【七年级上册】第1章 有理数

【七年级上册】第1章有理数重要知识点讲解知识点1：正数和负数的概念【解题指导】1.+2.003.+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩正数前面的“”号通常可以不写，有时为了强调也可写上；在判别正数、负数时，注意既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界线；带有“”号的数不一定是正数，带有“—”号的数也不一定是负数. 例题1下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？15-，0.02-，67，171-，4，123-，1.3，0，3.14，π． 【答案】正数：67，4，1.3，3.14，π； 负数：15-，0.02-，171-，123-．变式1 指出下列各数哪些是正数，哪些是负数．5，57-，0， 3.5-，113，0.01-， 2.5+，700-．【答案】正数：5，113， 2.5+；负数：57-， 3.5-，0.01-，700-．例题2下列各数中，是负数的是（） A ．2-B ．0C ．0.3D ．32.5% 【答案】A变式2 下面关于“0”的叙述，正确的有（）①0是正数与负数的分界； ②0比任何负数都大； ③0只表示没有；④0常用来表示某种量的基准．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C变式3 下列判断正确的个数是（）①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“-”号，就是一个负数； ③0是最小的正数； ④大于零的数是正数； ⑤字母a 既是正数，又是负数．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C知识点2：相反意义的量【解题指导】 1.2.3.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能成为相反意义的量；与一个量成相反意义的量不止一个（具有相反意义的量，只要求意义相反，不要求数量相等）；具有相反意义的量必须是同类量. 例题1试用正、负数表示下列问题中的具体量．【答案】17-吨、500+元、53-箱、168+元、10+千米． 变式1 下列用正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（）A ．一天凌晨的气温是5-℃，中午比凌晨上升5℃，所以中午的气温是5+℃B ．如果 3.2+米表示比海平面高3.2米，那么9-米表示比海平面低5.8米C ．如果生产成本增加5%记作5%+，那么5%-表示生产成本降低5%D ．如果收入增加8元，记作8+元，那么5-元表示支出减少5元 【答案】C变式2(2013江苏盐城中考)如果收入50元记作50+元，那么支出30元记作（） A ．30+元B ．30-元C ．80+元D ．80-元 【答案】B变式3 下列是几个家庭五月份用电支出比上月支出的变化情况：赵力减少25%肖刚增加10%王辉减少17% 李玉增加5%田红增加8%陈佳减少12%分别用正、负数写出这几家五月份用电支出比上月支出的增长率．【答案】赵力25%-肖刚10%+ 王辉17%-李玉5%+田红8%+ 陈佳12%-例题2下列各组量中，具有相反意义的有（）①“身高增加2cm ”和“体重减少1kg ”； ②水库水位“上升1.6米”与“下降1.8米”； ③“盈利50万元”与“亏损160万元”； ④5-与3．A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组 【答案】B知识点3：运用正、负数表示具有相反意义的量例题1向东走3米，接着又向东走3-米，结果是（） A ．向东走6米 B ．向西走3米 C ．向西走6米 D ．回到原地 【答案】D变式1 在一条东西走向的跑道上，小亮先向东走了8m ，记作8m +，又向西走了10m ，此时他的位置可记作（） A ．2m +B ．2m -C ．10m -D ．18m + 【答案】B例题2 七年级一班第一小组五名同学某次数学测试的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均分记为正，低于平均分记为负，将五名同学的成绩分别记作15-分，4-分，0分，4分，15分．则这五名同学的实际成绩分别是多少分？【答案】这五名同学的实际成绩分别是70分，81分，85分，89分，100分 变式2某大楼共有18层，地上15层，地下3层．(1)请你用正数、负数表示这栋楼每层的楼层号；(2)某人乘电梯从地下3层至地上6层，假设电梯经过每一层都开一次门，则电梯一 共开了多少次？【答案】(1)规定地面为“0”，地面以上为正，则从最底层开始依次为3211234---，，，，，，，56789101112131415，，，，，，，，，，；(2) 9次．例题3 用正、负数表示下列问题中的数据：(1)节约水310m ，浪费水30.5m ；(2)向油罐车里注入汽油4t ，放出汽油1.8t ；(3)南极大陆中部某地的年平均气温是零下56℃，最低气温曾达到零下88.3℃． 【答案】(1) 节约水：310m +，浪费水：30.5m -；(2) 注入汽油：4t +，放出汽油： 1.8t -； (3) 零下：56-℃，零下：88.3-℃．知识点4：用正、负数表示误差范围例题1光明牛奶在一次质量检测中，测得七袋牛奶的质量分别为498克、500克、503克、496克、497克、502克、504克．这七袋牛奶质量的平均值是多少？以平均值为标准(超出为正，低于为负)，用正、负数分别表示出它们对应的数．【答案】这七袋牛奶质量的平均值是500克；分别表示为：2-克，0克，3+克，4-克，3-克，2+克，4+克．变式1课桌高度比标准高2mm 记作2mm +，那么比标准高度低3mm 记作什么？现有5张课桌，量得它们的高度比标准高度分别高1mm +，1mm -，0mm ，3mm +，1.5mm -，若规定课桌的高度比标准高度高最多不能超过2mm ，比标准高度低最多不能超过2mm 就算合格，那么上述5张课桌中有几张合格？ 【答案】比标准高度低3mm 记作3mm -；上述5张课桌中有4张合格．变式2 水是生命之源．某社区的居民积极响应政府的号召珍惜水资源、节约用水．原来每天的用水总量超过3100m ，现在每天的用水量在原来的基础上大幅度地下降，小明记录了这个社区的居民一周的用水量情况(以380m 为基准，超出为正，低于为负)是37m +，33m +，30m ，32m -，33m -，34m -，36m -，试求这个社区的居民这一周每天的用水量分别是多少．【答案】这个社区的居民这一周每天的用水量分别是387m ，383m ，380m ，378m ，377m ，376m ，374m ． 例题2某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“()60030ml ±”的字样，那么30ml ±表示什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，588ml ，568ml ，628ml ，问抽查的产品是否合格？ 【答案】除了568ml 不合格外，其余均合格变式 3 某品牌的一种自动洗衣机，被设计为当投入衣物在2.50.5kg ±时，自动选择注入水量为“少级”；当投入衣物在3.50.5kg ±时，自动选择注入水量为“中级”；当投入衣物在4.50.5kg ±时，自动选择注入水量为“高级”．洗涤、漂洗及甩干时间均由注水量级别决定，若投入衣物重量不在上述范围内时，洗衣机将蜂鸣提示．小伟家本周周一到周五每天要洗的衣物重量分别是3.7kg ，2.9kg ，4.9kg ，1.5kg ，5.3kg ，试判断每天衣物能否正常洗涤，如果可以，那么相应的注水量为何种级别？【答案】3.7kg 属于“中级”，2.9kg 属于“少级”，4.9kg 属于“高级”，均能正常洗涤；1.5kg 及5.3kg 均不在正常洗涤范围内，洗衣机将蜂鸣提示．知识点5：有理数的概念【解题指导】（1）0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数负整数有理数正分数分数负分数；（2）0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数负整数负有理数负分数； 例题1下列各数：227，2-，π，0.4，0.314 ，其中有理数的个数是（） A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C变式1已知下列各数：8-，2.1，19，3，0， 2.5-，10-，1-，其中非负数有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】C变式2下列说法错误的是（） A ．2-是负有理数B ．0不是整数C．25是正有理数D．0.25-是负分数【答案】B例题2下列说法错误的是（）A．0.5-是负分数B．6-既是整数也是负数C．整数与分数统称为有理数D．正有理数与负有理数组成全体有理数【答案】D；【解析】D项缺少0；变式3给出一个有理数107.987-及下列判断：(1)这个数不是分数，但是有理数；(2)这个数是负数，也是分数；(3)这个数与π一样，不是有理数；(4)这个数是一个负小数，也是负分数．其中正确判断的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B知识点6：有理数的分类【解题指导】把同一类的数放在一起，就组成了一个集合，如有理数集、整数集、分数集、正数集、负数集等．每个集合最后的省略符号“…”表示除了已填入的数外，还有其他的数，同时，各数之间用“，”隔开，集合可以用大括号表示，也可以用圆圈表示．例题1所有的正整数和负整数合在一起构成（）A．整数集合B．有理数集合C．自然数集合D．以上说法都不对【答案】D变式1下面说法中，正确的有（）①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是分数；③一个整数不是正数就是负数；④一个分数不是正数就是负数．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B变式2在有理数中，是整数而不是正数的是，既不是负数也不是分数的是．【答案】非正整数，非负整数．例题2在下列选项中，所填的数正确的是（）A．12,1,5,,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭正数B．{}0,1, 2.5,-- 非负数C．12.5,5,,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭分数D．13,5,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭整数【答案】A变式3在30， 3.25-，0，π，3-，13-，1.33333 ，40-中：(1)正整数有；(2)负整数有； (3)正分数有；(4)负分数有； (5)正有理数有．【答案】(1) 30；(2) 3-，40-；(3) 1.33333 ；(4) 3.25-，13-；(5) 30，1.33333 ．变式4已知下列各数：7，9.25-，910-，301-，427， 3.5-，0，2，152，7-，1.25，73-，3-，34-．把他们填入相应的大括号内．正整数集合{} ；正分数集合{} ； 负整数集合{} ；负分数集合{} ； 正数集合{} ；负数集合{} ．【答案】正整数集合{}7,2, ；正分数集合41,5,1.25,272⎧⎫⎨⎬⎩⎭；负整数集合{}301,7,3,--- ；负分数集合9739.25,, 3.5,,,1034⎧⎫-----⎨⎬⎩⎭ ；正数集合417,,2,5,1.25,272⎧⎫⎨⎬⎩⎭ ；负数集合9739.25,,301, 3.5,7,,3,,1034⎧⎫--------⎨⎬⎩⎭ ．变式5把下列个数分别填入相应的大括号里： 2.5-，3.14，2-，72+，0.6-，0.618，227，0，0.101-，π． (1)正数集合：{} ；(2)非负整数集合：{} ； (3)整数集合：{} ；(4)负分数集合：{} ．【答案】(1)正数集合：223.14,72,0.618,,,7π⎧⎫+⎨⎬⎩⎭；(2)非负整数集合：{}72,0,+ ；(3)整数集合：{}2,72,0,-+ ；(4)负分数集合：{}2.5,0.6,0.101,---．例题3(2014河南周口川汇十八中月考，17)如图，把下列各数填入相应的图形里．正数负数整数分数15，0.15，22-，18.04-，134，0.36，60-，225，83-．【答案】变式6 如图，把下列各数填入表示它所在的数集的圈内：22-，π-，13-，14，12，253-，7.3-，2π，3，369，0.1，1，300，9，374-．【答案】知识点7：数轴的定义及画法正数集 负数集整数集分数集正整数集有理数集负有理数集负分数集正数集 负数集 整数集 分数集正整数集有理数集负有理数集负分数集正数负数整数 分数【解题指导】画法步骤⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩首先画一条直线（通常画成水平位置）；在直线上任取一点作为原点，通常取适中的位置，如果所需的数是正数，可偏向左边；如果所需的数都是负数，可偏向右边；确定正方向（一般规定向右为正），画上箭头，而反方向为负方向；取单位长度：选取适当的长度为单位长度.画直线：找原点：定正方向：例题1下列图形中是数轴的是（）【答案】D变式1下列表示数轴正确的是（）【答案】C变式2 (2013宁夏银川大新中学期中，1)下列为四位同学的数轴，其中正确的是（）【答案】D知识点8：用数轴上的点表示有理数【解题指导】任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示．【注意】数轴上的点所表示的数不都是有理数． 例题1在数轴上画出下列各点．(1)2，3-， 1.5-，122，1；(2)300-，0，100，500，100-； (3)0.1，0.2-，0，0.5，0.3． 【答案】(1)如图：(2) 如图：(3) 如图1-2-2-3：变式1如图所示，分别用数轴上的点A ，B ，C ，D 表示数，正确的是（） A ．点D 表示 2.5-B ．点C 表示 1.25- C ．点B 表示1.5D ．点A 表示1.25 【答案】C变式 2 下列语句：①数轴上的点只能表示整数；②数轴是一条线段；③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．其中正确的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】A变式3在数轴上表示下列各数．2-，122，3.5，0，0.5-，314+，142．【答案】例题2a b c 、、在数轴上的位置如图所示，下列说法正确的是（） A ．a b c 、、都表示正数B ．a b c 、、都表示负数C ．a b 、表示正数，c 表示负数D ．a b 、表示负数，c 表示正数 【答案】C变式4在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（） A ．正数B ．负数 C ．非正数 D ．非负数 【答案】C知识点9：借助数轴求两点间的距离【解题指导】解这种类型的题要先画出数轴，然后再数轴上找出符合条件的点． 例题1填空：(1)在数轴上，表示1-和2的两点间的距离是；(2)在数轴负半轴上有一个点，距离原点2个单位长度，这个点表示的数为； (3)在数轴上与1-相距3个单位长度的点表示的数是． 【答案】(1)3个单位长度；(2)2-；(3)4-或2．变式1如图，在数轴上表示到原点的距离为3个单位长度的点有（）A ．D 点B ．A 点C ．A 点和D 点 D ．B 点和C 点 【答案】C变式2数轴上A 点对应的数是5-，B 点对应的数是2-，C 点对应的数是2+，则A B 、两点间的距离是；A C 、两点间的距离是． 【答案】3，7．变式3数轴上点A 到原点的距离是1，点B 到原点的距离是2，则A B 、两点间的距离是多少？ 【答案】1或3．知识点10：相反数例题1下列说法正确的是（）A ．3-是相反数B ．12-与35+是相反数 C ．12-的相反数是2 D ．0.5-的相反数是12【答案】D变式1 (2013贵州六盘水中考)2013-的相反数是（）A ．2013-B ．12013C ．2013D ．12013-【答案】C变式2(2013浙江义乌中考)在2，2-，8，6这四个数中，互为相反数的是（） A ．22-与B ．28与C ．26-与D ．68与 【答案】A变式3一个数的相反数仍是它本身，这个数是（） A ．1B ．1-C ．0D ．正数 【答案】C 例题2填空：(1)2m 是的相反数； (2)x y -的相反数为； (3)3π-的相反数是．【答案】(1)2m -；(2)()x y --；(3)()3π--．知识点11：多重符号的化简【解题指导】多重符号的化简的结果是由“-”的个数决定的，与“+”无关。