终边与单位圆交于点()P x y ，(0x ≠)，则α的正切tan α=yx tan y xα=． （2）下图1中，有向线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．图1．三角函数线（3）正弦函数sin y x =的图象如图2，其最小正周期为2π，是奇函数，在每一个闭区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 上都是增函数，其值从-1到1；在每一个闭区间()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦都是减函数，其值从1到-1；余弦函数cos y x =的图象如图3，它是偶函数，在每一个闭区间[]()2,22k k k Z ππππ++∈ 上都是增函数．图2．正弦函数图象 图3．余弦函数图象2．问题探究探究一：正切函数有哪些性质？ （1）定义域：回顾正切的定义，其中角是任意角吗？由正切函数定义，若角x 的终边过点(),a b ，则tan bx a=知，当0a =，即,2x k k Z ππ=+∈时，tan x 无意义，故正切函数tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．（2）周期性结合周期函数的定义，由诱导公式()tan tan x x π+=，能得出什么样的结论？ 根据()tan tan x x π+=，可得出正切函数tan y x =的一个周期为π，且由单位圆中正切线的变化情况可知，π为该函数的最小正周期． （3）奇偶性结合奇偶函数的定义，由诱导公式()tan tan x x -=-，能得出什么样的结论？正切函数tan y x =为奇函数，函数图象关于原点对称． （4）单调性由正切线的变化规律，正切函数tan y x =具有怎样的单调性？正切函数在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k Z ∈)内都是增函数．（5）值域由正切线的变化规律，分析正切函数tan y x =的值域是多少．由图1(Ⅰ)可知，当x 大于2π-且无限接近于2π-时，正切线AT 向y 轴的负方向无限延伸；由图1(Ⅱ)可知，当x 小于2π且无限接近于2π时，正切线AT 向y 轴的正方向无限延伸．故，x y tan =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内可以取任意实数，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是R ．探究二：由正切函数的性质和单位圆中正切线如何得出正切函数图象？ （1）类比已经学习的正弦函数、余弦函数的图象与性质，应该按照怎样的步骤研究正切函数？正切函数的是最小正周期为π的周期函数，所以只需画出它在一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象，可先选择区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭；而正切函数又是奇函数，所以只需要画出在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图象即可．研究正切函数图象的步骤如下：0,,|,2222x x k k Z πππππ⎡⎫⎛⎫⎧⎫−−−−→-−−−−→≠+∈⎨⎬⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎩⎭奇函数周期性对称变换左右平移【设计意图】理清思路，学习分析问题的方法．（2）类别正弦函数、余弦函数，应该怎样画正切函数的图象？根据正切函数的定义域、周期性和奇偶性，选择先在区间0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上作出它的图象： ①作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y 轴左侧作单位圆； ②把单位圆第一象限分成4等份，分别在单位圆中作出正切线；③描点（横坐标是半周期4等分点对应的值，纵坐标是相应的正切线的终点对应的值）； ④连线．再根据奇函数图象关于原点对称，画出,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内的图象．（如图4）图4．由正弦线画正切函数tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内图象图5．正切函数tan y x =图象最后由正切函数的周期性，只要把图4中的图象向左、向右扩展，就可以得到正切函数tan y x =（|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭）的图象，称之为正切曲线（如图5所示）． 【设计意图】实际操作，锻炼动手能力． （3）观察正切曲线，分析正切函数的性质①定义域：函数在,2x k k Z ππ=+∈处无定义，符合先前分析的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭．②单调性：对于每一个k Z ∈，在开区间,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内，正切函数图象从左往右升高，正切函数单调递增． ③值域：靠近2k ππ-时，函数图象向下无限逼近直线2x k ππ=-，靠近2k ππ+时，函数图象向上无限逼近直线2x k ππ=+，能够取到R 上任意实数，值域为R ．④渐近线：正切曲线不限逼近的直线()2x k k Z ππ=+∈称之为正切曲线各支的渐近线．正切曲线是由被渐近线隔开的无穷多支曲线组成的，且在渐近线处无取值，即函数无定义．⑤对称性：正切曲线关于每一段图象与x 轴的交点(),0k π对称，且关于渐近线与x 轴交点,02k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称，但正切曲线不关于任何直线对称．即，正切曲线不是轴对称图形，而是中心对称图形，其对称中心为,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭． 【设计意图】前后呼应，扩展延伸，加深对正切函数性质的理解． 探究三：应用例1．求函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域、周期和单调区间．【知识点】正切函数的定义域、周期和单调性． 【数学思想】换元思想，整体思想． 【思路点拨】把23x ππ+看作整体，利用正切函数的定义域、周期和单调性知识求解．【解题过程】 令,232x k k Z ππππ+≠+∈，得12,2x k k Z ≠+∈，所以函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域1{|2,}2x x k k Z ≠+∈． 周期22T ππ==． 令-,2232k x k k Z ππππππ+++∈＜＜，得5122,22k x k k Z -++∈＜＜，所以函数tan 23y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为51(2,2),22k k k Z -++∈． 【答案】定义域：1{|2,}2x x k k Z ≠+∈；周期T =2；单调递增区间51(2,2),22k k k Z -++∈． 例2．求函数的定义域． （1）y （2）y =．【知识点】函数的定义域，解不等式，正切函数的性质．【数学思想】换元思想、整体思想．【思路点拨】先求不等式在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的解集，再根据正切函数的周期性求解出所有范围． 【解题过程】（1）由题意，tan x ≠,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内，tan 3π=，∴3x π≠，又因为y=tan x 是周期为π的周期函数，所以函数的定义域为|32x x k x k k Z ππππ⎧⎫≠+≠+∈⎨⎬⎩⎭，且，．（2）因为tan x ≥错误！未找到引用源。
高中数学必修四：1.4.3正切函数的图像与性质(教、学案
§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。
正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。
这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。
在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。
【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。
本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。
2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。
3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。
教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。
高中数学必修4教案 1.4.3正切函数的性质与图象
④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？
你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？
2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的方法,学习正切函数的图象与性质,从而培养学生的类比思维能力.
情感态度价值观
3.通过正切函数图象的教学,培养学生欣赏(中心)对称美的能力,激发学生热爱科学、努力学好数学的信心.
教材分析
重难点
教学重点:正切函数的性质与图象的简单应用.
教学难点:正切函数性质的深刻理解及其简单应用.
可知,正切函1)tan138°与tan143°；(2)tan( )与tan( ).
解:(1)∵y=tanx在90°<x<180°上为增函数,
∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.
(2)∵tan( )=-tan =-tan(3π+ )=-tan ,
计
一周期性 三 单调性
二奇偶性四值域
教学反思
教学设想
教法
引导探究
学法
自学探究
教具
多媒体直尺,圆规
课堂设计
一、目标展示
.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法.
二.预习检测
①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？
高中数学必修精选优课教案正切函数的性质与图象_1
高中数学《正切函数的图像与性质》教学设计一、教学内容分析：三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数又是三角函数这个小分支中的一个内容节点。
让学生能清晰地认识到所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质——定义域、值域、对称性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。
正切函数除了一般函数的研究内容外，还要针对其图象的特点，特别地要研究其渐近线。
在此也向学生进一步说明华罗庚教授的“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会到：数学的美无处不在，数学无处不美。
二、学情分析：本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人教A 版）数学必修四第一章《三角函数》第1.4.3节《正切函数的图像与性质》。
本节课是研究了正弦、余弦函数的图象与性质之后，又一具体的三角函数。
教材首先根据单位圆得到正切函数的定义，给出正切线的概念，并类比画正弦函数图象的方式，利用正切线画正切函数)2,2(,tan ππ-∈=x x y的图象，根据图象，研究正切函数的性质。
体现了类比思想的应用，体现出数形结合思想在研究函数性质中的重要作用。
学生已经掌握了正弦函数图像的画法和利用正弦函数的图象研究函数性质的方法，这为本节课的学习提供了知识的保障，这是有利的因素；但不足之处在于学生不能独立地运用数形结合的思想来研究正切函数的相关问题。
三、教学目标：1. 知识与技能目标：① 在对正切函数已有认知的基础上，分析正切函数的性质。
② 通过已知的性质，利用正切线画出正切函数在(,)22ππ-上的图像，得到正切曲线。
③ 根据正切曲线，完善正切函数的性质。
2. 过程与方法目标：在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的自主探索的学习习惯和学习能力，养成良好的数学学习习惯。
3. 情感态度价值观目标：在教学中使学生了解问题的来龙去脉；强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成。
1.4.3正切函数的图象和性质示范教案
)2,2(ππ-∈x x y tan =2k +ππ)π)22k ππ+1. 4．3正切函数的图象和性质教学目的：1、理解并掌握作正切函数图象的方法；2、掌握正切函数的性质及其应用；3、能用正切函数的图象解最简三角不等式。
教学重点、难点重点：正切函数的图象形状及其主要性质。
难点：利用正切线画出函数的图象。
教学过程：一、复习引入：1．利用单位圆中的正弦线作出 图像2．正弦函数、余弦函数的性质二、讲授新课：1、性质： （1）定义域：｛x|x ∈R 且x ≠ k ∈z ｝ （2）值域：R ，函数无最大值、最小值；（3）周期：正切函数是周期函数，周期是（4）奇偶性： ∵， ∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点对称．（5）单调性： 在每一个开区间k ∈z 内均为增函数，须注意： 正切函数y ＝tanx ，x ∈（k ∈z ）是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调增函数；2、正切函数的图象根据正切函数的定义域和周期，我们取(,)22x ππ∈-，利用单位圆中的正切线，通过平行移动，作出tan ,(,)22y x x ππ=∈-的图象（如图1），而后向左、右扩展得到函tan ,R y x x =∈()2x k k Z ≠+∈ππ且的图象（如图2），并把它叫做正切曲线。
图1 图2三、典型例题例1．求函数tan(2)3y x π=-的定义域、周期和单调区间。
解：函数的自变量x 应满足： 2,,32x k k Z πππ-≠+∈ 即5()212k x k Z ππ≠+∈。
∴函数的定义域为 {}5,.212kx x R x k Z ππ∈≠+∈且 由于()tan(2)tan 2()().3232f x x x f x ππππ⎡⎤=-=+-=+⎢⎥⎣⎦ 因此函数tan(2)3y x π=-的周期为2π。
由tan ,(,)()22y x x k k k Z ππππ=∈-++∈是增函数。
2,,232k x k k Z πππππ∴-+<-<+∈ 即5,122122k k x k Z ππππ∴-+<<+∈。
1.4.3 正切函数的性质与图象(第1课时) 精品教案
1.4.3正切函数的性质与图象
【课题】：正切函数的性质与图象(1)
方案二：适用于平行班
【三维目标】：
一、知识与技能
1．理解正切函数的性质
2．会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象
3．理解正切函数的图象
二、过程与方法
1．掌握正切函数的性质与图象
2．掌握正切函数的性质与图象的简单应用
3．会解决一些实际问题
三、情感态度与价值观
1．用数形结合的思想理解和处理有关问题
2．发现数学规律
3．提高数学素质，培养实践第一的观点
【教学重点】：正切函数的性质与图象。
【教学难点】：正切函数性质及其简单应用。
【教学突破点】：类比正弦函数和余弦函数的图象和性质研究正切函数性质【教法、学法设计】：多媒体辅助教学，启发引导教学；观察归纳法
【课前准备】：多媒体
内容：通过正切函数线构作正切函数图象的动画过程。
∴π是y=。
高中数学必修4公开课教案1.4.3正切函数的性质与图象
1.4.3正切函数的性质与图象全体规划教育剖析本节课的布景是:这之前咱们现已用了三节课的时刻学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研讨具有其自身固有的特征和特有的研讨办法.一般来说,对函数性质的研讨总是先作图象,经过调查图象取得对函数性质的直观知道,然后再从代数的视点对性质作出严厉表述.但对正切函数,教科书换了一个新的视点,采取了先依据已有的常识(如正切函数的界说、诱导公式、正切线等)研讨性质,然后再依据性质研讨正切函数的图象.这样处理,首要是为了给学生供给研讨数学问题更多的视角,在性质的辅导下能够愈加有效地作图、研讨图象,加强了理性考虑的成分,并使数形结合的思维表现得愈加全面.教师要在学生探求活动进程中引导学生领会这种处理问题的办法.经过多媒体教育,让学生经过对图象的动态调查,对常识点的了解愈加直观、形象.以进步学生的学习爱好,进步课题教育质量.从学生的实际情况为教育起点,经过各种数学思维的浸透,合理运用各种教育课件,逐渐培育学生养成学会经过对图象的调查来收拾相应的常识点的才能,学会运用数学思维处理实际问题的才能.这样既加强了类比这一重要数学思维的培育,也有利于学生概括运用才能的进步,有利于学生把新旧常识前后联络,融会贯通,进步教育效果.由于学生现已有了研讨正弦函数、余弦函数的图象与性质的经历,这种经历彻底能够搬迁到对正切函数性质的研讨中,因而,咱们能够经过“探求”提出,引导学生依据前面的经历研讨正切函数的性质,让学生深入领会这种搬迁与类比的学习办法.三维方针1.经过对正切函数的性质的研讨,重视培育学生类比思维的养成,以及培育学生概括运用新旧常识的才能.学会经过对图象的调查来收拾相应的常识点,学会运用数学思维处理实际问题的才能.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的办法,学习正切函数的图象与性质,然后培育学生的类比思维才能.3.经过正切函数图象的教育,培育学生赏识(中心)对称美的才能,激起学生酷爱科学、尽力学好数学的决心.要点难点教育要点:正切函数的性质与图象的简略使用.教育难点:正切函数性质的深入了解及其简略使用.课时组织1课时教育进程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面咱们研讨了正、余弦函数的图象和性质,你能否依据研讨正弦函数、余弦函数的图象与性质的经历,以相同的办法研讨正切函数的图象与性质？由此打开新课.思路2.先由图象开端,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几许作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的挑选,这是传统的导入法.推动新课新知探求提出问题①咱们经过画正弦、余弦函数图象探求了正弦、余弦函数的性质.正切函数是咱们高中要学习的最终一个根本初等函数.你能运用类比的办法先探求出正切函数的性质吗？都研讨函数的哪几个方面的性质？②咱们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③咱们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就能够得到它在整个界说域上的图象.那么咱们先选哪一个区间来研讨正切函数呢？为什么？④咱们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的办法吗？活动:问题①,教师先引导学生回想:正弦、余弦函数的性质是从界说域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研讨的,有了这些常识预备,然后指点学生也从这几个方面来探求正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师辅导学生充沛使用正切线的直观性.1.周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z可知,正切函数是周期函数,周期是π.这儿可经过多媒体课件演示,让学生调查由角的改变引起正切线的改变的周期性,直观了解正切函数的周期性,后边的正切函数图象作出往后,还可从图象上调查正切函数的这一周期性.2.奇偶性由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生经过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(,0)k∈Z.3.单调性经过多媒体课件演示,由正切线的改变规则能够得出,正切函数在(,)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.4.界说域依据正切函数的界说tanα=,明显,当角α的终边落在y 轴上恣意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又由于终边落在y轴上的一切角可表示为kπ+,k∈Z,所以正切函数的界说域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不了解,在解题时又很简略犯错,教师应提示学生留意这点,深入明晰其内在实质.5.值域由多媒体课件演示正切线的改变规则,从正切线知,当x 大于且无限挨近时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x 小于且无限挨近时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因而,tanx在(,)内能够取恣意实数,但没有最大值、最小值.因而,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并调查它的改变规则,如图1.图1问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间愈加天然呢？教师引导学生在讲堂上打开充沛评论,这也表现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生或许选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的表现.此刻,教师应调整方案,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个界说域内函数的图象,让学生调查考虑.最终由学生来判别终究选用哪个区间段内的函数图象既简略又能彻底表现正切函数的性质,让学生经过剖析得到先作区间(-,)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.依据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠+kπ(k∈Z)的图象,咱们称正切曲线,如图3.图2 图3问题④,教师引导学生调查正切曲线,指点学生评论考虑,只需确认哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(,)的简图.学生可看出有三个点很要害:(,-1),(0,0),(,1),还有两条竖线.因而,画正切函数简图的办法便是:先描三点(,-1),(0,0),(,1),再画两条平行线x=,x=,然后连线.教师要让学生着手画一画,这对往后解题很有协助.评论效果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题①请同学们仔细调查正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象评论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,咱们能够说正切函数在整个界说域内是增函数吗？请举一个比如.活动:问题①,从图中能够看出,正切曲线是被彼此平行的直线x=+kπ,k∈Z所离隔的无量多支曲线组成的.教师引导学生进一步考虑,这点反响了它的哪一性质——界说域；而且函数图象在每个区间都无限接近这些直线,咱们能够将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值持平,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.经过图象咱们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但咱们不能够说正切函数在整个界说域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.评论效果:①略.②略.使用示例例1 比较巨细.1.tan138°与tan143°；(2)tan()与tan().活动:使用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的巨细,能够先使用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较巨细.教师可放手让学生自己去探求完结,由学生类比正弦、余弦函数值的巨细比较,学生不难处理,首要是操练学生稳固本节所学的基础常识,加强类比思维的运用.解:(1)∵y=tanx在90°<x<180°上为增函数,∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.2.∵tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan,tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan.又0<<<,而y=tanx在(0, )上是增函数,∴tan<tan.∴-tan>-tan,即tan()>tan().点评:不要求学生强记正切函数的性质,只需记住正切函数的图象或正切线即可.例2 用图象求函数y=的界说域.活动:如图4,本例的意图是让学生了解运用正切曲线来解题.不足之处在于本例能够经过三角函数线来处理,教师在引导学生探求活动中,也应以两种办法提出处理方案,但要有侧要点,应表现函数图象使用的重要性.图4 图5解:由tanx-≥0,得tanx≥,使用图4知,所求界说域为［kπ+,kπ+)(k∈Z).点评:先在一个周期内得出x的取值规模,然后再加周期即可,亦可使用单位圆求解,如图5.本节的要点是正切线,但在往后解题时,学生哪种娴熟就用哪种.变式操练依据正切函数的图象,写出使下列不等式建立的x的调集.1.1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.解:(1)tanx≥-1,∴x∈［kπ-,kπ+),k∈Z;2.x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.例3 求函数y=tan(x+)的界说域、周期和单调区间.活动:类比正弦、余弦函数,本例使用的是换元法,由于在研讨正弦、余弦函数的类似问题时现已用过换元法,所以这儿也就不必再介绍换元法,能够直接将x+作为一个全体.教师可让学生自己类比地探求,仅仅提示学生留意界说域.解:函数的自变量x应满意x+≠kπ+,k∈Z,即x≠2k+,k∈Z.所以函数的界说域是{x|x≠2k+,k∈Z}.由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2),因而,函数的周期为2.由-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,解得+2k<x<+2k,k∈Z.因而,函数的单调递加区间是(+2k,+2k),k∈Z.点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研讨相同,这儿可引导学生探求y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=.变式操练求函数y=tan(x+)的界说域,值域,单调区间,周期性.解:由x+≠kπ+,k∈Z可知,界说域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.值域为R.由x+∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函数.周期是π,也可看作由y=tanx的图象向左平移个单位得到,其周期仍然是π.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4依照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生使用函数y=tanx的单调性探求解题办法.也可使用单位圆中的正切线探求解题办法.但要提示学生留意本节中活动的定论:正切函数在界说域内的每个区间上都是增函数,但咱们不能够说正切函数在整个界说域内是增函数.学生或许的错解有:错解1:∵函数y=tanx是增函数,又1<2<3<4,∴tan1<tan2<tan3<tan4.错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.又∵函数y=tanx是增函数,且2<3,1<4,∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探求问题的解法.发现错解后不要直接纠正,当即给出正确解法,可再让学生评论剖析找犯错的原因.图6解法一:∵函数y=tanx在区间(,)上是单调递加函数,且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<,∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT1,AT2,AT3,AT4,∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评:本例重在让学生弄清正切函数单调性问题,这归于学生易错点.把正切函数y=tanx的单调性简略地说成“在界说域内是增函数”是不对的.知能操练讲义本节操练1—5.回答:1.在x轴就任取一点O1,以O1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x轴的直径,将⊙O1分红左右两个半圆,过右半圆与x 轴的交点作⊙O1的切线,然后从圆心O1引7条射线把右半圆分红8等份,并与切线相交,得到对应于,,,0,,,等角的正切线.相应地,再把x轴上从到这一段分红8等份.把角x的正切线向右平行移动,使它的起点与x轴上的点x重合,再把这些正切线的结尾用润滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(,)的图象.点评:可类比正弦函数图象的作法.2.(1){x|kπ<x<+kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x| +kπ<x<kπ,k∈Z}.点评:只需依据正切曲线写出效果,并不要求解三角方程或三角不等式.3.x≠+,k∈Z.点评:可用换元法.4.(1) ;(2)2π.点评:可依据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(ωx+φ),x∈R的周期T=得解.5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tanπ=0.(2)不会.由于关于任何区间A来说,假如A不含有+kπ(k∈Z)这样的数,那么函数y=tanx,x∈A是增函数;假如A至少含有一个+kπ(k∈Z)这样的数,那么在直线x=+kπ两边的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:了解正切函数的单调性.讲堂小结1.先由学生回忆本节都学到了哪些常识办法,有哪些启示、收成.本节课咱们是在研讨完正、余弦函数的图象与性质之后,研讨的又一个详细的三角函数,与研讨正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研讨正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课咱们从正切函数的界说动身得出一些性质,并在此基础上得到图象,最终用图象又验证了函数的性质.2.(教师指点)本节研讨的进程是由数及形,又由形及数相结合,也是咱们研讨函数的根本办法,特别是又运用了类比的办法、数形结合的办法、化归的办法.请同学们课后考虑总结:这种多视点调查、探求问题的办法对咱们往后学习有什么辅导意义？作业讲义习题1.4 A组6、8、9.规划感触1.本教案的规划布景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质.因而教案的规划主线是一直捉住类比思维这条主线,让学生在稳固原有常识的基础上,经过类比,由学生自己来对新常识进行剖析、探求、猜测、证明,使新旧常识点有机地结合在一起,学生对新常识也较易承受.2.本教案规划的学习程序是:温故(相关常识预备)→新的学习目标与旧常识的联络→类比探求→处理问题→使用效果→概括总结→进一步的发散考虑→探究进步.。
高中数学 第1章 三角函数 1.4.3 正切函数的性质与图象教案(含解析)高一数学教案
(2)y＝3tan ＝－3tan ，
由－ ＋kπ＜2x－ ＜ ＋kπ，k∈Z得，
－ ＋ π＜x＜ ＋ π，k∈Z，
所以y＝3tan 的减区间为 ，k∈Z.
1．将本例(2)中的函数改为“y＝3tan ”，结果又如何？
[解]由kπ－ < x－ <kπ＋ (k∈Z)，
得2kπ－ <x<2kπ＋ π(k∈Z)，
2．在下列函数中同时满足：①在 上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )
A．y＝tanxB．y＝cosx
C．y＝tan D．y＝－tanx
C[A，D的周期为π，B中函数在 上递减，故选C.]
3．函数y＝|tanx|在 上的单调减区间为________．
和 [如图，观察图象可知，y＝|tanx|在 上的单调减区间为 和 .
]
4．求函数y＝tan 的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．
[解]①由 － ≠kπ＋ ，k∈Z，得x≠2kπ＋ ，k∈Z，
∴函数的定义域为 .
②T＝ ＝2π，∴函数的最小正周期为2π.
③由kπ－ ＜ － ＜kπ＋ ，k∈Z，得2kπ－ ＜x＜2kπ＋ ，k∈Z，∴函数的单调递增区间为 ，k∈Z.
3．函数y＝tan 3x的最小正周期是________．
[函数y＝tan 3x的最小正周期是 .]
4．函数y＝tan 的对称中心是________．
(k∈Z)[令x－ ＝ (k∈Z)得x＝ ＋ (k∈Z)，
∴对称中心为 (k∈Z)．]
有关正切函数的定义域、值域问题
【例1】 (1)函数y＝ 的值域是( )
→
(2) →
[解](1)①因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，
1.4.3正切函数的性质与图象 教案
1.4.3正切函数的性质与图象教案（人教A版必修4）授课题目授课时间课型新授课授课地点授课教师授课班级授课方法启发和探究教学相结合教学辅助手段多媒体课件教学目标1．掌握正切函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等相关性质的同时学会本节课研究数学问题的方法，培养积极主动的学习态度。
2．利用迁移、类比的方法提高分析、探究问题的能力，拓展研究数学问题的视角，加强理性思考，体验数学的严谨之美.3．领悟和内化数形结合的思想，让学生在学习中收获成功和快乐，感受到数学的无穷魅力.教学重点正切函数的性质与图象. 教学难点利用正切线研究函数的单调性及值域.教学过程教学流程教学内容教师活动学生活动学情预设设计意图复习引入1．正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？2．正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？提出问题引导学生回忆，迁移到对正切函数的研究中.1．学生和老师一起回忆研究正弦函数余弦函数的思路与方法.学生易于得到描点作图和函数的性质.激发学生的学习兴趣和探究欲望.探究一正切函数y=tan x的定义域.强调研究函数定义域优先. 2．学生回忆正切函数的定义.类比正、余弦函数定义学生容易遗漏定义域，老师提醒.培养学生缜密的思维. 探究二1．当x大于-2π且无限接近-2π时，正切线AT向y轴负方向无限延伸；2．当x小于2π且无限接近2π时，正切线AT向y轴正方向无限延伸；因此，正切函数没有最大值、最小值；所以，正切函数的值域是实数集R.展示正切线的变化规律，引导学生观察正切函数的值域；指定学生回答．3．学生观察探究正切函数的值域.学生会想到正切函数线，老师再引导和动画演示.展示单位圆中三角函数线的重要性，进一步让学生体会数形结合的思想.探究三诱导公式tan(-x)= -tan x，x R∈,,2x k k Zππ≠+∈知，正切函数是奇函数.让学生类比研究正、余弦函数奇偶性的方法，自己探究正切函数的奇偶性．4．利用诱导公式探究正切函数的奇偶性.学生可能遗漏函数奇偶性对定义域的要求.展示数学中的对称美. 探究四诱导公式tan( x+π)=tan x ，x R∈,,2x k k Zππ≠+∈)可知：正切函数是周期函数，周期为π.让学生类比研究弦函数的方法来研究正切函数的周期性．5．学生类比思考探究正切函数是否为周期函数.学生会想到诱导公式，老师需要解释是最小正周期.让学生感受类比，体会类比在研究问题中的重要性.。
高二数学(人教A版)必修4精品教案—1.4.3正切函数的性质与图像
1. 4.3 正切函数的性质与图象班级 姓名学习目标：1、用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2、用正切函数图象解决函数有关的性质；3、理解并掌握作正切函数图象的方法；4、理解用函数图象解决有关性质问题的方法；教学重点：正切函数的性质与图象的简单应用. 教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 教学过程：知识探究（一）：正切函数的性质：思考1：正切函数的定义域是__________,思考2：根据诱导公式与周期函数的定义，你能判断正切函数是周期函数吗？若是，其最小正周期 T=_______思考3: 函数)82tan(π-=x y 的周期T=__ ,一般地，函数)0(),tan(>+=ωφωx y 的周期T=____.思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？思考5：观察右图中的正切线,当角x 在 （2,2ππ-）内增加时,正切函数值发生什么变化? 由此反映出一个什么性质?思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在开区间（ ）（z k ∈）内都是(增、减)函数。
思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？T 1OxvAT 2O思考8：当x 大于2π-且无限接近2π-时，正切值如何变化？ 当x 小于2π且无限接近2π时, 正切值又如何变化？ 由此分析，正切函数的值域是什么?知识探究（二）：正切函数的图象:思考1:类比正弦函数图象的作法,可以利用正切线作正切函数y=tanx, x ∈（2,2ππ-）的图象，具体应如何操作？思考2：右图中,直线x=2π-和x= 2π与正切函数的图象的位置关系如何？思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？思考4：正切函数y=tanx,x ∈R,x ≠2π+k π ，z x ∈ 的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？ 一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？应用示例例1 比较大小. (1)tan138°与tan143°； (2)tan(413π-)与tan(517π-).练习：比较大小. (1)tan1519°与tan1493°； (2)tan1175π与tan(1158π-).例2 求函数y=tan(2πx+3π)的定义域、周期和单调区间.变式训练 求函数y=tan(x+4π)的定义域,值域,单调区间,周期性.课堂小结 知识：正切函数的性质有哪些？正切函数的图象怎么画？能力：正切函数的性质和图象的应用及数形结合法。
高一数学《正切函数的性质与图像》教案
§1.4.3 正切函数的性质与图象教学目标：1，能够根据研究正弦函数、余弦函数的性质与图象的经验，以同样的方法研究正切函数的性质与图象．2，能够借助图象理解正切函数在(,)22ππ-上的性质（如单调性、奇偶性、图象与x 轴的交点等），了解正切函数的周期性．3，会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象．教学重点：正切函数的性质．教学难点：正切函数的性质的应用．教学过程：一、复习引入：1、复习正弦函数、余弦函数性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值2、回忆正弦曲线的作图过程，思考正切函数的图像如何做出？二、讲授新课：1，正切函数x y tan =的图象。
① 首先考虑定义域：()z k k x ∈+≠2ππ② 为了研究方便，再考虑一下它的周期：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x xx x x ,2,t a n c o s s i n c o s s i n t a n πππππ且⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,t a n ππ且的周期为π=T （最小正周期）③ 因此我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象。
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”2，正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：① 定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， ② 值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
③ 周期性：π=T④奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。
⑤单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象教案 新人教A版必修4
正切函数的性质⎩⎨⎧π教学内容精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
人教版数学高一教学设计1.4.3正切函数的性质与图象
必修四第一章三角函数1．4.3正切函数的性质与图象讲解新课：1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式;(2)根据解析式作出图象;(3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.例题精讲［例1］在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为60°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为30°的C 处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？命题意图：本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力.知识依托：主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系.错解分析：考生对方位角识别不准，计算易出错.技巧与方法：主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题.解：(1)在R 网sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =101033303==BC AB sin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°10103=. 2010)133()10103(121232-=-⋅- 在△ACD 中，据正弦定理得CDAAC DCA AD sin sin =， ∴13392010)133(1010333sin sin +=-⋅=⋅=CDA DCA AC AD 答：此时船距岛A 为1339+千米. ［例2］已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos2C A -，f (x )=cos B (CA cos 1cos 1+).。
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4-1.4.3正切函数的性质与图象（1）
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。
授课类型：新授课
教学模式： 启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：
问题：正弦曲线是怎样画的？
正切线?
练习正切线，画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数和余切函数的图象． 二、讲解新课：
1．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
∈+≠z k k x x ,2|ππ
2．正切函数是不是周期函数？ ()t a n t a n ,,2x x x R x k k z πππ⎛
⎫+=
∈≠+∈
⎪⎝
⎭
且，
∴π是tan ,,2y x x R x k k z π
π⎛
⎫
=∈≠+∈ ⎪⎝
⎭
且的一个周期。
π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作tan y x =，x ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛-
2,2ππ的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比π小，正切函数的最小正周期是π；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠
ππ
2
的图象，称“正切曲线”。
无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ
； （2）值域：R
观察：当x 从小于()z k k ∈+2
π
π，2
π+π−→−k x 时，tan x −−
→+∞ 当x 从大于
()z k k ∈+ππ
2
，ππ
k x +−→−
2
时，-∞−→−
x tan 。
（3）周期性：π=T ；
（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
5.余切函数y=cotx 的图象及其性质（要求学生了解）：
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2tan 2tan cot ππx x x y ——即将x y tan =的图象，
向左平移2π个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象
定义域：z k k x R x ∈≠∈,π且 值域：R ， 当z k k k x ∈⎪⎭⎫
⎝
⎛
+
∈2,πππ时0>y ，当z k k k x ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈πππ,2时0<y 周期：π=T
奇偶性：奇函数
单调性：在区间()()ππ1,+k k 上函数单调递减 6.讲解范例： 例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-
413tan π与⎪⎭
⎫
⎝⎛-517tan π的大小
解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
π 4π，52tan
517tan ππ-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-， 又：⎪⎭
⎫
⎝⎛=<
<
2,0tan ,524
0πππ
在x y 内单调递增， ⎪⎭
⎫ ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ
517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan
4
tan
即 例2讨论函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+
=4tan πx y 的性质
略解：定义域：⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈+
≠∈z k k x R x x ,4|π
π且 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+-
4,43ππππk k 上是增函数 图象：可看作是x y tan =的图象向左平移4
π
单位 例3求函数y ＝tan2x 的定义域 解：由2x ≠k π＋
2π
，(k ∈Z ) 得x ≠2πk ＋4
π，(k ∈Z )
∴y ＝tan2x 的定义域为：｛x ｜x ∈R 且x ≠
2πk ＋4
π
，k ∈Z ｝ 例4观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0 解：画出y ＝tan x 在(－2π，2
π
)上的图象，不难看出在此区间上满足tan x ＞0的x 的范围为：0＜x ＜
2
π 结合周期性，可知在x ∈R ，且x ≠k π＋
2π上满足的x 的取值范围为(k π，k π＋2
π
)(k ∈Z ) 例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
解：∵90°＜135°＜138°＜270° 又∵y ＝tan x 在x ∈(90°，270°)上是增函数 ∴tan135°＜tan138° 三、巩固与练习
P ．71．练习2，3，6
求函数y ＝tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象
解：（1）要使函数y ＝tan2x 有意义，必须且只须2x ≠2
π
＋ｋπ，ｋ∈Z
即x ≠
4
π
＋
2
π
k ，ｋ∈Z ∴函数y ＝tan2x 的定义域为｛x ∈R ｜，x ≠2
4
π
π
k +
，ｋ∈Z ｝ （2）设ｔ＝2x ，由x ≠
24
ππ
k +
，ｋ∈Z ｝知ｔ≠2
π＋
ｋπ，ｋ∈Z
∴y ＝tan ｔ的值域为（－∞，＋∞）
即y ＝tan2x 的值域为（－∞，＋∞） （3）由tan2（x ＋
2
π
）＝tan （2x ＋π）＝tan2x
∴y ＝tan2x 的周期为
2
π
．
（4）函数y ＝tan2x 在区间［－π，π］的图象如图
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数x y tan =的定义域是},2
,|{Z k k x R x x ∈+
≠∈π
π，所以它的图象被
, (2)
3
,2ππ
±±
=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x 轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y ＝tan(ωx )，
x ≠
ωπω
π
2+
k (k ∈Z )的周期T ＝ω
π；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 五、课后作业：
六、板书设计：。