21.2一元二次方程解法
21.2.2-一元二次方程的解法(2)公式法
(2) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
b c x x （2）方程两边同除以a，得 a a
2
.
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a ∵a≠0, 4a2>0,
b 2 4ac 0, 2 ∴当b2－4ac≥0时， 4a
b b2 4ac ∴ x . 2a 2a
b b2 4ac x . 2a
2
2 0 a 0）. 对于方程 ax bx c （
2 ax bx c . （1）将常数项移到方程的左边，得
b 2 ( ) 2a ，得 （3）方程两边同时加上_______ b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) . a 2a a 2a 左边写成完全平方式，右边通分，得 b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a （4）开平方…
（3）
（ 4）
六、拓展练习 提升新知
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有 两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A 、 m ﹥0 C 、 m ﹥ 0 且m≠1 B、 m≥0 D m ≥0且m≠1
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
解 a 1, b 4, c 7
△ b 2 4ac 4 4 1 (7) 44 0.
2
方程有两个不相等的实数根： b b 2 4ac x 2a 4 44 4 2 11 . 2 1 2 2 11
21.2 解一元二次方程——配方法
解: 把常数项移到方程右边得：如何配方?
x 4x 1
2
2 2 2 两边同时加上2 得： x 4x 2 1 2
2
即
降次
( x 2) 5
2
x2 5
∴原方程的根为 x1 2 5, x2 2 5
例1.解下列方程 2 x 8x 2 0.
x2＋8x＋ 42 ＝( x＋4 )2 2 2 2 ＝ ( a +b ) a +2 a b ＋ b x2＋2．x．4 ＋ 42
配方依据：完全平方公式.
2 2 2 a ±2ab+b =(a±b) .
合作探究
填上适当的数或式,使下列各等式成立. 2 2 (1) x 4 x 2 =( x + 2 )2 2 2 =(x - 3 )2 (2) x 6 x 3
系数一半的平方，得
x 4 x 1.
2
2 2 2
x 4x 2 1 2 .
x 4 x 4 5.
2
写成（）2 降次，得
的形式，得
x 2
2
5.
x 2 5.
所以，原方程的根为
x1 2 5
x2 2 5.
练习:3x – 6x + 4 = 0
配方法的基本步骤：
1、将二次项系数化为1：两边同时除以二次项系数； 2、移项：将常数项移到等号一边； 3、配方：左右两边同时加上一次项系数一半的平方； 4、等号左边写成（ ）2 的形式；
5、降次：化成一元一次方程；
6、解一元一次方程； 7、写出方程的解.
练习 题组
（1）
16 x 4 x 8x __ _ .
人教版九年级上册数学第21章21.2一元二次方程解法--公式法
一元二次方程解法--公式法一、基本知识1. 把方程4x 2+4x+10=1-8x 化为一般形式为： ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．2. 用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．x=32-± B ．x=32± C ．x=32-± D ．x=32± 3. 下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 .4. 已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 . 思路与步骤：1. 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子. 合作探究1：用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2对应练习：1. 用公式法解下列一元二次方程（1）（x-2）（3x-5）=0 （2）4x 2-3x+1=0（3）3x 2+5(2x+1)=0 （4）0432=-+x x根的判别式1. 一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a ≠0)根的判别式为：△=b 2-4ac.2.（1）△=b 2-4ac ＞0有 的实根.（2）△=b 2-4ac ＝0有 的实根.（3）△=b 2-4ac ＜.（3）△=b 2-4ac ≥.二、典型例题：例1：当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.对应练习：1. 若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ．2. 关于x 的方程()22410x x m -+-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．例题2：若关于x 的方程x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2＋4a －5)＝0有实数根，试求正整数a 的值．【提示】：要注意两个条件：①有实数根，②a 是正整数．例题3：如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
一元二次方程的解法-公式法-2022年学习资料;
总结提高-我们把b2.4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0-的根的判别式，通常用△表示.-判别 定理-当b2.4ac>0时，方程有两个不相等的实数根-当b2.4ac=0时，方程有两个相等的实数根-当b2 4ac<0时，方程没有实数根-当b2.4ac≥0时，方程有两个实数根
随堂-2.用公式法解下列方程：-练习一-⑧r2x+-=ห้องสมุดไป่ตู้-44x2-3x+2=0-解：-a=,b=-V2, =-1-0=4,b=-3,c=2-b2-4ac=2-2=0-b2-4ac=9-32=-23元0-.--V2 √0√2±0-·.方程没有实数根，-当b2.4ac<0时，一元-X1=X2=-二次方程没有实数根。
总结提高-判别式逆定理-若方程有两个不相等的实数根，则b2.4ac>0-若方程有两个相等的实数根，则b2. ac=0-若方程没有实数根，测b2.4ac<0-若方程有两个实数根，则b2.4ac≥0
花二火方程根的判别式-▲=b2-4ac-1->0←→-两个不相等实根-△=0-两个相等实根-3-<0←→实数根-△≥0-两个实数根
想一想-解一元二次方程时应先化-为一般形式，然后利用公-已本节课-式法求得方程的根.这是解-一元二次方程的 法-么？-用公式法解一元二次方-课下可要多交流呦-程时，必须把方程化为一-般形式才能正确确定出☑，-b、C 在代入公式求解前，-要先计算b2-4ac的值.-课堂心得
应用2：根据方程根的情况判断某一字母取值范围-1、若关于x的一元二次方程m-1x2-2mx+m=0有-两个 数根，则m的取值范围是D-A、-m>0-B-m≥0-C、m>0且m≠1-≥0且m≠1-解：由题意，得-m≠0①-☑=-2m2-4m-1m≥0②-解之得，m>0且m≠1，故应选D
21.2.2_一元二次方程的解法-公式法
特别提醒
即
b b 4ac x 2a 2a
2
b b2 4ac x 2a
一元二次方程的 求根公式
一般地，式子b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式， 通常用希腊字母Δ表示它，即 Δ＝b2－4ac
归纳：
2－4ac Δ ＝ b 由根的判别式________________的值可以直接去判断方程
2
解：原方程变形为：x 2 2 3 x 3 0
a 1、 b= - 2 3、 c= 3
2 b2 4ac （ 2 3 ） 4 1 3 0
（- 2 3 ） 0 2 3 x 3 21 2
即：
x1 x2 3
b b 4ac 2 x (a 0, b 4ac 0) 2a 例 3 解方程： x 21 3 x 6
根的个数情况，而不用求解方程： 有两个不相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程__________________________ ； 有两个相等的实数根 当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程__________________________ ； 没有实数根 当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程__________________________ ．
2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
2
即
更多资源
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
2 当 4a 0 b 4ac 0 时 2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
b c 的值。 1、把方程化成一般形式，并写出 a、、
专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题21.2 一元二次方程的解法【八大题型】【人教版】【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 (1)【题型2 配方法解一元二次方程】 (2)【题型3 公式法解一元二次方程】 (3)【题型4 因式分解法解一元二次方程】 (3)【题型5 用指定方法解一元二次方程】 (4)【题型6 用适当的方法解一元二次方程 (4)【题型7 用换元法解一元二次方程】 (5)【题型8 配方法的应用】 (6)【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；①直接开平方化为两个一元一次方程；①解两个一元一次方程得到原方程的解.【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】【例1】（2023春·九年级课时练习）将方程(2x－1)2=9的两边同时开平方，得2x－1=________，即2x－1＝________或2x－1＝________，所以x1＝________，x2＝________．【变式1-1】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）【变式1-2】（2023·全国·九年级假期作业）如果方程(x−5)2=m−7可以用直接开平方求解，那么m的取值范围是（）.A．m>0B．m⩾7C．m>7D．任意实数【变式1-3】（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为()A．x2+9＝0B．－2x2=0C．x2－3=0D．(x－2)2=0【知识点2 配方法解一元二次方程】将一元二次方程配成(x +m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax 2+bx +c =0(a ≠0)的形式；①方程两边同除以二 次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；①方程两边同时加上一次项系数一半的平方；① 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；①如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法 来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 配方法解一元二次方程】【例2】（2023春·九年级统考课时练习）用配方法解方程，补全解答过程．3x 2−52=12x ． 解：两边同除以3，得______________________________．移项，得x 2−16x =56．配方，得_________________________________，即(x −112)2=121144．两边开平方，得__________________，即x −112=1112，或x −112=−1112． 所以x 1=1，x 2=−56．【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程：(1)x 2−3x −1=0（配方法）；(2)2x 2−7x +3=0（配方法）．【变式2-2】（2023春·山西太原·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程2x 2−5x +2=0．请结合题意填空，完成本题的解答．解：方程变形为2x 2−5x +(52)2−(52)2+2=0，.......................第一步配方，得(2x −52)2−174=0．.......................................第二步 移项，得(2x −52)2=174．..........................................第三步 两边开平方，得2x −52=±√172．...................................第四步 即2x −52=√172或2x −52=−√172．................................第五步所以x 1=5+√174，x 2=5−√174．..................................第六步（1）上述解法错在第 步；（2）请你用配方法求出该方程的解．【变式2-3】（2023春·全国·九年级专题练习）（1）请用配方法解方程2x 2−6x +3=0；（2）请用配方法解一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)．【知识点3 公式法解一元二次方程】当b 2−4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)通过配方，其实数根可写为x =−b±√b 2−4ac 2a 的形式，这个式子叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解 一元二次方程的方法叫做公式法.【题型3 公式法解一元二次方程】【例3】（2023·上海·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)3x =5x 2+6；(2)(x+3)22+10=x (2x+8)5．【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用公式法解一元二次方程：2x 2+7x −4=0（用公式法求解）．【变式3-2】（2023春·河南·九年级校考阶段练习）用公式法解方程：(x −1)(x −2)=5．【变式3-3】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：(1)9x 2+1=6√6x ；(2)√2x 2+4√3x −2√2=0．【知识点4 因式分解法概念】当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程 转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.【题型4 因式分解法解一元二次方程】【例4】（2023·上海·九年级假期作业）用因式分解法解下列方程：(1)(√2+3)x 2=x ；(2)(2x −1)2−x (2x −1)=0．【变式4-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用因式分解法解方程：x (x -1)=2(x -1)（因式分解法）．【变式4-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程：(2x +1)2+4(2x +1)+4=0；【变式4-3】（2023春·海南儋州·九年级专题练习）因式分解法解方程：(1)3（x-5）2=2（5-x）；(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0）；【题型5 用指定方法解一元二次方程】【例5】（2023春·九年级单元测试）按照指定方法解下列方程：(1)3x2−15=0（用直接开平方法）(2)x2−8x+15=0（用因式分解法）(3)x2−6x+7=0（用配方法）(4)y2+2=2√2y（用求根公式法）【变式5-1】（2023·全国·九年级专题练习）解方程：(1)4x2=16．（直接开平方法）(2)2x2−3x+1=0（配方法）(3)x(x−2)+x−2=0（因式分解法）(4)2x2−6x+1=0（公式法）【变式5-2】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）解方程：(1)(x+6)2=9（直接开平方法）(2)x2+x−6=0；(公式法)(3)x(x−2)+x−2=0；(因式分解法)(4)x2+2x−120=0(配方法)【变式5-3】（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x−1=0．【题型6 用适当的方法解一元二次方程【例6】（2023·全国·九年级假期作业）用适当方法解下列方程：(1)(2x−1)2=9；(2)12x2−45x−525=0；(3)(3x−1)2−(x+1)2=0；(4)(x−2)2+x(x−2)=0；x2−5√2x+1=0；(5)12(6)0.3x2+0.5x=0.3x+2.1．【变式6-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）请选择适当方法解下列方程：(1)2x(x−3)+x=3(2)x(x−6)=2(x−8)(3)3x(x−3)=2(x−1)(x+1)【变式6-2】（2023春·山东枣庄·九年级统考期中）用适当方法解下列方程：(1)9x2−1=0(2)4y2−4y+1=0(3)x2−6x−3=0(4)x2−6x+9=(5−2x)2．【变式6-3】（2023·宁夏中卫·九年级校考期中）用适当方法解方程(1)(6x−1)2−25=0；(2)y2−y=3(y−1)(3)x2+18=√22x；(4)(x+1)(x−1)+2(x+3)=8．【题型7 用换元法解一元二次方程】【例7】（2023春·山西忻州·九年级统考阶段练习）阅读和理解下面是小康同学的数学小论文，请仔细阅读，并完成相应的任务：利用换元法求方程的解我们知道，一元二次方程的解法有四种：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法．有一类一元二次方程，利用上述四种方法求解不仅很复杂，而且也容易出错，这时我们可以用一种新的解方程的方法—换元法，下面举例说明：例：解方程：(5x+32)2−(5x+3)−15=0．解析：本题若将方程化为一般形式较复杂，如果设5x+32=y，则原方程可化为y2−2y−15=0，①(y−1)2=16，①y−1=±4，①y1=5,y2=−3，①5x+32=5或5x+32=−3，①方程的解为x1=75，x2=−95．任务：(1)上述小论文的解析过程中，解方程y2−2y−15=0的过程主要用了______．A．直接开平方法B．配方法C．因式分解法D．公式法(2)解方程：x−2=3−2√x−2．【变式7-1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）已知(a2+b2)2−(a2+b2)−6=0，求a2+b2的值．【变式7-2】（2023春·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知实数x满足(x2−x)2−2(x2−x)−3=0，则代数式x2−x+2020的值为_______．【变式7-3】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程：(1)2(x2﹣7x)2﹣21(x2﹣7x)+10＝0；(2)(2x2+3x)2﹣4(2x2+3x)﹣5=0．【题型8 配方法的应用】【例8】（2023·全国·九年级假期作业）若W=5x2−4xy+y2−2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为__________．【变式8-1】（2023·全国·九年级假期作业）已知N=6m−25，M=m2−2m(m为任意实数)，则M、N的大小关系为（）A．M<N B．M>N C．M=N D．不能确定【变式8-2】（2023·四川达州·模拟预测）选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2−4x+2=(x−2)2−2；①选取二次项和常数项配方：x2−4x+2=(x−√2)2+(2√2−4)x，或x2−4x+2=(x+√2)2−(4+2√2)x①选取一次项和常数项配方：x2−4x+2=(√2x−√2)2−x2根据上述材料，解决下面问题：（1）写出x2−8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy−3y+3=0，求x y的值．【变式8-3】（2023·四川成都·统考二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为0.8，1.2，1.3，1.5时，设最佳值为a，那么(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2应为最小，此时a=_________；设某次实验测量了m次，由这m次数据的得到的最佳值为a1；又测量了n次，这n次数据得到的最佳值为a2，则利用这m+n次数据得到的最佳值为__________．。
21.2 解一元二次方程
• • • •
用因式分解法解下列方程 x∧2-5x=0 3x(2x+1)=2(2x+1) 9x∧2-16=0
补充：十字相乘法
• 如6y∧2+19y+15=0
• 用因式分解法解下列方程 • 4x∧2+8x+3=0
• 6x∧2-7x+2=o
用适当的方法解下列方程
• • • •
(2x+1)(2x-1)=11 (x+2)∧2=-6x (4x∧2-9)-2(2x-3)=0 x(x-3)=4
• 2.已知关于x的一元二次方程x∧2+2x-a=0有2个相同的实数根，则a的值是 多少?
• 1.有2个 • 1个 • 没有 • 2.a=-1
一元二次方程求根的推导过程：公式法
因式分解法
• • • • • 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。
• (2)将二次三项式2x^2-4x+6进行配方，正确 的结果是______.
7
• ( 1 ) 已知方程5x^2+kx-6=0的一个跟是6，求另一个根和k.
• （2）设a b是方程x^2-3x-3=0的2个解，则b∕ a+a∕ b的值为_____. • （3）若一个一元二次方程的两根为a,b，且满足a^2+b^2=10,ab=3，则这 个方程是______________.
• • • • •
设一元二次方程2x∧2-2x=5的两个实数为a和b，则下列结论正确的是—— A.a+b=2 B.a+b=-1 C.ab=5∕2 D.ab=-5∕ 2
21.2.2 一元二次方程的解法——公式法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
第2课时
一元二次方程的解法
——公式公式法解一元二次方程，知道使用公式前先将方
程化为一般形式.
❸ (2022新课标)能用公式法解数字系数的一元二次方程.
复习引入
1.如何用配方法解方程 2x2 4x 10?
解：方程整理得
．
小结：注意一元二次方程的二次项系数不能为0.
2
2
★10．若a ＋5ab－b ＝0(ab≠0)，求 的值．
2
2
解：∵a ＋5ab－b ＝0，∴ ＋ －1＝0，
令t＝ ，∴方程可化为t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根据公式法得t＝
－±
×
＝
－±
)±
±
＝
，
×
即x1＝2 ，x2＝ ．
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝
－±
所以x1＝
－
－± －±
＝
＝
，
×
－＋
－－
，x2＝
．
小结：用公式法解方程时，先确定出a，b，c和b2-4ac的值.
x＝
x－ ＝0．
±
8．用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
－±
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
＋
6．某数学小组对关于x的方程(m＋1)
＋(m－2)x－1＝0提出了问题：
21.2一元二次方程的解法(直接开平方法)
即3-2x=2或3-2x=-2 x₁= ½ ; x₂= 5
2
知识点二：解形如（mx＋n）2= p（p≥0）的方程
12（3－2x）2－3 = 0
解：移项，得12（3-2x）2=3
两边都除以12，得（3-2x）2=0.25
∴3-2x=±0.5
即3-2x=0.5或3-2x=-0.5
∴x1=
即x1=5，x2=-3
知识点二：解形如（mx＋n）2= p（p≥0）的方程
(1) 3（3－2x）2－12 = 0 (2) 12（3－2x）2－3 = 0
知识点二：解形如（mx＋n）2= p（p≥0）的方程
3（3－2x）2－12 = 0
解：移项，得3（3-2x）2=12
两边都除以3，得（3-2x）2=4
例2 解下列方程：(能否用直接开平方法)
(1)（x＋1）2= 4
把x+1看成一个整体
降
解：∵x+1是4的平方根
次
∴x+1= 2
即x 1 2或x 1 2
即x1=1 x2=-3
知识点二：解形如（mx＋n）2= p（p≥0）的方程
⑵ （x－1）2－16 =0
解：移项，得（x-1）2=16 ∴x-1=±4
1.用直接开平方法解下列方程.
(1) y2 121 0
(2)x2 2 0
(3)16x2 25 0
将方程化为
(4)2x2 1 0 2
(5)3x2 0
x2 p的形式.
பைடு நூலகம்
(6)x2 4 0
知识点一：解形如x2=p（p≥0)的方程
p>0
方程有两个不相等的实数根
x1 p, x2 p
§21.2 解一元二次方程 直接开平方法
21.2 解一元二次方程 同步练习2 含答案
21.2专题训练 一元二次方程的解法及配方法的应用一、一元二次方程的解法1．用直接开平方法解方程：(1)(4x －1)2＝225；解：x 1＝4，x 2＝－72(2)13(x －2)2＝8； 解：x 1＝2＋26，x 2＝2－2 6(3)9x 2－6x ＋1＝9；解：x 1＝43，x 2＝－23(4)3(2x ＋1)2－2＝0.解：x 1＝－12＋66，x 2＝－12－662．用配方法解方程：(1)2t 2－3t ＝－1；解：t 1＝12，t 2＝1(2)2x 2＋5x －1＝0；解：x 1＝－5＋334，x 2＝－5－334(3)(2x －1)(3x －1)＝3－6x ；解：x 1＝12，x 2＝－23(4)(2x －1)2＝x(3x ＋2)－7.解：x 1＝4，x 2＝23．用公式法解方程：(1)x 2＝6x ＋1;解：x 1＝3＋10，x 2＝3－10(2)0.2x 2－0.1＝0.4x ；解：x 1＝2＋62，x 2＝2－62(3)2x －2＝2x 2.解：原方程无实数根4．用因式分解法解方程：(1)(x －1)2－2(x －1)＝0；解：x 1＝3，x 2＝1(2)5x(x －3)＝(x －3)(x ＋1)；解：x 1＝3，x 2＝14(3)(x ＋2)2－10(x ＋2)＋25＝0.解：x 1＝x 2＝35．用适当的方法解方程：(1)2(x －3)2＝x 2－9；解：x 1＝3，x 2＝9(2)(2x ＋1)(4x －2)＝(2x －1)2＋2；解：x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62(3)(x ＋1)(x －1)＋2(x ＋3)＝8.解：x 1＝1，x 2＝－3二、配方法的应用(一)最大(小)值 6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x 2－x －1的值总是负数，并求出它的最大值．解：－x 2－x －1＝－(x ＋12)2－34，∵－(x ＋12)2≤0，∴－(x ＋12)2－34＜0，故结论成立．当x ＝－12时，－x 2－x －1有最大值－347．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.(1)求m，n的值；(2)求x为何值时，x2＋4x＋9有最小值，并求出最小值为多少？解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，有最小值是5(二)非负数的和为08．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5的值．解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝129．若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋c－5＋25＝0，请根据已知条件判断其形状．解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋c－5＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋c－5＝0，由非负性得(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，c－5＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形。
数学九年级上册 21.2解一元二次方程 ——配方法解一元二次方程
2 4 24
即 (x-3)2 1 4 16
开平方得： x- 3 1
44
∴
x1 1,
x2
1 2
推导
议一议：结合上面例题的解答过程，说出解一元 二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？
配方
通过 配成完全平方形式 来解一元二次方程的方法， 叫做配方法．
具体步骤： （1）二次项系数化为1； （2）移项； （3）配方（方程两边都加上一次项系数一半的平 方）； （4）开平方。
2 x 2 1 2 x _ _ 122_ _ 2 _ (x _ _ 6_ _ )2 ;
3 x 2 5 x _ _ _ 52_ _ 2_ ( x _ _ _ 52 _ _ ) 2 ;
4 x22 3x_ _ _ 13_ _ 2 (x_ _ １_ 3 _ _ )2.
3. 用配方法解下列方程
（ 1 ） 3x26x40;
（ 2） 4x26x30;
(3) 2x2 3x
归纳小结
（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？
把方程配方为（x + n）2 = p （n，p 是常数，p≥0） 的形式，运用直接开平方法，降次求解．
（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些? ①将方程二次项系数化成 1； ②移项； ③配方（方程两边都加上一次项系数一半的平
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
（x + 3）2 = 5
x35
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x3 5 ，或 x35
解一次方程
x13 5， x23 5
九年级数学 第21章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.2公式法1
解方程
3x2 1 x10 22
2x222x10
x2x60
x2 3x 1 0 4
3x26x20
4x2 6x0 x24x84x11
x(2x4)58x
12/10/2021
小结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
由配方法解一般的一元二 次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)若 b2-4ac≥0 得
1、把方程化成一般形式, 并写出a，b，c的值。
2a
4 256 4 16 .
w3.计算: b2-4ac 的值;
25
10
w4.代入:把有关数
28
值代入公式计算;
56
x ;x 1
2
5 12/10/2021
2.
w5.定根:写出原方 程的根.
跟踪练习 用公式法解下列方程： 1.2x2 +5x-3=0 2.(x-2)(3x-5)=0
3.4x2-3x+1=0
12/10/2021
例题1
求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
（口答）填空：用公式法解方程
2x2+x-6=0 解：a= 2 ，b= 1 ，c = -6.
b2-4ac= 12-4×2×(-6) = 49.
1 49 1 7
x=
= 22 = 4 .
即 x1= -2 , x2= 3 . 2
2、求出b2-4ac的值。
求根公式 : X=
3、代入求根公式 :
12/10/2021
X=
(a≠0, b2-4ac≥0)
4、写出方程的解： x1=?, x2=?
独立
知识的升华
作业
祝你成功！
21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
2
(2) x －18＝0．
2
解： x －18＝0
2
x ＝18
x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)
∴x1＝－2，x2＝ ．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3
∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋ ，x2＝2－
21.2.2一元二次方程的解法(3)因式分解法
2
2.用因式分解法解方程：
2 (1)x -2x
-8=0
2 (2)x –x
– 12=0
2 （3）x +6x-7=0
（ 1） a · b＝0
a ＝ 0 或 b＝ 0 。
（2）(x-2)(x+3)=0
x-2=0或x+3=0
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分 解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分 解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二 次方程的方法称为分解因式法. 1.用分解因式法解一元二次方程的条件是: 方程左边易于分解,而右边等于零; 2.理论依据是 “如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”
21.2.3
因式分解法(1)
一、情景设置 导入新知
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法:
x2=p (p≥0) (ax+b)2=p (p≥0)
(2)配方法: (x+h)2=k (k≥0)
b b 4ac 2 . b 4ac 0 . (3)公式法: x 2a
例2 用因式分解法解下列方程:
(1)
(2)
2 x + 2 x –
8x +12=0
11x – 12=0
四、基础练习 巩固新知
1.解下列方程：
(1) x x 0, (2) x
2
2
2
2 3x 0,
2
(3)3x 24 x 12,
(4)4 x 25 0
2
(5)3x(2 x 1) 4 x 2
例1
用因式分解法解下列方程: