2018--2019年4月杭州市重点高中2018--2019高考数学命题比赛参赛试题4

浙江省杭州市重点高中2019年4月高考命题比赛高中数学参赛试题-32019年高考模拟试卷数学卷（理科）（考试时间120分钟，满分150分）参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， Sh V 31=则n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1)(01,2)k k n kn nP k C P P k n -=-=，，， 球的表面积公式 台体的体积公式 24S R π=121()3V h S S =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示棱台的上、下底面积， 343V R π=h 表示棱台的高 其中R 表示球的半径选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）（原创）已知U 为全集，I B A ,,都是U 的子集，且I B I A ⊆⊆,，则=)(B A C I （ ）（A ）{}B x A x U x ∉∉∈且| （B ）{}B x A x U x ∉∉∈或| （C ）{}B x A x I x ∉∉∈且| （D ）{}B x A x I x ∉∉∈或|（2）（全品改编）执行如图1的程序框图，输出的T 的值为（ ）（A ）12 （B ）20 （C ）30 （D ）42（3）（原创）等比数列{}n a 中，01>a ，则“31a a <”是“63a a <”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）（课本改编）设为虚数单位，则下列运算结果不是．．纯虚数的是（ ） （A ）ii-+11 （B ）)1)(1(i i -+ （C ）2)1(i + （D ）2)1(i - （5）（原创）已知m 是平面α的一条斜线，点α∉A ，为过点A 的一条动直线，那么下列情形可能出现的是（ ）（A ）α//,l m l ⊥ （B ）α⊥l m l ,// （C ） α⊥⊥l m l , （D ） α//,//l m l （6）（2007模拟题改编）已知点)10sin ,10(cos ︒︒A 、)40cos ,40(sin ︒︒B ，则直线AB 的倾斜角等于（ ）（A ）︒135 （B ）︒120 （C ）︒105 （D ）︒95（7）（原创） 已知OAB ∆三顶点坐标分别是)0,0(O 、)1,1(A 、)0,2(B ，直线1=+by ax 与线段OA 、AB 都有公共点，则对于b a -2下列叙述正确的是 （ ）（A ）有最大值而无最小值 （B ）有最小值而无最大值 （C ）既有最大值也有最小值 （D ）既无最大值也无最小值 （8）（原创）如图2，正方体D C B A ABCD ''''-中，M 为BC 边的中点，点P 在底面D C B A ''''和侧面C D CD ''上运动并且使C PA C MA '∠='∠，那么点P 的轨迹是（ ）（A ）两段圆弧 （B ）两段椭圆弧（C ）两段双曲线弧 （D ）两段抛物线弧（9）（2019模拟题改编）ABC ∆中，内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，满足2222c b a =+，如果2=c ，那么ABC ∆的面积等于（ ）B '图2（A ）A tan （B ）B tan （C ）C tan （D ）以上都不对（10）（2019模拟题改编）已知)(x f 是定义在],[b a 上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：)(x f 的值域为G ，且],[b a G ⊆；对任意],[,b a y x ∈都有y x y f x f -<-)()(．那么，关于x 的方程x x f =)(在区间],[b a 上根的情况是（ ） （A ）可能没有实数根（B ）有且仅有一个实数根（C ）恰有两个实数根 （D ）可能有无数多个实数根非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．（11）（课本题改编）若naa )1(32+的展开式中含3a 项，则最小自然数_________=n ． （12）（2019北京高考题改编）如图3, ABC ∆与ACD∆都是等腰直角三角形, 且2==DC AD , BC AC =,平面⊥DAC 平面ABC , 如果以ABC 平面为水平面,正视图的观察方向与AB 垂直, 则三棱锥ABC D -左视图的面积为__________.（13）（2019模拟题改编）编号为1 ~8的八个小球按编号从小到大顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有三个连续的小球涂红色，则涂法共有 ______种．（14）（原创）首项11=a 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，对于一切*∈N k ，总有2)(2k k S S = 成立，则________=n a ．（15）（全品改编）已知双曲线116922=-y x 的左右焦点分别为21,F F ，定点)3,1(A ，点P 在双曲线的右支上运动，则PA PF +1的最小值等于________． （16）（2019温州模拟题）如图4，线段AB 长度为2，点,A B分别在x 非负半轴和y 非负半轴上滑动，以线段AB 为DBCA图3一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =，O 为坐 标原点，则⋅的取值范围是 .（17）（原创）实数c b a >>且c b a -=+1，)1(-=⋅c c b a ，则c 的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （18）（2019杭州高三期中联考改编）（本题满分14分）平面直角坐标系中，ABC ∆满足)sin ,sin 3(θθ-=，)sin ,(cos θθ=， （Ⅰ）若BC 边长等于1，求θ的值（只需写出)2,0(π内的θ值）； （Ⅱ）若θ恰好等于内角A ，求此时内角A 的大小． （19）（2019高考模拟改编）（本题满分14分）某种鲜花进价每束5.2元，售价每束5元，若卖不出，则以每束6.1元的价格处 理掉．某节日需求量X （单位：束）的分布列为X 200 300 400 500P20.0 35.0 30.0 15.0（Ⅰ）若进鲜花004束，求利润Y 的均值． （Ⅱ）试问：进多少束花可使利润Y 的均值最大？ （20）（原创）（本题满分14分）如图5，ABC ∆的三边长分别为6=AC 、8=AB 、10=BC ，O '为其内心；取A O '、B O '、C O '的中点A '、B '、C '，并按虚线剪拼成一个直三棱柱C B A ABC '''-（如图6），上下底面的内心分别为O '与O ；（Ⅰ）求直三棱柱C B A ABC '''-的体积；A BCA 'B 'C 'O '图5B BC ' 图6（Ⅱ）直三棱柱C B A ABC '''-中，设线段O O '与平面C B A '交于点P ，求二面角C AP B --的余弦值．（21）（全品改编）（本题满分14分）定长等于62的线段AB 的两个端点分别在直线x y 26=和x y 26-=上滑 动，线段AB 中点M 的轨迹为C ； （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设过点)1,0(的直线与轨迹C 交于Q P ,两点，问：在y 轴上是否存在定点T ， 使得不论如何转动，⋅为定值．（22）（原创并将发表在数学通讯“我为高考设计题目”栏目）（本题满分16分）设函数41)(2+=x x f ，)2ln(21)(ex x g =，（其中e 为自然底数）； （Ⅰ）求)()(x g x f y -=（0>x ）的最小值；（Ⅱ）探究是否存在一次函数b kx x h +=)(使得)()(x h x f ≥且)()(x g x h ≥对一切0>x 恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由；（Ⅲ）数列{}n a 中，11=a ，)2)((1≥=-n a g a n n ，求证：83)(111∑=++<⋅-nk k k ka a a．2019年高考模拟试卷数学卷（理科）答题卷一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

11 ________. 12 ________. 13________ .14________. 15________. 16________. 17____ ____.三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

班级 姓 考2019年高考模拟试卷数学卷（理科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.（1）D ；（2）C ；（3）B ；（4）B ；（5）A ；（6）B ；（7）D ；（8）C （9）C ；（10）B 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．(11) 7； (12)2； （13）24； （14）12-=n a n 或1=n a ； （15）11； （16）]3,1[； （17）)0,31(- ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分，（18）解：（Ⅰ）因为)0,sin 3(cos θθ+=)6sin(2πθ+=，-------2分若BC 边长等于1，则21)6sin(±=+πθ，在)2,0(π内32πθ=或π或35π----5分由于与不共线，所以32πθ=或35π．----------------------------7分·11·（Ⅱ）A =cos A A A A sin 2sin cos sin 32+-=2sin cos 3AA +-=，--10分 所以A A sin cos )32(=+，32tan +=A ---------------------------12分 所以125π=A ．-----------------------------------------------------14分 （19） 解：（Ⅰ）销售量S （单位：束）的分布列为S200 300 400P20.0 35.0 45.0所以325)(=S E ，-----------------------------------------------4分 而3604.3-=Z Y ，所以7453603254.3)(=-⨯=Y E ．--------------7分（Ⅱ）设进n （500≤n ）束花，当500400≤<n 时，销售量S （单位：束）的分布列为S200 300 400nP20.0 35.0 35.015.0可得28515.0)(+=n S E ；而90139.0)(+-=n Y E ；同理可对其它区间讨论后得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+≤<+≤=)500400(90139.0)400300(49363.0)300200(13682.1)200(5.2)(n n n n n n n n Y E ；-------------------------11分易知，400=n 时，)(Y E 取最大值745．------------------------------14分 （20）解：（Ⅰ）易知ABC ∆为直角三角形，且其内切圆 半径等于2，--------1分 所以直三棱柱C B A ABC '''-的高等于1，-----------------------------2分 体积61)4321(=⨯⨯⨯=V ； ---------------------------------------5分 （Ⅱ）如图7以A 为原点建立空间直角坐标系，则)1,0,4(=B A ，)0,3,0(=AC ，设平面C B A '·12·的法向量),,(z y x =，则⎩⎨⎧==+0304y z x ，所以)4,0,1(-=--------------------7分 再设),1,1(0z =，则由0=⋅得410=z ；即)41,1,1(=；-----------------------------------------10分 而)0,0,4(=，所以若设平面ABP 的法向量),,(z y x '''=，则⎪⎩⎪⎨⎧='+'+'='04104z y x x ，可得)4,1,0(-=；-------------------------------12分 所以><,cos 1716=，而二面角C AP B --为钝角， 所以其余弦值等于1716-．---------------------------------------------14分（21）解：（Ⅰ）设)26,(),26,(),,(2211x x B x x A y x M -， 则x x x 221=+、6421y x x =-；--------------------------------2分代入62)(46)(221221=++-=x x x x AB 得轨迹C 的方程为24661622=+x y ，即14922=+x y ；-----------------------------5分 （Ⅱ）（1）若不与y 轴重合，设直线方程为1+=kx y ，代入椭圆C 的方程得 0328)94(22=-++kx x k ，设)1,(),1,(4433++kx x Q kx x P ， 则948243+-=+k k x x ，9432243+-=⋅k x x ；---------------------7分 设点),0(t T ，则⋅)1()1(4343t kx t kx x x -+⋅-++⋅= 243432)1())(1()1(t x x t k x x k -++-++=·13·94)94()1()1(8)1(3222222++-+--+-=k k t t k k 94])1(932[])1(4840[2222+-+-+-++-=k t k t t ------10分 使⋅为定值，则 49)1(4840)1(93222=-++--+-t t t ，解得929=t 即对于点)929,0(T 总有⋅99716⨯⨯=；----------------------12分 （2）当与y 轴重合时，)3,0(),3,0(-Q P ，对于点)929,0(T 也有TQ TP ⋅99716⨯⨯=， 故在y 轴上存在定点)929,0(T 使得TQ TP ⋅为定值．---------------14分（22）解：（Ⅰ）0>x 时x x x x y 2142122-=-='，易知210<<x 时0<'y 、21>x 时0>'y ；所以21=x 时求)()(x g x f y -=取最小值等于0；-------------4分 （Ⅱ）由题Ⅰ易知，21)21()21(==g f ，所以21)21(=h ；----------------6分所以可设221)(k kx x h -+=，代入)()(x h x f ≥得04122≥-+-k kx x恒成立，所以0)1(2≤-=∆k ，所以1=k ，x x h =)(；--------------8分此时设)2ln(21)(ex x x G -=，则xx G 211)(-='， 易知0)21()(=≥G x G ，即)()(x g x h ≥对一切0>x 恒成立；综上，存在x x h =)(符合题目要求，它恰好是)()(x g y x f y ==，图象的公切线． （如图8所示）---------------------------------------------10分（Ⅲ）先证{}n a 递减且)2(121≥<<n a n ； 由题（Ⅱ）知x x g ≤)(，所以11)(--≤=n n n a a g a ，即{}n a 为递减数列；又11=a ，21212ln 212>+=a ，所以图8·14·21)21()(23=>=g a g a ，…因为当21>k a 时总有21)21()(1=>=+g a g a k k ，所以12111=<<<<<-a a a n n ；------------------------------13分所以∑=++⋅-nk k k ka a a111)(∑=+++⋅-<nk k k k k a a a a 1112)(∑=+-=nk k ka a 12122 83241122121=-<-=+n a a ．-------------------------------------16分。