全国文数第37课 圆与方程
数学：7.3《圆与方程1》课件(湘教版必修3)
都是这些大计策？又是朝廷，又是官场，你壹个姑娘家家的，怎么这么多主意？唉，是不是《三国》看的太多了？不是权术，就是谋略，你真 是枉生了女儿身了！啧，啧，怪不得连二哥都佩服你，还没见二哥说他服过谁呢。”“哪里是我的主意多啊，爹爹当了壹辈子的大官，大哥二 哥少年就考取功名，凝儿出身官宦世家，从小潜移默化、耳濡目染，就算是没吃过猪肉，还没有见过猪跑？”“你敢说爹爹和大哥二哥是 猪？”“玉盈姐姐，你真坏啊！”“这明明是你自己说的，又不是我逼的你，怎么我又成了是坏人了？”年总督听了夫人的壹番话，跟夫人如 出壹辙，对凝儿大赞不已，真没想到，怎么这个闺女就能另辟蹊径，想出这么壹个万全之策呢？既然已经身处险境，年总督当即决定，险境也 只能用险招，也算是铤而走险，希望能够绝境逢生、出奇制胜！而且事不宜迟，现在日头已经偏西了，于是赶快写下帖子，差年峰立即亲自递 送到雍亲王府。年峰都出发了，年总督才腾出空儿来，把两个公子叫到跟前，说了冰凝的主意。大公子年希尧自是交口称赞：“凝儿这姑娘小 时候就爱弄个稀其古怪的，没想到大姑娘了，都能为父兄排忧解难了。”“大哥，你别再夸了，再夸她就敢跟我邀功请赏，说她能当花木兰 了！”二公子这回被冰凝这丫头抢了头功，嘴上虽然没说什么，心里倒也甜丝丝的：这丫头从来都是鬼怪得很，败给凝儿，不算没面子。几个 人正沉浸在难题迎刃而解的喜悦之中，还没有来得及开始猜测王府那边会是什么情况呢，好像也就是壹眨眼的功夫，眼见着年峰就回来了，把 众人都吓了壹跳，二公子更是即刻就从椅子上站了起来，冲到门口：“年峰，你怎么又回来了，出了什么岔子？”第壹差 第二十章 备礼“不 是，不是，没有，没出岔子！老爷夫人，大爷二爷，王府允了！”年峰的壹句话说完，众人的那颗悬了半天的心也算是踏踏实实地落了地，大 家都如释重负地松了口气。只是这口气刚松下来，另个壹口气又提了起来：礼单！原本早早就备好了礼单，可是，那是为了拜见王爷，完全照 着王爷的喜好置备的，而且大年初六的时候还要送到王府。明天要拜见的是福晋，就必须重新置办壹份新的礼物。内容上，要针对福晋的喜好， 而在份量上，却又是丝毫不能比给王爷的那份差。眼看着天都黑了，明天壹大早就要用，年家虽然家大业大，可是要在这么短的时间里，置办 起壹套既体面又能讨福晋欢心的见面礼，可真真地是巧妇难为无米之炊！没办法，年夫人只得先让年峰去库房里捡贵重的、能送给女宾的礼品 先挑出来，她和老爷再从这些物件里逐壹仔细甄选。望着这些绫罗绸缎、珍珠玛瑙、玉石古玩，左挑右选，年老夫妇壹直拿不定主意，总感觉 缺少壹件最贵
高中数学必修二圆与方程
高中数学必修二圆与方程高中数学必修二：圆与方程圆和方程作为高中数学必修二中的重要知识点，是数学学习中的基础内容。
圆是平面上到给定点距离等于定值的点的集合，是几何中的重要图形之一；而方程则是描述数学关系的一种数学语言。
本文将详细讲解圆和方程的相关知识，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。
1. 圆的基本概念在几何中，圆是一个封闭曲线，由一个平面上所有到指定点距离相等的点组成。
圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弦、弧等。
圆心是圆的中心点，通常用字母O表示；半径是从圆心到圆周上任意点的距离，通常用字母r表示；直径是通过圆心的两个端点的线段，通常用字母d表示。
弦是连接圆上两点的线段，弧是圆上的一段曲线。
圆的周长公式为C=2πr，面积公式为S=πr²。
2. 圆的相关定理在学习圆的过程中，我们需要掌握一些重要的定理，如圆的相交、切线、相切等相关定理。
其中，切线与圆的切点垂直、相切圆的切线垂径于切点等定理是解题中经常用到的重点内容。
此外，根据圆的位置关系，我们还可以推导出诸如同位角、同弦、相等弧等相关定理，这些定理在解题中能够帮助我们更快更准确地完成题目。
3. 圆的参数方程在高中数学中，我们还需要学习圆的参数方程。
当圆的中心不在坐标原点时，我们可以通过参数方程的方式来描述圆的位置。
圆的参数方程一般为x=rcosθ，y=rsinθ，其中θ为参数，r为半径。
通过参数方程，我们可以方便地描述圆的位置和形状，是解决复杂问题时的重要工具。
4. 一元二次方程另一个重要的数学概念是一元二次方程。
一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数且a≠0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。
掌握一元二次方程的解题方法对于高中数学的学习至关重要，同时也是解决实际问题的基础。
5. 二次函数一元二次方程的图像是抛物线，对应的函数为二次函数。
二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0。
圆与方程知识点整理甄选
圆与方程知识点整理甄选圆与方程是数学中的重要内容，涉及到平面几何和代数方程的知识。
下面将对圆的基本概念、圆的方程及其性质进行整理。
一、圆的基本概念1.圆的定义：圆是平面上到给定点的距离等于定长的点的集合。
2.圆的元素：圆心、半径、直径、弦、弧。
3.圆的主要性质：圆上任意两点到圆心的距离相等；圆的任意弦与圆心的连线垂直；圆的任意弦等分其中心角等。
二、圆的方程1.标准方程：圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。
2.一般方程：圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
3.圆心在原点的圆方程：若圆心在原点，则圆的方程可写为x²+y²=r²，其中r为半径长度。
4. 圆的参数方程：以圆心为原点建立极坐标系，圆的方程可以写为x=r*cosθ，y=r*sinθ，θ为参数。
5. 圆的三角方程：对于圆的三角函数方程，如sinθ=0、cosθ=0等，可以通过简单的代数变换得到圆的方程。
三、圆的性质1.圆与直线的关系：(1)圆内的直线：圆内的任意直线与圆相交于两点，圆内部不会与直线相切或相离。
(2)圆上的直线：圆上的直线可以与圆相切，也可以穿过圆，穿过圆的直线与圆有两个交点。
(3)注意点：当直线不与圆相交时，直线和圆的位置关系可以通过代入方程验证。
2.圆与圆的关系：(1)相交：两个圆相交于两个交点。
(2)相切：两个圆相切于一个交点，此时交点即为两个圆的公共切点。
(3)相离：两个圆之间没有交点。
3.圆的切线：(1)切线定义：圆上一点处的切线是过该点且与圆只有该点重合的直线。
(2)切线性质：切线与半径垂直，切线与切点处的弧夹角为90度。
4.圆的切点与切线的性质：(1) 切点坐标：设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，切点的坐标为(a+r*cosθ, b+r*sinθ)。
圆与方程知识点小结
引言圆与方程是数学中非常重要的概念和知识点之一。
在几何学和代数学中，圆与方程有着密切的联系和应用。
本文将详细讨论圆与方程的相关知识，包括圆的性质、方程的表示和解法等。
概述圆与方程是数学中两个独立但又有联系的领域。
圆是平面上一组到一个给定点的距离相等的点的集合。
方程是数学中用字母和数表示关系的式子。
通过方程，我们可以描述和解决各种数学问题。
圆与方程的结合，使得我们可以通过代数方法来研究和解决关于圆的问题。
正文内容一、圆的性质1. 圆的定义：圆是平面上一组到一个给定点的距离相等的点的集合。
这个给定点称为圆心，相等的距离称为半径。
2. 圆的元素：圆由圆心和半径两个元素确定。
圆心可以用坐标表示，而半径则是一个标量。
3. 圆的直径：圆上任意两点之间的最长距离称为圆的直径。
直径的长度是半径的两倍。
4. 圆弧：由圆上两点间的线段所在的弧称为圆弧。
圆弧的长度是圆周长的一部分。
5. 弦：两点在圆上的线段称为弦。
弦的长度小于等于直径的长度。
二、方程的表示与解法1. 圆的方程：对于平面上的一个点(x,y)，距离圆心(h,k)的距离为半径r时，可以用方程表示为：(x-h)²+(y-k)²=r²2. 圆的标准方程：将方程展开，得到标准方程形式：x²+y²-2hx-2ky+h²+k²-r²=03. 方程的解析法：对于给定的圆方程，我们可以通过解方程的方法求解圆上的点坐标。
通过将方程中的未知数替换成已知数，再进行相应的计算或变换，可以得到点的坐标。
4. 方程的几何解释：方程表示了平面上的一条曲线，该曲线是圆与坐标轴的交点。
通过解方程，可以得到圆与坐标轴的交点坐标。
5. 方程的应用：方程的求解方法可以应用于解决与圆相关的各种数学问题，如确定圆心、半径和圆上的点位置等。
三、圆的相关性质与定理1. 切线：过圆上一点的直线称为切线。
切线与半径垂直。
2. 弧长：圆上两点之间的弧长度是弧所对的圆心角的度数的一部分。
圆方程的课件ppt课件ppt
当$theta = 0$时，点为$(a, b)$ ；当$theta = frac{pi}{2}$时，点 为$(a - r, b)$；当$theta = pi$ 时，点为$(a - r, b + r)$。
03 圆的方程的求解
直接求解法
总结词
通过已知条件直接代入求解。
适用范围
适用于已知圆心和半径的情况。
工程设计
在工程设计中，圆的面积和周长公 式同样必不可少，如设计圆形机械 零件、计算圆形结构件的承载能力 等。
06 圆的对称性和极 坐标方程
圆的对称性
01
02
03
圆的对称性定义
圆关于其圆心具有对称性 ，即圆心是圆上任意两点 的中点。
圆的对称性质
圆关于其直径也具有对称 性，即直径将圆分成两个 相等的部分。
$frac{sqrt{D^2 + E^2 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程：$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$， 其中$(a, b)$是圆心坐标，$r$是 半径，$theta$是参数。
圆的参数方程通过参数$theta$描 述了一个圆上的点的坐标。
圆的基本性质
01
圆是中心对称图形，即圆心是圆上任何一对对称点 的对称中心。
02
圆是旋转对称图形，即旋转任意角度后与原图重合 。
03
圆的直径是半径的两倍，且直径平分半径。
圆的应用
圆在日常生活中的应用非常广 泛，如车轮、钟表、餐具等。
在工程和科学领域中，圆也常 用于建筑设计、机械制造和天 文观测等方面。
在数学领域中，圆是基础几何 图形之一，可用于研究圆的性 质和定理，以及解决相关的数 学问题。
圆的方程与性质
圆的方程与性质一、教学目标：1．能根据给定条件求圆的方程； 2．掌握圆的有关性质；3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程； 4．在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．二、教学重、难点1．给定条件求圆的方程；2．能解决圆的有关性质．(易错点、难点)3．渗透数形结合的数学思想方法，充分利用圆的几何性质优化解题过程；．(重点) 4．掌握用代数方法处理几何问题的思想．(难点)三、教学方法：一学、二记、三应用。
四、知识梳理：以A （2211为直径的圆的方程是：（x-2121。
圆(x －a )2＋(y －b )2＝r2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α∈R 为参数。
2. 确定圆的方程的方法和步骤：确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于 ， ， 或 、 、 的方程组； (3)解出 、 、 或 、 、 代入标准方程或一般方程． 3.点与圆的位置关系及性质圆的标准方程( － )2＋( － )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.4、求曲线(轨迹)方程的步骤(1) 设点(曲线上任意一点M (x ，y ))建系(建适当的坐标系，通常取定直线为坐标轴，定点或定线段的中点为原点，利用对称性可简化方程)；(2)列式：写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M | p (M )}； (3) 代换：用坐标(x ，y )表示条件p (M )列出方程f (x ，y )＝0； (4)化简：化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)证明：证明以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线上的点(可以省略)．五、课前测试：1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3)2．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 C.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 D.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞3．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4六、典例剖析:题型一 圆的方程判断例1（1）．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )（2）(2019·福建厦门联考)若a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3（3）(2016·高考浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．课堂小结： 二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac 相类似，表述的都是一次项的平方和减去二次项与常数项积的4倍，只有把条件理解了、记清楚了，才不会陷入命题人设置的这个“陷阱”．课堂练习1：若方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞)题型二 点与圆位置关系 例2．（1）点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，1－t 21＋t 2与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆外C ．在圆上D ．与t 有关（2）若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜1 C ．a ＞1或a ＜－1 D ．a ＝±4（3）已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是____________．课堂练习2：(2018·西城区模拟)若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－3，3)C ．(－2，2) D.⎝⎛⎭⎫－22，22题型三 求圆的方程例3（1）(2019·广东珠海四校联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2(2)(2018年高考·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5C．(x－1)2＋y2＝5D．x2＋(y－1)2＝5题型四与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题的考查主要有以下五个命题角度：(1)求一次或二次式的最值；(2)求圆上的点与圆外点距离的最值；(3)求圆上的点到直线距离的最值；(4)求z ＝y ＋nx ＋m的最值．（5）距离和(差)最值问题例4（1）（斜率型）若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，则y －4x －2的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，43B.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－43 D.⎣⎡⎭⎫－43，0（2）（距离型）(2018年高考·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4（3）（对称型）已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17 （4）（均值不等式型）圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b 的最小值是( )A ．23B.203C ．4 D.163（5）（选讲提升）已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是__________．（6）（选讲提升）(2018·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是______．课堂练习4．．(2019·江西新余五校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0七、学习评估1．(2018·合肥市高三二检)已知圆C ：(x －6)2＋(y ＋8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝252．(2019·豫北名校联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝43．(2019·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2 B ．2C ．1＋22D ．2＋2 24．若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)5．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是( )A.12 B.18C.14 D.246．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝27．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝3D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝378.(2018·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值是( )A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 39．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________． 10．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．。
圆与方程总结知识点
圆与方程总结知识点在数学中，圆与方程是几何学和代数学的重要内容之一，它们在数学中有着广泛的应用和重要的地位。
圆与方程的学习不仅有助于学生对数学的理解和应用，还有助于培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
本文将对圆与方程的知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地掌握这一内容。
圆的基本概念首先，我们来认识一下圆这个几何图形。
圆是一个平面上所有与一个给定点的距离相等的点的集合。
这个给定点叫做圆心，所有距离相等的点到圆心的距离叫做半径。
圆的直径是通过圆心的两条平行线段的长。
圆的周长是圆的边界的长度，用符号C表示。
圆的面积是圆内部的所有点的集合，用符号A表示。
圆的方程通常有两种形式：标准方程和一般方程。
标准方程是x²+y²=r²，其中(x, y)是圆上的任意一点，r是圆的半径。
一般方程是(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h, k)是圆心的坐标。
圆的方程可以通过圆心和半径来确定，也可以通过圆上的某一点和圆的半径来确定。
圆的方程求解求解圆的方程是圆与方程的重要内容之一。
在求解圆的方程时，我们通常需要已知圆的中心坐标和半径。
如果已知圆的中心坐标和半径，我们可以根据标准方程的形式直接写出圆的方程。
如果已知圆上的某一点和圆心的坐标，我们可以利用已知点和圆心的距离等于半径来确定圆的方程。
圆与直线的关系圆与直线的关系是圆与方程的另一个重要内容。
在圆与直线的关系中，我们通常需要研究直线与圆的位置关系、直线与圆的交点和直线与圆的切点等问题。
首先，直线与圆的位置关系包括直线在圆内部、外部和与圆相切三种情况。
其次，直线与圆的交点是指直线与圆的交点的个数。
最后，直线与圆的切点是指直线与圆相切的点的位置。
圆与方程的应用圆与方程的应用是圆与方程的重要内容之一。
在实际应用中，圆与方程的知识可以帮助我们解决实际问题。
例如，在工程领域中，圆与方程的知识可以帮助我们设计圆形结构、计算圆形结构的尺寸等。
圆与方程ppt课件
两圆外切
R
O1•d
•r O2
两圆相交 两圆内切
两圆内含
2.联立两圆方程，看截得解得个数.
△<0
n=0
两个圆相离
△=0
n=1
两个圆相切
△>0
n=2
两个圆相交
谢谢！
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
要点总结
4.1圆的方程
4.1.1圆的标准方程
1.圆的基本要素：圆心位置、半径. 2.圆的标准方程： (x a) 2 (y b) 2 r2 3.圆心在原点的圆的标准方程：x2 y 2 r2 4.判断点与直线的位置关系：点到圆心的距离与半径 的大小关系.
判断两圆的位置关系的两种方法： 1.根据圆心距与半径和之间的大小关系. 若d＜｜R-r｜，则两圆内含； 若d=｜R-r｜，则两圆内切； 若｜R-r｜＜d＜R＋r，则两圆相交； 若d＝R＋r，则两圆外切； 若d＞R＋r，则两圆外离.
2.联立两圆方程，看截得解得个数.
△<0
圆与方程ppt课件
对于简单方程，一般有唯一解；对于多元 方程，可能有多个解。
方程的分类
一元二次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为2的方 程。
一元一次方程
只含有一个未知数，且未 知数的最高次数为1的方 程。
多元一次方程
含有两个或更多未知数， 且未知数的最高次数为1 的方程。
高次方程
当未知数的最高次数大于 1时，称为高次方程。
04
圆与方程的关系
圆的方程表示
圆的标准方程
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，其中$(a, b)$为圆心， $r$为半径。
圆的参数方程
$x = a + r\cos\theta$，$y = b + r\sin\theta$，其中$(a, b)$为 圆心，$r$为半径，$\theta$为参 数。
圆与方程的综合应用
如何利用圆与方程解决实际问题？如 何将圆与方程的知识与其他数学知识 结合？
谢谢您的聆听
THANKS
周长和面积的比值是π，这是一个无理数 。
03
方程的基本概念
方程的定义
方程
含有未知数的等式，通过 求解未知数，可以得出未知数，且未 知数的次数为1的方程。
多元方程
含有两个或更多未知数的 方程。
方程的解
定义
满足方程的未知数的值称为方程的解。
解法
通过移项、合并同类项、去括号、去分母 等步骤，将方程简化，求得未知数的值。
05
圆与方程的应用
生活中的圆与方程应用
01
02
03
太阳的轨迹
利用圆的方程可以描述太 阳在天空中的运动轨迹。
地球的形状
全国文数第37课 圆与方程
数学低段
第37课 易错提醒
P201
62
三组题讲透
数学低段
第37课 第（8）题
P201
63
三组题讲透
数学低段
第37课 第（8）题
P201
64
三组题讲透
数学低段
第37课 第（8）题
P201
65
三组题讲透
数学低段
第37课 第（8）题
P201
66
三组题讲透 4
数学低段
84
三组题讲透
数学低段
第37课 第（11）题
P202
85
三组题讲透
数学低段
第37课 第（11）题
P202
86
三组题讲透
数学低段
第37课 第（11）题
P202
87
数学低段
第37课 方法便笺
P202
88
数学低段
第37课 方法便笺
P202
89
数学低段
第37课 方法便笺
P202
数学低段
第37课 小积累 P203
108
数学低段
第37课 小积累 P203
109
三组题讲透 B
数学低段
第37课 第（17）题
P203
110
数学低段
第37课 变式思考
P203
111
数学低段
A
第37课 变式思考
P203
112
数学低段
A
第37课 变式思考
P203
113
三组题讲透
42
随 堂 普 查 练 37 Ⅰ
数学低段
第37课 第4题 P199
43
随 堂 普 查 练 37 Ⅰ
中考数学总复习第三部分图形与几何第8单元锐角三角函
AP
B
C
【考点 3】弧、弦、圆心角之间的关系
圆心角 顶点在 圆心 的角叫做圆心角.
定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 弧 相等 ,所对的弦也 相等 .
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所
推论
对的圆心角 相等 ,所对的弦 相等 ； 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所
对的圆心角 相等 ,所对的弧 相等 .
第 37 课时 圆的基本性质
【考点 1】与圆有关的基本概念
圆 弦 弧 等圆
在一个平面内,线 段 OA 绕 它 固 定 的 一 个 端 点 O 旋 转
一 周 ,另 一 个 端 点 A 所 形 成的图形叫做 圆 .固定的 端点 O 叫做 圆心 ,线段 OA 叫做 半径 ；
圆的位置由圆心 O 确定,
大小由半径 r 确定. 圆可以看作所有到定点 O 的距 离等于定 长 r 的 点 的 集 合 .
8.[2017 河南模拟]如图,AB 是半圆 O 的直径,点 C 在半圆 O 上,
把半圆沿弦 AC 折叠, AC 恰好经过点 O,则 BC 与 AC 的关系
是( A )
A. BC 1 AC
2
C
B.
BC
1 3
AC
C. BC AC
A
O
B
D.不能确定
9.[变式]如图,AB、CD 为⊙O 的直径, AC CE .
P
并证明你的结论.
答:△ABC 是等边三角形. 证明:∵ APC CPB 60o
O
B
C
∴ ABC APC 60o , BAC CPB 60o
∴ ABC BAC 60o ∴ ACB 60o
数学六年级上册教案《5.1圆的认识37》人教版
数学六年级上册教案《5.1圆的认识37》人教版一. 教材分析《5.1圆的认识37》是人教版数学六年级上册的一章内容，主要讲述了圆的基本概念、性质和运用。
本节课的教学内容主要包括圆的周长、圆的直径、圆的半径以及圆的面积等知识。
通过本节课的学习，使学生能够掌握圆的基本概念，理解圆的性质，能够运用圆的知识解决实际问题。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于圆的概念和性质的理解还需要进一步的引导和培养。
此外，学生对于实际问题的解决能力也需要进一步提高。
三. 教学目标1.让学生掌握圆的基本概念和性质。
2.培养学生运用圆的知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.圆的概念和性质的理解。
2.圆的周长和面积的计算方法。
3.运用圆的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索圆的性质。
2.运用多媒体辅助教学，直观展示圆的性质和运用。
3.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队合作意识。
4.以实例分析为主，让学生在实际问题中体验圆的知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.圆的模型或图片。
3.相关实例资料。
4.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的圆形物体，如硬币、圆桌等，引导学生对圆的概念有直观的认识。
同时，提出问题：“你们对这些圆形物体有什么观察和发现？”让学生思考和交流。
2.呈现（10分钟）介绍圆的基本概念和性质，如圆的定义、圆心、半径、直径等。
通过多媒体展示和讲解，使学生对圆的概念有清晰的认识。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，每组选择一个圆形物体，测量其周长和直径，并计算其半径。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成一些关于圆的练习题，巩固所学知识。
教师及时批改和反馈，帮助学生纠正错误。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和讨论：圆的周长和直径有什么关系？圆的面积和半径有什么关系？学生通过小组合作，探究圆的性质。
圆的标准方程教学设计
圆的标准方程教学设计在数学的奇妙世界里，圆总是那么独特而迷人。
今天，咱们就来好好探索一下圆的标准方程。
先来讲讲为啥要学这个圆的标准方程。
想象一下，你去操场上跑步，跑道是个圆形的，那要知道这个跑道的大小，怎么描述呢？这时候圆的标准方程就派上用场啦！咱们先从圆的定义入手。
大家都知道，圆就是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合。
那这个定点叫圆心，定长就是半径。
假设圆心的坐标是$（a,b)＄，半径是$r$，那圆上任意一点$P(x,y)＄到圆心的距离，根据两点间的距离公式，就可以得到：＄＼sqrt{（x a)＾2 ＋（y b)＾2} ＝ r$两边平方一下，圆的标准方程就出来啦：＄（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$比如说，有个圆的圆心在$（2,3)＄，半径是 5，那它的标准方程就是$（x 2)＾2 ＋（y 3)＾2 ＝ 25$。
为了让大家更好地理解，咱们来做个小活动。
我在教室里画了一个大大的圆，让同学们分成小组，去测量圆心的位置和半径的长度，然后写出这个圆的标准方程。
同学们可积极啦，有的拿着尺子认真测量，有的在本子上计算，还有的在互相讨论。
有个小组特别有意思，他们一开始测量的时候，尺子没放直，结果算出来的圆心位置偏差了好多。
后来经过大家的提醒，重新测量，终于得出了正确的结果。
看着他们那股认真劲儿，我心里特别欣慰。
接下来咱们通过一些例题来巩固一下。
例 1：已知圆的圆心在$（－1,2)＄，半径为 3，求圆的标准方程。
这道题就很简单啦，直接代入公式，答案就是$（x ＋ 1)＾2 ＋（y 2)＾2 ＝ 9$。
例 2：已知圆的方程为$（x 3)＾2 ＋（y ＋ 4)＾2 ＝ 16$，求圆心和半径。
这道题就是反过来，从方程里找出圆心和半径。
圆心就是$（3,－4)＄，半径是 4。
再做几道练习题，让大家都熟练掌握。
最后咱们来总结一下。
圆的标准方程就是$（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，要记住圆心和半径在方程中的位置。
全国文数第37课 圆与方程
第37课 第5题
P199
随 堂 普 查 练 37 Ⅰ
第37课 第5题
P199
一张图学透
dr
0
dr
0
dr
0
第37课 一张图学透
直线与
圆的位
置关系
一张图学透
d r1 r2 d r1 r2
第37课 一张图学透
圆与圆
的位置
关系
一张图学透
第37课 一张图学透
圆与圆
的位置
一张图学透
D2 E2 4F D2 E2 4F D2 E2 4F
第37课 一张图学透
圆的定义 与方程
一张图学透
x0 a2 y0 b2 r 2
第37课 一张图学透
点与圆的 位置关系
x0 a2 y0 b2 r 2
一张图学透
第37课 第（6）题
P201
三组题讲透 B
第37课 第（6）题
P201
A
第37课 变式思考
P201
A
第37课 变式思考
P201
三组题讲透
第37课 第（7）题
P201
三组题讲透
第37课 第（7）题
P201
三组题讲透 C
第37课 第（7）题
P201
三组题讲透
1, 2
第37课 第（7）题
P202
三组题讲透
第37课 第（11）题
P202
第37课 方法便笺
P202
第37课 方法便笺
P202
第37课 方法便笺
P202
三组题讲透
第37课 第（12）题
P202
三组题讲透
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
方程x2＋y2－4x＋1＝0可变形为(x－2)2＋y2＝3，
∴－ ≤x－2≤ ，∴2－ ≤x≤2＋ ，(6分)
∴14－8 ≤(x＋2)2－5≤14＋8 ，∴2x2＋y2的最小值为14－8 ，最大值为14＋8 .(10分)
(法二)将圆的方程x2＋y2－4x＋1＝0化为标准方程，得(x－2)2＋y2＝3，设x＝ cosθ＋2，y＝ sinθ，θ∈[0，2π)，则2x2＋y2＝2( cosθ＋2)2＋( sinθ)2＝3cos2θ＋8 cosθ＋11＝3 2－5.(6分)
解：(Ⅰ)原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，它表示以(2，0)为圆心， 为半径的圆. 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，∴设 ＝k，则y＝kx.(2分)
当直线y＝kx与圆相切时，如图所示，斜率k取得最大值或最小值，此时圆心(2，0)到直线y＝kx的距离d＝ ＝ ，解得k＝± ，∴ 的最大值为 ，最小值为－ .(5分)
(法二)到两条切线x－y＝0和x－y－4＝0距离相等的直线方程为x－y－2＝0.
又∵圆上存在两点关于直线x＋y＝0对称，
∴圆心在直线x＋y＝0上，
联立得 解得
∴C(1，－1)．由法一知圆C的半径r＝ ，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(Ⅵ)由圆心在曲线y＝ (x>0)上，可设圆心坐标为 ，a＞0.∵圆与直线2x＋y＋1＝0相切，∴圆心到直线的距离d等于圆的半径r.
1．答案：(－2，－4)5
解析：由题意得a2＝a＋2≠0，解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得
(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，此方程表示圆，此时圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；
当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，
即x2＋y2＋x＋2y＋ ＝0，配方得 2＋(y＋1)2＝－ ，此时方程不表示圆．
解：(Ⅰ)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可得，P点坐标为(2x－2，2y)，易知2x－2≠2，x≠2.
∵P点在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，化简得(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．(5分)
(Ⅱ)设PQ的中点为N(x，y)，
(法二)由已知可得kAB＝ ＝－ ，kCB＝ ＝3，∴kAB·kCB＝－1，∴AB⊥CB，即△ABC为直角三角形，∴其外接圆圆心为线段AC的中点，其坐标为(1，－2)，半径为 |AC|＝ ＝5，所以外接圆方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25.令x＝0，得(y＋2)2＝24，解得y＝±2 －2，所以|MN|＝4 ，故选C.
(Ⅳ)∵圆C与直线x－y＝1相切于点B(2，1)，∴圆心C在直线y－1＝－(x－2)上，即在直线y＝－x＋3上．
∵点A(4，1)，B(2，1)在圆C上，
∴圆心C在直线x＝3上．
联立 解得
∴圆心C(3，0)，∴圆C的半径r＝ ＝ ，
∴圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
(Ⅴ)(法一)∵圆C的两条切线x－y＝0和x－y－4＝0平行，∴两条切线之间的距离即为圆C的直径，∴2r＝ ＝2 ，∴r＝ .∵圆上存在两点关于直线x＋y＝0对称，∴圆心在直线x＋y＝0上，∴可设圆心坐标为C(a，－a)，∴点C到两条切线的距离都等于半径，即 ＝ 且 ＝ ，解得a＝1，∴C(1，－1)，∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
在Rt△ODC中，r2＝(r－1)2＋22，解得r＝ ，
则圆心坐标为 ，
∴圆C的标准方程为(x－2)2＋ 2＝ .
(Ⅲ)∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，∴可设C(a，0)，a>0.又∵或a＝－2(舍去)，
∴C(2，0)．又∵点M(0， )在圆C上，∴圆的半径r＝ ＝3，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
(Ⅱ)由题易得圆心在直线x＝2上．又∵圆心在直线2x－3y－1＝0上，∴圆心的坐标为(2，1)．∵A(1，0)在圆上，∴圆的半径r＝ ＝ ，∴圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2.
∵－1≤cosθ≤1，∴－1＋ ≤cosθ＋ ≤1＋ ，∴14－8 ≤3 2－5≤14＋8 ，
∴2x2＋y2的最小值为14－8 ，最大值为14＋8 .(10分)
随堂普查练37Ⅰ
1．(2016浙江，6分)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(2)答案：(Ⅰ)(x－2)2＋(y＋2)2＝25(Ⅱ)(x－2)2＋ 2＝ (Ⅲ)(x－2)2＋y2＝9(Ⅳ)(x－3)2＋y2＝2(Ⅴ)(x－1)2＋(y＋1)2＝2(Ⅵ)(x－1)2＋(y－2)2＝5
解析：(Ⅰ)(法一)依题意得A(－1，2)，B(5，－6)为直径的两个端点，
∴圆心坐标为线段AB的中点坐标，即(2，－2)，所求圆的半径r＝ |AB|＝ ＝5，∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
综上所述，a＝－1，圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
2．(2019汇编，10分)(Ⅰ)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________________．
(Ⅱ)圆心在直线2x－3y－1＝0上的圆与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，则圆的方程为________________．
则在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，OP，则ON⊥PQ，(7分)
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，化简得x2＋y2－x－y－1＝0，故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.(10分)
2．答案：(Ⅰ)(x＋1)2＋y2＝2(Ⅱ)(x－2)2＋(y－1)2＝2
解析：(Ⅰ)因为圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，在x－y＋1＝0中令y＝0，得x＝－1，∴圆C的圆心坐标为(－1，0)．∵直线x＋y＋3＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即r＝ ＝ ，∴圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
∵a＞0，∴d＝ ≥ ＝ ＝ ，当且仅当2a＝ ，即a＝1时取等号，即d的最小值为 ，∴圆的半径的最小值为 .∴所求圆的圆心坐标为(1，2)，半径为 ，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
(3)(2015全国Ⅱ，5分)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则 ＝()
2．可行域为圆的最值问题
(5)(经典题，15分)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(Ⅰ)求 的最大值和最小值；
(Ⅱ)求y－x的最大值和最小值；
(Ⅲ)求x2＋y2的最大值和最小值．
(5)答案：(Ⅰ) 的最大值为 ，最小值为－
(Ⅱ)y－x的最大值为－2＋ ，最小值为－2－
(Ⅲ)x2＋y2的最大值为7＋4 ，最小值为7－4
(Ⅳ)过点A(4，1)的圆C与直线x－y＝1相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________．
(Ⅴ)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，且圆上存在两点关于直线x＋y＝0对称，则圆C的方程为________________．
(Ⅵ)圆心在曲线y＝ (x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为________________．
(Ⅱ)令z＝y－x，则y－x看作是直线y＝x＋z在y轴上的截距．(7分)
当直线y＝x＋z与圆相切时，纵截距z取得最大值或最小值，此时圆心(2，0)到直线y＝x＋z的距离d＝ ＝ ，解得z＝－2± ，∴y－x的最大值为－2＋ ，最小值为－2－ .(10分)
(Ⅲ)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何的知识可知，x2＋y2在原点和圆心的连线与圆的交点处取得最大值和最小值，如图所示．(12分)
b．利用几何法或待定系数法求圆的方程
(2)(2019汇编，30分)(Ⅰ)以线段AB：4x＋3y－2＝0(－1≤x≤5)为直径的圆的标准方程为________________．
(Ⅱ)若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________．
(Ⅲ)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0， )在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为 ，则圆C的方程为________________．(2016天津)
(法二)设P(x，y)为所求圆上任意一点，∵该圆以AB为直径，∴PA⊥PB或P与A重合或P与B重合，∴ · ＝0，∴(－1－x，2－y)·(5－x，－6－y)＝(x＋1)·(x－5)＋(y－2)(y＋6)＝0，即x2＋y2－4x＋4y－17＝0，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
第37课圆与方程
普查讲37Ⅰ圆的方程
1．圆的标准方程和一般方程
a．圆的标准方程应满足的条件
(1)(2019改编，6分)已知圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋4a2＋2＝0，且点P(－1，1)在该圆外，求实数a的取值范围．
(1)答案：(－1－ ，－1)∪(0，－1＋ )
解：将圆的方程x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋4a2＋2＝0配方，得(x－a)2＋[y＋(a－2)]2＝a2＋(a－2)2－4a2－2，即(x－a)2＋[y＋(a－2)]2＝－2a2－4a＋2，∴r2＝－2a2－4a＋2>0，解得－1－ <a<－1＋ .(2分)
∵圆心到原点的距离为2，∴x2＋y2的最大值为(2＋ )2＝7＋4 ，最小值为(2－ )2＝7－4 .(15分)
变式思考：(2019改编，10分)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求2x2＋y2的最大值和最小值．
答案：2x2＋y2的最小值为14－8 ，最大值为14＋8
解：(法一)由x2＋y2－4x＋1＝0得y2＝－x2＋4x－1，