关于数列通项公式问题的探讨

摘要：数列是高中数学中很重要的内容之一，是高考的热点；而递推数列又是数列的重要内容，是高考的亮点。

本文对几类常见的递推数列求通项问题进行了探讨。

关键词：数列；递推数列；通项公式作者简介：李文彪，任教于四川内江隆昌一中。

?数列是高中数学中很重要的内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容，是高考的亮点，在近几年的高考中，纵观各地高考数学试题，“递推数列”几乎为必考题，且多以“把关题”的姿态出现。

特别是2008年高考中，全国19套文理试卷中共有30多道数列问题，其中递推数列有20多道。

数列中蕴含着丰富的数学思想，而递推数列的通项问题具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和化归能力的好素材，既可考查等价转化与化归这一数学思想，又能反映考生对等差与等比数列理解的深度，具有一定的技巧性。

因此经常渗透在高考试题和竞赛中。

本文对几类常见的递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。

求递推数列通项的常见方法有：1.猜——证；2.累加、累乘；3.迭代法；4.构造法（转化为等差、等比数列）。

引例：已知数列{an}满足：①已知数列{an}中，a1＝2，an+1－an＝2，求通项 an=?；②已知数列{an}中，a1＝1，，求通项 an＝??????? 。

以此题为背景，考试命题常见有这样几种变化思路：思路一：将常数“2”变为关于n的函数f(n)，即：an+1-an＝f(n)，型。

例如：①(2008江西)：已知数列{an}满足a1＝2，an+1＝an? + ，则an＝（ A ）。

A .? 2+lnn???? B.? 2+(n－1) lnn?????? C.? 2+ nlnn???? D.? 1+ nlnn解析：法一：验证法；法二：整体代换变为；法三：累加法。

②已知数列{an}中，a1＝1，，求通项 an＝??????? 。

解析：法一：累积法可得an＝n；法二：迭代法；法三：。

规律总结：an+1－an＝f(n)型常用（累加）法，型常用（累乘）法。

思路二：在②中等价于，在此式的右边+,即变式1：（2006年重庆）：已知数列{an}中a1＝1，，求an＝??????? 。

解析：法一：观察，在“=”两边同+3得到；法二：在用累加法；法三：待定系数法可得，所以数列是以a1+3＝4为首项。

公比为2的等比数列即an+3＝（a1+3）·又如这个例子：某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的，并且每年新增汽车数均为万辆。

求年后汽车的保有量。

解析：从2001年起，该市每年末汽车保有量依次记为（单位：万辆），则可以得到数列。

依题意，当时，，①设，即，②①，②比较，得，故，则数列是首项为，公比为0.94的等比数列，所以，即。

变式2：已知数列{an}中，a1＝1，，求an＝??????? 。

解析：（转化为等差数列）以首项，1为公差的等差数列，? ∴。

变式3：已知数列{an}中a1＝1，，求an＝??????? 。

法一：由得到转化为型；法二：（待定系数法）以为首项，2为公比的等比数列，∴。

变式4：已知数列{an}满足a1＝1，，求＝??????? 。

法一：，转化为型，先求，再用累加求得；法二：（待定系数法）设，令，∴。

规律总结：(1)递推关系为（A≠1，A、B≠0）型，可设；(2)形如型，可设；(3)型，可设；(4)（Ａ≠０）型可设。

思路三：在②中等价于，在此式的右边+例：已知数列{an}中，a1＝1，，求an。

又如（2008年陕西卷22）：已知数列的首项，，，求的通项。

规律总结：即从而转化为递推关系为型。

思路四：在②中等价于，在此式的右边+3例：已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，（n≥2）求an＝。

法一：观察可得：；法二：待定系数法：请看（2004年高考重庆题）：设a1＝1，a2＝，求an。

＝+++……++1＝规律总结：形如型，一般设思路五：将②中等价于，再将其变式为将怎样处理？例（2006年山东）：已知数列{an}中，a1＝1，。

??????? 思路六：将①中—”和②“除”变为“+”和“乘“。

例如：①已知数列{an}中，a1＝2，an+1+an＝2，求通项an＝??????? 。

②已知数列{an}中，a1＝1，an+1an＝2，，求通项 an＝??????? 。

???总之，递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。

因此，仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

作者单位：四川内江隆昌一中邮政编码：642150数列是高中数学内容的重要组成部分,求数列的通项公式是学习数列的重要内容之一,而数列的递推公式是认识数列的一种重要形式,是给出数列的一种重要方法。

递推数列的通项问题具有很强的逻辑性,是考查逻辑推理和化归能力的好素材,既可考查等价转化与化归这一数学思想,又能反映考生对等差与等比数列理解的深度,具有一定的技巧性。

因此,递推数列通项公式的求解,多年来一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一,在全国及各省市的高考命题中均以较大分值出现。

而递推数列题型的多样性,求递推数列通项公式方法的灵活性,对学生观察、分析、推理能力都有较高的要求。

在近几年的高考中,各地高考数学试题中“递推数列”都有考题,常以大题出现。

本文就对以下类型递推数列求通项问题作一些探讨。

递推数列定义:一般地,若数列{an}的连续若干项之间满足递推关系an=f(an-1,an-2,…,an-k),由这个递推关系及k个初始值确定的数列叫做递推数列.一、形如an+1=pan+c类型,其中p,c为常数且不为0,求数列{an}的通项公式这一类型的递推数列求其通项公式,首先要对p作分类讨论。

1.如果p=1,则递推等式变形为an+1-an=c,这时数列{an}是以a1为首项,常数c公差的等差数列,可以按等差数列求其通项公式求得an.2.如果p=-1,则递推等式变形为an+1+an=c,这时数列{an}是一个等和数列,有a1=a3=a5=a7=…=a2n-1,且a2=a4=a6=a8=…=a2n.3.如果p≠±1,则递推等式变形为an+1+A=p.(an+A),其中PA-A=c,解得A=,所以有an+1+=p·(an+).若a1+=0,则{an}是常数列即an=-;若a1+≠0时,这时数列{an+}是以a1+为首项,p为公比的等比数列,所以有an+=(a1+).pn-1,即an=(a1+).pn-1-.例如数列{an}有递推关系式an+1=2an+3,且a1=2,求数列{an}的通项公式。

解析:因为an+1+A=2·(an+A),其中2A-A=3得A=3.所以数列{an+3}是以5为首项,2为公比的等比数列,故an+3=5×2n-1,即an=5×2n-1-3.二、形如an+1=pan+qn+c类型,其中p,q,c为常数且p,q不为0,求数列{an}的通项公式这里仍然要对p进行讨论。

1.若p=1时,该递推等式可化为an+1-an=qn+c,an-an-1=q(n-1)+c,an-1-an-2=q(n-2)+c,…,a2-a1=q+c.将以上n个等式相加得an+1-a1=qn+q(n-1)+q(n-2)+q+nc=+q+nc.所以an+1=q+nc+a1,故an=q+(n-1)c1+a1.2.若p=-1时,递推等式可化为an+1+an=qn+c①,an+an-1=q(n-1)+c②,将①-②得an+1-an-1=q,这时数列{an}的奇数项、偶数项分别是以a1,a2为首项,q为公差的等差数列.则数列{an}的奇数项通项公式为a2k-1=a1+(k-1)q,偶数项为a2k=a2+(k-1)q.3.若p≠±1时,则递推式可化为an+1+A(n+1)+B=p(an+A n+B),其中pAn-An=qn,pB-A-B=c,解得A=,B=+如果a1+++=0时,则an=n++;如果a1+++≠0这时数列{an+n++}是以a1+++为首项,p 为公比的等比数列,所以有an=[a1+n++]pn-1.例如,已知数列{an}满足an+1=2an+3n+2,且a1=1,求数列{an}的通项公式。

解析:根据上述讨论法,可将an+1=2an+3n+2变形为an+1+3(n+1)+5=2(an+3n+5),所以数列{an+3n+5}是以a1+3+5为首项,2为公比的等比数列,所以有an=9×2n-1-3n-5.三、形如an+1=pan+qn2+rn+c类型,其中p,q,r,c为常数且p,q,不为0,求数列{an}的通项公式这里也要对p进行讨论。

1.若p=1时,该递推等式可化为an+1-an=qn2+rn+c,an-an-1=q(n-1)2+r(n-1)+c,an-1-an-2=q(n-2)2+r(n-2)+c,…,a2-a1=q+ r+c.这时可用累加法将以上n个等式相加再用分组求和法求得数列{an}的通项公式.2.若p=-1时,递推等式可化为an+1+an=qn2+rn+c①,an+an-1=q(n-1)2+r(n-1)+c②,将①-②得an+1-an-1=2qn-q+r,这时仿照类型二的2求解法可求出{an}的通项公式.3.若p≠±1时,则递推式可化为an+1+A(n+1)2+B(n+1)+C=p(an+An2+Bn+C),其中pAn2-An2=qn2,pBn-2nA-Bn=rn,pC-(A+B+C)=c,解得A=,B=+,C=+++如果a1+A+B+C=0,则an=-An-Bn-C;如果a1+A+B+C≠0,则数列{an+An+Bn+C}是以a1+A+B+C是以为首项,p为公比的等比数列,故有an=(a1+A+B+C)pn-1-(An+Bn+C).例如,已知数列{an}满足an+1=2an+3n2+2n+1,且a1=1,求数列{an}的通项公式。

解析:根据上述讨论法,可将an+1=2an+3n2+2n+1变形为an+1+3(n+1)2+8(n+1)+12=2(an+3n2+8n+12),所以数列{an+3n2+8n+12}是以24为首项,2为公比的等比数列,所以有an=24×2n-1-3n2-8n-12.四、形如an+1=pan+cn类型,其中p,c为常数且p≠0,c≠0,1,求数列{an}的通项公式1.若p=1时,该递推等式可化为an+1-an=cn,这时可用累加法求得an=cn-1+cn-2+cn-3+…+c2+c1=.2.若p=-1时,递推等式可化为an+1+an=cn①,an+an-1=cn-1②,将①-②得an+1-an-1=cn-cn-1,这时仿照类型二的2求解法可求出{an}的通项公式.3.若p≠±1时,但p=c时,原式可化为an+1-(n+1)cn=c(an-ncn-1).当a1=1时,an+1-(n+1)cn=c(an-ncn-1)=c2[an-1-(n-1)cn-2]=c3[an-2-(n-2)cn-3]=…=cn+1(a1-1)=0,所以有an=ncn-1;当a1≠1时,an=cn(a1-1)+ncn-1;4.若p≠c时,原式可化为an+1+Acn+1=p(an+Acn),其中由PAcn-Acn+1=cn解得A=,当a1+·c=0时,an=-cn,当a1+·c≠0时,数列{an+Acn}是以a1+·c为首项,p为公比的等比数列.所以有an+Acn=(a1+·c)pn-1即an=(a1+·c)pn-1+cn.例如,1.已知数列{an}满足an+1=2an+2n且a1=2,求数列{an}的通项公式。