三角形边角中的边角关系一对一辅导讲义
直角三角形的边角关系讲义
西安龙文教育一对一授课案教师： 学生： 日期： 星期： 时段：课 题 直角三角形的边角关系学习目标与分析锐角三角函数、特殊角的三角函数、三角函数的应用 学习重点 三角函数的应用及计算 学习方法考点归纳+例题解析+强化训练学习内容与过程教师分析与批改直角三角形的边角关系 第1节 从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义 坡度的定义及表示（难点） 正弦、余弦的定义 三角函数的定义（重点） 1、正切的定义在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
即tanA =baA =∠∠的邻边的对边A■例1已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，CD ⊥AB ，AD =8，BD =4，求tanA 的值。
2、坡度的定义及表示（难点)我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。
坡度常用字母i 表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lh a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。
的垂直距离为300m ，求山的坡度.3、正弦、余弦的定义在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。
即sinA =ca=∠斜边的对边A∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 。
即cosA =cb=∠斜边的邻边A■例3在△ABC 中，∠C =90°，BC =1，AC =2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
4、三角函数的定义（重点）锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数。
直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系： （1）三边之间关系：222c b a =+； （2）锐角之间关系：∠A +∠B =90°； （3）边角之间关系：sinA =c a ，cosA =c b ，tanA =ba。
三角形边角关系-第3讲的角与边学
第三讲三角形的角与边一、基础知识本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系.1.边与边的关系(1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）；(2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.2.角与角的关系(1)三角形的内角和为180︒；(2)直角三角形中两锐角互余;(3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；(4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和.3.边和角的关系(1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边;(2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大.4.不等式变形时常用的性质(1)若a>b,c>d,则a+c>b+d;(2)若a>b,c>d,则a-d>b-c;(3)若a>b,c>0,则ac>bc;若a>b,c<0,则ac<bc;(4)若a>b>0,则11 a b <;(5)总量大于任何一个部分量.5.三角形中的不等关系根源:(1)两点之间线段最短;(2)垂线段最短.二、例题第一部分边的问题例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.直角三角形或等腰三角形例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( )A.31 4k<<B.113k<<C.12k<< D.112k<<例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( )A.17cmB.5cmC.17cm或5cmD.无法确定例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点,求证:1()2AB AC BC PA PB PC AB AC BC++<++<++.例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.例7. (★★★)若三角形ABC 的三边长是a,b,c,且满足:444224442244422,,a b c b c b c a a c c a b a b =+-=+-=+-,则ABC ∆是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形第二部分 角的问题例8. (★★)如图3-4,在三角形ABC 中,042A ∠= ,ABC ∠和ACB ∠的三等分线分别交于D,E,求BDC ∠的度数.例9. (★★★1999年重庆市竞赛题)三角形的三个内角分别为,,αβγ,且αβγ≥≥,2αγ=.则β的取值范围是( )A.003645β≤≤B.004560β≤≤C.006090β≤≤D.004572β≤≤例10. (★★★)如图3-7,延长四边形ABCD 对边AD,BC 交于F ；DC,AB 交于E,若AED ∠,AFB ∠平分线交于O,求证:1()2EOF EAF BCD ∠=∠+∠第三部分边角综合24,例11. (★★★ 2000年江苏省竞赛题)在锐角三角形ABC中,AB>BC>AC,且最大内角比最小内角大0 的取值范围是( ).则A例12. (★★★★)如图3-2,在三角形ABC中，AB>AC>BC,P为三角形内任意一点,连结AP并延长交BC于点D.求证:(1)AB+AC>AD+BC;(2)AB+AC>AP+BP+CP.例13. （★★★★）如图，在三角形ABC中，角A=90度，AD垂直于BC，求证：AB+AC<AD+BC例14.（★★★★）如图，在三角形ABC中，AC>AB,在CA上截取CD=AB,E,F分别是BC,AD的中点，连接EF 并延长交BA的延长线于G,求证：AF=AG例15. (★★★★★)设三角形的三个内角度数分别为A,B,C,相应的对边长分别为a,b,c,求证:60 aA bB cCa b c︒++≥++三、练习题1. (★★)设m,n,p均为自然数,满足m n p≤≤,且m+n+p=15,试问以m,n,p为边长的三角形有多少个?2.(★★ 1998年山东省竞赛题) 已知三角形三边的长均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形周长为奇数,则第三边长的最小值为( )** B.7 C.6 D.43.(★★★)一个三角形的周长为偶数,其中的两条边长分别为4和2003,则满足上述条件的三角形的个数为( )A.1个B.3个C.5个D.7个4.（★ 2002，云南省中考题）两根木棒的长分别是7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，若第三根木棒的长是acm，则a的取值范围是( ).5. (★)ABC 的一个内角的大小是040,且A B ∠=∠,那么C ∠的外角的大小是( )A.140︒B.80︒或100︒C.100︒或140︒D.80︒或140︒6. (★★★)如图3-5,在ABC ∆中,90ACB ︒∠=,D,E 为AB 上的两点,若AE=AC,45DCE ︒∠=则图中与BC 等长的线段是( ) A.CD B.BD C.CE D.AE-BE7. (★★★)如图3-6,在ABC ∆中,B ∠的平分线与C ∠的外角平分线相交于D,40D ︒∠=.则A ∠等于( )A.50︒B. 60︒C. 70︒D.80︒8. (★★ 第12届希望杯竞赛题)如图3-9,127.5︒∠=,295︒∠=,338.5︒∠=求4∠的大小.9. (★★★第5届希望杯竞赛题)如图3-8,BE 是ABD ∠的平分线,CF 是ACD ∠的平分线,BE 与CF 交于G,若140BDC ︒∠=,110BGC ︒∠=,求A ∠的度数.10. （★★★★）如图，三角形ABC 中，AB=BC=CA,AE=CD,AD,BE 相交于P,BQ 垂直于AD 于Q ，求证：BP=2PQ课外小故事五枚金币有个叫阿巴格的人生活在内蒙古草原上.有一次，年少的阿巴格和他爸爸在草原上迷了路，阿巴格又累又怕，到最后快走不动了.爸爸就从兜里掏出5枚硬币，把一枚硬币埋在草地里，把其余4枚放在阿巴格的手上，说：“人生有5枚金币，童年、少年、青年、中年、老年各有一枚，你现在才用了一枚，就是埋在草地里的那一枚，你不能把5枚都扔在草原里，你要一点点地用，每一次都用出不同来，这样才不枉人生一世.今天我们一定要走出草原，你将来也一定要走出草原.世界很大，人活着，就要多走些地方，多看看，不要让你的金币没有用就扔掉.”在父亲的鼓励下，那天阿巴格走出了草原.长大后，阿巴格离开了家乡，成了一名优秀的船长.珍惜生命，就能走出挫折的沼泽.。
直角三角形边角关系知识点
直角三角形边角关系专题复习一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41 2 3 4.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪题型一：三角形内的计算问题（计算三角函数值、面积等） 例1．在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，且21sin =A ，AB=3，求BC ，AC 及B ∠.例2．已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32，求四边形ABCD 的面积。
例3．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是中线，5,4BC CD ==，求AC 的长。
B变式训练：1、ABC Rt ∆中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos 的值为…………………【 】 A 、51 B 、53 C 、 34 D 、 432、在菱形ABCD 中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD 的长是…………………【 】 A 、 38 B 、34 C 、32 D 、83、在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于………【 】 A 、 ３ B 、３00 C 、350D 、1５0 4、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化5、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【 】 A 、B c a sin ⋅= B 、B c a cos ⋅= C 、Bac tan =D 、A a c sin ⋅= 6、等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为120，此三角形面积为 。
九年级数学下册 直角三角形边角关系(同步+复习)精品串讲课件
C
A
D
B
【典例2】△ABC中，AB=AC，2AB=3BC， 求∠B的三个三角函数值。 A
A的对边 A的邻边
B
斜边 ∠A的对边 A ┌ ∠A的邻边 C
一．正切的概念
1. 2. 复习：直角三角形边边关系；角角关系—— 正切的概念
① 直角三角形中，一个锐角的大小一旦确定，它所 对的边与邻边的比值是一个确定的值。 ② 文 直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值叫 做这个角的正切（值）。——是一个比值。 ③ 符 Rt△ABC中，锐角A确定，其对边与邻边的比值 也确定，这个比值叫做∠A的正切，记作： c B a a ∠A的对边 tanA= ———— =— b C b A ∠A的邻边 ④ 正切是对锐角定义的，是一个确定的比值，没有 单位，且与所在的直角三角形大小无关； tanA 是一个完整的符号，如果角用一个字母表示，角 的符号可以省略不写，如果角用三个字母表示， 角的符号不可省略； tanA＞0；变式使用： a=b a tanA或者：b= —— tanA
①
α的对边 α的邻边 α的对边 α的斜边 α的邻边 α的斜边
角定值定 角变值变 角死值死
确定一个角的三个比值：一定角二定比三定值。 三值与角与比是对应的。 ② 都与三角形大小无关，只与角的大小对应的比值。 ③ 每个定义都是三个公式：一求比（角）二求两边。 ④ 0＜ sin α ＜1； 0＜ cos α ＜1； tan α任意大 ⑤ 平方： sin2 α= (sin α)2 ，而sin α2 则无意义。
┌
C
四．三角函数的概念及锐角三角函数的关系
1. 用函数的观点看： tan α 、sin α、 cos α 都是角α的函数。即：y= tan α、 y= sin α、 y= cos α 分别是锐角α的正切、正弦、余弦 函数。自变量取值范围：0＜ α＜90° 对于任意锐角α，各三角函数之间的关系
直角三角形的边角关系三角函数的计算讲课课件
互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB,tanA*tanB=1.
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1.
sin A tan A . cos A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
例1 小山顶上有一电视塔，在 山脚C处测得塔顶A、塔底B的 仰角分别为45°和30°. 若塔高AB = 40m，则山高BD ≈ m（精确到1m)；
第一章 直角三角形的边角关系
1.3.1 三角函数的有关计算
回顾与思考
直角三角的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. A+B=900. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余
a sin A cos B , c
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
b cos A sin B , c
a sin A , c b cos A , c a tan A , b
a c sin A. b c cos A.
a b tan A.
a c . sin A b c . cos A a b . tan A
A
作业布置
习题1.4 1,2题;
A
B
C 图1-13
D
1 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各 边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
4cm
450 300
B
C
2 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余 各边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
0 300 45 ┌ B 4cm C D
小结拓展 直角三角形中的边角关系
已知两边求角 已知一边一角 已知一边一角 及其三角函数 求另一边 求另一边 B c ┌ b C a
直角三角形边角关系辅导讲义
直角三角形边角关系辅导讲义年 级: 九年级下 第 课时学生姓名: 辅导科目: 数学 教师: 课 题 第一章：直角三角形边角关系授课时间：备课时间：教学目标1、理解锐角三角的概念，熟练掌握直角三角形的边角关系，及会计算特殊角的 三角函数的问题2、能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题重点、难点重点：1、会计算含特殊角的三角函数值的问题2、能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 难点：能运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题考点及考试要求1、会计算含特殊角的三角函数值的问题2、灵活运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 辅助资料中考数学资料教学内容※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
※二. 正弦．．： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;图1※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒= ②)90cot(tan A A ∠-︒=； )90tan(cot A A ∠-︒=※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导
《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习要求：1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。
会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和 高。
2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。
3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。
4．了解三角形的稳定性。
知识要点：一、三角形中的边角关系1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。
注意：三角形的中线平分三角形的面积。
2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。
3．三角形各角之间的关系：①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。
②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4．三角形的分类①三角形按边的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形角形底和腰不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形②三角形按角的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧∆)()()(形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形Rt5．三角形具有稳定性。
知识结构：二、命题与证明1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。
2．命题都可以写成：“如果……，那么……。
”的形式。
为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。
3．命题由题设、结论两部分组成。
“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。
4．命题分为真命题和假命题。
真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。
5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。
解直角三角形一对一讲义
变式训练： 3．已知锐角△ ABC 中，AD⊥ BC 于 D，∠ B=450，DC=1，且
S ABC =3，则 AB=
（ ）
。
4．已知△ ABC 中，AD 是高，AD=2，DB=2，CD=2 3 ，则∠ BAC= (A) 1050 题型 4 仰角和俯角 (B) 150 (C) 1050 或 150 (D) 600
B
1 2
B.
3 3
C. 1
D.
3
3. 在△ ABC 中，若 cos A 2 ， tan B
2
3 ，则这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图 18，在△ EFG 中，∠ EFG=90° ，FH⊥ EG，下面等式中，错误的是（ ） A. sin G EF C. sin G GH
2. 如图 22，在△ ABC 中，∠ C=90° ，∠ BAC=30° ，AD=AB，求 tanD。
3. 已知直角三角形中两条直角边的差是 7cm，斜边的长是 13cm，求较小锐角 α 的各三角函数值。
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题型 3 解斜三角形 1.如图 6 所示，已知：在△ ABC 中，∠ A=60° ，∠ B=45° ，AB=8，• 求△ ABC 的面积（结果 可保留根号） ．
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2.如图，海上有一灯塔 P，在它周围 3 海里处有暗礁，• 一艘客轮以 9 海里/时的速度由西向东航行，行至 A 点处测 得 P 在它的北偏东 60° 的方向，继续行驶 20 分钟后，到达 B 处又测得灯塔 P 在它的北偏东 45° 方向，问客轮不改变 方向继续前进有无触礁的危险？
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明(教材知识盘点+典例诠释解法+中考无缝对接,12页,PDF)
三边” 可以判断三条线段能否组成三角形. 取值范围是 m - n < x < m + n.
形的三边) ,Байду номын сангаас
边之和. 若三角形的两边长为 m, n ( m ≥ n ) , 则第三边长 x 的
长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
所以∠A = ∠2 . ( 等量代换)
所以∠3 = ∠B,∠DEC = ∠A. ( 两直线平行,同位角相等)
又因为∠1+∠2+∠3 = 180 ° ,( 平角的定义) 所以∠A +∠B +∠C = 180 °. ( 等量代换) 方法四:如图 13-1-7, 过点 A 任作直线 l1 ( 不平行于三角
图 13-1-1
包括等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形, 即底边和 腰相等的等腰三角形. 2 三角形按角分类 形;有一个角是直角的三角形叫做 直角三角形; 有一个角是钝 角的三角形叫做钝角三角形. 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边,直角相对的边叫 (2) 三角形按角的大小分类: (1) 三角形中, 三个角 都是 锐角 的三角形叫做 锐角三角
1 三角形的定义 由不在同一条直线上 的 三条 线段 首尾依次相接 所组成的 图形叫做三角形. 注意:(1) 三条线段必须 不在同一直线上” 才能组成三角
知识点 2 三角形的分类 ( 重点㊁难点)
1 三角形按边分类 形;有两条边相等的三角形叫做 等腰三角形; 三条边都相等 的 三角形叫做等边三角形( 又叫做正三角形) . 等腰三角形中,相等的两边叫做腰,第三边叫做底边. 两腰 (2) 三角形按边长关系分类: (1) 三角形中,三条边互不相等 的三角形叫做 不等边三角
第 13 章 三角形中的边角关系㊁命题与证明
13.1三角形中的边角关系 第1课时 三角形中边的关系 课件2024-2025学年沪科版数学八上册
新知讲解
三角形的构成要素：
点 A，B，C 叫做这个三角形的顶点； 线段 AB，BC，CA 叫做这个三角形的边； ∠A，∠B，∠C 叫做这个三角形的内角，简称三角形角．
新知讲解
三角形的表示： 我们把这个三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．
新知讲解
三角形边的表示：
三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示： 如边 BC 对着∠A，记作 A；边 CA 记作 B；边 AB 记作 C.
作业布置
【综合拓展类作业】 6.如图①,D为△ABC的边AC上任意一点，连接BD,E为BD上任 意一点,连接CE.
(1)用不等号“>”或“<”填空: AB十AC ＞ DB十DC,DB十DC ＞
EB+ EC;
作业布置
【综合拓展类作业】 (2)如图②,M,N是△ABC内任意两点,试探索AB+AC与BM十 MN+NC之间的大小关系,并写出探究过程.
解：(2)延长BM交AC于点D,延长CN交BD于点E. 由(1)可得AB+AC> DB+DC> EB+ EC. ∵EB+EC=EM+BM+EN+NC=(EM+EN)+BM+NC, EM+EN>MN, ∴EB+ EC>MN+BM+NC, ∴AB+AC>BM+MN+NC.
新知讲解
任务二：三角形的分类 三角形的分类：
三角形中，三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形； 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三条边都相等的三角形叫做等边三角形， 又叫做正三角形.
新知讲解
等腰三角形：
三角形中边角关系--知识讲解(基础)
三角形中边角关系--知识讲解（基础）撰稿：张晓新责编：孙景艳【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．2. 理解三角形内角和定理的证明方法；3. 掌握并会把三角形按边和角分类，会应用三角形三边之间的关系；4. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．【要点梳理】要点一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾依次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．要点二、三角形的分类1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形要点诠释：①不等边三角形：三边都不相等的三角形；②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;③等边三角形：三边都相等的三角形.要点三、三角形的三边关系定理：三角形中任何两边的和大于第三边.推论：三角形中任何两边的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系．要点四、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点五、三角形中几条重要线段1.三角形高线、中线、角平分线三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．图形语言作图语言过点A作AD⊥BC于点D．取BC边的中点D，连接AD．作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．标示图形符号语言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC边上的高．3．AD⊥BC于点D．1．AD是△ABC的中线．2．AD是△ABC中BC边上的中线．1．AD是△ABC的角平分线．2．AD平分∠BAC，交BC于点D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°) 3．BD＝DC＝12BC4．点D是BC边的中点．3．∠1＝∠2＝12∠BAC．推理语言因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝12BC．因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝12∠BAC．用途举例1．线段垂直．2．角度相等．1．线段相等．2．面积相等．角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内．—与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．2.三角形的重心三角形的重心：三角形三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.3.定义定义：明确界定某个对象含义的语句叫做定义.【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的分类3. 一个三角形中，一个内角的度数等于另外两个内角的和的2倍，这个三角形是（）三角形A. 锐角B. 直角C. 钝角D.无法判断【答案】C【解析】利用三角形内角和是180°以及已知条件，可以得到其中较大内角的度数为120°，所以三角形为钝角三角形.【总结升华】可以利用方程求角的度数.举一反三【变式】一个三角形的三个内角分别是75°、30°、75°，这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 等腰锐角三角形D.等边三角形【答案】C类型三、三角形的三边关系4.三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【思路点拨】三角形三边关系的性质，即三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．注意这里有“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般取“差”的绝对值． 【答案】D【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A 、B 、C 三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D 选项中，2cm+3cm ＞4cm ．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形． 举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8. 【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.5.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______. 【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7,即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b. 举一反三：【变式】已知三角形的两边长为4，8，则第三边的长度可以是________(写出一个即可) 【答案】5，注：答案不唯一，填写大于4，小于12的数都对．类型四、三角形中重要线段6. (江苏连云港)小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( ) ．【答案】C；【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．【总结升华】锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高，并且三条高所在的直线交于一点．这里一定要注意钝角三角形的高中有两条高在三角形的外部．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC，试画出△ABC各边上的高．【答案】解：所画三角形的高如图所示．7.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ， 求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3． 【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ， 故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3． 又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3． 又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5． 答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法． 举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1.。
三角形中的边角关系知识点
三角形中的边角关系知识点三角形是几何学中最基本的图形之一，在三角形中，边角关系是非常重要的知识点。
边角关系指的是三角形中各边与各角之间的关系，包括角的和、角的差、角的内外切关系、角的内分线和外分线等。
下面将详细介绍三角形中的边角关系知识点。
一、角的和和差关系在任意三角形中，三个内角的和等于180度。
也就是说，对于三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°。
当已知三个角中的两个角度时，可以通过角的和的关系求出第三个角的度数。
例如，已知∠A=45°，∠B=60°，通过角的和关系可以求得：∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°除了角的和的关系，还有角的差的关系。
例如，对于任意三角形ABC，有∠A-∠B=∠C。
二、角的内外切关系一个角的内切关系是指这个角的内心位于这个角的顶点的射线上。
在三角形中，任意两个内切角的和为180度。
例如，对于三角形ABC，角A、角B和角C的内切角均为30°。
根据角的内切关系，可以得到：∠A+∠B+∠C=180°30°+30°+∠C=180°∠C=180°-30°-30°=120°角的外切关系与内切关系类似，不同之处在于内切角的内心位于角的内部，而外切角的外心位于角的外部。
同样地，任意两个外切角的和为180度。
三、角的内分线和外分线角的内分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线。
角的外分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的补角的射线。
在三角形中，一个角的内分线和外分线有重要的性质：它们与对边相交于三角形的内心和外心。
内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心。
四、边与边的关系在三角形中，边与边之间也有一些重要的关系。
1.边的和大于第三边对于任意三角形ABC，边AC和边BC的和大于边AB。
直角三角形的边角关系知识点
直角三角形的边角关系知识点1. 直角三角形的一个重要知识点就是勾股定理呀！你看，就像一个稳固的架子，两直角边的平方和等于斜边的平方，这好神奇的呢！比如说，一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那斜边不就可以通过 3 的平方加上 4 的平方等于 25，开个根号得到 5，对吧。
2. 还有呢，直角三角形中锐角的正弦值。
哎呀，这就像一把钥匙，可以打开很多解题的大门哟！比如在一个直角三角形中，一个锐角的对边是 5，斜边是 13，那这个锐角的正弦值不就是 5 除以 13 嘛。
3. 直角三角形里锐角的余弦值也很重要呀！就像是给你指引方向的指南针呢！像是一个直角三角形中，一个锐角相邻的直角边是 12，斜边是 13，那这个锐角的余弦值就是 12 除以 13 呀。
4. 那锐角的正切值呢，这可不能落下呀！它就像一个小火箭，能快速让你找到答案呢！比如一个直角三角形中，一个锐角的对边是6，相邻直角边是8，正切值不就是 6 除以 8 嘛。
5. 直角三角形中还有互为余角的三角函数关系呢！哇哦，这可太有意思了，就像好朋友互相帮助一样。
比如一个锐角的正弦值和它的余角的余弦值是相等的呢。
6. 斜边与直角边的比例关系也很关键呢！这就像找到了一个巧妙的规律！例如，一个斜边是 10，直角边是 5 的直角三角形，它们之间的比例不就很明显嘛。
7. 直角三角形特殊角的三角函数值，那可是必须要知道的呀！好比是特别的宝藏。
比如 30 度角的正弦值是二分之一，是不是很特别。
8. 你知道吗，直角三角形中角和边是相辅相成的呀！这就像一对好搭档。
边的长度变化，角也会跟着变呢。
9. 直角三角形的这些知识点真的非常有用呀，在生活中很多地方都能用得到，不管是建房子还是算距离，都离不开它们呢！所以一定要好好掌握啊！。
八年级数学上第13章三角形中的边角关系命题与证明13.1三角形中的边角关系3三角形中几条重要线段授课
感悟新知
例4 如图，在△ABC 中，AD，BE 分别是△ABC， 知2－练 △ABD的中线. （1）若△ABD与△ADC的周长之差为 3，AB=8，求 AC 的长. （2）若S△AB间 的关系和面积之间的关系解题.
感悟新知
解：（1）因为AD为BC边上的中线，
B．CE是△BCD的角平分线 C． 3 1 ACB
2
D．CE是△ABC的角平分线
知1－练
感悟新知
知识点 2 三角形的中线
知2－讲
1.定义：连接三角形一个顶点和它对边的中点，所得的 线段叫做该三角形这条边上的中线．
2.位置图例：任何三角形的三条中线都交于一点，且该 点在三角形内部，如图，这 个点叫做三角形的重心．
感悟新知
总结
知2－讲
三角形的中线把边分成相等的两条线段，故BD=CD，
且△ ABD 的边BD上的高与△ACD 的边CD上的高相同，
根据等底同高的三角形的面积相等，可得所分得的两个
三角形的面积相等，即S△ ABD=S△ ADC=
1 2
S△ABC.
感悟新知
知2－练
例5 张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．
1 (中考·长沙)过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以 下作法正确的是( )
感悟新知
知3－练
2 下列说法中正确的是( ) A．三角形的三条高都在三角形内 B．直角三角形只有一条高 C．锐角三角形的三条高都在三角形内 D．三角形每一边上的高都小于其他两边
感悟新知
知识点 4 定义
知4－讲
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义. 今后我们还会学习许多定义.
感悟新知
知3－练
解：以A，B，C，D，E中的三点为顶点的三角形有 △ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，
直角三角形的边角关系讲义
直角三角形的边角关系（讲义）一、知识点睛1． 在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =________，cos A =________，tan A =________．2． 在Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角A 越大，正弦sin A ______，余弦cos A ______，正切tan A ______． 3． 特殊角的三角函数值：60°45°30°α正切 tan α余弦 cos α正弦 sin α 4． 计算三角函数值，关键在于_______或______直角三角形．二、精讲精练1. 下列说法正确的是（ ）A ．在△ABC 中，若∠A 的对边是3，一条邻边是5，则tan A 35=B ．将一个三角形的各边扩大3倍，则其中一个角的正弦值也扩大3倍C ．在锐角三角形ABC 中，已知∠A =60°，那么cos A 12=D ．一定存在一个锐角A ，使得sin A =1.23 2. △ABC 中，∠C =90°，AB =8，cos A 34=，则AC 的长是_______． 3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，根据下列条件填空： （1）a =2，b =1，则sin A =__________； （2）a =4，tan A =1.5，则b =_________； （3）3a，则sin A =__________．4. 在锐角三角形ABC|tan 0B =，则∠C =_______． 5. △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有|tan B+(2sin A -20=，则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形6. 已知∠A为锐角，且cos 2A >，则∠A 的值（ ） A ．小于45° B ．小于30°C ．大于45°D ．大于30°ACB7. 当45°<∠A <90°时，下列不等式中正确的是（ ）A ．tan cos sin A A A >>B ．cos tan sin A A A >>C ．sin tan cos A A A >>D ．tan sin cos A A A >>8. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，︒=∠30C ，2BC =+1tan 2B =，那么AD 的长是（ ）A ．12B ．1 C．12+ D．1+C D BA第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，cosB =sinC 35=，AC =5，则△ABC 的面积是（ ）A ．212B ．12C ．14D ．2110. 计算：22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30︒+︒+︒-︒+︒20sin30(cos60)(sin 45tan30)2tan 60-︒-︒+︒-︒-︒AB C11. 如图，已知P 是正方形ABCD 内一点，△PBC 为正三角形，则tan ∠PAB 的值是（ ） A．B．2CDPD CB A第11题图 第12题图12. 如图，D 是△ABC 中AC 边上一点，CD =2AD ，AE ⊥BC 于点E ，若BD =8，sin ∠CBD 34=，则AE 的长为___________．13. 如图，A ，B ，C 三点在正方形网格 线的交点处，将△ACB 绕着点A 逆 时针旋转得到△AC′B′，若A ，C ，B′ 三点共线，则tan ∠B ′CB =________．14. 如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 是AB 边上一点，∠ACD =37°，∠BCD =26°30′，AC=60，求AD ，CD 及AB 的长．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8）DCBA15. 如图，在△ABC 中，∠B =37°，∠C =67.5°，AB =10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41，tan22.5°≈0.41）BCA67.5°37°图EDCB AC'B'BCA16. 如图，在△ABC 中，∠CAB =120°，AB =4，AC =2，AD ⊥BC 于点D ，求AD的长．DCBA三、回顾与思考 知识点睛1．斜边的对边A ∠、斜边的邻边A ∠，的邻边的对边A A ∠∠．2．越大，越小，越大． 3．4精讲精练1．C2．63．（1）552； （2）38； （3）21． 4．75° 5．D 6．A7．D8．B9．A10．2；35+11．A12．913．214．AD =45；CD =75；AB =120． 15．10.516．7212直角三角形的边角关系（随堂测试）1. 在△ABC 中，∠A ，∠B 为锐角，且21|sin cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形2. 如图，在△ABC 中，AB =AC =1，∠A =36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是_____________，cos A 的值是_____________．（结果保留根号）D CB AFEDCBA第2题图 第3题图3. 小明在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，展开后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（ ） ABC ．2.5 D【参考答案】1．D23．B直角三角形的边角关系（作业）1. 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A ．扩大2倍B ．缩小2倍C ．没有变化D ．不确定2. 在Rt △ABC 中，若∠C =90°，AC =1，BC =2，则下列结论中正确的是（ ）A．sin B =B ．2cos 5B =C ．tan 2B =D ．1cos 5B =3. 在△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且21|sin |cos 02A B ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则这个三角形是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形4. 若∠A 为锐角，且cos A 的值大于12，则∠A （ ）A ．大于30°B ．小于30°C ．大于60°D ．小于60°5. 已知β为锐角，且tan 3β<≤β的取值范围是（ ） A ．3060β︒︒≤≤ B ．3060β︒<︒≤ C ．3060β︒<︒≤ D ．30β<︒6. 如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，垂足为E ，设∠ADE =α，若3cos 5α=，AB =4，则AD 的长为（ ）A ．3B ．163C ．203D ．165 ED C BA E DB A第6题图 第7题图7. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，若3cos 5A =，BE =2，则tan ∠DBE =_________．8. 在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，若AB =6，BC =2，则cos A =______．9. 在△ABC 中，∠A =120°，若AB =4，AC =2，则sin B =______．10.如图，在△ABC中，AB=A C，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接C D．如果A D=1，那么tan∠BCD=______．EDCBA第10题图第11题图11.如图，在△ABC中，若∠C=90°，3sin5B=，AD平分∠CAB，则sin∠CAD=______．12.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值为（）A．12B．C．10D．513.计算：（1）26tan30602tan45︒︒+︒；（2）cos30sin45sin60cos45︒-︒︒-︒；（3）)206011tan453-︒⎛⎫-+ ⎪︒⎝⎭；（4tan60︒．B CADCB A14.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tan B=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若12sin13C=，BC=12，求AD的长．15.如图，在△ABC中，∠A=26.6°，∠B=45°，AC=52，求AB的长.（参考数据：tan26.6°≈0.50）16.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数2 yx =点B在反比例函数kyx=的图象上，且OA⊥OB，tan A=（）A．-3 B．-6 C．D．-17.若(-3，1y)，(1，2y)，(2，3y)三点均在反比例函数||2kyx--=则下列结论中正确的是（）A．123y y y>>B．132y y y>>C．312y y y>>D．231y y y>>CBA45°26.6°D CBA【参考答案】1．C 2．A 3．D 4．D 5．C6．B7．28．3229101 11．5512．B13．（1）25； （2）1； （3）7； （4）-1．14．（1）证明略； （2）8． 15．616．B17．B测量类应用题（讲义）一、知识点睛1.正切常用来描述山坡的坡度．坡度也叫_________，指的是坡面的___________与____________的比．2.测量类应用题常见类型有：测量物体的高度、船是否会触礁，侧重于_____________和_____________．①解直角三角形，需要在________和________集中处，寻找或构造_________，利用三角函数，表达线段长、建等式；②结果判断指的是根据题意确定符合要求的标准或范围，计算结果与标准对比来确定符合题意的结果．二、精讲精练1.如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B，F，C 在一条直线上）．（1）求教学楼AB的高度；（2）学校要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）DFAB CE22°45°2.如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度i=1AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数≈1.414，3≈1.732）BCDE60°45°3.如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿A D C B→→→到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B 地．已知BC=11km，∠A=45°，∠B=37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km1.41，sin37︒≈0.60，cos37︒≈0.80）4.如图，海上有一灯塔P，在它周围6海里内有暗礁．一艘海轮以18海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上，继续向东行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°的方向上，如果海轮不改变方向继续前进，有没有触礁的危险？PA B东北5.如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（说明：两问的计算结果均精确到0.1米，参考数据：.24≈2.45）（1）求新传送带AC的长度；（2）若需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．6.如图所示，山坡上有一棵与地面垂直的大树AB，一场大风过后，大树被刮倾斜后从点C处折断倒在山坡上，树的顶部D恰好接触到坡面AE上．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m．（1）求∠CAE的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数≈1.4≈1.7≈2.4）D23°60°CB38°A7.已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC 方向航行，15min后到达C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长．（精确到0.1km，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50≈1.41）东观测点港口CABD三、回顾与思考【参考答案】知识点睛1．坡比，铅直高度，水平宽度．2．解直角三角形，结果判断．①线段，角度，直角三角形．精讲精练1．（1）教学楼AB的高度为12m；（2）A，E之间的距离为27m．2．这块宣传牌CD的高度为2.7米．3．比原来少走4.9km．4．没有触礁的危险．5．（1）新传送带AC的长度为5.7米；（2）需要挪走，理由略．6．（1）75°；（2）这棵大树折断前的高度为10米．7．13.4km．测量类应用题（随堂测试）1.如图，某海滨浴场东西走向的海岸线可近似地看作直线l．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙，乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去，若CD=40米，B在C北偏东35°的方向上，甲、乙的游泳速度均为2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）【参考答案】1．乙先到达B处，理由略．测量类应用题（作业）1.如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C位于北偏西30°的方向上，轮船继续航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C位于北偏西60°的方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向上的D求轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）解：由题意得∠CAD=30°，∠CBD=60°，∴______________，∴BC=AB=__________．在__________中，∠CBD=60°，BC=40，______________________，∴CD=BC·sin∠CBD=_______________．因此，当轮船到达D处时，与灯塔C的距离为__________．2. 某市正在进行商业街改造，商业街起点在古民居P 的南偏西60°方向上的A处，现已改造至古民居P 南偏西30°方向上的B 处，A 与B 相距150m ，且B 在A 的正东方向．为不破坏古民居的风貌，按照有关规定，在古民居周围100m 以内不得修建现代化商业街．若工程队继续向正东方向修建200m 商业街到C 处，则对于从B 到C 的商业街改造是否违反有关规定？3. 三楚第一山——东方山是黄石地区的佛教圣地，也是国家AAA 级游览景区，它的主峰海拔约为600米．如图，主峰AB 上建有一座电信信号发射架BC ，在山脚P 处测得峰顶的仰角为α，发射架顶端的仰角为β，其中3tan 5α=，5tan 8β=，求发射架BC 的高度．4. 如图，为了测量某山AB 的高度，小明先在山脚C 点测得山顶A 的仰角为45°，然后沿坡度为1的斜坡走100米到达D 点，在D 点测得山顶A 的仰角为30°，求山AB 的高度．（结果精确到0.1≈1.73）45°DCBA30°5.小亮和课外兴趣小组的伙伴们在课外活动中观察大吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高度OO′=2米，当吊臂顶端由A′点降落至A点（吊臂长度不变）时，所吊装的重物（大小忽略不计）从B′处恰好放到地面上的B处，紧绷着的吊缆AB=A′面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=201sin2A'=．（1）求此重物在水平方向移动的距离BC；（2）求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）6.如图，直线122y x=-+与x轴交于点C，与y轴交于点D，以CD为边作矩形C D A B，点A在x轴上．若双曲线kyx=（0k<，0x>）经过点B，与直线C D交于点E，EM⊥x轴于点M，则S四边形BEMC=__________．7. 如图所示，R t △A B O 的顶点A 是双曲线1ky x =与直线 2(1)y x k =--+在第二象限内的交点，AB ⊥x 轴于点B ，且S △ABO 32=．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据函数图象可知，当12y y >时，x 的取值范围是 __________________；（3）求直线与双曲线的两个交点A ，C 的坐标以及△AOC 的面积．【参考答案】1．解：由题意得∠CAD =30°，∠CBD =60°， ∴∠ACB =30°， ∴BC =AB =20×2=40．在Rt △CBD 中，∠CBD =60°，BC =40，sin CDCBD BC ∠=， ∴CD =BC ·sin ∠CBD=40=． 因此，当轮船到达D 处时，与灯塔C的距离为． 2．不违反有关规定．3．发射架BC 的高度为25米． 4．山AB 的高度为236.5米． 5．（1）6米；（2）(12310-)米．6．277．（1）13y x=-，22y x =-+；（2）10x -<<或3x >；（3）A (-1，3)，C (3，-1)，△AOC 的面积为4．。
13.1.2 三角形中角的关系(课件)沪科版数学八年级上册
课堂小结
三角形中角的关系
三角
直角三角形
内角和 三个内角的 形中 按角的大
等于180° 数量关系 角的 小分类
关系
斜三角形
感悟新知
例 2 ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
知2－练
(1)已知∠A＝40°，∠B＝∠C，求∠B，∠C的度数；
(2)已知∠A－∠B＝16°，∠C＝54°，求∠A，∠B
的度数；
(3)已知∠A＝12∠B＝13∠C，求∠A，∠B，∠C的度数. 解题秘方：紧扣三角形的内角和定理建立方程(组)求解.
感悟新知
21.2-2)、剪拼(图13.1.2-3)的方法，将
三角形的三个角拼在一起，得到三角形的内角和，这体现
了数学中的转化思想.
感悟新知
知2－讲
特别解读 “三角形的内角和等于180°”揭示了三角形的三个内
角之间的数量关系. 若已知三角形中任意两个角的度数， 则可以求得第三个角的度数;若已知三个角的关系或三个 角的度数之比，可以求各个角的度数.
感悟新知
知1－练
解：(1)因为三个角都是锐角，所以△ABC是锐角三角形. (2)因为∠C＝120°＞90°，所以△ABC是钝角三角形. (3)因为∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形. 由角的大小判断三角形形状的方法： (1)若最大角为锐角，则该三角形为锐角三角形； (2)若最大角为直角，则该三角形为直角三角形； (3)若最大角为钝角，则该三角形为钝角三角形.
两个锐角.
2. 三角形按边分类和按角分类是两种不同的分类方式，各
自独立，无论按哪种标准分类,原则都是不重不漏.
3. 等腰直角三角形，按边分类属于等腰三角形，按角分类
属于直角三角形.
感悟新知
解三角形之边角关系型与几何图形型-讲义(学生版)
中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， 且
．
（ 1 ）求
的值．
（ 2 ）若
，求 的取值范围．
21. 已知 （ 1 ）求 （ 2 ）若
的三个内角 ， ， 满足 ．
， 是角 的对边，
，求
． 的面积．
22. 在
中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，且满足
．
（ 1 ）若 （ 2 ）若
，
，求 ．
，
，求
的面积 ．
(2).利用三角形面积公式，（主要应用（2）关系式）
①
( 、 、 分别表示a、b、c上的高)；
②
．
（3）若求面积的范围，主要应用面积公式中角的范围求解，在这里注意判断应用角的范围，以及题中
是否限定条件（如：锐角三角形）
（4）对于已知三角形三边求面积的题目，一般是先利用余弦定理求出一个角的余弦，然后求出该角的
．
（ 1 ）求角 的大小．
（ 2 ）若
的面积
， ，求
的值．
12. 已知
外接圆半径为 ，其内角 ， ， 的对边长分别为 ， ， ，设
．
（ 1 ）求角 ．
（ 2 ）若
， ，求 的值．
13.
的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， 设
．
（ 1 ）求 ．
（ 2 ）求
的取值范围．
14. 在
中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知
正弦，最后用
求面积．
4、求周长
(1)求三角形周长就是将三边相加：
(2)对于已知三角形面积问题，一般应用三角形面积求得三角形两边的乘积，然后利用余弦定理求得这两
个边的平方和，利用完全平方公式求得此两边的和；
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教学目标 1、了解三角形的概念，掌握分类思想。
2、经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。
3、让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。
重点、难点了解三角形的分类，弄清三角形三边关系；对两边之差小于第三边的领悟 考点及考试要求 考点1：三角形边与边的关系 考点2：三角形角与角的关系考点3：三角形边与角的关系教 学 内 容第一课时 三角形边角中的边角关系知识梳理1.以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，4 cmB ．8 crn ，6cm ，4cmC ．12 cm ，5 cm ，6 cmD ．2 cm ，3 cm ，6 cm2.等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ）A ．15cmB ．20cmC ．25 cmD ．20 cm 或25 cm3.如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=6，AC=35，AD=2，∠D=90○，求CD 的长和四边形 ABCD 的面积．4.三角形中，最多有一个锐角，至少有_____个锐角，最多有______个钝角（或直角），三角形外角中，最多有______个钝角，最多有______个锐角．5.两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长xcm 的范围是__________三角形边角性质主要的有：1. 边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第三条线段，即最长边必须小于其他两边和。
用式子表示如下：知识梳理课前检测a,b,c 是△ABC 的边长b a c b a b a c a c b c b a +<-⇔⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>+⇔＜推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和2. 角与角的关系是：三角形三个内角和等于180ο；任意一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
推广到任意多边形：四边形内角和=2×180ο， 五边形内角和=3×180ο六边形内角和=4×180ο n 边形内角和=(n －2) 180ο3. 三角形的分类（1）按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 （2）按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形4. 三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。
（2）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高。
第二课时 三角形边角中的边角关系知识点分析知识点一：三角形概念及分类学生自学课本67页内容，并完成下列问题：1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段________________所成的封闭图形叫做三角形。
要点分析A如图，线段____、______、______是三角形的边；点A、B、C是三角形的；_____、______、_______是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
图中三角形记作________。
读作。
三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示：如边BC对着∠A,记作a, 边AC记作 , 边AB记作 .2、三角形按边长关系可分为________________________( )3、如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,腰是__________，底是_________,顶角指_______，底角指_____________.等边三角形DEF是特殊的_______三角形，DE=____=_____.知识点二：知道三角形三边的不等关系，并判断三条线段能否构成三角形1、探究：请学生画一个△ABC，分别量出AB，BC，AC的长，并比较下列各式的大小：AB+BC_____AC AB+ AC _____ BC AC +BC _____ AB从中你可以得出结论：__________________________________________。
2、对应练习：（1）下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）3，4，8；（2）5，6，11；（3）5，6，10（2）有四根木条，长度分别是12cm、10cm、8cm、4cm，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是______个。
（3）如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（）A、1B、9C、3D、103、阅读课本68页例题,仿照例题解法完成下面这个问题：仿例：一个三角形有两条边相等，周长为20cm，三角形的一边长6cm，求其他两边长。
1、一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（）A、7B、9C、12D、9或12AB CDE F三角形2、若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为___________.3、若△ABC的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是___________.4、已知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3，5，x为边能组成______个三角形.知识点三：三角形按角分类学生自学课本69-70页课文，并完成下列问题：1、三角形按角的大小可分为：____________三角形____________2、如图直角三角形中，直角边是，斜边是，此三角形可表示为：知识点四：探究三角形的内角和定理1、自学课本70页内容，利用手中的硬纸片运用拼合法探究三角形的内角和。
（1）在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码（2）叫几名同学到黑板运用不同的方法粘贴演示。
2、归纳：三角形的内角和等于180°。
知识点五：应用三角形内角和定理解决简单的实际问题1、填空：（1）在△ABC中，∠A = 60°∠B = 30°，则∠C = ；（2）三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为；（3）在△ABC中，∠A =∠B = 4∠C，则∠C = ；（4）在△ABC中，∠A = 40°，∠B =∠C，则∠B = ；判断：（1）三角形中最大的角是ο70，那么这个三角形是锐角三角形（）（2）一个三角形中最多只有一个钝角或直角（）（3）一个等腰三角形一定是锐角三角形（）（4）一个三角形最少有一个角不大于ο60（）知识点六：认识三角形的角平分线、中线、高线。
1、学生自学课本71页内容.知识点七：会画三角形的高线，利用其解决相关问题1、作出下列三角形三边上的高：2、由作图可得出如下结论：（1）三角形的三条高线所在的直线相交于点；（2）锐角三角形的三条高相交三角形的；（3）钝角三角形的三条高所在直线相交三角形的；（4）直角三角形的三条高相交三角形的。
知识点八：会画三角形的中线，利用其解决相关问题1、作出下列三角形三边上的中线2、AD是△ABC的边BC上的中线，则有BD = =21，3、由作图可得出如下结论：三角形的三条中线相交于点。
这个交点叫做三角形的重心。
知识点九：会画三角形的角平分线，利用其解决相关问题1、作出下列三角形三角的角平分线：AC BACBACBACBACBACB2、由作图可得出如下结论：三角形的三条角平分线相交于点。
1.本节课我们学习了：2.你学到了什么？第三课时三角形边角中的边角关系课堂检测1．（2014春•泗县校级期中）图中三角形的个数是（）A．8个B．9个C．10个D．11个2．（2014秋•宝坻区校级期中）如图，图中共有三角形（）A．4个B．5个C．6个D．8个3．（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．4．（2015•广安）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（）课堂检测师生小结A．B．C．D．5．（2015•东西湖区校级模拟）如图，∠EOF内有一定点P，过点P的一条直线分别交射线OE于A，射线OF于B．当满足下列哪个条件时，△AOB的面积一定最小（）A．O A=OB B．O P为△AOB的角平分线C．O P为△AOB的高D．O P为△AOB的中线6．（2015•沂源县一模）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为平方厘米，则此方格纸的面积为（）A．11平方厘米B．12平方厘米C．13平方厘米D．14平方厘米7．（2015•大连）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．1，，3 C．3，4，8 D．4，5，68．（2015•泉州）已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5C．2D．19．（2015•绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（）A．118°B．119°C．120°D．121°10．（2015•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）A．45°B．60°C．75°D．90°11．（2015•呼和浩特一模）一个等腰但不等边的三角形，它的角平分线、高、中线的总条数为条．12．（2015•东莞）如图，△ABC三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，若S=12，则图中阴影部分△ABC的面积是．13．（2015•佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有个．14．（2015春•潜江校级期中）一个三角形的周长为81cm，三边长的比为2：3：4，则最长边比最短边长．15．（2013秋•鲤城区校级期末）一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c=2：3：4，求a，b，c的值．16．（2015春•泉州期中）如图，在△ABC中，BE⊥AC，BC=5cm，AC=8cm，BE=3cm，（1）求△ABC的面积；（2）画出△ABC中的BC边上的高AD，并求出AD的值．17．（2015春•泉州期中）如图所示．（1）填空：∠1+∠2+∠3= °．（2）请用一种方法说明理由．18．（2015春•江阴市期中）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON 上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD=∠ABD时，x= ；当∠BAD=∠BDA时，x= ．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．19.（2015•同安区一模）已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求∠A的度数．。