2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练55曲线与方程理北师大版
2020高考数学一轮复习课时作业54曲线与方程理
又∵|PA|＝1，
∴|PM|＝ ＝ ，
即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.
答案：D
4．[2019·珠海模拟]已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若 ＝ ，则点P的轨迹方程为()
答案： － ＝1(x＞0且y≠0)
7．[2019·河南开封模拟]如图，已知圆E：(x＋ )2＋y2＝16，点F( ，0)，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.则动点Q的轨迹Γ的方程为________________．
解析：连接QF，因为Q在线段PF的垂直平分线上，所以|QP|＝|QF|，得|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝|PE|＝4.
又|EF|＝2 ＜4，得Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆为 ＋y2＝1.
答案： ＋y2＝1
8．[2019·江西九江联考]设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴，且 ＝2 ， ⊥ ，当点P在y轴上运动时，则点N的轨迹方程为________．
解析：设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，由 ＝2 ，得 即 因为 ⊥ ， ＝(x0，－y0)， ＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y ＝0，即－x＋ y2＝0，所以点N的轨迹方程为y2＝4x.
化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故动点P的轨迹方程为 ＋ ＝1(x≠±1)．
10．如图所示，已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与点B(2,0)，分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．
(1)△PAB的周长为10；
(2)圆P与圆A外切，且过B点(P为动圆圆心)；
(3)圆P与圆A外切，且与直线x＝1相切(P为动圆圆心)．
(新课标)高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题曲线与方程新人教A版【含答案】.docx
（新课标）高考数学一轮复习名校尖子生培优大专题曲线与方程新人教A版【考纲解读】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1. 平面解析几何是历年来高考重点内容之一, 经常与逻辑、不等式、三角函数等知识结合起来考查，在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，在解答题中考查，一般难度较大，与其他知识结合起来考查，在考查平面解析几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2. 高考将会继续保持稳定, 坚持考查解析几何与其他知识的结合，在选择题、填空题中继续搞创新, 命题形式会更加灵活.【要点梳理】1. 已知曲线形状, 求方程: 可以用待定系数法.2. 未知曲线的形状, 求方程:(1) 直接法: 直接由条件列式, 化简整理即可;(2) 代入法: 明确主动点与被动点;(3) 定义法: 利用圆或圆锥曲线的定义求轨迹方程.【例题精析】考点一求曲线方程例 1 设A 是单位圆x2+y2=1 上任意一点，l 是过点 A 与x 轴垂直的直线，D是直线l 与x 轴的交点，点M在直线l 上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m>0,且m≠1）. 当点A 在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。
（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。
（2）过原点且斜率为K 的直线交曲线C于P，Q两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，请说明理由.1因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得2.③【名师点睛】本小题主要考查直线与圆以及圆锥曲线等基础知识, 考查函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想方法，考查同学们分析问题和解决问题的能力.【变式训练】1. ( 本小题满分12 分)如图，动圆,1<t<3,与椭圆：相交于A，B，C，D四点，点分别为的左，右顶点。
2021年高考数学第一轮复习 课后练习册子及其答案和详细解析
强化练习题
目录
第 1 讲 集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲 函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲 函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲 函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲 平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................
高考数学总复习课时作业55曲线与方程理北师大版
A 级1．已知两点M( －2,0)，N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动点，知足→→→ →| MN|·|MP|＋MN· NP＝ 0，则动点P( x，y) 的轨迹方程为 ()A．y2＝ 8x B．y2＝－ 8xC．y2＝ 4x D．y2＝－ 4x2．方程 ( x2＋y2－ 4)x＋ y＋1＝0的曲线形状是 ()3．已知点P 在定圆 O的圆内或圆周上，动圆C过点 P 与定圆 O相切，则动圆C的圆心轨迹可能是 ()A．圆或椭圆或双曲线B．两条射线或圆或抛物线C．两条射线或圆或椭圆D．椭圆或双曲线或抛物线4．设点A为圆 ( x－ 1) 2＋y2＝ 1上的动点， PA是圆的切线，且| PA|＝1，则 P 点的轨迹方程为 ()A．y2＝ 2x B． ( x－ 1) 2＋y2＝ 4C．y2＝－ 2x D． ( x－ 1) 2＋y2＝ 25．长为 3 的线段的端点，B 分别在x轴、y轴上挪动，→＝ 2→，则点C的轨迹AB A AC CB是 ()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线0，y→→6．平面上有三点A( －2，y) ，B2， C( x， y)，若 AB ⊥B C，则动点 C 的轨迹方程为 ________．7．已知△ABC的周长为6，A( － 1,0)， B(1,0)，则极点 C的轨迹方程为________．8．已知定点A(2,0) ，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程是________．9．已知⊙O 的方程是x2＋y2－ 2＝0，⊙′的方程2＋y2－ 8 ＋10＝ 0，由动点P向⊙OO x x和⊙ O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．10．已知点A( － 1,0)， B(2,4)，△ ABC的面积为10，求动点C的轨迹方程．→→11．已知点A(－2,0)， B(2,0)，曲线C上的动点P知足 AP· BP＝－3，(1)求曲线 C的方程；(2) 若过定点M(0，－2)的直线 l 与曲线 C有交点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．B 级1．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)， B(－1,3)，若点 C→→→知足 OC＝λOA＋λ OB( O12为原点 ) ，此中λ，λ ∈R，且λ ＋λ ＝1，则点C的轨迹是()1212A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线2．(2011 ·北京卷 ) 曲线C 是平面内与两个定点1(－1,0)和2(1,0)的距离的积等于常F F数a2(a＞1)的点的轨迹．给出以下三个结论：①曲线 C过坐标原点；②曲线 C对于坐标原点对称；③若点P 在曲线C上，则△12 的面积不大于12.F PF2a此中全部正确的结论的序号是________．3．(2012 ·山西省考前适应性训练) 已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点 F1， F2在 y 轴上，它的一个极点为(2，0) ，且中心到直线AF的距离为焦距的1的直线，过点 (2,0)14l 与椭圆交于不一样的两点，，点N在线段上．P Q PQ(1)求椭圆的标准方程；(2)设| PM|·|NQ|＝ | PN| ·|MQ| ，求动点N的轨迹方程．详解答案课时作业 ( 五十五 )A级1．B |→| ＝ 4，|→| ＝x＋ 22＋2，→·→＝4(x－2) ，MN MP y MN NP∴ 4x＋22＋ y2＋4( x－2)＝0，∴ y2＝－8x.2． C由题意可得x2＋ y2－4＝0，或 x＋ y＋1＝0.它表示直线x＋y＋1＝0和圆 x2x＋y＋1≥0，＋ y2－4＝0在直线 x＋ y＋1＝0右上方的部分．3．C当点P在定圆O的圆周上时，圆C与圆 O内切或外切， O，P，C三点共线，∴轨迹为两条射线；当点 P 在定圆 O内时(非圆心)，| OC|＋| PC|＝ r 0为定值，轨迹为椭圆；当 P与 O重合时，圆心轨迹为圆．4． D如图 ，设 P ( x ，y ) ，圆心为 M (1,0) ．连结 MA ，则 MA ⊥PA ，且 | MA |＝ 1，又∵ | PA | ＝ 1， ∴| PM |＝ | MA |2＋| PA | 2＝ 2，即 | PM |2＝2，∴ ( x －1) 2＋ y 2＝ 2.5． C 设 C ( x ，y ) ， A ( a, 0) ， B (0 ， b ) ，则 a 2＋ b 2＝ 9，①又 →＝ 2→ ，因此 (x － ， ) ＝2( － ， b － ) ，ACCB a yx y＝ 3 x ，a即3 ② b ＝ 2y ，2y 2把②代入①式整理可得 x ＋ 4 ＝ 1. 应选 C.→y →y6．分析：AB ＝ 2，－2 ， B C ＝ x ， 2 .→→→ → y y2∵ AB ⊥ B C ，∴ AB ·BC ＝0，得 2·x － 2·2＝ 0. 得 y ＝ 8x .答案：y 2＝ 8x7．分析： ∵A ( － 1,0) ， B (1,0) ，∴ | AB | ＝ 2，又∵△ ABC 的周长为 6，∴ | CA | ＋| CB | ＝ 4>2，∴ C 点的轨迹是以 A ， B 为焦点的椭圆 ( 去掉左、右极点 ) ．22∵ 2a ＝4， c ＝ 1，∴ b ＝ a － c ＝ 3.x 2 y 2∴轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝ 1( x ≠± 2) ．答案：x 2＋ y 2＝ 1( x ≠± 2)438．分析：设 ( 1，1)， ( ， ) ，则y 12＝ 1，①P xy M x yxx 1＋ 2x ＝ 2x 1＝ 2x － 2又 M 为 AP 中点，∴，即 ，y1y 1＝ 2y ＝ 2代入①得答案：221(2 y ) ＝ 2x － 2，即 y ＝ 2( x －1) ．21y ＝ 2( x － 1)9．分析：由⊙ O ： x 2＋y 2＝ 2，⊙ O ′： ( x － 4) 2＋ y 2＝ 6 知两圆相离，而 2＝2－ 2，2＝ ′ 2－6，PTPO PQ PO22－6，设 P ( x ， y ) ，∴ PO － 2＝ PO ′222 23即得 x ＋ y － 2＝ ( x － 4) ＋ y －6，即 x ＝2.答案： 3x ＝2222010．分析： ∵AB ＝ 3 ＋4 ＝ 5，∴ AB 边上高 h ＝ 5 ＝4.故 C 的轨迹是与直线 AB 距离等于 4 的两条平行线．∵ k AB ＝ 4，3的方程为 4 － 3 y ＋ 4＝0，可设轨迹方程为 4 x－ 3 ＋ ＝ 0.ABx y c由| c －4|＝ 4 得 c ＝ 24 或 c ＝－ 16，5故动点 C 的轨迹方程为： 4x － 3y － 16＝ 0 或 4x － 3y ＋ 24＝ 0.11．分析：(1) 设 P ( x ， y ) ，→ → 2 2由 AP ·BP ＝ ( x ＋2， y ) ·(x － 2， y ) ＝x － 4＋ y ＝－ 3，得 P 点轨迹 ( 即曲线 C ) 的方程为 x 2＋y 2 ＝1，即曲线 C 是圆．(2) 可设直线 l 方程为 y ＝ kx － 2，其一般方 程为： kx － y － 2＝0，由直线l 与曲线 C 有交点，得 |0 －0－ 2|k ≤－ 3或 k ≥ 3，≤1，解得k 2＋ 1即所求 k 的取值范围是 ( －∞，－3] ∪[ 3，＋∞ ) ．B 级1． A 设( ， y ) ，则 →＝ ( x ， y )，→＝(3,1) ， → ＝( － 1,3) ，C xOC OAOB→→→x ＝ 3λ 1－ λ2∵ OC ＝λ1OA ＋ λ2OB ，∴，又 λ1＋ λ 2＝ 1，y ＝λ1＋ 3λ2∴ x ＋2 y － 5＝ 0，表示一条直线．2．分析：设 ( ， y ) 为曲线C 上随意一点，A x122则由 | AF | ·|AF | ＝a ，得C ： x ＋ 1 2＋ y 2· x － 12＋y 2＝ a 2，把 (0,0) 代入方程可得 1＝ a 2，与 a ＞ 1 矛盾，故①不正确； 当 M ( x ， y ) 在曲线 C 上时，点 M 对于原点的对称点 M ′( － x ，－ y ) 也知足方程，故曲线C 对于原点对称，故②正确；1 S △ F 1PF 2＝ | PF 1|| PF 2|sin ∠ F 1PF 221＝2a2sin 答案：1∠F1PF2≤2a2，故③正确．②③y2x23．分析：(1) 设椭圆的标准方程是a2＋b2＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个极点是A( 2 ，0) ，故b2＝2.1π1b2依据题意得，∠ AFO＝6，sin∠ AFO＝a，即 a＝2b， a ＝8，因此椭圆的标准方程是y2＋ x2＝1.82(2) 设P( x1，y1) ，Q( x2，y2) ，N( x，y) ，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝ (－2) ．k x直线 l 的方程与椭圆方程联立消去y 得：( k2＋ 4) x2－ 4k2x＋ 4k2－ 8＝ 0.由＝16k 4－ 4(k2＋ 4)(4k2－ 8)>0 ，得－ 2< <2.k依据根与系数的关系得x1＋x2＝4k22，4k2－ 84＋kx x4＋k又 | PM|·|NQ| ＝| PN| ·|MQ|，即 (2 －x1)( x2－x) ＝ ( x－x1)(2 －x2) ．解得 x＝1，代入直线 l 的方程得 y＝－ k， y∈(－2,2)．因此动点 N的轨迹方程为 x＝1，y∈(－2,2)．。
2020-2021【名校提分专用】高考数学一轮复习课时分层训练11函数与方程理北师大版
课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．已知函数y ＝f (x )的图像是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6y 124.4 33 －74 24.5 －36.7 －123.6则函数y ＝f (x A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个B [由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．故选B.]3．(2017·广东揭阳一模)曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝x 12的交点横坐标所在区间为( )【导学号：79140063】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，14．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜bB [由于f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，且f (x )为R 上的增函数，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)．因为g (x )是R 上的增函数，g (2)＝0，所以g (x )的零点b ＝2.因为h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a ＜c ＜b .]5．(2018·合肥第一次质检)从[－2,2]中随机选取一个实数a ，则函数f (x )＝4x－a ·2x ＋1＋1有零点的概率是( ) A.14 B.13 C.12D.23A [函数f (x )有零点，即f (x )＝4x －2a ·2x ＋1＝0有解，则2a ＝2x＋12x ≥2，a ≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立．所求概率为2－12＋2＝14，故选A.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x ＞0的零点所构成的集合为________．{－2，e} [由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.]8．若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________.【导学号：79140064】(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图像，如图所示，则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x ＞0)．(1)作出函数f (x )的图像；(2)当0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．[解] (1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0＜a ＜b 且f (a )＝f (b )，得0＜a ＜1＜b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图像可知，当0＜m ＜1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．B 组 能力提升11．已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]12．(2018·杭州质检)设方程x ＝ln(ax )(a ≠0，e 为自然对数的底数)，则( )A ．当a ＜0时，方程没有实数根B ．当0＜a ＜e 时，方程有一个实数根C ．当a ＝e 时，方程有三个实数根D ．当a ＞e 时，方程有两个实数根D [由x ＝ln(ax )得e x＝ax ，则函数y ＝e x，y ＝ax 图像的交点个数是原方程根的个数．当a ＜0时，在第二象限有一个根，A 错误；设过原点的直线与y ＝e x相切的切点坐标为(x 0，e x 0)，则e x 0＝ex 0x 0，x 0＝1，则切线斜率为e ，所以当0＜a ＜e 时，方程无根；当a ＝e 时，方程有一个实数根；当a ＞e 时，方程有两个实数根，D 正确，故选D.]13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．(0,1) [函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )，y ＝m 的交点有3个．画出函数y ＝f (x )的图像，则直线y ＝m 与其有3个公共点．又抛物线顶点为(－1,1)，由图可知实数m 的取值范围是(0,1)．]14．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数. 【导学号：79140065】[解] (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝(x －1)(x －3)x2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：所以当又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，且g (3)＜0，g (e 3)＞0，所以g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．。
2020年高考数学一轮复习课时分层训练55曲线与方程理北师大版_4204.doc
课时分层训练(五十五) 曲线与方程A 组 基础达标一、选择题1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分B [x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．] 2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．x 2＝2yD ．x 2＝4yB [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ， 所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B.]4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )【导学号：79140301】A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.]5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1.故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是__________．y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝(x ，y )－⎝⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x .∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .]7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．x 29－y 216＝1(x ＞3) [如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．] 8．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________.【导学号：79140302】16x2a 2－16y 23a 2＝1(x ＞0且y ≠0) [由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支(除去顶点)．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．]三、解答题9．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →，求点P 的轨迹方程．[解] 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )， 由已知知AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.10．如图882，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λNM →.图882(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．[解] (1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1，∴PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． ∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y . ∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.∴当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．B 组 能力提升11．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →为( ) A ．－12 B ．12 C ．－9D ．9D [由|AP →|－|BP →|＝2，可得点P (x ，y )的轨迹是以两定点A ，B 为焦点的双曲线的上支，且2a ＝2，c ＝2，∴b ＝3.∴点P 的轨迹方程为y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝4，∴AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9.]12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________.【导学号：79140303】y ＝2x －2 [设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.]13．(2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值；(2)求点E 的轨迹方程，并求它的离心率． [解] (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.(2)由圆A 方程(x ＋1)2＋y 2＝16，知A (－1,0)． 又B (1,0)因此|AB |＝2，则|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义，知点E 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x 轴的交点)， 所以a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 所以点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．故曲线方程的离心率e ＝c a ＝12.。
数学高考专题复习课时分层提升练 五十三曲线与方程
课时分层提升练五十三曲线与方程……………………30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·乐山模拟)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程为( )A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x【解析】选B.=(4,0),=(x+2,y),=(x-2,y).所以||=4,||=,·=4(x-2),根据已知条件得4=4(2-x).整理得y2=-8x.所以点P的轨迹方程为y2=-8x.2.在△ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出△ABC满足的条件,就能得到动点A 的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程①△ABC周长为10 C1:y2=25②△ABC面积为10 C2:x2+y2=4(y≠0)③△ABC中,∠A=90°C+=1(y≠0)3:则满足条件①,②,③的轨迹方程依次为( )A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C2【解析】选A.①△ABC的周长为10,即|AB|+|AC|+|BC|=10,又因为|BC|=4,所以|AB|+|AC|=6>|BC|,此时动点A的轨迹方程为C3;②△ABC的面积为10,所以BC·|y|=10,即|y|=5,与C1对应;③因为∠A=90°,所以·=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=x2+y2-4=0,与C2对应.故选A.3.(2020·普洱模拟)设点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为( )A.y2=2xB.(x-1)2+y2=4C.y2=-2xD.(x-1)2+y2=2【解析】选D.如图,设P(x,y),圆心为M(1,0).连接MA,PM,则MA⊥PA,且|MA|=1,又因为|PA|=1,所以|PM|==,即|PM|2=2,所以(x-1)2+y2=2.4.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【解析】选A.由条件知|PM|=|PF|.所以|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|.所以P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.5.平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=λ1+λ2(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是( )A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线【解析】选A.设C(x,y),因为=λ1+λ2,所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),即解得又λ1+λ2=1,所以+=1,即x+2y=5,所以点C的轨迹是直线.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·柳州模拟)如图,点F(a,0)(a>0),点P在y轴上运动,M在x轴上运动,N 为动点,且·=0,+=0,则点N的轨迹方程为________.【解析】由题意,知PM⊥PF且P为线段MN的中点,连接FN,延长FP至点Q使P 恰为QF的中点;连接QM,QN,则四边形FNQM为菱形,且点Q恒在直线l:x=-a上,故点N的轨迹是以点F为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为y2=4ax(a>0). 答案:y2=4ax(a>0)7.△ABC的顶点A(-5,0),B(5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是________.【解析】如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根据双曲线定义,所求轨迹是以A,B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,故方程为-=1(x>3).答案:-=1(x>3)8.已知点A,B分别是射线l1:y=x(x≥0),l2:y=-x(x≥0)上的动点,O为坐标原点,且△OAB的面积为定值2,则线段AB中点M的轨迹方程为________.【解析】由题意可设A(x1,x1),B(x2,-x2),M(x,y),其中x1>0,x2>0,则因为△OAB的面积为定值2,所以S△OAB=|OA|·|OB|=(x1)(x2)=x1x2=2.①2-②2得x2-y2=x1x2,而x1x2=2,所以x2-y2=2.由于x1>0,x2>0,所以x>0,即所求点M的轨迹方程为x2-y2=2(x>0).答案:x2-y2=2(x>0)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点C(1,0),点A,B是☉O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足·=0,设P为弦AB的中点.(1)求点P的轨迹T的方程.(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C 的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)连接CP,OP,由·=0,知AC⊥BC,所以|CP|=|AP|=|BP|=|AB|,由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2,即|OP|2+|CP|2=9,设点P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9,化简,得x2-x+y2=4.(2)存在.根据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px(p>0)上,其中=1.所以p=2,故抛物线方程为y2=4x,由方程组得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,由x≥0,故取x=1,此时y=±2.所以满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).10.已知点A(-2,0),P是☉O:x2+y2=4上任意一点,P在x轴上的射影为Q,=2,动点G的轨迹为C,直线y=kx(k≠0)与轨迹C交于E,F两点,直线AE,AF分别与y轴交于点M,N.(1)求轨迹C的方程.(2)以MN为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.【解析】(1)设G(x,y),所以Q(x,0),因为=2,所以P(x,2y),因为P在☉O:x2+y2=4上,所以x2+4y2=4.所以轨迹C的方程为+y2=1.(2)经过定点.设点E(x0,y0)(不妨设x0>0),则点F(-x0,-y0).由消去y得x2=.所以x0=,则y0=.所以直线AE的方程为y=(x+2).则M.同理可得点N.所以|MN|==.设MN的中点为P,则点P的坐标为.则以MN为直径的圆的方程为x2+=,即x2+y2+y=1.令y=0,得x2=1,即x=1或x=-1.故以MN为直径的圆经过两定点(1,0),(-1,0).……………………20分钟40分1.(5分)已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P 的轨迹方程为( )A.y=-2xB.y=2xC.y=2x-8D.y=2x+4【解析】选B.设P(x,y),R(x1,y1),由=知,点A是线段RP的中点,所以即因为点R(x1,y1)在直线y=2x-4上,所以y1=2x1-4,所以-y=2(2-x)-4,即y=2x.2.(5分)(2020·安顺模拟)设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若=2,且·=1,则点P的轨迹方程是( )A.x2+3y2=1(x>0,y>0)B.x2-3y2=1(x>0,y>0)C.3x2-y2=1(x>0,y>0)D.3x2+y2=1(x>0,y>0)【解析】选A.设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0.由=2得(x,y-b)=2(a-x,-y),即a=x>0,b=3y>0,点Q(-x,y),故由·=1得(-x,y)·(-a,b)=1,即ax+by=1.将a,b代入ax+by=1得所求的轨迹方程为x2+3y2=1(x>0,y>0). 3.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得的线段长为2,在y 轴上截得的线段长为2,则圆心P的轨迹方程为________.【解析】设P(x,y),圆P的半径为r,由题设知y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3,故圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.答案:y2-x2=14.(5分)设F1,F2为椭圆+=1的左、右焦点,A为椭圆上任意一点,过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是________.【解析】由题意,延长F1D,F2A相交于点B,易证Rt△ABD≌Rt△AF1D,则|F1D|=|BD|,|F1A|=|AB|,又O为F1F2的中点,连接OD,则OD∥F2B,从而可知|DO|=|F2B|=(|AF1|+|AF2|)=2,设点D的坐标为(x,y),则x2+y2=4.答案:x2+y2=45.(10分)设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且=2,⊥,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程.【解析】设M(x′,0),P(0,y′),N(x,y),由=2,得(x-x′,y)=2(-x′,y′),所以解得因为⊥,=(x′,-y′),=(1,-y′)所以(x′,-y′)·(1,-y′)=0,即x′+y′2=0,所以-x+=0,即y2=4x.因此所求的轨迹方程为y2=4x.6.(10分)在直角坐标系xOy中,长为+1的线段的两端点C,D分别在x轴、y 轴上滑动,=.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程.(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A,B两点,=+,当点M在曲线E 上时,求四边形AOBM的面积.【解析】(1)设C(m,0),D(0,n),P(x,y).由=,得(x-m,y)=(-x,n-y),所以解得由||=+1,得m2+n2=(+1)2,所以(+1)2x2+y2=(+1)2,整理,得曲线E的方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=+,知点M坐标为(x1+x2,y1+y2),且AOBM为平行四边形.由题意知,直线AB的斜率存在.设直线AB的方程为y=kx+1,代入曲线E的方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,则x1+x2=-,x1x2=-.y1+y2=k(x1+x2)+2=.由点M在曲线E上,知(x1+x2)2+=1,即+=1,解得k2=2.这时|AB|=|x1-x2|==,原点到直线AB的距离d==,所以平行四边形AOBM的面积S=|AB|·d=.练考题预测·全过关1.(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ.(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意可知F,设l1:y=a,l2:y=b且ab≠0,A,B,P,Q,R,记过A,B两点的直线方程为l,由点A,B可得直线方程为2x-(a+b)y+ab=0, 因为点F在线段AB上,所以ab+1=0,记直线AR的斜率为k1,直线FQ的斜率为k2,所以k1=,k2==-b,又因为ab+1=0,所以k1=====-b,所以k1=k2,即AR∥FQ.(2)设直线AB与x轴的交点为D,所以S△ABF==,又S△PQF=,所以由题意可得S△PQF=2S△ABF,即=2×·|a-b|·,解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x,y).当AB与x轴不垂直时,由k AB=k DE可得=(x≠1).而=,所以y2=x-1(x≠1).当AB与x轴垂直时,E与D重合,所以,所求轨迹方程为y2=x-1.2.方程(2x+3y-1)(-1)=0表示的曲线是( )A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线【解析】选D.原方程可化为或-1=0,即2x+3y-1=0(x≥3)或x=4,故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线.3.已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是________________.【解析】设抛物线焦点为F,过A,B,O(0,0)作准线的垂线AA1,BB1,OO1,则|AA1|+ |BB1|=2|OO1|=4,由抛物线定义得|AA1|+|BB1|=|FA|+|FB|,所以|FA|+|FB|=4,故F 点的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案:+=1(y≠0)4.已知圆C:(x+1)2+y2=8,点A(1,0),P是圆C上任意一点,线段AP的垂直平分线交线段CP于点Q,当点P在圆上运动时,点Q的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程.(2)若直线l:y=kx+m与曲线E相交于M,N两点,O为坐标原点,求△MON面积的最大值.【解析】(1)因为点Q在线段AP的垂直平分线上,所以|AQ|=|PQ|.又|CP|=|CQ|+|QP|=2,所以|CQ|+|QA|=2>|CA|=2.所以曲线E是以坐标原点为中心,C(-1,0)和A(1,0)为焦点,长轴长为2的椭圆.设曲线E的方程为+=1(a>b>0).因为c=1,a=,所以b2=2-1=1.所以曲线E的方程为+y2=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).联立方程,得消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.此时有Δ=16k2-8m2+8>0.由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=.所以|MN|==.因为原点O到直线l的距离d=,所以=|MN|·d=.由Δ>0,得2k2-m2+1>0.又m≠0,所以根据基本不等式,得≤·=. 当且仅当m2=时,不等式取等号. 所以△MON面积的最大值为.。
2021届高考数学一轮复习第七章平面解析几何考点测试55曲线与方程(含解析)新人教版B版
考点测试55 曲线与方程高考概览高考在本考点的考查涉及各种题型，分值为5分，中等难度 考纲研读1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2．了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法 3．能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程一、基础小题1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝－12y D ．x 2＝12y答案 D解析 由抛物线的定义知，过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，故其方程为x 2＝12y .故选D.3．已知A (－1,0)，B (1,0)两点，过动点M 作x 轴的垂线，垂足为点N ，若MN →2＝λAN →·NB →，当λ<0时，动点M 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 C解析 设M (x ，y )，则N (x,0)，所以MN →2＝y 2，λAN →·NB →＝λ(x ＋1,0)·(1－x,0)＝λ(1－x 2)，所以y 2＝λ(1－x 2)，即λx 2＋y 2＝λ，变形为x 2＋y 2λ＝1.又因为λ<0，所以动点M 的轨迹为双曲线．故选C.4．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答案 D解析 由已知得|MF |＝|MB |.由抛物线定义知点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．故选D.5．与圆x 2＋y 2＝1及x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切的动圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上 D ．一个圆上答案 B解析 圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为(4,0)，半径为2，动圆的圆心到(4,0)的距离减去到(0,0)的距离等于1，由此可知动圆的圆心在双曲线的一支上．故选B.6．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，则圆心P 的轨迹方程为________．答案x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 解析 设圆M ，圆N 与动圆P 的半径分别为r 1，r 2，R ，因为圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．7．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．答案 x 2＋y 2＝4解析 如图，延长F 1D ，F 2A 并交于点B ，易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ，则|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |，又O 为F 1F 2的中点，连接OD ，则OD ∥F 2B ，从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.8．点P (－3,0)是圆C ：x 2＋y 2－6x －55＝0内一定点，动圆M 与已知圆C 相内切且过P点，则圆心M 的轨迹方程为________．答案x 216＋y 27＝1 解析 已知圆为(x －3)2＋y 2＝64，其圆心C (3,0)，半径为8，由于动圆M 过P 点，所以|MP |等于动圆的半径r ，即|MP |＝r .又圆M 与已知圆C 相内切，所以圆心距等于半径之差，即|MC |＝8－r ，从而有|MC |＝8－|MP |，即|MC |＋|MP |＝8.根据椭圆的定义，动点M 到两定点C ，P 的距离之和为定值8>6＝|CP |，所以动点M 的轨迹是椭圆，并且2a ＝8，a ＝4；2c ＝6，c ＝3；b 2＝16－9＝7，因此M 点的轨迹方程为x 216＋y 27＝1.二、高考小题9．(2019·北京高考) 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：x 2＋y 2＝1＋|x |y 就是其中之一(如图)．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．② C ．①② D ．①②③答案 C解析 由x 2＋y 2＝1＋|x |y ，当x ＝0时，y ＝±1；当y ＝0时，x ＝±1；当y ＝1时，x ＝0，±1.故曲线C 恰好经过6个整点：A (0,1)，B (0，－1)，C (1,0)，D (1,1)，E (－1,0)，F (－1,1)，所以①正确．由基本不等式，当y >0时，x 2＋y 2＝1＋|x |y ＝1＋|xy |≤1＋x 2＋y 22，所以x 2＋y 2≤2，所以x 2＋y 2≤2，故②正确．如图，由①知长方形CDFE 面积为2，三角形BCE面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误．故选C.10．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )81045C.x 25－y 24＝1 D ．x 24－y 23＝1答案 B 解析 由y ＝52x 可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.11．(2015·广东高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B ．x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1 D ．x 23－y 24＝1答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝54，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a ＝4，故b ＝3，从而所求的双曲线方程为x 216－y 29＝1.故选C.12．(2015·安徽高考)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1答案 C解析 由于焦点在y 轴上，故排除A ，B.由于渐近线方程为y ＝±2x ，故排除D.故选C.13．(2015·天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B ．x 228－y 221＝13443答案 D解析 由题意知点(2，3)在渐近线y ＝b a x 上，所以b a ＝32，又因为抛物线的准线为x ＝－7，所以c ＝7，故a 2＋b 2＝7，所以a ＝2，b ＝ 3.故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.选D.三、模拟小题14．(2019·聊城模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0答案 D解析 由题意，知M 为PQ 的中点，设Q (x ，y )，则点P 坐标为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.故选D.15．(2019·福建漳州八校联考)已知圆M ：(x ＋5)2＋y 2＝36，定点N (5，0)，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在线段MP 上，且满足NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，则点G 的轨迹方程是( )A.x 29＋y 24＝1 B ．x 236＋y 231＝1 C.x 29－y 24＝1 D ．x 236－y 231＝1 答案 A解析 由NP →＝2NQ →，GQ →·NP →＝0，知GQ →所在直线是线段NP 的垂直平分线，连接GN ，∴|GN |＝|GP |，∴|GM |＋|GN |＝|MP |＝6>25，∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其中2a ＝6,2c ＝25，∴b 2＝4，∴点G 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1，故选A.16．(2019·银川模拟)动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是________．答案 (2x －3)2＋4y 2＝1解析 设A ，B 连线的中点M 坐标为(x ，y )，则动点A 的坐标为(2x －3,2y )，因为点A 在圆x 2＋y 2＝1上，所以(2x －3)2＋4y 2＝1.故所求轨迹方程是(2x －3)2＋4y 2＝1.17．(2019·武威模拟)设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动时，则点N 的轨迹方程为________．答案 y 2＝4x解析 设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )，由MN →＝2MP →，得⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，因为PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)，所以(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0，所以x 0＋y 20＝0，即－x ＋14y 2＝0，所以点N 的轨迹方程为y 2＝4x .一、高考大题1．(2019·全国卷Ⅱ)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为－12.记M 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点G .①证明：△PQG 是直角三角形； ②求△PQG 面积的最大值． 解 (1)由题设得yx ＋2·y x －2＝－12， 化简得x 24＋y 22＝1(|x |≠2)，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． (2)①证明：设直线PQ 的斜率为k ， 则其方程为y ＝kx (k >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y22＝1得x ＝±21＋2k2.设u ＝21＋2k2，则P (u ，uk )，Q (－u ，－uk )，E (u,0)．于是直线QG 的斜率为k 2，方程为y ＝k2(x －u )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k2x －u ，x 24＋y 22＝1，得(2＋k 2)x 2－2uk 2x ＋k 2u 2－8＝0.(*) 设G (x G ，y G )，则－u 和x G 是方程(*)的解，故x G ＝u 3k 2＋22＋k 2，由此得y G ＝uk 32＋k 2.从而直线PG 的斜率为uk 32＋k 2－uk u 3k 2＋22＋k2－u ＝－1k.所以PQ ⊥PG ，即△PQG 是直角三角形． ②由①得|PQ |＝2u 1＋k 2，|PG |＝2uk k 2＋12＋k2， 所以△PQG 的面积S ＝12|PQ ||PG |＝8k 1＋k 21＋2k 22＋k2＝8⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋k 1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 2.设t ＝k ＋1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k ＝1时取等号． 因为S ＝8t1＋2t 2在[2，＋∞)上单调递减，所以当t ＝2，即k ＝1时，S 取得最大值，最大值为169. 因此，△PQG 面积的最大值为169.2．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .解 (1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )，则 OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，OP →＝(m ，n )， PQ →＝(－3－m ，t －n )．由OP →·PQ →＝1得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 3．(2016·全国卷Ⅰ)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC . 所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |. 又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16， 从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12k 2＋14k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)． 二、模拟大题4．(2019·张家口一模)以P 为圆心的动圆经过点F (1,0)，并且与直线x ＝－1相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是曲线C 上的四个点，AB ⊥CD ，并且AB ，CD 相交于点F ，直线AB 的倾斜角为锐角．若四边形ACBD 的面积为36，求直线AB 的方程．解 (1)设圆P 与直线x ＝－1相切于点E ， 则|PE |＝|PF |，即点P 到F 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离相等， ∴点P 的轨迹为抛物线，F 是焦点，x ＝－1是准线． ∴点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k >0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k2.同理，|CD |＝4＋4k 2.∴四边形ACBD 的面积S ＝12|AB |·|CD |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4k 2(4＋4k 2)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(1＋k 2)．由8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(1＋k 2)＝36，得k 2＝2或k 2＝12，∴k ＝2或k ＝22.∴直线AB 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝22(x －1)． 5．(2020·昆明调研)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，直线l 2：x ＋5ay ＋5a ＝0，直线l 1与l 2的交点为M ，点M 的轨迹为曲线C .(1)当a 变化时，求曲线C 的方程；(2)已知点D (2,0)，过点E (－2,0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋5ay ＋5a ＝0消去a ，得曲线C 的方程为x 25＋y 2＝1(y ≠－1，即点(0，－1)不在曲线C 上)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 25＋y 2＝1，得(m 2＋5)y 2－4my －1＝0，则y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1y 2＝－1m 2＋5， △ABD 的面积S ＝2|y 2－y 1|＝2y 2＋y 12－4y 2y 1＝216m 2m 2＋52＋4m 2＋5＝45·m 2＋1m 2＋5，设t ＝m 2＋1，t ∈[1，＋∞)， 则S ＝45t t 2＋4＝45t ＋4t≤5，当t ＝4t(t ∈[1，＋∞))，即t ＝2，m ＝±3时，△ABD 的面积取得最大值，为 5.6．(2019·武汉模拟)在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →＝λRQ →(λ>1)，求证：NF →＝λFQ →.解 (1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，① 直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，②设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，由①×②，得y 2＝－mn 6(x 2－6)， 又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1. 故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1. (2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1消去x ， 得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0， 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3. 由RP →＝λRQ →，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2，由(1)得F (2,0)，要证NF →＝λFQ →，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)，只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2， 即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6t t 2＋3＝0成立，即NF →＝λFQ →成立．。
2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版理科)： 课时分层训练55 曲线与方程 理 北师大版
课时分层训练(五十五) 曲线与方程A 组 基础达标一、选择题1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分B [x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．] 2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0。
]3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．x 2＝2yD ．x 2＝4yB [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ， 所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B 。
]4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )【导学号：79140301】A 。
4x 221－4y225＝1B 。
4x 221＋4y225＝1C 。
4x 225－4y221＝1D 。
4x 225＋4y221＝1D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1。
2019高三数学人教A版理一轮课时分层训练55 曲线与方程
课时分层训练(五十五) 曲线与方程(对应学生用书第257页)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( ) A ．双曲线的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．圆的一部分D ．直线的一部分B [x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．]2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( )A ．y 2＝2xB ．y 2＝4xC ．x 2＝2yD ．x 2＝4yB [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ，所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B ．]4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )【导学号：97190303】A ．4x 221－4y 225＝1 B ．4x 221＋4y 225＝1 C ．4x 225－4y 221＝1D ．4x 225＋4y 221＝1D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y 221＝1.]5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ， 点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1.故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB→⊥BC →，则动点C的轨迹方程是__________．y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC→＝(x ，y )－⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2. ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0， 即y 2＝8x .∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .]7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．x 29－y 216＝1(x ＞3) [如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．]8．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________.【导学号：97190304】16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x ＞0且y ≠0) [由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支(除去顶点)．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．]三、解答题9．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP→＝22PB →，求点P 的轨迹方程．[解] 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )， 由已知知AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y .因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.10．如图8-8-2，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λNM →.图8-8-2(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．[解] (1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)， N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1， ∴PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )， 由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． ∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上， 则x 214＋y 21＝1，∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1，故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14， 解得λ＝－12或λ＝－32.∴当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．]B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)11．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP→为( ) A ．－12 B ．12 C ．－9D ．9D [由|AP→|－|BP →|＝2，可得点P (x ，y )的轨迹是以两定点A ，B 为焦点的双曲线的上支，且2a ＝2，c ＝2，∴b ＝ 3.∴点P 的轨迹方程为y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x 23＝1，解得⎩⎨⎧x 2＝9，y 2＝4，∴AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9.]12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________. 【导学号：97190305】y ＝2x －2 [设C (x ，y )，则OC→＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.]13．(2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值；(2)求点E的轨迹方程，并求它的离心率．[解](1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.(2)由圆A方程(x＋1)2＋y2＝16，知A(－1,0)．又B(1,0)因此|AB|＝2，则|EA|＋|EB|＝4>|AB|.由椭圆定义，知点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x轴的交点)，所以a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.所以点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．故曲线方程的离心率e＝ca＝1 2.。
2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：55 曲线与方程
课时作业55 曲线与方程一、选择题1．方程(x 2－y 2－1)x －y －1＝0表示的曲线的大致形状是(图中实线部分)( B )解析：原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2－1＝0，x －y －1≥0或x －y －1＝0，前者表示等轴双曲线x 2－y 2＝1位于直线x －y －1＝0下方的部分，后者为直线x －y －1＝0，这两部分合起来即为所求．2．动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －11|，则点P 的轨迹是( D )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线解析：设定点F (1,2)，定直线l ：3x ＋4y －11＝0，则|PF |＝(x －1)2＋(y －2)2，点P 到直线l 的距离d ＝|3x ＋4y －11|5.由已知得|PF |d ＝1，但注意到点F (1,2)恰在直线l 上，所以点P 的轨迹是直线．选D.3．方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( D )A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线解析：依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0.4．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( A )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，得⎩⎨⎧ λ1＝3x ＋y 10，λ2＝3y －x 10，又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．5．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( A )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1) 解析：设另外两个切点为E ，F ，如图所示，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |，∴P 点的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．又∵a ＝1，c ＝3，∴b 2＝8.故P 点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．。
高考数学一轮复习课后限时集训55曲线与方程课件
ABC的面积为10，所以12|BC|·|y|＝10，即|y|＝5，与C1对应；③因为∠A
＝90°，所以A→B·A→C＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2＋y2－4＝0，与C2
对应．故选A.]
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6．设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝
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5．在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的
条件，就能得到动点A的轨迹方程．
下表给出了一些条件及方程：
条件
方程
①△ABC周长为10 ②△ABC面积为10
③△ABC中，∠A＝90°
C1：y2＝25 C2：x2＋y2＝4(y≠0) C3：x92＋y52＝1(y≠0)
双曲线；当a＝1时，该方程表示圆．故选B.]
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2．已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作
直线l的垂线，垂足为Q，且Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，则动点P的轨迹C的方程
为( )
A．x2＝4y
B．y2＝3x
C．x2＝2y
D．y2＝4x
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A [设点P(x，y)，则Q(x，－1)． ∵Q→P·Q→F＝F→P·F→Q，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即 2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝ 4y.]
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二、填空题 7．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3， 则顶点A的轨迹方程为__________．
[配套K12]2019年高考数学一轮复习 课时分层训练55 曲线与方程 理 北师大版
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课时分层训练(五十五) 曲线与方程A 组 基础达标一、选择题1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分B [x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．] 2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．x 2＝2yD ．x 2＝4yB [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ， 所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B.]4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )【导学号：79140301】A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.]5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1.故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是__________．y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝(x ，y )－⎝⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x .∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .]7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．x 29－y 216＝1(x ＞3) [如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．] 8．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________.【导学号：79140302】16x2a 2－16y 23a 2＝1(x ＞0且y ≠0) [由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支(除去顶点)．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．]三、解答题9．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →，求点P 的轨迹方程．[解] 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )， 由已知知AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.10．如图882，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λNM →.图882(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．[解] (1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1，∴PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． ∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y . ∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.∴当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．B 组 能力提升11．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →为( ) A ．－12 B ．12 C ．－9D ．9D [由|AP →|－|BP →|＝2，可得点P (x ，y )的轨迹是以两定点A ，B 为焦点的双曲线的上支，且2a ＝2，c ＝2，∴b ＝3.∴点P 的轨迹方程为y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝4，∴AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9.]12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________.【导学号：79140303】y ＝2x －2 [设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.]13．(2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值；(2)求点E 的轨迹方程，并求它的离心率． [解] (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.(2)由圆A 方程(x ＋1)2＋y 2＝16，知A (－1,0)． 又B (1,0)因此|AB |＝2，则|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义，知点E 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x 轴的交点)， 所以a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 所以点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．故曲线方程的离心率e ＝c a ＝12.。
高考数学统考一轮复习课后限时集训56曲线与方程理含解析新人教
学习资料课后限时集训(五十六）曲线与方程建议用时:40分钟一、选择题1．若方程x2＋错误!＝1（a是常数）,则下列结论正确的是（）A．任意实数a方程表示椭圆B．存在实数a方程表示椭圆C．任意实数a方程表示双曲线D．存在实数a方程表示抛物线B[当a＞0且a≠1时，该方程表示椭圆；当a＜0时，该方程表示双曲线；当a＝1时，该方程表示圆．故选B．]2．已知点F（0,1)，直线l:y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q,且错误!·错误!＝错误!·错误!,则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4y B．y2＝3xC．x2＝2y D．y2＝4xA[设点P(x，y）,则Q（x，－1）．∵错误!·错误!＝错误!·错误!，∴(0，y＋1)·(－x，2）＝(x，y－1）·（x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2（y－1），整理得x2＝4y,∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.]3．(2020·静安区二模）方程2x2－9xy＋8y2＝0的曲线C所满足的性质为(）①不经过第二、四象限；②关于x轴对称；③关于原点对称;④关于直线y＝x对称．A．①③B．②③C．①④D．①②A［由题意，2x2－9xy＋8y2＝0化为：9xy＝2x2＋8y2≥0，说明x，y同号或同时为0，所以图形不经过第二、四象限，①正确；－y换y,方程发生改变,所以图形不关于x轴对称，所以②不正确；以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以③正确；方程2x2－9xy＋8y2＝0，x,y互换,方程化为8x2－9xy＋2y2＝0，方程已经改变，所以④不正确．故选A．］4．（2020·成都模拟）设C为椭圆x2＋错误!＝1上任意一点，A（0,－2)，B(0,2）,延长AC至点P，使得｜PC｜＝|BC｜,则点P的轨迹方程为(）A．x2＋（y－2）2＝20 B．x2＋（y＋2）2＝20C．x2＋（y－2）2＝5 D．x2＋(y＋2）2＝5B［如图，由椭圆方程x2＋y25＝1,得a2＝5，b2＝1，∴c＝a2－b2＝2,则A（0，－2），B(0,2)为椭圆两焦点，∴｜CA｜＋｜CB|＝2a＝2错误!，∵|PC|＝｜BC|，∴|P A|＝|PC|＋｜CA｜＝|BC｜＋|CA｜＝2错误!.∴点P的轨迹是以A为圆心,以2错误!为半径的圆，其方程为x2＋(y＋2）2＝20.故选B．] 5．在△ABC中,B(－2，0）,C(2，0）,A(x,y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：条件方程①△ABC周长为10C1：y2＝25②△ABC面积为10C2：x2＋y2＝4(y≠0)③△ABC中，∠A＝90°C3：错误!＋错误!＝1(y≠0)A．C3,C1，C2B．C1,C2,C3C．C3，C2，C1D．C1,C3,C2A［①△ABC的周长为10，即｜AB｜＋｜AC|＋｜BC｜＝10,又|BC｜＝4，所以|AB｜＋|AC｜＝6〉｜BC|,此时动点A的轨迹为椭圆，与C3对应；②△ABC的面积为10，所以错误! |BC｜·｜y|＝10，即|y|＝5，与C1对应；③因为∠A＝90°，所以错误!·错误!＝(－2－x，－y)·（2－x，－y）＝x2＋y2－4＝0,与C2对应．故选A．］6．设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝5，错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,则点M的轨迹方程为（）A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!＋错误!＝1 D．错误!＋错误!＝1A[设M（x，y），A（x0,0)，B（0，y0)，由错误!＝错误!错误!＋错误!错误!，得(x,y）＝错误!（x0，0）＋错误!(0，y0)，则错误!解得错误!由|AB｜＝5，得错误!错误!＋错误!错误!＝25，化简得错误!＋错误!＝1.］二、填空题7．已知△ABC 的顶点B （0，0)，C （5,0），AB 边上的中线长｜CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为 ．（x －10）2＋y 2＝36(y ≠0) [设A (x ，y ），则D 错误!。
2020版高考数学一轮复习课时训练(五十)曲线与方程理(含解析)苏教版(2021-2022学年)
课时跟踪检测（五十）曲线与方程一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.方程(ｘ+y-1）错误!未定义书签。
＝0表示的曲线是__________＿__＿．解析:由(x+y-1)错误!未定义书签。
＝0，得错误!或错误!未定义书签。
＝0，即x+y-１=0（ｘ≥１）或x=1．所以方程表示的曲线是射线ｘ＋y－1=0(x≥1)和直线ｘ＝１．答案:射线ｘ＋y－１=０（ｘ≥1)和直线ｘ＝12．平面上有三个点A(-2,y）,B错误!,Ｃ(x，y)，若错误!⊥错误!未定义书签。
，则动点Ｃ的轨迹方程为_＿______.解析:由题意得错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
,错误!未定义书签。
＝错误!未定义书签。
，由错误!未定义书签。
⊥错误!未定义书签。
，得错误!·错误!未定义书签。
=0，即２x+错误!·错误!=0,所以动点Ｃ的轨迹方程为y2=8x。
答案:y2＝8x3．（２０１８·江苏太湖高级中学检测）若动点Ｐ(x,ｙ)满足条件｜错误!-错误!未定义书签。
|=6,则点Ｐ的轨迹是_＿_＿____．解析:|＼r(x＋4２＋y２)-x－42+y2|=6表示点P到(4，0），(－４，0）两点的距离的差的绝对值为6,根据定义得点Ｐ轨迹是双曲线．答案：双曲线4.设点A为圆(x-１)2+y2＝１上的动点，PA是圆的切线，且PＡ＝1，则P点的轨迹方程为＿___＿___．解析：如图,设P(ｘ，y),圆心为M（1，０).连结MA,PM,则MＡ⊥PA，且MＡ＝1,又因为PA=1，所以PM=错误!=错误!,即ＰM2=2,所以(x-1)2＋y2=2。
答案:(ｘ－１)２+ｙ2＝２5．已知点Ａ（－2，0)，B(３,０），动点Ｐ（ｘ,y）,满足错误!·错误!＝x2－６,则动点Ｐ的轨迹方程是__＿_____.解析:因为动点P(x，ｙ)满足错误!·错误!未定义书签。
＝ｘ2-６，所以(-２－x，－y)·(3-ｘ,－ｙ)=x2－6,即y2=x，ﻬ所以动点P的轨迹方程是y２＝x.答案:y2=ｘ6.已知定点Ａ(4,0）和圆x2＋y2=4上的动点B,动点P（x，ｙ）满足错误!未定义书签。
2021高考数学复习课后限时集训55抛物线理北师大版
课后限时集训55抛物线 建议用时：45分钟一、选择题1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36yD [将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时,准线y ＝－14a ,则3＋14a ＝6,∴a ＝112.当a <0时,准线y ＝－14a ,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6,∴a ＝－136.∴抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y .]2．(2019·菏泽模拟)过抛物线C ：x 2＝2y 的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A ,B 两点,若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1,则|AF |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4A [∵x 2＝2y ,∴y ＝x 22,∴y ′＝x ,∵抛物线C 在点B 处的切线斜率为1,∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12, ∵抛物线x 2＝2y 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12,∴直线l 的方程为y ＝12,∴|AF |＝|BF |＝1.]3．(2019·桂林模拟)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点,那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心B [设圆心为M ,过点A 、B 、M 作准线l 的垂线,垂足分别为A 1、B 1、M 1,则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|,|AF |＝|AA 1|,所以|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|,|MM 1|＝12|AB |,即圆心M 到准线的距离等于圆的半径,故以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．]4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点O 是坐标原点,若|AF |＝3,则△AOB 的面积为( )A.22 B ． 2 C.322D ．2 2C [设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0),如图所示,|AF |＝x 1＋1＝3,所以x 1＝2,y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ,由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty ，消去x 得y 2－4ty －4＝0.所以y 1y 2＝－4.所以y 2＝－2,x 2＝12,所以S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.]5．已知P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点,Q 是圆(x －3)2＋(y －1)2＝1上的一个动点,N (1,0)是一个定点,则|PQ |＋|PN |的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．2＋1A [由抛物线方程y 2＝4x ,可得抛物线的焦点F (1,0),又N (1,0),所以N 与F 重合．过圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆心M 作抛物线准线的垂线MH ,交圆于Q ,交抛物线于P ,则|PQ |＋|PN |的最小值等于|MH |－1＝3.]二、填空题6．(2019·北京高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,准线为l ,则以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为________．(x －1)2＋y 2＝4 [如图,抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)． ∵所求圆的圆心F ,且与准线x ＝－1相切,∴圆的半径为2,则所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.] 7．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ,过点F 作一条直线交抛物线于A ,B 两点．若|AF |＝3,则|BF |＝________.32[由题意可知F (1,0),设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),点A 在第一象限,则|AF |＝x A ＋1＝3,所以x A ＝2,y A ＝22,所以直线AB 的斜率为k ＝222－1＝2 2. 则直线AB 的方程为y ＝22(x －1),与抛物线方程联立整理得2x 2－5x ＋2＝0,x A ＋x B ＝52,所以x B ＝12,所以|BF |＝12＋1＝32.]8．已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,若△FPM 为边长是4的等边三角形,则此抛物线的方程为________．x 2＝4y [△FPM 为等边三角形,则|PM |＝|PF |,由抛物线的定义得PM 垂直于抛物线的准线,设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22p ,则点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－p 2,因为焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2,△FPM 是等边三角形,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 22p ＋p2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋p 22＋m 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝12，p ＝2，因此抛物线方程为x 2＝4y .]三、解答题9．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1＜x 2)两点,且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC →＝OA →＋λOB →,求λ的值．[解] (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2,与y 2＝2px 联立,消去y 有4x2－5px ＋p 2＝0,所以x 1＋x 2＝5p 4. 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p 4＋p ＝9,所以p ＝4,从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0,即x 2－5x ＋4＝0, 则x 1＝1,x 2＝4,于是y 1＝－22,y 2＝42, 从而A (1,－22),B (4,42)．设C (x 3,y 3), 则OC →＝(x 3,y 3)＝(1,－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3,所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1),整理得(2λ－1)2＝4λ＋1,解得λ＝0或λ＝2.10．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ,点A (2,0),B (－2,0),过点A 的直线l 与C 交于M ,N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程； (2)证明：∠ABM ＝∠ABN .[解] (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x ＝2,可得点M 的坐标为(2,2)或(2,－2)． 所以直线BM 的方程为y ＝12x ＋1或y ＝－12x －1.(2)证明：当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线, 所以∠ABM ＝∠ABN .当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y ＝k (x －2)(k ≠0),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，y 2＝2x得ky 2－2y －4k ＝0, 可知y 1＋y 2＝2k,y 1y 2＝－4.直线BM ,BN 的斜率之和为k BM ＋k BN ＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝x 2y 1＋x 1y 2＋2y 1＋y 2x 1＋2x 2＋2.①将x 1＝y 1k ＋2,x 2＝y 2k＋2及y 1＋y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1＋x 1y 2＋2(y 1＋y 2)＝2y 1y 2＋4k y 1＋y 2k＝－8＋8k＝0.所以k BM ＋k BN ＝0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM ＝∠ABN . 综上,∠ABM ＝∠ABN .1．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ,过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [过点(－2,0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2),由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，得x2－5x ＋4＝0,解得x ＝1或x ＝4,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，不妨设M (1,2),N (4,4),易知F (1,0),所以FM →＝(0,2),FN →＝(3,4),所以FM →·FN →＝8.故选D.]2．已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点,曲线C 2是以F 为圆心,p2为半径的圆,直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1,C 2从上到下依次相交于点A ,B ,C ,D ,则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4C ．83D ．53A [因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心),故|BF |＝|CF |＝p 2,所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p 2. 由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ,|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px ，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0,即(8x －p )(x －2p )＝0,可得x A ＝2p ,x D ＝p 8,故|AB ||CD |＝x A x D ＝2p p8＝16.故选A.]3．(2019·贵阳模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ,且倾斜角为60°的直线交抛物线于A ,B 两点,若|AF |＞|BF |,且|AF |＝2,则p ＝________.1 [过点A ,B 向抛物线的准线x ＝－p2作垂线,垂足分别为C ,D ,过点B 向AC 作垂线,垂足为E (图略),∵A ,B 两点在抛物线上,∴|AC |＝|AF |,|BD |＝|BF |.∵BE ⊥AC ,∴|AE |＝|AF |－|BF |, ∵直线AB 的倾斜角为60°,∴在Rt △ABE 中,2|AE |＝|AB |＝|AF |＋|BF |, 即2(|AF |－|BF |)＝|AF |＋|BF |,∴|AF |＝3|BF |. ∵|AF |＝2,∴|BF |＝23,∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝83.设直线AB 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2,代入y 2＝2px ,得3x 2－5px ＋3p24＝0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴x 1＋x 2＝53p ,∵|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝83,∴p ＝1.]4．(2017·全国卷Ⅰ)设A ,B 为曲线C ：y ＝x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程． [解] (1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1≠x 2,y 1＝x 214,y 2＝x 224,x 1＋x 2＝4,于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由 y ＝x 24,得y ′＝x2.设M (x 3,y 3),由题设知x 32＝1,解得x 3＝2,于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ,故线段AB 的中点为N (2,2＋m ),|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0,即m >－1时,x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42m ＋1.由题设知|AB |＝2|MN |,即42m ＋1＝2(m ＋1),解得m ＝7.所以直线AB 的方程为y ＝x ＋7.1．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点,A ,B ,C 为抛物线上三点,若F 为△ABC 的重心,则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [依题意,设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32,则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.]2.如图所示,抛物线y ＝14x 2,AB 为过焦点F 的弦,过A ,B 分别作抛物线的切线,两切线交于点M ,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),M (x M ,y M ),则：①若AB 的斜率为1,则|AB |＝4； ②|AB |min ＝2； ③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1,则x M ＝1； ⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的所有序号是( ) A ．①②④ B ．③④⑤ C ．①②⑤D ．③⑤D [由题意得,焦点F (0,1),对于①,l AB 的方程为y ＝x ＋1,与抛物线的方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ,得y 2－6y ＋1＝0,所以y A ＋y B ＝6,则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8,则①错误； 对于②,|AB |min ＝2p ＝4,则②错误； 因为y ′＝x 2,则l AM ：y －y A ＝x A2(x －x A ),即y ＝12x A x －x 2A 4,l BM ：y －yB ＝x B2(x －x B ),即y ＝12x B x －x 2B4,联立l AM 与l BM的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x A x －x 2A 4，y ＝12x Bx －x2B4，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫x A ＋x B 2，x A ·x B 4.设l AB 的方程为y ＝kx ＋1,与抛物线的方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ,得x 2－4kx －4＝0, 所以x A ＋x B ＝4k ,x A ·x B ＝－4, 所以y M ＝－1,③和⑤均正确；对于④,当AB 的斜率为1时,x M ＝2,则④错误,故选D.]。
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课时分层训练(五十五) 曲线与方程A 组 基础达标一、选择题1．方程x ＝1－4y 2所表示的曲线是( )A ．双曲线的一部分B ．椭圆的一部分C ．圆的一部分D ．直线的一部分B [x ＝1－4y 2两边平方，可变为x 2＋4y 2＝1(x ≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．] 2．(2017·银川模拟)已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则Q 点的轨迹方程是( ) A ．2x ＋y ＋1＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0D [由题意知，M 为PQ 中点，设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.]3．已知动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4，则动圆圆心Q 的轨迹C 的方程为( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．x 2＝2yD ．x 2＝4yB [设Q (x ，y )，因为动圆Q 过定点A (2,0)且与y 轴截得的弦MN 的长为4， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22＋|x |2＝|AQ |2，所以|x |2＋22＝(x －2)2＋y 2，整理得y 2＝4x ， 所以动圆圆心Q 的轨迹C 的方程是y 2＝4x ，故选B.]4．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为( )【导学号：79140301】A.4x 221－4y225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 D [因为M 为AQ 垂直平分线上一点， 则|AM |＝|MQ |，所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为以点C ，A 为焦点的椭圆，所以a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.]5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A ．32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B ．32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)A [设A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2PA →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.即AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y ＝1， 即32x 2＋3y 2＝1.故所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程是__________．y 2＝8x [AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－y 2，BC →＝(x ，y )－⎝⎛⎭⎪⎫0，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y 2.∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫2，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x .∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .]7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．x 29－y 216＝1(x ＞3) [如图，|AD |＝|AE |＝8， |BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．] 8．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________.【导学号：79140302】16x2a 2－16y 23a 2＝1(x ＞0且y ≠0) [由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R ，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 的轨迹是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支(除去顶点)．即动点A 的轨迹方程为16x 2a 2－16y23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)．]三、解答题9．已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →，求点P 的轨迹方程．[解] 设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )， 由已知知AP →＝22PB →，又AP →＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )， 所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )， 得x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y . 因为|AB |＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.即点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.10．如图882，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于M .若PN →＝λNM →.图882(1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．[解] (1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )，则M 的坐标为(x 1,0)，且x ＝x 1，∴PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )，由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． ∴y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y . ∵P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上，则x 214＋y 21＝1，∴x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1即为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.∴当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．B 组 能力提升11．(2017·湖南东部六校联考)已知两定点A (0，－2)，B (0,2)，点P 在椭圆x 212＋y 216＝1上，且满足|AP →|－|BP →|＝2，则AP →·BP →为( ) A ．－12 B ．12 C ．－9D ．9D [由|AP →|－|BP →|＝2，可得点P (x ，y )的轨迹是以两定点A ，B 为焦点的双曲线的上支，且2a ＝2，c ＝2，∴b ＝3.∴点P 的轨迹方程为y 2－x 23＝1(y ≥1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 216＝1，y 2－x23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝9，y 2＝4，∴AP →·BP →＝(x ，y ＋2)·(x ，y －2)＝x 2＋y 2－4＝9＋4－4＝9.]12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________.【导学号：79140303】y ＝2x －2 [设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.]13．(2016·全国卷Ⅰ选编)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值；(2)求点E 的轨迹方程，并求它的离心率． [解] (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ，所以|EB |＝|ED |， 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4， 所以|EA |＋|EB |＝4.(2)由圆A 方程(x ＋1)2＋y 2＝16，知A (－1,0)． 又B (1,0)因此|AB |＝2，则|EA |＋|EB |＝4>|AB |.由椭圆定义，知点E 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(不含与x 轴的交点)， 所以a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3. 所以点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．故曲线方程的离心率e ＝c a ＝12.。