一元二次方程定义导学案

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2022年人教版《一元二次方程(导学案)》精品学案

第二十一章一元二次方程——一元二次方程的相关概念一、新课导入1.导入课题：情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高?问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系）问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题）问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式BC2=2AC）问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题）2.学习目标：（1）会设未知数，列一元二次方程.(2)了解一元二次方程及其根的概念.（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数.3.学习重、难点：重点：一元二次方程的一般形式及相关概念.难点：寻找等量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.（4）自学参考提纲：①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到.先去括号5000-100x-200x+4x2=3600移项合并同类项4x2-300x+1400=0系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场.设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场.整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28.你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到.去括号x2-12x=28系数化为1(两边同乘以2) x2-x=562.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程.②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化：（1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据.（2）练习：根据下列问题列方程①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长.1x(x-3)=92③4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长x. 4x2=25④一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. x(x-2)=100⑤把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.x=(1-x)21.自学指导：（1）自学内容：教材第3页的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察方程①②③，从方程所含的未知数的个数及其次数等方面找出它们共同的特点.（4）自学参考提纲：①结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.②一元二次方程的一般形式是a x2+b x+c=0(a≠0)，为什么要规定a≠0？因为a=0时，未知数的最高次数小于2.③同桌之间相互说说方程①②③的二次项，二次项系数，一次项，一次项系数，常数项各是什么.方程①x2+2x-4=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：2x 一次项系数：2常数项：-4方程②x2-75x+350=0 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-75x 一次项系数：-75 常数项：350方程③x2-x=56 二次项：x2二次项系数：1 一次项：-x 一次项系数：-1常数项：-56④举例说明什么是一元二次方程的根.⑤自学例题，说说把一元二次方程化为一般形式，要经过哪些变形？去括号，移项，合并同类项.2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：观察学生在回答一元二次方程各项及各项系数时，是否注意了符号.②差异指导：提醒学生一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号.（2）生助生：生生互动交流、订正错误.4.强化:(1)交流总结：确定一元二次方程各项的系数时，若方程不是一般形式，要先经过去括号、移项、合并同类项等步骤把它化成一般形式，通常习惯把二次项系数化为正数，且各项系数均为整数且互质，在指出各项系数时，一定要带上各项前面的符号.(2)练习：①将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项：5x2-1=4x；4x2=81；解：原式化为5x2-4x-1=0解：原式化为4x2-81=0二次项系数：5一次项系数：-4常数项：-1二次项系数：4一次项系数：0常数项：-81 4x（x+2）=25；(3x-2)(x+1)=8x-3.解：原式化为4x2+8x-25=0解：原式化为3x2-7x+1=0二次项系数：4一次项系数：8常数项：-25二次项系数：3一次项系数：-7常数项：1②若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≥0且m≠1.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？还有什么困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生参与学习的情况，回答问题，小组互动情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:(1)注重知识的前后联系，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.(2)教师创设情境，给出实例，学生积极主动探究，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.(3)增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.(4)对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（C）A. 3，5B. 3，0C. 3，-5D. 5，02.（10分）下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.解：－4，33.（20分）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.（1）3x2+1=6x；（2）4x2=81－5x；解：原式化为3x2-6x+1=0 解：原式化为4x2+5x-81=0二次项系数：3 二次项系数：4一次项系数：-6 一次项系数：5常数项：1 常数项：-81（3）x(x+5)=5x－10; （4）(3x－2)(x+1)=x(2x－1).解：原式化为x2+10=0 解：原式化为x2+2x-2=0二次项系数：1 二次项系数：1一次项系数：0 一次项系数：2常数项：10 常数项：-24.（30分）根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.（1）一个长方形的长比宽多1cm,面积是132cm2,长方形的长和宽各是多少？解：设长方形的长为x cm，则宽为(x-1)cm，根据题意，得x(x-1)=132，整理，得x2-x-132=0.2的平方的长方形?解：设长方形的长为xx)m.根据题意，得xx)=0.06,整理，得50x2-25x+3=0.（3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得x(x-1)=10整理，得x2-x-20=0二、综合应用（20分）5.（20分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm，则x满足的方程是（B）A. x2+130x-1400=0B. x2+65x-350=0C. x2-130x-1400=0D. x2-65x-350=0三、拓展延伸（10分）6.（10分）如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另一个根.解：将2代入原方程中,得22-c=0，得c=4.将c=4代入原方程，得x2x=±2.即方程的另一个根为-2.角的平分线的性质（一）教学目标（一）教学知识点角平分线的画法、角平分线的性质1．（二）能力训练要求1．掌握角平分线的性质1 2．会用尺规作一个已知角的平分线．（三）情感与价值观要求在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．教学重点利用尺规作已知角的平分线．角平分线的性质1．教学难点角的平分线的性质1教学方法引导发现、讲练结合法．教具准备多媒体课件教学过程一．提出问题，创设情境问题：图中哪条线段的长可以表示点P 到直线l 的距离？导入新课，明确学习目标如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？二．合作交流探究新知探究1想一想：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线．你能说明它的道理吗？教师活动：播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程，使学生直观了解得到射线AC 的方法．学生活动：观看多媒体课件，讨论操作原理．[生1]要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB ．[生2]∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．[生3]我们看看条件够不够．AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△ADC （SSS ）．所以∠CAD=∠CAB ．即射线AC 就是∠DAB 的平分线．[生4]原来用三角形全等，就可以解决角相等．线段相等的一些问题．看来温故是可以知新的．试一试：老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以O 为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA 、OB 于M 、N ．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．（教师根据学生的叙述，作多媒体课件演示，使学生能更直观地理解画法，提高学习数学的兴趣）．点拨：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）学生讨论结果总结：1．去掉“大于12MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB•的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，•否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，•所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．探究2：做一做1[师]请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？[生]我发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对． [师]你的叙述太精彩了．这说明角的平分线除了有平分角的性质，还有其他性质，今天我们就来研究这个问题．做一做2角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．操作：1．折出如图所示的折痕PD、PE．2．你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？拿出两名同学的画图，请大家评一评，以达明确概念的目的．[生]同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点画两边的垂线段，所以同学甲的画法不符合要求．[生甲]噢，对，我知道了．[师]同学甲，你再做一遍加深一下印象．教师提出问题：你能叙述所画图形的性质吗？生回答后，教师进一步引导:观察操作得到的结论有时并不可靠，你能否用推理的方法验证你的结论呢？证一证：引导学生证明角平分线的性质 1，分清题设、结论，将文字变成符号并加以证明（一生板演）说一说: 引导学生结合图形从文字和符号的角度分别叙述问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：（出示）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．学生通过讨论作出下列概括：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、用一用:1、如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．此例放到第二课时讲求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．[师生共析]点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．巩固所学及时点拨四．丰收乐园学生充分交流、各抒己见教后反思：本节知识的应用主要存在以下问题：1、对距离把握不到位，点到直线的垂线段长才叫距离2、不会直接使用角平分线的性质，而是使用全等将性质再证一3、采用角平分线性质解题强调三个条件。

一元二次方程导学案

一元二次方程1、一元二次方程的概念学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。

2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

重点：由实际问题列出一元二次方程和理解一元二次方程的概念。

难点：由实际问题列出一元二次方程。

准确认识一元二次方程的二次项系数以及一次项系数还有常数项。

导学流程：一、自学课本导图，走进一元二次方程分析：现设雕像下部高x 米，则可列方程去括号得 ①你知道这是一个什么方程吗？你能求出它的解吗？想一想你以前学过什么方程，它的特点是什么？二、探究新知1、自学课本25页问题1、问题2（列方程、整理后与课本对照），并完成下列各题：2、一元二次方程的一般形式： ,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。

三、自主探究：自主学习P25-26页例题，完成下列练习：将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。

（1）8142=x （2）)2(5)1(3+=-x x x 四、【巩固练习】教材第27页练习五、归纳小结1、本节课我们学习了哪些知识？2、学习过程中用了哪些数学方法？3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？六、作业（A ）1、判断下列方程是否是一元二次方程; （1）0233122=--x x （）（2）0522=+-y x ( ) (3) 02=++c bx ax （） (4)07142=+-xx ( )2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x 2－x =2；（2）7x －3=2x 2; （3）(2x －1)－3x (x －2)=0 （4）2x (x －1)=3(x ＋5)－4. 3、判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解；（1）)()(1412+=+x x x ±1 ±2；（2）0822=-+x x ±2， ±4（B ）1、把方程p q nx mx nx mx -=++-22()0≠+n m 化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。

北师大版九年级上《一元二次方程》全章导学案

认识一元二次方程（1）一，自主探究活动内容：问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2。

根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？问题二：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？8二，总结归纳活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。

经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a ≠0)。

应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a≠0；(2) 若a≠0(b、c可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。

判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。

简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。

三，学以致用活动内容：1、把方程(3x ＋2)2＝4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．易错易混点1. 下列关于x 的方程：(1) ax 2+bx+c=0 ；(2)532=+aa ；(3)0322=--x x ；(4)0223=+-x x x 中，一元二次方程的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 判断方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x 的一元二次方程。

2014年秋新版人教版九年级上第21章一元二次方程导学案

主备人小组授课人姓名
课题：21．1
审核人授课时间
一元二次方程(第二课时)导学案
（3）要会用一些方法求一元二次方程的根师生备注
9月
日
四、拓展延伸：
1．如果 x=1 是方程 ax2+bx+3=0 的一个根，求（a-b）2+4ab 的值． 2．如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1 必是该方程的一个根． 3．在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（
(3)．px -3x+p -q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（）． A．p=1 2、填空题 (1) ．方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为 ________ ，一次项系数为 _________，常数项为_________． (2）．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的 C．p≠0 D．p 为任意实数
2、老师点评：
一元二次方程：一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 3、巩固（1）．将方程（8-2x）（5-2x）=18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．（2）．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+ （x-2）（x+2）=1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项。 3．求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程。

第21章一元二次方程全章导学案

x 21．1 一元二次方程（1）学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点：重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．活动1 ：并完成以下内容。

问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。

如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________ 整理得 _____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。

根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为___________设应邀请x 个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。

人教版九年级上册数学全册导学案

人教版九年级上册数学全册导学案《21.1一元二次方程》导学案 NO ：01班级_______姓名_______小组_______评价_______一、学习目标1、认识一元二次方程及根的概念；2、掌握一元二次方程的一般形式，并会将任何一个一元二次方程化成一般形式。

二、自主学习１、一元二次方程的概念（1）阅读教材引例，在练习本上自己按题意列出方程并整理，写出最后的方程是；说一说这个方程是元次方程。

(2)用类似的方法研究问题1、问题2，经整理后的两个方程分别是；；它们都是元次方程。

(3)归纳总结：含有个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程叫做一元二次方程。

说一说一元二次方程有哪些特点？（与同学认真交流）2、一元二次方程的一般形式阅读教材：一元二次方程的一般形式（抄写三遍）。

说一说哪一项是二次项？系数是多少？有什么要求？哪一项是一次项？一次项系数是多少？哪一项是常数项？（与同学认真交流课堂展示）3、一元二次方程的根阅读教材，说一说什么叫一元二次方程的根？它有什么特点？（与同学认真交流。

）自学检测：1、若关于x 的方程023)1(=---x x m n是一元二次方程，则m ≠ _，n =______；2、方程1)12)(3(-=+-x x x 写成一般式是；二次项是 ____；一次项系数是。

三、合作探究1、下列方程中，是一元二次方程的有①2x=－2 ②32=x ③2y 2－3y+1=0④x －3y=4⑤11=-x x⑥5x 2=x 2、根不为x ＝-2的方程是（）A 、022=+x xB 、5x+10＝0C 、0232=+-x xD 、083=+x3、如果ax 2－x －12＝0是x 的一元二次方程，则a 的取值范围是如果（m －3）011=++-x xm 是x 的一元二次方程，则m 的取值是_________4、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。

第二十二章一元二次方程导学案

第二十二章一元二次方程22.1一元二次方程第1课时一元二次方程的概念学习目标：1、正确理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，能将一元二次方程化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。

2、经历抽象出一元二次方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效工具。

3、培养分析问题和解决问题的能力，提高应用意识。

重点：一元二次方程的概念和一般形式难点：正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，从实际问题中抽象出一元二次方程. 课前预习1：1、你还记得什么叫方程？什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？2、我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?3、一元二次方程的概念:方程的两边都是整式，只含有未知数（一元），并且未知数的是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

4、一元二次方程必须同时满足的三个条件: (1) (2) (3) 5、一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。

6、下列方程中是一元二次方程的有：_________(填序号)①（x-1）(2x+1)=3 ②22=+x y ③322=-x ④21=+aa7、一元二次方程5232+=x x 的一般式为_________________，其中二次项系数为_____，一次项系数为________，常数项为________。

8、若关于X 的方程0232=+-x ax是一元二次方程，则a 的取值范围___________。

此内容为课前预习导学提供学生课前展示，不同学生有不同的体会，要尊重学生的个体差异，激发学生主动参与意识，.为每个学生都创造了数学活动中获得活动经验的机会。

课前预习2：一、复习导入:我们已经学习过的方程有一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程，请你分别举一个例子。

一元二次方程1导学案

个队各赛一场，全部比赛用 x
学习目标
重学习要点
点
难
点
学习备注内容
一元二次方程的定义
正确理解一般形式中各系数的取值及化成一般形式
学生学习活动设计
问题引入：问题 1：在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为 2m，那么它的下部应设计为多高？
新课导学：思考：上面的方程有什么特点？ 1、一元二次方程的定义：等号两边都是，只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：；其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项一元二次方程的解也叫一元二次方程的。
A
学习内容
3、已知 m 是方程 x2 x 2 0 的一个根，求代数式 4 m2 4m 2 4、已知关于 x 的方程 x2 bx a 0 有一个根是 a （ a 0 ），则 a b 的值为
5、已知 a 是方程 x -2013x+1=0 的一个根，求代数式 a -2012a+
练习反馈
1、关于 x 的方程 (a 1) x2 3x 0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是 2、在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ① 3x 2 7 0 ③ ( x 2)(x 5) x2 1 A 1个 B 2个
2
）
（1）当 m 为何值时，此方程是一元一次方程？（2）当 m 的何值时，此方程是一元二次方程？
内
问题 2：有一块矩形铁皮，长 100 ㎝，宽 50 ㎝，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600C ㎡,那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析:设切去的正方形的边长为 x ㎝， x _ 则盒底的长为：；宽为：列方程为：整理得：

一元二次方程复习导学案

解一元二次方程复习一、知识回顾1.一元二次方程的概念：形如：()002≠=++a c bx ax2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b aac b b x1、按要求解下列方程：①9)12(2=-x （直接开平方法） ②0432=-+x x （用配方法）③0822=--x x （用因式分解法） (4) 3x 2+5(2x+1)=0（用公式法）3.一元二次方程的根的判别式：（1）当时，方程有两个不相等．．．．．的实数根；（2）当时，方程有两个相等．．．．的实数根；（3）当时，方程没有实数根．．．．．。

如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b c x x x x a a+=-=. 这是一元二次方程根与系数的关系二、基础训练一元二次方程的概念1.下列关于x 的方程：其中是一元二次方程的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个2、关于x 的方程（m+3)x |m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m=解下列方程（1）(2x ＋3)2－25＝0. （2） 02722=--x x .（3）()()2322+=+x x 1)4(,02)3(,53)2(,032)1(223222=+=+-=+=--y x x x x x x x（4）0)52()13(22=+--x x （5）2232)2(y y y =-+根的判别式（1）关于x 的一元二次方程x 2-4x+2m=0无实数根，求m 的取值范围（2）关于x 的一元二次方程mx 2-4x+2=0有实数根，求m 的取值范围.（3）关于x 的方程mx 2-4x+2=0有实数根，求m 的取值范围.。

九年级数学导学案-一元二次方程

九年级数学导学案——一元二次方程§2.1.1一元二次方程(一) 导学案【学习目标】1．会根据具体问题列出一元二次方程。

通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2．通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力。

3．会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。

【学习重难点】重点：一元二次方程的概念难点：如何把实际问题转化为数学方程【学法指导】通过具体问题列出方程，化简方程，分析方程特点，抽象、归纳出一元二次概念和一般形式。

【知识链接】1.什么是一元一次方程？什么是二元一次方程？【问题导学】自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：1.情境问题：列方程解应用题：一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。

苗圃的长和宽各是多少？解：设____________________, 列方程得：_________________你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？2.阅读课本P32，思考下列问题：1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？3.课前小练：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）3x2=5x-1 （2）(x+2)(x-1)=6 （3）4-7x2=0【合作探究】1.一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m ，宽为5m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?如果设花边的宽为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为__________m ，宽为___________m ，根据题意，可得方程_____________。

化成一般形式得_______________。

2）如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。

八年级数学导学案

八年级数学导学案一、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指最高次数为2的一元方程，一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a、b$和$c$为实数且$a ≠ 0$。

2. 一元二次方程的解一元二次方程的解可以通过求解方程$ax^2 + bx+ c = 0$来找到。

根据一元二次方程的求根公式$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，可以求得方程的根为两个实数、两个相等的实数或两个复数。

3. 实际问题中的应用一元二次方程可以用来解决很多实际问题，比如抛物线的运动轨迹、物体自由下落的时间等。

通过建立数学模型，可以将现实问题转化为一元二次方程，然后求解方程来得出答案。

二、二次根式1. 二次根式的概念二次根式是指形如$\sqrt{a}$的数，其中$a$为一个非负实数。

二次根式的运算包括化简、加减、乘除等。

2. 二次根式的化简化简二次根式就是将根号内的数化为最简形式，不能再约分的形式。

如$\sqrt{75} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$。

3. 二次根式的加减二次根式的加减需要先化简，然后根据同类项进行合并。

如$2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$。

4. 二次根式的乘法和除法二次根式的乘法和除法同样需要化简后进行计算。

如$(2\sqrt{3})(3\sqrt{3}) = 6\sqrt{9} = 18$。

三、函数概念1. 函数的定义函数是一种对应关系，对于每个自变量$x$，对应唯一的因变量$y$。

函数可以用方程$y = f(x)$表示。

2. 函数的图像函数的图像是在平面直角坐标系中表示的，横轴为自变量$x$，纵轴为因变量$y$。

函数的图像可以是一条曲线、直线、抛物线等。

3. 函数的性质函数可以是奇函数或偶函数，也可以是增函数或减函数。

奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于$y$轴对称；增函数的函数值随着自变量的增加而增加，减函数则相反。

2.1一元二次方程(1)导学案

2.1 一元二次方程（1）班级__________________ 姓名__________________〖学习目标〗1.经历一元二次方程概念的发生过程；2.理解一元二次方程的概念；3.了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

〖学习重点与难点〗重点：一元二次方程的概念，包括它的一般形式。

难点：例1第（4）题包括了代数式的变形和等式变形两个方面，计算容易产生差错，是本节学习的难点。

一、课前准备（把握时间，独立完成）1．知识回忆：什么叫一元一次方程？答：只含有，并且未知数的最高次数是次的方程叫一元一次方程。

2．探索新知：阅读课本第24页合作学习，列出问题（1）、（2）关于未知数x 的方程：（1）；（2）。

观察整理后的两个式子：（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？特征（1）；（2）；（3）。

二、自主学习（合作学习，相互帮助）1.下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

(1)3x+2=5y-3 (2) x 2=4 (3) 3x 2-y=0 (4) x 2-4=(x+2) 2 (5) ax 2+bx+c=0 （6）x 2+3x=-3 （7）x3+7=x 2-5 （8）x 2+4xy+4y 2=02.下列关于x 的方程中，一元二次方程的个数有( )2x 2－32x=0；xx 1-=2x －1；x 2－3y=0 ；x 2－x 2(x 2+1)－3=0A.0个B.1个C.2个D.3个 3.下列方程中，关于x 的一元二次方程是（）A.3(x+1)2= 2(x+1) B .05112=-+xxC.ax 2+bx+c= 0 D.x 2+2x= x 2-1 三、继续探索观察刚刚做题涉及到的一元二次方程，你能否发现他们的共同点？能否用共同的形式来表示？一元二次方程通常可写成如下的一般形式：讨论：为什么二次项系数a 不能为0？假如a=0会出现什么情况？b 、c 能不能为0？练习：将下列方程化为一般形式，并指出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项。

人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案：一元二次方程的根与系数的关系

人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系【学习目标】1.掌握一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系；2.能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知系数；3.会利用根与系数的关系求关于两根代数式的值.2.如果方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根21,x x ，那么21x x +=____，21x x ⋅=____．3.方程0252=+-x x 有两个实数根21,x x ，则21x x +=____，21x x ⋅=____．4.已知α，β是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（）A. -1B. 9C. 23D. 27 【典型例题】知识点一元二次方程的根与系数的关系1.已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（） A ．x 1+x 2＞0 B ．x 1+x 2＜0 C ．x 1•x 2＞0 D. x 1•x 2＜02.设21,x x 是方程0352=-+x x 的两个根，则2221x x +的值是（） A.19 B.25 C.31 D.303.设21,x x 是方程020242=--x x 的两个根，则=+-221312024x x x . 4.．已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m=_________。

5.关于x 的方程0832=-+mx x 有一个根是-4，求另一个根及m 的值.【巩固训练】1.已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（） A.7- B.3- C.7 D.32.如果关于x 的方程2x 2－5x ＋m ＝0的两个实数根互为倒数，那么m 的值为（） A.12B.－12C.2D.－23.已知a,b 是关于x 的一元二次方程01nx x 2=-+的两实数根，则式子baa b +的值是（）A.2n 2+B.2n 2+-C.2n 2-D.2n 2-- 4.以3和—2为根的一元二次方程是（）A.06x x 2=-+B.06x x 2=++C.06x x 2=--D.06x x 2=+-5.已知方程012=-+x x 的两根分别为21x ,x ，则)12)(12x 222121-+-+x x x （的值为（）A. -1B.—2C. 1D. 26.如果n m ,是两个不相等的实数，且满足32=-m m ，32=-n n ，那么代数式=++-2024222m mn n .7.已知关于x 的方程 (1)当m= 时，此方程的两根互为相反数 (2)当m= 时，此方程的两根互为倒数 8.不解方程，求下列方程的两根x 1、x 2的和与积.⑴ 01562=--x x ⑵09732=-+x x ⑶ 2415x x =-【拓展延伸】9.若n m ,是方程0720152=++x x 的两个根，求()()820166201422++++n n m m 的值.012)1(2=-++-m x m x。

初中数学《一元二次方程》导学案

21.1一元二次方程一、本节知识点讲解【知识点1】一元二次方程1.一元二次方程的定义：方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a++=≠其中2ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

【题型1】一元二次方程的定义【例1】（2022春•香坊区期末）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2−2x=0B．3x+1＝7x C．a2﹣2a＝0D．2x﹣5＝y【变式1】（2022春•惠山区期末）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x﹣1＝0B．3x+x2=7C．x2﹣2x﹣3＝0D．x+y＝6【变式2】（2022春•滨江区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．﹣3x＝0B．1x2+1x−2=0C．x3+x2＝1D．x2+2x＝2x2﹣1【变式3】（2022春•宁波期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1B．x2﹣2x+1＝0C．x2﹣2y+4＝0D．x2+3=2 x【例2】（2022春•通州区期末）若关于x的方程（a﹣1）x2+x＝0是一元二次方程，则a的范围是（）A．a＝1B．a＞1C．a≠1D．a＜1【变式1】（2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．±2【变式2】（2021秋•文山市期末）已知关于x的方程（m﹣2）x|m|﹣3x﹣4＝0是一元二次方程，则（）A．m≠±2B．m＝﹣2C．m＝2D．m＝±2【变式3】（2021秋•望城区期末）若关于x的方程(m−2)x m2−2+4x−7=0是一元二次方程，则m的值为（）A．m≠2B．m＝±2C．m＝﹣2D．m＝2【小结】【题型2】一元二次方程的一般形式【例1】（2022春•乐清市期末）把一元二次方程x（2x﹣1）＝x﹣3化为一般形式，正确的是（）A．2x2+3＝0B．2x2﹣2x﹣3＝0C．2x2﹣x+2＝0D．2x2﹣2x+3＝0【变式1】（2022春•琅琊区校级月考）将一元二次方程（x+3）（2x﹣1）＝﹣4化为一般形式，结果是（）A．2x2+5x﹣7＝0B．2x2+5x+1＝0C．2x2﹣5x+1＝0D．x2﹣7x﹣1＝0【变式2】（2021秋•兰山区期末）把方程x2﹣3（x+1）＝2x化成一般形式正确的是（）A．x2﹣x﹣3＝0B．x2+x+3＝0C．x2﹣5x﹣3＝0D．x2﹣x+3＝0【变式3】（2022春•蜀山区期末）方程x（2x﹣5）＝4x﹣10化为一元二次方程的一般形式是（）A．2x2﹣9x+10＝0B．2x2﹣x+10＝0C．2x2+14x﹣10＝0D．2x2+3x﹣10＝0【例2】（2022春•通州区期末）一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．1，3，﹣4B．0，3，4C．0，﹣3，4D．1，﹣3，﹣4【变式1】（2021秋•临邑县期末）方程x2﹣5x﹣2＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A．1，﹣5，﹣2B．1，5，2C．1，5，﹣2D．0，﹣5，﹣2【变式2】（2022春•金华月考）一元二次方程x2+4x＝3的二次项系数、一次项系数及常数项之和为（）A．8B．﹣1C．0D．2【变式3】（2021秋•双牌县期末）若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（）A．0B．3C．﹣3D．﹣3或3【小结】【题型3】一元二次方程的解（2022春•荣昌区校级期末）若x＝1是关于x的一元二次方程mx2﹣nx﹣2＝0的一个根，则m﹣n+2021【例1】的值为（）A．2020B．2022C．2023D．2026【变式1】（2022春•连江县期末）若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2b﹣2a 的值是（）A．﹣1B．﹣2C．1D．2【变式2】（2021秋•莆田期末）已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0的一个根是x＝2，则m的值为（）A．﹣10B．﹣2C．2D．10【变式3】（2021秋•覃塘区期末）已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2mx+m＝0的一个实数根，则m的值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【小结】二、当堂检测1．（2022春•岳麓区校级期末）下列关于x的方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0B．x2＝0C．x2+2x=1x D．x2+y2＝02．（2022春•道外区期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．πx＝6B．x−3x=2C．xy＝1D．x2+5x＝63．（2022春•泰兴市期末）若关于x的方程（a﹣1）x2＝2为一元二次方程，则a满足（）A．a＝1B．a≠1C．a＝0D．a≠04．（2021秋•江油市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（）A．﹣1B．2C．﹣1或3D．35．（2022春•道外区期末）将方程3x2+1＝6x化成一元二次方程的一般形式，正确的是（）A．3x2﹣6x+1＝0B．3x2+6x+1＝0C．3x2+6x﹣1＝0D．3x2﹣6x﹣1＝06．（2022春•嘉兴期末）把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（）A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+3x﹣1＝0D．x2+3x+1＝07．（2022春•泗阳县期末）一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数、二次项系数、常数项的和是（）A．1B．8C．7D．28．（2022•凤山县模拟）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（）A．1B．1或2C．2D．±19．（2022•白银模拟）已知m是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2018的值为（）A．2020B．2021C．2022D．202310．（2022春•琅琊区校级月考）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣mx﹣2m﹣4＝0的一个解，则m的值是（）A．﹣3B．3C．﹣1D．−5 3三、家庭作业1．（2022春•铁岭月考）下列方程是一元二次方程的是（）A ．3x ﹣2＝0B ．x 2﹣3＝5C ．x +y 2＝4D ．1x +x 2＝12．（2021秋•文山市期末）已知关于x 的方程（m ﹣2）x |m |﹣3x ﹣4＝0是一元二次方程，则（）A ．m ≠±2B ．m ＝﹣2C ．m ＝2D ．m ＝±23．（2021春•全椒县期中）关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2﹣5x +m 2﹣4＝0的常数项为0，则m 的值是（）A ．0B ．±2C ．2D ．﹣24．（2021秋•新洲区期中）将方程3x （x ﹣1）＝5（x +2）化成一元二次方程的一般形式后，一次项系数是（）A ．3B ．﹣8xC ．﹣8D ．﹣105．（2022•新化县模拟）若a 是x 2﹣3x ﹣2022＝0的一个根，则a 2﹣3a +1的值是（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．20236．（2021秋•武夷山市期末）已知x ＝2是方程x 2﹣2x +c ＝0的一个根，则实数c 的值是（）A ．﹣1B ．0C ．1D ．27．（2021秋•丰台区期末）若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x +m 2﹣1＝0有一个解为x ＝0，那么m 的值是（）A．﹣1B．0C．1D．1或﹣1二．填空题（共5小题）8．（2022春•碑林区校级期末）若关于x的方程（m﹣3）x|m﹣1|+5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为．9．（2021秋•祁阳县期末）若（2﹣a）x a2−2−5＝0是一元二次方程，则a＝．10．（2022春•台江区校级期末）将方程（3x﹣2）（x+1）＝8x﹣3化成一元二次方程的一般形式为．11．（2022春•沙坪坝区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0的一个根是2，则m2＝．12．（2022•长沙县一模）如果m是方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，那么代数式3m2﹣9m的值为．21.1一元二次方程一、本节知识点讲解【知识点1】一元二次方程4.一元二次方程的定义：方程等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一元二次方程全章导学案(不分版本,通用)

1 反思：【学习目标】1、体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；2、理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项. 【学习重点】由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念. 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）（1) 多项式2321x y x --是次项式,其中最高次项是 ,二次项系数为 ,一次项系数为 ,常数项为 .（2）叫方程,我们学过的方程类型有 . 【活动二】自主交流探究新知（25分钟）1.自学教材P17——19，回答以下问题.（1）一元二次方程的定义：只含有个求知数（一元），并且求知数的最高次数是（二次）的方程，叫做一元二次方程. （2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： (a ≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项.【注意】①方程20ax bx c ++=只有当a ≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b ≠0时就是方程了.所以在一般形式中，必须包含a ≠0这个条件.②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.2. 一元二次方程的解：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右两边值相等的_______________的值. 【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.）1.下列方程是一元二次方程的是有：（1）3239x x +=，（2）(1)(1)0x x +-=，（3）220y =，（4）01122=-+xx ，（5）232m =，（6）05322=-+y x .2.把方程()()11212=+-y y 化为一般形式为：；其二次项系数是；一次项系数是；常数项是 .3.若033)3(2=++--nx x m n 是关于x 的一元二次方程，则m= ，n= .4.下面哪些数是方程260x x --=的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4.5. 已知m 是方程260x x --=的一个根，则代数式2m m -=________.6.已知：关于x 的方程()()021122=-++-x k x k . （1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程. （2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.【活动五】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟）1.当a______时，关于x 的方程22()(1)a x x x +=-+是一元二次方程.2.若关于x 的方程27(3)(5)50m m x m x -++-+=是一元二次方程，试求m 的值，•并指出这个方程的各项系数．3．关于x 的方程21()36m m m x x +-+=可能是一元二次方程吗？为什么？2 反思：§22.2.1《一元二次方程的解法——直接开平方法》导学案【学习目标】1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．【学习重点】运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟） 1.我们知道x 2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x= ，如果x 换元为2x-1，即2(21)5x -=，也用直接开平方的方法可以这样求解. 2.(1) 解：由方程 2(21)5x -=，得21x -=_______即 21x -=____，21x -=_____∴ 1x =_______, 2x =_____(2) 解：由方程 2692x x ++=，得(_________)2=2∴ ______________=_______ 即 ____________, ____________ ∴ 1x =_______, 2x =_____ 【活动二】自主交流探究新知（15分钟）仿照知识链接中的方法解下列方程：(1) 28x = (2) 22(1)4x -=(3) 2694x x++=(4)2490m -= （5）291241x x ++=【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）1、形如2x p =(0)p ≥或2()mx n p +=(0)p ≥的一元二次方程可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法.2、如果方程能化成2x p =或2()mx n p +=(0)p ≥的形式，那么可得x =mx n +=【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组内互查2分钟.） 1．若224()x x p x q-+=+，那么p 、q 的值分别是（）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-2 2．方程2390x +=的根为（）．A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．无实数根 3．解方程：（1）28160x -=（2）22(3)72x -=【活动五】拓展延伸（独立完成8分钟，班级展示2分钟） 1．如果a 、b 21236b b -+=0，求ab 的值.2．用直接开平方法解方程：22(1)180x --=3．解关于x 的方程2()(0)x m n n +=≥．4. 已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值.3 反思：§22.2.2《一元二次方程的解法——因式分解法》导学案【学习目标】1．正确理解因式分解法的实质．2．熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程．【学习重点】用因式分解法解一元二次方程. 【学习过程】【活动一】知识链接（5分钟）1.分解因式：（1）2832x - （2）244x x -+ （3）228x x --2.填空：填上适当的数，使下列等式成立：(1) 25____(____x x x ++=+2) (2) 21____(____2x x x ++=+2) (3) 2____(____x x +=-2) (4) 2____(____bx x x a++=+2) 【活动二】自主交流探究新知（20分钟）仿照知识链接中的方法解下列方程：（1）2410x -= （2）22150x x --=【活动三】课内小结 (学生归纳总结) （3分钟）总结因式分解的步骤： ①通过___________把一元二次方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次因式的______;③令每个因式分别为______，得到两个一元一次方程; ④解，它们的解就是原方程的解。

新人教版九年级数学上册第21章第1课时一元二次方程导学案

新人教版九年级数学上册第1课时一元二次方程学案一、学习目标1．理解一元二次方程的概念；2．知道一元二次方程的一般形式，会把一个一元二次方程化为一般形式；3．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；4．理解一元二次方程根的概念．二、知识回顾1．多项式3x2y-2x-1是三次二项式，其中最高次项是3x2y ，二次项系数为0 ，一次项系数为-2 ，常数项是-1 ．2．含有未知数的等式叫方程，我们学过的方程类型有：一元一次方程、二元一次方程、分式方程等．三、新知讲解1．一元二次方程的概念等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程．概念解读：（1）等号两边都是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．三个条件缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项．概念解读：（1）“a≠0”是一元二次方程一般形式的重要组成部分. 如果明确了ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，各项的系数包括它前面的符号．3．一元二次方程的根的概念使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.．概念解读：（1）一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解；（2）可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解．四、典例探究1．根据定义判断一个方程是否是一元二次方程【例1】（2015•浠水县校级模拟）下列方程是一元二次方程的是（）A．x2+2x﹣y=3 B． C．（3x2﹣1）2﹣3=0 D．x2﹣8=x总结：一元二次方程必须满足四个条件：是整式方程；含有一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项系数不为0.练1（2015•科左中旗校级一模）关于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求当a= 时，方程是一元二次方程；当a= 时，方程是一元一次方程．2．把一元二次方程化成一般形式（写出其二次项系数、一次项系数和常数项）【例2】（2014秋•忠县校级期末）一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是；它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．总结：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）（2）在一般形式中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数和常数项．练2将方程x(x-1)=5(x-2)化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数．练3（2014•东西湖区校级模拟）将一元二次方程4x2+5x=81化成一般式后，如果二次项系数是4，则一次项系数和常数项分别是（）A．5，81 B．5，﹣81 C．﹣5，81 D．5x，﹣813．根据一元二次方程的根求参数【例3】（2015•临淄区校级模拟）若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，则m的值为（）A．1 B．0 C．1或2 D．2总结：使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.一元二次方程可能无解，但是有解就一定有两个解.可用代入法检验一个数是否是一元二次方程的解.已知一元二次方程的一个解，将这个解直接代入原方程，原方程仍然成立，由此可求解原方程中的字母参数.若二次项系数含有字母参数，求出的字母参数值要保证二次项系数不为0.这一步容易被忽略，谨记.练4（2014•绵阳模拟）若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，则a= ．练5（2015•绵阳）关于m的一元二次方程nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2= ．五、课后小测一、选择题1．（2015春•莒县期中）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．ax2+bx+c=0 B．x+y=2 C．x2+3y﹣5=0 D．x2﹣1=02．（2014•泗县校级模拟）方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2014秋•沈丘县校级期末）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c=0是关于x的一元二次方程，则（）A．a≠0 B．a≠3C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠04．（2015•石河子校级模拟）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，25．（2015•石河子校级模拟）关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（）A．0 B．﹣ C． D．0或，6．（2014•祁阳县校级模拟）已知x=3是关于方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，则关于y的方程y2﹣12=a的解是（）A． B．﹣C．± D．以上答案都不对7．（2014秋•南昌期末）关于x的方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=2 D．x=﹣2二、填空题8．（2015•东西湖区校级模拟）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．9．（2014秋•西昌市校级期中）方程2x2﹣1=的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．10．（2015•厦门校级质检）若m是方程x2﹣2x=2的一个根，则2m2﹣4m+2010的值是．三、解答题11．把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．（1）5x2=3x；（2）（﹣1）x+x2﹣3=0；（3）（7x﹣1）2﹣3=0；（4）（﹣1）（+1）=0；（5）（6m﹣5）（2m+1）=m2．12．（2015春•亳州校级期中）已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，（1）求m的值；（2）求方程的解．13．（2015春•嵊州市校级月考）已知，下列关于x的一元二次方程（1）x2﹣1=0 （2）x2+x﹣2=0 （3）x2+2x﹣3=0 …（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0（1）求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，并猜测方程（n）的根．（2）请指出上述几个方程的根有什么共同特点，写出一条即可．14．关于y的方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为多少．典例探究答案：【例1】【解析】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：A、方程含有两个未知数，故选项错误；B、不是整式方程，故选项错误；C、含未知数的项的最高次数是4，故选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故选项正确．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．练1．【解析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义进行解答．解：依题意得，a2+1=2且a﹣1≠0，解得 a=﹣1．即当a=﹣1时，方程是一元二次方程．当a2+1=0或a﹣1=0即a=1时，方程是一元一次方程．故答案是：﹣1；1．点评：本题考查了一元二次方程和一元一次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．【例2】【解析】将方程整理为一般形式，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解：一元二次方程（1﹣3x）（x+3）=2x2+1的一般形式是5x2+8x﹣2=0；它的二次项系数是5，一次项系数是8，常数项是﹣2．故答案为：5x2+8x﹣2=0，5，8，﹣2点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在解题过程中容易忽视的地方．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c 是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．练2．【解析】将一元二次方程化为一般形式，主要包括几个步骤：去括号、移项、合并同类项．去括号，得x2-x=5x－10.移项、合并同类项，得x2-6x＋10=0．其中二次项系数是1，一次项系数为-6，常数项为10．练3．【解析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．解：一元二次方程4x2+5x=81化成一般式为4x2+5x﹣81=0，二次项系数，一次项系数，常数项分别为4，5，﹣81，故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【例3】【解析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出m的值．解：∵0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，∴（m﹣1）×0+5×0+m2﹣3m+2=0，即m2﹣3m+2=0，解方程得：m1=1（舍去），m2=2，∴m=2，故选：D．点评：本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握．练4．【解析】将一根0代入方程，再依据一元二次方程的二次项系数不为零，问题可求．解：∵一根是0，∴（a+1）×（0）2+4×0+a2﹣1=0∴a2﹣1=0，即a=±1；∵a+1≠0，∴a≠﹣1；∴a=1．练5．【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到4n﹣2n2﹣2=0，两边除以2n得n+=2，再利用完全平方公式变形得到原式=（n+）2﹣2，然后利用整体代入的方法计算．解：把m=2代入nm2﹣n2m﹣2=0得4n﹣2n2﹣2=0，所以n+=2，所以原式=（n+）2﹣2=（2）2﹣2=26．故答案为：26．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式的变形能力．课后小测答案：一、选择题1．【解析】根据一元二次方程的定义进行判断．解：A、当a=0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项错误；B、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是1，它属于二元一次方程，故本选项错误；C、该方程中含有2个未知数，且未知数的最高次数是2，它属于二元二次方程，故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选：D．点评：本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．【解析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．故选：B．点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．3．【解析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．故选：B．点评：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．4．【解析】a、b、c分别指的是一元二次方程的一般式中的二次项系数、一次项系数、常数项．解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得x2﹣3x+10=0，∴a、b、c的值分别是1、﹣3、10；故选A．点评：本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．5．【解析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解：把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或，故选：D．点评：本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解．6．【解析】由于x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，根据方程解的含义，把x=3代入原方程，即可解出a的值，然后再解出关于y的方程的解．解：∵x=3是关于x的方程3x2+2ax﹣3a=0的一个根，∴3×32+2a×3﹣3a=0，解得：a=﹣9，则关于y的方程是y2﹣12=﹣9，解得y=．故选：C．点评：本题考查一元二次方程解的含义，解题的关键是确定方程中待定系数的值．7．【解析】分别把x=1、﹣2、﹣2代入（k+2）x2﹣kx﹣2=0中，利用一元二次方程的解，当k为任意值时，则对应的x的值一定为方程的解．解：A、当x=1时，k+2﹣k﹣2=0，所以方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0必有一个根为1，所以A选项正确；B、当x=﹣1时，k+2+k﹣2=0，所以当k=0时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣1，所以B选项错误；C、当x=2时，4k+8﹣2k﹣2=0，所以当k=﹣3时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为2，所以C选项错误；D、当x=﹣2时，4k+8+2k﹣2=0，所以当k=﹣1时，方程（k+2）x2﹣kx﹣2=0有一个根为﹣2，所以D选项错误．故选A．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．二、填空题8．【解析】根据一元二次方程的定义得到m﹣2≠0，然后解不等式即可．解：根据题意得m﹣2≠0，所以m≠2．故答案为：m≠2．点评：本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．9．【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：方程2x2﹣1=化成一般形式是2x2﹣﹣1=0，二次项系数是2，一次项系数是﹣，常数项是﹣1．点评：要确定一次项系数和常数项，首先要把法方程化成一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号10．【解析】根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣2m=2，再变形2m2﹣4m+2010得到2（m2﹣m）+2010，然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得m2﹣2m=2，所以2m2﹣4m+2010=2（m2﹣m）+2010=2×2+2010=2014．故答案为2014．点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．三、解答题11．【解析】各项方程整理后，找出二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．解：（1）方程整理得：5x2﹣3x=0，二次项系数为5，一次项系数为﹣3，常数项为0；（2）x2+（﹣1）x﹣3=0，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，常数项为﹣3；（3）方程整理得：49x2﹣14x﹣2=0，二次项系数为49，一次项为﹣14，常数项为﹣2；（4）方程整理得：x2﹣1=0，二次项系数为，一次项系数为0，常数项为﹣1；（5）方程整理得：11m2﹣4m﹣5=0，二次项系数为11，一次项系数为﹣4，常数项为﹣5．点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．12．【解析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0得出m2﹣3m+2=0，进而得出即可；（2）分别将m的值代入原式求出即可．解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，∴m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2，∴m的值为1或2；（2）当m=2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0得出：x2+5x=0x（x+5）=0，解得：x1=0，x2=﹣5．当m=1时，5x=0，解得x=0．点评：此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．13．【解析】（1）利用因式分解法分别求出方程（1）、方程（2）、方程（3）的根，根据以上3个方程的根，可猜测方程（n）的根；（2）观察即可得出上述几个方程都有一个公共根是1．解：（1）（1）x2﹣1=0，（x+1）（x﹣1）=0，x+1=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=1；（2）x2+x﹣2=0，（x+2）（x﹣1）=0，x+2=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣2，x2=1；（3）x2+2x﹣3=0，（x+3）（x﹣1）=0，x+3=0，或x﹣1=0，解得x1=﹣3，x2=1；…猜测方程（n）x2+（n﹣1）x﹣n=0的根为x1=﹣n，x2=1；（2）上述几个方程都有一个公共根是1．点评：本题考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的解法．14．【解析】令y=1，即可确定出方程的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和．解：令y=1，得到m﹣n﹣p=0，则方程my2﹣ny﹣p=0（m≠0）中的二次项的系数，一次项的系数与常数项的和为0．点评：此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．。

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一元二次方程定义学案姓名：
一、基本知识
1.一元二次方程3x 2+5x-2=0的常数项是 .
2．一元二次方程3x 2+4x-2=0的一次项系数为，常数项是 .
3．把方程3x(x-1)-2=-4x 化为一般式为 .
4．已知一元二次方程3x 2+x+a=0的一个解是x=3
1，则a= . 5.定义：只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程．
6. 一元二次方程的一般形式为()ax bx c a 200++=≠．
7.任何一个一元二次方程都可化为：20(0)ax bx c a ++=≠的形式，2
ax 叫做二次项，a 叫做二次项的系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项的系数；c 叫做常数项．
8、能使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方的解.
二、例题
例题1、下列方程是一元二次方程的是有．
（1），（2），（3），（4）
（7）
（5），（6）
相似练习：下列哪些方程式是一元二次方程式的是 .
（1）15242
+-=x x x （2）()3212+-=-x x x x （3）02=x （4）1322
++x x
（5）()()111=+-y y （6）032=+x
3、一个直角三角形，其两直角边与斜边分别是4+x 、23+x 、24+x ，列出
关于x 的一元二次方程为 .
例题2：把方程()()222313-=+x x 化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
相似练习：1、一元二次方程15242+-=x x x 化为一般形式是：；其二次项是：；一次项是：；常数项是： .
2、把方程()()11212=+-y y 化为一般形式为：；其二次项系数是；一次项系数是；常数项是 .
例题3：已知x=3是关于x 的方程0123
42=+-a x 的一个解，则2a 的值是（） A.11 B.12 C.13 D.14
相似练习：1. 已知1x =-是方程260x ax -+=的一个根，则a=____________．
2. 如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为．
三、典型问题：
1、若(m-3)x n-2-3nx+3=0是关于x 的一元二次方程，则（）.
A m≠0，n=3
B m≠3，n=4
C m≠0，n=4
D m≠3，n≠0
2、已知：关于x 的方程()
()021122=-++-x k x k .
（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程.
（2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程.
3、某城市2007年年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2009年年底增加到363公顷，设绿化的面积平均每年增长率为x ，所列方程正确的是（）
A 300(1+x)=363
B 300(1+x)2 =363
C 300(1+2x)=363
D 363(1-x)2=300
4、如图2-1-1在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个边
长为x 全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原
矩形面积的80％，求所截去小正方形的边长。

则可以列方程
为 .
四、中考演练：
1、已知7532=++x x ,则代数式2932-+x x 的值为
________________.
2、（2009年甘肃庆阳）若关于x 的方程2210x x k ++-=的一个根是0，则k = ．
3、 (2009年本溪)由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为．
4、（2009青海）如图2-1-2所示，在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（）
A ．213014000x x +-=
B ．2653500x x +-=
C ．213014000x x --=
D ．0350652=+-x x 五、小测试
一、填空题
1．一元二次方程12)3)(31(2
+=-+x x x 化为一般形式为：，二次项系数为： ___，一次项系数为： ____，常数项为： _____.
2．一元二次方程01422=-+x x 的二次项系数、一次项系数及常数项之和______.
3．关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m ________
时为一元一次方程；
当m ___________时为一元二次方程.
4．关于x 的一元二次方程12)1(2=-+mx x m 的一个根是3，则________=m .
5.关于x 的方程03)3(12=+---x x m m
是一元二次方程，则=m .
二、选择题
6.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）. A .()()12132
+=+x x B .02112=-+x x
C .02=++c bx ax
D .1222-=+x x x 7．下列方程中，不含一次项的是（）. A .3x 2 – 5=2x B .16x=9x 2 C .x(x –7)=0 D . (x+5)(x-5)=0
8．把方程)2(5)2(-=+x x x 化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是（）.
A .10,3,1-
B .10,7,1-
C .12,5,1-
D .2,3,1
9．关于x 的方程0)2(22=++--b ax x a a 是一元二次方程的条件是（）.
A .1-≠a
B .2≠a
C .1-≠a 且2≠a
D .1-≠a 或 2≠a
10．下列说法正确的是（）.
A .方程02=++c bx ax 是关于x 的一元二次方程
B .方程432
=x 的常数项是4
C .若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D .当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解
11．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（）．
A.若x 2=4，则x ＝2
B.方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1
C.若x 2+2x +k =0的一个根为1，则3-＝k
D.若分式1
232－＋－x x x 的值为零，则x ＝1，2 12．若（b - 1）2+a 2 = 0 下列方程中是一元二次方程的只有（）．
A .ax 2+5x – b=0
B . (b 2 – 1)x 2+(a+4)x+ab=0
C . (a+1)x – b=0
D . (a+1)x 2 – bx+a=0
三、解答题
13．已知053)23(6522=+++-+-x x m m m m ,是关于x 的二次方程, 试求m 的值．。