江苏扬州中学2012—2013学年度第二学期高一数学期末试卷

江苏扬州中学2012—2013学年度第二学期高一数学期末试卷2013．6（满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1． 求值=075sin ▲ ．2． 已知直线062:1=++y ax l 与01)1(:22=-+-+a y a x l 平行，则实数a 的取值是▲ ．3． 在ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则A = ▲ ． 4． 直线210x y -+=在两坐标轴上的截距之和为 ▲ ．5． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于 ▲ ． 6． 若1x y +=，则22x y +的最小值为 ▲ ． 7． 若数列{}n a 满足111,1n n a na a n +==+，则8a = ▲ ． 8． 若实数,x y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值是 ▲ ．9． 若sin1+=43πθ（），则sin 2θ= ▲ ． 10． 光线从A (1，0)出发经y 轴反射后到达圆2266170x y x y +--+=所走过的最短路程为 ▲ ． 11． 函数2sin sin()3y x x π=+-的最小值是 ▲ ．12． 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，给出下列结论：①若A B C >>，则C B A sin sin sin >>； ②若sin cos cos A B C a b c==，则ABC ∆为等边三角形； ③必存在,,A B C ，使C B A C B A tan tan tan tan tan tan ++<成立；④若︒===25,20,40B b a ，则ABC ∆必有两解．其中，结论正确的编号为 ▲ （写出所有正确结论的编号）． 13． 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 是直线:3l x =上的动点，过点(1,0)F 作OM的垂线与以OM 为直径的圆D 交于点(,)P m n ．则,m n 满足的关系式为 ▲ ． 14． 已知等比数列{}n a 中11a =，48a =，在n a 与1n a +两项之间依次插入12n -个正整数，得到数列}{n b ，即：12345,1,,2,3,,4,5,6,7,,8,9,10,11,12,13,14,15,,a a a a a ⋅⋅⋅．则数列}{n b 的前2013项之和2013S = ▲ (用数字作答)．二、解答题（本大题共6题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）已知二次函数)(x f y =图像的顶点是（—1，3），又4)0(=f ，一次函数)(x g y =的图像过（—2，0）和（0，2）。

（1）求函数)(x f y =和函数)(x g y =的解析式； （2）求关于x 的不等式)(3)(x g x f >的解集； 16．（本题满分14分） 已知17cos ,sin(),(0,),(,)3922ππβαβαβπ=-+=∈∈． （1）求cos 2β的值； （2）求sin α的值．17．（本题满分15分）若等比数列{}n a 的前n 项和12n nS a =-． （1）求实数a 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和n R ． 18．（本题满分15分）如图，某海域内的岛屿上有一直立信号塔AB ，设AB 延长线与海平面交于点O ．测量船在点O 的正东方向点C 处，测得塔顶A 的仰角为30︒，然后测量船沿CO 方向航行至D 处，当100(31)CD =-米时，测得塔顶A 的仰角为45 ． （1）求信号塔顶A 到海平面的距离AO ； （2）已知52AB =米，测量船在沿CO 方向航行的过程中，设DO x =，则当x 为何值时，使得在点D 处观测信号塔AB 的视角ADB ∠最大． 19．（本题满分16分）已知圆222:(0)O x y r r +=>与直线220x y -+=相切． （1）求圆O 的方程； （2）过点3(1,)3的直线l 截圆所得弦长为23， 求直线l 的方程；xAO BAB ODC（3）设圆O 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条斜率分别为1k ，2k 的直线交圆O 于,B C 两点，且122k k =-， 试证明直线BC 恒过一个定点，并求出该定点坐标．20．（本题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈都有212+⎛⎫= ⎪⎝⎭nn a S 成立．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）记数列*,,n n b a n N R λλ=+∈∈ ，其前n 项和为n T ． ①若数列{}n T 的最小值为6T ，求实数λ的取值范围；②若数列{}n b 中任意的不同两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．试问：是否存在这样的“封闭数列”{}n b ，使得对任意*n N ∈，都有0n T ≠，且12311111111218n T T T T <++++< ．若存在，求实数λ的所有取值；若不存在，请说明理由．高一数学期末试卷参考答案 2013．6一、填空题1. 426+ 2．-1 3. 3π 4. 12- 5. 26.12 7. 18 8. 32 9. 79- 10. 4 11. 3- 12. ①④ 13. 223m n += 14. 2007050 二、解答题15．解：（Ⅰ）设2()(1)3f x a x =++，∵(0)4f =，解得1a =∴函数解析式为2()24f x x x =++， ………………………………… 4分 又122x y+=-，∴()2g x x =+ ……………………………………… 8分 （Ⅱ）由)(3)(x g x f >得022>--x x 2>∴x 或1-<x ………… 13分∴不等式)(3)(x g x f >的解集为{}12-<>x x x 或 …………………………… 14分 16⑴由条件1cos ,(,)32πββπ=-∈得27cos 22cos 19ββ=-=-； ………6分 ⑵因为1cos ,(,)32πββπ=-∈，所以22sin 3β=， ………8分 因为(0,),(,)22ππαβπ∈∈，所以3(,)22ππαβ+∈， ………9分 又7sin()9αβ+=，所以42cos()9αβ+=-， ………11分 所以1sin sin(())sin()cos cos()sin 3ααββαββαββ=+-=+-+=．……14分 17⑴当n =1时，1112a S a ==-………2分 当2n ≥时，1111()()22n n n n n a S S a a --=-=--- 12n = ………5分则111122a a a ==-⇒=； ………7分⑵2n n n n a ⋅=，则231232222n n nR =++++ ① ………10分212321222n n nR -=++++ ② ………11分②-①得：222n n n R +=-． ………15分18⑴由题意知，在ACD ∆中，30,15ACD DAC ∠=∠=， ………2分所以sin15sin 30CD AD=，得1002AD =， …5分在直角AOD ∆中，45ADO ∠=，所以100AO =（米）； ………7分⑵设,ADO BDO αβ∠=∠=，由⑴知，48BO =米， 则10048tan ,tan x xαβ==， ………9分 210048tan tan 52tan tan()100481tan tan 48001x x x ADB x x xαβαβαβ--∠=-===+⋅++⋅，……11分 所以5252133tan 48006048002ADB x x x x∠=≤=+⋅， ………13分 当且仅当4800x x=即403x =亦即403DO =时， tan ADB ∠取得最大值， ………14分此时点D 处观测信号塔AB 的视角ADB ∠最大．………15分19⑴由题意知，222221(1)d r ===+-，所以圆O 的方程为224x y +=； ………4分⑵若直线l 的斜率不存在，直线l 为1x =，此时直线l 截圆所得弦长为23，符合题意， ………5分若直线l 的斜率存在，设直线为3(1)3y k x -=-，即33330kx y k -+-=， 由题意知，圆心到直线的距离为2|33|199k d k -==+，所以33k =-， 则直线l 为320x y +-=． ………7分 所以所求的直线为1x =或320x y +-=． ………8分 ⑶由题意知，(2,0)A -，设直线1:(2)AB y k x =+，则122(2)4y k x x y =+⎧⎨+=⎩，得2222111(1)4(44)0k x k x k +++-=，所以2121441A B k x x k -⋅=+，所以2121221B k x k -=+，12141B k y k =+，即2112211224(,)11k k B k k -++ ………11分因为122k k =-，用12k -代替1k ，得2112211288(,)44k k C k k --++， ………12分 所以直线BC 为1122211112222111122114881428()22284414k k k k k k y x k k k k k k ---++--=---++-++ ………14分 即21112221118328()424k k k y x k k k ---=-+-+，得1112221113232()2223k k k y x x k k k =+=+---， 所以直线BC 恒过定点2(,0)3-． ………16分 20⑴法一：由212nn a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭得：2421n n n S a a =++①，2111421n n n S a a +++=++②，②-①得221111114222()()()n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++=-+-⇒+=+-由题知10n n a a ++≠得12n n a a +-=， ………2分又21111()2a S a +==2111421a a a ⇒=++ 得 21121n n a a n S n ==-=； ………4分法二：由212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭得：21111()2a S a +==得111a S == 2n ≥时1211n n n n S a S S -=+=-+得21n n S S -=（-1）即11n n S S --=所以2n n S nS n =⇒=； ………4分 ⑵①由221n n b n T n n λλ=-+⇒=+最小值为6T 即266366n T T n n T λλ≥⇒+≥=+则1113[13,11]222λλ≤-≤⇒∈--；………8分 ②因为{}n b 是“封闭数列”，设p q m b b b +=（*,,p q m Z ∈，且任意两个不相等 ）得2121212()p q m m p q λλλλ-++-+=-+⇒=--+，则λ为奇数……9分由任意*n N ∈，都有0n T ≠，且12311111111218n T T T T <++++< 得11111711121811T λ<<⇒<<，即λ的可能值为1,3,5,7,9， ………11分 又2n T n n λ=+>0， 因为1111()()n n n n λλλ=-++ ………12分检验得满足条件的λ=3,5,7,9， ………15分 即存在这样的“封闭数列” {}n b ，使得对任意*n N ∈，都有0n T ≠， 且12311111111218n T T T T <++++< ， 所以实数λ的所有取值集合为{3,5,7,9}． ………16分。