2016年山东省济南市高考数学二模试卷及答案(理科)

2016年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4，6}C．{l，3，5}D．{4，6，7，8}2．（5分）若复数（b∈R，i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数b为（）A．﹣2 B．2 C．D．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最大值为（）A．0 B．6 C．9 D．124．（5分）图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A．6 B．7 C．10 D．165．（5分）已知命题“p：∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣2|≤a”是真命题，则实数a的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．26．（5分）已知在菱形ABCD中，对角线BD=4，E为AD的中点，则•=（）A．12 B．14 C．10 D．87．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1）+a，则f（﹣8）等于（）A．﹣3﹣a B．3+a C．﹣2 D．28．（5分）某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为（）A．96 B．432 C．480 D．5289．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（）A．B．C．4 D．10．（5分）已知点M（m，m2），N（n，n2），其中m，n是关于x的方程sinθ•x2+cosθ•x ﹣1=0（θ∈R）的两个不等实根．若圆O：x2+y2=1上的点到直线MN的最大距离为d，且正实数a，b，c满足abc+b2+c2=4d，则log4a+log2b+log2c的最大值是（）A．B．4 C．2 D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）函数y=的定义域为．12．（5分）已知曲线与直线x=1，x=3，y=0围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A 的概率为．13．（5分）已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且a=，c=，C=，则△ABC的面积S=．14．（5分）棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，PA=2BC=4，则该球的表面积为．15．（5分）若函数y=f（x）的定义域D中恰好存在n个值x1，x2，…，x n满足f （﹣x i）=f（x i）（i=1，2，…，n），则称函数y=f（x）为定义域D上的“n度局部偶函数”．已知函数g（x）=是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知=（cosωx，cos（ωx+π）），=（sinωx，cosωx），其中ω＞0，f（x）=•，且f（x）相邻两条对称轴之间的距离为．（I）若f（）=﹣，α∈（0，），求cosα的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．17．（12分）一箱中放了8个形状完全相同的小球，其中2个红球，n（2≤n≤4）个黑球，其余的是白球，从中任意摸取2个小球，两球颜色相同的概率是．（I）求n的值；（Ⅱ）现从中不放回地任意摸取一个球，若摸到红球或者黑球则结束摸球，用ξ表示摸球次数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．18．（12分）已知四边形ABCD为梯形，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，CE⊥平面ABCD，CE=AD=DC=BC=1，∠ABC=60°，F为线段BE上的点，=．（I）证明：OF∥平面CED；（Ⅱ）求平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+2=（2+cosnπ）（a n+1）﹣3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求T n．20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx﹣2ax（a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的极值；（2）当x∈（1，+∞）时，试讨论关于x的方程f（x）+ax2=0实数根的个数．21．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．（I）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过定点M（m，0）（m＞0）的直线与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点N，且满足：=λ，=μ．（i）当m=时，求证：λ+μ为定值；（ii）若点R是直线l：x=﹣m上任意一点，三条直线AR，BR，MR的斜率分别为k AR，k BR，k MR，问是否存在常数t，使得．k AR+k BR=t•k MR．恒成立？若存在求出t 的值；若不存在，请说明理由．2016年山东省济南市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则（∁U A）∩B=（）A．{2}B．{4，6}C．{l，3，5}D．{4，6，7，8}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，∴C U A={4，6，7，8}，∴（C u A）∩B={4，6}．故选：B．2．（5分）若复数（b∈R，i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数b为（）A．﹣2 B．2 C．D．【解答】解：∵=的实部和虚部互为相反数，∴2﹣2b=4+b，得b=﹣．故选：D．3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最大值为（）A．0 B．6 C．9 D．12【解答】解：作出约束条件的可行域如图，由z=x+3y知，y=﹣x+z，所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得P（0，3）．结合可行域可知当动直线经过点P（0，3）时，目标函数取得最大值z=0+3×3=9．故选：C．4．（5分）图1是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次是A1，A2，…，A16，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A．6 B．7 C．10 D．16【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10．故选：C．5．（5分）已知命题“p：∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣2|≤a”是真命题，则实数a的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：∵|x0+1|+|x0﹣2|≥|x0+1﹣x0+2|=3．∴若命题“p：∃x0∈R，|x0+1|+|x0﹣2|≤a”是真命题，则a≥3，即实数a的最小值为3，故选：C．6．（5分）已知在菱形ABCD中，对角线BD=4，E为AD的中点，则•=（）A．12 B．14 C．10 D．8【解答】解：如图，根据条件：======12．故选：A．7．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log3（x+1）+a，则f（﹣8）等于（）A．﹣3﹣a B．3+a C．﹣2 D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）=a=0，f（﹣8）=﹣f（8）=﹣log3（8+1）=﹣2．故选：C．8．（5分）某班有6位学生与班主任老师毕业前夕留影，要求班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，则排法的种数为（）A．96 B．432 C．480 D．528【解答】解：班主任站在正中间，有A66=720种；班主任站在正中间且女生甲、乙相邻，有4A22A44=192种；∴班主任站在正中间且女生甲、乙不相邻，排法的种数为720﹣192=528种．故选：D．9．（5分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为（）A．B．C．4 D．【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，则由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）=（+×）2∴+≤故选：B．10．（5分）已知点M（m，m2），N（n，n2），其中m，n是关于x的方程sinθ•x2+cosθ•x ﹣1=0（θ∈R）的两个不等实根．若圆O：x2+y2=1上的点到直线MN的最大距离为d，且正实数a，b，c满足abc+b2+c2=4d，则log4a+log2b+log2c的最大值是（）A．B．4 C．2 D．【解答】解：∵m，n是关于x的方程sinθ•x2+cosθ•x﹣1=0（θ∈R）的两个不等实根．∴m+n=，mn=，直线MN的方程为：y﹣m2=（x﹣m），化为：y=（m+n）x﹣mn，∴xcosθ+ysinθ﹣1=0．圆O：x2+y2=1的圆心O（0，0）到直线MN的距离=1，∴圆O上的点到直线MN的最大距离为d=1+1=2，∴正实数a，b，c满足abc+b2+c2=4d=8，∴8≥abc+2bc≥2，化为：ab2c2≤8，当且仅当b=c=，a=2时取等号．则log4a+log2b+log2c=≤log48=，其最大值是．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）函数y=的定义域为（1，2）．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得1＜x＜2．∴函数y=的定义域为（1，2）．故答案为：（1，2）．12．（5分）已知曲线与直线x=1，x=3，y=0围成的封闭区域为A，直线x=1，x=3，y=0，y=1围成的封闭区域为B，在区域B内任取一点P，该点P落在区域A的概率为．【解答】解：由题意A对应区域的面积为=lnx|=ln3，B的面积为2，由几何概型的公式得到所求概率为；故答案为：．13．（5分）已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且a=，c=，C=，则△ABC的面积S=．【解答】解：△ABC中，∵a=，c=，C=，∴由正弦定理可得：sinA===，又∵a＜c，A为锐角．∴A=，B=π﹣A﹣C=，∴S=acsinB==．△ABC故答案为：．14．（5分）棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，PA=2BC=4，则该球的表面积为π．【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，把A、B、C、P扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A的距离为球的半径，PA=2BC=4，OE=2，△ABC是正三角形，∴AB=2，∴AE=．AO==．所求球的表面积为：4π（）2=π．故答案为：π．15．（5分）若函数y=f（x）的定义域D中恰好存在n个值x1，x2，…，x n满足f （﹣x i）=f（x i）（i=1，2，…，n），则称函数y=f（x）为定义域D上的“n度局部偶函数”．已知函数g（x）=是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则a的取值范围是＜a＜．【解答】解：由“n度局部偶函数”的定义可知，函数存在关于y对称的点有n个，当x＜0时，函数g（x）=sin（x）﹣1，关于y轴对称的函数为y=sin（﹣x）﹣1=﹣sin（x）﹣1，x＞0，作出函数g（x）和函数y=h（x）=﹣sin（x）﹣1，x＞0的图象如图：若g（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的“3度局部偶函数”，则等价为函数g（x）和函数y=﹣sin（x）﹣1，x＞0的图象有且只有3个交点，若a＞1，则两个函数只有一个交点，不满足条件；当0＜a＜1时，则满足，即，则，即＜a＜，故答案为：＜a＜三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）已知=（cosωx，cos（ωx+π）），=（sinωx，cosωx），其中ω＞0，f（x）=•，且f（x）相邻两条对称轴之间的距离为．（I）若f（）=﹣，α∈（0，），求cosα的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）=•=sinωx•cosωx+cos（ωx+π）•cosωx=sinωx•cosωx﹣cosωx•cosωx=﹣=sin（2ωx﹣）﹣，由于f（x）相邻两条对称轴之间的距离为==，∴ω=1．故f（x）=sin（2x﹣）﹣．（I）∵f（）=sin（α﹣）﹣=﹣，∴sin（α﹣）=．∵α∈（0，），∴α﹣∈（﹣，），∴cos（α﹣）==，∴cosα=cos[（α﹣）+]=cos（α﹣）cos﹣sin（α﹣）•sin=﹣=．（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y=sin（x﹣）﹣的图象，然后向左平移个单位，得到函数y=g（x）=sin[（x+）﹣]﹣=sin（x ﹣）﹣的图象，令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，可得函数y=g（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．17．（12分）一箱中放了8个形状完全相同的小球，其中2个红球，n（2≤n≤4）个黑球，其余的是白球，从中任意摸取2个小球，两球颜色相同的概率是．（I）求n的值；（Ⅱ）现从中不放回地任意摸取一个球，若摸到红球或者黑球则结束摸球，用ξ表示摸球次数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设“从箱中任意摸取两个小球，两球颜色相同”为事件A，由题意P（A）==，解得n=3．（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4，P（ξ=1）=，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，∴ξ的分布列为：Eξ==．18．（12分）已知四边形ABCD为梯形，AB∥DC，对角线AC，BD交于点O，CE⊥平面ABCD，CE=AD=DC=BC=1，∠ABC=60°，F为线段BE上的点，=．（I）证明：OF∥平面CED；（Ⅱ）求平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵=，∴FB=2EF，又梯形ABCD中，AD=DC=BC=1，∠ABC=60°，∴∠ADC=120°，由余弦定理，得：AC==，cos60°=，解得AB=2，∵AB∥DC，∴，∴OF∥DE，又OF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，∴OF∥平面CED．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC=，AB=2，又BC=1，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又CE⊥面ABCD，∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，则A（，0，0），B（0，1，0），E（0，0，1），D（，﹣，0），=（﹣，﹣，0），===（﹣，，），设平面ADF的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣，2），平面BCE的法向量=（1，0，0），∴cos＜＞==，∴平面ADF与平面BCE所成锐二面角的余弦值为，平面ADF与平面BCE所成钝二面角的余弦值为﹣．19．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+2=（2+cosnπ）（a n+1）﹣3（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求T n．=（2+cosnπ）（a n+1）﹣3，n∈N*．【解答】解：（1）∵a n+2∴当n=2k﹣1时，a n=a n﹣2，∴{a2k﹣1}是等差数列，首项为1，公差为﹣2，+2=1﹣2（k﹣1）=3﹣2k，即n为奇数时a n=2﹣n．∴a2k﹣1当n=2k时，a n=3a n，∴{a2k}是等比数列，首项为3，公比为3，+2∴a2k=3×3k﹣1，即n为偶数时a n=．∴a n=．（2）b n=，n=2k（k∈N*）时，b n==；n=2k﹣1（k∈N*）时，b n=2﹣n．∴n=2k（k∈N*）时，T n=T2k=（b1+b3+…+b2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=++…+=2k﹣k2+=2k﹣k2+=+．n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=T n﹣1+b n=++2﹣n=1﹣+．20．（13分）已知函数f（x）=x2﹣2lnx﹣2ax（a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的极值；（2）当x∈（1，+∞）时，试讨论关于x的方程f（x）+ax2=0实数根的个数．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=x2﹣2lnx，（x＞0），f′（x）=2x﹣=，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）=f（1）=1，无极大值；极小值（2）令g（x）=f（x）+ax2=（a+1）x2﹣2lnx﹣2ax，x∈（1，+∞），g′（x）=2（a+1）x﹣﹣2a=，①当﹣≤1即a≤﹣2，或a≥﹣1时，g′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，g（x）在（1，+∞）递增，∴g（x）＞g（1）=1﹣a，若1﹣a≥0，即a≤1时，g（x）＞0在（1，+∞）恒成立，即程f（x）+ax2=0无实数根，若1﹣a＜0，即a＞1时，存在x0，使得g（x0）=0，即程f（x）+ax2=0有1个实数根，②当﹣＞1即﹣2＜a＜﹣1时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜﹣，令g′（x）＜0，解得：x＞﹣，∴g（x）在（1，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，而g（1）=1﹣a＞0，故g（x）＞0在（1，﹣）上恒成立，x→+∞时，g（x）=（a+1）x2﹣2lnx﹣2ax→﹣∞，∴存在x0，使得g（x0）=0，即方程f（x）+ax2=0在（﹣，+∞）上有1个实数根，综上：a≤﹣2或﹣1≤a≤1时，方程无实数根，﹣2＜a＜﹣1或a＞1时，方程有1个实数根．21．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．（I）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）过定点M（m，0）（m＞0）的直线与抛物线C交于A，B两点，与y轴交于点N，且满足：=λ，=μ．（i）当m=时，求证：λ+μ为定值；（ii）若点R是直线l：x=﹣m上任意一点，三条直线AR，BR，MR的斜率分别为k AR，k BR，k MR，问是否存在常数t，使得．k AR+k BR=t•k MR．恒成立？若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）∵点D（1，y0）是抛物线上的点，且|DF|=2．∴1+=2，解得p=2．∴抛物线C的标准方程为y2=4x．（II）证明：（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），当m==1时，M（1，0），直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为：x=ty+1（t≠0），可得N．联立，可得：y2﹣4ty﹣4=0，∴y1+y2=4t，y1y2=﹣4．∵=λ，=μ，∴=λ（﹣y1），=μ（﹣y2），∴λ+μ=﹣1﹣﹣1﹣=﹣2﹣=﹣2﹣=﹣1．为定值．（ii）先取特殊情况探索三条直线AR，BR，MR的斜率之间的关系，当AB⊥x轴时，设A（m，y0），B（m，﹣y0），R（﹣m，y3），则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=2•k MR．下面证明一般情况成立．设A（x1，y1），B（x2，y2），R（﹣m，y3），直线AB的斜率不等于0，可设直线AB的方程为：x=ty+m．联立，化为：y2﹣4ty﹣4m=0，∴y1+y2=4t，y1y2=﹣4m．则k AR=，k MR=，k BR=，则k AR+k BR=+=，又，．代入可得：k AR+k BR=，把y1+y2=4t，y1y2=﹣4m代入化简可得：k AR+k BR==2•k MR．综上可得：三条直线AR，BR，MR的斜率满足k AR+k BR=2•k MR．。