江苏高二文科复习学案+练习12_二次函数(2)、幂函数
二次函数与幂函数典型例题(含答案)
二次函数与幂函数1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是.①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x＝－时，f(x)min ＝；②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x＝－时，f(x)max ＝.③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0<a<1时，递增速度越来越慢。
y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减，x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1) (1,1)一条主线二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．两种方法二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝；(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是双基自测1．下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()．A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞253．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2011·陕西)函数的图象是()．5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.考向一求二次函数的解析式【例1】?已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．考向二幂函数的图象和性质【例2】?幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为()．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.考向三二次函数的图象与性质【例3】?已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是()．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－解析A，C，D均不符合幂函数的定义．答案 B2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是()．A．f(1)≥25 B．f(1)＝25C．f(1)≤25 D．f(1)＞25解析对称轴x＝≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.答案 A3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.答案 C4．(2011·陕西)函数的图象是()．解析由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.答案 B5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x2，则x1＋x2＝________.解析由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有＝3?x1＋x2＝6.答案6考向一求二次函数的解析式【例1】?已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．[审题视点]采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)．解依题意得解得：∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点A(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴y0＝x＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x.二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．解法一利用二次函数的一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解之得∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.法二利用二次函数的顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)．∴此二次函数的对称轴为x＝＝.∴m＝，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8，∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.考向二幂函数的图象和性质【例2】?幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为()．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．解析由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0,1,2.∵m2－2m－3为偶数，经验证m＝1符合题意．答案 C根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.解析由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.答案±1考向三二次函数的图象与性质【例3】?已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．[审题视点]先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．解函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，(1)若a＜0，f(x)在区间[0,2]上单调递增，当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(2)若0≤a＜1，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(3)若1≤a＜2，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；(4)若a≥2，则f(x)在区间[0,2]上单调递减，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．解析由于f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝1＞0，f(m)＝f(n)＝0，可得a∈(m，n)，b∈(m，n)，所以m＜a＜b＜n.答案m＜a＜b＜n考向四有关二次函数的综合问题【例4】?设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解．解当a＞0时，f(x)＝a＋2－.∴或或∴或或∴a≥1或＜a＜1或?，即a＞；当a＜0时，解得a∈?；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意．综上可得，实数a的取值范围是a＞.含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．解(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】?(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范]∵f(x)＝－42－4a，∴抛物线顶点坐标为.(1分)①当≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜＜1，即0＜a＜2时，x＝时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝∈(0,2)；(7分)③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a＝或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．[尝试解答]∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y min＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y min＝－1.综上，g(a)＝。
高考数学(苏教版文)一轮配套学案：幂函数与二次函数
第4讲幂函数与二次函数知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0} 值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减定点(0,0)，(1,1) (1,1) (1)二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．(2)二次函数的三种常见解析式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标；③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象a >0a <0定义域 RR值域 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性 b ＝0⇔y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 递减 区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值y min＝4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y 有最大值y max ＝4ac －b 24a1．对幂函数的认识(1)函数f (x )＝x 2与函数f (x )＝2x 2都是幂函数．(×) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．(×) (3)幂函数的图象不经过第四象限．(√) 2．对二次函数的理解(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×)(5)(教材习题改编)函数f (x )＝12x 2＋4x ＋6，x ∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.(×) (6)(2011·陕西卷改编)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ≤4.(×) [感悟·提升]三个防范 一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．三是一元二次方程有实根的充要条件为Δ≥0，但还要注意n ∈N *，如(6).考点一 幂函数的图象与性质的应用【例1】 (1)(2014·济南模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为________．(2)函数y ＝13x 的图象是________．解析 (1)设f (x )＝x α，由图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22＝⇒α＝12，log 4f (2)＝＝14.(2)显然f (－x )＝－f (x )，说明函数是奇函数，同时由当0＜x ＜1时，13x ＞x ；当x＞1时，13x＜x，知只有②符合．答案(1)14(2)②规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴1 21.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.解(1)把1看作，幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴即幂函数y＝在(0，＋∞)上是增函数，且7 10＜22＜1.21.∴考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是________．解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．答案①④规律方法解决二次函数的图象问题有以下两种方法：(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】(2012·山东卷改编)设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2________0，y1＋y2________0(比较大小)．解析 由题意知满足条件的两函数图象如图所示．作B 关于原点的对称点B ′，据图可知：x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0. 答案 ＞ ＜考点三 二次函数的综合运用【例3】 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 审题路线 f (0)＝1求c →f (x ＋1)－f (x )＝2x 比较系数求a ，b →构造函数g (x )＝f (x )－2x －m →求g (x )min →由g (x )min ＞0可求m 的范围． 解 (1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1. 因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．规律方法 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析. 【训练3】 (2014·盐城检测)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在区间[－2,2]上的最大值、最小值分别是M ，m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }． (1)若A ＝{1,2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值． 解 (1)由f (0)＝2可知c ＝2.又A ＝{1,2}， 故1,2是方程ax 2＋(b －1)x ＋2＝0的两实根． 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋2＝1－ba ，2＝2a .解得a ＝1，b ＝－2.所以f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－2,2]． 当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝1，即m ＝1. 当x ＝－2时，f (x )max ＝f (－2)＝10，即M ＝10.(2)由题意知，方程ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两相等实根x ＝1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＝1－b a ，1＝ca ，即⎩⎨⎧b ＝1－2a ，c ＝a .所以f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a ，x ∈[－2,2]，其对称轴方程为x ＝2a －12a ＝1－12a .又a ≥1，故1－12a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.所以M ＝f (－2)＝9a －2.m ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2a －12a ＝1－14a . g (a )＝M ＋m ＝9a －14a －1.又g (a )在区间[1，＋∞)上单调递增，所以当a ＝1时，g (a )min ＝314.1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】 (12分)(经典题)求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．[规范解答] 函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a22＋a24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a 2≤1，a2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论．(2分)(1)当a ＜－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ；(5分)(2)当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；(8分)(3)当a ＞2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1.(11分)综上可知，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.(12分)[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.答题模板 第一步：配方，求对称轴.第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论.第三步：求最值.第四步：下结论.【自主体验】已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a 的值． 解 f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a 2，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0,1]上递增． ∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5， ∴a ＝±1＜2(舍去)．②当0＜a2＜1，即0＜a ＜2时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0,2)．③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在区间[0,1]上递减， 此时f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，即a 2＋4a －5＝0，∴a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是______．解析 设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x －2的单调递增区间是(－∞，0)． 答案 (－∞，0)2．(2013·浙江七校模拟)二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是________．解析 二次函数图象的顶点在x 轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t ＝0，解得t ＝－4. 答案 －43．(2014·扬州检测)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1,0)和(3,0)，则函数f (x )的单调递增区间为________．解析 由已知可得该函数的图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1＞0，所以f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的． 答案 [2，＋∞)4．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a 的大小关系是________． 解析 5－a ＝⎝⎛⎭⎪⎫15a ，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a .答案 5a ＜0.5a ＜5－a5．(2014·南阳一中月考)函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是________．解析 若0＜a ＜1，则f (x )不可能为减函数，当a ＞1时，由函数(f )x ＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，知6－ax ＞0在[0,2]恒成立，等价于(6－ax )min ＞0，即6－2a ＞0，得a ＜3，所以a 的取值范围是(1,3)． 答案 (1,3)6．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )(x ∈R )，且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________.解析 由f (3＋x )＝f (3－x )，知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，应有x 1＋x 22＝3⇒x 1＋x 2＝6. 答案 67．(2014·苏州检测)已知函数y ＝－x 2＋4ax 在区间[1,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析 根据题意，得对称轴x ＝2a ≤1，所以a ≤12. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)． 答案 (0,1) 二、解答题9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )＞－2x 的解集为{x |1＜x ＜3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式． 解 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3) (a ＜0)，则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ， f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝[－(4a ＋2)]2－36a 2＝0，即(5a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝－15或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.10．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ； 当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2014·江门、佛山模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则α的取值范围是________．解析 当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，即当x ＞1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意． 答案 (－∞，1)2．(2014·衡水中学二调)设集合A ＝{}x |x 2＋2x －3＞0，集合B ＝{}x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0.若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是________．解析 A ＝{}x |x 2＋2x －3＞0＝{}x |x ＞1，或x ＜－3，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f (0)＝－1＜0，根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎨⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43. 答案 [34，43) 3．已知函数f (x )＝，给出下列四个命题：①若x ＞1，则f (x )＞1；②若0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ③若0＜x 1＜x 2，则x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)； ④若0＜x 1＜x 2，则f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中，所有正确命题的序号是________． 解析 对于①：∵y ＝在(0，＋∞)上为增函数，∴当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝1，①正确；对于②：取x 1＝14，x 2＝4，此时f (x 1)＝12，f (x 2)＝2，但f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1，②错误；对于③：构造函数g (x )＝f (x )x ＝xx ，则g ′(x )＝x2x －x x 2＝－x 2x 2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上为减函数，当x 2＞x 1＞0时，有f (x 2)x 2＜f (x 1)x 1，即x 1f (x 2)＜x 2f (x 1)，③错误；对于④：画出f (x )＝x 12在(0，＋∞)的图象，可知f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，④正确． 答案 ①④ 二、解答题4．(2014·辽宁五校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)， ∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x (x ＞0)，x 2＋2x (x ≤0).(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎨⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1(0＜a ≤1)，2－4a (a ＞1).。
江苏高二文科复习学案+练习12_二次函数(2)、幂函数
1．函数y x=-32的定义域是 ． 2．)()27,3)(4x f x f ，则的图象过点（幂函数的解析式是 ． 3．942--=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 ． 4．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m nk∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 ． 5．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是 ．6.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是 ．7．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为 ．8．函数220.3x x y --=的定义域为___ __；单调递增区间 ；值域 ．9．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）y x x x x y x =++++=---22532221221（）()．10．设函数,223,2)1(,)(2b c a a f c bx ax x f >>-=++=且求证： （1）4330-<<->a b a 且； （2）设21,x x 是函数)(x f 的两个零点，则.457||221<-≤x x1． (,)0+∞； 2．34()(0)f x x x =≥； 3．5； 4．k m ,为奇数，n 是偶数；5． 5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 6.(][),55,-∞-⋃+∞ 7． 2215y x x =-++ 8． R ；1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；140,0.3⎛⎤ ⎥⎝⎦． 9．解：（1）1)1(1112112222222++=+++=++++=x x x x x x x y 把函数21,x y =的图象向左平移1个单位， 再向上平移1个单位可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象. （2）1)2(35--=-x y 的图象可以由35-=x y 图象向右平移2个单位，再向下平移 1个单位而得到.图象略10．证明：（1）2)1(a c b a f -=++= 0223=++∴c b a 又b c a 223>> 02,03<>∴b a 0,0<>∴b a又2c=－3a －2b 由3a ＞2c ＞2b ∴3a ＞－3a －2b ＞2b∵a ＞0 433-<<-∴a b （2）∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点 则0,221=++c bx ax x x 是方程的两根 ∴ab ac x x a b x x --==-=+23,2121 2)2()23(4)(4)(||222122121++=----=-+=-∴ab a b a b x x x x x x 433-<<-a b 457||221<-≤∴x x ．。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解12---二次函数、幂函数
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数、幂函数考向预测核心素养二次函数一般与其他知识综合考查，幂函数的考查以图象、性质为主，题型一般为选择题、填空题，中档难度.直观想象、逻辑推理、数学抽象一、知识梳理1．常见的五种幂函数的图象2．幂函数y＝xα的性质(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；(3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．3．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 4．二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 常用结论1．二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．2．(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 58T 6改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－120C.⎝ ⎛⎭⎪⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－120，0 解析：选C.由题意知⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，1－20a <0，解得a >120. 2．(人A 必修第一册P 91练习T 1改编)已知幂函数f (x )＝kx α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝________．解析：因为函数f (x )＝kx α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.答案：32一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝2x 12是幂函数．( )(2)根据二次函数的两个零点就可以确定函数的解析式．( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值是4ac －b24a.( )答案：(1)× (2)× (3)× 二、易错纠偏1．(二次函数性质不明致误)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞) B.(－∞，3] C ．(－∞，－3)D.(－∞，－3]解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.2．(二次函数图象特征不清致误)设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”)解析：f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，所以m ∈(0，1)，所以m －1<0，所以f (m －1)>0.答案：>3．(幂函数概念不清致误)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上单调递减．解析：设y ＝f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，代入解析式得α＝－12，则y ＝x －12，由性质可知函数y ＝x －12在(0，＋∞)上单调递减．答案：y＝x－12(0，＋∞)考点一幂函数的图象及性质(自主练透)复习指导：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x 12的图象，了解它们的变化情况．1．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )A．奇函数 B.偶函数C．定义域内的减函数 D.定义域内的增函数解析：选A.设f(x)＝xα，由已知得⎝⎛⎭⎪⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f(x)＝x－1，易知该函数为奇函数．2．(链接常用结论2)已知函数f(x)＝(m2－m－1)·x m2－2m－3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝( )A．2 B.－1C.4D.2或－1解析：选A.由题意知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2，当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则f(x)在(0，＋∞)上为常数，不合题意．当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则f(x)＝x－3在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．所以m＝2.3.若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( )A ．d >c >b >a B.a >b >c >d C ．d >c >a >bD.a >b >d >c解析：选B.由幂函数的图象可知，在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.4．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，则m ＝________，满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为________．解析：因为f (x )的图象过点(2，2)，所以2＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，又m ∈N *，所以m ＝1.即f (x )＝x 12，其定义域为{x |x ≥0}，且在定义域上函数为增函数， 所以由f (2－a )>f (a －1)得0≤a －1<2－a ，解得1≤a <32.答案：1 1≤a <32幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．考点二 二次函数的解析式(综合研析)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据已知条件求二次函数的解析式．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．【解】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的策略|跟踪训练|已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称．又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1，2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)．因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)．又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.考点三二次函数的图象和性质(多维探究)复习指导：理解二次函数的定义，能够根据二次函数的图象讨论性质，从数形结合的观点研究和二次函数有关的问题．角度1 二次函数的图象(1)(多选)(2022·济南月考)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，则( )A．b2＞4ac B.2a－b＝1C．a－b＋c＝0 D.5a＜b(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则( )A．f(m＋1)≥0 B.f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0 D.f(m＋1)<0【解析】(1)因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．(2)因为f(x)的对称轴为x＝－12，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.【答案】(1)AD (2)C识别二次函数图象应学会“三看”角度2 二次函数的单调性与最值(1)若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A．[－3，0) B.(－∞，－3]C．[－2，0] D.[－3，0](2)若函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[1，2]上有最大值4，则a 的值为________． 【解析】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意； 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a， 由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎨⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． (2)f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .①当a ＝0时，函数f (x )在区间[1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； ②当a >0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；③当a <0时，函数f (x )在区间[1，2]上单调递减，最大值为f (1)＝3a ＋1＝4，解得a ＝1，不符合题意，舍去．综上可知，a 的值为38.【答案】 (1)D (2)38若本例(1)中函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________．解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a 2a ＝－1，所以a ＝－3. 答案：－3(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解．|跟踪训练|1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则函数f (x )的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C ；又f (0)＝c <0，排除B ，故选D.2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，则m 的取值范围为( )A ．(0，4] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选C.y ＝x 2－3x ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3.3．(多选)(2022·邯郸九校联盟期中)若函数f (x )＝x |x －a |在[0，2]上的最大值为2，则a 的取值可以为( )A ．1 B.3 C.2 2D.42－4解析：选AC.若a ≤0时，f (x )在[0，2]上单调递增，f (x )max ＝f (2)＝2|2－a |＝2，解得a ＝1(舍去)或a ＝3(舍去)． 若a >0时，f (x )＝⎩⎨⎧－x （x －a ），x ≤a ，x （x －a ），x >a ，当a2>2即a >4时，f (x )max ＝f (2)＝－2(2－a )＝2，解得a ＝3(舍去)． 当x >a 时，令f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，解得x ＝（2＋1）a 2(负值舍去)．当a2≤2≤（2＋1）a 2即4(2－1)≤a ≤4时，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24＝2，解得a ＝2 2. 当2>（2＋1）a2即a <4(2－1)时，f (x )max ＝f (2)＝2(2－a )＝2.解得a ＝1.[A 基础达标]1．若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B.[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D.(－∞，0)解析：选D.设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．2．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·xm 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A．1或3 B.1C.3D.2解析：选B.由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1.3．(2022·潍坊模拟)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )A．a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0C．a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0解析：选A.由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，所以f(x)先减后增，于是a>0.4．(多选)(2022·淄博模拟)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是( ) A．f(－1) B.f(1)C.f(2)D.f(5)解析：选ACD.因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．5．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )A．－3 B.1C.2D.1或2解析：选B.由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．6．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称．”根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是( )A ．在x 轴上截得的线段的长度是2B ．与y 轴交于点(0，3)C ．顶点是(－2，－2)D ．过点(3，0)解析：选ABD.由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，－b 2a ＝2，解得b ＝－4a ，c ＝3a ，所以二次函数为y ＝a (x 2－4x ＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，故选ABD.7．(2022·山东烟台模拟)若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．解析：y ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m －1162＋m －7－8⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1162， 因为值域为[0，＋∞)，所以m －7－8⎝⎛⎭⎪⎫m －1162＝0， 解得m ＝9或m ＝25. 答案：9或258．若(3－2m )12>(m ＋1)12，则实数m 的取值范围为________． 解析：因为y ＝x 12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎨⎧3－2m ≥0，m ＋1≥0，3－2m >m ＋1，解得－1≤m <23.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，239．(2022·潍坊质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，－2≤x ≤c ，1x ，c <x ≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是________；若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，则实数c 的取值范围是________．解析：当c ＝0时，即x ∈[－2，0]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2，当x ∈(0，3]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞，所以f (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞.作出y ＝x 2＋x 和y ＝1x 的图象如图所示，当f (x )＝－14时，x ＝－12；当x 2＋x ＝2时，x ＝1或x ＝－2；当1x ＝2时，x ＝12，由图象可知当f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2时，需满足12≤c ≤1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，110．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2.(1)求f (x )的表达式；(2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1，2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围．解：(1)由f (－1＋x )＝f (－1－x )可得f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，设f (x )＝a (x ＋1)2＋h ＝ax 2＋2ax ＋a ＋h (a ≠0)，由函数f (x )的值域为[－1，＋∞)，可得h ＝－1， 根据根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝1＋h a，所以|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝－4ha＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)由题意得函数g (x )在区间[－1，2]上单调递增， 又g (x )＝f (x )－kx ＝x 2－(k －2)x . 所以g (x )的对称轴方程为x ＝k －22，则k －22≤－1，即k ≤0，故k 的取值范围为(－∞，0]．[B 综合应用]11．(多选)(2022·潍坊模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x －x 2，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的最大值为14B ．f (x )在(－1，0)上是增函数C ．f (x )＞0的解集为(－1，1)D ．f (x )＋2x ≥0的解集为[0，3]解析：选AD.由题意，得当x ≥0时，f (x )＝x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14；当x <0时，f (x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，f (x )的最大值为14，A 正确；f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－12，0上是减函数，B 错误； f (x )＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C 错误； 当x ≥0时，f (x )＋2x ＝3x －x 2≥0的解集为[0，3]， 当x ＜0时，f (x )＋2x ＝x －x 2≥0无解，故D 正确．12．(2022·合肥质检)已知函数f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)．若对任意的x ∈[－1，0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，2] B.[4，＋∞) C ．[2，＋∞)D.(－∞，4]解析：选B.因为f (x )＞0的解集为(－1，3)，故－2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根分别为－1，3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－c 2＝－1×3，b 2＝－1＋3，即⎩⎨⎧b ＝4，c ＝6，令g (x )＝f (x )＋m ，则g (x )＝－2x 2＋4x ＋6＋m ＝－2(x －1)2＋8＋m ，由x ∈[－1，0]可得g (x )min ＝m ，又g (x )≥4在[－1，0]上恒成立，故m ≥4.13．(多选)(2022·菏泽模拟)已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题，其中是真命题的是( )A ．若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上单调递增 B ．存在a ∈R ，使得f (x )为偶函数C ．若f (0)＝f (2)，则f (x )的图象关于x ＝1对称D ．若a 2－b －2＞0，则函数h (x )＝f (x )－2有2个零点解析：选AB.对于选项A ，若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2在区间[a ，＋∞)上单调递增，正确；对于选项B ，当a ＝0时，f (x )＝|x 2＋b |显然是偶函数，正确；对于选项C ，取a ＝0，b ＝－2，函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |化为f (x )＝|x 2－2|，满足f (0)＝f (2)，但f (x )的图象不关于x ＝1对称，错误；对于选项D ，如图，a 2－b －2＞0，即a 2－b ＞2，则h (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|－2有4个零点，错误．14．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥2f (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解：由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，则2f (x )＝f (2x )，因此原不等式等价于f (x ＋a )≥f (2x )．易知f (x )在R 上是增函数，所以x ＋a ≥2x ，即a ≥(2－1)x .又x ∈[a ，a ＋2]，所以当x ＝a ＋2时，(2－1)x 取得最大值(2－1)(a ＋2)，因此a ≥(2－1)(a ＋2)，解得a ≥ 2.故a 的取值范围是[2，＋∞)．[C 素养提升]15．(2022·兰州模拟)已知幂函数f (x )的部分对应值如表：x 112则不等式f (|x |)≤2的解集是________．解析：设幂函数为f (x )＝x α，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.不等式f (|x |)≤2等价于|x |12≤2，所以|x |≤4， 所以－4≤x ≤4.所以不等式f (|x |)≤2的解集是[－4，4]． 答案：[－4，4]16．定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a <x 0<b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y ＝x 4是[－1，1]上的“平均值函数”，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1，1]上的“平均值函数”，求实数m 的取值范围．解：设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1，1)内有实数根，解方程得x 0＝1(舍去)或x 0＝m －1.所以必有－1<m －1<1，即0<m <2，所以实数m 的取值范围是(0，2)．。
(江苏专用)新高考数学一轮复习 第二章 函数 第4节 二次函数与幂函数学案-人教版高三全册数学学案
第4节二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上是增函数在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上是减函数[常用结论与微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.诊 断 自 测1.判断下列结论的正误.(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b24a.( )解析 (1)由于幂函数的解析式为f (x )＝x α，故y ＝2x 13不是幂函数，(1)错.(3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.(4)对称轴x ＝－b 2a ，当－b 2a 小于a 或大于b 时，最值不是4ac －b24a，故(4)错.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(多填题)(教材必修1P88例1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＝________，α＝________.解析 因为f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1. 又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22， 所以α＝12.答案 1 123.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在(－∞，4)单调递增. 当a ≠0时，f (x )在(－∞，4)上单调递增.则a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1a≥4，解得－14≤a <0.综上可知，－14≤a ≤0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，04.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( ) A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b解析 因为a ＝243＝423，b ＝323，c ＝523又y ＝x 23在(0，＋∞)上是增函数，所以c >a >b . 答案 A5.(2020·南通模拟)已知函数f (x )＝3x 2－2(m ＋3)x ＋m ＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m 的取值范围为( ) A.{0，－3} B.[－3，0]C.{0，3}D.(－∞，－3]∪[0，＋∞)解析 依题意，得Δ＝4(m ＋3)2－4×3(m ＋3)＝0，则m ＝0或m ＝－3.∴实数m 的取值范围是{0，－3}. 答案 A6.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 解析 由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，3. 又y ＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1. 答案 －1考点一 幂函数的图象和性质【例1】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的大致图象是( )(2)(2020·盐城期中)已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，b ＝f (lnπ)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <c <b B.a <b <c C.b <c <aD.b <a <c解析 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x <1时，其图象在直线y ＝x 的上方，对照选项，C 正确.(2)由于f (x )＝(m －1)x n为幂函数，所以m －1＝1，则m ＝2，f (x )＝x n. 又点(2，8)在函数f (x )＝x n的图象上，所以8＝2n ，知n ＝3，故f (x )＝x 3，且在R 上是增函数， 又ln π>1>2－12＝22>13， 所以f (ln π)>f (2－12)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则b >c >a . 答案 (1)C (2)A规律方法 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练1】 (1)(多选题)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b的图象上，则函数f (x )是( ) A.奇函数 B.偶函数C.(0，＋∞)上的增函数D.(0，＋∞)上的减函数(2)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A.－1<m <0<n <1B.－1<n <0<mC.－1<m <0<nD.－1<n <0<m <1解析 (1)由题意得a －1＝1，且12＝a b ，因此a ＝2，且b ＝－1，故f (x )＝x －1是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数.(2)幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数. 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n <0. 综上可知，－1<n <0<m <1.答案 (1)AD (2)D 考点二 二次函数的解析式【例2】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式. 解 法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练2】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.解析因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为2－22＝1或2＋22＝3.所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0).因此设f(x)＝a(x－1)(x－3).又点(4，3)在y＝f(x)的图象上，所以3a＝3，则a＝1.故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.答案x2－4x＋3考点三二次函数的图象及应用【例3】 (1)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是( )(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( )A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0解析(1)若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减，y＝(a－1)x2－x开口向下，其图象的对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B 项不正确，只有选项A 满足.(2)因为f (x )的对称轴为x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示.由f (m )<0，得－1<m <0，所以m ＋1>0，所以f (m ＋1)>f (0)>0. 答案 (1)A (2)C规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【训练3】 一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析 A 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a >0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向上，A 错误；B 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a >0，b >0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向上，对称轴x ＝－b2a <0，B 错误；C 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a <0，b <0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向下，对称轴x ＝－b2a<0，C 正确；D 中，由一次函数y ＝ax ＋b 的图象可得a <0，b <0，此时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象应该开口向下，D 错误. 答案 C考点四 二次函数的性质多维探究角度1 二次函数的单调性与最值【例4－1】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R 且a ≠0)，x ∈R . (1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围.解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为 (－∞，－1].(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k <x 2＋x ＋1在区间 [－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k <1，故k 的取值范围是(－∞，1). 角度2 二次函数中的恒成立问题【例4－2】 (2020·北京模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋ax －6，g (x )＝x ＋4.若对任意x 1∈(0，＋∞)，存在x 2∈(－∞，－1]，使f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的最大值为( ) A.6B.4C.3D.2解析 由题意f (x )max ≤g (x )max ，(*)由g (x )在(－∞，－1]上单调递增，则g (x )max ＝g (－1)＝3，f (x )＝－x 2＋ax －6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24－6.当a ≤0时，f (x )在[0，＋∞)上单调递减， 所以f (x )<f (0)＝－6，显然f (x )<g (x )max ＝3. 所以当a ≤0时，(*)恒成立.当a >0时，x ＝a2∈(0，＋∞)，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24－6.此时应有a 24－6≤3，且a >0，解得0<a ≤6. 综上可知a ≤6，则a 的最大值为6. 答案 A规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .【训练4】 (1)(角度1)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f (x )( )A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B.在(－∞，3)上递增C.在[1，3]上递增D.单调性不能确定(2)(角度2)若函数f (x )＝ax 2－(2a ＋1)x ＋a ＋1对于x ∈[－1，1]时恒有f (x )≥0，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)由已知可得该函数图象的对称轴为x ＝2，又二次项系数为1>0，所以f (x )在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的. (2)∀x ∈[－1，1]时，f (x )≥0⇔a (x －1)2≥x －1.(*) 当x ＝1时，a ∈R ，(*)式恒成立. 当x ∈[－1，1)时，(*)式等价于a ≥1x －1恒成立. 又t ＝1x －1在[－1，1)上是减函数，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1max＝－12. 综上知a ≥－12.答案 (1)A (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·濮阳模拟)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m －3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m ＝( ) A.－1B.2C.3D.2或－1解析 由题意，得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x 5的图象与坐标轴有交点，不合题意. 当m ＝－1时，f (x )＝x －4的图象与坐标轴无交点，符合题意. 综上可知，m ＝－1. 答案 A2.已知p ：|m ＋1|<1，q ：幂函数y ＝(m 2－m －1)x m在(0，＋∞)上单调递减，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 p ：由|m ＋1|<1得－2<m <0，又幂函数y ＝(m 2－m －1)x m在(0，＋∞)上单调递减， 所以m 2－m －1＝1，且m <0，解得m ＝－1. 故p 是q 的必要不充分条件. 答案 B3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关解析 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关. 答案 B4.(多选题)(2020·济南一中调研)定义在R 上的函数f (x )＝－x 3＋m 与函数g (x )＝f (x )＋x 3＋x 2－kx 在[－1，1]上具有相同的单调性，则k 的取值可以是( ) A.1B.32C.2D.3解析 易知f (x )＝－x 3＋m 在R 上是减函数.依题设，函数g (x )＝x 2－kx ＋m 在[－1，1]上单调递减. ∴抛物线的对称轴x ＝k2≥1，则k ≥2.故k 的取值可以是2，3.答案 CD5.若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A.[0，4]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3解析 二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3. 答案 D 二、填空题6.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a 等于________.解析 设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12.因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15.答案 157.已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为________.解析 f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋a ＋4， ∴函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增，∴当x ＝0时，f (x )取得最小值，当x ＝1时，f (x )取得最大值， ∴f (0)＝a ＝－2，f (1)＝3＋a ＝3－2＝1. 答案 18.已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意可知函数f (x )的图象开口向下，对称轴为x ＝2(如图)，若f (a )≥f (0)，从图象观察可知0≤a ≤4. 答案 [0，4] 三、解答题9.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数. 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4， 故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).10.已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x－k . (1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围. 解 (1)依题意得：(m －1)2＝1⇒m ＝0或m ＝2，当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0. (2)由(1)得，f (x )＝x 2，当x ∈[1，2)时，f (x )∈[1，4)，即A ＝[1，4)， 当x ∈[1，2)时，g (x )∈[2－k ，4－k )， 即B ＝[2－k ，4－k )，因p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤1，k ≥0，得0≤k ≤1. 故实数k 的取值范围是[0，1].B 级 能力提升11.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝( )A.0B.1C.12D.2解析 BM ＝MN ＝NA ，点A (1，0)，B (0，1)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13，将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b，得a ＝log 1323，b ＝log 2313，∴a －1b ＝log 1323－1log 2313＝0.答案 A12.已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[1，2] C.[2，3]D.[1，2]解析 由于f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 又y ＝f (x )在(－∞，1]上是减函数，所以t ≥1. 则在区间[0，t ＋1]上，f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t 2＋1＝－t 2＋1，要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2， 只需1－(－t 2＋1)≤2，解得－2≤t ≤ 2. 又t ≥1，∴1≤t ≤ 2. 答案 B13.已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝________.解析 当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1恒成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧|f （0）|≤1⇒|n |≤1⇒－1≤n ≤1；|f （1）|≤1⇒|2＋n |≤1⇒－3≤n ≤－1， 因此n ＝－1，∴f (0)＝－1，f (1)＝1.由f (x )的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x ＝0，∴2－m ＝0，m ＝2， ∴f (x )＝2x 2－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－19.答案 －1914.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x . 所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1， 又f (0)＝1，所以c ＝1.因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1，1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方， 所以在[－1，1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立； 即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1，1]上恒成立.所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，因为g (x )在[－1，1]上的最小值为g (1)＝－1， 所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1).C 级 创新猜想15.(组合选择题)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论： ①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是( ) A.②④B.①④ C .②③D.①③解析 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确. 对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误.结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误. 由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .根据抛物线开口向下，知a <0，所以5a <2a ， 即5a <b ，④正确. 答案 B16.(情景创新题)(2019·新海高级中学月考)若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上，②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k （x ＋1），x ＜0，x 2＋1，x ≥0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是________. 解析 设点(m ，n )(m ＞0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m 2＋1，－n ＝k （－m ＋1），消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不相等的正实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4（k ＋1）＞0，k ＞0，k ＋1＞0，解得k ＞2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞). 答案 (2＋22，＋∞)。
苏教版(文科数学) 二次函数与幂函数 单元测试
2020届苏教版（文 数 ） 二次函数与幂函数 单元测试1．若f (x )是幂函数，且满足f （4）f （2）＝3，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 解析：设f (x )＝x a，由f （4）f （2）＝3可得4a 2a ＝3，即2a ＝3，a ＝log 23，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝2－log 23＝13. 答案：132．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法： ①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0，0)、(1，1)．其中正确的有________(把所有正确说法的序号都填上)． 解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质进行比较． 答案：①②⑤3．比较0.20.5，0.40.3的大小，结果为________．解析：先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3，则0.20.5<0.40.3.答案：0.20.5<0.40.34．(2019·徐州质检)下列图象中，表示y ＝x 23的是________．解析：y ＝x 23＝3x 2是偶函数，所以排除②、③，当x >1时， xx 23＝x 13>1，所以x >x 23，所以排除①.答案：④5．(2019·盐城质检)已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：则不等式f (|解析：由表知22＝⎝⎛⎭⎫12α，所以α＝12，所以f (x )＝x .所以|x |≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4.答案：{x |－4≤x ≤4}6．当x ∈(1，2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2＋mx ＋4，当x ∈(1，2)时，f (x )<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （2）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4⇒m≤－5.答案：(－∞，－57．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2－x ＋2，x ＞0，2，x ≤0，则不等式f (－x 2－1)≤f (－x 2＋5x )的解集为________．解析：因为－x 2－1≤－1＜0，所以f (－x 2－1)＝2，当－x 2＋5x ≤0时，f (－x 2－1)＝f (－x 2＋5x )＝2，原不等式成立，此时，x ≥5或x ≤0；当－x 2＋5x ＞0时，则需f (－x 2＋5x )≥2，即14(－x 2＋5x )2－(－x 2＋5x )＋2≥2，－x 2＋5x ≥4，得1≤x ≤4.故原不等式的解集为(－∞，0 ∪[1，4 ∪[5，＋∞)．答案：(－∞，0 ∪[1，4 ∪[5，＋∞)8．(2019·苏锡常镇四市高三教 情况调研(一))若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间[1，2 上有两个不同的零点，则f （1）a的取值范围为________．解析：因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间[1，2 上有两个不同的零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1<－b 2a <2.Δ＝b 2－4ac >0，f （1）＝a ＋b ＋c ≥0，f （2）＝4a ＋2b ＋c ≥0⇒⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a >0，－4<ba <－2，ca<14×b 2a 2，b a ＋ca ＋1≥0，2b a ＋ca ＋4≥0.令x ＝b a ，y ＝c a，则⎩⎪⎨⎪⎧－4<x <－2，y <14x 2，x ＋y ＋1≥0，2x ＋y ＋4≥0，目标函数 ＝f （1）a ＝a ＋b ＋c a＝x ＋y ＋1.画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当直线 ＝x ＋y ＋1与直线AB 重合时， 取得最小值0，当直线 ＝x ＋y ＋1过点C 时， 取得最大值1.因为点C 不在可行域内，所以 ＝f （1）a ∈[0，1)．答案：[0，1)9．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时f (x )为减函数， 又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5. 答案：(3，5)10．(2019·江苏省重点中 领航高考冲刺卷(二))已知函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0 ，若关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8 ，则实数m 的值为________．解析：因为函数f (x )＝－4x 2＋2ax －b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0 ，所以函数的最大值为0.令f (x )＝0，可得Δ＝4a 2－4×(－4)×(－b )＝4a 2－16b ＝0，即b ＝a 24.关于x 的不等式f (x )≥m 可化简为4x 2－2ax ＋b ＋m ≤0，即4x 2－2ax ＋a 24＋m ≤0.又关于x 的不等式f (x )≥m 的解集为[c ，c ＋8 ，所以方程4x 2－2ax ＋a 24＋m ＝0的两个根为x 1＝c ，x 2＝c ＋8，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝a2x 1x 2＝a 216＋m4，又|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝64， 即⎝⎛⎭⎫a 22－4⎝⎛⎭⎫a 216＋m 4＝64，解得m ＝－64.答案：－6411．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1，0)、B (3，0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0，3 上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0，3 时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}． 12．(2019·淮安模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)， 求f (x )的最小值．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1 上递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .①当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1 内，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上递增． 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a. ②当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 图象的对称轴在[0，1 的右侧，所以f (x )在[0，1 上递减．所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1 上递减． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2. 综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a ，a ≥1.1．已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ≠0，b <1)在区间[2，3 上有最大值4，最小值1，则a ＝________，b ＝________．解析：g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ， 当a >0时，g (x )在[2，3 上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （3）＝4，g （2）＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋1＋b －a ＝4，a ＋1＋b －a ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，g (x )在[2，3 上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g （3）＝1，g （2）＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋1＋b －a ＝1，a ＋1＋b －a ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 因为b <1，所以a ＝1，b ＝0. 答案：1 02．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．解析：当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， 所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， 所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1. 答案：13．(2019·镇江模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R ，其中f (x )的最小值为f (－1)＝0，且f (x )>x ＋ 在区间[－3，－1 上恒成立，则 的取值范围是________．解析：由题意知a ≠0，f (－1)＝a －b ＋1＝0，且－b2a ＝－1，所以a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋ 在区间[－3，－1 上恒成立，转化为x 2＋x ＋1> 在[－3，－1 上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1 ， 则g (x )在[－3，－1 上递减．所以g (x )min ＝g (－1)＝1.所以 <1，即 的取值范围为(－∞，1)． 答案：(－∞，1)4．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b 上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b 上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b 上是“关联函数”，区间[a ，b 称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3 上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3 上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3 )的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3 时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3 )的图象有两个交点． 答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1 上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x >0，－（x ＋1）2，x <0. 故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2 ＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1 上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1 上恒成立．又当x ∈(0，1 时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.6．(2019·常州模拟)已知函数f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋ x ，且定义域为(0，2)． (1)求关于x 的方程f (x )＝ x ＋3在(0，2)上的解；(2)若f (x )是定义在(0，2)上的单调函数，求实数 的取值范围；(3)若关于x 的方程f (x )＝0在(0，2)上有两个不同的解x 1，x 2，求 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋ x ，所以f (x )＝ x ＋3即|x 2－1|＋x 2＝3， 当0<x ≤1时，|x 2－1|＋x 2＝1－x 2＋x 2＝1，此时该方程无解．当1<x <2时，|x 2－1|＋x 2＝2x 2－1，原方程等价于：x 2＝2，此时该方程的解为 2. 综上可知：方程f (x )＝ x ＋3在(0，2)上的解为 2. (2)因为f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋ x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，x ∈（0，1]，2x 2＋kx －1，x ∈（1，2），若f (x )是单调递增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧k >0，－k 4≤1， 所以此时 >0.若f (x )是单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，－k 4≥2， 所以此时 ≤－8，综上可知：f (x )是单调函数时 的取值范围为(－∞，－8 ∪(0，＋∞)． (3)当0<x ≤1时， x ＝－1，① 当1<x <2时，2x 2＋ x －1＝0，②若 ＝0，则①无解，②的解为x ＝±22∉(1，2)，故 ＝0不合题意 ，若 ≠0，则①的解为x ＝－1k.(Ⅰ)当－1k ∈(0，1 ，即 ≤－1时，方程②中Δ＝ 2＋8>0，故方程②中一根在(1，2)内另一根不在(1，2)内， 设g (x )＝2x 2＋ x －1，而x 1x 2＝－12<0，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）<0，g （2）>0，⎩⎪⎨⎪⎧k <－1，k >－72， 又 ≤－1，故－72< <－1.(Ⅱ)当－1k ∉(0，1 ，即－1< <0或 >0时，方程②在(0，2)有两个不同解，而x 1x 2＝－12<0，则方程②必有负根，不合题意．综上，－72< <－1.。
高中数学高考总复习----二次函数与幂函数知识讲解及巩固练习题(含答案解析)
高中数学高考总复习----二次函数与幂函数知识讲解及巩固练习题（含答案解析）【考纲要求】1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。
2．幂函数(1)了解幂函数的概念．(2)结合函数的图象，了解它们的图象的变化情况．【知识网络】【考点梳理】考点一、初中学过的函数（一）函数的图象与性质（（1.过原点的直线的方程,图象,性质；2.函数的最高次项的系数能否为零。
（二）二次函数的最值1.二次函数有以下三种解析式：一般式：（），顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线，零点式：（），其中是方程的根基本初等函数图象与性质一次函数二次函数幂函数常数函数2.二次函数（）在区间上的最值：二次函数（）在区间上的最大值为M，最小值为m，令.（1）（2）（3）（4）（1）若，则，；（2）若，则，；（3）若，则，；（4）若，则，.要点诠释：1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值；2.求二次函数的最值一般要数形结合。
考点二、幂的运算(1)，，；(2)，，。
考点三、幂函数的图象与性质1.幂函数在第一象限的图象特征2.幂函数性质：（1），图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如；（2），图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如；（3），图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如要点诠释：幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。
【典型例题】类型一：基本函数的解析式问题例1．已知二次函数满足，且图像在轴上截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式.【解析】用待定系数法求，选择适当的二次函数的形式。
方法一：设（），则，且对称轴，即，∴，∵，∴∴方法二：∵，∴二次函数的图象的对称轴为，可设所求函数为（），∵截轴上的弦长为，∴的图像过点和，∴，即（1）又∵的图像过点，∴（2）（1）（2）联立，解得，，∴，即.方法三：∵的图象对称轴，又,∴与轴的交点为和，故可设（），由可得.∴，即.【总结升华】二次函数的形式有以下三种：（1）一般形式：（），（2）顶点式（或称配方式）（），（3）零点式（或称双根式）（），（前提：有根）对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题时，要充分挖掘题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。
最新-江苏高二数学复习学案+练习18 二次函数(2)、幂函
学案12 二次函数(2)、幂函数一、课前准备： 【自主梳理】1、形如 的函数叫幂函数．2、幂函数qpy x =有哪些性质？（分析幂函数在第一象限内图像的特点．）（1（2）qp>时，过点 ，且随y 轴方向延伸。
在第一象限是 函数． （3）10qp>>时，随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸。
在第一象限是 函数． （4）0q p<时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交，在第一象限是 函数． 【自我检测】1．指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是 ．2．要使11()2x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围 ．3．已知函数21()1x f x a-=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为 ．4．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．.6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）二、课堂活动： 【例1】填空题： （1）有下列各式①123y x = ②xy x = ③23y x = ④2x y =⑤y =⑥0.5y x =⑦y =其中表示幂函数的序号有 ． （2）比较下列各组中两个值大小（1）（3）（1）若函数3412++-=mx mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 ． （2）若函数342++=mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 ．（3）若函数)34lg(2++=mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 ． （4）若函数)34lg(2++=mx mx y 的值域是R ，则实数m 的取值范围是 ． （5）若函数)34lg(2++=x mx y 的值域是R ，则实数m 的取值范围是 ． 【例2】已知幂函数轴对称，试确定的解析式．【例3】已知函数()2f x x mx n =++的图像过点()13，，且()()11f x f x -+=--对任意实数都成立，函数()y g x =与()y f x =的图像关于原点对称．（１）求()f x 与()g x 的解析式；（２）若()()()F x g x f x λ=-在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．课堂小结三、课后作业 1．函数的定义域是 ．2．)()27,3)(4x f x f ，则的图象过点（幂函数的解析式是．3．942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 ．4．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y mnk∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 ．5．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是 ．6.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是 ．7．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为 ． 8．函数220.3x x y --=的定义域为___ __；单调递增区间 ；值域 ．9．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤） （1）．10．设函数,223,2)1(,)(2b c a af c bx ax x f >>-=++=且求证： （1）4330-<<->a b a 且； （2）设21,x x 是函数)(x f 的两个零点，则.457||221<-≤x x答案【自主梳理】1、qpy x =（其中,,0p q Z p ∈≠且,p q 互质） 2、（1）(1,1)（2）(0,0)(1,1)增（3）增（4）减 【自我检测】1、()1,2．2．2m ≤-．3．1,02⎛⎫⎪⎝⎭． 4．解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：（1）323x x y ==定义域[0，，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，是增函数；通过上面分析，可以得出（1）↔（A ），（2）↔（F ），（3）↔（E ），（4）↔（C ），（5）↔（D ），（6）↔（B ）. 二、课堂活动： 【例1】（1）③ ⑤ ⑥（2）解：（1）+∞<<<+∞=7.06.00),0(116上是增函数且在函数x y1161167.06.0<∴ （2）函数),0(35+∞=在x y 上增函数且89.088.00<<.)89.0()88.0(,89.088.089.088.0353535353535-<-∴->-∴<∴即（3）（1）当0=m 时，31-=y ，合乎题意； 当0≠m 时，2430mx mx ++≠恒成立，则231612004m m m ∆=-<⇒<<；所以304m ≤<． （2）当0=m 时，3=y ，合乎题意；0≠m 时，2430mx mx ++≥恒成立，则030,04m >⎧⎛⎤⇒⎨ ⎥∆≤⎝⎦⎩；所以304m ≤≤．（3）0=m 时，3lg =y ，合乎题意；0≠m 时2430mx mx ++>，则03004m m >⎧⇒<<⎨∆<⎩；所以304m ≤<．（4）0=m 时，3lg =y ，不合乎题意；0≠m 时，则034m m >⎧⇒≥⎨∆≥⎩；所以34m ≥．（5）0=m 时，)34(lg +=x y ，合乎题意；0≠m 时04003m m >⎧⇒<≤⎨∆≥⎩；所以403m ≤≤．【例2】解：由.3,1,13203222⎪⎩⎪⎨⎧∈-=--≤--Z m m m m m m 得是偶数【例3】解：⑴由题意知：a 1b 0==，，()22f x x x ∴=+设函数()y f x =图象上的任意一点()00Q x y ，关于原点的对称点为P （x,y ）, 则00x x y y =-=-，， 因为点()()00Q x y y f x =，在的图像上，()2222,,2y x x y x x g x x x ∴-=-∴=-+∴=-+⑵()()()()22222121x x x x x x x λλλ=-+-+=-++-F()(]11-F x 在，上是增函且连续，()()()21210λλ=-++-≥'F x x 恒成立 即(]1211λ-≤=--++在，上恒成立111x x x， 由(]-+21-111x在，上为减函数， 当=x 1时取最小值0，故(],λλ≤-∞所求的取值范围是，00． 另解：()[]1,1F x -在上是增函数，()()()[]'22221,1F x x λλ∴=--+--在上非负()()()()()22220221220λλλλ--+-≥⎧⎪∴⎨---+-≥⎪⎩，解得0λ≤．三、课后作业 1．； 2．34()(0)f x x x =≥； 3．5； 4．k m ,为奇数，n 是偶数；5． 5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 6.(][),55,-∞-⋃+∞ 7． 2215y x x =-++ 8． R ；1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；140,0.3⎛⎤ ⎥⎝⎦． 9．解：（1）1)1(1112112222222++=+++=++++=x x x x x x x y 把函数21,x y =的图象向左平移1个单位， 再向上平移1个单位可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象.（2）1)2(35--=-x y 的图象可以由35-=x y 图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到.图象略10．证明：（1）2)1(ac b a f -=++= 0223=++∴c b a 又b c a 223>> 02,03<>∴b a 0,0<>∴b a 又2c=－3a －2b 由3a ＞2c ＞2b ∴3a ＞－3a －2b ＞2b ∵a ＞0 433-<<-∴a b （2）∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点则0,221=++c bx ax x x 是方程的两根 ∴aba c x x ab x x --==-=+23,2121 2)2()23(4)(4)(||222122121++=----=-+=-∴aba b a b x x x x x x433-<<-a b 457||221<-≤∴x x ．。
江苏高二文科复习学案+练习11-12_二次函数、幂函数
一、课前准备
【自主梳理】
1．二次函数解析式的三种形式：
一般式：
，顶点式：
，交点式：
．
2．二次函数的图象和性质：
解析式
f x ax2 bx ca 0
f x ax2 bx ca 0
图象
定义域 值域
单调性
在 x∈______时单调递减 在 x∈______时单调递增
小关系是
．
4．已知函数 f x ax2 (1 3a)x a 在区间[1，+∞ ) 上递增，则 a 的取值范围是
．
5．若函数 f x x2 2x 3在区间[m,0]上的最大值为 3，最小值为 2，则实数 m 的取值范围是
．
6．设 b 0 ，二次函数 y ax2 bx a2 1的图象为下列图象之一，则 a 的值为
6．已知函数 f x x2 2x 2 ，那么 f 1， f 1，f 3 之间的大小关系为
．
7．若函数 f (2x 1) x2 2x ，则 f (3) = 8．已知二次函数 y ax2 bx c ( a 0 )的图象如图所示，有下列四个结论：①b 0 ；② b2 4ac 0 ；
⑦ y x 2 ．其中表示幂函数的序号有
．
6
6
5
5
(2)比较下列各组中两个值大小：(1) 0.611 与 0.711 ；(2) 0.883 与 0.893 ．
(3)①若函数 y mx 1 的定义域是 R，则实数 m 的取值范围是 mx2 4mx 3
②若函数 y mx2 4mx 3 的定义域是 R，则实数 m 的取值范围是 ③若函数 y lg( mx2 4mx 3) 的定义域是 R，则实数 m 的取值范围是 ④若函数 y lg( mx2 4mx 3) 的值域是 R，则实数 m 的取值范围是 ⑤若函数 y lg( mx2 4x 3) 的值域是 R，则实数 m 的取值范围是
江苏高二文科复习学案练习 函数的单调性
1.函数221y x =-单调减区间是_________________． 2.若函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上具有单调性，则实数a 的取值范围是______ ．3.已知函数()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，则实数x 的取值范围是_________________________．4.已知()f x 在(,)-∞+∞内是减函数，,a b R ∈，且0a b +>，设()()A f a f b =+，()()B f a f b =-+-，则A,B 的大小关系是_________________．5.若函数+b y ax y x==-∞与在（0，）上都是减函数，则2(0,)y ax bx =++∞在上是______ ．（填“增函数”或“减函数”）6.函数212()log (43)f x x x =-+-的递减区间是________________．7.已知函数log (2)a y ax =-在[0，1]上单调递减，则a 的取值范围是_________．8.已知函数(0)()(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意的12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范围是_________．9.已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的减函数，且满足()()()f xy f x f y =+，(2)1f =，若()(2)2f x f x ++>，求x 的取值范围．1.11(,)+22-∞∞和（，）2.(,2][3,)-∞⋃+∞3.1[0,)24.A B <5.减函数6.(1,2]7.(1,2)8. 1(0,]49解：()+0020()()()(2)12,(4)2()(2)2[(2)](4)()+1f x x x x f xy f x f y f x y f f x f x f x x f f x x ∞>⎧∴⇒>⎨+>⎩=+====++>+>∞∴∴<<-Q Q 函数定义域是（0，）①由且取得由得又在（0，）上递减，x(2+x)<4②由①②知，x 的取值范围是。
江苏高考数学复习幂函数与二次函数专题练习(含答案)
江苏高考数学复习幂函数与二次函数专题练习（含答案）普通的，形如y=xa(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，下面是幂函数与二次函数专题练习，希望对考生温习提高有协助。
一、选择题1.(2021宝鸡模拟)m2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图像上,那么( )(A)y1ca (B)ac(C)cb (D)ab6.设abc0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像能够是( )7.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+)上是增加的,那么实数a的取值范围是(A)[-3,0) (B)(-,-3](C)[-2,0] (D)[-3,0]8.(2021安庆模拟)设函数f(x)=假定f(-4)=f(0),f(-2)=-2,那么关于x的方程f(x)=x的解的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49.(2021南昌模拟)设b0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为以下之一.那么a的值为( )(A)1 (B)(C)-1 (D)10.(才干应战题)假定不等式x2+ax+10关于一切x(0,]恒成立,那么a的最小值是( )(A)0 (B)2 (C)- (D)-3二、填空题11.假定二次函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bR)是偶函数,且它的值域为(-,4],那么该函数的解析式f(x)= .12.(2021上饶模拟)关于x的方程x2+a|x|+a2-9=0只要一个实数解,那么实数a的值为.13.二次函数f(x)的二次项系数为正,且对恣意x恒有f(2+x)=f(2-x),假定f(1-2x2)0，那么实数a的取值范围是.三、解答题15.(才干应战题)二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a0),满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根.(1)求f(x)的解析式.(2)能否存在实数m,n(m2,1(，由函数y=()x在R上是减函数知((，ab.6.【解析】选D.关于选项A,C,都有abc0,故扫除A,C.关于选项B,D,都有-0,即ab0,那么当c0时,abc0.7.【解析】选D.当a=0时,f(x)=-3x+1显然成立,当a0时,需解得-30,综上可得-30.【误区警示】此题易无视a=0这一状况而误选A,失误的缘由是将关于x的函数误以为是二次函数.8.【解析】选C.由f(-4)=f(0),f(-2)=-2得f(x)=当x0时,由f(x)=x得x2+4x+2=x,解得x=-2或x=-1.当x0时,由f(x)=x得x=2.故关于x的方程f(x)=x的解的个数是3个.9.【解析】选C.由b0知,二次函数对称轴不是y轴,结合二次函数的启齿方向及对称轴位置,二次函数图像是第③个.从而a2-1=0且a0,a=-1.10.【解析】选C.方法一:设g(a)=ax+x2+1,∵x(0,],g(a)为添加的.当x=时满足:a++10即可,解得a-.方法二:由x2+ax+10得a-(x+)在x(0,]上恒成立,令g(x)=-(x+),那么知g(x)在(0,]上是添加的,g(x)max=g()=-,a-.11.【思绪点拨】化简f(x),函数f(x)为偶函数,那么一次项系数为0可求b.值域为(-,4],那么最大值为4,可求2a2,即可求出解析式.【解析】∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2是偶函数,那么其图像关于y轴对称.2a+ab=0,b=-2或a=0(舍去).f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-,4],2a2=4,f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+412.【解析】设f(x)=x2+a|x|+a2-9,那么f(-x)=(-x)2+a|-x|+a2-9=x2+a|x|+a2-9=f(x),即函数f(x)是偶函数.由题意知,f(0)=0,那么a2-9=0,a=3或a=-3,经检验a=3契合题意,a=-3不合题意,故a=3.答案:313.【思绪点拨】由题意知二次函数的图像启齿向上,且关于直线x=2对称,那么距离对称轴越远,函数值越大,依此可转化为不等式效果.【解析】由f(2+x)=f(2-x)知x=2为对称轴,由于二次项系数为正的二次函数中距对称轴越远函数值越大,|1-2x2-2||1+2x-x2-2|,即|2x2+1||x2-2x+1|,2x2+10的否认为:关于区间[0，1]内的恣意一个x都有f(x)0.即解得a1或a-2.二次函数在区间[0，1]内至少存在一个实数b，使f(b)0的实数a的取值范围是(-2，1).答案:(-2，1)幂函数与二次函数专题练习分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。
江苏省高邮市界首中学高二数学 第12课时 幂函数课后作业 苏教版
第12课时 幂函数班级 姓名 一、填空题1．已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，则幂函数()f x =______________ ［解答］设y x α=，代入点(27,3)，得327α=，解得13α=，所以13y x =，所以填写答案为：13x2．设1{1,1,,3}2α∈-，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为_____ .［解答］直接利用函数性质或利用函数图象特征进行判断, 所以填写答案为：1,3 3．在函数13y x =、12y x -=、53y x =、23y x =中定义域和值域不同的函数是________．［解答］13y x =的定义域和值域均为R ；12y x -=的定义域和值域均为(0,)+∞；函数53y x =的定义域和值域均为R ；而函数23y x =的定义域为R ，值域为[0,)+∞. 所以填写答案为：23y x =4．设111{2,1,,,,1,2,3}232α∈---，则使得函数y x α=为奇函数且在(0,)+∞上单调递减的α的值的个数为________.［解答］只有1α=-时函数y x α=满足, 所以填写答案为：15．已知10α-<<，则(0.2)α、1()2α及2α间的大小关系为_______________.［解答］在同一个坐标系中分别作出函数(0.2)x y =、1()2xy =及2xy =的图象，然后作直线x α=，其中10α-<<.所以填写答案为：1()2α＞(0.2)α＞2α6．若函数()y f x =与12y x =的图象关于直线1x =对称，则()f x =______________.［解答］用“动点转移法”。
设P (,)x y 是函数()y f x =图象上的任意一 点，则该点关于直线1x =的对称点为Q (2,)x y --，根据题意点Q 应在函数12y x =的图像上，代入 整理得：2y x -=-()2f x x =-所以填写答案为：2x -7．若(a ＋1)31-＜(3－2a)31-，试求a 的取值范围________.［解答］幂函数的性质，有三种可能情况：⎪⎩⎪⎨⎧a a a a 23102301－＞＋＞－＞＋或⎩⎨⎧02a 301a ＞－＜＋或⎪⎩⎪⎨⎧<<aa a a 23102301－＞＋－＋解得：a ∈(－∞，－1)∪(32，23),所以填写答案为：23(,1)(,)32-∞-U 8．请把相应的幂函数图象代号填入表格.① 23y x =； ② 2y x -=；③ 12y x =； ④ 1y x -=；⑤13y x=；⑥43y x =；⑦ 12y x-=；⑧ 53y x =.［解答］依次是E ，C ，A ，G ，B ，D ，H ，F 所以填写答案为：E ，C ，A ，G ，B ，D ，H ，F 二、解答题9．幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数()f x 的解析式［解答］∵ ()f x 是幂函数， ∴ 311t t -+=，解得1,10t =-或.当0t =时，75()f x x =是奇函数，不合题意；当1t =-时；25()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数； 当1t =时；85()f x x =是偶函数，在(0,)+∞上为增函数. 所以函数()f x 的解析式为25()f x x =或85()f x x =.10．若函数f(x)＝(mx2＋4x ＋m ＋2)43-＋(x2－mx ＋1)0的定义域是R ，求实数m 的取值范围。
2019-2020学年高中数学《2.2.4 幂函数(二)》学案 苏教版必修1.doc
2019-2020学年高中数学《2.2.4 幂函数（二）》学案 苏教版必修1[自学目标]. 进一步理解幂函数的定义、图象和性质，能熟练的运用幂函数的定义、图象和性质解决有关问题 [知识要点]1幂函数的单调性 2幂函数的图象 [预习自测]例1：求下列各式中参数的取值范围 （1）43a 435.0> （2）3232)42()2(+>-a例2：讨论函数32x y =的定义域，奇偶性，作出它的图象，并根据图象， 说明函数的增减性。
例3: 已知2222)1()(----=m m x m m x f 是幂函数，且当∈x ),0(+∞时是减函数，求实数及相应的幂函数。
例4：已知函数42215x x y --=（1） 求函数的定义域，值域； （2） 判断函数的奇偶性； （3） 求函数的单调区间。
[课内练习]1.当32x x >成立时,x 的取值范围是 ( )A x<1且x ≠0B 0<x<1C x>1D x<12.函数x y x y y x3.02log ,,5.0===-的图象形状如图所示,依次大致是( )① ② ③A ○1○2○3B ○2○1○3C ○3○1○2D ○3○2○1 3．求函数32)1(--=x y 的单调区间。
4．若54)(x x f =，2)(-=x x g ，求函数)]([x g f 的单调区间。
5.已知幂函数y=f(x)的图象过点( 2 , 22), 试求出此函数的解析式,并判断奇偶性,单调性.O x(1)yxyO (2)yO (3) yO(4) yO yOy OyO x xx xx xx[归纳反思]1.确定幂的范围，可根据所需值的大小关系及幂函数的单调性。
2.绘制图象与研究性质时，可先由性质，特别是奇偶性绘制出图象，再由图象观察性质，是研究函数的常用方法。
[巩固提高]1.当10<<x 时，1212)(,)(,)(-===x x h x x g x x f 的大小关系。
高三数学复习 专题7 二次函数与幂函数学案 理 苏科版 学案
学案7 二次函数与幂函数【导学引领】 （一）考点梳理 1．幂函数 (1)幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象(3)五种常见幂函数的性质函数性质 y ＝xy ＝x 2y ＝x 321xy =y ＝x －1定义域RR R{x |x ∈R 且x ≠0}值域 RR{y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性单调性 增 x ∈[0，＋∞)时，增x ∈(－∞，0]时，减x ∈(0，＋∞)时，减x ∈(－∞，0)时，减 定点(0,0)，(1,1)(1,1)综上：若α＞0，y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数，若α＜0，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数． 2．二次函数 (1)二次函数的解析式 ①二次函数的一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．②二次函数的顶点式为y ＝ ，其中顶点为(h ，k )．③二次函数的两根式为y ＝ ，其中x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根(也就是函数的零点)．根据已知条件，选择恰当的形式，利用待定系数法可求解析式． (2)二次函数的图象和性质①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，对称轴方程为x ＝－b 2a .熟练通过配方法求顶点坐标及对称轴，并会画示意图． ②在对称轴的两侧单调性相反．③当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c ＞0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0；(2)ax 2＋bx ＋c ＜0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.【自学检测】1．若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________. 2．已知函数f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 12，则f (－4)的值是________．3．函数y ＝x 13的图象是________．4．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数的所有α值为________．5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．【合作释疑】幂函数的图象和性质 【训练1】 幂函数322--=m m x y (m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为________．【训练2】 已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________. 求二次函数的解析式【训练1】 已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋n 的图象过点(1,3)，且f (－1＋x )＝f (－1－x )对任意实数都成立，函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称．求f (x )与g (x )的解析式．【训练2】已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈(－1,1)时，不等式mf (x )>x 恒成立，求m 的取值范围．二次函数的图象与性质【训练1】设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )·|x －a |. (1)若f (0)≥1，求a 的取值范围； (2)求f (x )的最小值；【训练2】 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数有关二次函数的综合问题【训练1】 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．【训练2】 已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，x ＞0，－f x ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．【当堂达标】1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (t )＝4，则实数t ＝________.2．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是________．3．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．4．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中k 为负数，且f (x )在区间[0,2]上有表达式f (x )＝x (x －2)．(1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3，3]上的单调性 【课后作业】1．设函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________． 2．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.3．(2013·泰州测试)当a ＝________时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]，值域为[－2,2]． 4．设f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是_______． 5．给出关于幂函数的以下说法：①幂函数的图象都经过(1,1)点；②幂函数的图象都经过(0,0)点；③幂函数不可能既不是奇函数也不是偶函数；④幂函数的图象不可能经过第四象限；⑤幂函数在第一象限内一定有图象；⑥幂函数在(－∞，0)上不可能是递增函数．其中正确的说法有________． 6.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数的关系如图所示，则每辆客车营运________年，使其营运年平均利润最大．7．已知函数f (x )＝x |x －2|. (1)写出f (x )的单调区间； (2)解不等式f (x )＜3；(3)设0＜a ≤2，求f (x )在[0，a ]上的最大值．8．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.(1)若存在x ∈R 使f (x )＜b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．。
2020年江苏专版艺考生高考数学二轮复习学案：第七课时 二次函数与幂函数
第七课时 二次函数与幂函数知识记忆1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：()()02≠++=a c bx ax x f .②顶点式：()()()02≠+-=a n m x a x f .③零点式: ()()()()021≠--=a x x x x a x f . (2)二次函数的图象和性质()+∞∞-,()+∞∞-,(1)定义：一般地，形如αx y =的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在()+∞,0上都有定义； ②幂函数的图象过定点()1,1；③当0>α时，幂函数的图象都过点()1,1和()0,0，且在()+∞,0上单调递增； ④当0<α时，幂函数的图象都过点()1,1，且在()+∞,0上单调递减. 【知识拓展】1.若()()02≠++=a c bx ax x f ，则当⎩⎨⎧<∆>00a 时，恒有()0>x f ，当⎩⎨⎧<∆<0a 时，恒有()0<x f .2.幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性.(2)幂函数的图象过定点()1,1，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.课前预习1.若幂函数()x f 的图象经过点()22,2，则()9f ＝ .2.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α值和为 .3.函数()322+-=mx x x f ，当[)+∞∈,2x 时是增函数，当(]2,∞-∈x 时是减函数，则()=1f .4.已知函数322+-=x x y 在闭区间[]m ,0上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为 .5.已知幂函数()x f y =的图象过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,2，则此函数的解析式为 ；在区间上单调递减.课堂讲解题型一 求二次函数的解析式例1 (1)(2016·南京模拟)已知二次函数()x f 与x 轴的两个交点坐标为()0,0和()0,2-且有最小值1-，则()=x f .(2)已知二次函数()x f 的图象经过点()3,4，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意R x ∈，都有()()x f x f +=-22，求()x f 的解析式.(1)已知二次函数()()R b a bx ax x f ∈++=,12，R x ∈，若函数()x f 的最小值为()01=-f ，则()=x f .(2)若函数()()()a bx a x x f 2++=(常数R b a ∈,)是偶函数，且它的值域为(]4,∞-，则该函数的解析式()=x f .题型二 二次函数的图象和性质 考点1 二次函数的单调性例 2 函数()()132+-+=x a ax x f 在区间[)+∞-,1上是递减的，则实数a 的取值范围是 .引申探究若函数()()132+-+=x a ax x f 的单调减区间是[)+∞-,1，则=a .考点2 二次函数的最值例3 已知函数()()1022≤≤-=x x ax x f ，求函数()x f 的最小值.考点3 二次函数中的恒成立问题例4 (1)已知a 是实数，函数()3222-+=x ax x f 在[]1,1-∈x 上恒小于零，则实数a 的取值范围为 .(2)(2016·江苏徐州一中质检改编)若01412≤--kt t 在[]1,1-∈t 上恒成立，求实数k 的取值范围.设函数()222+-=x ax x f ，对于满足41<<x 的一切x 值都有()0>x f ，则实数a 的取值范围为________.题型三 幂函数的图象和性质例5 (1)若12(21)m +>122(1)m m +-，则实数m 的取值范围是__________. (2) 已知函数()3+-=m x x f ()*Ν∈m 是偶函数，且()()53f f <，求m 的值，并确定()x f 的函数解析式.(2016·盐城模拟)幂函数的图象经过点()2,4，若10<<<b a ，则下列各式正确的是________. ①()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛<<b f a f b f a f 11 ②()()a f b f b f a f <<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛11 ③()()⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<<a f b f b f a f 11 ④()()b f b f a f a f <⎪⎭⎫⎝⎛<<⎪⎭⎫⎝⎛11 题型四 分类讨论思想在二次函数最值中的应用例6 已知函数()122++=ax ax x f 在区间[]2,1-上有最大值4，求实数a 的值.课后练习1.幂函数()αx x f =的图象过点()4,2，那么函数()x f 的单调递增区间是__________.2.如果函数()c bx x x f ++=2对任意的实数x ，都有()()x f x f -=+1，那么()()()2,0,2f f f -大小关系为____________.3.已知二次函数()x f 满足()()x f x f -=+22，且()x f 在[]2,0上是增函数，若()()0f a f ≥，则实数a 的取值范围是____________.4.若函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则m 的取值范围是____________.5.（2014江苏，10）已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 . 6.已知函数a x x y +-=22的定义域为R ，值域为[)+∞,0，则实数a 的取值集合为________.7.(2016·连云港模拟)已知幂函数()21-=x x f ，若()()a f a f 2101-<+，则a 的取值范围为________.8.(2016·无锡模拟)已知函数322+-=x x y 在闭区间[]m ,0上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________________.9.若函数()12--=x a x x f 在[)+∞,0上单调递增，则实数a 的取值范围是________.10.若函数()a x x x f +-=221的定义域和值域均为[]()1,1>b b ，则=+b a _______. 11.设函数()a x x x f +-=32.若函数()x f 在区间()3,1内有零点，则实数a 的取值范围为________.12.(2016·江苏淮阴中学期中)已知关于x 的一元二次方程0222=++-a ax x 的两个实数根是α，β，且有321<<<<βα，则实数a 的取值范围是__________.2()1f x x mx =+-[],1x m m ∈+()0f x <m13.(2016·江苏泰州中学质检)已知a ，t 为正实数，函数()a x x x f +-=22，且对任意的[]t x ,0∈，都有()[]a a x f ,-∈.若对每一个正实数a ，记t 的最大值为()a g ，则函数()a g 的值域为__________.14.已知幂函数()322--=m m x x f ()Z m ∈为偶函数，且在区间()+∞,0上是单调减函数.(1)求函数()x f ； (2)讨论()()()x xf b x f ax F -=的奇偶性.第七课时二次函数与幂函数参考答案课前预习1.答案 272.答案 43.答案 3-4.答案 []2,15.答案 21-=x y ()+∞,0课堂讲解题型一 求二次函数的解析式 例1 （1） 答案 x x 22+（2）解析 ()()x f x f +=-22Θ对任意R x ∈恒成立，()x f ∴的对称轴为2=x .又()x f Θ的图象被x 轴截得的线段长为2.()0=∴x f 的两根为1和3.设()x f 的解析式为()()()()031≠--=a x x a x f ， 又()x f 的图象过点()3,4，1,33==∴a a ，∴所求()x f 的解析式为()()()31--=x x x f ，即()342+-=x x x f .思维升华 求二次函数解析式的方法答案 (1)122++x x (2)422+-x 题型二 二次函数的图象和性质 例2 答案 []0,3- 引申探究 答案 3-例3 解析 (1)当0=a 时，()x x f 2-=在[]1,0上单调递减，()()21min -==∴f x f .(2)当0>a 时，()x ax x f 22-=的图象开口向上且对称轴为ax 1=. ①当110≤<a，即1≥a 时， ()x ax x f 22-=的对称轴在[]1,0内，()x f ∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1,0上单调递减，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1a 上单调递增.()a aa a f x f 1211min -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴.②当11>a，即10<<a 时，()x ax x f 22-=的对称轴在[]1,0的右侧， ()x f ∴在[]1,0上单调递减.()()21min -==∴a f x f .(3)当0<a 时，()x ax x f 22-=的图象开口向下且对称轴01<=ax ，在y 轴的左侧， ()x ax x f 22-=∴在[]1,0上单调递减， ()()21min -==∴a f x f .综上所述，()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=1,11,2mina aa a x f . 例4 （1）答案 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,解析 03222<-+x ax 在[]1,1-∈x 上恒成立. 当0=x 时，03<-，成立；当0≠x 时，61311232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x a ，因为(][)+∞-∞-∈,11,1Y x ，当1=x 时，右边取最小值21，所以21<a . 综上，实数a 的取值范围是 ⎪⎭⎫⎝⎛∞-21,. （2）解析 求二次函数()1412--=kt t t f 在给定区间[]1,1-上的最大值M ，二次函数()t f 的图象的对称轴为直线k t 2=. ①当[]1,12-∈k ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21k 时，()1-=f M 或()1f ，由0≤M ，得()01≤-f 且()01≤f ，解得4343≤≤-k ，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,21k ，故2121≤≤-k ；②当12-<k ，即21-<k 时，函数()t f 在[]1,1-上单调递增，故()1411--==k f M ，由0≤M ，得43-≥k ，又21-<k ，故2143-<≤-k ；③当12>k ，即21>k 时，函数()t f 在[]1,1-上单调递减，故()1411-+=-=k f M ，由0≤M ，得43≤k ， 又21>k ，故4321≤<k . 综上知，实数k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-43,43. 思维升华 (1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：()x f a ≥恒成立⇔()max x f a ≥，()x f a ≤恒成立⇔()min x f a ≤.答案 ⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21题型三 幂函数的图象和性质例5 （1）答案 ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2,215（2）解析 由()()53f f <，得3353+-+-<m m ，所以1533<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m .因为xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=53是减函数， 所以03>+-m .解得3<m . 又因为*Ν∈m ，所以1=m 或2； 当2=m 时，()x x x f m ==+-3为奇函数，所以2=m 舍去. 当1=m 时，()23x xx f m ==+-为偶函数，所以1=m ，此时()2x x f =.思维升华 (1)幂函数的形式是()R x y ∈=αα\，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间()1,0上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间()+∞,1上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.答案 ③题型四 分类讨论思想在二次函数最值中的应用典例 思想方法指导 已知函数()x f 的最值，而()x f 图象的对称轴确定，要讨论a 的符号. 解析 ()()a x a x f -++=112.(1) 当0=a 时，函数()x f 在区间[]2,1-上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当0>a 时，函数()x f 在区间[]2,1-上是增函数，最大值为()4182=+=a f ，解得83=a ；(3)当0<a 时，函数()x f 在区间[]2,1-上是减函数，最大值为()411=-=-a f ，解得3-=a .综上可知，a 的值为83或3-.课后练习1.答案 [)+∞,02.答案 ()()()220-<<f f f3.答案 []4,04.答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,235.答案 (,0)2-6.答案 {}1 7.答案 ()5,3 8.答案 []2,1 9.答案 []2,0解析 ()[)()⎪⎩⎪⎨⎧∞-∈-++∞∈+-=1,,,1,22x a ax x x a ax x x f [)+∞∈,1x 时，()42222a a a x a ax x x f -+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=，()1,∞-∈x 时，()42222a a a x a ax x x f --⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=. ①当12>a ，即2>a 时，()x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,1a 上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,2a 上单调递增，不合题意； ②当120≤≤a，即20≤≤a 时，符合题意； ③当02<a，即0<a 时，不符合题意. 综上，a 的取值范围是[]2,0.10.答案29 解析 ()()211212-+-=a x x f Θ， ∴其对称轴为1=x ，即函数()x f 在[]b ,1上单调递增. ∴()()1211min =-==a f x f ， ①()()b a b b b f x f =+-==2max 21，②又1>b ，由①②解得⎪⎩⎪⎨⎧==323b a ，∴b a ,的值分别为23，3. ∴29=+b a .11.答案 ⎥⎦⎤ ⎝⎛49,0解析 方法一 由()0=x f ，得4923322+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=x x x a . 因为()3,1∈x ，所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛--49,049232x ，所以⎥⎦⎤ ⎝⎛∈49,0a .方法二 因为()4923322-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=a x a x x x f ， 所以要使函数()x f 在区间()3,1内有零点，则需023≤⎪⎭⎫⎝⎛f 且()03>f ，解得490≤<a . 12.答案 ⎪⎭⎫⎝⎛511,2 解析 设()222++-=a ax x x f ，结合二次函数的图象及一元二次方程根的分布情况可得()()()⎪⎩⎪⎨⎧><>030201f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>++-<++->++-026902440221a a a a a a 解得5112<<a ，所以实数a 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛511,2. 13.答案 (){}21,0Y解析 因为()()112-+-=a x x f ，且()()a f f ==20，当a a -≥-1，即21≥a 时，此时恒有[][]a a a a ,,1-⊆-，故(]2,0∈t ，从而它的最大值为2； 当a a -<-1，即210<<a ，此时()1,0∈t 且a a t t -≥+-22在210<<a 上恒成立，即a t 211-+≥(不成立，舍去)或a t 211--≤，由于210<<a ，故()1,0∈t . 综上，()a g 的值域为(){}21,0Y .14.解析 (1)Θ()x f 是偶函数，∴322--m m 应为偶数. 又Θ()x f 在()+∞,0上是单调减函数，∴0322<--m m ，31<<-m .又Z m ∈，∴2,1,0=m .当0=m 或2时，3322-=--m 不是偶数，舍去； 当1=m 时，4322-=--m ，∴1=m ， 即()4-=x x f .(2)()32bx x a x F -=，∴()32bx xa x F +=-. ①当0≠a 且0≠b 时，函数()x F 为非奇非偶函数； ②当0≠a 且0=b 时，函数()x F 为偶函数； ③当0=a 且0≠b 时，函数()x F 为奇函数；④当0=a 且0=b 时，函数()x F 既是奇函数，又是偶函数.。
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Oy0qp< 11二次函数(2)、幂函数一、1、形如 的函数叫幂函数．2、幂函数qpy x =有哪些性质？（分析幂函数在第一象限内图像的特点．）（1）图像必过 点．（2）1qp>时，过点 ，且随x 的增大，函数图像向y 轴方向延伸。
在第一象限是 函数． （3）10qp>>时，随x 的增大，函数图像向x 轴方向延伸。
在第一象限是 函数． （4）0q p<时，随x 的增大，函数图像与x 轴、y 轴无限接近，但永不相交，在第一象限是 函数．1．指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是 ．2．要使11()2x y m -=+的图像不经过第一象限，则实数m 的取值范围 ．3．已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点，则此定点坐标为 ． 4．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．10q p>>1q p = 1q p> x10n m>>.6543212132323123---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（（A ） （B ） （C ） （D ） （E ） （F ）【例1】填空题： （1）有下列各式①123y x = ②x y x = ③23y x = ④2x y =⑤74y x =⑥0.5y x = ⑦2y x =其中表示幂函数的序号有 ． （2）比较下列各组中两个值大小（1）060720880896116115353..(.)(.).与；（）与--（3）（1）若函数3412++-=mx mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 ． （2）若函数342++=mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 ．（3）若函数)34lg(2++=mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 ． （4）若函数)34lg(2++=mx mx y 的值域是R ，则实数m 的取值范围是 ． （5）若函数)34lg(2++=x mx y 的值域是R ，则实数m 的取值范围是 ． 【例2】已知幂函数f x x m Z x y y mm ()()=∈--223的图象与轴，轴都无交点，且关于 轴对称，试确定f x ()的解析式．【例3】已知函数()2f x x mx n =++的图像过点()13，，且()()11f x f x -+=--对任意实数都成立，函数()y g x =与()y f x =的图像关于原点对称．（１）求()f x 与()g x 的解析式；（２）若()()()F x g x f x λ=-在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．三、作业 1．函数y x =-32的定义域是 ．2．)()27,3)(4x f x f ，则的图象过点（幂函数的解析式是．3．942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 ．4．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y mnk∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 ．5．若不等式210x ax ++≥对于一切1(0,)2x ∈成立，则a 的取值范围是 ． 6.若关于x 的方程240x mx -+=在[1,1]-有解，则实数m 的取值范围是 ． 7．已知二次函数的图像顶点为(1,16)A ，且图像在x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为 ．8．函数220.3x x y --=的定义域为___ __；单调递增区间 ；值域 ． 9．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤） （1）y x x x x y x =++++=---22532221221（）()．10．设函数,223,2)1(,)(2b c a af c bx ax x f >>-=++=且求证： （1）4330-<<->a b a 且； （2）设21,x x 是函数)(x f 的两个零点，则.457||221<-≤x x1、()1,2．2．2m ≤-．3．1,02⎛⎫⎪⎝⎭． 4．解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：（1）323x x y ==定义域[0，+∞)，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，+∞)是增函数；通过上面分析，可以得出（1）↔（A ），（2）↔（F ），（3）↔（E ），（4）↔（C ），（5）↔（D ），（6）↔（B ）.【例1】（1）③ ⑤ ⑥（2）解：（1）+∞<<<+∞=7.06.00),0(116上是增函数且在函数x y1161167.06.0<∴ （2）函数),0(35+∞=在x y 上增函数且89.088.00<<.)89.0()88.0(,89.088.089.088.0353535353535-<-∴->-∴<∴即（3）（1）当0=m 时，31-=y ，合乎题意； 当0≠m 时，2430mx mx ++≠恒成立，则231612004m m m ∆=-<⇒<<；所以304m ≤<． （2）当0=m 时，3=y ，合乎题意；0≠m 时，2430mx mx ++≥恒成立，则030,04m >⎧⎛⎤⇒⎨ ⎥∆≤⎝⎦⎩；所以304m ≤≤．（3）0=m 时，3lg =y ，合乎题意；0≠m 时2430mx mx ++>，则03004m m >⎧⇒<<⎨∆<⎩；所以304m ≤<．（4）0=m 时，3lg =y ，不合乎题意；0≠m 时，则034m m >⎧⇒≥⎨∆≥⎩；所以34m ≥．（5）0=m 时，)34(lg +=x y ，合乎题意；0≠m 时04003m m >⎧⇒<≤⎨∆≥⎩；所以403m ≤≤．【例2】解：由.3,1,13203222⎪⎩⎪⎨⎧∈-=--≤--Z m m m m m m 得是偶数【例3】解：⑴由题意知：a 1b 0==，，()22f x x x ∴=+设函数()y f x =图象上的任意一点()00Q x y ，关于原点的对称点为P （x,y ）, 则00x x y y =-=-，， 因为点()()00Q x y y f x =，在的图像上，()2222,,2y x x y x x g x x x ∴-=-∴=-+∴=-+⑵()()()()22222121x x x x x x x λλλ=-+-+=-++-F()(]11- F x 在，上是增函且连续，()()()21210λλ=-++-≥'F x x 恒成立 即(]1211λ-≤=--++在，上恒成立111x x x， 由(]-+21-111x在，上为减函数， 当=x 1时取最小值0，故(],λλ≤-∞所求的取值范围是，00．另解：()[]1,1F x - 在上是增函数，()()()[]'22221,1F x x λλ∴=--+--在上非负()()()()()22220221220λλλλ--+-≥⎧⎪∴⎨---+-≥⎪⎩，解得0λ≤． 三、作业1． (,)0+∞； 2．34()(0)f x x x =≥； 3．5； 4．k m ,为奇数，n 是偶数；5． 5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 6.(][),55,-∞-⋃+∞ 7． 2215y x x =-++ 8． R ；1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；140,0.3⎛⎤ ⎥⎝⎦．9．解：（1）1)1(1112112222222++=+++=++++=x x x x x x x y 把函数21,x y =的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象.（2）1)2(35--=-x y 的图象可以由35-=x y 图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到.图象略10．证明：（1）2)1(ac b a f -=++= 0223=++∴c b a 又b c a 223>> 02,03<>∴b a 0,0<>∴b a 又2c=－3a －2b 由3a ＞2c ＞2b ∴3a ＞－3a －2b ＞2b ∵a ＞0 433-<<-∴a b （2）∵x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点则0,221=++c bx ax x x 是方程的两根 ∴aba c x x ab x x --==-=+23,2121 2)2()23(4)(4)(||222122121++=----=-+=-∴aba b a b x x x x x x433-<<-a b 457||221<-≤∴x x ．。