浙江省诸暨市牌头中学高中数学 1.1.2 余弦定理一练习 新人教A版必修5
高一数学专题1.1.2余弦定理(测)同步精品课堂(提升版)(新人教A版必修五)Word版含解析
(D) 150 °
4. 在△ ABC中， AC= 7 ， BC=2， B=60°，则 BC边上的高等于 ( )
(A)
3
2
(B) 3 Leabharlann 2(C) 3 6 2(D) 3 39 4
5.在△ ABC 中 , 内角 A． B． C 的对边分别为 a、 b、 c, 且 2c2 2 a 2 2b2 ab , 则△ ABC 是
b
c2
得
2S a2
b2
2ab c2
,
即
1 2 ab sin C
a2
b2
2ab c2
,
所
以
ab sin C 2ab a2 b2 c2 ,
又
2
cosC a2 b2 c2 ab sin C 2ab sin C 1 , 所 以 cosC 1 sin C , 即
2ab
2ab
2
2
2cos 2 C 2
即 tan C
sin C 1 , 所以 C 90o, 所以 B 60o .
8. 在△ ABC中，若 a
b
c , 则△ ABC的形状为 _______.
cos A cos B sin C
9. 在△ ABC中，设角 A，B，C的对边分别为 a,b,c ，若 cosC
1
,
uuur uuur CB gCA
5 ,a b
9，
∴sin(A-B)=0, ∴A=B,∴△ ABC为等腰三角形 .
2. 已 知 ABC 中 , 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c, 若 ABC 的 面 积 为 S, 且
2S
a
2
b
c2,则 tan C
浙江省诸暨市牌头中学高中数学 1.1.3 余弦定理二练习
1．1．3 余弦定理（二）一、选择题1、在△ABC 中，已知8:7:6sin :sin :sin =C B A ，则△ABC 是（）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）不能确定 2、△ABC 的周长为20，面积为310，A=60°，则=a（）（A ）5（B ）6（C ）7（D ）83、在△ABC 中，已知2=b ， B=60°，且△ABC 有两解，则边a 的取值范围是（ ）（A ）3342<<a （B ）3342≤<a （C ）2<a （D ）2>a4、在△ABC 中，已知AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）（A ）223 （B ）233 （C ）23（D ）35、在△ABC 中，()()C B C C B B cos cos 4cos sin 3cos sin 3=--，且4=+c b ，则a 的取值范围是（）（A ）()4,2（B ）[)4,2（C ）(]4,2（D ）[]4,26、在△ABC 中，已知2333c cb ac b a =-+-+，且A+C=120°，则△ABC 的形状是（ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）等腰直角三角形二、填空题7、在△ABC 中，已知A=120°，AB=5，BC=7，则=CBsin sin _________。
8、在△ABC 中，已知A=60°，且最大边长和最小边长恰好是方程01172=+-x x 的两根，则第三边的长为_______。
9、圆内接四边形ABCD 中，AB=6，BC=4，CD=6，B=120°，则AD=______。
10、在△ABC 中，已知)cos (sin )cos (sin C a b C B a c B -=-，则△ABC 的形状为______。
三、解答题11、在△ABC 中，已知ac b c a +=+222，且213sin sin +=C A ，求角C 。
人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理教案Word版含答案【优选整合】
1.2余弦定理一、教学目标：知识与技能：能推导余弦定理及其推论，并会用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
过程与方法：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。
情感、态度与价值观：让学生主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的逻辑性和严谨性，形成学习数学知识的积极态度。
二．重点难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其定理的简单应用。
难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路。
三、教材与学情分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（5）》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》第一课时。
“余弦定理”是“解三角形”中的重要定理，在高考中属于“掌握”层次。
在教材中，利用向量的数量积推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决三角形中“边、角、边”和“边、边、边”问题，体会向量法的应用及方程思想，引起学生认知冲突和激发学生探究数学的潜能。
在学习本节课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的“边”和“角”的互化也有了进一步的认识。
能熟练运用正弦定理解决“任意两角与一边”和“已知两边和其中一边的对角”的三角形问题。
故创设一个“已知三角形两边及夹角”来解决三角形的例子，学生发现不能用上一节所学知识来解决这一问题，从而引起好奇并激发起学习的兴趣。
但由于学生应用数学知识的意识不强，知识的系统性不完善，使学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，教师对此需作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联系、归纳从而能解决问题。
四、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学．五、教学过程（一）知识回顾1.正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===2.运用正弦定理解决的两类解三角形问题：（1）已知三角形任意两角和一边解三角形；（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形。
（二）问题的提出：在ABC ∆中，08,5,60a b C ==∠=，你能求c 边长吗？（这是一个已知三角形的两边及两边的夹角解三角形的问题，无法使用正弦定理解决，引起学生与已有知识产生“认知冲突”，激发探究的积极性。
高中数学人教A版浙江专版必修5课件：第一章 1.1 1.1.2 余弦定理
(2)sin A＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋ 4
6 .
故由正弦定理得a＝b·ssiinn AB＝1＋ 3.
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·ssiinn CB＝2×ssiinn 6405°°＝ 6.
题点二：利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 2．在△ABC中，求证a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C.
(2)∵S△ABC＝3sin A， ∴12bcsin A＝3sin A，即bc＝6. 又∵b＋c＝ 2a＝4 2， ∴由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝b＋c22－bc2bc－a2＝13. ∴ AB·AC ＝bccos A＝2.
正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类 题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一 些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．
c2＝_a_2＋___b_2－__2_a_b_c_o_s_C_
三角形中任何一边的平方等于_其__他__两__边__的__平__方__的__ _和__减__去__这__两__边__与__它__们__的__夹__角__的__余__弦__的__积__的__两__倍__
b2＋c2－a2 cos A＝____2_b_c___
∵0°<C<180°，∴C＝120°，故选C.
利用余弦定理判断三角形形状
[典例] 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C， 试判断△ABC的形状．
解：[法一 化角为边] 将已知等式变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C. 由余弦定理并整理，得 b2＋c2－b2a2＋2ba2b－c22－c2a2＋2ca2c－b22 ＝2bc×a2＋2ca2c－b2×a2＋2ba2b－c2， ∴b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋4a2a2＋c2－b2]2＝44aa42＝a2. ∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．
1.1.2余弦定理-人教A版高中数学必修五课件
试一试
若三角形的三边为7，8，3，试判断此三角形的形
状.
钝角三角形
四.小结
四类解三角形问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和 角。 （3）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两 个角； （4）已知三边，求三个角。
五、题型探究
题型一 余弦定理的简单应用
解：由余弦定理知，有 cos B a 2 c 2 b2 , 2ac
代入c a cos B, 得c a a 2 c 2 b2 , b2 c 2 a 2 2ac
△ABC是以A为直角的直角三角形，sin C c a
又 b a sin C, b a c c. a
△ ABC也是等腰三角形
又 2cos Asin B sin C,且sin B 0 cos A sin C c . 2sin B 2b
由余弦定理，有 cos A b2 c 2 a 2 , 2bc
c b2 c 2 a 2 ,即c 2 b2 c 2 a 2 , a b
2b
2bc
又 (a b c)(a b c) 3ab，且a b
例3、在△ABC中，a2>b2+c2，那么A是( A )
A、钝角
B、直角
C、锐角
D、不能确定
结论：一般地,判断△ABC是锐角，直角还是钝角
三角形,可用如下方法.
设a是最长边,则由 cos
A
b2
c2
a2
可得
2bc
（1）A为直角⇔a²=b²+c²
（2）A为锐角⇔a²<b²+c²
（3）A为钝角⇔a²>b²+c²
又 2cos Asin B sin C,
余弦定理习题(带答案)-人教A版数学高二必修五第一章1.1.2
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∴a＋b 的最大值为 8 4 3 。 【解】在△ABC 中，∵ a cos A b cos B ，由正弦定理， 得 2 R sin A cos A 2 R sin B cos B，∴ sin 2 A sin 2 B 。 16 ∴2A＝2B 或 2A＋2B＝180°，∴A＝B 或 A＋B＝90°。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角 形。
a
sin A
＝
b
sin B
＝
c
sin C
＝2R，
a b c ，sin B＝ ，sin C＝ . 2R 2R 2R a2 b2 c2 ＋ ＜ ，∴a2＋b2＜c2， 4R2 4R2 4R2
a2＋b2－c2 ＜0， 2ab
∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形． 【解】 (1)∵(sin B＋sin C＋sin A)(sin B＋sin C－sin A)＝ 结合正弦定理得 (b＋c＋a)(b＋c－a)＝ 10 18 8 bc，整理得 b2＋c2－a2＝ bc. 5 5 18 sin B·sin C. 5
6
π 【解析】 ∵a 是最大边，∴A＞ ，又 a2＜b2＋c2，由余弦定理 cos 3 0，∴A＜ π π π ，故 ＜A＜ . 2 3 2
b2＋c2－a2 A＝ ＞ 2bc
7
【答案】 4 【解析】 在△ABC 中，由 b2＝a2＋c2－2accos B 及 b＋c＝7 知，b2＝4＋(7－b)2－2
5．在△ABC 中，若(a－c)(a＋c)＝b(b－c)，则 A＝________.
6．在不等边三角形中，a 是最大的边，若 a ＜b ＋c ，则角 A 的取值范围是________． 1 7．(2012·北京高考)在△ABC 中，若 a＝2，b＋c＝7，cos B＝－ ，则 b＝________. 4 8．已知△ABC 的顶点为 A(2，3)，B(3，－2)和 C(0，0)，求∠ABC. 知识点：定理变形 9．(2012·上海高考)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC 的形状是( A．锐角三角形 C．钝角三角形 B．直角三角形 D．不能确定 )
(浙江版)高中数学 第一章 1.1.2余弦定理(二)导学练 新人教A版必修5
1．1.2 余弦定理(二)课时目标1．熟练掌握正弦定理、余弦定理；2．会用正、余弦定理解三角形的有关问题．1．正弦定理及其变形(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C .(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.(4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c . 2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A .(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C2.(2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C .(3)sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.一、选择题1．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，若满足(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则∠C 的大小为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 答案 C解析 ∵(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ， ∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 即a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴cos C ＝－12，∴∠C ＝120°.2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .3.在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最小外角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7， 不妨设a ＝3，b ＝5，c ＝7，C 为最大内角，则cos C ＝32＋52－722×3×5＝－12.∴C ＝120°.∴最小外角为60°.4．△ABC 的三边分别为a ，b ，c 且满足b 2＝ac,2b ＝a ＋c ，则此三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 答案 D解析 ∵2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2，即(a －c )2＝0. ∴a ＝c .∴2b ＝a ＋c ＝2a .∴b ＝a ，即a ＝b ＝c .5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°， c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理得， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120° ＝a 2＋b 2＋ab .∵c ＝2a ，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab . ∴a 2－b 2＝ab >0，∴a 2>b 2，∴a >b .6．如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度确定 答案 A解析 设直角三角形三边长为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2，则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0， ∴c ＋x 所对的最大角变为锐角． 二、填空题 7．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则边c ＝________. 答案 19解析 由题意：a ＋b ＝5，ab ＝2.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19， ∴c ＝19.8．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是________． 答案 2<a <8解析 ∵2a －1>0，∴a >12，最大边为2a ＋1.∵三角形为钝角三角形，∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2， 化简得：0<a <8.又∵a ＋2a －1>2a ＋1， ∴a >2，∴2<a <8.9．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 12解析 S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A＝12AB ·AC ·sin 60°＝23， ∴AB ·AC ＝8，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝AB 2＋AC 2－AB ·AC ＝(AB ＋AC )2－3AB ·AC ，∴(AB ＋AC )2＝BC 2＋3AB ·AC ＝49， ∴AB ＋AC ＝7，∴△ABC 的周长为12.10．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则△ABC 外接圆的面积是________．答案 13π3解析 S △ABC ＝12bc sin A ＝34c ＝3，∴c ＝4，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13， ∴a ＝13.∴2R ＝a sin A ＝1332＝2393，∴R ＝393.∴S 外接圆＝πR 2＝13π3. 三、解答题11．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin A －Bsin C.证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin A sin C ·cos B －sin Bsin C·cos A＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边． 所以a 2－b 2c 2＝sin A －B sin C .12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边的长，cosB =53， 且AB ·BC ＝－21. (1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C . 解 （1）∵AB ·BC ＝－21，∴BA ·BC =21.∴BA ·BC = |BA |·|BC |·cosB = accosB = 21.∴ac=35，∵cosB =53，∴sinB = 54. ∴S △ABC = 21acsinB = 21×35×54= 14.(2)ac ＝35，a ＝7，∴c ＝5.由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32， ∴b ＝4 2.由正弦定理：c sin C ＝bsin B.∴sin C ＝c b sin B ＝542×45＝22.∵c <b 且B 为锐角，∴C 一定是锐角． ∴C ＝45°. 能力提升13．已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( )A ．0<C ≤π6B ．0<C <π2C.π6<C <π2D.π6<C ≤π3 答案 A解析 方法一 (应用正弦定理)∵AB sin C ＝BC sin A ，∴1sin C ＝2sin A∴sin C ＝12sin A ，∵0<sin A ≤1，∴0<sin C ≤12.∵AB <BC ，∴C <A ，∴C 为锐角，∴0<C ≤π6.方法二 (应用数形结合)如图所示，以B 为圆心，以1为半径画圆， 则圆上除了直线BC 上的点外，都可作为A 点．从点C 向圆B 作切线，设切点为A 1和A 2，当A 与A 1、A 2重合时，角C 最大，易知此时：BC ＝2，AB ＝1，AC ⊥AB ，∴C ＝π6，∴0<C ≤π6.14．△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值；（2）设BA ·BC =23，求a+c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC .于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin A ＋C sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA ·BC=23得ca ·cosB = 23 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理：b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.1．解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型及其解法见下表：已知条件 应用定理 一般解法一边和两角 (如a ，B ，C ) 正弦定理由A ＋B ＋C ＝180°，求角A ；由正弦定理求出b 与c .在有解时只有一解．两边和夹角 (如a ，b ，C ) 余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c ；由正弦定理求出小边所对的角；再由A ＋B ＋C ＝180°求出另一角．在有解时只有一解．三边(a ，b ，c )余弦定理 由余弦定理求出角A 、B ；再利用A ＋B ＋C ＝180°，求出角C .在有一解时只有一解. 两边和其中一边的对角如 (a ，b ，A ) 余弦定理 正弦定理 由正弦定理求出角B ；由A ＋B＋C ＝180°，求出角C ；再利用正弦定理或余弦定理求c .可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径 (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．。
浙江省诸暨市牌头中学高中数学人教A版必修5练习：1.2.
1．2．3应用举例（三）一、选择题1、巡逻艇从港口P 向东南方向行驶210海里到达A 岛，下一个要巡逻的B 岛在港口P 的东面20海里处，为了尽快到达B 岛，巡逻艇应该（）（A ）向东行驶10海里（B ）向北行驶10海里 （C ）向西北行驶210海里（D ）向东北行驶210海里2、若△ABC 的三边长分别为3、4、6，则△ABC 的较大锐角的平分线分△ABC 成两个三角形的面积之比为（）（A ）1：1（B ）1：2（C ）2：3（D ）3：4 3、在△ABC 中，如果BCB cC b 2cos 12cos 1cos cos ++=，则△ABC 是（）（A ）等腰三角形（B ）直角三角形（C ）等腰直角三角形（D ）等腰或直角三角形4、位于A 处的信息中心获悉，在其正东方向相距40海里的B 处有一渔船遇险，在原地等待营救。
信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向前往救援，则cos θ=） （A ）721（B ）1421 （C ）14213 （D ）2821 二、填空题5、如图是摇臂吊车示意图，已知AB=30cm ，BC=70cm ，AC=50cm ， 则cos ∠DCB=__________。
6、在△ABC 中，C=90°，A=30°，BC=1，点D 是边BC 上任意一点，E 在边AC 上，F 在边AB 上，且△DEF 为等边三角形，则△DEF 的面积的最小值为__________。
7、两艘快艇一前一后前进，后一艇的速度是前一艇的速度的倍， 前艇突然向与原方向成30°角的方向行驶，若后艇想在最短时间内赶上前艇，则它的行驶方向与原方向所成角的正弦值为__________。
8、一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛屿M 的方位角为北偏东α，前进mkm 后在B 处又测得M 的方位角为北偏东β，已知该岛屿周围nkm 范围内有暗礁，现该船继续东行，当α、β满足条件___________时，该船没有触礁危险。
浙江省诸暨市牌头中学高中数学 1.1.1 正弦定理练习 新人教A版必修5
1．1．1 正弦定理一、选择题1、在△ABC 中，A=60°，B=45°，22=b ，则=a（）（A ）2 （B ）62（C ）32（D ）83 2、在△ABC 中，已知4=a ，34=b ，A=30°，则B 等于 （）（A ）30°（B ）30°或150°（C ）60° （D ）60°或120° 3、在△ABC 中，已知A>B ，则一定有（）（A ）tanA>tanB（B ）sinA<sinB （C ）sinA>sinB （D ）cosA>cosB4、在△ABC 中A=45°，22=a ，32=b ，则满足条件的三角形的个数为（ ）（A ）0（B ）1（C ）2（D ）无数个 5、在△ABC 中，若C=120°，a c 2=，则（）（A ）b a >（B ）b a <（C ）b a =（D ）大小不确定 6、在△ABC 中，C B A 222sin sin sin +>，则△ABC 的形状是（）（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）都有可能二、填空题7、在△ABC 中，若A=60°，△ABC 的外接圆半径为3，则=a ________。
8、在△ABC 中，AB=4，C=30°，A=45°，则=b _______。
9、在△ABC 中，若5cos =B a ，12sin =A b ，则=a _______。
10、在△ABC 中，若x a =，2=b ，B=45°，若这个三角形有两解，则x 的取值范围是______。
三、解答题11、已知△ABC 的周长为21+，且C B A sin 2sin sin =+。
（1）求AB 的长；（2）若C S ABC sin 41=∆，求角C 。
人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理(一).docx
1.1.2余弦定理（一）一、选择题1．在△ABC 中，已知13,34,8===c b a ，则△ABC 的最小角为（ ）A ．3πB ．4π Ｃ．4π Ｄ．12π2．在△ABC 中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角Ａ等于（ ）Ａ．030 Ｂ．060 Ｃ．0120 Ｄ．01503．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）Ａ．0075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b aＣ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a4在△ABC 中，已知)(2222444b a c c b a +=++则角Ｃ＝（ ）Ａ．030 Ｂ．060 Ｃ．0013545或 Ｄ．01205．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为（ ） A. 3 B. 23 C. 23或3 D. 36．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是（ ）A ．90° B.120° C .135° D.150°二、填空题7．已知锐角三角形的边长为1、3、a ，则a 的取值范围是________8．在△ABC 中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_______三、解答题9．在△ABC 中，已知030,35,5===A c b ，求C B a 、、及面积S10．在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ,8,4=+=c a b ,求c a 、的长.1.1.2余弦定理（一） 一、选择题1.B2.B3.D4.C5.C6.B二、填空题7．1022＜a＜8. 32 三、解答题 9. 解 由余弦定理，知A bc c b a cos 2222-+=2530sin 3552)35(5022=⨯⨯-+=∴5=a 又∵b a =∴030==A B∴00120180=--=B A C432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S10. 解：由正弦定理，得C c A a sin sin = ∵Ａ＝２Ｃ ∴Cc C a sin 2sin = ∴C c a sin 2= 又8=+c a ∴ c c cocC 28-= ① 由余弦定理，得 C C c Cab b a c 222222cos 1616cos 4cos 2-+=-+= ②① 入②，得 )(44524516舍或⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==a c a c ∴516524==c a ，。
人教A版高中数学必修五1.1.2余弦定理(二).docx
1.1.2余弦定理（二）一、选择题1．在△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ． 钝角三角形D ．非钝角三角形2、△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为A ．6π B.3π C. 2π D.23π 3．在△ABC 中，a ,b ,c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，且2223b c bc a ++=则A ∠等于 （ ）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 4．在△ABC 中，若bc a c b c b a 3))((=-+++，并有sinA ＝２sinBcosC,那么△ABC 是（ ）Ａ．直角三角形 Ｂ．等边三角形Ｃ． 等腰三角形 Ｄ．等腰直角三角形5．在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值为（ ） Ａ．1770 Ｂ．1270 Ｃ．1470 Ｄ．1410 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定二、填空题7．△ABC 中，ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，Ｓ△ABC ＝４，则ＡＣ＝_________8.如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则AD BC ⋅=__________.三、解答题 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为c b a ,,，证明C B A c b a sin )sin(222-=-.10. 在△ABC 中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 的对边，且28sin 2cos 272B C A +-=. （1）求角A 的大小；（2）若a=3,b+c=3,求b 和c 的值.AB D C1.1.2余弦定理（二） 一、选择题1.C2.B3.D4.B5.C6.A二、填空题7．4117或8. 83- 三、解答题9. 解 由余弦定理,知A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+= ∴B ac A bc a b b a cos 2cos 22222+--=-C B A C B A B A cb a sin )sin(sin sin cos cos sin 222-=-=-10. 解：（1）在△ABC 中有B+C=π-A ，由条件可得 4[1-cos （B+C ）]-4cos 2A+2=7.又∵ cos （B+C ）=-cosA ， ∴4 cos 2A-4cosA+1=0解得：cosA=21, 又A ∈（0，π），∴ A=3π. （2）由cosA=21 知 bc a c b 2222-+=21, 即bc a c b 3)(22=-+ 又a=3，b+c=3，代入得 2bc =.由⎩⎨⎧==+23bc c b ⇒ ⎩⎨⎧==21c b 或 ⎩⎨⎧==12c b。
浙江省诸暨市牌头中学高中数学 1.2.1 解三角形应用举例一练习 新人教A版必修5
1．2．1 应用举例（一）一、选择题1、已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的（）（A ）北偏东10°（B ）北偏西10°（C ）南偏东10° （D ）南偏西10°2、如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧， 他在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ， ∠ACB=45°，∠CAB=105°后就可以计算出A 、B 两点间 的距离为（）（A ）250m （B ）350m （C ）225m（D ）2225m 3、某人向正东方向走了xkm 后向右转了150°，然后沿新方向走了3km ，结果离出发点恰好3km ，则x 的值为（ ）（A ）3（B ）23（C ）23或3（D ）34、某船以622km/h 的速度由A 处向正北航行，在A 处看灯塔S 在北偏东45°处，1.5h 后航行到B 处，在B 处看灯塔在南偏东15°，则灯塔S 与B 间的距离为 （）（A ）66km（B ）132km（C ）96km（D ）33km二、填空题5、一艘船以4km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，，则经过1小时，该船实际的航程为________。
6、如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处， 之后它继续沿正北方向均速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距28n mile ， 则此船的航行速度为_______n mile/h 。
7、如图，海岸线上有相距5n mile 的两座灯塔A 、B ， 灯塔B 位于灯塔A 的正南方向，海上停泊着两轮船， 甲船位于A 的北偏西75°方向，与A 相距23n mile 的 D 处；乙船位于B 的北偏西60°方向，与B 相距5n mile 的ABCC处，则两船间的距离为_______ n mile。
人教A版高中数学必修五1.1.2正弦定理和余弦定理.docx
第一章 解三角形§1.1.2正弦定理和余弦定理班级 姓名 学号 得分一、选择题1．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，∠A ＝120°，则a 等于……………….( ) A ．221B ．6C ．221或6D ．23615+2．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于…..( ) A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°3．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是…( ) A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，若c 4-2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则∠C 等于………………….( ) A ．90°B ．120°C ．60°D ．120°或60°5．已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为………...( ) A ．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C ) B ．sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C cos(A ＋C ) C ．sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B -2sin A sin B cos CD ．sin 2(A ＋B )＝sin 2A ＋sin 2B -2sin B sin C cos(A ＋B )6*．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为……………………( ) A ．79B ．69C ．5D ．-5二、填空题7．已知△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2-9x ＋8＝0的两个正实数根，那么BC 边长是________．8．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1413，则最大角的余弦值是________．9．在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则c a bc b a +++＝________． 10*．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝________．三、解答题11．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．12．在△ABC 中，cos210922=+=c c b A ，c ＝5，求△ABC 的内切圆半径．13．已知△ABC 的三边长a 、b 、c 和面积S 满足S ＝a 2-(b -c )2，且b ＋c ＝8，求S 的最大值．14*．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0，求这个三角形的最大内角．§1.1.2正弦定理和余弦定理参考答案一、选择题A D C D D D 二、填空题7．57 8．-719．1 10．4或5三、解答题11．解：b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(33)2＋22-2·23·2·(-23)＝49．∴ b ＝7，S △＝21ac sin B ＝21×33×2×21＝233．12．解：∵ c ＝5，1092=+cc b ，∴ b ＝4 又cos 2c c b A A 22cos 12+=+= ∴ cos A ＝c b又cos A ＝bc a c b 2222-+ ∴c bbc a c b =-+2222∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2∴ a 2＋b 2＝c 2 ∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝22b c -＝3∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21(b ＋a -c )＝1．13．解：∵ S ＝a 2-(b -c )2 又S ＝21bc sin A ∴ 21bc sin A ＝a 2-(b -c )2∴412222=-+bc a c b (4-sin A )∴ cos A ＝41(4-sin A )∴ sin A ＝4(1-cos A ) ∴ 2sin 2sin 82cos 22A A A =∴ tan 2A 41=∴ sin A ＝178)41(14122tan 12tan222=+⨯=+A A17644)(174174sin 212=+⋅≤==c b S bc A bC S ∴ c ＝b ＝4时，S 最大为176414．解：∵ a 2-a -2b -2c ＝0，a ＋2b -2c ＋3＝0 由上述两式相加，相减可得c ＝41(a 2＋3)，b ＝41(a -3)(a ＋1) ∴ c -b ＝21(a ＋3)∵ a ＋3＞0，∴ c ＞bc -a ＝41(a 2＋3)-a ＝41(a 2-4a ＋3)＝41(a -3)(a -1)∵ b ＝41(a -3)(a ＋1)＞0，∴ a ＞3 ∴ 41(a -3)(a -1)＞0∴ c ＞a∴ c 边最大，C 为最大角∴ cos C ＝ab c b a 2222-+21)1)(3(412)3(161)1()3(16122222-=+-⋅+-+-+=a a a a a a a∴ △ABC 的最大角C 为120°。
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1．1．2 余弦定理（一）
一、选择题
1、在△ABC 中，已知3=a ，1=b ，C=60°，则=c （ ）
（A ）7
（B ）7
（C ）13
（D ）13 2、在△ABC 中，已知ab c b a 32
2
2
=-+，则C=
（
）
（A ）30°
（B ）60°
（C ）120°
（D ）150° 3、在△ABC 中，已知ac b =2，a c 2=，则=B cos
（
）
（A ）
4
1 （B ）
4
3 （C ）
4
2
（D ）
3
2 4、在△ABC 中，已知AB=2，BC=3，AC=7，则B=
（
）
（A ）30°
（B ）60°
（C ）120°
（D ）150° 5、在△ABC 中，已知7=a ，10=b ，6=c ，则△ABC 的形状是
（
）
（A ）锐角三角形
（B ）直角三角形
（C ）钝角三角形
（D ）不确定 6、在△ABC 中，已知()42
2
=-+c b a ，C=60°，则=ab
（
）
（A ）
3
4
（B ）348-
（C ）1
（D ）
3
2 二、填空题
7、在△ABC 中，已知7=a ，8=b ，14
13
cos =C ，则=B cos _______。
8、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，边BC 边上的中线2
7
=AD ，则BC=_______。
9、在△ABC 中，已知C=60°，则=+++c
a b
c b a _______。
10、在△ABC 中，已知()
222
3
41a c b
S ABC -+=∆，则A=_______
三、解答题
11、在△ABC 中，已知4=a ，6=+c b ，4
1
cos =A ，求b 、c 的值。
12、钝角三角形的三条边分别是a 、1+a 、2+a ，且最大内角不超过120°，求实数a 的取值范围。
13、已知△ABC 的面积为S ，满足()2
2
c b a S --=，8=+c b ，求S 的最大值。
1．1．2
余弦定理（一）
1、A
2、A
3、B
4、B
5、C
6、A
7、7
1-
8、24
9、 1 10、30°
11、⎩⎨
⎧==42c b 或⎩⎨⎧==2
4c b 。
12、最大内角⎥⎦⎤
⎝⎛∈32,2ππθ， ()()()⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-∈++-++=0,211221cos 2
2
2a a a a a θ，得[)3,2
3∈a 。
13、
()()A A c b a A bc cos 14sin sin 2
12
2-=⇒--=，得1715cos =A ，所以()17
64
8174174≤
-==b b bc S 。