第二讲：角平分线

【例23】如图：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；
证明：CF=EB
【例24】已知，如图2，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD．说明：∠B+∠D=180°
【例25】如图5，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.
b)过角平分线上一点向角两边作垂线；
c)如有和角平分线垂直的；
【例1】用尺规作图法作下列各个角的平分线。
【例2】角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．
【例3】 判断正误，并说明理由：
①如图1，
∵P是∠AOB的平分线，OC上任意一点
一、角平分线的性质定理及其应用
1. 角平分的性质定理
a)定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
b)定理的作用：证明两条线段相等
c)符号语言表示：
∵p在∠AOB的角平分线上，
且PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD﹦PE
2.角平分线的判定定理
a)定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上
行刑日是个雨天，因为皮斯阿司没有如期归来，只好由达蒙替死。当达蒙被押赴刑场时，围观的人都笑他是个傻瓜。也有人对他产生了同情，更多的人却是幸灾乐祸。但刑车上的达蒙，不但面无惧色，反而有一种慷慨赴死的豪情。
追魂炮被点燃了，绞索已经挂在达蒙的脖子上。胆小的人吓得紧闭了双眼，他们在内心深处为达蒙惋惜，并痛恨那个出卖朋友的小人皮斯阿司。
A．2cm，2cm，2cm；B．3cm，3cm，3cm；
C．4cm，4cm，4cm；D．2cm，3cm，5cm
知识点3：角平分线的应用
【例17】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、1处B、2处C、3处D、4处
b)定理的作用：证明两个角相等
c)符号语言表示：（见上图）∵PD⊥OAຫໍສະໝຸດ PE⊥OB,垂足分别为点D,点E.
且PD﹦PE,
∴P点在∠AOB的角平分线上。
3.正确理解角平分线的性质与判定定理的区别与联系
a)角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是之角平分上的任意一点，或者说是角平分线上的所有店都具有“到角的两边两边的距离相等”的性质。
由角平分的性质定理和判定定理可知，在一个角内，到角的两边的距离相等的点都在这的角的角平分线上；反过来，角的角平分线上的点到这的角的两边的距离都相等
于是，我们得到下面的结论：
角的角平分线是到角的两边的距离相等的所有点的集合
5.有角平分线或中点时，常用的辅助线：
a)在角的两边截相等的线段段，构造全等三角形；
知识点4：角平分线的证明问题
【例18】工人师傅常常用角尺平分一个任意角，在∠COD的两边OC、OD上分别取OA=OB，移动角尺，使角的两边相同刻度分别与点A、B重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠COD的平分线，请你说明这样画角平分线的道理.
【例19】如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E．求证：AE平分∠FAC.
2.如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（）
A．OA=OCB．点O到AB、CD的距离相等
C．∠BDA=∠BDCD．点O到CB、CD的距离相等
3.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
【例13】如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
【例14】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_____cm.
【例15】在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
【例26】已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC;
哈佛家训——皮斯阿司的结局
公元前4世纪，在意大利，有一个名叫皮斯阿司的年轻
人触犯了法律被判绞刑，将在某个择定的日子被处死。皮斯
阿司是个孝子，在临死前，他希望能与远在百里之外的母亲
见最后一面，以表达他对母亲的歉意，因为他再也不能孝敬
∴PD＝PE．
②如图2
∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，
∴PD＝PE．
知识点1：角平分线的角度问题
【例4】如图,AB∥CD,PB平分∠ABC,PC平分∠DCB,则 ∠P=。
例4例5例6例7
【例5】如图，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB之平分线，若∠A＝m°，则∠P＝.
【例6】如图，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB之外角平分线，若∠A＝m°，则∠P＝.
b)角平分的性质定理与判定定理是两个互逆的定理，是两个互逆的真命题。要从题设，条件与结论的关系上理解它们的区别和联系：
点到角两边距离相等
c)角平分线的性质定理与判定定理在应用是的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角的平分线上的问题
4.角平分线上的集合概念：
【例10】如图，已知AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.
知识点2：角平分线的相关等量关系问题
【例11】在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
【例12】在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为.
A、1处B、2处C、3处D、4处
4.如图，△ABC的∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P。
求证：点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等
5.已知:BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE交点F，CF=BF，说明：点F在∠A的平分线上.
6.（选做）已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。
求证：
父母了。
他的这一要求被国王准许了，但交换条件是，皮斯阿司必须找一个人来替他坐牢。这是一个看似简单其实近乎不可能做到的条件。假如皮斯阿司一去不返怎么办？谁来愿意冒着被杀头的危险来干这件蠢事呢？
这个消息传出后，有一个人表示愿意来替换坐牢——他就是皮斯阿司的朋友达蒙。
达蒙住进牢房以后，皮斯阿司就赶紧回家与母亲诀别，人们静静地等待着世态的发展。日子如水一样流逝，眼看刑期在即，皮斯阿司却音讯全无。人们一时间议论纷纷，都说达蒙赏了皮斯阿司的当。
【例20】已知：如图在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC.
【例21】已知，在△ABC中，BM是∠ABC的角平分线，CN是∠ACB的角平分线，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
求证：PD=PE=PF
【例22】如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
千钧一发之际，在淋漓的风雨中，皮斯阿司飞奔二来！他高声喊着：“我回来了，我回来了！”这真正是人世间最最感人的一幕，大多数人都以为自己是在梦中，但事实不容怀疑，皮斯阿司已经冲到达蒙的身边，他们紧紧地拥抱在一起。
大概只是一会儿的工夫，国王便知道了这件事。他亲自赶到刑场，要亲眼看一看自己如此优秀的子民。喜悦万分的国王立即为皮斯阿司松了绑，亲口赦免了他，
【例7】如图，BP，CP分别是∠ABC，∠ACD之平分线，若∠A＝m°，则∠P＝.
【例8】如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.
【例9】点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为_____________．
并且重重地奖赏了他的朋友达蒙。
真正的朋友需要信任，这就是达蒙为什么敢代人坐牢的缘故；真正的朋友更需要忠诚，所以，皮斯阿斯本可以逃脱一死，仍然视死如归。因为忠诚，才得信任；因为有信任，才必须要有忠诚。
忠诚和信任缺少一个，这个故事的结局就会完全改写。
1.已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为.
1图中相等的线段有哪些？相等的角呢？
2哪条线段与DE相等？为什么？
3若AB＝10，BC＝8，AC＝6，
求BE，AE的长和△AED的周长
【例16】△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（）