宁夏六盘山高级中学2018届高三上学期期中考试数学(理)试题
宁夏六盘山高级中学2017-2018学年高三第五次模拟考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{2,}A x x x R =≤∈，{2,}B x Z =≤∈，则A B =（ ）A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,1,2}D ．{0,2} 【答案】C考点：集合的运算．2. 已知2()2a i i -=-，其中i 是虚数单位，则实数a =（ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 【答案】A 【解析】试题分析：22()122a i a ai i -=--=-，则21022a a ⎧-=⎨-=-⎩，1a =．故选A ．考点：复数的相等． 3. 用数学归纳法证明22222222(21)12(1)(1)213n n n n n ++++-++-+++=时，由n k =时的假设到证明1n k =+时，等式左边应添加的式子是（ ）A ．22(1)2k k ++B ．22(1)k k ++C ．2(1)k + D ．21(1)[2(1)1]3k k +++【答案】B 【解析】试题分析：n k =时，左边为222(1)(1)k k k +-++-+，1n k =+时，左边为22222(1)(1)(1)k k k k k +-+++++-+，可见左边添加的式子为22(1)k k ++．故选B ．考点：数学归纳法．4. 20sin 501sin10+的值等于（ ）A ．12 B ．14C ．1D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：221cos80sin 50cos 4021sin101sin101sin10+︒︒︒==+︒+︒+︒11sin10121sin102+︒=⨯=+︒． 考点：二倍角公式，诱导公式．5. 同时具有性质①最小正周期是π；②图象关于直线3x π=对称；③在[,]63ππ-上是增函数的一个函数为（ ）A ．sin()26x y π=+ B ．cos(2)3y x π=+ C ．sin(2)6y x π=- D ．cos()26x y π=- 【答案】C 【解析】考点：三角函数的周期，单调性，对称性．6. 若,x y 满足不等式组22010360x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩）A ．2 B【答案】B 【解析】试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界）(1,0)P -的距离，由于PBC ∠为钝角，因此最小值为PB =B ．考点：简单线性规划的非线性应用．7. 执行如图的程序框图，若输出i 的值为12，则①、②处可填入的条件分别为（ ） A ．384,1S i i >=+ B ．384,2S i i ≥=+ C ．3840,1S i i >=+ D ．3840,2S i i ≥=+【答案】D考点：程序框图．8. 如图，一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的侧面积为（ ）A ．2B ．6C ．D ．2+【答案】C 【解析】DCBAS考点：三视图，侧面积．9. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，11()()2x f x -=，则不等式2()0f x x -≥的解集是（ ）A ．[]0,1B ．[]1,1-C ．[]1,+∞ D ．(,1][1,)-∞+∞【答案】B 【解析】试题分析：在0x ≥时，11()()2x f x -=是减函数，2y x =是增函数，且1x =时，1121()12-=，所以2()0f x x -≥的解是[0,1]x ∈，由函数()f x 和2y x =都是偶函数知当0x <时解为[1,0)-，所以所求解集为[1,1]-．故选B ．考点：函数的奇偶性．10. 已知双曲线22:13x C y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，且点P 的横坐标为2，则1PFQ ∆的周长为（ ）A ． C ． D 【答案】D 【解析】考点：双曲线的定义．【名师点睛】在涉及到圆锥曲线上点到焦点距离时，要考虑圆锥曲线的定义．本题涉及双曲线的上点到焦点的距离，定义的应用有两个方面，一个是应用第一定义把曲线上点到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离，一个是应用第二定义把点到焦点的距离与到准线的距离相互转化，特别可得结论：双曲线22221x y a b-=上的点00(,)P x y 到左焦点距离为0d ex a =+左，到右焦点距离为0d ex a =-右．11. 如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD ，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ．2πB ．3πC ．3 D ．2【答案】D 【解析】考点：多面体与外接球，球的体积． 【名师点睛】多面体与接球问题(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．(3)一般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上．如果三棱锥的面是直角三角形，注意直角三角形斜边中点到三角形各顶点距离相等，本题利用这个结论可以很快得出圆心．12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意x R ∈，有(2)2()f x f x +=；②当[]1,1x ∈-，有()f x =,0()ln ,0xe x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则函数()()y f x g x =-在区间(4,5)-上的零点个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】A 【解析】试题分析：由题意()2[21,21],)k f x x k k k Z =∈-+∈，作出函数()f x 的图象，在同一坐标系为作出()g x 的图象，由图象可知，两图象在(4,5)-上交点有9个，即函数()()y f x g x =-在(4,5)-上有9零点．故选A ．考点：函数的零点，数形结合思想． 【名师点睛】解决函数零点问题的方法：1．如果函数比较简单，可用函数零点存在定理进行判断．如果要判断零点个数，可能还需要研究函数的单调性一，函数的变化趋势．2．函数的零点，即方程的根与函数图象交点问题的相互转化，这样可以通过画出函数的图象，通过观察研究函数图象的交点个数来确定方程根的个数．本题我们通过画出函数()f x 和()g x 的图象，从而从图象中确定交点个数，这种方法直观、简洁．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 如图，在正方形ABCD 中，4AD =，E 为DC 上一点，且3DE EC =，则AB AE ∙=__________.【答案】12 【解析】试题分析：()AB AE AB AD DE AB AD AB DE ⋅=⋅+=⋅+⋅04312+⨯=． 考点：平面向量的数量积．14. 已知两圆的方程分别为2240x y x +-=和2240x y y +-=，则这两圆公共弦的长等于__________.【答案】【解析】考点：两圆的位置关系．【名师点睛】1．两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 2．处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形． 15. 如图，点A 的坐标为(1,0)，函数2y ax =过点(2,4)C ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于__________.【答案】512【解析】试题分析：由242a =⨯得1a =，4ABCD S =，曲边梯形ABCE 的面积为2231217133S x dx x ===⎰，所以所求概率为7453412P -==． 考点：几何概型．【名师点睛】几何概型的常见类型的判断方法1．与长度、角度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；2．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题； 3．与体积有关的几何概型．16. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，c =3C π=，则ABC ∆周长的取值范围是_________.【答案】 【解析】考点：余弦定理，基本不等式，三角形的性质．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4232S S =+，22n n a a =， （1）求等差数列{}n a 的通项公式n a . （2）令2221(1)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对任意*n N ∈，都有31164n T ≤<. 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）用首项1a ，公差d 表示出已知条件，并解出1,a d ，由等差数列通项公式可得；（2）由（1）得222221111[](1)44(1)n n b n n n n +==-++，由此可求得211[1]4(1)nT n =-+，利用函数的单调性可证明结论．考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和，数列与不等式的综合． 18. （本小题满分12分）某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：（1）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；（2）已知员工年薪收入y 与工作所限x 成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪如下表：预测该员工第五年的年薪为多少？附：线性回归方程y bx a =+中系数计算公式和参考数据分别为：^121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，其中,x y 为样本均值，421()5ii x x =-=∑，41()()7iii x x y y =--=∑，（123,4i =）【答案】（1）ξ的分布列见解析，期望为65；（2）预测该员工年后的年薪收入为8.5万元. 【解析】试题分析：（1）10人中年薪高于5万的有6人，ξ的取值可能为0,1，2，由古典概型概率公式可计算出概率，得分布列，再由期望公式计算出期望；（2）由所给公式求出回归方程，代入可得预测值．由线性回归方程为 1.4 1.5y x =+，可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元. 考点：随机变量概率分布列，数学期望，线性回归方程． 19. （本小题满分12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，且060ABC ∠=，2,AB PC PA PB ===,（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成最大角的正切值； （3）求二面角P AC B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2（3）7【解析】试题分析：（1）要证面面垂直，就要证线面垂直，也即要证线线垂直，考虑到ΔPAB 是等腰直角三角形，因此取AB 中点，则有PO AB ⊥，同时ΔABC 是等边三角形，因此有CO AB ⊥，从而POC ∠是二面角P AB C --的平面角，由己知计算线段,PO CO 的长，由勾股定理知PO CO ⊥，这样就不需要再证明线面垂直了，根据直二面角的定义得面面垂直，这也是证面面垂直的另一种方法；（2）对于这种运动问题，一种方法首先作出直线与平面所成的角，由（1）知CHO ∠为直线CH 与平面PAB 所成的角，要使这个角最大，则OH 最小，因此OH PB ⊥，然后计算可得；第二种方法，以以O 为原点，,,OC OB OP 所在的直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，BH BP λ=，可求出H 点坐标，OC 是平面PAB 的一个法向量， 设CH 与平面PAB 所成的角为θ，则s i n c o s,O C H C O C H CO C H Cθ∙==∙，计算后它是λ的函数，函数值最大时θ最大；（3）在（2）建立空间直角坐标系的基础上，求得平面PAC 与平面BAC 的法向量，由法向量夹角可得二面角．（2）解法1：如图，连结OH ，由（1）知CO PO ⊥，CO AB ⊥ ∴CO ⊥平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角，在Rt COH ∆中，∵tan OC CHO OH OH∠==, 要CHO ∠最大时，只需OH 取最小值，而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时OH PB ⊥，2OH =，故当CHO ∠最大时，tan CHO ∠=CH 与平面PAB解法2：由（1）知PO ⊥平面ABC ， CO AB ⊥，设CH 与平面PAB 所成的角为θ， 则sin cos ,OC HC OC HC OC HCθ∙==∙==当12λ=时，sin θ取最大值，()max sin θ=(0,]2πθ∈，此时θ最大，tan θ= 即CH 与平面PAB （3）由（2）得(3,1,0)AC =，(0,1,1)AP =，设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =，则300n AC x y n AP y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =-，则13x z ==，即3(,1,1)3n =-，平面BAC 的一个法向量为(0,0,1)m =，设二面角P AC B --大小为θ，易知其为锐角，所以cos cos ,1n m θn m nm⋅=<>===所以二面角P AC B --.考点：面面垂直判定，直线与平面所成的角，二面角． 20. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>.（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O 的直线:(0)l y kx m k =+≠，与该椭圆交于,P Q 两点，直线,OP OQ 的斜率依次为12,k k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，212m =．【解析】试题分析： （1）求椭圆的标准方程，就是要确定,a b 的值，只要找到两个关于,,a b c 的等式即可，本题中一个离心率，一个是椭圆过已知点，由此可得；（2）设交点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，把直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y 后，可得1212,x x x x +，计算124k k k =+12121212y y kx m kx mx x x x ++=+=+，化简后并把1212,x x x x +代入可得结论． 试题解析：（1）依题意可得222222212a b c aa b c ⎧⎪⎪⎝⎭+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪⎩解得2,1a b ==.所以椭圆C 的方程是2214x y +=.考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．【名师点睛】本题考查解析几何中的定值问题，采用“设而不求”方法求解，即设交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，把直线方程与椭圆方程联立方程组后消元得x 的一元二次方程，从而得1212,x x x x +，然后计算12k k +，交把1212,x x x x +代入，由等式12k k k =+求得m ，如果能求出，说明定值存在，如果不能求出，说明定值不存在． 21. （本小题满分12分） 设函数21()ln (0)2f x x x mx m =+-> （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：曲线()y f x =不存在经过原点的切线.【答案】（1）2m >时，()f x在区间⎛ ⎝⎭及⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增，在内单调递减；02m <≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）研究单调区间，先求导数'()f x 21x mx x-+=，接着研究'()f x 的正负，按0∆≤或0∆>分类可得结论；（2）否定性命题，可用反证法，即假设曲线()y f x =在点(,())x f x (0)x >处的切线经过原点，则'()()f x f x x =，即21ln 12x x mx x m x x+-=+-，下面只要证明这个方程无实数解即可，这又要化简此方程，然后用导数研究函数得结论．（2）假设曲线()y f x =在点(,())x f x (0)x >处的切线经过原点，则有'()()f x f x x =，即21ln 12x x mx x m x x +-=+-， 化简得：21ln 10(0)2x x x -+=> （*）记21()ln 12g x x x =-+(0)x >，则2'11()x g x x x x-=-=，令'()0g x =，解得1x =.当01x <<时，'()0g x <，当1x >时，'()0g x >，∴3(1)2g =是()g x 的最小值，即当0x >时，213ln 122x x -+≥. 由此说明方程(*)无解，∴曲线()y f x =没有经过原点的切线. 考点：导数与单调性，导数的几何意义，反证法． 【名师点睛】1．求函数的单调区间常用方法：①确定函数y ＝f (x )的定义域； ②求导数y ′＝f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2．数学上对否定性命题，含有“至少”、“至多”等词的命题等一般用反证法证明，一般是假设结论的反面成立，然后以此为基础进行推导，最后得出矛盾的结论（与已知、定义、定理矛盾，或推出相互矛盾的结论等等）．从而说明假设错误，原结论正确．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AC 为O 的直径，D 为BC 的中点，E 为BC 的中点. （1）求证：//DE AB ；（2）求证：2AC BC AD CD ∙=∙【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】试题解析：证明：（1）连接OE ，因为D 为BC 的中点，E 为BC 的中点，所以OED 三点共线，因为E 为BC 的中点且O 为AC 的中点，所以//OE AB ，故//DE AB .（2）因为D 为BC 的中点，所以BAD DAC ∠=∠，又BA D D CB ∠=∠D ACD C B⇒∠=∠.又因为AD DC ⊥，DE CE ⊥⇒DAC ∆∽ECD ∆.222AC AD AD CD AC CE AD CD AC CE AD CD AC BC CD CE⇒=⇒∙=∙⇒∙=∙⇒∙=∙考点：平行线的判定，相似三角形的判定与性质． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin()3πρθ+=:3OM πθ=与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2． 【解析】试题分析：（1）先把参数方程化为普通方程，然后利用公式cos ,sin x y ρθρθ==化直角坐标方程为极坐标方程；（2）把3πθ=分别代入圆和直线的极坐标方程可求得,P Q 的极坐标，由于它们都在过极点的直线3πθ=上，因此其极径之差为它们间的距离．考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线的极坐标方程．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-.（1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）59,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1(,2)[,)2-∞-+∞. 【解析】 试题分析：（1）解绝对值不等式，可先利用绝对值的定义去绝对值符号，化绝对值函数为分段函数，然后再解相应不等式，或作出函数图象得解；（2）题意可转化为函数()f x 的图象与直线1y ax =-有交点，注意直线1y ax =-是过定点(0,1)-，斜率为a 的直线，由图象可得结论．试题解析：（1）72,()341,27,x f x x x x -⎧⎪=-+-=⎨⎪-⎩3344x x x <≤≤>， 作函数()y f x =的图象，它与直线2y =交点的横坐标为52和92，由图象知不等式()2f x ≤的解集为59,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.考点：解绝对值不等式．。
2018-2019学年宁夏银川市六盘山高中高三(上)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年宁夏银川市六盘山高中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择題：本大題共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题：“∃x0∈R，x0＞sin x0”的否定是（）A．∀x∈R，x≤sin x B．∀x∈R，x＞sin xC．∃x0∈R，x0＜sin x0D．∃x0∈R，x0≤sin x02．（5分）六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（）A．60种B．120种C．240种D．480种3．（5分）设S n是等差数列{a n}前n项和，若S3＝1，S6＝3，则a5＝（）A．B．C．D．4．（5分）（理）的展开式中的常数项为（）A．﹣24B．﹣6C．6D．245．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点且斜率为1的直线交抛物线于点A和B，则线段AB的长度是（）A．8B．4C．6D．76．（5分）已知﹣＜α＜0，sinα+cosα＝，则的值为（）A．B．C．D．7．（5分）若实数x，y满足条件则z＝3x﹣4y的最大值是（）A．﹣13B．﹣3C．﹣1D．18．（5分）函数f（x）＝2cos x（x∈[﹣π，π]）的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）已知矩形ABCD的四个顶点的坐标分别是A（﹣1，1），B（1，1），C（1，0），D（﹣1，0），其中A，B两点在曲线y＝x2上，如图所示．若将一枚骰子随机放入矩形ABCD中，则骰子落入阴影区域的概率是（）A．B．C．D．10．（5分）如图正方体的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且，则下列结论错误的是（）A．AC与BE所成角为45°B．三棱锥A﹣BEF的体积为定值C．EF∥平面ABCDD．二面角A﹣EF﹣B是定值11．（5分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，E，F分别为BC，CD 的中点，则＝（）A．B．C．D．12．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（1）＝1，且f（x）的导函数f′（x）＞，则满足2f（x）＜x+1的x的集合为（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|x＜1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1}二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）一名射箭运动员5次射箭命中环数的“茎叶图”如图，则他5次射箭命中环数的中位数为．14．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，则前4项的和S4＝．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，P A＝，则该三棱锥外接球的表面积为．16．（5分）已知双曲线的左、右顶点分别为A和B，M是E上一点，等腰三角形△ABM的外接圆面积为3πa2，则双曲线E的离心率为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分）.17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＞a，a＝5，，．（1）求c的值；（2）求的值．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O是线段AD上的靠近D点的三等分点．已知BC＝2PO＝4OD（1）证明：AP⊥BC；（2）若点M是线段AP上一点，且平面AMC⊥平面BMC．试求的值．19．某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．（1）求直方图中x的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，长轴长为4直线y＝kx+m与椭圆C交于A、B两点且∠AOB为直角，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）求|AB|的最大值．21．已知函数f（x）＝alnx﹣x+1．（Ⅰ）若a＝1时，求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，若函数有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求g （x2）﹣g（x1）的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：（t为参数）距离的最小值．[选修4-5]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+2|．（1）求不等式f（x）＜13的解集；（2）若f（x）的最小值为k，且＝1（m＞0），证明：m+n≥16．2018-2019学年宁夏银川市六盘山高中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择題：本大題共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x≤sin x，故选：A．2．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将甲乙看成一个整体，考虑2人的顺序，有A22＝2种情况，②，将这个整体与其余4人全排列，有A55＝120种情况，则甲和乙两位同学相邻的排法有2×120＝240种；故选：C．3．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}前n项和，S3＝1，S6＝3，∴，解得a1＝，d＝，∴a5＝＝．故选：B．4．【解答】解：设的二项展开式的通项公式为T r+1，则T r+1＝（﹣1）r••（2x）4﹣r•x﹣r＝（﹣1）r••24﹣r•x4﹣2r，令4﹣2r＝0，解得r＝2．∴展开式中的常数项为T3＝（﹣1）2••22＝24．故选：D．5．【解答】解：抛物线焦点为（1，0），且斜率为1，则直线方程为y＝x﹣1，代入抛物线方程y2＝4x得：x2﹣6x+1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2＝6，根据抛物线的定义可知|AB|＝x1++x2+＝x1+x2+p＝6+2＝8，故选：A．6．【解答】解：∵﹣＜α＜0，sinα+cosα＝，则1+2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝﹣，∴cosα﹣sinα＝＝＝，则＝＝＝，故选：B．7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，3），C（1，1），B（3，3）．设z＝F（x，y）＝3x﹣4y，将直线l：z＝3x﹣4y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经点C时，目标函数z达到最大值，∴z最大值＝F（1，1）＝﹣1，故选：C．8．【解答】解：∵f（﹣x）＝2cos（﹣x）＝2cos x＝f（x），∴f（x）为偶函数，则图象关于y轴对称，排除A、D，把x＝π代入得f（π）＝2﹣1＝0.5，故图象过点（π，0.5），C选项适合，故选：C．9．【解答】解：由题意结合定积分的几何意义可得阴影部分的面积为：，结合几何概型计算公式可得：骰子落在阴影部分的概率为．故选：C．10．【解答】解：A．∵在正方体中，AC⊥平面BDD1B1，BE⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BE，即AC与BE所成角为90°，故A错误，B．∵AC⊥平面BDD1B1，∴A到平面BEF的距离为定值，△BEF的底EF为定值，高为B1B为定值，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故B正确，C．EF∥BD，由线面平行的判定定理可得，EF∥平面ABCD成立，故C正确，D．二面角A﹣EF﹣B等价为二面角A﹣D1B1﹣B，则二面角A﹣D1B1﹣B的大小为定值，故D正确，故错误的是A，故选：A．11．【解答】解：四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，可得•＝2×2×cos60°＝2，则＝（+）•＝（+）•（﹣）＝（×4﹣4+×2）＝﹣，故选：D．12．【解答】解：令F（x）＝2f（x）﹣x则F′（x）＝2f′（x）﹣1＞0∴F（x）在R上单调递增∵F（1）＝2f（1）﹣1＝2﹣1＝1，2f（x）＜x+1∴F（x）＝2f（x）﹣x＜1＝F（1）即x＜1故满足2f（x）＜x+1的x的集合为为{x|x＜1}故选：B．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．【解答】解：由表格可知，这5个数按从小到大排列是：6、7、7、10、10，则他5次射箭命中环数的中位数为7．故答案为：7．14．【解答】解：根据{a n}是等比数列，a1+a2＝﹣1，a1﹣a3＝﹣3，即解得：，∴通项a n＝（﹣2）n﹣1前4项的和S4＝a1+a2+a3+a4＝1﹣2+4﹣8＝﹣5．故答案为：﹣5．15．【解答】解：P A⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面P AC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；∵Rt△PBA中，AB＝，P A＝，∴PB＝，可得外接球半径R＝PB＝，∴外接球的表面积S＝4πR2＝5π．故答案为5π．16．【解答】解：设M在双曲线的左支上∵外接圆面积为3πa2，∴3πa2＝πR2，⇒R＝a．MA＝AB＝a，∠MBA＝θ，∴＝2R＝2a，⇒sinθ＝，则M的坐标为（﹣a，a），代入双曲线方程可得＝1，可得3a2＝c2，即有e＝＝．故答案为：．三、解答题：（本大题共5小题，共70分）.17．【解答】解：（1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，a＝5，，．所以：，利用余弦定理：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，解得：c＝2或6，由于：c＞a，故：c＝6．（2）由于a＝5，b＝，c＝6，故：cos A＝＝，所以：sin A＝，所以：sin（A+）＝＝．18．【解答】证明：（1）∵在三棱锥P﹣ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O是线段AD上的靠近D点的三等分点．BC＝2PO＝4OD，∴AD⊥BC，OB＝OC，∴PB＝PC，∴PO⊥BC，∵AD∩PD＝D，∴BC⊥平面P AD，∵AP⊂平面P AD，∴AP⊥BC．解：（2）以O为原点，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设BC＝2PO＝4OD＝8，则O（0，0，0），A（0，﹣3，4），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4），设，λ≠1，＝＝+＝（﹣4，﹣2，4）+λ（0，﹣3，﹣4）＝（﹣4，﹣2﹣3λ，4﹣4λ），＝（﹣4，5，0），＝（﹣8，0，0），设平面BMC的法向量＝（x，y，z），平面APC的法向量＝（x，y，z），则，得，取y＝1，得＝（0，1，），由，得，取x＝5，得＝（5，4，﹣3），由＝0，得4﹣3×＝0，解得，故＝．19．【解答】解：（1）由直方图可得：20（x+0.0175+0.0225+0.005+x）＝1，∴x＝0.0025．（2）新手中上学时间不少于 1 小时的频率为：20（0.005+0.0025）＝0.15，∴新生中可以申请住宿的人数为：1200×0.15＝180人．（3）X的可能取值为0，1，2，3，4．由直方图可知每一个学生上学所需时间少于40分钟的概率为20（0.0025+0.0175）＝0.4．∴P（X＝0）＝（1﹣）4＝，P（X＝1）＝••（1﹣）3＝，P（X＝2）＝•（）2•（1﹣）2＝，P（X＝3）＝•（）3•（1﹣）＝，P（X＝4）＝（）4＝．∴X的分布列为：∴E（X）＝0×+1×+2×+3×+4×＝．20．【解答】解：（1）由题意2a＝4，∴a＝2，∴＝，∴c＝，b2＝a2﹣c2＝1，椭圆的方程为+y2＝1（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），把y＝kx+m代入+y2＝1，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，因为∠AOB为直角，所以•＝x1x2+y1y2＝0，得x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝0，得4k2+4＝5m2，△＝16（4k2+1﹣m2），∴4k2+1﹣m2＝4k2+1﹣＞0，∴16k2+1＞0，∵|AB|＝•|x1﹣x2|＝＝＝＝•＝•＝•≤•＝，当且仅当k＝时，|AB|取得最大值为21．【解答】解：（Ⅰ）a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，f′（x）＝﹣1＝，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）极小值＝f（1）＝0，无极大值．（Ⅱ）g（x）＝f（x）+﹣1＝alnx﹣x+，则g′（x）＝﹣1﹣＝，由已知，可得g′（x）＝0，即方程﹣x2+ax﹣1＝0有2个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），则，解得x1＝，a＝x2+，a＞2，其中0＜x1＜1＜x2，而g（x2）﹣g（x1）＝alnx2﹣x2+﹣alnx1+x1﹣＝aln+（x1﹣x2）+（﹣）＝（x2+）lnx22+﹣x2++x2＝2[（+x2）lnx2+﹣x2]，由2＜a≤e+，得2＜x2+≤e+，又x2＞1，∴1＜x2≤e，设t（x）＝2（x+）lnx+﹣2x，1＜x≤e，则1﹣＞0，lnx＞0，∴t′（x）＞0，∴t（x）在（1，e]单调递增，∴当x＝e时，t（x）取得最大值，最大值为t（e）＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）把曲线C1：（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y ﹣3）2＝1，所以此曲线表示的曲线为圆心（﹣4，3），半径1的圆；把C2：（θ为参数）化为普通方程得：+＝1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t＝代入到曲线C1的参数方程得：P（﹣4，4），把直线C3：（t为参数）化为普通方程得：x﹣2y﹣7＝0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（﹣2+4cosθ，2+sinθ）所以M到直线的距离d＝＝，（其中sinα＝，cosα＝）从而当cosθ＝，sinθ＝﹣时，d取得最小值．[选修4-5]23．【解答】解：（1）由f（x）＜13，得|x﹣1|+|x+2|＜13，则或或，解得：﹣7＜x＜6，故不等式的解集是（﹣7，6）；（2）证明：∵f（x）＝|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣（x+2）|＝3，故k＝3，∵+＝+＝1（mn＞0），故m＞0，n＞0，m+n＝（m+n）（+）＝10++≥10+2＝16，当且仅当＝，即m＝4，n＝12时取“＝”，故m+n≥16．。
宁夏六盘山高级中学2017-2018学年高三第二次模拟考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}0,1,2|-,M N x x a a M ===∈，,则集合M N ⋃=（ ） A ．{}2,1,0,1,0,2-- B ．{}0 C ．{}2,1,1,2-- D ．{}2,1,0,1,2-- 【答案】D考点：集合的运算.2.若复数z 满足()25,z i ⋅-=（i 是虚数单位），则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，()()()5252222i z i i i i --===------，所以2z i =-+，所以复数z 对应的点位于第二象限，故选B. 考点：复数的运算及其表示.3.已知()[)()cos 0,0,2y x ωϕωϕπ=+>∈的部分图象如图所示，则ϕ=（ ） A ．32π B ．4π C ．74π D ．0【答案】C考点：三角函数的图象与性质.4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影外部（曲线C 为正态分布()0,1N 的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A ．3413 B ．1193 C ．2718 D ．6587附：若()2~X N μδ，,则()0.6826P X μδμδ-<≤+=，()220.9544P X μδμδ-<≤+=【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，曲线C 为正态分布()0,1N 的密度曲线，即0,1u σ==，又()0.6826P X μδμδ-<≤+=，所以落在阴影部分的概率为10.68260.34132P =⨯=，所以在阴影外的概率为10.6587p -=，所以落入阴影外部的点的个数的估计值为100000.65876587⨯=，故选D.考点：正态分布概率的计算.5.已知某几何体的正视图和俯视图如右图所示，则该几何体的侧视图是（ ）D.C.B.A.俯视图正视图【答案】B考点：几何体的三视图.6.()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ）A ．3B ．-2C ．2D ．-3 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，展开式的常数项是2414555521()(1)2(1)5(2)3x C C x⋅-+⨯-=+-=，故选A.考点：二项式定理的应用.7.右图的程序框图是把k 进制数a （共有n 位数）化为十进制数b 的程序框图，在该框图中若输入2134a =，5,4k n ==，则输出b 的值为（ ）A ．290B ．294C ．266D ．274【答案】B考点：算法和程序框图. 8.已知()sin ,ααβαβ=-=均为锐角，则cos 2β=（ ） A ． B ．1- C ．0 D ． 1 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，因为()sin αβ-=()sin βα-=,αβ均为锐角，所以()cos βα-=cos cos[()]cos()cos sin()sin ββααβααβαα=-+=---==，又β均为锐角，所以4πβ=，所以cos2cos02πβ==，故选C.考点：两角和与差的正、余弦函数；同角三角函数的基本关系式.9.已知()'f x 是函数()f x (0x R x ∈≠且)的导函数，当0x >时，()()'0xf x f x -<，记()()()0.2220.22220.2log 5,,20.2log 5f f f a b c ===，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 【答案】C考点：导数的四则运算的逆用及函数单调性的应用.10.已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥ 平面ABC，,1,AB BC SA AB BC ⊥==球O 的表面积等于（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．π 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，因为SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，所以四面体S ABC -的外接球半径等于以长宽高分别为,,SA AB BC 三边长的长方体的外接球的半径，又因为1,S A A B B ==，所以221R R ==⇒=，所以球的表面积为244S R ππ==，故选A.考点：球的内接多面体；球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了球的内接多面体，球的表面积公式的应用，其中根据已知条件求出球O 的直径（半径）是解答本题的关键，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法及空间想象能力，本题的解答中由SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，转化为四面体S ABC -的外接球半径等于以长宽高分别为,,SA AB BC 三边长的长方体的外接球的半径，从而求解球的半径，即可求解球的表面积.11.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>与x 轴负半轴交于点C ，A 为椭圆第一象限上的点，直线OA交椭圆于另一点B ，椭圆的左焦点为F ，若直线AF 平分线段BC ，则椭圆的离心率等于（ ）A ．13B C ．3 D ．12【答案】A考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用、离心率的而求解，属于中档试题，解题时注意认真审题，同时注意椭圆对称性和三角形中位线的灵活运用，同时着重考查了数形结合的思想方法的应用，本题的解答中，推得M 为AQ 的中点，得出OM 为APQ ∆的中位线，从而OMF APQ ∆∆，在借助三角形相似的比例关系，即可得到,a c 的关系式，从而求解离心率的值.12.若(),P a b 在函数23ln y x x =-+的图象上，点(),Q c d 在函数2y x =+的图象上，则()()22a cb d -+-的最小值为（ ）A ．2 C ．．8【答案】D 【解析】试题分析：设直线y x m =+与曲线23l n y x x =-+相切于点00(,)P x y ，由函数23l n y x x =-+，所以32y x x =-+，令321x x-+=，又00x >，解得01x =，所以013ln11y =-+=-，可得切点(1,1)P -，代入112m m -=+⇒=-，可得与直线2y x =+平行且与曲线23ln y x x =-+相切的直线方程为2y x =-，而两条平行线2y x =+与2y x =-的距离d ==()()22a cb d -+-的最小值为228d ==，故选D.考点：导数的几何意义；两平行线之间的距离.【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义、切线的方程、两条平行线之间的距离的计算、最小值的转化等问题的综合应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法的应用，本题的解答中，先求出与直线2y x =+平行且与曲线23ln y x x =-+相切的直线方程为y x m =+，再求出此两条平行线之间的距离，即可求解()()22a cb d -+-的最小值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.双曲线2214y x -=的顶点到其渐近线的距离等于__________.考点：双曲线的几何性质.14.已知向量a 是单位向量，向量()=2,23b ，若()2a a b ⊥+，则a ,b 的夹角为__________. 【答案】23π 【解析】试题分析：由()2a a b ⊥+，得()2220a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以2a b ⋅=-，所以向量a ,b 的夹角为1cos 212a b a bθ⋅===-⋅⨯，所以23πθ=. 考点：向量的运算及向量的夹角.15.若实数,x y 满足不等式组-20-102-0x y x y a <⎧⎪<⎨⎪+≥⎩的目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 _______. 【答案】2考点：线性规划的应用.【方法点晴】本题主要考查了简答的线性规划的应用，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档试题，同时着重考查了数学结合法的应用，本题的解答中，根据题设条件画出约束条件所表示的可行域，根据图形确定目标函数的最优解，然后根据目标函数2t x y =-的最大值为2，确定约束条件中a 的值即可．16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1cos cos ,2a B b A c -=当()tan A B -取最大值时，则角C 的值为_________. 【答案】2π 【解析】试题分析：由题意得，1cos cos ,2a Bb Ac -=得111sin cos sin cos sin sin()(sin cos cos sin )222A B B A C A B A B A B -==+=+，整理得s i n c o s 3c o ss i n A B A B =，即t a n 3t a A B =，易得tan 0,tan 0A B >>，所以2tan tan 2tan 2tan()11tan tan 13tan 3tan tan A B B A B A B BB B--===≤=+++，所以当13tan tan B B =，即tan 3B =，tan A =,,362A B C πππ===. 考点：正弦定理及基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了解三角形的正弦定理、三角形的内角和定理、三角恒等变换的应用、基本不等式的应用等知识，属于基本知识的考查，属于中档试题，着重考查了转化的思想方法，本题的解答中由正弦定理及三角形的内角和定理化简已知得tan 3tan A B =，得到tan 0,tan 0A B >>，再由tan()A B -的公式展开，应用基本不等式求解最值，进而求解角C的值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分10分) 在数列{}n a 中，11,n i n a a a c +==+（c 为常数，*n N ∈），且125,,a a a 是公比不等于1的等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式. （2）令11n n n b a a +=，设数列{}n b 的前n 项和n S ，求证：12n S <. 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析.(2)21n a n =-()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫∴===- ⎪-+-+⎝⎭123111111123352121n n S b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ *1N 2n n S ∈<，考点：等差数列的通项公式；数列的裂项求和. 18.(本小题满分12分)2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如下表：（1）根据调查数据，判断是否有90%以上把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由: 参考数据：（参考公式：()()()()()22,n ac bd K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中）（2）以这100人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中（人数很多）随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”；（2）分布列见解析，2.所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”. (2)由已知的该市70后“生二胎”的概率为302453=，并且23,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()()33210,1,2,333kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其分布列如下：()23 2.3E X =⨯= 考点：独立性检验；随机变量的分布列及其数学期望.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，PD CD ⊥,E 为PC 的中点. （1）求证：//PA 平面DBE ； （2）求二面角B DE C --的余弦值.AC【答案】（1）证明见解析；（2. 所以//PA DBE 平面（2）取AD ，BC 的中点O ，M ，连接PO,OM,,,OM AD PA PD PO AD ∴⊥=∴⊥ .CD PAD PO PAD CD PO ⊥⊂∴⊥平面，平面，又//,.OM CD OM PO ∴⊥以O 为坐标原点，分别以,,,,OA OM OP x y z 为轴正方向建立空间直角坐标系. 设(),0,0,0,,0,0,,,0,,,0222a a a AD a O A B a C a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则,0,0,,24a a D P E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取PD 的中点为F ，可证得AF PCD ⊥平面，∴ 可取平面CDE 的一个法向量为()13,0,1n =-设平面BDE 的一个法向量为()()2,,=,,0,,42a a n x yz BD a a DE ⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭又,由2•0,n BD =2•0,n DE = 0ax ay -=可得-0,42a a x y+=21,n ⎛=- ⎝⎭可取127cos ,n n <>=，由图知二面角B DE C --是锐二面角所以二面角B DE C --. 考点：直线与平面平行的判定与证明；二面角的求解.20.(本小题满分12分)已知抛物线()220y px p =>上一点(),8M t 到焦点F 距离是54t .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，是否存在一个定圆恒以AB 为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）28y x =；（2）存在定圆()22-39x y +=恒与以A,B 为直径的圆内切.考点：抛物线的标准方程；圆的标准方程及直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质、圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，属于中档试题，同时着重考查了转化与化归的思想方法和推理、运算能力，本题的解答中，把直线的方程为()2y k x =-，直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得出,m m x y 及AB 的长，设出圆的标准方程，根据条件求出,,a b r 的值，即可确定圆的方程.21.(本小题满分12分)已知函数()21ln +,.2f x x ax x a R =-∈（1）若()10,f =求函数()f x 的单调递减区间;（2）若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数a 的最小值. 【答案】（1）()1+∞，；（2）2.(2)由()1f x ax ≤-恒成立，得21ln 12x ax x ax -+≤-在()0,+∞上恒成立，问题等价于2ln 112x x a x x ++≥+ ，只要()max a g x ≥即可因为()()2211ln 2'12x x x g x x x ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，令()'0g x =，得1ln 02x x -=设()()()111ln ,'0,22h x x x h x h x x =--=--<∴在()0+∞，上单调递减，不妨设 1ln =02x x --的根为0x . ()()()()000,'0;,'0x x g x x x g x ∈>∈+∞<当时，当时,所以()()0max 01g x g x x ==，因为()111ln 20,10242h h ⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭所以0112x <<，此时()()max 0112,1,2g x x <<∈即所以2a ≥，即整数a 最小值为2.考点：函数的恒成立；利用导数研究函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查了导数的应用求解函数的单调区间、极值与最值，主要考查了不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，求解过程中注意运用参数分离和函数的零点存在定理，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想方法的应用，本题的解答中，把关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，运用参数分离可得2ln 112x x a x x ++≥+在()0,+∞上恒成立是解答本题的重要一步，也是试题的一个难点.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （1）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （2）若OA =，求ACB ∠的大小.D AB【答案】（1）证明见解析；（2）60ACB ∠=︒.考点：圆的切线的判定定理与证明.23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.在极坐标系中，设点P 为曲线1:2cos C ρθ=上的任意一点，点Q 在射线OP 上，且满足6OP OQ ⋅= ，记Q 点的轨迹为2.C（1）求曲线2C 的直角坐标方程; （2）直线:3l πθ=分别交1C 与2C 交于A,B 两点，求AB .【答案】（1）3x =；（2）5AB =.考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化. 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()2123f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()()22log 32f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|12x x -≤≤；（2）1034a a -<<<<或. 【解析】试题分析：（1）通过讨论x 的取值范围，即可求出每个不等式的解集，取并集即可；（2）不等式()()22log 32f x a a -->等价于()22log 3+22123a a x x -<++-，转化为绝对值三角不等式求解出函数的最小值，列出关于a 的不等式组，即可求解a 的取值范围. 试题解析：（1）原不等式等价于：()()()()()()31312222212362123621236x x x x x x x x x ⎧⎧⎧>-≤<-⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪++-≤+--≤-+--≤⎩⎩⎩或或 解得3131212222x x x <<≤≤-≤<-或-或 ，不等式的解集为{}|12x x -≤≤. (2)不等式()()()2222log 32log 3+22123f x a a a a x x -->-<++-等价于考点：绝对值不等式的求解；函数的恒成立问题.。
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2016-2017学年宁夏六盘山高级中学高三上学期期中考试数学（理）一、选择题：共12题1．已知集合错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【答案】D【解析】本题主要考查集合的基本运算.错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
,所以错误!未找到引用源。
2．下列函数错误!未找到引用源。
中,满足“对任意的错误!未找到引用源。
,当错误!未找到引用源。
时,都有错误!未找到引用源。
”的是A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【答案】A【解析】本题主要考查函数的单调性.因为对任意的错误!未找到引用源。
,当错误!未找到引用源。
时,都有错误!未找到引用源。
，所以函数错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
上是减函数，由幂函数的性质可知，错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
上是减函数；由指数函数与对数函数的性质可知错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
上是增函数；易求错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。
上是增函数，故答案为A.3．若错误!未找到引用源。
,则A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【答案】B【解析】本题主要考查对数函数与三角函数，考查了逻辑推理能力.因为错误!未找到引用源。
,所以由对数函数的性质可得错误!未找到引用源。
,所以错误!未找到引用源。
4．已知错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
A.-1B.错误!未找到引用源。
C.错误!未找到引用源。
D.1【答案】A【解析】本题主要考查同角三角函数关系式、二倍角公式.将错误!未找到引用源。
两边平方可得错误!未找到引用源。
，所以错误!未找到引用源。
，又错误!未找到引用源。
,所以错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
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宁夏六盘山高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题
宁夏六盘山高级中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，b f =，2(log 8)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b <<2． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.3． 已知函数(5)2()e22()2xf x x f x a x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，若(2016)e f -=，则a =（ ） A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2 【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．4． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（ ） A ．9 B ．8 C.7 D ．55． 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16． 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 7． 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度8． 已知全集U R =，{|239}x A x =<≤，1{|2}2B y y =<≤，则有（ ）A ．A ØB B ．A B B =C ．()R A B ≠∅ðD ．()R A B R =ð9． 已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（ ） A ．3﹣4iB ．3+4iC ．﹣3﹣4iD ．﹣3+4i10．若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+， 则当14x y+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 11．设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ⊆，则的取值范围是（ ） A ．{|2}a a ≤ B ．{|1}a a ≤ C ．{|1}a a ≥ D ．{|2}a a ≥12．已知函数x x x f 2sin )(-=，且)2(),31(log ),23(ln 3.02f c f b f a ===，则（ ）A ．c a b >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．函数)(x f （R x ∈）满足2)1(=f 且)(x f 在R 上的导数)('x f 满足03)('>-x f ，则不等式1log 3)(log 33-<x x f 的解集为 .【命题意图】本题考查利用函数的单调性解抽象不等式问题，本题对运算能力、化归能力及构造能力都有较高要求，难度大.14．如图，已知m ，n 是异面直线，点A ，B m ∈，且6AB =；点C ，D n ∈，且4CD =.若M ，N 分 别是AC ，BD的中点，MN =m 与n 所成角的余弦值是______________.【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.15．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为 .【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n 项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.16．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.三、解答题（本大共6小题，共70分。