wds中心极限定理的应用研究[1] 2
中心极限定理课件
X ~ b( 200, 0.6),
X ~ b( 200, 0.6),
现在的问题是: 现在的问题是: 求满足 P { X ≤ N } ≥ 0.999 的最小 的 N. 由定理 2
X − np 近似服从 N (0, 1), 这里 np(1 − p ) np = 120, np(1 − p ) =0 个, 已知该型号 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 期望值是100g, 的螺丝钉的重量是一个随机变量, 标准差是10g, 求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg 的概率. 的概率 个螺丝钉的重量, 解 设 X i 为第 i 个螺丝钉的重量, i = 1,2,L,100, 且它们之间独立同分布, 于是一盒螺丝钉的重量 且它们之间独立同分布, 为X=
棣莫佛—拉普拉斯定理是林德伯格 拉普拉斯定理是林德伯格—勒维定理 注： 棣莫佛 拉普拉斯定理是林德伯格 勒维定理 它是历史上最早的中心极限定理. 它是历史上最早的中心极限定理 的一个重要特例， 的一个重要特例，
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近 下面的图形表明 正态分布是二项分布的逼近. 正态分布是二项分布的逼近
E ( X i ) = µ , D( X i ) = σ 2 , i = 1,2,L, n,L
则
n ∑ X i − nµ x 1 −t2 i =1 lim P ≤ x = ∫ e 2 dt. −∞ n →∞ σ n 2π
注：定理表明 当 n 充分大时， n 个具有期望和方 定理表明: 充分大时， 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布. 差的独立同分布的随机变量之的近似服从正态分布 虽然在一般情况下， 虽然在一般情况下，我们很难求出 X 1+ X 2 + L + X n
中心极限定理及其初步应用
中心极限定理及其初步应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
它们表明了当n充分大时，方差存在的n个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理在定期寿险业、决策问题及生产供应需求三个方面的应用，说明其与现实有紧密的联系。
【关键词】中心极限定理，定期寿险, 决策问题【Abstract】The production of the central limit theorem has objective background, the most common forms are the De Moivre -Laplace central limit theorem and Lindeberg-Levy central limit theorem. They show that when n is sufficiently large and variance exists, the sum of n independence identity distribution random variables approximates normal distribution. So it has widespread application in reality. The article discusses the application of the central limit theorem in three aspects, which are the regular life insurance industry, the policy-making question and producti on’s supply and demand. They have the close relation with the reality.【Keywords】central limit theorem，regular life insurance, policy-making question目录第一章中心极限定理 (4)1.1中心极限定理产生的客观背景 (4)1.2常见的中心极限定理 (4)1.2.1德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (4)1.2.2林德贝格-勒维中心极限定理 (4)1.3中心极限定理的意义 (5)第二章中心极限定理的应用 (6)2.1中心极限定理在定期寿险中的应用 (6)2.1.1保险学的概率论数学原理 (6)2.1.2定期寿险的保险金给付模型 (7)2.1.3定期寿险业的盈亏预测 (9)2.1.4实例分析 (10)2.2中心极限定理在决策问题中的应用 (11)2.3中心极限定理在生产供应需求中的应用 (14)2.1.1根据现有生产能力及用户需求状态，估算能满足社会需求的可靠程度 (14)2.1.2根据社会需求状态来确定生产任务 (15)2.1.3根据需求及产品质量情况来确定生产量 (15)2.1.4例题分析 (16)第三章结束语 (19)参考文献 (20)致谢 (21)附录一：文献综述 (22)附录二：外文文献译文1 (25)原文1 (31)译文2 (37)原文2 (43)附录三：远雄人寿千喜男性一年定期寿险费率表 (49)附录四：中国人寿保险业经验生命表（1990－1993）（男性） (50)第一章 中心极限定理1.1 中心极限定理产生的客观背景在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹射击的落点与目标的偏差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理及其应用
中心极限定理是概率论中一个重要的定理，它指出在一定条件下，一组独立同分布的随机变量的和在极限意义下服从正态分布。
具体而言，当样本量很大时，样本均值的分布近似于正态分布。
这个定理可以应用于许多领域，如统计学、经济学、金融学等。
在实际应用中，中心极限定理被用来做假设检验、置信区间估计、回归分析等。
例如，在统计学中，如果我们想要检验某个样本的均值是否等于一个特定的值，可以使用中心极限定理来进行假设检验。
在具体的实验中，我们可以抽取大量的样本并计算每个样本的均值，然后使用中心极限定理，将均值的分布近似于正态分布，并计算出其标准误和显著性水平，以此来判断样本均值是否等于特定值。
另外，中心极限定理也被广泛应用于金融学领域，特别是在风险管理和资产组合管理方面。
通过对资产收益率进行观察和分析，可以通过中心极限定理来测试资产收益率是否服从正态分布，以及计算风险价值等指标。
初中数学 什么是中心极限定理 如何应用中心极限定理判断数据的波动趋势
初中数学什么是中心极限定理如何应用中心极限定理判断数据的波动趋势中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了当独立随机变量的数量足够大时，它们的和或平均值的分布会趋近于一个正态分布。
简单来说，中心极限定理告诉我们，无论总体分布如何，当样本数量足够大时，样本的和或平均值会呈现出正态分布的特征。
以下是如何应用中心极限定理来判断数据的波动趋势的步骤：1. 收集数据：首先，收集包含观测值的数据集。
2. 数据准备：对于数据集，进行必要的数据清洗和处理。
确保数据的格式正确，缺失值被处理。
3. 划分样本：将数据集划分为若干个大小相等的样本。
4. 计算样本和/平均值：对于每个样本，计算其观测值的和或平均值。
5. 绘制样本和/平均值图：将样本和/平均值绘制成一个随样本数量增加的直方图或折线图。
6. 观察波动趋势：根据中心极限定理，随着样本数量的增加，样本和/平均值的分布应该趋近于正态分布。
因此，通过观察样本和/平均值图的形状，我们可以判断数据的波动趋势。
如果样本和/平均值图逐渐呈现出钟形曲线的形状，那么我们可以认为数据的波动较小，符合正态分布的特征，趋于稳定。
相反，如果样本和/平均值图的形状仍然偏离钟形曲线，呈现出非正态分布的特征，那么我们可以认为数据的波动较大，不趋于稳定。
需要注意的是，中心极限定理是基于概率的，它并不是绝对准确的。
在实际应用中，我们需要根据具体情况和样本数量来判断数据的波动趋势。
总结起来，中心极限定理是一个告诉我们当样本数量足够大时，样本和或平均值的分布趋近于正态分布的定理。
应用中心极限定理来判断数据的波动趋势的步骤包括收集数据、数据准备、划分样本、计算样本和/平均值、绘制样本和/平均值图和观察波动趋势。
中心极限定理可以帮助我们判断数据的波动趋势，但需要结合具体情况和样本数量进行分析和判断。
数学与应用数学毕业论文-中心极限定理探讨及应用(精品doc)
目录摘要 (II)1绪论 (3)1．1课题的研究意义 (3)1．2国内外研究现状 (3)1．3研究目标 (4)2关于独立分布的中心极限定理的探讨 (5)2．1中心极限定理的提法 (5)2．2独立同分布情形的两个定理． (5)2．2．1 林德伯格-----勒维中心极限定理 (6)2．2．2隶莫弗——拉普拉斯定理 (7)2．3独立不同分布情形下的中心极限定理 (8)2．3．1林德贝格中心极限定理 (8)2．3．2李雅普诺夫中心极限定理 (12)2．4本章小结 (14)3中心极限定理在商业管理中的应用 (15)3．1水房拥挤问题 (15)3．2设座问题 (17)3．3盈利问题 (18)3．4抽样检验问题 (19)3．5供应问题 (20)结语 (20)参考文献 (22)附录 (22)中心极限定理探讨及应用摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与它们间的关系谈起，通过对概率论的经典定理—中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性．经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示的理论依据．同样中心极限定理的内容也从独立同分布与独立不同分布两个角度来进行讨论;最后给出了一些中心极限定理在数理统计、管理决策、近似计算、以及保险业等方面的应用，来进一步地阐明了中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值．关键词：弱收敛;独立随机变量;特征函数;中心极限定理．1绪论1．1课题的研究意义概率统计学是一门研究随机现象统计规律性[1]的数学学科，它的应用十分广泛，涉及自然科学、社会经济学科、工程技术及军事科学、农医学科、企业管理部门等．而大数定律和中心极限定理是概率论中最重要的内容之一，甚至可以说概率论的真正历史开始于极限定理的研究，在这以前概率论还仅局限于古典概率的直接计算，而且主要是赌博中的概率计算[2]．极限定理最早的成果有:伯努利大数定律，棣莫佛一拉普拉斯定理和泊松定理，这些定理开辟了概率论中的重要研究方向—大数定律、中心极限定理及以正态分布和泊松分布为代表的无穷可分分布的研究．概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景．在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的．中心极限定理就是从数学上证明了这一现象．最早的中心极限定理是讨论n重伯努利试验中，某事件A出现的次数渐近于正态分布的问题．1716年前后，棣莫佛对n重伯努利试验中每次试验事件A出现的概率为1/2的情况进行了讨论，随后，拉普拉斯和李亚普诺夫等进行了推广和改进．自莱维在1919-1925年系统地建立了特征函数理论起，中心极限定理的研究得到了很快的发展，先后产生了普遍极限定理和局部极限定理等．无论是在概率论的发展史上还是在现代概率论中，极限定理的研究都占特别重要的地位，也是数理统计学的基石之一，其理论成果也比较完美．长期以来，对于极限定理的研究所形成的概率论分析方法，影响着概率论的发展．同时新的极限理论问题也在实际中不断产生．这样中心极限定理在概率论中占有重要的地位，同时极限定理的研究引起了现代概律论的发展，并且在统计分析和近似计算等方面具有一定的应用，所以中心极限定理的研究具有一定的理论和实际意义．1．2国内外研究现状中心极限定理作为概率论的重要内容，其理论成果相对比较完善．这方面的文章较多，它们的结果也比较完美．但是他们注重于研究单一的方向，而几个定律之间的关系和应用方面的较少．出于这种现状本文通过对独立条件下的中心极限定理做系统的分析，主要研究和讨论几个中心极限定理之间的关系以及中心极限定理所揭示的理论意义和他们的应用．同时对文中出现的定理和结论做系统的分析和证明，所以对教学和科研方面具有一定的参考价值．1．3研究目标通过对独立随机序列的中心极限定理做系统的分析，阐明中心极限定理它们之间的关系以及举例说明中心极限定理在实际问题中的应用为教学和科研供参考．2 关于独立分布的中心极限定理的探讨凡是在一定条件下断定随机变量之和的极限分布是正态分布的定理，在概率论中统称中心极限定理．具体一点说，中心极限定理回答的是(独立或弱相依)随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态的．中心极限定理是揭示产生正态分布的源泉，是应用正态分布来解决各种实际问题的理论基础．2．1中心极限定理的提法直观上，如果一随机变量决定于大量(乃至无穷多个)随机．因素的总合，其中每个随机因素的单独作用微不足道，而且各因素的作用相对均匀，那么它就服从(或近似地服从)正态分布，下面我们将按严格的数学形式来表述这一直观．在许多情形下，一随机变量X 可以表示为或近似地表示为大量独立随机变量之和，12n X ξξξ=++⋅⋅⋅ (a)这里，每个i ξ直观上表示一种随机因素的效应，假如式(a)包含了决定X 的充分多的随机因素的效应(即n 充分大)，则1ni i ξ=∑的分布就近似于X 的分布．中心极限定理就是要说明，在什么条件下大量独立随机变量之和近似地服从正态分布，即，在什么条件下，当n →∞时，独立随机变量之和的极限分布是正态分布的．中心极限定理的名称最早是由仆里耶(1920年)提出来的，中心极限定理的一般形式最早是由切比雪夫(1821年—1894年)提出来的下面我们介绍四个主要定理:1)林德伯格一勒维定理2)棣莫弗一拉普拉斯定理2)林德伯格定理3)李雅普诺夫定理．其中林德伯格定理是最一般的，其它情形可以看作它的推论．2．2独立同分布情形的两个定理．中心极限定理有多种不同的形式，它们的结论相同，区别仅在于加在各被加项12,,ξξ⋅⋅⋅上的条件不同．独立同分布随机变量列的中心极限定理，是中心极限定理最简单又最常用(特别在数理统计中)的一种形式，通常称做林德伯格----勒维定理．历史上最早的中心极限定理一棣莫弗一拉普拉斯(积分)定理是它的特殊情形．设(1,2,)k k ξ=⋅⋅⋅的方差D ξ，大于0，令2221,,nk k k n k k a E b D B b ξξ====∑ （1）我们说，随机变数列{}k ξ服从中心极限定理，如果关于1x R ∈均匀的有22111lim ().2t nxk k n k nP a x edt B ξπ--∞→∞=⎧⎫-≤=⎨⎬⎩⎭∑⎰（2）(2)表示：随机变量数11()nkk k na B ξ=-∑的分布函数关于x 均匀的趋于正态分布(0,1)N 的分布函数．独立同分布的两个定理：2．2．1 林德伯格-----勒维中心极限定理设12,,,,n x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅相互独立，服从同一分布，具有数学期望和方差：2(),()0.i i E x Var x μσ==>记 12...n n X X X n Y nμσ*+++-=则对任意实数y ，有221l i m ()().2t y n n p Y y y e d t π-*-∞→+∞≤=Φ=⎰（3）证明 为证（1）式，只须证{}*n Y 的分布函数列若收敛于标准正态分布．又由定理4．3．4[3]，只须证{}*n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数．为此设n X μ-的特征函数为()t ϕ，则*n Y 的特征函数为*()()nnY t t n ϕϕσ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 又因为2()0,()n n E X Var X μμσ-=-=，所以有 (0)0ϕ'=， 2(0)ϕσ''=- 于是特征函数()t ϕ有展开式22()(0)(0)(0)()2t t t t ϕϕϕϕο'''=+++ 22211()2t t σο=-+从而有2*2222lim ()lim 1()2n nt Y n n t t t e nn ϕο-→+∞→+∞⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦，而22t e-正是(0,1)N 分布的特征函数，定理得证．例1某汽车销售点每天出售的汽车辆数服从参数为2λ=的泊松分布．若一年365天都经营汽车销售,且每天出售的汽车数是相互独立的,求一年中售出700辆以上汽车的概率．解:设x 某汽车销售点每天出售的汽车辆数,则12365Y x x x =++⋅⋅⋅+,为一年的总销量．由()()2i i E x Var x ==,知()()3652730E Y Var Y ==⨯=．利用林德贝格---勒维中心极限定理可得, 700730(700)1(700)1()1(111)0.8665730P Y P Y ->=-≤≈-Φ=-Φ-= 这表明一年中售出700辆以上汽车的概率为0．86652．2．2隶莫弗——拉普拉斯定理在n 重贝努里试验中，事件A 在每次试验中出现的概率为p （0<p<1），n μ为n 次试验中事件A 出现的次数，且记n n npY npqμ*-=且对任意实数y ，有221l i m ()().2t y n n p Y y y e d t π-*-∞→+∞≤=Φ=⎰此定理由定理1马上就得出，也就是说定理2是定理1的推论．例2 某保险公司多年的统计资料表明,在索赔户中被盗索赔户占20％,以x 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．(1)写出x 的分布列;(2)求被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值． 解:(1) x 服从100,0.2n p ==的二项分布(100,2)b ,即100()0.20.8,1,2,,k k n p x k k n k -⎛⎫===⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭(2)利用隶莫弗---拉普拉斯中心极限定理,有30.51000.213.51000.2(1430)(13.530.5)()()1000.20.81000.20.8p x p x -⨯-⨯≤≤=<<≈Φ-Φ⨯⨯⨯⨯(2.625)( 1.625)(2.625)1(1.625)0.9956510.9480.9437=Φ-Φ-=Φ-+Φ=-+=这表明被盗户不少于14户且不多于30户的概率近似值为0．9437．2．3独立不同分布情形下的中心极限定理对于独立同分布随机变量序列12,,ξξ⋅⋅⋅只要它们的方差有穷，中心极限定理就成立．而在实际问题中说诸i ξ具有独立性是常见的，但是很难说诸i ξ是“同分布”的随机变量，正如前面提到的测量误差n Y 的产生是由大量“微小的”相互独立的随机因素叠加而成的，即1nn i i Y ξ==∑则i ξ间具有独立性，但不一定同分布，所以我们有必要讨论独立不同分布随机变量和的极限分布问题，目的是给出极限分布为正态分布的条件．林德伯格(Lideberg)于1922年找到了独立随机变量服从中心极限定理的最一般的条件，通常称做林德伯格条件．2．3．1林德贝格中心极限定理设独立随机变量序列{}n X 满足林德贝格条件，则对任意的x ，有22111lim ().2t nxi i n i nP X x edt B μπ--∞→∞=⎧⎫-≤=⎨⎬⎩⎭∑⎰为证此，先证下列三个不等式：对任意实数a ，有1ia e a -≤； (4)212!iaa e ia --≤ (5)22123!iaa a e ia --+≤ (6) 实际上，对0a =上三式明显．设0a >，则01ai a i x e e d x a -=≤⎰；21(1)2!aaiaixa e ia e dx xdx --=-≤=⎰⎰；21(1)2ai ai xa e i a e i x d x --+=--⎰ 2212!3!aaixx a e ixdx dx ≤--≤=⎰⎰利用cos sin ia e a i a =+，可见（4）（5）（6）方都是a 的偶函数，故他们对0a <也成立．定理三的证明，先把记号简化．令k knk na B ξξ-=（7）以()nk t f 、()nk x F 分别表nk ξ的特征函数与分布函数，因而()()(),nk x k n k k n k F P B x a F B x a ξ=≤+=+ （8） ()20,knk nk x nk nD E xdF D B ξξξ+∞-∞==⎰， （9）2()211111nnnnknk x k k k k n D x dF D B ξξ+∞-∞======∑∑∑⎰（10） 在这些记号下，由（6）22()()21()()kk nnk x a k nk x k x x a B B nnx a x a dF dF B B ττ-->>--=⎰⎰ 2()nnk y y B y dF τ>=⎰故林德贝格条件可化为：对任意0τ>， 2()1lim 0nnk x x n k x dF τ>→∞==∑⎰； （11）而(2)式化为：对τ均匀的有2211l i m .2t nynk n k P x e dt ξπ--∞→∞=⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭∑⎰（12）如果在条件（11）下，能够证明1nnk k ξ=∑的特征函数22()1()()t nn nk t k t f en ϕ-==→→∞∏亦即2()1log ()log ,()2nn nk t k t t f n ϕ==→-→∞∑ （13）那么根据定理3．2．3[4]，（12）成立；再由定理3．1．3，（12）中收敛对1x R ∈还是均匀的，于是定理3得以证明．现在也就是只要证出（13）成立 则问题得证为了证明（13），分两步．（甲）先证log ()n t ϕ可展开为 ()1log ()(1)()nn nk t n k t f R t ϕ==-+∑， （14）其中函数()n R t 在任意有穷t 区间内趋于0 实际上，由（9）中前一式()()1(1)itx nk t nk x f e itx dF +∞-∞-=--⎰ （15）根据（5）22222()()()()122nk t nk x nk x nk x x x t t f x dF x dF x dF εε+∞-∞≤>⎡⎤-≤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 222()2nk x x t x dF εε>⎡⎤≤+⎢⎥⎣⎦⎰． （16）其中0ε>任意．由（11），对一切充分大的n 有22()(1)nk x x x dF k n εε><≤≤⎰；从而关于(1)k k n ≤≤及任何有限区间[],T T -中的t ，同时有2222()()11;m a x1n k t n k tk nf T f T εε≤≤-≤-≤ 因而对任意[],t T T ∈-，均匀的有()1lim max 10nk t n k nf →∞≤≤-=． （17）特别，当[],t T T ∈-时，对一切充分大的n ，下式成立： ()112nk t f -< （18） 因此，在[],T T -中，有展开式()()11log ()log log 1(1)nnn nk t nk t k k t f f ϕ==⎡⎤==+-⎣⎦∑∑第 11 页 共 23页()1(1)()nnk t n k f R t ==-+∑ （19）其中1()12(1)()(1)s ns n nk t k s R t f s -∞==-=-∑∑由（18）2()()121()111()12211n ns nk t n nk t k s k nk t f R t f f ∞===-≤-=--∑∑∑2()11nnk t k f =≤-∑()()11m a x 11nn k t n k tk nk f f≤≤=≤--∑；但由（16）中第一个不等式及（10） 222()()11122nn nk t nk x k k t t f x dF +∞-∞==-≤=∑∑⎰故2()1()max 12n nk t k nt R t f ≤≤≤-由（17）可见当n →∞时，关于任意有穷区间[],T T -中的t 均匀的有()0n R t → （20） （乙）令2()1()(1)2n itxn nk x k t t e itx dF ρ+∞-∞==+--∑⎰由（15）得2()1(1)()2nnk t n k t f t ρ=-=-+∑． （21）如果能够证明：对任意有穷区间[],T T -中的t 均匀的有l i m()0n n t ρ→∞=． (22) 那么以（21）代入（14）并联合（甲）中的结论即得证(13),而且（13）中的收敛对任意有穷区间内的t 均匀，从而定理得以完全证明．今证（22），由（10）1222()1()22n nk x k t itx dF +∞-∞==-∑⎰对任意0ε>，2()1()()12nitx n nk x x k itx t e itx dF ερ≤=⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦∑⎰ 22()112nitx nk x x k t x e itx dF ε>=⎡⎤+--+⎢⎥⎣⎦∑⎰ 由（4）（5）得 3322()()11()6nnn nk x nk x x x k k tt x dF tx dF εερ≤>==≤+∑∑⎰⎰3222()()116nn nk x nkx x x k k tx dF tx dF εεε≤>==≤+∑∑⎰⎰由（10）可见：对t T ≤，有 322()1()6nn nk x x k T t Tx dF ερε>=≤+∑⎰（23）对任意0η>，可选0ε>使362T ηε<又由（11），存在正整数(,,)N N T ηε=，使对此ε及n N ≥，有2()212nnk x x k x dF Tεη>=<∑⎰（24）于是当n N ≥时，对一切[],t T T ∈-，有 ()n t ρη<2．3．2李雅普诺夫中心极限定理如对独立随机变数列{}k ξ，存在常数0σ>，使当n →∞时有 22110nkkk n E a Bσσξ++=+→∑ （25）则（2）对x 均匀的成立．第 13 页 共 23页证．只要验证林德贝格条件满足，由（25）2211()()k nnk k x a B k nx a dF x B τ->=-∑⎰2211()()k nnkk x a B k n x a dF x B B σσττ+->=≤-∑⎰221110,()nkkk n E a n Bσσσξτ++=≤+→→∞∑例3 一份考卷由99个题目组成,并按由易到难顺序排列．某学生答对第1题的概率为0．99;答对第2题的概率为0．98;一般地，他答对第i 题的概率为1100,1,2,i i -= ．加入该学生回答各题目是相互独立的，并且要正确回答其中60个题目以上（包括60个）才算通过考试．试计算该学生通过考试的可能性多大？解 设⎩⎨⎧=.01题，若学生答错第题；，若学生答对第i i X i 于是i X 相互独立，且服从不同的二点分布： (1)1100,(0)1100,i i i i p X p i p X p i ===-==-= 1,2,,99i = 而我们要求的是991(60)i i p X =≥∑．为使用中心极限定理，我们可以设想从100X 开始的随机变量都与99X 同分布．且相互独立．下面我们用1δ=来验证随机变量序列{}n X 满足李雅普诺夫条件（25），因为11()(1),()n nn iiii i B Var X p p n ====-→+∞→+∞∑∑，333()(1)(1)(1)i i i i i i i i E X p p p p p p p -=-+-≤-， 于是31231111()0(1)n i i n i n i i i E X p B p p ==-≤→⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑∑ ()n →+∞， 即{}n X 满足李雅普诺夫条件（25），所以可以使用中心极限定理．14又因为999999111()(1)49.5100i i i i i iE X p =====-=∑∑∑ 999929911()(1)()16.665100100i i i i i B Var X ====-=∑∑ 所以该学生通过考试的可能性为99991149.56049.5(60)16.66516.665i i i i X p X p ==⎧⎫-⎪⎪-⎪⎪≥=≥⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑1(2.5735)0.≈-Φ=． 由此看出：此学生通过考试的可能性很小，大约只有千分之五．2．4本章小结这一章从独随机变量之和的极限分布为正态分布的定理引入了中心极限定理的内容，可分为分独立同分布和不同分布两种情况下讨论随机变量的分布趋于正态分布的情况．由于极限定理的研究直接联系到大n 场合的二项分布的计算，所以我们也通过一些例子来讨论二项分别的近似计算问题．最后通过举出反例，以及在相同条件下比较大数定律与中心极限定理，说明了中心极限定理在近似计算中更精确．至于中心极限定理名称的得来是由于随机变量和的分布收敛于正态分布的极限定理的研究在长达两个世纪的时间内成了概率论研究的中心课题，因此也得到了中心极限定理的名称．第 15 页 共 23页3 中心极限定理在商业管理中的应用3．1 水房拥挤问题假设某高校有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校后勤集团公司提议增设水龙头．假设后勤集团公司经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为45个，现在总务处遇到的问题是： （1）未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？（2）需至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？解：（1）设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X ，则X ～B （5000，0．01）拥挤的概率是45500050000(45)1(045)10.010.99kk k k p p C ξξ-=>=-≤≤=-⨯⨯∑直接计算相当麻烦，我们利用隶莫佛-拉普拉斯定理．已知n=5000,p=0．01，q=0．99，.04.7,50==npq np故()().2389.01.771.004.750004.75045)450(=-Φ--Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈≤≤ξP从而 (45)10.23890.7611p ξ>=-=．怪不得同学们有不少的抱怨．拥挤的概率竟达到76．11%．（2）欲求m ，使得95.0)450(≥≤≤ξP即 95.004.750004.750≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φm 由于 ()009.704.7500≈-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ 即 95.004.750≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φm16查标准正态分布表，得 645.104.750≥-m即 6.61≥m 故需要装62个水龙头． 问题的变形：（3）需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？ 解：欲求m ，使得99.0)450(≥≤≤ξP即 99.004.750004.750≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φm由于 ()009.704.7500≈-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ．76即 99.004.750≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φm查标准正态分布表，得325.204.750≥-m 即 4.66≥m 故需要装67个水龙头．（4）若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两问题结果如何？解：（1）5550(55)1()1(0.71)0.23897.04p ξ->=-Φ=-Φ=． （2） 同上．（5）若条件中的每个学生占用由1%提高到1．5%，其余的条件不变，则（1），（2）两问题结果如何?解：(1) 设同一时刻，5000个学生中占用水龙头的人数为X ，则X ～B （5000，0．015），已知n=5000,p=0．015，q=0．985，.60.8,75==npq np拥挤的概率是().149.3160.875451)45(≈-Φ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-=>ξP拥挤的概率竟达到100%． (2) 欲求m ，使得第 17 页 共 23页95.0)450(≥≤≤ξP即 95.060.875060.875≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φm由于 060.8750≈⎪⎭⎫⎝⎛-Φ即 95.060.875≥⎪⎭⎫⎝⎛-Φm查标准正态分布表，得645.160.875≥-m 即 14.89≥m 故需要装90个水龙头．3．2设座问题甲、乙两戏院在竞争500名观众，假设每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院至少应该设多少个座位才能保证观众因缺少座位而离开的概率小于5%．解： 由于两个戏院的情况相同，故只需考虑甲戏院即可．设甲戏院需设m 个座位，设.5000,,3,2,1,0,1 =⎩⎨⎧=i i X i ，否则个观众选择甲电影院第则 .5000,,1,1,5.0)0()1( =====i X P X P i i 若用X 表示选择甲戏院的观众总数，则∑==50001i i X X问题化为求m 使05.0)(≤≥m X P即 .95.0)(≤≤m X P 因为 5.0)()(==i i X D X E 由隶莫佛-拉普拉斯中心极限定理95.055250)(≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈≤m m X P18查标准正态分布表知 2501.64555m -≥， 从而解得269≥m ，即每个戏院至少应该设269个座位．3．3盈利问题盈利问题[5]：假设一家保险公司有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0．006，死亡时，家属可向保险公司领得1000元，问（1）保险公司亏本的概率有多少？（2）保险公司一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的概率各为多少？ 解： 设X 为一年内死亡的人数，则)06.1,10000(~B X ，即由德莫佛－拉普拉斯中心极限定理(1)≈.0)77.7(1≈Φ-7809（2）设123,,A A A 分别表示一年的利润不少于40000元，60000元，80000元的事件，则1(){80}p A p X =≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=994.006.01000006.010********.006.01000006.010000X P9952.0)59.2(=Φ≈2(){60}p A p X =≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=994.006.01000006.010********.006.01000006.010000X P5.0)0(=Φ≈3(){40}p A p X =≤第 19 页 共 23页⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯⨯⨯-≤⨯⨯⨯-=994.006.01000006.010********.006.01000006.010000X P0048.0)59.2(1=Φ-≈3．4抽样检验问题抽样检验问题[6]：某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为0．8．医院检验员任取100个服用此药的病人，如果其中多于75个治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言．（1）若实际上此药对这种病的治愈是0．8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药对这种病的治愈率是0．7，问接受这一断言的概率是多少？解： 引入随机变量表示抽查的100个人中被治愈的人数，则（1） {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>∑=10017575i i X P X P1000.8751000.81000.80.21000.80.2i X p ⎧⎫-⨯-⨯⎪⎪≈>⎨⎬⨯⨯⨯⨯⎪⎪⎩⎭∑751000.811000.80.2-⨯⎛⎫≈-Φ ⎪⨯⨯⎝⎭()1.25=Φ0.8944=实际治愈率为0．8时，接受这一断言的概率为0．8944． （2）20实际治愈率为0．7时，接受这一断言的概率为0．1379．3．5供应问题假设某车间有200台车床独立地工作着，开工率各为0．6，开工时耗电各为1000瓦，问供电所至少要给该车间多少电力，才能使99．9％的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解: 设任一时刻工作着的机床数为X ，则X 服从参数为6.0,200==p n ，的二项分布，该时刻的耗电量为X 千瓦，如果用k 表示供电所给该车间的最少电力，则此题所求即为：k 取何值时，有{}999.04.06.02006.020004.06.02006.02000=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-Φ≈≤≤k kX P查表得解之得即只要给该车间141千瓦的电力，就能以99．9％的概率保证该车间不会因电力不足而影响生产．结 语概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理．概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景．在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的．中心极限定理就是从数学上证明了这一现象．本文主要问题和研究方向，即系统的阐明两种分布的极限定理及进行详尽的证明，及对中心极限定理的简单应精品用，可以使读者轻松牢固的掌握中心极限定理．中心极限定理，是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理．这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件．中心极限定理是刻画有些即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，但它们的总和渐进地服从正态分布．本文通过实例介绍了中心极限定理在商业管理中的应用，化抽象的理论概念为身边的实际例子．利于大家对这一定理的理解及对数理统计方法的掌握．这是我们数理统计教学中要重视与探索的问题之一．第21 页共23页参考文献[1]王梓坤．概率论基础及其应用[M]．北京:科学出版社，1976．138-145．[2]卯诗松．程依明．概率论与数理统计教程[M]．北京:高等教育出版社，2004．129-118．[3]刘光祖．概率论与应用数理统计[M]．北京：高等教育出版社，2001．130．[4]盛骤．概率论与数理统计习题全解指南[M]．第四版．浙江：浙江大学，1990．120．[5]孙荣恒．概率论和数理统计[M] ．重庆：重庆大学出版社，2000．120-121．[6]盛聚．概率论与数理统计习题全解指南[M]．二、三版．浙江：浙江大学，2002．121．[7]YS．Chow; H． Teieher．Probability Theory[M]．1978．146-151．[8]周概容．概率论与数理统计[M]．北京:高等教育出版社，1984．125-126．[9]朱学军．中心极限定理在管理中的简单应用问题研究[J]．北京：高等教育出版社，1996．17-18．[10]魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．北京：高等教育出版社．1983．63．[11] (美)E·勒克斯著．概率论与数理统计(引论)[A]．北京：人民教育出版，1982．124-135．[12]范恩贵．中心极限定理在抽样推断中的应用[N]．张家口师专学报，1994．5．23（自然科学版）．[13]杨维权，邓集贤．概率统计教学参考书[M]．北京：高等教育出版社，1996． 65-67．[14]姜炳麟．概率与数理统计习题解析[M]．北京:北京邮电大学出版社,2003 156-172．[15] W．费勒，胡迪鹤．林向清译．概率论及其应用(上册)[M]．北京：科学出版社，1980． 126-128．[16]丁正生．概率论与数理统计简明教程［M］．北京:高等教育出版社，2005． 88-94．[17]盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计［M］．北京：高等教育出版社，1989． 140．附录22第 23 页 共 23页 林德贝格条件：设{}n X 是一个相互独立随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：()i i E X μ=，2()i i Var X σ=，1,2,i =⋅⋅⋅．()n n B Y σ=， 其中n Y 是独立随机变量序列和．则只要对任意的0τ>，有22211lim ()()0i n ni i x B n i n x p x dx B μτμτ->→∞=-=∑⎰．。
中心极限定理应用
中心极限定理及其应用【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。
本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。
【关键词】：中心极限定理 正态分布 随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。
随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。
极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。
中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn 、…的部分和的分布律：当n →∞时的极限符合正态分布。
因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。
二、定理及应用1、定理一（林德贝格—勒维定理）若ξ1，ξ2，…是一列独立同分布的随机变量，且E kξ=a,D kξ=σ2(σ2>0) ,k=1,2,…则有dt ex nnap xt nk kn ⎰∑∞--=∞→=≤-21221)(lim πσξ。
当n 充分大时，nnank kσξ∑=-1~N （0,1），∑=nk k1ξ~N （2,σn na ）2、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理）在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。
, 错误！未找到引用源。
为n 次试验中事件A 出现的次数,则dt ex npqnpp xt nn ⎰∞--∞→=≤-2221)(lim πμ其中1q p =-。
这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n 充分大时，可以利用该定理来计算二项分布的概率。
同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。
中心极限定理在实际中的应用
中心极限定理在实际中的应用
中心极限定理是一个重要的数学定理，它指出，当样本量足够大时，任何一组服从某种分布的随机变量的均值都会收敛到正态分布。
它在实际中有着广泛的应用，下面我们就来看看它在实际中的应用。
首先，中心极限定理可以用来估计抽样误差。
抽样误差是指在抽样过程中，样本的均值与总体均值之间的差异。
根据中心极限定理，当样本量足够大时，抽样误差会收敛到正态分布，因此可以用来估计抽样误差。
其次，中心极限定理可以用来估计抽样分布。
抽样分布是指样本的分布情况，根据中心极限定理，当样本量足够大时，抽样分布会收敛到正态分布，因此可以用来估计抽样分布。
此外，中心极限定理还可以用来估计总体参数。
总体参数是指总体的均值、方差等参数，根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值会收敛到总体均值，因此可以用来估计总体参数。
最后，中心极限定理还可以用来估计总体分布。
总体分布是指总体的分布情况，根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本分布会收敛到总体分布，因此可以用来估计总体分布。
总之，中心极限定理在实际中有着广泛的应用，它可以用来估计抽样误差、抽样分布、总体参数和总体分布等。
它的应用可以帮助我们更好地理解数据，从而更好地分析和预测数据。
中心极限定理的应用
中心极限定理的应用作者：都俊杰邹发伟陈帆来源：《亚太教育》2016年第09期摘要：中心极限定理是概率论与数理统计课程中一个重要的定理，衔接着概率论知识与数理统计的相关知识，既是教学重点又是难点。
中心极限定理在很一般的条件下证明了无论随机变量Xi服从什么分布，n个随机变量的和∑nk=1Xk的极限分布是正态分布，本文仅介绍其中两个最基本的结论并举例应用。
关键词：中心极限定理；正态分布；应用中图分类号：O212文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）03-0138-02前言大数定律和中心极限定理是统计学的两大基石，前者确保了统计推断至少在样本增大时可以无限接近真相，而后者则给出了大多数统计量分布的正态近似。
大数定律只能从质的方面描述随机现象，而中心极限定理可以更进一步从量的方面描述随机现象，所以中心极限定理比大数定律深刻实用得多，它是概率论与数理统计的基础。
中心极限定理解决了大量独立随机变量和的近似分布问题，其结论表明：当一个量受许多随机因素的共同影响而随机取值，则它的分布就近似服从正态分布，而正态分布的许多完美理论，能帮助我们获得实用简单的统计分析结果，本文仅介绍其中的两个最基本的结论，并通过举例加以应用。
1.独立同分布的中心极限定理定理1设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立、服从同一分布，且E（Xk）=μ，D （Xk）=σ2>0，（k=1，2，…，n，…），则随机变量X1，X2，…，Xn，…之和∑nk=1Xk的标准化变量Yn=∑nk=1Xk-E（∑nk=1Xk）D（∑nk=1Xk）=∑nk=1Xk-nμnσ的分布函数Fn （x），对于任意的x，满足：limn→∞Fn（x）=limn→∞P∑nk=1Xk-nμnσ≤x=∫x-∞12πe-t22dt=φ（x）注1当n充分大时，满足均值为μ，方差为σ2>0的独立同分布（无论服从什么分布）的随机变量X1，X2，…，Xn…，它们的和∑nk=1Xk总是近似地服从正态分布，记作：∑nk=1Xk-nμnσ近似～N0，1即∑nk=1Xk-nμnσ=1n∑nk=1Xk-μσ/n=X-μσ/n近似～N0，1即有X近似～N（μ，σ2n），于是有下面的推论：当n充分大时，记Sn=X1+X2+…+Xn，可得如下的近似计算公式：PSn-nμnσ≤x≈Φx注2对任意aPa≤Sn≤b=Pa-nμnσ≈Φb-nμnσ-Φx-nμnσ例1某炮兵阵地对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击中炮弹的命中数是一个随机变量，其期望为2，方差为1.69，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。
第二节--中心极限定理
EXi , DXi 2 , i 1, 2, ，则
lim
n
P
n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim P n
n i 1
Xi n n 2
x
( x)
林德贝尔格—勒维 中心极限定理
三、勒维中心极限定理
2. 林德贝尔格－勒维（Lindeberg-Levy）定理
D( Xi )
i 1
i 1
i 1
一、中心极限定理的意义
n
所以，欲求随机变量 X Xi 的分布，先求 i 1
n
n
Xi E( Xi )
标准化因子Yn i1
i 1 n
的分布情况.
D( Xi )
i 1
讨论Yn的极限分布是否为标准正态分布.
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态 分布这一类定理都叫做中心极限定理.
五、课程小结
2. 中心极限定理的内容
中心极限定理其实是描述的随机变量序列和， 经标准化后，当序列容量无限大时的极限分布.
n
n
Xi E( Xi ) 近似
n
近似
n
n
即 i1
~ i1
n
~ N (0，1) 从而 Xi N (E Xi，D Xi )
D( Xi )
i 1
i 1
i 1
i 1
独立 李雅普诺夫中心极限定理 相互独立的{ Xi } 独立同分布 勒维中心极限定理
二、李雅普诺夫中心极限定理
1. 李雅普诺夫(Lyapunov)定理
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )相互独立，
EX i
第二节-中心极限定理要点
定理的应用：对于独立的随机变量序列 X n，不管
Xi (i 1, 2, , n) 服从什么分布，只要它们是同分布，
且有有限的数学期望和方差，那么，当n充分大时，这
n
些随机变量之和 X i 近似地服从正态分布 N n, n 2 i 1
从演示不难看到中心极限定理的客观背景
f
g
h
例:20个0-1分布的和的分布
k 1
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，服从同一分
布，且有有限的数学期望 和方差 2 ，则随机变量
n
Xi n
Yn i1 n 的分布函数 Fn (x) 满足如下极限式
lim n
lim
n
P
i 1
n
x
(
x);
这一讲我们介绍了中心极限定理 中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
在后面的课程中，我们还将经常用到中心 极限定理.
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
Y n ~ N (np , np(1-p)) (近似)
正态分布的概率密度的图形
x
二项分布的随机变量可看作许多相互独立
的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
中心极限定理在统计推断中的应用
Ｄ （ Ｘ ） ： ２ ， ： １ ， ２ ９ ｏ ｏ ， ￣ ｎ ９ 则 当 ｎ 很 大 时 ， 随 机 变 量 Ｙ ： 壹 置 Ⅳ （ ｎ Ｕ ， ｎ ｏ ＂ ２ ） ， 即 ÷ 窆 置 Ⅳ （ ｕ ， 譬 ） ．
棣莫弗 一拉普拉斯中心极限定理… 在ｎ 重伯努力试验中 ， 事件 Ａ在每次试验中发生的概率为Ｐ ， 田 为 事件 Ａ发生的次数 ， 则当 凡 充分大时 ， 有 一 Ｎ （ ｎ ｐ ， ｎ ｐ （ １一 Ｐ ） ） 或＿兰
Ｔｈ ｅ Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｃｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｌ Ｌｉ ｍｉ ｔ ｈ ｅ Ｔ ｏ ｒ ｅ ｍ ｉ ｎ Ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｉ ｎ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ
３ ／ √ｎ
Ｉ Ｚ Ｉ≤ ｚ …
丁
．
例３ 某农业大学研究在改善栽培条件下黄豆的重量是否有明显改变， 已知改善条件前黄豆的平均重量 ＝３ ５ ０ （ 单位 ： ｍ ｇ ） ， ｏ ｒ 未知 ， 现随机地抽取 １ ０ ０ 粒， 测得这 １ ０ ０ 粒黄豆的平均重量 ＝３ ５ ２ ． ５ ｍ ｇ ， ｓ ＝２ ５ ， 问在 显著性水平 ＝０ ． ０ ５ 条件下改善栽培条件后黄豆的重量是否较之前重量有明显差异？
假设检验是统计推断的另一个重要 内容． 对总体分布函数 的形式或关于总体参数值 的陈述叫做统计假
设…． 总体的分布或参数未知的情况下 ， 通过一些预知的知识对总体提出两个假设 和 ， 然后根据样本去 判断是接受 风 还是拒绝 风 的过程是假设检验 ［ １ ］ ． 在许多实际经济问题中， 研究 的几乎都是大样本． 根据中心极限定理 ， 当样本容量很大时 ， 对总体的均值
第 ３ ４卷 第 ２期
毕业论文：大数定律和中心极限定理的应用【范本模板】
学号： 学号： 08802053大数定律和中心极限定理的应用分 院 计算机科学与技术学院专 业 信息与计算科学班 级 信计本0801姓 名 李耀指 导 教 师 仝伟2012年5月10日商丘学院毕业设计（论文）商丘学院本科毕业设计（论文）摘要大数定律和中心极限定理是概率论中很重要的定理，也是概率论与数理统计联系的关键所在，更是生活中不可缺少的一部分。
较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限定理，并利用大数定律和中心极限定理得到较多模型的收敛性.但对于它们的适用范围及在实际生活中的应用涉及较少.本文介绍了几种较为常见的大数定律和中心极限定理，并列举了它们在经济生活、数学分析、信息论等各个不同领域的应用.将理论具体化、将可行的结论用于具体的数学模型中，以使得枯燥的数学理论与实际相结合,使大家对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有了更深的认识。
关键词：大数定律，中心极限定理，期望,方差,应用AbstractThe law of large numbers and central limit theorem is very important in probability theory theorem，and it is not only the contact key of Probability theory and mathematical statistics，but also an indispensable part of life。
Many literatures have given the dissimilar conditions of the law of large numbers and central limit theorem.Many literatures have given the dissimilar conditions of the law of large numbers，and have obtained the astringent using the law of large numbers and central limiting theorems.But here has no many results in practical life and applicable scope。
中心极限定理及其意义(精)
题目：中心极限定理及意义课程名称：概率论与数理统计专业班级：成员组成：联系方式：2012年5月25日摘要：本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。
经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。
同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。
同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。
最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。
关键词：随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理引言：在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。
中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。
在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。
但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。
一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理设随机变量⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差()()),2,1(0,2⋅⋅⋅=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和∑=nk kX1的标准化变量，σμn n XX D X E X Y nk kn k k n k k nk k n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑∑====1111的分布函数)(x F n 对于任意x 满足，()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≤-=-∞-=∞→∞→⎰∑2/1221lim )(lim πσμ2.李雅普诺夫定理设随机变量⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差()()),2,1(0,2⋅⋅⋅=>==k X D X E k k k k σμ，记∑==nk k nB 122σ．若存在正数δ，使得当∞→n 时，}{01122→-∑=++nk knXE Bδδμ，则随机变量之和∑=nk kX1的标准化量化，nnk kn k kn k k n k k nk kn B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x 满足，()x dt e x B X P x F t x n nk k n k k n n n Φ==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≤-=-∞-==∞→∞→⎰∑∑2/11221lim )(lim πμ3.棣莫弗—拉普拉斯定理设随机变量),2,1(⋅⋅⋅=n n η服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，则对于任意x ，有()x dt e x p np np P t x n n Φ==⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫≤---∞-∞→⎰2/221)1(lim πη二、中心极限定理的意义： 首先，中心极限定理的核心内容是只要n 足够大，便可以把独立同分布的随机变量和的标准化当作正态变量，所以可以利用它解决很多实际问题，同时这还有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实，从而正态分布成为概率论中最重要的分布，这就奠定了中心极限定理的首要功绩。
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题目：中心极限定理的应用研究姓名：李若愚学号：200804010159系别：数学与信息科学系专业：数学与应用数学年级班级：2008级数应1班指导老师：高继梅2012 年月日目录摘要 (1)引言 (3)1.中心极限定理的相关知识 (3)1.1中心极限定理的提出 (3)1.2两个常用的中心极限定理 (3)2.中心极限定理的应用举例 (4)2.1中心极限定理求概率问题 (4)2.2中心极限定理解参数问题 (9)3.分析与总结 (14)参考文献 (16)致谢 (17)中心极限定理的应用研究摘要：概率论与数理统计是数学的一个特色且又十分活跃的一个分支，由于近年来突飞猛进的发展与其应用的广泛性，目前已成为一门独立一级学科，其方法也广泛应用于工业、农业、管理、军事与科学技术中.大数定律和中心极限定理作为概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带，在数理统计中是非常重要的一章内容. 它提出，大量独立随机变量之和具有近似于正态的分布，因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验呈现出钟形(即正态分布)曲线这一事实，因此，中心极限定理的应用范围越来越广阔，应用实例越来越多，同时，这也促使正态分布得到了更广泛的应用.关键词：概率论;中心极限定理;正态分布A Research of Central-limit Theorem’s ApplicationAbstract：Probability and Mathematical Statistics is a characteristic and very active branch of mathematics. After years of advance rapid development and extensive application of it, now it has become an independent first grade subject. Its method is also widely used in industry, agriculture, management, military and scientific technology.As an important link between probability and mathematical statistics, the law of large numbers and central-limit theorem in mathematical statistics is a very important chapter. It puts forward that the sum of many independent random variables is similar to the natural distribution. Therefore, it not only provides a simple idea to calculate the approximate probability of independent random variables, but also helps people to explain why the shape of many natural groups' experience present a bell (i.e. natural distribution) curve. Therefore, the application range of the central-limit theorem is more and more wide and application examples become more and more. And, at the same time, it also encourages the natural distribution get more extensive application. Keywords:Probability; Central-limit Theorem; Natural Distribution引言概率论与数理统计中，常见而又最重要的分布之一就是正态分布. 在实际生活与生产应用等方面，很多的随机变量都是服从正态分布的. 另外,哪怕原来有些随机变量，它们并不服从于正态分布，只要它们之间保持相互独立，那么它们和的分布也总是近似服从于正态分布. 那么,自然要有了这样一个问题：正态分布为什么存在地如此广泛呢？其在概率论中为何占有如此重要的地位呢?大量的随机现象产生的这一客观规律性又应如何解释呢?事实上，这正是客观实际的反映，中心极限定理就是概率论中论证随机变量和的极限的分布为正态分布的定理的总称.1.中心极限定理的相关知识1.1中心极限定理的提出l8世纪，自棣莫佛首先提出中心极限定理以来，时至今日，其内容已经变得非常丰富. 中心极限定理已经不再只是概率论中的重要内容，而且在数理统计中，作为大样本统计推断的理论基础，它也发挥着巨大的作用. 某种随机现象很可能是在非常多的因素印象下造成的，若这些影响因素之间保持彼此相互独立性，那么，这些因素所累积起来的影响将会使此随即现象的分布趋近于正态分布. 而这就是中心极限定理要证明的东西. 由中心极限定理,我们可知,在一般的情况下, 当n 足够大时,n 个独立随机变量的和1i ni x =∑的极限分布总是服从正态分布的,而不论这些独立随机变量错误！未找到引用源。
彼此是服从于什么分布. 因此,它不仅解释了为何在现实中,那么多的数量指标的分布都服从或近乎于似服从正态分布这一确凿的事实,而且还提供给了人们一个计算独立随机变量之和的近似极限概率分布的简单而有效的方法,这对于生产生活的意义是非常深远的.1.2两个常用的中心极限定理根据不同的假设条件，中心极限定理有多个，其中最常用的两个为:列维-林德伯格错误！未找到引用源。
中心极限定理和棣莫佛-拉普拉斯()DeMoivre Laplace -中心极限定理.定理1 列维-林德伯格(Levy —Lindeberg)定理(独立同分布的中心极限定理)设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且，()i E X μ=错误！未找到引用源。
.记*n Y =则对任意实数y ,有2*2lim ()()t n n y P Y y y e dt -∞-→+∞≤=Φ=⎰此定理只假设错误！未找到引用源。
独立同分布、方差不存在，不管原来的分布是什么，只要n 充分大，就可以用正态分布去逼近.定理2 棣莫佛-拉普拉斯错误！未找到引用源。
中心极限定理设重伯努利试验中,事件A 在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。
, 记错误！未找到引用源。
为n 次试验中事件A 出现的次数,且记*n Y =则对任意实数y ,有2*2lim ()()t n n y P Y y y e dt -∞-→+∞≤=Φ=⎰2.中心极限定理的应用举例中心极限定理在生活中各个方面的应用非常广泛，特别是两个主要的中心极限定理. 本文将首先给出几个具体的应用两个主要中心极限定理解决实际生活问题的例子.2.1中心极限定理求概率问题中心极限定理在社会生活中的应用由于人口的持续不断增长以及男女比例的严重失调，政府部门已经慢慢开始采取各种各样的措施进行预防. 在这之前，对新生婴幼儿的性别进行判断和统计是很有必要，而中心极限定理在这方面就能体现出它独特的作用.例 设男孩的出生率为0．515，求在10000个新生的婴儿中女孩数目不少于男孩数目的概率是多少?解法1: 设X 为10000个新生婴儿中男孩的数目，则错误！未找到引用源。
，要求女孩数目不少于男孩数目的概率，即求错误！未找到引用源。
.由棣莫佛−拉普拉斯定理可得{5000)P X ≤≈Φ (3)1(3)0.00135=Φ-=-Φ=解法2: 设X 为10000孩的数目，令1i X i ⎧=⎨0 ⎩第个为男孩第个为女孩 (1,2,,10000)i =则 错误！未找到引用源。
,且1210000,,,X X X 独立且同分布，()105150(10.55)0(10.515)0.515i E X l μ==⨯+⨯-+⨯-=。
22222()()(())10.5150.5150.249775i i i D X E X E X σ==-=⨯-=则女孩数目不少于男孩数目的概率为错误！未找到引用源。
由列维−林德伯格中心及限定理有(5000)P X P ≤=≤ 错误！未找到引用源。
.即在10000个新生婴儿中,女孩数目不少于男孩数目的概率大约为0.00135. 中心极限定理在保险业务中的应用保险行业可以说是应用概率与统计知识最频繁的一个领域了,人口数据、意外因素估计、保险金额、赔付比例等等，这些都是经过分析统计才能得出的结果.此处本文将通过两个典型的保险实例来说明中心极限定理在这一领域中的应用.例1 某家保险公司此次有10000个人参与了人寿保险,平均每人每年付30元保险金. 据调查统计, 一年之内有一个人死亡的概率大约为0.2%，而此后, 死者家属可向保险公司申请领取5000元的慰问金，请问:(1)该保险公司有多大的概率可能在这个项目上亏本?(2)该保险公司一年内有多大的概率在这个项目上获利不少于150000元?解：(1)若一年内死亡的人数设为X ，则错误！未找到引用源。
，其中，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
.设保险公司一年内的利润为Y ，10000305000Y X =⨯-因此,由棣莫佛−拉普拉斯中心极限定理(1) 错误！未找到引用源。
()160P X =-≤0=(其中，错误！未找到引用源。
)因此该保险公司几乎不会因为该项目而亏本.(2)由题意可知，即求(150000)((10000305000150000)(30)P y P P X ≥=⨯-≥=≤因此,由棣莫佛−拉普拉斯中心极限定理,上式可表为(30)P X P ≤= (2.24)0.9874≈Φ=即该保险公司一年内将有98.74%的可能于该项目中获得不少于150000元的利润.例2 有一种100000张同类型保险单据的组合，设被保人的损失相互之间保持独立，并且保单规定被保会员将从保险人员处获得所发生损失80%（比例保险）的赔付金额，另设保险期之内,所有可能的损失服从以下分布：试确定一定的安全附加保险费,使得所收的保护费用总金额不低于理赔总金额的概率概率至少为95%.解：设错误！未找到引用源。
为损失变量，则理赔变量为10000010.80.8ii S L X ===∑ 另设安全附加费率为0，则保险费用总额为错误！未找到引用源。