届高三数学一轮复习第九章平面解析几何第五节椭圆夯基提能作业本文0604

第五节椭圆
A组基础题组
1.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是( )
A. B.(1,+∞) C.(1,2) D.
2.椭圆+=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( )
A.2
B.4
C.8
D.
3.设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上,若
∠PF1F2=30°,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
5.已知椭圆C:+=1的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为( )
A. B. C. D.
6.直线x-2y+2=0过椭圆+=1的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的方程为.
7.如图,椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值
为.
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C.
(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;
(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.
9.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.
B组提升题组
10.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.
若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知椭圆+=1(a>b>0)上的动点到焦点的距离的最小值为-1,以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为( )
A.+=1
B.+=1
C.+y2=1
D.+=1
12.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率等于,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则
在△ABC中,的值等于.
13.如图,椭圆的中心是坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若∠B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为.
14.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.
答案全解全析
A组基础题组
1.C ∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴解得故k的取值范围为(1,2).
2.B 设椭圆的另一个焦点为F2.如图,连接MF2,已知|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=10,
∴|MF2|=10-|MF1|=8.
由题意知|ON|=|MF2|=4.故选B.
3.A 如图,设PF1的中点为M,连接PF2.
因为O为F1F2的中点,所以OM为△PF1F2的中位线.
所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°.
因为∠PF1F2=30°,所以|PF1|=2|PF2|.
由勾股定理得|F1F2|==|PF2|,
由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|⇒a=,2c=|F1F2|=|PF2|⇒c=,
则e==·=.
4.D 直线AB的斜率k==,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
①-②得=-·.
即k=-×,
∴=. ③
又a2-b2=c2=9, ④
由③④得a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为+=1,故选D.
5.B 由椭圆方程知c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0),因为椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2,所以可设
A(1,y0),代入椭圆方程可得=,所以y0=±.设P(x1,y1),则=(x1+1,y1),=(0,y0),所以
·=y1y0,因为点P是椭圆C上的动点,所以-≤y1≤,故·的最大值为,选B.
6.答案+y2=1
解析直线x-2y+2=0与x轴的交点为(-2,0),即为椭圆的左焦点,故c=2.直线x-2y+2=0与y轴的交点
为(0,1),即为椭圆的上顶点,故b=1.
所以a2=b2+c2=5,所以椭圆的方程为+y2=1.
7.答案 3
解析由题意知|F
1F2|=2,因为|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-4,在△F1PF2中,由余弦定理
得cos 120°==-,化简得8a=24,即a=3.
8.解析设椭圆的焦距为2c,则F 1(-c,0),F2(c,0).
(1)因为B(0,b),所以BF2==a.
又BF2=,故a=.
因为点C在椭圆上,
所以+=1,解得b2=1.
故所求椭圆的方程为+y2=1.
(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,
所以直线AB的方程为+=1.
解方程组
得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.
因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.结合b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.
9.解析(1)根据c=及题设知M,∴=,即2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).
故C的离心率为.
(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,
则即
代入C的方程,得+=1.②
将①及c=代入②得+=1.
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.
B组提升题组
10.A 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令
M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于,得≥,即b≥1.所以e2===≤,又0<e<1,所以e∈,故选A.
11.C 由题意知a-c=-1①,b==1,所以a2-c2=1②,联立①②解得所以椭圆C的方程为
+y2=1.故选C.
12.答案 3
解析在△ABC中,由正弦定理得=,因为点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,
而|AB|=2c,所以===3.
13.答案
解析设椭圆的方程为+=1(a>b>0),∠B
1PA2为钝角可转化为,所夹的角为钝角,则(a,-b)·(-c,-b)<0,得b2<ac,即a2-c2<ac,故+-1>0,即e2+e-1>0,解得e>或e<,又
0<e<1,∴<e<1.
14.解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,
则原点O到该直线的距离d==,
由d=c,得a=2b=2,解得离心率e==.
(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①
依题意,得圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.
易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,
x1x2=.
由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.
从而x1x2=8-2b2.
于是|AB|=|x1-x2|==.
由|AB|=,得=,解得b2=3.
故椭圆E的方程为+=1.
解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②
依题意,得点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2, 两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得
-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,
易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,
所以AB的斜率k AB==.
因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,
代入②得x2+4x+8-2b2=0.
所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.
于是|AB|=|x1-x2|
==.
由|AB|=,得=,
解得b2=3.
故椭圆E的方程为+=1.。